欽定古今圖書集成/曆象彙編/曆法典/第115卷

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曆象彙編 第一百十五卷
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欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

 第一百十五卷目錄

 算法部彙考七

  算法統宗三方田章第一

曆法典第一百十五卷

算法部彙考七编辑

《算法統宗三》
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方田章第一编辑

此章以田疇界域之形狀求畝步之積實,以廣縱而 求方直、圭梭、梯斜等形,以周徑而求圓田、碗田、環田 等形。按田之形狀甚多,具載難盡,學者不必執泥,在 於臨時機變,必須截盈補虛,俾小減大,以合規式。但 田中央先取出方直、勾股、圭梭等形,另積旁餘併而 於一,然後用法乘除之,用《少廣章》《開平》等法還原,始 為精密之術焉。

丈量田地總歌

古者量田較闊長,全憑繩尺以牽量。一形雖有一般 法,惟有方田法易詳。若見喎斜併凹曲直,須俾補取 其方,卻將乘實為田積,二四除之畝數明。

又歌

方自乘之積步。明直田長闊互相乘,勾股圭梭乘折 半。圓田周徑,折半乘,周自乘之,十二約徑自乘之,七 五乘,周徑相乘,四歸是碗田、丘田同上乘。環田內外 周相併,折半,須將徑步乘梯斜,兩頭相併,折長乘,便 見積分明三廣倍中加二闊,四歸得步,以長乘弧矢, 弦長併矢步,半之。又用矢相乘,牛角眉田長步併折 半,還將半徑乘二不等,併東西步折半,仍將闊步乘 蛇船三闊同相併,三歸得步,以長乘四不等。田分兩 段,一為勾股,一斜形。田形不一,須推類二四除之,畝 數明。

新制丈量步車圖

新制丈量步車圖

前圖下段,作車三式,總合於一,以完成車樣。於上外 套似無蓋底墨匣兩旁木比十字木空長,存作兩頭 橫木插角合栒,內空僅容十字轉動,下橫木鑿一匾 眼,後高前低,出篾上可釘環,下釘鑽腳十字,中心如 墨斗,攪轉之心作曲尺樣三折,裝在十字中心,內者 方而不動,外者俱圓活動,以便收放,即似紡車之形。 「套匣上頭,橫木之下鑿一眼,其十字四頭各開一口, 但遇一頭湊著匣眼,用拴拴之,置鎖其篾。」擇嫩竹竹 節平直者,接頭處用銅絲扎住。篾上逐寸寫字,每寸 為二釐,二寸為四,三寸為六,四寸為八,不必「釐」字。五 寸為一分,自一分至九分,俱用「分」字。五寸為一步,依 次而增至三十步以上或四十步以下可止。篾上用 明油油之,雖污泥可洗。

又後制一式,只用「十字」,內中開槽留頭不通,中用木 圓餅轉篾。篾雖不散,但轉其篾,盡皆挨擦,損壞甚速, 總不如前制車式。篾在十字十字轉動,其篾安靜,故 難壞也。

丈量之法,以五尺為一步,每步自方五尺,計積二十 五尺也。以五尺計之,步下五寸為一分,一寸為二釐。 積步問畝用二四歸除,畝問積步用二四乘法。今惟休邑 新立畝法

方圓定則九圖

方圓定則九圖
假如今有方田一坵,長闊各五十步,問積稅各若干?

答曰:「積二千五百步,稅十畝零四分一釐六毫六 絲。」

方田

方田

法曰:置長五十步,以闊亦五十步乘之,得積二千五百步為實。以畝法二四除之。定位法,先從原實首位數幾十起,順下至幾步止。下一位定法,首十數逆數陞上,至實首位,合得二千,順下,即是五百也。餘皆倣此。

假如方田斜量:東南角至西北角,西南角至東北角;

方形斜量

方形斜量

各斜七十步,問積稅各若干?答曰:「積二千四百五十步,稅十畝零二分零八毫。」

法曰:置斜弦七十步,自乘,得四千九百步,折半得二千四百五十步,為實。

以畝法二四除之,合問定位同前。

假如直田南北各長六十步,東西各闊三十二步,問 積稅各若干?

直田

直田

答曰:「積一千九百二十步,稅八畝。」 法曰:置長六十步,以闊三十二步乘之,得積一千九百二十步為實,以畝法二四除之,合問。

假如:今有圓田,徑五十六步,周一百六十八步,問積。

圓田

圓田

步若干

答曰:「二千三百五十二步。」 法曰:以徑問積置徑五十六步,自乘,得三千一百三十六步,又以七五乘。

之,得積二千三百五十二步。若周徑問積步,置周 一百六十八步,以徑五十六步乘之,再以四歸之,亦 得。若周問積步,以周自乘,用十二除之,亦得。

假如《覆月田》,弦長五十六步,矢闊二十八步,問積步。

覆月形

覆月形

若干

答曰:「一千一百七十六步。」 法曰:置弦五十六步,併矢二十八步,共八十四步,折半得四十二步,又以矢二十八步乘之,得積。

一法以弦矢相乘,另以矢自乘併之,折半亦得。 假如弧矢田,弦長四十步,矢闊八步,問積步,共該若

弧矢形

弧矢形

答曰:「一百九十二步。」

法曰:置弦矢相併得四十八步,折半得二十四步,又以矢八步乘之,得積合問。

又考:如前圓田,內除方田一坵,方四十步,占積一千 六百步,四邊四弧矢,占積七百六十八步,共合圓田。

考矢量圓圖

考矢量圓圖

積卻多一十六步,其多者何也?是弦自乘得一千六百步,每百步中多一步,該十六步也。或每《弧矢》內減去四步,只該一百八十八步。又考弧矢田居直田四分之三。

假如《孤矢》田弦長四十步,矢闊八步,問圓中徑該若 干?又設此問以辨前大小二弧矢虛實之數

答曰:「今改正,得徑五十六步。」

法曰:置弦長,折半,得二十步,自乘,得四百步,以矢八 步除之,得五十步,加矢八步,共得五十八步。卻比前 圖徑多二步,今減去是也。

今改其數,乃是「細半箇圓田」,因弦長而矢短,故虛,數 差不準。

今減二步者何也?是弦長折半得二十步,是十步中 多一步,故減二步也。或云弦長四十步,矢二十步。 問圓徑者,置弦四十步,折半得二十步,自乘得四百 步,以矢二十步除之,得二十步,加矢二十步,即得。 此乃是平半圓田,則數再無差矣。

假如圭田中正長六十步,下闊三十二步,問該積若 干?

答曰:「九百六十步。」

圭田 即半梭

圭田 即半梭

法曰:置中長六十步以下闊三十二步乘之,得一千九百二十步,折半,得積九百六十步。合問圭形,乃直田之半,故用折半之法。梭形則是二圭合一也。

假如三角田,每面一十四步,問該積若干?

答曰:「八十四步。」

法曰:置十四步,以六因之,得八十四步,以七歸之,得。

三角形

三角形

中長十二步。另以每面十四步折半,得七步,因之,合問三角,即圭也。以半闊乘中長十二步,亦得。按:三角田,用六因七歸,得中長十二步,其數有差。今以句弦求股法校之,得十二步一分。

有零之數

假如梭田,中長五十二步,中廣一十二步。問積若干? 答曰:「三百一十二步

梭形

梭形

法曰置長五十二步以廣十二步乘之得六百二十四步折半得積三百一十二步合問勾股圭梭乘折半田形雖異理一同

假如斜圭田長三十步,闊一十六步,問該積若干?

斜圭形

斜圭形

答曰二百四十步計稅一畝法曰:置長三十步,以闊十六步乘之,得四百八十步,折半,得積二百四十步。合問。

假如梯田上廣二十步,下廣三十步,中長四十五步, 問該積若干?

答曰:「一千一百二十五步。」

梯田

梯田

法曰置上下二廣併之得五十步折半得二十五步以中長四十五步乘之得積合問

一法併二廣以乘長折半亦得

假如斜田南廣三十步,北廣四十二步,縱六十四步, 問該積若干?

斜形田

斜形田

答曰二千三百零四步法曰置南北二廣併得七十二步折半得三十六步以縱六十四步乘之得積合問

假如眉田上周四十步,下周三十步,徑八步,問積若

眉形田

眉形田

答曰一百四十步法曰置上下二周相併得七十步折半得三十五步另以徑八步折半得

四步乘之,得積合問。

假如牛角田中依灣長十七步五分,闊八步,問該積 若干?

牛角形如眉之半

牛角形如眉之半

答曰七十步

法曰置中長一十七步五分以廣八步折半得四步乘之得積合問或量內外灣併之折半另以半徑乘之亦得

假如欖形,中長四十步,闊一十六步,問該積若干?

欖形如圓弧矢合一

欖形如圓弧矢合一

答曰三百八十四步法曰置長四十步如弧弦以半闊八步如矢併得四十八步折半得二十四步又以矢八步乘之得一百九十二步即一弧矢之積倍得欖積合問

假如三廣田,南廣二十六步,北廣五十四步,中廣一 十八步,正長八十六步,問積若干。

答曰:「二千四百九十四步。」

法曰:併南北二廣,折半得四十步,加中廣,共五十八。

三廣形即倒順二梯

三廣形即倒順二梯

步以長乘之得四千九百八十八步折半得積合問

一法倍中廣併南北二廣共一百一十六步以四歸之得二十九步以長乘之亦得按三廣田乃是二段梯

田之併,必其三廣相去俱停,乃可以三廣法算,或上 段長、下段短,或上段短、下段長,並不可用三廣法。當 以二梯算而併之,乃為無弊。又按:鼓田、杖鼓田,又有 箭箬、箭翎田,亦要三廣相去俱停,可用三廣法。若不 停者,亦可以二梯,或以二斜算而併之是也。

假如勾股田,股長六十步,勾闊三十二步,問積若干?

勾股形

勾股形

答曰九百六十步法曰置股長六十步以勾闊三十二步乘之得一千九百二十步折半得九百六十步合問

假如直田廣縱相和,九十二步,兩隅斜去六十八步, 問積若干?

答曰:「一千九百二十步。」若折半如句股積

直如句股和

直如句股和

法曰置斜六十八步自乘得四千六百二十四步另以相和九十二步自乘得八千四百六十四步以少減多餘三千八百四十步折半得積一千九百二十步合問

假如直田縱長六十步,廣斜相和,一百步,問積步若 干?

答曰:「一千九百二十步。」若折半如句股積

法曰:置廣斜,百步自乘,得一萬步,另以縱六十步。

直如句弦和股弦和同

直如句弦和股弦和同

自乘得三千六百步以少減多餘六千四百步折半得三千二百步為實以廣斜一百步為法除之得廣三十二步以縱六十步乘之得積一千九百二十步合問按句弦和以股自乘,以句弦和除之,得較。較加和折半,得弦。弦減較,即得句。再以股乘之,見積。

假如直田兩隅斜去六十八步,只云縱多廣二十八 步,問積若干。

答曰:「一千九百二十步。」若折半如句股積

直如句股相差

直如句股相差

法曰置斜六十八步自乘得四千六百二十四步另以縱多廣二十八步自乘得七百八十四步以少減多餘三千八百四十步折半得積合問

假如直田廣三十二步,只云斜多縱八步,問積若干?

直如股弦差

直如股弦差

答曰一千九百二十步若折半如句股積法曰:置廣三十二步,自乘,得一千零二十四步。另以多八步自乘,得六十四步。以少減多,餘九百六十步為實。

倍多八步,作一十六步為法,除之,得縱長六十步。以 廣三十二步乘之,得積合問。

假如直田縱六十步,只云斜多廣三十六步,問積若 干?

答曰:「一千九百二十步。」若折半如句股積

直如句弦差

直如句弦差

法曰置縱六十步自乘得三千六百步另以多廣三十六步自乘得一千二百九十六步以少減多餘二千三百零四步為實倍多三十六步作

七十二步為法,除實,得廣三十二步,以縱六十步乘 之,得積合問。

假如四不等田一坵,截作三段量之,一段直田長四 十步,闊二十八步;南邊句股一段,股長三十二步句。

四不等形斜形正量

四不等形斜形正量

闊十步東邊句股一段股長四十步句闊四步問共積若干答曰三段共積一千三百六十步法曰先置所截直田長四十步以闊二十八步乘之得直積一千一

百二十步。又置南句股一段,股三十二步,以句十 步乘之,折半,得積一百六十步。再置東向股一段, 股四十步,以句闊四步乘之,折半,得積八十步。《三》共 併積一千三百六十步。此乃準數毫忽無差若依古法,南邊 依斜弦量,比股多一步五分二釐,東邊依斜弦量比 股多二分,總合積多地二十七步二分七釐。今考 較,當以截法皆得其當,以見前古法有差,使學者易 曉此理也。但遇歪斜不等,必有斜步,豈可作正步相 乘?若截之,庶無誤矣。

假如五不等田一坵,截作二段量之,四角斜長三十 六步,上徑十五步二分,下徑十二步八分;三角長二 十二步,徑一十二步。問積若干。

五不等形

五不等形

答曰共積六百三十六步法曰先置四角二徑併得二十八步折半得一十四步以乘長三十六步得積五百零四步又置三角長二十二步以徑十二步乘之折半得積一百三十二步二共併得積六百三

十六步《合問》:

倒順二圭

倒順二圭

其形截作二圭量之倒下圭中長二十二步闊八步向上順圭中長一十二步闊六步問共積若干答曰二共積一百二十四步法曰置倒圭中長數以半闊四步乘

之,得積八十八步。又以順圭中長數,以半闊三步乘 之,得積三十六步。二數相併,共得積一百二十四步。 《合問》:

三圭形

三圭形

其形截作三圭形量之東西二圭形同中弦長二十六步東徑八步西徑十二步又北半梭之弦十四步徑五步問共積若干答曰二百九十五步法曰置東西所共中弦長數以二

徑併之,折半乘,得二百六十步。又以北弦十四步, 以徑五步乘之,折半得三十五步。二共併,得積二百 九十五步。《合問》:

假如中段四角,中弦十六步,以東、西二徑共一十四。

六角形

六角形

步折半乘之得積一百一十二步南尖三角弦十步以半徑二步乘之得積二十步西弧矢弦十三步以半徑二步乘之得積二十六步東北三角弦十二步以半

徑二步乘之,得積二十四步四,共計積一百八十 二步。《合問》:

假如東北弦八步,以半徑三步乘之,得積二十四步。

八角形

八角形

又正東三角弦六步以半徑二步乘之得積一十二步又弦十八步以半徑四步乘之得積七十二步又南弧矢弦八步加矢折半以矢乘得積十步

又西三角弦二十四步。以半徑六步乘之,得積一。

百四十四步。又西北弧矢,弦十四步,加矢折半,以 矢乘,得十六步六,共計積二百七十八步。

凡圖形內用點斷節,以為繩索、《耕形定式》之辨

圖

右量田地之法,舉此數條,已見大意。若截作幾段湊 形以例其餘如蛇、碗、丘、扇、輞盆、瓜罄、欹側者,形狀極 多,難以一一盡述,考究校之,數無準積,恐誤學者,故 盡刪去不錄。今纂集直指圖形,具之於前,以為通變 之術。若平地而無礙者,或作幾段定形立法,只以句、 股、圭、梭、梯斜、弧、矢、牛角之類,截而量之,或併或減,以 求實積,倘遇基地有房屋者,難用此法,必須取其方 直,或借別地以湊方直,算積內減、除、還,則形可窮而 數可盡。學者詳玩形勢,理何異焉。

方圖實

方圖實

凡量田地切不可以周圍步數算而計積其謬已甚今舉方直二形較之其方

直圖虛

直圖虛

田每面三步計積九步其直田長四步闊二步計積八步論周圍俱各一十二步二者小數較之而差一步何況於大者乎

解曰方者內中藏一步

「而無《周直》」 者,外周而無藏隱也。

假如錢田外周二十七步,徑三步,內錢眼方周一十 二步,問該積若干?

答曰:「五十一步、四分步之三。」步之三即是七分五釐也 《原法》曰:置外周二十七步,自乘,得七百二十九步。以 圓法十二除之,得六十步零七分五釐。以減內方周 十二步,自乘,得一百四十四步。以方周法十六除之, 得內方積九步,餘積五十一步七分五釐。

孤峰馬傑《斷》曰:「錢塘算師吳信民。編集比類世罕聞。」 孤峰裁改鶴坡。校錢田之法有差爭。

又論:此錢眼方周一十二步,中間明有跡一十六步,何云「九步?」 已知圓三徑一,得徑九步。除方四步外,徑一面豈有三步哉?

又增比意駐雲飛,比意錢田。題法難明不足觀。非俺自誇羨,改正《珍寶鑑》。《嗏》。二十七步,圓眼中間十二方周,改法精制算圖樣。明名《天下傳答》曰:改正得四十四步七分五釐。

又改正法,置錢周二十七步自乘,得七百二十九步。以圓法十二除之,得六十步零七分五釐,為實。另以錢眼方周一十二加八,得二十步,與一十二步相乘,得二百四十步,為實。以方周法一十六除之,得一十五步,加一步,共一十六步,以減前實六十步零七分五釐,餘四十四步七分五釐。合問大位,因傑辨吳氏之非,故立圖考校。前法,「每一步自方五尺,橫直相乘,得積二十五尺,乃是本身連根」 ,其理甚明。

假如錢內方周每面三步,四圍共合為十二,得積九步無差。

據傑用方束之法,反正為邪,不免有差。殊不知束積皆是論箇論隻之物,而無零者,宜當除根,不辯自明矣。求束法具載《少廣章》。

《大位歌》曰:「孤峰改正吳氏法,未得真傳奇妙訣。丈量之法要分明,方自乘之為何說。方周摺角數連根,豈可除根用束法?今立圖形考校明,例依吳氏為定決。」

圖

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《田畝演段根源圖解》。

方求積法:置方十步自乘,得積一百步,合問。

方演段圖

方演段圖

張丘建方求斜法:置方十步,用五歸得二,是兩箇方五。卻用七,因得斜十四步。故曰:「方五斜七。」 若依方五求斜,則斜有餘,若依斜七求方,則方不足。

假如方田隅斜一十四步,問積步併方面各若干? 答曰:「積一百步。」實只有九十八步方面,十步。實只有九步九分

斜演段圖

斜演段圖

張丘建法:置斜十四步,用七歸得二,乃是二箇斜七。卻用五,因得方面十步,是兩箇方五。就以方十步自乘,得積一百步。有斜必有方,只以方求積,無差。

楊輝《方求斜法》:置方步自乘,得一百步,是一箇小方 積。倍之,得二百步,是兩小方積。用開平方法除之,得 斜十四步,卻有不盡,餘實四步。斜求積法:置斜步 如大方面自乘,得積一百九十六步。如兩箇斜方積, 折半得九十八步。如一箇斜方積,卻比前方積步中 少二步。斜求方面,斜自乘,折半,得積九十八步。如

箇斜方積,以開平方法除之,得方面九步九分。

方斜演段圖

方斜演段圖

此論大方一箇,方面一十四步,內容斜方一箇。即《小方》也。斜,亦一十四步,自乘,得一百九十六步,是兩箇斜方積。內小方斜積一箇九十八步。外四角,用句股求弦法,得弦九步九分,即如小方面自乘,亦得九十

八步。將四角總合,亦為一小方。每角正方二十一步, 斜方七步折半得三步五分,併得二十四步五分,以 四角因之,得九十八步,亦為一斜方積也。此合大方。

方斜黑白演段圖

方斜黑白演段圖

求積,毫忽無差。楊輝用《開平》求方,求斜《理明》以合方積。張建丘用方五斜七難以合數。 又論大方面十四步,內容小方斜十四,自乘,得一百九十六步,是兩箇斜方積,乃黑白四段,以上下斜白配合為一方,又以左右斜黑配合為一方故。

周三徑一圖

周三徑一圖

用折半得一箇斜方積九十八步。古法周圍三尺,圓徑一尺。假如圓徑三十二尺,以周三因之,得九十六尺,而四尺閑矣。

徽術周百尺,徑三十一尺四寸。

密術周二十二尺,徑七尺。

《智術圓》,徑三十二尺,周有百尺。

《術》曰:圓徑即方徑。若求圓積四分之三,不必立法,惟 以圓求方,其法不一,姑錄於此。葢!圓徑一則周不止 於三,所謂「周三徑一」者,舉其大概耳。

「方五」「斜七」者,言其大略耳。內方五尺,外方七尺有奇。

方五斜七圖

方五斜七圖

《方面求弦法》曰:「以方面自乘,倍之,為實。以開平方法除之,得七步○七一,故曰『斜七有奇。以此自乘折半,得積二十五步。若以七步自乘折半,得積二十四步半,校之,得積不全矣』。」

假如圓田徑六步,周十八步,問積若干。

答曰:「二十七步。」

圓演段圖

圓演段圖

徑六步是一箇六,周十八步是三箇六,故曰:「周三徑一」也。其方積三十六步是四箇九,其圓積二十七步是三箇九,其圓外剩九是一箇九,故曰:「圓居方四分之三」也。圓三象天,方四象地。

徑求積法:置徑六步,如方面自乘,得方積三十六步。 用三因,得一百零八步,是三箇方積合四箇圓積。故 用四歸之,得一箇圓積二十七步。

周求積法:置周十八步,如大方面自乘,得三百二十 四步,是九箇小方積,每積三十六步,正合十二箇圓 田積。故用十二除之,得一箇圓積二十七步。

周徑求積法:置徑六步是一箇六,與周十八是三箇 六,相乘,得數即如前徑自乘,以三因數同,故仍用四 歸,得積二十七步。

半周求積法:置半周,九步自乘,得八十一步,如三箇 圓田積,故用三歸之,得圓積亦二十七步。

半徑求積法:置半徑三步自乘,得九步,如方田積四 分之一,即圓三分之一,故用三因之,得圓積。

半周半徑求積法:置半周九步,以半徑三步相乘,得 圓積二十七步。如方積四分之三,正合圓田之積。 若問圓田外四角剩積法:置一角長闊各三步,折半 得一步,半自乘,得一角,剩二步二分五釐,以四因,得 四角,剩積共九步也。已上求積六法皆合周三徑一已後二術懼有不盡非良法也 徽術周求徑,以五十因周,再以一百五十七除之,得 徑。徑求周,以一百五十七乘徑,用五十歸之,得周。 密術周求徑,以七因周,再以二十一除之,得徑。徑 求周,以二十二乘徑,用七歸之,得周

虛隅圖說

虛隅圖說

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方圓論說

世之習算者,咸以方五、斜七、圍三、徑一為準,殊不知 方五則斜七有奇,徑一則圍三有奇。故古人立法,有 句三、股四、弦五之論,而不能使方斜為一定之法;有 割圓、矢弦之論,而不能使方圓為一定之法。試以句、 股法求之,句、股各自乘,併為弦實平方開之,此施之 於長直方則可。若一整方,句五、股五各自乘,併,得五 十;平方開之,得七,而又多一算矣。割圓之法求矢求 弦固是,至於求弧背則恐未盡也。何以知之?試以平 圓徑十寸者例之,中心割開矢闊五寸,自乘,得二十 五寸,以徑除之,得二寸五分為半背。弦差倍之,得五 寸,以加弦得一十五寸,與圍三徑一之論正合。然徑 一則圍三有奇,奇數則不能盡矣。以是知弧背之說 猶未盡也。不特是也,凡平圓一十二,立圓三十六,皆 不過取其大較耳。或曰:「密率徑七則圍二十二,徽率 徑五十則圍一百五十七,何不取二術酌之,以立一 定之法?」曰:「二術以圓為方,以方為圓非不可,但其還 原與原數不合,數多則散漫難收,故算曆者止用徑 一圍三,亦勢之不得已也。」曰:「曆家以徑一圍三立法, 則其數似猶未精,然郭守敬之曆,至今行之無弊,何 也?」曰:「曆家以萬分為度秒,以下皆不錄,縱有小差,不 出於一度之中。況所謂黃赤道弧背度,乃測驗而得, 止以徑一圍三定其平差,立差耳。雖然,行之日久,安 保其不差也?竊嘗思之,天地之道,陰陽而已。方圓,天 地也」,方象法地,靜而有質,故可以象數求之。圓象法 天,動而無形,故不可以象數求之。方體本靜,而中斜 者,乃動而生陽者也,圓體本動,而中心之徑,乃靜而 根陰者也。天外陽而內陰,地外陰而內陽,陰陽交錯 而萬物化生,其機正合於畸零不齊之處,上智不能 測,巧曆不能盡者也。向使天地之道俱可「以限量求 之,則化機有盡而不能生萬物矣。」余因論方圓之法, 而併著其理如此。

又述《直圭梯斜句股弧矢等形圖》于左:

今有直田長一十二步,闊九步,問田積併斜弦各若 干?

答曰:積一百零八步,該斜弦一十五步。

直演段圖

直演段圖

求積法曰:「置長闊相乘,得一百零八步。若問斜者,如句股求弦,以長自乘,又以闊自乘,併二數,得二百二十五步為實。」 以開平方法除之,得弦十五步。若以斜問積,置斜十五步,自

乘折半,得一百一十二步半,卻比直積多四步半。其 多者何也?是長多闊三步。自乘折半,得四步半也。 假如斜若干,只云「廣縱相和若干」,問積以斜自乘,另 以相和自乘,二數相減,餘折半,得積。

假如有廣若干,只云「縱斜相差若干。」問積以廣自乘, 另以相差自乘,二數相減,餘折半為實,以相差為法 除之,得縱。以廣乘之,得積。

「縱斜相和」 者,倣此。「廣斜相和相差」 及「廣縱相差」 ,與前「廣縱相和」 者俱同。

假如今有圭形田,廣八步,縱一十二步,問該田積若 干?

答曰:積四十八步。

法曰:置廣、縱相乘,折半,得積四十八步。合問。

句股相乘折半圖

句股相乘折半圖

半縱乘廣圖

半縱乘廣圖

句股演段圖

句股演段圖

半句乘股圖

半句乘股圖

長闊相乘折半圖

長闊相乘折半圖

半廣乘縱圖

半廣乘縱圖

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斜形折廣圖

斜形折廣圖

梯形演段圖

梯形演段圖

併上下廣乘半長圖

併上下廣乘半長圖

梯形折廣圖

梯形折廣圖

併上下廣折半乘長圖

併上下廣折半乘長圖

併上下廣乘長折半圖

併上下廣乘長折半圖

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今有直田,長一十四步,闊七步,計積九十八步。問「內 容弧矢田一段占積併二角餘積各若干。」

答曰:弧矢積七十三步半,二角積二十四步半。 法曰:「置長一十四步為弧弦,以闊七步為矢,相併得。」

直內容弧矢圖

直內容弧矢圖

二十一步折半,得十步零五分。又以矢七步乘之,得《弧矢》占積七十三步五分。以減直積九十八步,餘二十四步五分,是二角餘積。

今有直田,長二十步,闊十八步,計積三百六十步。內 容六角田一段,每角面十步,問六角占田積併餘積 各若干。

答曰:「六角積二百七十步,角外餘積,九十步。」

法曰:置中長二十步,減去半面闊五步,餘長一十五 步。以通闊一十八步乘之,得六角,占積二百七十步。

直容六角圖

直容六角圖

另以角外之餘,長九步,以餘闊五步折半,得二步五分乘之,得一角。餘二十二步五分,以四因之,得四角。餘積九十步,併入六角,占積二百七十步,共合直田之總積也。

假如方田一段,面方十七步,計積二百八十九步。內 容八角田一段,每角面闊七步,問八角占積併外餘。

方容八角圖

方容八角圖

若干

答曰:八角占積二百三十九步,角外餘積五十步。

法曰:方七步,是上下斜角面。如斜求方,以五因七歸,得五,倍之,得十步,是上下二段長。加中一段,面七步。

共十七步自乘,得方面總積二百八十九步。另以一 角長五步自乘,得二十五步,倍之,得外餘積五十步。 以減上積,餘得八角,占積二百三十九步。合問: 假如圓田徑十四,計積一百四十七步,內容錠田占 積併兩腰外餘積。如欖形田二段,長十步,闊四步。問 各該積若干?

答曰:錠占積一百步,兩腰外餘積四十八步。

法曰:圓徑,即錠長十四步,又如圓內方之斜也。以「方 五斜七」之法,置十四步,以七歸五,因,得方十步自乘。

方內容錠圖

方內容錠圖

得錠占積一百步。另置兩腰外如欖田長十步,加半闊二步,共十二步,以闊四步乘得餘積四十八步,加入錠占積,共合圓田總多一步者是。欖長十步,自乘得百步,內多一步。

舊法:以錠長自乘,折半得九十八步,卻少二步。其錠

長如方田斜求積,則百步中少二步,可用九八歸除, 即一百步。

一法:截上下有餘,補兩腰不足,作方十步,自乘,得一 百步,錠田還原。以積用開平方法除,得十步,卻以五 歸七,因得斜長十四步也。

方圓環總圖說

平方求積法曰:「以方面十六步自乘,得二百五十六 步。」《平圓求積法》曰:「以外周四十八步自乘,得二千 三百零四步,再以十二除之,得全積一百九十二步

方內容圓圓內減圖為環圖

方內容圓圓內減圖為環圖

四旁餘積六十四步另以內周二十四步自乘得五百七十六步再以十二除之得內圓積四十八步圓環求積法曰以大圓積內減小圓積餘一百四十四步即是環積也

又法以環徑四步以三因之得一十二步以減外周

餘得三十六步,為長,以徑四步乘之,得環積一百四 十四步。環田者,如圓田中間有圓池也。若圓池不 在中而偏者,只以圓田算之,得全積,卻減去圓田積, 餘為本田實積也。

法以外周自乘,又以內周自乘,二數相減,餘數以十 二除之,得環積。若以內周、外周問徑者,置外周減 內周,餘數以六除之,得徑。若以內周併徑問外周 者,置徑,以六因之,得數併入內周數,即是外周。若 以外周併徑問內周者,置徑,以六因之,得數減外周。

方內容圓圓內容方圖

方內容圓圓內容方圖

數餘為內周

先論方內容圓外方十四步自乘計積一百九十六步問容圓併四旁庇積若干

答曰圓積一百四十七步

四旁庇積四十九步

法曰置方徑十四即圓徑自乘,再以七、五乘之,得圓積

也。若問四庇積,以二、五乘方積。四庇居方四分之一是也 方積四分取三,為圓積。故法用七、五乘之,或用三因 四歸,亦得圓積。

後論《圓內容》方圓徑。即方斜十四步計積一百四十七 步,問容方併四旁冪積若干。

答曰:圓內容方,每面十步,計積一百步。四旁冪積 四十七步。

右明方圓之理

方環者,謂如方田,中央有方池。方環求積。法曰:「以外。」

平方環積之圖

平方環積之圖

方自乘得全積另以內方自乘得內積以減全積餘得方環積又法以外方併入內方倍之為長以徑闊乘之得方環積

解曰非言田也皆言托物比興算家窮理盡性致知格物以明方圓句股之理至於天地高廣乎

帶分母用約分法

今有直田廣「二步二十分步之九,縱九十七步四十 九分步之四十七」,問該積若干?

答曰:「一畝。」

法曰:置廣二步,以分母二十乘之,得四十,加分子九, 共四十九。另以縱九十七步,以分母四十九乘之,加 分子四十七,共四千八百;以乘縱四十九,得二十三 萬五千二百,為實。又以分母二十乘四十九,得九百 八十為法;除之,得二百四十步;以畝法除之,合問。 今有圭田廣五步二分步之一,縱八步三分步之二, 問「該積若干?」

答曰:「二十三步、六分步之五。」

法曰:置廣五步,以分母二通之,加分子一,共十一。另 置縱八步,以分母三通之,加分子二,共二十六。與廣 十一相乘,得二百八十六,折半,得一百四十三為實。 以分母二分、三分相乘,得六分為法。除之,得二十三 步。餘實五。以法命之,得六分之五。

今有「圓田徑六步十三分步之十二,周圍二十步四 十一分步之三十二,問,該積若干?」

答曰:「三十六步。」

法曰:徑求積,置徑六步,以分母十三通之,加分子十 二,共九十自乘,得八千一百。又以分母十三減分 子十二,餘一以乘分子十二,併前共得八千一百一 十二,以三因四歸之,得六千零八十四為實,以分母 十三自乘,得一百六十九為法,除之。《合問》:若以《周 求》積,置周二十步,以分母四十一通之,加分子三十 二,共八百五十二,自乘,得七十二萬五千九百零四。 又以分母四十一減分子三十二,餘九以乘分子三 十二,得二百八十八,併入前數,共七十二萬六千一 百九十二。以圓法十二除之,得六萬零五百一十六, 為實。以分母四十一自乘,得一千六百八十一為法, 除之。《合問》:

今有環田,內周六十二步四分步之三,外周一百一 十三步二分步之一,徑十二步三分步之二,問該積 若干?

答曰:「四畝六分五釐四分步之一法曰:併內外周共一百七十五步。以內周之三乘外 周二分,得六分。另以外周之一乘內周四分,得四,併 之得十,卻以分母二分四分相乘,得八為法。除十得 一步二分五釐,併前共得一百七十六步二分五釐, 折半得八十八步一分二釐五毫為實。卻以徑十二 步分母三通之,加分子二,共三十八為法乘之,得三 千三百四十八步七分五釐,又以分母三除之,得一 千一百一十六步二分五釐,以畝法除之,得四畝六 分五釐,不盡,步下二分五釐,以法約之,得四分步之 一。合問:

今有方田一坵,面方十二步四分步之二,問該積若 干?

答曰:「一百五十六步五分。」

法曰:置十二步,以分母四通之,得四十八步,加分子 二,共得五十步。自乘,得二千五百步。另以分母四減 分子二,餘二以乘分子二,得四,併前積共得二千五 百零四步為實。另以分母四自乘,得一十六為法,除 之。此合開方不盡之法已上皆雙分母子法

今有直田,長一十五步,闊三步五分步之四,問該積 若干?

答曰:「五十七步。」

法曰:置闊三步,以分母五通之,得十五,加分子四,共 十九。另置長十五步,以分母五通之,得七十五。將此 二數相乘,得一千四百二十五為實。另以分母五自 乘,得二十五為法。除之。《合問》。此是單分母子法

《休寧縣科則》:附:《辨畝法論》

休寧縣於萬曆九年清丈有糧里,編號「二百一十一 里帶管。」無糧里,三十四里半。以千字文編號自在城東北隅天字一號 起至三十三都八圖建字號止

《田畝起科》等則:每斗加耗七合。《地山》同。

田每一畝古科米帶耗共五升三合五勺,麥帶耗共 二升一合四勺。

地每一畝古科米帶耗共三升二合一勺,麥帶耗共 二升一合四勺,《新制》米帶耗共三升八合七勺一 抄三撮,麥帶耗共一升九合八勺七抄。

比古米增而麥減,何也?蓋謂古有官莊產土,租米重 而租麥輕。又紫陽書院田、府縣學田,有米無麥。今變 總歸於一,則丈出畝步,攤派租米租麥各畝步不同 等,而田山塘等起科不廢古法,惟地扣合米麥總數 之故云。

山、按原額計畝新丈不計步數每畝米帶耗共一升零七勺。 麥數同。

塘池潭、堨。同田則 《園圃洲堤》:同地則

墳塋境蹟。多作上地開墾隴野。以作荒地三百為畝入山境

畝法論

愚按:前賢畝法,率二百四十步為一畝。萬曆九年,遵 詔清之《休邑總書》擅變畝法,田分四等,上則一百九 十步,中則二百二十步,下則二百六十步,下下則三 百步。地亦四等,上則二百步,中則二百五十步,下則 三百五十步,下下則五百步。在城基地有等正之名, 一等正三十步,二等正四十步,三等正五十步,四等 正六十步與前賢二百四十步一畝大相繆戾。借曰 土地有肥磽,徵役有輕重,亦宜就土田高下,別米麥 之多寡,不得輕變畝法。第《總書》開其弊竇,舉邑業已 遵行,何容置喙?姑記於此,以見「作聰明亂舊章」之自 云。

古今折步

原用古弓,每步五尺,今以鈔弓校之,只有四尺八寸。 問「古弓百步,該鈔弓若干?」

答曰:「九十二步一分六釐。」

法曰:置四尺八寸,倍之,得九分六釐,自乘,得九分二 釐一毫六絲,乃古弓一步,今折得鈔弓數也。自此陞 上合問,若鈔弓步數,每百步用八十五步加之,以 合原古弓步之數。

其方直、田形截積,具載「少廣」章中。


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