句股矩測解原 (四庫全書本)/全覽

句股矩測解原　全覽



　　欽定四庫全書　　　　　子部六
　　勾股矩測解原　　　　　天文算法類二〈算書之屬〉提要
　　〈臣〉等謹案勾股矩測解原二卷
　　國朝黄百家撰百家有體獨私抄已著録是書言勾股測望並詳繪矩度之形與徐光啓天學初函矩度表説大㮣相同而此書専明一義其説尤詳考勾股測望自古有之其法或用方矩或立矩表或用重矩引繩如表以測髙深廣逺所不能至者總以近者小者與逺者大者相準世𫝊劉徽海島筭經即此法也
　　本朝
　　御製割圜八線表出又儀器制作悉備始有三角形測量蓋測量用三角度低昻甚便步筭檢表數密而功省雖其理與勾股無殊而徑捷簡易則不可同日而論矣然必儀與表兼備而後其術可施苟缺其一即精於是術者無從措手故勾股之法亦不廢也是書雖僅具古法亦足備測量之資焉乾隆四十六年三月恭校上
　　總纂官〈臣〉紀昀〈臣〉陸錫熊〈臣〉孫士毅
　　總　校官〈臣〉陸　費　墀



　　欽定四庫全書
　　句股矩測解原卷上　　　餘姚黄百家撰
　　矩度圖





　　解矩度
　　或木或銅錫類製極方板一具〈不拘大小〉空其中〈不空亦可〉其四角分甲乙丙丁甲乙邊為直表為股乙丙邊為直景平分十二度〈一度中又各細分十二度〉為句甲丁邊為横表為句丁丙邊為倒景為股亦平分十二度直表上作兩耳〈須極平正不可畧髙低〉耳中作細竅甲角置線一條末繫小權用時使目光透兩竅與物頂相對視權線之下垂所得度分以起算測髙以乙耳近目測低以甲耳近目








　　解表影
　　凡欲用矩度必須知造矩度之源矩度之起由乎表表之起由乎日影故先論表影立直表地上其表為股其影為句日自東而上影向西自西而下影向東皆在平地是名直影立横表東西墻上其表為句其影為股影皆自上而下是名倒影凡測影之法以直影言之日晷自地平至天頂則所測在西自天頂至地平則所測在東其表一也以倒影言之日在東則測西表日在西則
<子部,天文算法類,算書之屬,句股矩測解原,卷上>
　　解矩度表影
　　矩度何以由於表影也曰矩度之上方即直表右方即直影左方即橫表下方即倒影無有二也前圖之直表直横表横直影横倒影直矩度反是何也曰權線使然也日輪在半象限兩表兩影相等無較以矩度承之使日光穿兩耳而過則權線垂於對角兩表兩影亦無較葢日輪在半象限權線亦在半象限然矩度兩表兩影之位尚無從别也日輪在半象限以上則直影短今以矩度承之權線垂於右方亦截句而使之短以是知上方為直表右方為直影也日輪在半象限以下則倒影短今以矩度承之權線垂於下方亦截股而使之短以是知左方為横表下方為倒影也曰權線之使然也曷故葢直表在地横表在墻其有定者也日之或髙或下以為其無定者也以有定待無定而影得焉矩度以耳承日因日光以為俯仰是矩度之表其無定者也而權線之下垂其有定者也以權線之有定切矩度之無定代日以為而影亦得焉是其兩表兩影之相反此測算之由生天然之巧亦不易之理也其度何以十二也曰用表或八尺或十二尺此十二所以識也非日行之度也右方之度何以自一而至十二下方之度何以自十二而至一也曰日下而直影長日上而直影銷右方直影也日上而倒影長日下而倒影銷下方倒影也倒影直影至十二不更長乎曰倒影過十二則直影直影過十二則倒影合用之而自足也其倒影直影相通之法詳變影中















　　解物影
　　矩度為平方兩表兩影之句股何以分也〈矩度直表為股直影為句横表為句倒影為股〉曰前已論之詳矣今試再以物影明之物為股影為句物高至影末為物與影之句股無較以矩度承之權線必垂於對角其句股亦無較也〈第一圖〉如物高於影則股長句短以矩度承之亦必截直影而使與相應亦股長句短也〈第二圖〉如物短於影則股短句長以矩度承之亦必截倒影而使與相應亦股短句長也〈第三圖〉葢物大股也直表倒影小股也物影大句也直影横表小句也物高至影末大也權線小也此天然之妙合也今於權線所測之度分已定試將矩度轉面而觀之則小句股與大句股儼然無異也












<子部,天文算法類,算書之屬,句股矩測解原,卷上>
　　解兩影消長〈即變影〉
　　日在半象限以下影射倒影然直影非無影也試從倒影外斜引長之則仍遇直影日在半象限以上影射直影然倒影非無影也試從直影下斜引長之則仍遇倒影葢直影倒影合成一象限在象限内一消一長其消之分數即長之分數在象限外則倒影之一度為直影之一百四十四度二度為直影之七十二度三度為直影之四十八度四度為直影之三十六度五度為直影之二十八度又三十分度之四六度為直影之二十四度七度為直影之二十度又七十分度之四八度為直影之一十八度九度為直影一十六度十度為直影一十四度又百分度之四十一度為直影一十三度又一百一十分度之一十二度於直影仍為十二度〈其法以矩度十二自乗得冪一百四十四即以所得之影度除之其解詳後變影法中〉若在幾分度之幾即將度照分分之以除矩幕〈如五度三分度之二即將毎度分作三分五度為一十五分又加三分度之二共一十七分以除矩幕其矩幕一百四十四亦毎度三分之為四百三十二以一十七除之得二五四又一十七分之零二〉直影於倒影亦然明乎此則直影倒影可變互用之其在矩度即權線之消長也













　　句股矩測解原卷上



　　欽定四庫全書
　　句股矩測解原卷下　　　　餘姚黄百家撰以影測高
　　以矩度承日使其光穿兩耳而過視權線垂於何度何分若權線垂於對角則影與物等〈即前句股無較第一圖〉量其影長即得物髙在直影則影短於物〈即前股長句短第二圖〉以直表乗物影以直影除之在倒影則影長於物〈即前股短句長第三圖〉以倒影乗物影以横表除之
　　假如權線在直影五度物影二十尺即以直表〈十二〉度與物影相乗得二百四十為實以直影〈五度〉為法除之得物髙四十八尺
　　解曰物與物影為大句股矩度為小句股大股不可知而大句可知大句可知而大句之長短原出于大股則大股亦可知立一法焉以矩度一定之小股〈直表〉因大以定小句小句定則小句小股之比例猶大大句大股之比例也於是遂以一定之小股入於大句中而與之相乗使不可知之大股遂與小股之十二相當而後以小句之五度除之而大股得焉葢十二人所任設者也於十二而得五度則本乎大股者也以十二乗大句而五度代二十〈物影〉以除冪〈相乗總數〉則大股亦遂因五度而化為十二也大股之四十八其有合於十二者何小句五度其為五分者十積五分而至二十四則為十二大句二十尺其為二尺者十積二尺而至二十四則為四十八也
　　假如權線在倒影七度五分度之一物影六十尺即以倒影通作三十六分〈七度五分度之一毎度即通作五分七度五七三十五分又度之一共三十六分〉與物影相乗得二千一百六十為實以横表十二通作六十分為法〈亦毎度通作五分〉除之得物高三十六尺
　　解曰倒影與直影相反直影為句倒影為股故直影之度自一而至十二引而逺之句漸長也倒影之度自十二而至一引而逺之股漸短也前權線在直影股長句短由股以截句今在倒影句長股短由句以截股其理一也以倒影乗物影者所求在股以小股乗大句以小句除之與前無二也倒影通作三十六分横表通作六十分者以有五分度之一即以毎度通作五分〈如三分度之一即毎度可通作三分餘倣此〉也葢矩度之妙用藉權線以測句測股而得其比例其分度則固任人通變也









　　重矩
　　單矩須用量自足至物之數方可入算此句與小句股求股也今不用句止以小句股求股故設重矩
　　假如立表四尺與目齊以矩度向物頂線在直影五度次退後立表四尺與目齊以矩度向物頂線在直影十度相減得影較五度次量二表相去十尺即以矩度十二與表間十尺相乗得一百二十為實以影較五度除之得二十四加表四尺為物高二十八尺解曰後直影為句目平行至物為句矩度直表為股物高為股其比例一也前直影之比例於前表平行至物矩度之比例於物髙亦一也今以影較為矩度股之句表間為物髙股之句何以知其一哉葢前表平行至物數不可知後表至前表其數可知然前表至物之數雖不可知而已見於兩直影互異之中今於後直影減去前直影則將其不可知者置之影較則已移物之股近至前表其表間之數同單矩測髙術量足至物之數故與矩度相乗而得物髙此減句不減股以凖之於也之為凖即在直影假如物髙股二十四尺〈表四尺不入算〉試截句至一尺直影必五分算之仍得二十四如物高股十二尺試截句至一尺直影必一度算之得十二故曰之為凖即在直影



















　　以目測高
　　不取日光而用目光别立一表若干尺以審自足至目之數目切矩度乙耳以甲耳向上使物頂從甲耳竅透乙耳竅斜見之視權線在何度分次量自足至物之數其算法與以影測髙術同不另具假令與圖
　　解曰目光斜見即物影之也然物不能常有影即有影有不能攝入耳竅者切矩以目其法更㨗凡目光所及不論髙深廣逺俱可入算不爽毫釐
　　變影
　　前矩在直影後矩在倒影者亦以矩度乗表間為實以倒影變直影相較為法除之前後矩俱在倒影者將兩倒影俱變直影兩影較乗表間為實以矩度為法除之如兩影在㡬分度之㡬者以矩度照分分之自乗得冪如法變影乗表積如法除之〈有㡬分度之㡬者測時亦可或前或後使其正當某度無有零分〉
　　假如前矩直影十一度後矩倒影九度表間二十尺法以矩度〈十二〉乗表間〈二十〉得二百四十尺為實積又以矩度自乗之幕一百四十四以倒影之九度為法除之得十六變作直影十六度兩影較餘五度為法除之得四十八尺加表四尺得五十二尺
　　陳言曰有物於前立兩表望之後表之小句必多於前表之小句此視差之理也而今之之前矩在直影之十一度後矩在倒影之九度若不計其直影倒影之何以變通而第執度分之多寡以為法則後表之視差反少于前表之視差有是理乎故必變倒為直而後可以兩影較也
　　假如前矩倒影九度後矩倒影二度表間二十尺法以矩幕〈一百四十四〉先以前影〈九〉除之變為十六次以後影〈二〉除之變為七十二兩影較五十六乗表間〈二十〉得一千一百二十以矩度〈十二〉為法除之得九尺三寸又一百二十分尺之四〈三分〉加表四尺得全髙一十三尺三寸三分
　　陳言曰兩矩測物有前直影而後倒影者矣未有前倒影後直影者也葢矩愈逺則愈平平則必切於倒影之度故止有前直後倒之法而不及前倒後直之影也至於兩影俱倒其影為同類似可不變而亦必變者何也曰其故有二一則倒影之度少于縱矩之小句假如倒影二度以矩度之甲乙縱之則退望之處其人目與物影相叅者必不止於矩度十二分之二而為矩度十二分度之七十又十二分度之二也故必變也一則倒影之度前表多後表少不合於立表之小句假如矩度之甲乙縱之至頂則為一度漸逺則漸為二度三度四五度不等其前少後多直影與小句同也其在倒影則否如以甲丁之矩而縱之其望髙之線之在倒影者始而近也反切於丙丁之十二度漸逺則十一度或十度九度不等愈退則愈逺愈逺則愈平愈平則倒影之度愈少殊非小句漸逺漸長之理故兩倒不可不變也變之而倒影之一度變為一百四十四矣〈矩幕原數一度無殊〉倒之二度變為七十二逓變至倒影之十二度以之為法除幕而仍存原度十二豈非愈逺而愈平愈平而變影愈多不失小句近少逺多之至理乎立法至此亦云宻矣或者曰景之變固因小句之多寡而變然使權線之在一度者其小句雖應多而非一百四十四之多權線之在十二度者其小句雖應少而非猶然十二度之少則是多寡之轉移西人亦約畧其法而未必有確然之數也不知立法者必窮於法之源必晰於法之委未有懸空擬合而可云法也試先立一平方形其矩之下丙角作平行線如地平如人目望髙然後以矩之甲角漸運漸髙其權線之切於一度者必矩之甲角髙於乙角一度矣由是而因甲乙之漸低者作斜直線引之令切合於地平必在一百四十四也如在十二度則甲角髙於乙角亦十二度矣其斜切合於地平者亦必在十二度兩角形相等凡少於十二度多於一度者推之無不有確然之數也且設有物焉髙十二尺如甲角之髙一度〈有原矩度十二〉離十二尺以立表表之髙亦十二如乙丙角之髙其離表退望之處為一百四十四如一度之變影以表乗逺得一四四也即矩幕也以退立之一四四為法除而仍得表上之髙一尺即甲角之髙一度也亦即權線之影髙一度也無不合也然其變影之合於小句既有然矣而變影之必以權度除矩幕者何也曰是不難知夫容方求餘句餘股者以容方自之以餘句為法除之而可得餘股以餘股為法除之而可得餘句今矩幕非即容方之自乗乎以權為法其實以甲角之髙為法非以餘股求餘句乎故立表亦容方法也變影亦容方法也無二法也至甲角之髙十二則成斜方句股等形故倒影十二則其變影亦十二甲角愈低而後斜線之切於地平愈長其幾何長者法也其所以長者理也其所以㡬何長者窮理以立法而非懸空擬合之為也因創為後圖可以作變影觀亦可以作立表測髙觀亦可以作容方求餘句餘股觀〈言圖未載〉














　　解曰變影之法言之論辨矣今取其言之未盡者再為悉之夫矩度之測髙於倒影何以必變哉葢矩度之倒影股也故分度自十二而至一〈已詳前論影測髙中〉今所求在股其影為句乃股短句長權線逾直影之句而至倒影則此倒影亦為句也此變法之所由立也然倒影為股究不可為句今云變倒為直者葢矩度止為十二度之平方直影既窮權線侵股而上在倒影十一度在直影則當為十三度又一百一十分之一也在倒影十度在直影則當為十四度又一百分度之四也股漸低則線漸髙而句愈逺以至倒影一度在直影則當為一百四十四度也〈詳前論兩影消長中〉此借倒影以推直影而為之凖耳




















　　測深測廣
　　用矩度須以甲耳切目乙耳向外測深線在直影深過于廣以矩度乗面之廣以影度除之倒影廣過於深以影度乗廣以矩度除之其測廣反是
　　假如測深水面十二尺直影三度以矩度〈十二〉乗廣〈十二〉得〈一百四十四〉為實積以直影〈三〉除之得四十八尺如在倒影三度即以〈三〉乗廣〈十二〉得〈三十六〉為實積以矩度〈十二〉除之得三尺
　　假如測廣水深四十八尺直影三度則以直影〈三〉乗〈四十八〉得〈一百四十四〉為實積以矩度〈十二〉除之得廣十二尺水深三尺倒影三度則以矩度〈十二〉乗〈三〉得〈三十六〉以倒影〈三〉除之得廣十二
　　解曰測深亦以小句股與句求股也故與測髙同廣即逺也故與測逺同〈或云從下望高測逺為逺從髙望逺測逺為廣〉


















　　測逺
　　從高測逺先定自地至目之數以甲耳切目乙耳向逺線在直影者以影度乗高以矩度除在倒影者以矩度乗高以影度除望高測逺先以重矩測高得高數視後矩影度線在直影者亦以影度乗高以矩度除在倒影者以矩度乗髙以影度除其前矩俱不必推算
　　假如髙六丈測逺權線在直影九度即以〈九〉與〈六〉相乗得〈五十四〉為實以矩度〈十二〉為法除之得逺四丈五尺假如髙九丈倒影八度以矩度〈十二〉與髙〈九〉相乗得〈一百八丈〉以倒影〈八〉為法除之得逺十三丈五尺
　　右二則俱從髙測逺其望髙測逺須除矩度乙角下表數〈或四尺〉如髙六丈除去表四尺得髙五丈六尺與矩度影度相乗其乗除法直影倒影與從髙測逺同不另立假如
　　解曰測逺者以小句股與股求句也視測髙之以句求股正相反故此直影視彼倒影之法此倒影視彼直影之法所得逺數俱平行句數非從髙至逺斜望數也





　　句股矩測解原卷下
<子部,天文算法類,算書之屬,少廣補遺>