測圓海鏡 (四庫全書本)/卷11

測圓海鏡　卷十一

　　欽定四庫全書
　　測圓海鏡卷十一
　　元　李冶　撰
　　雜糅一十八問
　　或問城南有槐樹一株城東有柳樹一株甲出北門東行丙出西門南行甲丙槐柳悉與城叅相直既而丙就柳行五百四十四步至柳樹下甲就槐行四百二十五步至槐樹下問答同前
　　法曰甲就步自之於上以二行相減數自之減上位為實二之二行相減數併入二之甲就步為從一步常法得平
　　草曰別得丙就步為邊也甲就步為底也邊即皇髙共也底即皇平共也二行相併即大皇共也二行相減即皇極勾股較也倍皇以減於大餘即虛也倍皇內減邊餘即叀也倍皇內減底餘即明也皇極加一差〈按一差即皇極勾股較〉則大差也內減一差則小差也立天元一為平加一皇極勾股差得□□即髙也髙自之得丨□□內加天元冪得□□□為皇冪〈寄左〉然後以天元減底得下式□□自之得丨□□為同數與左相消得丨□□開平方得一百三十六步即平也餘各依法求之合問
　　或問出南門東行有槐樹一株甲出北門東行斜望槐樹與城相直就槐樹行二百七十二步出東門南行有柳樹一株丙出西門南行斜望柳樹與城相直就柳樹行五百一十步問答同前
　　法曰云數相併而半之以自乘於上半丙斜行以為冪半甲斜行以為冪併二冪減上位為實併雲數為益從一步平隅得虛
　　草曰別得丙斜行為黃廣也亦為兩個髙也此勾則城徑也甲斜行即黃長也亦為兩個平也此股則城徑也二數相併得□即大虛共也二數相減餘□即兩個皇極差也二數相併而半之得□即皇極和也立天元一為虛以減於皇極和得□□即皇極也以自之得丨□□為皇冪〈寄左〉然後以髙自之得□以平自之得□二自乘數相併得□與左相消得□□□開平方得一百二即虛也合問
　　或問甲從坤隅南行不知步數而立乙從艮隅南行一百五十步望見甲復斜行五百一十步與甲相㑹問答同前
　　法曰斜行自之於上倍南行減斜餘自之以減上為實倍南行減斜又四之為從八步常法平方得半徑草曰別得南行即小差股斜行即黃廣也小差股內減半徑餘即半個黃廣積上股差也全徑即其勾也立天元一為半城徑減於乙南行倍之得□□即一個黃廣即上股差也以減於斜行步餘□□即股也自之得□□□為股冪也又倍天元以自之得□□為大勾冪加入大股冪得□□□〈寄左〉然後以斜行冪□與寄左相消得下式□□□開平方得一百二十步即半徑也合問
　　或問乙從艮隅東行不知逺近而止甲從坤隅東行一百九十二步望見乙復斜行二百七十二步與乙相㑹問答同前
　　法曰倍東行減斜行得數自為冪以減於斜行冪為平實倍東行減斜行又四之為從八益隅翻法開平方得半徑
　　草曰別得甲東行即大差勾也斜行則黃長也大差勾內減半徑餘即半個黃長積上勾差也全徑即其股也立天元一為半徑減於東行倍之得□□即一個黃長積上勾差也以減於斜行步得□□即黃長勾也以自之得□□□為勾冪於上倍天元以自之得□□加上位得下式□□□為冪〈寄左〉然後以斜行冪□為同數與左相消得□□□平開得一百二十步即半城徑也合問
　　或問甲從坤東行一百九十二步丙從艮南行一百五十步望見之問答同前
　　法曰二行相乘倍之為平實如法得圓徑
　　草曰別得甲行即大差勾丙行即小差股此二數相乘恰與大小差相乘正同如法相乘訖倍之得□為圓徑冪〈寄左〉然然立天元為圓徑以自之與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問
　　又法以二行相減數減於二行相併數餘者半之於上復以二行相減數加於上即城徑
　　草曰別得甲東行減於徑為虛勾也丙南行減於徑為虛股也二行共為一徑一虛共也二行相減即虛和也以相併數相減數又相減即兩個虛也如法求得虛和□虛□相併得□即城徑也合問按又法未合蓋以二行相減為虛較而草中誤以為虛和也其義甚淺非難知者是殆偶爾之遺忘然亦可以決其為當日未定之稿矣
　　或問出西門南行二百二十五步有塔出北門東行六十四步望塔正當城徑之半問答同前
　　法曰二行相乘為平實一步常法得半徑
　　草曰別得二百二十五步為髙股此乃半徑為勾之股也其六十四步為平勾此乃半徑為股之勾也二數相併即太極也二數相減即中差內去皇極差也又別得二行相乘恰是半徑冪一段此與半梯頭相乘其意正同今且以上容圓取之立天元一為半徑副之上加南行得□□為股也下加東行步得□□為勾也勾股相乘得丨□□為大直積以天元半徑除之得□□□為勾股和〈寄左〉然後併勾股得□□與左相消得丨○□開平方得一百二十步即半徑也合問
　　或問丙從乾隅南行丁從艮隅亦南行甲從乾隅東行乙從坤隅亦東行各不知步數四人悉與城相直只雲丙行內減丁行餘四百五十步甲行內減乙行餘一百二十八步問答同前
　　法曰二行相乘為實一步常法得城徑
　　草曰別得丙行即大股丁行即小差之股也甲行即大勾乙行即大差之勾也其□即黃廣股其□即黃長之勾也立天元一為城徑先置黃廣股□為股方差以□為勾方差以乘之得□為城徑冪〈寄左〉然後以天元冪與左相消得下式丨□□開平方得二百四步合問
　　或問出南門東行有槐樹一株出東門南行有柳樹一株丙丁二人同立於坤隅甲乙二人同立於艮隅丁直東行至槐而止乙直南行至柳而止丙直南行甲直東行四人遙相望見只雲丙行多於丁行一百六十八步乙行多於甲行七十步問答同前
　　法曰云數相乘為實二數相減又半之為法得城徑草曰別得□即大差勾股較也其□即小差上勾股較也二數相併為大差內減小差也二數相較又半之皇極與城徑差也二數相併而半之即皇極差也立天元一為圓徑二雲相減數又半之加天元得□□為極也併二數而半之得□為極差也副置極上位加極差得□□為較和也下位內減極差得□□為較較也上下相乘得丨□□為二直積〈寄左〉然後以天元一乘極得下式丨□為同數與左相消得□□上法下實而一得二百四十步即城徑也合問
　　或問甲從坤東行丙從艮南行適相見斜行一百二步甲丙相㑹丙雲我南行不及汝四十二步問答同前法曰二數相併以斜行乘於上二數相併而半之以乘相併數減上位為平實不及步為從一步常法得虛勾
　　草曰別得一百二步即虛四十二步即虛較也又斜行得虛股為乙東行此便為大差勾也斜行步得虛勾為丙東行此便是小差股也立天元一為虛勾加斜行步得□□為小差股也以不及步加於小差股得下式□□為大差勾也勾股相乘得丨□□為半段黃方冪〈寄左〉然後再置虛勾加不及步得□□為虛股又加入天元得□□為虛和又加入虛得□□為圓徑以自之得□□□又半之得□□□與寄左相消得丨□□平方開得四十八步即虛勾也合問
　　或問甲從城心東行丙從城心南行庚從巽隅西行壬從巽隅北行四人遙相望見各不知步數只雲甲丙共行了三百九十一庚壬共行了一百三十八問答同前
　　法曰云數相乘為實相併為法得虛
　　草曰別得甲丙共為皇極和也又為極極黃共庚壬共為太虛和也又為虛虛黃共立天元一為皇極黃方靣〈亦為虛也〉減於甲丙共得□□即極也又以天元減於庚壬共得□□即太虛黃方靣也以太虛黃方靣乘極得丨□□〈寄左〉然後以天元冪與左相消得□□上法下實如法得一百二步即皇極黃方靣也合問〈按此亦係相消後得一邊之二數者〉
　　或問甲從乾隅東行不知步數而止丙向南行亦不知步數望見甲就甲斜行七百八十步與甲相㑹甲雲我行地雖少於汝以我東行步為法除汝南行步則汝止得二步四分問答同前
　　法曰斜步自之為平實除步自之又加一步為隅得甲東行
　　草曰此問所求城徑與諸問並同其勾股則與前後諸率不同今特為此草者欲使後學有以考較諸率當否也立天元一為甲東行〈即大勾〉以乗二步四分得□為長以自之得□□為股冪又併入天元冪得□□為冪〈寄左〉乃以斜行自之得□為同數與左相消得□□□開平方得三百即甲東行也以二步四分乘之得七百二十步即丙南行也倍丙東行以甲東行乘之得四十三萬二千為實以三事和一千八百為法除之得二百四十步即城徑也合問
　　或問小差黃方靣少於大差黃方靣八十四步太虛黃方靣少於皇極黃方靣六十六步問答同前
　　法半八十四為中差以中差減六十六為二小差半之為小差又中小差相併為大差乃以小差乘大差為平實半步常法得虛黃
　　草曰別得八十四為兩個虛積中差其六十六為虛積大小差併半八十四得□為虛中差也以中差減六十六餘二十四半之得□即虛小差也以小差反減六十六餘□即虛大差也又別得小差黃方為兩叀股大差黃方為兩明勾也立天元一為虛黃方置三位上加小差得□□為虛勾也中加大差得下□□為虛股也下加大小差併得□□為虛也三位併之得□□即城徑也倍虛勾減城徑得□□為大差黃方靣也又倍虛股減城徑得□□為小差黃方靣也半小差黃方靣得□□以乘大差黃方得□□□為一個虛直積〈寄左〉乃以虛勾虛股相乘得丨□□為同數與左相消得□□□平方開得三十六步即虛黃方靣也其餘依法求之合問據此問既別得大小差正數自可以求得黃方靣也諸如此數實不湏草今特為細草者庶使後學知其來歴
　　或問大差較較減皇極餘四十九步小差較和減太虛餘一百三十八步又皇極差一百一十九步問答同前
　　法曰併前二數為冪內減極差冪為平實從空二益隅得虛
　　草曰別得大差較較與小差較和皆同為圓徑也又二數相併得□為明叀共又為極和內少兩個虛也其一百三十八即虛和也□則旁差也立天元一為虛加入一百三十八得□□為圓徑也又加入□得□□為極以自之得丨□□又倍之得□□□內卻減極差冪□得下式□□□為和冪〈寄左〉乃倍天元加併數得□□為極和以自增乘得□□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二步即虛也加入一百三十八得二百四十步為圓徑合問〈前二數相併加虛便是極〉
　　或問小差不及平五十六步髙不及大差一百五步問答同前
　　法曰以前數自之為實二數相減為法得平勾草曰別得雲數相併得□為平勾不及髙股也此數得極差則通差也此數內減虛差則極差也雲數相減餘□即城徑不及極也以前數減於半徑餘即平勾以後數加於半徑即髙股也倍前數加小差則為股圓差之勾也此與前數加平同倍後數減於大差則為勾圓差之股也此與後數減於髙同立天元一為平勾加相併數得□□即髙股也又加天元得□□即極也內減二雲數差得□□為城徑也半之得□□以自之得丨□□為半徑冪〈寄左〉然後以天元乘髙股得丨□為同數與左相消得□□上法下實得六十四步即平勾也合問
　　又法雲數相得為實相減為法得半徑
　　草曰立天元為半徑副之上內減五十六得□□為平勾下加一百五得□□為髙股上下相乘得丨□□為半徑冪〈寄左〉以天元冪與左相消得下式□□上法下實得一百二十步即半徑也合問
　　或問通勾通共一千步大差小差共得四百四十步問答同前
　　法曰以二差共減於一千又半之以自乘為平實以二差共減於一千又半之加入二之前數為縱〈前數謂一千也　按此語有誤應加入二之後數後數謂大小差共也〉二步二分五釐益隅得勾圓差
　　草曰立天元一為小差數加入後數得□□卻以減於前數得□□折半得□□為一個圓徑也以自之得下式□□□〈寄左〉然後以天元減後數得□□為大差以天元乘之又倍之得□□與左相消得□□□開平方得八十步即勾圓差也
　　或問皇極三事和六百八十步太虛和較三十六問答同前
　　法曰二數相得為實半之後數為益從五分常法平開得城徑
　　草曰別得皇極三事和即大也立天元一為城徑減三個後數□而半之得□□為太虛大小差併也卻加入兩個後數□得下□□為虛和也又以虛和減天元得下□□為虛也置通〈即皇極三事和也〉內加天元得下式□□即通和也乃置通和以虛乘之得下式□□□〈寄左〉再置虛和以通乘之得下□□為同數與左相消得□□□開平方得二百四十步即城徑也合問
　　或問出南門行一百三十五步有樹出北門行一十五步折而東行二百八步望見問答同前
　　法曰以東行步乘南行步得數又自乘為實以東行步自乘乘南行步又倍之為從東行步自乘於上併南北二行步以減於東行步餘數自之為冪以減上再寄位又併南北二行步以東行步乘而倍之內減再寄為第一益亷四之東行步於上又併南北二行步減於東行步又四之減上位為第二益亷四步虛隅開三乘方得半徑
　　草曰立天元一為半徑〈即髙勾也〉置南行步加天元得□□為髙也置大勾□以髙乘之得□□復以髙勾除之得下式□□為大也令之自乘得□□□〈寄左〉又置二之天元加南北行併得□□為大股復用大勾二百八減之得□□為較也以自乘得□□□為較冪以減寄左得□□□□□為二直積〈寄左〉再置大股□□以大勾□乘之得□□為直積又倍之得□□為同數與左相消得□□□□□翻法開三乘方得一百二十步即城徑之半也合問
　　或問出北門一十五步折而東行二百八步有樹出西門八步折而南行四百九十五步見之問答同前法曰先置南行步內減一東二西併步餘二百七十一為前泛率次併一南二北內減東行步餘三百一十七為中泛率次併東西步以南行步乘之於上位又以西行乘南北併得數減上位餘一十萬二千八百四十為後泛率乃以後泛率自乘得一百五億七千六百六萬五千六百為三乘方實以前中二泛相減餘四十六以乘後法數為從前中二泛相乘得八萬五千九百七加入二之後泛數共得二十九萬一千五百八十七於上位又併東西行以乘南北併得二十二萬三百二十加上位通得五十一萬一千九百七為第一亷二之前泛數加入四之東西併得一千四百五十二於上位又以前中二泛相減於四十六減上位餘一千四百六為第二亷一步常法得半徑〈按此法乃取於又法草中其求第二亷雲二之前泛數句誤當雲二之四數併若二之前泛數加入四之東西併便得第二亷一千四百零六更不待再減然原文之意不如是也〉
　　草曰立天元一為半城徑加入東行西行併得□□為大勾也又置天元加入南行北行併得□□為大股也置西行八步以大股乘之得下式□□合以大勾除之不除寄為母便以此為股尖也置南行四百九十五步減天元得□□用分母大勾乘之乘訖得下式□□□內減了股尖餘□□□為小股也〈內帶大勾分母〉置小股合以大勾乘了復以大股除之為小勾今為小股內已有大勾為母更不湏乘只以小股□□□便為小勾也〈內帶大股為母〉小勾小股相乘得數為一個小勾股相乘直積內帶大勾股相乘直積為分母也乃以半城徑〈即天元也〉除之為一個較和也丨□□□□此法本取勾外容圓合以較和除二積為勾外所容之圓今用天元半徑除一個積則卻得一個較和也內依舊帶大積分母也〈寄左〉然後再置小股□□□合用大積乘之縁內已帶大勾分母今只用大股□□乘之得□□□□為大積所乘小股於上再置小勾合用大積乘之縁內已帶大股分母合只用大勾□□乘之得□□□□為大積所乘之小勾也以此小勾減上小股得□□□即帶分小較也又二因小較得下式□□□為帶分二較也又以大勾股直積丨□□乘二之天元半徑得□□□為一個帶分較較也〈較較乘較和為二直積既以圓徑除二百積為較和則是圓徑為較較也今又為半天元圓徑除一積為較和故倍天元半徑作一個較較也〉遂將此較較加入前二較得□□□□亦為一個較和也與寄左相消得下式丨□□□□開三乘方得一百二十步即城半徑也合問
　　又法此問係是洞淵測圓門第一十三前答亦依洞淵細草用勾外容圓術以入於較和然其數煩碎宛轉費力今別草一法其亷從與前不殊而中間段絡逕捷明白方之前術極為省易學者當自知也　立天元一為半徑副之上併加東西行得□□為通勾率下併加南北行得□□為通股率乃置西行八步以通股乘之得下□□合通勾除不除寄為母便以此為南小股也又置南行四百九十五步內減天元得□□用通勾乘之得□□□內減了南小股下式卜□□為股圓差也內帶通勾分母又置北行一十五步以通勾乘之得□□合通股除不除寄為母便以此為北小勾也又置東行二百八步內減天元得□□用通股乘之得□□□內減了北小勾餘□□□為勾圓差也〈內帶通股分母〉乃以二差相乘得下式丨□〈□□〉□〈□□〉為半段圓徑冪也內帶通積為母〈寄左〉然後以通勾通股相乘得丨□□以天元冪乘之得丨□□□又倍之得下式□□□□為同數與左相消得亷從一與前同合問
　　按洞淵疑為古之精於算者序中謂老大以來得洞淵九容之說而於此問又明其為洞淵測圓門第十三題前答亦依其細草大抵是書之作皆師其意而演之者也今洞淵之為人與書雖不可考而即此一草觀之其取徑遙深而惟變所適亦可見文豹之一班矣至謂其數煩碎宛轉費力特為初學難易而言讀者宜善㑹也









　　測圓海鏡卷十一