數學九章 (四庫全書本)/卷1上

數學九章　卷一上

　　欽定四庫全書
　　數學九章卷一上　　　　宋　秦九韶　撰大衍
　　按大衍術以各分數之竒零求各分數之總數大而天行小而物數皆可御之其法有求元求定求術求竒求乘求用之目大約以數之竒偶為根而以諸數相度之盡不盡為用有求彼此不能度盡之諸數者元數定數是也有求諸數皆能度盡之一數者衍母數是也有求諸數皆能度盡而一數不能度盡之數者各衍數是也其不盡之數即竒數也有求二數相度餘一之數者乘數是也有求二數相度餘一而諸數又能度盡之數者用數是也求元數定數初與約分法相似終變二數務使其等數為一蓋以一為等數始能度盡二數是他數俱不能度盡二數而二數相度益不能盡也以定數竒數求乘數之法名曰大衍求一中有立天元一於左上之語下載立天元一算式按立天元一法見於元郭守敬之厯源李冶之測圓海鏡及四海之借根方者皆虛設所求之數為一與所有實數反覆推求歸於少廣諸乘方得其積數與邊數或正負亷隅數而止次用除法或開方法得所求數此數命定數為一與竒數反覆商較至餘一實數而止其竒數所積即為乘數蓋其用不同而法則無二也然其極和較之用窮竒偶之情則有為元法西法所未及者但原本法解煩雜圖式譌舛今詳加改定並釋其義俾學者易見焉
　　大衍數術
　　大衍總數術曰置諸問數〈類名有四〉一曰元數〈謂尾位見單零者本門揲蓍酒息斛糶砌甎失米之類是也〉二曰牧數〈謂尾位見分釐者假令冬至三百六十五日二十五刻欲與甲子六十日為一會而求積日之類〉三曰通數〈謂諸數各有分子母者本門問一會積年是也〉四曰復數〈謂尾位見十或百及千以上者本門築隄並急足之類是也〉
　　按此言問題有是四類
　　元數者先以兩連環求等約竒弗約偶〈或約得五而彼有十乃約偶而弗約竒〉或元數俱偶約畢可存一位見偶或皆約而猶有類數存姑置之俟與其他約徧而後乃與姑置者求等約之或諸數皆不可盡類則以諸元數命曰復〈按復應作定〉數以復〈按同上〉數格入之
　　按此以元數求定數法也連環求等者於諸數中逐次取二數相度得一數可以度盡者為等數為法只約一數約竒弗約偶專為等數為偶者言之若等數為竒者則約偶弗約竒而等數為五與十者又有或約竒或約偶者矣皆約而猶有類俟約徧求等約之者逐條兩兩取約畢猶有二數可約者求得等數為續等〈見後〉續等約一數必復乘一數蓋等數為二數之較〈或二數展轉之較〉可約續等乃已約之較不可𠕂約不可約而兩數又不可使有等故約一數乘一數猶之不約也術內未詳
　　收數者乃命尾位分釐作單零以進所問之數定位訖用元數格入之或如意立數為母收進分厘以從所問用通數格入之
　　按收數者單位下有竒零之數也進位者以竒零之末位為單位也若立分母通之反不如用原數為簡
　　通數者置問數通分內子互乘之皆曰通數求總等不約一位約衆位得各原法數用元數格入之或諸母數繁就分從省通之者皆不用元各母仍求總等存一位約衆位亦各得原法數亦用元法數格入之
　　按通數與收數相似但單數有分母竒零為分子耳通分納子即進尾數為單位之義因加互乘一次故加總等一約然後為元數也
　　又按求總等不拘通數復數但題中有三數可以一等數度盡者即可用總等法存一數約衆數然後為元數凡度之後等數仍可約者此數必當存之
　　復數者問數尾位見十以上者以諸數求總等存一位約衆位始得元數兩兩連環求等約竒弗約偶復乘偶或約偶或約竒復乘竒〈按此四語有誤應作約竒弗約偶復乘偶或約偶弗約竒弗乘竒然皆續等下用之此處可省〉或彼此可約而猶有類數存者又相減以求續等以續等約彼則必復乘此乃得定數所有元數收數通數三格皆有復乘求定之理悉可入之按復數者諸問數皆至十或百或千而止也右各叚皆云以某格入之此又雲三格悉可入之大約古算必有其程式也
　　求定數勿使兩位見偶勿使見一太多見一多則借用繁不欲借則任得一
　　按勿使兩位見偶者蓋衆數連乘中有兩偶數則所得總數以一偶數除之必仍得偶數不能求餘一之乘數也勿使見一太多見一多則借數繁者蓋見一多因數本如此且見一即不必推乃雲勿使太多又雲借數皆塗人之耳目也故曰不欲借則任得一
　　以定相乘為衍母以各定約衍母得各衍數〈或列各定數於右行各立天元一為子於左行以母互乘子亦得衍數〉諸衍數各滿定母去之不滿曰竒以竒與定用大衍求一入之以求乘率〈或竒得一即為乘率〉按諸定數連乘為衍母即為諸定數皆能度盡之數亦為總數最大之限凡總數在限內者各定數之差皆不等若過限外則各定數之差有與限內相等者其兩總數之差必為衍母之倍數各衍母者即諸數度盡一數度不盡之數也竒數者定數度衍數不盡之數也定數原為彼此不能度盡之數衍數為他定數連乘之數以此一定數度之必不能盡也
　　大衍求一數雲置竒右上定居右下立天元一於左上先以右上除右下所得商數與左上一相生入左下然後乃以右行上下以少除多遞互除之所得商數隨即遞互累乘歸左行上下須使右上末後竒一而止乃驗左上所得以為乘率或竒數已見單一者便為乘率〈按此二語重上〉
　　按此以定數竒數求乘數也其法必使以定數度竒數僅餘一數而竒數之倍數即乘數也置竒右上定右下者初次以定為實竒為法也立天元一於左上者以一為竒之倍數也得商數與左上相生入左下者以竒商定得商數即竒之倍數以乘天元一而書於下也隨以竒數與商數相乘以減定數為餘實次以竒為實減餘為法置前左下於左上以法約實得商乘左上又併前之左上為左下隨以法乘商減實又為餘實次又以前餘為實次餘為法置前左下於左上得商數乘左上又倂前左上為左下隨以法乘商減實如此展轉相求合兩次為一算至餘實一乃視左下天元數即乘數也若未至兩次餘實一者仍以一為法上餘數為實實二則商一實三則商二如上求之復得餘一其天元數方為乘數原文遞互乘除之語未詳
　　置各乘率對乘衍數得泛用併泛課衍母多一者為正用或泛多衍母倍數者驗元數竒偶同者損其半倍〈或三處同類以三約衍母於三處損之〉同衍母者為無用當驗元數同類者而正用至多處借之以元數兩位求等以等約衍母為借數以借數損有以益其無為正用或數處無者如意立數為母約衍母所得以如意子乘之均借補之或欲從省勿借任之為空可也
　　按此求各用數法也其各乘率乘各衍數得用數者即一數餘一諸數度盡之數也其雲併泛用過衍母倍數驗元數同類損之此語似有誤當雲驗問數同偶而用數相併過衍母者損之蓋取用皆問數非元數也凡偶數減偶仍餘偶減竒仍餘竒其數有定竒數減竒則餘偶又或餘竒減偶則餘竒又或餘偶其數無定故惟偶數可驗也定數一者即無用數必虛為借數未免徒滋煩擾
　　然後以其餘各乘正用為各總併總滿衍母去之不滿為所求率數
　　按此既得各用數以題中所問之竒零求總數也以各餘數乗各用數者蓋用數為諸數度盡一數餘一之數以幾數乘之必為諸數度盡一數餘幾數之數也併各條而以各數度之必各數仍餘幾數也餘數悉合則總數必合矣然衍母為諸數度盡之數累加一衍母衆餘數皆不變故滿衍母去之得在衍母內者其數最小為第一數若大於此數者遞加一衍母數無不合者
　　按右大衍本法也原書入於蓍䇿發㣲題問荅之後殊失其序今修冠於卷首
　　蓍卦發㣲
　　問易曰大衍之數五十其用四十有九又曰分而為二以象兩卦一以象三揲之以四以象四時三變而成爻十有八變而成卦欲知所衍之術及其數各幾何按揲蓍之法載於易傳啓𫎇言之甚明算術以竒偶相生取名大衍可也竟欲以此易古法則過矣
　　荅曰衍母十二衍法三
　　一元衍數二十四二元衍數一十二三元衍數八四元衍數六　已上四位衍數計五十一楪用數一十二二楪用數二十四三楪用數四四揲用數九　已上四位用數四十九
　　按此附會五十四十九之數與本衍已牽強不合觀後可知
　　水　　火　　木　　金　〈始此四數以揲〉
　　隂陽象數圖
　　老陽　少隂　　少陽　老隂〈終此四者為爻〉
　　按此條與數無取義可刪
　　本題術曰置諸元數兩兩連環求等約竒弗約偶徧約畢乃變元數皆曰定母列右行各立天元一為子列左行以諸定母互乘左行之子各得名曰衍數次以各定母滿去衍數各餘名曰竒數以竒數與定母用大衍術求一〈大衍求一術雲以竒於右上定母於右下立天元一於左上先以右行上下兩位以少除多所得商數乃遞互乘歸左行使右上得一而止左上為乘率〉得各乘率以乘衍數各得用數驗次所揲餘幾何以其餘數乘諸用數併之名曰總數滿衍母去之不滿為所求數以為實易以三才為衍法以法除實所得為象數如實有餘或一或二皆命作一同為象數其象數得一為老陽得二為少隂得三為少陽得四為老隂得老陽畫重爻得少隂畫拆爻得少陽畫單爻得老隂畫交爻凡六畫乃成卦
　　按此即前大衍法末以三歸取爻象亦屬附會
　　草曰一二三四列右行立天元一列左行
　　元數右行
　　天元左行
　　以右行一二三四互乘左行異子一弗乘對位本子各得衍數
　　元數右行
　　上　副　次　　下
　　衍數左行　併之得五十
　　乃併左行衍數四位共計五十故易曰大衍之數五十算理不可以此五十為用葢分之為二則左右手之數竒偶不同見隂陽之伏數必須復求用數先名此曰衍數以為限率遂乃復以一二三四之元數求等數約定按前術以兩兩相連環求等約之先以一與二求等一與三求等一與四求等皆得一各約竒弗約偶數不變次以二與三求等亦得一約竒弗約偶數亦不變及以二與四求等乃得二此二隻約副數二變為一而弗約四次以三與四求等亦得一約竒亦不變所得一一三四各為定數母列右行仍各立天元一為子列左行
　　定母右行
　　天行左行
　　以右行定母一一三四互乘左行各子一惟不對乘本子畢左上得一十二左副得一十二左次得四次下得三皆曰衍數
　　定母右行　以右定母滿去左
　　衍數左行　衍衍餘各為竒數
　　次以各母去衍數其一母去衍一十二竒一其副母一亦去副子一十二亦各竒一其次母三去次衍四亦竒一其下母四欲去下子三則不滿便以三為左下竒數
　　定母右行
　　竒數左行
　　凡竒數得一者便為乘率今左下衍是三乃與本母四用大衍求一術入之列衍竒三於右上定母於右下立天元一於左上空其左下
　　〈衍　定　商竒　母〉
　　〈天元〉
　　先以右上少數三除右下多數四得一為商以商一乘左上天元一隻得一歸左下其右下餘一
　　〈商　衍　定母竒　餘〉○
　　〈天　歸元　數〉
　　次以右下少數一除右上多數三須使右上必竒一算乃止遂於右行最上商二以除右衍必竒一乃以上商命右下定餘一除之右衍餘一
　　〈商　衍竒　定母餘　　餘〉
　　〈天　　歸元　　數〉
　　次以商二與左下歸數相乘得二加入左上天元一內共得三



　　今驗右上衍餘得一當止乃以左上三為乘率與前三者乘率各一與衍定圖衍數對列之通計三行
　　定母
　　衍數
　　乘率
　　以乘率對乘左行畢左上得一十二左副得一十二左次得四左下得九皆曰泛用數
　　定母　　衍母
　　泛用
　　次以右行一二三四相乘得一十二名曰衍母復推元用等數二約副母二為一今乃復歸之為二遂用衍母一十二益於左副一十二內共為二十四
　　元數
　　定用
　　今驗用數圖右行之一二三四即是所揲之數左行一十二併二十四及四與九併之得四十九名曰用數用為蓍草數故易曰其用四十有九是也
　　假今用蓍四十九信手分之為二則左手竒右手必偶左手偶右手必竒欲使蓍數近大衍五十非四十九或五十一不可二數信手分之必有一竒一偶故所以用四十九取七七之數始有左副二十四內益十二就其三十七泛為用數但三十七無意義兼蓍少太露是以用四十有九凡揲蓍求一爻之數欲得一二三四岀於無餘必令揲者不得知故以四十九蓍分之為二隻用左手之數假令左手分得三十三自一一楪之必竒一故不繁楪乃徑掛一故易曰分而為二以象兩掛一以象三次後又令筮人以二二揲之其三十三亦竒一故歸奇於㧅又令之以三三揲之其三十三必奇三故歸奇於㧅又令之以四四揲之又奇一亦歸奇於㧅與前掛一併三度揲通有四㧅乃得一一三一其掛一者乘用數圖左上用數一十二其二揲㧅一者乘左副用數二十四其三揲㧅三者乘左次用數四得一十二其四揲一者乘左下用數九
　　用數
　　左行三㧅謂之三變
　　掛一得一十二㧅一得二十四㧅三得一十二又㧅一得九並為總數

　　併此四總得五十七不問所握幾何乃滿衍母一十二去之得不滿者九〈或使知其所握五十七亦滿衍母去之亦只得九數〉以為實用三才衍法約之得三乃畫少陽單爻〈或不滿得八得七為實皆命為三〉他皆倣此　術意謂揲二楪三楪四者凡三度復以三十三從頭數揲之故曰三變而成爻既卦有六爻必有十八變故曰十有八變而成卦
　　按此條強援蓍卦牽附衍數致本法反晦今以本法列於前則其弊自見矣
　　古厯會積
　　問古厯冬至以三百六十五日四分日之一朔䇿以二十九日九百四十分日之四百九十九甲子以六十日各為一周假令至淳祐丙午十一月丙辰朔初五日庚申冬至初九日甲子欲求古厯氣朔甲子一會積年積月積日及厯過未至年數各幾何
　　按此題嵗實朔䇿皆古法用數淳祐丙午嵗合朔冬至干支乃宋開禧法所步題數已不相𫎇即推算無誤亦未合況不能無誤耶
　　荅曰一會積一萬八千二百四十年二十二萬五千六百月六百六十六萬二千一百六十日　厯過九千一百六十三年未至九千七十七年按荅數皆不合
　　術曰同前置問數〈有分者通之互乘之得通數〉求總等不約一位約衆位各得元法連環求等約竒弗約偶各得定母〈本題欲求一會不復乘偶〉以定相乘為衍母定除母得衍數滿定去衍得竒以大衍入之得乘率以乘衍數得泛用數併諸泛以課衍母如泛內多倍數者損之乃驗元數竒偶同類處各損半倍〈或三位同類者三約衍母損泛〉各得正用然後推氣朔不及或所遇甲子日數乘正用加減之為總滿衍去之餘為所求厯過率實如紀元法而一為厯過以氣元法除衍母得一會積年以氣周日刻乘一會年得一會積日以朔元法除衍母得一會積月數
　　按如紀元法而一以氣元法除衍母二語皆誤故得數不合皆當以氣分為法葢氣分即嵗實分也
　　右本題問氣朔甲子相距日數係開禧厯推倒或甲子日在氣朔之間及非十一月前後者其總數必滿母贅去之所得厯過年數尾位雖倫首位必異今設問以明大衍之理初不計其前多後少之厯過
　　按此數語葢因得數不合而自解之然算家終以得數為凖得數不合則無以取信於人矣
　　草曰置問數冬至三百六十五日四分日之一朔
　　䇿二十九日九百四十分日之四百九十九甲子六十日各通分內子互乘之列三等位具圖如後



　　冬至得一千四百六十一朔實得二萬七千七百五十九甲子無母只是六十列三行互乘之具圖如後
　　〈氣通　母　　　　　　　　總等不約紀分〉








　　以三行互乘右得一百三十七萬三千三百四十為氣分中得一十一萬一千三十六為朔分左得二十二萬五千六百為紀分先求總等得一十二〈按十二乃朔分紀分所求等數亦可為氣分等數故為總等〉乃存紀分一位不約只以等一十二約氣分得一十一萬四千四百四十五又約朔分得九千二百五十三皆為元法乃以連環求等次以紀元二十二萬五千六百與朔元九千二百五十三求等得一不約又以紀元與氣元一十一萬四千四百四十五求等得二百三十五隻約氣元得四百八十七次以氣元四百八十七與朔元九千二百五十三求等得四百八十七隻約朔元九千二百五十三得一十九約偏畢得四百八十七為氣定得一十九為氣定得二十二萬五千六百為紀定以三定相乘得二十億八千七百四十七萬六千八百為衍母具圖如後







　　各以定數約衍母各得衍數氣得四百二十八萬六千四百朔得一億九百八十六萬七千二百紀得九千二百五十三寄左行各滿定數去之各得竒數





　　氣竒得三百一十三朔竒得四紀竒得九千二百五十三各與定數用大衍求一各得乘數列右行對寄左行衍數具圖如後




　　各以大數入之氣乘率得四百七十三朔乘率得五紀乘率得一十七萬二千七百一十七對左行衍數以右行乘率對乘左行衍數氣泛得二十億二千七百四十六萬七千二百朔泛得五億四千九百三十三萬六千紀泛得一十五億九千八百一十五萬四百一十具圖如後









　　右列用數併之共得四十一億七千四百九十五萬三千六百一為泛用數與衍母二十億八千七百四十七萬六千八百驗之在衍母以上就以衍母除泛得二乃知泛內多一倍母數當於各用內損去所多一倍按術驗法元圖內諸元數奇偶同類者各損其半今驗法元圖氣元尾數是五紀元尾數是六百為俱五同類乃以術母二十億八千七百四十七萬六千八百折半得一十億四千三百七十三萬八千四百以損泛用圖內氣泛紀泛畢其朔泛不損各得氣朔紀正用數其氣正用得九億八千三百七十二萬八千八百朔正用五億四千九百三十三萬六千紀正用五億五千四百四十一萬二千一列為正用圖在前
　　既得正用數次驗問題十一月朔日丙辰冬至初五日庚申初九日甲子乃以初一減初九甲子餘八日為朔不及次以初五亦減初九甲子餘四日為氣不及以二不及各乘正用得數具圖如後



　　先以氣不及甲子四日以乘氣正用數九億八千三百七十二萬八千八百得三十九億三千四百九十一萬五千二百為氣總次以朔不及甲子八日數以乘其朔正用數五億五千九百三十三萬六千得四十三億九千四百六十八萬八千為朔總併之得八十三億二千九百六十萬三千二百為總數滿母二十億八千七百四十七萬六千八百去之不滿二十億六千七百一十七萬二千八百為所求率實具圖如後






　　按求積嵗應以甲子距冬至前之日分乘紀用數為紀總以合朔距冬至前之日分乘朔用數為朔總併紀總朔總滿衍母去之以嵗實分除之即已過積年草內以冬至距甲子前之日分乘氣用數合朔距甲子前之日分乘朔用數併之乃求紀周法非求嵗周法也故不合
　　置所得率實二十億六千七百一十七萬二千八百如法元圖紀元法二十二萬五千六百而一得九千一百六十三年為厯過年數次置衍母二十億八千七百四十七萬六千八百為實如法元圖氣元一十一萬四千四百四十五為法而一得一萬八千二百四十年為氣朔甲子一會積年內減厯過九千一百六十三年餘九千七十七年為未至年數次以冬至周日三百六十五日二十五刻乘積一會年一萬八千二百四十得六百六十六萬二千一百六十日為一會積日又以術母為實如法元圖朔元法九千二百五十二而一得二十二萬五千六百月為一會積月合問
　　按此紀元即紀分以紀分除率實乃紀周數非已過年數也求一會積年當以氣分為法以氣元為法亦誤此二數既誤餘數無是者矣然題已不合既法合數亦不能合也今改設一題於後以明其法焉
　　設古法嵗實三百六十五日四分日之一朔䇿二十九日九百四十分日之四百九十九甲子六十日假令十一月平朔辛巳日四百七十分日之一百一十三冬至癸夘日子正初刻問距前後甲子日子正初刻合朔冬至之年數各幾何
　　荅曰距前八百七十六年距後六百四十四年
　　法按前法求至正用乃以冬至癸夘距甲子後三十九日為紀餘以日法〈即氣分母朔分母相乘之數〉三千七百六十分通之得十四萬六千六百四十為紀餘分以乘紀正用得紀總八十一兆二千九百八十九億七千五百八十二萬六千六百四十次以平朔辛巳距甲子十七日又四百七十分之一百一十三與冬至距甲子三十九日相減得二十一日又四百七十分日之三百五十七以日法三千七百六十通之得八萬一千八百一十六為朔餘分以乘朔正用得朔總四十四兆九千四百四十四億七千四百一十七萬六千併二總數滿衍母去之得率實十二億零三百零四萬五千八百四十為實以嵗實一百三十七萬三千三百四十為法除之得八百七十六年為距前氣朔甲子會積之年數又以衍母為實以嵗實分為法除之得一千五百二十年為前會積距後會積之年數減去距前會積之年數餘六百四十四年為距後會積之年數既得積年若欲還原求題中干支時刻則以前會之積年與嵗實相乘得三十一萬九千九百五十九為積日滿紀法六十去之餘三十九日自初日起甲子得冬至為癸夘日子正初刻又置積日以朔䇿日分九百四十通之為實以朔䇿通分納子為法除之得一萬零八百三十四為積朔餘二萬零四百五十四又為實以朔䇿日分九百四十為法除之得二十一日又九百四十分之七百一十四約之為四百七十分日之三百五十七為距冬至前日數與甲子距冬至前三十九日相減得一十七日又四百七十分日之一百一十三為距甲子後日數自初日起甲子得辛巳為平朔干支悉與題合
　　推庫額錢
　　問有外邑七庫日納息足錢適等遞年成貫整納近縁見錢稀少聽各庫照當處市陌凖解舊會其甲庫有零錢一十文丁庚二庫各零四文戊庫零六文餘庫無零錢甲庫所在市陌一十二文遞減一文至庚庫而止欲求諸庫日息原納足錢展省及今納舊會並大小月分各幾何
　　按題意係七邑日納共錢同數以各邑市陌數計之或適足或有餘多寡不同甲陌十二則餘十乙陌十一丙陌十則無餘丁陌九則餘四戊陌八則餘六己陌七則無餘庚陌六則餘四以求共錢同數此本術也又問展省舊會按草中展省乃官省陌以七十七為一百所展日息共錢之數舊會乃以各陌數為一百所升日息共錢之數二者在本術中已贅且不明言展省舊會用數求法皆故為溟涬也
　　荅曰諸庫納日息足錢二十貫九百五十文
　　展省三十五貫文
　　甲庫日息舊會二百二十四貫五百一十文〈按應作五百文又六分文之五〉大月舊會六千七百三十七貫五百文〈按少二十五文〉小月舊會六千五百一十二貫九百二文〈按應作六千五百一十貫五百又六分文之一〉乙庫日息舊會二百四十五貫文　大月舊會七千三百五十貫文　小月舊會七千五百貫文〈按應作七千一百五貫〉
　　丙庫日息舊會二百六十九貫五百文　大月舊會八千八十五貫文　小月舊會七千八百一十五貫五百文
　　丁庫日息舊會二百九十九貫四百四文〈按應作四百四十四文又九分文之四〉大月舊會八千九百八十三貫三百三文〈按少三十文又三分文之一〉　小月舊會八千六百八十三貫八百八文〈按少八十文又九分文之八〉戊庫日息舊會三百三十六貫八百六文〈按應作七十五文〉　大月舊會一萬一百六貫二百四文〈按應作二百五十文〉　小月舊會九千七百六十九貫三百六文〈按應作七十五文〉
　　己庫日息舊會三百八十五貫文　大月舊會一萬一千五百五十貫文　小月舊會一萬一千一百六十貫文〈按少五貫〉
　　庚庫日息舊會四百四十九貫一百四文〈按應作一百六十六文又分三文之二〉　大月舊會一萬三千四百七十五貫文　小月舊會一萬三千二十四貫八百二文〈按應作二萬三千二十五貫八百三十三文又三分文之一〉
　　術曰以大衍求之置甲庫市陌以庫減庫減之各得諸庫原陌連環求等約竒弗約偶〈按此特為等數為偶者言之若等數為竒者則約偶弗約竒〉得定母諸定相乘為衍母以定約衍母得衍數衍數同衍母者去之為無〈無者借之同類〉其各滿定母去餘為竒數以竒定用大衍求乘率乘衍數為用數無者則以原數同類者求等約衍母得數為借數次置有零文庫零錢數乘本用數併為總數滿衍母去之不滿為諸庫日息足錢各大小月日數乘之各為實各以原陌約為舊會
　　草曰置甲庫市陌一十二遞減一得一十一為乙庫陌十一為丙庫陌九為丁庫陌八為戊庫陌七為己庫陌六為庚庫陌得諸庫原陌
　　甲　乙　丙　丁　戊　己　庚


　　以連環求等約訖甲得一乙得十一丙得五丁得九戊得八己得七庚得一各為定母立各一為子按此法之要在於求定而術中獨畧之今詳其式於後
　　法列七庫陌數於前先以甲與
　　乙相約無等數與丙數相約得
　　等數二〈偶〉約丙十得五〈竒〉與丁
　　數相約得等數三〈奇〉約甲十二
　　得四〈偶〉與戊數相約得等數四
　　〈偶〉約甲四得一〈奇〉甲數既為一
　　不能𠕂約即為與諸數徧約畢
　　次以乙與下五數相約俱無等
　　次以丙與下四數相約亦俱無
　　等次以丁與戊己二數相約俱
　　無等與庚數相約得等數三〈奇〉約庚六得二〈偶〉次以戊與己相
　　約無等與庚相約得等數二〈偶〉約庚二得一〈奇〉庚既為一己亦
　　不能與之相約乃為連環求等畢得定數為甲一乙十一丙五丁九戊八己七庚一也後凡求定數倣此
　　〈定母〉


　　先以諸定相乘得二萬七千七百二十為衍母次以諸定互乘諸子甲得二萬七千七百二十乙得二千五百二十丙得五千五百四十四丁得三千八百戊得三千四百六十五己得三千九百六十庚得二萬七千七百二十各為衍數
　　定母右行





　　次驗諸衍數有同衍母者皆去之為無衍數次各滿定母去各本衍各得奇數甲無乙得一丙得四丁得二戊得一己得五庚無各為竒數



　　次驗有奇數者得一便以一為乘率或得二數以上者各以奇數於右上定母於右下立天元一於左上用大衍求一之數入之驗乘除至右上餘一而止皆以左上所得為乘率甲無乙得一丙得四丁得五戊得一己得四庚無各為乘率列右行以對寄左衍數





　　以兩行對乘之為用數甲無乙得二千五百二十丙得二萬二千一百七十六丁得一萬五千四百戊得三千四百六十五巳得一萬一千八百八十庚無




　　次推無用數者惟甲庚合於同類處借之其同類謂原陌列而視之


　　今視甲一十二庚六皆與丙一十戊八俱偶為同類其戊用數三千四百六十五其數少不可借惟丙一十之用數係二萬二千一百七十六為最多當以借之乃以甲一十二丙一十庚六求等得二以等數二約衍母二萬七千七百二十得一萬三千八百六十為借數乃減丙用二萬二千一百七十六餘八千三百一十六為丙用數乃以所借岀之數一萬三千八百六十為實以原等二為法除之得六千九百三十為甲用數以甲用數減借岀數餘亦得六千九百三十為庚用數今不欲甲庚之借數同乃驗得岀數一萬三千八百六十可用幾約如意乃立三取三分之一得四千六百二十為甲用取三分之二得九千二百四十為庚用列右行



　　一　　○　○　　　　　　○　　〈零數〉　左行乃視諸庫有無零錢數驗得乙丙己三庫無先去其用數乃以甲子戊庚四庫零錢列左行對乘本用甲得四萬六千二百丁得六萬一千六百戊得二萬七百九十庚得三萬六千九百六十合為總



　　併此四總得一十六萬五千五百五十滿衍母二萬七千七百二十去之不滿二萬六千九百五十為所求率以貫約為二十六貫九千五十文為諸庫日息等數以官省七十七陌展得三十五貫文〈按官省陌以七十七為一百故二十六貫餘展為三十五貫〉各以其庫陌紐計〈按庫陌紐計即以各陌數為一百〉各得舊會零錢各以三十日乘為大月息以日息減大月息餘為小月息合問
　　分糶推原
　　問有上農三人力田所收之米係用足斗均分各徃他處岀糶甲糶本郡官塲餘三斗二升乙糶與吉安鄉民餘七斗丙糶與平江𭣄戸餘三斗欲知共米及三人所分各糶石幾何
　　荅曰共米七百三十八石　三人各分米二百四
　　十六石
　　甲糶官斛二百九十六石　乙糶安吉斛二百二十三石　丙糶平江斛一百八十二石
　　術曰以大衍求之置官塲斛率安吉鄉斛率平江市斛率〈官私共知者官斛八斗三升安吉鄉斛一斗一昇平江市斛一石三斗五升〉為原數求總等不約一位約衆位連環求等約竒不約偶或猶有類數存者有求等約彼為復乘此各等定母相乘為衍母互乘為衍數滿定去之得竒大衍求一得乘率乘衍數為用數以各餘米乘用併之為總滿衍母去之不滿為所分以原人數乘之為共米
　　草曰置文思院官斛八十三升吉安州鄉一百一十昇平江府市斛一百三十升各為其斛原率




　　先以三率求總等得一不約〈按此題只一數見十不必用復數求總等〉次以連環求等其安吉率一百一十與平江率一百三十五求等得五以約平江率得二十七〈按五為中數或約偶或約奇皆可但不約可以𠕂約者〉餘皆求等得一不約各得原數


　　以定相乘得二十四萬六千五百一十為衍母各以原率約之得二千九百七十為官斛衍數得二千二百四十一為安吉州衍數得九千一百三十為平江斛衍數
　　官斛　　安吉　　平江　　　　　衍母



　　次以定母滿法去衍數得不滿六十五為官斛奇不滿四十一為安吉奇不滿四為平江奇數



　　定母奇數各以大衍入之求得乘數得二十三為官斛乘率得五十一為安吉乘率得七為平江乘率



　　以乘率各乘寄左行衍數得六萬八千三百一十為官斛用數得一十一萬四千二百九十一為安吉用數得六萬三千九百一十為平江用數





　　次以甲餘三十二升乘官斛用數六萬八千三百一十得二百一十八萬五千九百二十升於上次以乙餘七十升乘安吉用數一十一萬四千二百九十一得八百萬三百七十升於中次以丙餘三十升乘平江用數六萬三千九百一十得一百一十九萬七千三百於下各為總併之得一千二百一十萬三千五百九十升為總數滿衍母二十四萬六千五百一十升去之不滿二萬四千六百升為所求率展為二百四十六石為三人各分米以兄弟三人因之得七百三十八石為共米置分米二百四十六石各以官斛八斗三升安吉斛一石一斗平江斛一石三斗五升約之甲得二百九十六石餘三斗二升乙得二百二十三石餘七斗丙得一百八十二石餘三斗各為糶過及餘米合問












　　數學九章卷一上
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章>