欽定古今圖書集成/曆象彙編/曆法典/第120卷

曆象彙編 曆法典 第一百十九卷 欽定古今圖書集成
曆象彙編 第一百二十卷
曆象彙編 曆法典 第一百二十一卷


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欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

 第一百二十卷目錄

 算法部彙考十二

 算法統宗八少廣章第四下 商功章第五 均輪章第六

曆法典第一百二十卷

算法部彙考十二编辑

《算法統宗八》
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少廣章第四下编辑

分田截積法下

原有直田一坵,今從東北角截句股形積三十八步 七分二釐,其股數與句數相同,問該田若干?

答曰:「東北角各八步八分。」

法曰:置截積三十八步七分二釐,倍得七十七步四 分四釐為實。以開平方法除之,得截東北角各八步 八分。合問若還原,以句股自乘,折半,即得。

梯田截積歌

梯田截積細端詳,倍積闊差乘最良,卻用原長為法 則,歸除乘數實之行。若截大頭田積步,大闊自乘減 實當。若截小頭田積步,小闊自乘,併實傍,俱用開方 為截闊。兩廣併來折半強,折半數來為法則,法除截 積便知長。

今有梯田,長九十步,西廣二十步,北廣三十八步。今

梯截小頭圖

梯截小頭圖

自南邊小頭截積八百二十二步五分,問截長闊各若干?答曰:「截上長三十五步,截中闊二十七步。」

法曰:置截積八百二十二步五分,倍之得一千六百 四十五步,以二廣相減,餘一十八步為闊差。以乘倍 積,得二萬九千六百一十步,以原長九十步除之,得 三百二十九步。另以小頭自乘,得四百步,併入三百 二十九步,共七百二十九步為實。以開平方法除之, 得截闊二十七步。就以截闊二十七步併小頭原闊 二十步,共四十七步,折半,得二十三步五分為法。以 除截積八百二十二步五分,得截長三十五步。《合問》 今有梯田長九十步,小頭闊二十步,大頭闊三十八

梯截大頭圖

梯截大頭圖

步。今自大頭截積一千七百八十七步五分,問截長闊各若干?答曰:「截下長五十五步,截中闊二十七步。」

法曰:置截積倍之,得三千五百七十五步。以大小二 闊相減,餘一十八步為闊差。以乘倍積,得六萬四千 三百五十步,以原長九十步除之,得七百一十五步。 另以大闊三十八步自乘,得一千四百四十四步,減 去七百一十五步,餘七百二十九步為實。以開平方 法除之,得二十七步,為截中闊。就以此闊二十七步 併大頭原闊三十八步,共得六十五步,折半得三十 二步五分為法。以除截積一千七百八十七步五分, 得截長五十五步。《合問》,若作三叚分者,先截大小 二頭長併中闊,餘長即是中叚數也。或又作四五 叚分者,亦先截去大小二頭長闊,再將原長內減截 去二頭長數、餘長步數併截二叚中廣,復作梯法截 之是也。其斜形截法與梯形同理,如截東西兩 旁積,具載《難題少廣章》中。

環田截積歌

環田要截外周積,倍積二周差步乘原徑,為法,除見 數,另以外周周自乘,以少減多,餘作實開方便,得內 周成二周相減餘零數六而取一徑分明。

今有環田,外周七十二步,內周二十四步,徑八步,今

環截外圓圖

環截外圓圖

自外周截積二百八十五步。問截中周併徑若干?

答曰:中周四十二步,截徑五步。法曰:「置截積二百八十五步,倍之,得。」

五百七十步,卻以外周減內周二十四步,餘四十八 步,為差步。以乘倍積五百七十步,得二萬七千三百 六十步。以原徑八步除之,得三千四百二十步。又置 外周七十二步,自乘,得五千一百八十四步,以少減 多,餘一千七百六十四步,為實。以《開平方法》除之,得 中周四十二步。以減外周七十二步,餘三十步,以六 除之,得徑五步。合問。

今有環田,外周七十二步,內周二十四步,徑八步。欲

環截內周圖

環截內周圖

從內周截積九十九步。問截中周併徑若干?

答曰:「中周四十二步,徑三步。」 法曰:「先將內外二周併之,折半以徑。」

乘之,得總積三百八十四步。內減今截內積九十九步,餘二百八十五步,即是前截外周積也。

圓田截積

「今有圓田,中徑一十三步。今從邊截積三十二步。」問。

圓田截積圖

圓田截積圖

所截弦矢各若干

答曰:「弦一十二步,矢四步。」

法曰:倍積得六十四步,自乘,得四千零九十六步,為實。另以四因積三十。

二步,得一百二十八步,為上廉。又以四因徑一十三 步,得五十二步,為下廉。以五為負隅,用開三乘方法 除之,商四步於左上為法,以乘上廉,得五百一十二 步。就以商四乘隅五,得二十,以減下廉五十二步,餘 三十二。另以商四自乘,得一十六,以乘下廉三十二, 得五百一十二,併上廉五百一十二,共一千零二十 四,為下法。除實,得矢四步,另置積倍之,得六十四步, 以矢除之,得一十六步,減矢四步,餘得弦一十二步。 《合問》:

今有圓田徑二十六步,今從旁截一弧矢積一百二 十八步,問截弦矢各若干?

答曰:「矢八步,弦二十四步。」

法曰:倍積自乘,得六萬五千五百三十六步為實。另 以四因積,得五百一十二步,為上廉。又以四因徑,得 一百零四步,為下廉。又以五為負隅,法商得八,於左 上為法。以乘上廉,得四千零九十六步。又以商八乘 隅五,得四十,以減下廉,餘六十四步。另以商八步自 乘,得六十四步,以乘餘下廉,得四千零九十六步。併 上廉,共八千一百九十二步,為下法除實,得矢八步 也。若問求弦法曰:置積倍之,得二百五十六步,以 矢八除之,得三十二,於內,減矢八步,餘得弦二十四 步。合問。

弧矢法

《圓徑與截矢》,求截弦歌:

圓徑與矢求弧弦,半徑自乘,立一邊,另以半徑減去 矢,餘亦自乘,減卻,前又餘,平方開見數倍之,名即是 弧弦。

假如有圓徑十寸,弧矢闊一寸,問截弦若干?

答曰:「弦六寸。」

弧矢內股弦求句圖

弧矢內股弦求句圖

法曰置半徑五寸為弦自乘得二十五寸另以半徑五寸減矢一寸餘四寸為股自乘得一十六寸相減餘九寸平方開之得三寸為句倍之得六寸為截弧弦即是二句相併為弦餘皆倣此

又法以圓徑自乘得一百

寸為弦冪。另以圓徑減倍矢二寸,餘八寸。自乘,得六 十四寸,為股冪;相減餘三十六寸,為句冪。平方開之, 得全弦六寸。

《圓徑與截弦》求截矢歌:

圓徑與弦求截矢:半徑,為弦自乘,是弧弦折半名為 句,亦自乘之,相減矣。餘用開方,得股數。半徑減股,餘 者,矢。

假如有圓徑十寸,弧弦長八寸,問截矢若干?

答曰:「矢二寸。」

弧矢內句弦求股圖

弧矢內句弦求股圖

法曰以半俓五寸為句股之弦另以弧弦八寸折半得四為句各自乘相減餘九寸平方開之得股三寸以減半徑五寸餘二寸即矢圓徑與截矢求截弧背其截弦求弧背同術曰先求出弦徑除矢冪得半弦背差

解曰:「圓之大小,本於弧背之長短,係於圓之大小與矢之多寡。假如平圓十寸,平分一半,則矢長五寸」 ,自乘得二十五寸,以徑除之,得二寸五分為半弦背差倍之,得五寸,加入圓徑,得一十五寸為半圓周。故不論圓之大小,矢之多寡,皆準也。

弧矢求積,積求弦矢。調寄《西江月》:

一叚田禾之外東邊,近有荒坵,離邊五步繫頭牛,只 為繩長,遊走,踐跡五分,八步,如同弧矢弦。疇索長多 少是根由,演立天源窮究。

原在難題《少廣章》中,無圖,今共圖之於此,以便檢閱,併具法於後。

假如今有弧矢田積一百二十八步,離徑五步,問矢 闊、弦長各若干。

答曰:索長一十三步,弧周二十八步有零,矢闊 八步,離徑五步,弧弦二十四步,圓徑二十六。

步。

法曰:置積一百二十八步為實,另以此數倍之,得二 百五十六步,以開平方法除之,得一十六步,為法。除

弧矢求積積求弦矢圖

弧矢求積積求弦矢圖

實得矢八步加法十六共二十四步是弦長折半得一十二步自乘得一百四十四步為實以矢八步為法除之得一十八步加矢八步共得圓徑二十六步若問索長以矢八步加離邊五步乃是索長一十三步合問

弧矢求積歌

弧矢求積《弧矢形丈量之法》註:「分明弧矢弦長,併矢 步半之,又用矢相乘。」

《法》曰:置弦二十四步,併矢八步,共三十二步,折半得 一十六步。以矢八步乘之,得積一百二十八步。

積求弧弦歌

弧矢之積求弧弦倍積,以矢除為先,除來之數,減去 矢餘存此,即是弧弦。

法曰:置積一百二十八步,倍之,得二百五十六步,為 實。以矢八步為法,除之,得三十二步,減矢八步,餘得 弧弦二十四步。

積求矢闊歌

《積求》矢闊倍為實,弦為縱方莫教遲。商於左位右併 縱,前後呼除矢得宜。

法曰:置積一百二十八步,倍得二百五十六步為實。 以弦二十四步於右為縱方。約初商八步於左,亦置 商八步於右,縱方二十之下,共三十二步,皆與上商 八相呼。三八除實二百四十,二八除實一十六步,恰 盡,得矢八步。

《弦矢求圓徑》併《離徑》歌:

弦矢求圓徑可推。半弦自乘,矢除之,再加矢闊為圓 徑。半之,減矢離無疑。

法曰:置弦二十四步,折半得一十二步,自乘得一百 四十四步,為實。以矢八步為法,除之,得一十八步,再 加矢闊八步,得圓徑二十六步。復折半得一十三步。 減矢八步,餘為離徑五步。

圓徑及弧徑求離徑併矢闊歌:

徑弦求離徑矢闊圓徑弧弦各折半,各自乘減餘,開 方離徑、圓徑弧矢辨。

法曰:置圓徑二十六步,折半,得一十三步;自乘,得一 百六十九步。另以弧弦二十四步,折半,得一十二步; 自乘,得一百四十四步。二數相減,餘二十五步。以《開 平方法》除之,得離徑五步。另以圓徑二十六步,折半, 得一十三步。減離徑五步,餘為矢八步。

圓徑及矢闊,求弧弦歌:

圓徑矢闊求弧弦。圓徑矢闊減餘,存復,以矢闊乘,為 實,開方倍之,得弧弦。

法曰:置圓二十六步,減矢八步,餘一十八步。以矢八 步乘之,得一百四十四步。以《開平方》法除之,得一十 二步。倍之,得弧弦二十四步。

弧弦及離徑求圓徑歌

弧弦離徑求圓徑,弧弦折半自相乘,離徑自乘,併為 實,開方倍數為圓徑。

法曰:置弦二十四步,折半得一十二步,自乘得一百 四十四步,以離徑五步自乘,得二十五步,相併得一 百六十九步,為實。以《開平方法》除之,得一十三步,倍 之得二十六步,為圓徑。

圓徑及離徑求弧弦歌

圓徑、離徑求弧弦。圓徑折半自相乘,離徑自乘,減餘 實,開方倍得弧弦成。

法曰:置圓徑二十六步,折半得一十三步,自乘,得一 百六十九步,以離徑五步自乘,得二十五步,相減,餘 一百四十四步為實。以《開平方法》除之,得一十二步, 倍之得弧弦二十四步。

解曰:弧矢狀類句股,句股得直方之半,故倍其積,以股除之,即得句弧背曲。倍積則長一弦而又一矢。以矢乘積倍之,恰得一弦一矢之數。因未知矢,故以積自乘為實,約矢一度乘積以為上廉,兩度乘徑以為下廉,併之為法,而後可以得矢。用三乘者何也?積本平方,以積乘積,是兩度平方矣。故用三乘方法開之,上廉、下廉俱用四因者,何也?倍積則乘出之數,為積者四,故上下廉俱四以就之。減徑者何也?徑乃圓之全徑,矢乃截處之句,矢本減徑而得,故亦減徑以求矢。五為負隅者,何也?凡平圓之積,得平方四分之三,在內者七五,在外者二五,不拘圓之大小,每方一尺,該虛隅二寸五分其矢得四,其虛隅得一,合而為五,亦陞實就法之意也。如不倍積廉,不用四因,以一、二、五為隅法,亦通。或不減,徑作添積,三乘方法,亦通。

商功章第五编辑

商,度也,商量用力之法也。此章以堅壤之率求穿地 之實,以廣闊高深求城塹溝渠之積,以車擔往來求程途負載之功。

《商功》歌:即修築。

商功須要問工程,長闊相乘深又乘,乘此數來以為 實,每日工程為法行。惟以築城別一樣,上下將來折 半平。高以乘之長又續。又以長乘之也「以為城積甚分明,五 因其積三而一」,此是堅求壤法行穿地,四因為壤積, 法中仍用五歸成。

穿地四尺,為壤五尺,為堅三尺。壤是虛土也堅是實土也 《穿地 求壤》。五因 《求堅》:三因 皆四歸之。

壤地 求穿。四因 《求堅》:三因 皆五歸之。

《堅地 求穿》。四因 《求壤》。五因 皆三歸之。

《城垣堤溝》求積,併上下廣折半,以高深乘之,又以長 乘之,得積。

《方臺》求積:上方自乘,下方自乘,另以上、下方相乘併 之,又以高乘,再以三歸之。如方窖芻童者,倍上長,加 下長,以上廣乘之;又倍下長,加上長,以下廣乘之,併 二數,以高乘,又以六歸之。

《圓臺》求積,上周自乘,下周自乘,上下周相乘,併之,又 以高乘,再用三十六除之,如圓窖圓錐者,下周自乘, 又以高乘,再用三十六除之,如尖堆。

方錐求積,下方自乘,以高乘之,又三,歸之,如圭形。下方 上尖

方堡壔求積,以方自乘,又以高乘之,如方倉方柱也。 圓堡壔求積,以周自乘,又以高乘之,再用十二除之, 如圓倉圓柱也。

「芻蕘」倍下長,加上長,以廣乘之,又以高乘,用六歸之 一,如屋脊上斜下平。

羨除併三廣,以深乘之,用六歸之。上平下尖或倍上長加下長 假如今有堅地積七千五百尺,問「穿地壤土各該若 干?」

答曰:「穿地一萬尺,壤土一萬二千五百尺。」

法曰:置堅地積,以五因三歸之,為壤土積。另置壤積, 以四因五歸之,得穿地積。合問。

今有開河長七千五百五十尺。上廣五十四尺、下廣 四十尺、深一十二尺。每日一工、開三百尺。問用工若 干

答曰:「一萬四千一百九十四工。」

法曰:併上下二廣,折半,得四十七尺。以深一十二尺 乘之,得五百六十四尺,又以長乘之,得積四百二十 五萬八千二百尺為實。以每工三百尺為法,除之,即 得。

今有穿渠,上廣二丈四尺,下廣二丈一尺,深九尺,長 三百八十四尺。每用人夫一十二名,日開積六百尺。 問該人夫幾何?

答曰:「一萬五千五百五十二名。」

法曰:併兩廣共得四十五尺,折半得二十二尺五寸, 以深九尺乘之,得二百零二尺五寸,又以長乘之,得 七萬七千七百六十尺為積,又以人夫一十二名乘 之,得九十三萬三千一百二十尺為實,卻以六百尺 為法除之。

今有開濠上廣七尺,下廣九尺,深四尺,長一千八百 尺。每人日穿一百四十四尺。今用人夫二百名。問幾 日開畢?

答曰:「二日開畢。」

法曰:併上下廣折半,得八尺,以深四尺乘之,得三十 二尺,又以長乘之,得五萬七千六百尺為實。另置二 百人,以每人一百四十四尺乘之,得二萬八千八百 尺為法。除之。《合問》:

築臺歌

築臺丈尺要推詳,上長倍之加下長,上廣乘之別列 位,另倍下長加上長,仍以下廣乘見數,二數共併積 相當,原高乘併積為實,六歸實數積如常。

今有築直臺一所,上廣八尺,長二丈;下廣一丈八尺, 長三丈,高一丈八尺。問積若干?

答曰:「六千尺。」

法曰:倍上長,得四十尺。加下長,共七十尺。以上廣八 尺乘之,得五百六十尺。另倍下長,得六十尺,加上長 二十尺,共八十尺。以下廣一十八尺乘之,得一千四 百四十尺。併二數,共二千尺。以高一十八尺乘之,得 三萬六千尺。以六歸之,《合問》。

今有築方臺,上方六尺,下方八尺,高一十二尺,問積 若干?

答曰:「五千九百二十尺。」

法曰:依《方窖》法,以上方六尺自乘,得三十六尺;下方 八尺自乘,得六十四尺。又以上方乘下方,得四十八 尺。併三數,共一百四十八尺。以高一十二尺乘之,得 一千七百七十六尺。以三歸之,合問。

一法:依《築臺歌》,倍上方,加下方,共二十尺,以上方乘 之,得一百二十尺。另倍下方,加上方,共二十二尺;以 下方乘之,得一百七十六尺。併二數,共二百九十六 尺;以高一十二尺乘之,得三千五百五十二尺;以六歸之,亦得。

今有圓臺,上周一十八尺,下周二十四尺,高一十二 尺,問積若干?

答曰:「四百四十四尺。」

法曰:置上周自乘,得三百二十四尺。以下周自乘,得 五百七十六尺。又以上下二周相乘,得四百三十二 尺。併三數共一千三百三十二尺,以高一十二尺乘 之,得一萬五千九百八十四尺為實。以圓率三十六 除之,合問,此如圓窖。

今有立錐,高三十二尺,下方二十四尺。問「積若干?」 答曰:「六千一百四十四尺。」

法曰:置下方自乘,得五百七十六尺,以高乘之,得一 萬八千四百三十二尺,為實。以三歸之合問。

今有圓錐,高三十二尺,下周七十二尺。問積若干? 答曰:「四千六百零八尺。」

法曰:置下周自乘,得五千一百八十四尺,再以高三 十二尺乘之,得一十六萬五千八百八十八尺為實。 以圓率三十六尺除之,得積合問。

《築牆截高》問今上廣歌。

上下原廣數相減,餘用今高數相乘,原高為法,除為 積。積減下廣,上廣存。

假如原築牆,上廣一尺,下廣三尺,高一十二尺,今已 築高九尺,問上廣若干?

答曰:「一尺五寸。」

法曰:將原下廣三尺減原上廣一尺,餘二尺。以今築 高九尺乘之,得一十八尺,為實。以原高一十二尺為 法,除之,得一尺五十。卻於原下廣三尺減去一尺五 寸,餘得今築上廣。《合問》。

一法將原下廣三尺減原上廣一尺,餘二尺。另以原 高一十二尺,內減今高九尺,餘三尺;以乘二尺,得六 尺為實。以原高一十二尺為法,除之,得五寸;加原上 廣一尺,共一尺五寸,亦得。

原築牆上廣一尺,下廣三尺,高一丈二尺。今欲築高 一丈五尺。問上廣若干

答曰:「上廣五寸。」

法曰:置原下廣三尺,減原上廣一尺,餘二尺。另以原 高一丈二尺減今高一丈五尺,餘三尺;以乘二 六尺為實。以原高一丈二尺為法,除之,得五寸。以減 原上廣一尺,餘五寸,為今上廣。合問。

築牆截下,廣問今高歌。即是截今下節。

原今下廣數相減,餘以原高乘,為實。「原下廣,減原上 廣」,餘為法。除高數是。

原築牆上廣一尺。下廣四尺、高一十二尺。今只築下 廣二尺一寸。問今高若干

答曰:「七尺六寸。」

法曰:置原下廣四尺,減今築下廣二尺一寸,餘一尺 九寸。以原高一十二尺乘之,得二十二尺八寸為實。 另以原下廣四尺減原上廣一尺,餘三尺為法,除之。 《合問》。

原築牆、上廣二尺。下廣六尺、高二丈。今已築上廣三 尺六寸。問今築高若干

答曰:「一丈二尺。」

法曰:置原下廣六尺,內減去今築上廣三尺六寸,餘 二尺四寸。以原高二十尺乘之,得四十八尺為實。另 以原下廣六尺減原上廣二尺,餘四尺為法。除之,得 今高《合問》。

原築牆、上廣十尺。下廣三十尺、高四十尺。今欲築上 廣九尺、問接高若干

答曰:「二尺。」

法曰:置原高四十尺為實。另以原上廣十尺減原下 廣三十尺,餘二十尺除之,得二尺,又為實。以今欲築 上廣九尺,減原上廣十尺,餘一尺為法,除之,得接高 二尺。《合問》:

《築方錐》丈尺今改作《方臺歌》。

今上方與原高乘,便為實積數。分明原下方數宜為 法,法除實積,截高成。

原築方錐,下方二十四尺,高三十二尺,今改作「方臺」, 只用上方六尺問截去高若干

答曰:「截去高八尺。」

法曰:置原高三十二尺,以今只用上方六尺乘之,得 一百九十二尺為實,以下方二十四尺為法,除之,得 截去高八尺。《合問》。

原有方錐,下方二十四尺,高三十二尺,今改作方臺, 已築高二十四尺,問今上方若干?

答曰:「六尺。」

法曰:置原高,內減今高二十四尺,餘截去八尺,以乘 下方二十四尺,得一百九十二尺,為實。以原高為法 除之,得上方合問。

原有方錐,下方二十四尺,高三十二尺,今改作方臺, 只用上方六尺,問今高若干?

答曰:「二丈四尺法曰:置原下方二十四尺,內減今上方六尺,餘一十 八尺。以原高三十二尺乘之,得五百七十六尺為實, 以原下方二十四尺為法,除之,得今高二十四尺。《合 問》:

《築方臺》丈尺今改作,方錐問接高歌。

上方與高乘,為實。下方內減上方積,餘積為法除實 數,便見接高今丈尺。

原方臺上方六尺,下方二十四尺,高二十四尺,今改 作「方錐」,問接高若干。

《答》曰:「接高八尺。」

法曰:置原高二十四尺,乘原上方六尺,得一百四十 四尺為實。另以原下方二十四尺,內減原上方六尺, 餘一十八尺為法。除之,得接高八尺。合問。

原有圓錐,下周七十二尺,高三十二尺,今改作圓臺, 只用上周一十八尺問。今築高若干?

答曰:「二十四尺。」

法曰:置原下周七十二尺,內減今用上周一十八尺, 餘五十四尺。以原高三十二尺乘之,得一千七百二 十八尺為實。以原下周七十二尺為法,除之,得今高 二十四尺。《合問》。

原有圓錐,下周七十二尺,高三十二尺,今改作圓臺, 已築高二十四尺,問今上周若干?

答曰:「一十八尺。」

法曰:置原高三十二尺,減今高二十四尺,餘八尺。以 乘原下周七十二尺,得五百七十六尺。以原高為法, 除之,《合問》。

築堤歌

築堤之法最蹊蹺,東高倍之加西高,上下廣併乘折 半。西高另倍加東高,上下廣併。仍乘折一折數併共 相交。卻用原長乘為實,五歸其實積無饒。

今築堤一所,東頭上廣八尺,下廣一十四尺,高九尺; 西頭上廣二十尺,下廣二十二尺,高二十一尺。東至 西長九十六尺,問積若干?

答曰:「二萬八千八百尺。」

法曰:倍東高九尺為一十八尺,加西高二十一尺,共 三十九尺。卻以東頭上下廣相併為二十二尺乘之, 得八百五十八尺,折半得四百二十九尺。另倍西高, 加東高,共五十一尺。卻以西頭上下廣相併為四十 二尺,乘之,得二千一百四十二,折半得一千零七十 一。二數相併,共一千五百尺。再以長九十六尺乘之, 得一十四萬四千尺為實。以五歸之,得積《合。問》: 今有甲、乙二人開渠,甲日開積四百尺,乙日開積三 百五十尺。先甲開七十日,後令乙開,問幾日與甲同? 答曰:「八十日。」

法曰:置甲開七十日,以每日四百尺乘,得二萬八千 尺為實。卻以乙日開三百五十尺為法,除之,得八十 日,纔與甲同數。

今有人快行者日行九十五里,慢行者日行七十五 里。今令慢行者先行八日,問快行者幾日趕至,追及 之。行路程各若干。

答曰:「快行者三十日,慢行者多八日,路程二千 八百五十里。」

法曰:置慢行者日行七十五里,以八日乘之,得六百 里為實。以慢行減快行,餘二十里為法,除之,即得。 今有慢行者已去,七日後令快行者趕去,六日追至 中途及之,其路程已行一千一百七十里。問快慢每 日各行若干?

答曰:「快者,日行一百九十五里,慢者,日行九十里。」 法曰:「置已行路程一千一百七十里為實,以六日為 法除之,得快者日行一百九十五里」,另將先行七日 併後趕六日,共一十三日為法,除總一千一百七十 里,得慢行里數。合問。

今有甲、乙二人行步不等,甲日行八十里,乙日行四 十八里。令乙先行二百四十里。甲纔發步追之,問幾 里可及?

答曰:「六百里,甲七日半,乙十二日半。」

法曰:置先行二百四十里,以甲日行八十里乘之,得 一萬九千二百里為實。卻以甲乙日行里數相減,餘 三十二里為法,除之合問。

今有人盜馬乘去,已去三十七里。馬主方覺,追去一 百四十五里,不及二十三里。仍復追之,問幾里可及? 答曰:「二百三十八里又一十四分里之三。」

法曰:置不及二十三里,以馬主追去一百四十五里 乘之,得三千三百三十五里為實。另置已行三十七 里,減去不及二十三里,餘一十四里為法。除實二百 三十八里不盡,三以法約之。

今有《大都路》,至杭州四千二百七十五里。馬從大都 往南,日行一百二十里;船從杭州往北,日行七十里。 問船馬幾日相會,「各行若干?」

答曰:「二十二日半,馬行二千七百里,船行一千 五百七十五里法曰:「置四千二百七十五里為實,卻併船馬日行共 一百九十里為法」,除之,得二十二日半,又為實。各以 原行里數乘之,得各行里數。

原有「一夫日耘田七畝,一夫日耕三畝,一夫日種五 畝。」今令一夫自耘自耕自種,問治田若干,

答曰:「一畝四分七釐又七十一分之六十三。」

法曰:以田為分母,夫為分子。以母互乘之,列分母分 子之位。七畝一夫 三畝一夫 五畝一夫先以七畝乘三畝,得二 十一畝。又以五畝乘之,得一百零五畝為實。又以七 畝乘三畝,得二十一畝。又以三畝乘五畝,得一十五 畝。又以五畝乘七畝,得三十五畝。并之,得七十一畝 為法。除實得一畝四分七釐,不盡六十三,以法命之。 原有三女,各納錦一方,長女五日完,中女七日完,小 女九日完。今令三女共納錦一方,何日可畢。

答曰:「二日又一百四十三分日之二十九。」

法曰:以日為分母,方為分子。以三母相乘,先以五日 乘七日,得三十五日,又以九日乘之,得三百一十五 日,為實。以母互乘子法。五日長女 七日中女 九日小女先以五 日乘七日,得三十五日。又以七日乘九日,得六十三。 次以九日乘五日,得四十五。并之,得一百四十三日, 為法。除實得二日,不盡二十九,以法命之。

堆垛歌

缶瓶堆垛要推詳,底腳先將闊減長,餘數折來添半 箇,併入長內闊乘良。再將闊搭一乘實,以三除之數 相當,一面尖堆只添一,乘來折半積如常。三角果垛 亦堪知,腳底先求箇數齊。一二添來乘兩遍,六而取 一不差池。要知四角盤中果,添半仍添一箇,隨乘此 數來以為實,如三而一法求之。

今有酒瓶一垛,底腳闊八箇,長一十三箇,問該積若 干?

答曰:「三百八十四箇。」

法曰:置長內減闊餘五箇,折半,得二箇半;添半箇作 三箇,併入長,共一十六箇。以底腳八箇因之,得一百 二十八箇。另以闊八箇添一箇,作九箇乘之,得一千 一百五十二箇;以三除之,合問。

今有物靠壁,一面,尖堆底腳闊一十八箇。問「積若干?」 答曰:「一百七十一箇。」

法曰:置闊一十八箇為實。另以一十八箇加頂一箇, 共一十九箇為法,乘之,得三百四十二箇,折半即得。 今有物一面平堆,底腳闊七箇,上闊三箇。問積若干? 答曰:「二十五箇。」

法曰:置底腳七箇,減去上闊三箇,餘四箇,加一箇,共 五箇,為法,乃是五層也。另併上下闊,共得十箇為實, 以法五乘之,得五十箇,折半得二十五箇。合問 堆垛。圖式具左。

一面尖堆圖

一面尖堆圖

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右二圖用法權變,便人易曉,故立此以倣其餘。

今有《三角果》一垛,底闊每面七箇,問該若干?

答曰:「八十四箇。」

法曰:置底闊七箇,另以七箇添一箇,共八箇,相乘,得 五十六箇;又以七箇添二箇,共九箇,乘五十六箇,得 五百零四箇,為實。以六歸之《合問》。

今有《三角半堆果》一垛,每面上闊五箇,底闊一十二 箇,問該若干?

答曰:「三百四十四箇。」

法曰:「亦用三角法」,先以底闊一十二箇,求出全積三 百六十四。另以上尖虛底闊四箇,求出虛積二十。以 減全積,餘半堆積三百四十四箇。

一法上闊五箇自乘,得二十五;下法十二自乘,得一 百四十四。上闊五乘下闊十二,得六十。又倍下闊,得 二十四;加上闊五,得二十九,併四數,共二百五十八, 為實。另以下闊十二減上闊五,餘七加一,得高八,為 法。乘實,得二千零六十四,以六除之,合問。

今有物四面尖堆底闊一十二箇,問該若干?

答曰:「六百五十箇。」

法曰:置底闊一十二箇,另以十二加一箇,共一十三 箇乘之,得一百五十六箇;又以十二加半箇,共一十 二箇。半乘一百五十六箇,得一千九百五十箇,以三 歸之,即得。

今有物一堆,橫面下闊十箇,上闊一箇,正面下闊一 十二箇,上闊三箇,問該若干?

答曰:「四百九十五箇。」

法曰:置正面下闊一十二箇,倍之,得二十四,加上廣三,共二十七,以橫面下廣一十乘之,得二百七十。另 置二百七十,以橫下廣一十乘之,得二千七百,併入 二百七十,共得二千九百七十,以六除之,即得。

半堆歌

《半堆瓶》法另推詳,上長倍之,加下長,卻用上闊乘見 數,下長仍倍加上長,別以下闊乘見積,下長另減上 頭長,餘存三位同相併,再以高乘為實良。要知其積 從何見,六而取一積該當。

今有《半堆酒瓶》一棧,上長二十五箇,闊一十二箇,下 長三十箇,闊一十七箇,高六箇。問積若干。

答曰:「積二千四百一十箇。」

法曰:倍上長,加下長,以上闊乘之,得九百六十。又倍 下長加上長,以下闊乘之,得一千四百四十五,併之, 得二千四百零五。又以下長減去上長,餘五併入,共 得二千四百一十。以高乘之,得一萬四千四百六十, 為實。以六為法除之,即得。

今有磚一堆、長三丈、高九尺、入深四尺、每塊、長一尺、 闊五寸、厚二寸、問共該若干

答曰:「一萬零八百塊。」

法曰:置長三丈為實,以每塊二寸為法,歸之,得一百 五十塊。另以高九尺,以每塊闊五寸歸之,得一十八 塊乘之,得二千七百塊。又以入深四尺乘之,合問。

《挑土計方》歌:每一方長闊各一丈,高一尺。《開塘法》同。

東西併折半,南北亦如斯。互乘為實位,深數再乘之。 今有田內開土挑泥填基,東六丈五尺,西七丈五尺, 南八丈,北九丈,深二尺,問取泥該方數若干?

答曰:「一百一十九方。」

法曰:置東六丈五尺併西七丈五尺,共一十四丈,折 半得七丈。又以南八丈併北九丈,共一十七丈,折半 得八丈五尺,相乘,得五十九丈五尺。又以深二尺乘 之,得一百一十九,方合問。

《量木梱》。調寄《西江月》:

《梱》:有《封書》模樣。

梱法不一,一名「一封書」 ,一名「方梱。」

深闊各倍相乘,

如闊若干,深若干,俱各加倍,以五寸為一根,即是為「倍法」 也。

丈五除長再乘行。

「如長若干,以每根長一丈五尺」 除之,餘數再乘。

《書》「梱加深」為定。

如一封書,梱深、闊長俱乘訖,又照原深若干加之是也。

《方梱》須知加闊。

如方梱深、闊、長俱乘訖,又照原闊若干加之,是也。

《荒深》,《三折倍成》。

又名「荒排」 者,異前二形,即以深三,歸而一方可倍之,即一尺二根也。

闊長皆是照前因。

「雖《荒排》闊亦倍之,與《三歸》深」 者相乘,長亦照前丈五除者相乘。

《三折一加》有準。

「但荒排闊深長」 俱乘訖,亦照深三歸而一加之。

今有《一封書》,梱深七尺五寸,闊四丈七尺,長九丈,問 木若干。

答曰:「一萬四千八百零五根。」

法曰:置深七尺五寸,以每尺二根計之,得一十五根, 即倍法也。又以闊四丈七尺倍作九十四根相乘,得 一千四百一十根為實。另置長九丈,以每根長一丈 五尺除之,得六根為法。乘實,得八百四十六根。又以 深七尺五寸加之。或用一、七五乘,亦可合問。

今有方梱深七尺,闊五丈,長六丈,問木若干。

答曰:「八千四百根。」

法曰:置深七尺,倍作一十四根,又以闊五丈,亦倍作 一百根,相乘,得一千四百根,為實。另置長六丈,以一 丈五尺除之,得四根,為法。乘實得五千六百根,又以 闊五丈加之。合問。

今有荒排深二丈一尺,闊四丈四尺,長六丈,問木若 干?

答曰:「八千三百七十七根六分。」

法曰:置深二丈一尺,以《三歸》得七尺,倍作一十四根, 又以闊四丈四尺,倍作八十八根,相乘,得一千二百 三十二根,為實。另以長六丈,以一丈五尺除之,得四 根,為法。乘之,得四千九百二十八根。又以深二丈一 尺,用《三歸》得七尺,加之。合問若量方圓束木法,已 見前《少廣章》中。

右《梱法》雖設,則「廠弊」 、「客弊」 或差免,但一封書併荒,排法無異,其方梱所加,或闊深長不一,法難必矣。

均輸章第六编辑

均,平也。輸,送也。此章以戶數多寡,道里遠近,而求車 數、粟數,以粟數高下,而求僦直,以錢數多少,而求傭 錢

歌曰

「《均輸》只要一般般,不許虧民及損官。」勞費程途知遠 近,分毫依法要詳端。「行道駕船皆一體,負挑車載重 輕看。」

今有銀二十二兩八錢,買黃、白蠟,各要均平。其黃蠟 每三斤價銀四錢,白蠟每斤價銀五錢,問黃、白蠟各 若干?

答曰:「各三十六斤,黃,該銀四兩八錢;白該銀一 十八兩。」

法曰:置總銀,以黃蠟三斤乘之,得六百八十四斤為 實。另置黃蠟三斤,以白蠟價五錢乘之,併黃蠟價四 錢,共得一兩九錢為法除之,得黃白各三十六斤。就 以白蠟三十六斤,以每斤五錢乘之,得價一十八兩。 再置黃蠟三十六斤,以價四錢乘之,得一十四兩四 錢。又以蠟三斤為法除之,得價四兩八錢。合問 今有銀三十七兩八錢,糴米麥豆三色各要均平,每 石米價八錢,麥價六錢,豆價四錢,問各若干

答曰:「米、麥、豆各二十一石。」

法曰:置總銀為實,併米、麥、豆價共一兩八錢為法,除 之,得每色二十一石之數,各以價乘之,合問。

右法不拘四色五色者,倣此推之。

今有甲、乙、丙三人,以田多寡應當一年差役。甲田三 十五畝,乙田二十五畝,丙田二十畝,問各該值月若 干?

答曰:「甲該五箇月,零七日半,乙該三箇月,二十二 日半,丙該三箇月。」

《法》曰:置甲、乙丙三人田,共併,得八十畝為法。另置甲 田,以十二月乘之,得四百二十為實;以法八除之,得 五箇月零二五。卻以三十日乘二五,得七日半。又置 乙田,以十二月乘之,得三百為實;以法八除之,得三 箇月零七五;卻以三十日乘七五,得二十二日半。又 置丙田,以十二月乘之,得二百四十為實;以法八除 之,得三箇月,合問。

又法:置一年,計三百六十日為實,併甲乙丙三人田, 共八十畝為法,除之,每畝得值月,四十五日以乘各 人田數,亦得。

今有甲乙二人往縣應役,甲該十二日一往,乙該十 五日一往。問一人何日同會?

答曰:「六十日會。」

法曰:置甲十二日,以乙十五日乘之,得一百八十日, 為實。卻以乙十五日減甲十二日,餘三日為法,除之, 合問。

今有官派糧八百四十石,令四縣照依田地多寡納 之。甲縣田五十六畝,乙縣四十四畝,丙縣三十二畝, 丁縣二十八畝,問各該納若干?

答曰:「甲,三百九十四石;乙,二百三十一石;丙,一 百六十八石;丁,一百四十七石。」

法曰:置列甲乙丙丁四縣田數,各以官派糧八百四 十乘之,各列為實。另以四縣田併之,得一百六十畝 為法,以除各縣乘數,即得各縣該納之數,合問。 又法:置總糧為實,併四縣田為法,除之,以乘各田數, 亦得。

「今有五縣,輸粟二萬石,照人戶多少、道里遠近、價值 上下而均輸之。每車載二十五石,行道一里,與僦里 鈔一錢。甲縣二萬零五百二十戶,粟石價二兩,乙縣 一萬二千三百一十二戶粟石價一兩,遠輸所二百 里;丙縣七千一百八十二戶粟石價一兩二錢,遠輸 所一百五十里;丁縣一萬三千三百三十八戶,粟石」 價一兩七錢,遠輸所一百五十里。《戊縣》五千一百三 十戶粟價一兩三錢,遠輸所一百五十里,問各輸粟 若干?

答曰:甲七千一百四十二石三斗五升九合九勺。 乙四千七百六十一石五斗七升三合二勺,該僦里 鈔二十兩;丙二千七百七十七石五斗八升四合, 該僦里鈔一十五兩;丁三千四百三十八石九斗 一升四合,該僦里鈔二十五兩;戊一千八百七十 九石五斗六升八合三勺,該僦里鈔一十五兩。

解曰:「甲縣乃自輸本縣,而無僦里,惟乙、丙、丁、戊四邑有之,各昭里數遠近以僦鈔,一錢因之,各得僦里鈔也。」

法曰:置甲縣戶數為實,以粟價二兩為法除之,得一 千零二十六衰。乙縣行道二百里,以每車載二十五 石除之,得八錢,併粟價一兩,共一兩八錢,除戶數,得 六百八十四衰。丙縣行道一百五十里,以每載二十 五石除之,得六錢,併粟價共一兩八錢,除戶得三百 九十九衰。丁縣行道二百五十里,亦以二十五石除 之,得一兩,併粟價共二兩七錢,除戶得四百九十四 衰。戊縣行道一百五十里,亦以二十五石除之,得六 錢,併粟價共一兩九錢,除戶得二百七十衰。就以五 衰列置五縣,再併五衰,共二千八百七十三衰為法。 另以賦粟二萬石以乘五縣,各衰為實,以法除之。《合問》。

原有綾每疋價四兩一錢,絹每疋價二兩一錢。今欲 將綾換絹,問多少可均?

答曰:「綾二疋一,絹四疋一。」

《法》曰:以綾絹價相乘,得八兩六錢一分為實,以絹疋 價除之,得絹數;以綾價除之,得綾數,合問。

其疋下有零者,照「疋長若干」 加之是也。

今有麻每石價九錢,米每石價八錢,豆每石價七錢。 今三主只以價均,扣算麻、米豆數及價,問各若干? 答曰:「各該價五錢零四釐,麻五斗六升,米六斗 三升,豆七斗二升。」

法曰:先置麻豆價,相乘,得六斗三升,退位為米數;又 以米豆價相乘,得五斗六升,退位為麻數;再以麻米 價乘之,得七斗二升,退位為豆數。各以價乘之,合問。

但「相乘數,多者為賤,少者為貴」 ,可以辨之。

原有人挑茶九十斤,行道五百里,腳銀九錢;今挑一 百二十斤,行道三百里,問該銀若干?

答曰:「七錢二分。」

法曰:以今挑茶一百二十斤,乘今行三百里,得三百 六十。又以腳銀九錢乘之,得三兩二錢四分為實。另 以九十斤乘原行五百里,得四百五十里為法。除之。 《合問》。

原雇車一輛,議行道一千里,載重一千二百斤,與銀 七兩五錢。今重一千五百斤,行一千三百里,問該銀 若干?

各曰「一十二兩一錢八分七釐五毫。」

法曰:置今重一千五百斤,以今行一千三百里乘之, 得一千九百五十里。又以銀七兩五錢乘之,得一十 四兩六錢二分五釐為實。以原重一千二百斤乘原 行一千里為法,除之合問。

今有貨重一千六百斤,先付車主銀六兩,照前議行 道一千里,載重一千二百斤,價七兩五錢,問該行道 若干?

答曰:「六百里。」

法曰:置「今付車主銀六兩」,以原行道一千里乘之,得 六千里。又以原重一千二百斤乘之,得七千二百里 為實。另以今重一千六百斤,以原價七兩五錢乘之, 得一十二兩為法。除之合問。

今有道一千七百里,車主已支去銀七兩六錢五分。 照前議每一千里載重一千二百斤,價七兩五錢,問 該載重若干?

答曰:「七百二十斤。」

法曰:置原重,以原行道乘之,仍得一千二百里。又以 今去銀七兩六錢五分乘之,得九兩一錢八分為實。 另置今行道,以原與銀七兩五錢乘之,得一十二兩 七錢五分為法。除之,即得。

原有人擔物一百五十斤,行道一百三十里,與腳銀 二錢。今擔一百八十斤,行道九十里,問該銀若干? 答曰:「一錢六分六釐一毫五絲。」

《法》曰:置今重一百八十斤,乘今行道九十里,得一百 六十二里。又以原腳銀二錢乘之,得三錢二分四釐 為實。另以原擔重一百五十斤,乘原行道一百三十 里,得一百九十五斤為法。除之,即得。

今有空車日行七十里,重車日行五十里;今載穀至 倉,五日三返,問「路遠若干?」

答曰:「四十八里又三十六分之二十二。」

法曰:置空車、重車日行里數,相乘得三百五十里,又 以五日乘之,得一千七百五十里,為實。另併空車、重 車日行里數,以三返乘之,得三百六十為法。除之不 盡二十二,以法命之。

原有人負米一石一斗二升,行三十步,日五十返。今 負米一石二斗,行四十步問日幾返。

答曰:「三十五返。」

法曰:「置負米一石一斗二升」,以行三十步乘之,得三 百三十六,又以五十返乘之,得一千六百八十,為實。 另以今負米一石二斗,以行四十步乘,得四百八十 為法。除之《合問》。

今有眾兄弟輩出錢買物,長兄出錢八文,次兄以下 各加一文,順至小弟出錢六十文。問兄弟輩及共錢 各若干?

答曰:「五十三人共錢一千八百零二文。」

法曰:以八文併入六十文,共得六十八文。另置六十 文於內,減去八文,餘五十二文再加長兄一人,共得 五十三人。另以六十八文乘五十三人,得三千六百 零四文,折半,即得。

今有中式舉人一百名,第一名官給銀一百兩;自第 二名以下,挨次各減五錢,問該銀若干?

答曰:「七千五百二十五兩。」

法曰:置一百名,減去第一名,餘九十九名;以五錢乘 之,得四十九兩五錢;以減一百兩,餘五十兩零五錢, 為第一百未名之數,併入第一名,給一百兩,共一百五十兩零五錢;以乘一百名,得一萬五千零五十兩, 折半《合問》。

今有錢一文,日增一倍,倍至三十日。問該若干? 答曰:「十億零七千三百七十四萬一千八百二十四 文。」

《法》曰:置錢一文,以十度八因,即得。一度八因乃三日倍數十度八因乃 三十日數

一法以五度、六十四乘,亦得。一度六十四乘乃六日倍數五度六十四乘是 三十日數

一法以三度三十二乘得數,自乘亦得。三度三十二乘乃十五日 數自乘即三十日也

解曰:「十度者,以八因十次也。五度者,以六十四乘五次也。餘倣此。」

今有天干十位,地支十二位。問干支相配若干? 答曰:「六十甲子。」

法曰:置天干十位,以地支十二乘之,得一百二十為 實。卻以天干十位減地支十二,餘二為法,除之,即得。 今有車一輪,輪高六尺,推行二十里。問輸轉若干? 答曰:「輸轉二千次。」

法曰:置二十里,以《里率》一千八百尺乘之,得三萬六 千尺為實。另以輪高六尺,三因,得周一十八尺為法, 除之。合問。

今有人車,不知其數,凡三人共車,二車空,二人共車, 九人步行,問「人車各若干。」

答曰:「一十五車,三十九人。」

法曰:置二人,以三人乘之,得六,加九人,得車一十五。 又以二人乘車十五,得三十,加九人,得人數。

今齋僧不知人數,初日每五人米八斗,次日每九人 米七斗,凡二日,共米三十二石一斗,問僧併米,各該 若干。

答曰:「一百三十五人,初日米二十一石六斗,次 日米一十石零五斗。」

法曰:「置列。」五人 九人互。八斗 七斗另以九人乘八斗,得七十 二,又以五人乘七斗,得三十五,併之,得一百零七,為 法。另以九人、五人相乘,得四十五,復乘,共米三十二 石一斗,得一千四百四十四石五斗,為實。以法除之, 《合問》。

今有圍兵二萬三千四百人,以布圍之,各相去五步。 今圍內縮除一十六里,九十步而止。問圍兵各相去 若干?

答曰:「四步七分五釐。」

法曰:置兵數,以五步乘之,得一十一萬七千步。另以 一十六里,以三百六十步通之,得五千七百六十步, 加零九十步,共五千八百五十步。以減上數,餘一十 一萬一千一百五十步。以圍兵二萬三千四百為法, 除之,即得。

今有糧三千六百石,只云「每石《則例》令三處倉上納, 東倉二斗三升四合,西倉三斗四升五合,南倉四斗 二升一合,依則均開問各倉該米若干。」

答曰:「東倉八百四十二石四斗,西倉一千二百四 十二石,南倉一千五百一十五石六斗。」

法曰:置總糧為實,以各倉《則例》數乘之,合問。

今有夏稅麥二百七十四石,三限催徵:初限五分,六 月完;中限三分半,七月完;末限一分半,八月完。問各 限該徵若干。

答曰:初限一百三十七石;中限九十五百九斗, 末限四十一石一斗。

法曰:列置麥數三位,一位以五分乘為初限數,二位 以三分半乘為中限數,三位以一分半乘為末限數。 《合問》:

今有雞兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足。問雞 兔各若干?

《答》曰:「雞二十三隻,兔一十二隻。」

法曰:置總頭,倍之,得七十。於總足內減七十,餘二十 四,折半得一十二,是兔。以四足乘之,得四十八足。於 總足減之,餘四十六足,為雞足。折半得二十三隻。《合 問》。

一法:以四因總頭減去總足,餘折半,得雞。另以二因 四歸總足,減總頭,餘得兔。

倍頭減足,折半是兔。

不分雞、兔,以雞二足乘頭數,於共足內減之,所餘者是一兔剩二足,故「折半為兔」 也。

《四》、「頭減足折半是雞。」

不分雞、兔:以兔四足乘頭數,以共足減之,所餘者雞足也。故「折半為雞。」

此法名《二率分身》,即貴賤差分也。

今有狐貍,一頭九尾,鵬鳥,一尾九頭。只云「前有七十 二頭,後有八十八尾。」問「二禽獸各若干?」

答曰:「狐貍九箇,鵬鳥七隻。」

法曰:置總頭七十二,以減總尾八十八,餘一十六,是 二禽獸共數。以尾九因之,得一百四十四,內減總尾八十八,餘五十六為實。另以尾九內減一頭,餘八為 法。除實,得鵬鳥七隻,以減共數,餘得狐九箇。合問。


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