钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第118卷

钦定古今图书集成
历象汇编 第一百十八卷

钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第一百十八卷目录

　算法部汇考十

　　算法统宗六〈少广章第四上〉

历法典第一百十八卷

算法部汇考十

《算法统宗六》

少广章第四上

此章如田截纵之多，益广之少，故曰“少广。”如方田还 原之意，以方法除积幂而求方，以圆法除方实而求 圆，所注开平方平圆头绪繁穴，初学者难，今注释简 明，列于后。

开平方法认商歌

一百一十定无疑，一千三十有零，馀九千九九，不离 十一万，才为一百，推得商方，除倍作廉，次商名隅，并 廉除馀数，续商隅。又倍。只依此法，取空虚。

解曰：平方者，乃方面自乘之积也。开者，以求方面之数也。“一百一十定无疑” 者，谓如积一百步，可约方面十步，已无疑矣。“一千三十有零馀” 者，谓积一千步，可约方面三十步有零也。“九千九九不离十” 者，谓如积九千步，约方面九十步，自乘，九九八十一也。一万才为一百步，自乘得一万步也。此言约《初商》之诀，再具《商积》于后。

“开平方”初商定首位诀是自乘之数也。

商一步，积一步，　　　商一十步，积一百步。

商二步，积四步。　　　商二十步，积四百步。

商三步，积九步。　　　商三十步，积九百步。

商四步，积一十六步。　商四十步，积一千六百步。 商五步，积二十五步。　商五十步，积二千五百步。 商六步，积三十六步。　商六十步，积三千六百步。 商七步，积四十九步。　商七十步，积四千九百步。 商八步，积六十四步。　商八十步，积六千四百步。 商九步，积八十一步，　商九十步，积八千一百步。 法曰：“置积为实，别置一算，名曰‘《下法》’。”于实数之下，〈自末 位至首常超一位〉约实，一下定一数，千百下定十数；万下定 百数，百万下定千数。实。上商置第一位，得若干，下位 亦置上商若干，名曰“方法”，与上商相呼，除实若干，馀 实若干。乃以二乘方法。〈即倍法也〉得若干，为廉法。续商 置第二位，于上商之次，得若干。下法亦置续商若干， 为隅法。〈隅法者乃曲尺样二廉之角为隅则小方也〉于倍方之次，共若干， 皆与续商相呼，除实尽，得平方一面数。如不尽，仍前 再商之，或数不足，以法命之。何谓之《命若》馀实若干 不尽，却以所商得平方数若干倍之，再添一个，共得 若干，便商得面方多一数也。因此数不足而为之命 平圆，不尽数亦仿此，但立方、立圆于此不同。

若要还原，如算方田法，以面方数自乘，即见积也。 若还原遇面方下原有不尽数者，以面方数自乘，并 入不尽数，便可见积也。

开方求率作法本源图

右图吴氏《九章》内虽有自开平方至五乘方，却不云 如何作用，注释未见详明。今依图式，自上一得二 为平方率，又并。〈三三〉得三三，为“立方率”，又并。〈四六四〉得 四、六四，为三乘方率，向下求出三十馀乘方，皆取自 然生率之妙。今略具五乘方图式，可为求廉率之梯 阶也。

又考其平方形如方田，以平方面自乘，得平方积数， 是一乘方。

其立方形如骰子样，以平方面自乘，得平方积；再以 高方面乘之，得立方积数，是二乘方。

其三乘方，以平方面自乘，得平方积数；再以高方面 乘，得立方积数；又以方面乘，得三乘方积数。故曰“三 乘方。”然其形不知如何模样，只是取数而已。或至十 乘方，三十馀乘方，皆是先贤取生率之妙，以明开方 正律亦不可废。

《开平方》。〈“有实而无法” ，《商约》而除之也。〉

今有平方积三百二十四步，问每方面若干？

答曰：“得每方面一十八步

方廉隅法之图

法曰：置积三百二十四步为实。约初商一十步于实 左，另置下法一十步于实右，名曰“方法。”与上商相呼， 一一除实一百步，馀实二百二十四步。就以方法一 十步倍之，得二十，名曰廉法。又约次商八步于左，初 商一十之次，共得一十八步。亦置八步于实右廉法 二十步之次，名曰隅法，共得二十八步。与左位次商 八步相呼，二八除，实一百六十步。又将左八对右八 相呼，八八除，实六十四步恰尽，若还原，自乘是也。

右《法》以“明方” ，廉隅之名也。

假如今有《阔算盘》共子三百六十一个，问每面子若 干？

答曰：“每面一十九个。”

法曰：“置棋子为实，约初商一十步于实左，另置下法 一十步于实右。左右相呼，一一”除实一百个，馀实二 百六十一个。就以下法一十倍之，得二十。次商九个 于左，初商一十之次。亦置九个于右，倍方二十之次， 共得二十九，皆与左次商九相呼，二九除实一百八 十个。又左九对右九相呼，除实八十一个，恰尽。 今列开平方法定分左中右式。〈凡看字亦照算盘自左至右〉

图

今有方田，积三千一百三十六步。问平一面若干？ 答曰：“五十六步。”

法曰：置田积为实，约实定初商五十步于左，另置下 法五十步于右，左右相呼，五五除实二千五百步，馀 积六百三十六步。就以下法，五十步倍之，得一百步。 次商六步于左，初商五十之下，亦置六步于右，倍方 一百，隔位之下，共得一百零六步。皆与次商六步相 呼，一六除实，六百步。又左六对右六相呼，六六除实， 三十六步恰尽。

今有方田积二十万零七千九百三十六步，问平方 一面若干？

答曰：“四百五十六步。”

法曰：“置方积为实，约初商四百于左位，亦置四百于 右位，为方法。与上商相呼，四四除实一十六万，馀实 四万七千九百三十六步。就以方法四百倍作八百 为廉法。次商五十”于左初商四百之下，亦置五十于 右。廉法八百之下，为隅法。共八百五十，皆与次商五 十呼除。先以左五对右八呼，五八除实四万。又左五 对右五呼，五五除实二千五百，馀实五千四百三十 六步。却以下法，次商五十倍之，并廉共得九百，又为 廉法。又商六步于左初。次商四百五十之下，亦置六 步于廉法九百隔位之下，共九百零六，皆与左。再商 六步呼除。先左六对右九呼，六九除实五千四百。又 左六对右六呼，六六除实三十六步，恰尽合问。 今有方砖一千四百六十一块，欲为平方。问一面方 若干？

答曰：“一面方三十八块，又七十七块之十七。”

法曰：置砖积为实，初商三十块于左，另置下法三十 于右，为方法。左右相呼，三三除实九百，馀实五百六 十一块。就以方法三十倍作六十，为廉法。次商八于 左，初商三十之下，亦置八于右，廉法六十之下，为隅 法。共六十八，皆与上商八相呼，六八除实四百八十。 又呼八八，除实六十四，馀实一十七，不尽，却将所商 三十八倍之，再添一块，共得一方数七十七，命一十 七。何谓之命？以原总数内除去一十七，另加上七十 七，便商，得面方三十九块，因此不及而为之命。馀仿 此。

今有方田积七万一千八百二十四步，问平方一面 若干？

答曰：“每一面方二百六十八步。”

法曰：“置方田积为实”，以开平方法除之。初商二百于 左位，亦置二百于右位，为方法。以左二对右二相呼， 二二除实四万讫，馀实三万一千八百二十四步。就 以方法二百倍作四百，为廉法。次商六十于左，初商 二百之下，亦置六十于廉法四百之下，为隅法。共四百六十，皆与次商六十呼除。先以左六对右四呼，四 六除，积二万四千。又左六对右六呼，六六除，积三千 六百。馀实四千二百二十四步。却以右位次商六十， 倍加六十，于四百之下，共五百二十，皆为廉法。又商 八于左初次商二百六十之下，亦置八于右。廉法五 百二十之下，皆与上商八步呼除。先以左八对右五 呼，除五八除，积四千。又呼二八，除一百六十。又呼“八 八”，除实六十四步恰尽。

一方四廉两隅演段图

《演段。解》曰：其初商二百，自乘，得积四万，是大方积也。 次商六十，内有阔六十，长二百两段，故倍初商二百， 作四百，为廉法，与左次商六十乘，得二万四千，是两 个阔六十，长二百之积。其次商六十，自乘，得三千六 百，是中方积。又商八步，内有阔八步，长二百六十两 段，故倍初次商二百六十，为五百二十，却以八步乘， 得积四千一百六十，是两个阔八步长二百六十步 小廉积也。其又商，八步自乘，得积六十四步，是小方 隅积也。凡平圆先用《开平方》法，后用十二除，为圆。

归除开平方

今有平方积五万四千七百五十六步，问平方一面 若干？

答曰：“二百三十四步。”

《归除开平方法》曰：“置积五万四千七百五十六步为 实于盘中，见实约商二百于实左。另置二百于右下， 左右相呼，二二除实四万步，馀实一万四千七百五 十六步。以右下二百步倍之，得四百步为法。归除之 呼四一二十二，逢四进一十，得商三十步。就置三十 步于右四百之下，相呼三三除实九百步，馀实一千” 八百五十六步。就以右下三十步倍之，得六十步，共 四百六十步为法。归除之，呼四一二十二，逢八进二 十，得商四步。亦置四步于右六之下，相呼，“四六”除，实 二百四十步。又呼“四四”除，实一十六步，恰尽。以左上 所商，得二百三十四步，为平方一面之数也。

今有平方积四百九十步，欲为平方，问每面若干？ 答曰：“每面二十二步又四十五分步之六。”

《归除开平方法》曰：“置积四百九十为实于盘中，见实 四百商二十步于实左。另置二十步于右下，左右相 呼，二二除实四百步，馀实九十步。就以右位二十步 倍之，得四十步为法，归除之，呼逢八进二步，就以二 步于右四十之下相呼，二二”除实四步，馀实六步。不 尽，以直方命之。法曰：以所商二十二步倍之，又添一 步，共得四十五步，为分母，命之曰“四十五分步之六” 也。

解曰：若以积四百九十步，加入四十五步，减去分子六步，仍得五百二十九步，便商二十三步，所谓“不及” ，故为之命也。

归除平方带纵歌

平方带纵法最奇，四因积步不须疑，纵多自乘加因 积，又用开方法除之。再以纵多并开积，折半方为长 数施，若问阔步知多少，将长减却纵多基。

今有直田积一千七百五十步，长比阔多一十五步， 问长、阔各该若干？

答曰：“长五十步，阔三十五步。”

法曰：置积一千七百五十步，以四因之，得七千步。另 以纵多一十五步，自乘，得二百二十五步，相并，共得 七千二百二十五步为实。以开平方法除之，约商八 十于左，亦置八十于右。左右相呼，八八除实六千四 百步，馀实八百二十五步。就以下法八十倍之，得一 百六十步为法，归除之，呼逢五进五，于初商八十之 次，共得八十五步。《下法》亦置五于一百六十之下，共 一百六十五步。左五对右六相呼，五六除实三百步。 又左五对右五呼，五五除实二十五步。恰尽得左商 八十五步。如长阔相和之步，加入纵多一十五步，共 得一百步。折半得五十步。于内，减去纵多一十五步， 馀三十五步，即是阔也。

《带纵开平》方法歌：〈《兼商除》：〉

平方带纵法为奇，下位先安纵步基，上商得数加纵 内，纵方，下法并为题，上下相呼除实毕，倍方不倍纵 开馀，馀数续商方再倍，何愁此术不能知。

法曰：如有田积若干，只云“阔不及长若干。”问阔者几 何，则置田积若干为实，以不及若干为纵，列于下法， 以带纵《开平方法》除之，实上初商得若干。下法亦置初商若干于纵内，共得若干，皆与上商相呼。除实若 干，馀实若干，另以下法，初商若干倍之。〈倍方不倍纵〉次商 若干于左位初商之次，下法亦置次商若干于倍方 之次，共若干，皆与次商相呼，除实尽得阔数，加不及 数为长。若要还原，以所商得阔若干为实，另以所 得商数。〈加上纵多共若干或减不及馀若干〉若干乘之，见积。 今有田积一千七百五十步，只云“长比阔多一十五 步”，问长、阔各若干。

答曰：“长五十步，阔三十五步。”

法曰：置积为实，以多一十五步为纵，列于下位，以带 纵《开平方法》除之。初商三十于左位，另于下法，亦置 三十，加于纵上，共得四十五步，与上商相呼，左三对， 右四呼，三四除实一千二百。又左三对右五呼，三五 除实一百五十。另以下法，初商三十倍，作六十，加，纵 多十五，共得七十五。次商五于左位，另于下法，亦置 五于倍方之下，共八十，皆与次商五相呼，左五对右 八呼，五八除实四百步，恰尽得阔三十五步，加多一 十五步，为长。合问。

又法名减积开平方。置田积为实于中，另置不及十 五步于右位，为减积。上商三十于左位，另以下法， 亦置三十于右，为方法，以乘减积一十五步，得四百 五十步，以减中实，馀实一千三百步。却以初商三十 与上商三十相呼，三三减积九百，馀实四百。就以方 法三十倍作六十，为廉法。次商五步于左，三十之。次 下位亦置五步，以乘减积一十五步，得七十五步。以 减中积，仍馀实三百二十五步。却以下位廉法六十， 并入次商五步，共六十五步，皆与上商五步。呼五六 除实三百五五除二十五步，得广三十五步。《合问》 若问纵照前布列，上商五十步，以乘不及十五步， 得七百五十步，并加前积，共二千五百步。却呼“五五。” 除实二千五百步尽得纵合问。

今有圭田积一百二十六步，阔不及长九步，问长、阔 各若干？

答曰：“长二十一步，阔一十二步。”

法曰：倍田积，得二百五十二步为实，以不及九步为 纵方。于右，上商十步。下法亦置十步于纵九步上，共 一十九步，与上商十步。除实一百九十步，馀六十二 步。另以下法，初商一十倍之，作二十，次商二步于左。 下法亦置二步加于纵方九上，共三十一步。皆与上 商二相呼，除实尽得阔一十二步，加不及九步，得长。 合问。

今有句股田积四百八十六步，只云：句少弦一十八 步，问各若干？

答曰：句阔二十七步，股长三十六步，弦斜四十 五步。

法曰：倍积得九百七十二步为实。以弦差一十八步， 折半得九步，为纵方。开平方法除之，得句二十七步， 加差一十八步，为弦斜四十五步。另以句自乘，弦自 乘，二数相减，馀一千二百九十六步为实。以开平方 法除之，得股长三十六步。合问。

今有句股田积四百八十六步，只云“股少弦九步”，问 各若干？

答曰：“股三十六步，句二十七步，弦四十五步。”

法曰：三因积，得一千四百五十八步为实。以弦差九 步，折半，得四步五分，为纵方。开平方法除之，得股长 三十六步。加九步，为弦四十五步。另以股自乘、弦自 乘，二数相减，馀七百二十九步为实。以开平方法除 之，得句阔二十七步。合问。

《长阔相和歌》：〈与减《纵》《开平》方法同。〉

“长阔相和不识情，四因积步莫差争。”和步自乘减去 积，馀用《开方》差步名。却将和步加差步，折半当为长 数成。要知阔步如何见，长步减差阔便明。

今有直田积一千九百二十步，长、阔相和九十二步， 问长、阔各若干？

答曰：“长六十步，阔三十二步。”

法曰：置田积，以四因之，得七千六百八十步。另以和 步九十二步自乘，得八千四百六十四步。减去因积， 馀七百八十四步为实。以开平方法除之，得长阔相 差二十八步，加入和步九十二步，共一百二十步，折 半，得长六十步。内减差步二十八步，馀得阔三十二 步。合问。

又法，名减纵《开平方》。置田积一千九百二十步为实， 以相和九十二步于右为减。纵上商三十，以减九十 二步，馀纵六十二步，与上商三十相呼，三六除实一 千八百。又呼，二三除六十，馀实六十步。又以上商三 十再减，馀纵六十二，仍馀纵三十二。次商二，又减纵 二，馀纵三十，与次商二相呼，二三除实六十。合问。 若先问长者，仍前布列，先商长六十，减纵，亦得。 今有句股田积九百六十步，长、阔相和，九十二步，问 长、阔各若干？

答曰：长六十步，阔三十二步法曰：“置田积，以八因之。”〈或倍田积以四因同〉得七千六百八十 步。另以和步自乘，得八千四百六十四步，相减，馀七 百八十四步，以平方开之，得长阔相差二十八步。加 入和步，共一百二十步，折半得长六十步。内减差步 二十八，馀得阔三十二步。《合问》：若以减纵开平方 法算，置积倍之，得一千九百二十步为实。以相和九 十二步为减纵，如前商之，即得。

《长阔相差》歌：〈与“带《纵开平》” 方法同。〉

长阔相差要识情，积数将来以四乘，差步自乘，加入 积开方得数，以《和名》。“和步加差须折半，此为长数更 无零。以长减差便为阔，学者留心仔细寻。”

今有直田积一千九百二十步，长、阔相差二十八步， 问长、阔各若干？

答曰：“长六十步，阔三十二步。”

法曰：置田积，以四因之，得七千六百八十步。另以相 差二十八步自乘，得七百八十四步，加入积数，共八 千四百六十四步，为实。以开平方法除之，得长阔相 和九十二步，加入差步二十八，共一百二十步，折半， 得长六十步。内减相差二十八步，馀得阔三十二步。 合问。

又法名“带纵”开平方。置田积一千九百二十步为实， 以相差二十八步为带。纵列于右。上商三十于左，右 位亦置三十，加于纵上，共得五十八步。皆与上商三 十相呼，三五除实一千五百。又呼，三八除实二百四 十，馀实一百八十。另以下法，初商三十倍之，得六十， 加差二十八，共得八十八步。次商二于左，三十之。次 下法亦置一于倍方之次，共九十步，皆与次商二相 呼，二九除实，一百八十恰尽，得阔三十二步，加差二 十八步，得长六十步。《合问》如句股出积，长阔相差， 问答。倍积用法同前。

平圆法歌

平圆之法：若求周，十二乘积数，可求求径四因，三而 一，开平方法，以除收。

法曰：问外周者，置积若干，以圆法十二乘，得若干为 实，以开平方法除之，得周。若要还原如圆田，以外周 自乘，又以十二除之，见积若周下原有不尽数者，以 周自乘，并入不尽，以十二除见积。问径者，置积若 干，以四因三归，得若干为实，以开平方法除之，得径。 算圆居方四分之三，故用四因三归之。若要还原如 圆田，以径自乘，并入不尽数，以三因四归之，见积。 若问周、问径，遇有馀积，不尽之数，依《开平方法》下命 之。

今有圆田积二千三百五十二步。问平圆周若干？ 答曰：“周一百六十八步。”

法曰：置圆田积步，以十二乘之，得二万八千二百二 十四步为实，以开平方法除之。初商一百于左位，于 下法亦置一百为方法。呼一一除积一万，馀积一万 八千二百二十四，就以方法一百倍之，得二百，为廉 法。续次商六十于左，初商一百之下，右位亦置六十， 于廉法。二百之下，为隅法，共二百六十，皆与上商六 十呼除。先呼“二六”，除积一万二千，又呼六六，除积三 千六百，馀积二千六百二十四，另以右位。次商六十 倍作一百二十，并入廉法二百，共三百二十，又为廉 法。再商八步，于左位初次商一百六十之下，于右位 亦置八步，又为隅法。于廉法之下，共三百二十八，皆 与上商八呼除。先呼三八，除积二千四百，又呼二八 除，积一百六十，又呼八八除，积六百四十，恰尽。 今有圆田积二千三百五十二步。问“平圆径若干？” 答曰：“径五十六步。”

法曰：置积步，先以四因，后用《三归》，得三千一百三十 六步为实，以《开平》方法除之。初商五十于左位，亦置 五十于右位，为方法。左右相呼，五五除积二千五百， 馀积六百三十六步，却以右位五十倍作一百，为廉 法。次商六于左，初商五十之。次亦置六于右。廉法一 百，隔一位下为隅法，共一百零六，皆与上商六相呼， 一六除积，六百。又左六对右六呼，六六除积，三十六 步恰尽。

今有圆积五万四千个，欲为平圆，问径若干？

答曰：“径二百六十八个，又五百三十七个之一百七 十六。”

法曰：置积数，先以四因，后用三归之，得七万二千为 实。以开平方法除之。初商二百于左位于下法右位。 亦置二百，为方法。呼“二二”除积四万，馀积三万二千。 就以右位，二百倍之，得四百，为廉法。次商六十于左， 亦置六十于右。廉法四百之次，为隅法。相呼，“四六”除 积二万四千。又呼“六六”除积三千六百，馀积四千四 百。却以右位六十倍之，并入廉法，共五百二十，皆为 廉法。又商八于左，二百六十之次，右位亦置八于廉 法之次，共五百二十八，皆与上商八呼除。先呼五八， 除积四千。又呼二八，除积一百六十。又呼八八，除积 六十四，馀积一百七十六。不尽，却将所商数倍之，再加一个，得五百三十七，命之一百七十六，若于总内， 减去一百七十六，加上五百三十七，便商得径二百 六十九也。

开平方通分法

今有积一千五百九十步、六十四分步之一，问平方 一面若干？

答曰：“三十九步又八分步之七。”〈即八分七釐五毫〉 法曰：置积一千五百九十步，以分母六十四分乘之， 加入分子一，共得一十万零一千七百六十一分。以 开平方法除之，得方面三百一十九分为实。另以分 母六十四，以《开平》方法除之，得八分为法。除之，得方 面三十九步。不尽七，命之曰八分步之七。

今有方田一段，面方四步一十八分步之一十七，问 斜弦步、方积步各若干。

答曰：“斜弦七步，方积二十四步五分。”

法曰：置四步，以分母一十八乘之，加入分子一十七， 共得八十九步。自乘，得七千九百二十一步。另以分 母、分子相减，馀一以乘分子，十七如故。并前共得七 千九百三十八步为实。另以分母十八自乘，得三百 二十四为法，除之，得二十四步五分，为方积。倍之，得 四十九步。以《开平》方法除之，得斜弦七步。但方面 下有零分数，求积者仿此。

右《商法》“开方” 归，除开方二者，听从人便。

方圆三棱总歌

方圆三棱求周数，各减总一分，明布十六乘方带纵 八，十二乘圆加纵六十八，三棱添纵九，俱用带纵开 方术，倍方不倍纵开除，何愁外周不知数。

还原束法歌

四方之束添八乘，十六归除数颇明圆束外周加六 凑，乘来十二法除清。三角加九乘周数，十八归除不 差争，各要临时添一数。〈即中心也〉束积推详数可成。 今有方箭八十一，根，问外周若干。

方箭图

答曰：“外周三十二根。”

《法》曰：〈此是八个，周中包一。〉置方箭八十一根，减去中心一根，馀八十根，以十六乘之，得一千二百八十根，为实。

于中位，以八为纵，列于右位，用带纵、《开平方法》除之， 初商三十于左位。《下法》亦置三十于右纵八之上，共 三十八。左右对呼，三三除实九百。又左三对右八呼， 三八除二百四十。就以下法，初商三十，倍作六十。〈不倍 纵〉次商二于左，初商三十之次。下法亦置二于倍方 之次，共得七十。左二对右，七呼，二七除实一百四十， 恰尽得周三十二根。《合问》。

今有方箭一束，外周三十二根，问总积若干？

答曰：“八十一根。”

法曰：置外周三十二根于左，亦置三十二根于右，加 内周八，共四十，相乘得一千二百八十，为实。以方束 法十六除之，得八十，加上中心一，共得八十一根。《合 问》。

凡方物，乃是八个周中包一，自内之外，每层加八；自外之内，每层减八。故以八归外周，即知层数。如外周三十二，是四八即是四层。馀仿此。

今有圆箭一百二十七根，问外周若干？

答曰：“外周三十六根。”

圆箭图

《法》曰：〈此是六个。周中包一。〉置圆箭一百二十七根，减去中心一，馀一百二十六根。以十二乘之，得一千五百一十二根，为实。于中以纵六列于右，

用带、纵、《开平方法》除之，初商三十于左。下法亦置三 十于右，纵六之上，共三十六。左右相呼，“三三”除实九 百。又呼，“三六”除实一百八十，就以右位初商三十倍 作六十。〈不倍纵〉次商六于初商三十之次，下法亦置六 于倍方之次，共七十二。左六对右七呼，六七除实四 十二，又左六对右二呼，二六除实一十二，恰尽《合问》。 今有圆箭一束，外周三十六根，问总积若干？

答曰：“一百二十七根。”

法曰：置外周三十六于左，亦置三十六于右，加内周 六，共四十二，相乘，得一千五百一十二，为实。以圆束 法十二除之，得一百二十六，加中心一，合问。

凡圆物，乃是六个，周中包一，自内之外，每层加六；自外之内，每层减六。故以六归外周，即知层数。如外周三十六是六，六即是六层。馀仿此。

今有三棱物九十，一个问外周若干。

三棱图

答曰：“外周三十六个。”

《法》曰：〈此是九个，周中包一。〉置三棱物九十一个，减去中心一个，馀九十个。以十八乘，得一千六百二十个为实。

以九为纵，列于右，用带纵、《开平方法》除之。初商三十 于左。下法：亦置三十于右，纵九之上，共三十九。左右 相呼，三三除实，九百。又呼，“三九”除实，二百七十除实 四百五十。另以下法，初商三十倍作六十。〈不倍纵〉共六十九，次商六个于左初商三十之次。下法亦置六于 倍方之次，共七十五。以左六对右七呼，六七除实四 百二十。又左六对右五呼，五六除实三十，恰尽合问。 今有《三棱物外周》三十六个问，总积若干？

答曰：“九十一个。”

法曰：置外周三十六于左，亦置三十六于右，加内周 九，共四十五，相乘，得一千六百二十，为实。以束法十 八除之，得九十，加中心一合问。

凡三棱物，乃是九个，周中包一，自内之外，每层加九；自外之内，每层减九。以九归外周，即知层数。如外周三十六，是四九即四层。馀仿此。

假如方箭积六十，四根问外周若干。

答曰：“外周二十八根。”

法曰：此是双层者，只以方箭积为实，以《开平》方法除 之，得一面方八根；却减去一根，得七根。以四因，得外 周二十八根。若前方箭积八十一根，乃是单层者。 若只以方箭为实，以开平方法除之，得一面方九根； 却减去一根，得八根。以四因，亦得外周三十二根。

面方八数为双，乃八八六十四也；九数为单，乃九九八十一也。此法捷径无差，双层、单层皆可用。

《演段根源》，《开方图解》。

夫算之术，“入则诸问，出则直田。”盖直田能致诸用，而 有此说，故立“演段”，盖欲演算之片段也。知片段则能 穷根源，既知根源而心无朦昧矣。今摘《数问》详注图 解，以明后学，其馀自可引而伸之，不待尽述。

直田“长阔相乘” ，与《万象》同意。

今有直田，积八百六十四步，只云“阔不及长一十二。”

带纵平方图

步问长阔各若干答曰长三十六步阔二十四步

法曰置积为实以不及十二列于右为带纵开平方法除之初商二十于左下法亦置二十加于纵上共三十二皆与上商二十相呼除实六百四十馀实二

百二十四，却以下法，初商二十倍之，共五十二。次商 四于初商二十之次。下法亦置四于倍方之次，共五 十六。皆与左次商四相呼，除实恰尽，得阔二十四步。 加差一十二步，得长三十六步。《合问》。

今有直田积八百六十四步，只云“长、阔相差一十二 步。”问“长、阔相和共若干？”

答曰：“长阔相和六十步。”

法曰：置田积，以四因，得三千四百五十六步。另以差 一十二步自乘，得一百四十四步，并四因积，共三千。

长阔相差求和图

六百步乃是相和之积用开平方法除之得长阔相和六十步合问若问长数加差折半即得

演段解曰四因积者乃是四长四阔积居边共三千四百五十六步却以相差一十二步自乘得一百四十四步补中得相和积二

千六百步，以《开平方法》除之，得长阔相和六十步也。 今有直田积八百六十四步，只云“长阔相和六十步。” 问长、阔相差若干？

答曰：“长阔相差一十二步。”

法曰：置田积，以四因，得三千四百五十六步。另以相 和六十步自乘，得三千六百步，却减去四因积三千 四百五十六步，馀一百四十四步，乃相差自乘积，用 开平方法除之，得长阔相差一十二步。合问。

《长阔相和求差》图同前。

解曰：其相和六十步，自乘积三千六百步，内有四因积四个，共三千四百五十六步，居边有一个相差。自乘积一百四十四步，用开平方法除之，得长阔相差十二步。

今有直田，积八百六十四步，只云“长、阔相和。六十步， 问长、阔各若干？”

答曰：“长三十六步，阔二十四步。”

法曰：置积为实，以相和六十步于右，为减纵。开平方 法除之，上商二十于左，就将右纵减去上商二十馀。

减纵开方图

四十与上商二十相呼除实八馀实六十四步又以上商二十再减馀纵二十仍馀纵二十次商四步亦减馀纵二十仍净馀纵十六与次商四相呼除实尽得阔二十四步以减相和六十步馀得长三十六步合问

减纵翻

解曰若不益积便用减纵或有不可益积者须用减纵之术先问阔者用此若先问长则用减纵翻积法法曰置积为实以相和为减纵开平方法除之上商三十以减纵六十馀纵三十与上商三十相呼合除

积九百，而积实不及，乃命翻法。除原积八百六十四， 馀负积三十六，为实。再置上商三十以减馀，纵三十 讫次商六步。下法亦置六为隅法。与上商六呼除负 积，恰尽，得长三十六步。合问。

今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步。只云 “方面、圆径适等。”问方、圆径各若干？

答曰：“方面、圆径各一十二步。”

法曰：置共积为实，以四因，得一千零八步，并方四、圆 三，共七为法，除之，得一百四十四步，以开平方法除。

方圆求径图

之得方面一十二步圆径亦同

术曰四因方圆共积得四个方积四个圆积其四个圆积恰折三个方积故用七除得一个方积以开平方法除之得方圆径旧法四因共积得一千零八步为实以开平方法除

之，并方四圆三，共七，为隅。于下法：初商一十，以隅七 乘，得七十，为方法。与上商一十相呼，除实七百，馀实 三百零八步，另倍方法，得一百四十，为廉法。次商二 步，以隅七乘，得十四，并入廉法一百四十，共一百五 十四，与次商二步相呼，除实恰尽合问。

减积带纵开平方

今有大小方田二段相并，共积四百步，只云“大方田 面比小方田面多四步。”问大小方面并积各若干？ 答曰：“大方面一十六步，计积二百五十六步；小方 面一十二步，计积一百四十四步。”

法曰：置共积于中，另置大方田面多小方田面四步 自乘，得一十六步，以减共积四百步，馀积三百八十 四步，折半得一百九十二步，为实。又另置大方面多 小方面四步，为纵方。以带纵、开平方法除之，初商一 十于左。下法：亦置一十于纵方之上，共一十四步，皆 与上商一十相呼。除实一百四十步，馀实五十二步。 却以下法，初商一十，倍作二十，并入纵四步，共二十 四步。次商二步于左。初商一十之。次《下法》亦置二步。

方积带纵开平方图

于纵方之次共二十六步皆与次商二步相呼除实恰尽得小方面一十二步加四步得大方面一十六步各以方面自乘得各积合问

解曰共积是一段大方积一段小方积其大方积内有一段小方积一

段大多小方自乘积，如隅。又大多小的两段长阔积，如廉，每廉长即小方面数，阔即大多小数。先用大多小方步数自乘，得数以减共积者，是减。云大方田一段小隅积，馀积折半，是一段小方积，一段长阔廉积。〈就如一段直田。〉用带纵开平方法除之，求出一段小方面数，加多步，为大方数也。

今有大、中、小方田三段相并，共积八百步。只云：“大方 田面比中方田面多四步，中方田面比小方田面多 四步。”问“大半、小方面并积各若干？”

大小三方总一图

答曰大方面二十步计积四百步中方面一十六步计积二百五十六步小方面一十二步计积一百四十四步

法曰置共积于上另置大方面多小方面八步自乘得六十四步又以中方面多小方面四步自乘得一

十六步，并二数共八十步以减，共积八百步，馀积七 百二十步。以三归之，得二百四十步，为实。初商一十 自乘，得一百步，以减实积，馀实一百四十步。次商二 并初商共十二自乘，得一百四十四。内除初商自乘 一百，馀四十四，以减馀实，又馀实九十六，却以三因， 得二百八十八。另并大方多中四、小八，共十二，倍之， 得二十四，与初商十步相呼，一二除二，一四除四。又 与次商二相呼，二二除四，二四除八，得小方面十二 步。加多四步，得中方面十六步。又加多四步，得大方面二十步。各以方面自乘，得各积《合问》。

若四段则用《四归》。五段则用《五归》。

假如大小圆田二段共积，只云大圆径多小圆径者， 法置共积，以四因三归，得数仍如前方田算。或只云 “大圆周多小圆周”者，法置共积，以十二乘，得数仍如 大小方田算。

假如大、小立方二所共积，只云“大立方面多小立方 面”者，法置共积，另置大立方面多小立方面数自乘、 再乘，以减共积，馀积折半为实。初商自乘、再乘，得数 除，实讫，次商若干，并入初商，共若干，自乘、再乘，得数 内减去初商自乘、再乘数馀若干，除实讫，仍馀实若 干倍之，却以大多小数并入初商、次商数共若干，以 初次商若干乘，得数又以大多小数乘，得若干，却以 三因之，得若干。除实恰尽，得小立方面数；加多数，得 大立方面数。各以方面自乘，再乘，得各积立方。三所 共积，用三归，若四所共积，用四归。馀仿此。

《开立》方法歌：〈自乘为平方，再乘为立方。〉

自乘，再乘除实积，三因初商方另列，次商遍乘，名为 廉。方法乘廉除次积，次商自再乘，名隅，依数除积方 了毕。初次三因又为方。三商遍乘仿此的。

认商歌

一千商十定无疑，三万才为三十馀，九十九万不离 十，百万方为一百推。

解曰：谓如积一千步，约商一十步。又如积三万，就约商三十步。又如积九十九万步，就约商九十步。如积一百万步，可约商一百步。乃自乘、再乘之积而求原数也。此谓有实无法，故曰“约之。”

商一步　　积一步起至七步止，皆商一步。

商二步　　积八步起，至二十六步止。

商三步　　积二十七步起，至六十三步止。

商四步，　　积六十四步，起至一百二十四步止。 商五步，　　积一百二十五步，起至二百一十五步止。 商六步，　　积二百一十六步，起至三百四十二步止。 商七步，　　积三百四十三步，起至五百一十一步止。 商八步，　　积五百一十二步，起至七百二十八步止。 商九步，　　积七百二十九步，起至九百九十九步止。 商一十步，　积一千步，起，至七千步止。

商：二十步　积八千步起，至二万六千步止。

商：三十步　积二万七千步起，至六万步止。

商四十步，　积六万四千步起至一十二万步止。 商五十步，　积一十二万五千步，起至二十一万止。 商六十步，　积二十一万六千步起至三十四万止。 商七十步，　积三十四万三千步起至五十一万止。 商八十步，　积五十一万二千步起至七十二万止。 商九十步，　积七十二万九千步，起至九十九万止。 商一百步，　积一百万步起，至七百万步止。

已上皆言“初商” 首位之积，以所商自乘、再乘之数，次商用法不同。

法曰：置积为实，别置一算，名曰“下法。”于实数之下。〈自末 位至首常超二位〉约实自千至九十馀万俱定十及百万后， 俱定百实。上商置第一位，得若干。下法亦置初商若 干，自乘再乘得若干，除实讫，馀实若干。却以三乘下 法初商若干，得若干，为方法列位。次商置第一位于 初商之次，得若干。下法亦置次商若干，于初商之次， 共得若干。就以次商若干，遍乘得若干，为廉法。再以 方法乘廉得若干，除实讫，馀实若干，却以次商若干 自乘，再乘得若干，为隅法，除实尽，得立方面数。若有 不尽数，仍前再商之，或有不尽数，以法命之。何谓之 “命若”馀实若干，不尽，却以所商得立方数若干自乘 得若干，又以三因之，得若干，另以所商得立方数若 干，用三因之，得若干，再添一个，共得若干，便商得多 一立方数也。因此不及而为之命也。〈立圆法遇有不尽者亦仿此〉 若要还原，以立方面自乘，再乘见积。若还原，遇立方 原有不尽数者，以立方面自乘、再乘，并入不尽数见 积。

今有物三千三百七十五尺，问立方面若干？

答曰：“立方面一十五尺。”

法曰：置物三千三百七十五尺为实。约初商得一十 于左。下法亦置一十于右。自乘得一百，再乘得一千。 除实讫，馀实二千三百七十五尺。却以三乘下法一 十，得三十，为方法，列位次商五尺于左。初商之次。下 法亦置次商五于初商一十之次，共一十五，就以五 遍乘之，得七十五，为廉法。再以方法三十乘廉法七 十五，得二千二百五十，除实讫，馀实一百二十五，恰 以次商五自乘，再乘，得一百二十五，为隅法。除实恰 尽。

图

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图

今有积一百九十五万三千一百二十五尺，问立方 面若干？

答曰：“立方面一百二十五尺。”

法曰：置积尺数为实，约初商一百自乘再乘，得一百 万，除实讫馀实九十五万三千一百二十五尺。恰以 三乘下法一百，得三百为方法，列位。次商二十于初 商一百之次，下位亦置二十于初商一百之次，共一 百二十，就以二十乘之，得二千四百，为廉法。再以方 法三百乘廉法，得七十二万，除实讫，馀实二十三万 三千一百二十五尺。恰以次商二十自乘，再乘得八 千，为隅法。除实讫，馀实二十二万五千一百二十五。 另以三乘下法一百二十，得三百六十，又为方法，列 位。再商五于左初次商一百二十之下，共一百二十 五，就以五乘之，得六百二十五，又为廉法。再以方法 三百六十，乘廉法六百二十五，得二十二万五千，除 实讫，再以再商五自乘，再乘，得一百二十五，又为隅 法，除实恰尽。合问。

今有积四千一百五十尺，问立方面若干？

答曰：立方面一十六尺，又八百一十七之五十四。 法曰：置积为实。初商一十，自乘再乘，得一千尺。除实 讫，馀实三千一百五十。却以三乘下法一十，得三十 为方法，列位。次商六尺于上。初商一十之次，共一十 六，就以六乘之，得九十六，为廉法。再以方法三十乘 廉法九十六，得二千八百八十。除实讫，馀实二百七 十。恰以次商六自乘，再乘得二百一十六，为隅法。除 实讫，馀实五十四尺，不尽，以法命之，却以所商立方 一十六尺自乘，得二百五十六，又以三因，得七百六 十八，另以十六以三因之，得四十八，再添一个并入， 共得一立方数，积八百一十七之五十四也。何谓之 命？以原总数除去五十四，加上八百一十七，便商得 面方一十七，因此不及而为之命。

假如今有银一万两，《问立方》每面若干？

答曰：“八寸九分三釐。”〈有畸难尽〉

法曰：置银一万两为实，以银率每寸一十四两为法。 除之，得七百一十四寸二分八釐，又为实。以开立方 法除之。初商八寸于左，亦置八寸于右，为下法。自乘 得六十四寸，再乘得五百一十二寸。除实讫馀实二 百零二寸二分八釐。却以三乘下法八寸，得二十四 寸，为方法。次商九分于初商八寸之次，亦置九分于 右初商八寸之次，共八寸九分。就以九分遍乘，得八 寸零一，为廉法。再以方法二十四寸乘廉法，得一百 九十二寸二分四釐，除实讫，馀实十寸○○四毫。恰 以次商九分自乘，再乘得七寸二分九釐，除实讫，馀 实不尽一寸七分五釐。