極數定象答問
問曰：《易•繫》稱:參五以變，錯綜其數，通其變遂成天下之文，極其數遂定天下之象。極數者何數，定象者何象邪？荅曰：既言參五，則必以三、五爲法矣。夫蓍之德圓，卦之德方。圓方，象也。數不極則象亦無以定。大衍之數五十，其用四十有九，此蓍數也。置四十九倍五十以乘之，又以四十九開方，以挂一減四十九乘之，兩數相并，得五千二百三十六爲實，乃以三乘之，五除之，得三千一百四十一六，是爲圓徑一千之周。其一術曰：置四十九開方，以挂一減四十九乘之，次以挂一加五十乘之，次以天地之數五十五乘之，得九十四萬二千四百八十爲實，乃以三除之，得三十一萬四千一百六十，是爲圓徑十萬之周。其一術曰：置四十九自乘，以挂一減之，以四十九開方乘之，次以挂一加五十乘之，次以天地之數五十五乘之，得四千七百十二萬四千爲實，乃以三五遞除之，得三百十四萬一千六百，是爲圓徑百萬之周。是故三一四一六者，圓徑一之周也。以五再乘其周，退二位得零七八五四者，圓徑一之幂也。以倍三除其周，得零五二三六者，立圓徑一之積也。乘除所得，數也。平圓立圓，象也。徑午貫之，周外規之，文也。如是者爲極其數以定圓，六十四云、八云，此卦數也。以八自乘，則六十四爲平方。以四再自乘，則六十四爲立方。以二再自乘，則八爲立方。故一卦未有不爲立方者也。今以三乘五，以五乘三，各得十五，相和爲三之進位，以五除三之進位，得六，六鼈臑成一立方也。以三之進位除五，得零一六六不盡，一鼈臑之數也。鼈臑者，今日三角錐。邪解立方爲兩塹堵，故立方一，則塹堵零五。邪解塹堵爲一陽馬、一鼈臑，陽馬于塹堵三之二，于立方三之一。鼈臑于塹堵三之一，于立方六之一。故立方一，則鼈臑零一六六不盡也。是故爻即鼈臑，三畫之卦即塹堵，六畫之卦即立方。一立方者，六鼈臑，故一卦得六爻。六十四立方者，三百八十四鼈臑，故六十四卦得三百八十四爻。爻之爲文，《説文》以爲象《易》六爻頭交，今試邪解立方成兩塹堵，此兩塹堵者，一從右方上端邪解至左方下端，成一陽馬、一鼈臑；一從左方下端邪解至右方上端，亦成一陽馬、一鼈臑。以此復合爲立方，則兩鼈臑之大弦必午貫相交焉，此爲六爻頭交。和與乘除所得，數也。鼈臑立方，象也。大弦午貫，文也。且令六十四爲平方，三五和，即其邊矣。三五相乘，即其兩廉一隅矣。令六十四爲立方，三五較，以餘自乘，即其邊矣。三自乘，即其平廉矣。五自倍，即其三長廉一隅矣。和較乘倍所得，數也。平方立方，象也。廉隅與方華離，文也。如是者爲極其數以定方，極之定之，未有不以三五裁制者，苟充其例，以平面方圓相圅三重，得外方圓幂而求内方圓幂，必以五退位再乘之。以立體方圓相圅三重，得外方圓積而求内方圓積，必以三、三除之。〈以三、三除，即二十七除。〉至哉，參五之法，可與探幽洞微矣。
問曰:六十四者，平方立方之幂積皆有之，今上經三十卦，下經三十四卦，其數不均，何也？荅曰：以三乘五、五乘三相和，是上經三十卦也。以三五各自乘相和，是下經三十四卦也。是參五之至變也。
問曰:卦見方數，蓍不見圓數，何也？荅曰：夫圓周四一三一六者，二八、二八、五六、五六連瑣之所成爾。此四數約之皆七也。而四十九約之亦七也。置四十九，以四千四百八十八乘之，則爲圓周者七矣。然四十九不自圓，待與他數相乘而後圓，是以必錯綜之也。〈若用約率四十九開方，即圓徑天地之數五十五。以二五除之，即圓周。四十九開方，以五十五退位乘之，即圆幂。四十九即同徑之方幂。四十九開方，以乘四十九，即立方積。以十五除五十五，以乘四十九，即同徑之立圓積。是亦待錯綜也。〉曰:今所據圓率者，劉徽密率也。于祖氏密率猶微贏，豈數有未極乎？曰：求祖氏率者，以三五遞乘四十九，得七三五，就圓周末位，閒一位減之，即爲三一四一五九二六五矣。祖氏圓率亦以七約其數也。〈以四四八八乘七，即劉氏圓周。以四四八七九八九五乘七，即祖氏圆周。〉雖然，圓率未有至密者也。推圓周者，其位至于鉅萬而無窮，無窮則不可以定象，故知《易》之所論圓率，以三一四一六爲極。
附録
编辑一百九十二觚割圓之術，蓋亦不始劉徽。太史《酷吏傳》云:破觚而爲圓。既引以爲喻，必曾有其事矣。〈《九章》徑一周三之率，在《方田篇》。度田但取大齊，故不用割圓所得之率。〉雖然，觚直而弧曲，雖絫析至千萬觚，與圓周差至極微，終不可以爲眞圓。若如是求之，爲功愈勤，其愚轉甚矣。孔子曰：觚不觚，觚哉觚哉！蓋古觴器皆同形，其爲觚也，不以六觚八觚爲式，析觚愈多，視之成圓，其實百千觚相櫕爾。〈舊説皆誤，陳祥道直以觚爲八觚，由未知觴器皆圆，觚愈分析，合之轉近圓也。〉劉徽謂觚之細者，與圓合體，是亦言其大齊則然。故屢析六觚，至一百九十二觚之幂，即以消息增加爲三一四一六，以是爲圓徑二之幂，即爲圓徑一之周，蓋不欲竟以積觚爲圓也。徽尚欲求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂，裁其微分。裁其微分云者，亦不欲竟以積觚爲圓也。雖然，展轉析觚，其數無窮，于圓終不能滿，知其不滿而增周泰過，即有劉歆、王蕃之侈。不增則促，故祖沖之特開盈朒二限以相磑𥖪。盈限即圓外切諸觚之數，朒限即圓内容諸觚之數，朒限以制其過損，盈限以制其過增，其術始精嚴矣。今以圓内容三千零七十二觚求之，得徑一周三一四一五九二一有奇，以圓内容六千一百四十四觚求之，得徑一周三一四一五九二五一有奇，若以圓内容一萬二千二百八十八觚求之，得徑一周三一四一五九二六一九有奇，是即祖氏所謂朒限也。復以圓外切一萬二千二百八十八觚求之，得徑一周三一四一五九二七二有奇，是即祖氏所謂盈限也。盈朒之閒，徑一周三一四一五九二六五，則祖氏所謂正數也。其必取盈朒之閒者，不欲以外切内容諸觚爲圓也。〈析至圓内二萬四千五百七十六觚，得徑一周三一四一五九二六四五有奇。圆外二萬四千五百七十六觚，得徑一周三一四一五九二六七有奇。兩相磑𥖪，正數亦在其閒。祖氏所謂盈朒限者，自指一萬二千二百八十八觚言。然以後諸觚，必曾屢析，方能確定正數耳。〉
夫觚之不可爲直，外切内容諸觚爲圓周所界而不可以泯合，其勢然也。清世割圓者，屢析六觚，至圓之外切内容各五百一十五億三千九百六十萬零七千五百五十二等邊，兩所得數，各四十位，其前九位，與祖氏圓周同，其次十位，亦自相同，則三一四一五九二六五三五八九七九三二三八是也。然其後二十一位，内外自有盈朒之数，以是觀之，不得竟以積觚爲圓明矣。夫内容諸觚，轉析而周轉大；外切諸觚，轉析而周轉小，故前十九位得相似，而後二十一位終不相似。若更析之，則内外相盪，其同者又不止十九位也。然位數愈增，則不同者復在其後矣。今此十九位者，㐹然不可動已。自二十位以次，盈朒之閒，必有正數在焉。而説者遽謂可以混一，則獨斷之見也。其後杜德美以屢乘屢除求圓周，不假句股割圓而數自合，世人驚其瑰奇，以爲至當。然以其術推校，自二十位以次，傾于外切，是亦盈限而已矣。〈圓周盈朒之辨，在弟二十位，則作徑須一萬億丈，方辨周中一忽二忽之較，是其徑長爲地球徑二十四萬有餘，誰作此器，誰具此明者，故算數可較，而實事難譣也。如欲以尺度量取差數，須自氂始。依祖氏圓周九位，尚須作徑一千丈，始得以一氂之差，辨其盈朒二限，是亦不能作也。唯劉、祖二家圓率之差，但須作徑十四丈，其差已差較一氂，如或可就。然作器用木，則片片補苴，中多罅隙，鑄金陶土，工雖至精，邊際不能無小小坳突，磨鑢平之，則或多所甐傷，是以終不可譣也。然則算家求數，必應精密，若以定象制器，但依劉氏圓率足矣。〉
