欽定古今圖書集成/曆象彙編/曆法典/第124卷

曆象彙編 曆法典 第一百二十三卷 欽定古今圖書集成
曆象彙編 第一百二十四卷
曆象彙編 曆法典 第一百二十五卷


欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

 第一百二十四卷目錄

 算法部彙考十六

  算法統宗十二難題二

曆法典第一百二十四卷

算法部彙考十六编辑

《算法統宗十二》
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難題二编辑

少廣四

直田七畝半,忘了長和短。記得立契時,長闊爭一半。 今特問高明,此法如何算。

答曰:長六十步、闊三十步。

法曰:置田七畝半,以畝法二四通之,得積一千八百 步,折半得九百步為實。以開平方法除之,約商三十 步,自乘得九百步。除實,盡得闊。三十步為法以除總 田,積一千八百步,得長六十步。合問。

西江月

今有方田一段,中間有箇圓池。步量田地可耕犁,十 畝無零在記。方至池邊有數,每邊十步無疑。外方池 徑果能知,到處芳名說你。

解題:耕犁十畝,乃是池外餘地,忘卻方面圓徑二數,只記得方至池邊十步。今問:外方面內圓徑各若干。

答曰:方面六十步、內圓池徑四十步。

法曰:置田十畝,以畝法二四通之,得二千四百步。另 以每邊十步自乘,得一百步,又以三因之,得三百步。 加入積內,共得二千七百步為實。另以每邊十步以 六因之,得六十步為縱方。於右以開平方,帶縱法除 之,約商三十步。於左位就置三十,於右位併入縱方 六十,共得九十步。於左商三十,相呼三九,除二千七 百步積盡。以商三十倍,作六十步為方面,減去每邊 各十步,共減二十步,餘得圓池徑四十步合問。

解法曰:方內容圓四分之三,故以三因池外自乘之數,得三百併積為實。另以三倍之為六,乘每邊十步,得六十步為縱方平方開之。

西江月

今有圓田一段,中間有箇方池。丈量田地待耕犁,恰 好三分在記。池面至周有數,每邊三步無疑。內方圓 徑若能知,堪作算中第一。

答曰:圓徑一十二步,內方池六步。

法:以畝法通田三分,得七十二步,以每邊三步約之, 得圓徑一十二步,自乘得一百四十四步,三因四,歸 得一百零八步,減田積七十二步,餘三十六步,平方 開之,得方池六步。合問。

又法:以每邊三步自乘,得九步,又以四因得三十六 步,加入倍積一百四十四步,共一百八十步為實。另 以每邊三步,以八因之得二十四步為縱方。以平方 帶縱法開之,約商六步,於左亦置六步,於右併入縱 方二十四步,共得三十步,與上商六步,相呼除實,盡 得半徑六步,倍之,得全徑一十二步是也。

孤峰馬傑斷古法曰:以每邊三步約之,得圓徑一十二步,此數非圓田之正徑乎。以正徑論之,積步不及三分,豈有方池六步之容。前後不接,細考後矣。 改正法曰:置耕犁地三分,通為七十二步,以四歸之,得弧矢田積一十八步為實。另以此數倍之,得三十六步。以平方開之,得六步為法,除實得矢三步,併法六步,共九步為弦。折半得四步半,自乘得二十步,零二分五釐。以矢三除之得六步七分五釐,加矢三步,共九步七分五釐為圓徑。內減二矢,闊六步,餘三步七分五釐為方池。合問。予因二數不一,故將傑改正圓徑九步七分五釐,較之具立圖形於左,細究以辨曲直,其古法數準無疑。惟每邊三步約之得徑十二,但約之之說而無定法,含糊之甚,孤峰改正妄減數目,理甚不明。

大位法曰:存方池餘地,取作上下二大弧矢,兩邊二 直又二小,弧矢以每邊三步為矢,求弦法。置半徑四

求弦合總圖

求弦合總圖

步八分七釐五毫,自乘得二十三步七分六釐五毫,另置半徑減矢三步,餘一步八分七釐五毫,自乘得三步五分一釐五毫。相減餘二十步零二分五釐,以

平方法開之,得四步五分,倍之得九步為上下弧弦。 用弧矢法得一矢積一十八步,倍之得三十六步為 上下二弧矢之積,又以方池左右兩旁取直二段,闊 各二步六分二釐五毫,以池方三步七分五釐乘之,得九步八分四釐四毫,倍之得一十九步六分八釐 八毫為左右直積。再以東西二小弧矢,矢各三分七 釐五毫,弦各三步七分五釐,各用弧矢法得七分七 釐三毫五絲,併之得一步五分四釐七毫為東西二 小弧矢積。併四旁積只有五十七步二分三釐五毫, 加方池積一十四步零六釐二毫五絲,通共總得七 十一步三分,此乃較準毫忽無差,併池地,合原積七 十二步尚且不足七分,焉得三分耕犁之地乎。予思 馬傑用四歸七十二步,乃是圓內容方弧弦方角俱 至邊周可用此法,若是錢形內容方池,角不通邊,外 有餘空,豈可以四均而歸之。重疊四角,其理明矣。

西江月

方田一十五畝,及時人去耕犁。圓池在內甚稀奇,圓 徑不知怎記。方至池邊有數,每邊二十無疑。外方圓 徑若能知,細演天源如積。

答曰:面方六十步、圓徑二十步。

法曰:以畝法通田得三千六百步,以平方法開之得 六十步,以減每邊二十步,二邊共減四十步,餘得圓 徑二十步。合問。

西江月

今有圓田一所,不知頃畝端的。直河一道正中穿,圓 分弧矢兩段。通田七十四步,二十四步河寬。除河見 在幾多田,水占如何得見。

圓變二弧矢

圓變二弧矢

答曰:見在田九畝八分九釐五毫八絲。 水占田七畝二分一釐六毫六絲。

法曰:先置通徑七十四步,自乘

得五千四百七十六步,以三因四,歸得四千一百零 七步為全圓總積。再置通徑七十四步減去河寬二 十四步餘五十步,折半得二箇弧矢,各得矢二十五 步,宜用圓徑與截矢求截弦之法,另置通徑七十四 步,折半得半徑三十七步為弦,自乘得一千三百六 十九步,另以半徑三十七步減矢二十五步,餘一十 二步為股,自乘得一百四十四步,以減弦自乘數餘 一千二百二十五步,以平方法開之得三十五步,倍 之得七十步為截弦,併矢二十五步,共九十五步,折 半得四十七步五分,以矢二十五步乘之,得一千一 百八十七步五分為一段弧矢田積,倍之得二千三 百七十五步為見在田,以減通徑總田四千一百零 七步,餘一千七百三十二步為水占田,各以畝法二 四除之。合問。

古法設弦七十步,併無用法出處,今用求弦之法也。

歌:

今有梯田長一百,小頭十五大廿七。截賣一百九十

二,欲從一邊截去積。

解題:截積一邊,如句股之形也。

答曰:截長八十步、闊四步八分。

法曰:倍截積得三百八十四步以乘,長一百步,得三 萬八千四百步為實,以大頭二十七步減小頭一十

梯積句股圖

梯積句股圖

五步,餘一十二步,折半得六步為法,除之得六千四百步,以開平方法除之,得截長八十步,以所折半之六步乘之,得四百八

十步,卻以原長一百步除之,得截闊。合問。

歌:

弧矢一畝積一GJfont,更加九十七步半。矢不及弦十五 步,弦矢各長怎的算。

答曰:弦三十步、矢一十五步。

法曰:通田一畝得二百四十步,加零九十七步半,共 得三百三十七步半,以四因三,歸得四百五十步為 實,以不及一十五步為縱方,於右上,商十步。下法亦 置十步加於縱方一十五之上,共二十五,皆與上商 一十步,除實二百五十步,餘實二百步。另以下法初 商一十倍之,得二十次,商五步於左,下法亦置五步 加於縱方一十五之上,併倍初商共得四十步,皆與 上商五,除實盡得矢一十五步,加不及十五共三十 步為弦。合問。

歌:

梭田共積一千二,又零二十有四步。闊不及長三十 二,要見闊長多少數。

答曰:長六十八步、闊二十六步。

法曰:倍積得二千四百四十八步為實,以不及三十 二步為縱方於右,初商三十步於左,下法亦置三十 加於縱方之上,共六十二步。與左初商三十,相呼三 六,除實一千八百。又呼二三,除六十,餘五百八十八 步。另以下法六十二,加倍初商三十,得九十二,次商 六步於左,下法亦置六步加於縱方九十二之上,共 九十八步,皆與次商六步相呼六九,除五百四十,又 呼六八除四十八步,盡得闊三十六步,加不及三十 二步,得長六十八步。合問。

船缸均載歌

三百六十一隻缸,任君分作幾船裝。不許一船多一 隻,不許一船少一缸。

答曰:船一十九隻、每隻裝缸一十九箇。

法曰:置缸三百六十一隻為實,以開平方法除之,初 商一十於左,亦置一十於右為方法,左右相呼,一一 除實一百,餘實二百六十一,右法初商一十,倍作二 十為廉法,次商九於左,初商之次亦置九於倍商,二 十之次皆與左次商九相呼,二九除實一百八十,又 呼九九除八十一,實盡得一十九船,每船載缸一十 九箇。合問。

船糧均載歌

今歲都要納秋糧,雇船搬載去上倉,五萬七千六百 石,河中漏濕一船糧,每船負帶一石去,船仍剩得一 石糧,秋糧納米已有數,不知原用幾船裝。

解題:問總糧用船及每隻裝數相同,各該若干。

答曰:船二百四十隻、每隻裝二百四十石。

法曰:置米為實,以開平方法除之,初商二百於左,亦 置二百於右,左右相呼,二二除四,萬石餘實一萬七 千六百。另以右商二百,倍作四百,次商四十於左,初 商之次,亦置四十於右,倍商四百之次,皆與上商四 十相呼,四四除一萬六千,又呼四四除一千六百恰 盡。

駐馬聽

不比尋常,欲造金毬內外光。要求高徑尺寸,今有金 積耀眼睛,黃百二十一五分。詳立圓高許,如等杖折 半曾量,折半曾量,金實虛積無偏向。

答曰:立圓徑高六寸。

法曰:置金積一百二十一寸五分,以十六乘,得一千 九百四十四寸,以九歸之,得二百一十六寸為實,以 開立方法除之,初商六寸自乘,再乘得二百一十六 寸,除實恰是得徑。合問。 又曰:要知金積,將徑六寸 自乘,再乘以九因十六,除得積。

西江月

假有坡地一段,中間一賣安塋。總皆一畝二分平,更 有八釐相應。只要縱多兩堵,每堵八尺無零。築牆選 日雇工興,幾許封堆可定。

解題:假如有地一段,共積三百零七步二分,周圍築牆,每堵八尺,東西長比南北闊多二堵。問各該地併堵數若干。

答曰:東西各長一十九步二分、牆一十二堵、南 北各闊一十六步、牆十堵。

法曰:置田一畝二分八釐,以畝法二四通之,得三百 零七步二分為實,以縱多二堵共一十六尺,以五歸 之,得三步二分為縱方,以平方帶縱法除之,得闊一 十六步,加三步二分,得長一十九步二分,各以一步 六分除之,得牆一十二堵。合問。

解法:縱多二堵共一十六尺,以五歸之,即每尺為二分也,各以一步六分除之,即每堵八尺也。

繫羊問索歌

曠野之地有箇樁,樁上繫著一腔羊。團團踏破三畝 二,試問羊繩幾丈長。

答曰:繩長八尺。

法曰:此乃平圓之法,置地三畝二分,以畝法二四通 之得七百六十八步,以四因三,歸之得一千零二十 四步為實,以開平方法除之,初商三十,自乘得九百, 除實餘一百二十四步。另以右位初商三十,倍作六 十,次商二步於左,下法亦置二步於倍商六十之次, 皆與左次商相呼二六,除一百二十,又呼二二除四 步,恰盡得。三十二步乃地之全徑,折半得一十六步 為羊所繫樁處,再以每步五尺乘之,得八十尺為羊 繩長。合問。

西江月

今有酒GJfont一垛,共積一百六十。下長多廣整七枚,廣 少上長三隻。堆積槽坊園內,上下長廣難知。煩公仔 細用心機,借問各該有幾。

答曰:上長八箇、下長十二箇、上廣一箇、下廣

堆垛GJfont

堆垛

五箇。

法曰:置積一百六十以六乘之,得九百六十為實,倍多廣七箇,得一十四箇,加上長三箇,共一十七箇為縱方。再加上長三箇,共二十箇為縱廉,以

三為隅算,用開立方法除之,上商五箇,下法亦置五 箇,自乘得二十五箇,又以隅三乘之,得七十五箇為 隅法。又以五乘縱廉二十,得一百,以方廉隅三法,共 得一百九十二,皆與上商五除實,盡得下廣五箇,加 多七箇,為下長,加多三箇,為上長。合問。

紅桃一垛積難知,共該六百八十枚。三角垛來尖上 一,每面底子幾何為。

答曰:底子一十五箇。法曰:置果積六百八十,以六因之,得四千零八十箇 為實,以二為縱方,三為縱廉,以開立方法除之,初商 一十於左,下法亦置一十於右,自乘得一百,為隅法 又以上商一十,乘縱廉三,得三十,併方二隅一百,共 一百三十二,皆與上商一十,相呼除實一千三百二 十,餘實二千七百六十,乃二乘縱廉三十,得六十,以 三乘隅法一百,得三百,皆併入縱方二,共三百六十 二為方法。下法再置上商一十,以三因,得三十,加入 縱廉三,共三十三為廉法,次商五,下法亦置五自乘 得二十五為隅法,又次商五乘廉三十三,得一百六 十五,併方三百六十二廉一百六十五隅二十五,三 法共五百五十二,皆與上商五相呼,除實盡得底腳 一十五箇。合問。

商功五

穿渠二十九里程,再加一百四步零。上廣一丈二尺 六,下廣八足丈八深,每日一夫三百尺,問該夫數雇 工興。

答曰:三萬二千五百八十人不盡,二百八十八尺。 法曰:置二十九里,以每里三百六十步乘之,得一萬 零四百四十步,加零一百零四步,共一萬零五百四 十四步,以每步五尺乘之,得五萬二千七百二十尺 為長積,另併上下廣二丈零六寸,折半得一丈零三 寸,以深一丈八尺乘之,得一百八十五尺四寸以乘 長積,得九百七十七萬四千二百八十八尺為實,以 每人日開三百尺為法,除之得三萬二千五百八十 人不盡,二百八十八尺不彀一人一日。合問。

西江月

張家三女孝順,歸家頻望勤勞。東村大女隔三朝,五 日西村女到。小女南鄉路遠,依然七日一遭。何朝齊 至飲香醪,請問英賢回報。

答曰:一百零五日同到相會。

法曰:以三朝五日相乘,得一十五,再以七日乘之,得 一百零五日。合問。

今有四人來做工,八日工價九錢銀。二十四人做半 月,試問工錢該幾分。

答曰:一十兩零一錢二分五釐。

法曰:置二十四人,以一十五日乘之,得三百六十。又 以銀九錢因之,得三百二十四兩為實,以四人乘八 日,得三十二日為法除之。合問。

均輸六

粒米求程歌

廬山山高八十里,山峰峰上一黍米,黍米一轉止三 分,幾轉轉到山腳底。

答曰:四百八十萬轉。

法曰:置山高八十里,以每里三百六十步乘之,得三 萬八千八百步,以每步五十寸乘之,得一百四十四 萬寸為實,以米轉三分為法除之。合問。

排魚求數歌

三寸魚兒九里溝,口尾相銜直到頭。試問魚兒多少 數,請君對面說因由。

答曰:五萬四千箇。

法曰:置九里,以每里三百六十步乘之,得三千二百 四十步,以每步五十寸乘之,得一十六萬二千寸,以 每魚長三寸,為法除之,得魚數。合問。

推車問里歌

一人推車忙且苦,半徑輪該尺九五。一日推轉二萬 遭,問君里數如何數。

答曰:一百三十里

法曰:置半徑輪一尺九寸五分,倍之得三尺九寸為 全徑之數,以周三因之得一百一十七寸為一轉之 數,卻以二萬遭乘之,得二百三十四萬寸為實,另以 每里三百六十步,每步五尺計五十寸,乘之得一萬 八千寸為法除之。合問。

遲疾求平調寄西江月

甲乙同時起步,其中甲快乙遲。甲行百步且交立,乙 纔六十步矣。使乙先行百步,甲行起步方追。不知幾 步方追及,算得揚名說GJfont。 答曰:二百五十步。

法曰:置甲行百步乘先行百步,得一萬步為實,另以 甲行百步減乙行六十步,餘四十步,為法除之。合問。

行程問日歌

三藏西天去取經,一去十萬八千程。每日常行七十 五,問君幾日得回程。

答曰:一千四百四十日、計四年。

法曰:置一十萬零八千里,以每日行七十五里為法, 除之得日數,再以三百六十日除之,得年數。合問。

當年蘇武去北邊,不知去了幾周年。分明記得天邊 月,二百三十五番圓。答曰:一十九年。

法曰:置月圓二百三十五番,以每年十二月除之,得 一十九年不盡,七月乃是閏月。合問。

昨日街頭幹事畢,閑來稅局門前立。見一客持三百 布,每匹必須稅二尺。貼回銅錢六百文,收布一十五 半匹。不知每匹賣幾何,只言每匹長四十。

答曰:一貫二百文。

法曰:置布三百匹,以稅二尺乘之,得六百尺,另以收 布一十五匹半,以匹法四十尺乘之,得六百二十尺。 以減該稅六百尺,餘得多稅二十尺為法,以貼回錢。 六百文為實。以法除之,得每尺價三十文,以乘每匹 長四十尺,得每匹價一貫二百文。合問。

雞兔同籠一條,前均輸章,內已載,故不重述。

鷓鴣天

三足團魚六眼龜,共同山下一深池。九十三足亂浮 水,一百二眼將人窺。或出沒,往東西,倚欄觀看不能 知。有人算得無差錯,好酒重斟贈數杯。

答曰:團魚一十五箇、龜一十二箇。

解曰:以團魚三足二眼四足共九十三足六眼共一百二眼此乃托比興也。

法曰:置三足二眼四足六眼九十三足一百二眼互乘,先以三 足六眼乘,得一十八,以四足二眼乘,得八,以少減多 餘一十為法,又以六眼乘九十三足,得五百五十八, 又以四足乘一百二眼,得四百零八,以少減多餘一 百五十為實,以法除之得團魚一十五箇,以三足乘 之,得足四十五,以減總足餘四十八足,以龜四足除 之,得龜一十二箇。合問。

西江月

甲乙聞說牧放,二人暗裡參詳。甲云得乙九箇羊,多 GJfont一倍之上。乙說得甲九隻,兩家之數相當。二邊閑 坐惱心腸,畫地算了半晌。

答曰:甲六十三隻、乙四十五隻。

解曰:甲云借乙九隻,共七十二,乙借與甲九仍三十六,故曰甲多乙一倍,乙云借甲九隻共五十四,甲仍五十四,故云相當。

法曰:甲羊添乙羊九箇,多乙羊一倍者為二十分,卻 減借乙羊九箇為一分,凈一十九分,另以乙羊添甲 九箇兩家相當者為十分,內減借甲九箇為一分,凈 得九分,置甲一十九分,以九乘之,得一百七十一,又 以乙九分,以九乘之,得八十一,相減餘九十,折半得 乙羊四十五隻,又以甲一百七十一,內減乙羊四十 五,餘一百二十六,折半得甲羊六十三隻。合問。原法置甲 七分乙五分各以九乘之亦得

鳳棲梧

甲趕群羊逐草茂,乙拽肥羊一隻隨其後。戲問甲及 一百否,甲云所說無差謬。若得這般一群湊,再添半 群小半群。得GJfont一隻來方湊,元機奧玅誰參透。 答曰:甲羊三十六隻。

解題:甲原羊三十六隻為一群,借一群亦三十六隻,再借半群一十八隻,又借小半群九隻,又湊一隻共百隻也。

法曰:置羊一百隻,減乙羊一隻,餘九十九隻為實。併 群率原一群,又一群再湊,得半群即五分小半群,即 二分半共二群七分半為法,除之得甲原羊一群三 十六隻。合問。

今有程途二千七,十八人騎馬七匹。言定十里輪轉 騎,各人騎行怎得知。

答曰:人行一千六百五十里、騎馬一千零五十里。 法曰:置程途二千七百里為實,以一十八人為法除 之,得每人一百五十里,以馬七匹乘之,得騎馬一千 零五十里,以減程途里數,餘得人行一千六百五十 里。合問。

三人二日四升七,一十三口要糧喫。一年三百六十 日,借問該糧幾多食。

答曰:三十六石六斗六升。

法曰:置今喫糧三百六十日以乘一十三口,得四千 六百八十。又以原喫糧四升七合乘之,得二百一十 九石九斗六升為實。以原三人乘二日,得六為法除 之。合問。

諸葛統領八員將,每將又分八箇營。每營裡面排八 陣,每陣先鋒有八人。每人旗頭俱八箇,每箇旗頭八 隊成。每隊更該八箇甲,每箇甲頭八箇兵。

答曰:一千九百一十七萬三千三百八十五人。 法曰:置總兵一以八因之,得將八員。又八因,得營六 十四。又八因,得陣五百一十二。又八因,得先鋒四千 零九十六人。又八因,得旗頭三萬二千七百六十八 人。又八因,得隊長二十六萬二千一百四十四人。又八因,得甲二百零九萬七千一百五十二人。又八因, 得兵一千六百七十七萬七千二百一十六人。除營 陣不作數,其總兵、將、先鋒、旗隊、甲兵併之。合問。

馬傑曰:以八八相因得六十四,自乘得數,又自乘得數,加總兵一,共得一千六百七十七萬七千二百一十七人。 予據傑變用此法差數二百餘萬,改正之誤也。

比如有錢一文,每日生利八文。問八日該生利,併本 一文,問共若干。

答曰:一千六百七十七萬七千二百一十七文。 法曰:置初日利八文自乘,得六十四文,又以六十四 文自乘,得四千零九十六文,又以四千零九十六自 乘,得一千六百七十七萬七千二百一十六文,加本 錢一文。合問。

前諸葛統兵一問,出吳氏九章。因傑改正數差,反為不正。故設此問,以明上意。

一條竿子一條索,索比竿子長一托,折回索子卻量 竿,卻比竿子短一托。

答曰:竿長一丈五尺、索長二丈。

法曰:置倍短一托,得二托,併長一托,得竿三托,加長 一托,得索長四托,各以每托長五尺乘之合問。

盈朒七

隔牆聽得客分銀,不知人數不知銀。七兩分之多四 兩,九兩分之少半斤。

答曰:六人,銀四十六兩。

法曰:置盈不足以分七兩,互乘少八兩,得五十六兩。 另以分九兩,互乘多四兩,得三十六兩。併之得九十 二兩為實。又以九兩七兩相減餘二兩,為法除實得 銀四十六兩,以多四兩、少八兩,併得一十二兩,為人 實,以法二除之,得六人。合問。

浪淘沙

昨日獨看瓜,因事來家,牧童盜去眼昏花。信步廟東 牆外過,聽得爭差。十三俱分咱,十五增加,每人十六 少十八。借問人瓜各有,幾何先答。

答曰:一十一人,瓜一百五十八箇。

法曰:併盈十五不足十八,得三十三為實,以各十三、 十六相減,餘三為法除之,得十一,以各得十六乘之, 得一百七十六減不足十八,餘得瓜數。合問。

我問開店李三公,眾客都來到店中。一房七客多七 客,一房九客一房空。

答曰:房八間、客六十三人。

法曰:置盈七客,以一房空九人乘之,得六十三,以九 客乘多七客,得六十三,併之得一百二十六為實,以 盈七客與不足九客相減餘二,為法除之得六十三 人,以減去多七客餘五十六人,以每房七客除之,得 房八間。合問。

西江月

幾箇牧童鬧耍,張家園內偷瓜。將來林下共分挐,三 人七枚便罷。分訖剩餘一箇,內有同人兜搭。四人九 箇又分挐,又餘兩箇廝打。

答曰:一十二人、瓜二十九箇。

法曰:置兩盈四人 三人九箇 七箇三人乘九箇,得二十七。 四人乘七箇得二十八箇,併之得五十五箇,加兩盈 數三箇,共五十八箇,折半得瓜二十九箇,以三四相 乘得一十二人。合問。

牧童分杏各爭競,不知人數不知杏。三人五箇多十 枚,四人八枚兩箇剩。

答曰:二十四人、杏五十枚。

法曰:置兩盈以三人互乘八枚得二十四,以四人互 乘五箇得二十,以少減多餘四為法,又以三人四人 相乘,得一十二為實,卻以多十枚減,剩二箇餘八枚 為法,乘得九十六為實,又以前法四除之得二十四 人,另以盈一十乘二十四,得二百四十人,盈二乘二 十得四十,以少減多,餘二百為杏實以法四除之,得 杏五十枚。合問。

今有糧長犒勞夫,不分老幼唱名呼,每人七箇少三 箇,五箇卻少四十五。

答曰:二十一人、錢一百五十文。

法曰:置兩不足七文五文少三箇少四十五箇,兩不足相減 餘四十二為實兩分,率七文五文相減餘二文為法, 除實四十二,得二十一,卻以人分七文乘之,得一百 四十七,加不足三,得錢。合問。

林下收童鬧如簇,不知人數不知竹。每人六竿多十 四,每人八竿恰齊足。

答曰:七人、竹五十六竿。法曰:置盈適足以多十四為實以分,六竿八竿相減 餘二為法,除之得七人。以適足八竿乘之,得竹五十 六竿。合問。

隔牆聽得客分綾,不知綾數不知人。每人六疋少六 疋,每人四疋恰相停。

答曰:三人、綾一十二疋。

法曰:置不足適足以不足六疋為實以分綾,六疋四疋相 減餘二為法,除之得三人。以適足四疋乘之得綾一 十二疋。合問。

今攜一壺酒,遊春郊外走。逢朋添一倍,入店飲斗九。 相逄三處店,飲盡壺中酒,試問能算士,如何知原有。 答曰:原酒一斗六升六合二勺五抄。

法曰:置三處倍飲列一倍,二二倍四,併之得七率為 法以乘一斗九升,得一石三斗三升,折半三遭得原 酒。合問。

又法:置一斗九升,併倍酒率七乘之為實,另以倍酒 率七加原酒率一共得八為法除之亦得。 若要知 三處飲盡者,置原酒一斗六升六合二勺五抄倍之, 得三斗三升二合五勺,除第一處飲酒一斗九升餘 一斗四升二合五勺,又倍之得二斗八升五合,除第 二處飲一斗九升,餘九升五合,倍之得一斗九升,是 第三處飲盡也。

原吳氏用盈不足法,今因其繁冗故不錄。

昨日沽酒探親朋,路遠迢遙有四程,行過一程添一 倍,卻被安童盜六升,行到親家門裡面,半點全無在 酒缾,借問高明能算者,幾何原酒要分明。

答曰:原酒五升六合二勺五抄。

法曰:置四處倍飲列一倍二 二倍四 四倍八併,之得一十五 率為法乘盜六升,得九斗,折半四遭得原酒五升六 合二勺五抄。合問。

又法:置盜六升以併倍酒率十五,乘之得九升為實, 以倍酒率十五加原酒,一共十六為法除之亦得。 若以原酒倍飲四次,即知酒盡也。

西江月

待客攜壺沽酒,不知壺內金波。逢人添倍又相和,共 飲斗半方可。添飲還經五處,壺中酒盡無多。要知原 酒無差訛,甚麼法兒方可。

答曰:原酒一斗四升五合三勺一抄二撮五圭。 法曰:置五處恰飲列一 二 四 八 十六併之得三十一,為 法以乘一斗五升,得四石六斗五升,折半五遭即得 原酒數。

又法:置飲一斗五升以併倍酒率三十一,乘之得四 石六斗五升為實,以倍酒率三十一加原酒率,一共 三十二為法除之亦得。 若以原酒倍之,除飲去一 斗五升,餘倍五次,得四斗五升,即知酒盡也。

本利年年倍,債主催速還。一年取五斗,三年本利完。 答曰:原本四斗三升七合五勺。

法曰:置三年本利平列,一倍二 二倍四共七率乘五斗,得三 石五斗,折半三遭。合問。

又法:置五斗以七乘,八除,亦得。

已前五款,原用盈不足法,因繁冗,刪去不錄。

鷓鴣天

百兔縱橫走入營,幾多男女GJfont來爭。一人一箇難拿 盡,四隻三人始得停。來往聚鬧縱橫,各人捉得往家 行。英賢如果能明算,多少人家甚法評。

答曰:七十五人。

法曰:置百兔為實以四隻歸之,得二十五,卻以三人 因之。合問。

自前問三處四處五處倍飲,併三年倍利還債俱是原本一。初倍得利一,又倍得利二,再倍得利四,併其倍利倍飲,乘飲酒為實。另以倍利加原本一為法除之,得原本原酒也。

方程八

今有布絹三十疋,共賣價鈔五百七。四疋絹價九十 貫,三疋布價該五十。欲問絹布各幾何,價鈔各該分 端的。若人算得無差訛,堪把芳名題郡邑。

答曰:絹一十二疋該鈔二百七十貫、布一十八疋, 該鈔三百貫。

法曰:列所問數

九十為法 價五十 共五百七十

四疋 三疋二百七十 共三十疋二千七百 先以右行價九十貫為法,遍乘左行中下得數,卻以 左行絹四為法復遍乘右行中價五十,得二百減左 行二百七十,餘七十為法又以左四遍乘右行下,共 價五百七十,得二千二百八十,減左行二千七百,餘 四百二十為實以法除之,得六為錯綜之數,以布三疋乘之得布一十八疋,以減總絹布三十疋餘得絹 一十二疋,布十八以價五十乘之,得九百貫,以三疋 除之,得三百貫,絹十二以絹四疋除之,得三,以價九 十貫乘之,得二百七十貫。合問。

西江月

甲借乙家七硯,還他三管毛錐。貼錢四百整八十,恰 好齊同了畢。丙卻借乙九筆,還他三箇端溪。一百八 十貼乙齊,二色價該各幾。

答曰:筆價五十文、硯價九十文。

法曰:列所問數

先以右行硯正七為法,遍乘左行中下得數,卻以左 行硯正三為法,復遍乘右行中筆負三得九。同減左 行筆負六十三,餘得筆負五十四為法,價正四百八 十得正一千四百四十,異加左行價負一千二百六 十,共得二千七百為實,以法除之得筆價五十文,右 行價正四百八十,里加筆負三價一百五十,共得六 百三十。以硯七除之,得硯價九十文。合問。

西江月

七釧九釵成器,釧子分兩重多。九兩四錢是相和,仔 細與公說過。二物相交一隻,秤之適等無那。不能算 得是嘍囉,二人卻來問我。

答曰:釧一隻重七錢、釵一隻重五錢。

法曰:此問七釧九釵共金九兩四錢,交易其一,秤之 適等,乃六釧一釵重四兩七錢,八釵一釧重四兩七 錢,排列六釧 一釵 重四兩七錢 一釵 八釧 重四兩七錢先以右行六釧 為法,遍乘左行中下,得數釧四十八重二十八兩二 錢,次以左行一釵為法,遍乘右行中一釵,得一減左 行四十八,餘四十七為法下重四兩七錢,得四兩七 錢,減左行二十八兩二錢,餘二十三兩五錢為實,以 法除之得釵重五錢,右行重四兩七錢,減一釵重五 錢,餘四兩二錢,以釧六隻除之,得釧重七錢。合問。

西江月

甲乙二人沽酒,不知誰少誰多。乙鈔少半甲相和,二 百無零堪可。乙得甲錢中半,亦然二百無那。英賢算 得的無訛,將甚法兒方可。

答曰:甲錢一百六十文、乙錢一百二十文。

法曰:列所問數甲二八一百六十 乙三四一百二十甲二分之一錢二百 乙三分之一錢二百 先以二分互乘二百,得四百,次以三分互乘二百,得 六百,以少減多,餘二百為實。以甲二分乙三分併之, 得五分為法除之,得四十,以乙三乘之,得乙該錢一 百二十文,以減原錢二百,餘八十,以甲二分乘之,得 甲該錢一百六十文。合問。

解曰:甲借一半湊乙,乃八十併之為二百也。

句股九

西江月

田中有一枯柱,丈六全沒枝梢。尖頭一馬繫難牢,吃 盡田中禾稻。四分五釐田地,團團吃一週遭。索長幾 許算償招,不算難賠多少。

答曰:三丈四尺。

法曰:此為句股求弦。置四分五釐,以畝法二百四十 通之,得一百零八步,四因得四百三十一用三,歸之 得一百四十四。為實以開平方法除之,上商一十,自 乘得一百,除實餘實四十四步以,初商一十倍作二 十為方法。次商二步呼二二除四十,又呼二二除四 步恰盡,得一十二步為全徑步,折半得六步,乃枯柱 繫馬之處,以每步五尺乘之得三十尺為股。自乘得 九百尺另以一十六尺為句。自乘得二百五十六尺, 併之得一千一百五十六為實,以平方開之,初商三 十自乘,得九百,除實餘實二百五十六,以初商三十 倍作六十為方法,次商四尺呼四六除二百四十,又 呼四四除一十六恰盡,得三十四尺為索長。合問。

二丈木長三尺圍,葛生其下繞纏之。徐徐纏繞七週 遍,葛梢卻與木梢齊。試問高明能算者,葛長多少請 君題。

答曰:二丈九尺。

法曰:置木圍三尺與週七相乘,得二十一為股。自乘 得四百四十一尺,以木長二十足為句,自乘得四百 尺,併之得八百四十一尺為實,用開平方法除之,得 二丈九尺。合問。

西江月

三月清明節氣,蒙童GJfont放風箏。托量九十五尺繩,被 風括起空中。量得上下相應,七十六尺無零。縱橫甚 法問先生,算之多少為平。

答曰:五十七尺。

法曰:此弦股求句法也。以繩斜長九十五尺如弦自 乘,得九千零二十五尺,又繩頭量至風箏上下相應 七十六尺,如股自乘,得五千七百七十六尺,以減弦 積,餘三千二百四十九尺為實,以開平方法除之,得句五十七尺為高。合問。

池河八分下釣鉤,魚吞水底是根由。鉤繩五十岸齊 併,使盡機關無法籌。縱橫源流雖辨認,水深幾尺數 難求。

答曰:水深三十尺。

法曰:置圓池八分以畝法二四通之,得一百九十二 步,以四因三歸得圓積二百五十六步為實,以開平 方法除之得圓池徑一十六步,折半得八步,以每步 五尺乘之,得池半面。如股四十尺自乘得一千六百 尺、鉤繩五十尺,如弦自乘得二千五百尺,相減餘九 百尺為實,以開平方法除之,得水深三十足為句。合 問。

西江月

今有坡田一段,西高東下曾量。十步五寸是斜長,南 北均闊六丈。欲要修為平壤,東增一丈新牆。不知幾 許請推詳,平闊須教相當。

答曰:得平地四分九釐五毫、闊九步九分。

法曰:此如句弦求股。置斜弦十步,以每步五尺乘之, 得五十尺,加零五寸自乘,得二千五百五十尺零二 寸五分,以減句牆一十尺自乘,得一百尺,餘二千四 百五十足零二寸五分為實,以開平方法除之,得股 四丈九尺五寸,以步法五尺除之,得闊九步九分以 乘,南北均闊一十二步,得平地一百一十八步八分, 以畝法二四除之。合問南北均闊一十二步即六丈也

八尺為股六尺句,內容圓徑怎生求。有人識得如斯 妙,算學方為第一籌。

答曰:內容圓徑四尺。

法曰:置句六尺以股八尺相乘,得四十八尺,倍之得 九十六尺為實。另以句六尺自乘,得三十六尺,以股 八尺自乘,得六十四尺,相併得一百尺。以開平方法 除之,得弦一十尺,加句六尺、股八尺,共二十四尺為 法,除實得內容圓徑四尺。合問。

六尺為句九尺股,內容方面如何取。有人達得這元 機,便是高明算中舉。

答曰:內容方面三尺六寸。

法曰:置句六尺,以股九尺乘之,得五十四尺為實,另 併句六尺、股九尺共一十五尺為法,除之得內容方 面三尺六寸。合問。

西江月

平地鞦韆未起,板繩離地一尺。送行二步恰竿齊,五 尺板高離地。才子佳人爭蹴,終朝語笑歡戲。良工高 士請言知,借問索長有幾。

答曰:一丈四尺五寸。

法曰:置送行二步化為十尺,如句自乘得一百尺為 實,以股弦較離地五尺減去原離地一尺,餘四尺為 法除之得二十五尺,加較四尺共得圓徑二十九尺, 折半得索長一丈四尺五寸。合問。

西江月

今有方池一所,每邊丈二無移。中心蒲長一根肥,出 水過於二尺。斜引蒲梢至岸,適然與岸方齊。請君明 算更能推,蒲長水深各幾。

答曰:蒲長一丈、水深八尺。

法曰:此股弦差也。置半池方六尺,如句自乘得三十 六尺,以減股弦較出水二尺自乘,得四尺,餘三十二 尺為實,倍出水二尺,得四尺為法除之,得股水深八 尺,加出水二尺,即蒲長一丈。合問。

西江月

今有門廳一座,不知門廣高低。長竿橫進使歸室,爭 奈門狹四尺。隨即豎竿過去,亦長二尺無疑。兩隅斜 去恰方齊,請問三色各幾。

答曰:門高八尺、廣六尺、竿長一丈。

法曰:置句弦較橫闊四,以股弦較豎不出二尺相乘, 得八尺,倍之得一十六尺,為弦和較積用開平方法 除之,得弦和四尺加股弦較二尺,得六尺為句,即門 廣,另以弦和較四尺倍之,得八尺為股,即門高,又以 句六尺加句較四尺,得竿長即斜一丈。合問。

一法:置門廣如句以多四尺為句弦,較門高如股以 多二尺為股弦,較二數相乘,得八尺,倍之,得一十六 尺,以平方法除之,得四尺即弦和較,加多豎之二尺, 得門廣六尺,加多廣之四尺,得門高八尺,全加多廣 多豎共六尺,得竿長即門斜十尺也。


PD-icon.svg 本作品在全世界都属于公有领域,因为作者逝世已经超过100年,并且于1923年1月1日之前出版。