翻譯:論只使用符號0和1的二進制算術
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本文論述了只使用0和1的二進制算術,兼論其用途及它賦予伏羲所使用的古老圖形的意義
通常的算術方法是基於逢十進位的法則。我們使用十個符號,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,來表示零一及隨後的數,一直到九的數字。然後當到達十後,再次從一開始循環。十由「10」來表示;十乘十,也就是一百,用「100」表示;十乘一百,也就是一千,用「1000」表示;十乘一千為一萬,用「10000」表示;以此類推。
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然而多年來,我不使用十進制,而是用最簡單的進制方式——逢二進位,並發現它對於優化數學科學有重要作用。我只需要用0和1兩個符號,並逢二進位。在這個系統下,二用「10」表示;二乘二,也就是四,用「100」表示;二乘四為八,用「1000」表示;二乘八為十六,用「10000」表示;以此類推。左圖為使用這種方法製成的數字表,這個表可以無限延伸下去。
在此,我們很容易觀察出,每個整數的會有以二為公比的幾何級數的著名性質:如果級數中各個不同次數的方冪係數都是1,那麼小於最高次方冪兩倍的整數都可以由它們表示(譯者注:二進制表達都可以通過它與二的等比數列關係來算出。如果一個數是數列中某幾個的項之和,那麼它的二進制表示就是由這幾項的二進制表示的複合)例如,7是4,2與1的和,用111表示;13是8,4與1的和,用1101表示。這個屬性使得試金官能用幾個不同秤砣就稱出各種重量,並用幾個不同金幣就代表各種價值。
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使用這種數字表達方式,我們能夠很容易地進行各種運算。比如右圖所示的四則運算:
這些運算都十分簡便。與通常的除法運算不同,二進制運算除法是不需要猜測和嘗試的。我們也不需要記憶通常運算時需要大量記憶的部分,比如6加7等於13,3乘5等於15等乘法表,而是可以直接從源頭出發,找到並證明結果。正如☽和⊙符號處給出的示例那樣。
但是,我這裡並不是在推薦用二進制取代通常的十進制,因為我們已經熟識並掌握了十進制,不需要更多的學習。十進制運算較為簡便,位數也比較少,相比於十二進制或十六進制更顯優勢。然而使用二進制,也就是使用0和1計數,儘管位數很長,卻是最基礎的科學計數方法。二進制得用處極廣,能促成新的發現,在計算數學、幾何學上都有很多應用。由於數字被的表示被簡化為了最簡單的0和1,很多奇妙的規律自然顯現了出來。比如在二進制數字表中,很明顯每一列都是周期性出現的循環:第一列是01,第二列是0011第三列是00001111,第四列是0000000011111111,以此類推。表中的空位被填充上了小0,以更好的展現出這種周期循環。同時,表格中的分割線顯示出了,每一個部分都會在下方重複出現。而且平方數、立方數、其他冪級數;三角數、金字塔數和其他圖形數,都有相似的周期性,因此它們的數表可以不用計算直接寫出。開始時會有些麻煩,但找到生成規律後,可以無限地快速生成下去,這樣的優勢是極大的。
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令人驚嘆的是,這種二進制計數方法中解釋了伏羲八卦的秘密。伏羲是一位4000年前的帝王和哲學家,被中國人奉為他們國家和科學的開創者。人們把八卦符號的創造歸功於他,而這個符號系統與二進制有關。解釋它十分方便,只需要給出右側的表。其中連續的線 — 代表1,間斷的線 -- 代表0
約一千年來,中國人都忘卻了八卦,或者說伏羲線條符號的真正含義。他們對其撰寫了大量的註疏,而我認為這些解釋偏離了它的真正含義,因此如今只能由歐洲人來進行深刻解釋。過程是這樣的:大約兩年前,我將我的0和1計算方法寫信告訴了Bouvet神父,一位住在北京的著名的法國傳教士。他在我的計算中發現了解開伏羲八卦圖的鑰匙。在他1701年11月14日寫給我的信件中,附上了這張這位帝王哲學家的先天圖。在這張圖上的64個符號,說明我們的解釋是不容置疑的。可以說,神父在我的發現的幫助下,解開了伏羲之謎。這些符號應該是世界上最早出現的科學文獻,而時隔如此之久,重新發現其含義,更是一個不同凡響的成果。
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這張圖片顯示出了伏羲符號和我的數字表之間顯著的相似性:數字首位都用0填充。這些0看似多餘,卻有助於顯示出數字表中的循環規律。我用小圓圈來表示這些前導0,來把它們與真正的0分開。這個相似處讓我對於伏羲思想的深度更加讚佩,因為這個現在看似簡單的事情在當時是很困難的。如今二進制運算易於理解,很大程度上依賴於我們對於當前計數方式的掌握,而二進制只是去掉了一些多餘的數。然而常用的十進制運算並不是很古老,至少希臘人和羅馬人都不了解它,沒有利用上它的優點。歐洲使用的這一方法很可能由Gerbert引進,也就是教皇Sylvester二世。而他又是從西班牙的摩爾人那裡學來的。
另外,中國人還認為伏羲是漢字的發明者。他們認為伏羲在創造漢字時運用了數學的思想,那麼儘管漢字在歷史的進程中不斷演化,但只要找到了漢字的真正起源,便可以從中得到一些啟發,來理解伏羲的算術和思想。Bouvet神父正在這個研究方向上努力,也很可能會產生成果。然而我並不清楚中國的文字是否會有我的方法中的固有優勢,也就是每個可推導概念,都可以從它們的語法以某種演算系統方法推出。這也是協助人類思考的重要方法之一。 原文鏈接: