欽定古今圖書集成/曆象彙編/曆法典/第114卷

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欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

 第一百十四卷目錄

 算法部彙考六

  算法統宗二算義總二

曆法典第一百十四卷

算法部彙考六编辑

《算法統宗二》
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算義總二编辑

乘法留頭乘

按:因與乘一也。單位者,謂之因。位數多者,謂之乘。特 以此而異其名耳。

原有破頭乘,掉尾乘,隔位乘,總不如留頭乘之妙,故皆不錄。

歌曰

下乘之法此為真,起手先將得二因。三四五來乘遍 了,卻將本位破其身。

用留頭乘法,若依盤式小九數位次先後不一,難以 挨次。今將暗馬數以別先後,庶不亂矣。暗馬式附前,用字凡例中。 假如今有布四百二十五疋,每疋價銀二錢五分。問 共該銀若干。

答曰:一百零六兩二錢五分。

法曰:置布為實。以每疋價銀二錢五分為法,乘之合 問。定位法只認疋下一位,定錢依次逆數,陞上合 得也,此所謂因乘俱向下位推。

還原用歸除法詳後

二一添作五無除 起一下還二 四五除二十 逢四進二十 二五除一十 二一添作五 五五 除二十五

假如今有豆二十八石六斗,每斗價銀三分四釐五 毫。問共該銀若干。

答曰:九兩八錢六分七釐。

法曰:置豆為實,以每斗三分四釐五毫為法,乘之合 問,定位同前。

還原用歸除法詳後

逢六進二十 二四如除八 二五除一十 三二 六十二 逢六進二十 四八除三十二 五八除 四十 三二六十二 四六除二十四 五六除三 十

假如今有銀三十五兩八錢,每銀一兩糴米二石四 斗六升八合。問該米若干。

答曰:八十八石三斗五升四合四勺。

法曰:置總銀為實,以每兩糴米數為法,乘之合問。 定位同前。

還原用歸除法詳後

逢六進三十 三四除一十二 三六除一十八 三八除二十四 二一添作五 四五除二十 五 六除三十 五八除四十 二一添作五 逢六進 三十 四八除三十二 六八除四十八 八八除 六十四

假如今有米三百四十五石,每石價銀四錢,外牙用 三釐。問該銀若干。

答曰:一百三十九兩零三分五釐。

法曰:置總米為實,以每石價併牙用共四錢零三釐 為法,乘之合問。定位同前。

還原用歸除法詳後

四一二十二 逢四進一十 三三如除九 四一 二十二 逢八進二十 三四除一十二 四二添 作五 三五除一十五

假如今有田二千三百四十五畝,每畝科糧一斗八 升七合。問該糧米若干。

答曰:四百三十八石五斗一升五合。

法曰:置總田為實,以每畝科米一斗八升七合為法, 乘之合問。

還原用歸除法詳後

逢二進二十 二八除一十六 二七除一十四 逢三進三十 三八除二十四 三七除二十一 逢四進四十 四八除三十二 四七除二十八 逢五進五十 五八除四十  五七除三十五 假如今有直田長三十六步三分,闊七步四分。問該 田積若干。

答曰:二百六十八步六分二釐。

法曰:置長為實,以闊七步四分為法,乘之合問。定 位法只認步下一位是法首步,數逆上合得也。

還原用歸除法詳後

七二下加六 逢七進一十 三四除一十二 七 四五十五 逢七進一十 四六除二十四 七二 下加六 逢七進一十 三四除一十二

假如今有田長七十五步,闊三十二步。問該積步若 干。

答曰:二千四百步。

法曰:置長為實,以闊為法,乘之合問。定位法只認 原實步下一位,定法首位十逆陞合得。

假如今有方田長闊各一百二十六步。問該積步若 干。

答曰:一萬五千八百七十六步。

法曰:置方面一百二十六步為實,亦置一百二十六 步為法,即自乘之合問。

還原用歸除法詳後

逢一進一十 一二如除二  一六如除六  逢二 進二十   二二如除四  二六除一十二 逢六進 六     二六除一十二 六六除三十六

歸除

凡二至九位數多者,用此。置物為實,以價或分者為 法,先將法首對實首,呼九歸歌,或進或倍後將法次 位對所歸數,呼九九數除之,用乘法還原。

歌曰

惟有歸除法更奇,算學中惟歸除最妙將身歸了次除之先將本位 呼歸法,歸之其次不拘幾位俱呼小九數除之。有歸若是無除數若本位有子可歸,次 位無子可除也。起一還將原數施如一歸本位起,一下位還一,如二歸本位起,一下位 還二,餘倣此。或遇本歸歸不得{{Annotation|如一歸只一子,二歸只二子,因下位無子,可除,故不能歸也。餘倣此。}}撞歸之法莫教遲如一歸見一,無除加八,撞湊作九下位加一,如撞歸 訖,除數不足,照前用起一還原法。若人識得其中意如學者,曉得歸除中間之理,深 奧也。算學雖深可盡知云算者,用心習學,可以盡識者矣。

撞歸法

一歸見一原實無除作九得數餘數後倣此 二歸見二無除作九二 三歸見三無除作九三 四歸見四無除作九四 五歸見五無除作九五 六歸見六無除作九六 七歸見七無除作九七 八歸見八無除作九八 九歸見九無除作九九 已有歸而無除用起一還原法即是起一還將原數施也 一歸起一得數下還一原實本位起一下位還一,若二歸起一則下位還二,餘倣此。 二歸起一下還二  三歸起一下還三

四歸起一下還四  五歸起一下還五

六歸起一下還六  七歸起一下還七

八歸起一下還八  九歸起一下還九

撞歸者,有歸而無除之謂也,予以法實盈虧進退之 理推之,盈則有歸,照法首之數進於上位,成十虧則 無除,起一退於下位,照法首之數還原。先哲有云:見 一無除作九,一之類,此正謂有歸無除之祕法,知此 可與論制算纂法之深奧矣。

假如今有銀二百四十三兩,糴米每斗價銀五分四 釐。問共該米若干。

答曰:四百五十石。

法曰:置總銀為實,以每斗價五分四釐為法,歸除之 合問。定位法只認實上原首位起往後順數至分。 遇法首位是每斗三分則止,前一位得令是斗,逆數 陞上合得後倣此。

還原用乘法

四五得二十 五五二十五 四四一十六 四五 得二十

假如今有銀二百六十五兩三錢二分,作十二人分 之。問每人該銀若干。

答曰:二十二兩一錢一分。

法曰:置銀為實以十二人為法,歸除之合問。定位 與前歸法同。

還原用乘法

一二如二 一一如一 一二如二 一一如一 二二如四 一二如二 二二如四 一二如二 假如今有米一百二十九石九斗六升,作一十九人 分之。問每人該米若干。

答曰:六石八斗四升。

法曰:置米為實,以一十九人為法,除之合問。

還原用乘法

四九三十六 一四如四 八九七十二 一八如 八 六九五十四 一六如六

假如今有銀二十六兩六錢,買豬二十八隻。問每隻 該銀若干。

答曰:九錢五分。

法曰:置銀為實,以豬二十八隻為法。除之合問。

還原用乘法

五八得四十 二五得一十 八九七十二 二九 一十八

假如今有金二兩八錢三分五釐,作四百零五人分 之。問每人該金若干。

答曰:七釐。

法曰:置金為實,以人數為法,除之合問。定位法多實少,先從原實首位起往前逐位逆,數陞上至呼遇 法首位百則止,向前一位得令,是兩。降下合得。

還原用乘法

五七三十五 四七二十八

假如今有米二十二石五斗二升,作五千六百三十 人分。問每人該米若干。

答曰:四合。

法曰:置米為實,以人數為法,除之合問。定位法多 實少同前。

還原用乘法

四六二十四 三四一十二 四五得二十

假如今有銀一千零九十七兩二錢五分,作五百七 十人分之。問每人該銀若干。

答曰:一兩九錢二分五釐。

法曰:置銀為實,以人數為法,除之合問,定位法先 數原實千順下至法首百前,位定兩合得。

還原用乘法

五七三十五 五五二十五 二七一十四 二五 得一十 七九六十三 五九四十五 一七如七

一五如五

假如今有銀四錢八分,每銀七分五釐換赤金一分。 問該金若干。

答曰:六分四釐。

法曰:置總銀為實,以七分五釐為法,除之合問。

還原用乘法

四五得二十 四七二十八 五六得三十 六七 四十二

假如今有錢五千六百四十文,買梨一萬六千九百 二十枚。問每錢一文買梨若干。

答曰:三枚。

法曰:置梨為實,以錢數為法除之合問。

還原用乘法

三六一十八 三四一十二 三五一十五

假如今有銀五萬五千三百八十五兩,作一千零七 人分之。問每人該銀若干。

答曰:五十五兩。

法曰:置銀為實,以人數為法,除之合問。

還原隔二位乘

五七三十五 一五如五 五七三十五 一五如

加法

凡乘法首位有一數者用此,置所有物為實,以所求 價為法,加之。然加法不用首位一數,只以次位餘數 加之,言十就身,加十言如次位加,如亦從末位算起 用減法還原。

歌曰

加法仍從下位先,如因位數或多焉。十歸本位零居 次,一外添加法更元。

假如今有珍珠二百六十八顆,每顆價銀一兩一錢。 問該銀若干。

答曰:二百九十四兩八錢。

法曰:置珠為實,以每顆價除價首一兩,只以次價一 錢為法從末位加起,次第而上。定位只認顆本位, 定兩十顆上,定十兩百顆,上定百兩。所謂加減只須 認本位也餘倣此。

還原用減法即定身除也

一二減去二九去二存七 一六減去六除六下還四 一八 減去八恰盡

假如今有絹九丈八尺,每尺價一錢三分五釐。問共 該銀若干。

答曰:一十三兩二錢三分。

法曰:置絹為實,以每尺除價首一錢只以三分五釐 為法,加之,定位只認尺本位,定錢丈上定兩,十丈 定十兩,合得。

假如今有羅二百四十六疋,每疋價銀一兩二錢七 分五釐。問該銀若干。

答曰:三百一十三兩六錢五分。

法曰:置羅為實,以每疋除價首一兩只以二錢七分 五釐為法,加之。定位只認疋位上定兩依次逆陞 合得。

六七加四十二 五六加三十 二六加一十二 四七加二十八 四五加二十 二四如加八 二 七加一十四 二五加一十 二二如加四

假如今有米四萬六千七百五十一石,每石加耗七 升。問共該米若干。

答曰:正耗共該五萬零零二十三石五斗七升。 法曰:置正米為實,以耗米七升為法,隔位加之合問。 一七加七先從石上起,呼於隔位升上。 五七加三十五石上加三斗下 位加五 七七加四十九十位加四,下位加九,九退一,成一十。 六七加 四十二百位加四,四下五,除一下位加二,二起八成一十。 四七加二十八 千位加二下位加八

按因乘加三法,其名雖殊而理則一,但加法須記實 位,不動本身學者宜當詳審不致差誤也。

減法

凡歸除遇法首位有一數者用此,所謂定身除者,先 定本身之位,而後減除也。置所有物為實,以所求價 為法,與身數相呼,九九之數,言十就身,言如隔位次 第如法減而除之。先從實首位起,用加法還原 定位法因實位本身減去,而無逢進比歸除而降一 位。今將法首一數除而不用,亦可以抵逢進陞位也。

歌曰

減法須知先定身,得其身數始為真。法中有一何曾 用,身外除零妙入神。

假如今有銀二百九十四兩八錢,買絹每疋價銀一 兩一錢。問該絹若干。

答曰:二百六十八疋。

法曰:置總銀為實,以每疋除價首一兩不用,只以次 位一錢為法,定身減而除之合問。定位此是求總 之法,數原實順下至錢則止,前一位是疋也,逆數陞 上合得。

假如今有米一千零三十八石,作一百七十三人分 之。問每人該米若干。

答曰:六石。

法曰:置米為實,以人數除首位百不用,只以七十三人為法,定身除之合問。定位此是求零之法,先數 原實起順下至遇法首十數則止,前一位得令,是石 也。

假如今有金八十九兩三錢八分,令金戶一百零九 人辦納。問每人各該若干。

答曰:八錢二分。

法曰:置金為實,以金戶除百不用只以九人為法,隔 位定身除之合問。

求一乘除法

按古有之,大位因考其法,用倍折之,繁難不如歸除 之簡易,故今於此而廢之,使學者專心於乘除加減 之法,而無他岐之惑焉。

商除

商除者,商量而除之也。如定商太過,則總數不足,而 無除如定商不及,則總數有餘務要酌量彀除方,可 然此一術亦兼歸除,歸除既通,不必學此,但開方之 法必用商除,演此而為梯階,其法不可廢也。

歌曰

數中有術。號商除,商總分排兩位推,惟有開方,須用 此續商,不盡命其餘。

假如今有軍士六百名,分糧三百九十四石二斗。問 每名該若干。

答曰:六斗五升七合。

法曰:置糧米於盤中為實,以軍士六百名於右為法, 商除之初商六十於左位,就以左右相呼,六六除實 三百六十石,餘實三十四石二斗次商五升於左位。 六斗之次就以次商五升對,右六相呼,五六除實三 十石,餘實四石二斗,再商七合於左位五升之下,就 以左七對右六相呼,六七除實四斗二升,恰盡。今 列布算式於後。

商除式樣

學者但看初商,即看初除,又看次商,又看次除,復看 再商。復看再除,挨次位數則不亂矣。

假如今有芝麻六十七石,榨得油三千零一十五斤。 問每石該油若干。

答曰:四十五斤。

法曰:置油數於盤中為實,以麻六十七石於右為商, 除法初商四十斤於左,就以左右相呼,四六除實二 千四百,又呼四七除二百八十斤餘實三百三十五 斤,次商五斤於初商四十之下位,就以五斤對右六 相呼,五六除,三百又呼五七,除三十五斤,恰盡合得。

約分法

約以分子通以分母也,法曰可半者,半之不可,半者 以少減多,更相減損。求其有等,以等約之,若數如四 分兩之一者二。錢五分也,此為有盡,若數如三分兩 之一者三錢三分三釐三毫有零也。此所謂不盡必 須約分之法。

解曰:約分者,謂用除法,多有畸零數之不盡,帶有幾千百分者以約去其繁,而就其簡也,或有不可約者。

法曰:數多為母,數少為子,子母之數兩列互相減損, 至同就以此數為法,各以法除子母,原數卻無畸零。 所謂齊不齊而致其齊也,如人分銀以至數之不能 盡者,亦有物之不可分者,不能呼數,必以法而約之。

歌曰

數有參差不可齊,須憑約法命分之,法為分母實為 子,不與差分一例推。

又歌

約分須分子母名,更相減損至同成。就把其同為法 則,除來各數自無零。

假如今有物九十八,除了四十二。問約得若干。 答曰:七分之三。法曰:數多為母,數少為子,置母九十八內減去二箇 四十二,餘一十四,另置子四十二減去二箇一十四 亦餘一十四,謂之子母相同,就以十四為法,除母九 十八,是七箇一十四,另以十四為法,除子四十二是 三箇一十四,故曰七分中除三。餘倣此。

假如今有二十一分之一十四。問約得若干。

答曰:三分之二。

法曰:置母二十一,減去子一十四,餘七另置子一十 四減去七,亦餘七。就以七為法,除母二十一,得三,又 以法七,除子一十四,得二合問。

假如今有絲二百五十二斤,賣過一百四十四斤。問 約得若干。

答曰:七分斤之四。

法曰:置母二百五十二,減去子一百四十四,餘母一 百零八,反將原子一百四十四減去餘母一百零八 餘子三十六,又將餘母一百零八減去餘子二箇三 十六餘母亦三十六,為之更相減損,就以母子同數。 為法以除原母原子各得分數。

假如今有鴨七十二隻,生子六十三箇。問約得若干。 答曰:八分箇之七。即是八隻鴨生七箇子也。

法曰:列子母數更相減損,置母七十二減去子六十 三,餘母九。反將子六十三內減去六箇餘母九子亦 餘九,就以九為法除原母七十二得八箇九,又以法 九除原子六十三得七箇九,故命之曰八分之七也。

乘分

假如今有一百九十人,支銀一兩十九分兩之一。問 該銀若干。

答曰:二百兩。

法曰:置銀一兩,以分母十九通之,加分子一,共得二 十,又以人一百九十乘得三千八百,為實,卻以支銀 一兩以分母十九通之,得十九兩為法,除之合問。

解題曰十九分兩之一,每人即一兩零五分二釐六毫有零。

課分。

假如今有布二疋九分疋之五,用過一疋六分疋之 一。問尚餘若干。

答曰:餘一疋又十八分疋之七。

法曰:置用過布一疋以分母六通之,加分子一共得 七,又以原布分母九通之,得六十三。另置原布二疋 以分母九通之,加分子五,共得二十三疋。又以用過 布分母六通之,得一百三十八,內減去前六十三餘 七十五為實,以兩分母九六相乘得五十四為法,除 之得一疋餘實二十一,法實皆三約之合問。

通分

通分者,通以分母約以分子也。夫數之有盡者,不必 通也,若畸零之不盡者,使不通之則何以置位而算 之乎。此通分之法所由立也,假如四分兩之一者則 二錢五分也,此所謂數之有盡者也,若三分兩之一 者三錢三分三釐以至於三三之無窮,此所謂數之 不盡者也,必須以分通之,乃可算也。不然則畸零之 不盡終無可置位矣。

假如今有布四十五疋,每疋價三分兩之二。問共該 銀若干。

答曰:三十兩。

法曰:置布四十五疋,以分之二,因之得九十兩為實 卻以分母三為法,歸之合問。

解題曰:三分兩之二即每疋六錢六分六釐而不能盡,故用約分之法也。

假如今有米三分石之二,每斗價銀七分二釐。問共 該銀若干。

答曰:四錢八分。

法曰:置銀七分二釐,以每石十斗因之,得七錢二分。 又以分子之二因之,得一兩四錢四分為實,卻以分 母三為法歸之合問。按此法即異乘同除也。

假如今有商夥論本分物,俱得八分之七,至銀百兩。 問該若干。

答曰:八十七兩五錢。

法曰:置銀一百兩以子之七因之,如故仍以分母八 為法歸之合得。

假如今有羅六十六疋九分疋之六,每疋價二兩五 錢。問該銀若干。

答曰:一百六十六兩六錢三分錢之二。

法曰:置六十六疋以分母九通之,得五百九十四,加 分子六共六百,以二兩五錢因之,得一千五百,以分 母九為法歸之,得一百六十六兩六錢三分錢之二。 假如今有米六分石之二,每斗價四分錢之三。問該 銀若干。

答曰:二錢五分。

法曰:置分子石之二錢之三因之,得六兩為實,以分 母六分四分相乘得二十四兩,為法除之得二錢五 分合問。按此法即異乘同除也。假如今有緞四十五疋,每疋價四兩三分兩之二。問 該銀若干。

答曰:二百一十兩。

法曰:置每疋價四兩,以分母三兩因之,得一十二兩。 加入分子二兩,共得一十四兩,以乘總緞四十五,得 六百三十兩,為實,以分母三兩為法,除之合問。 假如今有豆九石六斗六分斗之四,每石價銀二錢 三分錢之一。問該銀若干。

答曰:二兩二錢五分九分錢之五。

法曰:先置每石價二錢以分母三因之,得六,加納子 之一共得七錢,另置豆九石六斗以分母六因之,得 五七六加納子之四,共得五十八以七錢因之,得四 十兩零六錢為實,卻以分母六分三分相因,得一十 八為法,除之不盡之數,一法實皆折半而命之。

差分衰分意同

差分之法,併來分須要分數一分成,將此一分為之 實以乘各數自均平。

假如今有東西二鄰共織絲絹,東鄰四斤六兩,西鄰 三斤二兩,共絲七斤八兩,織絹二十一丈八尺。問各 該若干。

答曰:東鄰一十二丈七尺一寸六分六釐,西鄰九丈 零八寸三分三釐。

法曰:置總絹二十一丈八尺為實,以共絲七斤八兩。 先將八兩變化為五,就以七斤五為法,除之得二丈 九尺,零六分六釐六毫六絲為法,另以東西各絲斤 數不動,將兩減六,東六兩變作三七五,西二兩變作 一二五,併原斤為實乘之合問。

假如今有元亨利貞四人合本經營,元出本銀二十 兩,亨出本銀三十兩,利出本銀四十兩,貞出本銀五 十兩,共本一百四十兩,至年終共得利銀七十兩。問 各該利銀若干。

答曰:元該利一十兩,亨該利一十五兩,利該利二十 兩,貞該利二十五兩。

法曰:置利銀七十兩為實,以四人共本一百四十兩 為法,除之得五錢為每兩之利,就以此為法以乘各 人原本合問。

假如今有甲乙丙三人合夥同商,因各人本銀不齊, 前後付出。甲於正月付出本七十兩,乙於四月付出 本八十兩,丙於七月付出本九十兩,三人共本二百 四十兩,至年終得利七十兩。問各該利銀若干。 答曰:甲該利二十八兩,乙該利二十四兩。丙該利一 十八兩。

法曰:置利銀七十兩為實,另置甲本七十兩以十二 箇月通之得八百四十兩,又置乙本八十兩,以九箇 月通之得七百二十兩,再置丙本九十兩以六箇月 通之,得五百四十兩。三共併得二千一百兩為法除 實得三錢三分三釐三毫三絲,此乃是每月每兩之 利也。就以此又為法以乘,甲通八百四十月得利二 十八兩,又乘乙通七百二十月得利二十四兩,再乘 丙通五百四十兩得利一十八兩合問。

此是差分乘而相併除,而又乘之法也。

假如今有人借去銀二百六十兩,每年加三起息,今 有十箇月二十四日。問該利銀若干。

答曰:七十兩零二錢。

法曰:先將二十四日用三歸,得八數在十月,隔空一 位之下,再以十二月除之,得九數。如年以乘原本得 二百三十四兩為實,以每年加三為法,因之合問。

解曰:凡算年月日期即與兩求斤法減六同理。每斤一十六兩減六,只作一數。每年十二月每月三十日,故先用三歸,如月併月後用十二除月,如年以乘各人原本合得餘皆倣此。圖式具左。

定盤算日月為年式。

假如今有趙錢孫李四人同商,前後付出本銀趙一 於甲子年正月初九日付出本銀三十兩,錢二於乙 丑年四月十五日付出本銀五十兩,孫三於丙寅年 八月十八日付出本銀七十兩,李四於丁卯年十月 二十七日付出本銀九十兩,四共得本銀二百四十 兩,至戊長年終共得利銀一百二十兩。問各該得利 銀若干。

答曰:趙一該得利二十九兩五錢五分。○○一絲,錢 二該得利三十六兩七錢一分一釐,孫三該得利三 十二兩八錢○○三毫,李四該得利二十兩零九錢 三分七釐五毫。

法曰:置利銀一百二十兩為實,另置各人年月日數, 照依前式,歸日如月,除月如年,次位之零併年以乘 原本合問。趙一計四年十一箇月二十一日,先歸日後除月又 原本通得一百四十九兩二錢五分。錢二計三年零 八箇月一十五日。先歸日後除月,又原本通得一百 八十五兩四錢一分六釐五毫。孫三計二年零四箇 月一十二日,先歸日後除月又原本通得一百六十 五兩六錢六分六釐六毫。李四計一年零二箇月零 三日,先歸日,後除月,又原本通得一百零五兩七錢 五分。

將四人年月日通得之數共併得六百零六兩零八 分三釐三毫為法,除實得一錢九分七釐九毫九絲 即是每年每兩之利也,就以此又為法以乘各人通 得之數合問。

假如人借去銀每年每兩加利二錢七分,今有一年 零三箇月二十日收還銀三百六十二兩四錢七分。 問本利各得若干。

答曰:本二百六十八兩,利九十四兩四錢七分。 法曰:置還本利共銀為實,另置年月日數照依前式 用三歸二十日得六六六六於三月之下位,併月再 以十二除之得三月零五五五於一年之下位,另以 每年利二錢七分乘之,得每兩利三錢五分二釐五 毫,加原本一兩二共為法,除實得原本銀二百六十 八兩,再以每兩利三錢五分二釐五毫乘之,得利九 十四兩四錢七分合問。

假如原借本銀一十五兩,每月加利二分五釐,今有 六箇月,已還過銀九兩,除作本及利。問本利各該若 干。仍存原本若干。

答曰:除原本七兩八錢二分六釐,該利-兩一錢七 分四釐,仍存原本銀七兩一錢七分四釐,仍以原日 起利。

法曰:置還銀九兩為實,另置六箇月以月利二分五 釐通之,得一錢五分加原本一兩本利共一兩一錢 五分為法,除實得除本銀七兩八錢二分六釐,又以 通利一錢五分乘之,得利銀一兩一錢七分四釐,本 利共合九兩之數,另將原本一十五兩除還原本七 兩八錢二分六釐,餘者仍存數也。

異乘同除

此法雖易知之術,其意至奧,或人用先除後乘之法。 若除之不盡將何以乘之乎。此異乘同除,實為通變 之法也。

歌曰

異乘同除法何如,物賣錢來作例推。先下原錢乘這 物,卻將原物法除之。將錢買物互乘取,百里千斤以 類推。算者留心能善用,一絲一忽不差池。

假如原有米五石八斗四升,賣銀四兩三錢八分,今 只有米一石七斗二升。問該銀若干。

答曰:一兩二錢九分。

法曰:置今有米一石七斗二升,以原賣銀四兩三錢 八分乘之,得七兩五錢三分三釐六毫為實,卻以原 有米五石八斗四升為法,除之合問。

一法先用除而後乘,先置原價四兩三錢八分,以原 米五石八斗四升為法除之,得每石價銀七錢五分, 又為法以乘,今米一石七斗二升亦得。

此法雖易知之,恐愚拙者法則難於取價。須用先乘後除其法捷玅。

異乘同除互換捷用法圖

異乘同除互換捷用法圖

歌曰

此法有四隅,內有一隅空。異名斜乘了,同名兌位除。

詳此歌則知異名乘同名除也。

假如原有小麥八斗六升磨GJfont六十四斤八兩,今有 小麥三十五石四斗八升。問該GJfont若干。 答曰:二千六百六十一斤。

法曰:置今麥三十五石四斗八升,以磨GJfont六十四斤 半乘之,得二萬二千八百八十四斤六為實,以原麥 八斗六升為法除之合問。

假如今有夏布四十五疋,欲換棉布,只云夏布三疋 共價二錢,棉布七疋共價七錢五分。問該換棉布若 干。

答曰:棉布二十八疋。

法曰:先置今有夏布四十五疋,以原夏布價二錢因 之,得九兩,又以棉布七疋因之得六十三疋,為實。以 夏布三疋因棉布價七錢五分,得二兩二錢五分為 法,除之得棉布二十八疋合問。

假如原有麥三斗五升磨GJfont二十五斤,今欲用GJfont一 百七十五斤。問該麥若干。

答曰:二石四斗五升。

法曰:置原麥乘今用GJfont為實,以磨GJfont二十五斤為法, 除之合問。假如今有綾一百六十一疋,每七疋價銀五兩。問共 該銀若干。

答曰:一百一十五兩。

法曰:置總綾以五兩因之,為實,以七疋為法歸之合 問。

同乘異除歌

此法買寶石珍珠大小塊顆價用此,果品亦同。

同乘異除法可識,原物價相乘為實,今物除實求今 價,今價除實求今物。

假如原有小珍珠五十顆重一兩,價銀一十二兩今 有大珍珠三十顆重一兩。問該銀若干。

答曰:二十兩。

法曰:置原珠五十以原價十二乘,得六百兩為實,以 今珠三十顆除之合問。

異乘同乘法

假如原每人一日織錦八尺二寸五分,今有五十六 人共織二十七日。問織錦若干。

答曰:一千二百四十七丈四尺。

法曰:置五十六人乘二十七日得一千五百一十二 工,再以日織八尺二寸五分乘之,得一萬二千四百 七十四尺合問。

異除同除法理

假如今有客一十五人住一十二日,共用米三石六 斗。問一客每日用米若干。

答曰:每日二升。

法曰:置米三石六斗為實,另以一十五人乘一十二 日得一百八十人為法,除實得二升合問。

同乘同除法理

假如原有鵝八隻,換雞二十隻,每雞三十隻換鴨九 十隻,每鴨六十隻換羊二隻,今卻有羊五隻換鵝。問 該若干。

答曰:該鵝二十隻。

法曰:用異乘同乘之法,置原鵝八隻以乘原雞三十 隻得二百四十隻,又以原鴨六十隻乘之得鵝一萬 四千四百隻,再以今有羊五隻乘之得七萬二千隻 為實。又用異除同除之法以所換雞二十隻乘換 鴨九十隻得一千八百隻,又以所換羊二隻因之得 羊三千六百隻為法,除實得鵝二十隻合問。

指曰:法應一除一乘,多有不盡之數。今變法總乘為實,總除為法,此術極妙。

傾煎論色

假如今有九二成色銀七兩四錢八分,傾銷足色銀。 問該若干。

答曰:足色銀六兩八錢八分一釐六毫。

法曰:置銀為實以九二色為法乘之合問。

假如今有足色紋銀一十五兩二錢,換九五色銀。問 該若干。

答曰:九五色銀一十六兩。

法曰:置紋銀十五兩二錢為實,以九五色為法,除之 即得。

假如今有八五色銀五兩六錢,換九五色銀。問該若 干。

答曰:該九五色銀五兩零一分零五毫。

法曰:置銀五兩六錢以八五乘之,得四兩七錢六分 為實,以九五為法,除之合問。

假如今有足色紋銀七兩六錢五分,傾出成色銀九 兩。問色幾何。

答曰:八五色。

法曰:置紋銀為實,以傾出色銀九兩為法,歸之合問。 假如今有足色紋銀三十五兩二錢,欲傾八八色銀。 問用銅若干。

答曰:銅四兩八錢。

法曰:置紋銀為實,以八八色為法除之得色銀四十 兩。內減原銀餘四兩八錢,是銅數也合問。

假如有銅七錢五分,今煎作八八色銀。問紋銀若干。 答曰:紋銀五兩五錢。

法曰:置銅為實,以每兩用銅一錢二分為法除之,得 八八色銀六兩二錢五分,於內減去原銅七錢五分 餘得紋銀合問。


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