句股矩测解原 (四库全书本)/全览

句股矩测解原　全览



　　钦定四库全书　　　　　子部六
　　勾股矩测解原　　　　　天文算法类二〈算书之属〉提要
　　〈臣〉等谨案勾股矩测解原二卷
　　国朝黄百家撰百家有体独私抄已著录是书言勾股测望并详绘矩度之形与徐光启天学初函矩度表说大㮣相同而此书専明一义其说尤详考勾股测望自古有之其法或用方矩或立矩表或用重矩引绳如表以测高深广远所不能至者总以近者小者与远者大者相准世𫝊刘徽海岛筭经即此法也
　　本朝
　　御制割圜八线表出又仪器制作悉备始有三角形测量盖测量用三角度低昻甚便步筭检表数密而功省虽其理与勾股无殊而径捷简易则不可同日而论矣然必仪与表兼备而后其术可施苟缺其一即精于是术者无从措手故勾股之法亦不废也是书虽仅具古法亦足备测量之资焉乾隆四十六年三月恭校上
　　总纂官〈臣〉纪昀〈臣〉陆锡熊〈臣〉孙士毅
　　总　校官〈臣〉陆　费　墀



　　钦定四库全书
　　句股矩测解原卷上　　　馀姚黄百家撰
　　矩度图





　　解矩度
　　或木或铜锡类制极方板一具〈不拘大小〉空其中〈不空亦可〉其四角分甲乙丙丁甲乙边为直表为股乙丙边为直景平分十二度〈一度中又各细分十二度〉为句甲丁边为横表为句丁丙边为倒景为股亦平分十二度直表上作两耳〈须极平正不可略高低〉耳中作细窍甲角置线一条末系小权用时使目光透两窍与物顶相对视权线之下垂所得度分以起算测高以乙耳近目测低以甲耳近目








　　解表影
　　凡欲用矩度必须知造矩度之源矩度之起由乎表表之起由乎日影故先论表影立直表地上其表为股其影为句日自东而上影向西自西而下影向东皆在平地是名直影立横表东西墙上其表为句其影为股影皆自上而下是名倒影凡测影之法以直影言之日晷自地平至天顶则所测在西自天顶至地平则所测在东其表一也以倒影言之日在东则测西表日在西则
<子部,天文算法类,算书之属,句股矩测解原,卷上>
　　解矩度表影
　　矩度何以由于表影也曰矩度之上方即直表右方即直影左方即横表下方即倒影无有二也前图之直表直横表横直影横倒影直矩度反是何也曰权线使然也日轮在半象限两表两影相等无较以矩度承之使日光穿两耳而过则权线垂于对角两表两影亦无较盖日轮在半象限权线亦在半象限然矩度两表两影之位尚无从别也日轮在半象限以上则直影短今以矩度承之权线垂于右方亦截句而使之短以是知上方为直表右方为直影也日轮在半象限以下则倒影短今以矩度承之权线垂于下方亦截股而使之短以是知左方为横表下方为倒影也曰权线之使然也曷故盖直表在地横表在墙其有定者也日之或高或下以为其无定者也以有定待无定而影得焉矩度以耳承日因日光以为俯仰是矩度之表其无定者也而权线之下垂其有定者也以权线之有定切矩度之无定代日以为而影亦得焉是其两表两影之相反此测算之由生天然之巧亦不易之理也其度何以十二也曰用表或八尺或十二尺此十二所以识也非日行之度也右方之度何以自一而至十二下方之度何以自十二而至一也曰日下而直影长日上而直影销右方直影也日上而倒影长日下而倒影销下方倒影也倒影直影至十二不更长乎曰倒影过十二则直影直影过十二则倒影合用之而自足也其倒影直影相通之法详变影中















　　解物影
　　矩度为平方两表两影之句股何以分也〈矩度直表为股直影为句横表为句倒影为股〉曰前已论之详矣今试再以物影明之物为股影为句物高至影末为物与影之句股无较以矩度承之权线必垂于对角其句股亦无较也〈第一图〉如物高于影则股长句短以矩度承之亦必截直影而使与相应亦股长句短也〈第二图〉如物短于影则股短句长以矩度承之亦必截倒影而使与相应亦股短句长也〈第三图〉盖物大股也直表倒影小股也物影大句也直影横表小句也物高至影末大也权线小也此天然之妙合也今于权线所测之度分已定试将矩度转面而观之则小句股与大句股俨然无异也












<子部,天文算法类,算书之属,句股矩测解原,卷上>
　　解两影消长〈即变影〉
　　日在半象限以下影射倒影然直影非无影也试从倒影外斜引长之则仍遇直影日在半象限以上影射直影然倒影非无影也试从直影下斜引长之则仍遇倒影盖直影倒影合成一象限在象限内一消一长其消之分数即长之分数在象限外则倒影之一度为直影之一百四十四度二度为直影之七十二度三度为直影之四十八度四度为直影之三十六度五度为直影之二十八度又三十分度之四六度为直影之二十四度七度为直影之二十度又七十分度之四八度为直影之一十八度九度为直影一十六度十度为直影一十四度又百分度之四十一度为直影一十三度又一百一十分度之一十二度于直影仍为十二度〈其法以矩度十二自乘得幂一百四十四即以所得之影度除之其解详后变影法中〉若在几分度之几即将度照分分之以除矩幕〈如五度三分度之二即将毎度分作三分五度为一十五分又加三分度之二共一十七分以除矩幕其矩幕一百四十四亦毎度三分之为四百三十二以一十七除之得二五四又一十七分之零二〉直影于倒影亦然明乎此则直影倒影可变互用之其在矩度即权线之消长也













　　句股矩测解原卷上



　　钦定四库全书
　　句股矩测解原卷下　　　　馀姚黄百家撰以影测高
　　以矩度承日使其光穿两耳而过视权线垂于何度何分若权线垂于对角则影与物等〈即前句股无较第一图〉量其影长即得物高在直影则影短于物〈即前股长句短第二图〉以直表乘物影以直影除之在倒影则影长于物〈即前股短句长第三图〉以倒影乘物影以横表除之
　　假如权线在直影五度物影二十尺即以直表〈十二〉度与物影相乘得二百四十为实以直影〈五度〉为法除之得物高四十八尺
　　解曰物与物影为大句股矩度为小句股大股不可知而大句可知大句可知而大句之长短原出于大股则大股亦可知立一法焉以矩度一定之小股〈直表〉因大以定小句小句定则小句小股之比例犹大大句大股之比例也于是遂以一定之小股入于大句中而与之相乘使不可知之大股遂与小股之十二相当而后以小句之五度除之而大股得焉盖十二人所任设者也于十二而得五度则本乎大股者也以十二乘大句而五度代二十〈物影〉以除幂〈相乘总数〉则大股亦遂因五度而化为十二也大股之四十八其有合于十二者何小句五度其为五分者十积五分而至二十四则为十二大句二十尺其为二尺者十积二尺而至二十四则为四十八也
　　假如权线在倒影七度五分度之一物影六十尺即以倒影通作三十六分〈七度五分度之一毎度即通作五分七度五七三十五分又度之一共三十六分〉与物影相乘得二千一百六十为实以横表十二通作六十分为法〈亦毎度通作五分〉除之得物高三十六尺
　　解曰倒影与直影相反直影为句倒影为股故直影之度自一而至十二引而远之句渐长也倒影之度自十二而至一引而远之股渐短也前权线在直影股长句短由股以截句今在倒影句长股短由句以截股其理一也以倒影乘物影者所求在股以小股乘大句以小句除之与前无二也倒影通作三十六分横表通作六十分者以有五分度之一即以毎度通作五分〈如三分度之一即毎度可通作三分馀仿此〉也盖矩度之妙用藉权线以测句测股而得其比例其分度则固任人通变也









　　重矩
　　单矩须用量自足至物之数方可入算此句与小句股求股也今不用句止以小句股求股故设重矩
　　假如立表四尺与目齐以矩度向物顶线在直影五度次退后立表四尺与目齐以矩度向物顶线在直影十度相减得影较五度次量二表相去十尺即以矩度十二与表间十尺相乘得一百二十为实以影较五度除之得二十四加表四尺为物高二十八尺解曰后直影为句目平行至物为句矩度直表为股物高为股其比例一也前直影之比例于前表平行至物矩度之比例于物高亦一也今以影较为矩度股之句表间为物高股之句何以知其一哉盖前表平行至物数不可知后表至前表其数可知然前表至物之数虽不可知而已见于两直影互异之中今于后直影减去前直影则将其不可知者置之影较则已移物之股近至前表其表间之数同单矩测高术量足至物之数故与矩度相乘而得物高此减句不减股以凖之于也之为凖即在直影假如物高股二十四尺〈表四尺不入算〉试截句至一尺直影必五分算之仍得二十四如物高股十二尺试截句至一尺直影必一度算之得十二故曰之为凖即在直影



















　　以目测高
　　不取日光而用目光别立一表若干尺以审自足至目之数目切矩度乙耳以甲耳向上使物顶从甲耳窍透乙耳窍斜见之视权线在何度分次量自足至物之数其算法与以影测高术同不另具假令与图
　　解曰目光斜见即物影之也然物不能常有影即有影有不能摄入耳窍者切矩以目其法更捷凡目光所及不论高深广远俱可入算不爽毫厘
　　变影
　　前矩在直影后矩在倒影者亦以矩度乘表间为实以倒影变直影相较为法除之前后矩俱在倒影者将两倒影俱变直影两影较乘表间为实以矩度为法除之如两影在㡬分度之㡬者以矩度照分分之自乘得幂如法变影乘表积如法除之〈有㡬分度之㡬者测时亦可或前或后使其正当某度无有零分〉
　　假如前矩直影十一度后矩倒影九度表间二十尺法以矩度〈十二〉乘表间〈二十〉得二百四十尺为实积又以矩度自乘之幕一百四十四以倒影之九度为法除之得十六变作直影十六度两影较馀五度为法除之得四十八尺加表四尺得五十二尺
　　陈言曰有物于前立两表望之后表之小句必多于前表之小句此视差之理也而今之之前矩在直影之十一度后矩在倒影之九度若不计其直影倒影之何以变通而第执度分之多寡以为法则后表之视差反少于前表之视差有是理乎故必变倒为直而后可以两影较也
　　假如前矩倒影九度后矩倒影二度表间二十尺法以矩幕〈一百四十四〉先以前影〈九〉除之变为十六次以后影〈二〉除之变为七十二两影较五十六乘表间〈二十〉得一千一百二十以矩度〈十二〉为法除之得九尺三寸又一百二十分尺之四〈三分〉加表四尺得全高一十三尺三寸三分
　　陈言曰两矩测物有前直影而后倒影者矣未有前倒影后直影者也盖矩愈远则愈平平则必切于倒影之度故止有前直后倒之法而不及前倒后直之影也至于两影俱倒其影为同类似可不变而亦必变者何也曰其故有二一则倒影之度少于纵矩之小句假如倒影二度以矩度之甲乙纵之则退望之处其人目与物影相参者必不止于矩度十二分之二而为矩度十二分度之七十又十二分度之二也故必变也一则倒影之度前表多后表少不合于立表之小句假如矩度之甲乙纵之至顶则为一度渐远则渐为二度三度四五度不等其前少后多直影与小句同也其在倒影则否如以甲丁之矩而纵之其望高之线之在倒影者始而近也反切于丙丁之十二度渐远则十一度或十度九度不等愈退则愈远愈远则愈平愈平则倒影之度愈少殊非小句渐远渐长之理故两倒不可不变也变之而倒影之一度变为一百四十四矣〈矩幕原数一度无殊〉倒之二度变为七十二逓变至倒影之十二度以之为法除幕而仍存原度十二岂非愈远而愈平愈平而变影愈多不失小句近少远多之至理乎立法至此亦云密矣或者曰景之变固因小句之多寡而变然使权线之在一度者其小句虽应多而非一百四十四之多权线之在十二度者其小句虽应少而非犹然十二度之少则是多寡之转移西人亦约略其法而未必有确然之数也不知立法者必穷于法之源必晰于法之委未有悬空拟合而可云法也试先立一平方形其矩之下丙角作平行线如地平如人目望高然后以矩之甲角渐运渐高其权线之切于一度者必矩之甲角高于乙角一度矣由是而因甲乙之渐低者作斜直线引之令切合于地平必在一百四十四也如在十二度则甲角高于乙角亦十二度矣其斜切合于地平者亦必在十二度两角形相等凡少于十二度多于一度者推之无不有确然之数也且设有物焉高十二尺如甲角之高一度〈有原矩度十二〉离十二尺以立表表之高亦十二如乙丙角之高其离表退望之处为一百四十四如一度之变影以表乘远得一四四也即矩幕也以退立之一四四为法除而仍得表上之高一尺即甲角之高一度也亦即权线之影高一度也无不合也然其变影之合于小句既有然矣而变影之必以权度除矩幕者何也曰是不难知夫容方求馀句馀股者以容方自之以馀句为法除之而可得馀股以馀股为法除之而可得馀句今矩幕非即容方之自乘乎以权为法其实以甲角之高为法非以馀股求馀句乎故立表亦容方法也变影亦容方法也无二法也至甲角之高十二则成斜方句股等形故倒影十二则其变影亦十二甲角愈低而后斜线之切于地平愈长其几何长者法也其所以长者理也其所以㡬何长者穷理以立法而非悬空拟合之为也因创为后图可以作变影观亦可以作立表测高观亦可以作容方求馀句馀股观〈言图未载〉














　　解曰变影之法言之论辨矣今取其言之未尽者再为悉之夫矩度之测高于倒影何以必变哉盖矩度之倒影股也故分度自十二而至一〈已详前论影测高中〉今所求在股其影为句乃股短句长权线逾直影之句而至倒影则此倒影亦为句也此变法之所由立也然倒影为股究不可为句今云变倒为直者盖矩度止为十二度之平方直影既穷权线侵股而上在倒影十一度在直影则当为十三度又一百一十分之一也在倒影十度在直影则当为十四度又一百分度之四也股渐低则线渐高而句愈远以至倒影一度在直影则当为一百四十四度也〈详前论两影消长中〉此借倒影以推直影而为之凖耳




















　　测深测广
　　用矩度须以甲耳切目乙耳向外测深线在直影深过于广以矩度乘面之广以影度除之倒影广过于深以影度乘广以矩度除之其测广反是
　　假如测深水面十二尺直影三度以矩度〈十二〉乘广〈十二〉得〈一百四十四〉为实积以直影〈三〉除之得四十八尺如在倒影三度即以〈三〉乘广〈十二〉得〈三十六〉为实积以矩度〈十二〉除之得三尺
　　假如测广水深四十八尺直影三度则以直影〈三〉乘〈四十八〉得〈一百四十四〉为实积以矩度〈十二〉除之得广十二尺水深三尺倒影三度则以矩度〈十二〉乘〈三〉得〈三十六〉以倒影〈三〉除之得广十二
　　解曰测深亦以小句股与句求股也故与测高同广即远也故与测远同〈或云从下望高测远为远从高望远测远为广〉


















　　测远
　　从高测远先定自地至目之数以甲耳切目乙耳向远线在直影者以影度乘高以矩度除在倒影者以矩度乘高以影度除望高测远先以重矩测高得高数视后矩影度线在直影者亦以影度乘高以矩度除在倒影者以矩度乘高以影度除其前矩俱不必推算
　　假如高六丈测远权线在直影九度即以〈九〉与〈六〉相乘得〈五十四〉为实以矩度〈十二〉为法除之得远四丈五尺假如高九丈倒影八度以矩度〈十二〉与高〈九〉相乘得〈一百八丈〉以倒影〈八〉为法除之得远十三丈五尺
　　右二则俱从高测远其望高测远须除矩度乙角下表数〈或四尺〉如高六丈除去表四尺得高五丈六尺与矩度影度相乘其乘除法直影倒影与从高测远同不另立假如
　　解曰测远者以小句股与股求句也视测高之以句求股正相反故此直影视彼倒影之法此倒影视彼直影之法所得远数俱平行句数非从高至远斜望数也





　　句股矩测解原卷下
<子部,天文算法类,算书之属,少广补遗>