欽定古今圖書集成/曆象彙編/曆法典/第114卷

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欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

 第一百十四卷目錄

 算法部彙考六

  算法統宗二算義總二

曆法典第一百十四卷

算法部彙考六编辑

《算法統宗二》
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算義總二编辑

乘法:《留頭乘》:

按:「因」與乘,一也。單位者謂之「因」,位數多者謂之「乘」,特 以此而異其名耳。

原有「破頭乘」 、《掉尾乘》《隔位乘》,總不如《留頭乘》之妙,故皆不錄。

歌曰

下乘之法此為真,起手先將得二因,三四五來乘遍 了,卻將本位破其身。

用「留頭」乘法,若依盤式,小九數,位次先後不一,難以 挨次。今將暗馬數以別先後,庶不亂矣。暗馬式附前用字凡例中 假如今有布四百二十五疋,每疋價銀二錢五分,問 共該銀若干?

答曰:「一百零六兩二錢五分。」

法曰:置布為實,以每疋價銀二錢五分為法乘之,合 問定位。法只認疋下一位定錢,依次逆數陞上,合 得也。此所謂因乘俱向下位推。

還原。用歸除法詳後。

二一添作《五》。無除 起一下還二 四五除二十, 逢四進二十 二,五除一十 二一添作五, 五五 除二十五。

假如今有豆二十八石六斗,每斗價銀三分四釐五 毫,問共該銀若干?

答曰:「九兩八錢六分七釐。」

法曰:置豆為實,以每斗三分四釐五毫為法乘之,合 問定位同前。

還原。用歸除法詳後。

逢六進二十 二,四如除八, 二五除一十 三,二 六,十二。 逢六進二十 四,八除三十二, 五八除 四十 三,二六十二, 《四六》除二十四, 五六除三 十。

假如今有銀三十五兩八錢,每銀一兩,糴米二石四 斗六升八合,問該米若干?

答曰:「八十八石三斗五升四合四勺。」

法曰:「置總銀為實,以每兩糴米」數為法乘之,合問 定位同前。

還原。用歸除法詳後。

逢六進三十 三,四除一十二, 三六除一十八, 三八除二十四, 二一添作五, 四五除二十 五, 六除三十 五,八除四十 二,一添作五。 逢《六進》 三十 四,八除三十二, 六八除四十八, 八八除 六十四。

假如今有米三百四十五石,每石價銀四錢外牙用 三釐,問該銀若干?

答曰:「一百三十九兩零三分五釐。」

法曰:置總米為實,以每石價併牙用共四錢零三釐 為法乘之,合問定位同前

還原。用歸除法詳後。

四一二十二, 逢四進一十 三,三如除九 四一, 二十二, 逢八進二十 三,四除一十二, 四二添 作五, 三五除一十五。

假如今有田二千三百四十五畝,每畝科糧一斗八 升七合,問該糧米若干?

答曰:「四百三十八石五斗一升五合。」

法曰:置總田為實,以每畝科米一斗八升七合為法, 乘之,合問。

還原。用歸除法詳後。

逢二進二十 二八除一十六, 二七除一十四; 逢三進三十 三八除二十四, 三七除二十一; 逢四進四十 四八除三十二, 四七除二十八; 逢五進五十 五八除四十  五,七除三十五。 假如今有直田長三十六步三分,闊七步四分。問該 田積若干?

答曰:「二百六十八步六分二釐。」

法曰:置長為實,以闊七步四分為法乘之,合問定 位法,只認步下一位是法首,步數逆上,合得也。

還原。用歸除法詳後。

「《七二》下加六」, 逢七進一十 三,四除一十二 ;《七 四》五十五, 逢七進一十 四,六除二十四。 「《七二》 下加六」, 逢七進一十 三,四除一十二。

假如今有田長七十五步,闊三十二步,問該積步若 干?

答曰:「二千四百步。」

法曰:置長為實,以闊為法乘之,合問定位法。只認 原實步下一位定法,首位十逆陞合得。

假如今有方田,長、闊各一百二十六步,問該積步若 干?

答曰:「一萬五千八百七十六步。」

法曰:置方面一百二十六步為實,亦置一百二十六 步為法,即自乘之,合問。

還原。用歸除法詳後。

逢一進一十 一,二如除二,  一六如除六。  逢二 進二十   二,二如除四,  二六,除一十二。 逢六進 六     二六除一十二, 六六除三十六。

歸除

凡二至九位,數多者,用此置物為實,以價或分者為 法,先將法首對實首呼九歸歌,或進或倍,後將法次 位對所歸數呼九九數除之,用乘法還原。

歌曰

惟有《歸除》法更奇。算學中惟歸除最妙將身歸了,次除之。先將本位 呼歸法歸之其次不拘幾位俱呼小九數除之有歸若是無除數,若本位有子可歸次 位無子可除也起一還將原數施。如一歸本位起一下位還一如二歸本位起一下位 還二餘倣此或遇本歸歸不得{{Annotation|,如一歸只一子,二歸只二子,因下位無子可除,故不能歸也。餘倣此。}}「撞歸之法莫教遲。」如一歸見一無除加八撞湊作九下位加一如撞歸 訖除數不足照前用起一還原法若人識得其中意。如學者曉得歸除中間之理深 奧也算學雖深可盡知。云算者用心習學可以盡識者矣

撞歸法

一歸見「一。」原實無除作「九。」得數一、餘數後倣此 二歸見二無除作九二。 三歸見三無除作九三。 四歸見四無除,作九四。 五歸見五無除作九五。 六歸見「六」無除作九六。 七歸見「七」無除作九七。 八歸見八無除,作九八。 九歸見九無除作九九 已有歸。而無除用起一還原法。即是起一還將原數施也 一歸起《一》。得數《下還一》。原實本位起一下位還一若二歸起一則下位還二餘倣此 二歸《起一》下,還二。  三歸《起一》下,還三。

四歸《起一》下,還四。  五歸《起一》下,還五。

六歸《起一》下,還六。  七歸《起一》下,還七。

八歸《起一》下,還八。  九歸《起一》下,還九。

撞歸者,有歸而無除之謂也。予以法實盈虧進退之 理推之,盈則有歸,照法首之數進於上位成十;虧則 無除起一;退於下位,照法首之數還原。先哲有云:「見 一無除作九一」之類,此正謂有歸無除之祕法。知此, 可與論《制算纂法》之深奧矣。

假如今有銀二百四十三兩,《糴米》每斗價銀五分四 釐,問共該米若干?

答曰:「四百五十石。」

法曰:置總銀為實,以每斗價五分四釐為法歸除之, 合問定位法,只認實上原首位起,往後順數至分, 遇法首位是每斗三分則止。前一位得令是斗逆數 陞上合得,後倣此。

還原。用乘法。

四五得二十, 五五二十五, 四四一十六, 四五 得二十。

假如今有銀二百六十五兩三錢二分,作十二人分 之,問每人該銀若干?

答曰:「二十二兩一錢一分。」

法曰:置銀為實,以十二人為法,歸除之,合問定位, 與前《歸法》同。

還原。用乘法。

一二如二, 一一如一, 一二如二, 一一如一, 二二如四, 一二如二, 二二如四, 一二如二。 假如今有米一百二十九石九斗六升,作一十九人 分之,問每人該米若干?

答曰:「六石八斗四升。」

法曰:置米為實,以一十九人為法,除之,合問。

還原。用乘法。

四九三十六, 一四如四, 八九七十二, 一八如 八, 六九五十四, 一六如六。

假如今有銀二十六兩六錢,買豬二十八隻,問每隻 該銀若干?

答曰:「九錢五分。」

法曰:置銀為實,以豬二十八隻為法,除之,合問。

還原。用乘法。

五八得四十 二,五得一十 八,九七十二, 二九 一十八。

假如今有金二兩八錢三分五釐,作四百零五人分 之,問每人該金若干?

答曰:「七釐。」

法曰:置金為實,以人數為法除之,合問定位,法多實少。先從原實首位起,往前逐位逆數陞上,至呼遇 法首位百則止,向前一位得,令是兩降下,合得。

還原。用乘法。

五七三十五, 四七二十八。

假如今有米二十二石五斗二升,作五千六百三十 人分問,每人該米若干?

答曰:「四合。」

法曰:置米為實,以人數為法除之,合問定位,法多 實少同前。

還原。用乘法。

四六二十四, 三四一十二, 四五得二十。

假如今有銀一千零九十七兩二錢五分,作五百七 十人分之,問每人該銀若干?

答曰:「一兩九錢二分五釐。」

法曰:置銀為實,以人數為法除之,合問定位法。先 數原實千,順下至法首百,前位定兩,合得。

還原。用乘法。

五七三十五, 五五二十五, 二七一十四, 二五 得一,十 七九六十三, 五九四十五, 一七如七。

一五如五

假如今有銀四錢八分,每銀七分五釐換赤金一分, 問該金若干?

答曰:「六分四釐。」

法曰:置總銀為實,以七分五釐為法,除之,合問。

還原。用乘法。

四五得二十 四,《七》二十八, 《五六》得三十 六,《七》 四十二,

假如今有錢五千六百四十文,買梨一萬六千九百 二十枚,問每錢一文買梨若干?

答曰:「三枚。」

法曰:「置梨為實,以錢數為法除之,合問。」

還原。用乘法。

三六一十八, 三四一十二, 三五一十五。

假如今有銀五萬五千三百八十五兩,作一千零七 人分之,問每人該銀若干?

答曰:「五十五兩。」

法曰:置銀為實,以人數為法,除之,合問。

還原。隔二位乘。

五七三十五, 一五如五。 五七三十五, 一五如

五。

加法

凡乘法首位有一數者,用此置所有物為實,以所求 價為法加之。然加法不用首位一數,只以次位餘數 加之。言十就身,加十言如。次位加如,亦從末位算起, 用減法還原。

歌曰

加法仍從下位,先如因位,數或多焉,十歸本位,零居 次,一外添加法更元。

假如今有珍珠二百六十八顆,每顆價銀一兩一錢, 問該銀若干?

答曰:「二百九十四兩八錢。」

法曰:置珠為實,以每顆價除價首一兩,只以次價一 錢為法,從末位加起,次第而上,定位只認顆。本位 定兩,十顆上定十兩,百顆上定百兩。所謂「加減只須 認本位」也。餘倣此。

還原。用減法,即定身除也。

《一,二減去二》。九去二存七 一六減去《六》。除六下還四 一八 減去《八》。恰盡

假如今有絹九丈八尺,每尺價一錢三分五釐,問共 該銀若干?

答曰:「一十三兩二錢三分。」

《法》曰:置絹為實,以每尺除價首一錢,只以三分五釐 為法,加之定位只認尺本位定錢,丈上定兩,十丈 定十兩,合得。

假如今有羅二百四十六疋,每疋價銀一兩二錢七 分五釐,問該銀若干?

答曰:「三百一十三兩六錢五分。」

法曰:置羅為實,以每疋除價首一兩,只以二錢七分 五釐為法,加之定位,只認疋位上定兩,依次逆陞, 合得。

六七加四十二, 五六加三十 二,六加一十二, 《四七》加二十八, 四五加二十 二,四如加八, 《二 七》加一十四, 《二五》加一十 二,二如加四。

假如今有米四萬六千七百五十一石,每石加耗七 升,問共該米若干?

答曰:正耗共該五萬零零二十三石五斗七升。 法曰:「置正米為實,以耗米七升為法,隔位加之,合問 一七加七。」先從石上起呼於隔位升上 五七加三十五。石上加三斗下 位加五 七七加四十九。十位加四下位加九九退一成一十 六七加 四十二。百位加四四下五除一下位加二二起八成一十 四七加二十八。 千位加二下位加八

按:因、乘、加三法,其名雖殊,而理則一。但加法須記實 位,不動本身,學者宜當詳審,不致差誤也。

減法

凡歸除遇法首位有一數者,用此所謂「定身除」者,先 定本身之位,而後減除也。置所有物為實,以所求價 為法,與身數相呼,九九之數言十,就身言如,隔位次 第,如法減而除之。先從實首位起用加法還原 定位法,因實位本身減去,而無逢進、比歸除而降一 位。今將法首一數除而不用,亦可以抵逢、《進》、陞位也。

歌曰

減法須知先定身,得其身數始為真。法中有一何曾 用,身外除零妙入神。

假如今有銀二百九十四兩八錢買絹,每疋價銀一 兩一錢,問該絹若干?

答曰:「二百六十八疋。」

法曰:置總銀為實,以每疋除價首一兩不用,只以次 位一錢為法,定身減而除之,合問定位。此是求總 之法數,原實順下,至錢則止,前一位是疋也。逆數陞 上,合得。

假如今有米一千零三十八石,作一百七十三人分 之,問每人該米若干?

答曰:「六石。」

法曰:置米為實,以人數除首位百不用,只以七十三人為法,定身除之,合問定位,此是求零之法。先數 原實起,順下至遇法首十數則止,前一位得令是石 也。

假如今有金八十九兩三錢八分,令金戶一百零九 人辦納,問每人各該若干?

答曰:「八錢二分。」

法曰:置金為實,以金戶除百不用。只以九人為法,隔 位定身除之,合問。

求一乘除法

按:古有之大位,因考其法,用倍折之繁難,不如《歸除》 之簡易,故今於此而廢之,使學者專心於乘除、加減 之法,而無他岐之惑焉。

商除

「商除」者,商量而除之也。如定商太過,則總數不足而 無除,如定商不及,則總數有餘,務要酌量彀除方可。 然此一術,亦兼歸除,歸除既通,不必學此。但開方之 法,必用商除,演此而為梯階,其法不可廢也。

歌曰

數中有術號商除,商總分排兩位推。惟有開方須用 此,續商不盡命其餘。

假如今有軍士六百名,分糧三百九十四石二斗,問 每名該若干?

答曰:「六斗五升七合。」

法曰:置糧米於盤中為實,以軍士六百名於右為法, 商除之。初商六十於左位,就以左右相呼,六六除實 三百六十石,餘實三十四石二斗。次商五升於左位 六斗之次,就以次商五升對右六相呼,五六除實三 十石,餘實四石二斗。再商七合於左位五升之下,就 以左七對右六相呼,六七除實四斗二升恰盡。今 列布算式於後。

商除式樣

學者但看《初商》,即看初除,又看次商,又看次除,復看 再商,復看再除,挨次位數,則不亂矣。

假如今有芝麻六十七石,榨得油三千零一十五斤, 問每石該油若干?

答曰:「四十五斤。」

《法》曰:置油數於盤中為實,以麻六十七石於右,為商。 除法初商四十斤於左,就以左右相呼,四六除實二 千四百。又呼,四七除二百八十斤,餘實三百三十五 斤。次商五斤於初,商四十之下位,就以五斤對右六 相呼,五六除三百。又呼,五七除三十五斤,恰盡合得。

約分法

約以分子,通以分母也。法曰:「可半者半之,不可半者 以少減多,更相減損,求其有等。」以等約之,若數如四 分兩之一者,二錢五分也,此為有盡。若數如三分兩 之一者,三錢三分三釐三毫有零也,此所謂不盡。必 須約分之法。

解曰:約分者,謂用除法多有畸零,數之不盡,帶有幾千百分者,以約去其繁而就其簡也,或有不可約者,

法曰:數多為母,數少為子。子母之數兩列,互相減損 至同,就以此數為法,各以法除子母原數,卻無畸零, 所謂「齊不齊而致其齊」也。如人分銀,以至數之不能 盡者,亦有物之不可分者,不能呼數,必以法而約之。

歌曰

數有參差不可齊,須憑《約法》命分之。法為分母實為 子,不與差分一例推。

又歌

約分須分子母名,更相減損至同成就把其同為法 則,除來各數自無零。

假如今有物九十八,除了四十二,問約得若干? 答曰:「七分之三法曰:數多為母,數少為子。置母九十八,內減去二箇 四十二,餘一十四。另置子四十二,減去二箇一十四, 亦餘一十四,謂之子母相同。就以十四為法,除母九 十八,是七箇一十四。另以十四為法,除子四十二,是 三箇一十四。故曰:「七分中除三,餘倣此。」

假如今有二十一分之一十四,問,約得若干?

答曰:「三分之二。」

法曰:置母二十一,減去子一十四,餘七。另置子一十 四,減去七,亦餘七。就以七為法,除母二十一,得三。又 以法七除子一十四,得二。合問。

假如今有絲二百五十二斤,賣過一百四十四斤,問 約得若干?

答曰:「七分斤之四。」

法曰:置母二百五十二,減去子一百四十四,餘母一 百零八。反將原子一百四十四,減去餘母一百零八, 餘子三十六。又將餘母一百零八,減去餘子二箇三 十六,餘母亦三十六。為之更相減損,就以母子同數 為法,以除原母、原子,各得分數。

假如今有鴨七十二隻,生子六十三箇。問「約得若干?」 答曰:「八分箇之七。」即是八隻鴨生七箇子也

法曰:列子母數,更相減損,置母七十二,減去子六十 三,餘母九。反將子六十三內減去六箇,餘母九,子亦 餘九。就以九為法,除原母七十二,得八箇九。又以法 九除原子六十三,得七箇九。故命之曰「八分之七」也。

乘分

假如今有一百九十人,支銀一兩、十九分兩之一,問 該銀若干?

答曰:「二百兩。」

法曰:置銀一兩,以分母十九通之,加分子一,共得二 十。又以人一百九十乘,得三千八百為實。卻以支銀 一兩,以分母十九通之,得十九兩為法。除之,合問。

《解題》曰:「十九分兩之一,每人即一兩零五分二釐六毫有零。」

課分

假如今有布二疋,九分疋之五,用過一疋,六分疋之 一,問尚餘若干。

答曰:「餘一疋,又十八分疋之七。」

法曰:置用過布一疋,以分母六通之,加分子一,共得 七。又以原布分母九通之,得六十三。另置原布二疋, 以分母九通之,加分子五,共得二十三疋。又以用過 布分母六通之,得一百三十八,內減去前六十三,餘 七十五為實。以兩分母九六相乘,得五十四為法。除 之,得一疋。餘實二十一,法實皆三,約之,合問。

通分

通分者,通以分母,約以分子也。夫數之有盡者,不必 通也,若畸零之不盡者,使不通之,則何以置位而算 之乎?此通分之法所由立也。假如四分兩之一者,則 二錢五分也,此所謂數之有盡者也。若三分兩之一 者,三錢三分三釐,以至於三,三之無窮,此所謂數之 不盡者也,必須以分通之,乃可算也。不然,則畸零之 不盡,終無可置位矣。

假如今有布四十五疋,每疋價三分兩之二,問共該 銀若干?

答曰:「三十兩。」

法曰:置布四十五疋,以分之,二因之,得九十兩,為實。 卻以分母三為法,歸之合問。

《解題》曰:「三分兩之二,即每疋六錢六分六釐而不能盡,故用約分之法也。」

假如今有米三分石之二,每斗價銀七分二釐,問共 該銀若干?

答曰:「四錢八分。」

法曰:置銀七分二釐,以每石十斗因之,得七錢二分, 又以分子之二因之,得一兩四錢四分為實。卻以分 母三為法,歸之《合問》。按此法即異乘同除也

假如今有商夥,論本分物俱得八分之七,至銀百兩, 問該若干?

答曰:「八十七兩五錢。」

法曰:置銀一百兩,以子之七因之,如故。仍以分母八 為法,歸之,合得。

假如今有羅六十六疋九分疋之六,每疋價二兩五 錢,問該銀若干?

答曰:「一百六十六兩六錢、三分錢之二。」

《法》曰:置六十六疋,以分母九通之,得五百九十四,加 分子六,共六百。以二兩五錢因之,得一千五百。以分 母九為法,歸之,得一百六十六兩六錢三分錢之二。 假如今有米六分石之二,每斗價四分錢之三,問該 銀若干?

答曰:「二錢五分。」

法曰:置分子石之二錢之三因之,得六兩為實。以分 母六分、四分相乘,得二十四兩為法,除之,得二錢五 分。合問。按此法即異乘同除也假如今有《緞》四十五疋、每疋價四兩三分兩之二,問 該銀若干?

答曰:「二百一十兩。」

法曰:置每疋價四兩,以分母三兩因之,得一十二兩; 加入分子二兩,共得一十四兩。以乘總緞四十五,得 六百三十兩為實。以分母三兩為法除之,合問。 假如今有豆九石六斗六分斗之四,每石價銀二錢 三分錢之一,問該銀若干?

答曰:「二兩二錢、五分、九分錢之五。」

《法》曰:先置每石價二錢,以分母三因之,得六,加納子 之一,共得七錢。另置豆九石六斗,以分母六因之,得 五七六,加納子之四,共得五十八;以七錢因之,得四 十兩零六錢為實。卻以分母六分、三分相因,得一十 八為法。除之不盡之數,一法實,皆折半而命之。

差分。《衰》分意同。

差分之法併來分,須要分數一分成,將此一分為之 實,以乘各數自均平。

假如今有東西二鄰共織絲絹,東鄰四斤六兩,西鄰 三斤二兩,共絲七斤八兩,織絹二十一丈八尺,問各 該若干?

答曰:「東鄰一十二丈七尺一寸六分六釐,西鄰九丈 零八寸三分三釐。」

法曰:置總絹二十一丈八尺為實。以共絲七斤八兩, 先將八兩變化為五,就以七斤五為法除之,得二丈 九尺零六分六釐六毫六絲為法。另以東西各絲斤 數不動,將兩減六,東六兩變作三七五,西二兩變作 一二五,併原斤為實乘之,合問。

假如今有「元、亨、利、貞」四人,合本經營,元出本銀二十 兩,《亨》出本銀三十兩,利出本銀四十兩,《貞》出本銀五 十兩,共本一百四十兩,至年終共得利銀七十兩,問 各該利銀若干?

答曰:元該利一十兩,《亨》該利一十五兩,利該利二十 兩,貞該利二十五兩。

法曰:置利銀七十兩為實,以四人共本一百四十兩 為法,除之,得五錢,為每兩之利。就以此為法,以乘各 人原本,合問。

假如今有甲、乙、丙三人合夥同商,因各人本銀不齊, 前後付出:甲於正月付出本七十兩,乙於四月付出 本八十兩,丙於七月付出本九十兩,三人共本二百 四十兩,至年終得利七十兩。問「各該利銀若干?」 答曰:「甲該利二十八兩,乙該利二十四兩,丙該利一 十八兩。」

法曰:置利銀七十兩為實。另置甲本七十兩,以十二 箇月通之,得八百四十兩。又置乙本八十兩,以九箇 月通之,得七百二十兩。再置丙本九十兩,以六箇月 通之,得五百四十兩。三共併,得二千一百兩為法,除 實得三錢三分三釐三毫三絲,此乃是每月每兩之 利也。就以此又為法,以乘甲通八百四十月,得利二 十八兩;又乘乙,通七百二十月,得利二十四兩;再乘 丙,通五百四十兩,得利一十八兩。《合問》。

此是差分「乘而相併,除而又乘」 之法也。

假如今有人借去銀二百六十兩,每年加三起息,今 有十箇月,二十四日問該利銀若干?

答曰:「七十兩零二錢。」

法曰:先將二十四日用《三歸》,得八數,在十月隔空一 位之下,再以十二月除之,得九數,如年以乘原本,得 二百三十四兩為實,以每年加三為法,因之,《合問》。

解曰:凡算年月日期,即與兩求斤法減六同理。每斤一十六兩,減六只作一數,每年十二月,每月三十日,故先用《三歸》如月併月,後用十二除月如年,以乘各人原本合得。餘皆倣此。圖式具左。

定盤算日月為年式

假如今有趙、錢、孫、李四人同商,前後付出本銀:趙一 於甲子年正月初九日付出本銀三十兩;錢二於乙 丑年四月十五日付出本銀五十兩;孫三於丙寅年 八月十八日付出本銀七十兩;李四於丁卯年十月 二十七日付出本銀九十兩。四共得本銀二百四十 兩,至戊長年終,共得利銀一百二十兩,問各該得利 「銀若干?」

答曰:「趙一該得利二十九兩五錢五分○○一絲,錢 二該得利三十六兩七錢一分一釐,孫三該得利三 十二兩八錢○○三毫,李四該得利二十兩零九錢 三分七釐五毫。」

法曰:置利銀一百二十兩為實。另置各人年月日數, 照依前式歸日。如月除月,如年次位之零,併年以乘 原本,合問趙一,計四年十一箇月,二十一日先歸日,後除月。又 原本通得一百四十九兩二錢五分;錢二,計三年零 八箇月,一十五日先歸日,後除月。又原本通得一百 八十五兩四錢一分六釐五毫。孫三,計二年零四箇 月,一十二日先歸日,後除月,又原本通得一百六十 五兩六錢六分六釐六毫。李四計一年零二箇月,零 三日先歸日,後除月,又原本通得一百零五兩七錢 五分。

將四人年月日通得之數共併,得六百零六兩零八 分三釐三毫為法,除實得一錢九分七釐九毫九絲, 即是每年每兩之利也。就以此又為法,以乘各人通 得之數,《合問》。

假如人借去銀,每年每兩加利二錢七分。今有一年 零三箇月,二十日收還銀三百六十二兩四錢七分, 問本利各得若干?

答曰:「本二百六十八兩,利九十四兩四錢七分。」 法曰:置還本利共銀為實,另置年月日數,照依前式, 用三歸二,十日得六六六六於三月之下位。併月再 以十二除之,得三月零五五五於一年之下位,另以 每年利二錢七分乘之,得每兩利三錢五分二釐五 毫,加原本一兩二,共為法,除實,得原本銀二百六十 八兩。再以每兩利三錢五分二釐五毫乘之,得利九 十四兩四錢七分。《合問》。

假如原借本銀一十五兩,每月加利二分五釐,今有 六箇月已還過銀九兩,除作本及利問本利各該若 干,仍存原本若干。

答曰:除原本七兩八錢二分六釐,該利-兩一錢七 分四釐,仍存原本銀七兩一錢七分四釐,仍以原日 起利。

法曰:置還銀九兩為實。另置六箇月,以月利二分五 釐通之,得一錢五分,加原本一兩,本利共一兩一錢 五分為法。除實,得除本銀七兩八錢二分六釐。又以 通利一錢五分乘之,得利銀一兩一錢七分四釐,本 利共合九兩之數。另將原本一十五兩除還原本七 兩八錢二分六釐,餘者仍存數也。

異乘同除

此法雖易知之術,其意至奧。或人用先除後乘之法, 若除之不盡,將何以乘之乎?此異乘同除,實為通變 之法也。

歌曰

《異乘同除》法何如,物賣錢來作例推。先下原錢乘這 物,卻將原物法除之。將錢買物互乘取,百里千斤以 類推。算者留心能善用,一絲一忽不差池。

假如原有米五石八斗四升,賣銀四兩三錢八分,今 只有米一石七斗二升,問該銀若干?

答曰:「一兩二錢九分。」

《法》曰:「置今有米一石七斗二升」,以原賣銀四兩三錢 八分乘之,得七兩五錢三分三釐六毫為實,卻以原 有米五石八斗四升為法,除之,合問。

一法先用除而後乘。先置原價四兩三錢八分,以原 米五石八斗四升為法。除之,得每石價銀七錢五分。 又為法。以乘今米一石七斗二升亦得。

此法雖易知之,恐愚拙者法則難於取價,須用「先乘後除」 ,其法捷玅。

異乘同除互換捷用法圖

異乘同除互換捷用法圖

歌曰

此法有四隅,內有一隅空,異名斜乘了,同名「《兌》位除。」

詳此歌,則知「異名乘」 、「同名除」 也。

假如原有小麥八斗六升,磨麪六十四斤八兩,今有 小麥三十五石四斗八升,問該麪若干? 答曰:「二千六百六十一斤。」

法曰:置今麥三十五石四斗八升,以磨麪六十四斤 半乘之,得二萬二千八百八十四斤六,為實,以原麥 八斗六升為法,除之,合問。

假如今有夏布四十五疋,欲換棉布,只云:「夏布三疋, 共價二錢,棉布七疋共價七錢五分」,問該換棉布若 干?

答曰:「棉布二十八疋。」

法曰:先置「今有夏布四十五疋」,以原夏布價二錢因 之,得九兩,又以棉布七疋因之,得六十三疋,為實。以 夏布三疋因棉布價七錢五分得二兩二錢五分為 法,除之,得棉布二十八疋。合問:

假如原有麥三斗五升,磨麪二十五斤。今欲用麪一 百七十五斤,問該麥若干?

答曰:「二石四斗五升。」

法曰:「置原麥乘今用麪」為實,以磨麪二十五斤為法 除之,合問假如今有綾一百六十一疋,每七疋價銀五兩,問共 該銀若干?

答曰:「一百一十五兩。」

法曰:置總綾,以五兩因之為實,以七疋為法,歸之合 問。

同乘異除歌

此法買寶石珍珠大小塊顆價用此。果品亦同。

同《乘異除》法可識原物價相乘為實,今物除實求今 價,今價除實求今物。

假如原有小珍珠五十顆重一兩,價銀一十二兩;今 有大珍珠三十顆重一兩,問該銀若干?

答曰:「二十兩。」

《法》曰:置原珠五十,以原價十二乘,得六百兩為實。以 今珠三十顆除之,合問。

異乘同乘法

假如原每人一日織錦八尺二寸五分,今有五十六 人,共織二十七日,問織錦若干?

答曰:「一千二百四十七丈四尺。」

法曰:置五十六人,乘二十七日,得一千五百一十二 工;再以日織八尺二寸五分乘之,得一萬二千四百 七十四尺,合問。

異除同除法理

假如今有客一十五人,住一十二日,共用米三石六 斗,問一客每日用米若干?

答曰:「每日二升。」

法曰:置米三石六斗為實。另以一十五人乘一十二 日,得一百八十人為法,除實得二升,合問。

同乘同除法理

假如原有鵝八隻換雞二十隻;每雞三十隻換鴨九 十隻;每鴨六十隻換羊二隻。今卻有羊五隻換鵝,問 該若干?

答曰:「該鵝二十隻。」

法曰:用異乘、同乘之法,置原鵝八隻,以乘原雞三十 隻,得二百四十隻。又以原鴨六十隻乘之,得鵝一萬 四千四百隻。再以今有羊五隻乘之,得七萬二千隻, 為實。又用異除、同除之法,以所換雞二十隻,乘換 鴨九十隻,得一千八百隻;又以所換羊二隻因之,得 羊三千六百隻為法。除實,得鵝二十隻。《合問》。

指曰:「法應一除一乘,多有不盡之數。今變法總乘為實,總除為法,此術極妙。」

傾煎論色

假如今有「九二成」色銀七兩四錢八分,傾銷足色銀 問該若干?

答曰:「足色銀六兩八錢八分一釐六毫。」

法曰:置銀為實,以九二色為法乘之,合問。

假如今有足色紋銀一十五兩二錢換「九五」色銀,問 該若干?

答曰:「九五色銀一十六兩。」

《法》曰:置紋銀十五兩二錢為實,以九五色為法,除之, 即得。

假如今有「八五色銀五兩六錢」換「九五」色銀,問該若 干?

答曰:「該九五色銀五兩零一分零五毫。」

法曰:置銀五兩六錢,以八五乘之,得四兩七錢六分 為實,以九五為法,除之,合問。

假如今有足色紋銀七兩六錢五分,傾出成色銀九 兩,問色幾何?

答曰:「八五色。」

《法》曰:置紋銀為實,以傾出色銀九兩為法,歸之合問。 假如今有足色紋銀三十五兩二錢,欲傾八八色銀, 問用銅若干?

答曰:「銅四兩八錢。」

法曰:置紋銀為實,以八八色為法除之,得色銀四十 兩,內減原銀,餘四兩八錢,是銅數也。《合問》:

假如有銅七錢五分,今煎作八八色銀。問「紋銀若干?」 答曰:「紋銀五兩五錢。」

法曰:置銅為實,以每兩用銅一錢二分為法除之,得 八八色銀六兩二錢五分,於內減去原銅七錢五分, 餘得紋銀合問。


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