钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第122卷

钦定古今图书集成
历象汇编 第一百二十二卷

钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第一百二十二卷目录

　算法部汇考十四

　　算法统宗十〈方程章第八　句股章第九〉

历法典第一百二十二卷

算法部汇考十四

《算法统宗十》

方程章第八

方，正也。程，数也。以诸物总并为问，去繁就简为主。乃 诸物繁亢，诸价错杂，必须布置行列，或损益加减，同 异正负，逓互遍乘，求其有等，以少减多，馀物为法，馀 价为实，性实相除，得一价以推其馀。若繁杂甚者，次 第求之。

正者，正数；负者，欠数。

二色方程歌

世人欲要识方程，物价俱将左右陈。右上法乘左中 下，次将左上右行乘，中间相减馀为法，下位相减馀 实情。法除实为右中价，得价，须将右中乘右下价，内 减去积馀为实，数甚分明。右上为法除下实，便为上 价细推寻。

今有马三匹、牛二头，共价银一百一十四两；又马四 匹、牛五头，共价一百六十二两五钱；问马、牛价各若 干？

答曰：“马每匹价三十五两，牛每匹价四两五钱。” 法曰：“列所问数。”

　上马。〈三匹〉为法。〈先乘左〉中牛二。〈乘得八〉　　下价。〈一百一十四两〉　得。〈四百五十六两〉 　上马。〈四匹〉为法。〈次乘右〉中牛五。〈乘得一十五〉　　下价。〈一百六十二两五钱〉　得。〈四百八十七两五钱〉 先以右行马三为法，遍乘左行中牛五，得一十五。又 以法乘左行下价一百六十二两五钱，得四百八十 七两五钱。却以左行马四为法，复遍乘右行中牛二， 得八，减左行乘，得牛十五，馀七为法。又以左上马四 乘右下价一百一十四两，得四百五十六两；减左行 乘价四百八十七两五钱，馀三十一两五钱为实。以 法七除之，得牛匹价四两五钱。却以右行中牛二乘 之，得九两，以减右行下价一百一十四两，馀一百零 五两为实。以右行马三为法，除之，得马一匹价三十 五两。《合问》

今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二 尺，共价六钱八分。问绫、绢各价若干？

答曰：“绫每尺价八分，绢每尺价六分。”

法曰：“列所问数。”

　绫：〈三尺〉为法。〈先乘左〉　绢：〈四尺〉得。〈二十八〉　价。〈四钱八分〉　得三两三钱六分。 　绫：〈七尺〉为法。〈次乘右〉　绢：〈二尺〉乘得：〈六〉　　价。〈六钱八分〉　乘，得二两零四分。 先以右行绫三为法，遍乘左、中、下，得数。却以左行绫 七为法。复遍乘右行中绢四，得二十八。减左行中，得 绢六，馀二十二为法。又以左绫七乘右价四钱八分， 得三两三钱六分，减左行乘，得价二两零四分，馀一 两三钱二分为实。以法二十二除之，得绢每尺价六 分。就以右行绢四尺乘之，共得绢价二钱四分。以减 右行价四钱八分，馀二钱四分，以绫三尺为法除之， 得绫每尺价八分。《合问》：

三色方程歌

三色方程法，更《奇物价》：三行左作基，左右互乘，须减 尽中下价。馀左位宜又列，二行仍乘减中中左中减 无馀，下馀为法价。馀实法实相除，下价知。

此三色“方程已后，内中或有正、负，同异、加减者。”

今有砚三个，墨五匣，笔九枝，共价八钱一分；又砚四 个，墨六匣，笔七枝，共价八钱九分；又砚五个，墨七匣， 笔八枝，共价一两零六分。问砚、墨、笔各价若干？ 答曰：“砚每个八分，墨每匣六分，笔每枝三分。”

法曰：“列所问数。”

　砚。〈三〉为法。〈先乘左右〉墨。〈五〉得。〈二十〉　笔。〈九〉得。〈三十六〉价。〈八钱一分〉　得三两二钱四分。 　砚。〈四〉得。〈一十二〉　　墨。〈六〉得。〈一十八〉笔。〈七〉得。〈二十一〉价。〈八钱九分〉　得二两六钱七分。 　砚。〈五〉得。〈一十五〉　　墨。〈七〉得。〈二十一〉笔。〈八〉得。〈二十四〉价。〈一两零六分〉得三两一钱八分。 先以右行“砚三”为法，遍乘左中二行，得数。却以中行 “砚四”，遍乘右行墨笔，得数墨得二十，笔得三十六，价 得三两二钱四分，与中行对减馀墨二笔十五，价五 钱七分，另列右位。又以左行“砚五”为法，遍乘右行墨 笔，得数墨二十五，笔四十五，价四两零五分，与左行 对减，馀墨四笔二十一，价八钱七分，另列左位，再列 减馀以分左右位数以右行墨二为法，遍乘左行笔 价，得数，列左位。

　墨。〈二〉　笔。〈十五〉　　得。〈六十〉　价。〈五钱七分〉　得二两二钱八分。 　墨。〈四〉　笔。〈二十一〉　得。〈四十〉价。〈八钱七分〉　　得一两七钱四分。 复以左行墨四为法，遍乘右行笔价，得数，列右位，却 以左右对减墨尽馀得笔一十八枝为法。又以馀价得数相减，馀五钱四分为实。以法除实，得笔价每枝 三分。就以笔价乘后右馀笔十五，得四钱五分。以减 右行馀价五钱七分，馀一钱二分，以右行馀墨二为 法，除之，得墨价每匣六分，于前右行原价八钱一分， 内减原笔九价二钱七分，原墨五价三钱，馀二钱四 分为实。以前右原砚三为法除之，得砚价每个八分。 今有马一匹，骡二匹，驴三匹，皆载四石二斗，至坡皆 不能上。马借骡一匹，骡借驴一匹，驴借马一匹，方过 其坡，问三等力各若干。

答曰：“马二石四斗，骡一石八斗，驴六斗。”

法曰：“列所问数。”

《正马》：〈一〉为法。〈先乘左中〉　〈借〉骡。〈一〉　下空　四石二斗。 　《空　正骡》。〈二〉　〈借〉驴。〈一〉　四石二斗。 〈借〉马。〈一〉　《空》。〈负一〉　正驴。〈三〉得。〈三〉　四石二斗，　得四石二斗。 先以右行正马一为法，遍乘左行中下，得数。却以左 行借马一为法，遍乘右行中下，得数，中得一。因左行 中空无减，加入负骡一，下空无数，转乘本行下正驴 三，得三四石二斗，得四石二斗，与左行减尽。又以中 行正骡二，遍乘左行中下，得数，中加一得二，下三得 六四石二，得八石四斗。再以左行中一为法，遍乘中 行中下，得数。中中正二得二，与左中二减尽下一得 一，加左行下六得七为法。四石二斗得四石二斗。与 左行八石四斗对减，馀四石二斗为实。以法除之，得 驴匹力六斗。中行四石二斗内减借驴一匹，除六斗。 仍三石六斗作骡二匹除之，得骡力一石八斗。右行 四石二斗内减借中行骡一匹，除一石八斗，馀二石 四斗，为马一匹力，《合问》。

今有朱二斤、粉三斤，价二两零四分；又粉五斤、丹六 斤，价六钱四分；又朱三斤、丹七斤，价二两九钱八分。 问三色各价若干？

答曰：“朱每斤九钱，粉每斤八分，丹每斤四分。”

法曰：“列所问数。”

　朱。〈二〉为法。〈先乘左行〉　粉。〈三〉　得。〈一〉　空　价。〈二两零四分〉 　空　粉。〈五〉　丹。〈六〉　价。〈六钱四分〉 　朱。〈三〉　《空》。〈负九〉　丹。〈七〉得。〈一十四〉价。〈二两九钱八分〉　得五两九钱六分。 先以右行朱二为法，遍乘左行，得数列于左位。却以 左行朱三为法，遍乘右行粉三，得九。左空亦立负九 价二两零四，得六两一钱三分。与左行得数五两九 钱六分对减，馀一钱六分。又以中行粉五为法，遍乘 左行粉负九，得负四十五，丹十四，得七十。馀价一钱 六分，得八钱。再以左行负粉九为法。遍乘中行粉五， 得四十五，与左行负粉对，减尽丹六，得五十四异加 左丹七十，共一百二十四为法。以中原价六钱四分， 亦以负粉九乘，得五两七钱六分，减左馀价八钱，馀 四两九钱六分为实。以法除之，得丹每斤价四分。于 中行价六钱四分内，减原丹六，共价二钱四分，馀价 四钱为实。以粉五为法除之，得粉每斤价八分。又于 右行价二两零四内，除粉三斤，共减价二钱四分，馀 价一两八钱为实，以朱二斤为法除之，得朱每斤价 九钱。《合问》

今有鹅四只、鸭三只，共价七钱五分；又鹅三只、鸡四 只，共价六钱；又鸭五只、鸡六只，共价八钱一分；问三 色价各若干？

答曰：“鹅每只价一钱二分，鸭每只价九分，鸡每 只价六分。”

法曰：“列所问数。”

　鹅。〈四〉为法。〈先乘中行〉　鸭。〈三〉中法。〈乘得九〉　空，　七钱五分。〈中法乘得二两二钱五分〉 　鹅。〈三〉为法。〈次乘右行〉　《空》。〈照左负九〉　　鸡。〈四右法乘得十六左法乘得八十〉　六钱。〈右法乘得二两四钱咸右馀一钱五分左法乘得七钱五分〉 　空　　鸭：〈五〉中法。〈负九乘得四十五〉　鸡。〈六〉中法。〈负九乘得五十四〉　八钱一分。〈中法负九乘得七两二钱九分〉 先以右行鹅四为法，遍乘中行，得数鸡一十六，价二 两四钱，列中位。又以中行鹅三为法，遍乘右行，得数， 鸭九，价二两二钱五分，列右位。以中右对减馀鸡一 十六，价一钱五分，又列中位为用。再以左行鸭五为 法，复遍乘中行，得数鸭照右设立负九，得四十五，鸡 十六，得八十，价一钱五，得七钱五分，列中位。又以中 行负九为法，遍乘左行，得数鸭四十五，鸡五十四，价 七两二钱九分，列左位。以中左对减鸭尽鸡中行八 十，加左行五十四，共一百三十四为法。以价中七钱 五分，加左七两二钱九分，共八两零四分为实。以法 除之，得六分，为鸡一只之价。另以左行原价八钱一 分，减鸡六只，共价三钱六分，馀四钱五分，以鸭五只 为法除之，“得鸭价每只九分。”再以右行原价七钱五 分，减鸭三只，共价二钱七分，馀四钱八分，以鹅四为 法除之，“得鹅每只价一钱二分。”《合问》

今有卖二牛五羊买十三猪，剩银五两；卖一牛一猪 买三羊适足；卖六羊八猪买五牛，少银三两。问牛、羊、 猪各价若干？

答曰：牛价银六两，羊价银二两五钱，猪价银一 两五钱。

《法》曰：“以卖牛为正，以买猪为负，以多为正，以少为负”， 列所问数 　牛。〈正〉二为《法　羊》。〈正〉五、　猪〈负〉《十三》。　〈正〉五两。 　牛。〈正〉一、　羊〈负〉《三》。〈得负六〉　猪。〈正〉一、〈得正二〉　《空适足》。 　牛。〈负〉五、　羊〈正〉六。〈得正十二〉　猪。〈正〉《八》。〈得正十六〉　〈负〉三两。〈得六两〉 先以右行牛正二为法，遍乘中左二行，得数。却以中 行牛正一为法，复遍乘右行羊正五，得正五异加中 行羊负六，共得羊负十一；猪负十三，得负十三。异加 中行猪正二，共得猪正十五；价正五两，得正五两；因 中行价空无减，得正五两。再以左行牛负五为法，复 遍乘右行羊正五，得羊正二十五，同名；加左羊正十 二，共得三十七；猪负十三，得猪负六十五。异减左行 猪正十六，馀得猪负四十九；价正五两，得正二十五 两；异减左行负六两，馀得负一十九两。再以中行羊 负十一为法，遍乘左行羊正三十七，得羊正四百零 七；猪负四十九，得猪负五百三十九；价负一十九两， 得价负二十两零九钱。却以左行羊正三十七为法。 复遍乘中行羊负十一，得羊负四百零七，与左行羊 正四百零七异名对。减尽猪正十五，得猪正五百五 十五。异减左行猪负五百三十九，馀得猪正一十六 为法。价正五两，得正一十八两五钱异减左行价二 十两零九钱，馀得正二两四钱为实。以法除之，得猪 价一两五钱。中行猪“正十五”，以价一两五钱乘，得二 十二两五钱，加正五两，共二十七两五钱。以羊十一 除之，得羊价二两五钱。右行“猪负十三”，以价一两五 钱乘，得一十九两五钱，加入正五两，共得二十四两 五钱。减五羊价，共一十二两五钱，馀得一十二两。以 牛二除之，得牛价六两。《合问》。

四色方程歌：〈附：“五六色” 仿数〉

四色方程法可夸，须存末位作根芽。诸行乘减同前 例，偶与奇行认莫差。若遇奇行须减价，偶行之价要 相加。加减作实须加法，减法亦须减法佳。随问几多 繁杂色，凭斯推广更无他。

今有瓜二个、梨四个，共价四分；梨二个、桃七个，共价 四分；桃四个、榴七个，共价三分；瓜一个、榴八个，共价 二分四釐。问各该价若干。

答曰：“瓜八釐，梨六釐，桃四釐，榴二釐。”

法曰：列所问数，以一行、三行为奇，二行、四行为偶。 　《瓜》。〈二〉　《梨》。〈四〉　《空　空　价》四分。 　空　梨。〈二〉　〈七〉　空　价四分。 　空　空。　〈四〉　《榴》：〈七〉　价三分。 　《瓜》。〈一〉　《空》。〈负四〉　《空　榴》：〈八〉得。〈一十六〉　价二分四釐，　得四分八釐。 先以一行瓜二为法，遍乘四行梨空，负四桃空榴八， 得一十六，价二分四釐，得四分八釐。却以四行瓜一 遍乘一行梨四，得四。第四行梨空，无减桃空价四分， 得四分。与四行四分八釐对减，馀八釐。次以二行梨 二遍乘四行梨负四，得八桃空榴十六，得三十二，价 八釐，得一分六釐。却以四行梨负四遍，乘二行梨二， 得八。与二行梨八对，减尽桃七，得二十八；榴空价四 分，得一钱六分；加四行一分六釐，共一钱七分六釐。 又以三行桃四遍，乘四行桃负二十八，得一百一十 二；榴三十二，得一百二十八，价一钱七分六釐，得七 钱零四釐。却以四行桃负二十八遍，乘三行桃四，得 一百一十二。与四行桃减尽榴七，得一百九十六。减 四行榴一百二十八，馀六十八，为法。价三分得八钱 四分。减四行价七钱零四釐，馀一钱三分六釐为实。 以法除之，得二釐，为榴价。于三行价三分内，减榴七， 共价一分四釐，馀一分六釐。以桃四除之，得四釐，为 桃价。于二行价四分内，减七桃价，共二分八釐，馀一 分二釐，以二梨除之，得六釐，为梨价。于一行价四分 内减四梨，共价二分四釐，馀一分六釐，以二瓜除之， 得八釐，为瓜价。《合问》：

今有绢三疋添价六钱，买布十疋；又布五疋添价一 钱，买绢二疋。问绢、布价各若干？

答曰：“绢疋价八钱，布疋价三钱。”

法曰：“如前《正负术》之法。”〈此问可作盈不足算〉

　《绢三》〈正〉为《法　布》十疋。〈负〉　价六钱。〈正〉 　绢二。〈负〉　布五疋。〈得正十五〉　价一钱。〈正〉得三钱。 先以右行绢正三为法，遍乘左行布正五，得正一十 五。价正一钱，得正三钱。却以左行“绢负二”为法，遍乘 右行布负十疋，得正二十疋。减左行布正十五，馀五 为法。价正六钱得一两二钱，加左行三钱，共一两五 钱为实。以法除实得三钱，为《布疋》价。却以左行布五 疋，以每疋三钱乘之，得一两五钱，加添价一钱，共一 两六钱，以绢二疋除之，得绢疋价八钱。《合问》。

句股章第九

“横阔谓之句，直长谓之股，两隅斜去谓之弦。”此章以 句股求弦之斜，句弦求股之长，以股弦求句之阔。求。

句股形图

“《句股中》容方容圆。” 求山之高，水之深，城之广，路之远，皆可知也。

“句股之形” ，即今木匠曲尺之

《形也》句是尺，股是尺稍，自尺头至稍尾斜去，是弦也。

设如句三尺，股四尺，弦即五尺也。

句股名义。〈“生变” 有一十三。〉

《句》。〈横曰句〉　　　　　　句股较。〈句股相减〉

句弦较。〈句弦相减〉　　　句股和。〈句与股并〉

句弦和。〈句与弦并〉

股。〈直曰股〉　　　　　　股弦较，〈股弦相减〉

股弦和。〈股与弦并〉

弦。〈斜曰弦〉　　　　　　弦较和。〈弦与句股较并〉 《弦和》和。〈弦与句股和并〉　弦和较。〈弦与句股和相减〉 《弦较》较。〈弦与句股较相减〉

句股论说释义

假如：句，二十七步；股，三十六步；弦，四十五步。

其“求句、求股、求弦，容方、容圆”，另具图于后。

句股之法：横曰句，直曰股，斜之为弦，句二。

十七，股三十六相减，其差九曰较。句股相并，得六 十三，曰和股。三十六，减弦四十五之差九曰股弦 较。句二十七，弦四十五之差十八，曰句弦较。并 句股共六十三，减弦四十五之差十八，则曰弦和较。

弦四十五。减句股之差九，其差三十六，曰“弦较。” 较股弦相并，得八十一，则曰股弦和。句弦相并，得

七十二曰句弦和。句股之差九，并弦共五十四，则 曰“弦较。”和句股弦并得一百零八曰弦和和倍 弦实。〈即弦自乘倍之〉得四千零五十，减句、股和，自乘，得三千 九百六十九，馀八十一，为实。平方开之，得九，为句股 较。前倍弦实，减句、股较，九自乘，得八十一，馀三千 九百六十九。平方开之，得六十三，为句股和；并句 弦共七十二，除股自乘，得一千二百九十六，得十八， 为句股较，即句弦之差。十八除股自乘，得一千二 百九十六，得七十二，为句弦和。并得股弦共八十一。 以除句自乘，得七百二十九，得九，为股弦较，即股 弦之差。九除句自乘，得七百二十九，得八十一，为股 弦和。句股和六十三自乘，得三千九百六十九，减 弦自乘，得二千零二十五，馀一千九百四十四，为实。 以弦较较三十六除之，得五十四，为弦较和。弦较 和除前实，得弦较。较句股之差九自乘，得八十一， 以减弦自乘，得二千零二十五，馀一千九百四十四， 为实。以弦和和一百零八除之，得十八，为弦和较。 弦和较除前实，得弦和和句二十七，加股弦较九， 共三十六，即弦较较。句二十七，减股弦较九，馀十 八，即弦和较句加弦较和五十四，共八十一，即股 弦和。股三十六；加句弦较十八，共五十四，即弦较 和股三十六；减句弦较十八，馀十八，即弦和较。 股加弦较较三十六，共七十二，即句弦和。句股较 九；加股弦较九，共十八，即句弦较。句股较九；减股 弦和八十一，馀七十二，即句弦和句股和六十三； 加股弦较九，共七十二，为句弦和。股弦和八十一， 减句股和六十三，馀十八，即句弦较。句股较九，加 句股和六十三，共七十二，半之为股。句股和六十 三，减句股较九，馀五十四。折半为句股弦较九，加 股弦和八十一，共九十半之为弦。股弦和八十一， 减股弦较九，馀七十二，半之为股。句弦较十八，加 句弦和七十二，共九十半之为弦。句弦和七十二， 减句弦较十八，馀五十四，半之为句。弦和较十八， 加弦和和一百零八，共一百二十六，半之为和。弦 和和一百零八，减弦和较十八，馀九十，半之为弦。 弦较较三十六，加弦较和五十四，共九十，半之为弦。

弦较和五十四；减弦较；较三十六，馀十八。半之为

《较》“变而通之，神而明之”，存乎其人焉。

“句股求弦” ，句弦求，股股弦求句共歌。

句股求弦各自乘，乘来相并要分明。开方便见弦之 数，法术从来有见成，句弦求股要推详，各自乘来各 一张，以少减多馀作实，实求股数要开方。弦股求句 皆一例，算师熟记莫相忘。

句股求弦法曰：“置句自乘，股自乘，并二数，以开平方 法除之，得弦数。”

其句自乘，股自乘，二数并之，合弦自乘数，故用《开平》方法除之，即得弦斜数也。

句弦求股法曰：“置弦自乘，内减、句自乘，馀以开平方 除之，得股长数。”

其弦自乘数内有一句自乘，一股自乘数，今减去句自乘数，馀是股自乘数，故用《开平方》除之，得股长数。

股弦求句法曰：“置弦自乘，内减股自乘，馀以开平方 除之，得句阔数。”

其弦自乘，有一句一股自乘数，今减去股自乘数，馀是句自乘数，故用《开平方》除之，得句阔数。

今有句二十七尺，股三十六尺，问弦斜若干？

答曰：“弦斜四十五尺。”

法曰：置句二十七尺自乘，得七百二十九尺。另以股 三十六尺自乘，得一千二百九十六尺。二数并之，得 二千零二十五尺，为实。乃合弦自乘数，以开平方法除之。初商四十于左，亦置四十于右，为方法。左四对， 右四呼，四四除实一千六百尺，馀实四百二十五尺。 却以下位初商方法四十倍，作八十，为廉法。次商五 尺于左位。初商四十之次，亦置五于右位。廉法八十 之次，为隅法。左五对右八呼，五八除实四百。又左五 对右五呼，五五除实二十五尺。恰尽得弦斜四十五 尺。

今有句二十七尺，弦四十五尺，问股长若干？

答曰：“股长三十六尺。”

法曰：置弦四十五尺，自乘，得二千零二十五尺，内有 一句，一股自乘之数。另以句自乘，得七百二十九尺。 二数相减，馀一千二百九十六尺，为实。是股自乘数。 以开平方法除之。初商三十于左位。亦置三十于右 位，为方法。左三对右三呼，三三除实九百，馀实三百 九十六尺。另以下位初商三十倍作六十，为廉法。次 商六尺于左。三十之次，亦置六于右。廉法。六十之次， 为隅法。左六对右六呼，六六除实三百六十。又左六 对右六呼，六六除实三十六尺，恰尽得股长三十六 尺。合问。

今有股三十六尺，弦四十五尺，问句阔若干？

答曰：“句阔二十七尺。”

法曰：置弦四十五尺，自乘，得二千零二十五尺，内有 一句一股自乘之数，另以股自乘，得一千二百九十 六尺。二数相减，馀七百二十九尺，为实。〈是句自乘数〉以《开 平》方法除之。初商二十于左，亦置二十于右，为方法。 左二对右二呼，二二除实四百，馀实三百二十九尺。 却以下位初商二十倍作四十，为廉法。次商七尺于 左，初商二十之次，亦置七尺于右，廉法四十之次，为 隅法。左七对右四呼，四七除实二百八十。又左七对 右七呼，七七除实四十九，恰尽得句阔二十七尺，合 问。

句股容方容圆共歌

句股容方法最良，以句乘、股实相当，并之句、股数为 法，以法除实，便知方句股容圆法可知。句、弦、股数并 为奇，三数并来为法，则句股相乘，倍实，宜法除倍实 为圆数，算者详之不用疑。

今有句股内容方句二十七尺，股三十六尺，问中容 方面径若干？

勾股容方图

答曰：“中容方面一十五尺有畸” ，法曰：置句二十七尺，乘股三十六尺，得九百七十二尺为实，以句股并，得六十三尺为法，除之。

得中容方面径一十五尺有畸。

今有句股容圆句二十七尺，股三十六尺，弦四十五 尺，问中容圆径若干？

句股容圆图

答曰：中容圆径一十八尺。法曰：置句二十七尺，股三十六尺，相乘得九百七十二尺，倍之，得一千九百四十四尺，为实并。

句、股弦三数共一百零八为法，除实，得容圆径一十 八尺。合问：

今有句股玉一块，长一尺二寸，阔六寸，今欲截角为 方，取印一颗，问方面若干。

答曰：“方面四寸。”

勾股容方图

法曰：置句股相乘，得七十二寸为实，以句股相并，得十八为法，除之，即得。

若以圆径十八尺，用一尺二寸归除，得方径十五尺。若

以方径十五尺，用一尺二寸乘之，得圆径十八尺。

较求句股弦共歌。〈“较差也” ，是股弦相差及句弦相差也。〉

股较求股，句自乘，股较自乘，减句，盈减除句，馀为实 数。股较倍之，为法。行法实相除，为股数。句较求句，一 样成弦较。求弦句自乘，弦较除之，为实情。仍加弦较， 须折半就，得弦长数，即成。

今有句阔二十七步，只云“弦多股九步”，问股弦各若 干？

答曰：“股三十六步，弦四十五步。”

法曰：置句二十七步，自乘，得七百二十九步。另以弦 多股九步为股较，即以此自乘，得八十一步，二位相 减，馀六百四十八步为实，倍较九步，得一十八步为 法，除之，得股长三十六步。加较九步，得弦长四十五 步。合问。

此是“《股较》求股” ，即“股弦相差” 也。

一法名弦较。求弦，置句自乘，得七百二十九步，为实。 以弦较九步为法，除之，得股。弦和八十一步，仍加弦 较九步，得九十步。折半是弦长四十五步。内减较九 步，是股长三十六步，亦可得也。

今有葭二茎生池中，并根杪齐，出水三尺，即葭一茎 斜去至岸九尺，与水适平，问水深若干？

答曰：“水深一丈二尺

股较求股图

法曰置去岸九尺为句自乘得八十一尺以出水三尺为股较自乘得九尺以减八十一尺馀七十二尺为实以较三尺倍作六尺

为法除之，得水深一丈二尺，合问。〈水深如股葭至岸如弦〉 “今有句九尺，却将弦比股，有馀三尺。”问“弦、股各若干？” 答曰：“弦一十五尺，股一十二尺。”

法曰：以句九尺自乘，得八十一尺为实。以多三尺为 法，除之，得二十七尺，减去多三尺，馀得二十四尺，折 半得股长一十二尺。加入弦多三尺，得弦一十五尺。 《合问》。

今有立木，不知其高，索不知其长，垂索委地二尺引。

股较求股弦

索去木八尺其索斜柱地适尽问木高索长各若干答曰木高一丈五尺索长一丈七尺

法曰置去木八尺为句自

乘得六十四尺。以委地二尺为股较，自乘得四尺。以 减六十四尺，馀六十尺为实。以较二尺，倍作四尺为 法，除之，得木高一丈五尺。如股加较二尺，得索长一 丈七尺。如弦合问。若以弦较求弦法，置去木八尺 为句，自乘，得六十四尺为实。以委地二尺如弦较为 法除之，得三十二尺。加弦较二尺，共得三十四尺。折 半得索长一丈七尺。将弦内减去较二尺，得木高一 丈五尺，即股。

今有厅门外，悬帘下垂，离地五寸，引帘离阈六尺，离

弦较求弦图

地二尺五寸。问：“帘高若干？” 答曰：“帘高一丈。”

法曰：置去阈六尺为句，自乘，得三十六尺，以离地二尺五寸减去原离地五寸，馀二尺，为弦较。

除之，得一十八尺，加弦较二尺，共得二十尺，折半得 帘高一丈。《合问》：

今有开门，去阈一尺，不合二寸。问“门广若干？”

答曰：“门二扇，广九尺九寸。”

股较求股图

法曰：置去阈十寸为句，自乘，得一百寸，以不合二寸折半，得一寸，为股较自乘，得一寸，以减一百寸，馀九十九寸为实，以较一。

寸倍作二寸为法，除之，得一扇门广四尺九寸五分， 如股倍之，得二扇门广九尺九寸，合问。

今有墙高一丈，斜倚二木于上，木杪与墙头齐，其木 根抵地，却将木一根平卧于地，其木杪抵墙脚，此木 根则过斜木根一尺，问木长并去墙若干？

弦较求弦股图

答曰：“木长五丈零五寸，去墙四丈九尺五寸。”

法曰：依“弦较” 求弦，以墙高十尺为句，自乘，得一百尺，以过斜木根一尺为弦较，除之如故。一百尺加较一尺，共得一百零一尺，折半得木长五丈零五寸。如弦减过斜木一尺，馀如股至墙四丈九尺五寸。合问。

今有《圆木泥》在壁中，不知，径以锯锯之，深一寸锯道

弦较求弦图

长一尺问木径若干答曰木径一尺六寸法曰置锯道一尺折半得五寸为句自乘得二尺五寸为实以深一寸为股较除之如故得二尺五寸为

股加深一寸，共得木径二尺六寸。合问此如圆田 中截去一张矢田问原径同法。置锯道一尺，如弧矢 之弦，折半得五寸，自乘，得二尺五寸为实。以深一寸， 如矢为法除之，得二尺五寸，并入矢深一寸，共二尺 六寸，为圆木原径，亦得。

今有圆木径二尺六寸，锯深入木八寸，问锯道长若 干？

答曰：“锯道长二尺四寸。”

此问与右图式相同，今以数并注于图内径左，以便共览。

法曰：以径二尺六寸减深八寸，馀一十八寸，复以锯 深八寸乘之，得一百四十四寸为实。以《开平方法》除 之，得一十二寸，倍之得二尺四寸。合问。

今有股长三十六步，只云“弦多句十八步”，问句、弦各 若干？

答曰：“句二十七步，弦四十五步。”

法曰：置股三十六步，自乘，得一千二百九十六步。另 以弦多句一十八步为句较，自乘，得三百二十四步， 二位相减，馀九百七十二步为实，倍较十八，得三十 六步，为法，除之，得句一十七步，加较一十八步，得弦

长四十五步。合问。〈此即句弦相差〉

一法名弦较。求弦，置股自乘，得一千二百九十六步

为实。以弦较十八步为法除之，得句。弦和七十二步， 仍加较一十八步，共九十步，折半得弦四十五步。内 减较一十八步，馀二十七步，即句之数也。

今有弦长四十五步，只云“股多句九步，问句、股各若 干？”

答曰：“句二十七步，股三十六步。”

法曰：置弦四十五步，自乘，得二千零二十五步。另以 股多句九步为句，股较自乘，得八十一步。二位相减， 馀一千九百四十四步，加入弦自乘，得二千零二十 五步，共三千九百六十九步，为实。以开平方法除之， 得句股相和六十三步，加入差九步，共得七十二步， 折半得股三十六步。内减差九步，馀得句二十七步。 合问。

今有户高多广六尺八寸，两隅斜去十尺，问高广各 若干？

答曰：“高九尺六寸，广二尺八寸。”

法曰：置两隅斜十尺，如弦自乘，得一百尺。另以高多 广六尺八寸为句股较自乘，得四十六尺二寸四分， 二位相减，馀五十三尺七寸六分，加入斜自乘，得一 百尺，共一百五十三尺七寸六分，为实。以开平方法 除之，得句股相和一丈二尺四寸；加入差六尺八寸， 共得一丈九尺二寸。折半，得高九尺六寸。内减差六 尺八寸，馀得广二尺八寸。《合问》：〈此二条即句股相差〉

《股别》句。“弦歌。”〈附：“句别股弦，即句弦和，亦即股弦和。” 〉

股别、句弦，股自乘，句，弦自乘，减股，零折半留为句实 积，句弦为法最公。平法，除句积，为句数。句别、股弦，依 此行。

今有竹高一丈，为风所折，仆地稍尖，去根三尺问折。

股别勾弦图

处高若干

答曰高四尺五寸五分法曰置去根三尺如句自乘得九尺是以竹高一丈如股弦和为法除之得九

寸以减股弦和一丈，馀九尺一寸，折半得四尺五寸 五分，即是折处高股也。

今有股长三十六步，只云“句弦相和七十二步，问句 弦各若干？”

答曰：“句二十七步，弦四十五步。”

法曰：置股三十六步，自乘，得一千二百九十六步，另 以句弦和七十二步自乘，得五千一百八十四步，二 位相减，馀三千八百八十八步，折半，得一千九百四 十四步，为实。以句弦七十二步为法，除之，得句二十 七步，以减句弦和馀，得弦四十五步。合问。

一法，以股自乘，得一千二百九十六步为实。以句弦 和七十二步为法除之，得句、弦相差一十八步。仍加 和七十二步，共九十步，折半，得弦四十五步。内减差 一十八步，馀二十七步，是句亦得。〈此乃句弦和〉 今有句阔二十七步，只云“股弦相和”八十一步，问股 弦各若干？

答曰：“股三十六步，弦四十五步。”

法曰：置句二十七步，自乘，得七百二十九步。另以股 弦和八十一步自乘，得六千五百六十一步，二位相 减，馀五千八百三十二步，折半，得二千九百一十六 步为实。以股弦和八十一步为法，除之，得三十六步， 为股长。以减股弦和八十一步，馀四十五步，为弦合 问。

今有弦长四十五步，只云“句股相和六十三步，问句、 股各若干？”

答曰：“句二十七步，股三十六步。”

法曰：置弦四十五步，自乘，得二千零二十五步。另以 句股和六十三步自乘，得三千九百六十九步。二位 相减，馀一千九百四十四步。再减弦自乘，得二千零 二十五步，馀八十一步。以开平方法除之，得句股相 差九步，加入相和六十三步，共七十二步，折半，得股 三十六步。内减去差九步，馀得句二十七步。合问。〈此是 句股相和〉

《句弦较股弦较》歌。〈此是“句弦差，又股弦差。” 〉

句弦股较法尤精，句乘、股较二来因平，方开见弦和 数和，加句较股分明，股较加和句可见，算师熟记看 《灵扃》。

今将弦比句，馀四尺；复将弦比股，馀二尺，问句弦、股。

勾弦股较图

各若干

答曰：“句六尺，股八尺，弦一丈。”

法曰：以句较四尺乘股较二尺。

得八尺，倍之，得一十六尺，为实。以《开平方法》除之，得 四尺；加入股较二尺，得六尺，为句。另以四尺加入句 较四尺，得八尺，为股。又加入股较二尺，得一丈，为弦。 合问

今有直田，不知长阔，只云隅斜比长多二步，又云“斜比阔多九步。问长阔及斜各若干？”

答曰：“长一十五步，阔八步，斜一十七步。”

法曰：置句弦较九步，以股弦较二步乘之，得一十八 步，以二因之，得三十六步，为实。以《开平》方法除之，得 弦和六步；加句较九步，得股长一十五步。另以弦和 六步，加股较二步，得阔八步；再加句较九步，得斜弦 一十七步。合问。

今有句弦和七十二步，股弦和八十一步，问句、股弦 各若干？

答曰：“句，二十七步；股，三十六步；弦，四十五步。”

法曰：置句弦和七十二步，以股弦和八十一步相乘， 得五千八百三十二步，倍之，得一万一千六百六十 四步，为实。以《开平》方法除之，得句股弦和一百零八 步。以减股弦和八十一步，馀得句二十七步。又置一 百零八步，内减句弦和七十二步，馀得股三十六步。 又置一百零八步，以减句二十七步，减股三十六步， 馀得弦，四十五步。〈此是句弦和又股弦和〉

今有直田，积一百二十步，广不及纵七步。问广若干？ 答曰：“广八步。”

法曰：置田积一百二十步，以四因之，得四百八十。以 较七步自乘，得四十九步，相并得五百二十九步。以 开平方法除之，得句股和二十三步，加较七步，共得 三十步，折半得股长一十五步。内减较七步，馀广八 步。

今有井，不知其深。井径五尺，直立木五尺于井上，从 木末望井底，人目入径四寸，问井深若干？

答曰：“井深五丈七尺五寸。”

法曰：以井径五尺，除目入四寸，馀四十六寸，与木高 五十寸相乘，得二千三百寸，为容方积。以馀句四寸 为法，除之。

今有邑，不知大小，四面居中开门。西门外三十步有。

馀勾馀股求容方

木一根出南门外七百五十步见木问邑方若干答曰邑方三百步

法曰出西门三十步为馀句出南门为馀股相乘得

二万二千五百步。以平方开之，得一百五十步，为半 邑之方。倍之，为全邑方也。〈即句股容方〉

今有邑，方二百步，四面居中开门。东门外一十五步。

容方馀勾求馀股

有木一根问出南门若干答曰六百六十六步六分步之一

法曰半邑方为容方一百步自乘得一万步为实以

东门外十五步为馀句，为法除之，合问。〈此是容方与馀句求馀股〉

求高求远法

海岛题解

魏刘徽注《九章》，重立差著于句股之下，以阐世术。夫 度高测深，非句股之法，则无可知矣。故以“重表”“累矩”， 旁求审察。其窥望海岛，隔水望木，是“重表”也；其岸望 谷深，山望津广，是“累矩”也。以海岛去表，为之篇首，因 以名之，实《九章》之遗法也。后至唐李淳风而《续算草》， 宋杨辉《释名图解》，以伸前贤之美。《本经》题目广远，难 于引证，学者今将《孙子度影量竿》题问于前，引用详 解，以验海岛之法，亦循循诱入之意。姑以一问，其馀 好学者自能触类而考知矣。

假有立木不知高，日影在地长五丈，随立一竿长一 丈，在边，影长一丈二尺五寸。问“立木高若干？”

答曰：“木高四丈。”

法曰：置立木影，长五丈为实，以竿影长一丈二尺五 寸为法，除之，合问。

今有立木不知高，日影在地长四丈，随立一竿长一 丈，在边影长八尺。问“木高若干？”

答曰：“木高五丈。”

法曰：置木影，长四丈为实，以竿影八尺为法，除之，合 问。

右二问乃“《孙子》度影量竿” 之法。

遥望木竿歌

“望木须知立表竿，表离木处几多宽。退行表后参眸 望，望表斜平”末与竿表数减除人目数，馀表乘远实 相看，退行之数为法，则法实相除加一竿。

假有木不知高，从木脚量远二十五尺，立一丈表竿， 表后退行五尺，用《窥穴》望表与木斜平，其人窥穴高 四尺，问木高若干？

答曰：“木高四丈。”

法曰：以表高十足，减去人目穴四尺，馀六尺。以乘表 竿去木远二十五尺，得一百五十尺为实。以退行五 尺为法，除之，得三十尺，加表高十尺，得木高四十尺。 《合问》。

《解》曰：“木高如股”，〈是上节三十尺表高十尺　减人目四尺馀六尺是馀股〉 末如句二十五尺，表后退行五尺，是馀句木顶斜至

股较求高之图

表末如弦表末斜至人目是馀弦弦之内外分二段句股其句中容横股中容直二积皆同各一百五十尺以馀句五尺除横积一百五十尺得积外之股即木上三十尺加表高十尺即木高四十尺以馀股六尺除直积一百五十尺得

“积外”之句，即木至表，二十五尺。〈古人以题易名若非释名则无以知其源〉 今较还原法曰：置弦内外二句股木高四丈，内除人 目四尺，馀股各三丈六尺为长，以远二十五尺，加退 后五尺，共三十尺为阔，相乘，得方积一千零八十尺。 今复将弦内外二股各长三十尺，二句各阔二十五 尺相乘，得方积七百五十尺。另以下句直长二十五 尺、阔六尺乘之，得直积一百五十。又以右边股直三 十尺，以阔五尺乘之，得直积亦一百五十。再以馀句 五尺乘馀股六尺，得积三十尺。四共亦得一千零八 十尺。较之以合前数而不差也。

已上“遥望木竿” ，是一表望木也。

今立表三尺六寸，退行二尺。又立表三尺，人目望其 高处，二表俱与参合。自前表相去二丈五尺，问高若 干？

答曰：“高一丈一尺一寸。”

法曰：置远二十五尺，加入退行二尺，共二十七尺。以 二表相减，馀六寸乘之，得一十六尺二寸为实。却以 退行二尺为法，除之，得八尺一寸；加入后表三尺，得 高一丈一尺一寸。《合问》：

若依前法，置前表三尺六寸，减去后表三尺，即是人 目数。馀六寸，以乘远去二丈五尺得一丈五尺为实。 以退行二尺为法，除之，得七尺五寸，加入前表三尺 六寸，共高一丈一尺一寸。

今立表三尺，退行一尺八寸。又立表三尺六寸，人目 望其二表，俱对远处参合，问远若干。

答曰：“十尺零八寸。”

《法》曰：“置后表三尺六寸，以退行一尺八寸乘之，得六。”

句较求远之图

十四寸八分为实，却以二表相减，馀六寸为法。除之，得一十尺零八寸，为后表相去之远。若以前表三尺，以退行一尺八寸乘之，得五尺四寸为实，却以二表相减，馀六寸为法。除之得九尺，为前表相去之远也。

窥望海岛歌

望岛知高法术奇。立来二表并高低表间尺数乘高 数以作实情更不疑。二表退行相减较减，馀为法以 除之。更将一表相加，并海岛巅高尽可知。另置表间 之尺数，以乘前表退行，宜前法除之，知隔水，水程远 近不差池。

假如隔水望木有竿，不知其高。立二表，各长一丈，前 后参直，相去一十五尺，从前表退行五尺，《人目》四尺， 窥望表与竿齐，平复从从表退行八尺，窥望亦与竿 齐，平。问竿高隔水各若干？

答曰：“竿高四丈，隔水广二丈五尺。”

法曰：置表高十尺，减人目四尺，馀六尺。以相去一十 五尺乘之，得九十为实。另以前表退行五尺，减去后 表退行八尺，馀三尺为法。除实，得三十尺，加表高十 尺，得竿高四十尺。另置相去一十五尺，以前表退行 五尺乘之，得七十五尺。仍以前法三尺除之，得隔水 广二十五尺。合问。

解曰：“前表是第一图以表望木，后表是第二图以表 望木，盖总设人不知，所以分作两图。其以隔水望木 为问，设窥望海岛为题，以重差为术，好事者引而伸。”

股较隔水望木之图

〈此乃二表〉

较数辨理

凑方式以

合总而不

差故也

之以发其馀也。其前表去木远，乃小股中容积一段； 后表去木远，乃大股中容积一段。以小容积减大容 积，其馀不尽者，乃前后表两界之中各表间积。所以 古人以表高减人目四尺，馀六尺乘，为实。以前图小 馀股五尺，减后图大馀股八尺，馀三尺为法。除实，得 弦外之高，即木上节三十尺。加表高十尺，得木高四 十尺。本是大小容积相减，馀为实。以大、小馀股相减， 馀为法。除实，得弦外之高，加表高十尺，为木高也。 今有海岛，不知其高远。立表竿三丈，退行六十丈，又

窥望海岛之图

立短表三尺，人目望其二表，俱与岛峰参合；复却退 行五百丈，又立表三丈，退行六十二丈，又立表三尺， 人目望其二表，俱与岛峰参合。“问海岛高远各该若 干？”

答曰：“岛高三里，一百三十八丈；岛远八十三里，六 丈。”

法曰：置表高三丈，减去短表三尺，即是人目数也。馀 二丈七尺。以表间相去五百丈乘之，得一千三百五 十丈为实。另置后表退行六十二丈，减去前表退行 六十丈，馀二丈为法。除之，得六百七十五丈，加入表 高三丈，共六百七十八丈。以里法一百八十丈为法， 除之，得岛高三里一百三十八丈。又置表间相去五 百丈，以前表退行六十丈乘之，得三万丈为实。亦以 所馀二丈为法，除之，得一万五千丈。以里法一百八 十丈为法，除之，得岛远八十三里六丈。合问。