湛軒書/外集卷五
籌解需用內編
編輯籌解需用內編下
編輯天元解
編輯元〈一〉。列畝通步爲實。〈畝法。二百四十步也。〉以和九十二爲從方。以一爲隅。從方一進。隅再進。上商三十步。以隅因上商減從方。餘六百二十。因上商除實。一百八十六。又以隅因商減從方。餘三百二十。從方一退。隅再退。續商八步。以隅因商減從。餘二十四。因上商除實恰盡。得平三十八步。合問。〈右減從開平方法〉
若先求長則法實上同。上商五十。以隅因商減從。餘四百二十。因上商得二千一百。多於原積反減。餘四十八爲負實。又以隅因商得五百。多於從反減。餘八十爲方。法退位如法續商四步。以隅因商加方法。得十二。因商除實恰盡。上商得五十四步長也。〈右開平方飜積法〉
元〈二〉。列畝通步。四之與寄左相消。餘三百二十四爲實。以一爲廉。平方開之。得較十八步。以古法演之。
若先求平。則用減從開平方法。列畝通步爲實。以和七十四爲從方。以一爲隅從一進。得七百四十。隅再進上商二十。以隅因商減從。餘五百四十。因商除實。餘二百八。又以隅因商減從。餘三百四十。從一退隅再退。續商八步。以隅因商減從。餘二十六。因商除實恰盡。上商得平二十八步。減和得長四十六步。長平相減。得較十八步。合問。
若先求長。則用飜積平方法。法實上同。上商四十。以隅因商減從。餘三十四。因商得一千三百六十。多於原積。故反減。餘七十二爲負實。又以隅因商得四十。多於從。故反減。餘六。〈畝名。〉方法一退。隅二退。續商六步。以隅因商加方法。得十二。因商除實恰盡。上商得四十六步也。以減和得平。長平相減得較。〈原積者列畝通步數。〉
元〈三〉。列畝通步爲實。以差步爲從。以一爲隅。從一進隅再進。上商二十。以隅因商加從。得四百五十。因商除實。餘二百七十六。又以隅因商加從。得六百五十一。退得六十五。隅再退。續商四步。以隅因商加從。得六十九。因商除實恰盡。上商得平二十四步。加差卽長也。〈右開平方帶從法〉
〈實一千二百七十六。平二十四。長六十九。差四十五。〉
元〈四〉。列畝通步四之。倂寄左爲實。一爲隅。開平方得和。此古法演之也。〈倂之列畝通步內子四之加寄九百共數雲也。〉
若先求平。則列畝通步爲實。以較爲從方。一爲隅。用帶從平方法。進位如前。上商二十。以隅因商加從。得五百。因商除實。餘四百五十六。又以隅因商加從。得七百。從一退隅再退。續商六步。以隅因商加從。得七十六。因商除實恰盡。上商得平二十六步。加較得長。長平相倂得和。
〈實一千四百五十六。平二十六。長五十六。較三十。〉
元〈五〉。列畝通步爲實。以一百七十五爲隅。二進。上商三十。以隅因商。得五百二十五爲方法。因上商除實。餘六百九十三。又以隅因商加方。法一退。得一百五。隅再退。續商六步。以隅因商加方。得一百十五步半。因商除實恰盡。上商得方面三十六步。圓徑適等。〈右開平方法〉
〈實二千二百六十八。〉
元〈六〉。列畝通步。四之減寄。餘六千一百五十六爲實。以一百四爲從方。以七爲正隅。方一進隅再進。上商三十。以隅因商。得別方二百十。反減從方。餘一百六。進位得一千六十爲方法。因上商除實。餘二千九百七十六。又以隅因商加方法一退。得三百十六。隅二退續商八步。以隅因商加方。得三百七十二。因商除實恰盡。上商得圓徑三十八。減不及。卽方面〈右開平方飜法〉
元〈七〉。列畝通以十五乘。得三萬五千二百八十爲實。以一千五百十二爲從方。以十六爲隅。進位如法。上商四十。以隅因商。得六百四十。減從。餘八千七百二十。因商除實。餘四百。又以隅因商減從方。餘二千三百二十。從退一隅退二。續商二步。以隅因商減從。餘二百。因上商除實恰盡。得平四十二步。以平除積。卽長也。
元〈八〉。別立一數。以十三爲較。取較平差八分。以二十一爲平。取較十三。以三十四爲長。以較只雲數。則爲多於一平一步。以平減長。至一百二十二平。減一百九長而其數與分母相乘。一千一百四十四合。今多於二步。爲一步之倍數。是以諸數皆倍之。二千二百八十八。爲一百九長內減一百二十二平。
列畝通步。以一百二十二乘之。得三十四萬八千四百三十二爲實。以二千二百八十八爲從方。以一百九爲隅。從方一進隅二進。上商六十。以隅因商置別方六萬五千四百。反減從方。餘四萬二千五百二十。因商除實。餘九萬三千三百十二。又以隅因商加方法一退。得一萬七百九十二。隅二退。續商八步。以隅因商加方法。得一萬一千六百六十四。因商除實恰盡。得長六十八步以長除。積卽平也。
元〈九〉。用帶從平方法。得用減從反法。得長二步少半步。通分內子七。以乘分母。得六百七十二。又以三收之爲二百二十四步。
列畝通步爲實。以二十八爲從方。一進。以一爲隅二進。上商五十。以隅因商加從。得七百八十。因商除實。餘八百四。又以隅因商加從一退。得一百二十八。隅二退。續商六。又以隅因商加從。得一百三十四。因商除實恰盡。得平五十六步。以平除積。得長也。
元〈十〉。用減從開平方法。列畝通步。內子四之倂寄左。一萬六百四十七爲實。以二百八爲從方。以一爲隅。從方一進。得二千八十。隅再進。上商九十。以隅因商減從。餘一千一百八十。因商除實。餘二十七。又以隅因商減從一退。得二十八。隅二退。續商一。以隅因商減。得二十七。因商除實。得圓徑九十一步。內減倍之。雲數二十六。卽方也
元〈十一〉。開法上同。列畝通步。以一百九十六乘之。得內減寄左三萬九千二百四。餘五萬六千五十二爲實。以三千九百六十爲從方。以四十七爲隅。從方一進。隅二進。上商一十。以隅因商減從。餘三萬四千九百。因商除實。餘二萬一千一百五十二。又以隅因商減從。餘三萬二百。從一退隅二退。續商八。以隅因商減從。餘二千六百四十四。因商除實。上商得地徑十八步。加八倍之。角徑五之七而一得田方二十七步。
元〈十二〉。列積四之。得四千九十六爲實。平方開之。得長六十四步。以四除之。卽平也。
又記實少方多。方退一隅退二。上商二分。以隅因商減從。餘四〇五。因商除實。餘一分九釐。又以隅因商減從。餘三八五。一退隅二退。續商五釐。以隅因商減從。餘三八。因商除實恰盡。就以二分五釐爲隅。開元積。當與下條通看。
又記列積開平方。得長二分五釐。乘之得平。〈列積四之。〉
元〈十三〉。列直積以少長除之。得一千二十四。平開之得平三十二步。以少長乘之。得一百二十八步。卽長也。
又記上商四步。以隅因商。得四步爲別方。反減從方。餘二分半爲方法。因商除實恰盡。用平方帶從法。則實少方多。方退一隅二如法開之。得小平二分半。以除直積。得大長羃一千六百三十八步四分半。方開之。得大長一百二十八步。以小平乘之。卽大平。
元〈十四〉。以小面乘大面。比於長平相乘。故云直積，共積。比如勾股之弦積。故云弦羃。二積相減。餘爲較羃。以較爲從方。天元一。爲隅開之。
置直積爲實。以較十七爲從方。以一爲隅。從一進隅二進。上商六十。以隅因商。得六十。反減從。餘四十三。爲方法。因商除實。餘五百四十。又以隅因商加方法一退。得百三。隅二退。續商五。以隅因商加方法。得百八。因商除實恰盡。得大方面六十五步。減較卽平。
用平方帶從法。則先得小方面。加較。得大方面。〈大方面七百四十八自乘。得五十五萬九千五百。四減寄左一千二百六十八。〉
元〈十五〉。置實五十五萬八千二百三十六。一方一進。以寄爲上廉。二進得十四萬九千六百。下廉空。以一爲隅四進。上商二十步。以隅因商置下廉二萬。以下廉因商減上廉。餘十一萬九千六百。因商加方法。得二十一萬九千二百十。因商除實。餘十一萬九千八百十六。又以隅因商加下廉。得四萬。以下廉因商減上廉。餘二萬九千六百。因商加方法。得二十七萬八千四百十。又以隅因商加下廉。得六萬。因商別置十二萬。反減上廉。餘九萬四百爲上廉。〈本廉則棄。〉又以隅因商加下廉。得八萬。方法一退。上廉再退。下廉三退。隅四退。續商八步。以隅因商加下廉。得八十八。以下廉因商加上廉。得一千六百八。因商減方法。餘一萬四千九百七十七。因商除實恰盡。得小方面二十八步。〈右開三乘方飜法〉
元〈十六〉。以直積自乘。得四百二十六萬四千二百二十五爲實。方法空。以較乘和二千二百五十六爲上廉。再進下廉空。以一隅四進。上商三十步。以隅因商加下廉。得三萬。以下廉因商加上廉。得三十一萬五千六百。以上廉因商。得九十四萬六千八百爲方法。因商除實。餘一百四十二萬三千八百二十五。又以隅因商加下廉。得六萬。以下廉因商加上廉。得四十九萬五千六百。以上廉因商加方法。得二百四十三萬三千六百。又以隅因商加下廉。得九萬。以下廉因商加上廉。得七十六萬五千六百。又以隅因商加下廉。得十二萬。方法一退。上廉二退。下廉三退。隅四退。續商五步。以隅因商加下廉。得一百二十五。以下廉因商加上廉。得八千二百八十一。以上廉因商加方法。得二十八萬四千七百六十五。因商除實恰盡。得平三十五步。以平除積。爲長也。〈右開三乘方帶從法〉
用三乘方飜法。則先得長。以長除積得平。〈見三無除作九三也。〉置直積自乘。得四百二十六萬四千二百二十五步爲實。方法空。以二千二百五十六爲上廉。再進下廉空。以一爲隅四進。上商五十。以隅因商。得下廉五萬。以下廉因商別置二十五萬。反減上廉。餘二萬四千四百。以上廉因商。得十二萬二千爲方法。因上商除實。餘三百六十五萬四千二百二十五。又以隅因商加下廉。得十萬。以下廉因商加上廉。得五十二萬四千四百。以上廉因商加方法。得二百七十四萬四千。又以隅因商加下廉。得十五萬。以下廉因商加上廉。得一百二十七萬四千四百。又以隅因商加下廉。得二十萬。上廉得一萬二千七百四十四。方法一退。得二十七萬四千四百。上廉二退。下廉三退。隅四退。續商九步。以隅因商加下廉。得二百九。以下廉因商加上廉。得一萬四千六百二十五。以上廉因商加方法。得四十萬六千二十五。因商除實恰盡。合問。
元〈十七〉。以和一百二十九自乘四之得加差。自乘得一千五百二十一。共得六萬八千八十五爲實。以和一百二十九八因。得一千三十二爲從方。以三爲隅。從一進。止萬步下。隅二進。止百下。乃上商八十。以隅因商。得二千四百爲下廉。以減從方。餘七千九百二十。因商除實。餘四千七百二十五。又以隅因商減從方。餘五千五百二十。從方一退。隅二退。續商九步。又以隅因商減從方。餘五百二十五。因商除實恰盡。上商得八十九步。減差半之。得平加差。卽長。
元〈十八〉。和如長。中方面如平。長平相乘以減共積。餘爲二段較羃。故二爲隅。平方開之得較。
又列積爲實。以二隅平方開之。得較十六步。加中方面得大方。而中方面減較。卽小方面也。
元〈十九〉。用帶從平方法開之。置一千五百三十四萬九百二十爲實。以九萬二千三百四十四爲從方。以六千四百九十八爲隅。從方一進。隅二進。俱止於三十萬。下。乃上商四十。以隅因商加從方。得三百五十二萬二千六百四十。因商除實。餘一百二十五萬三百六十。又以隅因商加從法。得六百十二萬一千八百四十。從一退隅二退。續商二步。又以隅因商加從方。得六十二萬五千一百八十。因商除實恰盡。得古徑四十二步。加差七得密徑。又加差七得徽徑。
元〈二十〉。開用三乘方飜法。置二十萬七千九百三十六爲實。以四十八爲方法。一進。以二千七百三十六爲上廉。二進。以九爲隅。四進。乃上商十。以隅因商。得九萬爲下廉。以下廉因商減上廉。餘十八萬三千六百。以上廉因商加方法。得十八萬四千八十。因商除實。餘二萬三千八百五十六。又以隅因商加下廉。得十八萬。以下廉因商減上廉。餘三千六百。以上廉因商加方法。得十八萬七千六百八十。又以隅因商加下廉。得二十七萬。以下廉因商別置二十七萬。反減上廉。餘二十六萬六千四百。又以隅因商加下廉。得三十六萬。方法一退。上廉二退。下廉三退。隅四退。續商二步。以隅因商加下廉。得三百七十八。因商加上廉。得三千四百二十。因商減方法。餘一萬一千九百二十八。因商除實恰盡。上商得圓徑十二步。三之爲周三十六步也。
元〈二十一〉。列積三之內減下方自乘九。餘七百六十五爲實。以十八爲方法。以十二爲廉法。以三爲隅。置上商五尺。以隅因商加廉。得二十七。以廉因商。得方法一百五十三。因商除實恰盡。上商得上方五尺。加一尺得高。就加二尺得下方八尺。〈右開立方帶從法〉
元〈二十二〉。列積以三十六乘之。得十八萬一千四百四十爲實。以一萬一百九十二爲從方。以七十六爲從廉。以一爲隅。從方一進。從廉二進。隅三進。乃上商二十。以隅因商減從廉。餘五千六百。以從廉因商減從方。餘九萬七百二十。以從方因商除實恰盡。上商得臺亭二十尺。加不及卽上周。上周減相和數。得下周也。〈右開立方減從法〉
元〈二十三〉。列積三之爲實方。以四百八十四爲上廉。以四十四爲下廉。以一爲隅。乃上商六尺。以隅因商加下廉。得五十。以下廉因商加上廉。得七百八十四。以上廉因商置方四千七百四。因商除實恰盡。上商得六尺。加小餘。得下方二十八尺。又六尺自之卽高。〈右三乘方法〉
元〈二十四〉。列積三十六乘爲實。以三千七百二十一爲上廉。以一百二十二爲下廉。以一爲隅。乃上商三尺。以隅因商加下廉。得一百二十五。以下廉因商加上廉。得四千九十六。以上廉因商。得下方一萬二千二百八十八。以下方因商置上方。得三萬六千八百六十四。因商除實恰盡。上商得三尺。爲開方之數。加不及。得下周六十四尺。又列三尺再自乘。得高二十七尺也。〈右開四乘方帶從法〉
元〈二十五〉。列積十六乘內減寄左。餘二千三十八萬七千一百三十六爲實。以八千五百十二爲從方。以六百八十八爲從廉。以二十五爲隅。從方一進。從廉二進。隅三進。乃上商八十。以隅因商加從廉。得二十六萬八千八百。以從廉因商加從方。得二百二十三萬五千五百二十。因商除實。餘二百五十萬二千九百七十六。又以隅因商加從廉。得四十六萬八千八百。以從廉因商。加從方五百九十八萬五千九百二十。又以隅因商加從廉。得六十六萬八千八百。從方一退。從廉二退。隅三退。續商四步。以隅因商加從廉。得六千七百八十八。以從廉因商加從方。得六十二萬五千七百四十四。因商除實恰盡。上商得立圓徑八十四步。加不及卽立方面。減多卽平方面也。
元〈二十六〉。列積一百十二乘減寄左。餘一百九十九萬五千二百六十四爲實。以二萬八千三百二十爲從方。以三千二百二十四爲從廉。以一百七十五爲隅。從方一進。從廉二進。隅三進。乃上商十尺。以隅因商加從廉。得四十九萬七千四百。以從廉因商。加從方得七十八萬六百。因商除實。餘一百二十一萬四千六百六十四。又以隅因商加從廉。得六十七萬二千四百。以從廉因商加從方。得一百四十五萬三千。又以隅因商加從廉。得八十四萬七千四百。從方一退。從廉二退。隅三退。續商六尺。以隅因商加從廉。得九千五百二十四。以從廉因商加從方。得二十萬二千四百四十四。因商除實恰盡。上商得圓徑十六尺。加八尺得立方面。減二尺爲平圓徑。倍立方面。卽平方面也。〈開法上同。〉
元〈二十七〉。列共積通分十八乘相消寄左。餘一億二千三十六萬六千四百三十二爲實。以三十三萬九千四百四十四爲從方。以五萬九千八百二十六爲從廉。以五千六百二十五爲隅。從方一進。從廉二進。隅三進。乃上商二十尺。以隅因商加從廉。得一千七百二十三萬二千六百。以從廉因商加從方。得三千七百八十五萬九千六百四十。因商除實。餘四千四百六十四萬七千一百五十二。又以隅因商加從廉。得二千八百四十八萬二千六百。以從廉因商加從方。得九千四百八十二萬四千八百四十。又以隅因商加從廉。得三千九百七十三萬二千六。從方一退。從廉二退。隅續商四尺。以隅因商加從廉。得四十一萬九千八百二十六。以從廉因商加從方。得一千一百十六萬一千七百八十八。因商除實恰盡。上商得二十四尺。立方面。古圓周等數也。加四尺。得立圓徑。三之爲平方面。又列立方面減三尺。卽徽圓徑也。
朞閏解
編輯今有九百四十分之二百三十五。問約之得幾何。
答曰。四分之一。
術曰。子母相減。得等數爲約法。除原母爲約母。除原子爲約子。
周天三百六十五度四分度之一。日日行一度。月日行十三度十九分度之七。問日月相會。爲日幾何。
答曰。二十九日九百四十分日之四百九十九。
術曰。周天度通分內子。得一千四百六十一。月行內減日行。〈一度。〉餘一十二度十九分度之七。通分內子。得二百三十五。乃以月行分母。〈十九。〉互乘天度。〈一千四百六十一。〉得二萬七千七百五十九爲實次。以天度分母。〈四。〉互乘月行。〈二百三十五。〉得九百四十。爲法除之。不滿日者命之。
一日月行一十三度十九分度之七。只九百四十分日之四百九十九。問月行度幾何。
答曰。七度一萬七千八百六十分度之一千七百二十六。
術曰。月行通分內子。得二百五十四。以日分子〈四百九十九〉乘之。得一十二萬六千七百四十六爲實次。以日分母〈九百四十〉乘一日。得九百四十。又以月行分母〈十九〉乘之。得一萬七千八百六十爲法除之。不滿度者命之。
九百四十分日之四百九十九。月行七度一萬七千八百六十分度之一千七百二十六。只一日。問月行度幾何。
答曰。一十三度十九分度之七。
術曰。七度通分內子。得一十二萬六千七百四十六。以一日通分〈九百四十〉乘之。得一億一千九百一十四萬一千二百四十爲實。以月行分子〈四百九十九〉乘七度分母。〈一萬七千八百六十。〉得八百九十一萬二千一百四十。爲法除之。得一十三度八百九十一萬二千一百十四分度之三百二十八萬三千四百二十約之。
日月一會。得全日二十九日。只十二會。問得全日幾何。
答曰。三百四十八日。
術曰。置日數。以十二乘之。
日月一會。餘分四百九十九。只二十會。問爲分幾何。
答曰。五千八百八十八。
術曰。置分數。以十二乘之。
十二會餘分之積五千九百八十八。每日九百四十分。問爲日幾何。
答曰。六日九百四十分日之三百四十八。
術曰。置積數以日分〈九百四十〉除之。不滿日者命之。
月行一與日會。得二十九日九百四十分日之四百九十九。凡十二會。問爲日幾何。
答曰。三百五十四日九百四十分日之三百四十八。
術曰。二十九日通分內子。得二萬七千七百五十九。以十二乘之。得三十三萬三千一百零八。以日法〈九百四十〉除之。不滿日者命之。
氣盈五日九百四十分日之二百三十五。朔虛五日九百四十分日之五百九十二。問一歲閏日幾何。
答曰。十日九百四十分日之八百二十七。
術曰。倂盈虛不滿日者命之。
閏日一歲率則十日九百四十分日之八百二十七。問三歲五歲十有九歲。問閏日各幾何。
答曰。三歲。三十二日九百四十分日之六百零一。
五歲。五十四日九百四十分日之三百七十五。
十九歲。二百零六日九百四十分日之六百七十三。
術曰。十日通分內子。得一萬零二百二十七。三因之得三萬零六百八十一。以分母〈九百四十〉除之。不滿法者命之。得三歲閏日。五因之得五萬一千一百三十五。以分母除之。得五歲閏日。十九加之得一十九萬四千三百一十三。以分母除之。得十九歲閏日。
十有九歲閏積二百零六日九百四十分日之六百七十三。問閏月幾何。
答曰。七閏。
術曰。二百零六日通分內子。得一十九萬四千三百一十三爲實。以月與日會二十九日九百四十分日之四百九十九通分內子。得二萬七千七百五十九。爲法除之。〈餘分恰盡。是謂氣朔分齊。〉
月行一日行十三度十九分度之七。凡二十九日九百四十分日之四百九十九。問月行度幾何。
答曰。三百九十四度四百七十分度之三百六十七。
術曰。二十九日通分內子。得二萬七千七百五十九。十三度通分內子。得二百五十四。相乘得七百零五萬零七百八十六爲實。一日通分。〈九百四十。〉以月度分母〈十九〉乘之。得一萬七千八百六十。爲法除之。不滿法者約之。
月行二十九日九百四十分日之四百九十九。行三百九十四度四百七十分度之三百六十七。只一日。問月行度幾何。
答曰。十三度十九分度之七。
術曰。三百九十四度通分內子。得一十八萬五千五百四十七。以一日通分〈九百四十〉乘之。得一億七千四百四十一萬四千一百八十爲實。二十九日通分內子。得二萬七千七百五十九。以分母〈四百七十〉乘之。得一千三百零四萬六千七百三十。爲法除之。不滿法者約之。
天儀分度
編輯今有候鍾日月輪。日輪五十七牙。月輪五十九牙。每日差二牙。問幾何日而復會。
答曰。二十九日半。
術曰。列月輪牙。以差二歸之。合問。
今有統天儀機輪。甲輪小牙八十。乙輪小牙六十大牙八。丙輪小牙五十四大牙六。丁輪小牙五十大牙六。只雲甲輪一轉得五時。問各輪一轉得時。一日各輪轉幾何。
答曰。甲輪一轉五時。一日二輪。〈又三十二牙。〉
乙輪一轉四刻。一日二十四轉。
丙輪一轉六分。一日二百四十轉。
丁輪一轉三分分之二。一日〈二千一百六十轉。〉
術曰。置十二時。以五時歸之。得二轉五分之二。以八十五歸之二因之。得甲轉。置八十。〈甲牙。〉以四十〈五時通刻〉歸之得二。〈是甲轉二牙爲一刻。〉爲法以除八。〈乙大牙。〉得四刻。復爲法以除九十六。〈一日通刻。〉得乙轉。置六十。〈乙牙。〉以六〈丙大牙〉歸之。得一十。〈是乙一轉丙則十轉。〉爲法以除六十。〈四刻通分。〉得六分。復爲法以除一千四百四十。〈一日通分。〉得丙轉。置五十四。〈丙牙。〉以六〈丁大牙〉歸之。得九。〈是丙一轉丁則九轉。〉爲法以除六。〈丙一轉分。〉得九分分之六。約之得三分分之二。復以九爲法因二百四十。〈丙轉。〉得丁轉。合問。
今有乙輪南端小輪。牽轉天輪。一日一周而過一度。天輪凡三百五十九牙。問小輪牙幾何。
答曰。一十五牙。
術曰。置天輪牙塔入過一度。得三百六十爲實。以二十四〈一日乙轉〉爲法除之。合問。
今有日輪爲三百六十五牙。凡三百六十五日四分日之一而一周天。問一牙之轉爲時幾何。
答曰。一十二時一分弱。
術曰。置日通時。〈身外加二。〉搭入三時。〈四分日之一。〉共得四千三百八十三時。通分〈每時一百二十分。〉得五十二萬五千九百六十分爲實。以三百六十五牙爲法除之。得一千四百四十一分弱。以時分法〈一百二十〉約之。不滿法者命之。合問。
今有月輪二十九日半與日會。一日只轉四牙。問輪牙幾何。
答曰。一百一十一牙。
術曰。置二十九日半。以四牙乘之。得一百一十八爲實數。置二十九牙半。〈一月日行度數。〉以四牙歸之。得七牙四分牙之一。除零數反減。合問。
勾股摠率
編輯勾股者。出於九章。卽西法之直角三角形。橫曰勾。立曰股。斜曰弦。勾三股四弦五。爲其本率。此三角之銳鈍。儀角之圜度。其用雖備。垂線八線。皆取其直角。則同歸於勾股。蓋勾股有三線。以兩線求一線者。爲平勾股。有一線借兩表。以兩小線一大線求大線者。爲比例勾股。倂無三線。虛借四表。以三小線求大線者。爲重比例勾股。其述雖異。其義則倂爲同式比例而已。倂取三術。爲勾股摠率。
平勾股
編輯勾股求弦。
倂兩羃開方。
弦股求句。
弦羃減股羃開方。
弦句求股。
弦羃減勾羃開方。
勾股求對直角中垂線。
勾股相乘。弦除之。
弦界垂線所分二段求大小。
弦除勾羃爲小股。弦除股羃爲大段。
勾股求容方徑。
勾股相乘。倂勾股除之。
餘勾餘股。求容方徑。
相乘開方。
三線求容圜徑。
倂勾股內減弦。
又勾股相乘。倂三線除之。得圜半徑。
比例勾股
編輯有遠求高。〈用兩表或望從地平。以代短表。〉
表距爲小勾一率。表差爲小股二率。後表遠爲大勾三率。
有高求遠。
表差爲小股一率。表距爲小勾二率。高爲大股三率。
有深求遠。
表差爲小股一率。表距爲小勾二率。深爲大股三率。
有遠求深。
與有遠求高同率。卽覆矩。
有遠求廣。〈附有廣求遠。〉
與有遠求高同率。卽臥矩。
無高求遠。
與有高求遠同率。卽以前表爲大股。則得前表遠。後表爲大股。則得後表遠。
無高求斜遠。
因斜線立兩表。與無高求遠。同率。
無遠求深。〈附無深求遠。〉
斜線立矩。先求斜遠。以矩尺因地平截斜遠。爲小勾股。
無廣求遠。
與無高求遠同率。亦爲臥矩。
重比例勾股
編輯無遠求高。〈用四表。必兩兩相等。或望從地平。以代短表。〉
前後表距差爲小勾一率。長短表差爲小股二率。兩短表距爲大勾三率。〈仍求遠則前後表矩差爲小股一率。前兩表矩爲小股二率。兩長表距爲大股三率。〉
無遠求深。〈附無深求遠。〉
與無遠求高同率。但倒設兩層爲層矩。〈層矩不可遠矩。數千尺以外。不可用。〉
無遠求廣。
廣遠兩線爲直角。則與無遠求高同率。爲重臥矩。非直角則先求兩遠。以鈍銳角推之。
三角總率
編輯凡兩直線。一端相切。一端開張。中成虛面。下豐上尖。其形類角。故曰角。兩線之間。度以半圜。計其度數曰角度。兩線開張。兩線之端。又成一線。三線相切。總成三角。三角之中。一角滿象限者。謂之直角。〈卽勾股。其與勾三股四弦五同式者。爲正勾股。〉一角過象限者。謂之鈍角。三角俱不滿象限者。謂之銳角。相比相求。各有其率。且三種之角。其形千萬。但倂三角之度。與半圜度等。則三種均也。是以其角小者對此角者。其線必短。其線長者對此線者。其角必大。線角相對。角有定分。互相比例。其數可得。蓋一角有八線。比例且四率。凡三角三線。但知其三。其餘可求。〈只知三角則三線無準推法不行。或所知角在所知兩線之間。線角無對則以夾角率推之。〉總以對所知爲一率。對所求爲二率。所知爲三率。所求爲四率。則凡物之高深廣遠。天地之形體。七政之躔度。可坐而致矣。總其求術。爲三角總率。
等邊三角。求中垂線。〈兩等邊同。〉
半底爲勾。一腰爲弦推股。
又半底自乘。又三因之開方。亦得。
銳角求中垂線。〈三角。〉
底爲一率。倂兩腰爲二率。兩腰相減爲三率。推得四率爲底較。反減底餘折半爲勾。小腰爲弦推股。又兩腰羃相減。餘以底除之爲底較。反減底餘折半爲勾。小腰爲弦推股。亦得。
斜立鈍角。求形外垂線。
底爲一率。兩腰相減爲二率。倂兩腰爲三率。推得四率。內減底餘折半爲勾。小腰爲弦推股。
又兩腰羃相減餘。以底除之。內減底餘折半爲勾。小腰爲弦。推股亦得。
三角求中心。至三線垂線。
倂三線折半。爲一率。小腰反減一率。爲二率。大腰反減二率。又底反減一率。兩較相乘。爲三率。推得四率。平方開之。
等邊三角求面積。〈兩等邊銳角鈍角倂同。〉
半底爲勾。一腰爲弦推股。得中垂線。以乘底折半。
鈍角求容方徑。
中垂線倂底爲一率。中垂線爲二率。底爲三率。
等邊三角。求容圜徑。
中垂線三歸之。得容圜半徑。
等邊三角。求外切圜徑。
中垂線三歸四因。
又邊線自乘。三歸四因開方。亦得。
銳角求容圜徑。
中垂線乘底爲實。倂三線除之。得半徑。
銳角求外切圜徑。〈三角。〉
中垂線爲一率。小腰爲二率。大腰爲三率。
鈍角求兩腰線。〈三角。〉
各積量直角。臥儀測之。
兩腰夾角求餘角。
兩腰和爲一率。較爲二率。角度下減反圜餘折半。其正切爲三率。推得半較角之正切。檢表得度。反減半外角度。得大腰角。度半較角度。倂半外角度。得小腰角。
又直角爲對知角。鈍外角爲對求角。小腰爲小知線。推得小腰形外垂線。仍以直角爲對知角。鈍外角反減象限。餘爲對求角。小腰爲小知線。推得垂線之距鈍角形外虛線。乃以虛線倂大腰爲一率。垂線爲二率。半徑爲三率。推得大腰角之正切。檢表得大腰角。反減鈍外角。得小腰角。
又小腰爲一率。大腰爲二率。鈍外角餘割爲三率。推得鈍外角大腰角兩餘切之較。乃以鈍外角餘切倂較。爲大腰角。餘切檢表。得大腰角。倂鈍角反減半圜。得小腰角。
鈍角求兩角。
直角爲對知角。所知銳角爲對求角。小腰爲所知線。推得小腰角中垂線。仍以直角爲對知角。所知銳角反減象限。餘爲對求角。小腰爲所知線。推得分線反減大腰。餘爲一率。垂線爲二率。半徑爲三率。推得大腰角正切。檢表得大腰角。倂兩角反減半圜。得小腰角。
又直角爲一率。所知銳角餘弦爲二率。小腰爲三率。推得小分線。乃以小分線爲一率。小分線反減大腰餘爲二率。所知銳角餘切爲三率。推得大腰餘切。檢得大腰角。
又小腰爲一率。大腰爲二率。所知銳角餘割爲三率。推得所知所銳角。與大腰角餘切之和。亦爲小腰角。兩分角正切之和。乃以所知銳角反減象限餘爲分角。檢其正切。反減兩分角正切之和餘爲分角之正切。亦爲大腰角之餘切。檢表得大腰角。
鈍角求兩角。
先求中垂線。分作兩直角形。乃以大腰乘底又倍之爲一率。底羃倂大腰羃內減小腰羃爲二率。半徑爲三率。推得兩腰角分角之正弦。卽大腰底線之餘弦。檢表得大腰底線角。
小腰乘底又倍之爲一率。底羃倂小腰羃內減大腰羃爲二率。半徑爲三率。推得兩腰角分角之正弦。卽大腰底線角之餘弦。檢表得大腰底線角。
倂兩角反減半圜。得兩腰角。
又得一角以兩線一角推之。得兩角。
又底爲一率。大腰倂小腰爲二率。兩腰相減爲三率。推得分線之較反減底線餘折半爲小分線。乃以小腰爲對知線。小分線爲對求線。直角爲所知角。推得兩腰角分角之正弦。亦爲小腰底線角之餘弦。檢表得小腰底線角。
又先求中心。至三線垂線倂三線折半內減大腰餘爲一率。垂線爲二率。半徑爲三率。推得小腰底線半角之正切。檢表得度倍之。得小腰底線角。
倂三線折半內減小腰餘爲一率。得大腰底線半角之正切倂三線折半內減底線餘爲一率。得兩腰半角之正切倂檢表倍之。得兩角。
八線摠率
編輯經曰。圜出於方。方出於矩。矩者勾股也。蓋圜弧之勢。屢變難測。必方以度之。然後其數可得。其術亦簡。割圜八線。乃以直線而配圜弧。同歸於勾股。其正弦通弦。互求相消。餘線可得。六宗三要二簡諸術。該悉推法。立表精審。檢用不渴。良工苦心。嘉惠弘深。今取其成法。爲八線摠率。〈凡八線表。取簡則以十萬爲半徑。取精則以千萬爲半徑。但務其至精密。合則必以割圜本法。多取小餘。庶無顯差。〉
知圜徑。求六分三分四分十分五分十五分十八分九分十四分七分圜之各通弦。〈六宗。〉
求六分圜通弦則圜徑折半。
求三分圜通弦。則圜徑爲弦。半徑爲勾。推股。
求四分圜通弦。則半徑自乘。又倍之。開方。
求十分圜通弦。則用連比例首率與兩率適等之法。半徑爲首率求中率。
又半徑爲股。半徑又折半爲勾。推得弦內減勾。
求五分圜通弦。則半徑爲底。仍爲一腰。十分圜之通弦。爲一腰。求得中垂線倍之。
又半徑爲股。十分圜之通弦爲勾。推弦。
又半徑自乘爲長方積。半徑爲長廣較。以帶縱較數開之。得長。折半爲自圜心至通弦之垂線。乃以半徑爲弦。垂線爲股。推勾倍之。
求十五分圜通弦。則半徑爲弦。五分圜之通弦折半爲勾。推得股內減半徑之半餘爲股。三分圜之通弦內減五分圜之通弦餘折半爲勾。推弦。
求十八分圜通弦。則半徑爲一率。自乘再乘爲甲實。半徑自乘三因之爲甲法。以益實歸除法除之。得二率。
求九分圜通弦。則半徑爲低。仍爲一率。十八分圜之通弦爲一腰。求得中垂線倍之。
求十四分圜通弦。則半徑爲一率。自乘再乘爲甲實。半徑自乘又倍之爲甲法。以益實兼減實歸除法除之。得二率。
求七分圜通弦。則半徑爲底。仍爲一腰。十四分圜之通弦爲一腰。求得中垂線倍之。
知本弧正弦。求本弧餘弦。〈以下三要。〉
本弧正弦爲勾。半徑爲弦。推股。〈亦爲餘弧正弦。〉
知本弧正弦餘弦。求倍弧正弦餘弦。
半徑爲一率。本弧正弦爲二率。本弧餘弦爲三率。推得四率倍之。得正弦。
本弧正弦自乘半徑除之。又倍之反減半徑。得餘弦。
知本弧正弦餘弦。求半弧正弦。
正弦爲股。餘弦半減半徑爲勾。推弦折半。
又餘弦反減半徑。餘折半以乘半徑。平方開之。亦得。
知本弧餘弦。求倍弧餘弦。〈以下新增。〉
餘弦自乘。以半徑除之。仍反減半徑。又倍之。又反減半徑。
知本弧餘弦。求半弧餘弦。
餘弦反減半徑。仍折半倂餘弦。又乘半徑。平方開之。
知本弧正弦。求三分一弧正弦。
倍正弦爲倍弧通弦。以乘半徑羃爲實。三因半徑羃爲法。以益實歸除法除之折半。
知大小兩弧正弦餘弦。求兩弧相倂之正弦及兩弧相減之正弦。〈以下二簡。〉
先以半徑爲一率。大弧正弦爲二率。小弧餘弦爲三率。推得四率。再以半徑爲一率。大弧餘弦爲二率。小弧正弦爲三率。推得四率。兩四率相倂。得相倂弧正弦。兩四率相減。得相倂弧正弦。
知六十度外弧及外弧距六十度之正弦。求六十度內距相等弧之正弦。
外弧正弦內減距弧正弦。
知六十度內弧及內弧距六十度之正弦。求六十度外距相等弧之正弦。
內弧正弦倂距弧正弦。
知六十度內外距相等兩弧之正弦。求兩弦距六十度弧之正弦。
兩弧正弦相減。
十弧正弦
編輯三十度。五萬。
六十度。八萬六六〇二〈五四〇三七八四〉。
四十五度。七萬〇七〇一〇〈六七八一一八六五〉。
十八度。三萬〇九〇一〈六九九四三七四五〉。
三十六度。五萬八〇七〇七〇八〈五二五二一九一〉。
十二度。二萬〇七〇九〇一〈一六九〇八一七〉。
十度。一萬七三六四〈八一七七六六七〉。
二十度。三萬四〇二〇二〈〇一四三三二六五〉。
十二度〈五十四分二十五秒半零〉。二萬〈二二五二〇九三三九七六五〉。
二十五度〈四十二分五十一秒零〉。四萬〈三三八八三七三九一一八〉。
〈得十通弦〉
八弧正弦
編輯六十度。八萬六千六百空二〈五四〇三七八四〉。
四十五度。七萬〇七百一十〇〈六七八一一八六五〉。
三十六度。五萬八千七百七十八〈五二五二一九二〉。
三十度。五萬。
二十度。三萬四千二百〇二〈〇一四三三二六五〉。
一十八度。三萬〇九百〇一〈六九九四三七四五〉。
一十二度。二萬〇七百九十一〈一六九〇八一七〉。
一十度。一萬七千三百六十四〈八一七七六六七〉。
〈得十通弦各半之得各半弧正弦。仍各求其餘弦。次以十二度正弦通求半弧。得六度三度一度三十分四十五分之正弦。又通求其三分之一弧。得十五分五分之兩正弦。乃求六十度內外之正弦。次以五分正弦求半弧。得二分三十秒五弦。復求三分之一弧。得弧爲一率。五十秒之弦爲二率。一分之弧化六十秒爲三率。得一分五十秒正弦。乃以五十秒之正弦。復以二簡法求之。得每度每分之正弦。乃以一分比例求之。每秒之八線。俱得矣。〉
知正弦求七線。
求餘弦。則半徑爲弦。正弦爲股。
求正矢。則半徑減餘弦。
求餘矢。則半徑減正弦。
求正切。則正弦乘半徑。餘弦除之。
求餘切。則正弦乘半徑。正弦除之。
求正割。則半徑自乘。餘弦除之。
又本弧之正切。倂餘弧折半之正切。
求餘割。則半徑自乘。正弦除之。
又本弧之正切。倂本弧折半之正切。
圜儀率
編輯有遠求高。
表角反減象限。餘爲對知角。表角爲對求角。遠爲所知線。
仍求斜遠。則直角爲對求角。
又高爲勾遠爲股。推弦。
有遠求廣。
臥儀與求高。同率。
有深求遠。
表角反減象限。餘爲對知角。表角爲對求角。深爲所知線。
有高求遠。
表角爲對知角。表角反減象限。餘爲對求角。高爲所知線。
無遠求高。
兩儀重測。前表度減後表度。餘爲對知角。對後表度爲對求角。前後儀距爲所知線。推得斜遠。乃以直角爲對知角。前表度爲對求角。斜遠爲所知線。
鈍角無遠求廣。
先求兩腰。次求一角。爲對知角。鈍角外角〈鈍角反減半圜。餘爲外用。○鈍角無八線借用。外角八線比例亦同。〉爲對求角。一腰爲所知線。
銳角無遠求廣。
先求兩腰。次求一角。爲對知角。銳角爲對求角。一腰爲所知線。
矩儀率方儀率同
編輯有遠求高。
表在勾。則以表分爲小勾。儀分爲小股。表在股。則儀分爲小勾。表分爲小股。並以遠爲大勾。
有深求遠。
儀分爲小股。表分爲小勾。深爲大股。
有遠求深。
表分爲小勾。儀分爲小股。遠爲大勾。
有遠求廣。
臥儀測之。儀分爲小勾。表分爲小股。遠爲大勾。
無遠求高。
退距重測。前後表並在勾。則兩表分較爲勾。儀分爲小股。退距爲大勾。並在股則先以小分爲一率。儀分爲二率。兩分較爲三率。推得四率。仍爲小勾。多分爲小股。退距爲大勾。
一勾一股。則先以股分爲一率。儀分爲二率。股餘分爲三率。推得四率。倂勾餘則仍爲小勾。儀分爲小股。退距爲大勾。
無遠求深。
斜置兩儀。以無遠求高率。先求斜線。乃以小弦推之。與有遠求高同率。
無遠求廣。
無高求遠。
並以層儀重測。與無遠求高同率。但換勾股而推之。
平勾股
編輯勾二十一尺。股二十八尺。問弦幾何。
〈勾股總率。勾股求弦法。倂兩羃開方。〉
答曰。三十四尺。
術曰。勾股各自乘倂之。平方開之。(〈股自乘七百八十四尺。勾自乘四百四十一尺。倂之爲一千二百二十五尺。以此爲實。依平方法推之。得弦長如答。〉)
弦三十五尺。股二十八尺。問勾幾何。
〈弦股求勾法。弦羃減股羃開方。〉
答曰。二十一尺。
術曰。弦股各自乘相減。平方開之。(〈弦自乘一千二百二十五尺。內減股自乘七百八十四尺。則餘四百四十一尺。以此爲實。依平方法推之。得勾長如答。〉)
弦三十五尺。勾二十一尺。問股幾何。
〈弦勾求股法。弦羃減勾羃開方。〉
答曰。二十八尺。
術曰。弦勾各自乘相減。平方開之。(〈弦自乘。一千二百二十五尺。內減勾自乘。四百四十一尺。餘七百八十四尺。以此爲實。依平方法推之。得▣長如答。〉)
勾二十尺。股三十尺。問對直角中垂線幾何。
〈勾股求對直角中垂線法〉
答曰。一十七尺弱。〈弱者不足也。此爲一十六尺而零餘有不盡之數。故統爲一尺。合曰十七尺而稍不足也。餘倣此。〉
術曰。勾股相乘弦除之。(〈勾股相乘。得六百尺。以弦三十六尺強爲法。用歸除法除之。得一十六尺而有零餘不盡之數。故曰一十七尺弱。欲知弦長。則依上勾股求弦法推之。〉)
勾二十尺。股三十尺。中垂線分弦線爲二段。問大段小段各幾何。
〈弦界垂線所。分二段求大小法。〉
答曰。大段二十五尺弱。
小段一十一尺強。〈強者有餘也。此爲一十一尺而零餘不盡之數甚少。故曰十二尺弱而十一尺強。餘倣此。〉
術曰。求大段則股自乘弦除之。(〈自乘得九百尺。以弦三十六尺強爲法。歸除之。〉)
求小段則勾自乘弦除之。(〈自乘得四百尺。以弦三十六尺強爲法。歸除之。〉)
勾二十尺。股三十尺。問容方徑幾何。
〈勾股求容方徑法〉
答曰。一十二尺。
術曰。勾股相乘。倂勾股除之。(〈勾股相乘。得六百尺爲實。以勾股相倂五十尺爲法。歸除之。〉)
勾二十尺。股三十尺。問容圜徑幾何。
〈三線求容圜徑法〉
答曰。一十四尺弱。
術曰。倂勾股內減弦。(〈勾股相倂五十尺。內減弦長三十六尺強。則餘一十四尺稍不足。故曰弱。〉)
又勾股相乘。倂三線除之。得圜半徑。七尺弱。(〈勾股相乘。得六百尺。以勾股弦三線相倂。八十六尺強爲法。歸除。得圜之半徑尺數。〉)
正勾股勾一十五尺。問股弦各幾何。
〈正勾股勾求股弦法。用四率比例。〉
答曰。股二十尺。
弦二十五尺。
術曰。求股則勾三爲一率。股四爲二率。今勾爲三率。〈二率三率相乘得數。以一率除之。得四率二十尺。〉
圖式
〈一率。勾三。〉
〈二率。股四。〉
〈三率。今勾二十五尺。〉
〈四率。得股二十尺。〉
〈相乘得六十尺。〉
求弦則弦五爲二率。
〈一率。勾三。〉
〈二率。弦五。〉
〈三率。今勾一十五尺。〉
〈四率。得弦二十五尺。〉
〈相乘得七十五尺。〉
又勾三除。今勾得加幾倍之比例。
正勾股勾一十五尺。問容方徑幾何。
〈正句股求容方徑法〉
答曰。九尺弱。
術曰。先推股七歸三因。〈推得股二十尺爲實。以七爲法。歸除之得二八四。又以三爲法。因之得八尺五寸二分。故曰九尺弱。〉
又勾七歸四因。〈以句十五尺爲實。以七爲法。歸除之得二一三。又以三爲法。因之亦得八尺五寸二分也。〉
正勾股勾一十五尺。問容圜徑幾何。
〈正句股求容圜徑法〉
答曰。一十尺。
術曰。先推股折半。〈推得股二十尺。故折其半爲十尺。即容圜徑也。〉
又勾三歸二因。〈以句十五尺爲實。以三爲法。歸除之得五。又以二爲法。因之亦得十尺。〉
方城東南正中設問。出南門三十步。有旗竿一株。出東門七百五十步。見旗竿與城角弦直。問城方幾何。〈餘句餘股求容方。〉
〈餘句餘股求容方法〉
答曰。三百步。
術曰。出南門爲餘勾。出東門爲餘股。相乘開方。爲容方徑倍之。〈出南門三十步。與出東門七百五十步相乘。得二萬二千五百步爲實。以平方法開之。得一百五十步。倍之爲三百步。即城方也。〉
城方二百步。出東門一十五步。有樹一株。問出南門見此樹。爲步幾何。〈容方餘句求餘股〉
〈容方餘句求餘股法〉
答曰。六百六十六步強。
術曰。城方折半爲容方自乘。出東門爲餘勾除之。爲餘股。〈城方折半爲一百步。以一百自乘。得一萬步爲實。以出東門一十五步爲法歸除。得六百六十六步一分。故曰強。○蓋此法與前求容方徑法。互相一例。假如出東門一十五步有樹。出南門六百六十六步強。見此數。與城角弦直。問城方幾何。則當答二百步也。〉
比例勾股
編輯旗竿距三十五尺。立短表高三尺。前距三尺。立長表高九尺。自短表頭望竿頂。與長表頭參直。問竿高幾何。〈有遠求高。○表竿地平參直。後倣此。〉
〈有遠求高法。表距爲小句一率。表差爲小股二▣。後表遠爲大句三率。一率小句三尺。二率小股六尺。三率大句三十五尺。四率大股得十七尺。〉
答曰七十尺。〈加三尺短表。高實七十三尺。〉
術曰。兩表相距爲小勾一率。兩表差爲小股二率。後表距竿底爲大勾三率。推得四率。加短表高。〈後皆倣此。二三率相乘。得二百一十尺。以一率爲法歸除之。得四率七十尺。乃加短表高三尺。〉
檜樹距三十八尺。立表高五尺。退距二尺。人目着地望樹頂。與表頭參直。問樹高幾何。
〈同上法。一率小句二尺。二率小股五尺。三率大句三十八尺。四率大股得一百尺。〉
答曰。一百尺。
術曰。退距爲小勾一率。表高爲小股二率。人目距樹底爲大勾三率。
測塔遠立兩表。相距二十尺。前表高五尺。後表高四尺。從後表頭望塔頂。與前表頭參直。塔高一百二十尺。問後表距塔遠幾何。〈有高求遠〉
〈有高求遠法。表差爲小股一率。表距爲小句二率。高爲大股三率。〉
答曰。二千四百尺。
〈一率。小股一尺。〉
〈二率。小句二十尺。〉
〈三率。大股塔高一百二十尺。〉
〈四率。大句得二千四百尺。〉
〈相乘得二千四百尺。以一率單一歸除。故四率亦仝此數。〉
術曰。兩表差爲小股一率。兩表距爲小勾二率。塔高爲大股三率。
測江遠水際立表高二尺。退距三十尺。從地平望彼岸頂。與表頭參直。岸高八十尺。問江濶遠幾何。
〈同上法。〉
〈一率。小股表高二尺。〉
〈二率。小句退距三十尺。〉
〈三率。大股岸高八十尺。〉
〈四率。大句江闊一千二百尺。〉
答曰。一千二百尺。〈減三十尺。退距實一千一百七十尺。〉
術曰。表高爲小股一率。退距爲小勾二率。岸高爲大股三率。推得四率減退大。〈後皆倣此。相乘得二千四百尺。依法除之。〉
登城距垜頭九尺。望敵陣腳。與垜頭參直。垜頭距地平深七十五尺。人目比垜頭高五寸。問陣腳距城遠幾何。〈有深求遠。〉
〈有深求遠法。表差爲小股一率。〉
〈表距爲小股二率。深爲大股三率。〉
答曰。一千三百五十尺。
〈一率。小股目差五寸。〉
〈二率。小句距垜九尺。〉
〈三率。大股地平深七十五尺。〉
〈四率。大句陣腳一千三百五十尺。〉
〈相乘六百七十五尺。〉
術曰。目差爲小股一率。目垜距爲小勾二率。地平深爲大股三率。
海岸深二百三十四尺五寸。從岸上退距三十六尺。有石高一尺三寸。從石頭望海外一點孤島。與岸頭參直。問岸島相距遠幾何。
〈同上法。一率小股石高一尺三寸。二率小股退距三十六尺。三率大股岸深三百三十四尺五寸。四率大句島距六千四百九十三尺九寸零。〉
答曰。六千四百九十四尺弱。〈一尺三寸。變作一十三寸。三十六尺。變三百六十〇寸。二百三十四尺五寸。變二千三百四十五寸。得六萬四千九百三十九寸。又餘六寸合。爲所答之數。〉
術曰。石高爲小股一率。退距爲小勾二率。岸深爲大股三率。〈二三率相乘。得八十四萬四千二百寸爲實。以一率一十三寸爲法歸除之。得六千四百九十三尺八寸。而實有餘六寸不盡除。故曰四尺弱。○蓋此三率末位爲寸。故皆以寸爲名。乘除則定位無差別。錄於右。〉
井徑四尺。退距五寸。立表高四尺五寸。自表頭望井底。與井口參直。問井深幾何。〈有遠求深。〉
〈有遠求深法。與有遠高求卽覆矩也。一率小句退距五寸。二率小股表高四十五寸。三率大股井徑四十寸。四率大句井深三百六十寸。〉
答曰。三十六尺。
術曰。退距爲小勾一率。表高爲小股二率。井徑爲大勾三率。〈相乘得一千八百寸。如法除之。尺變爲寸之說。見上。〉
臺上欲測臺深。臺前庭廣一百二十尺。自臺上退距二尺。立表高五尺。從表頭望庭際。與臺邊參直。問臺深幾何。
〈同上。一率小句退距二尺。二率小股表高五尺。三率大句庭廣一百二十尺。四率大股臺深三百尺。〉
答曰。三百尺。
術曰。退距爲小勾一率。表高爲小股二率。庭廣爲大勾三率。〈相乘得六百尺。如法除之。〉
海岸距一點孤島。平遠六千四百九十三尺八寸十三分寸之六。自岸上退距三十六尺。有石高一尺三寸。從石頭望島頂。與岸頭參直。問岸頭距島平深幾何。
答曰。二百三十五尺。
術曰。退距乘分母爲小勾一率。石高爲小股二率。島距通內爲大勾三率。
方城遠五百尺。臥置矩尺長三十尺。望城東面。與勾線參直。從勾二尺望西隅。與股端參直。問城廣幾何。〈有遠求廣。○附有廣求遠。〉
答曰。七千五百尺。
術曰。退距爲小股一率。矩尺長爲小勾二率。城遠爲大股三率。
圜臺邊距一千六百尺。臥置大矩尺。令股線與臺邊參直。從股端望臺心。與勾六寸參直。問臺徑幾何。
答曰。六十四尺。
術曰。股長爲小勾一率。勾長爲小股二率。邊距爲大勾三率。推得四率倍之。
海中有丁戊兩島。岸際立乙丙兩表。相距五十四尺。自乙丙表。各退距四十五尺立甲表。自甲表右望丁島。與乙表參直。左望戊島。與丙表參直。測得兩島距甲表各二千五百四十五尺。問兩島相距廣幾何。〈同式銳角。〉
答曰。三千五百四尺。
術曰。甲乙距爲一率。乙丙距爲二率。甲距兩島爲三率。
城下立甲乙丙三表。乙丙兩表。與城面平行。從甲表左望東隅。與乙表參直。右望西隅。與丙表參直。甲乙甲丙相距各一十五尺。乙丙相距五百七十尺。甲距東隅一千五百尺。問城廣幾何。〈同式鈍角。〉
答曰。五萬七千尺。
術曰。甲乙距爲一率。乙丙距爲二率。甲距東隅爲三率。
平野測山遠。山頂與地平參直。立兩表。前表高一十五尺。後表高一十七尺。兩表相距三百尺。從後表頭望山頂。與前表頭參直。問前表距山頂遠幾何。〈無高求遠。〉
答曰。二千二百五十尺。
術曰。兩表差爲小股一率。兩表距爲小勾二率。前表高爲大股三率。
河際立短表高五尺。退距二十八尺。立長表高六尺。自後表頭望彼岸水際。與前表頭參直。問河遠幾何。
答曰。一百六十八尺。
術曰。兩表差爲小股一率。兩表距爲小勾二率。前表高爲大股三率。
攜杖野行。遙望片石。與杖頭參直。杖長三尺七寸。人目距地三尺七寸五分。距杖頭一尺九寸。問石距人遠幾何。
答曰。一百四十二尺。
術曰。目差爲小股一率。目距杖爲小勾二率。目距地爲大股三率。
坡上測野樹斜遠。斜立兩距尺。相距五十尺。合兩勾線。與野參直。從後矩股二十一尺望野樹。與前矩二十尺參直。問前矩距野樹斜遠幾何。〈無高求斜遠。〉
答曰。一千尺。
術曰。兩距差爲小股一率。兩矩距爲小勾二率。前股長爲大股三率。
甲乙兩峯。與丙山參直。自乙測得甲乙斜遠一千尺。平深五尺。〈有地平數十尺。知直矩退距。測其高遠。句股求弦爲斜遠。無地平。則自甲設層矩。以測深遠。或施斜線。以兩矩尺。直測斜遠。亦可。〉乙丙斜遠。四萬六千尺。問乙丙平深幾何。〈無遠求深。○附無深求遠。〉
答曰。二百三十尺。
術曰。甲乙斜遠爲小弦一率。平深爲小股二率。乙丙斜遠爲大弦三率。
仍求遠則推得甲乙平遠。爲小勾二率。
又斜遠爲弦。平深爲勾。推股亦得平遠。
甲地測山高。不得地平。任擇參直上坡乙地。先從乙以層矩。測得矩甲平深六十八尺。平遠五十一尺。仍得甲乙斜遠八十五尺。山頂距甲斜遠二千五百尺。問甲距山頂高幾何。
答曰。二千尺。
術曰。甲乙斜遠爲小弦一率。平深爲小股二率。山頂斜遠爲大弦三率。
仍求遠則甲乙平遠。爲小股二率。
臨海立甲表。退距九十尺立乙表。從乙望戊島。與甲表參直。甲右距六十八尺立丙表。乙右距七十尺立丁表。從丁表望島。與丙表參直。甲乙兩表角幷中距。問島距前表遠幾何。〈無廣求遠。〉
答曰。三千零六十尺。
術曰。甲丙距與乙丁距差爲小股一率。甲乙距爲小勾二率。甲丙距爲大股三率。
城樓望敵兵布成三角陣。錐銳向城。自樓門退距三十三尺。望陣銳角當門正中。與門閾參直。後兩角與門楣兩角參直。門閾廣八尺。距地平高七十五尺。門棖長二尺。人目下距閾三尺。問敵陣距城遠。陣中長後面廣。銳角兩面斜長各幾何。〈雜測。〉
答曰。中長一千七百一十六尺。
距城遠八百二十五尺。
後面廣六百二十四尺。
兩面斜長一千七百四十四尺強。
術曰。求遠則目下距爲小股一率。退距爲小勾二率。閾距地爲大股三率。
求中長則目下距減棖長爲小股一率。退距爲小勾二率。棖長並閾距地爲大股三率。推得四率內減距城遠。
求後面廣則退距爲一率。閾廣折半爲小股二率。中長倂距城遠。又倂一率爲大勾三率。推得四率倍之。
求兩面斜長中長爲股後面廣。折半爲勾推弦。
重比例勾股
編輯測山高。立兩竿相距一百二十尺。前竿退距一十八尺立表。從表頭望山頂。與竿頭參直。後竿退距二十尺立表。從表頭望山頂。與竿頭參直。兩竿高各三十尺。兩表高各一十二尺。問山高幾何。〈無遠求高。○附無高求遠。〉
答曰。一千零八十尺。
術曰。前後竿表距差爲小勾一率。竿表差爲小股二率。兩表距爲大勾三率。推得四率加表高。
仍求遠則前後竿表距差爲小股一率。兩表距爲小勾二率。前竿表距爲大股三率。
隔海測島。立兩長表高三尺。兩短表高三寸。從短表頭望島頂。各與長表頭參直。前兩表相距六十尺。後兩表相距六十二尺。兩短表相距五百尺。問島高幾何。
答曰。六百七十五尺。
術曰。前後表距差爲小勾一率。長短表差爲小股二率。兩短表距爲大勾三率。
仍求遠則前後表距差爲小股一率。短表距爲小勾二率。前兩表距爲大股三率。
隔江測山。立二表高各五尺。相距一百尺。前表退距二十三尺。後表退距二十七尺。各從地平望山頂。與表頭參直。問山高幾何。
答曰。一百二十五尺。
術曰。前後退距差爲小勾一率。表長爲小股二率。兩表距爲大勾三率。
仍求遠則前後退距差爲小股一率。兩表距爲小勾二率。前退距爲大股三率。
岸上測壑底深。設層矩尺。從股二尺望壑底。與下勾一尺參直。從上股二尺零五分望壑底。與上勾一尺參直。兩矩相距一十尺。問壑底平深幾何。〈無遠求深。○附無深求遠。〉
答曰四百尺。
術曰。上下股差爲小股一率。下股長爲小勾二率。兩矩距爲大股三率。
仍求遠則上下股差爲小勾一率。勾長爲小股二率。兩矩距倂股差爲大勾三率。
甲山測乙山深平。設層矩。從下勾五寸望乙山頂。與下股端參直。從上句望乙山頂。與上股端參直。兩矩距二十五尺。問乙山頂平深幾何。
答曰。六十八尺弱。
術曰。上下勾差爲小股一率。下勾長爲小勾二率。兩矩距爲大股三率。
仍求遠則上下勾差爲小勾一率。股長爲小股二率。兩矩距倂句差爲大勾三率。
海邊欲測島廣。橫置兩矩尺。相距五百尺。兩句線與島右參直。前矩尺退矩五尺。後矩尺退矩七尺。各從勾線望島左。各與股端參直。問島廣幾何。〈無遠求廣。○附無廣求遠。〉
答曰。七千五百三十尺。
術曰。前後退距差爲小勾一率。矩尺長爲小股二率。兩矩距並退距差爲大句三率。
仍求遠〈自後退距距島心遠〉則前後退距差爲小股一率。兩矩距並退距差爲小勾二率。前矩退距爲大股三率。
圜儀
編輯旗竿退距五十尺儀。從地平窺竿頂表。在五十七度。問竿高幾何。〈以下直角。〉
答曰。七十七尺弱。
術曰。表度反減象限。〈九十度。〉餘三十三度爲竿頂對知角度。〈竿頂似竿線及窺表。視線定角度。地平線爲竿頂所對而五十尺爲所知之線。故曰對知角。〉檢表以三十三度正弦爲一率。表度爲對求角度。〈表角對竿高。竿高爲所求之線故曰對求角。〉檢表以五十七度正弦爲二率。退距爲所知線三率。
又半徑十萬爲一率。五十七度正切爲二率。退距爲三率。
塔高三百二十尺儀。窺塔頂表在二十三度三十五分。問塔距儀遠幾何。
答曰。七百三十三尺強。
術曰。表度爲對知角度。其正弦爲一率。表度半減象限。餘爲塔頂對求角度。其正弦爲二率。塔高爲所知線三率。
又半徑爲一率。表度餘切爲二率。塔高爲三率。
江岸置儀。下距水平深二百一十尺。窺彼岸水際表在四十三度三十七分。問江濶幾何。
答曰。二百尺強。
術曰。表度反減象限。餘爲彼岸對知角度。其正弦爲一率。表度爲對求角度。其正弦爲二率。儀距水平深爲所知線三率。
仍求斜遠。則直角度爲對求角度。其正弦爲二率。又直角度正弦爲一率。表度正割爲二率。儀高爲三率。
河邊先測島巖頂。斜遠八百九十尺二寸二分儀。窺巖頂表在五十一度五十一分。問島高島遠各幾何。
答曰。島高七百尺強。
島遠五百五十尺弱。
術曰。求高則島底直角度爲對知角度。其正弦爲一率。表度爲對求角度。其正弦爲二率。斜遠爲所知線三率。
求遠則島底直角度。爲對知角度。其正弦爲一率。表度反減象限餘三十八度九分。爲島頂對求角度。其正弦爲二率。斜遠爲所知線三率。
又求高則表度正割爲一率。正切爲二率。斜遠爲三率。
求遠則表度正割爲一率。島底直角度正弦爲二率。斜遠爲三率。
測江濶。兩岸爲鍥。從鍥取直角。橫量一百五十尺儀。窺兩鍥表在六十度。問江濶幾何。
答曰。二百六十尺弱。
術曰。表度半減象限餘爲彼岸對知角度。其正弦爲一率。表度爲對求角度。其正弦爲二率。橫量爲所知線三率。
又直角度正弦爲一率。表度正切爲二率。橫量爲三率。
仍求斜遠則直角度正弦爲一率。表度正割爲二率。橫量爲三率。
旗杆一株。欲測其高。不知其遠儀。從地平窺杆頂。表在五十度。退距一百尺。復從地平窺杆頂表在四十度。問杆高幾何。
答曰。二百八十三尺強。
術曰。先以前後表度相減餘爲杆頂對知角度。其正弦爲一率。後表度爲對求角度。其正弦爲二率。退距爲所知線三率。推得四率。爲杆頂距前儀心斜遠。乃以杆底直角度。爲對知角度。其正弦爲一率。前表度爲對求角度。其正弦爲二率。斜遠爲所知線三率。
又前後表度兩餘切相減餘爲一率。直角度正弦爲二率。退距爲三率。
山上欲測山高。山前平野有兩石。與山頂弦直。測兩石相距一百八十丈。儀從山頂垂線。窺遠石表在四十九度。窺近石表在三十八度。問山高幾何。
答曰。四百八十七丈強。
術曰。先以遠近表度相減餘爲山頂對知角度。其正弦爲一率。遠表度半減象限餘爲對知角度。其正弦爲二率。兩石相距爲三率。推得四率。爲近石距山頂斜遠。乃以山底直角爲對知角度。其正弦爲一率。近表度反減象限餘爲對求角度。其正弦爲二率。斜遠爲所知線三率。
又遠近表度兩正切相減餘爲一率。直角度正弦爲二率。兩石相距爲三率。
甲乙丙三島。從乙島窺甲乙兩島。表在六十度。從丙島窺甲乙兩島。表在四十六度。乙丙島相距三百二十尺。問甲丙島相距。甲乙島相距。各幾何。〈以下銳角。〉
答曰。甲丙距二百八十八尺強。
甲乙距二百三十九尺強。
術曰。求甲丙距。則倂兩表度反減半圜餘爲甲島對知角度。其正弦爲一率。乙表度爲對求角度。其正弦爲二率。乙丙距爲所知線三率。
求甲乙距。則甲角度爲對知角度。其正弦爲一率。丙表度爲對求角度。其正弦爲二率。乙丙距爲所知線三率。
又求甲乙距則倂兩表度餘切爲一率。甲角度餘割爲二率。乙丙距爲三率。
求甲丙距則倂兩表度餘切爲一率。兩表度餘割爲二率。乙丙距爲三率。
海上置儀。測甲乙兩島。甲島遠四千尺。乙島遠二千六百一十尺八寸。表角六十度。問甲乙兩島角度及兩島相距各幾何。
答曰。甲角四十度。
乙角八十度。
兩島距三千五百一十七尺五寸弦。
術曰。求甲角度。則倂兩島遠爲一率。兩島遠相減爲二率。表角度反減半圜餘爲外角度折半。其正切爲三率。推得四率。爲半較角度之正切。檢表得度爲半較角度。與半外角度相減。
求乙角度。則半較角度。倂半外角度。
求兩島距。則以乙角度爲對知角度。其正弦爲一率。表角度爲對求角度。其正弦爲二率。甲島遠爲所知線三率。
山上置儀。窺南北兩峯表角五十度。南峯距儀五千尺。北峯距儀七千尺。問兩峰相距幾何。
答曰。五千三百八十五尺強。
術曰。倂兩峰遠爲一率。兩峰遠相減爲二率。表角度半減半圜餘爲外角度。折半其正切爲三率。推得四率。爲半較角度之正切。檢表得度反減半外角度餘。爲北峯角度。乃以北峯角度。爲對知角度。其正弦爲一率。表度爲對求角度。其正弦爲二率。南峯遠爲所知線三率。
又直角度正弦爲一率。表度正弦爲二率。南峯遠爲三率。推得四率。爲北峰視線上距南峰垂線。再以直角度正弦爲一率。表度餘弦爲二率。南峯遠爲三率。推得四率。爲視線上垂線。所分之小邊線。反減北峯遠餘。爲垂線所分之大邊線。乃以大邊線爲勾。垂線爲股推弦。
又南峯遠爲一率。北峯遠爲二率。表餘度割爲三率。推得四率。爲南峯角垂線所分兩分角度正切之和內減表度餘切餘。爲北峯角度之餘切。檢表得北峯角度。仍爲對知角度。其正弦爲一率。表度爲對求角度。其正弦爲二率。南峯遠。爲所知線三率。
甲乙丙三樹。從乙樹窺甲丙兩樹。表在二十四度。從丙樹窺甲乙兩樹。表在三十六度三十分。乙丙樹相距七百二十尺。問甲丙樹相距。甲乙樹相距。各幾何。〈以下銳角。〉
答曰。甲乙距四百九十二尺強。
甲丙距三百三十六尺強。
術曰。求甲乙距。則倂兩表度反減半圜餘。爲甲島對知角度。再以甲鈍角度反減半圜餘。爲鈍外角度。〈鈍角無正弦以外角正弦爲鈍角正弦。〉其正弦爲一率。丙表度爲對求角度。其正弦爲二率。乙丙距。爲所知線三率。
求甲丙距。則甲外角度爲對知角度。其正弦爲一率。乙表度爲對求角度。其正弦爲二率。乙丙距。爲所知線三率。
又求甲乙距。則倂兩表度餘切爲一率。乙表餘割爲二率。乙丙距爲三率。
求甲丙距則倂兩表度餘切爲一率。丙表度餘割爲二率。乙丙距爲三率。
野中置儀。測東西兩樹。東樹遠五百四十步。西樹遠三百六十步。表角一百一十九度三十四分。問東西兩樹角度。兩樹相距各幾何。
答曰。東樹角二十三度三十四分二十秒。
西樹角三十六度五十一分四十秒。
兩樹距七百八十三步弱。
術曰。求東樹角度。則倂兩樹遠爲一率。兩樹遠相減爲二率。表外角度折半。其正切爲三率。推得四率。爲半較角度之正切。檢表得度。爲半較角度內減半外角度。
求西樹角度。則半較角度倂外角度。
求兩樹距。則以西樹角度爲對知角度。其正弦爲一率。表外角度爲對求角度。其正弦爲二率。東樹遠。爲所知線三率。
河邊有東西兩磯。測隔河人家遠置儀。東磯從西磯斜窺人家。表在一百一十度。置儀西磯。從東磯斜窺人家。表在四十度。兩磯相距一百二十尺。問人家距東磯遠幾何。
答曰。一百五十四尺強。
術曰。倂兩表度反減半圜餘。爲對知角度。其正弦爲一率。西表度爲對求角度。其正弦爲二率。兩磯相距。爲所知線三率。
又東表外角度之餘切。與西表度之餘切相減餘。爲一率。東表外角度之餘割爲二率。兩磯相距爲三率。
山下有左右兩麓。欲測山高置儀。左麓斜窺山頂。表在八十六度五十三分置儀。右麓從左麓斜窺山頂。表在七十八度零七分。左麓從地平正測山頂。表在五十一角。兩麓相距一千尺。問山高幾何。〈以下雜測。〉
答曰。二千九百三十八尺強。
術曰。先倂兩斜。窺表度反減半圜餘。爲對知角度。其正弦爲一率。右表度爲對求角度。其正弦爲二率。兩麓相距爲所知線三率。推得四率。爲山頂距左麓斜遠。乃以山底直角度。爲對知角度。其正弦爲一率。正測表度爲對求角度。其正弦爲二率。斜遠爲所知線三率。
測山高不得地平。先於上坡空取地平儀。窺山頂表在四十度。退距一千尺於下坡。又空取地平儀。窺山頂表在三十五度。因窺上坡儀心。表在一十三度。問山頂距下坡高幾何。
答曰。二千九百八十八尺弱。
術曰。先以上下坡表度相減餘。爲對知角度。其正弦爲一率。上坡表度。減下坡窺上坡儀心表度餘。爲對求角度。其正弦爲二率。退距爲所線三率。推得四率。爲山頂距下坡儀心斜遠。乃以山底直角度。爲對知角度。其正弦爲一率。下坡表度爲對求角度。其正弦爲二率。斜遠爲所知線三率。
望城置儀。欲測城廣儀。距城南隅九百丈。距城比隅一千二百丈。儀從南隅窺北隅。表在一百二十度。問城廣幾何。
答曰。一千八百二十五丈弱。
術曰。倂兩距爲一率。兩距相減爲二率。表半外角度正切爲三率。推得四率。爲半較角度之正切。檢表得度反減半外角度餘。爲北隅小角度。乃以小角度爲對知角度。其正弦爲一率。表外角度爲對求角度。其正弦爲二率。南距爲所知線三率。
又直角度正弦爲一率。表外角度正弦爲二率。南距爲三率。推得四率。爲南隅形外垂線。又以直角度正弦爲一率。表外角度餘弦爲二率。南距爲三率。推得四率。爲北隅視線引過儀心。與垂線成直角之虛邊線。倂北距爲北隅視線。倂虛邊之總長。乃以總長爲股。垂線爲勾推弦。
又南距爲一率。北距爲二率。表外角度餘割爲三率。推得四率。爲南隅垂線。所成兩分角度正切之較。與表外角度餘切相加。爲北隅角度之餘切。檢表得度。爲北隅角度。乃以北隅角度。爲對知角度。其正弦爲一率。表外角度爲對求角度。其正弦爲二率。南距爲所知線三率。
城樓置儀。測城外兩墩樓上。從城線窺右墩。表在九十度。窺左墩表在三十八度。樓左一百三十丈置儀。城上亦從城線窺左墩表在一百一十度。窺右墩表在四十五度。問樓距兩墩兩墩相距各幾何。
答曰。樓距右墩一百三十丈。
樓距左墩二百三十一丈弱。
兩墩相距一百九十三丈強。
術曰。求樓距右墩。則城儀右墩表度反減象限餘。卽右墩角三視線所成之內分角度爲對知角度。其正弦爲一率。城儀右墩表度。爲對求角度。其正弦爲二率。兩儀距爲所知線三率。
求樓距左墩。則倂兩儀左墩表度反減半圜餘。卽左墩角三視線所成之內分角度爲對知角度。其正弦爲一率。城儀左墩表度爲對求角度。其外角度正弦爲二率。兩儀距爲所知線三率。
求兩墩相距。則倂兩墩距樓爲一率。兩墩距樓相減爲二率。樓儀兩墩表度相減餘。爲樓儀角三視線。所成之外分角度反減半圜餘。爲外角度。折半其正切爲三率。推得四率。爲半較角度之正切。檢表得度。反減半外角度餘。卽左墩角三視線所成之外分角度爲對知角度。其正弦爲一率。樓儀外分角度爲對求角度。其正弦爲二率。樓距右墩爲所知線三率。
隔江有雙塔。用兩儀測之。右儀從左儀。窺南塔表在一百零七度。窺北塔表在四十六度。兩塔視線角六十一度。左儀從右儀。窺北塔表在九十九度。窺南塔表在五十度。兩塔視線角四十九度。兩儀相距一百丈。問兩塔距左儀。兩塔相距各幾何。
答曰。北塔距左儀一百二十五丈強。
南塔距左儀二百四十五丈弱。
兩塔相距一百八十八丈強。
術曰。求北塔距左儀。則倂兩儀北塔表度反減半圜餘。爲對知角度。其正弦爲一率。右儀北塔表度爲對求角度。其正弦爲二率。兩儀距爲所知線三率。
求南塔距左儀。則倂兩儀南塔表度反減半圜餘。爲對知角度。其正弦爲一率。右儀南塔表度爲對求角度。其外角度正弦爲二率。兩儀距爲所知線三率。
求兩塔相距。則倂兩塔距儀爲一率。兩塔距儀相減爲二率。左儀兩塔視線角半外角度正切爲三率。推得四率。爲半較角度之正切。檢表得度反減半外角度餘。卽南塔角三視線。所成之外分角度爲對知角度。其正弦爲一率。左儀兩塔視線角度。爲對求角度。其正弦爲二率。北塔距儀。爲所知線三率。
又求兩塔相距。則直角度爲對知角度。其正弦爲一率。左儀兩塔視線角度。爲對求角度。其正弦爲二率。北塔距儀。爲所知線三率。推得四率。爲左儀南塔視線上距北塔垂線。仍以垂線所分直角度。爲對知角度。其正弦爲一率。左儀兩塔視線角度反減象限餘。爲對求角度。其正弦爲二率。北塔距儀爲三率。推得四率。爲左儀距直角之分邊小線。反減南塔距儀餘。爲南塔距垂線直角之分邊大線。乃以大邊線爲股。垂線爲勾推弦。
附方儀
編輯測杆高。距三十尺立儀平地。窺杆頂。表在從邊線八百分。問杆高幾何。
答曰。二十四尺。
術曰。方儀一千分爲一率。表分爲二率。距遠爲三率。
測樹遠。對樹立標。自標橫取短線。臥儀平地。從對標窺樹趾。表在橫邊線六百分。儀標相距一百五十尺。問樹幾何。
答曰。二百五十尺。
術曰。表分爲一率。儀分爲二率。儀表距爲三率。
測山高。不知其遠。立儀平地。先窺山頂。表在縱邊八百分。退距九十尺。再窺山頂。表在縱邊六百四十分。問山高幾何。〈以下重測。〉
答曰。二百八十八尺。
術曰。前表分爲一率。儀分爲二率。後表分爲三率。推得四率。反減儀分餘爲一率。後表分爲二率。退距爲三率。
測汛臺遠。不知其高。立儀平地。先窺臺頂。表在縱邊二百五十分。退距二十五尺。再窺臺頂。表在縱邊二百四十八分。問杆距前儀幾何。
答曰。三千一百零一尺二寸五分。
術曰。前表分爲一率。儀分爲二率。後表分爲三率。推得四率。反減儀分餘爲一率。四率爲二率。退距爲三率。
測石遠。臥置兩儀。相距一十步。右儀從左儀窺石。表在左橫邊一十分。左儀從右儀窺石。表在右橫邊二十分。問石距右儀左儀各幾何。
答曰。距右儀三百三十三步強。
距左儀三百三十三步強。
術曰。求距右儀。則倂兩表分爲一率。表斜分爲二率。兩儀相距爲三率。
求距左儀。則倂兩表分爲一率。表斜分爲二率。兩儀相距爲三率。
測樹遠。臥置兩儀。相距一十尺。甲儀從乙儀窺樹表在左橫邊九百七十分。乙儀從甲儀窺樹表在左橫邊九百六十五分。問樹距甲儀乙儀各幾何。
答曰。距甲儀二千七百八十六尺強。
距乙儀二千七百七十九尺強。
術曰。求距右儀。則倂兩表分爲一率。表斜分爲二率。兩儀相距爲三率。
求距左儀。則倂兩表分爲一率。表斜分爲二率。兩儀相距爲三率。
測人家遠。臥置兩儀。相距三百尺。西儀從東儀窺人家。表在右縱邊五百四十分。表斜一千一百三十六分零。東儀從西儀線窺人家察表。不取邊線。以西表分長爲度。察內線分。表在右縱內線六百分。表斜八百零六分零。問人家距西儀東儀各幾何。
答曰。距西儀八百五十二尺。
距東儀六百零四尺五寸。
術曰。求距西儀。則東表內線分反減儀分爲一率。西表斜爲二率。兩儀相距爲三率。
求距東儀。則東表內線分反減儀分爲一率。東表斜爲二率。兩儀相距爲三率。
矩儀
編輯測岸高。距儀三十六尺。表在勾三百二十分。問岸高幾何。〈有遠求高。〉
答曰。一百一十二尺半。
術曰。表分爲小勾一率。儀分爲小股二率。儀距爲大勾三率。
測竿高。距儀八十丈。表在股三百七十分。問竿高幾何。
答曰。二十九丈六尺。
術曰。儀分爲小勾一率。表分爲小股三率。儀距爲大勾三率。
測塔高。距儀四十步。表在勾股之交。問塔高幾何。
答曰。四十步。
術曰。表在勾股之交者。勾與股等。
測山高。前測表在勾二百四十分。退距三十尺。再測表在勾三百二十分。問山高幾何。〈無遠求高。〉
答曰。三百七十五尺。
術曰。兩表分較爲小勾一率。儀分爲小股二率。退距爲大勾三率。
測雲高。前測表在股八百五十分。退距三百步。再測表在股八百分。問雲高幾何。
答曰。四千八十步。
術曰。少分〈八百分〉爲一率。儀分爲二率。兩分較〈五十分〉爲三率。推得四率。〈六十一分半。〉爲小勾一率。多分〈八百五十分〉爲小股二率。退距爲大勾三率。
測島高。前測表在勾九百八十五分。退距一百五十尺。再測表在股九百九十五分。問島高幾何。
答曰。七千四百九十尺七百九十七分尺之四百七十。
術曰。股分爲一率。儀分爲二率。股餘分〈股分反減儀分餘五分〉爲三率。推得四率。〈五尺九百九十五分分之二十五分下分約之。得一百九十九分分之五。〉倂勾餘分。〈勾分反減儀分餘。一十五分。〉爲小勾一率。〈二十分一百九十九分分之五。〉儀分爲小股二率。退距爲大勾三率。
測岸遠。儀在島上。下距水平六十尺。表在股三百分。問岸遠幾何。〈有深求遠。〉
答曰。二百尺。
術曰。表分爲小股一率。儀分爲小勾二率。儀高爲大股三率。
測井深。平徑一十二尺。表在勾五百分。問井深幾何。〈有遠求深。〉
答曰。二十四尺。
術曰。表分爲小勾一率。儀分爲小股二率。平徑爲大勾三率。
測壑深。平徑六十尺。表在股九十九尺八分。問壑深幾何。
答曰。五十九尺八寸八分。
術曰。儀分爲小勾一率。表分爲小股二率。平徑爲大勾三率。
測堡廣。儀直北隅。距遠九百步。斜測南隅。表在股八百五十分。問堡廣幾何。〈有遠求角。〉
答曰。七百六十五步。
術曰。儀分爲小勾一率。表分爲小股二率。距遠爲大勾三率。
又以儀分爲股。表分爲勾。推得小弦。再以儀分爲一率。小弦爲二率。距遠爲三率。推得斜遠。乃以小弦爲一率。表分爲二率。斜遠爲三率。〈互測而兩合。知北隅之爲直角。〉
測城廣。儀直東隅。距遠五百步。斜測西隅。表在勾四百六十分。問城廣幾何。
答曰。一千零八十六步二十三分步之二十二。
術曰。表分爲小句一率。儀分爲小股二率。距遠爲大勾三率。
岸上測江遠。不知岸高。設層儀。〈一儀兩用亦可。〉使兩垂線參直。先從下儀測彼岸。表在股二百分。再從上儀測彼岸。表在股一百八十分。兩儀相距一十尺。問江遠幾何。
答曰。五百尺。
術曰。兩表分較爲小勾一率。儀分爲小股二率。兩儀距爲大勾三率。
測井深。不知井徑。設層儀。先從下儀測井底。表在勾二百零五分。再從上儀測井底。表在勾二百分。兩儀相距一十尺。問井深幾何。
答曰。八十二尺。
術曰。少分爲一率。儀分爲二率。兩分較爲三率。推得四率。爲小勾一率。多分爲小股。二率兩儀。距爲大勾三率。
測城廣。不知城遠。臥置兩儀。與城後隅參直。先從前儀。斜測前隅。表在勾九百九十分。再從後儀。斜測前隅。表在股九百八十五分。兩儀相距三十步。問城廣幾何。
答曰。一千一百八十九步四百九十七分步之六十七。
術曰。股分爲一率。儀分爲二率。股餘分爲三率。推得四率。倂句餘分爲小股一率。儀分爲小勾二率。兩儀距爲大股三率。
甲地測山高遠。不得地平。任擇參直。上坡丙地。測得甲丙斜遠兩地。各因斜線設儀。測得山頂。距甲斜遠一千五百尺。乃從甲設儀。定準地平窺山頂。表在四百分。問山頂平高平遠各幾何。
答曰。山高五百五十七尺強。
山遠一千三百九十三尺弱。
術曰。求山高則先以儀分爲股。表分爲句。推得弦爲小弦一率。表分爲小股二率。斜遠爲大弦三率。求山遠則儀分爲小勾二率。
測兩島相距。先測甲島遠一千步。乙島遠一千二百步。儀從甲島窺乙島。表在股二百五十分。問兩島相距幾何。〈鈍角。〉
答曰。三百三十四步一五六強。
術曰。儀分爲股。表分爲勾。推得小弦。乃以小弦爲一率。表分爲二率。乙島遠爲三率。推得四率。爲甲島視線。引長之虛線。上距乙島垂線。再以表分爲一率。儀分爲二率。垂線爲三率。推得四率。爲甲島視線虛線之共長內。減甲島遠餘。爲虛線長。乃以虛線爲勾。垂線爲股推弦。
測兩峯相距。先測東峯遠一千二百二十步。西峯遠一千一百二十步。從東峯窺西峯。表在勾九百九十五分。問兩峯相距幾何。〈銳角。〉
答曰。九百零三步弱。
術曰。儀分爲股。表分爲勾。推得小弦。乃以小弦爲一率。儀分爲二率。西峯遠爲三率。推得四率。爲東峯視線。上距西峯垂線。乃以垂線爲三率。表分爲二率。儀分爲一率。推得四率。爲分邊大線。反減東峯遠餘。爲分邊小線。乃以小線爲勾。垂線爲股推弦。