(原手稿有不嚴謹處)
顯然
令 , ,則有
∵sin(x)的周期為 ,∴ 與 皆為 的整數倍,即
情況一:若 ,則 . 又由於T為最小正周期, 。故
情況二:若 ,
1) 若 為非周期函數
2) 若 ,不妨令 , ,
則
易知
3) 若 為周期函數。將 換元,即可如情況2處理。
解: 不妨設 , 則有:
解得 , , , 所以
解: 注意到 是周期為1的函數,且在 上為 .
故
解:令 ,則 . 又 為偶函數
令 ,由於 ,故
考慮積分 的遞推公式為:
代入得:
等差數列 ,記 ,數列 滿足 , ,當 時, , 且 成等比數列,
(1) 求 , 的通項公式
(2) 求證:
(3) 將數列 , 的項按照以下規律交叉排列:當 為奇數時, 放在前面;當 為偶數時, 放在前面,得到一個新數列 : ,記 ,求 表達式.
解:(1) , ,又 為等差數列,故 ,則 .
由於 成等比數列,得: ,又因為 ,因此整理得 . 檢驗 符合,即
(2) . 因為 ,所以 ,證畢.
(3) 不妨先羅列出數列 的前12項:
注意到 中的項可以每四個一組進行劃分:
因此分情況討論如下:
1) 當 時,記
此時 的倒數第二組與最後一個數為:
2) 當 時,記
此時 的倒數第二組與最後兩個數為:
3) 當 時,記
此時 的倒數第二組與最後三個數為:
4) 當 時,記
此時 的倒數第二組與最後一組為:
所以綜上,得:
-
橢圓 的離心率為 ,過點 作橢圓 的兩條切線相互垂直.
(1) 求橢圓 的方程
(2) 在橢圓 上是否存在點 :過點 引拋物線 的兩條切線 ,切點分別為 ,且直線 過點 ?若存在,指出這樣的點 有幾個(不必求出點的坐標);若不存在,請說明理由.
解:(1) 由題, . 由於兩切線關於 軸對稱且互相垂直,故斜率為 . 取 ,與橢圓方程聯立:
故 ,即
(2) 顯然,直接設點 坐標將會十分麻煩. 不妨設 ,與拋物線交點為 ,切線 的斜率分別為 . 聯立兩方程:
由於 . 同理 . 聯立 方程
故得 . 根據題意, ,故代入得: ,解得 . 故點 有兩個,分別為 與