钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第124卷

历象汇编 历法典 第一百二十三卷 钦定古今图书集成
历象汇编 第一百二十四卷
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考证
钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百二十四卷目录

 算法部汇考十六

  算法统宗十二难题二

历法典第一百二十四卷

算法部汇考十六

编辑

《算法统宗十二》

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难题二
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少广四

直田七亩半。忘了长和短。记得立契时。长阔争一半。 今特问高明。此法如何算。

答曰:“长六十步,阔三十步。”

法曰:置田七亩半,以亩法二四通之,得积一千八百 步,折半,得九百步,为实。以开平方法除之,约商三十 步自乘,得九百步,除实尽,得阔三十步为法。以除总 田积一千八百步,得长六十步。合问。

西江月

今有方田一段,中间有个圆池,步量田地可耕犁,十 亩无零在记。方至池边有数,每边十步无疑。外方池 径果能知,到处芳名说你。

《解题》“耕犁十亩” ,乃是池外馀地,忘却方、面、圆径二数,只记得方至池边十步。今问外方面、内圆径各若干。

答曰:“方面六十步,内圆池径四十步。”

法曰:置田十亩,以亩法二四通之,得二千四百步。另 以每边十步自乘,得一百步,又以三因之,得三百步, 加入积内,共得二千七百步为实。另以每边十步,以 六因之,得六十步,为纵方。于右以开平方带纵法除 之,约商三十步于左位。就置三十于右位,并入纵方 六十,共得九十步于左。商三十相呼,三九除二千七 百步,积尽,以商三十倍作六十步为方面,减去每边 各十步,共减二十步,馀得圆池径四十步。《合问》:

解法曰:方内容圆四分之三,故以三因池外自乘之数,得三百,并积为实。另以三倍之,为六乘,每边十步,得六十步,为纵方。平方开之。

西江月

今有圆田一段,中间有个方池。“丈量田地待耕犁,恰 好三分在记。池面至周有数,每边三步无疑。内方圆 径若能知,堪作算中第一。”

答曰:“圆径一十二步,内方池六步。”

法以亩法通田三分,得七十二步。以每边三步约之, 得圆径一十二步。自乘,得一百四十四步,三因四归, 得一百零八步。减田积七十二步,馀三十六步。平方 开之,得方池六步。《合问》:

又法以每边三步自乘,得九步。又以四因,得三十六 步。加入倍积,一百四十四步,共一百八十步为实。另 以每边三步,以八因之,得二十四步,为纵方。以平方 带纵法开之,约商六步于左,亦置六步于右,并入纵 方二十四步,共得三十步。与上商六步相呼,除实尽, 得半径六步。倍之,得全径一十二步是也。

孤峰马杰断古法曰:“以每边三步约之,得圆径一十二步。” 此数非圆田之正径乎?以正径论之,积步不及三分,岂有方池六步之容?前后不接,细考后矣 。《改正法》曰:“置耕犁地三分,通为七十二步,以四归之,得弧矢田积一十八步为实。另以此数倍之,得三十六步,以平方开之,得六步为法。除实,得矢三步,并法六步” ,共九步,为弦,折半得四步半自乘,得二十步零二分五釐,以矢三除之,得六步七分五釐,加矢三步,共九步七分五釐,为圆径。内减二矢阔六步,馀三步七分五釐,为方池。《合问》。予因二数不一,故将杰改正圆径九步七分五釐较之,具立图形于左。细究以辨曲直,其古法数准无疑。惟每边三步约之,得径十二。但“约之” 之说而无定法,含糊之甚。《孤峰》改正妄减数目,理甚不明。

《大位法》曰:“存方池馀地,取作上下二大弧矢,两边二 直,又二小弧矢,以每边三步为矢。”求弦法:置半径四。

求弦合总图

求弦合总图

步八分七釐五毫自乘,得二十三步七分六釐五毫。另置半径减矢三步,馀一步八分七釐五毫自乘,得三步五分一厘五毫相减,馀二十步零二分五釐,以

平方法开之,得四步五分,倍之得九步,为上下弧弦。 用弧矢法得一,矢积一十八步,倍之得三十六步,为 上下二弧矢之积。又以方池左右两旁取直二段,阔 各二步六分二釐五毫,以池方三步七分五釐乘之得九步八分四釐四毫,倍之得一十九步六分八釐 八毫,为左右直积。再以东西二小弧矢,矢各三分七 “釐五毫,弦各三步七分五釐。各用弧矢法,得七分七 釐三毫五丝,并之得一步五分四釐七毫,为东西二 小弧矢积并四旁积只有五十七步二分三釐五毫, 加方池积一十四步零六釐二毫五丝,通共总得七 十一步三分。此乃较准,毫忽无差,并池地合原积七 十二步,尚且不足七分,焉得三分耕”犁之地乎?予思 马杰用《四归》七十二步,乃是圆内容方,弧弦方角俱 至边周,可用此法。若是钱形内容方池,角不通边,外 有馀空,岂可以四均而归之?重叠四角,其理明矣。

西江月

方田一十五亩,及时人去耕犁。圆池在内甚稀奇,圆 径不知怎记。方至池边有数,每边二十无疑。外方圆 径若能知,细演天源如积。

答曰:“面方六十步,圆径二十步。”

法曰:以亩法通田得三千六百步,以平方法开之,得 六十步。以减每边二十步,二边共减四十步,馀得圆 径二十步。《合问》:

西江月

今有圆田一所,不知顷亩端的直河一道,正中穿圆, 分弧矢两段,通田七十四步,二十四步河宽除河见 在几多,田水占如何得见?

圆变二弧矢

圆变二弧矢

答曰:“见在田九亩八分九釐五毫八丝 ,水占田七亩二分一厘六毫六丝。”

法曰:先置通径七十四步自乘。

得五千四百七十六步。以三因四归,得四千一百零 七步,为全圆总积。再置通径七十四步,减去河宽二 十四步,馀五十步折半,得二个弧矢,各得矢二十五 步。宜用圆径与截矢求截弦之法。另置通径七十四 步,折半,得半径三十七步,为弦自乘,得一千三百六 十九步。另以半径三十七步减矢二十五步,馀一十 二步,为股。自乘,得一百四十四步。以减弦自乘数,馀 一千二百二十五步。以平方法开之,得三十五步;倍 之,得七十步,为截弦并矢二十五步,共九十五步,折 半得四十七步五分,以矢二十五步乘之,得一千一 百八十七步五分,为一段《弧矢》田积倍之,得二千三 百七十五步,为见在田。以减通径,总田四千一百零 七步,馀一千七百三十二步,为水占田。各以亩法二 四除之,合问。

古法设弦七十步,并无用法出处,今用《求弦》之法也。

今有梯田长一百小头十五大廿七截卖一百九十。

二欲从一边截去积

《解题》:“截积一边,如句股之形也。”

答曰:“截长八十步,阔四步八分。”

法曰:倍截积,得三百八十四步,以乘长一百步,得三 万八千四百步,为实。以大头二十七步减小头一十。

梯积句股图

梯积句股图

五步,馀一十二步折半得六步,为法。除之,得六千四百步。以开平方法除之,得截长八十步。以所折半之六步乘之,得四百八。

十步,却以原长一百步除之,得截、阔《合问》。

弧矢一亩积一叚,更加九十七步半,矢不及弦十五 步,弦矢各长怎的算?

答曰:“弦三十步,矢一十五步。”

法曰:通田一亩得二百四十步,加零九十七步半,共 得三百三十七步半。以四因三归,得四百五十步为 实。以不及一十五步为纵方。于右。上商十步。下法亦 置十步,加于纵方一十五之上,共二十五,皆与上商 一十步。除实二百五十步,馀实二百步。另以下法,初 商一十倍之,得二十,次商五步于左。下法亦置五步, 加于纵方一十五之上,并倍初商,共得四十步,皆与 上商五除,实尽,得矢一十五步,加不及十五,共三十 步,为弦合问。

梭田共积一千二又零二十有四步,阔不及长三十 二,要见阔长多少数。

答曰:“长六十八步,阔二十六步。”

法曰:倍积得二千四百四十八步为实,以不及三十 二步为纵方于右初商三十步于左。下法亦置三十 加于纵方之上,共六十二步,与左初商三十相呼,三 六除实,一千八百。又呼,二三除六十,馀五百八十八 步。另以下法六十二,加倍初商三十,得九十二,次商 六步于左。下法亦置六步,加于纵方九十二之上,共 九十八步。皆与次商六步相呼,六九除五百四十,又 呼,六八除四十八步,尽得阔三十六步,加不及三十 二步,得长六十八步。《合问

船缸均载歌

三百六十一只缸,任君分作几船装。不许一船多一 只,不许一船少一缸。

答曰:船一十九只,每只装缸一十九个。

法曰:置缸三百六十一只为实,以《开平》方法除之。初 商一十于左,亦置一十于右,为方法。左右相呼,一一 除实一百,馀实二百六十一。右法:初商一十,倍作二 十,为廉法。次商九于左,初商之次,亦置九于倍商二 十之次,皆与左次商九相呼,二九除实一百八十。又 呼九九,除八十一实,尽得一十九船。每船载缸一十 九个《合问》。

船粮均载歌

今岁都要纳秋粮,雇船搬载去,上仓五万七千六百 石,河中漏湿一船粮。每船负带一石,去船仍剩得一 石粮。秋粮纳米已有数,不知原用几船装。

解题问总粮用船、及每只装数相同、各该若干

答曰:船二百四十只,每只装二百四十石。

法曰:置米为实,以《开平方法》除之。初商二百于左,亦 置二百于右。左右相呼,二二除四万石。馀实一万七 千六百。另以右商二百倍作四百。次商四十于左,初 商之次,亦置四十于右,倍商四百之次,皆与上商四 十相呼,四四除一万六千。又呼,四四除一千六百,恰 尽。

驻马听

不比寻常,欲造金球内外光,要求高径尺寸,今有金 积耀眼睛。黄百二十一五分,详立圆高许如等杖。折 半曾量,折半曾量,金实虚积无偏向。

答曰:“立圆径,高六寸。”

法曰:置金积一百二十一寸五分,以十六乘,得一千 九百四十四寸;以九归之,得二百一十六寸,为实。以 开立方法除之,初商六寸,自乘,再乘,得二百一十六 寸,除实,恰是得径。《合问》 又曰:“要知金积将径六寸” 自乘再乘,以九因、十六除,得积。

西江月

假有坡地一段,中间一卖安茔,总皆一亩二分,平更 有八釐相应。只要纵多两堵,每堵八尺无零,筑墙选 日雇工兴几许封堆可定。

《解题》“假如有地一段,共积三百零七步二分,周围筑墙,每堵八尺,东西长比南北阔多二堵,问各该地并堵数若干。”

答曰:“东西各长一十九步二分,墙一十二堵;南 北各阔一十六步,墙十堵。”

法曰:置田一亩二分八釐,以亩法二四通之,得三百 零七步二分为实。以纵多二堵共一十六尺,以五归 之,得三步二分,为纵方。以平方带纵法除之,得阔一 十六步。加三步二分,得长一十九步二分。各以一步 六分除之,得墙一十二堵。合问。

解法纵多,二堵共一十六尺,以五归之,即每尺为二分也。各以一步六分除之,即每堵八尺也。

系羊问索歌

旷野之地有个桩,桩上系著一腔羊。团团踏破三亩 二,试问羊绳几丈长。

答曰:“绳长八尺。”

法曰:“此乃平圆之法。”置地三亩二分,以亩法二四通 之,得七百六十八步。以四因三归之,得一千零二十 四步为实。以开平方法除之,初商三十自乘,得九百 除实,馀一百二十四步。另以右位初商三十倍,作六 十次商二步于左。下法亦置二步于倍商六十之次, 皆与左次商相呼,二六除一百二十,又呼二二除四 步,恰尽,得三十二步,乃地之全径。折半得一十六步, 为羊所系桩处。再以每步五尺乘之,得八十尺,为羊 绳长。合问。

西江月

今有酒坛一垛,共积一百六十下,长多广整七枚广 少上长三只,堆积槽坊园内,上下长广难知。烦公仔 细用心机,借问各该有几

答曰:“上长八个,下长十二个,上广一个,下广。”

堆垛坛

堆垛坛

五个

法曰:置积一百六十,以六乘之,得九百六十,为实。倍多广七个,得一十四个,加上长三个,共一十七个,为纵方。再加上长三个,共二十个,为纵廉。以

三为隅算。用开立方法除之,上商五个。下法亦置五 个自乘,得二十五个。又以隅三乘之,得七十五个,为 隅法。又以五乘纵廉二十,得一百,以方廉隅三法,共 得一百九十二,皆与上商五除,实尽,得下广五个。加 多七个,为下长,加多三个为上长。合问:

红桃一垛积难知,共该六百八十枚。三角垛来尖上 一,每面底子几何为。

答曰:底子一十五个法曰:置果积六百八十,以六因之,得四千零八十个 为实。以二为纵方,三为纵廉。以开立方法除之。初商 一十于左,下法亦置一十于右,自乘,得一百,为隅法。 又以上商一十乘纵廉三得三十,并方二隅一百,共 一百三十二,皆与上商一十相呼。除实一千三百二 十,馀实二千七百六十,乃二乘纵廉三十,得六十,以 三乘隅法一百,得三百,皆并入纵方二,共三百六十 二,为方法。下法再置上商一十,以三因得三十,加入 纵廉三,共三十三,为廉法。次商五,下法亦置,五自乘, 得二十五,为隅法。又次商五,乘廉三十三,得一百六 十五,并方三百六十二,廉一百六十五,隅二十五,三 法共五百五十二,皆与上“商五”相呼,除实尽得底脚 一十五个。《合问》:

商功五

穿渠二十九里,程再加一百四步零,上广一丈二尺 六,下广八足丈八深。每日一夫三百尺,问该夫数,雇 工兴。

答曰:三万二千五百八十人,不尽二百八十八尺。 法曰:置二十九里,以每里三百六十步乘之,得一万 零四百四十步。加零一百零四步,共一万零五百四 十四步,以每步五尺乘之,得五万二千七百二十尺 为长积。另并上下广二丈零六寸折半得一丈零三 寸,以深一丈八尺乘之,得一百八十五尺四寸;以乘 长积,得九百七十七万四千二百八十八尺为实,以 每人日开三百尺为法,除之,得三万二千五百八十 人。不尽,二百八十八尺不彀,一人一日合问。

西江月

张家三女,孝顺归家,频望勤劳。东村大女,隔三朝五 日;西村女到,小女南乡,路远依然。七日一遭。何朝齐 至,饮香醪,请问,英贤回报。

答曰:“一百零五日,同到相会。”

法曰:“以三朝五日”相乘,得一十五,再以七日乘之,得 一百零五日。合问。

今有四人来做工,八日工价九钱银二十四人做半 月,试问工钱该几分?

答曰:“一十两零一钱二分五釐。”

法曰:置二十四人,以一十五日乘之,得三百六十,又 以银九钱因之,得三百二十四两,为实。以四人乘八 日,得三十二日,为法。除之合问。

均输六

粒米求程歌

庐山山高八十里,山峰峰上一黍米。黍米一转止三 分,几转转到山脚底。

答曰:“四百八十万转。”

法曰:“置山高八十里”,以每里三百六十步乘之,得三 万八千八百步,以每步五十寸乘之,得一百四十四 万寸为实,以米转三分为法,除之,合问。

排鱼求数歌

三寸鱼儿九里沟,口尾相衔直到头。试问鱼儿多少 数,请君对面说因由。

答曰:“五万四千个。”

法曰:“置九里,以每里三百六十步乘之,得三千二百 四十步;以每步五十寸乘之,得一十六万二千寸,以 每鱼长三寸为法”,除之,得鱼数合问。

推车问里歌

一人推车忙且苦,半径轮该尺九五。一日推转二万 遭,问君里数如何数。

答曰:“一百三十里。”

法曰:置半径轮一尺九寸五分,倍之,得三尺九寸,为 全径之数。以《周三》因之,得一百一十七寸,为一转之 数。却以二万遭乘之,得二百三十四万寸为实。另以 每里三百六十步,每步五尺,计五十寸乘之,得一万 八千寸为法。除之。合问:

迟疾求平。调寄《西江月》:

甲乙同时起步,其中甲快乙迟。甲行百步,且交立,乙 才六十步矣。使乙先行百步,甲行起步方追,不知几 步方追,及算得扬名《说伱》, 答曰:“二百五十步。”

法曰:置甲行百步,乘先行百步,得一万步为实。另以 甲行百步,减乙行六十步,馀四十步为法,除之,合问。

行程问日歌

三藏西天去取经,一去十万八千程。每日常行七十 五,问君几日得回程。

答曰:“一千四百四十日,计四年。”

法曰:置一十万零八千里,以每日行七十五里为法, 除之得日数,再以三百六十日除之,得年数,合问。

“当年苏武去北边,不知去了几周年?分明记得天边 月,二百三十五番圆答曰:“一十九年”

法曰:置月圆二百三十五番,以每年十二月除之,得 一十九年,不尽七月,乃是闰月。合问。

昨日街头干事毕,闲来税局门前立。见一客持三百 布,每匹必须税二尺。贴回铜钱六百文,收布一十五 半匹。不知每匹卖几何,只言“每匹长四十。”

答曰:“一贯二百文。”

《法》曰:置布三百匹,以税二尺乘之,得六百尺。另以收 布一十五匹半,以匹法四十尺乘之,得六百二十尺。 以减该税六百尺,馀得多税二十尺为法,以贴回钱 六百文为实,以法除之,得每尺价三十文。以乘每匹 长四十尺,得每匹价一贯二百文。合问。

鸡兔同笼”一条,前“《均输章》内已载,故不重述。

鹧鸪天

三足团鱼六眼龟,共同山下一深池。九十三足乱浮 水,一百二眼将人窥。或出没,往东西,倚栏观看不能 知。有人算得无差错,好酒重斟赠数杯。

《答》曰:“团鱼一十五个,龟一十二个。”

《解》曰:“以团鱼。”三足、二眼。龟:四足共九十三足六眼共一百二眼此乃托比兴也。

《法》曰:“置”三足二眼互。四足六眼互。九十三足一百二眼互乘先以三 足六眼乘,得一十八。以四足二眼乘,得八。以少减多, 馀一十为法。又以六眼乘九十三足,得五百五十八。 又以四足乘一百二眼,得四百零八。以少减多,馀一 百五十为实。以法除之,得团鱼一十五个;以三足乘 之,得足四十五;以减总足,馀四十八足。以龟四足除 之,得龟一十二个。《合问》:

西江月

甲、乙闻说牧放,二人暗里参详。甲云:“得乙九个羊,多 伱一倍之上。”乙说得甲九,只两家之数相当。二边闲 坐恼心肠,画地算了半晌。

答曰:“甲六十三只,乙四十五只。”

解曰:甲云借乙九只,共七十二,乙借与甲九,仍三十六,故曰“甲多乙一倍。” 乙云借甲九只,共五十四,甲仍五十四,故云“相当。”

法曰:甲羊添乙羊九个,多乙羊一倍者为二十分,却 减借乙羊九个为一分,净一十九分。另以乙羊添甲 九个,两家相当者为十分。内减借甲九个为一分,净 得九分。置甲一十九分,以九乘之,得一百七十一,又 以乙九分,以九乘之,得八十一,相减,馀九十,折半,得 乙羊四十五只。又以甲一百七十一,内减乙羊四十 五,馀一百二十六,折半,得甲羊六十三只。《合问》。原法置甲 七分乙五分各以九乘之亦得

凤栖梧

甲赶群羊逐草茂,乙拽肥羊一只随其后。戏问甲及 一百否?甲云:“所说无差谬,若得这般一群凑,再添半 群小半群,得伱一只来方凑,元机奥妙谁参透?” 答曰:“甲羊三十六只。”

《解题》甲原羊三十六只,为一群借一群亦三十六只,再借半群一十八只,又借小半群九只,又凑一只,共百只也。

法曰:置羊一百只,减乙羊一只,馀九十九只为实。并 群率原一群又一群,再凑得半群,即五分小半群即 二分半,共二群七分半,为法。除之,得甲原羊一群三 十六只,合问。

今有程途二千七十八,人骑马七匹。言定十里轮转 骑,各人骑行怎得知?

答曰:人行一千六百五十里,骑马一千零五十里。 法曰:置程途二千七百里为实,以一十八人为法除 之,得每人一百五十里。以马七匹乘之,得骑马一千 零五十里。以减程途里数,馀得人行一千六百五十 里。合问。

三人二日四升七,一十三口要粮吃。一年三百六十 日,借问该粮几多食。

答曰:“三十六石六斗六升。”

法曰:置今吃粮三百六十日,以乘一十三口,得四千 六百八十,又以原吃粮四升七合乘之,得二百一十 九石九斗六升为实。以原三人乘二日,得六为法,除 之合问。

《诸葛统领》八员将,每将又分八个营,每营里面排八 阵,每阵先锋有八人,每人旗头俱八个,每个旗头八 队成。每队更该八个甲,每个甲头八个兵。

答曰:一千九百一十七万三千三百八十五人。 《法》曰:置总兵一,以八因之得将八员,又八因得营六 十四,又八因得阵五百一十二,又八因得先锋四千 零九十六人,又八因得旗头三万二千七百六十八 人,又八因得队长二十六万二千一百四十四人,又八因得甲二百零九万七千一百五十二人,又八因 得兵一千六百七十七万七千二百一十六人。除营 阵不作数,其总兵将先锋旗队甲兵并之,合问。

马杰曰:“以八八相因,得六十四,自乘,得数,又自乘,得数加总兵一,共得一千六百七十七万七千二百一十七人 。” 予据杰变用此法,差数二百馀万,改正之误也。

比如有钱一文,每日生利八文,问八日该生利并本 一文,问共若干?

答曰:“一千六百七十七万七千二百一十七文。” 法曰:置初日利八文自乘,得六十四文,又以六十四 文自乘,得四千零九十六文,又以四千零九十六自 乘,得一千六百七十七万七千二百一十六文,加本 钱一文。合问:

前《诸葛统兵》一问,出《吴氏九章》,因杰改正数差,反为不正,故设此问以明上意。

“《一条竿子》一条索”,索比竿子长一托;折回索子却量 竿,却比竿子短一托。

答曰:“竿长一丈五尺,索长二丈。”

法曰:置倍短一托,得二托,并长一托,得竿三托,加长 一托,得索长四托。各以每托长五尺乘之,合问。

盈朒七

隔墙听得客分银,不知人数,不知银“七两分之多,四 两;九两分之少半斤。”

答曰:“六人,银四十六两。”

法曰:置盈不足,以分七两互乘少八两,得五十六两。 另以分九两互乘多四两,得三十六两。并之,得九十 二两,为实。又以九两、七两相减,馀二两为法,除实,得 银四十六两。以多四两、少八两并,得一十二两,为人 实。以法二除之,得六人。合问。

浪淘沙

《昨日独看瓜》,因事来家,牧童盗去眼昏花。信步庙东 墙外过,听得争差十三俱分咱十五增加,每人十六 少十八,借问人瓜各有几何?先答:

《答》曰:“一十一人瓜,一百五十八个。”

法曰:并盈十五,不足十八,得三十三为实。以各十三 十六相减,馀三为法,除之得十一,以各得十六乘之, 得一百七十六,减不足十八,馀得瓜数。合问:

我问开店李三公,众客都来到店中。一房七客多七 客,一房九客一房空。

答曰:“房八间,客六十三人。”

法曰:置盈七客,以一房空九人乘之,得六十三;以九 客乘多七客,得六十三,并之,得一百二十六,为实。以 盈七客与不足九客相减,馀二为法,除之,得六十三 人;以减去多七客,馀五十六人,以每房七客除之,得 房八间。《合问》。

西江月

几个牧童闹耍,张家园内偷瓜。将来林下共分挐三 人,七枚便罢。分讫,剩馀一个,内有同人兜搭,四人九 个又分挐,又馀两个厮打。

《答》曰:“一十二人瓜,二十九个。”

《法》曰:“置两盈。”四人 三人互。九个 七个三人乘九个,得二十七; 四人乘七个,得二十八个,并之,得五十五个。加两盈 数三个,共五十八个,折半,得瓜二十九个。以三四相 乘,得一十二人。《合问》。

牧童分杏各争竞,不知人数不知杏。三人五个多十 枚,四人八枚两个剩。

答曰:“二十四人,杏五十枚。”

法曰:置两盈,以三人互乘八枚,得二十四。以四人互 乘五个,得二十。以少减多,馀四为法。又以三人、四人 相乘,得一十二为实。却以多十枚减剩二个,馀八枚 为法,乘得九十六为实。又以前法四除之,得二十四 人。另以盈一十乘二十四,得二百四十人。盈二乘二 十,得四十。以少减多,馀二百为杏实。以法四除之,得 杏五十枚,《合问》。

今有粮长犒劳夫,不分老幼唱名呼,“每人七个少三 个,五个却少四十五。”

答曰:“二十一人,钱一百五十文。”

《法》曰:“置两不足。”七文五文互。少三个少四十五个两不足相减, 馀四十二,为实。两分率七文,五文相减,馀二文为法。 除实四十二,得二十一,却以人分七文乘之,得一百 四十七,加不足三,得钱。合问:

林下收童闹如簇,不知人数不知竹。每人六竿多十 四,每人八竿恰齐足。

答曰:“七人竹五十六竿法曰:置盈适足以多,十四为实,以分六竿,八竿相减, 馀二为法,除之,得七人,以适足八竿乘之,得竹五十 六竿。合问。

隔墙听得客分绫,不知绫数不知人。每人六疋少六 疋,每人四疋恰相停。

答曰:“三人绫一十二疋。”

《法》曰:“置”不足适足以不足六疋为实,以分绫六疋,四疋相 减,馀二为法,除之,得三人,以适足四疋乘之,得绫一 十二疋。合问。

今携一壶酒,游春郊外走,逢朋添一倍,入店饮斗九 相逄三处店,饮尽壶中酒,试问能算士,如何知原有? 答曰:“原酒一斗六升六合二勺五抄。”

法曰:置三处倍饮,列一倍二、二倍四,并之,得七率,为 法;以乘一斗九升,得一石三斗三升,折半三遭,得原 酒合问。

又法置一斗九升并倍酒率七乘之,为实。另以倍酒 率七,加原酒率一,共得八,为法。除之亦得。 若要知 三处饮尽者,置原酒一斗六升六合二勺五抄,倍之 得三斗三升二合五勺,除第一处饮酒一斗九升,馀 一斗四升二合五勺,又倍之得二斗八升五合,除第 二处饮一斗九升,馀九升五合,倍之得一斗九升,是 第三处饮尽也。

原吴氏《用盈不足法》,今因其繁冗,故不录。

昨日沽酒探亲朋,路远迢遥有四程。行过一程添一 倍,却被安童盗六升。行到亲家门里面,半点全无在 酒缾。借问高明能算者,几何原酒要“分明。”

答曰:“原酒五升六合二勺五抄。”

《法》曰:“置四处,倍饮列。”一倍二 二倍四 四倍八并之,得一,十五 率为法,乘盗六升,得九斗,折半四遭,得原酒五升六 合二勺五抄,合问。

又法:置盗六升,以并《倍酒率》十五乘之,得九升为实。 以倍《酒率》十五加原酒一,共十六为法,除之亦得。 若以原酒倍饮四次,即知酒尽也。

西江月

待客携壶沽酒,不知壶内金波,逢人添倍。又相和,共 饮,斗半方可。添饮还经五处,壶中酒尽无多。要知原 酒无差讹,甚么法儿方可。

答曰:原酒一斗四升五合三勺一抄二撮五圭。 法曰“置五处,恰饮列。”一 二 四 八 十六并之,得三十一,为 法。以乘一斗五升,得四石六斗五升,折半五遭,即得 原酒数。

又法:置饮一斗五升,以并《倍酒率》三十一乘之,得四 石六斗五升为实。以《倍酒率》三十一加原酒率一,共 三十二为法,除之亦得。 若以原酒倍之,除饮去一 斗五升,馀倍五次,得四斗五升,即知酒尽也。

本利年年倍,债主催速还,一年取五斗,三年本利完。 答曰:“原本四斗三升七合五勺。”

《法》曰:“置三年本利、平列。”一倍二 二倍四共七率,乘“五斗”,得三 石。五斗折半,三遭合问。

又法置五斗,以七乘八除,亦得。

已前五款,原用“盈不足法” ,因繁冗删去不录。

鹧鸪天

百兔纵横走入营,几多男女𩰚来争。一人一个难拿 尽,四只三人始得停。来往聚,闹纵横,各人捉得往家 行。英贤如果能明算,多少人家甚法评。

答曰:“七十五人。”

法曰:置百兔为实,以四只归之,得二十五,却以三人 因之,《合问》。

自前问三处、四处、五处倍饮,并三年倍利还债,俱是原本一,初倍得利一,又倍得利二,再倍得利四,并其倍利倍饮乘饮酒为实,另以倍利加原本一,为法除之,得原本原酒也。

方程八

今有布绢三十疋,共卖价钞五百七。四疋绢价九十 贯,三疋布价该五十。欲问绢布各几何,价钞各该分 端的。若人算得无差讹,堪把芳名题郡邑。

答曰:“绢一十二疋,该钞二百七十贯;布一十八疋, 该钞三百贯。”

法曰:“列所问数。”

价。九十为法 价。五十 共。五百七十

绢:四疋 三疋得。二百七十 共。三十疋得。二千七百 先以右行价九十贯为法,遍乘左行中、下,得数却以 左行绢四为法,复遍乘右行中价五十,得二百,减左 行二百七十,馀七十为法。又以左四遍乘右行下,共 价五百七十,得二千二百八十,减左行二千七百,馀 四百二十,为实。以法除之,得六,为错综之数。以布三疋乘之,得布一十八疋。以减总绢布三十疋,馀得绢 一十二疋;布十八,以价五十乘之,得九百贯;以三疋 除之,得三百贯;绢十二,以绢四疋除之,得三,以价九 十贯乘之,得二百七十贯。《合问》。

西江月

甲借乙家七砚,还他三管毛锥,贴钱四百整,八十恰 好齐同了毕。丙却借乙九笔,还他三个端溪,一百八 十贴乙齐二色价该各几。

答曰:“笔价五十文,砚价九十文。”

法曰:“列所问数。”

先以右行砚正七为法,遍乘左行、中、下,得数。却以左 行砚正三为法,复遍乘右行、中笔负三,得九。同减左 行笔负六十三,馀得笔负五十四为法。价正四百八 十,得正一千四百四十,异加左行价负一千二百六 十,共得二千七百为实。以法除之,得笔价五十文。右 行价正四百八十里,加笔负三,价一百五十,共得六 百三十,以“砚七”除之,得砚价九十文,《合问》。

西江月

七钏九钗成器,钏子分两重多。九两四钱是相和。仔 细与公说过。二物相交,一只秤之适等,无那不能算 得是喽啰。二人却来问我。

答曰:“钏一只,重七钱;钗一只,重五钱。”

《法》曰:此问七钏九钗,共金九两四钱,交易其一,秤之 适等,乃六钏一钗重四两七钱,八钗一钏重四两七 钱,排列。六钏 一钗 重四两七钱 一钗 八钏 重四两七钱先以右行“六钏” 为法,遍乘左行中、下,得数,钏四十八,重二十八两二 钱。次以左行一钗为法,遍乘右行中一钗,得一,减左 行四十八,馀四十七为法。下重四两七钱,得四两七 钱。减左行二十八两二钱,馀二十三两五钱为实。以 法除之,得钗重五钱。右行重四两七钱,减一钗重五 钱,馀四两二钱。以钏六只除之,得钏重七钱,合问。

西江月

甲乙二人沽酒,不知谁少谁多,乙钞少半,甲相和二 百无零堪可。乙得甲钱,中半亦然,二百无那。英贤,算 得的无讹,将甚法儿方可。

答曰:“甲钱一百六十文,乙钱一百二十文。”

法曰:“列所问数。”甲二八一百六十 乙三四一百二十故。甲二分之一钱二百 乙三分之一钱二百 先以二分互乘二百,得四百;次以三分互乘二百,得 六百。以少减多,馀二百为实。以甲二分、乙三分并之, 得五分为法;除之,得四十,以乙三乘之,得乙该钱一 百二十文;以减原钱二百,馀八十,以甲二分乘之,得 甲该钱一百六十文。《合问》。

解曰:“甲借一半凑乙,乃八十并之为二百也。”

句股九

西江月

田中有一枯柱,丈六全没枝梢,尖头一马系难牢,吃 尽田中禾稻四分五釐,田地团团吃一周遭索长几 许?算偿招,不算难赔多少。

答曰:“三丈四尺。”

法曰:此为句股求弦。置四分五釐,以亩法二百四十 通之,得一百零八步,四因,得四百三十一。用三归之, 得一百四十四,为实。以开平方法除之,上商一十自 乘,得一百除实,馀实四十四步。以初商一十倍作二 十,为方法。次商二步,呼二二除四十,又呼二二除四 步,恰尽,得一十二步,为全径步。折半得六步,乃枯柱 系马之处。以每步五尺乘之,得三十尺,为股。自乘,得 九百尺。另以一十六尺为句,自乘,得二百五十六尺。 并之,得一千一百五十六,为实。以平方开之,初商三 十自乘,得九百除实,馀实二百五十六。以初商三十 倍,作六十为方法。次商四尺,呼四六除二百四十,又 呼四四除一十六,恰尽,得三十四尺,为索长,合问:

二丈木长三尺围,葛生其下绕缠之。徐徐缠绕七周 遍,葛梢却与木梢齐。试问高明能算者,葛长多少请 君题。

答曰:“二丈九尺。”

法曰:置木围三尺,与周七相乘,得二十一,为股,自乘, 得四百四十一尺,以木长二十足为句,自乘,得四百 尺,并之,得八百四十一尺,为实。用开平方法除之,得 二丈九尺。《合问》:

西江月

三月清明节气,蒙童𩰚放风筝,托量九十五尺,绳被 风括起空中,量得上下相应,七十六尺无零,纵横甚 法,问先生算之多少为平?

答曰:“五十七尺。”

法曰:此弦股求句法也。以绳斜长九十五尺,如弦自 乘,得九千零二十五尺。又绳头量至风筝上下相应 七十六尺,如股自乘,得五千七百七十六尺,以减弦 积,馀三千二百四十九尺为实。以《开平方法》除之,得句五十七尺为高。合问。

池河八分下钓钩,鱼吞水底是根由。钩绳五十岸齐 并,使尽机关无法筹。纵横源流虽辨认,水深几尺数 难求。

答曰:“水深三十尺。”

法曰:置圆池八分,以亩法二四通之,得一百九十二 步。以四因三归,得圆积二百五十六步为实。以开平 方法除之,得圆池径一十六步。折半得八步。以每步 五尺乘之,得池半面如股四十尺自乘,得一千六百 尺。钩绳五十尺。如弦自乘,得二千五百尺,相减,馀九 百尺为实。以开平方法除之,得水深三十足为句。合 问。

西江月

今有坡田一段,西高东下,曾量十步五寸是斜长,南 北均阔六丈。欲要修为平壤,东增一丈新墙,不知几 许,请推详,平阔须教相当。

答曰:“得平地四分九釐五毫,阔九步九分。”

法曰:此如句弦求股。置斜弦十步,以每步五尺乘之, 得五十尺,加零五寸自乘,得二千五百五十尺零二 寸五分。以减句墙一十尺自乘,得一百尺,馀二千四 百五十足零二寸五分,为实。以开平方法除之,得股 四丈九尺五寸。以步法五尺除之,得阔九步九分。以 乘南北均阔一十二步,得平地一百一十八步八分。 以亩法二四除之,合问。南北均阔一十二步即六丈也

八尺为股六尺句,内容圆径怎生求。有人识得如斯 妙,算学方为第一筹。

答曰:“内容圆径四尺。”

法曰:置句六尺,以股八尺相乘,得四十八尺。倍之,得 九十六尺,为实。另以句六尺自乘,得三十六尺;以股 八尺自乘,得六十四尺,相并,得一百尺。以开平方法 除之,得弦一十尺。加句六尺,股八尺,共二十四尺为 法。除实,得内容圆径四尺。合问。

《六尺为句》九尺股,内容方面如何取。有人达得这元 机,便是高明算中举。

答曰:“《内容》方面三尺六寸。”

法曰:置句六尺,以股九尺乘之,得五十四尺为实。另 并句六尺,股九尺,共一十五尺为法。除之,得内容方 面三尺六寸。合问:

西江月

《平地秋千未起》。板绳离地一尺。送行二步恰竿齐五 尺。板高离地。才子佳人争蹴。终朝语笑欢戏。良工高 士请言知,借问索长有几。

答曰:“一丈四尺五寸。”

法曰:置送行二步,化为十尺,如句自乘,得一百尺,为 实。以股弦较离地五尺,减去原离地一尺,馀四尺为 法,除之,得二十五尺,加较四尺,共得圆径二十九尺。 折半得索长一丈四尺五寸。合问。

西江月

今有方池一所,每边丈二,无移中心。蒲长一根,肥出 水过于二尺,斜引蒲梢至岸,适然与岸方齐。请君明 算“更能推蒲长水深各几。”

答曰:“蒲长一丈,水深八尺。”

法曰:此股弦差也。置半池方六尺,如句自乘,得三十 六尺。以减股弦较出水二尺,自乘,得四尺,馀三十二 尺为实。倍出水二尺,得四尺为法。除之,得股水深八 尺。加出水二尺,即蒲长一丈。合问:

西江月

今有门厅一座,不知门广高低,长竿横进使归室,争 奈门狭四尺,随即竖竿过去,亦长二尺无疑,两隅斜 去恰方齐。请问“三色各几?”

答曰:“门高八尺,广六尺,竿长一丈。”

法曰:置句弦较横阔四,以股弦较竖不出二尺,相乘, 得八尺,倍之,得一十六尺,为弦和较积。用开平方法 除之,得弦和四尺。加股弦较二尺,得六尺,为句,即门 广。另以弦和较四尺倍之,得八尺,为股,即门高。又以 句六尺,加句较四尺,得竿长,即斜一丈。合问。

一法置门广如句,以多四尺为句弦较。门高如股,以 多二尺为股弦较。二数相乘得八尺,倍之,得一十六 尺,以平方法除之,得四尺,即弦和较。加多竖之二尺, 得门广六尺;加多广之四尺,得门高八尺。全加多广、 多竖共六尺,得竿长,即门斜十尺也。

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