莊氏算學 (四庫全書本)/卷04

莊氏算學　卷四

　　欽定四庫全書
　　莊氏算學卷四
　　淮徐海道莊亨陽撰
　　曲線體
　　設長圓體徑與高皆七尺問積幾何



　　法以長圓體徑七尺求得圓面積三十八尺四十八寸四十五分零九釐九十六豪二十五絲有餘以髙七尺乗之得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七釐有餘即長圓體之積也
　　又法以長圓體徑七尺求得圓周數與髙七尺相乗得數為長圓體之外面積以半徑之三尺五寸乗之得數折半即長圓體之積也
　　又法以長方體積一○○○○○○○○為一率長圓體積七八五三九八一六三為二率現設之長圓體徑七尺自乗以髙七尺再乗得數為三率求得四率即長圓體之積也
　　〈一率一○○○○○○○○　二率七八五三九八一六三　三率三四二四率二六九三九一五六九九○九〉
　　設尖圓體底徑六尺中髙六尺問積幾何
　　法以底徑六尺求得底面積數以髙六尺乗之得數以三歸之即尖圓體之積也
　　又法以尖方體積一○○○○○○○○為一率尖圓體積七八五三九八一六三為二率現設之尖圓徑體底徑六尺自乗以髙六尺再乗得數三歸之成尖方體積為三率求得四率即尖圓體之積也
　　〈一率一○○○○○○○○○　二率七八五三九八一六三　三率七二　四率五六四八六六七七三六〉
　　又法以長方體積一○○○○○○○○為一率尖圓體積二六一七九九三八八為二率現設之尖圓體底徑六尺自乗以髙六尺再乗得數為三率求得四率即尖圓體之積也
　　〈一率一○○○○○○○○　二率二六一七九九三八八三率二一六　四率五六五四八六六七八○八〉
　　設尖圓體底周二十二尺自尖至底周之斜線五尺求中垂線之髙幾何



　　法以底周二十二尺求得底徑數折半得半徑為勾以自尖至底周之斜線五尺為求得股數即中垂線之髙也
　　〈三尺五寸六分九釐三豪三絲三忽有餘即中垂線之髙〉
　　設圓球徑二尺問外面積幾何
　　法以圓球徑二尺求得周數與徑二尺相乗得數即圓球之外面積也
　　〈一十二尺五十六寸六十三分七十釐有餘即圓珠外面積〉
　　設圓球徑一尺二寸問積幾何



　　法以圓球徑一尺二寸求得圓面積數以圓球徑一尺二寸乗之得數為長圓體積三歸之得數倍之即圓球之體積也
　　又法以圓球徑一尺二寸求得圓球之外面積數以半徑六寸乗之得數三歸之即圓球之體積也
　　又法用方積一○○○○○○○○為一率球積五二三五九八七七五為二率現設之圓球徑一尺二寸自乗再乗得數為三率求得四率即圓球之體積也〈一率一○○○○○○○○　二率五二三五九八七七五　三率一七二八　四率九○四七七八六八三〉
　　又法以圓球徑一○○○○○○○○為一率正方邊八○五九九五九七為二率現設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率數為與圎球積相等之正方體每邊之數自乗再乗即圓球之體積也
　　又法以二十一分為一率十一分為二率現設之圓球徑一尺二寸自乗再乗得數為三率求得四率即圓球之體積也
　　設圓球積六尺問徑幾何
　　法以球積一○○○○○○○○　為一率方積一九○九八五九三一七為二率現設之圓球積六尺為三率




　　求得四率數為與圓球徑相等之正方邊之正方體積開立方即得圓球之徑也
　　〈一率一○○○○○○○○　二率一九○九八五九二一七　三率六　四率一一四五九一五五九〉
　　〈○二〉
　　又法以方邊一○○○○○○○○為一率球徑一二四○七○○九八為二率現設之圓球積六尺開立方得數為三率求得四率即圓球之徑也
　　〈一率一○○○○○○○○　二率一二四○七○○九八三率一八一七一二○　四率二二五四五○二〉
　　設撱圓體大徑六寸小徑四寸問積幾何
　　法以小徑四寸求得圓面積數以大徑六寸乗之得數為長圓體積三歸之得數倍之即撱圓體之積也



　　又法以小徑四寸自乗得數以大徑六寸再乗得數為長圓方體積乃以方積一○○○○○○○○為一率球積五二三五九八七七五為二率現得之長方體積為三率求得四率即撱圓體之積也
　　〈一率一○○○○○○○○　二率五二三五九八七七五　三率九六　四率五○二六五四八二〉設撱圓體積五十寸大徑比小徑多二寸問大小徑各幾何
　　法以球積一○○○○○○○○為一率方積一九○九八五九三一七為二率現設撱圓體積五十寸為三率求得四率為長方體積乃以大徑比小徑多二寸為長圓與濶之較用帶一縱開立方法算之得濶數即撱圓體之小徑加大徑比小徑多二寸即撱圓體之大徑也〈五寸九分九釐二毫大徑〉
　　〈一率一○○○○○○○○　二率一九○九八五九三一七　三率五○四率九五四九二九六五八五○〉
　　設上下不等圓面體上徑四尺下徑六尺髙八尺問積幾何



　　法以上徑四尺求得上圓面積又以下徑六尺求得下圓面積又以上徑四尺與下徑六尺相乗得數開方得中徑用徑求圓面積法求得中圓面積數三數相併與髙八尺相乗得數三歸之得一百五十九尺一百七十四寸二十七分四百六十六釐有餘即上下不等圓面體之積也
　　又法以上徑四尺與下徑六尺相減餘二尺折半得一尺為一率髙八尺為二率下徑六尺折半得三尺為三率求得四率二十四尺為上下不等圓面體上補成一小尖圓體之共髙乃以下徑六尺求得圓面積數與所得共髙數相乗得數三歸為大尖圓體之積又以髙八尺與共髙二十四尺相減餘數為上尖圓體之髙以上徑四尺求得圓面積與上髙數相乗得數三歸之為上小尖圓體之積與大尖圓體積相減餘即上下不等圓面體之積也
　　又法以正方體積一○○○○○○○○為一率圓面體積七八五三九八一六三為二率上徑四尺自乗下徑六尺自乗上下徑相乗三數相併以髙八尺乗之得數三歸之成上下不等正方體積為三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分七百零一釐有餘即上下不等圓面體之積也
　　〈一率一○○○○○○○○　二率七八五三九八一六三　三率二○二六六六六六六六六　四率一五九一七四○二七七○一〉
　　又㨗法以一○○○○○○○○為一率二六一七九九三八八為二率上徑四尺自乗下徑六尺自乗上下徑相乗三數相併以髙八尺乗之得數為三率求得四率即上下不等圓面體之積也
　　設上下不等撱圓面體上大徑四尺小徑三尺下大徑八尺小徑六尺髙十尺問積幾何



　　法以上大徑四尺與上小徑三尺相乗得十二尺以下大徑八尺與下小徑六尺相乗得四十八尺又以上大徑四尺與下小徑六尺相乗下大徑八尺與上小徑三尺相乗共得四十八尺折半得二十四尺三數相併得八十四尺乃以方積一○○○○○○○○為一率圓積七八五三九八一六三為二率三數相併為三率求得四率數與髙十尺相乗得數三歸之即上下不等撱圓面體之積也
　　又㨗法以一○○○○○○○○為一率一三○八九九六九四為二率以上大徑四尺倍之加下大徑八尺共十六尺與上小徑三尺相乗得四十八尺以下大徑八尺倍之加上大徑四尺共二十尺與下小徑六尺相乗得一百二十尺兩數相併以髙十尺乗之得數為三率求得四率即上下不等撱圓面體之積也
　　設截球體一段髙二寸底徑九寸六分問積幾何
　　法以髙二寸為首率底徑九寸六分折半為中率求得末率一尺一寸五分二釐為圓球之截徑加髙二寸為




　　圓球之全徑折半為圓球之半徑又以髙二寸為勾底徑折半為股求得五寸二分作平圓半徑用求圓面積法求得平圓面積數即為截球體一段之外面積與圓球半徑六寸七分六釐相乗得數三歸之餘為自圓球中心所分球面尖圓體積又以截球體底徑九寸六分用求平圓面積法求得截球體之底面積數於圓球半徑六寸七分六釐內減去截球體之髙二寸餘數與截球體之底面積數相乗得數三歸之餘為自圓球中心至截球體底徑所分平面尖圓體積與球面尖圓體積數相減餘即截球體一段之積也
　　〈七十六寸五百七十一分八百八十釐有餘即截積數〉
　　設空心圓球積二千寸厚三寸問內外徑數各幾何




　　法以球積一○○○○○○○○為一率方積一九○九八五九三一七為二率現設之空心圓球積二千寸為三率求得四率為空心正方體積乃用算空心正方體法以厚三寸自乗再乗得二十七寸八因之得數與所得空心正方體積數相減餘數六歸之得數用厚三寸除之得內徑相乗長方面積數乃以厚三寸倍之得六寸為長濶之較用帶縱較數開平方法算之得濶一尺一寸四分六釐三毫九絲七忽有餘即空心圓球內徑加較六寸即空心圓球外徑也
　　〈一率一○○○○○○○○二率一九○九八五九三一七　三率二○○四率三八一九七一八六三四〉
　　設圓窖一座周二十四尺髙十尺問盛米若干
　　法以周二十四尺求得圓面積數與髙一丈相乗得數為圓窖之積數乃以米一石積數定率二千五百寸為一率一石為二率圓窖體積四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有餘為三率求得四率一百八十三石三斗四升六合四勺有餘即所盛之米也
　　〈一率二千五百寸　二率一石　三率四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有餘　四率一百八十三石三斗四升六合四勺有餘〉
　　設圓窖一座盛米一百六十石髙十尺問周徑各幾何



　　法以米一石為一率一石積數二千五百寸為二率盛米一百六十石為三率求得四率四百尺為圓窖之積數以髙十尺除之得四十尺為圓窖之面積乃以圓積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九
　　五四為二率現得之圓窖面積四十尺為三率求得四率五十尺九十二寸九十五分八十一釐六十毫有餘開平方得七尺一寸三分六釐四毫九絲有餘即圓窖之徑數再用徑求周法求得周二十二尺四寸一分九釐九毫四絲有餘即圓窖之周數也
　　〈一率一○○○○○○○○二率一二七三二三九五四　三率四○四率十五○九二九五八一六○〉設積米一堆髙五尺底周十四尺問米數幾何
　　法以底周十四尺求得圓面積數為尖圓堆之底面積




　　與髙五尺相乗得數三歸之為尖圓堆之積數乃以米一石積數二千五百寸為一率一石為二率現得之尖圓堆之積數二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十釐有餘為三率求得四率一十石零三升九合八勺一杪有餘即所堆之米數也
　　〈一率二五　二率一　三率二五九九五三○六八二　四率一○三九八一〉
　　設倚壁積米一堆髙四尺底周六尺問米數幾何


　　法以底周六尺為半周倍之為全周以周求得圓面積數折半為倚壁尖圓堆之底面積以髙四尺乗之得數三歸之為倚壁尖圓堆之積數以米一石積數二千五百寸為一率一石為二率現得之倚壁尖圓堆之積數七尺六百三十九寸四百三十六分有餘為三率求得四率三石零五升五合七勺七杪有餘即倚壁所堆之米數也
　　〈一率二五　二率一　三率七六三九四三六　四率三○五五七七〉
　　設倚壁內角積米一堆髙五尺周一十二尺問米數幾何
　　法以周一十二尺四因之得四十八尺為全周以周求




　　得圓面積數四歸之為倚壁內角尖圓堆之底面積與髙五尺相乗得數三歸之為倚壁內角尖圓堆之積數乃以米一石積數二千五百寸為一率一石為二率現得之倚壁內角尖圓堆之積數七十六尺三百九十四寸三百七十分為三率求得四率三十石零五斗五升七合七勺有餘即倚壁內角所堆之米數也
　　設倚壁外角積米一堆髙六尺底周三十三尺問米數幾何



　　法以周三十三尺三歸四因得四十四尺為全周以周求得圓面積數四歸三因得數為倚壁外角尖圓堆之底面積以髙六尺乗之得數三歸之即倚壁外角尖圓堆之積數乃以米一石積數二千五百寸為率一石為二率現得之倚壁外角尖圓堆之積數二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十釐有餘為三率求得四率九十二石四斗三升七合一勺八杪有餘即倚壁外角所堆之米數也
　　〈一率二五　二率一　三率二三一九二九七二八八四率九二四三七一八〉
　　各等面體
　　設四面體每邊一尺二寸求積幾何



　　法以每邊一尺二寸為每邊折半得六寸為勾求得股數為每一面之中垂線與每邊一尺二寸相乗折半為每一面之面積又以每邊一尺二寸為每一面之中垂線取其三分之二為勾求得股數為四面體自尖至底中心之立垂線或以每一面之中垂線數為每一面之中垂線取其三分之一為勾亦得股為四面體自尖至底中心之立垂線以此立垂線與每一面之面積數相乗三歸之得二百零三寸六百四十六分七百三十七釐有餘即四面體之積也
　　又求自尖至底中心之立垂線㨗法以每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸三歸二因得九十六寸開平方即得自尖至底中心之立垂線
　　又以正方體積一○○○○○○○○為一率四面體積一一七八五一一二九為二率現設之四面體之每邊一尺二寸自乗再乗為三率求得四率即四面體之積也
　　〈一率一○○○○○○○○　二率一七八五一一二九三率一七二八　四率二○三六四六七五　○〉設四面體體積二百零三寸六百四十六分七百五十釐問每邊數幾何
　　法以四面體積一　一七八五一　一二九為一率正方體積一○○○○○○○○為二率現設之四面體積二百零三寸六百四十六分七百五十釐為三率求得四率一尺七百二十八寸開立方得一尺二寸即四面體之每一邊也
　　〈一率一一七八五一一二九　二率一○○○○○○○○　三率二○三六四六七五○　四率　一七二八〉
　　又法以正方體之每邊一○○○○○○○○為一率四面體之每邊二○三九六四八九○為二率現設之四面體積二百零三寸六百四十六分七百五十釐開立方得五寸八分八釐三毫三絲六忽五微有餘為三率求得四率一尺二寸即四面體之每一辶也
　　〈一率一○○○○○○○○　二率二○三九六四八九○三率二○三六四六七五○　四率一二〉設八面體每邊一尺二寸求積幾何




　　法以八面體分作二尖方體算之將每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸為二尖方體之共底面積又以每邊自乗之一尺四十四寸倍之開平方得一尺六寸九分七釐零五絲六忽二微有餘為二尖方體之共髙即八面體之對角斜線以此斜線與二尖方體之共底面積一尺四十四寸相乗三歸之得八百一十四寸五百八十六分九百七十六釐有餘即八面體之積也又法以正方體積一○○○○○○○○為一率八面體積四七一四○四五二一為二率現設之八面體之每邊一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸為三率求得四率八百一十四寸五百八十七分一十二釐有餘即八面體之積也
　　〈一率一○○○○○○○○　二率四七一四○　四五二一　三率一七二八　四率八一四五八七○一二〉設八面體積八百一十四寸五百八十七分一十二釐問每邊之數幾何
　　法以八面體積四七一四○四五二一為一率正方體積一○○○○○○○○為二率現設之八面體積八百一十四寸五百八十七分一十二釐為三率求得四率一尺七百二十八寸開立方得一尺二寸即八面體之每一邊也
　　〈一率四七　一　四○四五二一　二率一○○○○○○○　○　　　三率八一四五八七○一二　四率一七三八〉
　　又法以正方體之每一邊一○○○○○○○○為一率八面體之每邊一二八四八九八二九為二率現設之八面體積八百一十四寸五百八十七分一十二釐開立方得九寸三分三釐九毫二絲六忽有餘為三率求得四率一尺二寸即八面體之每一邊也
　　〈一率一○○○○○○○○　二率一二八四八九八二九　三率九三三九二六　四率一二〉設十二面體每邊一尺二寸求積幾何



　　法以十二面體分作十二五角尖體算之將每邊一尺二寸求得五等邊形之分角線為一尺零二分零七毫八絲零九微有餘自中心至每邊之垂線為八寸二分五釐八毫二絲九忽一微有餘面積為二尺四十七寸七十四分八十七釐三十毫有餘乃用理分中末線之大分六一八○三三九九為一率全分一○○○○○○○○為二率現設之每邉一尺二寸為三率求得四率一尺九寸四分一釐六毫四絲零七微有餘為每一面兩角相對之斜線又用理分中末線之大分六一八○三三九九為一率全分一○○○○○○○○為二率現得之每一面兩角相對之斜線折半得九寸七分零八毫二絲零三微有餘為三率求得四率一尺五寸七分零八毫二絲零二微有餘為十二面體之中心至每邊正中之斜線乃以此斜線為每一面中心至邊之垂線八寸二分五釐八毫二絲九忽一微有餘為勾求得股一尺三寸三分六釐二毫一絲九忽六微有餘為十二面體之中心至每一面中心之立垂線以此立垂線與每一面積二尺四十七寸七十四分八十七釐三十毫有餘相乗三歸之得一尺一百零三寸四百八十九分零二十九釐有餘為一五角尖體積十二因之得一十三尺二百四十一寸八百六十八分三百四十八釐有餘即十二面體之總積也
　　〈一率六一八○三三九九　二率一○○○○○○○○　三率一二　四率一九四一六四○七一率六一八○三三九九　二率一○○○○○○○○　三率九七○八二○三　四率一五七八○八二○二〉
　　又法以正方體積一○○○○○○○○為一率十二面體積七六六三一一八九○三為二率現設之十二面體之一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸為三率求得四率一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四釐有餘即十二面體之積也
　　〈一率一○○○○○○○○　二率七六六三一　一八九○三　三率一七二八　四率一三二四一　八六九四六四〉
　　設十二面體積一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四釐求每邊數幾何
　　法以十二面體積七六六三一　一八九○三為一率正方體積一○○○○○○○○為二率現設之十二面體積一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四釐為三率求得四率一尺七百二十八寸開立方得一尺二寸即十二面體之每一邊也
　　〈一率七六六三一一八九○三二率一○○○○○○○○　三率一三二四一八六九四六四　四率一七二八〉
　　又法以正方體之每邊一○○○○○○○○為一率十二面體之每邊五○七二二二○七為二率現設之十二面體積開立方得數為三率求得四率即十二面體之每一邊也
　　設二十面體每邊一尺二寸求積幾何
　　法以正方體積一○○○○○○○○為一率二十面體積二一八一六九四九六九為二率現設之二十面體之每邊一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸為三率求得四率三尺七百六十九寸九百六十八分九百○六釐有餘即二十面體之積也
　　〈一率一○○○○○○○○　二辛二一八一六九四九六九　三率一七二八　四率三七六九九六八九○六〉
　　又法以二十面體之每邊七七一○二五三四為一率正方體之每邊一○○○○○○○○為二率現設之二十面體之每邊數為三率求得四率為與二十面體積相等之正方體每邉之數自乗再乗即二十面體之積也
　　〈一率七七一○二五三四　二率一○○○○○○○○　三率一二　四率一五五六三六九〉設二十面體積三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六釐求每邊數幾何
　　法以二十面體積二一八一六九四九六九為一率正方體積一○○○○○○○○為二率現設之二十面體積三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六釐為三率求得四率一尺七百二十八寸開立方得一尺二寸即二十面體之每一邊也
　　〈一率二一八一六九四九六九　二率一○○○○○○○○　三率三七六九九六八九○六　四率一七二八〉
　　又法以正方體之每邊一○○○○○○○○為一率二十面體之每邉七七一○二五三四為二率現設之二十面體積開立方得數為三率求得四率即二十面體之每一邊也
　　〈一率一○○○○○○○○　二率七七一○二五三四　三率一五五六三六九　四率一二〉


　　莊氏算學卷四