新法算書 (四庫全書本)/卷084

新法算書　卷八十四

　　欽定四庫全書
　　新法筭書卷八十四　　明　徐光啟等　撰㡬何要法
　　總説
　　圜成於線線有二種為曲為直直線或單或衆前卷已詳之衆線或三而成三角形或四而成方形或多而成諸不等形曲線或半或全半線有不等之用全線或成圜形或成卯形等角形及方形卯形詳見後卷今先論圜形
　　界說章第一〈十二則〉
　　第一界
　　圓形於平地居一界之間為圜
　　第二界
　　外圓線為圜之界
　　第三界
　　圜之中處為圜心
　　第四界
　　自圜之界作一直線過中心至他界為圜徑如上圖甲
　　丁乙戊為圜界丙為心甲乙為徑

　　第五界
　　凡直線切圜界過之而不與界交者為切線如上圖甲乙丙線是也若先切圜界而引之入圜內則謂之交線如丁戊是也
　　第六界
　　凡兩圜相切而不相交者為切圜相切而相入者為交圜加上圖
　　第七界
　　凡直線形居他直線形內而此形之各角切他形之各邉為形內切形如上圖丁戊己為甲乙丙形內切形
　　第八界
　　凡直線形居他直線形外而此形之各邉切他形之各角為形外切形如前圖甲乙丙為丁戊己形外切形其餘各形倣此二例
　　第九界
　　直線形之各角切圜之界為圜內切形如上圖甲乙丙形之三角各切圜界於甲於乙於丙是也圜之界切直線形之各角為形外切
　　圜同上圖
　　第十界
　　直線形之各邉切圜之界為圜外切形如上甲乙丙形之三邉切圜於丁於己於戊是也

　　第十一界
　　一圜之界切直線形之各邉為形內切圜如前圖
　　第十二界
　　一直線之兩界各抵圜界為合圜線如上圖之甲乙線
　　造規章第二〈法有四〉
　　圜形以至圓為凖至圓必出於規規必欲極凖極順其用甚活乃堪造厯凡造規之法有四詳列於後
　　第一法
　　先以銅或鐡範成二股上濶下窄至末而鋭近頭小半截作凹凸狀令可相合次以釘釘其圓頭貴寛𦂳得宜任意可開收規下半截為規髀一規髀作墨池如首卷第三章法以適用凡欲造厯象必須備規其造式見後規圖



　　第二法
　　凡規有三用一畫虛線則須鉛條當先以銅葉為管虛其中橫開小路上套小銅圜可上下鬆𦂳以出入鉛條末畧奓出以留小圜如下甲圖一畫墨線則當作墨路如前章法如下乙圖一畫銅板線須以純鋼為末如下丙圖右三髀俱另作不相連本規其本規如前法造但截去一髀臨截處長半寸許作一小箱狀虛其中亦令方可受規髀柄如下圖丁處箱面作旋螺用時任入一規髀以銅消息如旋螺者貫定之如下戊圖則任意可畫線而一規可具三用矣此為第二法如下圖




　　第三法
　　造厯恆用規依比例法分線分圜或以大形移變小形或以小度移變大度其分法稍難今作一四髀規或銅或鐡畧如剪形上下作四規髀上短下長令上凖下度或半或三之一或十之一及種種不等則作線圜時或欲以大變小先以下髀取度次以上髀移度或欲以小變大先以上髀取度次以下髀移度則得所求其或半或三之一或十之一俱從髀之長短而分下愈長則度愈大上愈短則度愈促



　　第四法
　　前三種規長不踰尺止堪小用如欲造璣衡大噐則當

　　更變其式如下圖其規以銅範為極方條上下如一任作㡬尺於條左末作錐垂下二三寸以純鋼為之更造一錐與前錐等上方寸許仍鑿方孔令透可受方條任逺近可推移方孔旁更鑿圓孔仍前法作旋螺貫定方條使兩錐堅定不爽分毫可畫大圜如下圖


　　有圜求兩平分之章第三〈一法〉
　　如有甲乙丙圜求兩平分用尺任以圜一處為界正過心畫一直線則圜體兩平分矣

　　有圜之分求兩平分之章第四〈一法〉
　　如有甲乙丙圜分求兩平分之先於圜分兩界作甲乙線次兩平分之於丁從丁作丙丁為甲乙之垂線〈一卷第八章〉即丙丁分甲乙圜分
　　為兩平分若有圜不露其心又求兩平分之亦如此法有圜求四平分之章第五〈一法〉

　　凡立天象多用四分圜為周天四象限故造法不可不凖如有甲乙丙圜求四平分先以前法作甲乙線過戊心兩平分之次依作垂線法於戊心上自丙至丁作垂線得所求
　　有圜求六平分之章第六〈一法〉
　　凡厯家分周天度多用六數或十二或二十四今詳其法如有一圜求作六分不用他法惟以畫圜之元規周圜界六歩則自然分為
　　甲乙丙丁戊己六平分矣
　　有圜求十二平分之章第七〈一法〉
　　先以本卷五章法四平分於甲乙丙丁次以畫圜元規從甲從乙上下各指一㸃又從丙從丁左右各指一則得所求若欲二十四分毎分為兩則得所求矣
　　有圜求三百六十平分之章第八〈一法〉
　　凡厯家所用細分周天度以三百六十為率今詳其法
　　如有甲乙丙圜先依前法四平分之為四象限次以規
　　元度依前法十二平分為十二宮
　　就以所分十二宮各三分之各包
　　十度次毎十兩平分之各包五次
　　毎宮又五平分之各包六今用六
　　度之規至終不改從子宮初一度歩
　　起完一周又次從初五度初十度
　　十五度二十度二十五度各歩完一周則平分三百六十分矣
　　有圜之分任截㡬度章第九〈一法〉
　　如有甲乙圜之一分欲取三十五度如用常法必須先求圜分之心依後十一章法成圜後均分三百六十乃取三百六十之三十五分其法頗繁今有簡妙法先備一銅板分一子丑寅象限為九十分合極凖設有甲乙圜之界自甲起欲取三十五度之分先從甲至圜心作甲丙半徑線如與子丑寅象限半徑合
　　則移彼度子卯至甲乙線上至庚即得所求如大小不合則以規取子丑寅半徑以丙為心或甲乙內或外作一圜分若丁戊圜在外則當引長甲丙線至丁取子丑寅限三十五度以丁為始移於丁戊圜上至己從丙心過己作一直線截甲乙於庚則甲庚為甲乙圜上三百六十分之三十五也若所範銅板欲其用廣當從寅心重重作圜與子丑平行又自子丑外圜逐度引直線至寅心後所欲取圜分之度若其半徑與子寅不等或同於他子丑內圜之半徑則可徑移其度於所分圜上不爾仍用前法
　　有圜求㝷其心章第十〈一法〉
　　如有甲乙丙丁圜欲求其心先於圜之兩界任作一戊己直線次以平分線法作丙丁垂線兩平分之於庚則庚為圜心
　　有圜之分求成圜章第十一〈一法〉
　　如有甲乙丙圜分求成圜先於圜分任取三於甲於乙於丙從甲至丙丙至乙各作一直線各兩平分於丁於戊次於丁戊上各作垂線相交處為己末以己為心以圜為界旋轉即得所
　　求
　　任設三㸃不在一直線求作一過三之圜章第十二〈法有二〉
　　第一法
　　如有甲乙丙三㸃求作一圜貫之先以甲為心任取一度向乙上下各作小圜分又以乙為心向甲仍用元度上下各作小圜分相交處為丁為戊次又以甲為心向丙上下作小圜分如前
　　次以丙為心亦如之相交處為己為庚次從丁至戊從己至庚各作直線相交處為辛末以辛為心任取一㸃為界旋規成圜即得所求
　　第二法
　　先以三㸃作三直線相聨成甲乙丙三角形次平分兩線於丁於戊次於丁戊上各作垂線合相遇於己末以己為心甲為界作圜即得所求

　　有圜求作合圜線與所設線等此設線不大於圜之徑線章第十三〈一法〉
　　如有甲乙丙圜求作合線與所設丁線等其丁線不大於圜之徑線徑為圜內之最大線更大不可合先作甲乙圜徑為乙丙若乙丙與丁等者即是合線若丁小於徑者即於乙丙上截取
　　乙戊與丁等次以乙為心戊為界作甲戊圜交甲乙丙圜於甲末作甲乙合線即與丁等何者甲乙與乙戊等則與丁等
　　三角形求作形外切圜章第十四〈一法〉
　　甲乙丙角形求作形外切圜先平分兩邉於丁於戊次於丁戊上各作垂線為己丁己戊而相遇於己末以己為心甲為界作圜必切甲乙丙而為三角形之形外切圜
　　三角形求作形內切圜章第十五〈一法〉
　　甲乙丙角形求作形內切圜先以甲乙丙角甲丙乙角各兩平分之作乙丁丙丁兩直線相遇於丁次自丁至角形之三邉各作垂線為丁己丁庚丁戊末以丁為心戊為界作圜即過庚己
　　為戊庚己圜而切角形之甲乙乙丙丙甲三邉於戊於己於庚此為形內切圜
　　有圜求作圜內三角切形與所設三角形等角章第十六
　　甲乙丙圜求作圜內三角切形其三角與所設丁戊己形之三角各等先作庚辛線切圜於甲次作庚甲乙角與設形之己角等次作辛甲丙角與設形之戊角等末作乙丙線即圜內三角切形與所設丁戊己形等角

　　有圜求作圜外三角切形與所設三角形等角章第十七
　　甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角與所設丁戊己形之三角各等先於戊己邉各引長之為庚辛次於圜界抵心作甲壬線次作甲壬乙角與丁戊庚等次作乙壬丙角與丁己辛等末於甲乙丙上作癸子子醜醜癸三垂線此三線各切圜於甲於乙於丙而相遇於子於丑於癸〈若作甲丙線即癸甲丙癸丙甲兩角小於兩直角而子癸丑癸兩線必相遇餘倣此〉此癸子
　　丑三角與所設丁戊己三角各等
　　有圜求作內切圜直角方形章第十八
　　有甲乙丙丁圜求作內切圜直角方形先作甲丙乙丁兩徑線以直角相交於戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四線即甲乙丙丁為內切圜直角方形
　　有圜求作外切圜直角方形章第十九〈法有二〉第一法
　　甲乙丙丁圜其心戊求外切圜直角方形先作甲丙乙丁兩徑線以直角相交於戊次於甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四線為兩徑末界之垂線而相遇於己於辛於壬於庚即己庚壬
　　辛為外形
　　第二法
　　以戊甲為度依平行線法作己庚辛壬上下兩線與乙丁平行次用元度作己辛庚壬左右兩線與甲丙平行即得所求同前圖
　　有直角方形求作形內切圜章第二十
　　甲乙丙丁直角方形求作形內切圜先以四邉各兩平分於戊於己於庚於辛而作辛己戊庚兩線相交於壬末以壬為心戊為界作圜必過戊己庚辛而切甲丁丁丙丙乙乙甲四邉是為
　　形內切圜
　　有直角方形求作形外切圜章第二十一
　　甲乙丙丁直角方形求作外切圜先作對角兩線為甲丙乙丁而交於戊末以戊為心甲為界作圜必過乙丙丁甲而為形外切圜
　　有圜求作圜內五邉切形其形等邉等角章第二十二
　　如有甲乙丙丁戊圜求作五邉內切圜形等邉等角先作己庚辛兩邉等角形而庚辛兩角各倍大於己角次於圜內作甲丙丁角形與己庚辛角形各等角次以甲丙丁甲丁丙兩角各兩平分作丙戊丁乙兩線末作甲乙
　　乙丙丙丁丁戊戊甲五線相聨即甲乙丙丁戊為五邉內切圜形而五邉五角俱自相等
　　有一圜求作內切圜五邉及十邉形章二十三
　　如有甲乙丙圜心為丁先作甲丙過心線次作乙丁垂線次平分丁丙線於戊作乙戊線次取戊乙度移於徑線為戊己次作乙己直線蓋乙己為甲乙丙圜五分之一以此為度可作內切
　　圜五邉形丁己度可作內切圜十邉形
　　有圜求作圜外五邉切形其形等邉等角章第二十四
　　甲乙丙丁戊圜求作五邉外切圜形等邉等角先依前章法作圜內甲乙丙丁戊五邉等邉等角切形次乃從己心作己甲己乙己丙己丁己戊五線次從此五線作庚辛辛壬壬癸癸子子
　　庚五垂線相遇於庚於辛於壬於癸於子五垂線既切圜即成外切圜五邉形而等邉等角
　　五邉等邉等角形求作形內切圜章第二十五甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作內切圜先分乙甲戊甲乙丙兩角各兩平分其線為己甲己乙而相遇於己自己作己丙己丁己
　　戊三線次從己向各邉作己庚己辛己壬己癸己子五垂線末作圜以己為心庚為界必過辛壬癸子庚而為甲乙丙丁戊五邉形之內切圜
　　五邉等邉等角形求作形外切圜章第二十六
　　甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作外切圜先分乙甲戊甲乙丙兩角各兩平分其線為己甲己乙而相遇於己次從己作己丙己丁己戊三線與己甲己乙俱等末以己為心甲為界作圜
　　必過乙丙丁戊甲即得所求
　　求作圜內六邉切形其形等邉等角章二十七
　　如有甲乙丙丁戊己圜其心庚求作六邉內切圜形等邉等角先作甲丁徑線次以丁為心庚為界作圜兩圜相交於丙於戊次從庚心作丙庚戊庚兩線各引長之為丙己戊乙末作甲乙
　　乙丙丙丁丁戊戊己己甲六線相聯即得所求
　　求作圜內十五邉切形其形等邉等角章第二十八
　　如有甲乙丙圜求作十五邉內切圜形等邉等角先作甲乙丙內切圜平邉三角形即各邉當圜十五分之五次從甲作甲戊己庚辛內切圜五邉形等角各邉當圜十五分之三而戊乙得
　　十五分之二次以戊乙圜分取乙己度兩平分於壬則壬乙得十五分之一次作壬乙線依壬乙共作十五合圜線即得所求〈以此為例推用逓分可作無量數形〉
　　圜內有同心圜求作一多邉形切大圜不至小圜其多邉為偶數而等章第二十九
　　如有甲乙丙丁戊兩圜同以己為心求於甲乙丙大圜內作多邊切形不至戊丁小圜其多邉為偶數而等先從己心作甲丙徑線截丁戊圜於戊也次從戊作庚辛為甲戊之垂線即庚辛線切丁戊圜於戊也次以甲丙兩平分於乙
　　乙丙兩平分於壬以壬丙兩平分於癸則丙癸圜分必小於丙庚而作丙癸合圜線即丙癸為所求切圜形之一邉也次以癸丙為度遞分一圜各作合圜線得所求形
　　新法算書卷八十四