欽定古今圖書集成/曆象彙編/曆法典/第124卷

曆象彙編 曆法典 第一百二十三卷 欽定古今圖書集成
曆象彙編 第一百二十四卷
曆象彙編 曆法典 第一百二十五卷


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欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

 第一百二十四卷目錄

 算法部彙考十六

  算法統宗十二難題二

曆法典第一百二十四卷

算法部彙考十六编辑

《算法統宗十二》
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難題二编辑

少廣四

直田七畝半。忘了長和短。記得立契時。長闊爭一半。 今特問高明。此法如何算。

答曰:「長六十步,闊三十步。」

法曰:置田七畝半,以畝法二四通之,得積一千八百 步,折半,得九百步,為實。以開平方法除之,約商三十 步自乘,得九百步,除實盡,得闊三十步為法。以除總 田積一千八百步,得長六十步。合問。

西江月

今有方田一段,中間有箇圓池,步量田地可耕犁,十 畝無零在記。方至池邊有數,每邊十步無疑。外方池 徑果能知,到處芳名說你。

《解題》「耕犁十畝」 ,乃是池外餘地,忘卻方、面、圓徑二數,只記得方至池邊十步。今問外方面、內圓徑各若干。

答曰:「方面六十步,內圓池徑四十步。」

法曰:置田十畝,以畝法二四通之,得二千四百步。另 以每邊十步自乘,得一百步,又以三因之,得三百步, 加入積內,共得二千七百步為實。另以每邊十步,以 六因之,得六十步,為縱方。於右以開平方帶縱法除 之,約商三十步於左位。就置三十於右位,併入縱方 六十,共得九十步於左。商三十相呼,三九除二千七 百步,積盡,以商三十倍作六十步為方面,減去每邊 各十步,共減二十步,餘得圓池徑四十步。《合問》:

解法曰:方內容圓四分之三,故以三因池外自乘之數,得三百,併積為實。另以三倍之,為六乘,每邊十步,得六十步,為縱方。平方開之。

西江月

今有圓田一段,中間有箇方池。「丈量田地待耕犁,恰 好三分在記。池面至周有數,每邊三步無疑。內方圓 徑若能知,堪作算中第一。」

答曰:「圓徑一十二步,內方池六步。」

法以畝法通田三分,得七十二步。以每邊三步約之, 得圓徑一十二步。自乘,得一百四十四步,三因四歸, 得一百零八步。減田積七十二步,餘三十六步。平方 開之,得方池六步。《合問》:

又法以每邊三步自乘,得九步。又以四因,得三十六 步。加入倍積,一百四十四步,共一百八十步為實。另 以每邊三步,以八因之,得二十四步,為縱方。以平方 帶縱法開之,約商六步於左,亦置六步於右,併入縱 方二十四步,共得三十步。與上商六步相呼,除實盡, 得半徑六步。倍之,得全徑一十二步是也。

孤峰馬傑斷古法曰:「以每邊三步約之,得圓徑一十二步。」 此數非圓田之正徑乎?以正徑論之,積步不及三分,豈有方池六步之容?前後不接,細考後矣 。《改正法》曰:「置耕犁地三分,通為七十二步,以四歸之,得弧矢田積一十八步為實。另以此數倍之,得三十六步,以平方開之,得六步為法。除實,得矢三步,併法六步」 ,共九步,為弦,折半得四步半自乘,得二十步零二分五釐,以矢三除之,得六步七分五釐,加矢三步,共九步七分五釐,為圓徑。內減二矢闊六步,餘三步七分五釐,為方池。《合問》。予因二數不一,故將傑改正圓徑九步七分五釐較之,具立圖形於左。細究以辨曲直,其古法數準無疑。惟每邊三步約之,得徑十二。但「約之」 之說而無定法,含糊之甚。《孤峰》改正妄減數目,理甚不明。

《大位法》曰:「存方池餘地,取作上下二大弧矢,兩邊二 直,又二小弧矢,以每邊三步為矢。」求弦法:置半徑四。

求弦合總圖

求弦合總圖

步八分七釐五毫自乘,得二十三步七分六釐五毫。另置半徑減矢三步,餘一步八分七釐五毫自乘,得三步五分一釐五毫相減,餘二十步零二分五釐,以

平方法開之,得四步五分,倍之得九步,為上下弧弦。 用弧矢法得一,矢積一十八步,倍之得三十六步,為 上下二弧矢之積。又以方池左右兩旁取直二段,闊 各二步六分二釐五毫,以池方三步七分五釐乘之得九步八分四釐四毫,倍之得一十九步六分八釐 八毫,為左右直積。再以東西二小弧矢,矢各三分七 「釐五毫,弦各三步七分五釐。各用弧矢法,得七分七 釐三毫五絲,併之得一步五分四釐七毫,為東西二 小弧矢積併四旁積只有五十七步二分三釐五毫, 加方池積一十四步零六釐二毫五絲,通共總得七 十一步三分。此乃較準,毫忽無差,併池地合原積七 十二步,尚且不足七分,焉得三分耕」犁之地乎?予思 馬傑用《四歸》七十二步,乃是圓內容方,弧弦方角俱 至邊周,可用此法。若是錢形內容方池,角不通邊,外 有餘空,豈可以四均而歸之?重疊四角,其理明矣。

西江月

方田一十五畝,及時人去耕犁。圓池在內甚稀奇,圓 徑不知怎記。方至池邊有數,每邊二十無疑。外方圓 徑若能知,細演天源如積。

答曰:「面方六十步,圓徑二十步。」

法曰:以畝法通田得三千六百步,以平方法開之,得 六十步。以減每邊二十步,二邊共減四十步,餘得圓 徑二十步。《合問》:

西江月

今有圓田一所,不知頃畝端的直河一道,正中穿圓, 分弧矢兩段,通田七十四步,二十四步河寬除河見 在幾多,田水占如何得見?

圓變二弧矢

圓變二弧矢

答曰:「見在田九畝八分九釐五毫八絲 ,水占田七畝二分一釐六毫六絲。」

法曰:先置通徑七十四步自乘。

得五千四百七十六步。以三因四歸,得四千一百零 七步,為全圓總積。再置通徑七十四步,減去河寬二 十四步,餘五十步折半,得二箇弧矢,各得矢二十五 步。宜用圓徑與截矢求截弦之法。另置通徑七十四 步,折半,得半徑三十七步,為弦自乘,得一千三百六 十九步。另以半徑三十七步減矢二十五步,餘一十 二步,為股。自乘,得一百四十四步。以減弦自乘數,餘 一千二百二十五步。以平方法開之,得三十五步;倍 之,得七十步,為截弦併矢二十五步,共九十五步,折 半得四十七步五分,以矢二十五步乘之,得一千一 百八十七步五分,為一段《弧矢》田積倍之,得二千三 百七十五步,為見在田。以減通徑,總田四千一百零 七步,餘一千七百三十二步,為水占田。各以畝法二 四除之,合問。

古法設弦七十步,併無用法出處,今用《求弦》之法也。

今有梯田長一百小頭十五大廿七截賣一百九十。

二欲從一邊截去積

《解題》:「截積一邊,如句股之形也。」

答曰:「截長八十步,闊四步八分。」

法曰:倍截積,得三百八十四步,以乘長一百步,得三 萬八千四百步,為實。以大頭二十七步減小頭一十。

梯積句股圖

梯積句股圖

五步,餘一十二步折半得六步,為法。除之,得六千四百步。以開平方法除之,得截長八十步。以所折半之六步乘之,得四百八。

十步,卻以原長一百步除之,得截、闊《合問》。

弧矢一畝積一叚,更加九十七步半,矢不及弦十五 步,弦矢各長怎的算?

答曰:「弦三十步,矢一十五步。」

法曰:通田一畝得二百四十步,加零九十七步半,共 得三百三十七步半。以四因三歸,得四百五十步為 實。以不及一十五步為縱方。於右。上商十步。下法亦 置十步,加於縱方一十五之上,共二十五,皆與上商 一十步。除實二百五十步,餘實二百步。另以下法,初 商一十倍之,得二十,次商五步於左。下法亦置五步, 加於縱方一十五之上,併倍初商,共得四十步,皆與 上商五除,實盡,得矢一十五步,加不及十五,共三十 步,為弦合問。

梭田共積一千二又零二十有四步,闊不及長三十 二,要見闊長多少數。

答曰:「長六十八步,闊二十六步。」

法曰:倍積得二千四百四十八步為實,以不及三十 二步為縱方於右初商三十步於左。下法亦置三十 加於縱方之上,共六十二步,與左初商三十相呼,三 六除實,一千八百。又呼,二三除六十,餘五百八十八 步。另以下法六十二,加倍初商三十,得九十二,次商 六步於左。下法亦置六步,加於縱方九十二之上,共 九十八步。皆與次商六步相呼,六九除五百四十,又 呼,六八除四十八步,盡得闊三十六步,加不及三十 二步,得長六十八步。《合問

船缸均載歌

三百六十一隻缸,任君分作幾船裝。不許一船多一 隻,不許一船少一缸。

答曰:船一十九隻,每隻裝缸一十九箇。

法曰:置缸三百六十一隻為實,以《開平》方法除之。初 商一十於左,亦置一十於右,為方法。左右相呼,一一 除實一百,餘實二百六十一。右法:初商一十,倍作二 十,為廉法。次商九於左,初商之次,亦置九於倍商二 十之次,皆與左次商九相呼,二九除實一百八十。又 呼九九,除八十一實,盡得一十九船。每船載缸一十 九箇《合問》。

船糧均載歌

今歲都要納秋糧,雇船搬載去,上倉五萬七千六百 石,河中漏濕一船糧。每船負帶一石,去船仍剩得一 石糧。秋糧納米已有數,不知原用幾船裝。

解題問總糧用船、及每隻裝數相同、各該若干

答曰:船二百四十隻,每隻裝二百四十石。

法曰:置米為實,以《開平方法》除之。初商二百於左,亦 置二百於右。左右相呼,二二除四萬石。餘實一萬七 千六百。另以右商二百倍作四百。次商四十於左,初 商之次,亦置四十於右,倍商四百之次,皆與上商四 十相呼,四四除一萬六千。又呼,四四除一千六百,恰 盡。

駐馬聽

不比尋常,欲造金毬內外光,要求高徑尺寸,今有金 積耀眼睛。黃百二十一五分,詳立圓高許如等杖。折 半曾量,折半曾量,金實虛積無偏向。

答曰:「立圓徑,高六寸。」

法曰:置金積一百二十一寸五分,以十六乘,得一千 九百四十四寸;以九歸之,得二百一十六寸,為實。以 開立方法除之,初商六寸,自乘,再乘,得二百一十六 寸,除實,恰是得徑。《合問》 又曰:「要知金積將徑六寸」 自乘再乘,以九因、十六除,得積。

西江月

假有坡地一段,中間一賣安塋,總皆一畝二分,平更 有八釐相應。只要縱多兩堵,每堵八尺無零,築牆選 日雇工興幾許封堆可定。

《解題》「假如有地一段,共積三百零七步二分,周圍築牆,每堵八尺,東西長比南北闊多二堵,問各該地併堵數若干。」

答曰:「東西各長一十九步二分,牆一十二堵;南 北各闊一十六步,牆十堵。」

法曰:置田一畝二分八釐,以畝法二四通之,得三百 零七步二分為實。以縱多二堵共一十六尺,以五歸 之,得三步二分,為縱方。以平方帶縱法除之,得闊一 十六步。加三步二分,得長一十九步二分。各以一步 六分除之,得牆一十二堵。合問。

解法縱多,二堵共一十六尺,以五歸之,即每尺為二分也。各以一步六分除之,即每堵八尺也。

繫羊問索歌

曠野之地有箇樁,樁上繫著一腔羊。團團踏破三畝 二,試問羊繩幾丈長。

答曰:「繩長八尺。」

法曰:「此乃平圓之法。」置地三畝二分,以畝法二四通 之,得七百六十八步。以四因三歸之,得一千零二十 四步為實。以開平方法除之,初商三十自乘,得九百 除實,餘一百二十四步。另以右位初商三十倍,作六 十次商二步於左。下法亦置二步於倍商六十之次, 皆與左次商相呼,二六除一百二十,又呼二二除四 步,恰盡,得三十二步,乃地之全徑。折半得一十六步, 為羊所繫樁處。再以每步五尺乘之,得八十尺,為羊 繩長。合問。

西江月

今有酒罎一垛,共積一百六十下,長多廣整七枚廣 少上長三隻,堆積槽坊園內,上下長廣難知。煩公仔 細用心機,借問各該有幾

答曰:「上長八箇,下長十二箇,上廣一箇,下廣。」

堆垛罎

堆垛罎

五箇

法曰:置積一百六十,以六乘之,得九百六十,為實。倍多廣七箇,得一十四箇,加上長三箇,共一十七箇,為縱方。再加上長三箇,共二十箇,為縱廉。以

三為隅算。用開立方法除之,上商五箇。下法亦置五 箇自乘,得二十五箇。又以隅三乘之,得七十五箇,為 隅法。又以五乘縱廉二十,得一百,以方廉隅三法,共 得一百九十二,皆與上商五除,實盡,得下廣五箇。加 多七箇,為下長,加多三箇為上長。合問:

紅桃一垛積難知,共該六百八十枚。三角垛來尖上 一,每面底子幾何為。

答曰:底子一十五箇法曰:置果積六百八十,以六因之,得四千零八十箇 為實。以二為縱方,三為縱廉。以開立方法除之。初商 一十於左,下法亦置一十於右,自乘,得一百,為隅法。 又以上商一十乘縱廉三得三十,併方二隅一百,共 一百三十二,皆與上商一十相呼。除實一千三百二 十,餘實二千七百六十,乃二乘縱廉三十,得六十,以 三乘隅法一百,得三百,皆併入縱方二,共三百六十 二,為方法。下法再置上商一十,以三因得三十,加入 縱廉三,共三十三,為廉法。次商五,下法亦置,五自乘, 得二十五,為隅法。又次商五,乘廉三十三,得一百六 十五,併方三百六十二,廉一百六十五,隅二十五,三 法共五百五十二,皆與上「商五」相呼,除實盡得底腳 一十五箇。《合問》:

商功五

穿渠二十九里,程再加一百四步零,上廣一丈二尺 六,下廣八足丈八深。每日一夫三百尺,問該夫數,雇 工興。

答曰:三萬二千五百八十人,不盡二百八十八尺。 法曰:置二十九里,以每里三百六十步乘之,得一萬 零四百四十步。加零一百零四步,共一萬零五百四 十四步,以每步五尺乘之,得五萬二千七百二十尺 為長積。另併上下廣二丈零六寸折半得一丈零三 寸,以深一丈八尺乘之,得一百八十五尺四寸;以乘 長積,得九百七十七萬四千二百八十八尺為實,以 每人日開三百尺為法,除之,得三萬二千五百八十 人。不盡,二百八十八尺不彀,一人一日合問。

西江月

張家三女,孝順歸家,頻望勤勞。東村大女,隔三朝五 日;西村女到,小女南鄉,路遠依然。七日一遭。何朝齊 至,飲香醪,請問,英賢回報。

答曰:「一百零五日,同到相會。」

法曰:「以三朝五日」相乘,得一十五,再以七日乘之,得 一百零五日。合問。

今有四人來做工,八日工價九錢銀二十四人做半 月,試問工錢該幾分?

答曰:「一十兩零一錢二分五釐。」

法曰:置二十四人,以一十五日乘之,得三百六十,又 以銀九錢因之,得三百二十四兩,為實。以四人乘八 日,得三十二日,為法。除之合問。

均輸六

粒米求程歌

廬山山高八十里,山峰峰上一黍米。黍米一轉止三 分,幾轉轉到山腳底。

答曰:「四百八十萬轉。」

法曰:「置山高八十里」,以每里三百六十步乘之,得三 萬八千八百步,以每步五十寸乘之,得一百四十四 萬寸為實,以米轉三分為法,除之,合問。

排魚求數歌

三寸魚兒九里溝,口尾相銜直到頭。試問魚兒多少 數,請君對面說因由。

答曰:「五萬四千箇。」

法曰:「置九里,以每里三百六十步乘之,得三千二百 四十步;以每步五十寸乘之,得一十六萬二千寸,以 每魚長三寸為法」,除之,得魚數合問。

推車問里歌

一人推車忙且苦,半徑輪該尺九五。一日推轉二萬 遭,問君里數如何數。

答曰:「一百三十里。」

法曰:置半徑輪一尺九寸五分,倍之,得三尺九寸,為 全徑之數。以《周三》因之,得一百一十七寸,為一轉之 數。卻以二萬遭乘之,得二百三十四萬寸為實。另以 每里三百六十步,每步五尺,計五十寸乘之,得一萬 八千寸為法。除之。合問:

遲疾求平。調寄《西江月》:

甲乙同時起步,其中甲快乙遲。甲行百步,且交立,乙 纔六十步矣。使乙先行百步,甲行起步方追,不知幾 步方追,及算得揚名《說伱》, 答曰:「二百五十步。」

法曰:置甲行百步,乘先行百步,得一萬步為實。另以 甲行百步,減乙行六十步,餘四十步為法,除之,合問。

行程問日歌

三藏西天去取經,一去十萬八千程。每日常行七十 五,問君幾日得回程。

答曰:「一千四百四十日,計四年。」

法曰:置一十萬零八千里,以每日行七十五里為法, 除之得日數,再以三百六十日除之,得年數,合問。

「當年蘇武去北邊,不知去了幾周年?分明記得天邊 月,二百三十五番圓答曰:「一十九年」

法曰:置月圓二百三十五番,以每年十二月除之,得 一十九年,不盡七月,乃是閏月。合問。

昨日街頭幹事畢,閑來稅局門前立。見一客持三百 布,每匹必須稅二尺。貼回銅錢六百文,收布一十五 半匹。不知每匹賣幾何,只言「每匹長四十。」

答曰:「一貫二百文。」

《法》曰:置布三百匹,以稅二尺乘之,得六百尺。另以收 布一十五匹半,以匹法四十尺乘之,得六百二十尺。 以減該稅六百尺,餘得多稅二十尺為法,以貼回錢 六百文為實,以法除之,得每尺價三十文。以乘每匹 長四十尺,得每匹價一貫二百文。合問。

雞兔同籠」一條,前「《均輸章》內已載,故不重述。

鷓鴣天

三足團魚六眼龜,共同山下一深池。九十三足亂浮 水,一百二眼將人窺。或出沒,往東西,倚欄觀看不能 知。有人算得無差錯,好酒重斟贈數杯。

《答》曰:「團魚一十五箇,龜一十二箇。」

《解》曰:「以團魚。」三足、二眼。龜:四足共九十三足六眼共一百二眼此乃托比興也。

《法》曰:「置」三足二眼互。四足六眼互。九十三足一百二眼互乘先以三 足六眼乘,得一十八。以四足二眼乘,得八。以少減多, 餘一十為法。又以六眼乘九十三足,得五百五十八。 又以四足乘一百二眼,得四百零八。以少減多,餘一 百五十為實。以法除之,得團魚一十五箇;以三足乘 之,得足四十五;以減總足,餘四十八足。以龜四足除 之,得龜一十二箇。《合問》:

西江月

甲、乙聞說牧放,二人暗裡參詳。甲云:「得乙九箇羊,多 伱一倍之上。」乙說得甲九,隻兩家之數相當。二邊閑 坐惱心腸,畫地算了半晌。

答曰:「甲六十三隻,乙四十五隻。」

解曰:甲云借乙九隻,共七十二,乙借與甲九,仍三十六,故曰「甲多乙一倍。」 乙云借甲九隻,共五十四,甲仍五十四,故云「相當。」

法曰:甲羊添乙羊九箇,多乙羊一倍者為二十分,卻 減借乙羊九箇為一分,凈一十九分。另以乙羊添甲 九箇,兩家相當者為十分。內減借甲九箇為一分,凈 得九分。置甲一十九分,以九乘之,得一百七十一,又 以乙九分,以九乘之,得八十一,相減,餘九十,折半,得 乙羊四十五隻。又以甲一百七十一,內減乙羊四十 五,餘一百二十六,折半,得甲羊六十三隻。《合問》。原法置甲 七分乙五分各以九乘之亦得

鳳棲梧

甲趕群羊逐草茂,乙拽肥羊一隻隨其後。戲問甲及 一百否?甲云:「所說無差謬,若得這般一群湊,再添半 群小半群,得伱一隻來方湊,元機奧玅誰參透?」 答曰:「甲羊三十六隻。」

《解題》甲原羊三十六隻,為一群借一群亦三十六隻,再借半群一十八隻,又借小半群九隻,又湊一隻,共百隻也。

法曰:置羊一百隻,減乙羊一隻,餘九十九隻為實。併 群率原一群又一群,再湊得半群,即五分小半群即 二分半,共二群七分半,為法。除之,得甲原羊一群三 十六隻,合問。

今有程途二千七十八,人騎馬七匹。言定十里輪轉 騎,各人騎行怎得知?

答曰:人行一千六百五十里,騎馬一千零五十里。 法曰:置程途二千七百里為實,以一十八人為法除 之,得每人一百五十里。以馬七匹乘之,得騎馬一千 零五十里。以減程途里數,餘得人行一千六百五十 里。合問。

三人二日四升七,一十三口要糧喫。一年三百六十 日,借問該糧幾多食。

答曰:「三十六石六斗六升。」

法曰:置今喫糧三百六十日,以乘一十三口,得四千 六百八十,又以原喫糧四升七合乘之,得二百一十 九石九斗六升為實。以原三人乘二日,得六為法,除 之合問。

《諸葛統領》八員將,每將又分八箇營,每營裡面排八 陣,每陣先鋒有八人,每人旗頭俱八箇,每箇旗頭八 隊成。每隊更該八箇甲,每箇甲頭八箇兵。

答曰:一千九百一十七萬三千三百八十五人。 《法》曰:置總兵一,以八因之得將八員,又八因得營六 十四,又八因得陣五百一十二,又八因得先鋒四千 零九十六人,又八因得旗頭三萬二千七百六十八 人,又八因得隊長二十六萬二千一百四十四人,又八因得甲二百零九萬七千一百五十二人,又八因 得兵一千六百七十七萬七千二百一十六人。除營 陣不作數,其總兵將先鋒旗隊甲兵併之,合問。

馬傑曰:「以八八相因,得六十四,自乘,得數,又自乘,得數加總兵一,共得一千六百七十七萬七千二百一十七人 。」 予據傑變用此法,差數二百餘萬,改正之誤也。

比如有錢一文,每日生利八文,問八日該生利併本 一文,問共若干?

答曰:「一千六百七十七萬七千二百一十七文。」 法曰:置初日利八文自乘,得六十四文,又以六十四 文自乘,得四千零九十六文,又以四千零九十六自 乘,得一千六百七十七萬七千二百一十六文,加本 錢一文。合問:

前《諸葛統兵》一問,出《吳氏九章》,因傑改正數差,反為不正,故設此問以明上意。

「《一條竿子》一條索」,索比竿子長一托;折回索子卻量 竿,卻比竿子短一托。

答曰:「竿長一丈五尺,索長二丈。」

法曰:置倍短一托,得二托,併長一托,得竿三托,加長 一托,得索長四托。各以每托長五尺乘之,合問。

盈朒七

隔牆聽得客分銀,不知人數,不知銀「七兩分之多,四 兩;九兩分之少半斤。」

答曰:「六人,銀四十六兩。」

法曰:置盈不足,以分七兩互乘少八兩,得五十六兩。 另以分九兩互乘多四兩,得三十六兩。併之,得九十 二兩,為實。又以九兩、七兩相減,餘二兩為法,除實,得 銀四十六兩。以多四兩、少八兩併,得一十二兩,為人 實。以法二除之,得六人。合問。

浪淘沙

《昨日獨看瓜》,因事來家,牧童盜去眼昏花。信步廟東 牆外過,聽得爭差十三俱分咱十五增加,每人十六 少十八,借問人瓜各有幾何?先答:

《答》曰:「一十一人瓜,一百五十八箇。」

法曰:併盈十五,不足十八,得三十三為實。以各十三 十六相減,餘三為法,除之得十一,以各得十六乘之, 得一百七十六,減不足十八,餘得瓜數。合問:

我問開店李三公,眾客都來到店中。一房七客多七 客,一房九客一房空。

答曰:「房八間,客六十三人。」

法曰:置盈七客,以一房空九人乘之,得六十三;以九 客乘多七客,得六十三,併之,得一百二十六,為實。以 盈七客與不足九客相減,餘二為法,除之,得六十三 人;以減去多七客,餘五十六人,以每房七客除之,得 房八間。《合問》。

西江月

幾箇牧童鬧耍,張家園內偷瓜。將來林下共分挐三 人,七枚便罷。分訖,剩餘一箇,內有同人兜搭,四人九 箇又分挐,又餘兩箇廝打。

《答》曰:「一十二人瓜,二十九箇。」

《法》曰:「置兩盈。」四人 三人互。九箇 七箇三人乘九箇,得二十七; 四人乘七箇,得二十八箇,併之,得五十五箇。加兩盈 數三箇,共五十八箇,折半,得瓜二十九箇。以三四相 乘,得一十二人。《合問》。

牧童分杏各爭競,不知人數不知杏。三人五箇多十 枚,四人八枚兩箇剩。

答曰:「二十四人,杏五十枚。」

法曰:置兩盈,以三人互乘八枚,得二十四。以四人互 乘五箇,得二十。以少減多,餘四為法。又以三人、四人 相乘,得一十二為實。卻以多十枚減剩二箇,餘八枚 為法,乘得九十六為實。又以前法四除之,得二十四 人。另以盈一十乘二十四,得二百四十人。盈二乘二 十,得四十。以少減多,餘二百為杏實。以法四除之,得 杏五十枚,《合問》。

今有糧長犒勞夫,不分老幼唱名呼,「每人七箇少三 箇,五箇卻少四十五。」

答曰:「二十一人,錢一百五十文。」

《法》曰:「置兩不足。」七文五文互。少三箇少四十五箇兩不足相減, 餘四十二,為實。兩分率七文,五文相減,餘二文為法。 除實四十二,得二十一,卻以人分七文乘之,得一百 四十七,加不足三,得錢。合問:

林下收童鬧如簇,不知人數不知竹。每人六竿多十 四,每人八竿恰齊足。

答曰:「七人竹五十六竿法曰:置盈適足以多,十四為實,以分六竿,八竿相減, 餘二為法,除之,得七人,以適足八竿乘之,得竹五十 六竿。合問。

隔牆聽得客分綾,不知綾數不知人。每人六疋少六 疋,每人四疋恰相停。

答曰:「三人綾一十二疋。」

《法》曰:「置」不足適足以不足六疋為實,以分綾六疋,四疋相 減,餘二為法,除之,得三人,以適足四疋乘之,得綾一 十二疋。合問。

今攜一壺酒,遊春郊外走,逢朋添一倍,入店飲斗九 相逄三處店,飲盡壺中酒,試問能算士,如何知原有? 答曰:「原酒一斗六升六合二勺五抄。」

法曰:置三處倍飲,列一倍二、二倍四,併之,得七率,為 法;以乘一斗九升,得一石三斗三升,折半三遭,得原 酒合問。

又法置一斗九升併倍酒率七乘之,為實。另以倍酒 率七,加原酒率一,共得八,為法。除之亦得。 若要知 三處飲盡者,置原酒一斗六升六合二勺五抄,倍之 得三斗三升二合五勺,除第一處飲酒一斗九升,餘 一斗四升二合五勺,又倍之得二斗八升五合,除第 二處飲一斗九升,餘九升五合,倍之得一斗九升,是 第三處飲盡也。

原吳氏《用盈不足法》,今因其繁冗,故不錄。

昨日沽酒探親朋,路遠迢遙有四程。行過一程添一 倍,卻被安童盜六升。行到親家門裡面,半點全無在 酒缾。借問高明能算者,幾何原酒要「分明。」

答曰:「原酒五升六合二勺五抄。」

《法》曰:「置四處,倍飲列。」一倍二 二倍四 四倍八併之,得一,十五 率為法,乘盜六升,得九斗,折半四遭,得原酒五升六 合二勺五抄,合問。

又法:置盜六升,以併《倍酒率》十五乘之,得九升為實。 以倍《酒率》十五加原酒一,共十六為法,除之亦得。 若以原酒倍飲四次,即知酒盡也。

西江月

待客攜壺沽酒,不知壺內金波,逢人添倍。又相和,共 飲,斗半方可。添飲還經五處,壺中酒盡無多。要知原 酒無差訛,甚麼法兒方可。

答曰:原酒一斗四升五合三勺一抄二撮五圭。 法曰「置五處,恰飲列。」一 二 四 八 十六併之,得三十一,為 法。以乘一斗五升,得四石六斗五升,折半五遭,即得 原酒數。

又法:置飲一斗五升,以併《倍酒率》三十一乘之,得四 石六斗五升為實。以《倍酒率》三十一加原酒率一,共 三十二為法,除之亦得。 若以原酒倍之,除飲去一 斗五升,餘倍五次,得四斗五升,即知酒盡也。

本利年年倍,債主催速還,一年取五斗,三年本利完。 答曰:「原本四斗三升七合五勺。」

《法》曰:「置三年本利、平列。」一倍二 二倍四共七率,乘「五斗」,得三 石。五斗折半,三遭合問。

又法置五斗,以七乘八除,亦得。

已前五款,原用「盈不足法」 ,因繁冗刪去不錄。

鷓鴣天

百兔縱橫走入營,幾多男女𩰚來爭。一人一箇難拿 盡,四隻三人始得停。來往聚,鬧縱橫,各人捉得往家 行。英賢如果能明算,多少人家甚法評。

答曰:「七十五人。」

法曰:置百兔為實,以四隻歸之,得二十五,卻以三人 因之,《合問》。

自前問三處、四處、五處倍飲,併三年倍利還債,俱是原本一,初倍得利一,又倍得利二,再倍得利四,併其倍利倍飲乘飲酒為實,另以倍利加原本一,為法除之,得原本原酒也。

方程八

今有布絹三十疋,共賣價鈔五百七。四疋絹價九十 貫,三疋布價該五十。欲問絹布各幾何,價鈔各該分 端的。若人算得無差訛,堪把芳名題郡邑。

答曰:「絹一十二疋,該鈔二百七十貫;布一十八疋, 該鈔三百貫。」

法曰:「列所問數。」

價。九十為法 價。五十 共。五百七十

絹:四疋 三疋得。二百七十 共。三十疋得。二千七百 先以右行價九十貫為法,遍乘左行中、下,得數卻以 左行絹四為法,復遍乘右行中價五十,得二百,減左 行二百七十,餘七十為法。又以左四遍乘右行下,共 價五百七十,得二千二百八十,減左行二千七百,餘 四百二十,為實。以法除之,得六,為錯綜之數。以布三疋乘之,得布一十八疋。以減總絹布三十疋,餘得絹 一十二疋;布十八,以價五十乘之,得九百貫;以三疋 除之,得三百貫;絹十二,以絹四疋除之,得三,以價九 十貫乘之,得二百七十貫。《合問》。

西江月

甲借乙家七硯,還他三管毛錐,貼錢四百整,八十恰 好齊同了畢。丙卻借乙九筆,還他三箇端溪,一百八 十貼乙齊二色價該各幾。

答曰:「筆價五十文,硯價九十文。」

法曰:「列所問數。」

先以右行硯正七為法,遍乘左行、中、下,得數。卻以左 行硯正三為法,復遍乘右行、中筆負三,得九。同減左 行筆負六十三,餘得筆負五十四為法。價正四百八 十,得正一千四百四十,異加左行價負一千二百六 十,共得二千七百為實。以法除之,得筆價五十文。右 行價正四百八十里,加筆負三,價一百五十,共得六 百三十,以「硯七」除之,得硯價九十文,《合問》。

西江月

七釧九釵成器,釧子分兩重多。九兩四錢是相和。仔 細與公說過。二物相交,一隻秤之適等,無那不能算 得是嘍囉。二人卻來問我。

答曰:「釧一隻,重七錢;釵一隻,重五錢。」

《法》曰:此問七釧九釵,共金九兩四錢,交易其一,秤之 適等,乃六釧一釵重四兩七錢,八釵一釧重四兩七 錢,排列。六釧 一釵 重四兩七錢 一釵 八釧 重四兩七錢先以右行「六釧」 為法,遍乘左行中、下,得數,釧四十八,重二十八兩二 錢。次以左行一釵為法,遍乘右行中一釵,得一,減左 行四十八,餘四十七為法。下重四兩七錢,得四兩七 錢。減左行二十八兩二錢,餘二十三兩五錢為實。以 法除之,得釵重五錢。右行重四兩七錢,減一釵重五 錢,餘四兩二錢。以釧六隻除之,得釧重七錢,合問。

西江月

甲乙二人沽酒,不知誰少誰多,乙鈔少半,甲相和二 百無零堪可。乙得甲錢,中半亦然,二百無那。英賢,算 得的無訛,將甚法兒方可。

答曰:「甲錢一百六十文,乙錢一百二十文。」

法曰:「列所問數。」甲二八一百六十 乙三四一百二十故。甲二分之一錢二百 乙三分之一錢二百 先以二分互乘二百,得四百;次以三分互乘二百,得 六百。以少減多,餘二百為實。以甲二分、乙三分併之, 得五分為法;除之,得四十,以乙三乘之,得乙該錢一 百二十文;以減原錢二百,餘八十,以甲二分乘之,得 甲該錢一百六十文。《合問》。

解曰:「甲借一半湊乙,乃八十併之為二百也。」

句股九

西江月

田中有一枯柱,丈六全沒枝梢,尖頭一馬繫難牢,吃 盡田中禾稻四分五釐,田地團團吃一週遭索長幾 許?算償招,不算難賠多少。

答曰:「三丈四尺。」

法曰:此為句股求弦。置四分五釐,以畝法二百四十 通之,得一百零八步,四因,得四百三十一。用三歸之, 得一百四十四,為實。以開平方法除之,上商一十自 乘,得一百除實,餘實四十四步。以初商一十倍作二 十,為方法。次商二步,呼二二除四十,又呼二二除四 步,恰盡,得一十二步,為全徑步。折半得六步,乃枯柱 繫馬之處。以每步五尺乘之,得三十尺,為股。自乘,得 九百尺。另以一十六尺為句,自乘,得二百五十六尺。 併之,得一千一百五十六,為實。以平方開之,初商三 十自乘,得九百除實,餘實二百五十六。以初商三十 倍,作六十為方法。次商四尺,呼四六除二百四十,又 呼四四除一十六,恰盡,得三十四尺,為索長,合問:

二丈木長三尺圍,葛生其下繞纏之。徐徐纏繞七週 遍,葛梢卻與木梢齊。試問高明能算者,葛長多少請 君題。

答曰:「二丈九尺。」

法曰:置木圍三尺,與週七相乘,得二十一,為股,自乘, 得四百四十一尺,以木長二十足為句,自乘,得四百 尺,併之,得八百四十一尺,為實。用開平方法除之,得 二丈九尺。《合問》:

西江月

三月清明節氣,蒙童𩰚放風箏,托量九十五尺,繩被 風括起空中,量得上下相應,七十六尺無零,縱橫甚 法,問先生算之多少為平?

答曰:「五十七尺。」

法曰:此弦股求句法也。以繩斜長九十五尺,如弦自 乘,得九千零二十五尺。又繩頭量至風箏上下相應 七十六尺,如股自乘,得五千七百七十六尺,以減弦 積,餘三千二百四十九尺為實。以《開平方法》除之,得句五十七尺為高。合問。

池河八分下釣鉤,魚吞水底是根由。鉤繩五十岸齊 併,使盡機關無法籌。縱橫源流雖辨認,水深幾尺數 難求。

答曰:「水深三十尺。」

法曰:置圓池八分,以畝法二四通之,得一百九十二 步。以四因三歸,得圓積二百五十六步為實。以開平 方法除之,得圓池徑一十六步。折半得八步。以每步 五尺乘之,得池半面如股四十尺自乘,得一千六百 尺。鉤繩五十尺。如弦自乘,得二千五百尺,相減,餘九 百尺為實。以開平方法除之,得水深三十足為句。合 問。

西江月

今有坡田一段,西高東下,曾量十步五寸是斜長,南 北均闊六丈。欲要修為平壤,東增一丈新牆,不知幾 許,請推詳,平闊須教相當。

答曰:「得平地四分九釐五毫,闊九步九分。」

法曰:此如句弦求股。置斜弦十步,以每步五尺乘之, 得五十尺,加零五寸自乘,得二千五百五十尺零二 寸五分。以減句牆一十尺自乘,得一百尺,餘二千四 百五十足零二寸五分,為實。以開平方法除之,得股 四丈九尺五寸。以步法五尺除之,得闊九步九分。以 乘南北均闊一十二步,得平地一百一十八步八分。 以畝法二四除之,合問。南北均闊一十二步即六丈也

八尺為股六尺句,內容圓徑怎生求。有人識得如斯 妙,算學方為第一籌。

答曰:「內容圓徑四尺。」

法曰:置句六尺,以股八尺相乘,得四十八尺。倍之,得 九十六尺,為實。另以句六尺自乘,得三十六尺;以股 八尺自乘,得六十四尺,相併,得一百尺。以開平方法 除之,得弦一十尺。加句六尺,股八尺,共二十四尺為 法。除實,得內容圓徑四尺。合問。

《六尺為句》九尺股,內容方面如何取。有人達得這元 機,便是高明算中舉。

答曰:「《內容》方面三尺六寸。」

法曰:置句六尺,以股九尺乘之,得五十四尺為實。另 併句六尺,股九尺,共一十五尺為法。除之,得內容方 面三尺六寸。合問:

西江月

《平地鞦韆未起》。板繩離地一尺。送行二步恰竿齊五 尺。板高離地。才子佳人爭蹴。終朝語笑歡戲。良工高 士請言知,借問索長有幾。

答曰:「一丈四尺五寸。」

法曰:置送行二步,化為十尺,如句自乘,得一百尺,為 實。以股弦較離地五尺,減去原離地一尺,餘四尺為 法,除之,得二十五尺,加較四尺,共得圓徑二十九尺。 折半得索長一丈四尺五寸。合問。

西江月

今有方池一所,每邊丈二,無移中心。蒲長一根,肥出 水過於二尺,斜引蒲梢至岸,適然與岸方齊。請君明 算「更能推蒲長水深各幾。」

答曰:「蒲長一丈,水深八尺。」

法曰:此股弦差也。置半池方六尺,如句自乘,得三十 六尺。以減股弦較出水二尺,自乘,得四尺,餘三十二 尺為實。倍出水二尺,得四尺為法。除之,得股水深八 尺。加出水二尺,即蒲長一丈。合問:

西江月

今有門廳一座,不知門廣高低,長竿橫進使歸室,爭 奈門狹四尺,隨即豎竿過去,亦長二尺無疑,兩隅斜 去恰方齊。請問「三色各幾?」

答曰:「門高八尺,廣六尺,竿長一丈。」

法曰:置句弦較橫闊四,以股弦較豎不出二尺,相乘, 得八尺,倍之,得一十六尺,為弦和較積。用開平方法 除之,得弦和四尺。加股弦較二尺,得六尺,為句,即門 廣。另以弦和較四尺倍之,得八尺,為股,即門高。又以 句六尺,加句較四尺,得竿長,即斜一丈。合問。

一法置門廣如句,以多四尺為句弦較。門高如股,以 多二尺為股弦較。二數相乘得八尺,倍之,得一十六 尺,以平方法除之,得四尺,即弦和較。加多豎之二尺, 得門廣六尺;加多廣之四尺,得門高八尺。全加多廣、 多豎共六尺,得竿長,即門斜十尺也。


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