新法算書 (四庫全書本)/全覽4

新法算書　全覽4



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷九十三　　明　徐光啟等　撰測量全義卷七　　球面曲線形
　　圏內線相當之理
　　每弧毎角有八種線曰正曰正切線曰正割線曰正矢曰餘曰餘切線曰餘割線曰餘矢幷全數為九種諸線內各有相當之理皆依三邊形等角比例法〈㡬何六卷四題〉
　　如上圖丙丁為正弧甲丁為正
　　丙辛為正切線乙辛為正割線甲
　　丙為正矢戊丁為餘己壬為餘
　　切線乙壬為餘割線戊己為餘矢乙己乙丁乙丙皆全數也即辛丙乙壬己乙兩形相似何者己丙兩直角己乙辛丙為平行線辛乙直線割兩平行即其相對兩內角必等既丙辛乙壬乙己兩角等即其對邊相似
　　一全數為正餘割線兩率之中率
　　如丙丁弧之正為甲丁全數為
　　丁乙餘割線為乙壬則甲丁與丁
　　乙若乙己與乙壬矣丁乙乙己皆
　　全數必等則甲丁與丁乙若丁乙與乙壬也
　　又全數為餘正割線之中率如戊丁與丁乙若丁乙〈與乙丙等故〉與乙辛
　　一系凡四率全數為中率〈或二或三〉若第一率
　　為正即棄正而變餘割線為中率全
　　數為第一省而一　若第一率為餘則
　　變正割線為中率　若第一率為正割線則變餘若第一率為餘割線則變正　凡所變者皆以易全數而使為第一率
　　論曰凡有連比例之三率一率與二〈如二與六〉若二率與三〈如六與十八〉別有二數其比例若連理之一率與二〈如八與二十四〉即可代用或連理之一率與二〈如二與六〉若他數與別數〈八與二十四〉可也或連理之二率與三〈六與十八〉若他數與別數〈八與二十四〉亦可也為其比例等故也〈皆三之一〉今連理之一率為甲〈正〉二率為乙〈全數〉三率為丙〈餘割線〉次有斷理之第三率丁第四率戊即可代用謂一甲〈正〉與二乙〈全數〉若三丁與四戊可也謂二乙〈全數〉與三丙〈餘割線〉若三丁與四戊亦可也是於連理之三率二比中棄前比而用後比初以全數為第二餘割為三今以全數為一餘割為二也如三十八度一十七分之正六一九五五與全數若三十度之正與某數常法二三率相乘以一率為法而一得第四今法用三十八度一十七分之餘割線一六一四○七為二率以易全數而為第一以二三率相乘即得第四何者正全數餘割線為連比例故也二系凡四率中無全數若第一率為正則變餘割線為第一率若第一率為餘則變正割線為第一率法用一二率相乘得數以全為法去後五位所存若干位與全數等而一又以乘第三率得數如前而一得四率〈名為而一者再皆以全數為法止減末位不難也常法一乘一除此用兩乗猶是㨗法〉
　　假如一十八度四十○分之正三二○○六與二十五度三十七分之正四三二三一若六十三度三十二分之切線二○○八六二與某數其常法二三率相乘第一率而一今用㨗法取一十八度四十分之餘割線三一二四三九乘第二率四三二三一得一三五○七○○○○○○為實以全數為法而一得一三五○七○又以第三率一二四三二二乘之得一六七九二二○○○○○以全為法而一得一六七九二二為四率
　　二三○七三五　六十四度十九分之正割線
　　又假設三率如一二二三四一
　　二三四三二
　　第一率變取六十四度十九分之餘四三三四○以乗第二率得數減後五位以所存乘第三率得數又減
　　後五位所存即第四率
　　二全數為正餘兩切線之中率
　　如上圗辛丙與丙乙若乙己與己壬
　　何者丙乙乙己皆全數則辛丙丙乙〈或乙己〉己壬為三率連比例
　　系凡四率斷比例全數為中率若第一為正切線變餘切線為中率以易全為第一若第一為餘切線變正切線為中率以易全為第一
　　三正與餘若全數與餘切線餘與正若全數與正切線
　　如前圗甲丁與丁戊〈即甲乙故〉若乙己與己壬戊丁〈即甲乙故〉與甲丁若乙丙與丙辛
　　系四率斷比例若一二率為正與餘變為全數與餘切線若為餘與正變為全數與正切線
　　四凡兩弧之正割線與其餘為互相視之線兩弧之餘割線與其正為互相視之線
　　如上圗丙癸丙丁兩弧丙癸弧之正
　　割線為乙寅丙丁弧之正割線為乙
　　辛丙癸弧之餘為庚癸丙丁弧之
　　餘為戊丁則乙寅與乙辛若戊丁
　　與癸庚
　　論曰全數在正弧〈丙癸〉為其正割線〈乙寅〉及其餘〈癸庚〉之中率在他弧〈丙丁〉亦為其正割線〈乙辛〉及其餘〈丁戊〉之中率兩理之各前後矩內形各與全數上方形等〈各為其中率故〉即兩矩內形自相等其邊互相視〈㡬何六卷十四〉
　　五凡兩弧之正切線與其餘切線為互相視之線同上論卷中諸圏皆以曲線當圎球之大圏相交相截人目視球曲面或近或逺或上或下或左或右所見不同有時視曲線而為直線即同是曲線而形象不一葢平面圖球不能盡球之理宜從論説中領其意義乃得耳
　　圓球原本內借論題　　古徳阿多西阿撰
　　一大圏皆與球同心　系大圏皆相等若從大圏分球過心必為兩平分〈一卷六〉
　　二兩大圏於球上相交各為兩平分
　　三反之兩圏於球上相分為兩平分必兩皆大圏〈一卷十一十二如赤道黃道等〉
　　四大圏過他圏之兩極必相交為直角〈一卷十五題如子午圏過赤道極則兩圏交處皆為直角〉
　　五大圏與本極距一象限九十度
　　六大圏交兩大圏若作直角則元圏之極在兩圏之交如赤道與極至交圏極分交圏為直角則兩圏之交在赤道極
　　七大圏三百六十平分之小圏亦然但小圏去離大圏一分其小圏之各分必小於大圏之各分
　　八兩大圏相交其交角必等或上或下兩角幷必等兩直角與直線相交同理
　　九球上大圏不能相偕為平行弧一心止一圏故也若同心而能為多圏則是距等小圏非大圏矣
　　分球上三角形之各類
　　球上圏相交成三角形若三皆大圏之弧此形為大測之本〈若有小圏之一弧即未能定圏大小之數安能定其弧數明大測不用小圏之弧也〉
　　球上角形或三邊等其角必等邊之度若四之一〈九十度〉則角為直角過四之一則鈍角不及則鋭角〈如正球之赤道地平子午圏皆相交為直角則各邊俱九十度〉
　　或二邊等其對角亦等若邊過象限為鈍角不及為鋭角或各邊不等各角亦不等
　　球上角形或三直角其邊皆四之一或兩為直角其兩對邊皆四之一此二類自明勿論所論者一為直角餘或鈍或鋭各有本法如左
　　一圗外大圏內兩大圏分皆相交為直角則各圏之極在他兩圏之交〈用號作十者指直角作○者指鈍角作丨者指鋭角邊雲多者謂過四之一雲少者謂不及四之一〉
　　二圗兩直角形第三角或鋭或鈍〈己上二圗俱不論〉
　　三圗甲乙丙形甲為直角餘皆鋭其邊少甲丙戊形甲直角丙鈍戊鋭鈍角之對邊大即甲已戊弧鋭角之對邊小即甲丙弧或一直角兩鈍角如乙丙丁形乙丙兩鈍角其對邊過四之一即乙壬丁弧
　　凡兩角或鋭或鈍若同𩔖其間所容弧不及四之一直線三角形與球上曲線三角形異理
　　一直線形之三角幷與兩直角等曲線形之三角幷其數不定但不能及四直角〈四直角者三百六十度也〉
　　二直線形得兩角即得其三曲線形否
　　三直線直角形有兩邊以句股開方法求其三曲線形否四直線形有三角不能求三邊若干但得其比例耳曲形設三角可推三邊若干
　　五直線形各邊能當全數曲線之各邊否
　　六兩直線形等角即兩形之邊有比例曲線等角形之邊必等
　　七直線形但有一易法以垂線分元形是也曲形有六易法
　　八直線形不過二種一直角二或鈍或鋭角其邊雖有長短不變其𩔖曲形邊有大小其法不同
　　球上斜三角形因各角各邊不等分為九種〈或恆用或否俱見下文〉第一三角皆鋭其邊皆小於四之一〈如第一圖甲形〉
　　第二三角皆鈍其一邊適足四之一其二邊大於四之一〈後凡四之一皆言足小於四之一者皆言少大於四之一者皆言多如第二圗乙形〉
　　第三三角皆鈍其兩邊多一邊少〈如三圖丙形〉第四三角皆鈍其三邊皆多〈如四圖丁形〉第五一角鈍兩鋭其三邊皆少〈如三圗戊形〉第六一角鈍兩鋭其兩鋭間之一邊多鈍角之兩旁少〈如四圖己形〉
　　第七一角鈍兩鋭一鋭角之對邊少餘皆
　　多〈如三圖庚形〉
　　第八一角鈍兩鋭鈍角之對邊足餘皆少〈如二圖壬形〉第九一角鈍兩鋭其邊皆不等一多一少一足〈如二圖辛形〉



　　球上三角形相易其法有五
　　第一甲乙丙直角形甲為直角於乙甲乙丙各引長之滿象限為乙丁乙戊又甲丙邊引長之作甲丙己象限次聨丁戊引至己亦作象限〈乙丁乙戊俱象限則丁戊己弧心為乙又丙甲乙為直角乙丁戊亦直角則甲己丁己遇於己而己為乙丁弧之心〉得丙戊己直角形若甲乙丙形設甲乙乙丙兩邊若干
　　即有甲丁丙戊兩餘弧次丙戊己形有戊直角有丙戊邊即有己角〈其弧甲丁〉
　　若元形有直角之對邊及直角旁一邊即次形有直角旁一邊及其對角〈一圖〉若元形有二角即次形有一角一邊〈二圖〉
　　若元形有一角及直角之對邊即次形有直角旁兩邊
　　〈三圖〉
　　第二甲乙丙直角形於甲乙引長作乙丁象限弧乙丙引至戊甲丙引至己皆滿象限次作丁戊己象弧得丙戊己形次丙戊引至庚丙己至辛戊己至癸皆象弧次作
　　庚辛癸弧成辛己癸形此形與元形甲乙丙相當何者元形有乙丙兩角即次形有兩邊〈有乙角之弧戊丁即有其餘弧戊己有戊己弧卽有己癸邊與乙角之數等有丙角即辛庚丙形之丙角弧為庚辛其餘弧為辛癸〉
　　元形之乙丙易為癸角〈乙丙邊餘為丙戊丙戊之餘為戊庚是癸角之度〉元形之甲乙邊易為辛己癸角〈甲乙弧之餘為甲丁其對角為丁己甲或辛己癸皆甲乙之餘弧角〉
　　元形之丙甲邊易為辛己邊〈甲丙弧之餘為己丙己丙弧之餘為辛己則辛己與甲丙等〉
　　第三斜角形〈兩腰等角或鋭或鈍〉兩腰引長至半周必相遇成他形與元形相當如圖甲乙甲丙兩腰引至丁成丁乙丙他形從乙丙作乙丙己成全圏引乙甲至己丙甲至戊又成甲戊己他形此兩他形者皆與元形相當何者有甲乙邊自有其半周內之餘乙丁亦有其半
　　周內之餘甲已即乙丙與戊己等〈丙乙戊乙戊己皆半周故〉又丁角與甲角等〈凡兩大圏相交為兩角必等如黃赤二道相交於春秋分是也〉丁乙丙為甲乙丙之餘角乙丙丁為甲丙乙之餘角甲戊己為乙丙甲之餘角甲己戊為丙乙甲之餘角則元形變易而生兩形各相似相當　問本用曰元形邊大〈多於象限〉角鈍易為次形邊小角鋭三角形六問中所用也〈六問詳見後篇〉第四甲乙丙三不等形從乙甲弧作甲辰戊全圏次甲
　　角為心作丁壬辰大圏分乙角為
　　心作戊癸寅大圏分丙角為心作
　　己丑夘大圏分三圏分必相交成
　　癸寅丑形此形與元形相當而元
　　形之邊易為角角易為邊何者甲
　　壬弧滿一象限丙午同之減同用之丙壬即午壬與丙
　　甲等壬午弧限壬丑午角之度其
　　餘角為癸丑寅又甲丁乙戊皆象
　　弧減同用之乙丁即甲乙與丁戊
　　等丁戊為寅癸丑交角之度又乙
　　辛丙子皆象弧減同用之丙辛即
　　辛子與乙丙等辛子弧即辛寅子角之度則元形甲乙邊易為次形之癸角甲丙邊易為癸丑寅餘角乙丙邊易為寅角元形之三邊易為次形之三角〈邊易為角〉又元形乙角之餘易為癸寅邊甲角易為癸丑邊丙角易為寅丑邊〈角易為邊〉
　　第五凡斜角形設一角二邊法從他角作垂弧至其對弧為直角如一圖〈若不能則引長其對弧令受垂弧如二圖〉若設二角一邊法從他邊之對角作垂弧如圖乙丁丙形有丙角丙乙丙丁兩邊即作乙甲垂弧分為兩直角形其甲丙乙形有一角一邊可求其餘甲丁乙直角形先得甲乙甲丁兩邊可求其餘
　　凡底邊兩旁角為同類垂弧在形內若異類垂弧在形
　　外
　　凡曲線三角形如得實球即指畫易明直角形直角之對邊名底斜角形大角之
　　對邊名底
　　凡言直角其邊小於象限則用之大於象限則依前法變為小而用之



　　球上直角形各邊角正等線之比例
　　第一題
　　直角形人數數〈即直角之本數〉與某角之正若底弧之正與某角對邊之正
　　欲明此論宜以渾體解之今權設渾象以堅厚楮作一圓形中心折作直角半平者其弧如赤道之半周也半立者其弧如極分交圏之半周也又作一半周形合於全形之直角兩徑相切共為半圏面三一平一立一中居中者其弧如黃道之半周也中圏面上下㳺移任作若干度角如黃赤道之相距又作九十度之兩弧上合下分一置三半周之中如極至交圏為定弧一以下端㳺移平弧上恆與平弧為直角上割中弧而遇定弧於極㸃之上謂之㳺弧㳺弧之上容中平二弧之距度而此一定一㳺兩弧者皆如過極之經圏也恆偕平弧為三弧兩邊等直角形
　　今於平面作圖擬彼圓象用意推測聊足可明其諸名義亦借渾天以便識別也如上圖乙丁寅圏為赤道乙丙癸為黃道乙寅為春秋分癸為夏至午辰為南北極午癸丁辰為極至交圏午丙甲為過極經圏以限黃道
　　之經度容赤黃二道之距度
　　平置乙丁寅赤道圏從黃癸
　　下垂線為極至圏上癸丁相
　　距弧之正從赤丁上立垂
　　線遇夘癸半徑之引長線於
　　戊得戊丁與癸己平行為癸
　　丁弧之切線夘戊其割線也己夘則癸丁弧之餘也又從黃道若干度之㸃如丙作兩線一丙辛垂線為過極經圏上丙甲斜弧之正辛壬〈乙寅徑之垂線〉其餘一丙壬為寅乙極線之垂線即丙乙黃弧之正次從赤道過極兩圏之交甲立甲子直線又於寅乙〈黃赤交之對截線〉上作甲丑垂線次於乙丙癸圏黃平面上從丑作丑子為乙寅之垂線過甲子於子子甲者過極圏上丙甲弧之切線也而甲丑為甲乙赤弧之正丑夘其餘則圖中有直線直角形四一癸己夘二戊丁夘三丙辛壬四子甲丑因夘壬丑三角等故三形俱相似
　　題言癸夘〈全數〉與癸己〈癸乙丁角之正〉若丙壬〈丙乙底弧之正〉與丙辛〈丙甲為乙角之對邊丙辛其正〉
　　如上圖甲乙丙形〈凡稱甲者恆為直角〉全數〈一率〉與乙角之正〈二率〉若丙乙邊之正〈三率〉與丙甲邊之正〈四率〉此比例用㡬何五卷之六理
　　雲更之則一與三若二與四又反之二與一若四與三又反而更之三與一若四與二
　　系若以大圏割本形作戊丁直角弧則丁戊與甲丙若乙戊與乙丙〈俱用正〉
　　第二題
　　全數與某邊〈如甲丙〉之餘〈即丙戊弧之正〉若他邊〈甲乙〉之餘〈即戊角之正〉與底〈直角之對弧如丙乙〉之餘〈即丁丙弧之正〉
　　若直角形內有一鈍角或二鈍角其理同本題

　　第三題
　　直角形全數與某角〈丙〉之正〈即丁丙戊角之正〉若設角〈丙〉旁邊〈甲丙〉之餘〈即戊丙底之正〉與其邊對角〈乙〉之餘〈即丁戊邊之正〉此題之丁丙戊形與一題之甲乙丙皆有底有一角其
　　理同也
　　一系依相當第四法及此第一題顯全數與乙角〈乙丙角互用〉之正若角對邊〈甲丙〉之餘
　　割線與底弧〈乙丙〉之餘割線〈三四率各有正可用其餘割線當之〉二系依相當第四法及第一題顯全數與底〈乙丙〉之正若某邊〈甲丙〉之餘割線與對角〈乙〉之餘割線〈三四率有正互易為餘割線〉
　　三系依相當第一法及此第一題顯全數與某角〈乙〉之餘割線若對邊〈甲丙〉之正與
　　底〈乙丙〉之正〈第一題之比例為角之正與全若角對邊之正與底之正相當法則以正當餘割線也〉
　　四系依相當第一法及此第一題顯全數與底〈乙丙〉之餘割線若邊〈甲丙〉之正與對角〈乙〉之正〈一題內底之正與全若邊之正與角之正今易底之正為餘割而居第二以全為第一〉
　　五系依相當法第四及第二題顯全數與某邊〈甲丙〉之餘若底〈乙丙〉之割線與他邊之割線〈二題雲全與邊之餘若他邊之餘與底之餘此雲底之割線與邊之割線葢以割線當餘而為三四率也〉
　　六系依相當第一法及第二題顯全與某邊〈甲乙〉之割線若底〈乙丙〉之餘與他邊〈甲丙〉之餘〈第二題之四率反用之為二與一若四與三則第一率為餘第二率為全數也今依相當一法易之為全與割線〉
　　七系依第四相當法及三題顯全數與角〈乙〉之正若他角〈丙〉之割線與他角對邊〈甲乙〉之割線〈三題言全與角之正若設角旁邊之餘與他角之餘今用相當第四法反四率為三三率為四易餘為割線葢兩弧之餘與其正割線為互相視之線〉
　　八系依三題第四相當法顯全與邊〈甲丙〉之餘若邊對角〈乙〉之割線與他角〈丙〉之餘割線〈三題三四率邊旁角之正與他角之餘今互變邊對角之割線與他角之餘割線〉
　　九系依相當第一法及第三題之四率前後易之顯全數與角之餘割線若他角之餘與其對邊之餘十系三題之四率前後相易用第一相當法顯全與邊之割線若邊對角之餘與他角之正
　　十一系因一系反理及相當一法顯全與角之割線若底之餘割線與角對邊之餘割線
　　十二系因上五系反用其率及相當一法顯全與邊〈甲丙〉之割線若他邊之割線與底之割線
　　十三系因九系反用其率及相當一法顯全與角之餘
　　割線若邊之割線與其對角之割線

　　第四題
　　曲線直角形其全數與角〈乙〉之切線若角旁邊〈甲乙〉之正與角對邊〈甲丙〉之切線〈如前圗〉
　　解用一題平面全圖之甲乙丙
　　形甲為直角戊丁為甲乙丙角
　　之切線甲丑為甲乙邊之正
　　子甲為丙甲邊之切線可見夘
　　丁與乙角之切線丁戊若乙角旁邊甲乙之正甲丑與乙角對邊甲丙之切線甲子〈三角形皆相似故見一題〉
　　系用相易第一法則全與邊〈甲乙〉之餘切線〈或丁甲弧之正切線或戊己丙角之正切線〉若邊旁角乙之餘〈即戊己弧之正〉與底之餘切線〈即丙戊之正切線〉　按本題第二率為乙角之切線系易為丁戊之餘弧或己戊邊三率為角旁邊〈甲乙〉之正系易為邊〈戊己〉旁角〈己〉
　　或丁甲弧之餘〈即甲乙正〉四率為角對邊〈甲丙〉之切線系易為底之餘切線或甲丙弧之正切線
　　二系全與底之餘〈或甲丙邊之正〉若角〈丙〉之切線〈兩形為交角〉與他角〈已〉之餘切線〈即甲乙邊之正切線〉
　　三系依相當五法餘切線能當正切線〈二三率可互易〉為全數與邊之正若他邊之餘切線與其對角之餘切線四系若一二三四率反用為二與一若四與三即變第一率切線為餘切線則為全數與角之餘切線若角對邊之切線與他邊之正
　　向下諸系皆用相當法及反理省文不解
　　五全數與邊之餘切線若他邊之切線與其對角之切線
　　六全與角之餘若底之切線與角旁邊之切線七全與邊之切線若底之餘切線與角旁邊之餘八全與角之割線若底之餘切線與角旁邊之餘切線九全與底之割線若角之餘割線與他角之切線十全與角之餘切線若他角之餘切線與底之正十一全與邊之餘割線若邊旁角之餘切線與他邊之餘切線
　　十二全與邊之餘切線若邊對角之切線與他邊之餘割線
　　十三全與角之割線若角旁邊之切線與底之切線十四全與底之切線若邊之餘切線與邊旁角之割線十五全與角之切線若他角之切線與底之割線因上四題即每一設形有十二算法　今設甲乙丙一形有乙丙底〈三十度〉及甲丙邊〈十一度三十一分〉求乙角一為乙丙邊之正〈五○○○○〉與全〈十萬分〉若甲丙之正〈一九九六五〉與乙角之正〈三九九一〉
　　〈三〉查得二十三度三十一分三十○抄
　　二為全〈十萬〉與丙乙之正〈五○○○○〉若甲丙之餘割線〈五○○八六九〉與乙角之餘割線〈二二○六一七〉
　　三為甲丙之餘割線〈五○○八六九〉與全〈十萬〉若丙乙之餘割線〈二○○○○○〉與乙角之正〈三九九一三〉
　　四為全〈十萬〉與甲丙之正〈一九九六五〉若乙丙之餘割線〈二○○○○○〉與乙角之正〈三九九一三〉
　　五為乙丙之餘割線〈二○○○○○〉與全〈十萬〉若甲丙之餘割線〈五○○八六九〉與乙角之餘割線〈三二○六一七〉
　　六為甲丙之正〈一九九六五〉與全〈十萬〉若乙丙之正〈五○○○〉與乙角之餘割線〈二二○六一七〉
　　七為乙丙之餘〈八六六○三〉與乙丙之餘切線〈一七三二○五〉若甲丙之正〈一九九六五〉與乙角
　　之正〈三九九一三〉
　　八為乙丙之餘切線〈一七三二○五〉與乙丙之餘〈八六六○三〉若甲丙之餘割線〈五○○八六九〉與乙角之餘割線〈二二○六一七〉九為乙丙之正〈五○○○○〉與甲丙之切線〈二○三七六〉若甲丙之餘〈九七九八七〉與乙角之正〈三九九一三〉
　　十為甲丙之切線〈二○三七六〉與乙丙之正〈五○○○○〉若甲丙之正割線〈一○二○五五〉與乙角之餘割線〈二二○六一七〉十一為甲丙之割線〈一○二○五五〉與乙丙之餘割線〈二○○○○○〉若甲丙之切線〈二○三七六〉與乙角之正〈三九九一三〉十二為甲丙之正〈一九九六五〉與乙丙之切線〈五七七三五〉若乙丙之餘〈八六六○三〉與乙角之餘割線〈二五○六一七〉以上十二法俱可得乙角因除法為繁故約用乘法如下方


　　球上直角形相求約法
　　球上直角三邊形有三角三邊此六者有三可推其餘交互為三十求各以乘法得之
　　第一設乙丙兩角〈凡甲皆直角乙丙或鋭或鈍〉一求甲乙邊為全數與乙角之正若丙角之割線與甲乙邊之割線或全與乙角之餘割線若丙角之
　　餘與甲乙邊之餘　丙角定數
　　解曰同類者或皆過九十度或皆不及若丙角過九十度則所求之邊亦過九十若丙角不及九十度所求之弧亦不及下倣此
　　二求甲丙〈甲丙甲乙兩邊互用乙丙兩角亦互用〉為全數與丙角之正若乙角之割線與甲丙邊之割線　或全與丙角之餘割線若乙角之餘與甲丙邊之餘　乙角定類三求丙乙〈對直角之底〉為全與乙角之切線若丙角之切線與乙丙邊之割線　或全與
　　乙角之餘切線若丙角之餘切線與乙丙邊之餘或乙或丙兩角定類
　　凡定類有二號者若二號為同類所得為不足九十度若兩號為異類所得為過九十度
　　第二設乙角及乙甲邊　四求丙角為全與乙角之餘割線若乙甲邊之割線與丙角之割線　或全與乙甲邊之餘若乙角之正與丙角之餘〈直線直角形設一得二取其較也此與異者曲直兩線為異類故也〉　甲乙弧定類
　　五求甲丙邊為全與甲乙之正若乙角之切線與甲丙邊之切線　或全與乙甲邊之餘割線若乙角之餘切線與甲丙邊之餘切線
　　乙角定類
　　六求乙丙邊為全數與乙角之割線若甲乙邊之切線與乙丙邊之切線　或全數與乙角之餘若甲乙邊之餘切線與乙丙邊之餘切線　乙角或甲乙邊定類第三設乙角及甲丙邊　七求丙角為全數與甲丙邊之割線若乙角之餘弦與丙角之正或全數與甲丙邊之餘若乙角之割線
　　與丙角之餘割線　乙角或甲乙邊定類
　　八求甲乙為全數與甲丙邊之切線若乙角之餘切線與甲乙邊之正　或全數與甲丙邊之餘切線若乙角之切線與甲乙邊之餘割線　乙角或甲丙邊定類九求丙乙為全數與乙角之餘割線若丙甲邊之正與丙乙邊之正　或全數與乙角之正若丙甲邊之餘割線與丙乙邊之餘割線　乙角定類
　　第四設乙角及乙丙邊　十求丙角為全數與乙丙之割線若乙角之餘切線與丙角之切線　或全數與乙丙邊之餘若乙角之切線與丙角之餘切線　乙角及乙丙定類
　　十一求甲乙為全數與乙角之餘若丙乙邊之切線與甲乙邊之切線　或全數與乙角之割線若乙丙邊之餘切線與甲乙邊之餘切線　乙角及乙丙定類十二求甲丙為全數與丙乙邊之正若乙角之正與甲丙邊之正　或全數與丙乙邊之餘割線若乙角之餘割線與甲丙邊之餘割線　乙角定類第五設丙角及甲乙邊　十三求乙角為全數與甲乙邊之割線若丙角之餘與乙角之正　或全數與甲乙邊之餘若丙角之割線與乙角之餘割線　丙角定類
　　十四求甲丙邊為全數與甲乙邊之切線若丙角之餘切線與甲丙邊之正　或全數與甲乙邊之餘切線若丙角之切線與甲丙邊之餘割線　甲乙邊定類十五求乙丙為全數與丙角之餘割線若甲乙之正與乙丙邊之正　或全數與丙角之正若甲乙邊之餘割線與乙丙邊之餘割線　丙角定類
　　第六設丙角及甲丙邊　十六求乙角為全數與丙角之餘割線若甲丙邊之割線與乙角之割線　或全數與甲丙邊之餘若丙角之正與乙角之餘　甲
　　丙邊定類
　　十七求甲乙邊為全數與甲丙邊之正
　　若丙角之切線與甲乙邊之切線　或全數與甲丙邊之餘割線若丙角之餘切線與甲乙邊之餘切線　丙角定類
　　十八求乙丙邊為全數與丙角之割線若甲丙邊之切線與乙丙邊之切線　或全數與丙角之餘若甲丙邊之餘切線與乙丙邊之餘切線　丙角及甲丙邊定類
　　第七設丙角及丙乙邊　十九求乙角為全數與丙乙邊之割線若丙角之餘切線與乙角之切線　或全數與丙乙邊之餘若丙角之切線與乙角之餘切線　丙角及丙乙邊定類
　　二十求甲乙邊為全數與丙乙邊之正若丙角之正與甲乙邊之正　或全數與乙丙邊之餘割線若丙角之餘割線與甲乙邊之餘割線　丙角定類二十一求甲丙邊為全數與丙角之餘若丙乙邊之切線與甲丙邊之切線　或全數與丙角之割線若丙乙邊之餘切線與甲丙邊之餘切線　丙角及丙乙邊定類
　　第八設甲乙甲丙兩邊　二十二求乙角為全數與甲乙邊之餘割線若甲丙邊之切線與乙角之切線　或全數與甲乙邊之正若甲
　　丙邊之餘切線與乙角之餘切線　甲丙邊定類二十三求丙角為全數與甲丙邊之餘割線若甲乙邊之切線與丙角之切線　或全數與甲丙邊之正若甲乙邊之餘切線與丙角之餘切線　甲乙邊定類二十四求乙丙邊為全數與甲乙邊之割線若甲丙邊之割線與乙丙邊之割線　或全數與甲乙之餘若甲丙之餘與乙丙之餘　甲乙甲丙定類第九設甲乙乙丙兩邊　二十五求乙角為全數與丙乙邊之切線若甲乙邊之餘切線與乙角之割線　或全數與乙丙邊之餘切線若
　　甲乙邊之切線與乙角之餘　甲乙及乙丙定類二十六求丙角為全數與乙丙邊之餘割線若甲乙邊之正與丙角之正　或全數與丙乙邊之正若甲乙邊之餘割線與丙角之餘割線　乙角定類二十七求甲丙邊為全數與甲乙邊之餘若乙丙邊之割線與甲丙邊之割線　或全數與甲乙之割線若乙丙之餘與甲丙之餘　甲乙及乙丙定類第十設甲丙乙丙兩邊　二十八求乙角為全數與丙乙邊之餘割線若甲丙邊之正與乙角之正　或全數與乙丙邊之正若甲丙邊之餘割線與乙角之餘割線　甲丙邊定類
　　二十九求丙角為全數與乙丙邊之切線若甲丙邊之餘切線與丙角之割線　或全數與乙丙邊之餘切線若甲丙邊之切線與丙角之
　　餘　甲丙及丙乙定類
　　三十求甲乙邊為全數與甲丙邊之餘若乙丙邊之割線與甲乙邊之割線　或全數與甲丙邊之割線若丙乙邊之餘與甲乙邊之餘　甲丙及丙乙定類












　　球上斜角形各邊角正等線之比例
　　第一題
　　各角之正與其對邊之正皆為同比例
　　若形是直角則借彼第一題為全數〈甲〉與某角〈乙〉之正若底弧〈乙丙〉之正與某角
　　〈乙〉對邊〈甲丙〉之正則用更理為甲角全數與其對邊乙丙若乙角與甲丙或若丙角與甲乙用反理亦然〈凡不言某線者皆正也下倣此〉
　　若斜角形借相易第五法如丙丁乙形從乙從丁從丙作乙甲丁戊丙壬各垂弧至其對邊為直角因前論甲乙丙角與甲丙邊甲乙丁角
　　與甲丁邊為同比例合之丙乙丁角之正與丙丁邊之正若乙丁丙角之正與乙丙邊之正〈若戊為直角則戊丁丙角與戊丙邊若戊乙丁角與戊乙邊合之乙丁丙角與丙乙邊若某角與某邊或用壬直角其理不異〉若甲直角在形外其理亦同　如乙丙甲乙甲丁兩角對乙甲乙丁兩邊乙丁甲乙甲丙兩角對甲乙乙丙兩邊各減共用之甲直角即丙
　　對甲乙乙丁兩邊丁對甲乙乙丙兩邊又各減共用之甲乙則丁角之正與乙丙邊之正若丙角之正與乙丁邊之正乙角與丁丙邊同理
　　第二題
　　四率斷比例若第一率為全數則全數上方與二三率之矩內形若第一率與第四率
　　解曰甲乙全數線上方〈數與線兩類相當互解〉丙丁丙戊為二三率之矩內方己方形之容與丁戊矩方等又甲乙丁丙丙戊壬四線為斷比例題言甲乙上方與丁戊矩方若甲
　　乙線〈一率〉與壬線〈四率〉
　　論曰因㡬何〈六卷十〉甲乙壬兩率矩內形與丁戊兩中率矩內形等或與已方形等即甲乙己壬三線為連比例第一率上方與第二率上方若第一率與三率等〈六卷十七〉則全數〈甲乙〉上方與二三率之矩內方〈丁丙丙戊矩丙形或已形〉若甲乙線〈一率〉與壬線〈四率〉
　　系若二三率為切線或割線或正即相乘以全數除之得第四率
　　第三題
　　球上斜角形全數上方形與兩腰之正矩內形若兩腰間角之矢與兩矢之較兩矢者其一為底弧〈即角對邊〉之之矢其一為兩腰較弧之矢
　　圗説乙丙丁斜角形於乙丙乙丁引長之各滿半周遇於戊其極線為戊己乙己為心戊丙乙己為平面上半
　　圈戊丁乙為斜面半
　　圈兩半圈各平分於
　　辛於寅作己辛己寅
　　已丙皆半徑又作寅
　　辛弧即乙角之弧也其正為寅庚其矢為庚辛又取乙壬弧與乙丁腰等作丁壬小圏之弧次從丁作丁甲從壬作壬甲各為戊乙之垂線則小圏之半徑亦為乙丁腰之正〈即丁戊弧之正〉次從丁作丁酉即丁壬小圏弧之正其矢為酉壬又取丙癸弧與底弧丁丙等又從乙從壬從癸向丙己半徑作乙辰壬夘癸午各垂線末從酉向壬夘作酉子垂線
　　解曰乙辰為乙丙小腰之正其矢辰丙寅庚為乙角〈亦寅辛弧〉之正其矢庚辛午夘為兩腰較弧〈壬丙〉之正其
　　矢夘丙癸午為底〈丁丙亦丙
　　癸之正〉其矢午丙午
　　夘〈酉子同〉為兩腰較弧〈壬丙〉之矢〈夘丙〉與底弧〈丁丙或丙癸〉
　　之矢〈午丙〉之較矢丁甲〈壬甲同〉為乙丁大腰之正題合全數〈乙己丙己之類〉上方形與乙辰偕壬甲兩正矩內形若辛庚〈乙角之矢〉與兩矢之較午夘
　　論曰丁甲酉寅己庚兩形相似〈酉與庚皆直角甲己兩角之腰平行又同在兩靣內即等〉則寅己全數〈辛己同〉與庚己若乙丁弧之正丁甲〈壬甲同〉與酉甲或辛己〈寅己同〉與庚己若壬甲〈丁甲同〉與酉甲依㡬何〈五卷十九〉之論辛己與辛庚若壬甲與壬酉〈全與全兩所截取之分比例等則兩截取之餘分必等〉或辛己〈全數〉與壬甲〈乙丁大腰之正〉若辛庚〈乙角之矢亦寅辛弧之矢〉與壬酉〈丁壬弧之矢〉
　　又乙己辰壬子酉兩直角形相似〈壬夘乙辰兩線平行即壬甲乙三角幷為一形之角而甲壬夘為辰乙己角之餘又辰己乙角為乙角之餘則與夘壬甲角必等〉則乙己〈全數〉與乙辰〈乙丙小腰之正〉若壬酉〈丁壬弧之矢〉與子酉〈兩矢之較也午夘同〉同乘理之法兩理〈前兩比例〉之第一率〈一辛巳一乙己〉相乘得全數上方形兩理之第二率〈一乙丁大腰之正壬甲一乙丙小腰之正乙辰〉相乘得兩弧之正矩內形依合理〈㡬何五卷〉為若乙角之矢辛庚〈一理之第三率〉與兩矢之較子酉〈二理之第四率〉
　　系斜角形全數與所得之第四率〈第四率者如上題全數為一率兩腰之正為二三率用三率法乗除所得則第四率也〉若兩腰間角之矢與某矢〈某矢者兩矢之較兩矢者一為底弧之矢一為兩腰較弧之矢〉
　　二系斜角形全數上方形與兩角之兩正矩內形〈或全數與第四率〉若兩角內邊之矢與某矢〈某矢者兩矢之較兩矢者一為邊對角之矢一為兩角較角之矢〉
　　解用第四相易法設角易為邊即兩弧之
　　正矩內形與兩角之正矩內形必等或兩腰內角之矢與兩角內邊之矢必等
　　第四題
　　全數上方形為兩腰〈或兩角〉兩正矩內形及兩腰兩餘割線矩內形之中率
　　解曰乙〈正〉與丙〈全數〉若丙與丁〈餘割線〉如有兩正兩全數兩餘割線各以類相乗其形依合理為比例等反之或用餘矩內形
　　及正割線矩內形亦同
　　系若兩正兩餘割線各以類相乘〈或用餘及正割線〉以全數除之所得兩數亦全數為中率
　　假如乙丙丁形〈乙丁邊五十四度五十分丁丙邊五十八度〉求其正其餘割線相乘以全數除之從尾截去若干位所存如全數之位則〈五十四度五十分之正八一七四八五〉
　　〈十八度之正八四八○五〉相乘得六九三二六三九一四○〈五十四度五十分之餘割線一二二三二七五十八度之餘割線一一七九一八〉相乘得一四四二四五五五一八六全數為兩數之中率試之一全數上方積為實所得第一率為法除之或用減九數法亦可二系兩弧之正餘割線互乘所得兩數亦全數上方形為中率〈或用餘正割線理同〉
　　如前系一弧之正全數與其餘割線作三率連比例為第一理一弧之餘割線全數與其正作三率連比例為第二理用合理以兩理之第一率相乘得數二三亦如之所得三數之比例與前同理則一弧之正他弧之餘割線矩內形全數上方形一弧之餘割線他弧之正矩內形為三率連比例形〈如前法試之〉若三率形皆以全數除之比例如前則一弧之正他弧之餘割線相乘以全除之所得為一率全數為二率一弧之餘割線他弧之正相乘以全除之所得為三率
　　三系兩弧之正切線矩內形兩弧之兩餘切線矩內形亦全數上方形為中率〈如圖戊正切與己全若丙全與丁餘切用合理如前〉若三率形皆以全數除之所得三數之比例如前系
　　四系若一弧之正切線乘他弧之餘切線或一弧之餘切線乘他弧之正切線亦全數上方形為中率若三率形皆以全數除之比例亦然
　　五系一弧之正切線他弧之正矩內形又一弧之餘切線他弧之餘割線矩內形亦全數上方形為中率〈如上系戊正切全數丁餘切為連比例反之則丁與丙丙與戊用合理如前〉若三率形以全數除之比例亦然
　　六系一弧之餘切線他弧之正矩內形一弧之正切線他弧之餘割線矩內形亦全數上方為中率七系一弧之正切線他弧之餘矩內形一弧之餘切線他弧之正割線矩內形亦全數上方為中率八系一弧之餘切線他弧之餘矩內形一弧之正切線他弧之正割線矩內形亦全數上方為中率若各三率形各以全數除之比例皆同
　　第五題
　　無直角形從一角向其對邊為垂弧分元形為二直角形各直角對邊之餘若底弧〈受垂弧者為底〉兩分之餘解乙丙丁形從丙作丙甲垂弧甲為直角則丙丁弧之餘與丙乙弧之餘若丁甲之餘與甲乙弧之餘又兩邊之割
　　線若兩分之割線
　　論曰依前直角形第二題為全〈一〉與某邊之餘〈二〉若他邊之餘〈三〉與底之餘今用更理二率與一若四率與三以論甲丙丁形則甲丁邊之餘〈一〉與全〈二〉若丙丁〈直角形之底即直角之對邊〉之餘〈三〉與丙甲之餘〈四〉以論甲丙乙形則甲乙〈一〉與全〈二〉若丙乙〈三〉與甲丙〈四〉此二理平之則甲丁與甲乙〈兩理之兩一率〉若丙丁與丙乙〈兩理之第三率〉各弧之餘成
　　割線其理皆同〈為丙丁邊之割線與全若甲丁邊之割線與甲丙邊之餘又丙乙割線與全若甲乙割線與甲丙邊之餘今用兩理平之則一丙丁與一丙乙若三甲丁與三甲乙各弧之割線〉第六題
　　垂弧旁兩角之正若他兩角之餘
　　解甲丙丁甲丙乙兩角之正若丁乙兩角之餘又丙上兩分角之餘割線若丁乙兩角之正割線
　　解依直角第三題甲丙丁角之正〈一〉與全〈二〉若丁角之餘〈三〉與丙甲邊〈四〉又曰全〈一〉與甲丙乙角之正〈二〉若丙甲邊之餘與乙角之餘今以第二理更之為二與一若四與三又以二理平之一與一若三與三則甲丙丁角〈一〉與甲丙乙角〈一〉若丁角〈三〉與乙角〈三〉又用三題十三系可算割線之比例
　　第七題
　　垂弧旁兩弧之餘切線若垂弧旁兩角之餘
　　解丙甲垂弧遇丙丁丙乙兩邊於丙即丁丙甲角之餘切線與甲丙乙角之餘切線若丙丁邊之餘與丙乙邊之餘
　　用直角第四題依前論試之
　　又兩弧之正切線若兩角之正割線　亦用四題之系及十三系試之
　　第八題
　　垂弧旁兩弧之餘割線若垂弧相對兩角之正又兩弧之正若兩角之餘割線
　　解丙甲垂弧旁兩弧為丙丁丙乙又丙甲垂弧之對角為丁為乙　用直角三題試之
　　第九題
　　垂弧分底為二兩分之正若垂弧相對兩角之切線又兩分之餘割線若兩角之正切線又兩分之正割線若兩對邊之正切線又兩分之餘切線若兩對角之餘切線
　　右各題之理皆從直角形之理出前解已明今不贅





　　斜角形相求約法
　　凡所設為異類〈或邊與角或角與邊〉用第五易分兩直角形法見前凡形之弧或角過九十度用三四易得相似形其弧不及一象限
　　設三邊若二邊等即用垂弧分為兩直角等形各形有元形之一邊有元底之半求其角
　　解丙乙丙丁兩弧等丙甲垂弧分乙丁底及乙丙丁角各兩平分依圓球原本第一卷二十一題知兩形必等
　　若三邊各不等求某角有三法
　　其一以本角旁兩腰之正相乘以全除之得數名初得數又以兩腰之正矢相乘以全除之得數名次得數以次得數與角對邊之或相加或相減〈解見下文〉得數以全乘之以初得數除之得某角之餘
　　解凡角之對邊大以象限而角之兩腰同類〈同類者或皆大於象限或皆小〉則兩數相加〈所求之角為鈍〉角若異類則兩數相減其次得數為實〈大而受減者為實〉則角鋭次得數為法〈小而以減者為法〉則角鈍　凡角之
　　對邊小於象限而兩腰同類則兩數相減其次得數為實即角鈍次得數為法即角鋭若異類則兩數相加角為鋭角
　　其二角兩腰之〈餘割〉線相乗以全除之得初數又兩腰之〈餘〉相乗以全除之得次數以次數與角對邊之〈餘〉或加或減如前法以所得數乗第一得數以全除之〈得角之餘〉三法用前斜角三題全圗解為全數與一腰之正若他腰之正與初得數又初得數與兩矢之較〈兩矢者兩腰較弧之矢及底弧之矢此名次得數〉若全數與角之矢
　　球上三角形比類法見宗動天諸問向上諸篇皆先言其理〈諸問見本篇八卷〉
　　上法之外尚多別法或用實球從球面界畫諸圏測之或用平立環渾儀測之或用平渾儀測之或用比例規或用宗動天之象限或用規於平面畫圗以綴術算之或先算成各度分之數而列為立成表俱有本書本論本㨗法然方之前法則踈而不宻故近來厯家舍置不用也
　　古法用數以推步七政必湏句股開平立三乘方等術至繁而易紊用力多而見功少今悉置不用獨用乘除簡矣此卷中幷除法不用而獨用乘法更簡也又有加減術幷乘除俱不用然其理必繇乘除而出故先用本卷之法此法既明用之既熟然後用加減取徑㨗焉三角形有三邊求角三法假如丙丁邊十九度三十分丙戊邊十五度五十八分戊丁邊十二度九分求戊角　第一法兩腰〈戊丙戊丁〉正〈丙戊為二七五○八戊丁〉
　　〈為二一○四七〉相乘以全除之初得五七八九又餘相乘以全除之〈丙戊為九六一四二丙丁為九七七六○〉次得九三九八八丙丁邊餘為九四二六四比次得數為大〈因兩腰同類其三為小〉即戊角為鋭其較為二七六加五○以初得數除之得四七六七為角之餘查表得八十七度十六分　二法兩腰餘割線〈丙戊三六三五三三丙丁四七五一二三〉相乗以全除之初得一七一七二二九其餘如上法次得九三九八八與第三邊餘相減得較以較乗初得數以全除之得如前此法更便可免除法　三法兩腰正如上兩矢較如前解求兩腰之較度得三度四十八分其矢為二二一又對邊之矢為五七三六兩數相減得五五一五為實
　　〈得角之矢為九五二三一其度如上新法算書卷九〉
　　〈十〉
　　〈三〉














　　加五○以初數除之



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷九十四　　　明　徐光啟等　撰測量全義卷八　解正球上大圏相交之度分
　　正球之大圏有三種一為赤道二為斜截赤道之圏〈如黃道等〉三為直截赤道之圏〈直截赤道者截赤道為直角其極如正球之地平圏各處午圏時圏等〉三者相交相距是生多種三角形
　　如己甲庚為赤道丁丙寅為黃道相交於丙為斜角戊為己庚赤道圏之一極〈極者球面上大圏之心凡分球宜用球體之心體之心不可得而以大圏之心當之故不名心〉
　　〈名極亦即軸之兩端也〉從戊極作戊甲乙辛圏辛為赤道之又一極戊甲辛弧截赤道於甲為直角亦截黃道於乙成甲乙丙直角曲線形也此形之乙至丙為黃道之經度丙至甲為赤道之經度乙
　　甲為乙㸃距赤道之度〈即赤道之緯度〉丙為赤黃二道之交角乙為過兩極圏與黃道之交角甲為過極圏與赤道之交角〈即直角〉一形有三角三邊凡六種先有三可求其餘
　　一題凡有兩道極相距之度分〈交角之度分同〉及一道之經度分求其餘
　　如丙角為二十三度三十一分三十○秒丙乙為黃道經三十度〈如大梁等一宮〉求其緯度
　　乙甲〈過極圏之一弧〉此為直角形有丙角及直角之對邊丙乙求其餘三
　　一求黃道若干度之赤道緯度〈即乙甲邊〉法〈見本篇七卷直角形㨗法第七設〉為全數與丙角之正〈三九九一六〉若乙丙弧之正〈五○○○○〉與乙甲弧之正〈一九九五七〉查得一十一度三十○分四十秒即黃道經三十度之赤道緯度
　　二求正球同升之度甲丙〈若甲乙邊為正球之地平弧即丙甲丙乙兩弧必同出入名正球同升之弧也又若甲乙為子午圏即丙甲丙乙為同過子午圏之兩㸃名雖不同其理無二詳見左方〉法為全數與丙角之餘〈九一〉
　　〈六九○○〉若乙丙之正切線〈五七七三五〉與甲丙邊之正切線〈五二九三○〉查得二十七度五十三分四十三秒
　　三求乙角〈即黃道與子午等過極圏之交角〉法為全數與乙丙之割線若丙角之餘切線與乙角之切線〈若知黃白二道交角之度及太隂之本行經度可知其去離南北之度而定食限之度見月離厯及〉
　　〈本表〉
　　用上三法可作兩道各度分相距之緯度表又可作每度之同直升表又可作每度與過極圏之交角表三者其用甚大為推歩日食根本又因第一求可定月及五星距黃道之度
　　附同升解
　　黃赤二道交於春秋二分必相截爲兩平分若別大圏截兩道其交角從本圏之體勢直斜不一
　　其一大圏過兩道之兩極必與兩道相交為直角則從兩道之交至大圏之交其兩道之必等此大圏為極至交圏也因過赤黃兩道之極與兩道為直角則從春分迄夏至兩道之必等為九十度也
　　其二大圏獨過一道之兩極〈如過北極則赤道極也〉此大圏與所過極之本圏必相交為直角若與所不過之道則否從春分至過極圏之交所截黃赤兩道之必不等〈蓋兩道與過極圏交而作角必有鈍有銳為異類故也〉而此兩道之兩〈從春分起數〉名正球同升或同降之度〈正球內升降之度必等蓋地平為過極之一圏也欹球則否〉亦名同過子午圏之度〈蓋子午圏亦過赤道之極〉
　　如過極圏截黃道大梁初度〈去離春分三十經度〉截赤道二十八度弱或正球黃道大梁初度與赤道二十八度弱同升同降或同過子午圏反之亦謂正球赤道二十八度弱與黃道三十度同升同降同過子午圏其理皆同若春分迄夏至於黃道第一象限順數之秋分遡夏至則否用所得赤道升度以減象限所存數又加一象限九十度得黃道某㸃之正升度
　　如鶉尾初度距秋分三十度從秋分算得赤道同升之度二十八以減夏秋九十度得六十二以加春夏一象限得一百五十二為鶉尾初從春分起與赤道同升之度
　　若秋分迄冬至用所得赤道升度與春秋二象限一百八十度並得黃道從春分至某㸃之正升度
　　如大火初距秋分三十度從秋分算得升度二十八以加春秋一百八十度得二百○八度爲大火初從春分起與赤道同升之度
　　若從春分遡冬至則用所得赤道升度以減象限得數與春分迄春分三象限二百七十度並得黃道從春分至某㸃之正升度
　　如娵訾初距春分三十度從春分算得升度二十八以減春夏九十度得六十二以加春分迄春分二百七十二度得三百三十二度為娵訾初從春分起與赤道同升之度
　　其三大圏不過兩道之極如欹球地平大圏截黃赤二道皆爲斜角因赤道髙下作角必不等其三角形之腰亦不等則從春分計某地兩道同升之兩數名欹球同升之度
　　如順天府赤道約高五十度設大梁初度從地平上升因本法推赤道上之同升度一十八〈從春分起數〉則大梁初度及赤道一十八度爲某欹球同升之兩㸃
　　若欲定其斜入則倒球取之用彼球之卯當此球之酉用彼球之升爲此球之降則某㸃為彼球之斜同升即此球之斜同入
　　如順天府北極出地約四十度有夏至同升之度欲求其同降則用南極出地五十度之彼球以彼球之冬至為此球之夏至則彼球冬至之同升度即此方夏至之同降度
　　巳上言正球有正升度欹球有斜升度此兩數相減之較名兩升之差
　　如大梁初度之正同升二十八度順天府大梁初度之斜同升一十八度其較十度即順天府大梁初度之升差
　　已上所説用渾球解之則易明
　　二題有黃道經緯度求兩道交角之度
　　如上有直角之對邊乙丙及其旁邊甲乙而求丙角求乙角求赤道之甲丙俱用
　　本書七卷十設因設數難定不須詳別
　　三題設兩道交角之度及黃道某㸃之緯度而求其㸃之黃道經度
　　如丙為交角丁甲其對邊之緯求丙甲赤道之〈見七卷三設〉爲全與丙角之餘切線
　　若甲丁之切線與甲丙邊之正〈此即赤道經度凡經緯二數恆相連〉求丙丁黃道之為全與丙角之餘割線若甲丁邊之正與丙丁邊之正〈丙丁為黃道經即兩圏上之兩㸃丁甲恆相對同升於地平同過於子午等圏〉求丁交角為全與甲丁邊之割線若丙角之正與丁角之正〈三角形各形有十設〉
　　〈各設三求今約取其必用者解之〉
　　四題有丙交角〈丙恆為交角〉及甲丙赤道之求丁角〈黃道與過極圏之交角〉求丁丙〈黃道同升之〉求甲丁〈黃道上某㸃之緯度法見七卷第二設〉
　　解欹球上大圏相交之度分
　　正球上大圏有三種欹球則有四種地平圏一也天頂圏二也地平左右之次舍侶圏三也日出入之時圏四也與正球之三而七矣七圏者相交相距其理甚繁其用甚大
　　一題有赤道與地平交角之度〈子午圏過天頂亦過赤道極則交角之度與極出地平上之餘度必等〉又有黃道某㸃之緯若某㸃或升或降在地平求黃道與地平交角之度
　　如圖癸丙甲為地平壬寅戊為赤道丁
　　丙庚為黃道己為二道之交丙爲黃道
　　地平之交從赤道極乙㸃過丙至赤道
　　上寅㸃作乙丙寅即丙寅定黃道
　　丙㸃之緯度丙乙其餘也即甲丙乙直角形之丙角為過極圏與地平之交角又丁丙乙爲黃道與過極圏之交角兩角並得丁丙甲角　用前正球一題第三求得乙丙丁角〈彼雲乙角〉次甲丙乙形甲乙爲極出地之髙若干度乙丙爲寅丙緯之餘度用第九設第二求得之〈此問日食算中所必用故詳解之仍須作立成表〉
　　如有大梁初度〈即黃道經三十度為乙丙邊〉又有兩道之交角〈丙角二十三度三十一分半〉而求過極圏〈甲乙〉與
　　黃道之交角〈乙〉法爲全數與乙丙之割線〈一一五四三○〉若丙角之餘切線〈二二九七○○〉與乙角之切線〈二六五一四二〉查得六十九度二十分有竒
　　次求甲丙乙角〈即前本圖上形〉爲全數與乙丙邊之餘割線〈大梁初度之緯十一度三十一分其數五○○八六九〉若甲乙邊之正〈如順天府北極出地三十九度五十分其正六四○五六〉與乙角
　　之正〈五四三六七〉查得三十二度五十六分
　　先得六十九度二十分有竒次得三十二度五十六分並得一百○二度一十六分有竒即本圖甲丙丁角之度
　　若巳交角〈即黃赤交〉與丙〈即黃道地平之交〉同㸃即黃道極必在子午圏內或巳爲春交在東則以黃赤距度減赤道高即黃道地平交角之度或巳爲秋交亦在東即以距度加赤道髙或巳為春交在西亦加爲秋交在西亦減〈用渾球明之〉
　　二題有黃道某㸃之緯度及北極出地之度求本㸃出入地平之濶度〈濶度者地平之經度各㸃出入於卯正酉正其濶度或南或北惟春秋二分出入於正卯正酉若在黃道北六宮出入皆在正卯酉之北若在黃道南六宮出入皆在正卯酉之南〉如圖丁庚戊爲子午圏丁丙戊為地平庚乙己為赤道交地平於乙辛丙壬為赤道南距等圏交地平於丙從天頂子〈地平圏之極〉
　　作子甲乙為地平第一經圏乙㸃即正卯酉此圏分則出入南北之中界也次從赤道極癸作癸丙過極經圏而成甲乙丙直角形形之甲丙邊為某㸃距等圏之緯度甲乙丙角〈庚戊也〉為赤道出地之度〈北極出地之餘〉甲為直角〈從赤道極癸出線而截赤道於甲故也〉乙丙爲黃道某㸃之濶度求法用三設之第三求為全數與乙角之餘割線若甲丙邊之
　　正與丙乙邊之正
　　假如順天府赤道高五十度五分乙角也
　　其餘割線〈一三○二二三〉甲丙邊冬至之緯度也為二十三度三十一分半其正〈三九九○二〉算得乙丙邊之正〈五一九六一〉查得三十一度一十九分　因乙㸃為正卯酉癸爲北極則丙在正卯酉之南若夏至理亦同此但丙在正卯酉之北甲乙丙形在地平下而乙角〈丁己也〉爲赤道入地之度如上圖
　　三題有北極出地度及黃道之某㸃求晝夜長短〈即各欹球黃赤道同升之㸃〉
　　解曰凡測時以赤道為主何者日十二時九十六刻終古常然不以冬夏為永短赤道亦半出地上半入地下卯正至午正午正至酉正恆各滿一象限不與黃道偕盈縮二相配合則赤道過一宮而爲一時過三度四分度之三而爲一刻故赤道為各種日晷之宗法測時候之公本原也其在欹球獨春秋分日赤道一象限恆在午圏地平圏之內兩道過子午圏及出入地平常是同㸃則從午至酉赤道過子午圏而西者為九十度得二十四刻也過此以徃日躔積漸南北晝夜亦積漸永短赤道在午正左
　　右之第九十度亦積漸出地上或入地下則定晝夜分者當求赤道與日躔過極圈交㸃之度其法從北極過日體作過極圏之一為癸丙甲或癸甲丙定甲赤道之㸃其赤黃兩道之兩㸃庚辛同過子午等圏轉渾令辛㸃到地平如丙即庚㸃必至甲若太陽在北六宮庚㸃必過地平如癸丙甲在南六宮庚㸃必不到地平如癸甲丙此或過或不及之差名兩升之差〈一是正球過子午圏一是欹球過子午圏〉亦謂之晝夜長短之根今欲測辛㸃從午至入地平之刻分必先定庚甲〈庚甲大圏之度與辛丙小圏之度同在癸甲癸庚兩過極圏內必等若得庚甲自得辛丙辛丙小圏無法必用庚甲測之〉而庚乙必九十度須知甲乙然後或加或減可得甲庚即半晝分倍之得晝夜以加減四十八刻得半夜分
　　如上圖甲乙丙形有乙角為赤道與地平之交角有甲丙為某㸃之距度求甲乙則
　　全數與甲丙邊之切線若乙角之餘切線與甲乙邊之正
　　如甲丙爲冬至之距緯二十三度有竒其切線四三五三○乙角赤道之高五十度有竒其餘切線八三四一五算得三六五一一為甲乙邊之正查得二十一度二十五分以減九十度得六十八度三十五分算時刻得一十八刻四分〈每刻十五分〉二十抄〈每分六十秒〉為順天府之冬至半晝分倍之得三十六刻○　八分四十○秒為晝長以減九十六刻得五十九刻○六分二十○秒爲夜長　因上法可作諸方半晝分立成表〈見別卷〉
　　四題有赤道之高及太陽出入之濶度可得黃道本㸃之緯度亦自有其經度
　　即用上圖有乙角爲赤道之高丙乙爲大陽出入之濶求黃道之緯度甲丙亦求欹
　　球同升之差甲乙〈見七卷第四設〉
　　若有赤道之高及丙角亦可求其餘〈見七卷第一設〉
　　若置半晝分及赤道之高可得黃道本㸃之緯度及太陽出入之濶度〈若半晝分為時刻則以本法易為度分以加減九十度所得數為甲乙邊〉
　　五題有黃道某㸃及北極出地之度求欹球同升之度如上圖求得黃道某㸃之正升甲及兩升之差甲乙以此兩數或相加〈在北六宮內〉或相減得某地面黃赤兩道同升〈從春分起算〉之兩
　　如順天府析木初度正升為二百三十七度四十八分○七秒其斜升之差為一十八度兩數相加得二百五十五度四十八分○七秒則黃道爲二百四十度〈從春分起算〉赤道弧為二百二十五度四十八分○七秒為本地面兩弧同斜升之度
　　若求其同降之度則用黃道上對㸃求其斜升加一百八十度　如析木之對為實沈求實沈之斜升得三十九度四十九分加一百八十得二百一十九度四十九分即析木偕赤道同降之度
　　升降三類〈正球同升一斜球同升二正斜升之差三〉其用甚大如定晝夜長短及太陽與某星相距之度及夜以星定時刻之屬皆所必須故須詳講之熟習之〈另卷有本表及其用免算〉
　　六題有極出地之度及赤道之升度〈從所近交起算〉求黃道同升之經度
　　如圖己癸為地平午丙辛為赤道戊丁庚為黃道交地平於乙兩道之交成丁丙乙斜角形丁為兩道之交角丁丙邊為赤道上升度〈從所近交起算〉丁丙乙為赤道高丁丙癸之餘角求黃
　　道弧丁乙其法從丙角作丙甲垂弧分元形為二其甲丙丁形有丁角有丁丙邊用直角第四設求丁丙甲角丙甲邊丁甲邊次於丁丙乙角內減丁丙甲角餘甲丙乙角即甲丙乙
　　形有丙角及丙甲邊用直角第二設求甲乙以並丁甲得丁乙弧
　　上法為是丁乙黃道在北六宮若在南六宮即丁乙丙
　　斜角形有丁丙邊有丁丙兩角
　　從乙角作乙甲垂弧分元形為
　　二先於甲乙丁形求甲乙甲丁
　　次甲乙丙形有丙角甲乙邊求甲丙以並甲丁得丁丙邊
　　七題有極出地之度分多於兩道相距之餘度分求此地周歳中太陽恆見恆隱之日數
　　解曰正球之赤道及其距等圏皆與地平為直角故晝夜恆等其在欹球極高六十六度半弱〈兩道距二十三度半強之餘度〉以下者太陽日日有出入周嵗中日日有晝夜依上第三題求其晝夜分若極高六十六度半弱以上即周嵗中太陽有時恆見不隱每日周遭地平之上有時恆隱不見每日周遭地平之下以法求得其𨼆見之日數然此所得者實隠見也又因清蒙之氣入恆遲出恆早此為視隠見説見厯指一卷
　　其法以赤道之髙〈極出地之餘度〉當太陽之緯度因緯度求其經度〈從春分或秋分起數〉取經度之餘度〈即太陽去離夏至或冬至〉倍之約一度為一日得本地太陽恆見恆隠之日數
　　如上圖癸己為地平午辛為赤道乙丙為夏至壬庚為冬至乙庚為黃道子丑為兩極若太陽在夏至乙從乙轉丙丙復轉乙
　　不割癸己地平即常見若太陽至丁己距圏從丁轉己已復轉丁雖切地平於已而不割亦常見假如極出地七十六度赤道髙十四度即以當太陽之十四緯度求經得三十七度二十分其經餘五十二度四十分倍之得一百○五度二十分約一度為一日得一百○五十有竒太陽日日周行地平之上並為一晝若太陽躔南六宮則日日周行地平之下並為一夜第因清䝉之氣即視見恆在真見之前視隱恆在真隱之後各有日數因本地之𫎇氣厚薄以為多寡
　　八題有黃道交子午圏之㸃及極之髙求黃道之九十度限
　　從地平以上數至黃道之九十度名為黃平象限此推算日食所必需也黃道大圏半恆在地平上半恆在下而黃道極多不在子午圏中故上半周任交於子午圏其九十度限亦多不在子午圏也若極在東則從地平西右數至子午圏黃道之度恆過九十從地平東左數至子午圏黃道之度恆不及九十若極在西則反是故春分前後六宮從冬至迄夏至交於子午則黃平限在東秋分前後六宮從夏至迄冬至交於子午則黃平限在西今所求者此九十度限之一㸃去離天頂若干度分也其用法詳日食本論
　　法有黃道交午圏之㸃求九十度限即先求正球上在午㸃之同升赤道㸃加赤道從午至地平九十度得總數定儀求本地欹球上之黃道同升㸃於黃道在午至地平數內減九十度得黃道去離地平之九十度限也如大梁初度在午其正同升為赤道二十八度強加九十度得一百一十八度次求本地欹球〈順天府極出地四十度弱〉上之黃道同升得鶉火出地平一十一度弱於黃道從午至地平數內減九十度得大梁十一度弱為黃道九十度限在東
　　又如黃道𤣥枵初度在午其正同升為赤道三百○二度強加九十得三百九十二〈凡度數滿全周用其餘此三百九十二減三百六十即總數為三十二〉次求本地欹球上之斜同升得大梁出地平一十二度於黃道從午至地平數內減九十度得𤣥枵一十二度為黃平象限亦在東
　　系有在午之㸃及九十度限其較為午㸃至九十度限之黃道一如上第二設九十度限為𤣥枵一十二度午上之㸃為𤣥枵初度則其相距為一十二度反之有黃道之出地度求在午之㸃及九十度限法曰有地平上黃道㸃求其本地欹球上之赤道同升㸃減九十度得數求正同升之黃道上度為在午之㸃又於本㸃去離地平數內減九十度得黃平象限如大梁初度在地平本欹球之斜同升為一十八度減九十〈凡實數小法數大借全周三百六十並而減之〉得二百八十八度求其正同升之黃道上度得𤣥枵一十七度強為九十度限距午之度
　　又黃道大梁初度在地平於地平距午數內減九十度得𤣥枵初度為九十度限
　　九題有黃道交子午圏之㸃及極之髙求九十度限而不用同升度
　　如圖丁丙戊爲子午圏乙甲丁為黃道乙㸃為某宮某度分丙為天頂甲為九十度限從丙過甲作丙甲己地平經圏成甲乙
　　丙形甲為直角乙爲黃道交於子午圏之角〈見正球説有本表〉丙乙為黃道某㸃距天頂之度〈若某㸃係南六宮求其緯以減赤道髙若係北六宮求其緯以加赤道髙各得丙乙〉而求甲乙邊法為全與乙角之餘若丙乙之切線與甲乙之切線〈另卷有表又見交食厯〉
　　假如乙㸃是大梁初度則乙角為六十九度二十一分〈法見正球四題〉其餘爲三五二六六其緯一十一度三十分以加赤道髙得六十一度四十分其餘為二十八度一十分丙乙也其
　　切線為五三五四五算得一十度四十八分為甲乙弧〈上題用同升表一十一度弱今亦用表數雲一十度四十八分因上題棄去零數故也〉
　　十題有黃道交於子午圏之㸃及極之髙而求九十度限距天頂之度
　　如前圖求丙甲弧法為全與丙乙之正〈四七四六○〉若乙角之正〈九三五七五〉與甲丙邊之正〈四三四一九〉算得二十五度四十四分為甲丙弧　因甲庚庚己各九十度則甲己爲庚角之弧其角為黃道截地平之角即上第五題圖之丁乙丙角
　　十一題有在地平㸃之濶度及在午㸃之距天頂度而求黃平象限距天頂度
　　如前圖從天頂丙作地平經初度丙壬黃道截地平於庚成庚甲己形甲己為兩直角〈丙己經圏過地平之極故己為直角甲分地平上黃道為兩平分即過地平之極亦過黃道之極故甲為直角〉則相對之兩腰必等庚甲九十度庚己亦九十度而壬戊亦自為九十若減同用之壬己即所餘庚壬與己戊等己戊弧定甲丙乙角之度故甲丙乙形有丙乙及丙角〈或己戊或壬庚濶升度〉可得甲丙法為全與濶
　　升度之餘若丙乙邊之切線與丙甲邊之切線
　　十二題有午上之㸃求在地平㸃之闊升度
　　即庚壬或己戊或甲丙乙角法為全與丙乙邊之餘割線若甲乙邊之正與丙角之正〈或庚壬濶之正〉
　　十三題有午正前後時刻之度分〈時刻之度分者以時刻易為度分也每四刻為一十五度一刻為三度四十五分刻之一　分為度之四分之一刻之一秒為度之四秒〉及太陽之經度求在午之度因求黃平象限度
　　法如時在午前即以太陽經度求其正同升之度減時刻之度得赤道數以求黃道正同升之度即在午之度如太陽躔大梁初度於己正初刻求在午之度即查大梁三十度之正同升為赤道二十八度減去三十度〈己正初刻之度〉餘三百五十八〈實少於法借全周〉查其正同升之黃道度得娵訾二十八為在午之㸃次於赤道數加九十得八十八〈滿全周去之〉求本地欹球同升之度得鶉首一十七〈零數省文去之〉為黃道本球本時出地平之度減去九十度得降婁一十七為黃道九十度限
　　若時在午後則用加法如未正初刻則於二十八度〈大梁之正同升〉加三十〈時度〉得赤道五十八查其正同升得實沈初度為在午之㸃次於赤道五十八加九十得一百四十八度求本欹球之同升得鶉尾五度半為黃道本時本球之出地度減去九十度得實沈五度半為黃道九十度限
　　十四題有太陽躔度及時刻度求太陽地平上之髙度其法有四或太陽在赤道上〈春秋分第一圏〉或時度過九十〈二圖〉或在北六宮〈三圖〉或在南六宮〈四圖〉
　　第一圖己戊丁壬為子午圏戊丙庚為赤道太陽在乙從天頂丁作丁乙甲弧過太陽至地平為直角成甲乙丙直角形此形
　　有乙內邊〈戊乙時度之餘〉有丙角〈赤道之高度〉求甲乙為全與乙丙邊之正〈己正初至午正既三十度乙丙必六十度其正八六六○三〉若丙角之正〈順天府赤道髙五十度則丙角五十度其正七六六○四〉與乙甲邊之正〈六六三四一〉算得四十一度四十七分為太陽本時之髙第二圖時度過九十即從北極辛作辛乙午交地平於癸成癸午丙三角形午為直角有午丙為時度過九十之較有癸丙午為赤道與地平之交角求午癸邊及午癸丙角〈午癸丙角〉
　　〈為過極圏或時圏與地平之交角求法見第七卷直角形之用法〉次以午癸與午乙或加或減得癸乙〈用二圖時度過九十即相減若不過九十者如三圖太陽在北六宮即相加如四圖太陽在南六宮即相減所並所餘皆為癸乙〉次乙甲癸形甲為直角有先加減所得之癸乙邊有乙〈癸甲〉角可得太陽之髙乙甲
　　如三圖日躔大梁初度其緯得一十一度三十分半乙午也巳正時戊午得三十度即午丙必六十度本地赤道髙戊己五十度○五分〈或午丙癸角〉次以午丙癸形之午丙六十度丙角五十度○五分求午癸邊法為全與午丙之正〈八六六○三〉若丙角之切
　　線〈一一九八八二〉與午癸之切線〈一○三八五五〉算得四十六度○五分〈因大梁在北六宮故〉次加太陽之緯度一十一度三十一分三十秒得五十七度三十六分三十秒癸乙弧也又於此形求癸角法為全與丙角之餘割線〈一三○二二三〉若午丙弧之正割線〈二○○○○○〉與癸角之正割線〈二六○四一七〉算得六十七度二十四分癸角也次癸
　　乙甲形甲為直角有癸角及癸乙邊求甲乙法為全與乙癸弧之正〈八四四五三〉若癸角之正〈九二三二一〉與甲乙邊之正〈七七九五二〉算得五十一度一十三分甲乙也是為本地本時黃道某度地平上之日軌髙
　　若太陽躔南六宮如雙魚初度其緯亦一十一度三十○分三十秒則如第四圖之癸午邊減乙午得三十四度三十四分為乙癸邊其正〈五六七三六〉乗癸角之正〈九二三四三〉得三十一度三十六分
　　十五題有太陽之緯度有日軌髙有極出地度求時刻如上題第一圖〈太陽乙在赤道〉甲乙丙形有日軌髙甲乙有乙丙甲角為赤道高求乙丙邊〈戊乙之餘〉法為全與丙角之餘割線〈丙角五十度○五分〉
　　〈其餘割線一三○一九二〉若甲乙弧之正〈甲乙日軌髙三十度其正五○○○○〉與乙丙之正〈六五三二○〉算得四十度三十七分乙丙也戊乙其餘為四十九度二十三分易為時得午前或午後一十三刻○二分三十二秒
　　又如上題第二三四圖用辛丁乙形〈太陽在乙〉有乙辛為太陽距極度〈若乙在北六宮則乙辛為緯度之餘若在南六宮則於緯度加九十得乙辛〉有丁乙為日軌髙之餘
　　度有丁辛為北極距天頂之度〈北極髙之餘〉求辛角〈辛為赤道極丁辛乙角之為戊午戊是午正則以戊午定午前後時刻之數〉法見第七卷斜角形用法今解之如辛丁為五十度一十分丁乙〈日軌髙之餘〉六十度辛乙八十度〈太陽緯午乙十度其餘得八十度〉法以辛角旁兩腰之正相乗〈五十度一十分之正七六七九一八十度之正九八四八一〉以全除之得〈七五六二○〉名初得數又以兩腰之餘相乗〈五十度一十分之餘六四二七九八十度之餘一七三六五〉以全除之得〈一一○六九〉名次得數以次得數與角對邊之餘〈六十度之餘為五○○○○〉相減〈丁乙邊小又兩腰同類故也〉所存
　　〈三八九三九〉以全乗之以初得數〈七五六二○〉除之得辛角之餘〈五一六九○〉算得五十八度五十三分易為時得一十五刻一十三分四十二秒
　　又如辛丁丁乙如前而辛乙為一百度〈日在南六宮距度十〉則以丁辛之正〈七六七九一〉辛乙之正〈九八四九一百度而用八十度之正者大過象限則用其餘弧之〉相乗得〈七五八三一〉以全除之為初得數又以兩弧之餘〈丁辛之餘為六四○五六辛乙之餘為一七三六五〉相乗以全除之得〈一一一二三〉
　　爲次得數以加角對邊丁乙之餘〈丁乙邊小又兩腰為異類故〉得數〈六一一二三〉加五位為實以初得數為法除之得〈八○六○四〉為辛角之餘查得三十六度一十七分易為時得九刻一十分○八秒
　　如上法或用月之髙求月時則用月之緯度或用星之高求星時則用星之緯度
　　十六題有極出地之高有日軌高及其緯度求地平經度〈地平經度者或從卯酉正或從子午正起算皆得〉
　　如前圖辛丁戊為子午圏丁為天頂丁乙甲為本時日躔〈天頂經圏〉今求壬甲弧〈或壬丁甲角〉或甲己弧〈或甲丁己角〉宜用辛丁乙角形求角
　　列數如上題〈丁辛五十度一十分辛乙八十度丁乙六十度〉法以辛丁丁乙兩弧之正相乗以全除之先得〈六六六八六〉又兩弧之餘相乗以全除之次得〈三二○二八〉加乙辛之餘〈一七三六五〉於次得數共〈四九三九三〉加五位〈以全乗之故〉為實以先得數除之得〈七四○六即丁角之餘〉查正表得四十七度四十七分為乙丁戊角〈即甲己弧〉辛丁乙之餘角也辛丁乙係鈍角〈因對角邊乙辛小於九十度兩腰為同類故相〉
　　〈加次得數大於乙辛底之餘故所得為鈍角〉故乙丁戊角之餘為四十二度一十三分更加九十度得一百三十二度一十三分為太陽之本頂圏距北向南之度壬甲也〈此係太陽在北六宮〉亦名地平之經度〈造日晷法內用之〉
　　又如辛乙為一百一十三度三十一分半〈太陽在南六宮躔星紀〉丁乙為七十度求丁角法兩腰之正相乗〈丁辛之正為七六七九一丁乙之正為九三九〉
　　〈六九〉以全除之先得〈七二一五八〉以兩弧之餘相乗〈丁辛為六四○五六丁乙為三四二○二〉以全除之次得〈二一九○九〉以乙辛之餘〈三九九○二〉加次得數共〈六一八一一〉加五位為實以先得為法除之得〈八五六六六〉即丁角之餘查得五十八度五十六分為乙丁戊角因丁為鈍角〈角之對邊辛乙大於九十度兩腰為同類故相加又次得數小於乙辛底之餘故丁為鈍角〉故加九十得一百四十八度五十六分為辛丁乙角之度〈即壬甲弧〉是太陽本頂圏距北向南之度
　　若用餘角則從南起算巳至甲得三十一度○四分戊丁乙角也〈餘者一百四十八度五十六分之餘〉
　　十七題有時度有日軌髙及極出地之度求太陽之緯度又求地平之經度
　　如前圖辛乙丁斜角形辛乙邊為太陽本日距等圏距北極之度此形有辛角〈即戊午弧〉時度也有丁辛弧極髙之餘也有丁乙弧日軌髙之餘也而求太陽距北極之緯度辛乙即如次圖從丁角作丁甲垂弧其甲丁辛直角形有丁辛腰辛角求丁甲及甲辛〈用七卷直角形第四設二三求〉次甲乙丁形先有丁乙今得丁甲求甲乙〈用七卷第八設〉
　　〈之三求〉乙甲甲辛並得所求乙辛次求地平經度〈乙丁辛角也〉則丁辛甲形求甲丁及甲丁辛角又甲乙丁形求甲丁乙角並之得所求乙丁辛角〈若辛為鈍角即乙丁辛為鋭角若辛為鋭角即乙丁辛為鈍角〉








　　新法算書卷九十四
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書>



　　欽定四庫全書
　　新法𥮅書卷九十五　　　明　徐光啟等　撰測量全義卷九　　測星
　　太陽行度止於黃道帶中間一線終古不易故日躔厯中所用止黃道赤道過極天頂地平五大圈而已若恆星及五緯不然各有黃道之緯度〈一名廣度〉恆星則終古不易五緯則隨時不同也各有黃道之經度〈一名長度〉恆星則東行每百年一度二十五分五緯自有其本行也各有赤道之緯度〈一名距度〉則恆星緯星皆隨時不同也各有赤道之經度恆星則為黃道之同升度〈或名同過極圏之度非赤道本圏之上度〉五緯自有其本行亦皆隨時不同也蓋二種星四種度其不易者止一恆星之黃道緯餘皆時時變易矣欲測經緯各星之本度法用儀器定赤道上之經緯度可推得黃道上之經緯度或先測得黃道上經緯度可推得赤道上經緯度又以法求各欹球上之各星升降時刻見上卷其測星之器之法及行度各論各表見別卷第一題
　　有某星之黃道上經緯度求其赤道上經緯度〈星者通稱也或恆星或五緯或客星彗孛皆是後論倣此〉
　　凡星之經度皆從春分或左或右起算厯家兼用二分葢皆兩道之交無緯度但取其距近者為便耳如河鼓中星其黃道經二百九十六度有竒以滿全周少六十三度有竒即用春分向右起算為相距未及一象限故黃道分四象限春分迄夏至九十度為一限夏至迄秋分一百八十度為二限秋分迄冬至二百七十度為三限冬至迄春分滿三百六十度為四限凡論星之經度先定在黃道某象限之或左或右相距近則易測〈圖說如左〉若論星之緯度或在二道之北或在二道之南或在二道之間〈或在黃之南赤之北或在黃之北赤之南〉亦如後圖
　　圖說丁戊庚寅為極至交圏〈南北圏過
　　二道二極亦過二至〉壬為心戊壬寅為黃道
　　丁壬辛為赤道交於壬為春秋兩
　　分戊為夏至寅為冬至已為赤道
　　極庚為黃道極從春壬向夏戊轉
　　秋壬至冬寅為四象限之弧也今設一星如乙從黃道極庚〈或北極或南極與緯度同理〉作象限弧過乙至黃道之子㸃子乙即黃道上本星之緯度也次從赤道極已過乙作己乙甲象限弧乙甲即赤道距本星之緯度也又定本星經度距交分之度為甲壬今欲求本星之赤道緯度甲乙及其赤道經其法有二一用己庚乙斜角形此形有兩極之相距己庚有黃道緯乙子之餘弧乙庚有對戊子弧之庚角〈庚角之子戊弧即本星距交分之餘弧亦即其距至之弧〉求乙己庚角〈其餘乙己午角為甲丁之角即本星赤道上距至之弧〉法用七卷
　　第五易以庚己弧引長之從乙作乙午垂弧成乙庚午直角形此形有庚角有庚乙邊求午乙又求午庚〈二求法見下第一假如〉以己庚減午庚得午己次午己乙直角形有午乙有午己求己乙求午己乙午己乙者甲丁弧之角甲丁者所求赤道經壬甲之餘弧己乙者所求赤道緯甲乙之餘弧也假如乙為句陳大星〈西名小熊尾第一〉天啓甲子年黃道經為
　　八十三度二十三分壬子也其黃道
　　北緯度為六十六度○二分子乙也
　　因經度不過九十故在第一象限內
　　從春壬向夏戊遇子即從庚過乙作
　　庚乙子象限弧次從北極已〈緯度在北〉過乙作己乙甲象限弧成己乙庚形此形有乙庚庚己及庚角從乙作乙午垂弧成午乙庚直角形此形有乙庚二十三度五十八分〈黃緯之餘〉有庚角六度三十三分求午乙邊法為全與乙庚之正〈四○六二一〉若庚角之正〈一一四○七〉與午乙邊之正〈四五三三〉查得二度三十六分又求午庚邊法為全與庚角之餘〈九九三四七〉若庚乙之切線〈四四四五三〉與午庚之切線〈四四一六四〉查得二十三度四十九分三十秒次以己庚減午庚得午己弧○度一十八分次午己乙形有午乙午己兩邊求乙己法為全與午己之餘〈九九九九九〉若午乙之餘〈九九八九七〉與乙己之餘〈九九八九三〉查得二度三十九分為句陳大星與己北極之距餘八十七度二
　　十一分為本星赤道北之緯度又求
　　午己乙角為全與午己之正〈五二四〉若午乙之餘切線〈二二○二一七一〉與己角
　　之餘切線〈一一五三八〉查得八十三度二
　　十五分為午己乙角之甲丁弧則甲壬得六度三十五分為本星赤道上之經度
　　又假如乙為南河東星〈西名小犬大星〉甲子年黃道經度為一百一十○度二十七分三十○秒其南緯度為一十六度○十分因經度過九十故在第二象限內從戊數限
　　外得二十○度二十七分為戊子從
　　黃南極庚作庚子象弧其緯度為子
　　乙因乙星在赤道北從赤北極作己
　　乙甲弧成庚乙己大三角形此形有
　　庚角〈子戊也黃道經之餘弧〉有庚乙邊〈黃道緯之餘弧〉又有己庚大弧〈庚戊象限九十度戊己為黃道夏至距赤道極六十六度二十八分三十秒得一百五十六度二十八分三十秒〉求己乙邊及己角從乙角作乙午垂弧在形內〈為己庚邊過象限又己庚兩皆銳角〉其庚乙午直角形有庚角有庚乙邊求庚午得七十二度四十九分四十○秒又求乙午得一十九
　　度三十三分一十四秒次以午庚減
　　己庚餘八十三度三十八分五十○
　　秒為午己次午己乙直角形有己午
　　午乙求己乙得八十四度○一分為
　　赤道緯度之餘即緯度甲乙為五度五十九分次求巳角之對弧甲丁得二十一度二十一分三十○秒因在第二象限加九十度得一百一十一度二十一分三十○秒為赤道上經度〈加九十度者從壬起算越丁而轉至甲故也〉
　　或從赤南極巳作己甲乙弧成乙庚己〈南極〉形乙庚邊引
　　長之又從己角作己午垂弧成庚
　　己午形此形有己庚午角與戊庚
　　子角等〈相對交角〉有己庚〈兩極之距〉求午己
　　午庚兩邊及午己庚角次午乙己
　　形有午己午乙〈午庚庚乙並〉求己乙為某星距南極之度〈減己甲九十度餘為赤道北之緯度甲乙〉次求午己乙角內減午己庚角餘庚己乙角其對弧甲丁即某星之赤道上經度也假如河鼓中星天啓甲子年黃道經二百九十六度二
　　十八分三十三秒其黃緯為二十九
　　度二十一分三十○秒求赤道上經
　　緯度如圖春壬夏戊為黃道初限〈九十
　　度夏戊秋壬為黃道二限〉〈百八十度〉秋壬
　　冬寅為黃道三限〈二百七十度〉冬寅春壬為黃道四限〈全周〉星之經度二百九十六即在寅壬四限內於經數內減三限〈二百七十度〉餘二十六度二十八分三十三秒為從寅起算至子之經度次從黃北極庚　　至子作庚子象限從子向北計其黃二十九度二十一分三十○秒為子乙次從北極巳過乙作己乙甲象限弧成庚己乙形此形有庚己〈黃赤距二十三度三十一分三十○秒〉有乙庚〈黃度之餘六十○度三十八分三十○秒〉及己庚乙角〈或子庚寅角之餘為一百五十三度三十一分三十○秒〉用七卷相易法從乙作乙午垂弧至己庚辛弧上成庚乙午直角形有庚乙邊有乙庚午角求午乙法為全與庚乙邊之正〈八七一五七〉若庚角之正〈四四五七九〉與午乙邊之正〈三八九二三〉查得二十二度五十四分三十○秒為乙午邊次求庚午法為全與庚角之餘〈八九四七四〉若庚乙之切線〈一七七七二三〉與午庚之切線〈一五九○一四〉查得五十七度五
　　十○分加庚己〈二十三度三十一分三十○秒〉得己
　　午八十一度二十一分三十○秒次
　　乙己午直角形有己午有午乙求己
　　乙法為全與己午之餘〈一五○二六〉若
　　午乙之餘〈九二一一○九〉與己乙之餘〈一三五四九〉查得八十二度一十三分為己乙其餘七度四十○分為乙甲是河鼓中星在赤道北之緯度又求乙己午角法為全與午己之正〈九八五七○〉若午乙之餘切線〈二三六六三六〉與己角之餘切線〈二三四三二〉查得二十三度○八分為己角即甲辛弧為從辛起算之赤道上經度也因在第四限加二百七十度得二百九十三度○八分為河鼔中星之赤道上經度
　　其二法用前圖庚子象弧交赤道於丑上下有壬子丑
　　乙甲丑兩直角形而求乙甲〈乙星之赤道緯〉及甲丁〈己角之弧星經距至之弧〉或甲壬〈星距交分之弧〉其壬子丑形有子直角有丑壬子角
　　〈兩道之交角〉有壬子邊〈星黃道距交分之弧〉求丑子
　　丑壬及子丑壬角次以乙子丑子或相加或相減〈丑在乙子之間則減子在乙丑之間則加〉得乙丑次乙丑甲形有甲直角有乙丑邊有乙丑甲角〈子丑壬之交角〉求丑甲加丑壬得乙星赤道上距壬交之經度又求得甲乙為乙星之赤道上緯度
　　如乙為婁中星黃道經三十二度二
　　十六分三十○秒壬子也其北緯九
　　度五十七分子乙也求赤道經緯度
　　其壬子丑形有子直角有壬子〈黃道經〉
　　及壬角〈黃赤距弧〉求子丑法為全與子壬之正〈五三六四六〉若壬角之切線〈四三五三三〉與子丑之切線〈二三三五三〉查得一十三度○八分四十○秒次求壬丑法為全與壬角之割線〈一○九○六四〉若壬子之切線〈六三五六一〉與丑壬之切線〈六九三二一〉查得三十四度四十三分五十七秒次求丑角為全與壬角之餘割線〈二五○五二○〉若子丑之割線〈一一八四九一〉與丑角之割線〈二九六八四三〉查得七十○度一十八分五十二秒並乙子〈星之黃道緯九度五十七分〉子丑〈本形初求一十三度○八分四十○秒〉得二十三度○五分四十○秒又乙丑甲形有乙丑及丑角求乙甲邊為全與乙丑之正〈三九二二七〉若丑角之正〈九四一六六〉與乙甲之正〈三六九六四〉查得二十一度四十○分三十○秒赤道之緯度也又求丑甲為全與丑角之餘〈三三六九一〉若乙丑之切線〈四二六四一〉與丑甲之切線〈一四三六五〉查得八度一十○分三十○秒以減先得之丑壬餘二十六度三十三分二十七秒為本星赤道之經度第二題
　　有某星之赤道上經緯度求其黃道上經緯度
　　如前圖用己乙庚形此形有乙己〈甲乙赤道緯度之餘〉有乙己庚角〈其餘為甲己丁角先有赤道經度壬甲即有甲丁弧或甲己丁角〉有己庚〈兩極距度〉求黃道經度之庚角
　　或子戊弧〈壬子之餘〉
　　或用第二法引長乙甲弧交黃道於卯成卯甲壬直角
　　形有壬角〈兩極距度〉有
　　壬甲〈赤道經度〉求甲卯
　　及甲卯壬角以乙
　　甲甲卯或相加或
　　相減得卯乙次卯乙子形有卯乙有乙卯子角〈先為甲卯壬角〉求乙子為黃道之緯度亦求卯子壬卯卯子或加或減得壬子為本星距交之黃道經度〈星在黃道南北如上圖在兩道間如下圖〉第三題
　　有某星黃道赤道上之經緯度求兩道之距度
　　法用上圖乙己庚形有庚己兩角〈兩道之經度〉有庚乙或乙己邊求庚己邊

　　第四題
　　有某星之黃道經度赤道緯度而求赤道經度黃道緯度法用上圖乙己庚形有庚角〈黃道經度〉有己乙〈赤道緯度之餘〉求己角〈赤道經度〉及庚乙邊〈黃道緯度之餘〉
　　第五題
　　有某星之地平經緯度及極出地之度求其赤道緯度
　　如圖丙丁己為子午圏丙壬辛為地
　　平庚為天頂己為北極丁壬為赤道
　　星在乙從己作己戊乙弧定戊乙為
　　星距赤道之度從庚作庚乙甲弧定
　　甲乙為地平之緯度又定甲庚丙角〈即甲丙弧〉為地平之經度〈從南起算〉成庚乙己形有己庚邊〈極出地之餘〉有乙庚〈地平緯之餘〉有乙庚己角〈即甲辛弧之角〉求乙己減九十度得戊乙為星距
　　赤道之緯度
　　若有星之赤道緯度及其地平經緯
　　度而求極出地之度如圖庚乙己形
　　有己乙乙庚兩邊有庚角求己庚弧
　　為極距天頂度〈即極出地之餘〉
　　若有赤道上丁㸃〈在子午圏〉之經度可知某星之赤道經度如圖求乙己庚角其弧為丁戊則以丁㸃或加或減於丁戊得星之赤道經度
　　第六題
　　有某星之赤道經度地平緯度北極出地之度求時刻〈時者赤道過子午圏之平度分也太陽赤道上經度某㸃過子午圏三十度即成八刻是太陽之時也在星亦然凡星之赤道上經度某㸃在午正線即為某星之午正時更過三十度即某星之午後八刻若以某星之時刻求太陽之夜時刻即先求太陽及星之赤道上兩經度以加減得太陽時刻法見下文〉
　　如上圖丁戊弧求某星之距午時刻
　　〈即庚己乙角〉其地平緯度為甲乙即有乙
　　庚赤道緯度為戊乙即有乙己〈若星緯向
　　北則以戊乙減戊己九十度若向南則加之各得乙己弧〉庚己為
　　本地北極高之餘是乙庚己斜角形有三邊求己角〈本書
　　七卷〉
　　法曰庚己乙己為所求角〈己〉旁之兩
　　弧以此兩弧之度分相加為總相減
　　為較查總較數之兩餘若總數過
　　九十即以兩餘相加不及即相減得數半之為先得數次以乙己己庚相減得較弧求其矢與庚乙邊〈所求己角之對邊〉之矢相減存數為實末加五位以先得數而一得己角之矢〈即丁戊弧之矢查表得丁戊弧〉
　　假如河鼔中星天啓甲子年在赤道北七度五十五分三十○秒乙戊也餘乙己必八十二度○四分三十秒地平高三十五度甲乙也餘乙庚必五十五度庚己五十○度○十分〈順天府北極距天頂〉是庚乙己形有三邊而求己角法以所求角〈己〉之兩腰〈庚己五十度○十分己乙八十二度○四分〉相加得總數〈一百三十二度一十四分〉相減得較數〈三十一度五十四分〉查兩得數之餘〈百三十二度一十四分以比半周少四十七度四十六分求其正為六七九八六總數之餘也又八四三三九為較數之餘〉因總數過九十應相加得〈一五二三二五〉半之為〈七六一六二〉則先得數也兩腰之較弧為三十二度三十○分其矢為〈一五六六○〉己角對邊庚乙之矢為〈四二六四二〉兩矢相減餘〈二六九四二〉為實加末五位以先得數而一得〈三六九一一〉查得丁戊弧五十○度五十三分變時得三小時二十三分三十○秒若星在午線右則為午後星之本時若在午線左則以減半日十二時得子後星時為八時三十六分三十○秒
　　若有星時求太陽時其法以星之赤道上經度去減太陽之赤道上經度其較為星與日之距度也變為時加減以星之時得太陽之正時若太陽經度小於星之經度亦相減得星日之距但以距度變時加入於星時
　　如圖外圏為時刻內圏為赤道設星在
　　鶉火初度〈設經為一百二十二度有竒〉設太陽在析
　　木初度〈設經為二百三十七度有竒〉又設星時為己
　　正初刻〈午前八刻或子後四十刻〉兩經相減得日星
　　之距弧丑己變為時
　　若星日俱在東則以
　　星時加入距時為太
　　陽之午前時〈如一圖〉若
　　一在西一在東則以星之時去減於距時得太陽時〈如一圖〉若星日俱在西則以星時加入距時得太陽時〈如三圖〉第七題
　　有某星之赤道緯度及北極出地度求地平上時刻〈太陽為晝〉法與求太陽之晝時同如圖丁壬為赤道己為極星或北或南出入地在乙從已極作己乙截赤道於甲成甲乙壬直角形有
　　甲乙〈星之緯度〉有甲壬乙角〈赤道高弧之角〉求甲壬弧若星在北以甲壬加壬丁九十度得星之半晝星在南以甲壬減壬丁得星半晝　若星之近出極緯度小於極出地之度即此星常見不𨼆若近入極緯度小於極入地之度即此星常隱不見〈滿剌加以北則北為出極南為入極〉
　　第八題
　　有星之經緯度以定出入之濶度
　　如上圖之壬乙邊是也
　　反之有某星出入之濶及極出地之高求其緯度及其晝時皆於本圖內展轉得之
　　第九題
　　有兩星同在一天頂圏內測其高若一星有赤道之緯度即可推他星之緯度及兩星之赤道經度差
　　如圖丙庚辛為子午圏丁壬為赤道
　　巳為極庚為天頂兩星一在乙一在
　　子測得甲子甲乙兩星之高若知乙
　　星之緯度乙戊可推子星之緯度子
　　丑及兩星之經度差丑戊法用庚己乙形有庚己〈極高之餘〉有庚乙〈乙星高之餘〉有乙己〈乙星距極之度〉三邊以求庚乙己角次乙己子形有乙己〈乙星距極〉有乙子〈兩星高之差〉有己乙子角〈庚乙己角之餘〉求己子邊以比九十度其較為子星之緯度又求乙己子角其弧戊丑為兩星之經度差
　　若有兩星同在一天頂圏內而各有其經緯度可推極出地之度如上圖先用子乙己形有子己及己乙〈兩星緯之餘〉有己角〈兩經度之差〉求乙角次庚己乙形有己乙庚乙及庚乙己角求庚己為極距天頂之度若先知兩星之經緯度又測其高可推恆星之清蒙差但恆星極逺蒙差極微則法須極准極細乃可
　　第十題
　　有兩星之地平經緯度〈經者距地平南北圏緯者地平上高〉若知一星之赤道經緯可推他星之赤道經緯〈兩星須俱在東或俱在西〉
　　圖圏如前但從天頂庚作庚子卯象
　　限弧定子星之高卯子〈地平緯〉亦定子
　　星距北之弧卯辛〈地平經〉又甲辛弧為
　　乙星距北之經自得卯甲弧〈或卯庚甲角〉
　　為兩星之地平經差　今論先知乙星之赤道經緯則用庚乙己形有庚己邊〈極距天頂〉有庚乙〈乙星地平緯之餘〉有乙己弧〈乙星距極〉依法求得己庚兩角次於乙庚己角用卯庚甲角或加之或減之得子庚己角又己乙弧〈乙星過極之圏〉交庚卯弧〈子星之天頂圏〉於酉其庚酉己形有庚己邊又得己庚兩角依法求得庚酉酉已兩邊及酉角次酉子己形有酉子〈庚子為子星高之餘內減庚酉存酉子〉有己酉子角〈庚酉己角之餘〉又有酉己邊依法求得酉己子角其弧戊丑即兩星之經度差又求子已即子星距極之度
　　若先知子則用子庚己形有庚己庚子子己求得己庚兩角次於己庚子角加乙庚子角得乙庚己全角次庚乙己形有庚己庚乙及庚角求得乙己邊即乙星距極之弧又求庚己乙角以減庚己子角餘乙己子角其弧
　　戊丑即兩星之經差
　　若一星在午圏上即午己丁己合為
　　一弧不成三角形無從考其度分不
　　用此法
　　若一星在東一星在西即戊己極圏不能割庚卯天頂圏亦不成三角形不用此法
　　第十一題
　　有兩星之黃道經緯度求兩星之距度
　　如圖丙戊為兩星己壬為黃道之一弧丁為極己丙為丙星之緯丙丁其餘戊壬為戊星之緯戊丁其餘己丁壬角為兩星之經度差求距度丙戊法以大圏弧聨兩星成戊丙丁斜角形有
　　丙丁丁戊兩邊有丁角次從戊〈從丙亦可〉作戊甲垂弧依法求得戊甲甲丁又甲丙戊形求丙戊即兩星之距〈若地球上有兩方之經緯度可推其距度如丁為北極丙丁戊丁為北極之兩高丙丁戊角為東西里差丙戊為兩方大圏上相距之度分以里法二百五十里通之得丙戊斜相距之里〉
　　第十二題
　　有兩星正午上之高及相距度求其赤道上經度差如圖丁為北極己壬為赤道丙戊為兩星丙丁戊形有丙丁戊丁為兩星距北極之度〈正午高之餘各加北極距天頂之度得星距北極之度〉及丙戊邊求丁角
　　法為丁丙丁戊兩腰相加得總數相減得較數各求其餘若總數過九十者即兩餘相加不及即相減得數半之為先得數次以兩腰弧較之矢及丙戊底之矢相加相減〈幾底過九十合為總不及九十減為較〉所得或總或較為實以先得數為法而一得丁角之矢
　　第十三題
　　有新星〈未知其經緯度即恆星亦名新星客星及彗孛同〉測得其去兩舊星之各距度而先知兩舊之經緯度以推新星之經緯度〈三星所居之緯度有三類或俱在北或俱在南如一圖或一南一北或一南二北一北二南如二圖或三距周遶一極如三圖言經緯度者或赤道或黃道皆用此葢以二求一其理同也〉
　　如一圖丁角為極己辛壬為對角之弧丙戊為兩舊星乙為新星從丁極作丁丙己丁乙辛丁戊壬三象弧又以大圏弧聨三星如丙乙乙戊戊丙今先求兩舊星之弧
　　丙戊用丙戊丁角形有丁丙丁戊兩邊〈兩星緯度之餘〉及丙丁戊角〈兩星之經度差〉依法求丙戊邊亦求丙戊丁角次丙乙戊形有三邊〈先測乙丙乙戊今得丙戊〉依法求丙戊乙角末乙戊丁形有戊丁〈戊星緯度之餘〉有乙戊〈兩星相距之弧〉及乙戊丁角〈丙戊丁丙戊乙兩角並〉
　　求乙丁邊即新星乙緯度之餘又求乙丁戊角〈即辛壬弧〉先己知己壬弧度分〈兩星之經度〉今得辛壬弧即知辛㸃所在為乙星之經度差
　　二圖用戊乙丙形及丙乙丁形求得如前法
　　三圖極在乙戊丙形內〈星緯之餘小於相距度則近極故極在形內〉先用丙
　　戊丁形求丙戊邊及丙
　　戊丁角次丙乙戊全形
　　求丙戊乙全角於全角
　　減丁戊丙角得其餘丁
　　戊乙角次丁乙戊形求丁角及丁乙邊
　　今借用西史舊測一則為例〈二北一南〉如萬厯十九年辛卯太陽近夏至逺西馬日諾測北極出地四十五度有竒中西里差一百
　　○二度三十○分用象限儀測火星〈熒惑也為乙新星〉得其距
　　河鼓中星丙四十四度○三分
　　為丙乙其距心大星戊二十一
　　度五十一分求火星之經緯度
　　法用河鼔中丙本年之經緯度
　　〈經為二百九十六度○一分己㸃是北緯二十九度二十一分丙己是〉及心中戊本年之經緯度〈經為二百四十四度○五分壬㸃是南緯四度二十七分戊壬是加丁壬九十度得戊丁〉兩經相減得較為經差己壬五十一度五十六分〈己上用上圖己下用下圖〉次丙戊丁形有丙丁丁戊兩邊有丁角從丁丙邊引長之從戊作甲戊垂弧成戊甲丁直角形求戊甲〈全與戊丁之正若丁角之正與戊甲〉得四十三度二十○分又求丁甲〈全與丁角之餘若戊丁之切線與丁甲之切線〉得四十七度三十八分次以丁甲丁丙相減餘四十六度四十九分甲丙也次丙甲戊直角形有甲丙四十七度有竒有甲戊四十三度有竒求丙戊〈全與甲丙之餘若甲戊之餘與戊丙之餘〉得六十度○九分次二求丁丙戊角則先求甲丙戊角〈全與甲丙之餘割線若甲戊之切線與丙角之切線〉得五十二度一十八分其餘〈並上以滿半周〉一百二十七度四十二分即丁丙戊角〈以求丙戊丁角亦同〉　次三丙乙戊形〈此下復用上圖〉先有丙乙乙戊〈兩星距新星之度〉今得丙戊邊求乙丙戊角〈見斜角形本法〉以丁丙戊乙丙戊兩角相減餘乙丙丁為八十九度三十六分三十○秒　次四丁丙乙形有丁丙〈六十○度三十九分〉丙乙〈四十四度○三分〉兩邊及乙丙丁角〈八十九度三十〉
　　〈六分〉求乙丁邊依法得八十六度○四分四十○秒其餘三度三十五分二十○秒為新星之北緯度乙辛又求乙丁丙角得其經度差己辛為二十一度五十四分第十四題
　　有新星求其經緯度不用儀器從本星之四隅取四舊星成十字形可以四星之經緯度推新星之經緯度〈法用直邊之尺望新星與其相近二星皆切尺邊成縱直線次又望三星切尺邊成橫直線即五星成十字形不論逺近上下前後隨其位置以諸三角形推算如下文〉
　　如圖乙為黃道極〈二道俱可推此以黃為例〉子辛
　　壬為黃道弧丙丁己庚為舊星戊為
　　新星從乙極過諸星各作象弧為乙
　　丙子乙丁卯乙戊寅乙己辛乙庚壬
　　從乙定各舊星緯度之餘子卯為丙丁兩星之經差卯寅為丁戊兩星之經差寅辛為戊己兩星之經差辛壬
　　為己庚兩星之經
　　差今求新星戊之
　　經緯度有丙戊庚
　　三星成一直線〈即三〉
　　〈星在一大圏上〉從丙戊庚弧引長遇黃道於丑〈若星在南則先遇丑〉又丁戊己三星成一直線從丁戊己弧引長遇黃道於亥先用丙庚乙形有乙丙〈丙星緯之餘〉有乙庚〈庚星緯之餘〉有丙乙庚角〈丙庚兩星之經差〉求得丙角　次二丁乙己形有丁乙己乙〈兩星緯之餘〉及丁乙己角〈兩星之經度差〉求得乙己丁角　次二丙子丑直角形有丙子〈丙星之緯〉有子丙丑角〈乙丙庚角之餘〉求得丑角〈過兩星圏遇黃道所作角〉　次四求得丑子弧〈既知丙星之經度在子㸃可知黃道上之經差丑子〉　次五己亥辛直角形有己角〈乙己丁角之餘〉及己辛〈己星之緯〉求得亥角　次六又求得亥辛弧〈既知己星之經度在辛㸃可知黃道上之經度亥辛〉　次七亥戊丑形有亥丑兩角及亥丑弧〈知亥丑兩㸃黃道上之經度因知其距度〉求得亥戊邊　次八亥戊寅直角形有亥角及亥戊邊求得亥寅邊為戊星黃道上距交㸃之經度又求得戊寅為戊星之緯度
　　第十五題
　　有過午圏赤道之㸃及某星地平經緯度求其赤道上經緯度
　　如圖戊壬丙為地平丁壬寅為赤道從
　　天頂庚〈地平極〉作庚乙子象限弧子乙為
　　星之地平緯度子丙為其經度〈從北圏丙起算〉又從己極作己乙甲象限弧得星距極
　　之弧乙己〈緯度之餘〉成庚乙己形形有庚乙〈星地平緯之餘〉有庚己〈極距天頂〉有己庚乙角〈丙子弧之角〉求得己角〈赤道弧丁甲之角〉即星距午上赤道㸃之角又求得己乙邊為星距極之度即緯度之餘
　　第十六題
　　有新星之赤道上緯度〈測得午正之高以加減赤道高得緯度〉及距一舊星之度〈有其經緯度〉求新星之經緯度
　　子為舊星乙為新星己為赤道極辛丙為赤道弧其己乙子形有己子〈舊星緯之餘〉有己乙〈新星緯之餘〉及乙子〈兩星之距度〉求得己角為新
　　星赤道上距子星之經度差
　　第十七題
　　一新星兩舊星作直線若測得新星距一舊星之度可推新星之經緯度
　　丁丙為二舊星乙為新星己丁丙形有己丁己丙兩邊及丙己丁角〈兩舊星之經度差〉求得丁丙邊及己丁丙角又己丁乙形有己丁
　　丁乙〈即丁丙丙乙〉求己乙邊即新星緯度之餘又求丁己乙角即辛庚弧為乙丁兩星之經度差

　　新法算書卷九十五



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷九十六　　明　徐光啟等　撰測量全義卷十　　儀器圖說





　　古三直游儀第一〈西古多祿某所造以測七政地平上髙度與下丈六環儀皆彼中之鼻祖後來増修其術漸趨巧便然非古莫因故並存之〉
　　鑄銅為方柱名旋柱〈或鐵或木皆可權用〉髙五六尺廣厚各二寸〈更大更小任意作之〉下端有軸為臺或架以入軸〈臺架或銅鐵木石或定或移任意作之〉左右旋轉令可周窺也上施垂線線末繋之垂權取正焉別造一直衡曰窺衡衡之長畧與柱等其廣其厚減三分之一衡首為小圓形形之心橫穿圓孔為樞以合於柱之上端左旁令可髙下游移也衡之下面從樞心中出直線名曰指線衡之末向下斜剡之為鋭邊合

　　於指線以指定度分衡之上面兩端不盡二寸許各設一通光耳耳各作二孔一小一大相等相向直列之兩孔相連之直線為指線上之垂線〈窺衡或名窺管通光耳或名窺表通用〉柱有二樞上樞合于衡之上端下樞與上樞相去如窺衡之長〈凡言長者皆以樞心衡末之一㸃為度不論全體〉
　　別造一直尺曰尺尺之長與衡之長如七與五方廣與衡等尺之一端亦為小圓形形之心橫穿圓孔以合於柱之下樞尺之上面從樞心出直線亦名曰指線三物合之成一三角形獨衡與尺之末恆相離也又欲其恆相切也則於旋柱之上橫穿圓孔軸貫其中軸之兩端各加轆轤繫䋲於尺引從轆轤而下末加鉛墜以掛尺令窺衡之銳邊與尺之面恆相切
　　分尺法干設旋柱之兩樞間若干尺當為一百平分或一千平分〈柱恆為全數不必分度分度者尺耳此言設分者何也柱之長與窺衡等則窺衡亦恆為全數此兩者恆為三角形之兩腰尺恆為底用之則兩腰準周天之半徑尺截分之外想見為一截弧而尺所得分恆為其截弧之通〉尺之上截一度與樞間等亦百平分或千平分之〈必用全數者以便推算若一分中或二或三四五六任為小分〉從尺之樞心起數元度百千分之外有餘地依前度分之盡尺而止
　　用法　三物既成三角形又左右上下斡運俯仰可以旋觀徧測用以求日月星辰之髙度先轉柱令衡與尺皆正向所測㸃〈凡測皆言㸃者星止一㸃日月雖大亦測其中心一㸃〉舉衡尺上下移就之令日月光從通光前耳兩竅中透照後耳之兩竅則本㸃與窺衡相叅直若測星則目從後耳竅中透前耳之竅而窺見星即星與衡相叅直次視窺衡之末銳所指尺得何度分即某㸃距天頂之弧之通於八線表查得本弧之度分秒〈查法平分通於正表得所當半弧倍之為全弧〉
　　論曰如小圖甲乙為旋柱甲丙為窺衡其度等乙戊丙
　　為尺甲丙衡上下游移成丙己乙
　　弧乙戊丙尺切甲乙半徑於乙切甲
　　丙半徑於丙則為乙己丙弧之通
　　有即有弧則乙己丙為丁㸃距天
　　頂之弧度分以減一象限得地平上之弧度分　按元史所載西域儀象有測驗周天星曜之器其説與此畧同而多祿某當漢光武建武間己有之則元人所用亦古法也此器體制頗簡造作良易且可合可解最便於四方行測
　　又二法以窺衡當半徑為全數以尺之長與全數以內之窺衡等者為通平分通為若干全數〈或百千萬十萬〉數之旁依八線表並列其相當度分用時移窺衡就數若干即得其度分若干免查表窺衡與尺宜相連宜相切其法用銅如圖作山口山口之空如尺之厚下安螺柱上穿一軸窺衡之末不盡半寸許作孔以入軸入尺於山口以軸關之尺在其空中可進退也用時開螺柱入尺移窺衡向日轉螺柱而固之以進退取景而定度分















　　古六環儀第二〈亦多祿某所造以測七政經緯度〉
　　冶銅為六環外內相次而逓結於黃赤二道之南北極故歛之則自黃道一圈而外皆合為圓平面展之成渾球焉外第一甲圏包括內儀而側立於半空球之架平分三百六十度從天頂起算南北各去頂一象限即為地平此圏恆定不移以象靜天亦名天元子午圏次內二乙為子午圏外規面切甲圏兩旁合為平面可以南北移不能左右旋從心出庚辛直線平分圏體線之兩端則赤道南北極也各為圓孔以受次內丙圏之軸查本

　　地赤道極出地之度以極線上下游移俾合於甲圏之本度分如順天府北極出地四十度弱從甲圏地平起上數至四十度以北極切本度分則定為本地之儀故又名載極圏也次內三丙圏平分圏體線之兩端各施小軸入於乙圏之庚辛二孔左右環行是為宗赤道極而過冬夏二至名為極至交圏也圏之上去赤道二十三度五十一分〈多祿某時兩道相距之度後世不然此舉其成法故仍之〉仍作小圓孔以受內圏之黃道極次內四丁圏平分設壬癸二軸兩端出內外規面外入於丙圏內入於戊圏三圏同軸者同宗黃道極也亦同去赤道極二十三度有竒而旋繞環行此圏限黃道之經度容黃道之緯度故名黃道經限圏也本圏去本極前後各九十度設一黃道圏周分十二宮三百六十度其大與丁圏等而縱橫置之相交為直角兩交之處為冬夏二至從黃極視之為平行從赤極視之則冬南而夏北也去交最遠之兩㸃為兩分次內五戊圏與丁圏同極亦平分三百六十度為黃道緯度圏次內六已圏切戊圏兩切之內外規面一為渠一為牡相入焉可前後移兩旁偕為平面若一甲與二乙平分圏設兩窺表相向
　　用法　測日躔經度因甲乙圏巳定本方極出地度分轉黃道丁圏向日見黃道圏以內無光知儀上黃道必當天上黃道〈上弧揜下弧故無光則知日與上弧下弧叅相直〉次定儀獨轉黃緯戊圏縱橫加於黃道之下此為黃道極上所出過太陽之圏也此圏以內亦無光查黃道圏得兩圏所交某宮某度為本日本時之日躔經度
　　測月與測日同法若月光𫎇昧用測星法如左以月測星之黃道上經緯度於日將入時依前法定黃道上之太陽經度又轉戊圏以己圏之窺表向月輪令月與二表叅直即得月離經度日入後又轉黃道圏以己圏之窺表向月用元定黃道獨轉戊圏以己圏之窺表向星則戊圏所定黃道一㸃為星之定經度先有日月之黃道上定經度今有星之定經度可推某星之經度
　　定緯度則以己圏之窺表向星依星或南或北從戊圏上定本星之緯度
　　按此儀與渾儀同法故多祿某依巴谷皆用之不言廣袤者自咫尺以至尋丈無不可也但諸圏一一宻切製造匪易時時張翕分秒或爽不若渾儀之一成不易測候為便若狹小制度以供行測則亦未可廢耳













　　古象運全儀圗







　　古象運全儀第三〈西中古日白耳所造〉
　　儀有十二物方版二句股形版四圎盤三半周盤一窺衡二首定置甲乙方版為儀之底名地平版從版心作子午線依本方赤道髙作乙丙丁句股形版二定置子午線之兩旁與平行股向南更作乙戊方版定置句股版之上與底版相切於乙以鉸具聨之作角為本方赤道距地平之角
　　次於赤道版上亦依地平版作子年線平分子午為心版邊為界作圏圈一寸以內更作一同心圈兩圏間平

　　分三百六十度從子午起算版之心立樞軸與版為直角貫以庚己游盤盤之大與內圏等盤中作兩徑線盤周分十二宮盤邊之外依冬至線作度指以定赤道經度是名赤道盤
　　赤道游盤上定置辛壬句股版二其角二十三度三十○分〈兩道相距之度〉與兩至線平行股向夏至
　　次於辛壬句股版之上定置辛癸圓盤是名黃道盤周分十二宮三百六十度從兩道之極遠處起數為夏至從盤心立樞軸與盤面為直角貫以丑寅窺衡衡之兩端各設一窺表
　　窺衡之上定立卯辰等四柱〈或側板〉與衡為直角附柱側立己午定圏平分三百六十度從本圏之橫徑起數其直徑線為黃道之垂線是名黃道緯圏圏之心立樞軸與圏為直角貫以未申窺衡衡之兩端各設一窺表未申之上各定置一短橫柱與衡為直角曰未酉曰申戌兩柱之端各穿圓竅別作一方衡兩端為圓枘貫入竅中方衡之上定置一半周盤平分百八十度因酉戌軸之利轉恆下垂也半周之心出一垂線末繫垂權據此儀物以配𤣥象則甲乙平版地平也乙戊欹版赤道也若運赤道盤必挈黃道盤以上與偕行於時辛壬股在南者即黃道盤政當天上之夏至午正時若辛壬股在北者即黃道盤政當天上之冬至午正時黃道緯圏偕丑寅衡同轉即定黃道之經度若以未申衡向某星即定黃道之緯度〈緯圏之直徑與黃道盤為直角橫徑為平行則平行徑之上之下可定黃道之南北緯度〉因以垂線所至定此星出地平之髙測地平上之髙度轉丑寅衡或未申衡向日與叅直視權線所至去離半周徑之度即日躔距天頂之度測月若星亦如之
　　測日躔經度運赤道盤至黃道盤之上下面俱無光此為日與盤之上下弧叅直也定黃道盤獨轉丑寅衡至緯圏之前後面俱無光此為日與圏之上下弧叅直也即丑寅衡所指黃道之某宮度是本時之日躔經度測星之經緯度因日月光再測如前儀法
　　按此儀重規疊矩纒連累積測候所須亦略備矣第其展轉欹傾崔嵬搖颺體過大則作用俱艱體或小則分數未宻故後來名厯姑舍是焉
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書,卷九十六>
　　古弧矢儀第四
　　儀有七物幹一衡一管一窺表四幹之長約六尺方廣各七分冶銅為之〈或用鐵若用木則加大〉衡之長當幹之長二十分之九方廣減於幹四之一幹與衡各先為一管四分衡之長以其一為管之長管之空幹與幹等衡與衡等入之宻而不濇則甘苦衷也既成幹管置下衡管置上各以其一端縱橫相切鎔金合之〈如圖〉幹管之上端加窺表一〈此表止一方銅版不作竅下同〉橫之兩端各定置一窺表別作一游表加于衡可離可合轉移用之兩管之旁各作螺柱每移管至其所欲至則旋螺而止之
　　分法　橫之一面二百平分之〈或二千平分用比例規尤便〉用元度以加於幹之同方面四百平分之從一端起算則為幹首末位所加為幹尾尾有餘地亦用元度分之盡幹而止幹與衡之數遇十百皆刻而識之
　　幹之一面既為平分其對面則以度分分之分度法有二一法作版與幹等長廣為衡之半〈用幾亦可〉案依長邊作長線依衡邊〈一百〉作衡線兩線為直角衡線之末為心角為界作象限弧分九十度〈若細分度或二或三四五六量用〉用尺從心過弧上各度分至長線作短界遇五書識之次依長線上度分移分幹面從幹首向下起數遇五刻識之幹尾亦向上起數則八十〈正數〉與一十〈倒數〉七十與二十六十與三十五十與四十四十與五十三十與六十二十與七十一十與八十初分與九十度俱同線其向下度分至八十而止者切線漸遠則無數若至九十與衡之上端平行矣故凡切線皆止八十度幹長加一二焉二法半衡為全數查八線表各度分之切線數向幹之分數面考其相當數之各度分各作度分線刻識之用法　此儀之用有二一以測日月星之髙度距度厯學所用一以測髙深廣遠地學所用〈測地法畧見第三卷増題〉今所解者測天之用法也
　　一測日月星之髙度距度法正立幹幹首居上管加其首貫衡于衡管之中左右出等旋螺固之權䋲取直次轉向所測令衡端之景揜幹之分度面視所得度分即日月之距天頂度分以減象限得地平上髙度分論曰如圖衡之甲端為心半衡甲乙之百分為半徑乙丁幹四百為切線甲乙既為橫表則甲端之景至幹面
　　為戊倒景也此戊景所得實日體下
　　邊辛上之景謂之視景若日心庚所
　　出景當從甲至己為正景其較為日
　　體之半徑〈日體約三十分半之約十五分〉則所得距
　　天頂之數應減十五分何者為庚之
　　距頂近於辛也所得地平髙度應加
　　十五分何者庚之距地遠於辛也如
　　是為所求之正度分也若用壬癸正
　　表則寅為直景實日體上邊子上之
　　視景而日心庚所出正景為丑則所得距天頂之度應加十五分為庚之距遠於子故所得地平髙之度應減十五分為庚之髙近於子故〈因上論知古來圭表測景未有景符不能定太陽之實髙蓋直景失加倒景失減故也然加減各十五分以論圓儀則可若圭上十五分之寅丑差近表愈少遠表愈多倒景則反是安所得定數而加減之是知圭表測天實為未確〉
　　若橫置幹以當地平加垂權衡上取直半衡之未景物幹得度分為日月之地平髙度分
　　二測星之髙度橫置幹直置半衡目切幹首遷管于衡進退之令幹首之角衡首之窺表與星為直線得幹
　　面度分為星之地平髙度分
　　向先以衡居幹首半衡為全數幹上得切線數之推定度分今衡不居幹首而居中身何以均為全數幹上度均為切線度曰如圖乙甲半衡居幹首甲丁丙半衡居衡中丙以丁乙直線聨兩衡之末成甲丁長
　　方形四皆直角即甲丁乙丙兩對角線必等則目在甲從丁測目在丙從乙測依句股法甲丙與丙甲兩切線必等而甲丙所當之丙己弧丙甲所當之甲戊弧亦等即與天上之距弧俱相似其餘弧庚己辛戊與天上之地平髙弧亦相似
　　三測兩星相距之度　欲測甲乙兩星之距度用儀倚他物為安目在幹首之上角丙向衡首丁表之上邊測甲星又向衡中戊表之上邊測乙星執管移衡進退之至目與兩表兩星俱叅直視衡所截幹上度分為兩星相距度分　若兩星相距太遠用衡端之丁己而表測之進退衡令兩叅直得幹度分倍之為兩星相距之度分　若星距甚近用游表簡衡上數去幹面〈此不用度分面用平
　　分面〉十分置之如前進退測兩星令
　　叅直以衡之十分為全數幹上所
　　得為切線查表得度分為星距
　　四測日月之徑分　衡在幹尾日在幹首加游表衡上向衡中表左右移測之令目過兩表見徑之兩端俱叅直得兩表間之衡上分四而一〈幹數四百故〉即百為全數所得為切線查表得所當分秒為二曜之徑分秒問太陽光大目不可正視當用何法可測曰輕雲薄露時可測日出入時可測又問日出入時方之午正時其體較大何以得其定分曰日體安得以早晏大小蓋出入時因清𫎇之氣映小為大〈論見日躔厯指〉人目自訛日體不變也試觀近地平兩星元測有定距度分其出入時相距之勢必甚大於午正時〈此星之午正時〉然地平周三百六十度兩距出入時果大於正中時則徧測地平上一周之星合併距度當較三百六十而贏不贏則安得變兩距之度分今以日徑之兩端當兩星星之出入與其正中也無異度分日安得有異分
　　按此儀於地學中用測髙深廣遠為徑捷法若以測天微成乖迕所以然者有數端焉儀體過大即度分宻矣而日景虛淡體小景直即度分不宻一也所分度數或依切線表或以規二法不同皆以直求曲則為異類二也目視兩物成兩直線來至於目相遇作角其角當在目睛最中之處外輪己非何況輪外幹首之角殆非真角角既非真邊之比例亦當小異三也目視手運微有振動四也一時用目兼測兩星其間度分必難確合五也竿與衡應成直角乃兩管交互相合焉保無差差之甚微其失甚鉅六也今厯家知此六訛不復施用別作新弧矢儀如左








　　新儀器解
　　天體為立圓面為環周線為弧曲圓與方曲與直則異類也異類相求亙古無相等之率凡圭表弧矢等儀所得度數不能全與天行相當相準致差之根殆非一二〈見圭表說揆日訂訛右弧矢儀說〉是以此等皆屬權法而古今名厯大都以圓儀為正用論其殊致畧有四端儀之體正同天體截為度分正合天之度分平儀則否〈如圭表測景日髙景短一度得一寸日低景長一度得二三寸〉一也圓儀用窺衡窺表景簫等竅止容針通光極細所求分秒毫芒不失平儀不能得此二也圎儀舉手得數即是度分平儀尚須立成表推算三也圓儀七政共用一當三四平儀止堪本用四也下文並著圗法以待用器者擇焉
　　儀器之用有六一測日月星地平髙之緯度二測地平東西南北之經度三測日月星各兩㸃相距之度分四測日月星赤道上之經度緯度五測日月星黃道上之經度緯度六測定時刻
　　古今儀器造法百變綜而論之其形體則大儀勝小儀其材質則銅儀勝鐵儀木儀其置頓則恆儀勝游儀何者儀大則分畫愈細可得分秒小則每度僅容分許古稱若干度半者是也或分四古稱半及少半太半者是也或分五則稱二十四十是也故曰大勝小也銅儀不受侵蝕永無渝變鐵多鏽損雕鎪更難木多欹斜易致毀折故曰銅勝他材也〈或用銅鐵雜或用銅木雜隨宜造之或雜錫木者則應猝小器易於雕刻亦便屢更皆屬權法不堪久用銅亦宜純黃色須銅多鍮少若出山銅純赤則起䵄雜錫則太堅亦不可用〉恆儀定方向置之永久不易恆與天行相準游儀動盪得數未真故曰恆勝游也
　　諸儀為用皆以求七政恆星分畫之界域躔離之期限運行之體勢其功力所必資者則分與窺其大端也分欲極細欲極均窺欲極宻欲極確此二者厯學之資用儀器之權輿古今名史咸究心焉今先具兩公法首端向後諸器悉此取資無煩備載
　　一窺法　窺法之用器有二一曰窺衡一曰窺表窺衡者即古之窺管窺簫也管孔大即測騐未真今欲造一管其孔僅大於黍米或小於芥子長數尺欲以之從上照而得日景以之從下覷而見星體則無法可作故用窺衡焉測日之衡長與儀等廣與定度平分其廣去其半而不盡其一端所不盡者其長與廣之元度等是為衡首衡首之制剡為圓形形之心是為衡之心亦即為儀之心從心出線至于衡之末依半衡之邊作一直線名曰指線近衡之兩端各立一銅版其形長方廣四則髙六可也是名窺表立表與衡之平面為直角表之兩面各取中作指線之垂線名曰心線兩心線之上去衡面等各作一㸃是為表心表之近衡心者曰上表上表從心作圓孔最大者無過一分〈寧用周尺勿用市尺若儀大孔〉
　　〈小二表之相去逺日光必淡孔大距遠則光愈大非下表可容若儀小則表小孔亦小為距近得光易〉其在衡末者曰下表表心不作孔從心作大小數平行距心圏務令上表之孔下表之心俱與指線相直而去衡之平面等髙
　　次剡薄木板為方管三中管之廣如衡首之廣其長如衡三之二兩端之管小於中管其長如中管二之一其廣無度既成入之中管宻而不濇可也中管之中相去尺餘為螺旋之柱二三以合于衡面小管入於中管出入之各切其所當之表即兩表間無容光之隙故三表之總名曰景簫景簫者承上表所受之光束而致之下表也下管之切下表不盡五分刻方孔令從旁得見下表之面用時加管受光因表間之黝黒即下表之受景也真〈日體正圓孔圎所受之景亦圎〉次令景之圈合表面之距心圏轉儀及衡左右下上之必合乃止次視指線之
　　末所當度分即所求之度分
　　若不用衡則從表向儀心之線為指線蓋圓儀之弧上所定度分皆宗儀心故
　　測星之窺衡則異前法上表之髙廣各若干下表倍之下表之面作方形三線與上表等線外三面作方孔孔之長稍殺於中方之長其廣無過一分用時目居下表之後令中方揜星從三孔察上表之同方邊各見星即目
　　與兩表與星皆叅直　或兩表各依心線一左一右各去其四之一令星居兩闕間一線之上亦得目與表與星相叅直若不用衡則以圎柱代上表其髙廣與之等〈用衡者上下兩表恆平行不用衡則下表依弧遷而上表不與偕遷即不得為平行代以圎柱則隨所至與上表等廣不失為平行〉表或柱若在大儀宜得一寸以下恐暮夜不可得見也
　　凢儀不用窺衡即為游表置之上以
　　當下表游表之制或用翕版或用螺柱
　　以合於弧如圗甲乙為表版丙丁乙戊
　　二版與甲乙為直角以夾而稍寛戊
　　乙版上別加一剛鐵薄版其廣與戊乙等其長三倍之己庚兩端稍昂起按之則下令兩夾入於邊弛之復起即庚己兩端急合於弧令抱而不脫故庚己名翕版也或不用庚己而於戊乙版心作螺旋之孔為辛以螺柱從下轉入之漸轉之亦急合於弧
　　一分法　凢平圎面從心出四線四平分之每分為一象限分度者或以全或以一象限其分法有二一舊法一新法舊法用象限平面直角為心弧邊為界自外而內作四十五距等平行圏外一圏分九十次內二分八十九次三分八十八次四分八十七如是逓減一分以至四十五弧為四十五分每弧之端識以命弧之數每弧之分遇十遇五各識之加窺衡加權線以架承之用法凡測日月星之髙用權線或窺衡之指線必切一弧之一分　若切外一圏之一分因弧為九十度即所切為所求正度　若切向內某弧之一分則以本弧之若干分為一率以所截某分為二率以九十為三率推第四率得度不盡以六十乘之以本弧分數除之得分又不盡又如前乘之除之得秒又不盡又如前乘之除之得微
　　假如截第二十圏之四十分本弧之分數為七十則七十與四十若九十與某數算得五十一不盡三十　六十乘之七十除之得二十五不盡五十○再乘再除得四十二不盡六十　再乘再除得五十一總之得五十一度二十五分四十二秒五十一微　如取數欲宻如前再乘除之欲簡視所餘滿半收為一不滿去之右法有本論有分圖本法西儒丁氏所創能於一線所至悉得度分秒微可謂巧思絶人矣然而分圏己繁悉分諸圏則又繁每求一率當乘除數四則又繁埀線所至交於多分遇有二三疑似亦難辨決且儀面平實體質過重以彼材物造為空中之儀豈不倍大故近來名史改用後法焉







　　新法一象限分九十度每度又當為六十分一度之弧不容分矣今以直角為心邊為界作弧次內復作一弧兩弧相距為五十分半徑之一約每兩度兩弧之間各成甲乙丙丁方形又從心作線六平分之成戊丁庚己
　　等六長方形各形作戊丁等對角線每
　　線十平分之儀大則二十平分之是一
　　小分為六十分度之一一分也或為百
　　二十分度之一三十秒也因戊丁對角
　　線大於丁己弧則其小分亦大於弧上之小分

　　論曰凡直線方形之對角線任為若干分從各分作線與兩腰平行必分底而底之分與之分比例等〈幾何六卷十題〉今從心所出之甲丁乙丙兩腰非直線形之兩腰即
　　甲乙丁丙兩底不等或疑以為難用不
　　知儀大弧小〈六分度之一五千四百○分象弧之一〉以較
　　直線形所差極微或言度數之學在於
　　慎小一秒之差獨非差乎曰然姑以數
　　計之則所差者非目所能見亦非推算所及用也試如本書四卷所推半徑為十萬全周為六二九一五五三百六十度為用六乗之得全周之分弧如丁己者二一六○以除全周得二九一又四之一不盡丁己所得周數也又於半徑減五十分之一得九八○○○從心至甲至乙之徑也求其周得六三○二八六以二一六○除之得二九六又三之一不盡甲戊所得周數也兩數之較五即丁己弧大於甲戊弧之數約為六十分之一則十秒也又各十分之則兩小分小大之較一秒也若所求數為一度則最後小分之較三千六百秒之一秒也十度則三萬六千秒之一秒也豈目力所及見推算所及用哉
　　新法測髙儀第一　凡六式
　　一式曰象限懸儀作象限直角為心旁一邊定置窺表二
　　分弧為九十度又細分如前法從窺表
　　邊起算儀心為樞倚柱柱之下端為圓
　　軸以入於架從樞以髙下舉從柱以左
　　右旋可周窺也從樞心出垂線加權
　　用測日月星之髙轉儀向所測垂線所加度分即距天頂度分〈或日月星近地平近天頂儀體過重難舉亦可儀中作樞不必定在直角〉
　　二式曰平面懸儀作平圎面頂有連環隨所在懸之自為垂線從心作橫直線為地平周分三百六十度儀小依
　　幾何法〈三卷二十題〉分一百八十每
　　分當二度又六十分之如前法
　　儀周作兩平行圏以容度分內
　　弧之上從頂左右各取二十二
　　度半作圎孔各加轉表一〈或止用一〉
　　〈表〉轉表者依表之心線為枘以入於儀周之孔其端外出以螺旋止之儀心為樞貫以窺衡衡之首依指線作度指以取度分
　　衡之末稍短勿及於弧周之表又須訂取其重心令左右平〈凡物皆有重心以為機軸則易轉如衡之樞兩端置等重之物訂之而平則樞為重心説見造形法〉衡首之指線交於內弧之一㸃作孔亦加轉表與儀邊之轉表同居內弧一線之上也儀邊表從心向上每五度十度刻識之至九十度而止若二表則各向上交錯並識之
　　用測日月星轉衡令兩表與某㸃叅直轉表令平行〈兩表上兩孔相對即平行〉則度指所當度分為地平上之髙度分如圖甲丁為儀上之兩表其距天頂等即甲丁線為地
　　平丙乙為窺衡乙為衡首之轉
　　表乙從甲向日得光相叅直即
　　丁乙弧為地平上之日軌髙何
　　者丁丙乙為在心分圏角乗丁
　　乙弧丁甲乙為在界負圏角亦
　　乗丁乙弧幾何言兩角所乗之弧等則分圏角倍大於負圏角〈三卷二十〉今丁乙為六十度弧〈三百六十分之〉即丁丙乙為六十度之角丁丙乙半之即三十度之角〈甲㸃止論負圏不論在分圏角之內外〉元分周以一百八十度今從丁起算至乙得三十度是丁甲乙角之弧〈元設以二當一〉
　　三式曰象限立運儀造象限分度如前法訂取重心置軸
　　與立邊平行軸之兩端加以鐵樞
　　上下各以架受樞平邊在上加窺
　　衡權線如常法下架有立柱柱之
　　端為鐵環以承下樞環之徑三倍
　　於樞之徑環之三面各加螺柱橫
　　入於環出入展縮以進退樞令就合於垂線也
　　四式曰象限座正儀如前造象限縱橫木為架架底之四
　　隅加螺柱三展縮髙下以取平令合於
　　垂線


　　五式曰象限大儀木造大象限鍛銅為分弧之邊為窺衡之面為表半徑長十尺以外細分弧可得至十秒此儀體質重大運動惟艱可依正子午線倚臺牆定置之以測日月星午正時之赤道緯度
　　六式曰三直游儀見舊法第一章








　　新法地平經緯儀第二　凡一式
　　地平經度者分地平圏為三百六十從天頂向各度作一百八十過心大圏以限地平之經度容地平之緯度也從午正向東向西各起算或從北從東西皆可儀法作全圏循周為渠以注水〈或用準平之器〉弧分三百六十度每度任細分之中心為圎孔定置之去地二尺餘與地平平行承以六礎或以臺架
　　別作象限其半徑與平圏之全徑等平分其徑與平邊為直角而傅之軸軸之下端入於平圏之孔即象限側

　　立於平圏之上相與為直角而環行不滯可周窺也平邊之下依正線〈過平圏心之線亦過軸心之線〉為衡左右出其一端居儀之背立斜柱以支儀一端居儀面作指線為度指以取平圏之度其窺衡等如前法
　　用法定儀依子午線取正水準取平〈求子午線諸法見厯指一卷指南針此地徧東無定度難可為據〉測日或星〈各用本測窺表〉轉象儀向本㸃升降窺衡取叅直即得地平上之髙為緯度度指所當平弧之度分距子午或卯酉為地平之經度依此經緯度可推赤道經緯度可推日月五星之視差地半經差清𫎇氣差等
　　詳論造法為移動之儀宜三足足下以螺柱取平　大儀難運則其底切地盤處加兩轆轤之軸　儀髙恐搖不直則長其軸上切於儀背下入於架之底架之底為鐵窽以承之軸欲粗或儀背作一句股形其股切儀其句合於地盤枎柱以取直也　窺衡欲廣欲厚細而薄則撓而不直以定髙下前後不相應衡之末為鉤以止之儀之後螺旋以固之　窺表宜為二具一測日一測星

　　新法距度儀第三　凡三式
　　測日月星兩㸃相距別有二法一同時測兩㸃之地平經緯度以推其相距度一用赤道儀求其赤道上經緯度以推距度俱見本書第六卷今用儀器三式測得之省算




　　弧矢新儀圗








　　一式曰弧矢新儀畧如舊式一幹二衡幹長四五尺大衡之長與之等小衡之長為幹二之一平分兩衡之中而為鑿幹之兩端俱為方枘入之各左右為支柱凡四支柱之兩端各以兩螺柱固之不用可解而散也凡螺柱十六兩衡之交於幹也左右各為直角前後各為平面幹與衡之方廣用木則三四寸用銅鐵則周尺一寸以下其表小衡上有三皆圓柱定置之大衡二一定一游分法幹之一面為一百平分或一千平分仍以元度分大衡〈細分可用對角線如前分法〉其對面則依前舊儀法分度數幹之度數從幹首起算幹首者近大衡之一端也衡之度數從衡心起算左右分列之
　　小衡之分用切線之數左右分列之各至十度而止小衡之定表三中一左右各一皆圎柱也〈表之徑線合十度之線〉別作窺表二則於大衡之上游移用之又定置一窺表居大衡之心儀之全體訂取其重心以為儀心刻識之為架以承儀架有柱為山口以合於儀心螺旋固之柱與架為三運之樞軸左之右之髙之下之平之側之惟所用之〈三運之法山口之下為橫軸以髙下運橫軸之下為鶴膝以平側運鶴膝之下為立軸以左右運又名六合之紐〉
　　用法測兩星相距置儀於架一人從大橫之中表過小中表窺某星叅直定儀一人用游表於大衡之上進退之過小中表窺他星令叅直次取大中表至游表之指線所定度分即兩星之距度分
　　若兩星太近難容並測則一人置游表於大衡之左十度向小左表對某星一人置游表於大衡之右向小中表游移之與他星取直則大衡心至右表之度分為兩星之距度分何者左兩表之視線與中兩表平行兩線與右表之視線各作角必等
　　若兩星距遠過儀之度限非前法可測則置游表於大衡之左十度一人從大左表向小右表一人用大右表游移向小左表交測之得大衡之兩表距以加小衡之兩表距〈定為二十度〉為兩星相距遠之度
　　解曰甲乙為幹丙乙己為大衡丁甲戊為小衡甲丁乙丙各十度己為游表目從丙〈大左表〉過戊〈小右表〉見星作丙戊視線從己〈大右表〉過丁〈小左表〉見星作己丁視線兩視線遇於庚成丙庚己角即兩星相距之角何者試從丙作
　　丙丁線與甲乙平行成丙丁戊形丁
　　戊為丙角之切線〈定為二十度角〉又成丙丁
　　己角丙己其切線則丁為大衡兩表
　　之距度角而丙丁兩角之度並之為
　　丁戊丙己兩線之數夫己庚丙角為丁庚丙三角形之外角必與丁丙兩對角等〈幾何一卷十六〉故曰丙己丁戊兩線數並為兩星相距度者丙庚己角也
　　二式曰弩儀儀一幹一弧幹之長為弧之半徑弧之通其長與幹等左右為支柱各一弧之中設定表一旁用
　　游表各一幹之末弧之心
　　也定置窺表一兩人並測
　　如上法


　　三式曰紀限儀〈紀限者六十度也〉其弧為全圏六分之一兩旁各作一半徑成三角等腰雜形以堅木為之中多説輄縱橫以為固鍛銅加於弧之邊依法作細度分弧之心測星用圎柱測日用窺表更置之弧上設兩游表訂取重
　　心依重心為三運之樞以架
　　承之或以臺承之
　　用法一人從弧上一表過圓
　　柱見某星一人從他表過圓
　　柱見他星兩游表間度分為
　　星距度分　　　三運法儀背加兩環圓軸入之又依
　　圓軸為徑作半周圈架心立圓柱可
　　周轉柱上為山口以容周與徑容周
　　之處空而利轉容徑之處為小圓軸
　　以聨之三運處寧苦無甘寛則難定也
　　新法赤道經緯儀第四　凡二式
　　測赤道緯度別法星在正午圏測其地平緯度〈即地平上髙〉得數內減赤道髙度為某星之赤道緯度若星在天頂北測其北髙內減北極髙度為星距北極之緯度若星在子午圏外則測地平經緯度可推赤道緯度此借法也其本法當用本儀


　　〈赤道經緯簡儀圖〉

















　　一式曰赤道經緯簡儀用全周圏一半周圏一全圏之用在其外弧設縱橫諸輄以固其內半圏之用在其內䂓設正斜支柱以安其外當全圏之心而設軸與圏面平行軸之兩端為兩極設架北髙南下各為圓竅以受極其髙下之較本地北極出地之度分也是為過極經圏半圏者仰儀也內䂓向上斜置之為赤道之地下半周與全圏為直角轉全圏則切其內䂓面而過之分法全圏從極起算又從赤道起算交互識之半圏從子午線起算分識之全圏之上設游表軸之心設柱表如前圖甲乙丙丁為全圏甲丙為兩極乙戊丁為赤道乙己丁為半圏庚辛為架底於庚辛架上從癸別作一橫底兩端立柱以承半圏之丁乙定置之半圏之己亦定置於元架之壬轉全圏則乙戊丁赤道切半圏環行用法轉儀用游表左右進退過柱表而見星即從弧上行星距赤道南北之緯度分或距北極之緯度分又全圏切半圏得赤道上星距子午圏之經度差


　　赤道經緯全儀圖







　　二式曰赤道經緯全儀用四全圏外第一甲圏分三百六十度如本方北極出地之度斜入於半圏之架定置之是為子午圏次內二乙圏乙之外規面與甲之內規面宻相切而結於南北兩極是為過極圏亦名載赤道圏次三丙是為赤道圏縱橫合於乙圏兩交處皆作直角又各作凹以相入令兩圏之內外皆為平面也次內四丁亦結於兩極為過極圏以容赤道之緯度又名赤道緯圏與乙丙二圏宻相切兩過極圏貫以一軸而合於甲三游圏之各兩側面皆依法為細度分亦作游表數

　　具於各弧之上游移用之軸心立圎柱表架之上兩端準地平以定極出入之度置儀依子午線以取正加垂權以取直
　　凡聚圏為儀欲極圓令規面相切宻而不礙樞軸欲正傅軸勿於規面於側面軸之心與側面為一㸃刻面為半圓而合之加
　　伏以受之何故為度分之界指線所切窺表所及皆在側面故
　　用法以測兩星赤道經度差一人用游表於緯圏向中柱表對星又一人用游表於載赤道圏向中柱對他星即兩過極圏所限赤道圏上度分為兩星之經度差又兩圏上兩游表相距度分即兩星距赤道南北之緯度分













　　新法黃道經緯儀第五　凡一式
　　黃道經緯度儀與赤道經緯儀畧同用四全圏外第一甲圏斜入於架查本地北極出地度定置之為子午圏次內二乙圏外切甲而結於赤道兩極為過極圏距赤極二十三度三十一分三十○秒為黃道極距黃極九十度橫置次三丙圏曰黃道圏與過極圏交為斜角〈即六十六度二十八分三十秒之角〉故乙圏又名載黃道圏也乙丙之交為凹以相入令內外規皆平面次內四丁圏宗黃道極外切於黃道圏是名黃道緯度圏中設黃道軸軸中心立圓

　　柱表作游表用架用權線等與赤道同法
　　用法求某星之黃道經緯度一人於黃道圏上查先得某星之經度分〈測黃道度必以顯推隠顯者為先得之某星隠者為今所求先得之初星必用日月太白逓求之法見恆星厯指〉加游表其上過柱表對星定儀又一人用游表於緯圏上過柱表對星游移取直即緯圏上游表之指線定某星之緯度又定儀查黃道圏與某圏相距度分即某星之經度差
　　右黃赤二儀用法詳見恆星厯指










　　西史第谷所用儀器總目〈附〉
　　近四十年前西史第谷覃精星厯四十年中朝夕候驗無間寒暑諸方行測不遠數千里有門下髙足十餘人所用儀器甚多皆酌量古法精加研審多所創造出人意表體制極大分限極精勘驗極確嘗自選厯器解其造法用法著書一卷近來厯學推為名宿於器於法多宗用之今畧敘其器目如左
　　測髙象限　計六式
　　一式銅版為象限半徑一尺五寸中平面刻先儒丁氏分弧法有鐵座有立樞有垂權座之四隅有螺柱以取平
　　二式裁銅為二徑一弧合成儀中虛則體輕
　　三式冶銅為大象限半徑八尺倚墻南向定置之其細分可至五秒用游表測七政過午正度分
　　四式以木為徑弧銅版為弧面有游表有樞軸有架旋轉周測半徑七尺
　　五式鐵為象限外有矩度下有地平圏以測地平經緯度其半徑八尺
　　各有度分小衡用柱表小弧用游表可測相近兩星之距度分下設三運之樞餘如常法
　　三式為䂓儀冶銅為兩股長七尺上端為樞心有弧入於股之下端開闔之兩腰間加螺旋之弧隨弧開闔欲止則以兩螺圏固之樞心立柱表弧上設游表
　　黃赤道經緯度儀　計四式
　　一式為赤道簡儀一全周一半周徑一丈一尺二式為三圈儀即赤道圏載赤道圏子午圏徑七尺三式為赤道四圏儀徑七尺
　　四式為黃道四圏儀徑七尺
　　渾球大儀　計一式
　　作實圓球內木外銅徑一丈十年乃成上定各星經緯度諸道諸圏無不備具可量度宗動天之度數球外有子午全圏地平全圏地平緯象限弧等
　　此外有古弧矢平渾環儀等體制既小分數未宻止堪行測不為大用別有圖說茲未備載


　　圭表儀〈附〉
　　用圭表以測日髙見表度說有五題今引用之詳見本篇一地球在天之中〈雲天中者在恆星天宗動之中也七政則否說見厯指〉二日輪隨本天周動下向地平其環轉皆平行故地體之上立表取景亦平行〈日有最髙最髙衝不得為平行此之然者以測日髙所差甚㣲可置弗論耳〉
　　三地球小於日輪從日輪下視地球上於一㸃〈若細測細推則地與日有比例有地半徑差非大圓儀測候不可得算此聊畧取景不能及此說見厯指〉
　　四地本圓體〈山髙海深或疑非圓不知髙深甚微如一大圓徑數十丈加之一芥損之毫末不害為圓〉
　　五表端為地心〈以此測恆星則可若日月五星則以地平距地心之半徑為差測七政本天距地之度分安得棄而不用乎特所差甚微此姑不用可耳〉
　　分表用全數或百分或千分欲得其度分數從八線表取之
　　造表有二法一為直表以取正景表直則為平圭一為橫表以取倒景表橫則為立圭其法畧同
　　凡圭與表必相與為直角直角者從表末施垂線繫以末銳之權下至表面所切圭面之一㸃即以起算是直角也〈取景以表末為主不論表之體勢〉圭欲極平立圭欲極直平圭者或為渠以水準之或為準平之器以定之立圭則以垂權正之分圭之度即用分表之度圭之長倍表極愈下表當加長量作之
　　日升表前即表後得景則表圭日光成三角形表為股圭為句日光為表為半徑全數圭為切線日光為割線〈見本書一卷論直角形法〉查八線表切線數得度分即日躔天頂度分以減象限得日髙度分
　　按元史言表短則分秒難別表長則景虛而淡又以表端測晷所得者日體上邊之景實非中景郭守敬輩創為景符今臺官遵用之郭氏此法既得實景復得中景可謂思致𤣥通度越前人矣其制以銅葉博二寸長加博之二中穿一竅若針芥然以方閵為跌一端設為機軸令可開闔搘以一端使其勢斜倚北髙南下往來遷就於虛景之中竅達日光僅如米許隠然見橫梁於中令臺官以方木代銅便於旋轉以隙縫代圓竅易於得景其理則同
　　或問景符之得實景則從隙孔透光至於圭面不至散越其理甚明矣若用景符而得中景其理謂何曰此屬度數家之視學也具有本論今畧借五題解之一曰有光之體自發光必以直線射光至所照之物二曰有光之多體同照光複者必深而各體之本光不亂三曰有大光體中有暗體分光體為二即一光體為有光之兩體
　　四曰光體射光過小圓孔若所照不遠則光仍如本光體之形
　　五曰兩光體各射光過小孔反照之上體之光在下下體之光在上右在左左在右
　　用橫梁暗體也分日輪為上下二分即成兩光體兩體之兩光過隙則日上分之光在下下分之光在上橫梁在上下之間實得中景塔影倒垂義同於此
　　若不用梁用表末而欲得中景即定用郭氏舊式用圓孔遷就於虛景之中令見半圏之光此半光者必在下弧必在上而其則表末之景也蓋日輪半在表末之上半在表末之下而上下相易故
　　新法算書卷九十六



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷九十七　　明　徐光啟等　撰新法厯引
　　厯學維新
　　厯學有法有用法者測各重天之運行體勢以審諸曜出入隠現以求本行軌道以定凖則也用者取本法測定之分數隨方隨時以推步日月五星次舍衝照交食凌犯順逆等情也二者闕一不可然而立法難矣語雲毫釐之差千里之謬在厯學為尤甚中國自漢迄元造厯者七十餘軰立法者僅十有三家且皆不免乖違後人難憑致用有謂得一冬至之正時即為密近者非也測冬至之於厯術未及百分之一聞一知百世無其人有謂得一歳實一朔實及轉終交終等䇿為巳定者非也此皆諸曜平行之率何由遽定視行有謂測率四應可以無忒者非也此不過推算平行之界而已有謂多測交食稽其某法先天某法後天而後彚計籌䇿折中取之者亦非也厯家法數繁𤨏用以筭步交食不下四十餘條究竟何項何欵可以折中取半者因知古來修改門戶雖岐實則互相依傍間有出一二新意亦未必洞曉本元跡其大端猶不過截前至後通計所差加減乘除分𣲖各歳之下便謂修改己耳即使僅合一時豈能施諸久逺後惟授時厯庶稱精密顧其法亦未盡善在當日已有推食不食食而失推之弊何況沿襲至於今日哉他若囘囘厯者其厯元為西域所定使非中厯先推太陽躔度至春分之日彼亦茫然無據以得支幹以合中國所用歳月也況其厯元已厯千年不可復用乎茲惟新法悉本之西洋治厯名家曰多祿某曰亞而封所曰歌白泥曰苐谷四人者蓋西國之於厯學師傳曹習人自為家而是四家者首為後學之所推重著述既繁測驗益密立法致用俱臻至極旅軰採其精詳究其奧𧷤而又叅以獨得發所未發焉更審今測以廣古測必求合天年世互考中西名例半皆仍舊合異歸同成書已進闕庭新法已行天下用彰昭代厯典度越前古暨質諸來𱵲雖億萬年永永不爽雲
　　地球
　　地在天之中心常靜不動與天相較不啻稊米之於喬嶽也其形渾圓古謂方者蓋指其徳耳凡居處地球者其視日景之不同分有五帶其中則自赤道南北各以二十三度半為限〈此即二極出地之髙〉名為煖帶居其下者午正立表揆日測景必自射南射北顧每歳必有二日其表無景即春秋二分太陽正過其天頂之日也〈此指正居赤道下者春秋二分日中無景過春分則景在南過秋分則景在北〉此帶惟一又於其南其北各自二十三度半外各截至六十六度半為限名為溫帶其下居南者表景恆射南居北者表景恆射北歳有一日其景極短然太陽則不經其天頂矣此帶有二以上三帶皆太陽每日有出有入者也又於南北二方自六十六度半外各底其極名為冷帶其下或表景周圍旋轉有日太陽繞其地恆見有日太陽繞其地恆隠隠見之𠉀或久至半歳或數月不等此帶亦二是為大地共分五帶之槩也因此推知距赤道之南北二方其氣侯必相反如太陽躔星紀宮向北之方為冬至向南之方為夏至春秋二分以及諸節莫不皆然又因此推知地球為人所止以天頂而分四方亦可界為三百六十度以合天行東西為經測以赤道南北為緯測以子午〈規名解見下篇〉但測南北者有二極以為之端欲測東西則湏先定一所以為起界〈新厯悉以京師為起界他方雖未親測亦據輿圖以定其經緯〉而後地之經緯皆可得而明焉苟不諳此則無以知幅𢄙相距之數而諸方太陽節氣五星經度凌犯交食時刻日食分秒悉無從推步矣〈日食南北東西各不同月食分數皆同但東西不同時耳〉且不惟是即古測今測歳實之異日出日入晝夜永短之差咸取準於地之緯度所係大矣其可忽諸
　　天道
　　天體渾淪穹然莫辨必也相形酌理判立界限以為依據而後推測之功可施則夫設立諸規以著象數為用甚大且急較為厯家首務也新法總有四大規一曰地平一曰赤道一曰黃道一曰子午四規闕一不可蓋地平規者從人足所附極目四望之界而設也人附地靣所可望見者天之半耳其半恆繞於地下人不可得而見也即此可見不可見之界而諸曜由是而出入明暗晝夜由是而分因設此規剖為四象以應四方象各限以九十度是為地平經度而各曜出入之方位以辨矣又自地平上至天頂設距等圈以為地平緯度而各曜漸升之度以明各曜出地離赤道之緯度並北極出地之數皆可得而稽之矣赤道規者從南北二極相距正中之界而設也古曰天行健又曰天左旋左旋而行健則知南北必有其極矣極也者天體永久不動之兩㸃周天倚為環動之樞者也〈極非星也雲極星者蓋指其最近極之星以命耳〉如一極出地必一極入地其出入之度惟均厯家乃於二極相距最中之界設有赤道一規平分天體為南北南者為外為陽而北者為內為隂其亘於天中也終古不易推步者畢賴之為準則無容置議也本規列度三百有六十辰十有二刻九十有六天體一日一周之運於是焉紀晝夜刻分之永短於是焉定黃道出入之廣狹於是焉齊春秋二分之晷景於是焉限南北緯算於是焉起大地全圓於是焉度凡此皆其用也黃道規者從太陽旋周一歳之界而設也蓋太陽行天一歳所周軌蹟旋以成規是名黃道本規斜絡於赤道其半在南最南界為冬至其半在北最北界為夏至二道相交之兩㸃為春秋分以故四平分之為象限限各九十度者是即二分二至四正之限也總計為三百六十度十二剖之為宮二十四剖之為節氣七十二剖之為𠉀蓋用以節七曜列宿之行用以審日月交食之限至較著也子午規者從諸曜升降度適中之界而設也太陽一日旋天一周見於東方漸升至髙為正午此地平以上東半晝分過午向西漸底地平是為西半晝分乃謂之降他曜皆然於此升降度之中界立有一規名為子午諸曜際此謂為在子在午是規透過赤道及地平各二極其偕赤道地平而交為直角也恆然不動但人在地面南北遷此規惟一東西遷則隨在各異也〈與地平同〉巳上四規各有本用所係非小厯家測𠉀欲求七政行度會望等諸法舍此無從措手以此未言象數先以詳明諸規為首務也
　　一系赤道有恆動恆不動二用恆不動者以定各方時刻恆動者以相交相割於黃道也俗謂赤道有二者蓋即指此二用非實有二道也
　　二系赤道正居天頂則兩極適與地平相當至若赤道斜交地平之所則極出地度數即赤道距天頂度數矣其經度即過極圈緯度即距等圈也
　　三系黃道與赤道斜交故其極自有本極謂之黃極黃極者恆星與太陽本行之樞也論二道最逺之距〈即南至北至之距〉今古不同今測定為天度二十三度三十一分三十秒上古較多數十分後此則漸減矣
　　四系周天諸道用立多規以便測驗但其為規也非止旋周一線而已蓋一滿平圓面也面為各曜之所經行故謂之道某曜在某靣上即謂之在某道雲
　　厯元
　　所謂厯元者乃以諸曜之平行同時而求各所厯數厯家因之用為起算之根也新法則以天聰戊辰前太陽過天正冬至後第一子正為厯元其日干則己夘也斯時太陽躔星紀宮初度五十三分太隂在六宮初度五十分他曜皆以此時行度為準不用冬至時刻與舊厯異縁冬至有正有平最難得其真率也夫厯元為諸算先資稍有舛忒即諸行皆謬矣況諸曜終歳細行莫不以子正起筭又安用冬至時刻為哉
　　厯算
　　舊以周天判為三百六十五度又四分度之一所謂日度也蓋以太陽之行黃道日一度度析百分分析百秒且又均之分為宮次氣𠉀法用竒零勢難齊一且天度者歳實之日分也中厯所用歳實諸家多寡不等是其分天非一定之術而為游移之法欲以是決定諸曜之行豈不難乎若夫新法之分周天厯度也即於天度以三百六十平剖之度析六十分分析六十秒蓋六十者半之則為三十三之一則二十四之一則十五餘任剖析皆為自然而然之分往古厯紀未始繁載但於測得之數曰某度幾何分之一而巳錯綜離合其於厯算甚便也請言厯算夫厯之為數祗就天行無假淹貫九章而其所須用者加減乘除開方五法古用觚稜近便珠算西法第資毫頴今復有算籌之創簡㨗尤甚矣所謂加法者以類相比倂多分以成全如度倂度分倂分秒併秒時刻倂時刻是也此湏知定位及進位之法如積六十秒為一分積六十分為一度秒進於分之位分進於度之位而與他度分秒並之若加時刻則以十五分進一刻四刻進一時二十四時進一日二十四西法謂之小時也此加法也減與加反用稽所餘其法先湏較數多寡多中減寡理數易明若於少內減多必立借法以通其變如借度化分借分化秒為本類以用之乘法者九九互積之義有實數有法數凡單數乘度分秒不變位若度乘度復生多度分乘分以生秒秒乘秒以生微則皆變位〈分秒相生皆指竒零而言〉此不可不知也除法者以少剖多分分除減意也為法有二或以單數商除亦不變位苟分度不盡即以餘度化分除之分秒亦然開方者以化法求其微數用籌乗除然後再受為度或用三率法亦可是五法者盡厯算矣然而新厯之算諸星經緯及交食等項也蓋有二術其一取所圖各宿曜本行規之半徑幷其所設某日平行〈即本圈上之弧〉用諸三角形法推演乃可得經緯細行或交食之分數時刻此術最為縝密果能精心於此即諸天周行軌跡隠微㒺不洞然其二以先所推定諸表握筭設如某日某刻欲求太陽經度則第用加減二法檢表二三次以求即可得其宮度較之中厯節氣求經朔之法簡便數倍餘如五星太陰等曜以及交食皆各有表可稽火星兼用乘除他則但資加減立法雖難致用則易然而一趨超徑萬一操觚小失恐幷迷昧元初之理所以二術不可偏廢皆為推步家之所朝夕從事者也
　　勾股
　　勾股之術從來尚矣古九章周髀載之究不過一三邊直角形而巳垂線為股橫線為勾斜線為測量家立表代股平圭代勾而景為其善斯術者髙深廣逺無不可求而測天之為用尤大然而舊法雖有三元五和五較等用不過設二求三且泥於直角一形若遇斜角角無以措用矣新法變而通之既名其公曰三角形又審其平靣球面曲線雜線鋭角鈍角之別即知天為圜體宜測以弧宿曜逺近諸道互交宜測以多類之弧遂生多類之三弧形於是各形咸備有三弧三角互設三以求餘三是謂以圓齊圓於法為善故雖天道隠微象數零雜未有能遁焉者也
　　割圓
　　割圜古法亦即以圜求圜之意但古法設弧以求矢欵目四十餘項頗為艱繁新法易之以表開卷即得蓋因圜形之弧與角總代以直線數種稽其數名為八線表雲夫圜形半徑為本規六平分之通若二半徑各自乘之並而開方可得本規四平分之通用幾何諸法又可得各度分之通其各弧及其通折半乃得正正弧有弧即有其矢矣故矢不另立表也通之外有切線割線通全在規內切線全在規外線從規心出於規周之外則為割線然而弧有正有餘矢切割四者因亦各有正餘如一象限為本表之限或於限內取幾何度謂為正弧其或逾九十度者即謂之餘矣正餘各有矢割切四線都為八線也
　　恆星
　　恆星亦名列星亦名經星雲恆者謂其象終古不易也雲經者以別於五緯南北行之義其數甚夥莫能窮盡就中有光體𣺌微非目可及非儀可測者畧而不錄其在等第之內已經新法測定者南北二極共一千七百二十有五星稽其大小分為六等第一等大星如五帝座織女類者一十有七二等如帝星開陽類者五十有七三等如太子少衞類者八十有五四等如上將柱使類者三百八十有九五等如上相虎賁類者三百二十有三六等如天皇大帝后宮類者二百九十有五此皆有名之星計共一千一百六十有六餘皆無名者矣至於天漢斜絡天體古昔多謬解邇來窺以逺鏡知是無算小星接攅一帶即如積屍氣等亦小星攅聚以成第非人目所能辨遂作如是觀耳小者不足論論其大者古厯以周天諸星分為三垣二十八宿各定有名位座次每座每宿星數多寡不齊顧其所謂宿者蓋取七曜經行止宿之義且用以便測算經度又為其各能主施徳也西古厯亦列二十八舍所定二十八距星皆與中古脗合第觜距西用天闗為小異耳此二十八宿者各以一字命名分註每日之下內以房虛星𭥦四宿為屬太陽之日心危畢張為屬太陰之日此外五緯各屬四宿每以七日為期每日各屬一宿西厯亦然西經傳上古有一大師名諾厄者廣宣厯理以遍萬國則亦有所本也
　　一系星之命名多係借義非可過泥虛名便謂實有其驗比如貫索一星中以其象囹圄名以貫索西以其象冠冕名以冠冕一吉一㐫全由人意豈天星實然乎至謂諸星情性不同旉施互異是又理所必然不得槩置弗論也故總圖於某星屬某緯者咸附註之
　　二系圖星之法有二一渾球有南北二極有地平子午諸規界判黃赤二道運之能肖天體旋轉以審各星經緯度分以辨星中出沒以測夜時甚便也一面平圖雖乏以上諸用然諸星位置宮度瞭若視掌為用亦大因有多種之分曰見界圖以北極為心其最南隠於地中星極非此方人目可見者則截出之一曰赤道圖黃道圖二者各以其極為心其道為界蓋皆以天之南北平剖為二圖者也曰分星圖依黃道分天為二十圖均賦經緯署以維辰按圖指陳天象莫晰於此外有渾蓋所用天盤以極為心截冬至規為界亦圖星於儀上肖天運動以覘諸星出沒升降又有平儀從二極剖天為南六宮北六宮二靣亦繪辰宿可代渾儀旋轉至若古傳星經圖步天歌等雖亦分有宿座便於觀覽而經緯度分悉皆茫然掛漏於測候無用也
　　星中出沒
　　太陽右旋一日一度終歳行天一周必復與某恆星合又必有某星與之衝厯家無從測其合者測得其衝者謂為歳差所從來矣然由本方極出地度恆星有出沒者亦有不出不沒者如京師北極出地四十度則星距極四十度以外皆為恆見而距南極四十度以內者在京皆不能見矣至論恆星見伏亦由太陽右旋至某宿度附近之星光為日奪故不能見迨太陽去離漸逺則此星光漸升東方見而不伏矣緣是而升至午㸃即曰中星此其星中出沒在立象學為用甚鉅而厯家但於中夜資之以定時刻而已
　　日軌
　　太陽之行黃道也論其積歳平分之數新法以天度計為五十九分八秒有竒所謂平行度分是也然平行齊而實行則固非齊矣冬盈而夏縮矣所以然者蓋縁黃道圈與日輪天不同心而黃道之心即地球心是日輪天與地球不同心也心既不同則日行距地近逺不等距近即行疾疾則所行之度過於平行而為盈每冬月一日計行一度一分有竒以較平行盈二分矣距逺即行遲遲則所行之度不及平行而為縮每夏月一日計行五十七分有竒以較平行則縮二分矣盈縮相差若此豈可謂之齊乎終歳之間但逢最髙限最卑限二日平實二行度數惟一此外兩行之較日日不等新法因其或過或不及也故有加分減分謂之加減差蓋以有恆率之平行為根而以加減差定之然後差而不差非齊而齊矣至論太陽之入某宮次以分節氣也亦有平實二算蓋算平行十五日二十一刻有竒為一節氣乃一歳二十四平分之一耳若用躔度之日以算則冬夏不齊冬一節氣為十四日八十四刻有竒夏一節氣為十五日七十二刻有竒總由夏遲冬疾故其差如此皆非舊厯之所解也
　　系太陽天距地極逺之㸃謂之最髙極近之㸃謂之最髙衝〈亦名最卑〉此二㸃者乃盈縮二行之界古法於冬夏二至謂其恆在一㸃其實非也按古今諸測皆各不齊古測最髙在夏至前數度今則在後六度矣以此推知一年之內太陽自行四十五秒也
　　年月
　　紀年者何太陽隨列宿東行旋天一周之期也太陽之行界二其一從某宮次度分行天一周而復於元度其數為三百六十五日二十四刻二十一分有竒其一為太陽㑹於列宿天之某星行天一周而復與元星會但其星每嵗有本行故湏加本行以定歳而其所湏加者新法定為五十一秒所謂歳差也然而日厯紀年惟以全日推算不用小餘如以太陽十二次會合太陰為歳也為三百五十四日每二年三年而閏一月中厯是已如以太陽周十二宮次為歳也為三百六十五日每四年而閏一日西厯是已此紀年之槩也紀月有二或因太陰會朔一次以定謂太陰之月或因太陽行一宮次以定謂太陽之月顧其十二分年之一分則一也一月之終分有大盡小盡者比如初朔子正苟二朔者過二十九日外而不及第三十日之子正則謂之小過子正則謂之大大則二朔同一天干小則不同矣故有三十日弱時刻不及者厯家不得名大或二十九日強而時刻巳逾者厯家仍不得名小也且宇內地度不同而月之大小因以互異比如京師第二朔在子初二刻未到子正其月為小而西安此朔則己在子正初刻又當為大盡矣地度愈逺時刻愈差非可強而同之也月有閏者太陽躔一宮之時與月會合二次以成者也其月因無中氣故謂之閏但古法置閏用平節氣而新法用太陽所躔天度節氣故閏有合有否或先後一月不等也
　　晝夜晨昏
　　太陽隨宗動天西行一周而復於元界謂之一日東升西降循環無端其在厯家起算判定一界以為依據則恆以太陽在子在午為凖也論從子午起算之日每歳實行度分日日不等差較一刻有餘蓋縁黃道夏遲冬疾差餘四分而黃赤二道又廣狹異距則率度必不同分此其所當審者也今論晝夜太陽在地平上人目可得而覩謂之晝太陽漸隱地平之下人目無見則謂之夜是晝夜者全由人居以分隨方〈極出地若干〉隨時〈太陽躔某宮〉其晝夜刻分皆可依法推算焉然而法算與目見恆異蓋太陽體大算法皆以體心出地為晝始而人目以一見日輪即為晝始又日出沒升降度有斜正不同又地平各曜出沒之界受清𫎇氣有變凡此皆非人目能辨故厯家立有視差法也一晝一夜平分為十二時時各八刻一日十二時共刻九十有六此恆率也其晝夜永短逓遷之故則不但日行南陸北陸不同而已亦由北極出地髙卑互異而永短因焉比如赤道正過天頂之地兩極合於地平其晝夜均停絶無永短又極在天頂赤道與地平平行其下晝夜亦無長短之較但太陽百八十日恆見百八十日恆隠耳此外諸方各有永短顧其一歳之中晝夜均停者四日握算者引而伸之據四日之一日逐漸加減因得九十日之晝夜長短隨可以推終歳之數也再論晨昏是分晝分夜之二界也太陽將出未出數刻之前其光東發星光漸為所奪是名為晨太陽已入迴光返照亦經數刻始逌然滅盡是名為昏其久暫分數亦因冬夏而分短長新法以日在地平下十八度內為晨昏之限但太陽行此十八度又各方各宮不等因有五刻七刻十刻之別若論極髙七十二度以上之處則夏月晨昏相切雖至丙夜無甚黯黑也
　　太陰
　　太陰之行參錯不一推歩籌算為力倍艱苟或分秒乖違交食豈能密合故必細審其行度所以然而後可立法致用也蓋月較諸曜本旋之外行復多種第一曰平行一日十三度有竒但此行之界凡四一界是從某宮次度分起算此界定而不動二界為本天之最髙此非定界每日自順天右行七分有竒是月距本天最髙一日為十三度三分有竒也故其平行二十七日三十刻有竒為一周已復於宮次元度又必再行二十三刻有竒為二十七日五十三刻始能及於本天之最髙此行新法謂之月自行中厯於此周謂之轉周滿一周謂之轉終其最髙則行八年有竒而周天謂之月孛三界為黃白二道相交之所所謂正交中交此界亦自有行乃逆行也〈自東而西〉每日三分有竒則月平行距正交一日為十三度十三分有竒至二十七日二十七刻減交行之一度二十三分得二十七日十五刻有竒月乃回於元界厯謂之交終四界是與太陽去離太陽一日約行一度則太陰距太陽為十二度十分有竒至二十九日五十三刻有竒逐及太陽復與之會厯謂朔䇿是也凡上四行總歸第一平行其第二行曰小輪每一朔內行滿輪周二次每日為二十四度有竒〈若以不同心圈論此即太陰中距圈也〉因有此行復生第二損益加減分雲第二者蓋於朔朢所用加減分外再加再減故也此行中厯所無以上太陰諸行新法定其軌轍不外三者均圈一不同心圈一小輪一然不同心圈與小輪名異而理實同厯家資以推算兩用互推所得之數正等也
　　一系月道惟一古謂月行九道者乃白道正交行及四正陰陽二厯各異命之因有八名加以公名共有九耳非真有九道也白道兩交黃道論最逺之距謂為五度此係二厯未甚大差之數新法測得凡朔望外相距皆過五度上下二則為五度一十七分三十秒推知二道相交之角非定而不動者要其廣狹之行恆以十五日為限也
　　二系合朔後月夕西見遲疾不一甚有差至三日者其故有三一因月視行度視行為疾叚則疾見遲叚則遲見一因黃道升降或斜或正正必疾見斜必遲見一因白道在緯南緯北凡在陰厯疾見陽厯遲見也此外又有極出地之不同朦朧分與炁差諸異所以遲疾難齊也
　　交食
　　凡日月之行二十九日有竒而東西同度謂之會朔至若日行在黃道近交人視為與日同經同緯是人目與月日相參直而月魄正隔日光於人目則為日食日食者非日失其光光為月掩耳凡太陰距太陽百八十度而正與之衝謂之朢若當衝時月行近於兩交必入地景而為闇虛此乃月日同在一線而地居其中間日光為地所阻不能射照月體則月失其光而為月食此日月二食者躔度有恆持籌推步分秒確然而厯家各法之踈密於此更難掩也試言其畧黃白二道相交之二所名正交中交凡日月行及二交為同度同度則有食矣然而論交又湏論限及交而在限內則食限外則不食此不可不審也顧限度諸方不一蓋太陽於諸方之地平髙度不同而陰陽二厯之各限亦異論煖帶下之地二厯互相受變如白道向南極半周有時在天頂及黃道之中勢必反謂為陰厯白道向北半周是時在黃道外勢必反謂為陽厯故其下日食之限莫得而定之也他域更近於北必陰厯限多陽厯限少更近於南必陽厯限多陰厯限少比如京師近北約算陽厯八度陰厯二十一度則知日月相會凡在陽厯近二交八度在陰厯近二交二十一度其下必見日食而過此限以往則否即北可以推南莫不以逺近分多寡矣然而二厯食限之度有異者其故蓋在月輪月輪比日最近於地而月又小於地人目見月之所又在地靣不在地心故以月天論地平雖天與地球皆為平分直過其心而人在地靣髙所以視天地之兩界則似地球與月天非平分也少半在上多半在下而差約一度故以本法推算月己出正地平其於人目所視之地平尚少一度此其較謂之視差蓋惟月在天頂正地平與視地平之極皆以一直線合於天頂無有視差過此左右不免有差愈逺天頂愈近地平差必愈甚夫視差無他恆降下月體數十分耳設令日月同度同在近交之南又因同度並在正地平上髙二十度則太陽於視地平為十九度五十八分祗降二分太陰於視地平為十九度直降一度矣而日月二差之較為五十八分故以算論雖二曜同髙同度而人目視之太陰恆下於太陽一度弱不掩日光則不食若二曜在地平上髙七十度則太陽無視差太陰視差止二十分其降於太陽亦止二十分勢必相切或至掩數分而成食若二曜在交北又當以太陰算在太陽之上庶因視差所降而掩陽光以為食也顧此二地平之差又分二類一加減交食分數謂之氣差一加減時刻謂之時差厯算之艱且劇莫過於此所最當究心者也
　　系日食之全與不全其故有二一由天上之行一由食時地平上髙弧之度故均一食也有見全食者有見食多寡不等者有全不見食者就南北論見食地界設如北京見全食其南北各距四十五度之地為萬一千有餘里皆見有食然而多寡不等就東西論各距六十度為萬五千有餘里各見食而分數多寡亦不等焉即月食時刻南北亦有不同而東西為甚也
　　三餘
　　三餘舊加紫氣名為四餘亦謂之四隠曜然詳求天行實無紫氣且絶無當於推步之術故西法棄而不錄第取三餘一羅㬋一計都一月孛羅㬋即白道之正交計都即中交也月道自南遡北以交於黃道之一㸃此㸃有本行每日左旋三分有竒而羅㬋正對之㸃即為計都蓋兩規斜絡其兩交之二㸃必正相對也月孛是月所行圈極髙極逺之㸃謂月離於是其行極遲其體見極小蓋孛雲者指其交轉兩行相悖之義故其平行右旋每日七分有竒是三㸃者土木火諸星本圈亦有之名義皆同苐其各行不同耳古厯悉所未諳悉置不推不錄新法用算五星之緯故於本厯各詳其名數雲獨惜日者之流以羅計月孛等名皆指為星謂其所躔宿度各有吉凶用以推人祿命不知周天諸道諸㸃皆人所設以便揆算其行度耳並非實物何與吉凶至紫氣一曜或謂生於閏餘或謂土木相會或謂古人以是紀直年宿故二十八年而一周天都無義理可考故月離厯指詳論其必無是曜也
　　五緯異行
　　土木火金水五曜名為緯星者謂其日有近南近北之行與恆星異也夫五緯之行各有二種其一為本行如填星約三十年行天一周日二分歳星約十二年一周天日五分熒惑將滿二年一周天日三十五分太白辰星皆隨太陽每年旋天一周各有盈縮各有加減分各有本天之最髙與最衝即其最髙又各有本行論其行界亦分四種非若囘囘厯總一最髙也其二在於本行之外西法稱為歳行蓋各星會太陽一次成一周也因此歳行之規〈亦名小輪〉推知各星順逆留疾諸情故依新法圖五緯各有一不同心圈一均圈一小輪凡星在小輪極逺之所必合太陽其行順而疾其體見小凡在小輪極近之所其行逆而疾其體見大土木火行逆則衝太陽金水行逆夕伏而合行順晨伏而合其各順行轉逆逆行轉順之兩中界為留留非不行乃際於極遲行之所也留叚前後或順或逆皆有遲行其土木火行逆即衝太陽而金水則否者縁土木火之本天大皆以太陽為心而包地得與太陽衝而金水之本天雖亦以太陽為心而不包地不能衝太陽也金水不能衝太陽而能與之離金離太陽四十八度水離二十四度
　　五緯緯行
　　太陽之行因黃道斜交於赤道故其距赤道之緯南緯北也各二十三度有半以成二至是黃道者太陽之軌蹟也太陰本道又斜交於黃道最逺之距為五度以生陰陽二厯五星之道雖相距緯度各異而其斜絡黃道則與月道同理故皆借月道諸名名之其兩交之所亦謂正交中交其在南在北兩半周亦謂陰陽二厯審是而五星緯行庶可詳求矣蓋各本道外之歳行小輪恆與黃道為平行而又斜交於本道其上半恆在黃本二道中凡星躔於此則減本道之緯其下半恆在本道外星躔於此則加其緯然此小輪之緯向則恆不變如土星三十年行天一周其在正中二交之下必無緯度分十五年恆北十五年恆南耳凡衝太陽因在小輪下半即加本道緯度凡會太陽因在小輪上半即減緯度他星亦猶是也其或行近於地小輪加緯益多太白至夕伏合之際因其近地其緯幾及八度矣中厯不諳緯行之原一見金星在緯南北七八九度即詑謂本星失行豈非誣乎又中厯亦有五星南北緯行圖亦界以黃道本道似矣但其逆行之蹟恆作一斜方形此甚非也五緯不行直線安得方形以此新法圖分二種一設人在地仰觀天上進退諸行故於上三星衝太陽下二星夕伏時第作一僅似之圓形凡衝太陽如在本道交上則不作圓形即彷彿一之字形而已一各星近逺於地之圖要皆舊厯所未諳也
　　五星伏見
　　五星之光與日相較譬猶螢火之於庭燎光本非滅第為大光所奪人莫能睹耳舊厯亦曉此理故用黃道距度以定諸星伏見如謂太陽在降婁初度歳星在十五度即以為見限似矣然而諸星各有緯南緯北之分黃道有正斜升降之勢各宮不同何得泥距度以定限乎新法定限惟以地平為主縁地平障蔽日光能使星或伏或見耳夫日之下於地平其光漸殺所謂晨昏此晨昏光之久暫四時不等即㝠漠等矣而星見時刻又自不等所以然者太陽由黃道而下地平或十度或十五度或至三十度有竒原自不等而星在黃道南相距必多數度在北相距必少數度其限豈可泥乎大畧土木火三星較太陽行遲行後太陽夕伏晨見金水二星順天東旋較太陽行疾行先太陽晨伏夕見逆行反是其與太陽遇也亦夕伏晨見太陰行較太陽更疾晨伏夕見至於金星之緯不及八度則凡逆行合太陽於壽星大火二宮而其緯又在北七度以上雖與日合其光不伏一日晨夕皆可見之水星之緯惟四度餘若其緯向南合太陽於壽星此後去離夕必不見合太陽於降婁此後去離晨必不見金合而不伏水離而不見此二故者渾儀解之他如恆星亦有夕伏晨見者一因黃道之經緯度一因其小大等第即為見伏之限故亦可推也
　　測太陽
　　諸曜森羅太陽其宗主也或推或測必首太陽顧其應測之行不外三種一曰盈縮之限一曰盈縮細行一曰盈初縮末之所中厯之測太陽未嘗及此三行即所測止冬夏二至猶未盡善也其法立八尺表用星符器於冬至前後三四日測定三景因以三景之較數求太陽到冬至時刻其法未嘗不是所以為未盡善者蓋表景短長乃太陽行南行北所生論其近二至之候南北之行極微計一日所行天度有分半者有一分者有半分者乃於冬至近期建表尋丈而其所得二景差為一分二釐〈量度則雲分秒量景則雲丈尺分釐〉釐為八刻而此一二釐間相差甚微彼景符曷能定之況景符光線恆占數釐或更稍為進退其失彌甚是恆差數十刻也若測夏至則倍難矣今新法用八線表法查古所遺之數以用於推步庻稱密近耳然又不但用表亦時用別法以相濟也比如春秋二分太陽之南北行較大日行天度二十四分乃於其前後數日先測極出地度得赤道髙次用象限儀測日軌髙不免相差一分而其於本算日軌入交㸃時刻則約差四刻耳較之以尋丈表測冬至差釐數而乖違數十刻者豈不大相逺哉且新法於太陽實躔宮度分秒逐日可測而舊法於二至外推步遂窮何也又新法本測曰太陽從春分底立夏行黃道四十五度厯四十六日十刻十分又從立秋底秋分亦四十五度而所厯則四十六日三十八刻十分是逐日刻數不等所謂春行盈秋行縮也故定此盈縮初末之界非在二至㸃也乃在二至之後六度〈古今不同〉若如舊法謂恆在二至則是前後行度等也何為所厯之期日刻數不等乎此率古稱盈末縮初新法稱為最髙因有此最髙遂晰太陽之行為一不同心規也其行遲者在最髙行疾者在最髙之衝此最髙本行亦猶太陰之有月孛雲
　　測恆星
　　測星之法不一大要以太陽為主而以太陰或太白或歳星為中次任取某星為界互相測度即得其度法於太陽將入之時測月或太白或歳星其距太陽度分若干日既沒再測月或太白或歳星其與某星相距度分若干合兩測即得太陽與此星之距然後查太陽本日躔某宮度則知此星所在宮度矣測一星之經度如此他星可以類推於是又測此星出地平之最髙即其距極距赤道之緯度並可得也然而恆星之經緯度分有二其一以黃極為樞每歳東行五十一秒有竒而其距本極之緯度則亙古無變其一則因赤道以算其經緯南北星位古今大異如堯時外屛星全座在赤道南今則在北角宿古在北者今亦在南星緯變易類多如此至以赤道論各宿距度亦有異者如觜宿距星上古為三度厯代逓減今且侵入參宿二十四分他宿互有損益距度各各不同因知赤極非恆星之極而其經緯之度亦非赤道之經緯度分也由是觀之象數精微彌測彌明彼自畫者流輙謂循古已足豈其然哉
　　測太陰
　　太陰行度所當測定者五一遲疾之限一遲疾初末一月孛行一每日細行一交行五測有一不詳月離之違合難齊矣又月有氣差時差〈即地半徑所生〉所測之經緯度分於正度分復有相較以此測月於七政中為最難舊厯用表於午正測定三景以求之越四載而得一次測驗之時九載而復推定疑太拙矣新法用三會食推算其法以食甚正對太陽得月經度以食甚分秒得距交若干以各食中積時日刻數不等並得天上所行不等度分於是用本法以求月天之孛或最髙〈即極遲之行〉亦遂得平視二行相較之度以簡御繁法莫善於此矣其測上下二經度亦有本法蓋乃太陰實距太陽或東或西九十度即周天四分之一也先以本儀測定某限次用法算其平行因其加分恆與所測差二度餘賴有二三均數測算乃合又時去離南北所測與算亦較天度差四分之一緣白道斜交黃道相距度分各廣狹不同故也至太陰之掩恆星測其出入亦可以知月離度分但湏先以地半徑差均之
　　測五緯
　　上三星為土木火與太陽相衝會然於衝會之二時各無歳行加減分縁其會太陽即在歳行圈之最髙而衝之即在其最卑於實行為合故也湏知實行與平行不同平行百千萬年維均各星本天各有遲疾〈即最髙最卑〉然而星合太陽無從可測毎於其衝測之〈測其對太陽用恆星各經度或太陽躔度推算〉得此衝經度即有中積天度日數及本星隨日數之平行而後用此三率以求各星本天最髙之所於是又得其盈縮大差因幷得衝時各星以平行距冬至之界若干矣下二星為金水以其不能衝太陽也測之較難法先於或晨或昏求其與太陽距度者數次然後依法測算即可得其本天諸情也凡歳行之測以二留為本二留之限各星不同即所躔天度亦不同然而星在二留非衝太陽乃折中之度故本之以測歳行也下三星亦然又二留之際因無歳圈緯度故可得其本天之緯其或在日之衝距緯極逺又可得歳圈之本緯矣五星之天皆斜交黃道與白道同但其相距之緯各多寡不等又白道交行右旋而五星左旋此其異也
　　測器
　　夫測器之在厯家猶之工師之凖繩規矩不可湏臾離也蓋宿曜運行樊然不齊苟欲齊之非器不可矣然而簡便是求製作未能盡善雖欲齊烏得齊古厯所紀原有數種而今靈臺所存止有圭表景符簡儀渾象等器耳新法所增置曰象限儀百游儀地平儀弩儀天環天球紀限儀渾蓋簡平儀黃赤全儀日星等晷諸器或用推諸曜或用審經緯或用測極或用求時是諸儀者皆為厯學名家酌量增修精加研審多厯年所始趨巧便此外尚有多種以其不堪大用置弗錄而其最竒巧者則近時所製逺鏡尤為窺天要具用之能詳日食分秒能見太白有上下能見歳星旁四小星又填星為撱形旁附有兩小星昴宿星三十餘鬼宿中之積屍氣以至光體微渺之星用此奚啻多數十倍抑且界限分明光耀璀璨噫造器至此異甚矣
　　時晷
　　凡日月交食會合五星凌厯犯守其時刻所由取凖者賴有時晷也然而大地之廣時非合一古法不分方土第用時牌揆景以定者非也新法製晷但湏預定本方北極出地之度隨在隨處雖垣墻正側皆可製造能於一晷之靣視太陽所躔節氣宮次度分及定日之髙度並黃道各時出沒其稱最者則地平晷立晷百游晷通光晷數種他若柱晷瓦晷碗晷十字晷等不下數十餘種而此外又有星晷與測月之器以為夜中測時之需雲若遇陰雨則又有自鳴鐘沙水等漏之製水漏與古壺漏異古或以水入壺而時箭浮新製以水出壺而時牌轉壺體並不開孔似為勝之













　　新法算書卷九十七
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書>



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷九十八　　明　徐光啟等　撰厯法西傳
　　引說
　　凡學非能驟成莫不始于格物以致其知而後從而推廣從而精詳焉以故古人因目所見心悟頓啓紀而騐之接續成書以詔來世乃成一學卽厯學亦然矣其初所悟者㮣不岀日月交食及冬夏四正五緯凌犯等觸目易見者數事因而再求之然後乃知月有本道焉交食有期有率焉又因而推廣之精詳之以及他數他理而厯學始為大全此如原泉一脈涓涓流而為壑浸假而百川彚集由湖由江以入於海浩浩乎無涯際矣後有好學者留思古人之學叅以己見曽無㡬許而附以傳世是為坐收其成豈可擅稱超悟屈抑前功哉余著厯書百卷大要取之古人而又括以厯引今復為此編先明西厯古書大指而次則遂及余書蓋一則著新法非一人之法非近創之法良由博古深思叅互考訂以得一真無容妄議一則令後之人便於循習曉暢數百年後測審差數推徃知來善於變通也或疑中西異法如格礙何余謂天行無隱君命非私厯至今日中人亦西學矣且即就中厯而論其根亦本於西如列宿距星皆同又列宿有屬太陽者四屬太陰者四亦同是知根本既同而清其枝幹通其脈絡有成書在展卷研求無不可見豈足相難哉學者勉之可也
　　西古厯法
　　西庠之學其大者有五科一道科二治科三理科四醫科五文科而理科中旁出一支為度數之學此一支又分為七家曰數學家曰㡬何家曰視學家曰音律家曰輕重家曰厯學家曰地理家七家俱統於度數要皆師傳曹習確有根據者也若多祿某即西洋厯學名師在郭守敬前一千百有餘年漢順帝永建時人著書一部計十有三卷
　　第一卷
　　詳証厯學大指如諸星運行天體渾圓地與海共為一球地居天與空氣之正中地較天大不過一㸃等項次著角理不但以句股測直線之長短且用曲線三角形量天是為以圓齊圓所得諸星相距度分最凖又求二至相距幾何度分在赤道內外㡬何度分並二曜相離最遠為㡬何度分設黃道緯度求赤道相應經度設黃道經度求赤道相應緯度
　　第二卷
　　論宗動天設黃道在地平上之㸃求其距赤道之地平弧設日之高求正側各景之長短又求黃道各㸃之半晝解正儀晝夜等衆星常見之故偏儀二至規下歲一次無景距赤道愈遠晝夜愈不等而兩極下毎歲為一晝夜
　　第三卷
　　考太陽行求二分時刻辯二至氣至時難求時刻求歲實與毎日太陽平行乃作平行立成表又推論日行用同心規及小輪或同心及不同心合一之理推地心與日規相距㡬何遠隨求太陽最遠㸃〈亦名最髙〉定太陽厯元及太陽行度毎日不等之數
　　第四卷
　　論太陰行証求太陰真行度即月食可考月有遲疾平三行乃求月平行併月每日緯度即以齊月諸行或用同心圏及小輪或不用同心圏二法同理設三月食求同心規及小輪兩半徑以定月諸行厯元又求月行正交中交之時推二交逆行之數
　　第五卷
　　解月自行以求月經緯度必用小輪推月加減立成表求月之更大緯度與月之地半徑差度復求日月二輪與地球半徑之比例及日月與地景之似徑〈地景其形如角所求之徑乃月所過截地景之處〉又求月半徑及景半徑與地半徑之比例求日真徑求日遠於地求景之長大〈以上三求皆以地半徑為度〉求日月地之比例〈原書稱三大𭅺日月與地〉設日月之遠求地半徑差推視差立成表比日月兩視差分月視差有三種
　　第六卷
　　解日月合㑹求日月平朔平望併定朔定望時及其宮度分求地景及月半徑定日月食限論日月半年中能再食月食後五閱月中能再食七閲月中不再食日於五閲月中各地能兩食七閲月中一地能兩食日於三十日中一地不能再食更求月正緯度設月真所在求視所在求月正會前後四刻之視行及日月似㑹〈卽日食〉𭅺求日食初虧食甚復圓三時定日食分秒
　　第七卷
　　論諸恆星遠近終古如一証其晝夜行外別有他行論其順天經行以黃道極為本極定歲差度設三星相距以二星經緯度求第三星經緯度詳測星法
　　第八卷
　　論天漢起沒詳天漢中大星所在及衆星拱向並其出入設黃道經緯度求赤道緯度等
　　第九卷
　　求五星每年及每日平行解五星大小輪理求水星之本行求水星最高求水星大小圏半徑比例又求水星小輪上平行以求水星各行厯元
　　第十卷
　　解金水二星之行求金星最高及不同心輪與小輪半徑比例設時定金星諸行厯元求土木火三星之小輪及小輪之本行〈亦名歲行〉設火星三處求其最高測從地心至不同心圏其遠㡬何求火星小輪之半徑推火星平行定火星諸行之厯元
　　第十一卷
　　解土木二星之理即求地心與木星本心之差及木星本輪與小輪之半徑並其平行定木星之厯元後設土星三次舍以求其最高求土星小輪之半徑而定其厯元設五星之平行求其實經度
　　第十二卷
　　解五政行度有退留疾等之故即求其留界及逆行之半弧更求金星左右距日之極大弧度並水星與日最遠度
　　第十三卷
　　論齊五星緯度之法求火木土三星各本圏及黃道交角並定其緯度論五星伏見先求火木土三星伏見相距之時次求金水二星伏見及其相距之時
　　以上十三卷屬多祿某所著除右引各目外尚有三百餘欵可為厯算之綱維推歩之宗祖也但其辭句太古淺學罕能習之故諸名家更互演譯各有論著今不及敘
　　後又有亞而封所乃極西寶祐時人身居王位自諳厯學捐數萬金錢訪求四方知厯之人務依先師所著創立成表以佐推算諸曜之法其功不在多祿某下緣屬祖述成書故今亦不及敘
　　又其後四百年有歌白尼騐多祿某法雖全備微欠曉明乃別作新圖著書六卷今為序次之如左第一卷
　　天動以圓解
　　第二卷
　　天並七曜圖解衆星各及其次舍解
　　第三卷
　　論歲差而証其行較古有異論歲實求太陽最遠㸃及隨年日時太陽躔度
　　第四卷
　　取古今月食各三度求月小輪之徑求大輪小輪之比例並月經緯度推日月交食
　　第五卷
　　求五星平行用古今各三測經度求大小兩輪之比例等終求其正經宮度分
　　第六卷
　　求五星緯度
　　以上歌白尼所著後人多祖述焉有西滿者嘗証多祿某歌白尼兩家之法惟一麻日諾又取歌白尼測法更為多祿某之圖益見其理無二矣
　　近六十年西土有多名家先後繼起較前人用測更精立法更盡造圖更美其一未葉大因悟不同心規與小輪難於推算於是更創蛋形圖以解天文根本設七政三測求最遠㸃又求地心與不同心差又求各輪比例等理其二第谷竭四十年心力窮究厯學備諸巧器以測天度不爽分秒第谷本大家饍養知厯人造器市書計用二十萬金著書計六卷
　　第一卷
　　取二分真氣至時
　　第二卷
　　取北極之高並解前人之謬解𫎇氣反光之差取二至真氣至時並解二至難得真時之故求太陽最逺㸃並地心與太陽心之差求加減數証最遠㸃之行度及太陽平行求歲實並推立成表用立成求日躔宮度而考其法
　　第三卷
　　以二十一月食求月平行設月行新圖以齊月行用兩大規及三小輪詳其所以然推立成並其用法仍各設假如求月緯度加圖及立成表算法因求月食又求月與地相距㡬何立推交食法因測五緯之真經緯度先考列宿之真經緯度
　　第四卷
　　解測星應用儀器乃駁古測有誤取金星與日與某星相距度以求某星距日度分㡬何取近黃赤二道距度並之以合周天全度復取六星之距度以經度相併適合周天之全度求角宿經緯度以起周天之度再求近赤道十二星經緯度証星之黃道緯度今古不同求星之經度並解其時八百餘星之真經緯度〈五十三年前〉復加百餘星赤道經緯度說
　　第五卷
　　解其時新見大客星計十二章一詳初起及漸大至與金星等並漸減二取附某宮星以定其經緯度三解測新星所用諸器四取新星與他星距度五解其更度幾何六用各法以求新星經緯度七求新星赤道經緯度八証新星不麗空際而麗列宿天九考新星之大小十取新星之似徑得三分三十秒十一証新星大倍於日大於地三百六十倍十二考衆星參差
　　第六卷測器諸圖
　　圖計五章一解用測器求三曜之高二解用測器求星之緯度三解用測器求星相距度四解各儀象五為天文答問
　　又第谷彗星解十卷
　　測彗星之高度尾之長短光之隱顯及其方向考十二星在黃道上度以求彗星之真所在設彗星離兩星之度求黃赤道經緯度求彗星毎日赤道經緯度求彗星所行之道及其道交黃赤之角處依每日彗星行黃赤二道作立成表証彗星在月上較月更遠於地為三百地半徑故知彗星在日月二天之中証其尾恆向日與金星作彗星行度圖徵彗星之大為月二之一尾長為九十六地半徑〈每地半徑為一萬五千里〉因考前人彗星之論當否
　　第谷沒後望遠鏡出天象微渺盡著於是有加利勒阿於三十年前創有新圖發千古星學之所未發著書一部自後名賢繼起著作轉多乃知木星旁有小星四其行甚疾土星旁亦有小星二金星有上下等象皆前此所未聞且西旅每行至北極出地八十度𭅺冬季為一夜又嘗周行大地至南極出地四十餘度𭅺南極星盡見所以星圖記載獨全
　　以上諸賢所著皆屬推解厯理近因古學奧深學者為難厯學家別有立成表及測天諸器以便初學又有永年厯亦立成之類預紀七政經緯及交食凌犯諸行取凖於天具舉其証葢由推測二功相佐而成不可疑也今論測器惟渾儀為最用之取日光求其躔度求日緯度求北極出地㡬何日出求東西之緯度求太陽午正之高推時求日星之高求太陽赤道經度求星出地平之時刻求太陽距子午規時刻求太陽出入並晝夜時刻以日星高求時刻又作地平日晷求朦朧時刻隨時求東出黃道宮度分
　　又渾儀挾持未便因又約為平儀體製雖異而施用不殊〈名渾葢〉乃有造平儀及百游各儀法其説甚多其用甚廣
　　又有日晷多種約言其法如作象限作卵形考墻面之方向求子午線設時求日之高設日之高求時分論有法日晷葢有六種一地平上晷一向南平靣晷一向東平面晷一向西平面晷一向北平面晷一向赤道平面晷詳每日晷有十二種線以景証日之行如此從地平起時線從子午起時線節氣線晝線過頂圏線日高線地球之徑圏八十二種高線㡬節氣出地平上線日出地平算某時刻日入地平算某時刻每日平分晝為十二時線〈名七政時線〉又有向南向北斜面雜向立面雜向倒面挖面或正圓或長圓正球偏球各日晷及各正表斜表法槩因無有定向稱無法日晷又設日晷一圖以大為小以小為大焉夫日晷大不越數尺小僅數寸而天之高遠太陽之行度經緯悉備變相以通其理多方以盡其能故曰厯學之廣大即日晷可徵也
　　右皆造日晷法然造晷用圖平行垂線最多下手為難乃用立成表其法更精成功更速又日晷之度數或用立成表查或用㡬何要法或用比例尺諸規矩究竟所得皆符不爽毫髮𭅺此而推所算日躔之密合亦並可見矣
　　合而觀之西庠之於天學厯數千年經數百手而成非徒慿一人一時之臆見貿貿為之者日乆彌精後出者益竒要不越多祿某範圍也已前所引在全書僅十分之一覽者𭅺所見以推所未見可也
　　西新厯法
　　余著新法悉本西傳非敢強天就法也乃為法以合天以測候為厯家之首務故修政以來除西製大銅儀數具外在局別造有半徑儀三座自心至邊或一丈或八尺具刻宮度分秒一一詳明以求適用日督同監局官生晝測日夜測月星三儀所測或並同或兩同者取以為凖若三各不同則置之俟再測如是者數年列宿距星遠近異同悉於是時考定凡遇五星凌犯伏見日月交食公同部司赴觀象臺測騐務求密合累𫎇欽遣內臣同來審視又因交食差官四方測騐異同嗣後奉命造進黃赤大儀及星晷天球大日晷等或內庭親測或偕內靈臺諸臣測如是者又數年於是上下相孚朝野悅服上乃決計散遣魏文魁等囘籍一意頒行新法惜兵事倥𬾠未免有待將來耳
　　中土徃代修厯不過加減四餘四應歲實等項已耳一時合天乆則仍錯有數十年一改者有數年一改者前改既非後改亦復如是厯學廢弛非一日矣余初奉命修厯時亦有以畧改舊法請者謂作者可免創始之勞述者兼得習熟之便然而不能也詳考舊法其錯非在算數乃在基本不清其基而求積壘不治其本而理枝幹其術未有濟焉者余故不辭艱瘁晝夜測騐天行叅考西法然後正其紕繆補其闕畧約有數十餘欵於是著成厯書解明法原詳整法數自太陽太陰恆星交食以迄五緯莫不條分縷析綱舉目全共計百有餘卷已經進呈御覽𫎇恩宣付史舘刋本傳布四方與海內知厯者共之矣茲更將法原諸書逐卷挈其大指以便觀覽如左
　　日躔厯指測凖歲實平視二行盈縮元及大差大距度等其題一求南北正子午線以定諸徑圏及十二時之界以記太陽行滿晝夜毎日之始末乃取凖於天非如從前徒用一指南針而已
　　一求北極出地度分以定日出入晝夜長短日月帯食日食有無並諸曜正斜照地等類此用象限儀或測日軌午正高得距赤道度餘即北極出地高度或測近極一星在最高又測之在最卑折中取之即正北極高也
　　一求各氣差氣從地發𫎇昧空中故自天頂以迄地平諸曜逐緯詳測定差分秒多寡因而加減原測卽得各曜真位也
　　一求黃赤二道之距以定太陽赤緯於夏至前後一二日測午正日軌〈必於午正者免蒙氣也〉乃於所測度內減去地半徑差並赤道高餘𭅺二道相距真度分一求太陽盈縮之元以定平行加減乃得每宮度相應之實行葢設太陽以平行旋天毎日前移一度則宜自秋至春與白春至秋日行之度數相等矣今天度等而所行日數不等相差八日有竒此何以故葢因地在太陽天內非其正中也故設一直線貫地心而以兩端接日天必分為大小兩半大半之頂距地遠日行經過之時乆小半之頂距地近日過此必速矣且日體近冬至現大近夏至現小冬至之月食大小又異於夏至之食總由地景長短大小係於日光遠近之故西古厯家二千年以來闡明此理並立測法傳之後人𭅺日躔並日月交食皆正其本矣乃此中厯家羲和而下守敬而上舉無有悟此者何也
　　又一求太陽年日及時之平行以定歲實以確立推算之根所謂厯元也法先後隔數年或春或秋於午正時測日軌務得二分之凖時〈太陽在二分其緯大日約得二十四分分應四刻故較他時所得為凖〉乃於先後間總時以中年分之得毎年之平行即真歲實而歲實又以周天平度〈三百六十〉分之得一日之平行時亦倣此但因日天心異於地心漸移右行二心相距遠近未有定數雖所移甚微而一二百年後必少覺之千年後差乃顯著則依本法復測復推以加以減即造厯無異今時故新法實永法也昔郭守敬若知此法可免歲餘上推百年増一下推百年減一之議惜乎不能也
　　一求太陽最高所在及地心與日輪天心相距之差以定加減始末以得隨時推日實行確法葢太陽西行及東本行之外其最高亦順十二宮漸漸東行二心〈卽太陽本圈心與地球心〉相距歲歲減少古測斷不可泥厯家若不諳此日躔無根又何慿以推五緯乎古西土去今千八百年以三角形測日軌記最高在申宮五度三十五分兩心之差為全徑百分之四分強千年後又一士測之得最高在申宮二十二度十七分二心相距為百分之三分半強及據今測又在未宮六度強二心之差不及百分三之半矣中厯從來以夏至為凖泥在未宮初度相沿不改豈非大誤
　　一求太陽視差即地半徑差此差旣由各天與地球大小之比例而生則欲求此差者須取一天與地最遠無可比例者為之則恆星天是已故於恆星天設三角形查與太陽交角相對之弧〈他曜倣此〉弧有大小而本差之多寡即見矣
　　一論日差以齊諸曜之行所關者大故詳推一立成表以便厯算𭅺太陽實行嬴縮毎日不等是也彼旋地一周復於元界〈子午圏是〉為日必等者稱用日葢民間所用也厯家若亦泥之則大惑矣
　　恆星厯指三卷其一以金星測恆星及黃赤道度等法於日未出時先測恆星與太白之距日出後又測太白太陽之距晩測反是先測太白與太陽而日沒後乃測太白與恆星因而求太白經緯視差及太陽經度則以曲線三角形法推得兩經度以較同測之星加減之並得本恆星之經度今以畢宿大星婁宿北星角宿距星等為假如定赤道經緯即餘星倣此可推矣
　　又測近黃赤二道所有諸大星任定㡬星晷距星為界或自西而東或自東而西求兩測之距度及距赤道之緯度用三角形法推得其經度差因連綴求之以迄一周所得經度若旣合於赤道周則所測各距之經度必皆密合矣乃復用之為界以測衆星皆可無不合者再以恆星赤道經緯度推其黃道經緯反復相求非三角形無由而得葢或星居兩道之中或南或北或居兩道相交之左右必設各極所出之曲線遇星而交而復相離各底本道而止乃為三角形者數矣最便推算且恆星依本法彼此相推不但其緯度終古不易即相距之經度差亦終古不易故凡推七政者必用恆星為界而後諸曜之遠近灼然不爽也
　　終引所資以測恆星者如測器如子午線如北極出地高如視差等皆是也葢測星有三求一求出地平上度分則用象限儀二求相距則用紀限儀三求距黃赤二道之度則用渾天儀若子午線者諸星行度升之極降之始也北極出地者所以正高下也凡用儀必以儀上極與本地之極高下相當𭅺經緯皆相當故測星者使無子午以正東西升降無極高以正南北高下即一切推算之法無從措手若視差就地半徑差論恆星以距地遠得免就清𫎇差論則恆星近地平必皆有之測時宜用減矣
　　第二卷測恆星黃赤本行其行黃道上即歲差也中厯論歲差有曰未能測其所以然第以全厯推之二萬六千八百八十年差一周天毎歲差一分三十餘秒上推至帝嚳甲子四十年日在虛六度至夏王不降乙未三十五年日退入女宿啇武乙丙寅四年日退入牛宿周簡王丁亥十二年日退入斗宿宋度宗戊辰四年日退入箕宿四度二分餘且言此定算也又或測日度者以月食衝求之可謂巧矣然而皆非也夫毎歲所差甚少月食分數頗寛安得藉此求彼此其謬一謂日退者即日逆行古來測日但有盈縮有公行有本行退逆之行理所必無此其謬二旣言未測其所以然何從而得一定之算此其謬三西法則以黃道二分二至為界據古所測某恆星距界之度從而復測之乃見遷移以較中古上古此星離冬至漸遠如前此居冬至者虛也今已順行東去繼之者為女為牛為斗又後為箕矣是知歲差係恆星前行與七政依黃道本行無異此為真所以然非日退之說也且西測星非詳得其分秒置不用非三四器三四人同地並得在一分以內者置不用此新法所以獨密也所得歲差定數為五十一秒〈依六十算〉由此得恆星歲實小餘為二十四刻九分又約二十七秒乃古今不易之則也
　　問星歲無差旣有定算如此厯家不用以推年日何曰立歲限以定所為主如四時如二至二分等日行皆有定所星算雖定而其右旋於各節氣恆無定所故難用推年日也
　　考黃赤道宿度今古變易緣諸星隨黃道斜交赤道故也每見太陽之行黃道夏日距赤道北冬距其南逐年如此豈非由二道斜交之故乎厯家同時測日經而兩道上所測度分必異又所差日各不等此為日經之變如從兩極各出直線以交日心引之徑過以至赤道兩線必不復㑹於一㸃以是知日經緯在赤道恆變𭅺恆星亦然逐漸右旋𭅺赤道宿度逐漸有變其數多寡前後必異惟黃道經度則終古如一而星亦終古如一斗恆似斗尾恆似鈎古二星在一直線者今時亦然彼此相距皆同也
　　累測黃赤兩道恆星之經度以推古今各宿積及本度並載厯指讀者以參觜不仍舊次為疑不知宿在黃赤二道原有分別其依黃道不變之度分參前觜後終古恆然若依赤道而論在昔雖先觜後參而近自二百年來則參先而觜後矣葢因兩道從兩極出線以定度數故有異也
　　第三卷以黃道經緯變赤道經緯及繪星圖數法葢星之去離赤道無恆而其去離黃道有恆即黃赤二道之相距亦如有恆以兩有恆求一無恆則依曲線三角形以乘除三率等法推算可得若直欲從赤道求之無由而得矣緣星行依黃道以向赤道時有遷移故也
　　繪圖舊以恆隱圏界為總圖界星偏河南之南不復有圖矣新法因見隱圏南北隨地不同故以兩極為心以赤道為界或又簡以中土恆見之圏為界繪總星圖閩粵以北可見諸星無不具載至圖內正斜各圏直曲各線依星本經緯應入其中者本卷一一詳之乃除天漢積屍氣等無算小星外凡可見可測者別以六等令星在圖在天大小異形無不相肖
　　月離厯指計四卷首卷論測月平行䇿及遲疾加減正數如各種行度一隨宗動天日一周行二依本天順白道自西而東平行此或以太陽為界從合朔起算或以宮次節氣為界從各㸃起算謂之交周滿一周謂交終三依本輪自行從東而西然依輪之上順行依輪之下則逆本天而行但緣月行甚疾地面但見其遲不見其逆此行謂之轉行滿一周謂轉終四隨次輪乃本輪之周復有一小輪其心隨本輪左旋月在其上則又右旋滿一周名為次轉終也五為交行月行白道出入黃道西行所交於黃道中線兩㸃一名正交一名中交舊所稱羅計是也外又一次輪實測則有而據之以推度數頗微無大用又一面輪使月一面恆照下向地此亦無關疎密皆置不論
　　論測月平行乃因視差及𫎇氣差參錯難分月體且月體恆虧無從測心以此測月最繁度分難得其凖須按西古今法於月食時騐而知之晉史姜岌亦以月食衝騐太陽所在然而考太陽之躔度易考太陰之離度難在姜為倒用兩率皆疎矣且平行亦非一食可騐也葢任用一食僅得當時之行度何由遽定平行必擇前後兩食各率均齊者以為兩限然後取其中積平分之庶免日去地時近時遠所生闇虛時大時小與夫月轉時遲時疾時在最高時在最卑諸凡月行不平之綠也但欲得此前後食務須求之記載今考二十一史天文志但記有年月日而畧時刻分秒無已借西厯補之
　　論測正中交行度葢月本圏之自行度曰轉行及於黃道曰交而轉滿一周曰交終其在後不及轉之度即謂兩交之逆行也測法亦用月食考古無傳仍依西史如前法用兩月食測其前後各率均齊得交逆行日三分十一秒歲十九度零十九秒四十三微此為二千年前古測後史各加密測推得交行毎年盈一秒四十二纎應減
　　論用不同心圏與用小輪名異理同皆藉以分布度數解明七政盈縮遲疾之行乃公借古今測定本輪之大小遠近之比例以求加減差立推算各表之法然而創始難工増修易善厯家積功二千餘年至近代測騐而後漸次加精較古為密也終定太陰諸行厯元宜命一定地以慿起算𭅺依本地初度初分為凖以加以減推算各地本時本曜之各所在度分此法從古未有且測北極出地中率不合葢前人未悟地半徑差與𫎇氣差於二至所測之高應有加減故未得真高也
　　二卷論測次輪次加減遲疾及半徑差月徑地景徑等乃引古今西史月天諸輪之圖解各所遲疾行之理並經緯隨時度分更推假如令數與圖互相發明因知欲求月離真所非一均數可定葢雖加減本輪之自行度可得定朔定望緣距限在五度內故然而二及左右之自行差則異於朔望其距限大至七度半強矣故據次輪之自行加減立第二均數於理為盡從是可得太陰之視行實經度
　　次定交周交行及交行之厯元皆於月食取法葢須前後兩月食其距太陽之最高遠近均等兩食分等兩食之在陰厯陽厯正交中交亦畧等則因兩食之中積而得交㑹及交終之數依此用三率法以各數推得交行之度分又得月平行距交之度並其平行距宮次或節氣之度兩數之較為三分十一秒是為兩交一日逆行之數所謂羅計行度也若交行之厯元亦於兩月食得其諸率各等則必並得其距交亦等葢交終由兩食之經時而知今定交應則因兩食之月距交等度考其中積時自行滿交周外即得其距交㡬何度分是厯元也遂命曰某年天正冬至為厯元而某處某府為厯元本所
　　又次測黃白二道相距度分法求月軌極高以免諸視差加減故乃得距赤度分去減黃赤距度餘為黃白距度此西古今通法中厯黃白相距恆大於西術謬矣其推月食恆小於天騐殆緣於此論月視差此因地半徑而生與他曜同但月天視地為近為卑則地與本天各半徑之比例其視差並大古今累測得數無異約一度故測太陰先得其視高乃以地半徑差加之得數又以𫎇氣差減之此為實高如反推則得其實高乃以地半徑差減之得數又以𫎇氣差加之此為視高具見本表但𫎇氣之差因地因時所在各異必求本地勢本時刻之確數定之
　　終測月徑地景徑或由月食測定食分並推求其自行距交距黃道等率而得或以測太陽之似徑比於地而並記其月距地設三角形推月與地各徑又地半徑之比例而兩徑可定
　　三卷論測日月地大小近遠之比例引古今法數種先求各視徑大小如日食時月視徑隨地不等其各視徑與實徑大小絕異又如月視地為小月天視六曜天為小去人又近後定日月之實徑推各體之容詳測日月各距地之高論月天象數及諸月表之原
　　四卷論測太陰見伏光體並四餘辯天行無紫氣等引古今交食以証新法並為後學之資葢因中史失載交食分秒及陰陽厯與太陽之距最高太陰之自行度分等後人無慿推歩以資修改故悉取之西史
　　交食厯指第一卷詳太陽光景地景及日食之故先引界說如何為暗體原光照光次光滿光又如何為初景次景滿景葢食生於景景生於光滿景非暗也稱光暗之中即日月食可辨
　　凡交食或地食光於月景為日食或月體食光於地景為月食乃日月地三球各體大小不等有靜有動去人有遠有近當求其大小遠近之比例推其施光受光之體勢乃得交食之體勢今設兩球大小等一暗一明明者半面施光暗者半面受光無分遠近未有交食者也若明球小暗球大暗以小半受光明以大半施光此為太陰照地而地受其隔日之光也凡大施小受施以小半受以大半二體彌近大者施光之小半彌小小者受光之大半彌大此即日居最卑而食之勢也若夫小施大受則又二體彌遠而施者亦彌小受者亦彌大此月食之分數有多有少而月近地居景厚處食分多遠地居景薄處食分少總由大小遠近之比例而生也
　　又詳景之處所在受光之背面乃因月與地勢能出景在日食則為月景下至於地月食則為地景上至於月景形為角形緣出景之圎體與太陽大於地於月之倍數相當也月望月有食乃地景隔日光令月不受照有時失滿光有時全失光月朔日有食乃月隔日光令地不受照有處射滿景有處存少光皆係景之作用也至論月在景之光色或赤或雜或青黒色皆有占騐或生於氣景或映於旁光或染於近地之清𫎇氣皆能令月現種種色也論食之期二景旣隨日月所至終古不爽即有定候一在定朔一在定望當食必食多寡先後上下千百世可知此則本卷益加詳焉
　　第二卷詳交食諸類及推交食之原與簡法葢日月之行雖有隅照方照六合照等悉無交食獨相㑹相望〈亦名合㑹照會〉有食詳之則有實㑹中㑹視㑹之別皆為推歩之原三㑹或較於地心或較於地面各異實㑹中㑹相距又無定度必先推求各元法從本天大小圏以厯元並以三角形細推乃能成表為密求法以便後人葢因得其所以然而後握簡御繁無難也
　　第三卷求推交食依人目所見儀器所測之時刻及所食分數之原必應改實時為視時而此地此時見食彼地則異時見食也故可隨地推交食之有無又可上推徃古下騐將來萬年悉如指掌若食分之多寡旣原於日月地景之各視半徑則定視徑分秒之數逆計太陰居最高或最卑本視徑差地景即因太陽居高居卑不同其照地生景之差以得各實差然後食分可得而定矣
　　第四卷詳食限食甚前後時及繪食圖以解各食向位論限日與月不同葢雖同以所行各道經度距交㡬何為有食之始然而月食則太陰與地景遇因而兩周相切即以兩視半徑並較白道距黃道度推交周度以定食限日食則太陽與太陰遇雖亦兩周相切而有視差必先加入視差而後得距度定其食限也惟其食限各異故推太陰越五月能再食越七月不再食而太陽越五月七月皆能再食
　　至於食分則以距度求之葢兩周之心相距之度也在月食則為太陰心實距地景之心愈近食分愈多在日食則為日月兩心以視度相距其近遠不依實度而依目視之所及為凖此即月食分天下皆同而日食分隨人目東西南北各異之〈原也〉食分以緯度而定食甚前後時刻則並以經緯而定葢太陰本時距度多寡不同即入景淺深亦不同淺則厯時少深則厯時多此葢從緯定也若就經論太陰之自行時疾時遲緯與視徑雖同而自行每食不同即所得時刻亦必不同但太陰入景之弧與出景之弧畧等故依其行弧推食甚前之時倍之隨得食甚後至復圓之時乃日食時刻則又以視差有異焉
　　交食圖列方位方位者日月失光之靣所向之方也法先考本食是陰厯或陽厯更考黃道是斜交地平與否葢黃道斜交日月亦依以斜行食時方向必異不可不審也故繪圖以一直線過日月二心審其與地面相遇之勢乃定日食方位過日景二心審其與地平相遇之勢乃定月食方位舊法徒以陰陽二厯求之疎矣騐時安得合乎
　　第五卷詳日月視差及日食掩地面㡬何凡推歩日食要以人目為主目見之㑹非實㑹而視㑹也此差雖由地半徑生〈以人目在地面不在地心故〉更為人目差分別有三等一高卑差以天頂為限一南北差以黃道為限此限能變諸曜緯度一東西差以黃道九十度為限其左右能變經度及時刻測此三差悉用三角形因設地半徑為一邊日月各距地高為一邊各距地靣之遠為一邊測之乃得高弧或正或斜交於黃道以四方分視差然東西南北二差又時有變務彼此相較展轉推求可也
　　論日食之掩地面必係全食或係應不見光之地面又或本日太陽適在最卑而其視徑大似太陰之視徑若此則雖二曜之心合而周邊大小微異乃見金環焉又總論見食之地其廣㡬何且見食進退一分應地面㡬何由是以推各國各省能見食與否並食分多寡等義
　　第六卷依原算日食以顯推表及其所用之所以然必以視差求視㑹因詳前引三差𢘆垂向下高卑差為正下南北差為斜下東西差獨中限之一線為正左右皆斜此是太陰所變距黃道度及順黃道經度用以加減時刻並求食分可矣但除地半徑差外別有三差名外差不生於日月地而生於氣一曰清𫎇高差乃地所出清𫎇之氣能變易高下二曰清𫎇徑差日月居其中隨變本徑之大小三曰本氣徑差本氣者𭅺月天以下空中氣也較清𫎇為更精微亦能變太陽之光照令目所見之視度視徑隨地隨時大小不一也
　　第七卷測考食分方位及時刻務推與測並行以自騐其法密與否西厯家創法之初審之於天以求其當然成法之後復考之於天以証其必然正此意也交食推法旣備前卷本卷則引測交食多寡之式如測日月各食分或於室內或於室外以真光形如遠鏡等承其射光之容𭅺食分多寡可得非舊法水盤所能及也至二曜食時所向之方位或正或偏測與算合不爽毫末又日月或全或零食之時其變形之限如二食所共者初虧食甚復圓月食所獨者食旣生光皆可得其凖也
　　五緯厯指一卷公論定各星古今次序測五星平行均數據古傳太陰最近地其次為水為金為日而火而木而土而恆星古又謂諸天皆以地心為本心今測則惟日月與恆星為然五星各與地不同心𭅺各視差及各高卑距地遠近可徵也
　　五星諸行較恆星與太陽而得古今共法也乃先記其各平行而因各本行圏皆與地為不同心圏並亦定其本行而更以古今圖様解之且增以新測五星左右異像焉
　　第二卷至六卷毎卷測定五緯一星之最高及本天與地中兩心之差並各星表厯元以得各自行及歲行加減等度分但金水二星之行相似與火木土異葢火木土或㑹或衝太陽以其實行為歲行之界而金水𭅺以太陽平行為本天之平行其本天不出太陽之本輪因加小均輪以齊其順逆行天一周有二伏二見之時非彼三星每歲一㑹一衝太陽可比也又火星或以其行甚曲或以其行之遲疾不等有時四五旬日行過一宮有時二百餘日不及一宮行似無法茲窮究其理以著於圖定其經緯高卑之行使測與推諸用法皆明也
　　第七卷論五星緯行推其與恆星或互相照或同出入以定其凌犯近遠見伏諸類葢舎緯行南北多寡而止論經行𭅺凌犯諸類無從得其全也故引古今累測遊星之緯記其各本道與黃道之交角並繪圖用三角形所推兩道濶狹以顯其實相距之比例又定五星各本天交行而較火木土於金水詳其緯從何而生從何而有異同也
　　第八卷著諸曜凌犯相照伏見之原解七政遲疾二行五星留逆順合衝各情並著表繪圖求入宮入宿等法並論農家占歲醫家療疾人預知天時之雨暘皆由日月五星所命又定月大月小節氣閏月諸法
　　第九卷依古今法測五星各距地之遠近以推其降施之力測各視徑及實徑之大小定其凌犯及諸照之密合查五星光色以考其照物之性情葢星皆借日光之分而所發光色各異有如鏡者有如水者有如金者殆由各染本體之色而然又據新法新測以考中厯之古測乃知古測晨夕二留日時折半以求合伏之時非法也又其所用表晷簡平等儀皆與星行之道絶不相似而用以測五星則非其器也大約測五星須用黃赤全儀弧矢儀經緯象限等與其行相類者而又常較之於恆星乃可得其凖也
　　以上畧引書目皆歸厯原以全修厯之學闕一不可古之論厯者或務改厯元如氣應等或務正定歲差不則求之合朔求之五星求之宿度而已總皆掛一漏萬其法立窮必如新法乃為無歉且此外更著學厯要書如割圓法八線表視學㡬何要法測量全義渾天儀用法比例規籌算開方等法以為旁通之學而厯學於是乎大備後有學者宜究心焉

















　　新法算書卷九十八



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷九十九　　明　徐光啟等　撰新法表異卷上
　　總說
　　帝王圖治求端於天厯事由是興焉炎帝八節俶農功也軒轅甲子系日成也帝嚳序星徵天象也堯置閏月四時乃定舜造璣衡七政以齊夏後周人其敎漸詳月令記於戴禮協紀載於箕疇自是以迨春秋率歲登臺測驗日至然而閏多失置晦朔國殊疎舛為甚六厯出於周秦之際後人疑其偽作而今不可考矣漢初張蒼承秦用顓頊厯洛下閎太初劉歆三統始立積年日法以為推歩之準後世因之而行之愈不能久者不知順天求合之道也其後李梵造四分厯七十餘年而儀式方備又百三十年劉洪造乾象厯始減歲餘創制月行遲疾隂陽黃赤交錯以合天度為推歩師表又百八十年後秦姜岌造三紀厯始以月食衝檢知太陽躔度所在又五十七年宋何承天造元嘉厯始悟測景以定冬至又六十五年祖沖之造大明厯始悟太陽有歲差及極星去不動處有一度餘又五十二年北齊張子信始悟日月交道有表裏五星有遲留伏逆又三十三年劉焯造皇極厯始知日行有盈縮又三十五年唐傳仁均造戊寅元厯頗采舊儀高宗時李淳風造麟德厯以古厯章蔀元首分度不齊始為總法用進朔以避晦日晨月見又六十三年開元時僧一行造大衍厯始以月朔建為四大三小諸法較宻又九十四年穆宗時徐昻造宣明厯始悟日食有氣刻時三差又二百三十六年徽宗時姚舜輔造紀元厯始悟食甚汎餘差數又一百七十餘年元郭守敬造授時厯兼綜前術時創新意然亦僅能度越前代諸家而求其宻合天行垂之永久而無敝終未能也明初作大統厯襲授時之成法二百餘年不知變通訛舛特甚萬厯間曾議改修至崇禎己巳乃召望等前來著書演器厯成亟欲頒行恭遇
　　聖朝建鼎遂用新法造時憲寶厯頒行天下豈非一代之興必有一代之厯預修二十年以備
　　興朝萬年之法傳哉於戱盛矣古來治厯者稱七十餘家考之前史僅四十有餘人而已畧引各朝各厯繼以
　　本朝新厯之凡槪以質諸世之知厯者精粗疎宻展卷即得夫孰得而掩乎
　　漢
　　武帝太初元年丁丑洛下閎鄧平造太初厯
　　成帝綏和二年甲寅劉歆造三統厯
　　積年一十四萬四千五百一十一
　　日法八十一
　　二厯同法歆即衍閎平之法而為三統非有異也厯家立積年日法以準推歩葢始諸此其法以律起厯說多傅㑹初稱脗合積漸後天至元和初失天益遠晦朔望差天一日宿差五度
　　後漢
　　章帝元和二年乙酉李梵編訢造四分厯
　　積年一萬五百六十一
　　日法四
　　是時舊厯舛甚乃詔梵等另造新厯乃以二十五刻為歲實小餘以四分度之一為斗分天數與日數齊而日無盈縮月無遲疾止用一平朔歩厯疎謬可知至永光十五年七月甲辰造黃道銅儀
　　獻帝建安十一年丙戌劉洪造乾象厯
　　積年八千四百五十二
　　日法一千四百五十七
　　漢厯三統四分皆四分之一餘分太強劉洪始覺冬至後天乃減歲餘更以五百八十九為紀法百四十五為斗分考冬至日日在斗二十二度精思二十餘年始悟月行遲速之理創列差率以囿進退損益之數又知月行隂陽交錯於黃道表裏日行黃道於赤道宿度復進有退作乾象厯
　　魏
　　明帝景初元年丁巳楊偉造景初厯
　　積年五千零八十九
　　日法四千五百五十九
　　先是黃初中韓翊因乾象厯減斗分太過後必先天乃少益斗分作黃初厯至是楊偉忿翊之非復作此厯行之乾象黃初二厯參校多年更相是非無時而決至於景初大槩不出乾象範圍而其推五星尤為疎濶
　　晉
　　武帝太元九年甲申姜岌造三紀厯
　　岌病古今諸厯斗分皆疎以致日月交㑹無驗復作三紀厯其言曰治厯之道必審日月之行然後可以上考天時下察地化一失其本則四時變移矣於是考古今斗分疎密不同法數各異殷厯斗分粗故不施於今乾象斗分細故不通於古景初斗分雖在粗細之中而日之所在乃差四度日月虧已皆不及其次假使日在東井而食以月驗之乃在參六度差違乃爾安可以考天時治人事乎乃作三紀厯歲實小餘二四六八三八朔實餘五三○五九五轉終餘五五四五一○交終餘三二一六一三凡八萬三千八百四十一算較前為詳而交終之多則與景初同於五星亦未見考正其獨創者則以月蝕衝檢日宿度所在為厯術者宗焉惜其厯未見之施行也
　　宋
　　文帝元嘉二十年癸未何承天造元嘉厯
　　積年六千五百四十一
　　日法七百五十二
　　承天病前厯昧於日所在之宿度又合朔交食不在朔望因比歲考校於元嘉二十年作元嘉厯行之其上表畧曰漢代雜候清臺以昏明中星課日所在雖不可見月盈則食必當其衝以月推日則躔次可知焉堯典日永星火以正仲夏今季夏則火中又宵中星虛以殷仲秋今季秋則虛中邇來二千七百餘年以中星檢之所差二十七八度則堯冬至日在須女十度左右也漢太初歴冬至在牽牛初後漢四分魏景初法同在斗二十一臣以月蝕檢之則景初今之冬至應在斗十七又以土圭測景考較二至差三日有餘然則今之二至非天之二至也宜隨時遷改以取其合乃以一百九十二章積三千六百四十八年為元法以七百五十二為日法又改歲實小餘為二四六七一朔實餘為五三○五八五轉終餘為五五四五二一交終餘為三二一六○四於是厯成較前為宻至武帝時祖沖之覺其疎謬乃議改厯
　　武帝大明七年癸卯祖沖之造大明厯
　　積年五萬二千七百五十七
　　日法三千九百三十九
　　沖之因元嘉畧於置法乖遠已見作大明厯法上之其言曰何承天意存改革而置法簡畧今已乖遠日月所在差覺三度二至晷景幾失一日五星伏見至差四旬留逆進退或移兩宿分至乖失則節閏非正宿度違天則伺察無凖臣率愚瞽更剙新厯是即大明厯也四應等稍加改易而其改易之意有二內一欵因冬至宿度古今不同謂天數旣差則七曜宿度漸與厯舛乖謬旣著輙應改制今令冬至所在歲歲微差此言得之
　　魏
　　明帝正光二年辛丑龍祥李業興造正光厯
　　積年一十六萬八千五百九
　　日法七萬四千九百五十二
　　時龍祥等九家厯合為一厯以李業興為主改元正光名正光厯魏書稱元起壬子律始黃鍾考古合今可為最宻今就其厯考之大約踵宋厯為之者
　　東魏
　　靜帝興和二年庚申李業興造興和厯
　　積年二十萬四千七百三十七
　　日法二十萬八千五百三十
　　壬子厯氣朔稍違熒惑失次四星出伏厯亦乖舛興和元年齊獻武王入鄴復命李業興改正武王上言之得詔施行　考洛京已來四十餘歲五星出沒歲星鎭星太白業興厯首尾恆中及有差處不過一日二日一度兩度他厯之失動校十日十度熒惑一星伏見體自無常或不應度祖沖之厯多甲子厯十日六度何承天厯不及三十日二十九度今厯還與壬子同不有加增辰星一星沒多見少及其見時與厯無舛今此亦依壬子元不改太白辰星唯起夕合為異業興以天道高遠測歩難精五行伏留推考不易人自仰闚未能盡宻但取其見伏大歸畧其中間小謬如此厯便可行若專據所見之驗不取出沒之效則厯數之道其幾廢矣
　　北齊
　　文宣帝天保元年庚午宋景業造天保厯
　　積年一十一萬一千二百五十七
　　日法二萬三千六百六十
　　文宣受禪景業奉命葉圖䜟造天保厯行之後武平七年董峻鄭元偉立議非之畧曰景業有心改作不㑹真理乃使日之所在差至八度節氣後天閏先一月朔望虧食旣未能知其表裏遲疾之厯歩又不可以𠊓通妄設平分虛退冬至冬至虛退則日數減於周年平分妄設故加時差於異日五星見伏有違二旬遲疾逆留或乖兩宿又是年六月戊申朔太陽虧劉孝孫言食於卯時張孟賓言食於申時鄭元偉董峻言食於辰時宋景業言食於巳時至月食乃於卯申之間其言皆不能中大都五代諸厯家俱踵元嘉大明故法改換章蔀斗分妄自各立門戸爭相妒競以塗人耳目如是而已
　　後周
　　武帝天和元年丙戌甄鸞造天和厯
　　積年八十七萬六千五百七
　　日法二萬三千四百六十
　　靜帝大象元年己亥馮顯造大象厯
　　積年四萬二千二百五十五
　　日法一萬二千九百九十二
　　西魏入關尚興李業興正光厯後周明帝詔有司造周厯頗謬及武帝天和元年甄鸞造天和厯終於宣政元年至大象元年太史上士馮顯更造大象厯此厯氣多朔少所差實遠而顯自以為叅校精宻過矣
　　隋
　　高祖開皇四年甲辰張賓造開皇厯
　　積年四百一十二萬九千六百九十七
　　日法一十萬二千九百六十
　　高祖初行禪代之事欲以符命曜於天下道士張賓揣知上意自雲洞曉星厯盛言代謝之徵由是大被知遇命造新厯賓乃依何承天法微加增損作開皇厯厯旣行劉孝孫與冀州秀才劉焯並稱其失駁有六條及以古今交食並測景辨其是非互有短長如聚訟然殊不知張賓止依元嘉舊法微加增損安得無差卽孝孫等議厯亦止就舊法辨論總之於盈縮遲疾之竅未得其真雖辯萬言何益
　　仁壽四年甲子劉焯造皇極厯
　　積年一百萬九千五百一十七
　　日法一千二百四十二
　　開皇二十年太史令袁充表曰京房有言太平日行上道昇平行次道霸代行下道葢日去極近則景短而日長去極遠則景長而日短今自隋興晝日漸長開皇元年冬至之景長一丈二尺七寸二分自爾漸短至十七年短於舊三寸七分矣上臨朝謂百官曰日長之慶天之佑也今當改元乃改明年為仁壽元年因以厯事付皇太子東宮劉焯以太子新立修增其書名皇極厯與張胄元互相駁難是非不決焯罷歸四年太史奏日食不効帝召焯欲行其厯胄元排之又會焯死厯竟不行
　　煬帝大業四年戊辰張胄元造大業厯
　　積年一百四十二萬八千三百一十七
　　日法一千一百四十四
　　史稱胄元博學多通精於術數時輩多出其下乃擢拜散騎侍𭅺兼太史令賜物千段改定新厯至是行之大抵學祖沖之之法而小變其説葢與劉焯皆踵舊法為之無甚竒異也總之隋人歩厯不精氣策未善冬至或差二三日則其景宜乎有三寸七分之差也而乃妄附太平祥稱仁壽舛矣卒之厯年三十傳國二世然則景長之效壽耶不耶唐
　　高祖武德二年己卯傅仁均造戊寅厯
　　積年一十六萬五千三
　　日法一萬三千六百
　　高祖受禪將治新厯東都道士傅仁均善推歩之學太史令庾儉丞傅奕薦之詔仁均與儉等叅議合受命歲名為戊寅元厯時稱戊寅厯其大要可考驗者有七唐以戊寅歲甲子日登極厯元戊寅日起甲子如漢太初一也冬至日短星昴合於堯典二也周幽王六年十月辛卯朔入食限合於詩三也魯僖公五年壬子冬至合春秋命厯序四也月有三大二小則日食常在朔月食常在望五也命辰起子半命度起虛六符隂陽之始六也立遲疾定朔則月行晦不東見朔不西朓七也高宗因詔司厯起二年用之擢仁均員外散騎侍郎三年正月望及二月八月朔當食比不効為祖孝孫王孝通等所駁十八年李淳風上言仁均厯有三大二小雲日月之食必在朔望十九年九月後四朔頻大詔集諸解厯者詳之不能定庚子詔用仁均平朔仁均厯法祖述胄元稍以劉孝孫舊議參之麟德間仁均厯較淳風最疎更相出入其有所中淳風亦不能逾之
　　高宗麟德二年乙丑李淳風造麟德厯
　　積年二十七萬四百九十七
　　日法一千三百四十
　　高宗時戊寅厯漸差岐州雍人太史令李淳風作麟德甲子元厯以古厯有章蔀元紀日分度分參差不齊乃為總法千三百四十以一之損益中晷術以考日至為渾儀表裏三重以測黃道初隋末劉焯作皇極厯未行淳風約之為法改作麟德厯行之淳風又以晦月頻見故立進朔之法謂朔日小餘在日法四分之三已上者虛進一日以避晦月見不知月之隱見本天道之自然朔之進退出人為之牽強孰若廢人用天不復虛進為得哉
　　𤣥宗開元十二年甲子僧一行造大衍厯
　　積年九千六百九十六萬二千二百九十七
　　日法三千四十
　　開元九年一行奉詔作新厯推大衍數立術以應之十二年測景於天下南至安南北至鉄勒十五年厯成而一行卒詔張説陳元景等次為厯術七篇畧例一篇厯議十篇稱㫖明年説表上之起十七年頒行其大要著於篇者十二內厯本議有曰日行曰躔其差曰盈縮積盈縮曰先後古者平朔月朝見曰朒夕見曰朓今以日之所盈縮月之所遲疾損益之或進退其日以為定朔舒亟之度乃數使然躔離相錯偕以損益故同謂之朓朒月行曰離遲疾曰轉度母曰轉法遲疾有衰其變者勢也月逶迤馴屈行不中道進退遲𨒪不率其常過中則為速不及中則為遲積遲謂之屈積速謂之伸陽執中以出令故曰先後隂含章以聽命故曰屈伸日不及中則損之過則益之月不及中則益之過則損之尊卑之用暌而及中之志同觀晷景之進退知軌道之升降軌與晷名舛而義合其差則水漏之所從也總名曰軌漏中晷長短謂之陟降景長則夜短景短則夜長積其陟降謂之消息遊交曰交會交而周曰交終交終不及朔謂之朔差交中不及望謂之望差日道表曰陽厯其裏曰隂厯五星見伏周謂之終率以分從日其差為進退卽此議觀之頗勝前人然亦不過從古二十三家之厯增宻而已乃欲去増修之名標獨創之美強作議論仍用算數展轉相合附會大衍令不知厯術之人稱為作者此則欺人甚矣夫大衍之數自古有之假令一行生前漢時能舍四分三統而獨創此厯乎前無劉洪姜岌祖沖之何承天之屬吾知其必不能也
　　肅宗實應元年壬寅郭獻之造五紀厯
　　積年二十七萬四百九十七
　　日法一千三百四十
　　先是肅宗初大衍厯有誤詔韓穎直司天臺增益舊術行至德厯至寶應元年六月望月食不効乃詔司天臺郭獻之等復用麟德元紀更立歲差增損遲疾交食及五星差數以寫大衍舊術上元七曜起赤道虛四度帝為製序題曰五紀厯史稱獻之加減大衍偶與天合遂頒用之
　　德宗興元元年甲子徐承嗣造正元厯
　　積年四十萬三千三百九十七
　　日法一千九十五
　　是時五紀厯氣朔加時後天詔司天徐承嗣與夏官正楊景風等雜麟德大衍之㫖治新厯上元七曜起赤道虛四度建中四年厯成名為正元要不出五紀舊術範圍也
　　穆宗長慶二年壬寅徐昻造宣明厯
　　積年七百七萬五百九十七
　　日法八千四百
　　憲宗卽位司天徐昻上新厯名曰觀象起元和二年用之然無蔀章之數至於察歛啓閉之候循用舊法測驗不合至穆宗立以為累世纘緒必更厯紀乃詔日官改撰厯法名曰宣明上元七曜起赤道虛九度其氣朔發歛日躔月離皆因大衍舊術晷漏交㑹則稍增損之更立新數以歩五星大約皆凖大衍厯法其分秒不同則各據本厯母法雲起長慶二年自敬宗至於僖宗皆遵用之
　　昭宗景福元年壬子邊岡造崇𤣥厯
　　積年五千三百九十四萬七千六百九十七
　　日法一萬三千五百
　　是時宣明厯數漸差詔太子少詹事邊岡治新厯岡巧於用算然實㝠於本原其上元七曜起赤道虛四度其氣朔發歛盈縮朓朒定朔望九道月度交會入食限去交前後皆大衍之舊餘雖不同亦殊塗而至者景福元年厯成賜名崇𤣥按岡用算巧能立術簡㨗雖仍大衍而皆變其名如策實曰歲實揲法曰朔實乾實曰周天分之類明白使人易曉較之閉藏閃爍者不同是可尚也其治晷度凖陽城日晷前後消息加減得宜九服中晷各於其地立表候之在陽城之南之北者各有距差以加減陽城二至中晷九服所在各於其地置水漏以定漏率各以陽城二至晷漏母除之得加時黃道日躔交道有差其術甚善後世郭守敬倣之測驗諸方惜未能盡用其術也
　　周
　　世宗顯徳三年丙辰王朴造欽天厯
　　積年七千二百六十九萬八千七百七十七
　　日法七千二百
　　五代初用唐厯後諸國各有厯皆行之未久法不傳惟周世宗欽天厯乃端明殿學士王朴所造其厯以隂三陽二化成之數得諸法較之八十一取之黃鍾三千四十取之大衍其牽附為尤甚行五行周亡
　　宋
　　太祖建隆三年壬戌王處訥造應天厯
　　積年四百八十二萬五千八百七十七
　　日法一萬零二
　　太平興國六年辛巳吳昭素造乾元厯
　　積年三千五十四萬四千二百七十七
　　日法二千九百四十
　　眞宗咸平四年辛丑史序造儀天厯
　　積年七十一萬六千七百七十七
　　日法一萬一百
　　顯德欽天厯行五年周亡宋初猶用之建隆二年五月以其厯推驗疎濶乃詔司天少監王處訥等別造厯法四年四月新法成賜名應天至太平興國間有上言應天厯氣候漸差詔處訥等重加詳定六年表上新厯會冬官正吳昭業所獻新厯氣朔稍均衆所推服遂用之賜號乾元應天乾元皆御製序焉眞宗嗣位命判官司天監史序等考驗前法研覈舊文取其樞要編為新厯咸平四年三月厯成賜號儀天夫天道運行皆有常度厯家之術古今不同葢變法以從天隨時而推數故法有疎宻數有繁簡雖條例稍殊而綱目一也
　　仁宗天聖元年癸亥宋行古造崇天厯
　　積年九千七百五十五萬六千五百九十七
　　日法一萬五百九十
　　宋興百餘年至乾興初詔厯官宋行古等改造新厯至天聖元年八月厯成詔翰林學士晏殊制序而施行焉命曰崇天其積年上考徃古歲減一算下騐將來歲加一算厯成以來年甲子歲用之是年五月丁亥朔日食不效詔候騐至七年會周琮言古之造厯必使千百年間星度交食若應繩凖今厯成而不驗則厯法為未宻又有楊皥於淵者與琮求較驗而皥術於木為得淵於金為得琮於月土為得詔增入崇天厯具改用率數雲
　　英宗治平元年甲辰周琮造明天厯
　　積年七十一萬一千九百七十七
　　日法三萬九十
　　崇天厯行至嘉祐末英宗卽位命殿中丞判司天監周琮等作新厯三年而成琮言舊厯節氣加時後天半日五星之行差半次日食之候差十刻旣而司天中官正舒易簡等更陳家學於是詔翰林學士范鎭等考定是非上推尚書辰弗集於房與春秋之日食參今厯之所候而易簡等所學疎濶不可用新書為宻遂賜名明天厯詔翰林學士王珪序之未久以月食不效詔厯官重造新厯至神宗熈寧元年上之占驗亦差遂復行崇天厯
　　神宗熈寧七年甲寅衛朴造奉元厯
　　積年八千三百一十八萬五千二百七十七
　　日法二萬三千七百
　　厯行十八年至元祐間測有差
　　哲宗元祐七年壬申皇居造觀天厯
　　積年五百九十四萬四千九百九十七
　　日法一萬二千三十
　　厯行十一年崇寧間冬至有差
　　徽宗崇寧二年癸未姚舜輔造占天厯
　　積年二千五百五十萬一千九百三十七
　　日法二萬二千八十
　　厯行三年不效
　　崇寧五年丙戌姚舜輔造紀元厯
　　積年二千八百六十一萬三千四百六十七
　　日法七千二百九十
　　厯行二十一年
　　金
　　太宗天會五年丁未〈南宋高宗建炎元年〉楊級造大明厯
　　積年三億八千三百七十六萬八千六百五十七日法五千二百三十
　　大定二十年庚子〈南宋孝宗淳熈七年〉趙知微重修大明厯積年八千八百六十三萬九千七百五十七
　　日法五千二百三十
　　天會五年司天楊級始造大明厯十五年春正月朔始頒行之其法不知所本或曰因宋紀元厯而增損之至正隆戊寅三月辛酉朔推日當食而不食大定癸巳五月壬辰朔日食甲午十一月甲申朔日食加時皆先天丁酉九月丁酉朔食乃後天由是占候漸差至庚子乃命史官趙知微重修大明厯十一年厯成二十一年十一月望月食驗知知微厯為親遂用之
　　南宋
　　高宗紹興五年乙卯陳得一造統元厯
　　積年九千四百二十五萬一千七百三十七
　　日法六千九百三十
　　厯行三十二年
　　孝宗乾道三年丁亥劉孝榮造乾道厯
　　積年九千一百六十四萬五千九百三十七
　　日法三萬
　　厯行九年
　　淳熈三年丙申劉孝榮造淳熈厯
　　積年五千二百四十二萬二千七十七
　　日法五千六百四十
　　厯行十五年
　　光宗紹熈二年辛亥劉孝榮造會元厯
　　積年二千五百四十九萬四千八百五十七
　　日法三萬八千七百
　　厯行八年
　　寧宗慶元五年己未楊忠輔造統天厯
　　積年三千九百一十七
　　日法一萬二千
　　厯行八年
　　開禧三年丁卯鮑澣之造開禧厯
　　積年七百八十四萬八千一百五十七
　　日法一萬六千九百
　　厯行四十四年
　　理宗淳祐十年辛亥李德造淳祐厯
　　積年一億二千二十六萬七千六百七十七
　　日法三千五百三十
　　厯行一年
　　寶祐元年癸丑譚玉造會天厯
　　積年一千一百三十五萬六千一百五十七
　　日法九千七百四十
　　厯行十八年
　　度宗咸淳七年辛未陳鼎造成天厯
　　積年七千一百七十五萬八千一百五十七
　　日法七千四百二十
　　厯行四年
　　高宗時中原旣失星翁離散紀元厯亡紹興二年高宗重購得之乃命常州布衣陳得一改造統元厯厯成詔翰林院學士孫近為序頒行乃有司不善用之暗用紀元法推歩推得乾道三年丁亥歲十一月甲子朔裴伯壽陳統元法當進作乙丑於是依統元正之光州士人劉孝榮言是年四月戊辰朔日食一分日官言食二分旣而精明不食是年孝宗命孝榮治厯乃採五代民間萬分厯作三萬分以為日法造乾道厯時談天者各以技術相高互相詆毀紛紛不已至淳熈三年因推太陽不合仍命孝榮改厯四年頒行賜名淳熈淳熈末驗合朔差光宗紹興二年詔改新厯仍命孝榮為之賜名會元四年布衣王孝禮言陳得一造統元厯劉孝榮造乾道淳熈會元三厯皆未嘗測景是以冬至皆後天一日今宜立表測驗是時朝廷雖從未暇改作慶元四年會元厯占候多差日官草澤互有異同舊厯後天十一刻詔楊忠輔造新厯五年厯成賜名統天是年六月乙酉朔推日食不驗又嘉泰二年五月甲辰朔日食統天厯先天一辰有半乃詔草澤有通厯者應聘修治開禧三年大理評事鮑澣之言統天厯氣朔五星皆立虛加虛減之數氣朔積分乃有泛積定積之繁其餘差漏不可備言楊忠輔今見統天厯舛私成新厯容臣太史草澤諸人所著厯參攷之檢討曾漸亦言願以諸厯下本省參攷以最近者頒用於是改定新厯厯成賜名開禧詔以戊辰年權附統天厯頒之於是附行於世四十五年嘉定十一年太史局推七月朔日食不驗因命李德卿改造新厯淳祐十年厯成賜名淳祐是年淳祐新厯推壬子歲立春
　　時刻與開禧厯所推相差六刻又推日食分亦差六刻有餘十二年秘書省言李德卿厯與譚玉所進新厯各有得失請商確推算合衆長而為一未幾厯成賜名㑹天寶祐元年行之咸淳六年十一月三十日冬至後為閏十一月旣已頒厯浙江安撫司凖備差遣臧元震言十九歲為一章至朔同日謂之章月今以十一月三十日為冬至又以冬至後為閏十一月自淳祐壬子至咸淳庚午凡十九年是為章歲以十九年七閏推之則閏月當在冬至前不當在冬至後以至朔同日論之則冬至當在十一月初一日不當在三十日因更造厯六年成七年頒行卽成天厯也
　　按宋史雲宋開國以來其厯曰應天曰乾元曰儀天曰崇天曰明天曰奉天曰觀天曰紀元迨靖康丙午百六十餘年而八改厯南渡之後曰統元曰乾道曰淳熈曰㑹元曰統天曰開禧曰㑹天曰成天至德祐丙子又百五十年復八改厯使其初立法脗合天道則千歲日至可坐而致奚必數數更法以求幸合𤣥象哉雖然天歩惟艱古今通患天運日行左右旣分不能無忒謂七十九年差一度雖視古差宻亦僅得其槩耳又況黃赤道度有斜正濶狹之殊日月運行有盈縮朏朒表裏之異測北極者率以千里差三度有竒晷景稱是古今測驗止於岳臺而岳臺豈必天地之中餘杭則東南相距二千餘里華夏幅員東西萬里發歛晷刻豈能盡諧又造厯者追求厯元踰越曠古抑不知二帝授時齊政之治畢殫於是否乎今其遺法具在方冊惟奉天㑹天二法不存大抵數異術同因仍增損以追合乾象俱無以大相過也
　　元
　　國初承用金大明厯庚辰歲太宗西征五月望月食不効二月五月朔㣲月見於西南中書令耶律楚材以大明厯後天乃為更改又創里差以增損之名為西征庚午元厯表上之不果頒用至元四年西域扎馬魯丁撰進萬年厯世祖稍頒行之十三年平宋遂詔前中書左丞許衡太子贊善王恂都水少監郭守敬改治新厯乃創簡儀仰儀高表諸器測候日月星辰消息運行之變兼考前代厯法叅別同異酌取中數以為厯本當時測景之所二十有七東極朝鮮西至滇池南踰朱崖北盡鐵勒十七年冬至厯成詔賜名曰授時厯十八年頒行按授時厯不用積年日法革去人為附㑹之失而惟順天以求合又以日月實合時刻定朔而不用虛進法誠為卓見超越前代矣約畧計之其所考正者凡七事一曰冬至自至元十四年丁丑至十七年庚辰各冬至詳測日晷酌取至日前後同者為凖二曰歲餘自宋大明壬寅年距今八百一十年每歲合得三百六十五日二十四刻二十五分卽用二十五分為授時厯歲餘合用之數較大明厯減去一十一秒並定上推百年增一下推百年減一之議三曰日躔用至元丁丑四月癸酉望月食旣推求日躔得冬至日躔赤道箕宿十度黃道九度有竒較大明厯差七十六分六十四秒四曰月離自丁丑後每日測知逐時太隂行度推算變從黃道求入轉極遲疾幷平行得大明厯入轉後天又因考驗交食加大明厯三十刻五曰入交自丁丑五月後憑每日測得太隂去極度比擬黃道去極度得月道交於黃道仍依日食法度推求皆有食分得入交時刻六曰二十八宿距度自漢太初以來距度不同互有損益大明厯則於度分附以太半少皆私意牽就未嘗實測其數授時新儀皆細刻周天度分每度為三十六分以距線代管窺宿度餘分並依實測不以私意牽就七曰日出入晝夜刻大明厯止據汴京為凖刻數與大都不同授時一以大都為正所創法者五事一曰太陽盈縮用四正定氣立升降限求得每日行分初末極差積度二曰月行遲疾古厯用二十八限授時以萬分日之八百二十分為一限析為三百三十六限求其遲疾度數逐時不同三曰黃赤道差依新算求得度率積差差率四曰黃赤內外度據累年實測內外極度度分求每日去極若干五曰白道交周舊法黃道變推白道以斜求斜授時用立渾比量得月與赤道正交春秋二正度分擬以為法推逐月每交二十八宿度分已上考正創法共十有二事守敬擅稱此術槪在於是顧欲據是遂謂上通徃古下驗將來無不宻合可垂永久而無敝豈其然乎何者求理未精立法未全也夫天有不同心圏地有緯度太陽高卑限不在二至月與五星有小輪有緯行七政各有視差有清𫎇氣差諸如此類縷舉之不下數十種凡皆守敬所未聞也而厯家舍此數十種必無密合天行之理無惑乎授時厯成至大德三年八月推日當食而不食六年六月又食而失推守敬亦付之無可柰何也且當日加工僅於日月而畧於五星五星則猶沿用大明厯然則其厯術之淺深可知矣
　　明
　　洪武初年首命太史監正元統釐正厯典統上言一代之興必有一代之厯隨時修改以合天度遂以洪武十七年甲子歲為厯元作厯法四卷改名大統而其法皆襲授時獨棄去百年消長之法李德芳爭之不從於是相沿二百餘年不知變通交食旣訛節候亦爽五星伏見益復謬迷改修之議始於萬厯決於崇禎歲次己巳望等應召前來著書演器閱六年厯成叅前驗後無不宻合天行時有布衣魏文魁以曉厯著聞曾隨觀察邢公雲路著有律厯考一書乃率門徒上疏要求設局以角勝負卒以測驗屢疎散遣囘籍




　　新法算書卷九十九



　　欽定四庫全書
　　新法算書卷一百　　　　明　徐光啟等　撰新法表異卷下
　　國朝
　　前明自改厯已來新法著聞於世久矣猥以國家多事頒行有待乃歲次甲申恭遇
　　聖朝建鼎本年八月一驗日食時刻分秒方位無差奉有新法盡善盡美之
　　旨遂用新法造時憲書頒行天下天時人事巧相㑹合豈偶然哉算書共計百卷覃思竭精黙符乾造理明數著度越前朝謹撮舉其凡概如左
　　天地經緯
　　天有經緯地亦有之葢大地隨人所止依天頂以分四方東西為經南北為緯厯家不明各方經緯之度則無以知幅𢄙相距之數卽所推太陽節氣與五星經度凌犯及交食時刻日食分數行之一方不能通之各方矣至於日出日入晝夜長短並凖地緯定之方適於用須知天地經緯相應古雲地方言其德耳
　　地形實圓月食時闇虛之圓是其景也周偏生物戴履不殊各以覩日為晝兩極下極寒以半載為晝夜赤道下極暑以二分為夏二至為冬北行累日北星漸出南星漸沒由是推之形圓明矣大約二百五十里當天之一度經緯皆然
　　諸曜異天
　　諸曜各天高卑相距遠甚此創論也然有實驗姑舉二端一驗以測法試立表於此於一線上窺二星其距表正等而其射景則長短不等豈非高者長而卑者短乎一騐以視差設月與星在天實行同度人從地靣視之皆有差分然月差一度有餘星差有少至數分者此何以故差少者高差多者卑也舊厯測驗不精認作同天為誤匪小
　　圜心不同
　　太陽本圜與地不同心二心相距古今不等卽加減亦異卽今二百年後其數小變乃能測審差數以為萬年通變之法舊法不知也
　　𫎇氣有差
　　欲測七政經緯度分先須定本地之𫎇氣差葢地中時有游氣上騰其質輕微雖不能隱蔽天象卻能映小為大升卑為高故日月出入人從地平上望之比於中天則大星座出入人從地平上望之比於中天則廣此映小為大也定望日時地在日月之間人在地平無兩見之理而恆得兩見或日未西沒而已見月食於東日已東出而尚見月食於西或高山之上見日月出入以較厯家算定時刻每先升後墜此升卑為高也且𫎇氣又有厚薄有高下近水與浮虛之地氣盛則厚而高堅燥之地氣減則薄而下厚且高則映象愈大升像愈高薄且下則映像不甚大升像亦不甚高大約地勢不等氣勢亦不等故受𫎇者其勢亦不等欲定日躔月離五星列宿等之緯度若非先定本地之𫎇氣差終難密合也
　　測算異古
　　天氣渾圓其靣與諸道相割所生三弧形不一而足乃古法測天惟以句股為本用平立定三差總是平形豈能測圓又句與股交為直角一遇斜角其法立窮新法測以天弧三角形算以割圓八線表是為以圓齊圓遇直遇斜無徃不合且其用甚大其法甚簡弧矢諸線乘除一次卽得非若句股必須展轉商求累時方成一率也
　　測算皆依黃道
　　日行由黃道中線月與五星亦皆出入黃道內外不行赤道厯家測天若但用赤道儀所得經度宿次尚非本曜在天之宮次新法就其所得又通以黃赤通率表乃與天行宻合且月星之距赤極古今不同而其距黃極則皆終古如一以此新法日月五星皆依黃道起算卽恆星亦從黃極以定歲差
　　改定諸應
　　七政本行各分平實二行乃平行起算之根是卽某曜某日時刻躔某宮之數其名為應新法改定諸應悉從天聰二年戊辰前冬至後己卯日第一子正為始
　　節氣求眞
　　舊法平節氣非天上眞節氣也葢太陽之行有盈有縮而盈縮又各不等舊法平分氣策一十五萬二一八四三七五以為歲周二十四分之一是以平數定節氣不免違天矣於是節氣之差或以時計或以日計至若春分則後天二日秋分則先天二日為誤匪小新法悉皆改定
　　盈縮眞限
　　歲實生於日躔由日輪之轂漸近地心其數浸消徃厯強欲齊之今古不相通矣授時創立消長上考徃古百年加一下驗將來百年減一此說為近然而據算測天則又未合者須知日有最高最卑二㸃盈縮遲疾從此而生乃舊法以高卑二㸃泥在二至遂以二至為盈縮之定限非也新法精詳測候見春分至立夏行四十五度有竒立秋至秋分亦行四十五度有竒其行度等而中間所厯時日不等又時日多寡世世不等卽秋分至立冬立春至春分亦然因知日行最高卑度上古在二至前今世在二至後六度有竒則二至後六日乃眞盈縮之限而沿守授時者猶從二至起算如此歲實安得齊也今用授時消分為平歲更以最高卑差加減之為定歲因計最高最卑之各一㸃每年自行四十五秒
　　表測二分
　　舊以圭表測冬至非法之善也葢表景長短之差上應太陽南北之行顯則俱顯微則俱微二至前後三日內太陽一日南北行為天度六十分之一設表長一丈冬至兩日之景約差一分三十秒凖此細求之應差一秒為六刻七分然而圭上一秒之差人目不能無誤且景符之光線較濶不止數秒一秒得六刻有竒如差三秒卽為二十刻矣又安所得凖也新法獨用春秋二分葢是時太陽一日南北行二十四分景差一寸二分縱令測差一二秒算不滿刻所差無幾較二至為最宻
　　太陽出入及晨昏限
　　諸方北極出地度數不同太陽出入時刻因以各別大統厯自永樂後造自燕都乃猶從江南起算且又執一方以槩天下則都城與諸方晝夜長短並與天違甚至日月東西帶食所測不合所算矣新法雖從京都起算而諸方各有加減然後各得眞正時刻卽論晨昏舊以二刻半為限新以十八度為限然而太陽行此十八度各宮又各不同因是有五刻七刻之別若北極出地七十二度以上之處則夏月晨昏相切雖至中夜亦未甚有黯黑也
　　晝夜不等
　　晝夜之分厯家皆從子午起算一歲行度日日不等其差較一刻有竒新法獨明其故有二一緣黃道夏遲冬疾差四分餘一緣黃赤二道廣狹不同距則率度必不同分也
　　改定時刻
　　晝夜定為九十六刻葢一晝一夜平分十有二時時各八刻積十二時為九十六刻其於推算甚便舊增四刻湊成百數求整齊耳乃其分派百刻則謂每時八刻又三分之一則是每時有一竒零益為繁瑣矣且舊法亦自知百刻之不適於用也其於推交食求時差分仍用九十六刻為法定之則舊增四刻為贅矣置閏不同
　　餘氣歸終積而為閏凡閏之月太陽之躔某宮先後㑹月者二是本月之內太陽不及交宮因無中氣遂置為閏月乃舊法置閏用平節氣非也新法用太陽所躔天度之定節氣與舊不同
　　太隂加減
　　月與五星本輪之外皆有次輪所以行度益繁就月言之同心輪負本輪之心而右本輪又負次輪之心而左俱一周而復月復循次輪而右半周而復次輪半徑半於本輪半徑並之得五度弱為二唯朔望月在本輪內規不須次輪加減止一加減已足餘日則於一加減外另有二三均數多寡不等
　　月行高卑遲疾
　　舊厯言太隂最高得疾最卑得遲且以圭表測而得之非也太隂遲疾是入轉內事表測高下是入交內事若雲交卽是轉緣何交終轉終兩率互異明是二法豈容混推以交道之高下為轉率之遲疾也交轉旣是二行而月行轉周之上又復左旋所以最高向西行則極遲最卑向東行乃極疾正與舊法相反五星高下遲疾亦皆凖此
　　朔後西見
　　合朔以後月夕西見或遲或疾甚有差至三日者新法獨明其故有三一因月視行度視行為疾叚則疾見遲叚則遲見一因黃道升降有斜有正正必疾見斜必遲見一因白道在緯南緯北凡在隂厯疾見陽厯遲見也此外又有北極出地不同之故並朦朧分與氣差諸異所以遲疾恆不能齊也
　　交行加減
　　正交中交行度古定一日逆行三分終古皆為平行今細測之有時月在交上以平求之必不相合因設一加減為交行均數
　　月緯距度
　　太隂緯度舊法以交食分數及交泛等測定黃白二道相距五度因以為率不知朔望外距交尚有損益其至大之距計五度又三分之一也又遇一月兩食則二又須另用儀測方能審知距度幾何彼拘泥五度豈能合天
　　交食有無
　　交食有無惟於入交限定之入交適當交㸃必食卽前後距㸃不遠亦食不則不食葢距交近則其度狹狹則小於兩半徑故食距交遠則其度廣廣則月與景過而不相渉矣何食之有然此論交前後也又當論交左右視太隂與黃道之緯度相距幾何度分月食則以距度較月與景兩半徑並日食則以距度較日月兩半徑並而距度為小則食若大則過而不相渉等則過而僅相切皆不得食也但距度在月為實距度而在日為視距度此則不同耳
　　日月食限不同
　　食限者日月行兩道各推其經度距交若干為有食之始也然而日與月不同月食則太隂與地景相過兩周相切以其兩視半徑較白道距黃道度又以距度推交周度定食限若日食則雖太陽與太隂相遇兩周相切而其兩視半徑未可遂以之定兩道之距度為有視差故必加入視差而後得距度因知特論半徑則日食之二徑狹月食之二徑廣論日食之限乃反大於月食之限以視差也
　　日月食分異同
　　食分多寡惟於距度定之距度在月食為太隂心實距地景之心兩心愈近食分愈多愈遠則食分愈少矣在日食為日月兩心之距距近食多距遠食少與月食同但日食不據實距而據視距葢定朔為實交㑹天下所同而人見食分多寡則東西南北各異所以然者皆視度所為也
　　實㑹中㑹以地心為主
　　實㑹者以地心所出直線上至黃道者為主而日月五星兩居此線之上則實會也卽南北相距非同一㸃而總在此線正對之過黃極圏亦為實㑹葢過黃極圏者過黃道之兩極而交㑹於黃道分黃道為四直角者也則從旁視之雖地心各出一線南北異緯而從黃極視之卽見地心所出二線東西同經是南北正對如一線也是故謂之實㑹若月與五星各居其本輪之周地心所出線上至黃道而兩本輪之心俱當此線之上則為月與五星之中㑹日無本輪本行圏與地為不同心兩心所出則有兩線此兩線者若為平行線而月本輪之心正居地心線上則是日與月之中㑹也葢實㑹旣以地心線射太隂之體為主則此地心線過小輪之心謂之中㑹矣若以不同心圏之平行線論之因日月各有本圏卽本圏心皆與地心〈卽黃道心〉有相距之度分卽日月循各本圏之周右行所過黃道經度必時時有差〈與地不同心故也〉其從地心出直線過日月之體上至黃道此所指者為日月之實行度分也設從地心更出一平行直線與本圏心所出直線偕平行而上至黃道此所指者為日月之平行度分也葢太陽心線與地心一線平行太隂心線亦與地心一線平行但時多不相遇至相遇時兩地心線合為一線則是日月之中相㑹若太陽實行之直線與太隂實行之直線合為一線則是日月之實相㑹合㑹望㑹皆有中有實其理不異
　　視㑹以地面為主
　　前言實㑹中㑹食限等皆日月食之公法也皆是凖於地心然有視㑹新法所創也夫月食生於地景景生於日故天上之實食卽人所見之視食無二食也日食不然有天上之實食有人所見之視食其食分之有無多寡兩各不同推歩日食難於太隂者以此其推算視食則依人目與地面為凖葢人目居地面之上與地心相距之差為大地之半徑則所見之食與實食分兩直線各至宗動天各有所指度分是生視差而人目所見之食非實㑹也特為視㑹
　　黃道九十度為東西差之中限
　　地半徑三差恆垂向下但高卑差線以天頂為宗下至地平為直角南北差者變太隂距黃道之度以黃道極為宗下至黃道為直角東西差則黃道上弧也故論天頂則高卑差為正下南北差為斜下而東西差獨中限之一線為正下一線以外或左或右皆斜下論黃道則南北差恆為股東西差恆為句高卑差恆為至中限則股為一線無句矣所謂中限者黃道出地平東西各九十度之限也舊法以子午圏為中限新厯以黃道出地之最高度為中限〈東西各九十度卽是最高〉兩法皆於中前減時差使視食先於實食皆於中後加時差使視食後於實食第所主中限不同則有宜多而少宜少而多或宜加反減宜減反加凡加時不得合天多緣於此
　　三視差
　　視㑹卽實㑹者惟當天頂之一㸃為然過此則以地半徑以日月距地之逺測太陽及太隂實有三種視差其法以地半徑為一邊以太陽太隂各距地之遠為一邊以二曜高度為一邊成三角形用以得高卑差一也又偏南而變緯度得南北差二也以黃道九十度限偏左偏右而變經度得東西差三也因東西視差故太陽與太隂㑹有先後遲疾之變二曜之㑹在黃平象限度東卽未得實㑹而先得視㑹若在黃平象限西則先得實㑹而後得視㑹所謂中前宜減中後宜加也因南北視差故太隂距度有廣狹食分有大小之變如人在夏至之北測太隂得南北視差卽以加於太隂實距南度或以減於實距北度又東西南北兩視差皆以黃平象限為主日距九十度限漸近東西差漸小南北差漸大近之極則無東西差而南北差與高卑差合為一矣距九十度限漸遠南北差漸小東西差漸大遠之極則無南北差而東西差與高卑差又合為一矣葢三差恆為句股形高卑其南北其股東西其句至極南則與股合至極東極西則與句合也
　　外三差
　　交食有東西南北高卑三差皆生於地徑然更有外三差不生於地徑而生於氣氣有輕重有厚薄各因時因地而三光之視度為之變易一曰清𫎇高差是近於地平為地平所生清𫎇之氣變易高下也二曰清𫎇徑差亦因地上𫎇氣而人目所見日徑之大小變易也三曰本氣徑差本氣者四行之一卽素問所謂大氣地面以上月天以下充塞太空者是也此比清𫎇氣更為精微無有形質而亦能變易太陽之光照使目所見之視度隨地隨時小大不一也此外三差之義振古未聞近始得之然論交食至此於理為盡矣
　　虧復不一
　　日食初虧復圓時刻多寡不一此非二時拆半之說也其故葢在視差夫視差能變實行為視行則用視差以較食甚前後不免參差又安能令視行前後同一乎新法直以視行推變時刻則初虧復圓時刻不一之故瞭然矣
　　交食異算
　　諸方各依地經推算交食時刻及日食分夫諸方所見日月出沒及在天中各有前後不同卽所得交食時刻互異日月二食皆同一理但日食又因視差隨地不一卽太隂視距不一而所見食分亦因以判焉日食變差
　　日食古來有推食不食者或算入限不眞或夜食而誤為晨夕此皆不足置論獨有據法應食而實不見食無可柰何遂雲日度失行誣天甚矣朝臣有稱賀者㒺上甚矣據新法變差而論必係此日此地之南北差變為東西差故論天行則地心與日月兩心相叅直實不失食而從人目所見則日月相距近變為遠實不得食然惟此地為然若在他方未必不漸見食並全見食也此亦千百年偶遇一二次非常有者也
　　推前驗後
　　交食之法上推徃古下驗將來百千萬年當如指掌若悉用古法推歩窮年累月不可得竟矣今用新法諸表遠遡唐虞下沿萬𱵲開卷瞭然不費功力如春秋以來有比月書食者有不書日不書朔者依法考求斷其是非定其日朔至易也又至當也至欲累求向後若干年應得若干食是皆不用全表但檢交周度表便可得之
　　五星凖日
　　推算五星皆以太陽為凖其近太陽而伏則疾行其對太陽而衝則退行且太陽之行又遲疾不一則推五星宜於各本行外並太陽遲疾之行俱入算內始為得之乃舊法於合伏日數時多時寡徒以本星叚目定之故不免有差一二度者計日則或十日或半月矣新法改正
　　伏見宻合
　　五星伏見各以距太陽之度分為限顧舊法惟用黃道距度如謂太陽在降婁初度歲星在十五度卽定為見限非也須知五星有緯南緯北之分黃道又有正斜升降之勢各宮不同所以加減各異此理未明故有差至一二旬或一月甚且推見而實伏推伏而實見者新法改正
　　五星緯度
　　太隂本道斜交黃道因生距度與隂陽二厯卽五星亦然五星相距緯度多寡不一而其斜交黃道莫不與月同理故其兩交亦曰正交中交其在南在北兩半周亦曰隂陽二厯從是各定加減方可合天又土木火三星衝太陽緯大合伏太陽緯小金水順伏緯小逆伏緯大新法一一詳求舊未能也
　　金水伏見
　　金星或合太陽而不伏水星離太陽而不見所以然者金緯甚大凡逆行緯在北七度餘而合太陽於壽星大火二宮則雖與日合其光不伏一日晨夕兩見者皆坐此故水緯僅四度餘設令緯向是南合太陽於壽星嗣後雖離四度夕猶不見也合太陽於降婁嗣後雖離四度晨猶不見也此二則用渾儀一測便見非舊法所能知也
　　五星測法
　　測五星須用恆星為凖測時用黃道儀或弧矢等儀將所測緯星視距二恆星若干度分依法布算乃得本星眞經緯度分又或繪圏亦可免算
　　恆星東移
　　恆星以黃極為極故各宿距星行度時近赤極亦或時遠赤極葢行漸近極卽赤極所出過距星線漸宻而其本宿赤道弧較小行漸遠極卽過距星線漸疎其本宿赤道弧則較大此由二道各極不同非距星有異行或易位也卽如觜宿距星漢測距參二度唐測一度宋測一度迄半度元測五分今測之不啻無分且侵入參宿二十四分此其明驗也然其故至今日始明又宋時所定十二宮次各在某宿度今皆不然正因恆星有本行宿度已東移十餘度矣舊法未諳故所算日月五星過宮俱多舛錯新法改正
　　繪星大備
　　舊法繪星僅依河南見界卽中國所見之星亦未全備新法周天皆有不但全備中國見界而已又新法所定二十八宿先後大小俱合天象其分恆星大小有六等之別前此未聞又依各星光測各星性為天文占驗大用亦新法所創有也
　　天漢破疑
　　天漢斜絡天體與天異色昔稱雲漢疑為白氣者非也新法測以遠鏡始知是無算小星攢聚成形卽積屍氣等亦然足破從前謬解
　　四餘刪改
　　羅㬋卽白道之正交乃太隂自南遡北交於黃道之一㸃㸃有本行而羅㬋正對之㸃卽為計都卽為中交矣月孛乃月所行極高之㸃至此其行極遲孛者悖也謂其交轉兩行若相悖雲爾乃從前日者之流指羅計月孛為星謂其所躔宿度各有吉凶惑世誣民莫此為甚至於紫氣一餘細考諸曜實無此種行度欲測候無象可眀欲推算無數可定欲論述又無理可據明係前人妄増後人傅㑹今俱改刪
　　測器大備
　　欲齊七政首重璣衡所藉以驗合改差者器也古厯尚有數種近代靈臺所存惟有圭表景符簡儀渾象等器頗不足用新法増置者曰象限儀百游儀地平儀弩儀天環天球紀限儀渾葢簡平儀黃赤全儀日星等晷諸器或用推諸曜或用審經緯或用測極或用求時盡皆精妙而其最巧最竒則所製遠鏡更為窺天要具用之能詳日食分秒能觀太白有上下能見歲星旁四小星塡星為撱形旁附有兩小星昴宿有三十餘鬼宿中之積屍氣以至體微光渺之星用此所見奚啻多數十倍又且界限分明光芒璀璨然此亦西洋近時新増之器百年前未有也
　　欲求倍勝之法必資倍勝之器測器雖不一種然而有渾有平有全有隅其平而隅者較之渾而全者徑廣三倍分細十倍黃赤分器莫不精審舊法未能也日晷備用
　　單論求時則晷為最凖葢古法時牌不分方土為用最拙新法之創斯晷必預定各方北極出地之度以故隨處可用且無拘垣壁正側咸可製造或用羅鍼或不用羅鍼且又能於一面視太陽所躔節氣宮次度分及定日之高度定黃道各時之出沒其稱最者則地平晷立晷百游晷通光晷等數種他若柱晷瓦晷碗晷十字晷等或正或欹之類不啻數十種而此外更有星晷及測月之器以為夜中測時之需雲










　　新法算書卷一百