钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第115卷

钦定古今图书集成
历象汇编 第一百十五卷

钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第一百十五卷目录

　算法部汇考七

　　算法统宗三〈方田章第一〉

历法典第一百十五卷

算法部汇考七

《算法统宗三》

方田章第一

此章以田畴界域之形状求亩步之积实，以广纵而 求方直、圭梭、梯斜等形，以周径而求圆田、碗田、环田 等形。按田之形状甚多，具载难尽，学者不必执泥，在 于临时机变，必须截盈补虚，俾小减大，以合规式。但 田中央先取出方直、勾股、圭梭等形，另积旁馀并而 于一，然后用法乘除之，用《少广章》《开平》等法还原，始 为精密之术焉。

丈量田地总歌

古者量田较阔长，全凭绳尺以牵量。一形虽有一般 法，惟有方田法易详。若见㖞斜并凹曲直，须俾补取 其方，却将乘实为田积，二四除之亩数明。

又歌

方自乘之积步。明直田长阔互相乘，勾股圭梭乘折 半。圆田周径，折半乘，周自乘之，十二约径自乘之，七 五乘，周径相乘，四归是碗田、丘田同上乘。环田内外 周相并，折半，须将径步乘梯斜，两头相并，折长乘，便 见积分明三广倍中加二阔，四归得步，以长乘弧矢， 弦长并矢步，半之。又用矢相乘，牛角眉田长步并折 半，还将半径乘二不等，并东西步折半，仍将阔步乘 蛇船三阔同相并，三归得步，以长乘四不等。田分两 段，一为勾股，一斜形。田形不一，须推类二四除之，亩 数明。

新制丈量步车图

前图下段，作车三式，总合于一，以完成车样。于上外 套似无盖底墨匣两旁木比十字木空长，存作两头 横木插角合栒，内空仅容十字转动，下横木凿一匾 眼，后高前低，出篾上可钉环，下钉钻脚十字，中心如 墨斗，搅转之心作曲尺样三折，装在十字中心，内者 方而不动，外者俱圆活动，以便收放，即似纺车之形。 “套匣上头，横木之下凿一眼，其十字四头各开一口， 但遇一头凑著匣眼，用拴拴之，置锁其篾。”择嫩竹竹 节平直者，接头处用铜丝扎住。篾上逐寸写字，每寸 为二釐，二寸为四，三寸为六，四寸为八，不必“釐”字。五 寸为一分，自一分至九分，俱用“分”字。五寸为一步，依 次而增至三十步以上或四十步以下可止。篾上用 明油油之，虽污泥可洗。

又后制一式，只用“十字”，内中开槽留头不通，中用木 圆饼转篾。篾虽不散，但转其篾，尽皆挨擦，损坏甚速， 总不如前制车式。篾在十字十字转动，其篾安静，故 难坏也。

丈量之法，以五尺为一步，每步自方五尺，计积二十 五尺也。以五尺计之，步下五寸为一分，一寸为二釐。 积步问亩用二四归除，亩问积步用二四乘法。〈今惟休邑 新立亩法〉

方圆定则九图

假如今有方田一坵，长阔各五十步，问积税各若干？

答曰：“积二千五百步，税十亩零四分一厘六毫六 丝。”

方田

法曰：置长五十步，以阔亦五十步乘之，得积二千五百步为实。以亩法二四除之。定位法，先从原实首位数几十起，顺下至几步止。下一位定法，首十数逆数陞上，至实首位，合得二千，顺下，即是五百也。馀皆仿此。

假如方田斜量：东南角至西北角，西南角至东北角；

方形斜量

各斜七十步，问积税各若干？答曰：“积二千四百五十步，税十亩零二分零八毫。”

法曰：置斜弦七十步，自乘，得四千九百步，折半得二千四百五十步，为实。

以亩法二四除之，合问定位同前。

假如直田南北各长六十步，东西各阔三十二步，问 积税各若干？

直田

答曰：“积一千九百二十步，税八亩。” 法曰：置长六十步，以阔三十二步乘之，得积一千九百二十步为实，以亩法二四除之，合问。

假如：今有圆田，径五十六步，周一百六十八步，问积。

圆田

步若干

答曰：“二千三百五十二步。” 法曰：以径问积置径五十六步，自乘，得三千一百三十六步，又以七五乘。

之，得积二千三百五十二步。若周径问积步，置周 一百六十八步，以径五十六步乘之，再以四归之，亦 得。若周问积步，以周自乘，用十二除之，亦得。

假如《覆月田》，弦长五十六步，矢阔二十八步，问积步。

覆月形

若干

答曰：“一千一百七十六步。” 法曰：置弦五十六步，并矢二十八步，共八十四步，折半得四十二步，又以矢二十八步乘之，得积。

一法以弦矢相乘，另以矢自乘并之，折半亦得。 假如弧矢田，弦长四十步，矢阔八步，问积步，共该若

弧矢形

干

答曰：“一百九十二步。”

法曰：置弦矢相并得四十八步，折半得二十四步，又以矢八步乘之，得积合问。

又考：如前圆田，内除方田一坵，方四十步，占积一千 六百步，四边四弧矢，占积七百六十八步，共合圆田。

考矢量圆图

积却多一十六步，其多者何也？是弦自乘得一千六百步，每百步中多一步，该十六步也。或每《弧矢》内减去四步，只该一百八十八步。又考弧矢田居直田四分之三。

假如《孤矢》田弦长四十步，矢阔八步，问圆中径该若 干？〈又设此问以辨前大小二弧矢虚实之数〉

答曰：“今改正，得径五十六步。”

法曰：置弦长，折半，得二十步，自乘，得四百步，以矢八 步除之，得五十步，加矢八步，共得五十八步。却比前 图径多二步，今减去是也。

今改其数，乃是“细半个圆田”，因弦长而矢短，故虚，数 差不准。

今减二步者何也？是弦长折半得二十步，是十步中 多一步，故减二步也。或云弦长四十步，矢二十步。 问圆径者，置弦四十步，折半得二十步，自乘得四百 步，以矢二十步除之，得二十步，加矢二十步，即得。 此乃是平半圆田，则数再无差矣。

假如圭田中正长六十步，下阔三十二步，问该积若 干？

答曰：“九百六十步。”

圭田　即半梭

法曰：置中长六十步以下阔三十二步乘之，得一千九百二十步，折半，得积九百六十步。合问圭形，乃直田之半，故用折半之法。梭形则是二圭合一也。

假如三角田，每面一十四步，问该积若干？

答曰：“八十四步。”

法曰：置十四步，以六因之，得八十四步，以七归之，得。

三角形

中长十二步。另以每面十四步折半，得七步，因之，合问三角，即圭也。以半阔乘中长十二步，亦得。〈按：三角田，用六因七归，得中长十二步，其数有差。今以句弦求股法校之，得十二步一分。〉

有零之数

假如梭田，中长五十二步，中广一十二步。问积若干？ 答曰：“三百一十二步

梭形

法曰置长五十二步以广十二步乘之得六百二十四步折半得积三百一十二步合问勾股圭梭乘折半田形虽异理一同

假如斜圭田长三十步，阔一十六步，问该积若干？

斜圭形

答曰二百四十步〈计税一亩〉法曰：置长三十步，以阔十六步乘之，得四百八十步，折半，得积二百四十步。合问。

假如梯田上广二十步，下广三十步，中长四十五步， 问该积若干？

答曰：“一千一百二十五步。”

梯田

法曰置上下二广并之得五十步折半得二十五步以中长四十五步乘之得积合问

一法并二广以乘长折半亦得

假如斜田南广三十步，北广四十二步，纵六十四步， 问该积若干？

斜形田

答曰二千三百零四步法曰置南北二广并得七十二步折半得三十六步以纵六十四步乘之得积合问

假如眉田上周四十步，下周三十步，径八步，问积若

眉形田

干

答曰一百四十步法曰置上下二周相并得七十步折半得三十五步另以径八步折半得

四步乘之，得积合问。

假如牛角田中依湾长十七步五分，阔八步，问该积 若干？

牛角形如眉之半

答曰七十步

法曰置中长一十七步五分以广八步折半得四步乘之得积合问或量内外湾并之折半另以半径乘之亦得

假如榄形，中长四十步，阔一十六步，问该积若干？

榄形如圆弧矢合一

答曰三百八十四步法曰置长四十步如弧弦以半阔八步如矢并得四十八步折半得二十四步又以矢八步乘之得一百九十二步即一弧矢之积倍得榄积合问

假如三广田，南广二十六步，北广五十四步，中广一 十八步，正长八十六步，问积若干。

答曰：“二千四百九十四步。”

法曰：并南北二广，折半得四十步，加中广，共五十八。

三广形即倒顺二梯

步以长乘之得四千九百八十八步折半得积合问

一法倍中广并南北二广共一百一十六步以四归之得二十九步以长乘之亦得按三广田乃是二段梯

田之并，必其三广相去俱停，乃可以三广法算，或上 段长、下段短，或上段短、下段长，并不可用三广法。当 以二梯算而并之，乃为无弊。又按：鼓田、杖鼓田，又有 箭箬、箭翎田，亦要三广相去俱停，可用三广法。若不 停者，亦可以二梯，或以二斜算而并之是也。

假如勾股田，股长六十步，勾阔三十二步，问积若干？

勾股形

答曰九百六十步法曰置股长六十步以勾阔三十二步乘之得一千九百二十步折半得九百六十步合问

假如直田广纵相和，九十二步，两隅斜去六十八步， 问积若干？

答曰：“一千九百二十步。”〈若折半如句股积〉

直如句股和

法曰置斜六十八步自乘得四千六百二十四步另以相和九十二步自乘得八千四百六十四步以少减多馀三千八百四十步折半得积一千九百二十步合问

假如直田纵长六十步，广斜相和，一百步，问积步若 干？

答曰：“一千九百二十步。”〈若折半如句股积〉

法曰：置广斜，百步自乘，得一万步，另以纵六十步。

直如句弦和股弦和同

自乘得三千六百步以少减多馀六千四百步折半得三千二百步为实以广斜一百步为法除之得广三十二步以纵六十步乘之得积一千九百二十步合问〈按句弦和以股〉自乘，以句弦和除之，得较。较加和折半，得弦。弦减较，即得句。再以股乘之，见积。

假如直田两隅斜去六十八步，只云纵多广二十八 步，问积若干。

答曰：“一千九百二十步。”〈若折半如句股积〉

直如句股相差

法曰置斜六十八步自乘得四千六百二十四步另以纵多广二十八步自乘得七百八十四步以少减多馀三千八百四十步折半得积合问

假如直田广三十二步，只云斜多纵八步，问积若干？

直如股弦差

答曰一千九百二十步〈若折半如句股积〉法曰：置广三十二步，自乘，得一千零二十四步。另以多八步自乘，得六十四步。以少减多，馀九百六十步为实。

倍多八步，作一十六步为法，除之，得纵长六十步。以 广三十二步乘之，得积合问。

假如直田纵六十步，只云斜多广三十六步，问积若 干？

答曰：“一千九百二十步。”〈若折半如句股积〉

直如句弦差

法曰置纵六十步自乘得三千六百步另以多广三十六步自乘得一千二百九十六步以少减多馀二千三百零四步为实倍多三十六步作

七十二步为法，除实，得广三十二步，以纵六十步乘 之，得积合问。

假如四不等田一坵，截作三段量之，一段直田长四 十步，阔二十八步；南边句股一段，股长三十二步句。

四不等形斜形正量

阔十步东边句股一段股长四十步句阔四步问共积若干答曰三段共积一千三百六十步法曰先置所截直田长四十步以阔二十八步乘之得直积一千一

百二十步。又置南句股一段，股三十二步，以句十 步乘之，折半，得积一百六十步。再置东向股一段， 股四十步，以句阔四步乘之，折半，得积八十步。《三》共 并积一千三百六十步。〈此乃准数毫忽无差〉若依古法，南边 依斜弦量，比股多一步五分二釐，东边依斜弦量比 股多二分，总合积多地二十七步二分七釐。今考 较，当以截法皆得其当，以见前古法有差，使学者易 晓此理也。但遇歪斜不等，必有斜步，岂可作正步相 乘？若截之，庶无误矣。

假如五不等田一坵，截作二段量之，四角斜长三十 六步，上径十五步二分，下径十二步八分；三角长二 十二步，径一十二步。问积若干。

五不等形

答曰共积六百三十六步法曰先置四角二径并得二十八步折半得一十四步以乘长三十六步得积五百零四步又置三角长二十二步以径十二步乘之折半得积一百三十二步二共并得积六百三

十六步《合问》：

倒顺二圭

其形截作二圭量之倒下圭中长二十二步阔八步向上顺圭中长一十二步阔六步问共积若干答曰二共积一百二十四步法曰置倒圭中长数以半阔四步乘

之，得积八十八步。又以顺圭中长数，以半阔三步乘 之，得积三十六步。二数相并，共得积一百二十四步。 《合问》：

三圭形

其形截作三圭形量之东西二圭形同中弦长二十六步东径八步西径十二步又北半梭之弦十四步径五步问共积若干答曰二百九十五步法曰置东西所共中弦长数以二

径并之，折半乘，得二百六十步。又以北弦十四步， 以径五步乘之，折半得三十五步。二共并，得积二百 九十五步。《合问》：

假如中段四角，中弦十六步，以东、西二径共一十四。

六角形

步折半乘之得积一百一十二步南尖三角弦十步以半径二步乘之得积二十步西弧矢弦十三步以半径二步乘之得积二十六步东北三角弦十二步以半

径二步乘之，得积二十四步四，共计积一百八十 二步。《合问》：

假如东北弦八步，以半径三步乘之，得积二十四步。

八角形

又正东三角弦六步以半径二步乘之得积一十二步又弦十八步以半径四步乘之得积七十二步又南弧矢弦八步加矢折半以矢乘得积十步

又西三角弦二十四步。以半径六步乘之，得积一。

百四十四步。又西北弧矢，弦十四步，加矢折半，以 矢乘，得十六步六，共计积二百七十八步。

凡图形内用点断节，以为绳索、《耕形定式》之辨

图

右量田地之法，举此数条，已见大意。若截作几段凑 形以例其馀如蛇、碗、丘、扇、辋盆、瓜罄、欹侧者，形状极 多，难以一一尽述，考究校之，数无准积，恐误学者，故 尽删去不录。今纂集直指图形，具之于前，以为通变 之术。若平地而无碍者，或作几段定形立法，只以句、 股、圭、梭、梯斜、弧、矢、牛角之类，截而量之，或并或减，以 求实积，倘遇基地有房屋者，难用此法，必须取其方 直，或借别地以凑方直，算积内减、除、还，则形可穷而 数可尽。学者详玩形势，理何异焉。

方图实

凡量田地切不可以周围步数算而计积其谬已甚今举方直二形较之其方

直图虚

田每面三步计积九步其直田长四步阔二步计积八步论周围俱各一十二步二者小数较之而差一步何况于大者乎

解曰方者内中藏一步

“而无《周直》” 者，外周而无藏隐也。

假如钱田外周二十七步，径三步，内钱眼方周一十 二步，问该积若干？

答曰：“五十一步、四分步之三。”〈步之三即是七分五釐也〉 《原法》曰：置外周二十七步，自乘，得七百二十九步。以 圆法十二除之，得六十步零七分五釐。以减内方周 十二步，自乘，得一百四十四步。以方周法十六除之， 得内方积九步，馀积五十一步七分五釐。

孤峰马杰《断》曰：“钱塘算师吴信民。编集比类世罕闻。” 孤峰裁改鹤坡。校钱田之法有差争。

又论：此钱眼方周一十二步，中间明有迹一十六步，何云“九步？” 已知圆三径一，得径九步。除方四步外，径一面岂有三步哉？

又增比意驻云飞，比意钱田。题法难明不足观。非俺自夸羡，改正《珍宝鉴》。〈《嗏》。〉二十七步，圆眼中间十二方周，改法精制算图样。明名《天下传答》曰：改正得四十四步七分五釐。

又改正法，置钱周二十七步自乘，得七百二十九步。以圆法十二除之，得六十步零七分五釐，为实。另以钱眼方周一十二加八，得二十步，与一十二步相乘，得二百四十步，为实。以方周法一十六除之，得一十五步，加一步，共一十六步，以减前实六十步零七分五釐，馀四十四步七分五釐。合问大位，因杰辨吴氏之非，故立图考校。前法，“每一步自方五尺，横直相乘，得积二十五尺，乃是本身连根” ，其理甚明。

假如钱内方周每面三步，四围共合为十二，得积九步无差。

据杰用方束之法，反正为邪，不免有差。殊不知束积皆是论个论只之物，而无零者，宜当除根，不辩自明矣。求束法具载《少广章》。

《大位歌》曰：“孤峰改正吴氏法，未得真传奇妙诀。丈量之法要分明，方自乘之为何说。方周折角数连根，岂可除根用束法？今立图形考校明，例依吴氏为定决。”

图

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《田亩演段根源图解》。

方求积法：置方十步自乘，得积一百步，合问。

方演段图

张丘建方求斜法：置方十步，用五归得二，是两个方五。却用七，因得斜十四步。故曰：“方五斜七。” 若依方五求斜，则斜有馀，若依斜七求方，则方不足。

假如方田隅斜一十四步，问积步并方面各若干？ 答曰：“积一百步。”〈实只有九十八步〉方面，十步。〈实只有九步九分〉

斜演段图

张丘建法：置斜十四步，用七归得二，乃是二个斜七。却用五，因得方面十步，是两个方五。就以方十步自乘，得积一百步。有斜必有方，只以方求积，无差。

杨辉《方求斜法》：置方步自乘，得一百步，是一个小方 积。倍之，得二百步，是两小方积。用开平方法除之，得 斜十四步，却有不尽，馀实四步。斜求积法：置斜步 如大方面自乘，得积一百九十六步。如两个斜方积， 折半得九十八步。如一个斜方积，却比前方积步中 少二步。斜求方面，斜自乘，折半，得积九十八步。如

个斜方积，以开平方法除之，得方面九步九分。

方斜演段图

此论大方一个，方面一十四步，内容斜方一个。〈即《小方》也。〉斜，亦一十四步，自乘，得一百九十六步，是两个斜方积。内小方斜积一个九十八步。外四角，用句股求弦法，得弦九步九分，即如小方面自乘，亦得九十

八步。将四角总合，亦为一小方。每角正方二十一步， 斜方七步折半得三步五分，并得二十四步五分，以 四角因之，得九十八步，亦为一斜方积也。此合大方。

方斜黑白演段图

求积，毫忽无差。〈杨辉用《开平》求方，求斜《理明》以合方积。张建丘用方五斜七难以合数。〉　又论大方面十四步，内容小方斜十四，自乘，得一百九十六步，是两个斜方积，乃黑白四段，以上下斜白配合为一方，又以左右斜黑配合为一方故。

周三径一图

用折半得一个斜方积九十八步。古法周围三尺，圆径一尺。假如圆径三十二尺，以周三因之，得九十六尺，而四尺闲矣。

徽术周百尺，径三十一尺四寸。

密术周二十二尺，径七尺。

《智术圆》，径三十二尺，周有百尺。

《术》曰：圆径即方径。若求圆积四分之三，不必立法，惟 以圆求方，其法不一，姑录于此。盖！圆径一则周不止 于三，所谓“周三径一”者，举其大概耳。

“方五”“斜七”者，言其大略耳。内方五尺，外方七尺有奇。

方五斜七图

《方面求弦法》曰：“以方面自乘，倍之，为实。以开平方法除之，得七步○七一，故曰‘斜七有奇。以此自乘折半，得积二十五步。若以七步自乘折半，得积二十四步半，校之，得积不全矣’。”

假如圆田径六步，周十八步，问积若干。

答曰：“二十七步。”

圆演段图

径六步是一个六，周十八步是三个六，故曰：“周三径一”也。其方积三十六步是四个九，其圆积二十七步是三个九，其圆外剩九是一个九，故曰：“圆居方四分之三”也。〈圆三象天，方四象地。〉

径求积法：置径六步，如方面自乘，得方积三十六步。 用三因，得一百零八步，是三个方积合四个圆积。故 用四归之，得一个圆积二十七步。

周求积法：置周十八步，如大方面自乘，得三百二十 四步，是九个小方积，每积三十六步，正合十二个圆 田积。故用十二除之，得一个圆积二十七步。

周径求积法：置径六步是一个六，与周十八是三个 六，相乘，得数即如前径自乘，以三因数同，故仍用四 归，得积二十七步。

半周求积法：置半周，九步自乘，得八十一步，如三个 圆田积，故用三归之，得圆积亦二十七步。

半径求积法：置半径三步自乘，得九步，如方田积四 分之一，即圆三分之一，故用三因之，得圆积。

半周半径求积法：置半周九步，以半径三步相乘，得 圆积二十七步。如方积四分之三，正合圆田之积。 若问圆田外四角剩积法：置一角长阔各三步，折半 得一步，半自乘，得一角，剩二步二分五釐，以四因，得 四角，剩积共九步也。〈已上求积六法皆合周三径一已后二术惧有不尽非良法也〉 徽术周求径，以五十因周，再以一百五十七除之，得 径。径求周，以一百五十七乘径，用五十归之，得周。 密术周求径，以七因周，再以二十一除之，得径。径 求周，以二十二乘径，用七归之，得周

虚隅图说

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方圆论说

世之习算者，咸以方五、斜七、围三、径一为准，殊不知 方五则斜七有奇，径一则围三有奇。故古人立法，有 句三、股四、弦五之论，而不能使方斜为一定之法；有 割圆、矢弦之论，而不能使方圆为一定之法。试以句、 股法求之，句、股各自乘，并为弦实平方开之，此施之 于长直方则可。若一整方，句五、股五各自乘，并，得五 十；平方开之，得七，而又多一算矣。割圆之法求矢求 弦固是，至于求弧背则恐未尽也。何以知之？试以平 圆径十寸者例之，中心割开矢阔五寸，自乘，得二十 五寸，以径除之，得二寸五分为半背。弦差倍之，得五 寸，以加弦得一十五寸，与围三径一之论正合。然径 一则围三有奇，奇数则不能尽矣。以是知弧背之说 犹未尽也。不特是也，凡平圆一十二，立圆三十六，皆 不过取其大较耳。或曰：“密率径七则围二十二，徽率 径五十则围一百五十七，何不取二术酌之，以立一 定之法？”曰：“二术以圆为方，以方为圆非不可，但其还 原与原数不合，数多则散漫难收，故算历者止用径 一围三，亦势之不得已也。”曰：“历家以径一围三立法， 则其数似犹未精，然郭守敬之历，至今行之无弊，何 也？”曰：“历家以万分为度秒，以下皆不录，纵有小差，不 出于一度之中。况所谓黄赤道弧背度，乃测验而得， 止以径一围三定其平差，立差耳。虽然，行之日久，安 保其不差也？窃尝思之，天地之道，阴阳而已。方圆，天 地也”，方象法地，静而有质，故可以象数求之。圆象法 天，动而无形，故不可以象数求之。方体本静，而中斜 者，乃动而生阳者也，圆体本动，而中心之径，乃静而 根阴者也。天外阳而内阴，地外阴而内阳，阴阳交错 而万物化生，其机正合于畸零不齐之处，上智不能 测，巧历不能尽者也。向使天地之道俱可“以限量求 之，则化机有尽而不能生万物矣。”余因论方圆之法， 而并著其理如此。

又述《直圭梯斜句股弧矢等形图》于左：

今有直田长一十二步，阔九步，问田积并斜弦各若 干？

答曰：积一百零八步，该斜弦一十五步。

直演段图

求积法曰：“置长阔相乘，得一百零八步。若问斜者，如句股求弦，以长自乘，又以阔自乘，并二数，得二百二十五步为实。” 以开平方法除之，得弦十五步。若以斜问积，置斜十五步，自

乘折半，得一百一十二步半，却比直积多四步半。其 多者何也？是长多阔三步。自乘折半，得四步半也。 假如斜若干，只云“广纵相和若干”，问积以斜自乘，另 以相和自乘，二数相减，馀折半，得积。

假如有广若干，只云“纵斜相差若干。”问积以广自乘， 另以相差自乘，二数相减，馀折半为实，以相差为法 除之，得纵。以广乘之，得积。

“纵斜相和” 者，仿此。“广斜相和相差” 及“广纵相差” ，与前“广纵相和” 者俱同。

假如今有圭形田，广八步，纵一十二步，问该田积若 干？

答曰：积四十八步。

法曰：置广、纵相乘，折半，得积四十八步。合问。

句股相乘折半图

半纵乘广图

句股演段图

半句乘股图

长阔相乘折半图

半广乘纵图

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斜形折广图

梯形演段图

并上下广乘半长图

梯形折广图

并上下广折半乘长图

并上下广乘长折半图

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今有直田，长一十四步，阔七步，计积九十八步。问“内 容弧矢田一段占积并二角馀积各若干。”

答曰：弧矢积七十三步半，二角积二十四步半。 法曰：“置长一十四步为弧弦，以阔七步为矢，相并得。”

直内容弧矢图

二十一步折半，得十步零五分。又以矢七步乘之，得《弧矢》占积七十三步五分。以减直积九十八步，馀二十四步五分，是二角馀积。

今有直田，长二十步，阔十八步，计积三百六十步。内 容六角田一段，每角面十步，问六角占田积并馀积 各若干。

答曰：“六角积二百七十步，角外馀积，九十步。”

法曰：置中长二十步，减去半面阔五步，馀长一十五 步。以通阔一十八步乘之，得六角，占积二百七十步。

直容六角图

另以角外之馀，长九步，以馀阔五步折半，得二步五分乘之，得一角。馀二十二步五分，以四因之，得四角。馀积九十步，并入六角，占积二百七十步，共合直田之总积也。

假如方田一段，面方十七步，计积二百八十九步。内 容八角田一段，每角面阔七步，问八角占积并外馀。

方容八角图

若干

答曰：八角占积二百三十九步，角外馀积五十步。

法曰：方七步，是上下斜角面。如斜求方，以五因七归，得五，倍之，得十步，是上下二段长。加中一段，面七步。

共十七步自乘，得方面总积二百八十九步。另以一 角长五步自乘，得二十五步，倍之，得外馀积五十步。 以减上积，馀得八角，占积二百三十九步。合问： 假如圆田径十四，计积一百四十七步，内容锭田占 积并两腰外馀积。如榄形田二段，长十步，阔四步。问 各该积若干？

答曰：锭占积一百步，两腰外馀积四十八步。

法曰：圆径，即锭长十四步，又如圆内方之斜也。以“方 五斜七”之法，置十四步，以七归五，因，得方十步自乘。

方内容锭图

得锭占积一百步。另置两腰外如榄田长十步，加半阔二步，共十二步，以阔四步乘得馀积四十八步，加入锭占积，共合圆田总多一步者是。榄长十步，自乘得百步，内多一步。

旧法：以锭长自乘，折半得九十八步，却少二步。其锭

长如方田斜求积，则百步中少二步，可用九八归除， 即一百步。

一法：截上下有馀，补两腰不足，作方十步，自乘，得一 百步，锭田还原。以积用开平方法除，得十步，却以五 归七，因得斜长十四步也。

方圆环总图说

平方求积法曰：“以方面十六步自乘，得二百五十六 步。”《平圆求积法》曰：“以外周四十八步自乘，得二千 三百零四步，再以十二除之，得全积一百九十二步

方内容圆圆内减图为环图

四旁馀积六十四步另以内周二十四步自乘得五百七十六步再以十二除之得内圆积四十八步圆环求积法曰以大圆积内减小圆积馀一百四十四步即是环积也

又法以环径四步以三因之得一十二步以减外周

馀得三十六步，为长，以径四步乘之，得环积一百四 十四步。环田者，如圆田中间有圆池也。若圆池不 在中而偏者，只以圆田算之，得全积，却减去圆田积， 馀为本田实积也。

法以外周自乘，又以内周自乘，二数相减，馀数以十 二除之，得环积。若以内周、外周问径者，置外周减 内周，馀数以六除之，得径。若以内周并径问外周 者，置径，以六因之，得数并入内周数，即是外周。若 以外周并径问内周者，置径，以六因之，得数减外周。

方内容圆圆内容方图

数馀为内周

先论方内容圆外方十四步自乘计积一百九十六步问容圆并四旁庇积若干

答曰圆积一百四十七步

四旁庇积四十九步

法曰置方径十四〈即圆径〉自乘，再以七、五乘之，得圆积

也。若问四庇积，以二、五乘方积。〈四庇居方四分之一〉是也 方积四分取三，为圆积。故法用七、五乘之，或用三因 四归，亦得圆积。

后论《圆内容》方圆径。〈即方斜〉十四步计积一百四十七 步，问容方并四旁幂积若干。

答曰：圆内容方，每面十步，计积一百步。四旁幂积 四十七步。

右明方圆之理

方环者，谓如方田，中央有方池。方环求积。法曰：“以外。”

平方环积之图

方自乘得全积另以内方自乘得内积以减全积馀得方环积又法以外方并入内方倍之为长以径阔乘之得方环积

解曰非言田也皆言托物比兴算家穷理尽性致知格物以明方圆句股之理至于天地高广乎

带分母用约分法

今有直田广“二步二十分步之九，纵九十七步四十 九分步之四十七”，问该积若干？

答曰：“一亩。”

法曰：置广二步，以分母二十乘之，得四十，加分子九， 共四十九。另以纵九十七步，以分母四十九乘之，加 分子四十七，共四千八百；以乘纵四十九，得二十三 万五千二百，为实。又以分母二十乘四十九，得九百 八十为法；除之，得二百四十步；以亩法除之，合问。 今有圭田广五步二分步之一，纵八步三分步之二， 问“该积若干？”

答曰：“二十三步、六分步之五。”

法曰：置广五步，以分母二通之，加分子一，共十一。另 置纵八步，以分母三通之，加分子二，共二十六。与广 十一相乘，得二百八十六，折半，得一百四十三为实。 以分母二分、三分相乘，得六分为法。除之，得二十三 步。馀实五。以法命之，得六分之五。

今有“圆田径六步十三分步之十二，周围二十步四 十一分步之三十二，问，该积若干？”

答曰：“三十六步。”

法曰：径求积，置径六步，以分母十三通之，加分子十 二，共九十自乘，得八千一百。又以分母十三减分 子十二，馀一以乘分子十二，并前共得八千一百一 十二，以三因四归之，得六千零八十四为实，以分母 十三自乘，得一百六十九为法，除之。《合问》：若以《周 求》积，置周二十步，以分母四十一通之，加分子三十 二，共八百五十二，自乘，得七十二万五千九百零四。 又以分母四十一减分子三十二，馀九以乘分子三 十二，得二百八十八，并入前数，共七十二万六千一 百九十二。以圆法十二除之，得六万零五百一十六， 为实。以分母四十一自乘，得一千六百八十一为法， 除之。《合问》：

今有环田，内周六十二步四分步之三，外周一百一 十三步二分步之一，径十二步三分步之二，问该积 若干？

答曰：“四亩六分五釐四分步之一法曰：并内外周共一百七十五步。以内周之三乘外 周二分，得六分。另以外周之一乘内周四分，得四，并 之得十，却以分母二分四分相乘，得八为法。除十得 一步二分五釐，并前共得一百七十六步二分五釐， 折半得八十八步一分二釐五毫为实。却以径十二 步分母三通之，加分子二，共三十八为法乘之，得三 千三百四十八步七分五釐，又以分母三除之，得一 千一百一十六步二分五釐，以亩法除之，得四亩六 分五釐，不尽，步下二分五釐，以法约之，得四分步之 一。合问：

今有方田一坵，面方十二步四分步之二，问该积若 干？

答曰：“一百五十六步五分。”

法曰：置十二步，以分母四通之，得四十八步，加分子 二，共得五十步。自乘，得二千五百步。另以分母四减 分子二，馀二以乘分子二，得四，并前积共得二千五 百零四步为实。另以分母四自乘，得一十六为法，除 之。〈此合开方不尽之法已上皆双分母子法〉

今有直田，长一十五步，阔三步五分步之四，问该积 若干？

答曰：“五十七步。”

法曰：置阔三步，以分母五通之，得十五，加分子四，共 十九。另置长十五步，以分母五通之，得七十五。将此 二数相乘，得一千四百二十五为实。另以分母五自 乘，得二十五为法。除之。《合问》。〈此是单分母子法〉

《休宁县科则》：〈附：《辨亩法论》〉

休宁县于万历九年清丈有粮里，编号“二百一十一 里带管。”无粮里，三十四里半。〈以千字文编号自在城东北隅天字一号 起至三十三都八图建字号止〉

《田亩起科》等则：〈每斗加耗七合。《地山》同。〉

田每一亩古科米带耗共五升三合五勺，麦带耗共 二升一合四勺。

地每一亩古科米带耗共三升二合一勺，麦带耗共 二升一合四勺，《新制》米带耗共三升八合七勺一 抄三撮，麦带耗共一升九合八勺七抄。

比古米增而麦减，何也？盖谓古有官庄产土，租米重 而租麦轻。又紫阳书院田、府县学田，有米无麦。今变 总归于一，则丈出亩步，摊派租米租麦各亩步不同 等，而田山塘等起科不废古法，惟地扣合米麦总数 之故云。

山、按原额计亩〈新丈不计步数〉每亩米带耗共一升零七勺。 麦数同。

塘池潭、堨。〈同田则〉　《园圃洲堤》：〈同地则〉

坟茔境迹。〈多作上地〉开垦陇野。〈以作荒地三百为亩入山境〉

亩法论

愚按：前贤亩法，率二百四十步为一亩。万历九年，遵 诏清之《休邑总书》擅变亩法，田分四等，上则一百九 十步，中则二百二十步，下则二百六十步，下下则三 百步。地亦四等，上则二百步，中则二百五十步，下则 三百五十步，下下则五百步。在城基地有等正之名， 一等正三十步，二等正四十步，三等正五十步，四等 正六十步与前贤二百四十步一亩大相缪戾。借曰 土地有肥硗，征役有轻重，亦宜就土田高下，别米麦 之多寡，不得轻变亩法。第《总书》开其弊窦，举邑业已 遵行，何容置喙？姑记于此，以见“作聪明乱旧章”之自 云。

古今折步

原用古弓，每步五尺，今以钞弓校之，只有四尺八寸。 问“古弓百步，该钞弓若干？”

答曰：“九十二步一分六釐。”

法曰：置四尺八寸，倍之，得九分六釐，自乘，得九分二 釐一毫六丝，乃古弓一步，今折得钞弓数也。自此陞 上合问，若钞弓步数，每百步用八十五步加之，以 合原古弓步之数。

其方直、田形截积，具载“少广”章中。