欽定古今圖書集成/曆象彙編/曆法典/第121卷

曆象彙編 曆法典 第一百二十卷 欽定古今圖書集成
曆象彙編 第一百二十一卷
曆象彙編 曆法典 第一百二十二卷


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欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

 第一百二十一卷目錄

 算法部彙考十三

  算法統宗九盈朒章第七

曆法典第一百二十一卷

算法部彙考十三编辑

《算法統宗九》
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盈朒章第七编辑

盈,多也。朒,少也。此是假設有餘不足者,以求隱雜之 數也。隱雜者,不見之數,顯者,可見之數,故以顯者推 隱雜者。且如數人共買物,出錢多則有餘,少則不足, 無可考究者,故以有餘不足數求之,則人數物價可 知矣。

歌曰

算家欲知盈不足,兩家互乘,併為物,併盈不足為人 實。分率相減,餘為法。法除物實,為物價;法除人實、人 數目。

《法》曰:「置所出率與盈不足。」出率 出率互。盈率不足率以盈不 足互乘所出率併之,共若干,為物實。另併餘不足,共 若干,為人實。置所出率相減,餘若干為法。除人實,得 人數;除物實,得物價。

又法:併盈、不足為人實。以出率相減,餘為法。除實,得 人數,卻以出率乘人數,得若干,減盈、增不足,即得物 價。

若人分物者,卻是增盈減不足,即得物數也。其盈朒互乘出率,併為物實。又併盈朒為人實,或併盈朒為人實,俱出率相減,餘為法也。「其理則一」 ,作「法」 之意也。

今有人買物,每人出銀五兩,盈六兩,每人出銀三兩, 不足四兩,問人物價各若干?

答曰:五人物價銀一十九兩。

《法》曰:「置盈不足。」出五兩 出三兩互。盈六兩不足四兩先以出五兩 互乘不足四兩,得二十兩。次以出三兩互乘盈六兩, 得一十八兩。併二位,共三十八兩,為物實。另併盈六 兩,不足四兩,共十兩,為人實。卻以出五兩內減出三 兩,餘二兩為法。除人實,得五,為人數。除物實,得一十 九兩,為物價。

此是《盈》《朒》互乘出率併為實,又併盈朒為人實者。

今有人分物,每人分一十二箇,盈一十二箇,每人分 一十四箇,不足六箇,問人數及物若干?

答曰:「九人物,一百二十箇。」

法曰:置盈不足併盈十二,不足六,共一十八箇,為人 實。以分十四減分十二,餘二為法。除人實,得九人。卻 以分一十四箇乘人數,得一百二十六箇,內減去不 足六箇,餘一百二十箇,是物數。或置九人,以分一 十二箇乘,得一百零八箇,內增十二,亦得物數。合問:

此是併盈、朒為人實,出率相減,餘為法。除人實,得人數,以分率乘之,或增盈、減不足,得物數。凡分物,則用增、盈、減不足。若買物者,則用減、盈、增不足。

今有買物,每人出錢八文,盈三文,每人出錢七文,不 足四文,問人數、物價各若干。

答曰:「七人物價五十三文。」

法曰:置盈不足併盈三文,不足四文,共七文,為人實。 以出八文減出七文,餘一文為法。除人實,得七人,卻 以出八文乘人數,得五十六文,內減盈三文,餘五十 三文,是物價。或置七人,以《出率》七文乘之,得四十 九文,內增不足四文,亦得物價。合問:

此因前「併盈朒為人實」 者,是買物也。仍前得人數,卻以出率乘之,或減盈增不足,即得物價。凡賈物者倣此。

今有人分絹,只云「每人分八匹,盈一十五匹,每人分 九匹,不足五匹,問人絹各若干?」

答曰:「二十人絹一百七十五匹。」

《法》曰:「置盈不足。」分八匹 分九匹互。盈十五匹不足五匹先以分八匹 互乘不足五匹,得四十匹。次以分九匹互乘,盈十五 匹,得一百三十五匹,併二位,得一百七十五匹,為絹 數。又併盈十五不足五,共二十,為人數。《合問》。

此是「分八匹」 ,分九匹相減,餘一為法者,雖用歸之數,亦如故。惟以大數變化為小故,不必用此法。亦得只併盈朒為人實,另併前互乘二位為絹數。

人有絹一匹,欲作帳幅,先摺作六幅,比舊帳長六寸; 後摺作七幅,比舊帳短四寸。「問絹及舊帳幅長各若 干?」

答曰:「絹長四丈二尺,舊帳幅長六尺四寸。」

法曰:置先摺絹六幅,以比舊帳長六寸乘之,得三尺六寸。另置七幅,以短四寸乘,得二尺八寸。如盈不足 列。六幅 七幅互。長三尺六寸寬二尺八寸以七幅互乘長三尺六寸, 得二丈五尺二寸。又以六幅互乘二尺八寸,得一丈 六尺八寸。併二數,得四丈二尺,為「絹實。」卻以七幅減 去六幅,餘一幅為法。除絹實,得絹長數。另併互乘長 短,得六尺四寸,為「舊帳幅實。」仍前法除之。

今有直田一段,欲截南頭賣之。只云「截長六步,不足 七步,截長八步盈九步。問截賣步數及田原闊各若 干。」

答曰:「截賣五十五步,原闊八步。」

《法》曰:「置盈不足。」截六步 截八步互。不足七步盈九步先以截六步 乘盈九步,得五十四步。次以截八步乘不足七步,得 五十六步;併二位,共得一百一十步,為截積之實。卻 以截賣六步、八步相減,餘二步為法,除之,得截積五 十五步。另以不足七步併多九步,共得一十六步,為 田闊之實。仍以前法二除之,得原闊八步。《合問》:

兩盈兩不足歌

兩盈出率互相乘,多減少剩是物情。兩盈相減遺人 實,出率相減法之名。法除物情是物價。法除人實,人 數稱。若問算中兩不足,與《盈法》例一般行。

法曰:置所出率,與兩盈互乘,各得若干,以少減多,餘 為物實。另以兩盈相減,餘為人實。又以出率相減,餘 為法。除人實,得人數。除物實,得物數。

今有人買物,每人出銀三兩五錢,盈六兩;每人出三 兩三錢,盈二兩八錢,問人數、物價各若干?

答曰:「一十六人物價銀五十兩。」

《法》曰:「置兩盈。」出三兩五錢 出三兩三錢互。盈六兩 盈二兩八錢先以出 三兩五錢互乘盈二兩八錢,得九兩八錢。次以出三 兩三錢互乘盈六兩,得一十九兩八錢。二數相減,餘 十兩,為物實。另以置六兩內減盈二兩八錢,餘三兩 二錢,為人實。又以出三兩五錢內減出三兩三錢,餘 二錢為法,除物實,得五十兩,為物價法除人實,得一 十六,為人數。《合問》:

今有人買牛,每人出銀五兩,不足四兩;每人出五兩 四錢,不足二兩。問人數、物價各若干?

答曰:五人物價銀二十九兩。

《法》曰:「置兩不足。」出五兩 出五兩四錢互。不足四兩 不足二兩先以出 五兩乘不足二兩,得一十兩;次以出二兩四錢乘不 足四兩,得二十一兩六錢。二數相減,餘一十一兩六 錢為物實。另以不足四兩減不足二兩,餘二兩為人 實。又以出五兩四錢內減出五兩,餘四錢為法,除物 實,得物價。就以法四錢除人實,得五為人數。《合問》 今有里長《值月議》云:「每里科出銀五錢,依帳買」物,以 辦酒席。多銀三兩五錢,每里科出四錢,亦多五錢。問 合用銀併里數若干。

答曰:「三十里用銀一十一兩五錢。」

《法》曰:「置兩盈。」出五錢 出四錢互。多三兩五錢 多五錢先以出五錢 互乘多五錢,得二兩五錢;次以出四錢互乘,多二兩 五錢,得一十四兩。二數相減,餘一十一兩五錢為用 銀實。另以多三兩五錢減多五錢,餘三兩為人實。再 以出五錢減出四錢,餘一錢為法。除銀實,即銀數;除 人實,即里數。《合問》。

今有井不知深。先將繩摺作三條入井。汲水。繩長四 尺。後將繩摺作四條入井。亦長一尺。問井深及繩長 各若干。

答曰:「井深八尺,繩長三丈六尺。」

法曰:兩盈置繩長四尺,以摺作三條,通之,得一十二 尺。又置長一尺,以摺作四條,通之,得四尺。各列置位。 三條 四條互。長十二尺 長四尺先以三條乘四尺,得一十二尺。 又以四條乘長一十二尺,得四十八尺。二數相減,餘 三十六尺,為繩實。卻以三條四條相減,餘一為法,除 繩實,得繩長。另以前通兩盈數相減,餘八尺,為井實。 仍以法一除之,得井深數。合問:

此是三條、四條相減,餘一為法者,不必用法除,即是。

《盈適足不足》適足歌。

盈與適足數相乘,乘數將來為物情,盈數自稱為人 實,二位各列要分明。出率相減餘為法,法除物實物 價真,法除人實為人數,不足適足一般行。

法曰:「盈適足」者,置所出率于上,以盈與適足于下,或 以盈數互乘適足、出率,得若干,為物實。另以盈數為 人實,又以出率相減,餘為法。除人實,得人。除物實,得 物。

一法:以盈數為人實,另以出率相減,餘為法。除人實, 得人數若干,卻以適足數乘之,得物數。此乃捷徑 今有人買物,每人出銀二兩五錢,盈六兩,每人出銀 二兩三錢,適足問人數、物價各若干。

答曰:「三十人物價銀六十九兩。」

《法》曰:「置盈適足列。」出二兩五錢 出二兩三錢互。盈六兩適足只以盈 六兩互乘,出二兩三錢,得一十三兩八錢為物實,另 以盈六兩為人實,卻以出二兩五錢,減出二兩三錢餘二錢為法,除物實,得物價,除人實得人數。合問 一法,以盈六兩為人實,另以出率相減,餘二錢為法, 除人實,得三十,卻以二兩三錢乘之,亦得物價。 今有人買物,每人出銀七兩,不足一十四兩,每人出 銀九兩,適足問人數、物價各若干。

答曰:七人物價銀六十三兩。

《法》曰:「置不足,適足列。」出七兩 出九兩互。不足十四兩適足只以 不足一十四兩互乘出九兩,得一百二十六兩,為物 實。另以不足一十四兩為人實。卻以出九兩內減出 七兩,餘二兩為法。除物實,得物價,除人實,得人數。《合 問》。

一法:以不足一十四兩為人,實以出率相減,餘二為 法。除實得七人,以九兩乘之,得物價。

今有米換布七匹多,四斗換九匹適足。問米、布價各 若干?

答曰:「米一石八斗,布匹價米二斗。」

法曰:置盈「適足」,以多四斗為實,另以九匹減七匹,餘 二匹為法,除實,得匹價米二斗,卻以適足九匹乘之, 得總米一石八斗。合問。

《盈朒》雙套。今述《釋義》于左:

《盈朒章》。盈不足兩盈兩不足盈適足不足適足三宗皆先賢立法正 律格式,自劉氏《通明》,吳氏《比類》,始增雙套者,用分母 子者,皆存于後,以便學者。

雙套法:三宗五條布算,俱分左右二行,各列上中、下 三位,俱先以右上、左上相乘,得若干,為乘人率。通法: 以右上乘左中,左上乘右中,二數相減,餘若干為法。 除人實、物實之法。三宗雙套俱先如此

雙套盈不足法:先用前雙套法,次以右中得數乘左 下,左中得數乘右下,二數相併,為物實。以前除法除, 得物數。卻以「右下盈若干,左下不足若干」,二數相併, 為人率。先以前通法乘之,為人實。後仍以前除法除 之,得人數。

雙套兩盈法:先用前雙套法,次以右中得數乘左下, 左中得數乘右下,二數相減,餘為物實。以前除法除, 得物數。卻以右下盈若干,左下盈若干,二數相減,餘 為人率。先以前通法乘之,為人實;後仍以前除法除, 得人數。兩不足同

《雙套盈適足》法:先用前雙套法,次以右中得數乘左 下盈數,就為物實。以前除法除之,得物數。卻以左下 盈若干,就為人率。先以前通法乘為人實後,仍以前 除法除之,得人數。不足適足同

今有人買物,每八人出銀七兩,盈四兩五錢;每九人 出銀六兩,不足三兩,問人數、物價各若干?

答曰:三十六人物價銀二十七兩。

《法》曰:雙盈不足置。右上八人 左上九人互。中出七兩 中出六兩互。得六十三 得四十八互。下盈四兩五錢 下不足三兩 先以左上九人、右上八人相乘,得七十二,為乘人率 《通法》。又以左上九人互乘右中七兩,得六十三。再以 右上八人互乘左中六兩,得四十八。二數相減,餘十 五,為除人實、物實法。次以左中得數四十八,互乘右 下盈四兩五錢,得二百一十六;又以右中得數六十 三,互乘左下不足三兩,得一百八十九。二數相併,共 四百零五,為物實。以法十五除之,得銀二十七兩。卻 以左下不足三兩,右下盈四兩五錢,二數相併,得七 兩五錢,為人實。率先以前通法七十二乘之,得五百 四十,為人實。後仍以前法十五除之,得三十六人。合 問。

今有人買物,每六人出銀九兩,多三兩;每四人出銀 七兩,多六兩。問人數、物價各若干?

答曰:一十二人物價銀一十五兩。

《法》曰:雙兩盈置。右上六人 左上四人互。中出九兩得三十六 中出七兩得四十二互。下盈三兩 下盈六兩 先以左上四人、右上六人相乘,得二十四,為乘人率。 《通法》。又以左上四人互乘右中九兩,得三十六;再以 右上六人互乘左中七兩,得四十二;二數相減,餘六 為除人實、物實法。次以左中得數四十二互乘,右下 多三兩,得一百二十六;再以右中得數三十六互乘, 左下多六兩,得二百一十六;二數相減,餘九十兩,為 物實。以前法六除之,得銀一十五兩。卻以左下多六 兩,右下多三兩,二數相減,餘三兩為人實。率先以前 通法二十四乘之,得七十二,為人實。後仍以前法六 除之,得一十二人。合問。雙套兩不足法倣此

今有買物,每三人出銀五兩,多十兩,每五人出銀九 兩,適足問人數、物價各若干。

答曰:七十五人物價銀一百三十五兩。

《法》曰:「雙套盈適足置。」右上五人 左上三人互。中出九兩 中出五兩得五互。下適足 下盈十兩 先以左上三人、右上五人相乘,得十五,為乘人率《通 法》。次以左上三人互乘右中九兩,得二十七,再以右 上五人互乘左中五兩,得二十五。二數相減,餘二為 除人實、物實法。次以右中得數二十七,乘左下盈十 兩,得二百七十兩,就為物實。以前法二除之,得銀一 百三十五兩;卻以左下盈十兩,就為人實。率。先以前 通法十五乘之,得一百五十,為人實;後仍以前法二除之,得七十五人,合問。雙套不足適足倣此

取錢買物盈朒歌

取錢買物求盈朒,分子互將分母乘,乘訖卻來通物 價,以錢併作物之情。互乘物價亦相併,乘子除為錢 實名買率,減餘為法則,除來錢物自分明。

今有銀不知其數。欲買田,取銀三分之二買之,盈三 兩,取銀五分之三買之,不足一兩,問總銀、田價各若 干。

答曰:總銀六十兩。《田價》銀三十七兩。

法曰:先以之二互乘五分,得一十;以通不足一兩,得 十兩。次以之三互乘三分,得九,以通盈三兩,得二十 七兩,如盈朒法,列位。九十互。多二十七兩少一十兩先以十互 乘,多二十七兩,得二百七十兩。又以九互乘少十兩, 得九十兩;併二位,得三百六十兩。卻以分子之二之 三相乘,得六十兩,為銀實。卻以通十減九,餘一為法, 除之,得總銀六十兩。次以多二十七兩、少十兩併之, 得三十七兩,為田價實。仍以前法一除之,得田價三 十七兩。合問。

「取錢買物」《兩盈歌》。附:「兩朒即兩不足」

取錢買物,兩皆盈,分子互乘分母,訖,以母通乘物價, 周對減盈錢,為物實。物價互乘少,減多乘子除,為錢 實。積率減零餘為法。行法實相除盡可識。

今有銀,不知數。欲買鹿,取銀六分之四買之,盈二兩; 取銀四分之三買之,盈三兩五錢。問銀數、鹿價各若 干。

答曰:「銀一十八兩,鹿價一十兩。」

法曰:先以之四互乘四分,得一十六,以通盈三兩五 錢,得五十六兩。次以之三互乘六分,得一十八,以通 盈二兩,得三十六兩。各列位。十八 十六互。盈三十六 盈五十六先 以十六互乘三十六,得五百七十六兩,又以十八互 乘五十六,得一千零八兩,二位相減,餘四百三十二 兩。卻以分子之三之四相乘,得十二除之,得三十六 為銀實。卻以十八、十六相減,餘二為法,除之,得銀數 一十八兩。另以兩盈三十六、五十六相減,餘二十為 鹿價實。仍以前法二除之,得鹿價一十兩。合問 今有官派銀不知數,依例令上等八戶、下等五戶納 之不足五兩。復令上等六戶、下等八戶納之亦不足 三兩。其銀下戶例如上戶例十分之八,問派銀數及 《各戶則例》若干。

答曰:「官派銀六十五兩,上戶例五兩,下戶例四 兩。」

《法》曰:先置上等八戶,以十因之,得八十戶。又置下等 五戶,以八因之,得四十戶,併之得一百二十戶列位。 次置上等六戶,以十因之,得六十戶。又置下等八戶, 以八因之,得六十四戶,併之得一百二十四戶列位。 一百二十戶 一百二十四戶互。不足五兩 不足三兩先以一百二十戶互 乘不足三兩,得三百六十兩;又以一百二十四戶互 乘不足五兩,得六百二十兩。二位相減,餘二百六十 兩為《銀實》。卻以戶數一百二十與一百二十四相減, 餘四為法除之,得官派銀六十五兩。另以兩不足五 兩、三兩相減,餘二兩為《則例實》。仍以前法四除之,得 五錢;以十因之,得上等一戶則例銀五兩,另列五錢, 以「八」因之,得下等一戶則例銀四兩,合問。

「取錢買物」 ,盈適足歌。

取錢買物,盈適足,子互乘母,自相通,卻以盈錢為物 實,減率留餘,作法宗。取錢,「適足」乘盈數乘子,除,為錢 實宮。如法除之,錢可見不足、「適足」術相同。

假有銅錢不知數,欲買「木一根,取錢二分之一,買之; 盈錢四文,取錢七分之三;買之適足。」問錢數、木價各 若干。

答曰:「總錢五十六文,木價二十四文。」

法曰:先以二分下之一,互乘七分,得七數;次以七分 下之三,互乘二分,得六數。以通盈四文,得二十四文, 如盈適足列位。六七互。盈二十四適足先以盈二十四文 為木價實,卻以六相減,餘一為法,除之,得木價二十 四文。次以七互乘,盈二十四,得一百六十八,卻以之 一之三相乘,得三為法,除之,得錢五十六文。《合問》 今有芝麻,不知數,只云「取麻八分之三,糶銀十兩不 足二石」,取麻三分之一,糶銀八兩,適足問麻數及每 兩該麻若干。

答曰:「總麻四十八石;每銀一兩,該麻二石。」

法曰:先以八分下之三,互乘三分,得九數;以通八兩, 得七十二兩;次以三分下之一,互乘八分,得八數;以 通十兩,得八十兩;以八通不足二石,得一十六石。如 不足過足列位。八十兩 七十二兩互。不足十六石適足先以七 十二互乘一十六石,得一千一百五十二,卻以之一 之,三相乘,得三,除之得三百八十四石,為麻實。卻以 八十兩減去七十二兩,餘八兩為法,除之,得總麻四 十八石。另以不足一十六石為銀該麻之實。仍以前 法八除之,得每銀一兩,該麻二石。《合問》。

此「取錢買物」 數條,是帶「分母」 之法。。


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