欽定古今圖書集成/曆象彙編/曆法典/第122卷

曆象彙編 曆法典 第一百二十一卷 欽定古今圖書集成
曆象彙編 第一百二十二卷
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欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

 第一百二十二卷目錄

 算法部彙考十四

  算法統宗十方程章第八 句股章第九

曆法典第一百二十二卷

算法部彙考十四编辑

《算法統宗十》
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方程章第八编辑

方,正也。程,數也。以諸物總併為問,去繁就簡為主。乃 諸物繁亢,諸價錯雜,必須布置行列,或損益加減,同 異正負,逓互遍乘,求其有等,以少減多,餘物為法,餘 價為實,性實相除,得一價以推其餘。若繁雜甚者,次 第求之。

正者,正數;負者,欠數。

二色方程歌

世人欲要識方程,物價俱將左右陳。右上法乘左中 下,次將左上右行乘,中間相減餘為法,下位相減餘 實情。法除實為右中價,得價,須將右中乘右下價,內 減去積餘為實,數甚分明。右上為法除下實,便為上 價細推尋。

今有馬三匹、牛二頭,共價銀一百一十四兩;又馬四 匹、牛五頭,共價一百六十二兩五錢;問馬、牛價各若 干?

答曰:「馬每匹價三十五兩,牛每匹價四兩五錢。」 法曰:「列所問數。」

 上馬。三匹為法。先乘左中牛二。乘得八  下價。一百一十四兩 得。四百五十六兩  上馬。四匹為法。次乘右中牛五。乘得一十五  下價。一百六十二兩五錢 得。四百八十七兩五錢 先以右行馬三為法,遍乘左行中牛五,得一十五。又 以法乘左行下價一百六十二兩五錢,得四百八十 七兩五錢。卻以左行馬四為法,復遍乘右行中牛二, 得八,減左行乘,得牛十五,餘七為法。又以左上馬四 乘右下價一百一十四兩,得四百五十六兩;減左行 乘價四百八十七兩五錢,餘三十一兩五錢為實。以 法七除之,得牛匹價四兩五錢。卻以右行中牛二乘 之,得九兩,以減右行下價一百一十四兩,餘一百零 五兩為實。以右行馬三為法,除之,得馬一匹價三十 五兩。《合問》

今有綾三尺,絹四尺,共價四錢八分;又綾七尺,絹二 尺,共價六錢八分。問綾、絹各價若干?

答曰:「綾每尺價八分,絹每尺價六分。」

法曰:「列所問數。」

 綾:三尺為法。先乘左 絹:四尺得。二十八 價。四錢八分 得三兩三錢六分。  綾:七尺為法。次乘右 絹:二尺乘得:  價。六錢八分 乘,得二兩零四分。 先以右行綾三為法,遍乘左、中、下,得數。卻以左行綾 七為法。復遍乘右行中絹四,得二十八。減左行中,得 絹六,餘二十二為法。又以左綾七乘右價四錢八分, 得三兩三錢六分,減左行乘,得價二兩零四分,餘一 兩三錢二分為實。以法二十二除之,得絹每尺價六 分。就以右行絹四尺乘之,共得絹價二錢四分。以減 右行價四錢八分,餘二錢四分,以綾三尺為法除之, 得綾每尺價八分。《合問》:

三色方程歌

三色方程法,更《奇物價》:三行左作基,左右互乘,須減 盡中下價。餘左位宜又列,二行仍乘減中中左中減 無餘,下餘為法價。餘實法實相除,下價知。

此三色「方程已後,內中或有正、負,同異、加減者。」

今有硯三箇,墨五匣,筆九枝,共價八錢一分;又硯四 箇,墨六匣,筆七枝,共價八錢九分;又硯五箇,墨七匣, 筆八枝,共價一兩零六分。問硯、墨、筆各價若干? 答曰:「硯每箇八分,墨每匣六分,筆每枝三分。」

法曰:「列所問數。」

 硯。為法。先乘左右墨。得。二十 筆。得。三十六價。八錢一分 得三兩二錢四分。  硯。得。一十二  墨。得。一十八筆。得。二十一價。八錢九分 得二兩六錢七分。  硯。得。一十五  墨。得。二十一筆。得。二十四價。一兩零六分得三兩一錢八分。 先以右行「硯三」為法,遍乘左中二行,得數。卻以中行 「硯四」,遍乘右行墨筆,得數墨得二十,筆得三十六,價 得三兩二錢四分,與中行對減餘墨二筆十五,價五 錢七分,另列右位。又以左行「硯五」為法,遍乘右行墨 筆,得數墨二十五,筆四十五,價四兩零五分,與左行 對減,餘墨四筆二十一,價八錢七分,另列左位,再列 減餘以分左右位數以右行墨二為法,遍乘左行筆 價,得數,列左位。

 墨。 筆。十五  得。六十 價。五錢七分 得二兩二錢八分。  墨。 筆。二十一 得。四十價。八錢七分  得一兩七錢四分。 復以左行墨四為法,遍乘右行筆價,得數,列右位,卻 以左右對減墨盡餘得筆一十八枝為法。又以餘價得數相減,餘五錢四分為實。以法除實,得筆價每枝 三分。就以筆價乘後右餘筆十五,得四錢五分。以減 右行餘價五錢七分,餘一錢二分,以右行餘墨二為 法,除之,得墨價每匣六分,於前右行原價八錢一分, 內減原筆九價二錢七分,原墨五價三錢,餘二錢四 分為實。以前右原硯三為法除之,得硯價每箇八分。 今有馬一匹,騾二匹,驢三匹,皆載四石二斗,至坡皆 不能上。馬借騾一匹,騾借驢一匹,驢借馬一匹,方過 其坡,問三等力各若干。

答曰:「馬二石四斗,騾一石八斗,驢六斗。」

法曰:「列所問數。」

《正馬》:為法。先乘左中 騾。 下空 四石二斗。  《空 正騾》。 驢。 四石二斗。 馬。 《空》。負一 正驢。得。 四石二斗, 得四石二斗。 先以右行正馬一為法,遍乘左行中下,得數。卻以左 行借馬一為法,遍乘右行中下,得數,中得一。因左行 中空無減,加入負騾一,下空無數,轉乘本行下正驢 三,得三四石二斗,得四石二斗,與左行減盡。又以中 行正騾二,遍乘左行中下,得數,中加一得二,下三得 六四石二,得八石四斗。再以左行中一為法,遍乘中 行中下,得數。中中正二得二,與左中二減盡下一得 一,加左行下六得七為法。四石二斗得四石二斗。與 左行八石四斗對減,餘四石二斗為實。以法除之,得 驢匹力六斗。中行四石二斗內減借驢一匹,除六斗。 仍三石六斗作騾二匹除之,得騾力一石八斗。右行 四石二斗內減借中行騾一匹,除一石八斗,餘二石 四斗,為馬一匹力,《合問》。

今有硃二斤、粉三斤,價二兩零四分;又粉五斤、丹六 斤,價六錢四分;又硃三斤、丹七斤,價二兩九錢八分。 問三色各價若干?

答曰:「硃每斤九錢,粉每斤八分,丹每斤四分。」

法曰:「列所問數。」

 硃。為法。先乘左行 粉。 得。 空 價。二兩零四分  空 粉。 丹。 價。六錢四分  硃。 《空》。負九 丹。得。一十四價。二兩九錢八分 得五兩九錢六分。 先以右行硃二為法,遍乘左行,得數列于左位。卻以 左行硃三為法,遍乘右行粉三,得九。左空亦立負九 價二兩零四,得六兩一錢三分。與左行得數五兩九 錢六分對減,餘一錢六分。又以中行粉五為法,遍乘 左行粉負九,得負四十五,丹十四,得七十。餘價一錢 六分,得八錢。再以左行負粉九為法。遍乘中行粉五, 得四十五,與左行負粉對,減盡丹六,得五十四異加 左丹七十,共一百二十四為法。以中原價六錢四分, 亦以負粉九乘,得五兩七錢六分,減左餘價八錢,餘 四兩九錢六分為實。以法除之,得丹每斤價四分。於 中行價六錢四分內,減原丹六,共價二錢四分,餘價 四錢為實。以粉五為法除之,得粉每斤價八分。又於 右行價二兩零四內,除粉三斤,共減價二錢四分,餘 價一兩八錢為實,以硃二斤為法除之,得硃每斤價 九錢。《合問》

今有鵝四隻、鴨三隻,共價七錢五分;又鵝三隻、雞四 隻,共價六錢;又鴨五隻、雞六隻,共價八錢一分;問三 色價各若干?

答曰:「鵝每隻價一錢二分,鴨每隻價九分,雞每 隻價六分。」

法曰:「列所問數。」

 鵝。為法。先乘中行 鴨。中法。乘得九 空, 七錢五分。中法乘得二兩二錢五分  鵝。為法。次乘右行 《空》。照左負九  雞。四右法乘得十六左法乘得八十 六錢。右法乘得二兩四錢咸右餘一錢五分左法乘得七錢五分  空  鴨:中法。負九乘得四十五 雞。中法。負九乘得五十四 八錢一分。中法負九乘得七兩二錢九分 先以右行鵝四為法,遍乘中行,得數雞一十六,價二 兩四錢,列中位。又以中行鵝三為法,遍乘右行,得數, 鴨九,價二兩二錢五分,列右位。以中右對減餘雞一 十六,價一錢五分,又列中位為用。再以左行鴨五為 法,復遍乘中行,得數鴨照右設立負九,得四十五,雞 十六,得八十,價一錢五,得七錢五分,列中位。又以中 行負九為法,遍乘左行,得數鴨四十五,雞五十四,價 七兩二錢九分,列左位。以中左對減鴨盡雞中行八 十,加左行五十四,共一百三十四為法。以價中七錢 五分,加左七兩二錢九分,共八兩零四分為實。以法 除之,得六分,為雞一隻之價。另以左行原價八錢一 分,減雞六隻,共價三錢六分,餘四錢五分,以鴨五隻 為法除之,「得鴨價每隻九分。」再以右行原價七錢五 分,減鴨三隻,共價二錢七分,餘四錢八分,以鵝四為 法除之,「得鵝每隻價一錢二分。」《合問》

今有賣二牛五羊買十三豬,剩銀五兩;賣一牛一豬 買三羊適足;賣六羊八豬買五牛,少銀三兩。問牛、羊、 豬各價若干?

答曰:牛價銀六兩,羊價銀二兩五錢,豬價銀一 兩五錢。

《法》曰:「以賣牛為正,以買豬為負,以多為正,以少為負」, 列所問數  牛。二為《法 羊》。五、 豬《十三》。 五兩。  牛。一、 羊《三》。得負六 豬。一、得正二 《空適足》。  牛。五、 羊六。得正十二 豬。《八》。得正十六 三兩。得六兩 先以右行牛正二為法,遍乘中左二行,得數。卻以中 行牛正一為法,復遍乘右行羊正五,得正五異加中 行羊負六,共得羊負十一;豬負十三,得負十三。異加 中行豬正二,共得豬正十五;價正五兩,得正五兩;因 中行價空無減,得正五兩。再以左行牛負五為法,復 遍乘右行羊正五,得羊正二十五,同名;加左羊正十 二,共得三十七;豬負十三,得豬負六十五。異減左行 豬正十六,餘得豬負四十九;價正五兩,得正二十五 兩;異減左行負六兩,餘得負一十九兩。再以中行羊 負十一為法,遍乘左行羊正三十七,得羊正四百零 七;豬負四十九,得豬負五百三十九;價負一十九兩, 得價負二十兩零九錢。卻以左行羊正三十七為法。 復遍乘中行羊負十一,得羊負四百零七,與左行羊 正四百零七異名對。減盡豬正十五,得豬正五百五 十五。異減左行豬負五百三十九,餘得豬正一十六 為法。價正五兩,得正一十八兩五錢異減左行價二 十兩零九錢,餘得正二兩四錢為實。以法除之,得豬 價一兩五錢。中行豬「正十五」,以價一兩五錢乘,得二 十二兩五錢,加正五兩,共二十七兩五錢。以羊十一 除之,得羊價二兩五錢。右行「豬負十三」,以價一兩五 錢乘,得一十九兩五錢,加入正五兩,共得二十四兩 五錢。減五羊價,共一十二兩五錢,餘得一十二兩。以 牛二除之,得牛價六兩。《合問》。

四色方程歌:附:「五六色」 倣數

四色方程法可誇,須存末位作根芽。諸行乘減同前 例,偶與奇行認莫差。若遇奇行須減價,偶行之價要 相加。加減作實須加法,減法亦須減法佳。隨問幾多 繁雜色,憑斯推廣更無他。

今有瓜二箇、梨四箇,共價四分;梨二箇、桃七箇,共價 四分;桃四箇、榴七箇,共價三分;瓜一箇、榴八箇,共價 二分四釐。問各該價若干。

答曰:「瓜八釐,梨六釐,桃四釐,榴二釐。」

法曰:列所問數,以一行、三行為奇,二行、四行為偶。  《瓜》。 《梨》。 《空 空 價》四分。  空 梨。  空 價四分。  空 空。  《榴》: 價三分。  《瓜》。 《空》。負四 《空 榴》:得。一十六 價二分四釐, 得四分八釐。 先以一行瓜二為法,遍乘四行梨空,負四桃空榴八, 得一十六,價二分四釐,得四分八釐。卻以四行瓜一 遍乘一行梨四,得四。第四行梨空,無減桃空價四分, 得四分。與四行四分八釐對減,餘八釐。次以二行梨 二遍乘四行梨負四,得八桃空榴十六,得三十二,價 八釐,得一分六釐。卻以四行梨負四遍,乘二行梨二, 得八。與二行梨八對,減盡桃七,得二十八;榴空價四 分,得一錢六分;加四行一分六釐,共一錢七分六釐。 又以三行桃四遍,乘四行桃負二十八,得一百一十 二;榴三十二,得一百二十八,價一錢七分六釐,得七 錢零四釐。卻以四行桃負二十八遍,乘三行桃四,得 一百一十二。與四行桃減盡榴七,得一百九十六。減 四行榴一百二十八,餘六十八,為法。價三分得八錢 四分。減四行價七錢零四釐,餘一錢三分六釐為實。 以法除之,得二釐,為榴價。於三行價三分內,減榴七, 共價一分四釐,餘一分六釐。以桃四除之,得四釐,為 桃價。於二行價四分內,減七桃價,共二分八釐,餘一 分二釐,以二梨除之,得六釐,為梨價。於一行價四分 內減四梨,共價二分四釐,餘一分六釐,以二瓜除之, 得八釐,為瓜價。《合問》:

今有絹三疋添價六錢,買布十疋;又布五疋添價一 錢,買絹二疋。問絹、布價各若干?

答曰:「絹疋價八錢,布疋價三錢。」

法曰:「如前《正負術》之法。」此問可作盈不足算

 《絹三》為《法 布》十疋。 價六錢。  絹二。 布五疋。得正十五 價一錢。得三錢。 先以右行絹正三為法,遍乘左行布正五,得正一十 五。價正一錢,得正三錢。卻以左行「絹負二」為法,遍乘 右行布負十疋,得正二十疋。減左行布正十五,餘五 為法。價正六錢得一兩二錢,加左行三錢,共一兩五 錢為實。以法除實得三錢,為《布疋》價。卻以左行布五 疋,以每疋三錢乘之,得一兩五錢,加添價一錢,共一 兩六錢,以絹二疋除之,得絹疋價八錢。《合問》。

句股章第九编辑

「橫闊謂之句,直長謂之股,兩隅斜去謂之弦。」此章以 句股求弦之斜,句弦求股之長,以股弦求句之闊。求。

句股形圖

句股形圖

「《句股中》容方容圓。」 求山之高,水之深,城之廣,路之遠,皆可知也。

「句股之形」 ,即今木匠曲尺之

《形也》句是尺,股是尺稍,自尺頭至稍尾斜去,是弦也。

設如句三尺,股四尺,弦即五尺也。

句股名義。「生變」 有一十三。

《句》。橫曰句      句股較。句股相減

句弦較。句弦相減   句股和。句與股併

句弦和。句與弦併

股。直曰股      股弦較,股弦相減

股弦和。股與弦併

弦。斜曰弦      弦較和。弦與句股較併 《弦和》和。弦與句股和併 弦和較。弦與句股和相減 《弦較》較。弦與句股較相減

句股論說釋義

假如:句,二十七步;股,三十六步;弦,四十五步。

其「求句、求股、求弦,容方、容圓」,另具圖於後。

句股之法:橫曰句,直曰股,斜之為弦,句二。

十七,股三十六相減,其差九曰較。句股相併,得六 十三,曰和股。三十六,減弦四十五之差九曰股弦 較。句二十七,弦四十五之差十八,曰句弦較。併 句股共六十三,減弦四十五之差十八,則曰弦和較。

弦四十五。減句股之差九,其差三十六,曰「弦較。」 較股弦相併,得八十一,則曰股弦和。句弦相併,得

七十二曰句弦和。句股之差九,併弦共五十四,則 曰「弦較。」和句股弦併得一百零八曰弦和和倍 弦實。即弦自乘倍之得四千零五十,減句、股和,自乘,得三千 九百六十九,餘八十一,為實。平方開之,得九,為句股 較。前倍弦實,減句、股較,九自乘,得八十一,餘三千 九百六十九。平方開之,得六十三,為句股和;併句 弦共七十二,除股自乘,得一千二百九十六,得十八, 為句股較,即句弦之差。十八除股自乘,得一千二 百九十六,得七十二,為句弦和。併得股弦共八十一。 以除句自乘,得七百二十九,得九,為股弦較,即股 弦之差。九除句自乘,得七百二十九,得八十一,為股 弦和。句股和六十三自乘,得三千九百六十九,減 弦自乘,得二千零二十五,餘一千九百四十四,為實。 以弦較較三十六除之,得五十四,為弦較和。弦較 和除前實,得弦較。較句股之差九自乘,得八十一, 以減弦自乘,得二千零二十五,餘一千九百四十四, 為實。以弦和和一百零八除之,得十八,為弦和較。 弦和較除前實,得弦和和句二十七,加股弦較九, 共三十六,即弦較較。句二十七,減股弦較九,餘十 八,即弦和較句加弦較和五十四,共八十一,即股 弦和。股三十六;加句弦較十八,共五十四,即弦較 和股三十六;減句弦較十八,餘十八,即弦和較。 股加弦較較三十六,共七十二,即句弦和。句股較 九;加股弦較九,共十八,即句弦較。句股較九;減股 弦和八十一,餘七十二,即句弦和句股和六十三; 加股弦較九,共七十二,為句弦和。股弦和八十一, 減句股和六十三,餘十八,即句弦較。句股較九,加 句股和六十三,共七十二,半之為股。句股和六十 三,減句股較九,餘五十四。折半為句股弦較九,加 股弦和八十一,共九十半之為弦。股弦和八十一, 減股弦較九,餘七十二,半之為股。句弦較十八,加 句弦和七十二,共九十半之為弦。句弦和七十二, 減句弦較十八,餘五十四,半之為句。弦和較十八, 加弦和和一百零八,共一百二十六,半之為和。弦 和和一百零八,減弦和較十八,餘九十,半之為弦。 弦較較三十六,加弦較和五十四,共九十,半之為弦。

弦較和五十四;減弦較;較三十六,餘十八。半之為

《較》「變而通之,神而明之」,存乎其人焉。

「句股求弦」 ,句弦求,股股弦求句共歌。

句股求弦各自乘,乘來相併要分明。開方便見弦之 數,法術從來有見成,句弦求股要推詳,各自乘來各 一張,以少減多餘作實,實求股數要開方。弦股求句 皆一例,算師熟記莫相忘。

句股求弦法曰:「置句自乘,股自乘,併二數,以開平方 法除之,得弦數。」

其句自乘,股自乘,二數併之,合弦自乘數,故用《開平》方法除之,即得弦斜數也。

句弦求股法曰:「置弦自乘,內減、句自乘,餘以開平方 除之,得股長數。」

其弦自乘數內有一句自乘,一股自乘數,今減去句自乘數,餘是股自乘數,故用《開平方》除之,得股長數。

股弦求句法曰:「置弦自乘,內減股自乘,餘以開平方 除之,得句闊數。」

其弦自乘,有一句一股自乘數,今減去股自乘數,餘是句自乘數,故用《開平方》除之,得句闊數。

今有句二十七尺,股三十六尺,問弦斜若干?

答曰:「弦斜四十五尺。」

法曰:置句二十七尺自乘,得七百二十九尺。另以股 三十六尺自乘,得一千二百九十六尺。二數併之,得 二千零二十五尺,為實。乃合弦自乘數,以開平方法除之。初商四十於左,亦置四十於右,為方法。左四對, 右四呼,四四除實一千六百尺,餘實四百二十五尺。 卻以下位初商方法四十倍,作八十,為廉法。次商五 尺於左位。初商四十之次,亦置五於右位。廉法八十 之次,為隅法。左五對右八呼,五八除實四百。又左五 對右五呼,五五除實二十五尺。恰盡得弦斜四十五 尺。

今有句二十七尺,弦四十五尺,問股長若干?

答曰:「股長三十六尺。」

法曰:置弦四十五尺,自乘,得二千零二十五尺,內有 一句,一股自乘之數。另以句自乘,得七百二十九尺。 二數相減,餘一千二百九十六尺,為實。是股自乘數。 以開平方法除之。初商三十於左位。亦置三十於右 位,為方法。左三對右三呼,三三除實九百,餘實三百 九十六尺。另以下位初商三十倍作六十,為廉法。次 商六尺於左。三十之次,亦置六於右。廉法。六十之次, 為隅法。左六對右六呼,六六除實三百六十。又左六 對右六呼,六六除實三十六尺,恰盡得股長三十六 尺。合問。

今有股三十六尺,弦四十五尺,問句闊若干?

答曰:「句闊二十七尺。」

法曰:置弦四十五尺,自乘,得二千零二十五尺,內有 一句一股自乘之數,另以股自乘,得一千二百九十 六尺。二數相減,餘七百二十九尺,為實。是句自乘數以《開 平》方法除之。初商二十於左,亦置二十於右,為方法。 左二對右二呼,二二除實四百,餘實三百二十九尺。 卻以下位初商二十倍作四十,為廉法。次商七尺於 左,初商二十之次,亦置七尺於右,廉法四十之次,為 隅法。左七對右四呼,四七除實二百八十。又左七對 右七呼,七七除實四十九,恰盡得句闊二十七尺,合 問。

句股容方容圓共歌

句股容方法最良,以句乘、股實相當,併之句、股數為 法,以法除實,便知方句股容圓法可知。句、弦、股數併 為奇,三數併來為法,則句股相乘,倍實,宜法除倍實 為圓數,算者詳之不用疑。

今有句股內容方句二十七尺,股三十六尺,問中容 方面徑若干?

勾股容方圖

勾股容方圖

答曰:「中容方面一十五尺有畸」 ,法曰:置句二十七尺,乘股三十六尺,得九百七十二尺為實,以句股併,得六十三尺為法,除之。

得中容方面徑一十五尺有畸。

今有句股容圓句二十七尺,股三十六尺,弦四十五 尺,問中容圓徑若干?

句股容圓圖

答曰:中容圓徑一十八尺。法曰:置句二十七尺,股三十六尺,相乘得九百七十二尺,倍之,得一千九百四十四尺,為實併。

句、股弦三數共一百零八為法,除實,得容圓徑一十 八尺。合問:

今有句股玉一塊,長一尺二寸,闊六寸,今欲截角為 方,取印一顆,問方面若干。

答曰:「方面四寸。」

勾股容方圖

法曰:置句股相乘,得七十二寸為實,以句股相併,得十八為法,除之,即得。

若以圓徑十八尺,用一尺二寸歸除,得方徑十五尺。若

以方徑十五尺,用一尺二寸乘之,得圓徑十八尺。

較求句股弦共歌。「較差也」 ,是股弦相差及句弦相差也。

股較求股,句自乘,股較自乘,減句,盈減除句,餘為實 數。股較倍之,為法。行法實相除,為股數。句較求句,一 樣成弦較。求弦句自乘,弦較除之,為實情。仍加弦較, 須折半就,得弦長數,即成。

今有句闊二十七步,只云「弦多股九步」,問股弦各若 干?

答曰:「股三十六步,弦四十五步。」

法曰:置句二十七步,自乘,得七百二十九步。另以弦 多股九步為股較,即以此自乘,得八十一步,二位相 減,餘六百四十八步為實,倍較九步,得一十八步為 法,除之,得股長三十六步。加較九步,得弦長四十五 步。合問。

此是「《股較》求股」 ,即「股弦相差」 也。

一法名弦較。求弦,置句自乘,得七百二十九步,為實。 以弦較九步為法,除之,得股。弦和八十一步,仍加弦 較九步,得九十步。折半是弦長四十五步。內減較九 步,是股長三十六步,亦可得也。

今有葭二莖生池中,並根杪齊,出水三尺,即葭一莖 斜去至岸九尺,與水適平,問水深若干?

答曰:「水深一丈二尺

股較求股圖

股較求股圖

法曰置去岸九尺為句自乘得八十一尺以出水三尺為股較自乘得九尺以減八十一尺餘七十二尺為實以較三尺倍作六尺

為法除之,得水深一丈二尺,合問。水深如股葭至岸如弦 「今有句九尺,卻將弦比股,有餘三尺。」問「弦、股各若干?」 答曰:「弦一十五尺,股一十二尺。」

法曰:以句九尺自乘,得八十一尺為實。以多三尺為 法,除之,得二十七尺,減去多三尺,餘得二十四尺,折 半得股長一十二尺。加入弦多三尺,得弦一十五尺。 《合問》。

今有立木,不知其高,索不知其長,垂索委地二尺引。

股較求股弦

股較求股弦

索去木八尺其索斜柱地適盡問木高索長各若干答曰木高一丈五尺索長一丈七尺

法曰置去木八尺為句自

乘得六十四尺。以委地二尺為股較,自乘得四尺。以 減六十四尺,餘六十尺為實。以較二尺,倍作四尺為 法,除之,得木高一丈五尺。如股加較二尺,得索長一 丈七尺。如弦合問。若以弦較求弦法,置去木八尺 為句,自乘,得六十四尺為實。以委地二尺如弦較為 法除之,得三十二尺。加弦較二尺,共得三十四尺。折 半得索長一丈七尺。將弦內減去較二尺,得木高一 丈五尺,即股。

今有廳門外,懸簾下垂,離地五寸,引簾離閾六尺,離

弦較求弦圖

弦較求弦圖

地二尺五寸。問:「簾高若干?」 答曰:「簾高一丈。」

法曰:置去閾六尺為句,自乘,得三十六尺,以離地二尺五寸減去原離地五寸,餘二尺,為弦較。

除之,得一十八尺,加弦較二尺,共得二十尺,折半得 簾高一丈。《合問》:

今有開門,去閾一尺,不合二寸。問「門廣若干?」

答曰:「門二扇,廣九尺九寸。」

股較求股圖

股較求股圖

法曰:置去閾十寸為句,自乘,得一百寸,以不合二寸折半,得一寸,為股較自乘,得一寸,以減一百寸,餘九十九寸為實,以較一。

寸倍作二寸為法,除之,得一扇門廣四尺九寸五分, 如股倍之,得二扇門廣九尺九寸,合問。

今有牆高一丈,斜倚二木於上,木杪與牆頭齊,其木 根抵地,卻將木一根平臥於地,其木杪抵牆腳,此木 根則過斜木根一尺,問木長併去牆若干?

弦較求弦股圖

弦較求弦股圖

答曰:「木長五丈零五寸,去牆四丈九尺五寸。」

法曰:依「弦較」 求弦,以牆高十尺為句,自乘,得一百尺,以過斜木根一尺為弦較,除之如故。一百尺加較一尺,共得一百零一尺,折半得木長五丈零五寸。如弦減過斜木一尺,餘如股至牆四丈九尺五寸。合問。

今有《圓木泥》在壁中,不知,徑以鋸鋸之,深一寸鋸道

弦較求弦圖

弦較求弦圖

長一尺問木徑若干答曰木徑一尺六寸法曰置鋸道一尺折半得五寸為句自乘得二尺五寸為實以深一寸為股較除之如故得二尺五寸為

股加深一寸,共得木徑二尺六寸。合問此如圓田 中截去一張矢田問原徑同法。置鋸道一尺,如弧矢 之弦,折半得五寸,自乘,得二尺五寸為實。以深一寸, 如矢為法除之,得二尺五寸,併入矢深一寸,共二尺 六寸,為圓木原徑,亦得。

今有圓木徑二尺六寸,鋸深入木八寸,問鋸道長若 干?

答曰:「鋸道長二尺四寸。」

此問與右圖式相同,今以數併注于圖內徑左,以便共覽。

法曰:以徑二尺六寸減深八寸,餘一十八寸,復以鋸 深八寸乘之,得一百四十四寸為實。以《開平方法》除 之,得一十二寸,倍之得二尺四寸。合問。

今有股長三十六步,只云「弦多句十八步」,問句、弦各 若干?

答曰:「句二十七步,弦四十五步。」

法曰:置股三十六步,自乘,得一千二百九十六步。另 以弦多句一十八步為句較,自乘,得三百二十四步, 二位相減,餘九百七十二步為實,倍較十八,得三十 六步,為法,除之,得句一十七步,加較一十八步,得弦

長四十五步。合問。此即句弦相差
考證.svg
一法名弦較。求弦,置股自乘,得一千二百九十六步

為實。以弦較十八步為法除之,得句。弦和七十二步, 仍加較一十八步,共九十步,折半得弦四十五步。內 減較一十八步,餘二十七步,即句之數也。

今有弦長四十五步,只云「股多句九步,問句、股各若 干?」

答曰:「句二十七步,股三十六步。」

法曰:置弦四十五步,自乘,得二千零二十五步。另以 股多句九步為句,股較自乘,得八十一步。二位相減, 餘一千九百四十四步,加入弦自乘,得二千零二十 五步,共三千九百六十九步,為實。以開平方法除之, 得句股相和六十三步,加入差九步,共得七十二步, 折半得股三十六步。內減差九步,餘得句二十七步。 合問。

今有戶高多廣六尺八寸,兩隅斜去十尺,問高廣各 若干?

答曰:「高九尺六寸,廣二尺八寸。」

法曰:置兩隅斜十尺,如弦自乘,得一百尺。另以高多 廣六尺八寸為句股較自乘,得四十六尺二寸四分, 二位相減,餘五十三尺七寸六分,加入斜自乘,得一 百尺,共一百五十三尺七寸六分,為實。以開平方法 除之,得句股相和一丈二尺四寸;加入差六尺八寸, 共得一丈九尺二寸。折半,得高九尺六寸。內減差六 尺八寸,餘得廣二尺八寸。《合問》:此二條即句股相差

《股別》句。「弦歌。」附:「句別股弦,即句弦和,亦即股弦和。」

股別、句弦,股自乘,句,弦自乘,減股,零折半留為句實 積,句弦為法最公。平法,除句積,為句數。句別、股弦,依 此行。

今有竹高一丈,為風所折,仆地稍尖,去根三尺問折。

股別勾弦圖

股別勾弦圖

處高若干

答曰高四尺五寸五分法曰置去根三尺如句自乘得九尺是以竹高一丈如股弦和為法除之得九

寸以減股弦和一丈,餘九尺一寸,折半得四尺五寸 五分,即是折處高股也。

今有股長三十六步,只云「句弦相和七十二步,問句 弦各若干?」

答曰:「句二十七步,弦四十五步。」

法曰:置股三十六步,自乘,得一千二百九十六步,另 以句弦和七十二步自乘,得五千一百八十四步,二 位相減,餘三千八百八十八步,折半,得一千九百四 十四步,為實。以句弦七十二步為法,除之,得句二十 七步,以減句弦和餘,得弦四十五步。合問。

一法,以股自乘,得一千二百九十六步為實。以句弦 和七十二步為法除之,得句、弦相差一十八步。仍加 和七十二步,共九十步,折半,得弦四十五步。內減差 一十八步,餘二十七步,是句亦得。此乃句弦和 今有句闊二十七步,只云「股弦相和」八十一步,問股 弦各若干?

答曰:「股三十六步,弦四十五步。」

法曰:置句二十七步,自乘,得七百二十九步。另以股 弦和八十一步自乘,得六千五百六十一步,二位相 減,餘五千八百三十二步,折半,得二千九百一十六 步為實。以股弦和八十一步為法,除之,得三十六步, 為股長。以減股弦和八十一步,餘四十五步,為弦合 問。

今有弦長四十五步,只云「句股相和六十三步,問句、 股各若干?」

答曰:「句二十七步,股三十六步。」

法曰:置弦四十五步,自乘,得二千零二十五步。另以 句股和六十三步自乘,得三千九百六十九步。二位 相減,餘一千九百四十四步。再減弦自乘,得二千零 二十五步,餘八十一步。以開平方法除之,得句股相 差九步,加入相和六十三步,共七十二步,折半,得股 三十六步。內減去差九步,餘得句二十七步。合問。此是 句股相和

《句弦較股弦較》歌。此是「句弦差,又股弦差。」

句弦股較法尤精,句乘、股較二來因平,方開見弦和 數和,加句較股分明,股較加和句可見,算師熟記看 《靈扃》。

今將弦比句,餘四尺;復將弦比股,餘二尺,問句弦、股。

勾弦股較圖

勾弦股較圖

各若干

答曰:「句六尺,股八尺,弦一丈。」

法曰:以句較四尺乘股較二尺。

得八尺,倍之,得一十六尺,為實。以《開平方法》除之,得 四尺;加入股較二尺,得六尺,為句。另以四尺加入句 較四尺,得八尺,為股。又加入股較二尺,得一丈,為弦。 合問

今有直田,不知長闊,只云隅斜比長多二步,又云「斜比闊多九步。問長闊及斜各若干?」

答曰:「長一十五步,闊八步,斜一十七步。」

法曰:置句弦較九步,以股弦較二步乘之,得一十八 步,以二因之,得三十六步,為實。以《開平》方法除之,得 弦和六步;加句較九步,得股長一十五步。另以弦和 六步,加股較二步,得闊八步;再加句較九步,得斜弦 一十七步。合問。

今有句弦和七十二步,股弦和八十一步,問句、股弦 各若干?

答曰:「句,二十七步;股,三十六步;弦,四十五步。」

法曰:置句弦和七十二步,以股弦和八十一步相乘, 得五千八百三十二步,倍之,得一萬一千六百六十 四步,為實。以《開平》方法除之,得句股弦和一百零八 步。以減股弦和八十一步,餘得句二十七步。又置一 百零八步,內減句弦和七十二步,餘得股三十六步。 又置一百零八步,以減句二十七步,減股三十六步, 餘得弦,四十五步。此是句弦和又股弦和

今有直田,積一百二十步,廣不及縱七步。問廣若干? 答曰:「廣八步。」

法曰:置田積一百二十步,以四因之,得四百八十。以 較七步自乘,得四十九步,相併得五百二十九步。以 開平方法除之,得句股和二十三步,加較七步,共得 三十步,折半得股長一十五步。內減較七步,餘廣八 步。

今有井,不知其深。井徑五尺,直立木五尺於井上,從 木末望井底,人目入徑四寸,問井深若干?

答曰:「井深五丈七尺五寸。」

法曰:以井徑五尺,除目入四寸,餘四十六寸,與木高 五十寸相乘,得二千三百寸,為容方積。以餘句四寸 為法,除之。

今有邑,不知大小,四面居中開門。西門外三十步有。

餘勾餘股求容方

餘勾餘股求容方

木一根出南門外七百五十步見木問邑方若干答曰邑方三百步

法曰出西門三十步為餘句出南門為餘股相乘得

二萬二千五百步。以平方開之,得一百五十步,為半 邑之方。倍之,為全邑方也。即句股容方

今有邑,方二百步,四面居中開門。東門外一十五步。

容方餘勾求餘股

容方餘勾求餘股

有木一根問出南門若干答曰六百六十六步六分步之一

法曰半邑方為容方一百步自乘得一萬步為實以

東門外十五步為餘句,為法除之,合問。此是容方與餘句求餘股

求高求遠法

海島題解

魏劉徽註《九章》,重立差著於句股之下,以闡世術。夫 度高測深,非句股之法,則無可知矣。故以「重表」「累矩」, 旁求審察。其窺望海島,隔水望木,是「重表」也;其岸望 谷深,山望津廣,是「累矩」也。以海島去表,為之篇首,因 以名之,實《九章》之遺法也。後至唐李淳風而《續算草》, 宋楊輝《釋名圖解》,以伸前賢之美。《本經》題目廣遠,難 於引證,學者今將《孫子度影量竿》題問於前,引用詳 解,以驗海島之法,亦循循誘入之意。姑以一問,其餘 好學者自能觸類而考知矣。

假有立木不知高,日影在地長五丈,隨立一竿長一 丈,在邊,影長一丈二尺五寸。問「立木高若干?」

答曰:「木高四丈。」

法曰:置立木影,長五丈為實,以竿影長一丈二尺五 寸為法,除之,合問。

今有立木不知高,日影在地長四丈,隨立一竿長一 丈,在邊影長八尺。問「木高若干?」

答曰:「木高五丈。」

法曰:置木影,長四丈為實,以竿影八尺為法,除之,合 問。

右二問乃「《孫子》度影量竿」 之法。

遙望木竿歌

「望木須知立表竿,表離木處幾多寬。退行表後參眸 望,望表斜平」末與竿表數減除人目數,餘表乘遠實 相看,退行之數為法,則法實相除加一竿。

假有木不知高,從木腳量遠二十五尺,立一丈表竿, 表後退行五尺,用《窺穴》望表與木斜平,其人窺穴高 四尺,問木高若干?

答曰:「木高四丈。」

法曰:以表高十足,減去人目穴四尺,餘六尺。以乘表 竿去木遠二十五尺,得一百五十尺為實。以退行五 尺為法,除之,得三十尺,加表高十尺,得木高四十尺。 《合問》。

《解》曰:「木高如股」,是上節三十尺表高十尺 減人目四尺餘六尺是餘股 末如句二十五尺,表後退行五尺,是餘句木頂斜至

股較求高之圖

股較求高之圖

表末如弦表末斜至人目是餘弦弦之內外分二段句股其句中容橫股中容直二積皆同各一百五十尺以餘句五尺除橫積一百五十尺得積外之股即木上三十尺加表高十尺即木高四十尺以餘股六尺除直積一百五十尺得

「積外」之句,即木至表,二十五尺。古人以題易名若非釋名則無以知其源 今較還原法曰:置弦內外二句股木高四丈,內除人 目四尺,餘股各三丈六尺為長,以遠二十五尺,加退 後五尺,共三十尺為闊,相乘,得方積一千零八十尺。 今復將弦內外二股各長三十尺,二句各闊二十五 尺相乘,得方積七百五十尺。另以下句直長二十五 尺、闊六尺乘之,得直積一百五十。又以右邊股直三 十尺,以闊五尺乘之,得直積亦一百五十。再以餘句 五尺乘餘股六尺,得積三十尺。四共亦得一千零八 十尺。較之以合前數而不差也。

已上「遙望木竿」 ,是一表望木也。

今立表三尺六寸,退行二尺。又立表三尺,人目望其 高處,二表俱與參合。自前表相去二丈五尺,問高若 干?

答曰:「高一丈一尺一寸。」

法曰:置遠二十五尺,加入退行二尺,共二十七尺。以 二表相減,餘六寸乘之,得一十六尺二寸為實。卻以 退行二尺為法,除之,得八尺一寸;加入後表三尺,得 高一丈一尺一寸。《合問》:

若依前法,置前表三尺六寸,減去後表三尺,即是人 目數。餘六寸,以乘遠去二丈五尺得一丈五尺為實。 以退行二尺為法,除之,得七尺五寸,加入前表三尺 六寸,共高一丈一尺一寸。

今立表三尺,退行一尺八寸。又立表三尺六寸,人目 望其二表,俱對遠處參合,問遠若干。

答曰:「十尺零八寸。」

《法》曰:「置後表三尺六寸,以退行一尺八寸乘之,得六。」

句較求遠之圖

句較求遠之圖

十四寸八分為實,卻以二表相減,餘六寸為法。除之,得一十尺零八寸,為後表相去之遠。若以前表三尺,以退行一尺八寸乘之,得五尺四寸為實,卻以二表相減,餘六寸為法。除之得九尺,為前表相去之遠也。

窺望海島歌

望島知高法術奇。立來二表並高低表間尺數乘高 數以作實情更不疑。二表退行相減較減,餘為法以 除之。更將一表相加,併海島巔高盡可知。另置表間 之尺數,以乘前表退行,宜前法除之,知隔水,水程遠 近不差池。

假如隔水望木有竿,不知其高。立二表,各長一丈,前 後參直,相去一十五尺,從前表退行五尺,《人目》四尺, 窺望表與竿齊,平復從從表退行八尺,窺望亦與竿 齊,平。問竿高隔水各若干?

答曰:「竿高四丈,隔水廣二丈五尺。」

法曰:置表高十尺,減人目四尺,餘六尺。以相去一十 五尺乘之,得九十為實。另以前表退行五尺,減去後 表退行八尺,餘三尺為法。除實,得三十尺,加表高十 尺,得竿高四十尺。另置相去一十五尺,以前表退行 五尺乘之,得七十五尺。仍以前法三尺除之,得隔水 廣二十五尺。合問。

解曰:「前表是第一圖以表望木,後表是第二圖以表 望木,蓋總設人不知,所以分作兩圖。其以隔水望木 為問,設窺望海島為題,以重差為術,好事者引而伸。」

股較隔水望木之圖

股較隔水望木之圖

此乃二表

較數辨理

湊方式以

合總而不

差故也

之以發其餘也。其前表去木遠,乃小股中容積一段; 後表去木遠,乃大股中容積一段。以小容積減大容 積,其餘不盡者,乃前後表兩界之中各表間積。所以 古人以表高減人目四尺,餘六尺乘,為實。以前圖小 餘股五尺,減後圖大餘股八尺,餘三尺為法。除實,得 弦外之高,即木上節三十尺。加表高十尺,得木高四 十尺。本是大小容積相減,餘為實。以大、小餘股相減, 餘為法。除實,得弦外之高,加表高十尺,為木高也。 今有海島,不知其高遠。立表竿三丈,退行六十丈,又

窺望海島之圖

窺望海島之圖

立短表三尺,人目望其二表,俱與島峰參合;復卻退 行五百丈,又立表三丈,退行六十二丈,又立表三尺, 人目望其二表,俱與島峰參合。「問海島高遠各該若 干?」

答曰:「島高三里,一百三十八丈;島遠八十三里,六 丈。」

法曰:置表高三丈,減去短表三尺,即是人目數也。餘 二丈七尺。以表間相去五百丈乘之,得一千三百五 十丈為實。另置後表退行六十二丈,減去前表退行 六十丈,餘二丈為法。除之,得六百七十五丈,加入表 高三丈,共六百七十八丈。以里法一百八十丈為法, 除之,得島高三里一百三十八丈。又置表間相去五 百丈,以前表退行六十丈乘之,得三萬丈為實。亦以 所餘二丈為法,除之,得一萬五千丈。以里法一百八 十丈為法,除之,得島遠八十三里六丈。合問。


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