數度衍 (四庫全書本)/卷03

數度衍　卷三

　　欽定四庫全書
　　數度術卷三
　　桐城　方中通　撰
　　筆算下
　　奇零列位法
　　術曰奇零者不盡數也加減乗除皆有奇零惟除為多耳以法命之曰幾分之幾除數為母列上零數為子列下
　　式有實四十六法七用數六除四十二尚餘實四命之
　　曰七之四七列上四列下
　　通曰以母分子故以法為母子隨母分故以實
　　為子
　　奇零別多寡法
　　術曰母同子異別在子子同母異別在母俱異者別在子母也
　　母同式奇零有二一曰七之三一曰七之四辨其孰多孰寡今母數等矣但據子數別之子多者為多子少者為少耳
　　子同式若子數相等母數不等者其母數小子數反大母數大子數反小如二分十之一得五三分十之一止得三三耳當以母數少
　　者為多
　　子母俱異式子數母數俱不等以彼此子母互乗得數各註其下較之其較有三一曰差逺一曰稍差一曰相同法皆一也


　　竒零約法
　　術曰約多者為少其法有三一用折半一用通數一用紐數紐數不得則不可復約矣只就見數較多寡用彼此互乘之法
　　折半式十六之八約之為少折母數十六為八摺子數八為四
　　約為八之四再折半又約為四之
　　二
　　通數式四十八之三十六欲約之視子母兩數有何數相乗而得其數即通數也今以六為通數
　　以六乘八得四十八母可約為八以六乘六得三十六子可約為六
　　紐數式以小減大減盡而止以最後減盡數為紐數以除子母二數得約數也四十八內減三十二餘十六又於三十二內減十六兩次減盡是十六為
　　紐數矣以十六除四十八得三約母為三以十六除三十二得二約子為二
　　通曰紐即通也但通可見而紐不見耳今以十六為通數以三乗之得四十八以二乗之得三十二亦合
　　奇零併母子法
　　術曰凡兩子母數先併母較之使兩母數等以兩母相乘得共母數次以兩母互乘兩子得各子數或三四母子不同併較多寡者亦以各母次第疊乗併一共母為實乃以各母數為各法除之即以各子數乗各所除數得各子數也
　　兩母子相併式甲三之二乙四之三欲併一共母以兩母乘得十二為共母數以甲子二乘乙母四得八為甲併子以乙子三乘甲母
　　三得九為乙併子
　　四母子相併式甲二之一乙三之二丙四之三丁五之一欲併一共母以甲母二乘乙母三得六又以六乘丙母四得二十四又以二十四乗丁母五得一百二十為共母以甲母二除共母得六十以甲子一乗之得六十為甲併子以乙母三除共母得四十以乙子二
　　乗之得八十為乙併子以丙母四除共母得三十以丙子三乗之得九十為丙併子以丁母五除共母得二十四以丁子一乗之得二十四為丁併子
　　倂母子用紐數式若母數相乗過有紐數可用即用紐數如甲母乗乙母得六嗣當與丙母四相乗有二為紐數可用〈二與三乗得六二與二乗得四〉則約甲乙相乗之六為三約丙母四為二乃復以甲乙相乗之六乗丙母所約之二得十二以丙母四乘甲乙所約之三得十二是甲乙丙母俱得十二數而止也至丁母無紐數即以十二
　　乘丁母五得六十則前式共母之一百二十今約為六十矣如法逐位母除子乗所得併子俱減前式之半
　　奇零纍析約法
　　術曰奇零有析之又析者或三四析欲知其總用母乗母子乗子法三四位者母子俱湏疊乗也
　　二位析求總式七之四又五分四之三列自左向右七之四在左五之三在右兩母乗得三十五兩子乗得十二是總得三十五之一十二
　　也
　　四位析求總式二之一又六分一之一又四分一之三又三分三之二列自左向右算仍自右向左以丁母三乗丙母四得十二又以十二乗乙母六得七十二又以七十二乗甲母二得一百四十四為總母以丁
　　子二乗丙子三得六以六乗乙子一得六以六乗甲子一得六為總子是總為一百四十四之六也
　　化法
　　術曰凡整數後帶奇零欲將整數盡依母數化之以母數乘整數以乗得數入子數卻以母數除之有零無零兩化俱合
　　化整為零式有整六又零五分一之三列六於左列五之三於右以母五乗整六得三十併子數三為三十三是化為五之三十三也
　　零數歸整無零式七之五十六欲歸為整以母數除子
　　數用八除盡知是八為整數也

　　零數歸整有零式九之四十七欲歸為整以母除子用五除於子四十七內除五九四十五尚餘二知是整五又零九之二也
　　奇零加法
　　術曰兩零數以至多零數及整與零數欲併為一者同母則一母可代衆母異母則湏疊乗為共母也子不拘同異皆併為一遇有紐數者用紐數求其共母兩位者子母互乘以求併子位多者母除子乘以求併子同母之子惟併而已異母之子湏求併子而併也其整與零併先併整次併零合為一曰積
　　同母式曰七之五曰七之六欲併為一同母七即用為
　　共母兩子併得十一為共子積為
　　七之一十一歸得一零七之四
　　異母式兩母不同乘得十二為共母甲子乘乙母得八
　　為甲併子乙子乘甲母得九為
　　乙併子再以兩併子併得十七
　　積為一十二之一十七
　　異母位多式以甲母七乘乙母十三得九十一再乘丙
　　母十一得一千零一為共母依
　　法各母除各子乘得各併子又
　　併得共子積為一千零一之二
　　千六百九十二
　　一整一零併式零曰五之三整曰八倂為一仍以整為整零為零即為八又零五之三也
　　二整一零併式零曰三之二整曰四曰八併為一先倂兩整得一十二零數止一位無倂積為一十二又零三之二也
　　整與同母二零倂式零曰七之二曰七之六整曰八曰四先倂兩整得十二次併兩子得八同母七即為共母積為一十二又零七之八也
　　整與異母二零併式零曰三之二曰四之三整曰八整數無併兩母乘得十二為共母左右母子互乘右子得八左子得九為倂子再併得十七積為八又零十二之十七也
　　試加差法
　　通曰加用減試用加試皆有同母異母之分
　　試同母式以右子五減積子十一餘六合左子數以左子六減積子十一餘五合右子數合則無差
　　試異母式先試母以右母三除共母十二得四合左母
　　數以左母四除共母十二得三
　　合右母數無差次試子以右併
　　子八減積子十七餘九合左併子數以左併子九減積子十七餘八合右併子數又以左母四除右併子八得二合右子數以右母三除左併子九得三合左子數無差
　　竒零減法
　　術曰先審多寡多為原數少為減數同母止就子數相減異母先求共母又母除子乘求各子乃以相減也通曰多中減少即右內減左也但併母子數有時似少中減多者而化整之後仍是多中減少也
　　同母式曰十七之八曰十七之五相減此當於十七之
　　八內減十七之五也同母止於右子
　　八內減左子五餘三得十七之三
　　異母式曰九之八曰三之二相減先以兩母乘得二十
　　七為共母乃母除子乘得各
　　子審多寡然後相減餘二十
　　七之六
　　整數內減零數式整一十內減零一十一之六先於整內抽出一數依零母數化為一十一作化子整止存九是化為一十一之一十一也於化內減十一之六餘十
　　一之五是減餘為九零十一之
　　五
　　整內減整及零式兩整先減十內減四餘六乃於六中
　　抽一依零母化五為子是化為
　　五之五也於化內減五之三餘
　　五之二其餘整六既抽一止存五是減餘為五零五之二
　　整及零內減整及零式整數多者為原數先以兩整相
　　減十內減六餘四此乃
　　異母以兩母乘得八為
　　共母乃子母互乘為子以右子一乘左母四得四為右併子以左子三乘右母二得六為左併子當於八之四內減八之六然四少六多不能減湏於既減之餘整四內抽出一數以共母化為八又併右併子四為十二化為八之十二於此內減去八之六餘八之六整數止存三是減餘為三零八之六
　　整及零內減零式整數不動乃併母子以兩母乘得三百六十三為共母母子互乘右得十一為併子左得一百三十二為併子當於右內減左而右併子少乃於整九內抽出一數依共母化為三百六十三併入右併子十一為三百七十四乃於此內減右併母子餘三百六
　　十三之二百四十二整
　　九止存八是減餘為八
　　零三百六十三之二百
　　四十二〈可約為八零三之二〉
　　通曰乘除內用加減加減內亦用乘除故四法通而一法通也
　　試減差法
　　試同母式以減餘子三併入左子五為八合右子即以減餘子三於右子八內
　　減之餘五亦合左子無差
　　試異母式以減餘二十七之六與左三之二相加合右九之八此兩母乘得八十一為共母以減餘子乘左母得十八乘右母得五十
　　四再併為七十二得八十一之七十二約之為九之八
　　奇零乘法
　　術曰兩零相乘當以母乘母子乘子零與整乘則置整數與零並列而整數上立一數為母與零母並列依母乘母子乘子之法也其不止一整者或俱有帶零者法詳後
　　零與零乘式四之三與三之二相乘以兩母乘得十二為乘母兩子乘得六為乘子是乘為一十二之六
　　零與整乘式五之四與整八相乘乃以八上立一為母
　　作一之八與五之四並列依法乘
　　得五之三十二通曰但以整數乘
　　零數之子為乘子可也
　　整帶零與整乘式整三零六之五與整八相乘先以右
　　整三與母六乘得十八併子五
　　得二十三為子化為六之二十
　　三以左整八上立一為母並列依法乘得六之一百八十四
　　整帶零與零乘式四零三之二與二之一相乘依法右
　　位整乘母得十二併子二得十
　　四為三之十四與左零數並列
　　乘得六之十四
　　整帶零與整帶零乘式四零二之一與三零五之一相
　　乘依法整三與母五乘得十五
　　併子一得十六左為五之十六
　　整四與母二乘得八併子一得九右為二之九並列乘得一十之一百四十四
　　通曰竒零與常法不同常法皆乘少為多今或乘多為少葢借用虛數實非乘多為少也
　　試乘差法
　　通曰乘用除試除用乘試葢奇零試差皆彼此還原也式以前零與零乘式試之以乘得十二之六為原數以
　　其兩相乘之數皆為
　　除數但湏倒位前曰
　　三之二今曰二之三前曰四之三今曰三之四乃以除數右母二乘原母十二得二十四以除數右子三乘原子六得十八是為二十四之十八約為四之三而合上左其左位依法還原為三十六之二十四約為三之二亦合上右
　　奇零除法
　　術曰兩零相除右列原數左列除數卻將除數倒列子母而與原數並列亦用母乘母子乘子之法乘出數即除出數也
　　零除零式二之一為實列右六之一為法列左倒為一
　　之六乃與二之一並列母乘母
　　子乘子即得除出數為二之六
　　也
　　零除整式整六為實三之二為法法倒為二之三實立
　　一為母作一之六乃並列相乘得
　　除出數
　　通曰乘除本互用於此可見
　　整帶零除整式六為實四零三之二為法以母三乘整
　　四為十二併子二為十四
　　化為三之十四再用零除
　　整法得除數
　　整除零式三之二為實整六為法以六上立一為母又
　　倒為六之一與三之二並列乘得
　　除數
　　整除整帶零式六零二之一為實三為法以整六乘母
　　二得十二併子一得十三化為二
　　之十三整三立母倒位並列乘之
　　整帶零除零式三之二為實六零二之一為法以整六
　　乘母二得十二併子一得
　　十三化為二之十三倒位
　　乘之
　　零除整帶零式六零二之一為實四之三為法以整六
　　乘母二併子一得十三化為二之
　　十三倒法位乘之
　　整帶零除整帶零式六零二之一為實三零五之二為
　　法依法實化為二之十三
　　法化為五之十七倒法位
　　乘之
　　試除差法
　　式以前零除零式試之以乘得二之六列右除數六之
　　一列左母乘母子乘子
　　得十二之六約為二之
　　一合右原數無差
　　重零除盡法
　　術曰歸除不盡曰奇零然有原數內本來先帶奇零者是大奇數內又有小奇數也若欲除之使盡當先歸之使一列小奇於右列大奇於左兩母相乘為總母又以小奇母乘大奇子併入小奇子為共子此即是除盡之數
　　大奇內有小竒式四人分一十五零三之二其不盡者整三零三之二也三之二為小奇四之三為大奇兩母乘得十二為共母小奇
　　母乘大奇子得九併小奇子二為十一作共子是一十二之一十一為除盡數也
　　大奇內小奇有小奇式若小奇內復有小奇至三至四
　　者如
　　七除
　　不盡
　　而餘
　　四數為七之四而又以此四中之一剖為五停之二又以二中之一剖為四停之三又以三中之一剖為三停之二此乃大奇內帶三小竒也先併大次兩母五七乘得三十五為母以次母五乘大竒子四得二十併入次子二得二十二為子是為三十五之二十二再併三奇以母三十五乘三奇母四得一百四十為母以三奇母四乘大次併子二十二得八十八併三奇子三得九十一為子是為一百四十之九十一再併四奇以母一百四十乘四奇母三得四百二十為母以四奇母三乘大次三併子九十一得二百七十三併四奇子二得二百七十五為子是為四百二十之二百七十五此即通併即除盡數也可約為八十四之五十五
　　大奇內有小奇用加除二法式凡大奇一位小奇止一


　　位者當用加除二法而前式葢㨗法也如第一式大奇四之三小奇三之二先用除法以小奇三之二列右止以大奇母四列左立一為母倒位並列乘得十二之二〈此用整除零法〉後用加法以除出之十二之二列右以大奇四之三列左兩母相乘得四十八為共母或母除子乘求子或母子互乘求子右子得八左子得三十六併得四十四是積為四十八之四十四也〈此用異母加法〉約得一十二之一十一而合除盡數矣
　　附鋪地錦
　　乘式有物二十三件每件價銀五錢六分五釐問共若
　　干曰一十二兩九錢九分五釐術
　　物數為實列上價數為法列旁相
　　呼填數於格內呼畢斜格成總也
　　先呼三五一十五次呼三六一十
　　八次呼三五一十五填三下之格內後呼二五得一十二六一十二二五得一十填二下之格內乃斜取總數一為一十一一為二兩五一二一為九錢八一為九分五為五釐也
　　除式有銀九十四兩五錢買物七十斤問每斤若干曰





　　一兩三錢五分術先畫圖置銀數於內為實以物數為法自下左旋而上而右止用珠算歸除訣先除九十起曰逄七進一十填在左圖右格為一兩又曰七二下加六次除四兩因加六作十曰逄七進一十將此一併九十圖內存二作三填在九十圖左格為三錢又曰七三四餘二次除五分因加二作七曰逄七進一十將此一併四兩圖內作四又作五填在四兩圖右格為五分共得一兩三錢五分也
　　洛書算
　　通曰洛書用九八卦旋中加升減降法異理同九內易位越十移宮過去未來用之無窮












　　加式有四錢五分又三錢四分又三兩五錢問共若干曰四兩二錢九分術每圖用棋子一枚先呼四錢五分將錢圖棋子置四上分圖棋子置五上又呼三錢四分將錢圖四上棋子移置七上〈四加三〉分圖五上棋子移置九上〈五加四〉又呼三兩五錢將兩圖棋子置三上卻以錢圖七上棋子加五成一十二移置本圖二上而兩圖三上棋子加一成四移置四上乃視各圖棋子所在為總數也
　　減式先將總數棋子照圖安置逐呼逐減即得

　　通曰又有一筆錦之法似筆算而疊改不同又有一掌金之法五指每指九位分三行自下而上曰一二三又自上而下曰四五六又自下而上曰七八九臨算暗記殊覺可笑即鋪地錦乘尚似籌而除則不可用矣惟洛書算為便並列圖數而求之雖乘除亦可得也












　　數度衍巻三