欽定古今圖書集成/曆象彙編/曆法典/第123卷

曆象彙編 曆法典 第一百二十二卷 欽定古今圖書集成
曆象彙編 第一百二十三卷
曆象彙編 曆法典 第一百二十四卷


欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

 第一百二十三卷目錄

 算法部彙考十五

 算法統宗十一難題一

曆法典第一百二十三卷

算法部彙考十五编辑

《算法統宗十一》
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難題一编辑

序目

夫難題昉於永樂四年,臨江劉公仕隆,偕內閣諸君 預修大典,退公之暇,編成《難法》,附於《九章通明》之後, 及錢唐吳信民九章比類,與諸家算法中詩詞歌括、 口號總集,名曰《難題》。難者,難也,然似難而實非難,惟 其詞語巧捏,使算師一時迷惑,莫知措手。不知難法 皆不離於九章。非九章之外,其難題惟在乎立法,立 法既明,則迎刃而破,又何難之有哉?今分列九章,《立 法明辯》,附集雜法於《統宗》之後,俾好事者共覽云。

方田一。凡七問。

《昨日丈量田地》,回記得長步整三十,廣斜相併五十 步,不知幾畝及分釐。

答曰:「二畝。」

法曰:置廣斜相併,五十步自乘,得二千五百步。另以 長三十步自乘,得九百步。二位相減,餘一千六百步, 折半,得八百步為實。以廣斜五十步為法,除之,得闊 一十六步,以乘長三十步,得四百八十步。以畝法二 四除之,合問。此是句弦和

三十八萬四千步正長端的無差誤,「六絲二忽五微 闊,不知共該多少畝。」

答曰:「一畝。」

法曰:「置長三十八萬四千步為實,以闊六絲二忽五 微」為法,乘之,得二百四十步,以畝法二四除之,合問。 此是直田長闊間積

一段環田徑不知,二周相併最幽微。皆知一畝無零 積,一百六十不差池。三般可以見端的,只要名家仔 細推。

答曰:「徑三步,外周八十九步,內周七十一步。」

法曰:通田一畝,得二百四十步為實。另以二周相併 一百六十步折半,得八十步為法。除之,得徑三步。以 三步自乘,得九步,以減八十步,餘七十一步為內周。 以減總一百六十,餘得外周八十九步。合問。

鳳棲梧

一叚環出余久慮,眾說分明,亦有誰人悟。忘了二周 併徑步,人道二周不及為差處。七十有餘單二步,三 事通知,答曰分明注。五畝二分無零數,元機奧妙堪 思慕。題解內周不及外周七十二

答曰:「徑一十二步,內周六十八步,外周一百四 十步。」

法曰:以畝法通田五畝二分,得一千二百四十八步, 倍之,得二千四百九十六步,為實。以不及七十二步, 以六除,得徑一十二步為法。除之,得二百零八步。以 減不及七十二步,餘一百三十六步,折半,得內周。六 十八步。加不及七十二步,得外周。合問。此是環田問周徑 《弧矢問難》已載《少廣章》中,故不重述。

雙搗練

長十六,闊十五,不多不少恰一畝內有八箇古墳墓。 更有一條十字路,闊一步,每箇墓周六步,十字路闊 一步,每畝價銀二兩五。除了墓,除了路,問君該剩多 少數?

答曰:「路墓共占地二分二釐五毫。」內八墓計二十四步路計三十步

路墓地圖

路墓地圖

《剩地》七分七釐五毫,該銀一兩九錢三分七釐五毫。

法曰:通田一畝,為二百四十步。於上,另置墓八箇,以每箇周六步自乘,得三十六步,以十二除。

之,得三步八墓,共積二十四步。又十字路闊一步長 一十六步,闊一十五步,二共三十一步。除路中心一 步,實三十步,加八墓,共二十四步,通共占地五十四 步。以畝法二四除之,得二分二釐五毫,為占地數。以 減去一畝,餘剩地七分七釐五毫,以每畝價銀二兩 五錢乘之,得剩地價銀。合問。

竿上安箍歌

「圓圓三丈一高,竿稍尖,頭徑尺二寬,今有鐵箍徑九 寸,試問將來何處安答曰:「自上而下,二丈二尺五寸。」

法曰:「置竿高三丈為實,以頭徑一尺二寸為法。」除之, 得二尺五寸。以箍徑九寸乘之,得自上而下二丈二 尺五寸。上安箍只離頭七尺五寸,合問。此如方錐作方臺問截高

今有直田,不知畝長闊相和十七步,平不及長廿五 尺,請問田該多少數?

答曰:「二分五釐,計六十步。」

法曰:置相和一十七步,減不及五步,餘一十二步為 長,以闊五步相乘,合問。

今有直田用較除,一百二十步無餘。長闊相和該一 百,問公三事幾何如?

答曰:「長六十步,闊四十步,較二十步。」

法曰:置較除一百二十步,減長、闊相和一百步,餘二 十步,為較。以減相和一百步,餘八十步,折半,得四十 步為闊。加較二十,得長六十。合問。

粟布二

啞子買肉歌

啞子來買肉。難言錢數目。一斤少四十。九兩多十六。 試問能算者。合與多少肉。

答曰:「一十一兩,每兩該錢八文。」

法曰:置少四十,加多十六,共五十六為實。以多十六 減九兩,餘七兩為法,除之得八文,卻以九兩因之,得 七十二,加多十六,共得原錢八十八文。以八歸之,得 肉一十一兩。《合問》:

解曰:若買一斤,少錢四十文;若買九兩,多錢十六文。

老人問甲歌

有一公公不記年,手持竹杖在門前。借問公公年幾 歲,家中數目記分明。「一兩八銖泥彈子,每歲盤中放 一丸。日久歲深經雨濕,總然化作一泥團。秤重八斤 零八兩,加減方知得幾年。」

答曰:「一百零二歲。」

法曰:置總八斤半,以每斤三百八十四銖乘之,得三 千二百六十四銖為實。以每歲一兩作二十四銖,加 入八銖,共三十二銖為法。除之《合問》。

西江月

「白麪,秤來四斤,使油一斤相和。今來有麪九斤,多六 兩五錢,不錯,已用香油和合二斤十二無訛,再添多 少麪來和,不會,應須問我。」 答曰:「添麪一斤九兩五錢。」 法曰:合,用異乘同除法。置今有油二斤十二兩,先將 十二兩化為七五於二斤之次,以乘原麪四斤,得麪 一十一斤為實。以原用油一斤為法,除之如故,仍得 實麪一十一斤,減去已用麪九斤六兩五錢,餘為添 麪一斤九兩五錢,《合問》。

梅氣清

三石五斗粟,會換芝麻三石足。又有五斗五升麻,換 來小麥量八斗。今有小麥換粟米九石六斗無零數。

《解題》曰:假如有粟米三石五斗,換芝麻三石,又如芝麻五斗五升,換折小麥八斗,今卻有小麥九石六斗,要換粟米,問該若干?

答曰:「粟米七石七斗。」

法曰:合用異乘、同乘法,置今有小麥九石六斗,以乘 所問芝痲五斗五升,得五石二斗八升,再以粟米三 石五斗乘之,得一十八石四斗八升,為實。又用異除、 同除法,置所換芝麻三石,以乘小麥八斗,得二石四 斗,為法;除之,得粟米七石七斗,合問。

《解法》曰:置米三石五斗為實,以換麻三石為法除之,得麻每石換米一石一斗有零。又云:「麻五斗五升,換麥八斗。」 置麻五斗五升,以每石折米一石一斗,併零乘之,得米六斗四升,併零為實,以換麥八斗為法,除之,得麥每石折米八斗有零。又云:「今有麥九石六斗,換米問該幾何?」 置麥九石六斗,以麥每石折米八斗,併零乘之,得米七石七斗,此乃用法之理,是一乘一除,理之然也。蓋因除法多有畸零,數之不盡,故前法用總乘,然後用總除,真是大術矣。

西江月

甲釧九成二兩,乙釵七色相同。《李銀舖》內偶相逢,各 欲改成器用。其子未詳所以,誤將一處銷鎔。當時悶 惱,李三翁又把算師擾動。

答曰:「共銷鎔八成色金四兩甲,該分二兩二錢五 分。」折足色一兩八錢 乙該分一兩七錢五分。折足色一兩四錢 《法》曰:置甲金二兩,折足色一兩八錢,乙金七成,二兩, 折足色一兩四錢,併之,得足色三兩二錢。以原金二, 共四兩歸之,得八色。就以八為法,除甲一兩八錢,得 甲金二兩二錢五分。亦以法八除乙一兩四錢,得乙 金一兩七錢五分。合問。

肆中聽得語吟吟,薄酒名醨厚酒醇。好酒一缾醉三

客,薄酒三缾醉一人。共同飲了一十九,三十三客醉 醺醺。試問高明能算士,幾多醨酒幾多醇。

答曰:「好酒十缾,薄酒九缾。」

《解》曰:「共三十三人飲酒一十九缾,好酒三人飲一缾,薄酒一人飲三缾。」

《法》曰:「列置問衰。」一瓶三人互。三瓶一人 十九瓶三十三人先以右 上一瓶,互乘左中一人,得一人;又以左上三人互乘 右中三瓶,得九瓶,相減餘八瓶,為法。另以右中三瓶, 互乘左下三十三人,得九十九人;另以左上三人乘 右中三缾,得九缾,再乘共酒一十九缾,得一百七十 一人;內減九十九人,餘七十二人,為實。以法八缾除 之,得薄酒九缾,以減總酒,餘得好酒十缾。《合問。

水仙子

為商出外去經營,將帶白銀去販,參為當初不記原 銀錠,只記得七錢七分,買六斤腳錢,便使用三分,總 記「用牙錢四錠,是六分中取二分,問先生販買數分 明。」

答曰:「人參四萬三千五百斤,原銀六千兩,牙錢 二百兩,腳錢二百一十七兩五錢。」

《解》曰:「每人參六斤,價七錢七分,又用腳錢三分,牙錢二百兩,乃是六十分中取二分也。」

法曰:置牙錢四錠,以錠率五十兩乘之,得二百兩。以 六十分取二分,該得原銀六千兩。減牙錢二百兩,餘 剩五千八百兩。以買參六斤因之,得三萬四千八百 斤為實。卻以價七錢七分用腳錢三分,共八錢為法。 除之,得參四萬三千五百斤。以每六斤歸之,得七千 二百五十斤。以參價七錢七分乘之,得參價五千五 百八十二兩五錢,以減總銀五千八百兩,餘得腳銀 合問。

二丈四長尺八闊,四兩半銀休打脫;三丈六長尺六 問,該銀多少要交割。

答曰:「六兩。」

法曰:用異乘同除法,置令長三丈六尺、闊一尺六寸 相乘,得五丈七尺六寸。以乘賣銀四兩五錢,得二百 五十九兩二錢為實。以原長二丈四尺、闊一尺八寸 相乘,得四丈三尺二寸為法。除之合問。

足色黃金整一斤,銀匠誤侵四兩銀。斤兩雖然不曾 耗,借問卻該幾色金。

答曰:「八色。」

法曰:置金一十六為實,另以金加銀四兩,共二十兩 為法,除之,合問。

足色紋銀十二兩,欲傾八成預忖量。分兩雖然添得 重,入銅多少得相當。

答曰:「入銅三兩。」

法曰:置紋銀一十二兩,以八色歸之,得一十五兩,減 去原銀一十二兩,餘三兩為入銅數。合問。

一斤半鹽換斤油,五萬白鹽載一舟。斤兩內除相為 換,須教二色一般籌。

答曰:「各二萬斤。」

《法》曰:置總鹽五萬斤為實,併鹽、油共得二斤半為法。 除之,得各二萬斤合問。

鋪金問積歌

皇城內,丹墀中,周圍有八里,鋪金二寸深方寸,十六 兩,秤來有一斤。不知多少數,特來問緣因。

答曰:「金七百二十萬斤。」

法曰:置周八里,以四歸之,得每面二里。自乘得四里。 又以每里三百六十步乘之,得一千四百四十步;以 每步二千五百寸乘之,得三百六十萬寸。又以深二 寸因之,得七百二十萬寸,即七百二十萬斤也。《合問》:

西江月

客向新街糴米,共量八十四石一千二百七十,知石 價盡,依鄉例雇覓小車搬運,裝錢三百三十腳,言「家 內缺糧食,只據原錢要米。」

答曰:客米六十六石六斗七升五合,腳米一十七 石三斗二升五合。

《法》曰:此乃就物抽分之法。置米八十四石,以價一千 二百七十文乘之,得一十萬零六千六百八十文為 實,另以石價併腳錢共一千六百文為法,除實得客 米數,以減總米,餘為腳米。合問。

衰分三

西江月

淨揀棉花,彈細相和,共雇王孀,九斤十二。是張昌李 德,五斤四兩。紡績織成,布匹,一百八尺曾量。兩家分 布要明彰,莫得些兒偏向。

答曰:「張昌七丈零二寸,李德三丈七尺八寸。」

法曰:列各衰,張昌九斤十二兩,李德五斤四兩。各以兩法通之,張得一百五十六兩,李得八十四兩,副併 共得二百四十兩為法。另以織布一百零八尺乘張 一百五十六兩,得張一千六百八十四丈八尺;乘李 八十四兩,得李九百零七丈二尺。各自為實,以法除 之,《合問》。

趙嫂自言快績麻,李宅張家雇了他。李宅六斤十二 兩,二斤四兩是張家。共織七十二尺布,二人分布鬧 喧譁。借問鄉中能算士,如何分得的無差。

答曰:「張宅五丈四尺,李宅一丈八尺。」

法曰:置共織布七十二尺為實,併二麻張六斤一十 二兩,以斤加六得一百零八兩,李二斤四兩,以斤加 六得三十六兩,共一百四十四兩為法,除之,每兩得 五寸,以乘各出麻合問。

誦課增倍歌

有箇學生心性巧,一部《孟子》三日了。每日增添一倍 多。問君每日讀多少?

答曰:頭一日讀四千九百五十五字,第二日讀九 千九百一十字,第三日讀一萬九千八百二十字, 法曰「置。」一 二 四併為七衰為法,以《孟子》字數三萬四 千六百八十五字為實,以法除之,得四千九百五十 五字,為頭日之數,倍之,為第二日數,又倍之,為第三 日數。合問:

行程減等歌

《三百七十八里關》,初行健步不為難。次日腳痛減一 半,六朝纔得到其關。要見每朝行里數,請公仔細算 相還。

答曰:「初日一百九十二里,次日九十六里,三日 四十八里,四日二十四里,五日一十二里,六。」

日「六里。」

《法》曰:「置三百七十八里為實,列置衰。」一 二 四 八 十六 三 十二併得六十三衰,為法,除實得六里,為第六日之數。 逓加一倍,《合問》。

浮屠增級歌

遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增。共燈三百八十 一,請問尖頭幾盞燈。

答曰:「頂層三盞。」

《法》曰:「置共燈數為實,列置衰。」一 二 四 八 十六 三十二 六十四 併之,得一百二十七衰,為法,除實得三,為頂層燈數。 各加倍,得各層燈數。《合問》。

「三等賠償。」 《鷓鴣天》。

八馬九牛十四羊,趕在村南牧草場。吃了人家一段 穀,議定賠他六石糧。牛一隻,比二羊,四牛二馬可賠 償,若還算得無差錯,姓字超群到處揚。

答曰:馬八共賠三石;牛九共賠一石六斗八升七 合五勺;羊十四共賠一石三斗一升二合五勺。

解曰:「馬八隻、牛九隻、羊十四隻,共議賠穀六石、羊一分、牛二分、馬四分。」

法曰:置米六石為實,另置馬八,以四因得三十二衰。 牛九,以二因得一十八衰。羊一十四衰,併得六十四 衰為法。除之,得九升三合七勺五抄為一,羊所吃賠 穀數為法。遍乘各衰,先以羊一十四衰乘之,得一石 三斗一升二合五勺,為羊主賠數;又以牛衰十八乘 之,得一石六斗八升七合五勺,為牛主賠數。又以馬 衰三十二乘之,得三石,為馬主賠數。《合問》。

五爵分金歌

公、矦、伯子男五、四、三、二、一,假有金五秤,依率要分訖。 答曰:「公一秤十斤,矦一秤五斤,伯一秤;子一 十斤,男五斤。」

法曰:置金五枰,以每秤一十五斤乘,得七十五斤為 實。列公五矦四伯三子二、男一副,併得一十五,為法。 除實得五斤,為男所得數。加五得十斤,為子所得數。 再加五得一秤,為伯所得數。又加五得一秤,零五斤, 為矦所得數。再加五得一秒,一十斤,為公所得數。合 問。

八子分綿歌

九百九十六斤綿,贈分八子做盤纏,次第每人多十 七,要將第八數來言,務要分明依次第,孝和休惹外 人傳。

答曰:「長子一百八十四斤,次子一百六十七斤, 三子一百五十斤,四子一百三十三斤,五子一 百一十六斤,六子九十九斤,七子八十二斤。」

八子,六十五斤。

《法》曰:置七衰。一 二 三 四 五 六 七併得二十八衰,為實。 以多十七乘之,得四百七十六。以減總綿數,餘五百 二十,以八子除之,得六十五斤,為第八子數。加十七, 得八十二斤,為七子數。倣此。遞加十七至長,合問。

九兒問甲歌

「一箇公公九箇兒,若問生年總不知,自長排來爭三 歲,共年二百七歲期,借問長兒多少歲,各兒歲數要 詳推《答》曰:「長兒三十五歲,次兒三十二歲,三兒二十 九歲,四兒二十六歲,五兒二十三歲,六兒二。」

十歲七兒一,十七歲八兒一,十四歲九兒一。

十一歲。

《法》曰:「列八衰。」以一 二 三 四 五 六 七 八各以差三歲因之 為各人之衰數。長兒因得三,次兒因得六,三兒因得 九,四兒因得十二,五兒因得一十五,六兒因得一十 八,七兒因得二十一,八兒因得二十四,併入衰,得一 百零八數以減,總二百零七歲,餘九十九歲。以九人 除之,得一十一歲,為第九兒之年。歲次遞加,三歲至 長合問。

依等算鈔歌

甲、乙、丙、丁、戊、己庚七人錢本不均平,甲乙念三七錢 鈔。二十三兩七錢念「六一錢戊己庚。」二十六兩一錢惟有丙丁鈔無 數,要依等第數分明。請問高明能算者,細推詳算莫 差爭。

答曰:甲該鈔一十二兩二錢,乙該鈔一十一兩五 錢,丙該鈔一十兩零八錢,丁該鈔一十兩零一 錢,戊該鈔九兩四錢,己該鈔八兩七錢,庚該

鈔八兩。

法曰:置戊己庚三人,添一為四,以三乘之,得十二,折 半得六,減去三,餘三,為下差率。另以甲乙二人乘總 七人,得十四,減去下差率三,餘得十一,為上差率。 列置戊己庚甲乙。三二互。餘三 得六 二十六兩一錢 得五十二兩二錢 餘十一 得三十三 二十三兩七錢 得七十一兩一錢 先以左上二互乘右中三,得六;又以左上二乘右下 二十六兩一錢,得五十二兩二錢;次以右上三乘左 中十一,得三十三;以減去右中六,餘二十七為法;又 以右上三乘左下二十三兩七錢,得七十一兩一錢; 減去右下五十二兩二錢,餘一十八兩九錢,為實;以 法二十七除之,得七錢,為一差之數。另置《甲乙》,共鈔 二十三兩七錢,加入差七錢,共二十四兩四錢,折半 得一十二兩二錢,為甲所得數,除差七錢,餘一十一 兩五錢,是乙鈔。各減七錢,得各數。

竹筒容米歌

家有九節竹一莖,為因盛米不均平。下頭三節三升 九,上稍四節貯三升。惟有中間二節竹,要將米數次 第盛。若是先生能算法,教君直算到天明。

答曰:「第一節。」「容米一升四合。」第二節。《一升三 合》第三節:「一升二合」第四節:「一升一合」 第五節。一、《升》第六節《九、合》第七節《八合》 第八節《七、合》第九節六《合 法》曰:置上四節,加一,為五與四乘,得二十,折半,得一 十,減去四,餘得六,為下差率。另以下三節,以總九節 乘之,得二十七,減去下差率六,餘二十一,為上差率。 列置。右四 左三互。餘六 得一十八 三升 得九分 餘二十一 得八十四 三升九合 得一十五分六釐 先以左上三互乘右中六,得一十八;次以右上四互 乘左中二十一,得八十四。以少減多,餘六十六,為法。 復以左上三乘右下三,得九分;又以右上四乘左下 三,升九合,得一十五分六釐,減去九分,餘六分六釐, 為一節之差數。卻以下三節盛米三升九合為實,以 法六十六乘之,得二百五十七分四釐,以三歸之,得 八十五分八釐,是第二節數。加六分六釐,為第一節 數。減六分六釐,得七十九分一釐,為第三節數。又減 去六分六釐,餘七十二分六釐,為第四節數。每節次 第減六分六釐,得各數。以法六十六除之,《合問》

原法下頭三節貯四升米,不盡者多,今改為「三升九合」 ,卻盡矣。

一萬六百八兩銀,四箇商人依率分。原銀輪遞四六 出,休將「《六折術》瞞人。」

答曰:「甲四千四百零六兩四錢;乙,二千九百三十 七兩六錢;丙一千九百五十八兩四錢;丁一千 三百零五兩六錢。」

解曰:「四六者,乃是每兩多五,故自丁起遞用加五為衰,併之為法,除實。」

《法》曰:「各列置衰。」丁四 丙六 乙九 甲一十三衰五分副併得三十二 衰,五分為法。另以銀一萬零六百零八兩,以乘各衰 甲十三衰,五分得一十四萬三千二百零八兩,乙九 衰得九萬五千四百七十二兩,丙六衰得六萬三千 六百四十八兩,丁四衰得四萬二千四百三十二兩。 各自為實,以法各除之,合問。

三千四百十兩銀,五箇為商照本分。原銀輪遞二八 出,休將「八折易瞞人。」

答曰:「甲,二千五百六十兩;乙,六百四十兩;丙,一 百六十兩;丁,四十兩;戊,一十兩。」

解曰:「二八者,乃是每兩多四,故自戊起,依次遞用,四因為衰,併之為法。」

《法》曰:「各列置衰。」戊二 丁八 丙三十二 乙一百二十八 甲五百一十二副併, 得六百八十二衰,為法。以所分銀三千四百一十兩 為實。以法除之,得五十,為一衰。以乘各衰,得各人數合問。

三百六十九斤絲,出錢四客要分之。原本皆是八折 出,莫教一客少些兒。

答曰:「甲,一百二十五斤,乙,一百斤;丙,八十斤。」

丁,六十四斤。

《法》曰:「各列置衰。」甲一千 乙八百 丙六百四十 丁五百一十二副併得二 千九百五十二為法。另以所分絲三百六十九斤乘 未併各衰甲一千,得三十六萬九千。乙八百得二十 九萬五千二百。丙六百四十得二十三萬六千一百 六十。丁五百一十二得一十八萬八千九百二十八。 各自為實。以法除實,得各人絲。合問。

甲、乙、丙、丁、戊分銀一兩五,甲多,戊錢三,互和折半與 答曰:「甲三錢六分五釐,乙三錢三分二釐五毫, 丙三錢,丁二錢六分七釐五毫,戊二錢三分五 釐。」

《解》曰:「甲多戊,一錢三分也。」

《法》曰:此互和減半之法,置分銀一兩五錢為實,以例 用。一分 三分 五分 七分 九分併之,得二錢五分為法;除之得 六錢,乃首尾之數。於內減中多戊一錢三分,餘四錢 七分折半,得戊二錢三分五釐。仍加多一錢三分,得 甲三錢六分五釐。互和甲、戊共得六錢,折半得丙三 錢。互和加甲三錢六分五釐,共得六錢六分五釐,折 半,得乙銀三錢三分二釐五毫。併丙、戊共五錢三分 五釐,折半,得丁二錢六分七釐五毫。合問。

西江月

群羊一百四十,剪毛不憚勤勞,群中有母有羊,羔先 剪二羊比較,大羊剪毛斤二一十二兩,羔毛百五十 斤是根苗,子母各該多少。

答曰:「大羊一百二十隻,小羊二十隻。」

法曰:置羊一百四十,以大羊剪毛一斤,二加六為一 十八兩。乘之,得二千五百二十兩。以減共剪毛一百 五十斤,亦加六為二千四百兩,餘一百二十兩為實。 另以大羊毛一十八兩減小羊毛一十二兩,餘六兩 為法。除之,得小羊二十隻。以減總羊餘,得大羊一百 二十隻。合問。

二果問價歌

九百九十九文錢。「甜果苦果買一千。」甜果九箇十一 文,苦果七箇四文錢。試問甜苦果幾箇?又問各該幾 箇錢。

答曰:「甜果六百五十七箇,該錢八百零三文;苦果 三百四十三箇,該錢一百九十六文。」

《法》曰:列置。九個十一文互。七個四文 一千個九百九十九文先以 右上九箇互乘左中四文,得三十六箇;次以右中七 箇互乘左上一十一文,得七十七文;以少減多,餘四 十一,為長法。又以右中七箇互乘左下九百九十九 文,得六千九百九十三文;再以左中四文互乘右下 一千箇,得四千;以少減多,餘二千九百九十三文;卻 以長法除之,得七十三,為短法。若求《甜果》,以七十三 乘九箇,得甜果六百五十七箇。另以七十三乘一十 一文,得甜果錢八百零三文。於總果內除六百五十 七,餘苦果三百四十三箇。又於總錢減去甜果錢,餘 得苦果錢。合問。

均舟載鹽歌

四千三百五十鹽,大小船隻要齊肩。五百鹽裝三大 隻,三百鹽裝四小船。請問船隻多少數?每隻船載幾 引鹽?

答曰:大船一十八隻,裝鹽三千引;小船一十八隻, 裝鹽一千三百五十引。

《法》曰:列置。四隻 三隻互。三百 五百先以左上三隻互乘右下 三百引,得九百。次以右上四隻互乘左下五百,得二 千,併之,得二千九百為法。列置三四乘,得一十二隻; 以乘總鹽,得五萬二千二百為實;以法除之,得十八, 是大小船數。先以大船鹽五百因之,得九千;再以船 三隻歸之,得鹽三千引。又置小船一十八隻,以鹽三 百因之,得五千四百。又以船四隻歸之,得鹽一千三 百五十引,《合問》。

增錢剝淺歌

鄰家有客亂爭喧,相見問其所以然。二百三十六擔 貨,程途遠近論船錢。九十五擔六分算,八十五擔四 分還。更有五十六擔貨,二分五釐算為先。只因剝淺 爭船價,二兩五錢二分添。請問高明能算士,各人分 派免憂煎。

《解》曰:假如趙一、錢二、孫三三人共貨二百三十六擔,雇船一隻,原各以程途遠近不等,水腳多寡不同。內「趙一」 貨九十五擔,交卸甚遠,每擔船腳銀六分;錢二貨八十五擔,卸處頗近,每擔船腳四分;孫三貨五十六擔,程途又近,每擔船腳二分五釐。算其銀付足外,因中途剝淺,貼銀二兩五錢二分,照依遠近船錢派「分,各該若干。」

答曰:「趙一該貼一兩三錢六分八釐,錢二該貼八

錢一分六釐,孫三該貼三錢三分六釐。」

法曰:「置趙一貨九十五擔,以每擔船腳銀六分乘之, 得五兩七錢。另以錢二貨八十五擔,以每擔船銀四 分乘之,得三兩四錢。又以孫三貨五十六擔,以每擔 船銀二分五釐乘之,得一兩四錢。」併三數原船腳銀 一十兩零五錢為法。卻以貼銀二兩五錢二分為實, 以法除之,得二錢四分,乃是船腳每兩貼剝之數。就 以此二錢四分為法,以乘各客船腳銀數,即得。

筆套取齊歌

八萬三千短竹竿,將來要把筆頭安。「管三套五為期 定,問君多少配成完。」

答曰:「管套各得一十五萬五千六百二十五箇,管 竹五萬一千八百七十五竿,套竹三萬一千一百 二十五竿。」

《解題》共有短竹八萬三千竿,每一竿截作筆管三箇,每一竿截為筆套五箇,問各該用竹若干,裁截配合成筆。

法曰:置竹八萬三千,為實。以管三、套五併作八,為法。 除之,得一萬零三百七十五,又為實。另以管三乘套 五,得一十五,又為法。乘實得管、套各得一十五萬五 千六百二十五箇,列置問。管竹以三歸之,問套竹以 五歸之,合問。

金毬問積歌

有箇金毬裡面空,毬高尺二,厚三分一寸,自方十六 兩,試問金毬多少金。

答曰:「一百三十八斤一十兩零二錢四分。」

解曰:「金毬者,形如立圓,高尺二,即圓中之徑也。」 厚三分者,乃中徑之兩頭俱有,故併共厚六分,以減全徑尺二,餘得內中空徑一尺一寸四分也。其用立圓之法,自再乘畢,又用九因、十六除者,何也?其平圓居方內四分之三,故用三因。四歸得積。今立圓而又多一再乘者,故以三三如《九因》之。平圓四歸而一,今立圓亦再以四自乘,得一十六而除之,是也。若毬周問積,置周數以三歸求出徑數,同法算積。

法曰:置毬高一十二寸,自乘再乘,得一千七百二十 八寸。以《九因》十六除,得九百七十二寸,是全箇金毬 之實。另置徑一十二寸,減去徑兩頭共厚六分,餘得 毬中空徑一十一寸四分。亦自乘,再乘,得一千四百 八十一寸五分四釐。亦以九因十六除,得八百三十 三寸三分六釐,為毬內空積之數。以減全毬積數,餘 一百三十八寸六分四釐;以一百三十八寸變為一 百三十八斤零者,用「加六」之法,得一十兩零二錢四 分。《合問》:

西江月

帝城三五元宵,鰲山兩樣燈毬,都來一秤三斤油。七 兩又來添湊,三兩分為四盞,四兩分作三甌,三停盞 子二停甌,請問先生知否?

《答》曰:「甌一百二十隻,油十斤,盞一百八十箇,油八 斤七兩。」

法曰:置油一秤,為一十五斤,又添三斤,共一十八斤。 每斤用加六法,得二百八十八兩。又添七兩,共二百 九十五兩。以每兩二十四銖乘之,得七千零八十銖 為實。另置油三兩,以二十四銖乘,得七十二銖。以四 盞歸之,每盞得一十八銖。又以三停乘之,得五十四 銖,為盞之法。另又置油四兩,以二十四銖乘之,得九 十六銖。以三甌歸之,每甌得三十二銖。又以二停乘 之,得六十四銖。為甌之法。併甌盞二法共一百一十 八為總法。除實七千零八十銖,得六十為則。以二停 因得一百二十為甌數。以每甌油三十二銖乘之,得 三千八百四十銖。以每斤三百八十四銖除之,得十 斤為甌油總數。另以則六十,以三停因之,得一百八 十,為盞總數。以每盞油一十八銖乘之,得三千二百 四十銖。以每兩二十四銖除之,得一百三十五兩。以 斤法一十六兩除之,呼見一無除作九,一無除,起一 下還一六八除四十八,餘七兩不可除,即是八斤七 兩為盞油總數。併甌總油,共一十八斤七兩。《合問》

以碗知僧歌

「巍巍古寺在山中,不知寺內幾多僧?三百六十四隻 碗,恰合用盡不差爭,三人共餐一碗飯,四人共嘗一 碗羹,請問高明能算者,算來寺內幾多僧?」 答曰:「六百二十四人,飯碗二百零八隻,羹碗一 百五十六隻。」

法曰:以三人四人相乘,得一十二人,以乘總碗三百 六十四,隻得四千三百六十八為實。另以三四併之, 得七為法,除之得僧數。用三歸得飯碗,用四歸得羹 碗。《合問》:

河邊洗碗歌

婦人洗碗在河濱,試問「家中客幾人?」答曰:「不知人數 目,六十五碗自分明,二人共餐一碗飯,三人共喫一碗羹,四人共肉無餘數。」請問布算莫差爭? 答曰:「客六十人,飯碗三十隻,羹碗二十隻,肉 碗一十五隻。」

法曰:以二人乘三人,得六人;又以四人乘之,得二十 四人。以乘總六十五碗,得一千五百六十為實。另列 維乘。得六 得一十二先以二乘三得六,次

以三乘四得一十二,又以四乘二得八,併之,得二十 六,為法。除實得六十人,各列。以二歸得飯碗,以三歸 得羹碗,以四歸得肉碗。《合問》。

書生分卷歌

《毛詩》春秋《周易》書,九十四冊共無餘。《毛詩》二冊三人 共,《春秋》一本四人呼。《周易》五人讀一本,要分每樣幾 多書。就見學生多少數,請君布算莫躊躕。

答曰:「《毛詩》四十本,《春秋》三十冊,《周易》」二十四本。 學生各經一百二十名,總計三百六十人。

法曰:列置三人、四人、五人維乘。以三人乘四人,得一 十二。又以四人乘五人,得二十。又以五人乘三人,得 一十五。併之得四十七,為法。另以共書九十四本在 位。以《詩》三人乘之,得二百八十二本。再以《易》四人乘 之,得一千一百二十八本。又以《書》五人乘之,得五千 六百四十本,為實。以法四十七除之,得各經學生一 百二十名,列三位,以三人歸之,得《詩經》四十本,以四 人歸之,得《春秋》三十本,以五人歸之,得《易經》二十四 本,併三經學生共三百六十人,合問。

僧分饅頭歌

一百饅頭一百僧,大和三箇更無爭。小和三人分一 箇,大小和尚得幾丁。

答曰:「大和尚二十五人,該饅頭七十五箇;小和尚 七十五人,該饅頭二十五箇。」

法曰:置僧一百名為實。以三箇、一箇併得,四箇為法。 除之,得大僧二十五人。以每人三箇因之,得饅頭七 十五箇。于總僧內減大僧,餘七十五為小僧。以三人 歸之,得饅頭二十五箇。《合問》。

一千官軍一千布,一官四匹無零數,四軍纔分布一 匹,請問官軍多少數?

答曰:「官二百員,該布八百匹。軍八百名,該布二百 匹。」

《法》曰:置官軍共一千為實。以四匹、一匹併得五匹為 法。除之,得官二百員。以每員四匹因之,得布八百匹, 於總官軍內減二百,餘八百名為軍,以四軍歸之,得 布二百匹。合問。

「今有千文買百雞,五十雄價不差池。」草雞每箇三十 足,小者十文三箇知。

答曰:「公雞八隻,價錢四百文;母雞十一隻,價錢三 百三十文;小雞八十一隻,價錢二百七十文。」

《原法》曰:置錢千文為實。另置公雞一、母雞一,各以小 雞三因之,得公雞三、母雞三、小雞三,共得九,為法。除 實得十一,為母雞數。不盡,一返減下法九,餘八為公 雞數。另列總雞一百隻,減去公雞八隻,母雞一十一 隻,餘八十一隻,為小雞數。各以價錢因之合問。

又引前法,置所答數,公雞八隻,增四作十二;母雞十一,減七為四;小雞八十一,益三為八十四,共百雞千文也。此乃張丘建云:「雞公增四,雞母減七,雞雛益三。」 又細參之,仍置原數,卻將雞公八隻,減四得四隻,雞母十一,增七得一十八隻,雞雛八十一,減三得七十八隻,亦得百雞千文也。其一法而生三,故在變通之意也。

水仙子

元宵十五鬧縱橫,來往觀燈街上行,我見燈上下紅 光映,遶三遭數不真,從頭兒三數無零。五數時四甌 不盡,七數時六盞不停,端的是幾盞明燈。

《解題》初以三算之恰盡,次以五算之餘四盞,再以七算之餘六盞。問共燈若干。

答曰:「六十九盞。」

法曰:此如孫子物,不知總法也。先置三數無零,不必 下五數剩四,每一下二十一數四,共該下八十四數; 七數剩六,每一下十五數六,共該下九十數。併之,共 得一百七十四,減去滿法一百零五,餘得六十九盞。 合問。


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