幾何論約 (四庫全書本)/表卷02

幾何論約　表卷二

　　欽定四庫全書
　　幾何論約卷二
　　柘城杜知耕撰
　　一題
　　兩直線任于一直線分為若干分其兩元線矩内直角形與不分線偕諸分線矩内直角形并等
　　解曰甲與乙丙兩線任于乙丙三分之為乙丁戊丙題言甲偕乙丙矩内形與甲偕乙丁甲偕丁戊甲偕戊丙三矩内形并等
　　論曰乙己全形即甲偕乙丙矩内形乙辛丁壬戊己三分形即甲偕乙丁丁戊戊丙三矩内形故三分形并與全形等
　　二題
　　一直線任兩分之其元線上直角方形與元線偕兩分線兩矩内形并等
　　三題
　　一直線任兩分之其元線任偕一分線矩内直角形與分餘線偕一分線矩内直角形及一分線上直角方形并等
　　解曰甲乙線任分于丙題言元線甲乙任偕一分線甲丙矩内形〈不論甲丙為大分為小分〉與分餘丙乙偕甲丙
　　矩内形及甲丙上方形并等
　　論曰甲己為元線甲乙偕分線甲
　　丙矩内形甲丁為分線甲丙上方
　　形丙己為甲丙偕分餘線丙乙矩内形是甲丁及丙己兩分形并與甲己全形等
　　四題
　　一直線任兩分之其元線上直角方形與各分線上兩直角方形及兩分線矩内形二并等
　　解曰甲乙線任分于丙題言甲乙線上方形與甲丙丙乙線上兩方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙
　　兩矩内形并等
　　論曰甲丁為甲乙元線上方形辛己為甲丙上方形丙壬為丙乙上方形甲庚
　　庚丁俱甲丙偕丙乙矩内形也故四形并與甲乙元線上甲丁方形等
　　糸凡直角方形之角線形皆直角方形
　　五題
　　一直線兩平分之又任兩分之其任兩分線矩内形及分内線上方形并與平分半線上方形等
　　解曰甲乙線平分于丙又任分于丁其丙丁為分内線〈丙丁線者丙乙所以大于丁乙之較又甲丁所以大于甲丙之較故曰分内線〉題言甲丁丁乙矩内形及分内線丙丁上方形并與丙乙線上方形等論曰癸庚為丙丁上方形丁壬為丁乙
　　上方形丙辛辛己為兩餘方自相等辛己加一丁壬則與丙壬等即與甲癸等甲癸加一丙辛即甲丁偕丁乙矩内形豈不與卯寅丑磬折形等乎故加一丙丁上癸庚方形與丙乙線上方形等
　　六題
　　一直線兩平分之又任引増一直線共為一全線其全線偕引増線矩内形及半元線上方形并與半元線偕引増線上方形等
　　解曰甲乙線平分于丙又從乙引増乙丁與甲乙通為一全線題言甲丁偕乙丁矩内形及半元線丙乙上方形并與丙丁上方形等論曰甲癸與丙辛等又丙辛與辛戊等〈一卷〉
　　〈四三〉即辛戊與甲癸亦等甲癸加一丙壬即甲丁偕丁乙矩内形與卯寅丑磬折形等矣故加一乙丙上癸庚方形與丁丙上丙戊方形等
　　七題
　　一直線任兩分之其元線上及任用一分線上兩方形并與元線偕一分線矩内形二及分餘線上方形并等
　　解曰甲乙線任分于丙題言元線甲乙上及任用
　　一分線甲丙上兩方形并〈不論甲丙
　　為大分為小分〉與甲乙偕甲丙矩内形
　　二及分餘線丙乙上方形并等
　　論曰甲丁為甲乙上方形辛己為甲丙上方形丙壬為丙乙上方形甲己與辛丁皆甲乙偕甲丙矩内形也兩矩内形及丙壬方形并與甲丁方形較多一辛己方形故與甲乙及甲丙上兩方形并等八題
　　一直線任兩分之其元線偕初分線矩内形四及分餘線上方形并與元線偕初分線上方形等
　　解曰甲乙線任分于丙題言元線甲乙偕初分線丙乙矩内形四〈不論丙乙為大分為小分〉及分餘線甲丙上方形并與甲乙偕丙乙〈通作一線〉上方形等
　　論曰丙己庚壬壬丁丁乙皆甲乙偕丙乙矩内形甲子為甲丙上方形此五形并與甲乙偕丙乙上方形
　　等甲乙偕丙乙上方形即癸己
　　全形也

　　九題
　　一直線兩平分之又任兩分之任分線上兩方形并倍大于平分半線上及分内線上兩方形并
　　解曰甲乙線平分于丙又任分于丁題言甲丁丁乙上兩方形并倍大于平分半線甲丙上分餘線
　　丙丁上兩方形并
　　論曰自丙作丙戊垂線與甲丙等次作甲戊戊乙兩腰次從丁作丁己垂線遇戊乙于己從己作己庚線與甲乙平行成戊庚己甲丙戊己丁乙角形三皆兩腰等而直角末作甲己線成己戊甲甲丁己角形二
　　皆直角戊庚己形之戊己上方必倍大于己庚上方即倍大于等己庚之丙丁上方甲丙戊形之甲戊上方必倍大于甲丙上方又甲戊己形之甲己上方與戊己甲戊上兩方形并等即甲己上方亦倍大于甲丙丙丁上兩方形并又甲己上方與甲丁丁己上兩方形并等即與甲丁及等丁己之丁乙上兩方形并等夫甲丁丁乙上兩方形并既等于甲己上方形必亦倍大于甲丙丙丁上兩方形并十題
　　一直線兩平分之又任引増一線共為一全線其全線上及引增線上兩直角方形并倍大于平分半線上及分餘半線偕引増線上兩直角方形并
　　解曰甲乙線平分于丙又任引増乙丁題言甲丁線上及乙丁線上兩方形并倍大于甲丙線上及丙丁線上兩方形并
　　論曰自丙作丙戊垂線與甲丙等自戊至甲至乙各作腰線次從丁作己丁垂線引長之又引長戊乙相遇于庚次作戊己線
　　與丙丁平行成甲丙戊戊己庚庚丁乙角形三各兩腰等而直角末作甲庚線成甲戊庚甲丁庚角形二皆直角甲丙戊形之甲戊上方必倍大于甲丙上方戊己庚形之戊庚上方必倍大于等戊己之丙丁上方又甲庚上方與甲戊戊庚上兩方形并等即甲庚上方亦倍大于甲丙丙丁上兩方形并又甲丁及等丁庚之丁乙上兩方形并與甲庚上方形等是甲丁丁乙上兩方形并亦倍大于甲丙丙丁上兩方形并矣
　　十一題
　　一直線求兩分之而元線偕初分線矩内形與分餘線上方形等
　　法曰甲乙線求兩分之令元線偕初分小線矩内形與分餘大線上方形等先
　　于甲乙線上作甲丙方形次平分甲丁于戊作戊乙線次引戊甲線至己令戊己與戊乙等末截甲乙于庚令甲庚與甲己等即甲乙偕庚乙矩内形與甲庚上方形等為所求
　　論曰從庚作壬辛線與丁己平行次作己辛線與甲庚平行庚丙為甲乙乙庚矩内形己庚為甲庚上方形己壬為丁己偕甲己矩内形于己壬増一甲戊上方形必與等戊己之戊乙上方形等〈本巻六〉戊乙上方形又與戊甲甲乙
　　上兩方形并等是戊甲甲乙上兩方形并與己壬及戊甲上方形并亦等矣次各減同用之戊甲上方形所存甲丙己壬兩形不亦等乎再各減同用之甲壬形所存甲乙乙庚矩内形〈即庚丙形〉與甲庚上方形〈即己庚形〉必相等〈此題所求即理分中末線詳六巻三十〉
　　十二題
　　三邊鈍角形其對鈍角邊上方形大于餘邉上兩方形并其較為鈍角旁任用一邉偕其引増線之與對角所下垂線相遇者矩内形二
　　解曰甲乙丙鈍角形乙為鈍角從餘角下一垂線
　　與鈍角旁一邉丙乙引増線遇于丁為直角題言對鈍角之甲丙邉上方
　　形大于甲乙乙丙兩邉上方形并其較為丙乙偕乙丁矩内形二
　　論曰丙丁線任分于乙即丙丁上方形與丙乙乙丁上兩方形及丙乙偕乙丁矩内形二并等〈本卷四〉
　　甲丙上方形與甲丁丙丁上兩方形并等即與甲丁乙丁丙乙上三方形
　　及丙乙偕乙丁矩内形二并等也又甲乙上方形與甲丁乙丁上兩方形并等于甲乙上方形再増一丙乙上方形而與甲丙上方形較仍朒丙乙偕乙丁矩内形二也
　　十三題
　　三邉鋭角形其對鋭角邉上方形小于餘邉上兩方形并其較為鋭角旁任用一邉偕其對角所下垂線旁之近鋭角分線矩内形二
　　解曰甲乙丙鋭角形從甲角向對邉乙丙下一垂線分乙丙于丁題言對
　　丙鋭角之甲乙邉上方形小于甲丙乙丙邉上兩方形并其較為乙丙偕丁丙矩内形二
　　論曰乙丙線任分于丁即乙丙及丁丙上兩方形并與乙丙偕丁丙矩内形二及乙丁上方形并等〈本卷七〉又甲丙上方形與甲丁丁丙上兩方形并等若甲丙乙丙上兩方形并必與乙丙偕丁丙矩内
　　形二及甲丁乙丁上兩方形并等又甲乙上方形與甲丁乙丁上兩方形
　　并等即甲乙上方形與甲丙乙丙上兩方形較則朒乙丙偕丁丙矩内形二矣
　　十四題
　　有直線形求作直角方形與之等
　　法曰甲無法四邉形求作方形與
　　之等先作乙丁形與甲等而直角
　　〈一巻四五〉任以丁丙邉引之至己令丙
　　己與乙丙等次平分丁己于庚其庚㸃若在丙則乙丁即是方形若在丙外即以庚為心丁為界作丁辛己半圜末于乙丙線引長抵圜界于辛即丙辛上方形與甲等
　　論曰自庚作庚辛線庚辛上方形與庚丙丙辛上兩方形并等又等庚辛之庚己上方形與庚丙上方形及丁丙偕等丙乙之丙己矩内形〈即乙丁形〉并等〈本巻五〉此二率毎減去同用之庚丙上方形所存乙丁形與丙辛上方形安得不等
　　増題若先得方形之對角線所長于本形邊之較而求本形邊其較為甲乙先于甲乙上作甲丙方
　　形次作乙丁對角線引長至
　　戊令丁戊與甲乙等即得乙
　　戊線為所求
　　論曰依乙戊線作戊庚方形次引乙甲線至己末作戊甲線其己甲丁己戊丁兩角必等〈兩皆直角〉同減去丁戊甲形所存己甲戊己戊甲兩角亦等角等則己甲己戊兩腰必等故乙己角線大于戊己邊之較為甲乙
　　耕曰前論止言當然而未及所以然今補一論以明之另作辛壬為乙己角線上方形次作癸子丑寅兩形皆與庚戊等錯綜加于辛壬方形之上重叠一丑子方形而缺辰己卯午相等兩方形凡兩方形并與角線上一方形等〈一卷四七増〉則丑子一形必與兩缺形并等次作辛未為卯午缺形之角線而辛未上方形必亦與兩缺形并等則丑子形之未丑邉與辛未線必等夫午未為方邉小于角線之較與上圗甲乙等即與上圗丁戊等未丑與辛未等即與上圗丁乙等故并兩線為方邊






　　幾何讑約巻二