欽定古今圖書集成/曆象彙編/曆法典/第124卷

欽定古今圖書集成
曆象彙編 第一百二十四卷

欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第一百二十四卷目錄

　算法部彙考十六

　　算法統宗十二〈難題二〉

曆法典第一百二十四卷

算法部彙考十六

《算法統宗十二》

難題二

少廣四

歌

直田七畝半。忘了長和短。記得立契時。長闊爭一半。 今特問高明。此法如何算。

答曰：「長六十步，闊三十步。」

法曰：置田七畝半，以畝法二四通之，得積一千八百 步，折半，得九百步，為實。以開平方法除之，約商三十 步自乘，得九百步，除實盡，得闊三十步為法。以除總 田積一千八百步，得長六十步。合問。

西江月

今有方田一段，中間有箇圓池，步量田地可耕犁，十 畝無零在記。方至池邊有數，每邊十步無疑。外方池 徑果能知，到處芳名說你。

《解題》「耕犁十畝」 ，乃是池外餘地，忘卻方、面、圓徑二數，只記得方至池邊十步。今問外方面、內圓徑各若干。

答曰：「方面六十步，內圓池徑四十步。」

法曰：置田十畝，以畝法二四通之，得二千四百步。另 以每邊十步自乘，得一百步，又以三因之，得三百步， 加入積內，共得二千七百步為實。另以每邊十步，以 六因之，得六十步，為縱方。於右以開平方帶縱法除 之，約商三十步於左位。就置三十於右位，併入縱方 六十，共得九十步於左。商三十相呼，三九除二千七 百步，積盡，以商三十倍作六十步為方面，減去每邊 各十步，共減二十步，餘得圓池徑四十步。《合問》：

解法曰：方內容圓四分之三，故以三因池外自乘之數，得三百，併積為實。另以三倍之，為六乘，每邊十步，得六十步，為縱方。平方開之。

西江月

今有圓田一段，中間有箇方池。「丈量田地待耕犁，恰 好三分在記。池面至周有數，每邊三步無疑。內方圓 徑若能知，堪作算中第一。」

答曰：「圓徑一十二步，內方池六步。」

法以畝法通田三分，得七十二步。以每邊三步約之， 得圓徑一十二步。自乘，得一百四十四步，三因四歸， 得一百零八步。減田積七十二步，餘三十六步。平方 開之，得方池六步。《合問》：

又法以每邊三步自乘，得九步。又以四因，得三十六 步。加入倍積，一百四十四步，共一百八十步為實。另 以每邊三步，以八因之，得二十四步，為縱方。以平方 帶縱法開之，約商六步於左，亦置六步於右，併入縱 方二十四步，共得三十步。與上商六步相呼，除實盡， 得半徑六步。倍之，得全徑一十二步是也。

孤峰馬傑斷古法曰：「以每邊三步約之，得圓徑一十二步。」 此數非圓田之正徑乎？以正徑論之，積步不及三分，豈有方池六步之容？前後不接，細考後矣　。《改正法》曰：「置耕犁地三分，通為七十二步，以四歸之，得弧矢田積一十八步為實。另以此數倍之，得三十六步，以平方開之，得六步為法。除實，得矢三步，併法六步」 ，共九步，為弦，折半得四步半自乘，得二十步零二分五釐，以矢三除之，得六步七分五釐，加矢三步，共九步七分五釐，為圓徑。內減二矢闊六步，餘三步七分五釐，為方池。《合問》。予因二數不一，故將傑改正圓徑九步七分五釐較之，具立圖形於左。細究以辨曲直，其古法數準無疑。惟每邊三步約之，得徑十二。但「約之」 之說而無定法，含糊之甚。《孤峰》改正妄減數目，理甚不明。

《大位法》曰：「存方池餘地，取作上下二大弧矢，兩邊二 直，又二小弧矢，以每邊三步為矢。」求弦法：置半徑四。

求弦合總圖

步八分七釐五毫自乘，得二十三步七分六釐五毫。另置半徑減矢三步，餘一步八分七釐五毫自乘，得三步五分一釐五毫相減，餘二十步零二分五釐，以

平方法開之，得四步五分，倍之得九步，為上下弧弦。 用弧矢法得一，矢積一十八步，倍之得三十六步，為 上下二弧矢之積。又以方池左右兩旁取直二段，闊 各二步六分二釐五毫，以池方三步七分五釐乘之得九步八分四釐四毫，倍之得一十九步六分八釐 八毫，為左右直積。再以東西二小弧矢，矢各三分七 「釐五毫，弦各三步七分五釐。各用弧矢法，得七分七 釐三毫五絲，併之得一步五分四釐七毫，為東西二 小弧矢積併四旁積只有五十七步二分三釐五毫， 加方池積一十四步零六釐二毫五絲，通共總得七 十一步三分。此乃較準，毫忽無差，併池地合原積七 十二步，尚且不足七分，焉得三分耕」犁之地乎？予思 馬傑用《四歸》七十二步，乃是圓內容方，弧弦方角俱 至邊周，可用此法。若是錢形內容方池，角不通邊，外 有餘空，豈可以四均而歸之？重疊四角，其理明矣。

西江月

方田一十五畝，及時人去耕犁。圓池在內甚稀奇，圓 徑不知怎記。方至池邊有數，每邊二十無疑。外方圓 徑若能知，細演天源如積。

答曰：「面方六十步，圓徑二十步。」

法曰：以畝法通田得三千六百步，以平方法開之，得 六十步。以減每邊二十步，二邊共減四十步，餘得圓 徑二十步。《合問》：

西江月

今有圓田一所，不知頃畝端的直河一道，正中穿圓， 分弧矢兩段，通田七十四步，二十四步河寬除河見 在幾多，田水占如何得見？

圓變二弧矢

答曰：「見在田九畝八分九釐五毫八絲　，水占田七畝二分一釐六毫六絲。」

法曰：先置通徑七十四步自乘。

得五千四百七十六步。以三因四歸，得四千一百零 七步，為全圓總積。再置通徑七十四步，減去河寬二 十四步，餘五十步折半，得二箇弧矢，各得矢二十五 步。宜用圓徑與截矢求截弦之法。另置通徑七十四 步，折半，得半徑三十七步，為弦自乘，得一千三百六 十九步。另以半徑三十七步減矢二十五步，餘一十 二步，為股。自乘，得一百四十四步。以減弦自乘數，餘 一千二百二十五步。以平方法開之，得三十五步；倍 之，得七十步，為截弦併矢二十五步，共九十五步，折 半得四十七步五分，以矢二十五步乘之，得一千一 百八十七步五分，為一段《弧矢》田積倍之，得二千三 百七十五步，為見在田。以減通徑，總田四千一百零 七步，餘一千七百三十二步，為水占田。各以畝法二 四除之，合問。

古法設弦七十步，併無用法出處，今用《求弦》之法也。

歌

今有梯田長一百小頭十五大廿七截賣一百九十。

二欲從一邊截去積

《解題》：「截積一邊，如句股之形也。」

答曰：「截長八十步，闊四步八分。」

法曰：倍截積，得三百八十四步，以乘長一百步，得三 萬八千四百步，為實。以大頭二十七步減小頭一十。

梯積句股圖

五步，餘一十二步折半得六步，為法。除之，得六千四百步。以開平方法除之，得截長八十步。以所折半之六步乘之，得四百八。

十步，卻以原長一百步除之，得截、闊《合問》。

歌

弧矢一畝積一叚，更加九十七步半，矢不及弦十五 步，弦矢各長怎的算？

答曰：「弦三十步，矢一十五步。」

法曰：通田一畝得二百四十步，加零九十七步半，共 得三百三十七步半。以四因三歸，得四百五十步為 實。以不及一十五步為縱方。於右。上商十步。下法亦 置十步，加於縱方一十五之上，共二十五，皆與上商 一十步。除實二百五十步，餘實二百步。另以下法，初 商一十倍之，得二十，次商五步於左。下法亦置五步， 加於縱方一十五之上，併倍初商，共得四十步，皆與 上商五除，實盡，得矢一十五步，加不及十五，共三十 步，為弦合問。

歌

梭田共積一千二又零二十有四步，闊不及長三十 二，要見闊長多少數。

答曰：「長六十八步，闊二十六步。」

法曰：倍積得二千四百四十八步為實，以不及三十 二步為縱方於右初商三十步於左。下法亦置三十 加於縱方之上，共六十二步，與左初商三十相呼，三 六除實，一千八百。又呼，二三除六十，餘五百八十八 步。另以下法六十二，加倍初商三十，得九十二，次商 六步於左。下法亦置六步，加於縱方九十二之上，共 九十八步。皆與次商六步相呼，六九除五百四十，又 呼，六八除四十八步，盡得闊三十六步，加不及三十 二步，得長六十八步。《合問

船缸均載歌

三百六十一隻缸，任君分作幾船裝。不許一船多一 隻，不許一船少一缸。

答曰：船一十九隻，每隻裝缸一十九箇。

法曰：置缸三百六十一隻為實，以《開平》方法除之。初 商一十於左，亦置一十於右，為方法。左右相呼，一一 除實一百，餘實二百六十一。右法：初商一十，倍作二 十，為廉法。次商九於左，初商之次，亦置九於倍商二 十之次，皆與左次商九相呼，二九除實一百八十。又 呼九九，除八十一實，盡得一十九船。每船載缸一十 九箇《合問》。

船糧均載歌

今歲都要納秋糧，雇船搬載去，上倉五萬七千六百 石，河中漏濕一船糧。每船負帶一石，去船仍剩得一 石糧。秋糧納米已有數，不知原用幾船裝。

解題問總糧用船、及每隻裝數相同、各該若干

答曰：船二百四十隻，每隻裝二百四十石。

法曰：置米為實，以《開平方法》除之。初商二百於左，亦 置二百於右。左右相呼，二二除四萬石。餘實一萬七 千六百。另以右商二百倍作四百。次商四十於左，初 商之次，亦置四十於右，倍商四百之次，皆與上商四 十相呼，四四除一萬六千。又呼，四四除一千六百，恰 盡。

駐馬聽

不比尋常，欲造金毬內外光，要求高徑尺寸，今有金 積耀眼睛。黃百二十一五分，詳立圓高許如等杖。折 半曾量，折半曾量，金實虛積無偏向。

答曰：「立圓徑，高六寸。」

法曰：置金積一百二十一寸五分，以十六乘，得一千 九百四十四寸；以九歸之，得二百一十六寸，為實。以 開立方法除之，初商六寸，自乘，再乘，得二百一十六 寸，除實，恰是得徑。《合問》　又曰：「要知金積將徑六寸」 自乘再乘，以九因、十六除，得積。

西江月

假有坡地一段，中間一賣安塋，總皆一畝二分，平更 有八釐相應。只要縱多兩堵，每堵八尺無零，築牆選 日雇工興幾許封堆可定。

《解題》「假如有地一段，共積三百零七步二分，周圍築牆，每堵八尺，東西長比南北闊多二堵，問各該地併堵數若干。」

答曰：「東西各長一十九步二分，牆一十二堵；南 北各闊一十六步，牆十堵。」

法曰：置田一畝二分八釐，以畝法二四通之，得三百 零七步二分為實。以縱多二堵共一十六尺，以五歸 之，得三步二分，為縱方。以平方帶縱法除之，得闊一 十六步。加三步二分，得長一十九步二分。各以一步 六分除之，得牆一十二堵。合問。

解法縱多，二堵共一十六尺，以五歸之，即每尺為二分也。各以一步六分除之，即每堵八尺也。

繫羊問索歌

曠野之地有箇樁，樁上繫著一腔羊。團團踏破三畝 二，試問羊繩幾丈長。

答曰：「繩長八尺。」

法曰：「此乃平圓之法。」置地三畝二分，以畝法二四通 之，得七百六十八步。以四因三歸之，得一千零二十 四步為實。以開平方法除之，初商三十自乘，得九百 除實，餘一百二十四步。另以右位初商三十倍，作六 十次商二步於左。下法亦置二步於倍商六十之次， 皆與左次商相呼，二六除一百二十，又呼二二除四 步，恰盡，得三十二步，乃地之全徑。折半得一十六步， 為羊所繫樁處。再以每步五尺乘之，得八十尺，為羊 繩長。合問。

西江月

今有酒罎一垛，共積一百六十下，長多廣整七枚廣 少上長三隻，堆積槽坊園內，上下長廣難知。煩公仔 細用心機，借問各該有幾

答曰：「上長八箇，下長十二箇，上廣一箇，下廣。」

堆垛罎

五箇

法曰：置積一百六十，以六乘之，得九百六十，為實。倍多廣七箇，得一十四箇，加上長三箇，共一十七箇，為縱方。再加上長三箇，共二十箇，為縱廉。以

三為隅算。用開立方法除之，上商五箇。下法亦置五 箇自乘，得二十五箇。又以隅三乘之，得七十五箇，為 隅法。又以五乘縱廉二十，得一百，以方廉隅三法，共 得一百九十二，皆與上商五除，實盡，得下廣五箇。加 多七箇，為下長，加多三箇為上長。合問：

歌

紅桃一垛積難知，共該六百八十枚。三角垛來尖上 一，每面底子幾何為。

答曰：底子一十五箇法曰：置果積六百八十，以六因之，得四千零八十箇 為實。以二為縱方，三為縱廉。以開立方法除之。初商 一十於左，下法亦置一十於右，自乘，得一百，為隅法。 又以上商一十乘縱廉三得三十，併方二隅一百，共 一百三十二，皆與上商一十相呼。除實一千三百二 十，餘實二千七百六十，乃二乘縱廉三十，得六十，以 三乘隅法一百，得三百，皆併入縱方二，共三百六十 二，為方法。下法再置上商一十，以三因得三十，加入 縱廉三，共三十三，為廉法。次商五，下法亦置，五自乘， 得二十五，為隅法。又次商五，乘廉三十三，得一百六 十五，併方三百六十二，廉一百六十五，隅二十五，三 法共五百五十二，皆與上「商五」相呼，除實盡得底腳 一十五箇。《合問》：

商功五

歌

穿渠二十九里，程再加一百四步零，上廣一丈二尺 六，下廣八足丈八深。每日一夫三百尺，問該夫數，雇 工興。

答曰：三萬二千五百八十人，不盡二百八十八尺。 法曰：置二十九里，以每里三百六十步乘之，得一萬 零四百四十步。加零一百零四步，共一萬零五百四 十四步，以每步五尺乘之，得五萬二千七百二十尺 為長積。另併上下廣二丈零六寸折半得一丈零三 寸，以深一丈八尺乘之，得一百八十五尺四寸；以乘 長積，得九百七十七萬四千二百八十八尺為實，以 每人日開三百尺為法，除之，得三萬二千五百八十 人。不盡，二百八十八尺不彀，一人一日合問。

西江月

張家三女，孝順歸家，頻望勤勞。東村大女，隔三朝五 日；西村女到，小女南鄉，路遠依然。七日一遭。何朝齊 至，飲香醪，請問，英賢回報。

答曰：「一百零五日，同到相會。」

法曰：「以三朝五日」相乘，得一十五，再以七日乘之，得 一百零五日。合問。

歌

今有四人來做工，八日工價九錢銀二十四人做半 月，試問工錢該幾分？

答曰：「一十兩零一錢二分五釐。」

法曰：置二十四人，以一十五日乘之，得三百六十，又 以銀九錢因之，得三百二十四兩，為實。以四人乘八 日，得三十二日，為法。除之合問。

均輸六

粒米求程歌

廬山山高八十里，山峰峰上一黍米。黍米一轉止三 分，幾轉轉到山腳底。

答曰：「四百八十萬轉。」

法曰：「置山高八十里」，以每里三百六十步乘之，得三 萬八千八百步，以每步五十寸乘之，得一百四十四 萬寸為實，以米轉三分為法，除之，合問。

排魚求數歌

三寸魚兒九里溝，口尾相銜直到頭。試問魚兒多少 數，請君對面說因由。

答曰：「五萬四千箇。」

法曰：「置九里，以每里三百六十步乘之，得三千二百 四十步；以每步五十寸乘之，得一十六萬二千寸，以 每魚長三寸為法」，除之，得魚數合問。

推車問里歌

一人推車忙且苦，半徑輪該尺九五。一日推轉二萬 遭，問君里數如何數。

答曰：「一百三十里。」

法曰：置半徑輪一尺九寸五分，倍之，得三尺九寸，為 全徑之數。以《周三》因之，得一百一十七寸，為一轉之 數。卻以二萬遭乘之，得二百三十四萬寸為實。另以 每里三百六十步，每步五尺，計五十寸乘之，得一萬 八千寸為法。除之。合問：

遲疾求平。〈調寄《西江月》：〉

甲乙同時起步，其中甲快乙遲。甲行百步，且交立，乙 纔六十步矣。使乙先行百步，甲行起步方追，不知幾 步方追，及算得揚名《說伱》， 答曰：「二百五十步。」

法曰：置甲行百步，乘先行百步，得一萬步為實。另以 甲行百步，減乙行六十步，餘四十步為法，除之，合問。

行程問日歌

三藏西天去取經，一去十萬八千程。每日常行七十 五，問君幾日得回程。

答曰：「一千四百四十日，計四年。」

法曰：置一十萬零八千里，以每日行七十五里為法， 除之得日數，再以三百六十日除之，得年數，合問。

歌

「當年蘇武去北邊，不知去了幾周年？分明記得天邊 月，二百三十五番圓答曰：「一十九年」

法曰：置月圓二百三十五番，以每年十二月除之，得 一十九年，不盡七月，乃是閏月。合問。

歌

昨日街頭幹事畢，閑來稅局門前立。見一客持三百 布，每匹必須稅二尺。貼回銅錢六百文，收布一十五 半匹。不知每匹賣幾何，只言「每匹長四十。」

答曰：「一貫二百文。」

《法》曰：置布三百匹，以稅二尺乘之，得六百尺。另以收 布一十五匹半，以匹法四十尺乘之，得六百二十尺。 以減該稅六百尺，餘得多稅二十尺為法，以貼回錢 六百文為實，以法除之，得每尺價三十文。以乘每匹 長四十尺，得每匹價一貫二百文。合問。

雞兔同籠」一條，前「《均輸章》內已載，故不重述。

鷓鴣天

三足團魚六眼龜，共同山下一深池。九十三足亂浮 水，一百二眼將人窺。或出沒，往東西，倚欄觀看不能 知。有人算得無差錯，好酒重斟贈數杯。

《答》曰：「團魚一十五箇，龜一十二箇。」

《解》曰：「以團魚。」〈三足、二眼。〉龜：〈四足共九十三足六眼共一百二眼〉此乃托比興也。

《法》曰：「置」〈三足二眼〉互。〈四足六眼〉互。〈九十三足一百二眼〉互乘先以三 足六眼乘，得一十八。以四足二眼乘，得八。以少減多， 餘一十為法。又以六眼乘九十三足，得五百五十八。 又以四足乘一百二眼，得四百零八。以少減多，餘一 百五十為實。以法除之，得團魚一十五箇；以三足乘 之，得足四十五；以減總足，餘四十八足。以龜四足除 之，得龜一十二箇。《合問》：

西江月

甲、乙聞說牧放，二人暗裡參詳。甲云：「得乙九箇羊，多 伱一倍之上。」乙說得甲九，隻兩家之數相當。二邊閑 坐惱心腸，畫地算了半晌。

答曰：「甲六十三隻，乙四十五隻。」

解曰：甲云借乙九隻，共七十二，乙借與甲九，仍三十六，故曰「甲多乙一倍。」 乙云借甲九隻，共五十四，甲仍五十四，故云「相當。」

法曰：甲羊添乙羊九箇，多乙羊一倍者為二十分，卻 減借乙羊九箇為一分，凈一十九分。另以乙羊添甲 九箇，兩家相當者為十分。內減借甲九箇為一分，凈 得九分。置甲一十九分，以九乘之，得一百七十一，又 以乙九分，以九乘之，得八十一，相減，餘九十，折半，得 乙羊四十五隻。又以甲一百七十一，內減乙羊四十 五，餘一百二十六，折半，得甲羊六十三隻。《合問》。〈原法置甲 七分乙五分各以九乘之亦得〉

鳳棲梧

甲趕群羊逐草茂，乙拽肥羊一隻隨其後。戲問甲及 一百否？甲云：「所說無差謬，若得這般一群湊，再添半 群小半群，得伱一隻來方湊，元機奧玅誰參透？」 答曰：「甲羊三十六隻。」

《解題》甲原羊三十六隻，為一群借一群亦三十六隻，再借半群一十八隻，又借小半群九隻，又湊一隻，共百隻也。

法曰：置羊一百隻，減乙羊一隻，餘九十九隻為實。併 群率原一群又一群，再湊得半群，即五分小半群即 二分半，共二群七分半，為法。除之，得甲原羊一群三 十六隻，合問。

歌

今有程途二千七十八，人騎馬七匹。言定十里輪轉 騎，各人騎行怎得知？

答曰：人行一千六百五十里，騎馬一千零五十里。 法曰：置程途二千七百里為實，以一十八人為法除 之，得每人一百五十里。以馬七匹乘之，得騎馬一千 零五十里。以減程途里數，餘得人行一千六百五十 里。合問。

歌

三人二日四升七，一十三口要糧喫。一年三百六十 日，借問該糧幾多食。

答曰：「三十六石六斗六升。」

法曰：置今喫糧三百六十日，以乘一十三口，得四千 六百八十，又以原喫糧四升七合乘之，得二百一十 九石九斗六升為實。以原三人乘二日，得六為法，除 之合問。

歌

《諸葛統領》八員將，每將又分八箇營，每營裡面排八 陣，每陣先鋒有八人，每人旗頭俱八箇，每箇旗頭八 隊成。每隊更該八箇甲，每箇甲頭八箇兵。

答曰：一千九百一十七萬三千三百八十五人。 《法》曰：置總兵一，以八因之得將八員，又八因得營六 十四，又八因得陣五百一十二，又八因得先鋒四千 零九十六人，又八因得旗頭三萬二千七百六十八 人，又八因得隊長二十六萬二千一百四十四人，又八因得甲二百零九萬七千一百五十二人，又八因 得兵一千六百七十七萬七千二百一十六人。除營 陣不作數，其總兵將先鋒旗隊甲兵併之，合問。

馬傑曰：「以八八相因，得六十四，自乘，得數，又自乘，得數加總兵一，共得一千六百七十七萬七千二百一十七人　。」 予據傑變用此法，差數二百餘萬，改正之誤也。

比如有錢一文，每日生利八文，問八日該生利併本 一文，問共若干？

答曰：「一千六百七十七萬七千二百一十七文。」 法曰：置初日利八文自乘，得六十四文，又以六十四 文自乘，得四千零九十六文，又以四千零九十六自 乘，得一千六百七十七萬七千二百一十六文，加本 錢一文。合問：

前《諸葛統兵》一問，出《吳氏九章》，因傑改正數差，反為不正，故設此問以明上意。

歌

「《一條竿子》一條索」，索比竿子長一托；折回索子卻量 竿，卻比竿子短一托。

答曰：「竿長一丈五尺，索長二丈。」

法曰：置倍短一托，得二托，併長一托，得竿三托，加長 一托，得索長四托。各以每托長五尺乘之，合問。

盈朒七

歌

隔牆聽得客分銀，不知人數，不知銀「七兩分之多，四 兩；九兩分之少半斤。」

答曰：「六人，銀四十六兩。」

法曰：置盈不足，以分七兩互乘少八兩，得五十六兩。 另以分九兩互乘多四兩，得三十六兩。併之，得九十 二兩，為實。又以九兩、七兩相減，餘二兩為法，除實，得 銀四十六兩。以多四兩、少八兩併，得一十二兩，為人 實。以法二除之，得六人。合問。

浪淘沙

《昨日獨看瓜》，因事來家，牧童盜去眼昏花。信步廟東 牆外過，聽得爭差十三俱分咱十五增加，每人十六 少十八，借問人瓜各有幾何？先答：

《答》曰：「一十一人瓜，一百五十八箇。」

法曰：併盈十五，不足十八，得三十三為實。以各十三 十六相減，餘三為法，除之得十一，以各得十六乘之， 得一百七十六，減不足十八，餘得瓜數。合問：

歌

我問開店李三公，眾客都來到店中。一房七客多七 客，一房九客一房空。

答曰：「房八間，客六十三人。」

法曰：置盈七客，以一房空九人乘之，得六十三；以九 客乘多七客，得六十三，併之，得一百二十六，為實。以 盈七客與不足九客相減，餘二為法，除之，得六十三 人；以減去多七客，餘五十六人，以每房七客除之，得 房八間。《合問》。

西江月

幾箇牧童鬧耍，張家園內偷瓜。將來林下共分挐三 人，七枚便罷。分訖，剩餘一箇，內有同人兜搭，四人九 箇又分挐，又餘兩箇廝打。

《答》曰：「一十二人瓜，二十九箇。」

《法》曰：「置兩盈。」〈四人　三人〉互。〈九箇　七箇〉三人乘九箇，得二十七； 四人乘七箇，得二十八箇，併之，得五十五箇。加兩盈 數三箇，共五十八箇，折半，得瓜二十九箇。以三四相 乘，得一十二人。《合問》。

歌

牧童分杏各爭競，不知人數不知杏。三人五箇多十 枚，四人八枚兩箇剩。

答曰：「二十四人，杏五十枚。」

法曰：置兩盈，以三人互乘八枚，得二十四。以四人互 乘五箇，得二十。以少減多，餘四為法。又以三人、四人 相乘，得一十二為實。卻以多十枚減剩二箇，餘八枚 為法，乘得九十六為實。又以前法四除之，得二十四 人。另以盈一十乘二十四，得二百四十人。盈二乘二 十，得四十。以少減多，餘二百為杏實。以法四除之，得 杏五十枚，《合問》。

歌

今有糧長犒勞夫，不分老幼唱名呼，「每人七箇少三 箇，五箇卻少四十五。」

答曰：「二十一人，錢一百五十文。」

《法》曰：「置兩不足。」〈七文五文〉互。〈少三箇少四十五箇〉兩不足相減， 餘四十二，為實。兩分率七文，五文相減，餘二文為法。 除實四十二，得二十一，卻以人分七文乘之，得一百 四十七，加不足三，得錢。合問：

歌

林下收童鬧如簇，不知人數不知竹。每人六竿多十 四，每人八竿恰齊足。

答曰：「七人竹五十六竿法曰：置盈適足以多，十四為實，以分六竿，八竿相減， 餘二為法，除之，得七人，以適足八竿乘之，得竹五十 六竿。合問。

歌

隔牆聽得客分綾，不知綾數不知人。每人六疋少六 疋，每人四疋恰相停。

答曰：「三人綾一十二疋。」

《法》曰：「置」〈不足適足〉以不足六疋為實，以分綾六疋，四疋相 減，餘二為法，除之，得三人，以適足四疋乘之，得綾一 十二疋。合問。

歌

今攜一壺酒，遊春郊外走，逢朋添一倍，入店飲斗九 相逄三處店，飲盡壺中酒，試問能算士，如何知原有？ 答曰：「原酒一斗六升六合二勺五抄。」

法曰：置三處倍飲，列一倍二、二倍四，併之，得七率，為 法；以乘一斗九升，得一石三斗三升，折半三遭，得原 酒合問。

又法置一斗九升併倍酒率七乘之，為實。另以倍酒 率七，加原酒率一，共得八，為法。除之亦得。　若要知 三處飲盡者，置原酒一斗六升六合二勺五抄，倍之 得三斗三升二合五勺，除第一處飲酒一斗九升，餘 一斗四升二合五勺，又倍之得二斗八升五合，除第 二處飲一斗九升，餘九升五合，倍之得一斗九升，是 第三處飲盡也。

原吳氏《用盈不足法》，今因其繁冗，故不錄。

歌

昨日沽酒探親朋，路遠迢遙有四程。行過一程添一 倍，卻被安童盜六升。行到親家門裡面，半點全無在 酒缾。借問高明能算者，幾何原酒要「分明。」

答曰：「原酒五升六合二勺五抄。」

《法》曰：「置四處，倍飲列。」〈一倍二　二倍四　四倍八〉併之，得一，十五 率為法，乘盜六升，得九斗，折半四遭，得原酒五升六 合二勺五抄，合問。

又法：置盜六升，以併《倍酒率》十五乘之，得九升為實。 以倍《酒率》十五加原酒一，共十六為法，除之亦得。 若以原酒倍飲四次，即知酒盡也。

西江月

待客攜壺沽酒，不知壺內金波，逢人添倍。又相和，共 飲，斗半方可。添飲還經五處，壺中酒盡無多。要知原 酒無差訛，甚麼法兒方可。

答曰：原酒一斗四升五合三勺一抄二撮五圭。 法曰「置五處，恰飲列。」〈一　二　四　八　十六〉併之，得三十一，為 法。以乘一斗五升，得四石六斗五升，折半五遭，即得 原酒數。

又法：置飲一斗五升，以併《倍酒率》三十一乘之，得四 石六斗五升為實。以《倍酒率》三十一加原酒率一，共 三十二為法，除之亦得。　若以原酒倍之，除飲去一 斗五升，餘倍五次，得四斗五升，即知酒盡也。

歌

本利年年倍，債主催速還，一年取五斗，三年本利完。 答曰：「原本四斗三升七合五勺。」

《法》曰：「置三年本利、平列。」〈一倍二　二倍四〉共七率，乘「五斗」，得三 石。五斗折半，三遭合問。

又法置五斗，以七乘八除，亦得。

已前五款，原用「盈不足法」 ，因繁冗刪去不錄。

鷓鴣天

百兔縱橫走入營，幾多男女𩰚來爭。一人一箇難拿 盡，四隻三人始得停。來往聚，鬧縱橫，各人捉得往家 行。英賢如果能明算，多少人家甚法評。

答曰：「七十五人。」

法曰：置百兔為實，以四隻歸之，得二十五，卻以三人 因之，《合問》。

自前問三處、四處、五處倍飲，併三年倍利還債，俱是原本一，初倍得利一，又倍得利二，再倍得利四，併其倍利倍飲乘飲酒為實，另以倍利加原本一，為法除之，得原本原酒也。

方程八

歌

今有布絹三十疋，共賣價鈔五百七。四疋絹價九十 貫，三疋布價該五十。欲問絹布各幾何，價鈔各該分 端的。若人算得無差訛，堪把芳名題郡邑。

答曰：「絹一十二疋，該鈔二百七十貫；布一十八疋， 該鈔三百貫。」

法曰：「列所問數。」

價。〈九十〉為法　價。〈五十〉　共。〈五百七十〉

絹：〈四疋〉　〈三疋〉得。〈二百七十〉　共。〈三十疋〉得。〈二千七百〉 先以右行價九十貫為法，遍乘左行中、下，得數卻以 左行絹四為法，復遍乘右行中價五十，得二百，減左 行二百七十，餘七十為法。又以左四遍乘右行下，共 價五百七十，得二千二百八十，減左行二千七百，餘 四百二十，為實。以法除之，得六，為錯綜之數。以布三疋乘之，得布一十八疋。以減總絹布三十疋，餘得絹 一十二疋；布十八，以價五十乘之，得九百貫；以三疋 除之，得三百貫；絹十二，以絹四疋除之，得三，以價九 十貫乘之，得二百七十貫。《合問》。

西江月

甲借乙家七硯，還他三管毛錐，貼錢四百整，八十恰 好齊同了畢。丙卻借乙九筆，還他三箇端溪，一百八 十貼乙齊二色價該各幾。

答曰：「筆價五十文，硯價九十文。」

法曰：「列所問數。」

先以右行硯正七為法，遍乘左行、中、下，得數。卻以左 行硯正三為法，復遍乘右行、中筆負三，得九。同減左 行筆負六十三，餘得筆負五十四為法。價正四百八 十，得正一千四百四十，異加左行價負一千二百六 十，共得二千七百為實。以法除之，得筆價五十文。右 行價正四百八十里，加筆負三，價一百五十，共得六 百三十，以「硯七」除之，得硯價九十文，《合問》。

西江月

七釧九釵成器，釧子分兩重多。九兩四錢是相和。仔 細與公說過。二物相交，一隻秤之適等，無那不能算 得是嘍囉。二人卻來問我。

答曰：「釧一隻，重七錢；釵一隻，重五錢。」

《法》曰：此問七釧九釵，共金九兩四錢，交易其一，秤之 適等，乃六釧一釵重四兩七錢，八釵一釧重四兩七 錢，排列。〈六釧　一釵　重四兩七錢　一釵　八釧　重四兩七錢〉先以右行「六釧」 為法，遍乘左行中、下，得數，釧四十八，重二十八兩二 錢。次以左行一釵為法，遍乘右行中一釵，得一，減左 行四十八，餘四十七為法。下重四兩七錢，得四兩七 錢。減左行二十八兩二錢，餘二十三兩五錢為實。以 法除之，得釵重五錢。右行重四兩七錢，減一釵重五 錢，餘四兩二錢。以釧六隻除之，得釧重七錢，合問。

西江月

甲乙二人沽酒，不知誰少誰多，乙鈔少半，甲相和二 百無零堪可。乙得甲錢，中半亦然，二百無那。英賢，算 得的無訛，將甚法兒方可。

答曰：「甲錢一百六十文，乙錢一百二十文。」

法曰：「列所問數。」〈甲二八一百六十　乙三四一百二十〉故。〈甲二分之一錢二百　乙三分之一錢二百〉 先以二分互乘二百，得四百；次以三分互乘二百，得 六百。以少減多，餘二百為實。以甲二分、乙三分併之， 得五分為法；除之，得四十，以乙三乘之，得乙該錢一 百二十文；以減原錢二百，餘八十，以甲二分乘之，得 甲該錢一百六十文。《合問》。

解曰：「甲借一半湊乙，乃八十併之為二百也。」

句股九

西江月

田中有一枯柱，丈六全沒枝梢，尖頭一馬繫難牢，吃 盡田中禾稻四分五釐，田地團團吃一週遭索長幾 許？算償招，不算難賠多少。

答曰：「三丈四尺。」

法曰：此為句股求弦。置四分五釐，以畝法二百四十 通之，得一百零八步，四因，得四百三十一。用三歸之， 得一百四十四，為實。以開平方法除之，上商一十自 乘，得一百除實，餘實四十四步。以初商一十倍作二 十，為方法。次商二步，呼二二除四十，又呼二二除四 步，恰盡，得一十二步，為全徑步。折半得六步，乃枯柱 繫馬之處。以每步五尺乘之，得三十尺，為股。自乘，得 九百尺。另以一十六尺為句，自乘，得二百五十六尺。 併之，得一千一百五十六，為實。以平方開之，初商三 十自乘，得九百除實，餘實二百五十六。以初商三十 倍，作六十為方法。次商四尺，呼四六除二百四十，又 呼四四除一十六，恰盡，得三十四尺，為索長，合問：

歌

二丈木長三尺圍，葛生其下繞纏之。徐徐纏繞七週 遍，葛梢卻與木梢齊。試問高明能算者，葛長多少請 君題。

答曰：「二丈九尺。」

法曰：置木圍三尺，與週七相乘，得二十一，為股，自乘， 得四百四十一尺，以木長二十足為句，自乘，得四百 尺，併之，得八百四十一尺，為實。用開平方法除之，得 二丈九尺。《合問》：

西江月

三月清明節氣，蒙童𩰚放風箏，托量九十五尺，繩被 風括起空中，量得上下相應，七十六尺無零，縱橫甚 法，問先生算之多少為平？

答曰：「五十七尺。」

法曰：此弦股求句法也。以繩斜長九十五尺，如弦自 乘，得九千零二十五尺。又繩頭量至風箏上下相應 七十六尺，如股自乘，得五千七百七十六尺，以減弦 積，餘三千二百四十九尺為實。以《開平方法》除之，得句五十七尺為高。合問。

歌

池河八分下釣鉤，魚吞水底是根由。鉤繩五十岸齊 併，使盡機關無法籌。縱橫源流雖辨認，水深幾尺數 難求。

答曰：「水深三十尺。」

法曰：置圓池八分，以畝法二四通之，得一百九十二 步。以四因三歸，得圓積二百五十六步為實。以開平 方法除之，得圓池徑一十六步。折半得八步。以每步 五尺乘之，得池半面如股四十尺自乘，得一千六百 尺。鉤繩五十尺。如弦自乘，得二千五百尺，相減，餘九 百尺為實。以開平方法除之，得水深三十足為句。合 問。

西江月

今有坡田一段，西高東下，曾量十步五寸是斜長，南 北均闊六丈。欲要修為平壤，東增一丈新牆，不知幾 許，請推詳，平闊須教相當。

答曰：「得平地四分九釐五毫，闊九步九分。」

法曰：此如句弦求股。置斜弦十步，以每步五尺乘之， 得五十尺，加零五寸自乘，得二千五百五十尺零二 寸五分。以減句牆一十尺自乘，得一百尺，餘二千四 百五十足零二寸五分，為實。以開平方法除之，得股 四丈九尺五寸。以步法五尺除之，得闊九步九分。以 乘南北均闊一十二步，得平地一百一十八步八分。 以畝法二四除之，合問。〈南北均闊一十二步即六丈也〉

歌

八尺為股六尺句，內容圓徑怎生求。有人識得如斯 妙，算學方為第一籌。

答曰：「內容圓徑四尺。」

法曰：置句六尺，以股八尺相乘，得四十八尺。倍之，得 九十六尺，為實。另以句六尺自乘，得三十六尺；以股 八尺自乘，得六十四尺，相併，得一百尺。以開平方法 除之，得弦一十尺。加句六尺，股八尺，共二十四尺為 法。除實，得內容圓徑四尺。合問。

歌

《六尺為句》九尺股，內容方面如何取。有人達得這元 機，便是高明算中舉。

答曰：「《內容》方面三尺六寸。」

法曰：置句六尺，以股九尺乘之，得五十四尺為實。另 併句六尺，股九尺，共一十五尺為法。除之，得內容方 面三尺六寸。合問：

西江月

《平地鞦韆未起》。板繩離地一尺。送行二步恰竿齊五 尺。板高離地。才子佳人爭蹴。終朝語笑歡戲。良工高 士請言知，借問索長有幾。

答曰：「一丈四尺五寸。」

法曰：置送行二步，化為十尺，如句自乘，得一百尺，為 實。以股弦較離地五尺，減去原離地一尺，餘四尺為 法，除之，得二十五尺，加較四尺，共得圓徑二十九尺。 折半得索長一丈四尺五寸。合問。

西江月

今有方池一所，每邊丈二，無移中心。蒲長一根，肥出 水過於二尺，斜引蒲梢至岸，適然與岸方齊。請君明 算「更能推蒲長水深各幾。」

答曰：「蒲長一丈，水深八尺。」

法曰：此股弦差也。置半池方六尺，如句自乘，得三十 六尺。以減股弦較出水二尺，自乘，得四尺，餘三十二 尺為實。倍出水二尺，得四尺為法。除之，得股水深八 尺。加出水二尺，即蒲長一丈。合問：

西江月

今有門廳一座，不知門廣高低，長竿橫進使歸室，爭 奈門狹四尺，隨即豎竿過去，亦長二尺無疑，兩隅斜 去恰方齊。請問「三色各幾？」

答曰：「門高八尺，廣六尺，竿長一丈。」

法曰：置句弦較橫闊四，以股弦較豎不出二尺，相乘， 得八尺，倍之，得一十六尺，為弦和較積。用開平方法 除之，得弦和四尺。加股弦較二尺，得六尺，為句，即門 廣。另以弦和較四尺倍之，得八尺，為股，即門高。又以 句六尺，加句較四尺，得竿長，即斜一丈。合問。

一法置門廣如句，以多四尺為句弦較。門高如股，以 多二尺為股弦較。二數相乘得八尺，倍之，得一十六 尺，以平方法除之，得四尺，即弦和較。加多豎之二尺， 得門廣六尺；加多廣之四尺，得門高八尺。全加多廣、 多豎共六尺，得竿長，即門斜十尺也。