欽定古今圖書集成/曆象彙編/曆法典/第118卷

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 第一百十八卷目錄

 算法部彙考十

  算法統宗六少廣章第四上

曆法典第一百十八卷

算法部彙考十编辑

《算法統宗六》
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少廣章第四上编辑

此章如田截縱之多,益廣之少,故曰「少廣。」如方田還 原之意,以方法除積冪而求方,以圓法除方實而求 圓,所註開平方平圓頭緒繁穴,初學者難,今註釋簡 明,列於後。

開平方法認商歌

一百一十定無疑,一千三十有零,餘九千九九,不離 十一萬,纔為一百,推得商方,除倍作廉,次商名隅,併 廉除餘數,續商隅。又倍。只依此法,取空虛。

解曰:平方者,乃方面自乘之積也。開者,以求方面之數也。「一百一十定無疑」 者,謂如積一百步,可約方面十步,已無疑矣。「一千三十有零餘」 者,謂積一千步,可約方面三十步有零也。「九千九九不離十」 者,謂如積九千步,約方面九十步,自乘,九九八十一也。一萬纔為一百步,自乘得一萬步也。此言約《初商》之訣,再具《商積》於後。

「開平方」初商定首位訣是自乘之數也。

商一步,積一步,   商一十步,積一百步。

商二步,積四步。   商二十步,積四百步。

商三步,積九步。   商三十步,積九百步。

商四步,積一十六步。 商四十步,積一千六百步。 商五步,積二十五步。 商五十步,積二千五百步。 商六步,積三十六步。 商六十步,積三千六百步。 商七步,積四十九步。 商七十步,積四千九百步。 商八步,積六十四步。 商八十步,積六千四百步。 商九步,積八十一步, 商九十步,積八千一百步。 法曰:「置積為實,別置一算,名曰『《下法》』。」於實數之下,自末 位至首常超一位約實,一下定一數,千百下定十數;萬下定 百數,百萬下定千數。實。上商置第一位,得若干,下位 亦置上商若干,名曰「方法」,與上商相呼,除實若干,餘 實若干。乃以二乘方法。即倍法也得若干,為廉法。續商 置第二位,於上商之次,得若干。下法亦置續商若干, 為隅法。隅法者乃曲尺樣二廉之角為隅則小方也於倍方之次,共若干, 皆與續商相呼,除實盡,得平方一面數。如不盡,仍前 再商之,或數不足,以法命之。何謂之《命若》餘實若干 不盡,卻以所商得平方數若干倍之,再添一箇,共得 若干,便商得面方多一數也。因此數不足而為之命 平圓,不盡數亦倣此,但立方、立圓於此不同。

若要還原,如算方田法,以面方數自乘,即見積也。 若還原遇面方下原有不盡數者,以面方數自乘,併 入不盡數,便可見積也。

開方求率作法本源圖

開方求率作法本源圖

右圖吳氏《九章》內雖有自開平方至五乘方,卻不云 如何作用,註釋未見詳明。今依圖式,自上一得二 為平方率,又併。三三得三三,為「立方率」,又併。四六四得 四、六四,為三乘方率,向下求出三十餘乘方,皆取自 然生率之妙。今略具五乘方圖式,可為求廉率之梯 階也。

又考其平方形如方田,以平方面自乘,得平方積數, 是一乘方。

其立方形如骰子樣,以平方面自乘,得平方積;再以 高方面乘之,得立方積數,是二乘方。

其三乘方,以平方面自乘,得平方積數;再以高方面 乘,得立方積數;又以方面乘,得三乘方積數。故曰「三 乘方。」然其形不知如何模樣,只是取數而已。或至十 乘方,三十餘乘方,皆是先賢取生率之妙,以明開方 正律亦不可廢。

《開平方》。「有實而無法」 ,《商約》而除之也。

今有平方積三百二十四步,問每方面若干?

答曰:「得每方面一十八步

方廉隅法之圖

方廉隅法之圖

法曰:置積三百二十四步為實。約初商一十步於實 左,另置下法一十步於實右,名曰「方法。」與上商相呼, 一一除實一百步,餘實二百二十四步。就以方法一 十步倍之,得二十,名曰廉法。又約次商八步於左,初 商一十之次,共得一十八步。亦置八步於實右廉法 二十步之次,名曰隅法,共得二十八步。與左位次商 八步相呼,二八除,實一百六十步。又將左八對右八 相呼,八八除,實六十四步恰盡,若還原,自乘是也。

右《法》以「明方」 ,廉隅之名也。

假如今有《闊算盤》共子三百六十一箇,問每面子若 干?

答曰:「每面一十九箇。」

法曰:「置棋子為實,約初商一十步於實左,另置下法 一十步於實右。左右相呼,一一」除實一百箇,餘實二 百六十一箇。就以下法一十倍之,得二十。次商九箇 於左,初商一十之次。亦置九箇於右,倍方二十之次, 共得二十九,皆與左次商九相呼,二九除實一百八 十箇。又左九對右九相呼,除實八十一箇,恰盡。 今列開平方法定分左中右式。凡看字亦照算盤自左至右

今有方田,積三千一百三十六步。問平一面若干? 答曰:「五十六步。」

法曰:置田積為實,約實定初商五十步於左,另置下 法五十步於右,左右相呼,五五除實二千五百步,餘 積六百三十六步。就以下法,五十步倍之,得一百步。 次商六步於左,初商五十之下,亦置六步於右,倍方 一百,隔位之下,共得一百零六步。皆與次商六步相 呼,一六除實,六百步。又左六對右六相呼,六六除實, 三十六步恰盡。

今有方田積二十萬零七千九百三十六步,問平方 一面若干?

答曰:「四百五十六步。」

法曰:「置方積為實,約初商四百於左位,亦置四百於 右位,為方法。與上商相呼,四四除實一十六萬,餘實 四萬七千九百三十六步。就以方法四百倍作八百 為廉法。次商五十」於左初商四百之下,亦置五十於 右。廉法八百之下,為隅法。共八百五十,皆與次商五 十呼除。先以左五對右八呼,五八除實四萬。又左五 對右五呼,五五除實二千五百,餘實五千四百三十 六步。卻以下法,次商五十倍之,併廉共得九百,又為 廉法。又商六步於左初。次商四百五十之下,亦置六 步於廉法九百隔位之下,共九百零六,皆與左。再商 六步呼除。先左六對右九呼,六九除實五千四百。又 左六對右六呼,六六除實三十六步,恰盡合問。 今有方磚一千四百六十一塊,欲為平方。問一面方 若干?

答曰:「一面方三十八塊,又七十七塊之十七。」

法曰:置磚積為實,初商三十塊於左,另置下法三十 於右,為方法。左右相呼,三三除實九百,餘實五百六 十一塊。就以方法三十倍作六十,為廉法。次商八於 左,初商三十之下,亦置八於右,廉法六十之下,為隅 法。共六十八,皆與上商八相呼,六八除實四百八十。 又呼八八,除實六十四,餘實一十七,不盡,卻將所商 三十八倍之,再添一塊,共得一方數七十七,命一十 七。何謂之命?以原總數內除去一十七,另加上七十 七,便商,得面方三十九塊,因此不及而為之命。餘倣 此。

今有方田積七萬一千八百二十四步,問平方一面 若干?

答曰:「每一面方二百六十八步。」

法曰:「置方田積為實」,以開平方法除之。初商二百於 左位,亦置二百於右位,為方法。以左二對右二相呼, 二二除實四萬訖,餘實三萬一千八百二十四步。就 以方法二百倍作四百,為廉法。次商六十於左,初商 二百之下,亦置六十於廉法四百之下,為隅法。共四百六十,皆與次商六十呼除。先以左六對右四呼,四 六除,積二萬四千。又左六對右六呼,六六除,積三千 六百。餘實四千二百二十四步。卻以右位次商六十, 倍加六十,於四百之下,共五百二十,皆為廉法。又商 八於左初次商二百六十之下,亦置八於右。廉法五 百二十之下,皆與上商八步呼除。先以左八對右五 呼,除五八除,積四千。又呼二八,除一百六十。又呼「八 八」,除實六十四步恰盡。

一方四廉兩隅演段圖

一方四廉兩隅演段圖

《演段。解》曰:其初商二百,自乘,得積四萬,是大方積也。 次商六十,內有闊六十,長二百兩段,故倍初商二百, 作四百,為廉法,與左次商六十乘,得二萬四千,是兩 箇闊六十,長二百之積。其次商六十,自乘,得三千六 百,是中方積。又商八步,內有闊八步,長二百六十兩 段,故倍初次商二百六十,為五百二十,卻以八步乘, 得積四千一百六十,是兩箇闊八步長二百六十步 小廉積也。其又商,八步自乘,得積六十四步,是小方 隅積也。凡平圓先用《開平方》法,後用十二除,為圓。

歸除開平方

今有平方積五萬四千七百五十六步,問平方一面 若干?

答曰:「二百三十四步。」

《歸除開平方法》曰:「置積五萬四千七百五十六步為 實於盤中,見實約商二百於實左。另置二百於右下, 左右相呼,二二除實四萬步,餘實一萬四千七百五 十六步。以右下二百步倍之,得四百步為法。歸除之 呼四一二十二,逢四進一十,得商三十步。就置三十 步於右四百之下,相呼三三除實九百步,餘實一千」 八百五十六步。就以右下三十步倍之,得六十步,共 四百六十步為法。歸除之,呼四一二十二,逢八進二 十,得商四步。亦置四步於右六之下,相呼,「四六」除,實 二百四十步。又呼「四四」除,實一十六步,恰盡。以左上 所商,得二百三十四步,為平方一面之數也。

今有平方積四百九十步,欲為平方,問每面若干? 答曰:「每面二十二步又四十五分步之六。」

《歸除開平方法》曰:「置積四百九十為實於盤中,見實 四百商二十步於實左。另置二十步於右下,左右相 呼,二二除實四百步,餘實九十步。就以右位二十步 倍之,得四十步為法,歸除之,呼逢八進二步,就以二 步於右四十之下相呼,二二」除實四步,餘實六步。不 盡,以直方命之。法曰:以所商二十二步倍之,又添一 步,共得四十五步,為分母,命之曰「四十五分步之六」 也。

解曰:若以積四百九十步,加入四十五步,減去分子六步,仍得五百二十九步,便商二十三步,所謂「不及」 ,故為之命也。

歸除平方帶縱歌

平方帶縱法最奇,四因積步不須疑,縱多自乘加因 積,又用開方法除之。再以縱多併開積,折半方為長 數施,若問闊步知多少,將長減卻縱多基。

今有直田積一千七百五十步,長比闊多一十五步, 問長、闊各該若干?

答曰:「長五十步,闊三十五步。」

法曰:置積一千七百五十步,以四因之,得七千步。另 以縱多一十五步,自乘,得二百二十五步,相併,共得 七千二百二十五步為實。以開平方法除之,約商八 十於左,亦置八十於右。左右相呼,八八除實六千四 百步,餘實八百二十五步。就以下法八十倍之,得一 百六十步為法,歸除之,呼逢五進五,於初商八十之 次,共得八十五步。《下法》亦置五於一百六十之下,共 一百六十五步。左五對右六相呼,五六除實三百步。 又左五對右五呼,五五除實二十五步。恰盡得左商 八十五步。如長闊相和之步,加入縱多一十五步,共 得一百步。折半得五十步。於內,減去縱多一十五步, 餘三十五步,即是闊也。

《帶縱開平》方法歌:《兼商除》:

平方帶縱法為奇,下位先安縱步基,上商得數加縱 內,縱方,下法併為題,上下相呼除實畢,倍方不倍縱 開餘,餘數續商方再倍,何愁此術不能知。

法曰:如有田積若干,只云「闊不及長若干。」問闊者幾 何,則置田積若干為實,以不及若干為縱,列於下法, 以帶縱《開平方法》除之,實上初商得若干。下法亦置初商若干於縱內,共得若干,皆與上商相呼。除實若 干,餘實若干,另以下法,初商若干倍之。倍方不倍縱次商 若干於左位初商之次,下法亦置次商若干於倍方 之次,共若干,皆與次商相呼,除實盡得闊數,加不及 數為長。若要還原,以所商得闊若干為實,另以所 得商數。加上縱多共若干或減不及餘若干若干乘之,見積。 今有田積一千七百五十步,只云「長比闊多一十五 步」,問長、闊各若干。

答曰:「長五十步,闊三十五步。」

法曰:置積為實,以多一十五步為縱,列於下位,以帶 縱《開平方法》除之。初商三十於左位,另於下法,亦置 三十,加於縱上,共得四十五步,與上商相呼,左三對, 右四呼,三四除實一千二百。又左三對右五呼,三五 除實一百五十。另以下法,初商三十倍,作六十,加,縱 多十五,共得七十五。次商五於左位,另於下法,亦置 五於倍方之下,共八十,皆與次商五相呼,左五對右 八呼,五八除實四百步,恰盡得闊三十五步,加多一 十五步,為長。合問。

又法名減積開平方。置田積為實於中,另置不及十 五步於右位,為減積。上商三十於左位,另以下法, 亦置三十於右,為方法,以乘減積一十五步,得四百 五十步,以減中實,餘實一千三百步。卻以初商三十 與上商三十相呼,三三減積九百,餘實四百。就以方 法三十倍作六十,為廉法。次商五步於左,三十之。次 下位亦置五步,以乘減積一十五步,得七十五步。以 減中積,仍餘實三百二十五步。卻以下位廉法六十, 併入次商五步,共六十五步,皆與上商五步。呼五六 除實三百五五除二十五步,得廣三十五步。《合問》 若問縱照前布列,上商五十步,以乘不及十五步, 得七百五十步,併加前積,共二千五百步。卻呼「五五。」 除實二千五百步盡得縱合問。

今有圭田積一百二十六步,闊不及長九步,問長、闊 各若干?

答曰:「長二十一步,闊一十二步。」

法曰:倍田積,得二百五十二步為實,以不及九步為 縱方。於右,上商十步。下法亦置十步於縱九步上,共 一十九步,與上商十步。除實一百九十步,餘六十二 步。另以下法,初商一十倍之,作二十,次商二步於左。 下法亦置二步加於縱方九上,共三十一步。皆與上 商二相呼,除實盡得闊一十二步,加不及九步,得長。 合問。

今有句股田積四百八十六步,只云:句少弦一十八 步,問各若干?

答曰:句闊二十七步,股長三十六步,弦斜四十 五步。

法曰:倍積得九百七十二步為實。以弦差一十八步, 折半得九步,為縱方。開平方法除之,得句二十七步, 加差一十八步,為弦斜四十五步。另以句自乘,弦自 乘,二數相減,餘一千二百九十六步為實。以開平方 法除之,得股長三十六步。合問。

今有句股田積四百八十六步,只云「股少弦九步」,問 各若干?

答曰:「股三十六步,句二十七步,弦四十五步。」

法曰:三因積,得一千四百五十八步為實。以弦差九 步,折半,得四步五分,為縱方。開平方法除之,得股長 三十六步。加九步,為弦四十五步。另以股自乘、弦自 乘,二數相減,餘七百二十九步為實。以開平方法除 之,得句闊二十七步。合問。

《長闊相和歌》:與減《縱》《開平》方法同。

「長闊相和不識情,四因積步莫差爭。」和步自乘減去 積,餘用《開方》差步名。卻將和步加差步,折半當為長 數成。要知闊步如何見,長步減差闊便明。

今有直田積一千九百二十步,長、闊相和九十二步, 問長、闊各若干?

答曰:「長六十步,闊三十二步。」

法曰:置田積,以四因之,得七千六百八十步。另以和 步九十二步自乘,得八千四百六十四步。減去因積, 餘七百八十四步為實。以開平方法除之,得長闊相 差二十八步,加入和步九十二步,共一百二十步,折 半,得長六十步。內減差步二十八步,餘得闊三十二 步。合問。

又法,名減縱《開平方》。置田積一千九百二十步為實, 以相和九十二步於右為減。縱上商三十,以減九十 二步,餘縱六十二步,與上商三十相呼,三六除實一 千八百。又呼,二三除六十,餘實六十步。又以上商三 十再減,餘縱六十二,仍餘縱三十二。次商二,又減縱 二,餘縱三十,與次商二相呼,二三除實六十。合問。 若先問長者,仍前布列,先商長六十,減縱,亦得。 今有句股田積九百六十步,長、闊相和,九十二步,問 長、闊各若干?

答曰:長六十步,闊三十二步法曰:「置田積,以八因之。」或倍田積以四因同得七千六百八十 步。另以和步自乘,得八千四百六十四步,相減,餘七 百八十四步,以平方開之,得長闊相差二十八步。加 入和步,共一百二十步,折半得長六十步。內減差步 二十八,餘得闊三十二步。《合問》:若以減縱開平方 法算,置積倍之,得一千九百二十步為實。以相和九 十二步為減縱,如前商之,即得。

《長闊相差》歌:與「帶《縱開平》」 方法同。

長闊相差要識情,積數將來以四乘,差步自乘,加入 積開方得數,以《和名》。「和步加差須折半,此為長數更 無零。以長減差便為闊,學者留心仔細尋。」

今有直田積一千九百二十步,長、闊相差二十八步, 問長、闊各若干?

答曰:「長六十步,闊三十二步。」

法曰:置田積,以四因之,得七千六百八十步。另以相 差二十八步自乘,得七百八十四步,加入積數,共八 千四百六十四步,為實。以開平方法除之,得長闊相 和九十二步,加入差步二十八,共一百二十步,折半, 得長六十步。內減相差二十八步,餘得闊三十二步。 合問。

又法名「帶縱」開平方。置田積一千九百二十步為實, 以相差二十八步為帶。縱列於右。上商三十於左,右 位亦置三十,加於縱上,共得五十八步。皆與上商三 十相呼,三五除實一千五百。又呼,三八除實二百四 十,餘實一百八十。另以下法,初商三十倍之,得六十, 加差二十八,共得八十八步。次商二於左,三十之。次 下法亦置一於倍方之次,共九十步,皆與次商二相 呼,二九除實,一百八十恰盡,得闊三十二步,加差二 十八步,得長六十步。《合問》如句股出積,長闊相差, 問答。倍積用法同前。

平圓法歌

平圓之法:若求周,十二乘積數,可求求徑四因,三而 一,開平方法,以除收。

法曰:問外周者,置積若干,以圓法十二乘,得若干為 實,以開平方法除之,得周。若要還原如圓田,以外周 自乘,又以十二除之,見積若周下原有不盡數者,以 周自乘,併入不盡,以十二除見積。問徑者,置積若 干,以四因三歸,得若干為實,以開平方法除之,得徑。 算圓居方四分之三,故用四因三歸之。若要還原如 圓田,以徑自乘,併入不盡數,以三因四歸之,見積。 若問周、問徑,遇有餘積,不盡之數,依《開平方法》下命 之。

今有圓田積二千三百五十二步。問平圓周若干? 答曰:「周一百六十八步。」

法曰:置圓田積步,以十二乘之,得二萬八千二百二 十四步為實,以開平方法除之。初商一百於左位,於 下法亦置一百為方法。呼一一除積一萬,餘積一萬 八千二百二十四,就以方法一百倍之,得二百,為廉 法。續次商六十於左,初商一百之下,右位亦置六十, 於廉法。二百之下,為隅法,共二百六十,皆與上商六 十呼除。先呼「二六」,除積一萬二千,又呼六六,除積三 千六百,餘積二千六百二十四,另以右位。次商六十 倍作一百二十,併入廉法二百,共三百二十,又為廉 法。再商八步,於左位初次商一百六十之下,於右位 亦置八步,又為隅法。於廉法之下,共三百二十八,皆 與上商八呼除。先呼三八,除積二千四百,又呼二八 除,積一百六十,又呼八八除,積六百四十,恰盡。 今有圓田積二千三百五十二步。問「平圓徑若干?」 答曰:「徑五十六步。」

法曰:置積步,先以四因,後用《三歸》,得三千一百三十 六步為實,以《開平》方法除之。初商五十於左位,亦置 五十於右位,為方法。左右相呼,五五除積二千五百, 餘積六百三十六步,卻以右位五十倍作一百,為廉 法。次商六於左,初商五十之。次亦置六於右。廉法一 百,隔一位下為隅法,共一百零六,皆與上商六相呼, 一六除積,六百。又左六對右六呼,六六除積,三十六 步恰盡。

今有圓積五萬四千箇,欲為平圓,問徑若干?

答曰:「徑二百六十八箇,又五百三十七箇之一百七 十六。」

法曰:置積數,先以四因,後用三歸之,得七萬二千為 實。以開平方法除之。初商二百於左位於下法右位。 亦置二百,為方法。呼「二二」除積四萬,餘積三萬二千。 就以右位,二百倍之,得四百,為廉法。次商六十於左, 亦置六十於右。廉法四百之次,為隅法。相呼,「四六」除 積二萬四千。又呼「六六」除積三千六百,餘積四千四 百。卻以右位六十倍之,併入廉法,共五百二十,皆為 廉法。又商八於左,二百六十之次,右位亦置八於廉 法之次,共五百二十八,皆與上商八呼除。先呼五八, 除積四千。又呼二八,除積一百六十。又呼八八,除積 六十四,餘積一百七十六。不盡,卻將所商數倍之,再加一箇,得五百三十七,命之一百七十六,若於總內, 減去一百七十六,加上五百三十七,便商得徑二百 六十九也。

開平方通分法

今有積一千五百九十步、六十四分步之一,問平方 一面若干?

答曰:「三十九步又八分步之七。」即八分七釐五毫 法曰:置積一千五百九十步,以分母六十四分乘之, 加入分子一,共得一十萬零一千七百六十一分。以 開平方法除之,得方面三百一十九分為實。另以分 母六十四,以《開平》方法除之,得八分為法。除之,得方 面三十九步。不盡七,命之曰八分步之七。

今有方田一段,面方四步一十八分步之一十七,問 斜弦步、方積步各若干。

答曰:「斜弦七步,方積二十四步五分。」

法曰:置四步,以分母一十八乘之,加入分子一十七, 共得八十九步。自乘,得七千九百二十一步。另以分 母、分子相減,餘一以乘分子,十七如故。併前共得七 千九百三十八步為實。另以分母十八自乘,得三百 二十四為法,除之,得二十四步五分,為方積。倍之,得 四十九步。以《開平》方法除之,得斜弦七步。但方面 下有零分數,求積者倣此。

右《商法》「開方」 歸,除開方二者,聽從人便。

方圓三稜總歌

方圓三稜求周數,各減總一分,明布十六乘方帶縱 八,十二乘圓加縱六十八,三稜添縱九,俱用帶縱開 方術,倍方不倍縱開除,何愁外周不知數。

還原束法歌

四方之束添八乘,十六歸除數頗明圓束外周加六 湊,乘來十二法除清。三角加九乘周數,十八歸除不 差爭,各要臨時添一數。即中心也束積推詳數可成。 今有方箭八十一,根,問外周若干。

方箭圖

方箭圖

答曰:「外周三十二根。」

《法》曰:此是八箇,周中包一。置方箭八十一根,減去中心一根,餘八十根,以十六乘之,得一千二百八十根,為實。

於中位,以八為縱,列於右位,用帶縱、《開平方法》除之, 初商三十於左位。《下法》亦置三十於右縱八之上,共 三十八。左右對呼,三三除實九百。又左三對右八呼, 三八除二百四十。就以下法,初商三十,倍作六十。不倍 縱次商二於左,初商三十之次。下法亦置二於倍方 之次,共得七十。左二對右,七呼,二七除實一百四十, 恰盡得周三十二根。《合問》。

今有方箭一束,外周三十二根,問總積若干?

答曰:「八十一根。」

法曰:置外周三十二根於左,亦置三十二根於右,加 內周八,共四十,相乘得一千二百八十,為實。以方束 法十六除之,得八十,加上中心一,共得八十一根。《合 問》。

凡方物,乃是八箇周中包一,自內之外,每層加八;自外之內,每層減八。故以八歸外周,即知層數。如外周三十二,是四八即是四層。餘倣此。

今有圓箭一百二十七根,問外周若干?

答曰:「外周三十六根。」

圓箭圖

圓箭圖

《法》曰:此是六箇。周中包一。置圓箭一百二十七根,減去中心一,餘一百二十六根。以十二乘之,得一千五百一十二根,為實。於中以縱六列於右,

用帶、縱、《開平方法》除之,初商三十於左。下法亦置三 十於右,縱六之上,共三十六。左右相呼,「三三」除實九 百。又呼,「三六」除實一百八十,就以右位初商三十倍 作六十。不倍縱次商六於初商三十之次,下法亦置六 於倍方之次,共七十二。左六對右七呼,六七除實四 十二,又左六對右二呼,二六除實一十二,恰盡《合問》。 今有圓箭一束,外周三十六根,問總積若干?

答曰:「一百二十七根。」

法曰:置外周三十六於左,亦置三十六於右,加內周 六,共四十二,相乘,得一千五百一十二,為實。以圓束 法十二除之,得一百二十六,加中心一,合問。

凡圓物,乃是六箇,周中包一,自內之外,每層加六;自外之內,每層減六。故以六歸外周,即知層數。如外周三十六是六,六即是六層。餘倣此。

今有三稜物九十,一箇問外周若干。

三稜圖

三稜圖

答曰:「外周三十六箇。」

《法》曰:此是九箇,周中包一。置三稜物九十一箇,減去中心一箇,餘九十箇。以十八乘,得一千六百二十箇為實。

以九為縱,列於右,用帶縱、《開平方法》除之。初商三十 於左。下法:亦置三十於右,縱九之上,共三十九。左右 相呼,三三除實,九百。又呼,「三九」除實,二百七十除實 四百五十。另以下法,初商三十倍作六十。不倍縱共六十九,次商六箇於左初商三十之次。下法亦置六於 倍方之次,共七十五。以左六對右七呼,六七除實四 百二十。又左六對右五呼,五六除實三十,恰盡合問。 今有《三稜物外周》三十六箇問,總積若干?

答曰:「九十一箇。」

法曰:置外周三十六於左,亦置三十六於右,加內周 九,共四十五,相乘,得一千六百二十,為實。以束法十 八除之,得九十,加中心一合問。

凡三稜物,乃是九箇,周中包一,自內之外,每層加九;自外之內,每層減九。以九歸外周,即知層數。如外周三十六,是四九即四層。餘倣此。

假如方箭積六十,四根問外周若干。

答曰:「外周二十八根。」

法曰:此是雙層者,只以方箭積為實,以《開平》方法除 之,得一面方八根;卻減去一根,得七根。以四因,得外 周二十八根。若前方箭積八十一根,乃是單層者。 若只以方箭為實,以開平方法除之,得一面方九根; 卻減去一根,得八根。以四因,亦得外周三十二根。

面方八數為雙,乃八八六十四也;九數為單,乃九九八十一也。此法捷徑無差,雙層、單層皆可用。

《演段根源》,《開方圖解》。

夫算之術,「入則諸問,出則直田。」蓋直田能致諸用,而 有此說,故立「演段」,蓋欲演算之片段也。知片段則能 窮根源,既知根源而心無朦昧矣。今摘《數問》詳註圖 解,以明後學,其餘自可引而伸之,不待盡述。

直田「長闊相乘」 ,與《萬象》同意。

今有直田,積八百六十四步,只云「闊不及長一十二。」

帶縱平方圖

帶縱平方圖

步問長闊各若干答曰長三十六步闊二十四步

法曰置積為實以不及十二列於右為帶縱開平方法除之初商二十於左下法亦置二十加於縱上共三十二皆與上商二十相呼除實六百四十餘實二

百二十四,卻以下法,初商二十倍之,共五十二。次商 四於初商二十之次。下法亦置四於倍方之次,共五 十六。皆與左次商四相呼,除實恰盡,得闊二十四步。 加差一十二步,得長三十六步。《合問》。

今有直田積八百六十四步,只云「長、闊相差一十二 步。」問「長、闊相和共若干?」

答曰:「長闊相和六十步。」

法曰:置田積,以四因,得三千四百五十六步。另以差 一十二步自乘,得一百四十四步,併四因積,共三千。

長闊相差求和圖

長闊相差求和圖

六百步乃是相和之積用開平方法除之得長闊相和六十步合問若問長數加差折半即得

演段解曰四因積者乃是四長四闊積居邊共三千四百五十六步卻以相差一十二步自乘得一百四十四步補中得相和積二

千六百步,以《開平方法》除之,得長闊相和六十步也。 今有直田積八百六十四步,只云「長闊相和六十步。」 問長、闊相差若干?

答曰:「長闊相差一十二步。」

法曰:置田積,以四因,得三千四百五十六步。另以相 和六十步自乘,得三千六百步,卻減去四因積三千 四百五十六步,餘一百四十四步,乃相差自乘積,用 開平方法除之,得長闊相差一十二步。合問。

《長闊相和求差》圖同前。

解曰:其相和六十步,自乘積三千六百步,內有四因積四箇,共三千四百五十六步,居邊有一箇相差。自乘積一百四十四步,用開平方法除之,得長闊相差十二步。

今有直田,積八百六十四步,只云「長、闊相和。六十步, 問長、闊各若干?」

答曰:「長三十六步,闊二十四步。」

法曰:置積為實,以相和六十步於右,為減縱。開平方 法除之,上商二十於左,就將右縱減去上商二十餘。

減縱開方圖

減縱開方圖

四十與上商二十相呼除實八餘實六十四步又以上商二十再減餘縱二十仍餘縱二十次商四步亦減餘縱二十仍淨餘縱十六與次商四相呼除實盡得闊二十四步以減相和六十步餘得長三十六步合問

減縱飜

減縱飜

解曰若不益積便用減縱或有不可益積者須用減縱之術先問闊者用此若先問長則用減縱飜積法法曰置積為實以相和為減縱開平方法除之上商三十以減縱六十餘縱三十與上商三十相呼合除

積九百,而積實不及,乃命飜法。除原積八百六十四, 餘負積三十六,為實。再置上商三十以減餘,縱三十 訖次商六步。下法亦置六為隅法。與上商六呼除負 積,恰盡,得長三十六步。合問。

今有方田一段,圓田一段,共積二百五十二步。只云 「方面、圓徑適等。」問方、圓徑各若干?

答曰:「方面、圓徑各一十二步。」

法曰:置共積為實,以四因,得一千零八步,併方四、圓 三,共七為法,除之,得一百四十四步,以開平方法除。

方圓求徑圖

方圓求徑圖

之得方面一十二步圓徑亦同

術曰四因方圓共積得四箇方積四箇圓積其四箇圓積恰折三箇方積故用七除得一箇方積以開平方法除之得方圓徑舊法四因共積得一千零八步為實以開平方法除

之,併方四圓三,共七,為隅。於下法:初商一十,以隅七 乘,得七十,為方法。與上商一十相呼,除實七百,餘實 三百零八步,另倍方法,得一百四十,為廉法。次商二 步,以隅七乘,得十四,併入廉法一百四十,共一百五 十四,與次商二步相呼,除實恰盡合問。

減積帶縱開平方

今有大小方田二段相併,共積四百步,只云「大方田 面比小方田面多四步。」問大小方面併積各若干? 答曰:「大方面一十六步,計積二百五十六步;小方 面一十二步,計積一百四十四步。」

法曰:置共積於中,另置大方田面多小方田面四步 自乘,得一十六步,以減共積四百步,餘積三百八十 四步,折半得一百九十二步,為實。又另置大方面多 小方面四步,為縱方。以帶縱、開平方法除之,初商一 十於左。下法:亦置一十於縱方之上,共一十四步,皆 與上商一十相呼。除實一百四十步,餘實五十二步。 卻以下法,初商一十,倍作二十,併入縱四步,共二十 四步。次商二步於左。初商一十之。次《下法》亦置二步。

方積帶縱開平方圖

方積帶縱開平方圖

於縱方之次共二十六步皆與次商二步相呼除實恰盡得小方面一十二步加四步得大方面一十六步各以方面自乘得各積合問

解曰共積是一段大方積一段小方積其大方積內有一段小方積一

段大多小方自乘積,如隅。又大多小的兩段長闊積,如廉,每廉長即小方面數,闊即大多小數。先用大多小方步數自乘,得數以減共積者,是減。云大方田一段小隅積,餘積折半,是一段小方積,一段長闊廉積。就如一段直田。用帶縱開平方法除之,求出一段小方面數,加多步,為大方數也。

今有大、中、小方田三段相併,共積八百步。只云:「大方 田面比中方田面多四步,中方田面比小方田面多 四步。」問「大半、小方面併積各若干?」

大小三方總一圖

大小三方總一圖

答曰大方面二十步計積四百步中方面一十六步計積二百五十六步小方面一十二步計積一百四十四步

法曰置共積於上另置大方面多小方面八步自乘得六十四步又以中方面多小方面四步自乘得一

十六步,併二數共八十步以減,共積八百步,餘積七 百二十步。以三歸之,得二百四十步,為實。初商一十 自乘,得一百步,以減實積,餘實一百四十步。次商二 併初商共十二自乘,得一百四十四。內除初商自乘 一百,餘四十四,以減餘實,又餘實九十六,卻以三因, 得二百八十八。另併大方多中四、小八,共十二,倍之, 得二十四,與初商十步相呼,一二除二,一四除四。又 與次商二相呼,二二除四,二四除八,得小方面十二 步。加多四步,得中方面十六步。又加多四步,得大方面二十步。各以方面自乘,得各積《合問》。

若四段則用《四歸》。五段則用《五歸》。

假如大小圓田二段共積,只云大圓徑多小圓徑者, 法置共積,以四因三歸,得數仍如前方田算。或只云 「大圓周多小圓周」者,法置共積,以十二乘,得數仍如 大小方田算。

假如大、小立方二所共積,只云「大立方面多小立方 面」者,法置共積,另置大立方面多小立方面數自乘、 再乘,以減共積,餘積折半為實。初商自乘、再乘,得數 除,實訖,次商若干,併入初商,共若干,自乘、再乘,得數 內減去初商自乘、再乘數餘若干,除實訖,仍餘實若 干倍之,卻以大多小數併入初商、次商數共若干,以 初次商若干乘,得數又以大多小數乘,得若干,卻以 三因之,得若干。除實恰盡,得小立方面數;加多數,得 大立方面數。各以方面自乘,再乘,得各積立方。三所 共積,用三歸,若四所共積,用四歸。餘倣此。

《開立》方法歌:自乘為平方,再乘為立方。

自乘,再乘除實積,三因初商方另列,次商遍乘,名為 廉。方法乘廉除次積,次商自再乘,名隅,依數除積方 了畢。初次三因又為方。三商遍乘倣此的。

認商歌

一千商十定無疑,三萬纔為三十餘,九十九萬不離 十,百萬方為一百推。

解曰:謂如積一千步,約商一十步。又如積三萬,就約商三十步。又如積九十九萬步,就約商九十步。如積一百萬步,可約商一百步。乃自乘、再乘之積而求原數也。此謂有實無法,故曰「約之。」

商一步  積一步起至七步止,皆商一步。

商二步  積八步起,至二十六步止。

商三步  積二十七步起,至六十三步止。

商四步,  積六十四步,起至一百二十四步止。 商五步,  積一百二十五步,起至二百一十五步止。 商六步,  積二百一十六步,起至三百四十二步止。 商七步,  積三百四十三步,起至五百一十一步止。 商八步,  積五百一十二步,起至七百二十八步止。 商九步,  積七百二十九步,起至九百九十九步止。 商一十步, 積一千步,起,至七千步止。

商:二十步 積八千步起,至二萬六千步止。

商:三十步 積二萬七千步起,至六萬步止。

商四十步, 積六萬四千步起至一十二萬步止。 商五十步, 積一十二萬五千步,起至二十一萬止。 商六十步, 積二十一萬六千步起至三十四萬止。 商七十步, 積三十四萬三千步起至五十一萬止。 商八十步, 積五十一萬二千步起至七十二萬止。 商九十步, 積七十二萬九千步,起至九十九萬止。 商一百步, 積一百萬步起,至七百萬步止。

已上皆言「初商」 首位之積,以所商自乘、再乘之數,次商用法不同。

法曰:置積為實,別置一算,名曰「下法。」於實數之下。自末 位至首常超二位約實自千至九十餘萬俱定十及百萬後, 俱定百實。上商置第一位,得若干。下法亦置初商若 干,自乘再乘得若干,除實訖,餘實若干。卻以三乘下 法初商若干,得若干,為方法列位。次商置第一位於 初商之次,得若干。下法亦置次商若干,於初商之次, 共得若干。就以次商若干,遍乘得若干,為廉法。再以 方法乘廉得若干,除實訖,餘實若干,卻以次商若干 自乘,再乘得若干,為隅法,除實盡,得立方面數。若有 不盡數,仍前再商之,或有不盡數,以法命之。何謂之 「命若」餘實若干,不盡,卻以所商得立方數若干自乘 得若干,又以三因之,得若干,另以所商得立方數若 干,用三因之,得若干,再添一箇,共得若干,便商得多 一立方數也。因此不及而為之命也。立圓法遇有不盡者亦倣此 若要還原,以立方面自乘,再乘見積。若還原,遇立方 原有不盡數者,以立方面自乘、再乘,併入不盡數見 積。

今有物三千三百七十五尺,問立方面若干?

答曰:「立方面一十五尺。」

法曰:置物三千三百七十五尺為實。約初商得一十 於左。下法亦置一十於右。自乘得一百,再乘得一千。 除實訖,餘實二千三百七十五尺。卻以三乘下法一 十,得三十,為方法,列位次商五尺於左。初商之次。下 法亦置次商五於初商一十之次,共一十五,就以五 遍乘之,得七十五,為廉法。再以方法三十乘廉法七 十五,得二千二百五十,除實訖,餘實一百二十五,恰 以次商五自乘,再乘,得一百二十五,為隅法。除實恰 盡。

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今有積一百九十五萬三千一百二十五尺,問立方 面若干?

答曰:「立方面一百二十五尺。」

法曰:置積尺數為實,約初商一百自乘再乘,得一百 萬,除實訖餘實九十五萬三千一百二十五尺。恰以 三乘下法一百,得三百為方法,列位。次商二十於初 商一百之次,下位亦置二十於初商一百之次,共一 百二十,就以二十乘之,得二千四百,為廉法。再以方 法三百乘廉法,得七十二萬,除實訖,餘實二十三萬 三千一百二十五尺。恰以次商二十自乘,再乘得八 千,為隅法。除實訖,餘實二十二萬五千一百二十五。 另以三乘下法一百二十,得三百六十,又為方法,列 位。再商五於左初次商一百二十之下,共一百二十 五,就以五乘之,得六百二十五,又為廉法。再以方法 三百六十,乘廉法六百二十五,得二十二萬五千,除 實訖,再以再商五自乘,再乘,得一百二十五,又為隅 法,除實恰盡。合問。

今有積四千一百五十尺,問立方面若干?

答曰:立方面一十六尺,又八百一十七之五十四。 法曰:置積為實。初商一十,自乘再乘,得一千尺。除實 訖,餘實三千一百五十。卻以三乘下法一十,得三十 為方法,列位。次商六尺於上。初商一十之次,共一十 六,就以六乘之,得九十六,為廉法。再以方法三十乘 廉法九十六,得二千八百八十。除實訖,餘實二百七 十。恰以次商六自乘,再乘得二百一十六,為隅法。除 實訖,餘實五十四尺,不盡,以法命之,卻以所商立方 一十六尺自乘,得二百五十六,又以三因,得七百六 十八,另以十六以三因之,得四十八,再添一箇併入, 共得一立方數,積八百一十七之五十四也。何謂之 命?以原總數除去五十四,加上八百一十七,便商得 面方一十七,因此不及而為之命。

假如今有銀一萬兩,《問立方》每面若干?

答曰:「八寸九分三釐。」有畸難盡

法曰:置銀一萬兩為實,以銀率每寸一十四兩為法。 除之,得七百一十四寸二分八釐,又為實。以開立方 法除之。初商八寸於左,亦置八寸於右,為下法。自乘 得六十四寸,再乘得五百一十二寸。除實訖餘實二 百零二寸二分八釐。卻以三乘下法八寸,得二十四 寸,為方法。次商九分於初商八寸之次,亦置九分於 右初商八寸之次,共八寸九分。就以九分遍乘,得八 寸零一,為廉法。再以方法二十四寸乘廉法,得一百 九十二寸二分四釐,除實訖,餘實十寸○○四毫。恰 以次商九分自乘,再乘得七寸二分九釐,除實訖,餘 實不盡一寸七分五釐。


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