九章録要 (四庫全書本)/全覽

九章録要　全覽



　　欽定四庫全書　　　　　子部六
　　九章録要　　　　　　　天文算法類二〈算書之屬〉提要
　　〈臣〉等謹案九章録要十二卷
　　國朝屠文漪撰文漪字蒓洲松江人其書因古九章之術叅以今法與杜知耕所著數學鑰體例相似而互有詳畧踈宻知耕詳於方田文漪則詳於勾股知耕論少廣備及形體文漪推少廣則研及廉隅之辨知耕叅以西法每於設問之下附著其理文漪則采録梅文鼎諸書推闡以盡其用大致皆綴集今古之法以成書而取舎各異合而視之亦可以互相發也是書有借徴一條即借衰叠借之術為知耕之所未及考其所載雖未極精宻然於借數之巧固已得其大端矣乾隆四十六年五月恭校上
　　總纂官〈臣〉紀昀〈臣〉陸錫熊〈臣〉孫士毅
　　總　校　官〈臣〉陸費　墀



　　欽定四庫全書
　　九章録要卷一
　　松江屠文漪撰
　　乗除諸法
　　九章乗除之法各有不同因以分著各章其通用者宜先講也具詳於左
　　并乗并除　算以速見巧乗或屢乗除或屢除不若一乗一除之捷也假如有數須用一十五乗復一十八乗者直以二百七十乗之〈先以十五與十八相乗〉餘可意推其在除法尤以并為便葢使分除而前除不盡以後必用零除之法仍是并除而更多事固不如先并也惟前除適盡則後除雖有零餘亦當無幾特便於命分而并除者餘實反多然約之亦正相同耳
　　分乗分除　再三乗除不若一乗除之便而亦有時宜用分者不可以一律拘假如有數須二百四十五乗〈凡為四十九者五〉則先以五乗之復以七乗之又以七乗之既無易誤之患而算較㨗也其在除法則須審量何也恐前除不盡而後仍用零除也葢以法除實或不能盡者非必如三六七九等除雖破實之一為十為百與千〈如實米一石破為十斗為百升為千合之類是也〉而終不盡也即如二四五八等除但破實之一為十與百千自無不盡而若不破實則仍不盡矣前除既破實以至於盡後除勢不中止此於命分反逺特求分釐數者宜之耳夫既已命分而以母除子亦得分釐數既得分釐數而以原法乗之亦可命分二者固亦相通然而各自取㨗豈須借徑此其宜審者也更恐前除破實且不盡則雖求分釐數亦未能精細故所分之除法孰先孰後〈大抵二四五八等除宜居前三六七九等除宜居末〉又不可不審總之運算之巧存乎一心非言所可悉矣　假如有銀四百五十兩用一百六十八除若并除得二兩又一百六十八分兩之一百一十四即不復破實細除但約之為二十八分兩之一十九而可以命分矣若分除者先用三除次八除次七除〈以原數四百五十故先用三除若係三百五十便當先用七除次八次三也〉得二兩六錢七分八釐五毫七絲又七分絲之一〈尚可再除而數微已甚矣〉倘欲以兩命分則惟二兩整數已定外餘須以原法乗之乃得一百一十四之數仍再約之反不㨗也〈右一條新增〉
　　乗除相減歸一法　數須乗除並用而可用乗省除或用除省乗則歸一尤為至便如數須一十八乗復三除者直以六乗之須四乗復十二除者直以三除之其法乗數多則從乗除數多則從除而必先取乗除兩數以少除多除之可盡即用除得之數不可盡者不能歸一也省乗用除倘有零餘則約分簡易更非原數乗除之比〈右一條新訂〉
　　兩數一半一倍乗法　置兩數欲相乗者若倍其一半其一而乗之所得數同如一數五百二十五一數三十二倍上數為一千零五十半下數為一十六乗之視以原數相乗者㨗矣此特宜於數之少者葢直可以臆計而不煩布算也〈右一條新增〉
　　倍除法　置兩數欲以法除實者若倍其法除之所得數亦倍之即應得之數如有數須四十五除則用九十除須一百三十五除則用二百七十除亦倍所得數㨗於以原法除也遇零分欲求分釐數者依此除之若欲命分則仍其子還用原母〈即原法也〉以命之或須約者更約之滿原母者歸整為一數俱不用倍〈右一條新增〉
　　乗除通用法　二乗與五除同二除與五乗同〈置銀十兩以二乗之得二十兩以五除之得二兩其差十倍然而可通用者其乗除俱得二數則同耳〉　四乗與二五除同四除與二五乗同〈其差百倍〉　八乗與一二五除同八除與一二五乗同〈其差千倍〉
　　以加減代乗法　假如有數須八乗者即於實下一位減二若實數係五二五當減一十則於實之本位減一也有數須一零五乗者即於實下第二位加五若實數係二二五當加一十則於實下一位加一也加減俱從小數始
　　三率準測乗除法　數有已知者因以測所未知則列前三率求後一率先定三率之位第一率與第三率相準第二率與未知之第四率相準如穀準穀錢準錢之類乃以二率三率相乗為實以一率為法除之得四率為所求數舊名異乗同除〈左例原銀與原米是為同今銀與原米是為異〉
　　假如原有銀三十六兩糴米四十八石今銀六十三兩問米幾何
　　一率　原銀三十六兩
　　二率　原米四十八石
　　三率　今銀六十三兩
　　四率　八十四石為今米數
　　右法若先以一率除二率得數乃以乗三率或先以一率除三率得數乃以乗二率所得四率皆同但除之不盡必用零乗之法則不若從前先乗後除為㨗〈凡數須乗除並用者每以乗居先倣此〉
　　右法覆算以二率三率相乗如前以四率除之仍得第一率若以一率四率相乗以二率除之得三率以三率除之得二率
　　三率化多為寡乗除法　别求一通數可以除盡率中之兩數者〈其一必係第一率其一或第二率或第三率〉即以通數除率數所得數列本率下以代率數乗除如前無通數者則否
　　一率　三十六　三〈此以十二為通數〉
　　二率　四十八　四
　　三率　六十三
　　四率　八十四
　　又式
　　一率　三十六　四〈此以九為通數〉
　　二率　四十八
　　三率　六十三　七
　　四率　八十四
　　三率易位乗除法　前法以原銀原米相連置一二率而今銀置三率葢以二率視四率猶以一率視三率三率視四率亦猶一率視二率其數可例推也若如左例原珠數多其價數反少今珠數少其價數反多必以一率與三率互換其位而後三率之視四率亦猶一率之視二率矣乗除如前得所求數舊名同乗異除〈若如前置率則當以一率二率相乗以三率除之〉　假如原有小珠五十顆今有珠稍大三十顆其總重適等原珠共價銀一十二兩問今價幾何
　　一率　今珠三十顆　三〈以十為通數〉
　　二率　原價十二兩
　　三率原珠五十顆　五
　　四率　二十兩為今價
　　又如有物一枚以稱稱之稱小不及其錘重十兩外加一錘重八兩稱之得三十五斤依小稱算該幾斤一率　原錘十兩　二〈以五為通數〉
　　二率　今重三十五斤　七
　　三率　并兩錘十八兩
　　四率　六十三斤為實重數
　　又如原稱稱物重三十五斤失原錘欲别作錘配之不知輕重却借一錘重十兩以較原稱之物得六十三斤問原錘重
　　一率　原重三十五斤
　　二率　今錘十兩
　　三率　今重六十三斤
　　四率　十八兩為原錘重
　　〈此即前例一率四率相乗而以二率除得三率也〉
　　三率重測法數或繁襍非三率可盡當疊用三率之法次第推之
　　假如原母銀五十兩三月得子銀四兩今母銀二百兩欲得子銀二百兩須幾年
　　一率　原母五十兩
　　二率　原子四兩
　　三率　今母二百兩
　　四率　十六兩為今母三月之子
　　又
　　一率　子十六兩
　　二率　三月
　　三率　子二百兩
　　四率　三十七月二分月之一為所求數
　　右例亦可用并法
　　一率　原子四兩
　　二率　原母乗三月得一百五十兩
　　三率　今須子二百兩
　　四率　七千五百兩為今母乗月之數再以今母除
　　之得月數
　　又如客販布賣之每匹二錢即母銀百兩已得息三十兩設每匹賣二錢四分則百兩獲息幾何
　　一率　已得息并母一百三十兩
　　二率　母一百兩
　　三率　布價二錢化二十分
　　四率　十五分又十三分分之五為每匹母銀别有㨗法應補於後
　　一率　二十分
　　二率　一百三十兩
　　三率　四分
　　四率　二十六兩
　　并三十兩得五十六兩
　　又
　　一率　每匹母十五分又十三之五
　　二率　布價二錢四分内息八分又十三之八三率　母一百兩
　　四率　五十六兩為所求息數
　　又㨗法
　　一率　二十分
　　二率　一百三十兩
　　三率　二十四分
　　四率　一百五十六兩
　　此為母子并數
　　三率并乗并除法數雖繁襍而可歸并入三率之内則以三率盡之
　　假如煉礦求銀初火得三之二再火得七之五又火得四之三凡三火得銀七十五兩問原礦幾何一率　三子相乗得三十
　　二率　三母相乗得八十四
　　三率　煉得銀七十五兩
　　四率　二百一十兩為原礦
　　又如原有綾八匹換紗二十匹原紗三十匹換布一百匹原布六十匹換錦二匹今有綾一十八匹問換錦幾何
　　一率　原綾紗布乗得一萬四千四百
　　二率　原換紗布錦乗得四千匹
　　三率　今綾一十八匹
　　四率　五匹為換錦數
　　乗除先化大小數法　凡數大小雜見不便相乗除則先以大數化為小數假如原有銀六錢買絲七兩今有銀五兩問買絲幾何此因銀數有錢復有兩須化兩為錢其絲自作兩算不必化錢也大凡同類者須化殊類則否〈遇多數取最小數為主以大數化之倣此如一十二兩三錢四分化為一千二百三十四分之類〉
　　一率　六〈原銀錢數〉
　　二率　七〈原絲兩數〉
　　三率　五十〈今銀化為錢數〉
　　四率　五十八又三分之一〈今應得絲兩數〉
　　右例亦可以錢從兩化之而不如前法之㨗
　　一率　五分之三〈原銀化為兩數〉
　　二率　七〈原絲兩數〉
　　三率　五〈今銀兩數〉
　　四率　五十八又三分之一〈得絲兩數同前〉
　　又如原銀六錢二分五釐買絲七兩今銀一百三十二兩問買絲幾何此若以大數化小則原銀今銀當悉化為釐而原銀數固可以兩命分又不如從兩化之為便所貴乎隨宜通變者也〈因今銀是以兩計而化之非為絲以兩計也〉
　　一率　八分之五〈原銀化為兩數〉
　　二率　七〈原絲兩數〉
　　三率　一百三十二〈今銀兩數〉
　　四率　一千四百七十八又五分之二〈今應得絲兩數右一條新增〉

　　九章録要卷一



　　欽定四庫全書
　　九章録要卷二
　　松江屠文漪撰
　　零分法
　　几數不能有整而無零分有法以通之則零不異於整也知此而零分皆可相并減相乗除乃能盡九章之術故備論於左
　　竒零命分約法　以法除實除得數為整數餘實少於法除之不可乃成竒零或原實先少於法則無整而但有零矣〈假如以尺計物是亦以法除實也物不滿尺是亦實少於法也〉凡此皆須命分而母子數多者必當約之其法有三一曰以實除法假如法一百六十八實一十四則以實除法適盡得一十二是為一十二分之一也一曰減法除實假如法一百六十八實一百四十則以實減法餘二十八乃以餘法除實適盡得五是為六分之五也一曰以通數並除法實列法實兩數以少減多更互相減至兩數相等即為通數假如法一百六十八實三十五依前互相減得七為通數因以除實盡得五亦以除法盡得二十四是為二十四分之五也又如二百五十分之二百一十約為二十五分之二十一是亦以十為通數也二十四分之一十約為一十二分之五是亦以二為通數也〈前兩法之一十四與二十八亦即是通數之易得者耳葢三法小異而理則同〉亦有不可約者即以法為母實為子命分
　　整帶零分化整為零分法　凡以法除實務得數歸整值餘實少於法不得已而命分乃有整帶零分此固然也而此特謂歸整命分之後其數可定不復與他數相并減相乗除者耳若更有他數須與之相并減相乗除則無論未歸整者且當以法為母實為子而勿急於歸整〈必歸整無零分方可歸整也〉即遇整帶零分已成之數亦必化整為零分何也數或零或整皆可與他數相并減乗除若本數自兼零整則難用整法又難用零分法故必須化之而不能化零為整但可化整為零其法以原母為母以原母乗整得數并原子為子如有數七零五分之三則化為五分之三十八是也
　　零分與整相并法零分并整則成整帶零分矣若更須與他數相并減乗除者亦以原母為母以原母乗整得數并原子為子如前法
　　零分與整相減法　零整相減者法亦以原母為母以原母乗整得數減原子為子如甲數七乙數五分之三相減得五分之三十二是也〈歸整則為六又五分之二〉
　　零分相并法　諸數皆零分欲相并者法以諸母累乗得數為共母以諸子各累乗他母得數為諸子〈本子與本母不相乗　或諸子各乗共母而以本母除之得數為諸子亦可〉乃相并為子假如甲數五分之二乙數七分之四丙數八分之三則以三母累乗得二百八十為共母以甲子累乗乙丙二母得一百一十二為甲子以乙子累乗甲丙二母得一百六十為乙子以丙子累乗甲乙二母得一百零五為丙子并之得三百七十七為子凡得二百八十分之三百七十七是也〈歸整為一又二百八十分之九十七〉
　　右法亦有可省者如甲數五分之四乙數三分之一丙數一十五分之七即以丙母一十五為共母而以甲子乗乙母得一十二為甲子以乙子乗甲母得五為乙子〈丙子即用原數〉并之得二十四為子凡得一十五分之二十四仍約為五分之八是也〈歸整為一又五分之三〉
　　零分相減法　零分相減者依并分法累乗為共母為諸子而減之為子如甲數五分之二乙數七分之四内減丙數八分之三得二百八十分之一百六十七是也
　　零分與整相乗法　零分數整數相乗者以原母為母以原子乗整得數為子如甲數七乙數五分之三相乗得五分之二十一是也〈歸整為四又五分之一〉
　　零分除整法　以零分數為法除整數者以原子為母以原母乗整得數為子如乙數五分之三除甲數七得三分之三十五是也〈歸整為一十一又三分之二〉
　　整除零分法　以整數為法除零分數者以整乗原母得數為母以原子為子如甲數七除乙數五分之三得三十五分之三是也
　　零分相乗法　兩零分數相乗者以兩母相乗得數為母以兩子相乗得數為子如甲數九分之八乙數五分之三相乗得四十五分之二十四仍約為一十五分之八是也〈或兩母同或兩子同者亦必相乗〉
　　右法亦有可省者以兩母相乗以甲子除之為母即竟以乙子為子如右例兩母相乗以乙子除之為母則以甲子為子得一十五分之八不須更約是也
　　零分除零分法　以法除實而法實兩數俱係零分者以法子乗實母得數為母以法母乗實子得數為子如甲數九分之八除乙數五分之三得四十分之二十七是也〈若兩母相同者竟以法子為母實子為子兩子相同者反以實母為母法母為子也〉右法亦有可省者以法子乗實母以法母除之為母即竟以實子為子如甲數九分之八除乙數二十七分之一十三得二十四分之一十三是也
　　零分自乗法　零分數自乗者以母自乗得數為母以子自乗得數為子如有數三分之五自乗得九分之二十五是也〈歸整為二又九分之七〉
　　零分開方法　零分開平方除者以母自開得數為母以子自開得數為子如有數九分之二十五開方得三分之五是也〈歸整為一又三分之二　按此因論零分法而及開方故聊舉大畧而已其詳在少廣章中〉
　　零分求分釐小整數法　實少於法除之不足不能成整而為零分若求分釐小整數則以母除子即得如八分兩之三除得三錢七分五釐一十六分兩之一除得六分二釐五毫是也葢其初以兩計故三不可以八除而析為錢為分釐則可除矣至除盡而止亦有終不可盡者仍當就最後小數命分如七分石之二除得二斗八升五合七勺一抄四撮二圭八粟又七分粟之四是也〈或欲還原子即以原母乗之如八乗三錢七分五釐得三兩為八分兩之三七乗二斗八升五合七勺一抄四撮二圭八粟并七分粟之四得二石為七分石之二是也〉
　　分釐數命分法　據分釐小整數欲以大數命分者法以分釐數依其下最小數化之為子以所用大數亦依最小數化之置一算為母〈其為伯千及萬億則因乎所化之數而只置一算也〉乃以法約之如六錢六分二釐五毫欲以兩命分則以六千六百二十五為子〈六千六百二十五毫也〉以一萬分為母〈一兩為一萬毫也〉乃約為八十分兩之五十三是也亦有不可約者即以所立之母子命分






　　九章録要卷二



　　欽定四庫全書
　　九章録要卷三
　　松江屠文漪撰
　　方田法
　　古九章一曰方田以御田疇界域今其書不𫝊特據所見近世之書芟其繁謬補其缺遺以意隸之云爾
　　方田長方田求積步　方田謂正方四面等者法以方自乗得積長方謂兩長兩廣各等者法以長乗廣
　　方長帶偏斜求積　似方與長方而稍偏斜者長不等則并兩長半之廣不等則并兩廣半之然後以長乗廣如偏斜甚者須裁令方正分别算之勿用此法又有方長田一邊斜者假如東長四十步西長四十一步南廣三十步北廣三十九步於法應得積一千三百九十七步四分步之一也然此乃謂四面俱偏斜者耳若止是西邊一面偏斜則從北廣東頭向西量之盡三十步止即向南直量之其長亦當四十步是田之大體本係長方獨北廣西頭盈九步句九股四十則四十一以斜為西長并東長而半之豈不謬乎法當并兩廣半之以長四十步乗之得積一千三百八十步斯不誤矣
　　三廣求積　三廣謂中及兩邊廣各不等者法倍中廣并入邊兩廣以四除之以中長乗之其中長亦須於兩三處量之如有不等者并而分之以為之長〈并三則三分四則四分〉邊長似斜之處勿量也　按田形不可窮盡善算者以意推之法無預設或贅為四廣五廣之法固已迂矣且其法云四廣并而四除之五廣并而五除之尤甚謬誤四廣須倍其中之兩廣并邊兩廣以六除之五廣須倍其中之三廣并邊兩廣以八除之乃合　又按廣形亦有須辨者如三廣而中廣近一邊不居正中者是也即須分别算之
　　句股求積　法以句乗股半之或以半句乗股或以半股乗句　按句股須量其以互求法推之與法合者是也若太長或太短即以三角算三角法兼可施之勾股勾股法不可施之三角
　　三角求積　法以一面之長乗中廣半之　假如三面長等者是真三角也率長七而中廣六不待量也不然則量中廣處須令如兩句股乃合〈三角率長七中廣六則中廣微强然所較甚微即依率算之可也〉
　　四角斜方求積　法以中長乗中廣半之　假如中廣兩角未必相對則中廣直徑不能與中長如十字矣但各自量之令如四句股者仍并兩句為一中廣以乗中長如上法
　　以上諸形皆屬方之類故長廣必直即遇斜其亦直如有一處彎曲若弧與睂之狀者别從圓之類求之乃無失也
　　員田求積　法以周自乗以十二除之或以徑自乗復以三乗之以四除之或以周乗徑或以半周乗半徑以四除之　按員物率周三而徑一然田員豈能中規其小偏者不妨以規員之法施之但將周徑並量參互折中亦可無誤若偏甚則勿以員論也〈員率周三徑一則周微强然所較甚微亦依率算之〉
　　環田求積　環田謂於員内減員者法并内外周半之以徑乗之半環倣此〈其徑勿據一處慮廣狹不等〉
　　弧矢求積　弧矢謂員田之半若張弓者法并長矢徑半之以矢徑乗之不及員之半者法亦如之過半者勿得用也凡矢徑半是員之半矢長則過矢短則不及〈不及員之半者如縱破長員之半若從而益之有可以成員之理者也過員之半者如横截長員之半無可以成員之理者也弧矢之法詳見少廣章本與員法相㑹合故惟有可員之理者乃得用之〉
　　棗核長員求積　棗核謂兩頭尖中廣處員者長員謂兩頭亦員者法半中廣并入中長以半廣乗之按二者雖不全員然是兩弧合并故其法即弧矢法而倍之也此法亦可施之員田但員法不可施之於此耳〈舊法棗核乃四角斜方　右一條新增〉
　　横截長員求積　形似弧矢而矢徑半有餘者固不可用弧矢法而可以弧矢法變通求之葢横截長員之半與縱破長員之半其積正等此之矢徑乃彼之半此之長乃彼之二矢也法四除并入矢徑以半乗之〈右一條新增〉
　　蛾睂牛角求積　蛾睂謂兩邊之長相隨而彎者牛角則横截蛾睂之半也睂有中廣無横廣角有一頭横廣無中廣其實同耳法并兩長半之以半廣乗之但牛角横廣一頭須畧似方形若太偏斜則横廣未足為準恐據以下算必浮於實積此又不可不知　以上諸形皆屬員之類若應員處乃直者别從方之類求之
　　畝步互求　二百四十乗畝得步二百四十除步得畝


　　九章録要卷三



　　欽定四庫全書
　　九章録要卷四
　　松江屠文漪撰
　　粟米法
　　古九章二曰粟米以御交質變易
　　方倉窖求積尺　法以方自乗復以髙乗之〈窖則當以深乗只言髙者統於倉也深亦髙也〉得積
　　長方倉窖求積　法以長乗廣復以髙乗之
　　員倉窖求積法以員周自乗復以髙乗之以員周率十二除之或以徑自乗復以髙乗之以員徑率三乗之四除之
　　長員倉窖求積　法半中廣并入中長以半廣乗之復以髙乗之〈此法亦可用之員倉窖而員法不可用之長員　右一條新增〉
　　方平堆求積〈凡窖形上下之大小不等者亦倣此法下三條同〉　法以上方自乗又以下方自乗又以上方乗下方并三數以髙乗之以三除之〈因并三數故須三除也〉
　　長方平堆求積　法倍上長加下長以上廣乗之又倍下長加上長以下廣乗之并二數以髙乗之以六除之〈并二數中凡有六數故用六除此法亦可用之方平堆也〉
　　員平堆求積　法以上周自乗又以下周自乗又以上周乗下周并三數以髙乗之以三十六除之〈并三數應三除員周率十二除故用三十六除也〉
　　或以上徑自乗又以下徑自乗又以上徑乗下徑并三數以髙乗之以四除之〈并三數應三除員徑率三乗四除以三乗當三除並省之故只用四除也〉
　　長員平堆求積　法先半中廣并入中長以為長半中廣以為廣〈上下之中廣中長俱依此法並不用原廣原長〉然後倍上長加下長以上廣乗之又倍下長加上長以下廣乗之并二數以髙乗之以六除之〈此法亦可用之員平堆而不如前法之捷　右一條新增〉
　　方尖堆求積　法以下方自乗復以髙乗之以尖率三除之
　　長方尖堆求積法以下廣乗下長復以髙乗之以尖率三除之〈右一條新增〉
　　長方平尖堆求積〈既云尖又云平者無上廣而有上長従横頭視之則尖從縱之旁面視之則平故曰平尖〉　法倍下長加上長以下廣乗之復以髙乗之以六除之〈此用六除者何也試從上長兩頭盡處向下直截之而以兩頭合成尖堆别算其義自見葢下長多於上長之數乃尖堆之下長所當以下廣乗之而用尖率三除者也其與上長相等之下長所當以下廣乗之而折半者也今既統下長之全數而倍之則為尖堆之下長者有二二用六除猶一用三除也為上長相等之下長亦二又加上長成三三用六除猶一用折半也〉
　　按此與平堆異者以其無上廣故用平堆法之半而亦以六除之此與尖堆異者以其有上長而尖堆既無上長可加則但倍下長以乗下廣以六除之於法亦通乃知數之相準而法之可以相推有如此者〈右一條新增〉
　　員尖堆求積法以下周自乗復以髙乗之以員周率并尖率三十六除之〈員周率十二尖率三故其率三十六〉或以下徑自乗復以髙乗之以員徑率并尖率四除之〈尖率應三除員徑率三乗四除亦以三乗三除相當省之故只用四除〉
　　長員尖堆求積　法半下中廣并入中長以半廣乗之復以髙乗之以尖率三除之〈右一條新增〉
　　倚壁員尖堆求積　員尖之半也法以下周自乗復以髙乗之以倚壁率十八除之
　　内角員尖堆求積　員尖四之一也法以下周自乗復以髙乗之以内角率九除之
　　外角員尖堆求積　員尖四之三也法以下周自乗復以髙乗之以外角率二十七除之
　　按右三條算家沿習有此然必先取周徑較量果恰得員尖二之一四之一四之三而後其法可施耳如或不然則當以長員法及尖堆率參酌求之又方尖亦宜有倚壁内外角之法通於算理者自可意推也凡平堆尖堆法所云以髙乗之者並指直髙而言
　　非謂斜髙也如直髙不便量者量斜髙以求直髙而算之〈法見商功章〉　又凡平堆尖堆斜髙之處雖不據以立算然亦必如句股之乃合於法彎曲者則否
　　方倉以積與方求髙與髙求方　法以方自乗數除積得髙以髙除積開方得方
　　長方倉以積及髙與廣求長與長求廣　法以髙長相乗數除積得廣以髙廣相乗數除積得長〈若以積與長廣求髙其理易見不復贅〉
　　員倉以積與周徑求髙與髙求周徑　算周者以員周率十二乗積算徑者以員徑率四乗三除積乃用方倉法
　　長員倉以積及髙與廣求長與長求廣　法以髙與半廣相乗數除積減半廣得長以髙除積以長為帶縱開平方除之得半廣倍之得廣〈其方員長方員尖堆但加尖率三乗餘並同上四法不復贅〉
　　方平堆以積及髙與上方求下方與下方求上方　法以三乗積以髙除之乃減上方自乗數以上方為帶縱開平方除之得下方減下方自乗數以下方為帶縱開平方除之得上方
　　員平堆以積及髙與上周徑求下周徑與下周徑求上周徑　算周者以三十六乗積算徑者以四乗積並再以髙除之乃減上周自乗數以上周為帶縱開平方除之得下周餘倣此
　　石尺互求　舊法立方二尺五寸為一石〈立方一尺者二有半也〉故以二又二之一乗石得尺以二又二之一除尺得石然斛尺各隨時地不同須臨算較量損益其法未可一概也
　　竹席圍米求積　假如竹席大小相等原用兩席合作圍貯米二十石今用三席合作圍問貯米幾何法以原席二自乗得四為一率原米石數為二率今席三自乗得九為三率求得四率四十五為今貯米石數



　　九章録要卷四
<子部,天文算法類,算書之屬,九章錄要>



　　欽定四庫全書
　　九章録要卷五
　　松江屠文漪撰
　　差分法
　　古九章三曰差分亦曰衰分以御貴賤廩税
　　一分遞加減衰分〈以最少者一分之數遞加成多若從多者遞減則減至最少者而減盡也〉法以一為首衰〈從少者起算〉自一而二而三四遞加為各等衰并之為總衰以為一率總實為二率各等衰為三率求得四率即各等數
　　假如有銀七十二兩甲乙丙丁戊五人以一分遞加減分之問各幾何
　　一率　一十五〈總衰　衰分章三率法獨有宜先以一率除二率者〉二率　七十二〈總實　一率除二率得四兩八錢〉
　　三率　五〈甲衰〉四〈乙〉　三〈丙〉　二〈丁〉　一〈戊〉
　　四率　〈二十　一十九一十四九兩　四兩四兩　兩二錢兩四錢六錢　八錢〉
　　右各等中倘復各自有數不齊者先以各衰乗之為各總衰然後并為大總衰
　　假如有糧二千四百石甲乙丙丁四等户依前例輸之甲等二十户乙等三十户丙等四十户丁等五十户則以甲衰四乙衰三丙衰二丁衰一各乗本等户數為各總衰甲得八十乙九十丙八十丁五十并三百為大總衰列一二率如前若以各總衰為三率即得各等總數以各衰為三率即得各等每户數〈以下諸法倣此〉
　　減半衰分〈乙當甲之半丙又當乙之半也〉　法以一為首衰自一而二乗之又二乗之為各等衰〈以一二乗得二以二二乗得四并之得七餘倣此〉列率乗除如前
　　二八衰分〈甲視乙為八與二乙視丙又為八與二也〉　法以二為首衰自二而四乗之又四乗之為各等衰〈以二四乗得八以八四乗得三十二并之得四十二餘倣此〉列率乗除如前
　　四六衰分〈同上〉　法以四為首衰自四而六乗之四除之又六乗四除之或以一又二之一乗之亦同為各等衰〈以四六乗四除得六以六六乗四除得九并之得一十九餘倣此〉乗除如前
　　三七衰分〈同上〉　法以三為首衰自三而七乗之三除之又七乗三除之為各等衰〈以三七乗三除得七以七七乗三除得一十六又三分之一并之得二十六又三之一餘倣此〉乗除如前或厭零分多者就首衰之數以三乗之法通之如甲乙二等衰分不必言如甲乙丙三等衰則三乗首衰之三得九為首衰甲乙丙丁四等衰則又三乗九得二十七為首衰甲乙丙丁戊五等衰則又三乗二十七得八十一為首衰〈每多一等則首衰多三乗一番〉既增廣其首衰然後用七乗三除以求各等之衰可以省零分矣
　　十分之六遞減衰分　法以一為首衰〈此從多者起算所謂首衰之一亦與前一為首衰者不同前一只是一數此則無定之數也〉遇二等衰則為一十三等衰則為一百四等衰則為一千以為首衰乃自一而六乗之十除之又六乗十除之為各等衰〈以一百六乗十除得六十以六十六乗十除得三十六并之得一百九十六餘倣此〉乗除如前凡十分之七或八九諸數遞減衰分俱準此推之不别為法以滋繁瑣
　　減半二八四六三七十分之六各衰分以首尾二數求總實減半衰分亦名倍加衰分葢言其自多而少則曰減半言其自少而多則曰倍加亦曰二乗加二八衰分是四乗加也四六衰分是一又二之一乗加也〈零分法一又二之一化為二之三乃用子乗母除則當三乗二除猶之六乗四除也〉三七衰分是二又三之一乗加也〈零分法二又三之一化為三之七乃用子乗母除亦是七乗三除也〉十分之六遞減衰分是一又三之二乗加也〈零分法一又三之二化為三之五乃用子乗母除則當五乗三除猶之十乗六除以此遞加與六乗十除遞減同耳〉以上所云幾乗加者但取衰分之數以少除多即得之〈假如三七衰分以三除七得二又三之一十分之六衰分以六除十得一又三之二即所云幾乗加也〉若各衰分止舉首尾二等最少最多之數問總實幾何者不必論其中間分作幾等但以首尾數多少相減減餘以原乗數減一數為法而除之〈假如原係四乗加者以三除之原係一又二之一乗加者以二之一除之原係二又三之一乗加者以一又三之一除之原係二乗加者以一除之一除固可不必除然於法不容沒此一除恐似别為一法也〉即得最少以至次多諸等之總實以并最多數即得全總實
　　右例以原乗數減一數為除法亦不必求原乗數而減之但以衰分之數多少相減減餘以少數除之即得除法〈假如三七衰分三七相減餘四以三除四得一又三之一十分之六衰分十六相減餘四以六除四得三之二與原乗數減一數同　右一條新訂〉
　　減半二八四六三七十分之六各衰分求隔等數不論幾乗加但知首等最少之數再知中間一等之數即可隔等而求之假如知首等數與第六等數者第六等數已經五度加矣則以此數自乗以首等數除之即得十度加之數〈倍五為十也凡自乗者以倍相求　十度加乃是第十一等〉若以六度加之數〈第七等〉自乗以首等數除之即得十二度加之數〈第十三等〉若以五度加六度加之數相乗以首等數除之即得十一度加之數〈五六并為十一也凡二等數相乗者并而求之　十一度加是第十二等〉若以三度加〈第四等〉八度加〈第九等〉之數相乗以首等數除之亦得十一度加之數此謂以少求多者或以多求少如以十六度加之數〈第十七等〉以首等數乗之開方除之即得八度加之數亦可以十六度加之數以首等數乗之以十度加之數除之得六度加之數葢取以少求多之法而反用之即是也〈右一條新訂〉
　　右求總實求隔等數二法凡三乗加五乗加及十分之七之八之九諸數遞減衰分準此推之無不悉合但必每等止一人者乃可用耳又如商販獲息當母二之一并入母銀又獲息每度皆同此亦一又二之一乗加也但每度加之數俱合子母而言則當以最後一度之數為總實不得并諸度之數為總實且首一數即係原母則一度自有一度之加與甲乙分金十等人止須九度加者亦微有辨也
　　合率衰分　率者衰分多寡之大率也〈與三率之率自不相涉各有取義也〉葢衰分各等之實數有所未知而各等之大率已知因合各率以與總實相權而衰分得焉不計其合未有能分者也然則以前諸法無非合率衰分而此獨以合率名者何也前諸法若三七若四六皆有準則固宜各有専名而如左法各等多寡之率初不以三七四六為準乃不可専名而獨名之合率也各率為各衰并之為總衰乗除如前假如有銀二百四十兩甲乙丙丁四人分之甲得九分乙得七分丙得五分丁得四分則甲衰九乙衰七丙衰五丁衰四并之為二十五為總衰也其各等中又各有數不齊者亦依前法兹仍具例於左以備參觀
　　假如有銀七兩零八分欲買銅一停錫二停鉛三停其價銅每斤一錢八分錫一錢三分鉛五分問三物各幾何
　　一率　五十九〈總衰　　一銅價二錫價三鉛價并〉
　　二率　七百零八〈總價　一率除二率得一十二〉
　　三率　一〈銅衰〉　　二〈錫〉　　　三〈鉛〉
　　四率　一十二〈銅斤數〉二十四〈錫〉　三十六〈鉛〉
　　右總衰總價俱化兩錢為分者既得三物斤數各以價乗之得各總價數或以銅總衰一十八分錫總衰二十六分鉛總衰一十五分為三率即先得各總價乃各以價除之亦得各斤數
　　又如有銀五百九十四兩糴米一停麥二停豆三停共三百九十六石其價米一石抵麥一石六斗抵豆二石問三物及價各幾何此須用重測法先以米衰一麥衰二豆衰三并之得六為總衰為一率三物共石數為二率各衰為三率求得三物各石數〈米六十六麥一百三十二豆一百九十八〉然後别求各價其法置三物停數以三物相當抵之數乗除之或益貴物以從賤則用乗或減賤物以從貴則用除以為各衰仍并之為總衰為一率三物共價為二率各衰為三率求得三物各總價乃以前所求三物各石數除之即得每石價〈米二兩四錢麥一兩五錢豆一兩二錢〉
　　一率　三又四之三〈總衰〉
　　二率　五百九十四〈總價兩數　一率除二率得一百五十八又五之二〉三率　一〈米衰〉　一又四之一〈麥〉　一又二之一〈豆〉四率　〈一百五十八　一百九十　二百三十七兩四錢米　　八兩麥　　兩六錢豆〉右以米為主而減麥與豆以從之米衰一得一麥衰二以一又五之三除之〈即一六也米一抵麥一六故〉得一又四之一豆衰三以二除之〈米一抵豆二故〉得一又二之一并之得三又四之三
　　又式
　　一率　七又二之一〈總衰〉
　　二率　五百九十四〈總價　一率除二率得七十九又五之一〉
　　三率　二〈米衰〉　二又二之一〈麥〉　三〈豆〉
　　四率
　　右以豆為主而益米與麥以從之豆衰三得三米衰一以二乗之得二麥衰二以一又五之三除之〈先除以從米〉再以二乗之〈次乗以從豆〉得二又二之一并之得七又二之一
　　又式
　　一率　六〈總衰〉
　　二率　五百九十四〈總價　一率除二率得九十九〉
　　三率　一又五之三〈米衰〉二〈麥〉二又五之二〈豆〉四率
　　右以麥為主而益米減豆以從之麥衰二得二米衰一以一又五之三乗之得一又五之三豆衰三以二除之〈先除以從米〉次以一又五之三乗之〈次乗以從麥〉得二又五之二并之得六
　　右例或不復用米一麥二豆三等衰但就三物各石數而取一數為主其餘則益貴減賤以從之為總衰以除總價即得其物每石之價依法復損益之得餘二物每石之價如以米為主米六十六麥一百三十二以一又五之三除之得八十二又二之一豆一百九十八以二除之得九十九并之得二百四十七又二之一以除總價得二兩四錢即米每石價也仍以一又五之三除之得麥價以二除之得豆價若以麥豆為主法並倣此〈右一條新訂〉
　　合率帶分母子衰分　合率衰分其間等差各帶母子分數者自有帶分之法假如有銀七百九十五兩甲乙丙丁四人分之乙得甲十之七丙得乙十四之三丁得丙十二之十一問各實數幾何其法先并各衰分數并各子以乗各母從小數并起惟丁衰十一無并其丙衰係十二又係三則以十二并三用三除十二得四即以四乗乙之十四得五十六為乙衰乙係五十六又係七則以五十六并七用七除五十六得八即以八乗甲之十得八十為甲衰并之得一百五十九為總衰
　　一率　一百五十九〈總衰〉
　　二率　七百九十五〈總銀　一率除二率得五〉
　　三率　八十〈甲衰〉五十六〈乙〉十二〈丙〉十一〈丁〉
　　四率　四百　　二百八十　六十　五十五右法或遇不可并者如云丁得丙十三之十一則丙衰係十三又係三欲以十三并三用三除十三除之不盡即不用除却以十三乗乙之十四得一百八十二為乙衰依法推得二百六十為甲衰其丙之十三丁之十一轉須用三乗之以為衰丙得三十九丁得三十三也
　　合率帶分匿總實以較求衰分　假如四人分銀不知總實但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之一十七其丙與丁差四兩問各幾何此三母皆甲也用并母法累乗得五百七十六為甲衰乃以乙丙丁之原子乗之原母除之以求其子而得四百八十為乙衰四百三十二為丙衰四百零八為丁衰以丙丁二衰之較為一率丙丁之較為二率各衰為三率〈不用約法覽之易曉〉
　　一率　二十四
　　二率　四
　　三率　五百七十六〈甲〉四百八十乙四百三十二〈丙〉四百八〈丁〉四率　　九十六　八十　　　七十二　　六十八右例帶分與前例母子不同其法互見而可相通前亦可以較求分此亦可以總實求分也又凡以前諸衰分法若匿其總實任舉一等所得之數或兩等所差之數皆可倣二例而求之
　　合率帶分匿總實以餘實求分　假如四人分銀不知總實但云甲得八之三乙得四之一丙得五之一丁得六之一尚餘五兩問各幾何此四母皆銀也用并母法得九百六十為總衰乃以甲乙丙丁之原子乗之原母除之而得三百六十為甲衰二百四十為乙衰一百九十二為丙衰一百六十為丁衰以四衰減總衰餘八為餘銀之衰為一率餘銀為二率各衰為三率〈率式不贅但求得總實即得各分數矣〉
　　右例四母皆據總實言之故可以餘實求總實求分若以前諸衰分法不可以餘實求也
　　右例亦可任舉兩等所得之較以求之〈又右二例俱可用借徵法葢用并分法亦借衰也〉
　　一數遞加減衰分以等求總實〈與一分遞加減相類而不同者一分為不定之數一數則一而已又自此以下及同較衰分共十法皆謂每等只一人者與以前諸法自别〉凡一數遞加自一而二而三四此不難於衰分須求總實㨗法耳假如欲分十五等問總實幾何法以首等一〈以少者為首〉并末等十五〈等十五則末等所得數亦十五也〉得十六以等數乗之折半得一百二十為總實又如有物倚牆一面尖堆下廣二十四枚以首層一并下層二十四得二十五以層數〈即下廣數〉乗之折半得三百為總積〈前一分遞加法若每等只一人者亦可用此以求總實但依法所得數須更以較數乗之方得總實若未經較數相乗止得總衰而非總實也假如每一分銀四兩遞加分十五等依法得一百二十為總衰更以每等之較四乗之得四百八十為總實也〉
　　一數遞加減衰分以總實求等　假如總實一百二十以一數遞加分之得幾等法倍實開方除之得十五而餘實亦十五即十五是等數又如總積物三百欲作倚牆一面尖堆倍積開方得二十四而餘實亦二十四即二十四是下廣數〈前一分遞加法若每等只一人者亦可用此以求等數但須先以每等之較數為法除實而後依上法求之假如銀四百八十兩每一分四兩遞加分之則先以較四除實得一百二十乃依法求得十五為等數也〉
　　右二法謂首等數起於一者故比之倚牆一面尖堆若不從一數起即各等俱以一數遞加但謂之同較衰分不在此例如倚牆一面平堆每層亦俱較一而當依同較衰分法也〈前一分遞加衰分亦謂首等所得之一分同於各等所差之一分也如其不然即是同較衰分矣〉
　　又右二法不可用之同較衰分而下同較諸法〈凡七法〉則可用之一數遞加衰分也〈亦可用之一分遞加之每等只一人者　右一條新增〉
　　同較衰分〈不論較數幾何但甲乙之較乙丙之較丙丁之較各等俱同者是也〉
　　假如總實九十九作十一等分之各等俱較一數問各幾何法以等數減一存十與等數相乗折半得五十五以較一乗之仍得五十五〈較一則乗猶不乗也而於法不可無此一乗者為較不止於一者而設也〉以減總實餘四十四以等數除之得四為首等數或以并總實得一百五十四以等數除之得十四為末等數餘以次推之
　　同較衰分以等及較與首數求尾數與尾數求首數求總實　如前例十一等每等各較一法以等數減一存十以較一乗之仍得十并首數四得尾數減尾數十四得首數并首尾數以等數乗之折半得總實
　　同較衰分以較與首尾數求等求總實　法以首尾數相減得首尾較以較除之加一數得等數如前法求總實
　　同較衰分以總實及較與首尾和求等求分　法以首尾和折半為法除總實得等數即以等數減一乗較數得首尾較和較相減半之得首數相并半之得尾數
　　同較衰分以總實及等與首尾較求較求分　法倍總實以等數除之得首尾和如前法求之再以等數減一除首尾較得各較
　　同較衰分以總實及等與首幾等和或尾幾等和求較求分〈言或者首尾不必並舉〉法以帶和之等數乗總實以全等數除之〈所得數乃首尾幾等應得均平之數也因衰分而多少不均近尾者必盈近首者必不足而此盈彼不足其數必相當故下但云與和相減而不必問其首尾也〉與和數相減減餘以帶和之等數折半為法除之再以全等數減帶和等數為法除之得各較〈右一條新增〉
　　同較衰分以等與首幾等和尾幾等和求較求分求總實　假如甲乙丙丁戊己庚辛八人分銀甲乙丙三人共一百一十一兩庚辛二人共四十一兩問各較幾何各分幾何總實幾何法以三互乗四十一得一百二十三以二互乗一百一十一得二百二十二相減餘九十九又以二三相并得五折半為二又二之一以減人數總八餘五又二之一又以二三相乗得六以乗五又二之一得三十三為法以除九十九得三為各較數乃以甲乙丙和三除之得乙數加較得甲數減較得丙數或以庚辛和并較半之得庚數減較半之得辛數次求丁戊已數并八數為總實〈右例但取首尾並舉而或舉首尾各二人或各三人或各四人或首三人尾五人或首七人尾一人任意多寡於法皆通即總數滿百人而但舉首尾兩三人亦無不可也〉
　　同較衰分令多寡齊數法　假如有銀二百七十兩作甲乙丙丁戊五等分之甲乙二人數與丙丁戊三人數齊問各幾何法如一分遞加減列衰甲五乙四丙三丁二戊一乃并甲乙衰得九并丙丁戊衰得六相減較三以二人三人相減之較一為法除之仍得三〈較一則亦不必除而言除者為較有不止於一者也〉却於五等衰各加三數為各衰并之為總衰列三率求之
　　一率　三十〈總衰〉
　　二率　二百七十〈總實　一率除二率得九〉
　　三率　八〈甲衰〉七〈乙〉　六〈丙〉　五〈丁〉　四〈戊〉
　　四率　七十二　六十三　五十四　四十五　三十六又如有銀七十兩作甲乙丙丁戊已庚七人分之甲乙二人數與丙丁戊已庚五人數齊問各幾何法列衰甲七乙六丙五丁四戊三已二庚一并甲乙衰得十三并丙丁戊已庚衰得十五相減較二而此乃五人之數多於二人與前二人之數多於三人者不同亦以二人五人相減之較三為法除之得三之二却於五等衰各減三之二為各衰并為總衰如前求之一率　二十三又三之一〈總衰〉
　　二率　七十〈總實　一率除二率得三〉


　　按一數遞加一分遞加衰分只三人甲數與乙丙數齊而餘皆不能故此法獨不可以相通也
　　同較衰分又法　前同較衰分八法皆謂每等只一人者據實與等與較及首尾數更互相求於法止可每等一人耳但欲衰分則雖每等之中復有人數多寡不齊非無法以分之　假如銀三百二十四兩甲乙丙丁四等人分之每等較三兩甲等二人乙等四人丙等六人丁等十人問各幾何法以較三乗乙四人得十二倍較為六乗丙六人得三十六三乗較為九乗丁十人得九十并之得一百三十八以并總實得四百六十二以甲乙丙丁總二十二人除之得二十一為甲等一人所得數遞減較得各等數〈右一條新增或以較三乗丙六人較六乗乙四人較九乗甲二人并得六十減總實得二百六十四除得十二為丁等數〉
　　母子差分〈此謂商賈以母銀得息非帶分之母子也〉假如三商共得子銀四百兩甲母三百兩經十箇月乙母六百兩丙母八百兩俱不知月其子銀則甲得二百兩乙得一百二十兩丙得八十兩問乙丙出母銀經幾月
　　一率　二百〈甲子〉
　　二率　三千〈甲母乗月數〉
　　三率　一百二十〈乙子〉　八十〈丙子〉
　　四率　一千八百〈乙母兼月數〉　一千二百〈丙母兼月數〉各再以母除得月數乙得三丙得一又二之一
　　又如三商共得子銀一百三十八兩甲出母二百兩經十二月乙母二百四十兩不知月丙經十箇月不知母其子銀則甲得六十乙得四十八丙得三十問乙月丙母
　　一率　六十〈甲子〉
　　二率　二千四百〈甲母乗月數〉
　　三率　四十八〈乙子〉　　　三十〈丙子〉
　　四率　一千九百二十〈乙母兼月數〉一千二百〈丙母兼月數
　　乙再以母除　　　丙再以月除得得八月　　　　　一百二十兩〉
　　又如三商共得子銀一千五百二十兩甲母一千八十兩乙母三百六十兩丙不知母其子銀則丙得二百四十兩問甲乙各子及丙母
　　一率　一千四百四十〈甲乙共母〉
　　二率　一千二百八十〈總子減丙子得甲乙共子〉
　　三率　一千八十〈甲母〉三百六十〈乙母〉
　　四率　九百六十〈甲子〉三百二十〈乙子〉
　　又
　　一率　一千二百八十〈甲乙共子〉
　　二率　一千四百四十〈甲乙共母〉
　　三率　二百四十〈丙子〉
　　四率　二百七十〈丙母〉
　　又如二商共得子銀一百兩甲母倍於乙外又一十五兩其子銀則甲得六十八兩乙得三十二兩問甲乙母各幾何
　　一率　四〈甲子倍乙外又盈此數〉
　　二率　十五〈甲母倍乙外又盈此數〉
　　三率　六十八〈甲子〉　三十二〈乙子〉
　　四率　二百五十五〈甲母〉一百二十〈乙母〉
　　貴賤差分　法以貴價乗總物數與總價數相減餘以貴賤價較數為法除之得賤物數或以賤價乗總物數與總價數相減餘以價較數為法除之得貴物數假如米每石價二兩麥每石價一兩六錢總銀七十四兩買米麥共四十石問各幾何法以米價乗總石數得八十減總價得六以米麥價較五分兩之二為法除之得一十五是麥石數餘為米石數或先求米石數亦可
　　又如上酒每斗價錢三百次酒每斗價二百二十今欲襍和二酒立價二百五十問一斗内上酒幾何次酒幾何法以上酒價減立價餘五十以上次價較八十為法除之得八分斗之五為次酒餘八分斗之三為上酒也或以次酒價減立價算之先得上酒數亦同
　　匿價差分　假如總銀八百兩買綾一百匹羅二百匹絹二百匹其價綾比羅每匹多六錢羅比絹每匹多八錢問三物各價幾何法以羅二百匹乗羅絹價較得一百六十兩以綾一百匹乗綾羅羅絹二價較得一百四十兩并之得三百兩以減總價得五百兩以總匹數五百除之得一兩為絹每匹價以次推得綾羅價或以羅二百匹乗綾羅價較得一百二十兩以絹二百匹乗綾羅羅絹二價較得二百八十兩并之得四百兩以并總價得一千二百兩以總匹數五百除之得二兩四錢為綾每匹價又或先求羅價亦可又如米十四石麥十八石兩總價適等但云米每石價多於麥三錢六分問二物各價幾何法以米麥石數較四除價較得九分以麥數十八乗之得米每石價以米數十四乗之得麥每石價
　　又如金九塊銀十一塊其總重適等交換一塊則金輕十三兩問金銀各塊重法以輕重較十三兩折半得六兩五錢以金銀塊數較二除之得三兩二錢五分以銀數十一乗之得金每塊重以金數九乗之得銀每塊重〈此與上米麥例同惟折半不同耳葢輕重交換較二實止較一故須折也〉
　　襍差分法　假如出兵大小船數相等大船每三隻載五百名小船每四隻載三百名共載兵四千三百五十名問大小船各幾隻各總載兵幾何
　　一率　二千九百〈三隻五百名四隻三百名互乗并得兵數為兵總衰〉
　　二率　一十二〈三隻四隻相乗船數為大小船各衰〉
　　三率　四千三百五十〈總兵數〉
　　四率　一十八〈大小船各數〉
　　次求大小船各總載兵數
　　一率　三　　　　　四
　　二率　五百　　　　三百
　　三率　一十八　　　一十八
　　四率　三千〈大船總載兵數〉　一千三百五十〈小船總載兵數〉右例亦可先求大小船各總載兵數
　　一率　二千九百〈三隻五百名四隻三百名互乗并得兵數為兵總衰〉
　　二率　四千三百五十〈總兵數〉
　　三率　二千〈四隻互乗五百名為大船兵衰〉　九百〈三隻互乗三百名為小船兵衰〉
　　四率　三千　　　　一千三百五十
　　次求大小船各數
　　一率　五百　　　　三百
　　二率　三　　　　　四
　　三率　三千　　　　一千三百五十
　　四率　一十八　　　一十八
　　又如出兵左右營兵數相等左營用大船每三隻載五百名右營用小船每四隻載三百名共用船一百七十四隻問左右營兵各幾何各總用船幾隻一率　二千九百〈三隻五百名四隻三百名互乗并得船數約為二十九〉二率　一十五萬〈五百三百相乗兵數約為一千五百　以百為通數〉
　　三率　一百七十四〈總船數〉
　　四率　九千〈左右營各兵數〉
　　次求各總用船數
　　一率　五百　　　　　三百
　　二率　三　　　　　　四
　　三率　九千　　　　　九千
　　四率　五十四〈左營用大船數〉　一百二十〈右營用小船數〉
　　右例亦可先求大小船各總數
　　一率　二千九百〈三隻五百四隻三百互乗并得船數為船總衰約為二十九〉二率　一百七十四〈總船數〉
　　三率　九百〈三百互乗三隻為大船衰約為九〉　二千〈五百互乘四隻為小船衰約為二十〉
　　四率　五十四　　　　一百二十
　　次求各總載兵數
　　一率　三　　　　四
　　二率　五百　　　三百
　　三率　五十四　　一百二十
　　四率　九千　　　九千
　　又如犒師每二十四名給牛一頭每五名給羊一頭共用牛羊一千七百四十頭問兵幾何牛羊各幾何一率　二十九〈二十四名一頭五名一頭互乗并得牛羊數〉
　　二率　一百二十〈二十四名五名相乗兵數〉
　　三率　一千七百四十〈牛羊總數〉
　　四率　七千二百〈兵數〉
　　次求牛羊各總數
　　一率　二十四　　　五
　　二率　一　　　　　一
　　三率　七千二百　　七千二百
　　四率　三百〈牛數〉　　一千四百四十〈羊數〉
　　右例初測第一率不必互乗直以五與二十四并得二十九再測不必列第二率直以二十四與五除兵數即得牛與羊各總數而立法必如是者葢此例與前二例本同一法若從簡省乃似别為一法而學者反惑也
　　右例亦可先求牛羊各數
　　一率　二十九〈如前互乗并得牛羊數為牛羊總衰〉
　　二率　一千七百四十〈牛羊總數〉
　　三率　五〈五名互乗一頭為牛衰〉二十四〈二十四名互乗一頭為羊衰〉
　　四率　三百　　　　一千四百四十
　　次求兵數如前二例不復贅　又按右例謂兵既給牛又給羊者不然則給牛之兵與給羊之兵數等者若兩營兵一給牛一給羊牛羊數等而兩營兵數不等乃舉兩營兵總數問兩營各數及牛羊數〈依上以一千七百四十為兵總數餘並同〉則以二十九為一率以一為二率〈一與一相乗仍得一也〉以一千七百四十為三率求得六十為四率為牛羊各數又或先求兩營兵各數則以二十九為兵總衰為一率一千七百四十為二率二十四為給牛兵衰五為給羊兵衰為三率求得一千四百四十與三百為四率為給牛與給羊兵各數也㕘觀前諸例其法自備不復詳列
　　又如賞軍毎馬兵五名給紬三匹毎歩兵四名給布六匹總計馬歩兵共八千一百名給紬布共九千匹問馬歩兵各幾何紬布各幾何此與前例不同葢馬兵與步兵數既不等紬與布數又不等也法以馬兵五名紬三匹歩兵四名布六匹互乗得數相減餘一十八為法别以馬兵五名紬三匹馬步總八千一百名紬布總九千匹互乗得數相減餘二萬零七百以法除之得一千一百五十為步兵及布衰乃以步兵四名乗之得步兵總四千六百名以布六匹乗之得布總六千九百匹其餘則馬兵及紬總數也或以步兵四名布六匹馬步總八千一百名紬布總九千匹互乗得數相減餘一萬二千六百以法除之得七百為馬兵及紬衰乃以馬兵五名乗之得馬兵總三千五百名以紬三匹乗之得紬總二千一百匹其餘則步兵及布總數
　　又如大船四櫓四槳小船二櫓八槳今但見總作櫓一百張槳二百零八張問大小船各幾何法以四櫓四槳二櫓八槳互乗得數相減餘二十四為法别以大船四櫓四槳總一百櫓二百零八槳互乗得數相減餘四百三十二以法除之得一十八為小船數或以小船二櫓八槳總一百櫓二百零八槳互乗得數相減餘三百八十四以法除之得一十六為大船數右例與前賞馬步兵紬布例同前馬兵及紬衰步兵及布衰在此即大小船各數也〈右一條新訂〉
　　又如漏壺一具上有渇烏注水三時而滿下有天池洩水八時而盡今且注且洩問幾時可滿一壺〈法先求一時所注所洩之數〉
　　一率　三時　　　　　　八時
　　二率　一壺　　　　　　一壺
　　三率　一時　　　　　　一時
　　四率　三分壺之一〈注〉　　八分壺之一〈洩〉
　　次以一時所注所洩相減餘為一時所注之數而求全壺滿時
　　一率　二十四分壺之五
　　二率　一時
　　三率　一壺
　　四率　四時又五分時之四
　　又如依前三時注水滿一壺八時洩水盡一壺且注且洩問五時又三分時之一可滿幾何法先求一時所注所洩之數置率如前次以一時所注所洩相減餘為一時所注之數而求五時又三分時之一所注之數
　　一率　一時
　　二率　二十四分壺之五
　　三率　五時又三分時之一
　　四率　一壺又九分壺之一
　　又如漏壺一具下開三孔洩水大孔四時盡一壺次六時而盡又次十二時而盡若三孔俱開則一壺須幾時盡法以三孔一時所洩之數并而計之知一時泄二分壺之一則二時盡一壺
　　一率　四時　　　六時　　　十二時
　　二率　一壺
　　三率　一時
　　四率　〈四分壺　　六分壺　　十二分之一　　　之一　　　壺之一〉
　　右例或以最小孔十二時為主求餘二孔所注之數乃并而計之知十二時盡幾壺則知幾時盡一壺〈或以中孔六時為主亦同〉
　　一率　四時　　　六時
　　二率　一壺
　　三率　十二時
　　四率　三壺　　　二壺
　　又如甲乙銀各不知數取乙九兩與甲即甲倍多於乙取甲七兩與乙則甲乙正等問各幾何法以乙與甲九兩甲與乙七兩并之得十六兩倍之得三十二兩是倍多之數即以三十二兩為乙衰幷未與甲九兩得乙數四十一兩以六十四兩為甲衰減未得乙九兩得甲數五十五兩〈右一條新訂〉
　　又如甲乙銀不知數取乙四兩與甲即甲多於乙二之一乙二而甲三也取甲七兩與乙則甲乙等問各幾何法如前并而倍之得二十二兩是二之一多數即以四十四兩為乙衰六十六兩為甲衰依前求得乙數四十八甲數六十二〈右一條新訂〉
　　又如商販不知其母但云每度俱獲倍息〈母一得子亦一〉即於中用銀三百兩如是三度子母俱盡問原母幾何凡倍上加倍者率三倍而一得八〈一兩三倍之成八兩也四倍則一得十六餘準此推之〉法以八除三百得三十七兩五錢以減三百得二百六十二兩五錢即原母數〈若四度而盡者即以十六除而減之〉
　　按右例立法之意乍閲之或未解葢原母倘係三百則每度用其倍息三度後仍存三百矣何得子母俱盡須知三倍後之三百其母為三十七兩五錢故於三百内減之而餘即原母數也一三倍而成八故用八除三百得母三十七兩五錢猶之三度折半爾〈右一條新訂〉
　　自貴賤差分至此諸例亦可以借徵法求之别見數條於後
　　又如黄金百斤製一鑪既成慮匠人盜金和銀銷毁驗之則損工費乃以器貯水令滿已知水幾斤即以純金百斤入器内溢出水六十斤加水令滿復以銀百斤入之溢水九十斤再貯滿水却以鑪入之溢水六十五斤問和銀及實金幾何法以金銀溢水之較三十斤以百斤除之得每斤溢水之較十分斤之三為法以除鑪與金溢水之較五斤得和銀數一十六斤又三分斤之二以除鑪與銀溢水之較二十五斤得實金數八十三斤又三分斤之一〈補貴賤差分第三條〉又如犒軍每八名給豕一頭每六名給羊一頭每三名給一頭共用豕羊一千一百二十五頭問兵幾何豕羊各幾何法以八名六名相乗為衰八名三名相乗為羊衰六名三名相乗為豕衰〈此所謂三維乗也或先求兵總衰而豕羊各以所給兵名數除之亦同〉并之得九十為豕羊總衰為一率以八名六名三名累乗得一百四十四為兵總衰為二率豕羊總實為三率求得四率一千八百為兵總數豕羊各以所給兵名數除之得各數或以豕羊總衰為一率豕羊總實為二率豕羊各衰為三率即先得三物各數乃各以所給兵名數乗之得兵總數〈按此例亦謂兵既給豕又給羊者下例同〉又如賞軍每八名給紬五匹每六名給絹四匹每四名給布三匹共用紬絹布三千六百七十五匹問兵幾何紬絹布各幾何法以八名六名相乗再以三匹乗之為布衰八名四名相乗再以四匹乗之為絹衰六名四名相乗再以五匹乗之為紬衰〈或先求兵總衰而紬絹布各以匹數乗之以所給兵數除之亦同〉并之得三百九十二為紬絹布總衰八名六名四名累乗得一百九十二為兵總衰如前法求之得兵總數一千八百〈右二例與零分章并分法相似〉按此例與前例本同一法前例豕羊俱以一頭立算故不須以頭數與維乗數再相乗耳但今算家相𫝊僅知有前例而無後例則法有所窮故特出此條其實前例亦暗寓頭數一回乗也〈補襍差分第六第七條　右一條新增〉















　　九章録要卷五
<子部,天文算法類,算書之屬,九章錄要>



　　欽定四庫全書
　　九章録要卷六
　　松江屠文漪撰
　　少廣法
　　古九章四曰少廣以御積冪方員
　　開平方法　平方開除先列實視實有幾位〈凡實之大數從千起者四位從萬起者五位葢實尾雖止於十而無以下小數亦存一虚位止於百而無以下小數亦存兩虚位一定不可易也〉即知須幾開而盡〈凡經再開者開得平方大數從十起三開者百四開者千或實尾一開虚擬而未經開者即開得數終於十而無以下小數也〉率實兩位而一開逆從實尾向左數之〈尾在右也〉至實首則一位亦一開也其開之法有三曰方曰亷曰隅〈方法亦謂之商意中商量而定之也隅即次商三商而又自有隅法〉初開視實首位以起方法實首一位開者〈一位之實多不過九〉取三及以下數自乗兩位開者〈兩位之實少不下十一〉取三及以上數自乗所取以自乗之數初商也列實首之左〈亦有不列於左而即借實首位列之者説詳於後〉自乗所得數用以減實是為初開餘實須再開則用亷法亷法者倍前方法以之除實得次商相隨列初商之右即以次商為隅法自乗得數用減實訖〈於亷法下一位減之觀後假例自明〉是為再開自三開以後俱倣此
　　〈或問亷隅之義曰初開已成平方形矣再開欲增廣其前方則不必四邊俱加而但於兩邊各加一亷其長如前方之數亷有二故倍之也此未及亷之廣以除實得次商次商乃亷之廣數而所加二亷其長各如前方之數則二亷相㑹之一角猶缺一小平方其四邊皆與亷之廣等故又以次商為隅法而自乗以足之也〉
　　假如實一萬五千一百二十九列甲乙丙丁戊五位此須三度開而實首只甲一位開也甲數一則取一為初商列甲之左而以一自乗仍得一即於甲位去一此初開也再開倍前方一得二〈前方是一百倍之為二百而此且勿論也但謂之一謂之二可耳〉為亷法以二除乙之五〈乙丙兩位為再開之位而亷法當於乙位除隅法當於丙位除也〉則於乙減四存一於甲空位列二為次商而以隅二自乗得四於丙位減之則去乙之一加丙一為七此再開也三開倍前方一十二得二十四〈前方一下復有二則且謂之一十二矣不計其為一百二十也雖更多亦然〉為亷法先以二除丙之七〈丁戊兩位為三開之位則亷法當於丁位除而亷法有二十四即二當於丙位除四乃於丁位除也〉則於丙減六存一於乙空位列三為三商次以四與三相乗得一十二於丙丁兩位減之〈亷之四當於丁位除而與商乗得一十二即一又當於丙位除矣隅法亦然〉則並去丙之一丁之二又以隅三自乗得九於戊位減之適盡得方一百二十三
　　又如實四十五萬九千六百八十四列甲乙丙丁戊己六位此亦須三度開而實首乃甲乙兩位開也甲乙數四十五〈甲四乙五并而計之則曰四十五而不必問其為四十五萬也〉且取六為初商列甲之左而以六自乗得三十六於甲乙兩位減之則去甲之四加乙五為九此初開也再開倍六得一十二為亷法先以一除乙之九則於乙減七存二於甲空位列七為次商〈不用　者以八開之則實不足也〉次以二與七相乗得一十四於乙丙兩位減之則減乙二為一丙九為五又以隅七自乗得四十九於丙丁兩位減之則去丙之五加丁六為七此再開也三開倍六十七得一百三十四為亷法先以一除乙之一〈戊己兩位為三開之位則亷法之一當於丙位除而乙位當列三商矣今乙位有實則亦以除丙之法除之葢乙丙同除猶實首之兩位并開也除同而所以除不同假使乙位空而丙位有一則以亷一除丙當去丙之一而列一於乙為三商今以除乙之一則為見一無除改作九而下添一也三商在乙位自不可易耳〉則改乙一為九加丙空為一而其下實不足除即又減乙九為八為三商而加丙一為二〈乙之一丙之十也試列十於丙而以亷一除之與此同則除乙猶之除丙耳〉次以三與八相乗得二十四於丙丁兩位減之則去丙之二減丁七為三次以四與八相乗得三十二於丁戊兩位減之則去丁之三減戊八為六又以隅八自乗得六十四於戊己兩位減之適盡得方六百七十八
　　又如實六百七十六列甲乙丙三位此只須兩度開而實首係甲一位開也甲數六且取二為初商列甲左而以二自乗得四即於甲減四存二此初開也再開倍二得四為亷法以四除甲之二則改甲二為五又以四除乙之七則於乙減四存三於甲加一為六為次商〈此甲乙同除如前第二例第三開之乙丙同除也前例只是以亷一除丙之十此例只是以亷四除乙之二十七合觀二例其義益明〉乃以隅六自乗得三十六減乙丙實並盡得方二十六
　　開方得數審空位例假如實六十五萬四千四百八十一列甲乙丙丁戊己六位此須三度開而實首係甲乙兩位開也甲乙數六十五且取八為初商列甲左而以八自乗得六十四於甲乙兩位減之則去甲之六減乙五為一此初開也再開倍八得一十六為亷法先以一除乙之一而其下實不足除知再開值空位矣〈丙丁為再開之位則亷之六當於丙位除一當於乙位除而除得次商當在甲位今若去乙之一而列一於甲為次商即丙位無六可除此當為見一無除改作九而下添一然則商乃在乙位而甲位空矣可知無次商宜便接三開也〉三開倍八十得一百六十〈前方八下有空位則謂之八十也若更有空位亦遞進之〉為亷法仍先以一除乙之一〈戊己為三開之位則亷法當於戊位除而亷法有一百六十即六當於丁位除一當於丙位除今乙位有實又須以除丙之法除之葢除乙猶之除丙其説已詳前二例矣　三商自當在乙位也〉則改乙一為九為三商而加丙四為五次以六與九相乗得五十四於丙丁兩位減之則並去丙之五丁之四又以隅九自乗得八十一於戊己兩位減之適盡得方八百零九
　　開方初商列位法　凡初商列於實首位之左者為多而不盡然也須知實首兩位開而初商數不滿五者必當借實首甲位列之何也實首甲一位開則乙丙為次開之位而乙屬亷丙屬隅也亷法於乙位除即除得次商當在甲位而初商不得不列甲之左矣實首兩位開則丙丁為次開之位而丙屬亷丁屬隅也亷法於丙位除而初商係五倍之為十遇十進位乃當於乙位除即除得次商亦當在甲位而初商不得不列甲之左矣〈五以上更不必言〉若實首既以兩位開而初商係四倍之為八只當於丙位除然則除得次商當在乙位而初商當列甲位又何疑乎〈四以下更不必言〉且如實二千四百零一列甲乙丙丁四位當取四為初商而減甲乙實一十六則先去甲之二加乙四為八乃以初商四列甲位再開倍四得八為亷法以除乙之八則改乙八為九為次商加丙空為八而以隅九自乗得八十一減丙丁實並盡得方四十九倘以初商四列甲左竟似四百零九其誤甚矣葢開得商數中間應有空位與否信手布算即自然而見本不煩擬議也但審定初商位置則無空者不致誤而成空而以後俱任其自然之數可耳
　　又按右例若以初商列甲左次以亷八除乙之八或去乙之八列一於甲為次商而以隅一自乗減丁之一亦盡乃得方四十一豈非誤之尤甚者乎葢丙丁為次開之位而亷法止有八則當於丙位除除得次商當在乙位雖乙位有實而以除丙之法除乙然次商畢竟仍在乙位斷無進到甲位之理不辨於此且致大誤故詳論之而初商若便列在甲位亦自無此弊矣
　　開方餘實命分法　開方餘實僅及所開方數一倍以下則命分命分者倍方加一數以命之〈倍方者亷法加一數者隅法〉假如實五十五開得方七而餘實六即倍七又加一數得一十五以為母而以六為子命之曰一十五分之六并整為七零一十五分之六也
　　開方求零分密法　開方餘實欲除令盡即所得方數必帶零分而若以所命之分為方數試以自乗見積頗朒於原實則法猶疎也且如實二十開得方四而餘實四依命分法為九之四并整為四又九之四乃化整俱為零曰九之四十母子各自乗以見方積母得八十一〈此原實一之方積也葢一實而縱横俱分為九則其中應有方積八十一矣〉子得一千六百〈此總方積也〉以母積除子積歸整得實一十九又八十一之六十一則朒於原實八十一之二十當更有法以開之其法倍九之四十〈倍之為亷法也〉為九之八十以除朒八十一之二十得七百二十之二十約為三十六之一與前方九之四十相并得三百二十四之一千四百四十九約為三十六之一百六十一以母除子歸整得方四又三十六之一十七仍化整俱為零母子各自乗以見方積母得一千二百九十六子得二萬五千九百二十一以母積除子積歸整得實二十又一千二百九十六之一雖盈於原實一千二百九十六之一然比之朒於原實八十一之二十則其法已密矣
　　又法如實二十開得方四而餘實四但倍方為分母不復加隅而以餘實為子曰八之四約為二之一并整為四又二之一乃化整俱為零曰二之九母子各自乗以見方積母得四子得八十一以母積除子積歸整得實二十又四之一則盈於原實四之一亦更有法以開之其法倍二之九為一之九〈本欲倍其子而半其母則子自倍矣不須更用約法〉以除盈四之一得三十六之一與前方二之九相減〈此與前法正同而盈朒并減有辨葢前方朒於原實則以亷法除所朒之數而與之相并前方盈於原實則以亷法除所盈之數而與之相減也〉得七十二之三百二十二約為三十六之一百六十一以下各數並與前法同〈按二法所得數其歸正同葢偶同耳他處則往往小異也〉
　　右二法開方自乗得積並盈於原實一千二百九十六之一必欲除盡依法再開之以四又三十六之一十七復化為三十六之一百六十一倍之為一十八之一百六十一以除盈一千二百九十六之一得一萬一千五百九十二之一與前方三十六之一百六十一相減得四十一萬七千三百一十二之一百八十六萬六千二百七十六約為一萬一千五百九十二之五萬一千八百四十一以母除子歸整得方四又一萬一千五百九十二之五千四百七十三仍化整俱為零母子各自乗以見方積母得一億三千四百三十七萬四千四百六十四子得二十六億八千七百四十八萬九千二百八十一以母積除子積歸整得實二十又一億三千四百三十七萬四千四百六十四之一此則盈於原實為數甚微矣欲除盡依法再開
　　又法開方不盡實則增開數以求之凡增一開者化實之一為百而開得方數當十而一增二開者化實之一為萬而開得方數當百而一假如實二十四化為二千四百開之得四十九是為一十之四十九以母除子歸整得方四又一十之九仍化整俱為零自乗以見方積得一百之二千四百零一以母積除子積歸整得實二十四又一百之一乃盈於原實一百之一也或增二開三開者倣此
　　零分開方法　原實係整數而開之帶零分者前法已詳矣若原實先係零分而欲開方者法以母自開得數為母子自開得數為子其大端也如實九之四開得方三之二是已更有開得數復成零分乃須分别算之如實九之二十母開得三子開得四又九之四化為九之四十〈此只依命分之數聊示其法耳未及密率也〉此當用整除零分法以三乗九為母以四十為子得方二十七之四十也如實二十之九母開得九之四十子開得三此當用零分除整法以四十為母以九乗三為子得方四十之二十七也又如實七之二十母開得二又五之三化為五之一十三子開得九之四十此當用零分除零分法以一十三乗九為母以五乗四十為子得方一百一十七之二百也葢原實之母本法也原實之子則實也故右三例用法分别如此前零分篇中於開方法未詳兹乃盡其變云
　　長方以積與長廣較求長廣　法以四乗積并較實開方得長廣和和較相并半之得長相減半之得廣
　　長方以積與長廣和求長廣　法以四乗積減和實開方得長廣較　按四乗積者以四長方兩縱兩横列四隅合為大平方則四邊各兼長廣之數而中央不滿者正較自乗之小平方故知和實中有四積一較實也〈二法亦見句股章彼以八乗積者句股之積半長方積也〉右二法可該下文縱方七法而七法更不可不講者葢變化無窮之用出焉固非右二法所能及矣具詳於左
　　帶縱并方亷開平方法長方以積與較求廣者其長之積多於廣當加法以帶除其長積名帶縱并方亷開平方依常列實定開位以較為帶縱初開稍朒其商以帶縱并之為方法〈常法以方與商為一此以方與商為二〉乃以乗商減實再開倍前商亦以帶縱并之為亷法以除實得次商其隅法如常
　　假如長方積八百六十四列甲乙丙三位其長廣較一十二求廣者初商得二列甲左而以縱并商得三十二〈須知初商之二是二十故并縱得三十二也凡商與縱并者以十隨十以百隨百并之相減亦然〉為方法乃以方法乗商以三乗二得六〈此處只作二與三且勿論其為二十與三十可也〉於甲位減之〈依常法商二自乗當於甲位減今與方法三相乗亦同也〉則減甲八為二次以二乗二得四於乙位減之〈六於甲位減則四當於乙位減故初開而減及次開之亷位也〉則減乙六為二此初開也再開倍前商二得四并縱得五十二〈倍商是四十也　倍商不倍縱〉為亷法先以五除甲之二〈倍商之四當於乙位除因帶縱首之一而成五亦同除得次商當在甲位今甲位有實故以除乙之法除甲而次商仍在甲位非因五十而進一位也此五只作五若倍商四縱首六并成一十乃當進一位耳〉則改甲二為四為次商次以二乗四得八於丙位減之〈五於乙位除則二當於丙位除故亷法而減及隅位也〉則減乙二為一加丙四為六又以隅四自乗得一十六減乙丙兩位實盡得廣二十四〈并較得長三十六〉
　　又如實二十三萬零四百列甲乙丙丁戊己六位〈戊己為虚位〉帶縱七百二十初商得二〈若商三則并縱首之七為一十又與商乗得三十而實首只二十三不足除故用二〉列甲左〈不列甲位者帶縱故也〉而以縱并商得九百二十為方法乃以方法乗商以九乗二得一十八於甲乙兩位減之則去甲之二加乙三為五次以二乗二得四於丙位減之則減乙五為四加丙空為六此初開也再開倍前商二得四并縱得一千一百二十為亷法先以一除乙之四〈倍商之四當於丙位除因并縱首之七而成一十一則此一當進而於乙位除除得次商當在甲位矣初商不列甲位正為此也〉則去乙之四於甲空位列四為次商次以一乗四得四於丙位減之則減丙六為二次以二乗四得八於丁位減之則減丙二為一加丁四為六又以隅四自乗得一十六減丙丁實並盡得廣二百四十〈并較得長九百六十〉又如實一萬九千四百四十列甲乙丙丁戊五位帶縱七十二初商得一列甲左而以縱并商得一百七十二為方法乃以方法乗商以一乗一仍得一於甲位減之則去甲之一次七仍得七於乙位減之則減乙九為二次二仍得二於丙位減之則減丙四為二此初開也再開倍前商一得二并縱得二百七十二為亷法先以二除乙之二而其下實不足除知再開值空位矣〈倍商之二當於乙位除除得次商當在甲位今若去乙之二而列一於甲為次商即丙丁兩位無七與二可除當為見二無除改作九而下添二然則商乃在乙位矣既退一位知是三商非次商也〉三開倍前商一十得二十〈此一與二皆百也謂之十者依常法〉并縱得二百七十二為亷法仍先以二除乙之二〈倍商之二十當於丙位除乙位有實故以除丙之法除乙也〉則改乙二為九加丙二為四而其下實又不足除即又減乙九為八為三商而加丙四為六次以七乗八得五十六於丙丁兩位減之則去丙之六加丁四為八次以二乗八得一十六於丁戊兩位減之則減丁八為六加戊空為四又以隅八自乗得六十四減丁戊實並盡得廣一百零八〈并較得長一百八十〉
　　又如實一萬六千一百二十八列甲乙丙丁戊五位帶縱七十二此當減一開而實首取三位并開之〈若初商一則并縱得一百七十二而乙丙兩位無七與二可除也〉初商得九〈此當借列實首甲位〉而以縱并商得一百六十二為方法乃以方法乗商以一乗九得九於乙位減之〈初商之九當於丙位減因并縱首之七而成一十六則此一當進而於乙位減〉則去甲之一加乙六為七次以六乗九得五十四於乙丙兩位減之則減乙七為一加丙一為七次以二乗九得一十八於丙丁兩位減之則減丙七為五加丁二為四此初開也再開倍前商九得一十八并縱得二百五十二為亷法先以二除乙之一〈倍商之一十八當於丙丁兩位減并縱首七而成二十五其位亦同今乙位有實故以除丙之法除乙也〉則改乙一為五又以二除丙之五則於丙減二存三於乙加一為六為次商次以五乗六得三十於丙位減之則去丙之三次以二乗六得一十二於丁戊兩位減之則減丁四為三戊八為六又以隅六自乗得三十六減丁戊實並盡得廣九十六〈并較得長一百六十八〉
　　又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位帶縱一千零八十八初商得一〈初商是百而縱乃至千故只可用一〉列甲左而以縱并商得一千一百八十八為方法乃以方法乗商以一乗一仍得一於甲位減之〈方一百之一當於乙位減此是縱首一千之一故進一位〉則去甲之一次一仍得一於乙位減之則減乙六為五次八仍得八於丙位減之則減乙五為四加丙六為八次八仍得八於丁位減之則減丙八為七加丁四為六此初開也再開倍前商一得二并縱得一千二百八十八為亷法先以一除乙之四〈倍商之二當於丙位減此是縱首之一故進一位也下三開倣此〉則於乙減三存一於甲空位列三為次商次以二乗三得六於丙位減之則減丙七為一次以八乗三得二十四於丙丁兩位減之則去乙之一加丙一為九減丁六為二次以八乗三得二十四於丁戊兩位減之則去丁之二減戊六為二又以隅三自乗得九於丁位減之則減丙九為八加丁空為一此再開也三開倍前商一十三得二十六并縱得一千三百四十八為亷法先以一除丙之八則於丙減六存二於乙空位列六為三商次以三乗六得一十八於丙丁兩位減之則去丙之二加丁一為三次以四乗六得二十四於丁戊兩位減之則去丁之三加戊二為八次以八乗六得四十八於戊己兩位減之則減戊八為三加己四為六又以隅六自乗得三十六減戊己實並盡得廣一百三十六〈并較得長一千二百二十四〉
　　帶縱減積開平方法　長方積較求廣或於實内減長積以就其方名帶縱減積開平方列實定位以較為帶縱初開亦稍朒其商先以帶縱乗商減實乃以商自乗減實再開倍前商為亷法約計當得次商若干亦先以帶縱乗商減實乃以亷法除實合次商其隅法如常
　　假如長方積八百六十四列甲乙丙三位較一十二初商得二列甲左而先以縱乗商以一乗二得二於甲位減之〈此縱之一商之二皆十也依常法商二自乗於甲位減今以縱一乗商二亦同葢凡十與十百與百相乗皆於本位減必相乗又得十乃進一位若商係十而乗縱之百則當進一位商係百而乗縱之十則當退一位次商三商其理不殊各以所商應除之位為本位而進退之也負縱益積倣此〉則減甲八為六次以二乗二得四於乙位減之則減乙六為二乃以商二自乗得四於甲位減之則又減甲六為二此初開也再開倍前商二得四為亷法約計次商當得四〈約計減積之餘尚有商亷相乗及隅自乗之數也〉亦先以縱乗商以一乗四得四於乙位減之〈次商即再開之隅隅本位在丙然隅四只是四數而所與乗之縱一則是一十故進一位也若以比初開所除之位則為退一位至三開即比再開又退一位矣〉則減甲二為一加乙二為八次以二乗四得八於丙位減之則減乙八為七加丙四為六乃以亷四除甲之一則改甲一為二加乙七為九又以四除乙之九則於乙減八存一於甲加二為四為次商又以隅四自乗得一十六減乙丙實並盡得廣二十四
　　又如實一萬九千四百四十列甲乙丙丁戊五位帶縱七十二初商得一列甲左而先以縱乗商以七乗一仍得七於乙位減之則減乙九為二次二仍得二於丙位減之則減丙四為二乃以商一自乗得一於甲位減之則去甲之一此初開也再開倍前商一得二為亷法約計次商不足除知再開值空位〈乙位實二試擬一為次商而以縱首之七相乗當比初開退一位於丙位減之則丙實只有二必減及於乙而亷已不足除未暇論其他矣故知再開值空位也〉三開倍前商一十得二十為亷法約計三商當得八亦先以縱乗商以七乗八得五十六於丙丁兩位減之則減乙二為一加丙二為六丁四為八次以二乗八得一十六於丁戊兩位減之則減丁八為六加戊空為四乃以亷二除乙之一則改乙一為五又以二除丙之六則去丙之六於乙加三為八為三商又以隅八自乗得六十四減丁戊實並盡得廣一百零八　按積較求廣雖有二法只如一法耳前法并縱於方亷以除實此法分縱與方亷先後減實異而不異也分作兩度減固不如并作一度除之便然必備識諸法而後可以盡其變化之用不容廢云
　　負縱減方亷開平方法　長方以積與較求長者其廣之積少於長當損其法之長名負縱減方亷開平方列實定開位以較為負縱初開稍盈其商以負縱減之為方法乃以乗商減實再開倍前商亦以負縱減之為亷法以除實得次商其隅法如常　假如長方積八百六十四列甲乙丙三位較一十二求長者初商得三列甲左而以負縱減商得一十八為方法乃以方法乗商以一乗三得三於甲位減之則減甲八為五次以八乗三得二十四於甲乙兩位減之則減甲五為三乙六為二此初開也再開倍前商三得六減負縱得四十八為亷法先以四除甲之三則改甲三為七於乙加二為四而其下實不足除即又於甲減一存六為次商而於乙加四為八次以八乗六得四十八於乙丙兩位減之則減乙八為三加丙四為六又以隅六自乗得三十六減乙丙實並盡得長三十六〈減較得廣二十四〉
　　又如實一萬九千四百四十列甲乙丙丁戊五位負縱七十二初商得一列甲左而以負縱減商得二十八為方法乃以方法乗商以二乗一仍得二於乙位減之〈商係百而乗方之十故退一位也〉則減乙九為七次八仍得八於丙位減之則減乙七為六加丙四為六此初開也再開倍前商一得二減負縱得一百二十八為亷法先以一除甲之一則改甲一為九於乙加一為七而其下實不足除即又於甲減一存八為次商而於乙加一為八次以二乗八得一十六於乙丙兩位減之則減乙八為七去丙之六次以八乗八得六十四於丙丁兩位減之則減乙七為六加丙空為四去丁之四又以隅八自乗得六十四減乙丙實並盡得長一百八十〈減較得廣一百零八〉
　　負縱益積開平方法長方積較求長或益積以補廣而就其方名負縱益積開平方列實定位以較為負縱初開亦稍盈其商先以負縱乗商益實乃以商自乗減實再開倍前商為亷法約計當得次商若干亦先以負縱乗商益實乃以亷法除實合次商其隅法如常
　　假如長方積八百六十四列甲乙丙三位較一十二初商得三〈此當列甲左第二位因有益積故也初開畢不妨從甲左第二位移入甲左凡縱方諸例其商位每不可拘善算者自了然於心手之間耳〉而先以負縱乗商以一乗三得三於甲位加之則於甲左空位列一而減甲八為一次以二乗三得六於乙位加之則加甲一為二減乙六為二乃以商三自乗得九於甲位減之則去甲左之一加甲二為三此初開也再開倍前商三得六為亷法約計次商當得六亦先以負縱乗商以一乗六得六於乙位加之則加乙二為八次以二乗六得一十二於乙丙兩位加之則加乙八為九丙四為六乃以亷六除甲之三則改甲三為五又以六除乙之九則於乙減六存三於甲加一為六為次商又以隅六自乗得三十六減乙丙實並盡得長三十六又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位負縱一千零八十八此當增一開〈負縱至千而依實位初商只是百數無是理也〉初商得一列甲左第二位而先以負縱乗商以一乗一仍得一於甲左空位加之〈甲左空位是商千應除之本位也商千乗縱千當於本位加〉則列一於甲左次八仍得八於乙位加之則加甲一為二減乙六為四次八仍得八於丙位加之則加乙四為五減丙六為四乃以商一自乗得一於甲左空位減之則去甲左之一此初開也再開倍前商一得二為亷法約計次商當得二亦先以負縱乗商以一乗二得二於甲位加之則加甲二為四次以八乗二得一十六於乙丙兩位加之則加乙五為七去丙之四次以八乗二得一十六於丙丁兩位加之則加丙空為二去丁之四乃以亷二除甲之四則去甲之四於甲左空位列二為次商又以隅二自乗得四於乙位減之則減乙七為三此再開也三開倍前商一十二得二十四為亷法約計三商當得二亦先以負縱乗商以一乗二得二於乙位加之則加乙三為五次以八乗二得一十六於丙丁兩位加之則加丙二為三丁空為六次以八乗二得一十六於丁戊兩位加之則加丁六為八減戊六為二乃以亷二除乙之五則於乙減四存一於甲空位列二為三商次以四乗二得八於丙位減之則去乙之一加丙三為五又以隅二自乗得四於丁位減之則減丁八為四此三開也四開倍前商一百二十二得二百四十四為亷法約計四商當得四亦先以負縱乗商以一乗四得四於丙位加之則加丙五為九次以八乗四得三十二於丁戊兩位加之則加丁四為七戊二為四次以八乗四得三十二於戊己兩位加之則加戊四為七己四為六乃以亷二除丙之九則於丙減八存一於乙空位列四為四商次以四乗四得一十六於丙丁兩位減之則去丙之一減丁七為一次以四乗四得一十六於丁戊兩位減之則去丁之一減戊七為一又以隅四自乗得一十六減戊己實並盡得長一千二百二十四　按積較求長二法不同論負縱以并方亷為便而使負縱多初商少乃宜用益積也别擬取㨗之術凡負縱減商而商不足則以所負商數為負方〈亦可稱餘負縱也〉以負方乗商益積即初開畢矣自再開以後減亷固無礙耳
　　帶縱負隅益積開平方法　長方以積與和求廣者用和為帶縱〈此與用較為帶縱又别用較為帶縱者以縱并方亷而乗商減實用和為帶縱者直以縱乗商減實耳然且患縱多積少而須益積及減縱二法矣〉則已兼長廣而積有長廣相乗無廣自乗故置負隅法以益積而以帶縱開之名帶縱負隅益積開平方列實定開位以和為帶縱别置一算為負隅初開稍朒其商以乗負隅〈一為負隅則可不必置算亦不必乗而必言置算言乗者此法施之他處即負隅或不止於一也觀後各例自見〉為方法先以方法乗商益實乃以帶縱乗商減實再開倍前商以乗負隅為亷法約計當得次商若干以乗負隅為隅法先以亷法乗商益實又以隅法乗商〈隅乗商云者因有負隅之乗故又分隅與商為二也然負隅若止於一則直云商自乗或隅自乗亦可耳〉益實乃以帶縱除實合次商
　　假如長方積八百六十四列甲乙丙三位其長廣和六十求廣者初商得二〈此當列甲左第二位〉而以乗負隅仍得二為方法先以方二乗商二得四於甲位加之則於甲左空位列一而減甲八為二乃以縱六乗商二得一十二於甲左及甲兩位減之則去甲左之一甲之二此初開也再開倍前商二得四以乗負隅仍得四為亷法約計次商當得四以乗負隅仍得四為隅法先以亷四乗商四得一十六於甲乙兩位加之則加甲空為二減乙六為二又以隅四乗商四得一十六於乙丙兩位加之則加乙二為四去丙之四乃以縱六除甲之二〈以縱除與以亷除其位同此縱之六與亷之四皆十也以十隨十當於亷本位乙位除之除得次商當在甲位今甲位有實則甲乙同除也　至此宜將初商仍移入甲左矣〉則改甲二為三於乙加二為六又以六除乙之六則去乙之六於甲加一為四為次商得廣二十四
　　帶縱負隅減縱開平方法　長方積和求廣或減負隅於縱而以餘縱開之名帶縱負隅減縱開平方列實定位以和為帶縱别置一算為負隅初開亦稍朒其商以乗負隅為方法以方法減縱乃以餘縱乗商減實再開倍前商以乗負隅為亷法約計當得次商若干以乗負隅為隅法以亷法減縱又以隅法減縱乃以餘縱除實合次商
　　假如長方積八百六十四列甲乙丙三位和六十初商得二列甲左而以乗負隅仍得二為方法以方法減縱餘四十乃以縱四乗商二得八於甲位減之則去甲之八此初開也再開倍前商二得四以乗負隅仍得四為亷法約計次商當得四以乗負隅仍得四為隅法以亷法減縱餘二十又以隅法減縱餘一十六乃以縱一除乙之六則於乙減四存二於甲空位列四為次商次以六乗四得二十四減乙丙實並盡得廣二十四
　　又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位帶縱一千三百六十初商得一列甲左而以乗負隅仍得一為方法以方法減縱餘一千二百六十乃以縱乗商以一乗一仍得一於甲位減之則去甲之一次二仍得二於乙位減之則減乙六為四次六仍得六於丙位減之則去丙之六此初開也再開倍前商一得二以乗負隅仍得二為亷法約計次商當得三以乗負隅仍得三為隅法以亷法減縱餘一千一百六十又以隅法減縱餘一千一百三十乃以縱一除乙之四則於乙減三存一於甲空位列三為次商次以一乗三得三於丙位減之則去乙之一加丙空為七次以三乗三得九於丁位減之則減丙七為六加丁四為五此再開也三開倍前商一十三得二十六以乗負隅仍得二十六為亷法約計三商當得六以乗負隅仍得六為隅法以亷法減縱餘一千一百又以隅法減縱餘一千零九十四乃以縱一除丙之六則去丙之六於乙空位列六為三商次以九乗六得五十四於丁戊兩位減之則去丁之五減戊六為二又以四乗六得二十四減戊己實並盡得廣一百三十六　按積和求廣二法以減縱法為優葢初開以後欲約得續商之數比益積為差易但先以亷減縱而以餘縱求之如第一例餘實六十四且作四與十六相乗之數而餘縱二十析之亦得四與十六兩數即四為次商為隅法以再減餘縱得一十六而以縱除實正得次商矣如第二例直以亷減餘之縱約餘實得次商三商雖得商後須再以隅減縱而縱多商少隅減之餘與亷減之餘當不至大相懸也然此特謂積和求廣之本法止以一為負隅者若施之他處負隅不止於一則因續商有負隅之乗理當小異不得僅如右二説且開除往往遇負積更須參用下文翻法耳
　　帶縱負隅減縱翻法開平方法　長方以積與和求長者積有長廣相乗無長自乗法當損廣以益長故以和為帶縱别置一算為負隅初開稍盈其商以乗負隅為方法以方法減縱以餘縱乗商減積而積常不足則翻以所負積數為積再開倍前商以乗負隅為亷法以亷法減縱而縱又常不足亦翻以所負縱數為縱既隅積縱三者俱負乃以負縱除負積得次商又以次商乗負隅為隅法以乗商減負積名帶縱負隅減縱翻法開平方
　　假如長方積三千四百五十六列甲乙丙丁四位和一百二十求長者初商得七〈此雖列甲左而除得次商乃在乙位則又當借列甲位也〉而以乗負隅仍得七為方法以方法減縱餘五十乃以縱五乗商七得三十五於甲乙兩位減之而積不足四十四則去甲之三乙之四丙之五丁之六而列四於丙列四於丁為負積此初開也再開倍前商七得一十四以乗負隅仍得一十四為亷法以亷法減縱而縱不足二十即以負縱二除丙之四則去丙之四於乙空位列二為次商又以次商乗負隅仍得二為隅法以乗商二得四減丁位負積適盡得長七十二
　　又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位帶縱一千三百六十此當增一開初商得一〈若初商九百或八百商愈少則負積且愈多故知當為一千也〉列甲左第二位而以乗負隅仍得一為方法以方法減縱餘三百六十乃以縱乗商以三乗一仍得三於甲位減之〈商千之位在甲左商千乗縱百則退一位故當於甲位減〉以六乗一仍得六於乙位減之而積不足一十九萬三千五百三十六則去甲之一乙之六丙之六丁之四戊之六己之四而列一於甲列九於乙列三於丙列五於丁列三於戊列六於己為負積此初開也再開倍前商一得二以乗負隅仍得二為廉法以亷法減縱而縱不足六百四十即以負縱六除甲之一〈倍商之二是千也依常法當於甲位除除得次商當在甲左此負縱之六是百也則當於乙位除而甲位有負積故甲乙同除除得次商乃在甲位葢非次商應列之位特因負縱數朒故耳〉則於乙加四為十三又以六除乙之十三則於乙減六存七於甲加一為二為次商〈此當於再開畢後移列甲左葢三開則負縱亦盈至千與常法倍商數等矣〉次以四乗二得八於丙位減之則減乙七為六加丙三為五又以次商乗負隅仍得二為隅法以乗商二得四於乙位減之則減乙六為二此再開也三開倍前商一十二得二十四以乗負隅仍得二十四為亷法以亷法減縱而縱不足一千零四十即以負縱一除乙之二則去乙之二於甲空位列二為三商次以四乗二得八於丁位減之則減丙五為四加丁五為七又以三商乗負隅仍得二為隅法以乗商二得四於丁位減之則減丁七為三此三開也四開倍前商一百二十二得二百四十四以乗負隅仍得二百四十四為亷法以亷法減縱而縱不足一千零八十即以負縱一除丙之四則去丙之四於乙空位列四為四商次以八乗四得三十二於丁戊兩位減之則去丁之三減戊三為一又以四商乗負隅仍得四為隅法以乗商四得一十六減戊己負積並盡得長一千二百二十四　按積和求廣初開後必有餘積〈若遇負積即初商是長非廣也此亦指一為負隅者而言〉求長則初開常負積其大凡也若求長用益積法則初開所負之積不妨於再開所益積内減之〈再開所負於三開所益減〉但欲約次商患其茫然無緒可尋故只倣減縱法葢減縱則縱常不足因即以負縱除負積而得商此翻法所以為良也其間更有變例不可不知者别詳於左
　　一求長而初開後乃有餘積此其初商必與求廣相同者也既有餘積則以亷減縱亦必有餘縱〈若積餘縱負乃是商數過盈非所求之長當改商就朒〉且如實一萬九千四百四十和二百八十八初商得一百〈求廣求長同〉而餘積六百四十再開以亷減縱餘八十八約餘積為八與八十相乗之數而餘縱析之亦得八與八十兩數此若求廣即再開為空位以八為三商以再減餘縱得八十而以除積正得三商為廣一百零八若求長即以八十為次商以再減餘縱得八而以除積正得次商為長一百八十葢只用減縱法而廣長皆得可不須翻法也又如實二萬零九百四十四和二百九十初商得一百而餘積一千九百四十四再開以亷減縱餘九十約餘積一千九百〈其下小數且置不算也〉為四十與五十相乗之數則朒為三十與六十相乗之數則盈而餘縱析之亦得四十與五十兩數及三十與六十兩數此若求廣則取盈數〈宜有餘積也〉以三十為次商〈廣不合有一百六十故不用六〉以再減餘縱得六十而以除積一千八百得次商仍餘積一百四十四三開以亷減縱餘三十約餘積為六與二十四相乗之數而餘縱析之亦得六與二十四兩數即以六為三商以再減餘縱得二十四而以除積正得三商為廣一百三十六若求長則取朒數〈宜負積也〉以五十為次商〈長不合止一百四十故不用四〉以再減餘縱得四十而以除積二千合次商積負五十六三開以亷減縱縱負一十以負縱除負積四十得四為三商而以隅四自乗得一十六減負積盡為長一百五十四葢始終用減縱法以得廣始於減縱終於翻法以得長非可執一云〈右一條及下四條所舉假例皆以一為負隅故例中不言負隅之乗取省文便覽也又自此以下凡積縱商亷諸數百則曰百千則曰千而不復著甲乙之位非前後互異正取參觀以相發明耳〉
　　一負積當以負縱除而以亷減縱適盡者約負積得次商以乗負隅為隅法以乗商減負積〈既無負縱則獨用隅法減負積也或以負隅除負積以常法平方開之亦可〉如實八百六十四初商三十而負積三十六再開以亷減縱適盡即約負積得次商六為隅法自乗得三十六減負積盡為長三十六又如實九千三百七十五和二百初商一百而負積六百二十五再開以亷減縱適盡即約負積得次商二十為隅法自乗得四百減負積三開以亷減縱縱負四十乃以負縱除負積二百得五為三商而以隅五自乗得二十五減負積盡為長一百二十五〈負積六百二十五常法開平方亦得二十五平方再開亷法之四十猶翻法三開負縱之四十也葢縱亷相減負縱即是餘亷而在負隅法中方亷隅皆負也縱乃正也以相減則負縱固是餘負亷也〉
　　一以亷減縱有餘縱不可以除負積者約計當得次商若干以乗負隅為隅法再減餘縱縱負則以負縱除負積合次商〈負縱與隅法皆所用以除負積者也無負縱則獨用隅法有餘縱則以隅法相減〉如實一千六百六十六和八十三初商四十而負積五十四再開以亷減縱餘三即約九為次商以再減餘縱縱負六乃以負縱除負積合次商為長四十九也
　　一以亷減縱有餘縱不可以除負積再以隅減縱適盡者此為有商無除〈隅與縱相減並盡既無負縱即無餘隅矣無可用以除負積者也〉而其負積則續商以除之如實五萬五千五百七十五和四百八十初商二百而負積四百二十五再開以亷減縱餘八十即以八十為次商〈若以九十為次商則減縱而縱負一十矣然以一十除負積欲合次商之九十當有負積九百乃足除耳今只四百二十五是負積又負於法不得行也〉以再減餘縱適盡無可除三開以亷減縱縱負八十乃以負縱除負積四百得五為三商而以隅五自乗得二十五減負積盡為長二百八十五一以亷減縱有餘縱再以隅減縱仍有餘縱者以餘縱乗商益負積〈餘縱以減積負縱以減負積然則餘縱當以益負積矣〉而續商以除之如實一萬六千一百二十八和二百六十四初商一百而負積二百七十二再開以亷減縱餘六十四即以六十為次商〈不以七十為次商者猶前例不可以九十為次商也〉以再減餘縱仍餘四則以餘縱乗商得二百四十以益負積得五百一十二三開以亷減縱縱負五十六乃以負縱除負積四百四十八得八為三商而以隅八自乗得六十四減負積盡為長一百六十八
　　右自帶縱并方亷開平方至此凡有縱方七法六法所以御平方之變而翻法又所以通縱方之窮也此外更有隅算開平方一法其以商亷相乗與負隅同而負隅則以益積及減帶縱隅算則以除積而并帶縱葢隅有正負猶縱有正負也〈若以一為隅算則與無隅算同商亷固即是隅算之一也〉以此八法為綱領而錯綜變化其用不窮矣隅算法前未有例於後見之云
　　平方以斜徑求方　法以斜徑自乗為實以二為隅算開方　假如方田斜徑七十步求方者以斜徑自乗得四千九百為實以二為隅算初商四十以乗隅算得八十為方法以方法乗商得三千二百減實再開倍前商得八十以乗隅算得一百六十為亷法以亷法除實一千四百四十得九為次商又以次商乗隅算得一十八為隅法以隅法乗商得一百六十二減實不盡九十八倍商加隅仍乗隅算以命分為一百九十八之九十八約為九十九之四十九得方四十九零九十九之四十九也　按斜徑自乗之實倍方積故以二為隅算開之〈或不用隅算以斜徑實半之開方亦得〉舊説率方五斜徑七然方五則斜七而强斜七則方五而弱未可為密率不若方斜積率方一斜二無黍絲差也
　　平方以方求斜徑　法倍方積開方
　　大小兩方以共積及兩方互乗數求大小方　法倍兩方互乗數減共積開方得兩方較乃以兩方互乗數為實以較為帶縱用帶縱并方亷開之〈言并方亷而或用減積可知不待言也他倣此〉得小方或以較為負縱用負縱減方亷開之得大方
　　又法倍兩方互乗數并共積開方得兩方和乃以兩方互乗數為實以和為帶縱一為負隅用帶縱負隅減縱開之得小方或用翻法開之得大方〈按此葢以句股法通之大方股也小方句也共積實也兩方互乗數句股相乗長方積也故倍互乗數則與共積相并减而開方可得和與較也或和或較但得其一即以互乗數為實用縱方開之自見大小方矣若兼求和與較以見大小方不用縱方之法亦可耳〉
　　大小兩方以共積及兩方較求大小方　法以較實減共積餘為實以二為隅算倍較為帶縱用隅算帶縱并方亷開之得小方或倍較為負縱用隅算負縱減方亷開之得大方　假如大小兩方田共積七千五百九十二步兩方較二十八步求大方者以較自乗得七百八十四以減共積得六千八百零八為實以二為隅算倍較得五十六為負縱初商七十以乗隅算得一百四十為方法先以負縱乗商得三千九百二十益實乃以方法乗商得九千八百減實再開倍前商得一百四十以乗隅算得二百八十為亷法約計次商當得四以乗隅算得八為隅法先以負縱乗商得二百二十四益實乃以亷法除實一千一百二十合次商又以隅法乗商得三十二減實盡得大方七十四〈此以隅算負縱益積法為例餘可類推〉
　　大小兩方以共積及兩方和求大小方　法以和實減共積餘為實以二為負隅倍和為帶縱用帶縱負隅減縱開之得小方或用翻法開之得大方〈按右二條但倍共積以減較實開方得兩方和以減和實開方得兩方較兼和較以見大小方最為便易然欲倣此意而推之三方以上則格而難通矣若以較和實減共積為實倍較和為帶縱負縱則推之三方以上總用此法不過遞增其隅算負隅之數及中方以較較為縱微不同耳合下二條觀之乃知法之妙也〉
　　大小三方以共積及三方之兩較求各方　法以兩較實減共積餘為實以三為隅算而視其較若係大與小中與小之兩較則倍兩較為帶縱用隅算帶縱并方亷開之得小方係大與中大與小之兩較則倍兩較為負縱用隅算負縱減方亷開之得大方或係大與中中與小之兩較而大與中之較盈於中與小之較〈可知中方近小方也〉則倍兩較之較為帶縱用隅算帶縱并方亷開之大與中之較朒於中與小之較〈中方近大方也〉則倍較較為負縱用隅算負縱減方亷開之大與中之較中與小之較等則直用隅算開之得中方
　　大小三方以共積及三方之兩和求各方　法以兩和實減共積餘為實以三為負隅倍兩和為帶縱用帶縱負隅減縱開之得中方及小方或用翻法開之得大方〈按并兩和實其數自多雖以共積減之猶多也以此為實則除之常有餘實矣并兩和又倍之其數亦復不少以此為縱則減之常有餘縱矣故舉大與中與小之兩和往往只用負隅減縱法即得大方不須翻法也惟大方與中小二方盈朒迥殊者乃間用翻法耳〉
　　右四條以較求方以和求方其法兩兩相對由二方以推之三方更推之多方皆可以一理貫也但較有帶縱負縱之分和則惟有帶縱而已又中方以較較為縱與大小方固殊而以和和為縱則與大小方不異故以較求者其緒繁以和求者其術簡也且如甲乙丙丁戊五方舉甲與戊乙與戊丙與戊丁與戊之四較即先求戊方以四較實減共積餘為實以五為隅算倍四較為帶縱用隅算帶縱并方亷開之求甲方者用負縱〈若四較皆以甲方為主即先求甲方也　甲大戊小〉並如右法至於求乙丙丁三方者當倍較較為縱而欲得較較固自有説假使求乙方即并乙與丙與丁與戊之三較而以甲與乙之較減之餘則較較也葢以大於乙之較與小於乙之較相減既得較較且可知乙方為近大方為近小方而較較為帶縱為負縱矣〈乙下於甲一等似近大方而較較當為負縱然使并乙與丙丁戊之三較不及甲與乙一較之數即乙近小方而當為帶縱也并三較與一較之數等者但用隅算開之〉丙丁倣此其以和求者只如
　　右法云
　　三廣田以積與三廣之兩較及長廣較求長廣　法以中廣與長之較為帶縱〈必以中廣為主此算三廣之定法　既稱長廣則中廣必朒於長故直稱帶縱而下文立法皆就帶縱言之也然亦或有中廣反盈於長者自當為負縱耳〉以中廣與南北廣之兩較并而四除之為旁縱〈長既有縱廣不當又稱縱而廣之有較亦縱也故謂之旁縱〉而中廣朒則為旁帶縱中廣盈則為旁負縱又有不同旁帶縱者用雙帶縱并方亷兼減積開之〈帶縱法以并方亷為便而兩縱分屬長廣兩邊則初開未可皆并入方故兼用減積法至再開或減積或并亷者亷固統長廣兩邊不妨并兩縱也〉旁負縱者用帶縱并方亷兼負縱益積減亷開之〈帶縱既用并方亷法而兩縱分屬長亷兩邊則初方不可一并一減故負縱必用益積法至再開或益積或減亷者亷統長廣兩邊不妨且并且減也〉得中廣　假如三廣田積二千四百六十五步中廣朒於南廣八步朒於北廣三十六步朒於長六十七步求三廣及長者以長廣較六十七為帶縱以兩廣較并而四除之得一十一為旁帶縱初商一十并帶縱得七十七為方法先以方法乗旁帶縱得八百四十七減積乃以方法乗商得七百七十減積再開倍前商得二十并帶縱得八十七為亷法約計次商當得八為隅法先以隅法乗旁帶縱得八十八減積乃以亷法除積六百九十六合次商又以隅八自乗得六十四減積盡得中廣一十八〈各加較得南廣二十六北廣五十四長八十五〉或再開以旁帶縱并入亷法得九十八以除積七百八十四得八為次商而以隅法減積盡尤簡捷
　　又如三廣田積二千四百六十五步中廣盈於南廣一十五步盈於北廣九步朒於長五十步求長廣者以長廣較五十為帶縱以兩廣較并而四除之得六為旁負縱初商三十并帶縱得八十為方法先以方法乗旁負縱得四百八十益積乃以方法乗商得二千四百減積再開倍前商得六十并帶縱得一百一十為亷法約計次商當得五為隅法先以隅法乗旁負縱得三十益積乃以亷法除積五百五十合次商又以隅五自乗得二十五減積盡得中廣三十五〈各加減較得南廣二十北廣二十六長八十五〉或再開以旁負縱減亷法得一百零四以除積五百二十得五為次商而以隅法減積盡尤便〈按右條之法亦可以縱為旁縱以旁縱為縱也雖縱有帶負之分而帶縱兼旁負縱者易為負縱兼旁帶縱於算亦通然長廣之較自當為縱廣與廣之較自當為旁縱理固如此耳且如下文各條例中其法更加隅算及負隅者縱與旁縱斷不可移易也〉
　　方長帶偏斜田以積及四邊之三較求長廣　法以一邊為主若主東一邊即以東長與南北廣之兩較俱盈俱朒者并而半之一盈一朒者相減而以所餘盈朒之數半之為縱以東西之較半之為旁縱其為帶縱負縱並以東一邊之盈朒分之先求東長如前三廣田法　假如偏斜田積四千一百四十八步東長盈於南廣十步朒於北廣四步朒於西長八步求各長廣者以東與南北兩較相減得盈六半之得三為負縱以東西較半之得四為旁帶縱初商六十減負縱得五十七為方法先以方法乗旁帶縱得二百二十八減積乃以方法乗商得三千四百二十減積再開倍前商得一百二十減負縱得一百一十七并旁帶縱得一百二十一為亷法以亷法除積四百八十四得四為次商而以隅四自乗得一十六減積盡得東長六十四〈各加減較得南廣五十四北廣六十八西長七十二〉
　　又如偏斜田積一萬一千四百步東長盈於南廣一百三十步盈於北廣一百一十步朒於西長二十步求長廣者以東與南北兩較相并半之得一百二十為負縱以東西較半之得一十為旁帶縱初商一百〈此因負縱多而初商少兼用益積法〉先以負縱乗旁帶縱得一千二百益積〈凡帶縱皆用之減積也此旁帶縱何以益積葢以方法相乗則減積耳方法之中有商有帶縱方也商也帶縱也皆正也兩正相乗宜減積一正一負相乗宜益積也〉次以商乗旁帶縱得一千減積又以負縱乗商得一萬二千益積乃以商自乗得一萬減積再開倍前商得二百減負縱得八十并旁帶縱得九十為亷法以亷法除積七千二百得八十為次商而以隅八十自乗得六千四百減積盡得東長一百八十〈南廣五十北廣七十西長二百〉
　　又如偏斜田積八千一百步東長盈於南廣一百二十五步盈於北廣一百一十五步盈於西長一十六步求長廣者以東與南北兩較相并半之得一百二十為負縱以東西較半之得八為旁負縱初商一百先以負縱乗旁負縱得九百六十減積〈凡負縱皆用之益積此旁負縱何以減積葢一正一負相乗宜益積則兩負相乗又宜減積也兩負如無負也〉次以商乗旁負縱得八百益積又以負縱乗商得一萬二千益積乃以商自乗得一萬減積再開倍前商得二百減負縱得八十又減旁負縱得七十二為亷法以亷法除積五千零四十得七十為次商而以隅七十自乗得四千九百減積盡得東長一百七十〈南廣四十五北廣五十五西長一百五十四〉　按右三例第一例以負縱減方亷兼帶縱減積并亷也其第二例第三例亦是負縱兼旁縱而初開以負縱減商商皆不足當以所負商數各二十為負方第二例以負方乗旁帶縱得二百益積又以負方乗商得二千益積第三例以負方乗旁負縱得一百六十減積又以負方乗商得二千益積即初開各畢矣前著例頗詳者欲使其中條理顯然而㨗徑自出也
　　三廣田以積與三廣和兩廣較及長廣較求長廣　法以四乗積為實以和為帶縱一為隅算〈凡三廣必倍中廣并邊兩廣而四除之以為廣今四乗積則可以當四除矣乃以三廣和為帶縱而猶少一中廣即以一隅算并縱隅算固所求之中廣也〉以中廣與長之較為旁帶縱〈如中廣反盈於長則為負也〉用隅算雙帶縱并方亷兼減積開之得中廣〈以加長廣較得長以減三廣和得南北二廣和欲知南北各廣數以兩廣較推之其較非必南北之較而皆可以次第推也　按此以長廣較為旁縱者和不得為旁縱也凡和為帶縱必加隅算及負隅而隅算負隅勢不得在旁也此隅算只一猶與無隅算同縱與旁縱可以互換非負隅之比負隅雖只一其縱亦不可移耳〉
　　方長帶偏斜田以積與三邊和及長較廣較求長廣法以二乗積為實以和為帶縱一為負隅〈以三邊和為帶縱非有二長即有二廣故以二乗積而有二長者一為負隅以求廣因以減縱中之廣有二廣者一為負隅以求長因以減縱中之長〉以長較或廣較半之為旁縱〈求長則取長較求廣則取廣較〉其為帶縱負縱以所求一邊之盈朒分之乃用帶縱負隅減縱兼旁縱開之得一邊長廣　假如偏斜田積四千一百四十八步東南北三邊和一百八十六步東長朒於西八步南廣朒於北一十四步求各長廣者以二乗積得八千二百九十六為實以一為負隅以和一百八十六為帶縱以東西較半之得四為旁帶縱初商六十以乗負隅仍得六十為方法以方法減縱餘一百二十六先以餘縱乗旁帶縱得五百零四減實乃以餘縱乗商得七千五百六十減實再開倍前商得一百二十以乗負隅仍得一百二十為亷法約計次商當得四以乗負隅仍得四為隅法以亷法減縱餘六十六又以隅法減縱餘六十二乃先以隅法乗旁帶縱得一十六益實〈在負隅法中方亷隅皆負也旁帶縱以正而與負乗故宜益實也〉而以餘縱減實二百四十八合次商得東長六十四〈以減和更以廣較推之得南廣五十四北廣六十八以長較見西長七十二〉或再開以旁帶縱乗負隅仍得四〈凡縱不與隅算及負隅二者相乗而旁縱自再開以後欲與亷縱相并減則必與二者相乗也前以隅法乗之而益積隅法固已先乗負隅矣〉以減縱餘五十八〈帶縱而乗負隅故以減縱〉而以除實二百三十二合次商亦便
　　又如偏斜田積三千二百五十步東南北三邊和一百七十四步東長朒於西一十二步南廣朒於北六步此須用帶縱負隅減縱翻法〈倍積為實則除實宜有餘實一長二廣為縱則減縱宜有餘縱而或須用翻法者必其田狹長之甚也〉而兼旁縱開之以二乗積得六千五百為實以一為負隅以和一百七十四為帶縱以東西較半之得六為旁帶縱初商一百〈若商八十或九十則負積愈多而八十且有餘縱無以置之九十雖有負縱其數甚少不能除盡負積故定商一百〉以乗負隅仍得一百為方法以方法減縱餘七十四先以餘縱乗旁帶縱得四百四十四減實乃以餘縱乗商得七千四百減實實負一千三百四十四再開倍前商得二百以乗負隅仍得二百為亷法以亷法減縱縱負二十六約計次商當得二十以乗負隅仍得二十為隅法先以隅法乗旁帶縱得一百二十減負實乃以負縱除負實五百二十合次商又以隅法乗商得四百減負實三開倍前商得二百四十以乗負隅仍得二百四十為亷法以亷法減縱縱負六十六約計三商當得四以乗負隅仍得四為隅法先以隅法乗旁帶縱得二十四減負實乃以負縱除負實二百六十四合三商又以隅法乗商得一十六減負實盡得東長一百二十四〈南廣二十二北廣二十八西長一百三十六〉或再開以旁帶縱乗負隅仍得六以并負縱得三十二以除負實六百四十得二十為次商而以隅法減負實四百三開以旁帶縱乗負隅仍得六以并負縱得七十二以除負實二百八十八得四為三商而以隅法減負實盡尤便　按算術固不能盡言即如偏斜田設舉積及東南和東北和東西較則并兩和為帶縱以二為負隅而依前半較為旁縱倍積為實開之得東長或舉積及東南和東北和東西和則以四乗積為實以東西和除之得南北和而并東南和東北和以南北和減之半其餘得東長如三廣田舉積與三廣之兩較及長廣和則以和為帶縱一為負隅并兩較而四除之為旁縱以開積得中廣神而明之法隨問變豈可限也兹因偏斜田而引伸其説凡諸條例莫不皆然請以俟通人之自悟焉
　　長方以重長重廣共步及積求長廣　法以共步為帶縱而求長則以長數〈重幾長則為幾數也下廣數同〉為負隅以廣數乗積為實求廣則以廣數為負隅以長數乗積為實用帶縱負隅減縱及翻法開之〈不論求長求廣但負隅數少乗積數多者積與縱常有餘往往用帶縱負隅減縱法負隅數多乗積數少者積與縱常不足往往用翻法惟田形狹長之甚者則不然臨算當自知之不可預定耳〉　假如長方積八百六十四步二長五廣共一百九十二步為帶縱以五乗積得四千三百二十為實〈五乗積則得長乗廣之數五而可以五廣為帶縱也〉以二為負隅〈實中無長自乗之數而帶縱有二長故以二為負隅不益實即減縱也〉用帶縱負隅減縱開之得長三十六或以二乗積得一千七百二十八為實以五為負隅用翻法開之得廣二十四　更有重長重廣重和重較共步及積求長廣者如積八百六十四步一和二較三長四廣共二百八十八步法先約一和得一長一廣并三長四廣得四長五廣又以二較益廣為長共得六長三廣乃如前求之若重較數多既益廣盡為長而尚有餘較者此則不可求長但可求廣〈原積無長乗較之數故不可求長原積有廣自乗及廣乗較之數各一故可求廣〉且如積八百六十四步一和六較三長四廣共三百三十六步約一和三長四廣得四長五廣又以六較之五益廣為長共得九長而餘一較則以九長減較為廣乃得九廣十較而以十乗積得八千六百四十為實以一為隅算〈十乗積則得廣自乗及廣乗較之數各十而帶縱少一廣故以一為隅算并縱也〉以共步為帶縱用隅算帶縱并方亷開之得廣二十四
　　長方以長廣母子分數之共步及積求長廣　法以長母乗廣子為廣率為廣數以廣母乗長子為長率為長數以兩母相乗為總率以乗共步為帶縱乃如前重長重廣例求之　假如長方積八百四十步五分長之二四分廣之一共二十步求長廣者以五乗一得五為廣率為五廣以四乗二得八為長率為八長以五與四乗得二十為總率以乗共步得四百為帶縱而此帶縱之數凡有八長五廣也乃以八乗積得六千七百二十為實以五為負隅用帶縱負隅減縱開之得廣二十四或以五乗積得四千二百為實以八為負隅用翻法開之得長三十五
　　長方匿原積以長乗重長重廣積步及較或以廣乗重長重廣積步及較求長廣　法以乗積為實并長廣數為隅算而長乗求長則以廣數乗較為負縱用隅算負縱減方亷開之廣乗求廣則以長數乗較為帶縱用隅算帶縱并方亷開之若廣乗求長則以廣數乗較為負縱又以較為旁負縱用隅算雙負縱減方亷兼益積開之長乗求廣則以長數乗較為帶縱又以較為旁帶縱用隅算雙帶縱并方亷兼減積開之假如長方匿其原積而以廣乗六長三廣得六千
　　九百一十二步其長廣較一十二步求長者以乗積六千九百一十二為實以九為隅算以三乗較得三十六為負縱又以較一十二為旁負縱初商三十以乗隅算得二百七十減負縱得二百三十四為方法先以方法乗旁負縱得二千八百零八益實乃以方法乗商得七千零二十減實再開倍前商得六十以乗隅算得五百四十減負縱得五百零四為亷法約計次商當得六以乗隅算得五十四為隅法先以隅法乗旁負縱得六百四十八益實乃以亷法除實三千零二十四合次商又以隅法乗商得三百二十四減實盡得長三十六或再開以旁負縱乗隅算得一百零八以減亷法得三百九十六以除實二千三百七十六得六為次商而以隅法減實盡尤捷　右法更有以長乗重長重廣重和重較或以廣乗之而以其積步及較求長廣者並先約和較為長廣不待言矣若以較益廣盡為長而尚有餘較如前九長一較之比者别自有法且如九長一較法以九為隅算而長乗求長則以一乗較為帶縱廣乗求廣則以十乗較為帶縱〈九廣十較也〉廣乗求長則以一乗較為帶縱又以較為旁負縱長乗求廣則以十乗較為帶縱又以較為旁帶縱依例開之
　　長方匿原積以長乗重長重廣積步及和或以廣乗重長重廣積步及和求長廣　此與前一條相似而不同以長乗者但可求長以廣乗者但可求廣〈隅算及負隅無旁加者勢不能也故長乗不便於求廣廣乗不便於求長矣〉法亦以乗積為實而長乗求長則以廣數乗和為帶縱廣乗求廣則以長數乗和為帶縱又以長廣數相減餘數為隅算不足數為負隅求長取長求廣取廣為之乃用隅算帶縱并方亷或用帶縱負隅減縱及翻法開之如六長三廣長乗求長則以三乗和為帶縱以三為隅算〈六長三廣相減長餘三以為隅算之數葢并三長於帶縱得六長三廣也〉廣乗求廣則以六乗和為帶縱以三為負隅〈六長三廣相減廣不足三以為負隅之數葢減三廣於帶縱亦得六長三廣也〉開之是也　右法長廣所乗若更兼重和重較者先約和較為長廣而約得餘較如前九長一較之比亦别有法且如九長一較長乗求長則以一乗和為負縱以十一為隅算〈減一長一廣於隅算得九長一較也〉廣乗求廣則以十乗和為帶縱以十一為負隅〈減十一廣於帶縱亦得九長一較也〉依例開之

　　九章録要卷六
<子部,天文算法類,算書之屬,九章錄要>



　　欽定四庫全書
　　九章錄要卷七
　　松江屠文漪撰
　　商功法
　　古九章五曰商功以御功程積實
　　塹堵求積尺　凡築城墻堤塹之類上下廣不等者法并上下廣折半以髙乘之復以長乘之得積
　　塹堵求積又法　堤塹之類亦有兩頭之上廣之下廣之髙各不等者法倍東髙加入西髙以東頭上下廣并而乘之折半又倍西髙加入東髙以西頭上下廣并而乘之折半并二數以長乘之以六除之或不用兩度折半者則以十二除之〈右一條新訂〉
　　方臺求積　法同粟米章方窖
　　長方臺求積法同長方窖
　　員臺求積　法同員窖
　　長員臺求積法同長員窖
　　方錐求積　法同粟米方尖堆
　　方錐改方臺求各數法　假如方錐下方二十四尺髙三十二尺今改方臺上方六尺問髙幾何
　　一率　二十四〈原下方尺數無減〉
　　二率　三十二〈原髙尺數〉
　　三率　一十八〈今上下方較尺數〉
　　四率　二十四〈今髙尺數〉
　　又如前例問截去幾何
　　一率　二十四〈下方〉
　　二率　三十二〈原髙〉
　　三率　六〈今臺上方即今截下方〉
　　四率　八〈今所截之髙〉
　　右二例若求今髙以減原髙亦得所截之髙求截髙以減原髙亦得今髙而必備其法者庻各得所求不須借徑也又如前例今髙二十四尺問上方幾何
　　一率　三十二〈原髙〉
　　二率　二十四〈下方〉
　　三率　八〈今髙減原髙為所截之髙〉
　　四率　六〈今截下方即今臺上方〉
　　右例亦可以今髙列三率求得四率為今上下方較以減下方而得上方也
　　員臺改員錐求各數　假如員臺下周七十二尺上周一十八尺髙二十四尺今改員錐問髙㡬何
　　一率　五十四〈原上下周較〉
　　二率　二十四〈原髙〉
　　三率　七十二〈今下周無減〉
　　四率　三十二〈今髙〉
　　又如前例問增髙㡬何
　　一率　五十四〈原上下周較〉
　　二率　二十四〈原髙〉
　　三率　一十八〈原臺上周即今增下周〉
　　四率　八〈今所增之髙〉
　　又如前例今髙三十二尺問上周
　　一率　二十四〈原髙〉
　　二率　五十四〈原上下周較〉
　　三率　三十二〈今髙〉
　　四率　七十二〈今上下周較以減下周適盡知為員錐也〉
　　右例亦可以今所增之髙列三率求得四率為所增上下周較以減原上周適盡而知為員錐也
　　又右六法方減員增特互舉以見例而法則相通且方或以周算員或以徑算亦皆同耳
　　塹堵增減求數法　假如築墻上廣二尺下廣六尺髙二十尺今已築至上廣三尺六寸問髙㡬何
　　一率　四十〈原上下廣較化寸數〉
　　二率　二十〈原高尺數〉
　　三率　二十四〈今上下廣較化寸數〉
　　四率　一十二〈今高尺數〉
　　又如前例今欲築至髙二十四尺問上廣㡬何一率　二十〈原高尺數〉
　　二率　四十〈原上下廣較化寸數〉
　　三率　二十四〈今高尺數〉
　　四率　四十八〈今上下廣較寸數以減下廣得一十二寸為今上廣〉
　　塹堵以直高求斜高以斜高求直高　法以上下廣較半之為勾直高為股斜高為以勾股法互求之〈右一條新増〉
　　功程遲速例　假如乙匠製造四十五日而畢加甲匠則十八日而畢問獨用甲匠須㡬日法以十八日減四十五日得二十七日為乙匠未畢之工知甲匠十八日當乙二十七日也列率求之
　　一率　二十七
　　二率　一十八
　　三率　四十五
　　四率　三十
　　又如甲匠製造六十日而畢乙匠則百日而畢問兩匠并營須㡬日法以六十日除百日得甲匠一日之工當乙匠一日又三分日之二并乙匠一日得二日又三分日之二以除百日得三十七日又二分日之一為并營日數或以百日除六十日得乙匠一日之工當甲匠五分日之三并甲匠一日得一日又五分日之三以除六十日亦得三十七日又二分日之一〈右一條新增〉
　　方尖堆物求積〈自此以下皆隙積之法隙積謂積之有隙者如累棊及積酒罌之類與前積尺法不同〉　假如方尖堆下廣十二問積㡬何法置下廣十二别以下廣加一枚為十三而乗之得一百五十六又以下廣加半枚為十二有半而乗之得一千九百五十以三除之得積六百五十
　　方平堆物求積　法以下廣依尖堆法求積别以上廣減一枚為下廣依尖堆法求積兩尖堆積相減得平堆積〈此以平堆先作尖算乃減上虗尖成平也〉
　　長方平尖堆求積〈旣云尖又云平者上廣只一故謂之尖上長不止於一故又謂之平也〉假如長方平尖堆下廣十長十二問積㡬何法以
　　長廣較半之得一又加半枚得一有半并長得十三有半以廣乗之得一百三十五又以廣加一枚為十一而乗之得一千四百八十五以三除之得積四百九十五　又法先以廣長較加一枚得上長而算之〈上廣只一不必言〉假如平尖堆下廣八長十三問積幾何此可知上廣一而長六也乃倍下長加上長得三十二以下廣乗之得二百五十六又以下廣乗之得二千零四十八并二百五十六得二千三百零四以六除之得積三百八十四
　　長方平堆求積　法倍上長加下長以上廣乗之又倍下長加上長以下廣乗之并二數加上下長較〈上下廣較同〉以髙乗之〈上下長較加一數得髙上下廣較亦同〉以六除之得積按此法長方平尖堆及方尖堆方平堆皆可用之蓋一法而兼四法可云居要者也
　　三角尖堆求積　假如三角尖堆下廣八問積㡬何法置下廣八别以下廣加一枚為九而乗之得七十二又以下廣加二枚為十而乗之得七百二十以六除之得積一百二十
　　三角平堆求積　法以上廣自乗又以下廣自乗又以上廣乗下廣又倍下廣加上廣并四數以髙乗之〈上下廣較加一數得髙〉以六除之得積　按此法亦可用之三角尖堆








　　九章錄要卷七



　　欽定四庫全書
　　九章錄要卷八
　　松江屠文漪撰
　　均輸法
　　古九章六曰均輸以御逺近勞費
　　均輸例　假如有糧二萬石令甲乙丙丁戊五縣依戸口多少道里逺近價値上下而均輸之每車載五十石行一里僦値一錢甲縣三萬零五百二十戸米石價二兩乙縣一萬二千三百一十二戸米石價一兩四錢逺輸二百里丙縣七千一百八十二户米石價一兩六錢逺輸一百五十里丁縣一萬三千三百四十三户米石價一兩七錢逺輸二百五十里戊縣一萬五千三百一十戸米石價一兩三錢逺輸三百五十里問五縣各㡬何五縣每戸各幾何法以僦價并入米價以除各縣户數而求各縣之衰惟甲縣自輸本縣無僦價以米價化為二十錢除户數得一千五百二十六為甲衰其乙丙丁戊四縣俱有僦價各以所輸里數乗僦一錢而以每載五十石除之得各運價乙縣行二百里乗除得四錢并米價共一十八錢以除戸數得六百八十四為乙衰丙縣行一百五十里乗除得三錢并米價共一十九錢以除戸數得三百七十八為丙衰丁縣行二百五十里乗除得五錢并米價共二十二錢以除戸數得六百零六又二之一為丁衰戊縣行三百五十里乗除得七錢并米價共二十錢以除戸數得七百六十五又二之一為戊衰并五衰共三千九百六十為總衰
　　一率　　三千九百六十
　　二率　　二萬
　　三率　〈二千五百　六百八十　三百七十　六百零六　七百六十五二十六　　四　　　　八　　　　又二之一　又二之一
　　甲　　乙　　丙　　丁　　戊〉
　　四率　〈七千七百　三千四百　一千九百三千零六三千八百零七石零　五十四石　零九石零十三石一六十六石七升又九　五斗四升　九升又十一　斗三升又一斗六升十九分升　又十一分　分升之一　九十九分又九十九
　　之七　　升之六　　　　升　　　　分升之三　　　　十六〉
　　右已得各縣米數次以各縣戸數除之即得每戸數
　　逺近勞費襍例　假如僦車運貨原議行路二千里載重二千四百斤給値一十五兩今重三千斤行二千六百里問値㡬何
　　一率　四百八十萬〈原路及重相乗數約為四十八〉
　　二率　一十五〈原値兩數〉
　　三率　七百八十萬〈今路及重相乗數約為七十八〉
　　四率　二十四又八分之三〈今値兩數〉
　　右亦可用重測法
　　一率　二千〈原行里數〉
　　二率　一十五〈原値兩數〉
　　三率　二千六百〈今行里數〉
　　四率　一十九又二之一〈今行路仍載原重僦值兩數〉
　　又
　　一率　二千四百〈今行路載原重斤數〉
　　二率　一十九又二之一〈原重須僦價兩數〉
　　三率　三千〈今重斤數〉
　　四率　二十四又八之三
　　右重測法或先以載重列率次以行路列率求之一率　二千四百〈原重〉
　　二率　一十五〈原値〉
　　三率　三千〈今重〉
　　四率　一十八又四之三〈今重仍行原路僦値兩數〉
　　又
　　一率　二千〈今重行原路〉
　　二率　一十八又四之三〈原路僦價〉
　　三率　二千六百〈今行路〉
　　四率　二十四又八之三
　　又如前例載二千四百斤行二千里値一十五兩今載三千二百斤給値一十二兩問當行路㡬何一率　二千四百〈原重〉
　　二率　一十五〈原値〉
　　三率　三千二百〈今重〉
　　四率　二十〈今重仍行原路僦値〉
　　又
　　一率　二十〈今重行原路値〉
　　二率　二千〈原路〉
　　三率　一十二〈今値〉
　　四率　一千二百〈今路〉
　　右亦可用併測法求得四率今重兼行路之數再以今重除之得行路數〈下同〉
　　又如前例載二千四百斤行二千里値一十五兩今路一千七百里給值七兩六錢五分問當載重㡬何一率　二千〈原路〉
　　二率　一十五〈原値兩數　或化為一千五百分〉
　　三率　一千七百〈今路〉
　　四率　一十二又四之三〈今路仍載原重僦値　或化一千二百七十五分〉又
　　一率　一十二又四之三〈今路載原重値　或化一千二百七十五分〉二率　二千四百〈原重〉
　　三率　七又二十之一十三〈今值　或化七百六十五分〉
　　四率　一千四百四十〈今重〉
　　又如驛使先發一十三日别遣騎追之馳二日半訪之驛舍知先後經過較十一日半問更須㡬日可及一率　一又二之一〈先發日減較日為追上日數〉
　　二率　二又二之一〈馳追日數〉
　　三率　一十一又二之一〈較日數〉
　　四率　一十九又六之一〈追及日數右一條新訂〉
　　又如行程二千七百里十八人同行止有馬七匹更換騎之十里一換問騎行歩行各㡬何法以馬數乗行程得數以人數除之得每人騎行一千零五十里減行程餘為歩行數
　　又如空車日行七十里若重載即日行五十里今運米到倉五日三返問路逺㡬何法并空車重車日行數以三返乗之為日數列一率以空車重車日行數相乗為里數列二率知以三百六十日行三千五百里而三返也乃以五日列三率求之
　　一率　三百六十
　　二率　三千五百
　　三率　五
　　四率　四十八又一十八之一十一〈所求里數〉







　　九章錄要卷八



　　欽定四庫全書
　　九章錄要卷九
　　松江屠文漪撰
　　盈朒法
　　古九章七曰盈朒亦曰盈不足以御隱襍互見
　　盈不足例　假如衆人分帛每人六匹盈七匹每人八匹不足九匹問人數帛數各㡬何法以盈不足數相并為人實以分數互乗盈不足數相幷為帛實乃以分數相減之較為法除人實得人數八除帛實得帛數五十五　按盈不足數及分數互乗盈不足數俱相并若遇兩盈兩不足即相減惟以分數相減之較為法則諸例皆同都不用并也
　　又按右例若止求人數以乗分數而以盈不足數加減算之亦得帛數即不用互乗之法可也以下諸例倣此
　　又如田形長方欲於中截分一段截長七歩不足七歩截長九歩盈十一歩問原闊歩及所截積歩各㡬何法以盈不足數相幷為原闊之實以截長數互乗盈不足數相幷為截積之實俱以截長之較為法除之得原闊歩九截積歩七十
　　又如絹一匹作帳摺成六幅比舊帳長六寸摺成七幅比舊帳短四寸問舊帳幅新絹各長㡬何法先以幅數各乗長短數以為盈不足數〈六幅共盈三十六寸七幅共朒二十八寸不以六寸四寸為盈朒數也〉然後以盈不足數相并為舊帳幅實以幅數互乗盈不足數相并為新絹實俱以幅數之較為法除之得舊帳幅長六尺四寸新絹長四丈二尺
　　又如井不知深〈謂水面以上至井口非謂水深也〉將繩摺作三股入井汲水餘繩四尺摺作四股入井餘繩一尺問井深繩長各㡬何法先以股數各乗餘繩數以為兩盈數〈與上帳幅例同〉然後以兩盈數相減為井實以股數互乗兩盈數相減為繩實俱以股數之較為法除之得井深八尺繩長三丈六尺
　　又如官米不知其數甲乙二等户並輸乙户所輸當甲户十之八令甲等八户乙等五戸輸之不足三石令甲等六户乙等八戸輸之不足一石問二等户輸米則例及官米總數各㡬何法先以甲乙二等衰各乗户數依問所列并之以為輸數〈此兼用衰分之法甲衰十乗八户乙衰八乗五户并得一百二十甲衰十乗六户乙衰八乗八户并得一百二十四為輸數不以原户數為輸數也〉然後以兩不足數相減為則例之實以輸數互乗兩不足數相減為總米之實乃以輸數之較為法除則例實以二等衰各乗之得二等戸輸米則例甲每户五石乙每户四石〈按以法除則例之實當得則例之數而此條乃不同者前旣以甲户乗衰作十數乙户乗衰作八數則此除得之數僅得甲户十之一乙户八之一故須以二等衰各乗之而後二等則例皆得也〉又以輸數之較為法除總米實得官米總六十三石
　　按右三條其法不異於前兩條但中間復帶細數須相乗者故微有不同耳若帶分盈朒雖亦大略相類而自為一法别起例於後
　　又如長方田中欲截分一段截長三十八歩不足二十五歩截長四十歩適足問原闊歩及所截積歩各㡬何法以不足數為原闊之實以適足之截長數乗不足數為截積之實俱以截長之較為法除之得原闊十二歩半截積五百歩〈一盈一適足者倣此〉
　　帶分盈不足例　假如將銀買物用銀三分之二盈三兩用五分之三不足一兩問銀數物價各㡬何法先以分子互乗分母以為用銀數〈分子二乗分母五則以十為用數不以二為用數分子三乗分母三則以九為用數不以三為用數〉然後以盈不足數相并以兩分母相乗之數乗之為銀實〈分子旣互乗分母以為用數則盈不足亦必累乗兩分母以為銀實也〉以用銀數互乗盈不足數相并為物價實俱以用銀數之較為法除之得總銀六十兩物價三十七兩
　　又如衆人買物每六人共出銀九兩盈三兩每四人共出銀七兩盈六兩問人數物價各㡬何法如前先以銀率互乗人率以為出銀數然後以兩盈數相減以兩人率相乗之數乗之為人實以出銀數互乗兩盈數相減為物價實俱以出銀數之較為法除之得人數一十二物價兩數一十五
　　按右例似與帶分有别而實則同也六人共銀九兩即是六分之九零分法原有子數多於母數者也所用算術旣無少異宜附帶分之條或别立名目重出一條徒滋學者之惑殆未深知其理之一耳　又按第一例旣以用銀數互乗盈不足得數若再以用銀數與乗得之數又互換而乗之〈前用銀數十互乗不足一兩仍得十用銀數九互乗盈三兩得二十七今再以用銀數十互乗二十七得二百七十用銀數九互乗十得九十也〉相并以兩分子相乗之數除之以為銀實〈第二例亦然此姑就第一例言之〉於算亦通而叠用互乗數目紛紜非法之良宜從芟削者也〈右二條新訂〉
　　又如將銀買米用銀三分之一買十石不足三兩用九分之四買十二石不足二兩問銀數及米每石價各㡬何法先以分子互乗分母及石數以為用銀數以兩不足數互乗石數以為兩不足數然後以兩不足數相減以兩分母相乗之數乗之為銀實以用銀數互乗兩不足數相減以兩石數相乗之數除之為米價實俱以用銀數之較為法除之得總銀三十六兩米每石價一兩五錢
　　按右例於帶分之外更有石數不齊須用乗除故其法頗繁宜依所問列左右二行左分子一乗右分母又乗右石數得一百零八為左用銀數左不足三乗右石數得三十六為左不足數右亦如之然後再用互乗庻無淆亂之患　按用銀數互乗兩不足得數即以為米價實〈不用兩石數相乗之數除也〉以用銀數之較為法除之却再以十石除之則得十二石之總價以十二石除之則得十石之總價
　　又按用銀數旣互乗兩不足得數再與乗得數互換乗之相減以兩石數相乗之數除之又以兩分子相乗之數除之以為銀實其法亦通然知之則可用之則迂矣〈右一條新増〉
　　又如穀不知數取三分之一賣銀八兩不足一石取九分之四賣銀十兩適足問總穀㡬何每銀一兩直榖㡬何法如前先以分子互乗分母及兩數以為出榖數以適足之兩數乗不足數以為不足數然後以不足數以兩分母相乗之數乗之為穀實以適足之出穀數乗不足數以兩兩數相乗之數除之為銀直實俱以出穀數之較為法除之得總穀四十五石每銀一兩之直穀二石
　　按右例旣得總穀石數但取適足銀數以原母乘之原子除之即得總穀所直之銀而銀一兩所直之穀可知矣此法最捷〈右一條新訂〉
　　又按此章諸例皆可以借徵法求之别著一條於第十二篇中餘可反隅而得也
　　九章錄要卷九



　　欽定四庫全書
　　九章錄要卷十
　　松江屠文漪撰
　　方程法
　　古九章八曰方程以御錯揉正負
　　二色方程例　假如綾五匹紗八匹共價銀二十四兩又綾七匹紗四匹共價二十二兩八錢問綾紗每匹價各㡬何法依所問列左右二行以綾五互乗綾七紗四及價所得數各注於其下〈綾得三十五紗得二十價得一百一十四〉亦以綾七互乗綾五紗八及價注所得數如前〈綾得三十五紗得五十六價得一百六十八〉兩綾數相對減盡兩紗數減餘〈三十六〉為法兩價數減餘〈五十四〉為實以法除實得紗每匹價一兩五錢乃就一行中以紗匹數乗價減共價餘以綾匹數除之得綾每匹價二兩四錢
　　按右例若以紗互乗即先得綾價於法皆通以後各例倣此
　　又按例以綾互乗則兩綾所得數必相對減盡矣立法之意正欲使兩綾數等而後價數之不齊由於紗數之不齊顯然可推也然旣知此義則以後凡同物相乘如綾之比者直可省之故槪不贅書惟於右一條具文見義云
　　又如七釵九鈿共重九兩四錢釵重鈿輕於中互换其一則輕重適等問釵鈿各重㡬何法依所問釵鈿互換其一以六釵一鈿一釵八鈿左右對列而中分其總重之數繫之兩行如前求之得一釵之重七錢一鈿之重五錢
　　二色方程兼正負例　假如賣米七石買麥三石米家得銀九兩六錢又賣米三石買麥九石米家出銀三兩六錢問米麥每石價各㡬何法以米為正麥為負米家所得之價為正米家所出之價為負列左右兩行如前若以米互乘麥及價者〈麥負九得六十三價負得二十五兩二錢麥負三得九價正得二十八兩八錢〉而麥數減餘〈五十四〉為法兩價數相并〈五十四〉為實以法除實得麥每石價一兩乃以麥負九石乘價減負價餘以米三石除之或以麥負三石乘價并正價以米七石除之得米每石價一兩八錢按負有背負之義謂正之反也亦有負欠之義此
　　例從米家賣米言之故賣米為正買麥為負米家所得之價為正所出之價為負若從麥家言者反是其并減之法此以兩正及兩負同名者相減一正一負異名者相并自互乗得數及已得一物之價而以其物數乗價與原正負價幷減求第二物之價皆然
　　二色正負反用并減例　凡互乗所得數固以兩正兩負同名相減一正一負異名相并為常法而亦有反用之者假如賣米五石麥五石得銀一十四兩賣米四石買麥七石出銀二兩問米麥每石價各㡬何此若以米互乗麥與價〈米係兩正同名〉則兩米相乘所得數自必相對減盡不待乗而可知矣兩麥兩價俱係正負異名其乘得數固宜相并如常法也〈麥正得二十麥負得三十五并得五十五價正得五十六價負得一十并得六十六〉若以麥互乗米與價〈麥係正負異名〉則兩麥相乘所得數乃須相并殊非立法之意故變通其法反以兩麥相減而兩米俱正同名反相并〈米五得三十五米四得二十并得五十五〉兩價正負異名亦反相減〈價正得九十八價負得一十減得八十八〉此其義何也賣米買麥而出銀猶之買米賣麥而得銀然則正可變為負負可變為正今不變其正負之名但變其并減之法此法之變生乎常而常變不殊其用者也且非特此也同名相減取其數之齊者以相比例而其餘之不齊可得而推故同減而異必并異名相減取其數之齊者以相償補而其餘之不齊亦可得而推故異減而同必并此法之變反乎常而常變各成其用者也依法求之得米每石價一兩六錢麥每石價一兩二錢自三色正負以上凡互乘所得數則兩法並用若已得一物之價而以其物數乗價與原正負價相并減求第二物之價者只依常法不在變通之例
　　按右所論同減異并異減同并明其所以然之故益見法之當然而不可易矣乃旣經并減後所得之數謂之正乎謂之負乎此在二色方程但取其數為法實以相除猶不必深辨也若三色以上而不分正負後更與他數相并減其道何由故特剖而論之曰凡并減雖兩行相對要以一行為主如以正并者〈為主之行繫正也〉得數仍為正以負并者得數仍為負也以正減者減而有餘〈為主之行有餘也〉則為正減而不足則為負以負減者減而有餘則為負減而不足則為正也此一定之理斷不容混耳更有為主之行無數而借相對之行所有數虛立於本行以為數者或遇應借而不知借或借而槩稱為負則非矣夫數豈可借盖實非借也試思兩正相減而此少彼多猶謂之負則此無彼有得不謂之負乎〈兩負相減亦然〉又試思以正幷負而此有正數猶取彼負以益之則此無正數得不取彼負以實之乎〈以負并正亦然〉故借正為負借負為正凡以同名互乘相減者固宜如是也若以異名互乗則亦當借正為正借負為負此皆自然之理施之於算無往不合者其要則曰同減異借異減同借兩言而已每見算家之書於已經并減之數及應借之數處之茫然莫能致辨於是誤在毫釐失之千里縱復强為牽合究且於率難通則方程之法或㡬乎廢矣兹因論并減異同而並暢其説然後以三色四色方程著例於左覽者當如觀火而自五色以上直可推之至於無窮也〈右一條新訂〉
　　三色方程例　假如綾五匹紗三匹紬五匹共價二十二兩五錢又綾四匹紗二匹紬七匹共價二十一兩又綾八匹紗六匹紬九匹共價三十九兩問三物每匹價各㡬何法依所問列左右中三行乃以左行中行綾互乘紗紬及價又以右行中行綾互乗紗紬及價所得數各注於其下次以中行左行相減且如左行為主〈或以中行為主亦可〉減得紗正八紬負二十價負一十二注左行之旁又以中行右行相減且如右行為主減得紗正二紬負一十五價負一十五注右行之旁〈圖式具後其左右中三行上中三層俱可互換耳〉






　　兩旁所注數即是二色方程再依二色法求之得紬每匹價一兩二錢紗每匹一兩五錢二價旣得綾價易見每匹二兩四錢〈按右例原數無正負因相減而有正負也若左例原數已兼正負則别為一條　又按方程章惟右一例不可用借徴法餘並可以借徴求之而條縷多者方程為便〉
　　三色方程兼正負例　假如綾五匹換紗三匹綾家得銀七兩五錢又綾四匹換紗二匹紬七匹綾家出銀一兩八錢又綾八匹換紬九匹綾家得銀八兩四錢問三物每匹價各㡬何法如前列左右中三行其一物而三行俱有者用以互乘餘物及價各注所得數空者闕之〈依後圖以上乗下為便故第一層三行俱實而空位則在下諸層也〉次以中行左行相并減且如左行為主借得紗正一十六減得紬正二十并得價正四十八又以中行右行相并減且如右行為主減得紗負二借得紬正三十五并得價正三十九注於兩旁






　　再以二色方程法求之〈物價同前例右一條新增〉
　　三色方程兼正負又例〈前法止於三色而已此法則四色五色所從出也〉　假如依前例綾正五紗負三價正七兩五錢綾正四紗負二紬負七價負一兩八錢綾正八紬負九價正八兩四錢求各物價法列三行如後圖式〈惟第一行第三層第三行第二層可虗可實餘必如圖〉專以第三行為主先以第三行紗互乗第一行綾紬及價以第一行紗互乗第三行綾及價各注所得數乃以第三行與第一行相并減借得紬正二十一減得綾負二并得價正二十兩零四錢次以第三行借紬互乗第二行綾及價以第二行紬互乗第三行綾及價〈就第一行互乗相并減之數而乗之非乗原數也〉各注所得數乃以第三行與第二行相并減減得綾正一百五十為法并得價正三百六十兩為實以法除實得綾每匹價以次求各價





　　又如行程顧騾一匹馬一匹共價錢七百又顧馬二匹驢一匹共價八百四十又顧騾一匹驢三匹共價七百問三物每匹顧値各㡬何法列三行如前以第三行與第一行互乗乃相并減借得馬負一驢無并減只用乗得之數價減盡不存次與第二行互乗第三行價已盡無乗闕之乃相并減并得驢正七為法借得價正八百四十為實以法除實得驢每匹價一百二十以次求各價驢每匹三百四十馬每匹三百六十




　　按此例三物及價俱正而云正負者三物中缺其一是乃所謂負也算家就物强分正負則謬之甚者又如依前所問更置其位先求一騾之力




　　又更置其位先求一馬之力〈此例算家誤甚故反覆以明之〉




　　〈右一條三式俱新訂〉
　　四色方程兼正負例〈四色五色以上皆與三色一法聊著此以見例云〉假如綾二匹紗七匹共價一十五兩三錢又紗　匹絹三匹共價九兩又絹五匹紬五匹共價一十一兩又紬四匹綾三匹共價一十二兩問四物每匹價各㡬何法列四行如後圖式乃依前法以第四行為主先與第一行互乘而并減之次第二行次第三行最後減得紬負一百五十五為法價負一百八十六為實以法除實得紬每匹價一兩二錢餘價次第求之綾每匹二兩四錢紗每匹一兩五錢絹每匹一兩






　　按自三色方程以上凡前諸行所有之物為末行所無者互乗後即借其乘得之數下層之價亦然如末行無價與第一行互乘而借其數或第一行亦無價則待至二三行互乘後有數而借之也若有數而減盡即彼此俱無數當於次行互乗後借之其末行所有之物為前諸行所無者無可并減末行只用互乗所得之數下層之價亦然〈右一條新訂〉















　　九章錄要卷十
<子部,天文算法類,算書之屬,九章錄要>



　　欽定四庫全書
　　九章錄要卷十一之一
　　松江屠文漪撰
　　句股法
　　古九章九曰句股以御髙深廣逺
　　廣曰句
　　修曰股
　　斜徑曰
　　句股相減之差數曰句股較
　　句相減之差數曰句較
　　股相減之差數曰股較
　　與句股較相減之差數曰較較　〈句較和　股和較〉與句股和相減之差數曰和較　〈句較較　股較較〉
　　句股相并之通數曰句股和
　　句相并之通數曰句和
　　股相并之通數曰股和
　　與句股較相并之通數曰較和　〈句和較　股較和〉
　　與句股和相并之通數曰和和　〈句和和　股和和〉
　　句股求　法并句股實得實開方　又法并句股較實句股和實半之亦得實
　　句求股　法以句實減實得股實開方　又法以句較乗句和亦得股實
　　股求句　法以股實減實得句實開方　又法以股較乗股和亦得句實
　　句與股較求股　法以較除句實得股和〈和減較半之得股和幷較半之得餘倣此〉　又法以句實減較實倍較而除之得股〈股并較得〉　又法以句實并較實倍較而除之得〈減較得股〉
　　股與句較求句　法以較除股實得句和　又法以股實減較實倍較而除之得句　又法以股實并較實倍較而除之得
　　句與股和求股　法以和除句實得股較　又法以句實減和實倍和而除之得股〈股減和得〉　又法以句實并和實倍和而除之得〈減和得股〉
　　股與句和求句　法以和除股實得句較　又法以股實減和實倍和而除之得句　又法以股實并和實倍和而除之得
　　句與較較求股　法以句減較較得股較股與較較求句　法以股并較較得句和句與和較求股　法以句減和較得股較股與和較求句　法以股減和較得句較句與較和求股　法以句并較和得股和股與較和求句　法以股減較和得句較句與和和求股　法以句減和和得股和股與和和求句　法以股減和和得句和與句股較求句股　法倍實減較實開方得句股和
　　與句股和求句股　法倍實減和實開方得句股較
　　句較股較求句股　法以兩較相乗倍之開方得和較并股較得句并句較得股并兩較得減句股和亦得
　　句和股和求句股　法以兩和相乘倍之開方得和和減股和得句減句和得股減兩和得減句股和亦得
　　句和股較求句股　法以和較相乘倍之開方得較較減股較得句減句和得股減一較一和得并句股較亦得
　　句較股和求句股　法以較和相乘倍之開方得較和減股和得句減句較得股減一和一較得減句股較亦得〈右二條新增〉
　　較較和較求句股　法以兩較相減半之得股較相并半之得句　又法以兩較相乘為實以兩較相減為法除之得股并兩較實半之以兩較相減為法除之得
　　較和和和求句股　法以兩和相并半之得股和相減半之得句　又法以兩和相乘為實以兩和相并為法除之得股并兩和實半之以兩和相并為法除之得
　　和較較和求句股　法以較和相減半之得句較相并半之得股　又法以較和相乗為實以較和相減為法除之得句并較和實半之以較和相減為法除之得
　　較較和和求句股　法以較和相并半之得句和相減半之得股　又法以較和相乗為實以較和相并為法除之得句并較和實半之以較和相并為法除之得〈右四條新增〉
　　較較較和求句股　法以較和相減半之得句股較相並半之得
　　和較和和求句股　法以較和相並半之得句股和相減半之得
　　句股求積法以句股相乗半之得積
　　〈後凡稱積者皆指此其云句股矩者則句股相乗之冪乃少廣章所稱之積指長方積而言者也〉
　　與句股較求積　法以實減較實以四除之與句股和求積　法以實減和實以四除之積句求股　法倍積以句除之
　　積股求句　法倍積以股除之
　　積求句股　法以四乗積減實開方得句股較并實開方得句股和
　　積與句股較求句股　法以八乗積並較實開方得句股和以四乘積並較實開方得
　　積與句股和求句股　法以八乗積減和實開方得句股較以四乗積減和實開方得
　　〈右二則或倍積以少廣章縱方法求句股亦得〉
　　積與較較求句股　法以四乗積以較較除之得較和
　　積與較和求句股　法以四乘積以較和除之得較較
　　積與和較求句股　法以四乗積以和較除之得和和
　　積與和和求句股　法以四乗積以和和除之得和較〈右四條新增〉
　　句股求容方　法以句股相乗以句股和除之得容方邊
　　餘句餘股求容方求句股　法以餘句餘股相乗開方得容方邊並餘句得句并餘股得股
　　容方與餘句求餘股與餘股求餘句　法以方自乘以餘句除之得餘股以餘股除之得餘句
　　容方與句求股與股求句法以句減容方得餘句乃以句乗容方以餘句除之得股以股減容方得餘股乃以股乗容方以餘股除之得句〈右一條新增〉
　　〈按句股容方有法而容長方無法者容方大小有一定之形容長方則無定形故也然長方之冪亦必等於餘句餘股相乗之冪而可以長方與餘句求餘股與餘股求餘句盖測望諸法多本於此若以餘句餘股求長方則必知其長乃可求廣知其廣乃可求長不然即難求矣又長方形在句股之中有縱有横設以長廣並餘句股為句股減句股為餘句股及與句求股與股求句則非知其縱横不可假如句十股六十與句十四股五十六内容長方廣八長十二餘句二餘股四十八皆同但有縱横之異耳〉
　　餘句與股餘股與句求容方　法以餘句乗股為實以餘句為帶縱開平方除之得容方〈餘句乗股之積猶句乗容方之積故以餘句為較而用長方積與較求廣法也〉以餘股乗句為實以餘股為帶縱開平方除之亦得容方〈義與上同〉
　　兩餘句與股求離股容方　前例容方其方一邊切句一邊切股一角切此則切句與而一邊乃離股者也離股處有内餘句切處有外餘句法以外餘句乗股為實並兩餘句為帶縱開平方除之得容方按容方若更離句者如前以外餘句乗股為實並
　　兩餘句為帶縱又以離句數為旁帶縱用雙帶縱開平方除之得容方　又按右例雖稱離股稱餘句然使句股互換者亦即以法互換而用之無異理也
　　句上容方〈方形半在句内半在句外而句當其中也股上容方倣此〉　法以句股相乗以股與半句和除之得方邊
　　股上容方　法以句股相乘以句與半股和除之〈按句股容長方無法者以長方大小無一定之形若半方則有定而可求矣句上股上容方是也且言句上股上則縱横已見而凡容方與句股餘句股互求諸法皆可變通而用之　右二條新增〉
　　句股求容員　法以句股相乘倍之以和和除之得容員徑〈即和較也〉
　　句外容員〈員在句外而從股直望之皆當員邊也〉　法以句股相乘倍之以較和除之〈即較較也〉
　　股外容員　法以句股相乗倍之以較較除之〈即較和也〉
　　外容員　法以句股相乘倍之以和較除之〈即和和也〉
　　句上容員〈句當員徑之中也〉　法以句股相乗倍之以股和除之
　　股上容員　法以句股相乗倍之以句和除之上容員　法以句股相乗倍之以句股和除之句股上容員〈句股角當員之中央也〉　法以句股相乗倍之以除之
　　句外容半員〈從股直望之當員徑從直望之當員邊也〉　法以句股相乗倍之以句較除之
　　股外容半員　法以句股相乗倍之以股較除之兩句中夾容員〈於一股為大小二句而員在其間也〉　法以兩句相乗倍之以兩句和除之
　　兩股中夾容員　法以兩股相乗倍之以兩股和除之兩中夾容員　法以兩相乗倍之以兩較除之句與股率句和率求股〈如句三股四五則股得句和二之一是為股率一句和率二也〉　法以二率相乗為股準二率各自乗相減半之為句準相并半之為凖乃以句乗股準以句準除之得股以句乘準以句準除之得
　　股與句率股和率求句　法以二率相乗為句準二率各自乗相減半之為股準相并半之為準乃以股乗句準以股準除之得句以股乗準以股準除之得　假如與股率句和率及與句率股和率求句股則如右二例求各準乃以乘句準以準除之得句以乗股準以準除之得股
　　容方與股率句和率求句股與句率股和率求句股　法如右二例求各準乃以句準乗容方邊以股準除之得餘句並容方邊得句以股準乗容方邊以句準除之得餘股并容方邊得股〈右三條新訂〉
　　句股比例用法　木長九尺圍之三尺葛生其下圍木四周上與木齊問葛長法以木長為句四周三尺相乗一十二尺為股句股求得一十五尺為葛長
　　又例　員木徑二尺五寸當中為板厚七寸問板兩面廣法以木徑為板厚為句句求股得二尺四寸為板廣
　　又例員木不知其徑鋸深一寸鋸道長一尺問木徑法以鋸道為句鋸深倍之為股較〈一面鋸深一寸若兩靣即深二寸故倍之〉句與股較求得二尺六寸為木徑
　　又例　木不知髙索不知長木梢垂索委地二尺引索斜去離木八尺乃適到地問木髙與索長法以離木為句委地為股較句與股較求股得一十五尺為木高一十七尺為索長
　　又例户不知髙廣竿不知長短持竿出户横之不出四尺竪之不出二尺斜之適出問户髙廣與竿長法以横之不出為句較竪之不出為股較二較求句股得六尺為户廣八尺為户髙十尺為竿長
　　又例　人不知數相與分帛帛總七百六十八匹每人分得帛數多於人數八問㡬人各分帛㡬匹法以帛總數為積分帛多於人數為句股較積與句股較求句股得二十四為人數三十二為各分帛數〈句股積乃句股相乗數之半故用八乗此只當用四乘〉
　　又例　方城不知大小四靣正中開門東門外百歩有木出南門二百二十五歩斜見木問城方法以東門外為餘句南門外為餘股餘句餘股求容方得一百五十歩倍之為城方〈所求容方止城方之半故倍之也〉
　　又例　方城不知大小東北角直北八十歩有木從東南角直南行三十八歩折而西行一千一百五十歩斜見木問城方法以直北為外餘句直南為内餘句西行為股兩餘句與股求離股容方得二百五十歩為城方〈此已是城之全方故不用倍〉
　　又例　城方七百二十歩馬歩二卒同發城中央率馬行二里歩行一里令歩卒直南行馬卒直東行又折而西南直行抹過城東南角與歩卒㑹問歩卒南行歩㡬何馬卒東行西南行歩各㡬何法以南行為股東行為句西南行為歩行率為股率馬行率為句和率城方之半為容方容方與股率句和率求句股得八百四十為歩卒南行歩六百三十為馬卒東行歩一千零五十為馬卒西南行歩













　　九章錄要卷十一之一



　　欽定四庫全書
　　九章錄要卷十一之二
　　松江屠文漪撰
　　句股圖說
　　句股及諸較和更互相求法已備載於前而其所以然之故非圖說不顯兹首列周髀三圗而取後人圗說删其繁複補其缺漏正其迂曲輯為一篇若容員非恒用之要術可得略云
　　周髀句股員方圖








<子部,天文算法類,算書之屬,九章錄要,卷十一之二>
　　句股相求　左右圗冪中有句股二冪之實故句股三者舉兩數則其一可知也
　　句股較句股和積相求　圗外大方為句股和冪中有句股之積八句股較冪之實一〈黄實是也〉冪中有句股之積四句股較冪之實一故句股較句股和積四者舉兩數則其餘可知
　　句與股較求股　句實以股較為廣股和為長〈謂在冪内股冪外者若股實則以句較為廣句和為長也〉觀左右圖可見而後圗更顯




　　全圗為冪內分一股冪即其餘皆為句實而黄實固股較冪也青實之廣亦股較也則句實以股較為廣審矣兩青一黄三實并其內之長兼兩股其外之長兼兩法應并而半之則句實以股和為長又審矣故以較除之得和也若於三實內減黄實而半之則得一青實而其長為股於三實外更加一黄實而半之則得一青一黄兩實并而其長為故句實較實相減倍較除之得股相并倍較除之得也倍較除猶之半其實也股與句較求句倣此不復為圗〈右圗說新訂〉
　　句與股和求股　前以股較除句實得股和則以和除必得較即前圗可推矣而句實和實相并減以求句則非後圗不明




　　全圖為股和冪於中四隅各分一股冪即中央黄實為股較冪青實之廣皆股較而就一隅論之以一股冪旁加兩青實一黄實之磬折形合而成一冪夫冪兼句股二冪者也可知兩青一黄三實并固與一句冪之實等也且三實并作磬折形與并作長方形無以異則句實以股較為廣股和為長審矣故以和除之得較也若於全圗冪内減兩青實一黄實而半之則得兩股冪一青實之長方形而其廣為股於全圖冪外更加兩青實一黄實而半之則得兩股冪三青實一黄實之長方形而其廣為故句實和實相減倍和除之得股相并倍和除之得也倍和除猶之半其實也股與句和求句倣此〈右圗說新訂〉
　　句較股較求和較　兩較相乗之冪二當和較之冪一各為圖以相比則明







　　此圖以股和為廣倍句和為長而於廣邊截二股分之則黄實朱實之廣皆股較於長邊截四句分之則黄實之長青實之廣皆句較而黄實固兩較相乗之冪且有二也總計全圗中有句股矩八朱實青實各四黄實二夫句股矩幷朱實成句矩幷青實成股矩然則此圗中并得句矩股矩各四而存黄實為兩較相乗之冪者二也乃以第二圗參之




　　此圗為和和冪於其内分句矩股矩各四兩縱兩横列四隅即中央黄實為和較冪也夫此圖大冪與第一圗大冪形異而實同則以此句矩股矩各四與第一圖相當而此一黄實當第一圗兩黄實無疑矣然何以見右兩圗大冪之異形同實更以第三圗參之






　　此圗亦和和冪而縱横俱截一句一一股分之則一冪旁加一句股矩一句矩一股矩合為長方形固句和股和相乗之冪〈句和為廣股和為長是兩和相乗之冪也〉而當第一圖半冪也長方形之外亦有句股矩句矩股矩各一又句冪股冪并之成冪一是亦一句和股和相乘之冪而當第一圗半冪也故知第一第二兩圗大冪異形同實也〈右三圗并說新易〉
　　句和股和求和和　兩和相乗之冪二當和和之冪一觀前兩較求和較第三圗已明不復贅〈右舊有圗說新刪〉
　　句和股較求較較　一和一較相乗之冪二當較較之冪一




　　全圗為句和冪於中分一股冪一句冪則黄實之邊青實朱實之廣皆股較股較乗句和應得一青實一朱實一黄實之長方形又倍之得兩青實兩朱實一黄實而重借一黄實也且股減句和即較較〈原以一句一幷今減股則句盡而内且減一句股較矣存者宜為較較也〉則兩朱實一黃實一句冪并固較較之冪矣而兩青實一黃實一股冪并乃成冪則兩青實一黃實并又與句冪等而可代較較冪中之句冪矣故知較較冪亦得兩青實兩朱實兩黃實也〈右圖説新增〉
　　句較股和求較和　一較一和相乗之冪二當較和之冪一





　　全圖為股和冪於中分一句冪一股冪則黃實之邊青實朱實之廣皆句較句較乘股和應得一青實一朱實一黃實之長方形又倍之得兩青實兩朱實一黃實而重借一黃實也且句減股和即較和〈原以一股一并今以句減股猶餘句股之較并入故為較和也〉則兩朱實一黃實一股冪并固較和之冪矣而兩青實一黃實一句冪并乃成冪則兩青實一黄實并又與股冪等而可代較和冪中之股冪矣故知較和冪亦得兩青實兩朱實兩黃實也〈右圖説新増〉
　　句股求容方



　　句股和與容方邊相乘之冪等於句股相乘之冪何也容方旣四邊等試以容方外餘句言之餘句為小句而方邊固小股也然則大句亦小句股和也以小句股和乘大股以大句股和乘小股其冪宜等也又試以容方外餘股言之餘股為小股而方邊固小句也然則大股亦小句股和也以小句股和乘大句以大句股和乘小句其冪又宜等也故以句股和除句股矩得容方邊也〈右圖説新訂〉
　　容方餘句餘股相求



　　全圖為句股矩冪於中斜界一平分為兩冪原無小異也然則兩朱兩青實各自相當而餘句餘股相乘之冪為長方黄實者不得不等於方黄實矣故容方餘句餘股可互求也〈右圖説新訂〉
　　容方與句求股



　　餘句與股相乗之冪猶容方邉與句相乗之冪何也餘句小句也方邉小股也以小句乗大股以小股乗大句其冪宜等也故以句乗容方以餘句除之得股也〈容方與股求句倣此　右圖説新増〉又試以前三色之實言之黄與黄朱與朱青與青旣皆等則長方黃實并兩朱實與方黃實并兩朱實亦宜等也長方黃實并兩青實與方黃實并兩青實亦宜等也故容方可與句求股與股求句也
　　句上容方



　　股及半句和與方邊相乘之冪等於句股相乘之冪何也方形半在句内則餘句為小句半方邊為小股而若以方邊為小股即餘句止為小句之半然則大句亦小股及半小句和也以小股及半小句和乘大股以大股及半大句和乘小股其冪宜等也故以股及半句和除句股矩得句上容方也股上容方倣此不復為圖〈右圖說新增〉
　　九章錄要卷十一之二



　　欽定四庫全書
　　九章錄要卷十一之三
　　松江屠文漪撰
　　句股測望法
　　句股法所以施之測望而髙深廣逺所求不同且古人以表後人以矩其法亦小異也别詳於左
　　表測髙　城不知髙去城趾二丈五尺立表髙一丈却後距表五尺望城頭與表末齊人目髙四尺問城髙一率　五〈人足距表尺數　按若先知髙欲求逺者一二率互換而以城髙〉二率　六〈表減目髙尺數　減表為三率〉
　　三率　二十五〈表距城趾尺數〉
　　四率　三十〈求得尺數加表十尺得城髙〉
　　表式髙者約長十尺或八尺短者約長四尺或三尺其制薄而方廣二寸厚半之首平體直二面中心界墨就墨路垂線以權鎭之免令欹側表趺鑿空寸許鐵趾實之以便竪立測髙則用髙表測深與廣逺則用短表若測極逺立身髙處并用髙表至於人目至足尺寸不一且平視仰窺杪分輒移目足前後亦多難定酌用一身表約髙四尺其表端立一窺筩如荻管大長五六寸以竹與五金為之綴於表端設機仰俯目測更確
　　表測深　井不知深〈謂水靣以上至井口非謂水深也〉量井徑五尺以三尺表立井沿從表末俯望與下對靣水際相參直人目入井徑四寸問井深
　　一率　四〈目入井徑寸數〉
　　二率　三十〈表髙寸數〉
　　三率　四十六〈井徑減目入寸數〉
　　四率　三百四十五〈井深寸數〉
　　表測逺　江不知闊就江沿立表髙三尺八寸却後一丈六尺望表末與對岸水際相參直人目髙四尺問江闊
　　一率　二〈人目減表寸數〉
　　二率　一百六十〈人足距表寸數〉
　　三率　三十八〈表髙寸數〉
　　四率　三千零四十〈江闊寸數〉
　　又如大湖不知闊㡬何里湖濵有石壁直髙六十五丈即邊壁立表髙三尺八寸却後二丈五尺望表末與對岸水際相參直人目髙四尺問湖闊
　　一率　二〈人目減表寸數〉
　　二率　二百五十〈人足距表寸數〉
　　三率　六千五百三十八〈壁表相并寸數〉
　　四率　八十一萬七千二百五十〈湖闊寸數以里法三百六十歩歩法
　　五尺通之得四十五里一白四十五歩〉
　　兩表測廣　城墻不知東西之廣於城東北隅直北四十歩立東表於東表正西三十歩立西表乃從東表直北行二歩望西表與城西北角相參直問城廣一率　二〈人足距東表歩數〉
　　二率　三十〈兩表相距歩數〉
　　三率　四十〈東表距城歩數〉
　　四率　六百〈求得歩數加兩表間三十歩得廣〉
　　四表測逺　山不知逺近指山趾一石或樓閣樹木為標乃立左兩表前後相距十二歩與所指標相參直次從左兩表平行向右立右兩表三靣表間相距各十二歩却從右後表平行向右望右前表與所指標相參直人立處距右後表二尺問山石距前表逺一率　五之二〈立處距右後表尺數化為歩數〉二率　十二〈右兩表間歩數　按右例四表中間正方或作長方形亦可〉三率　十二前〈兩表間歩數　耳〉
　　四率　三百六十〈石逺歩數〉
　　按右諸例皆句股容方及容長方以餘句求餘股法亦以小句股比類求大句股也以下各例其理大畧皆同惟重測為稍異耳
　　四表測逺又法　山不知逺指山趾一石測之先立甲表從甲表望山石為大股次於甲表之右〈或左亦同〉任意逺近立乙表甲乙表間為大句〈句股之角須令正方下小句股同〉次於乙表之右後任意逺近立丙表與乙表及山石相參直乙丙表間為小句又於丙表之右前立丁表與甲乙表相參直丙丁表間為小股且如小句三歩小股二十四歩大句四十歩問山石去甲表逺
　　一率　三〈小句歩數〉
　　二率　二十四〈小股歩數〉
　　三率　四十〈大句歩數〉
　　四率　三百二十〈石逺歩數〉
　　兩表重測廣逺　方城隔水不知城東西廣㡬何及去城多逺遥對城東北隅之直北立東表於東表正西四十歩立西表齊人目處以索連之乃從東表直北行去表十七歩遙望城西北隅入索東端十歩又直北行去表七十二歩遙望城西北隅與西表相參合問城廣及去表逺法先求景差
　　一率　四十〈東西表相距歩數〉
　　二率　七十二〈後北行距表歩數〉
　　三率　一十〈入索歩數〉
　　四率　一十八〈景差歩數〉
　　次求城廣
　　一率　一〈前北行距表減景差餘歩數〉
　　二率　三十〈東西表相距減入索餘歩數〉
　　三率　一十七〈前北行距表歩數〉
　　四率　五伯一十〈求得歩數加表間四十歩得城廣〉次求城逺
　　一率　一〈同上〉
　　二率　五十四〈後北行距表減景差餘歩數〉
　　三率　一十七〈同上〉
　　四率　九伯一十八〈城逺歩數〉
　　重表測高逺　海中有島不知高逺立二表各髙一丈二尺前後參直相距一百六十歩從前表退行六十九歩三尺望島峰與前表端齊又從後表退行七十歩望島峰與後表端齊人目高三尺問島高
　　一率　二〈前後退行距表歩數相減餘尺數〉
　　二率　九〈表減人目髙尺數〉
　　三率　八百〈前後表相距歩數化為尺數〉
　　四率　三千六百〈求得尺數加表十二尺得島高〉次求島去前表逺
　　一率　二〈同上　按例若以後退行距表歩數為三率即得島去後表逺也〉二率　八百〈同上〉
　　三率　三百四十八〈前退行距表歩數化為尺數〉四率　一十三萬九千二百〈島逺尺數〉
　　按右例與前兩表測廣逺其理本同前兩表間横索以測廣此竪表以測髙無以異也但前兩表横索只如一表而距表或近或逺以再測之此用前後表兩測之其法小異耳然前例若於前兩表之北相距五十四歩更立後兩表横索如前而北行距東後表十八歩望城西北隅亦當入索十歩則置東西表間四十歩不算竟以入索十歩為準而前北行十七歩後北行十八歩前後表間五十四歩與右例全無異矣所求景差即是移表向後通其意者法皆一貫也
　　矩測髙　城不知髙距城趾二丈四尺以矩測之目窺通光與城頭相參直權線在直景八度人目高四尺問城高
　　一率　八〈直景度　按矩測與表同理若已知髙欲求逺者亦以一二率互換而以〉二率　十二〈矩度　城髙減目為三率也〉
　　三率　二十四〈距城尺〉數
　　四率　三十六〈求得尺〉數〈加目高四尺得城髙〉又如牆不知髙距墻址三丈如法測之權線在倒景八度人目髙四尺問牆高
　　一率　十二〈矩度〉
　　二率　八〈倒景度〉
　　三率　三十〈距墻尺數〉
　　四率　二十〈求得尺數加目高四尺得牆髙〉
　　矩式以銅版或堅木為四角正方形與楸枰相似甲角乙角立兩耳各通一竅名曰通光以便窺望若不設兩耳即立相等兩小表或安一通光之管皆可甲角為矩極系線任其下垂以權鎭之甲角至丙角斜界一墨路分矩靣為兩乃自乙至丙角分直景度丁角至丙角分倒景度度各十二界墨匀分墨路俱從邊起望矩極斜行毎度或更分為三分五分至十二分愈細則法愈宻矣用時甲昻乙低測髙目切乙角測深與逺目切甲角窺通光與所測物相參直任權線下垂値何度以算推之




　　共矩用手持未免動搖又目足游移不易審定宜製一表髙四尺或五尺置矩其上轉動以機至測廣别是一法以矩平置之若向南測物身在東偏則令通光與東角相參直斜望西角入矩何度乃依法推算但目望西角取準亦難宜更立一短表斜向前數尺與西角參直然後引矩極之線屬之表端視線切何度方為精審　直景者句景也倒景者股景也持矩向日令日光正穿通光之兩竅若權線適在兩景中間是為句股平分即各物在地之景皆與其物之高等若在直景度則景必較短在倒景度則景必較長此二景之義也〈假如在直景四度為矩度三之一則凡物景皆當其物三之　在倒景四度則凡物皆當其景三之一故可量物景以測其髙亦可從物髙以測其景量景測髙畧同前測髙例從髙測景畧同後測逺例〉今以矩向所求物測望者則亦可前却其歩使權線適在兩景中間旣句股平分知句即得股知股即得句矣其不然者分别兩景算之如當以直景度為一率矩度為二率而遇倒景則以矩度為一率倒景度為二率也〈亦可變倒景為直景而仍為一率然不如一二率易位之便〉其當以倒景度為一率者倣此更有重測之術以前後測所値景度之較為一率而使當直得倒當倒得直則必須變倒為直或變直為倒其變之法以矩度自乗為實以所値度為法除之即得變度如倒景三度以矩度自乗得一百四十四為實以三為法除之得四十八為直景度如倒景六度五分度之二以除一百四十四得二十二度二分度之一為直景度也變直為倒亦如之
　　矩測深　井不知深量井徑五尺以矩測之目窺通光與近身井沿及對靣水際相參直權線在直景三度問井深
　　一率　三〈直景度〉
　　二率　十二〈矩度〉
　　三率　五〈井徑尺數〉
　　四率　二十〈井深尺數〉
　　又如池不知深已知池徑二丈四尺如法測之權線在倒景七度問池深
　　一率　十二〈矩度〉
　　二率　七〈倒景度〉
　　三率　二十四〈池徑尺數〉
　　四率　一十四〈池深尺數〉
　　矩測逺　溪不知闊溪岸直髙八尺人立岸邊以矩測之通光與對岸水際相參直權線在倒景三度人目髙四尺問溪闊
　　一率　三〈倒景度〉
　　二率　十二〈矩度〉
　　三率　十二〈人目溪岸并尺數〉
　　四率　四十八〈溪闊尺數〉
　　矩測廣　城牆不知東西之廣於城東北角直北相距三十歩以矩測之通光與城東北角相參直斜望西北角入矩倒景一度五分度之一問城廣
　　一率　六〈倒景度通為分數〉
　　二率　六十〈矩度通為分數〉
　　三率　三十〈距城歩數〉
　　四率　三百〈城廣歩數〉
　　重矩測髙逺　山不知髙逺以矩測之通光與山頂相參直權線在倒景九度却後直行距前測處八十歩如前測之權線在倒景八度人目髙四尺問山高一率　二〈兩倒度俱變直度相減餘度數〉
　　二率　十二〈矩度〉
　　三率　四百〈兩測處相距歩數化為尺數〉
　　四率　二千四百〈求得尺數加目四尺得山髙〉次求山去前測處逺
　　一率　二〈同上〉
　　二率　四百〈同上〉
　　三率　十六〈前測倒度變為直度〉
　　四率　三千二百〈山逺尺數〉
　　按重矩測廣逺者依前測廣法而重之遇直景皆變為倒景其列率則與重表測髙逺同盖横為廣竪為髙一理也知此可以通彼不復為例
　　重矩測深逺　石壁濵江人立壁上不知横截江水其逺㡬何及石壁直下至水面㡬何深者邊壁竪木木旁垂繩以取端直乃於石上附木用矩測之令通光與垂繩相並斜望對岸水際入矩倒景四度五分度之二却升髙去前測處一丈如前測之入倒景四度五分度之四問水逺
　　一率　二〈兩倒景相減餘分數〉
　　二率　六十〈矩度通為分數〉
　　三率　一十〈兩測處相去尺數〉
　　四率　三百〈水逺尺數〉
　　次求前測處至水靣深
　　一率　二〈同上〉
　　二率　一十〈同上〉
　　三率　二十二〈前測倒度通為分數〉
　　四率　一百一十〈壁深尺數〉
　　按此乃以測廣法測逺以測逺法測深也法無多端特用有變化耳〈右一條新訂〉
　　半矩尺測逺　溪不知闊就溪沿立表髙五尺以矩尺綴表端矩角與表端齊從矩角望矩外端與對岸水際相參直乃回望矩内端所指處平地去表四寸問溪闊
　　一率　四〈尺指處距表寸〉數
　　二率　五十〈表高寸數〉
　　三率　五十〈同前〉
　　四率　六百二十五〈溪闊寸數〉
　　按半矩尺若於兩端俱畫分寸以測高深廣逺亦與矩度及表相類而不如矩表之便故略而不論此特取其簡易者附矩表之後云更有水景測高法置盂水〈或用鏡亦同〉稍推移之令人目見所測物景正當水之中心乃以人目至足為小股人足至水心為小句水心距所測物之趾為大句以求大股又有日景測髙法量所測物景别立短表量其景乃以表高為小股表景為小句物景為大句以求大股二法若遇逺峰遙島旣不免於技窮而且目取水心之景則分寸易差日當隂晦之時則測量恐廢俱非通術吾無取焉











　　九章錄要卷十一之三



　　欽定四庫全書
　　九章錄要卷十二
　　松江屠文漪撰
　　借徴法
　　衰分盈朒方程之外更有借徴之法蓋借衰原於衰分疉借原於盈朒而觸類通之可以窮難知之數此九章法外之巧也故以次九章之後
　　借衰互徴　借衰者本無正衰而借立虚數為衰以相例也或自有正衰可用衰分法而别取借衰亦從其便假如商販不知其母初往獲息當母十之三以并入母再往獲息當母五之三以并入母又往折閲四之一又往獲倍息〈母一子亦一也〉以并入母又往折閲六之一亦不知實在總銀㡬何只云更須銀十兩即所獲子銀為原母數者二問原母及總銀其法任意借一數為原母且如原母十兩如前計之當得總銀二十六兩若論母一子二則不足四兩以四兩之原母及總銀推之而不足十兩者可知也
　　一率　四〈借衰不足兩數〉
　　二率　十〈借衰原母兩數〉　二十六〈借衰總銀兩數〉
　　三率　十〈所問不足兩數〉
　　四率　二十五〈所問原母兩數〉六十五〈所問總銀兩數〉
　　又如出兵大小船數相等大船每三隻載五百名小船每四隻載三百名共載兵四千三百五十名問大小船各㡬隻試借大小各六為船衰計總載兵一千四百五十名以一千四百五十名所須之船推之而四千三百五十名所用船可知也
　　一率　一千四百五十〈借衰兵數〉
　　二率　六〈借衰船數〉
　　三率　四千三百五十〈所問兵數〉
　　四率　一十八〈所問船載〉
　　按右例用借衰法較之衰分章用互乗者倍㨗〈右一條新增〉
　　又如漏壺注水三時而滿洩水八時而盡問且注且洩㡬時滿一壺即借十二時推之凡注四壺洩一壺半相減得二壺半
　　一率　二壺又二分壺之一
　　二率　十二時
　　三率　一壺
　　四率　四時又五分時之四
　　又如依前三時注水滿一壺八時洩水盡一壺且注且洩問五時又三分時之一可滿㡬何亦借十二時推之注洩相減得二壺半
　　一率　十二時
　　二率　二壺又二分壺之一
　　三率　五時又三分時之一
　　四率　一壺又九分壺之一
　　又如商販不知其母但云每度俱獲倍息即於中用銀三百兩如是三度子母俱盡問原母㡬何即任意借一數算之且如借銀二兩加三度倍息得一十六兩為用銀之衰於十六兩内減母二兩餘十四兩為母銀之衰
　　一率　十六兩
　　二率　十四兩
　　三率　三百兩
　　四率　二百六十二兩五錢
　　右例說見衰分章參觀自解其意也〈若四度五度而盡者即加四度五度倍息如法算之　以上四條並已見衰分章〉
　　疊借互徴盈數最難知則兩借虚數以徴之盖彷彿盈朒之法然原數初無盈朒而盈朒生於借數乃因其盈朒推求眞數立法尤為竒巧假如米每石價二兩麥一兩六錢總銀七十四兩買米麥共四十石問各㡬何試借米三十石用價六十兩則麥一十石當用價一十六兩計價總七十六兩以比原總盈二兩列左又借米十五石用價三十兩則麥二十五石當用價四十兩計價總七十兩以比原總不足四兩列右盈不足相并為法米麥各以所借石數及所借用價數左右互乗盈不足數相并以法除之即各得所求正數若兩盈兩不足者為法之數及互乗得數皆相減〈與盈朒章同〉
　　右例借衰或據價原總數算之而以總石數較原總以得盈朒如法乗除亦合
　　又如總銀八百兩買綾一百匹羅二百匹絹二百匹其價綾多於羅每匹六錢羅多於絹每匹八錢問三物各價㡬何試借二兩為綾價一兩四錢為羅價六錢為絹價計價總六百兩比原總不足二百列左又借三兩為綾價二兩四錢為羅價一兩六錢為絹價計價總一千一百兩比原總盈三百列右三物各以所借價數互乗盈不足數如前法求之即各得正價又如賞軍每馬兵五名給紬三匹每歩兵四名給布六匹總馬歩共八千一百名給紬布共九千匹問馬歩各㡬何紬布各㡬何試借馬兵四千給紬二千四百則歩兵四千一百應給布六千一百五十計總紬布八千八百五十比原總不足四百五十列左又借馬兵五千給紬三千則歩兵三千一百應給布四千六百五十計總紬布七千六百五十比原總不足一千三百五十列右馬歩紬布各以所借數互乗兩不足數如法求之即各得正數右例借衰或據紬布原總數算之而以馬歩總數較原總以得盈朒如法乗除皆合〈右一條新増〉
　　又如大船四櫓四小船二櫓八今但見總作櫓一百張二百零八張問大小船各㡬何試借大船二十櫓八十小船一十櫓二十則大船槳八十小船槳八十總一百六十比原總不足四十八列左又借大船十五櫓六十小船二十櫓四十則大船槳六十小船一百六十總二百二十比原總盈十二列右大小船及大小船櫓槳各以所借數互乗盈不足數如法求之即各得正數〈右一條新增〉
　　右例借衰或據槳原總數算之而以櫓總數較原總得盈朒如法乗除亦同
　　又如商販不知其母但云每度俱獲倍息即於中用銀三百兩如是三度子母俱盡問原母㡬何即借三百為母三度後當用六百固盈三百列左又借二百五十為母三度後止應用二百又不足一百列右乃以借母互乗盈不足數如法求之得原母〈右一條新增〉右例已見借衰互徴旣可單借而得則不須疊借矣舉此以見法之無窮耳凡單借可得者亦可疊借而得若須疊借而得者往往非單借所能得也〈以上五條並已見衰分章〉
　　又如乙匠製造四十五日而畢加甲匠則十八日而畢問獨用甲匠須㡬日法先推乙匠十八日所成為四十五日内五分之二則甲匠十八日所成乃其五分之三也因借三十六日推之當成五分之六是全工外盈五之一列左又借二十六日推之當成十五分之十三則全工内不足十五之二列右乃以借日互乘盈不足數如法求之得甲日〈右一條已見商功章〉
　　又如驛使先發一十三日别遣騎追之馳二日半訪之驛舍知先後經過較十一日半問更須㡬日追及法以先發日減較日知二日半追上一日半則一日追上五分日之三也因借二十日推之當追上五分日之六十減較日二分日之二十三為盈二之一列左又借十五日推之當追上五分日之四十五比較日不足二之五列右乃以借日互乗盈不足數如法求之得追及日
　　又如空車日行七十里若載重即日行五十里今運米到倉五日三返問路逺㡬何試借五十里推之重行三日則空行七分日之十五而五日減三日餘二日止七分日之十四為盈七之一列左又借三十五里推之空行一日半則重行十分日之二十一而五日減一日半餘三日半固十分日之三十五為不足十之十四列右乃以借日互乗盈不足數如法求之得路逺〈右二條已見均輸章俱新增〉
　　又如將銀買米用銀三分之一買十石不足三兩用九分之四買十二石不足二兩問銀數及米每石價各㡬何試借二十七兩為銀總數内以三之一九兩買十石不足三兩則米價當為一兩二錢而以九之四一十二兩買十二石不足二兩四錢比原數不足四錢列左又借五十四兩為銀總數内以三之一一十八兩買十石不足三兩則米價當為二兩一錢而以九之四二十四兩買十二石不足一兩二錢比原數盈八錢列右銀總數與三之一九之四及米價各以所借數互乗盈不足數如法求之即各得正數右例或據九分之四算之而以三分之一較原不足數以得盈朒如法乘除亦同〈右一條已見盈朒章新增〉
　　又如賣米五石麥五石得銀一十四兩又賣米四石買麥七石出銀二兩問米麥每石價各㡬何試借二兩為米價八錢為麥價以符一十四兩之數則賣米四石買麥七石當得銀二兩四錢比原數盈四兩四錢列左又借一兩八錢為米價一兩為麥價以符一十四兩之數則賣米四石買麥七石當得銀二錢比原數盈二兩二錢列右米麥價各以所借數互乗兩盈數如法求之即各得正數　右例或據賣米買麥數算之而以總賣價較原價以得盈朒如法乗除亦同〈右一條已見方程章新增〉
　　又如甲乙銀各不知數别有銀八十兩以與甲則甲為乙數者三以與乙則乙為甲數者二問原數各㡬何試借四十為甲數加八十得一百二十而以其三之一四十為乙數加八十得一百二十則倍甲外盈四十列左又借七十為甲衰加八十得一百五十而以其三之一五十為乙數加八十得一百三十則欲倍甲又不足一十列右甲乙各以所借數及所借又加八十之數互乗盈不足數如法求之即各得所問數〈甲原六十四乙原四十八〉
　　又如甲乙銀不知數乙以十六兩與甲則乙當甲三之一甲以二十四兩與乙則甲當乙七之五問各實數㡬何試借二十九兩為甲數〈減二十四與乙則餘五故借此數且得乙十六成四十五又為三倍乙之地也〉又得乙十六兩則成四十五兩而乙居三之一應是一十五兩并未與甲十六兩共三十一兩為乙數又得甲二十四兩則成五十五兩乃甲減二十四止餘五兩論甲五乙七乙止應七兩固盈四十八兩列左再借四十四兩為甲數〈以二十四與乙則餘二十為五數者四又得十六成六十為三倍乙之地也〉又得乙十六兩則成六十兩而乙居三之一應是二十兩並未與甲十六兩共三十六兩為乙數又得甲二十四兩則成六十兩乃甲減二十四止餘二十兩論甲五乙七乙止應二十八兩亦盈三十二兩列右甲乙各以所借數及所借加減得失之數互乗兩盈數如法求之即各得所問數〈甲原七十四乙原四十六〉
　　又如出師有中上下三軍中軍四萬上軍為中下二軍二分之一下軍為中上二軍三分之一問上下軍各㡬何試借三萬為上軍則中下二軍應六萬而下軍止應二萬若為中上三分之一中上止應六萬而實七萬固盈一萬列左又借二萬四千為上軍則中下二軍應四萬八千而下軍止應八千若為中上三分之一中上止應二萬四千而實六萬四千又盈四萬列右上軍下軍中上二軍中下二軍各以所借數互乗兩盈數如法求之即各得正數〈上軍三萬二千下軍二萬四千〉又如甲乙丙三人共博甲贏乙金二之一乙贏丙金三之一丙又贏甲金四之一事畢各剰金七百兩問各原母㡬何試借一百兩為甲母内減四之一二十五兩與丙應存七十五兩又贏乙二之一而為七百兩是得乙六百二十五兩而乙母當為一千二百五十兩内旣減二之一應存六百二十五兩又贏丙三之一而為七百兩是得丙七十五兩而丙母應為二百二十五兩内旣減三之一應存一百五十兩加入得甲二十五兩共一百七十五兩欲滿七百則不足五百二十五列左又借二百兩為甲母内減四之一五十兩與丙應存一百五十兩又贏乙二之一而為七百兩是得乙五百五十兩而乙母應為一千一百兩内旣減二之一應存五百五十兩又贏丙三之一而為七百兩是得丙一百五十兩而丙母應為四百五十兩內旣減三之一應存三百兩加入得甲五十兩共三百五十兩欲滿七百亦不足三百五十列右甲乙丙各以所借母數及所借加減得失之數互乗兩不足數如法求之即各得所問數〈甲母四百乙母八百丙母九百〉又如甲乙丙三數甲加七十三得為乙丙數者二乙加七十三得為甲丙數者三丙加七十三得為甲乙數者四問各原數㡬何此因三數牽連難析必以前法再三推求而得之先借一為甲衰甲加七十三當兼乙丙而倍之因以減半得三十七為乙丙數而乙丙又衰分焉且如借二為乙數則丙係三十五矣乃以乙二加七十三得七十五而甲丙合數三十六若乙欲為甲丙數者三〈應一百零八〉固不足三十三列左〈只列乙二丙三十五及不足三十三其甲衰且置之下倣此〉又借五為乙數則丙係三十二矣乃以乙五加七十三得七十八而甲丙合數三十三若乙欲為甲丙數者三〈應九十九〉亦不足二十一列右乙丙各以所借數互乗兩不足數如法求之得乙衰一十零四之一丙衰二十六零四之三再借三為甲衰加七十三以其半三十八為乙而數而乙丙又衰分之為法如前焉即借二為乙數則丙係三十六矣乃以乙二加七十三得七十五而甲丙合數三十九若乙欲為甲丙數者三〈應一百一十七〉固不足四十二列左又借二十為乙數則丙係一十八矣乃以乙二十加七十三得九十三而甲丙合數二十一若乙欲為甲丙數者三〈應六十三〉又盈三十列右乙丙各以所借數互乗盈不足數如法求之得乙衰一十二零二之一丙衰二十五零二之一於是更以前所借甲衰一所得乙衰一十零四之一丙衰二十六零四之三别為圖列左而以後所借甲衰三所得乙衰一十二零二之一丙衰二十六零二之一列右乃依所問察之左甲衰及所加已得為乙丙數者二乙衰及所加〈八十三又四之一〉亦得為甲丙數者三〈甲丙共二十七又四之三〉惟丙衰及所加共得九十九零四之三而甲乙合數一十一零四之一若丙欲為甲乙數者四〈應四十五〉則盈五十四零四之三隨列於左又審右甲衰及所加已得為乙丙數者二乙衰及所加〈八十五又二之一〉亦得為甲丙數者三〈甲丙共二十八又二之一〉惟丙衰及所加共得九十八零二之一而甲乙合數一十五零二之一若丙欲為甲乙數者四〈應六十二〉亦盈三十六零二之一隨列於右甲乙丙各以衰互乗兩盈數如法求之得七為甲數一十七為乙數二十三為丙數















　　九章錄要卷十二
<子部,術數類,數學之屬,太玄經>