数学九章 (四库全书本)/卷3下
| 数学九章 卷三下 |
钦定四库全书
数学九章卷三下 宋 秦九韶 撰田域
环田三积
问环田大小圆田共三段环田外周三十步虗径八步大圆田径一十步小圆田周三十步欲知三田积及环田周通实径大圆周小圆径各㡬何
答曰环田积二十步二百三十六万二千二百五十六分步之一百二十九万八千二十五通径九步一十九分步之九 实径一步一十九分步之九 内周二十五步一十七分步之五
大圆田积七十九步五十三分步之三 周三十一步二十一分步之十三
小圆田积七十一步二百八十六分步之四十三 径九步一十九分步之九
术曰以方田及少广率变求之各置圆环径自乘为幂进位为实以一为隅开平方得周各置环圆周自乘为幂退位为实以一为隅开平方得径以周幂或径幂乘各实以一十六约之为实以一为隅开平方得圆积置环周幂乘径实十六约之为大率置虚径幂乘内周实十六约之为小率以二率相减之馀以自乘为实并二率倍之为从上廉一为益隅开三乘方得环积置环周自乘退位为实一为隅开平方得通径以虚径减通径馀为实径其有开不尽者约而命之
草曰置大圆径一十步自乘得一百为径幂进位得一千为实以一为隅开平方得三十一步不尽三十九为分子乃以隅生方又益隅共得六十三为分母以分子与母求等得三俱以三约之母子得二十一分步之一十三为大圆周三十一步二十一分步之一十三次以径幂一百乘前实一千得一十万以十六约之得六千二百五十为实以一为隅开平方得七十九步不尽九为分子乃以隅生方又增隅得一百五十九为分母以分子母求等得三俱以三约母子得五十三分步之三为大圆积七十九步五十三分步之三次置小圆田周三十步自乘得九百为周幂退位得九十为径实以一为隅开平方得九步不尽九以隅生方又益隅得一十九步之九为小圆径九步一十九分步之九次以周幂九百乘前实九十得八万一千以十六约之得五千六十二步五分为实以一为隅开平方得七十一步有不尽数二十一步五分为子以隅生方又益隅得一百四十三为分母以分子母求等得五分俱约之得二百八十六分步之四十三为积次置环田周三十步自乘得九百为周幂退位得九十为实以一为隅开平方得九步不尽九为分子以隅生方并隅得一十九为分母直命之为环田通径九步一十九分步之九次以环周幂九百乘环实九十得八万一千以十六约之得五千六十二步五分为大率次置环田虗径八步自乘得六十四为虗幂进位得六百四十为实以一为隅开平方得二十五步不尽一十五为分子以隅生方又并隅得五十一为分母与子求等得三俱约之得一十七分步之五为环田内周二十五步一十七分步之五次以虗幂六十四乘周实六百四十得四万九百六十以十六约之得二千五百六十为小率以小率减大率馀二千五百二步五分自乘得六百二十六万二千五百六步二分五釐为实以大小二率并之得七千六百二十二步五分倍之得一万五千二百四十五为从上廉以一为益隅开玲珑三乘方得二十步不尽三十二万四千五百六步二分五釐为分子续啇无数乃以益隅一益下廉八十并之得八十一为减母次以从上廉一万二千八百四十五并从方五十七万七千八百得五十九万六百四十五以母八十一减之馀五十九万五百六十四为分母以分子求等得二分五釐俱约之得二百三十六万二千二百五十六分步之一百二十九万八千二十五为环田积二十步二百三十六万二千二百五十六分步之一百二十九万八千二十五次置环田通径九步一十九分步之九以虚径八步减之馀一步一十九分步之九为环田实径合问
按周径相求以进位退位为实者盖以径一周三有奇径一自之仍得一周自之略与十等故径幂升一位为周幂周幂降一位为径幂以省算亦法之巧者其径求周较密率约大一百五十七分之一周求径约小一百五十九分之一然较古率则已密矣其周幂径幂相乘十六约之开平方得圆积者盖周径相乘四归得圆积径自乘为方积故四归亦展为自乘十六之数约之得四分径之幂乘周幂之数故开方得圆积至求环积与前求尖田积同但彼立天元一为两积之和此立天元一为两积之较耳其式如左
法立天元一为环田积即内外两圆积之较自之得一平方为较自乘以大小率〈即二圆积各自乘〉并而倍之得一万五千二百四十五步内减较自乘得一万五千二百四十五步少一平方为和自乘与较自乘再相乘得一万五千二百四十五平方少一三乘方寄之次以大小率相减馀二千五百零二步五分为和较相乘再自之得六百二十六万二千五百零六步二分五釐与寄数等即为实寄数内平方数即从上廉三乘方数即益隅
此图照问列位以后照草运算
乃先置次大径以上副自乘得中以中进位为次实以一为下隅
凡九变至此得大圆径次求大圆积
上副自乘得中以次约之得下为实
凡十一变至此得大圆积次求小圆径
一十一变得小圆积次求环田通径当求环田通径盖环田之外周三十步与小圆田外周同则不遇与前七变诸图一理兹不复繁乃求实径
凡九变得环田内周次求环积
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三下>
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<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三下>
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开三乘方凡二十变至此得环田积数
求实径但以虚径减通径馀一步一十九分步之九为环田实径
均分梯田
问户业田一段若梯之状南广小三十四步北广大五十二步正长一百五十步合系兄弟三人均分其田边道各欲出入其地形难分经官乞分南甲乙北内欲知其田共积各人合得田数及各段正长大小广㡬何
答曰田共积二十六亩二百一十步
甲得八亩三角五十步 小广三十四步系元南广 大广四十步五万八千七百九分步之五万二千二百八十四大约百分步之八十九 正长五十七步二千四十五分步之 百五十三大约一百分步之四十一分乙得八亩三角五十步 小广同甲大广大广四十六步八万四千八百二十六亿
八千九百五十七万二千六百五十一分步之六万五千八百七十四亿五千四百八十二万五千二百八十三计大率约百分步之七十七分半强 正长四十九步四亿一千二百四十万六千二百九分步之二千二十七万六千三百一十九大约百分步之四分九釐
丙得八亩三角五十步 小广同乙大广大广五十二步系元北广 正长四十三步八千四百三十三亿七千九十万一千九百五分步之四千四百八十八亿八千六百二万九千四十六大约百分步之五十三分强
术曰以少广及从法求之并两广乘长得数以分田人数约之为通率半之为各积以长乘各积为共实以长乘南广为甲从方二广差半之为共隅开连枝平方得甲截长以甲长除通率得数减小广馀为甲广即为乙小广以元长乘乙小广为乙从方置共隅共实开连枝平方得乙截长以乙长除通率得数减乙小广馀为乙大广即为丙小广倂甲乙长减元长馀为丙长以元大广为丙大广各有分者通之
草曰置小广三十四并大广五十二得八十六乘长一百五十得一万二千九百为实以兄弟三人约之得四千三百为通率半之得二十一百五十为各积以 法二百四十步约之得八亩不尽二百三十步以角法六十步约之得三角五十步是三人各得八亩三角五十步以元长一百五十步乘各积二千一百五十得三十二万二千五百为共实以长一百五乘小广三十四得五千一百为甲从方以小广大广馀一十八乃半之得九为共隅开连枝平方〈开方革更不繁具〉得五十七步不尽三约为二千四十五分步之八百五十三为甲截长乃以分母二千四十五通全步内子共得一十一万七千四百一十八为法又以分母乘通率四千三百得八百七十九万三千五百为实以法除之得七十四步不尽一十万四千五百六十八与法求等得二俱约之为五万八千七百九分步之五万二千二百八十四乃以小广三十四步于所得全步七十四步内减之馀四十步五万八千七百九分步之五万二千二百八十四为甲大广即为乙小广今次求乙长乃以分母五万八千七百九通乙小广四十步得二百三十四万八千三百六十内子五万二千二百八十四得二百四十万六百四十四又元长一百五十乘之得三亿六千九万六千六百为乙从方又以分母五万八千七百九通共实三十二万二千五百得一百八十九亿三千三百六十五万二千五百为乙实又以分母通共隅九得五十二万八千三百八十一为乙从隅开连枝平方〈更不立草〉得四十九步不尽二千二十七万六千三百十九隅并方共得四亿一千二百四十万六千三百九为母与不尽求等单一不可约乃定为四十九步四亿一千二百四十万六千三百九分步之二千二十七万六千三百一十九为乙截长以乙长母通全步内子得二百二亿二千八百一十八万五千四百六十为法以乙长七千七百三十三亿四千七百一十二万八千七百为实以法除之得八十七步不尽一百三十四亿九千四百九十九万三千六百八十与法求等得一百四十俱约之为八十七步一亿四千四百四十八万七千三十九分步之九千六百三十九万二千八百一十二为得数乃以乙小广母五万八千七百九乘得数子九千六百三十九万二千八百一十二得五万六千五百九十一亿二千五百五十九万九千七百八为泛却以得数母一亿四千四百四十八万七千三十九分乘乙小广子五万二千二百八十四得七万五千五百四十三亿六千三十四万七千七十六为寄数于上乃以小广母五万八千七百九乘得数母一亿四千四百四十八万七千三十九得八万四千八百二十六亿八千九百五十七万二千六百五十一以寄减泛今不及减乃破全步一为分并泛得八十六步十四万一千四百一十八亿一千五百一十七万二千三百五十九减去小广四十步及分馀四十六步八万四千八百二十六亿八千九百五十七万二千六百五十一分步之六万五千八百七十四亿五千四百八十二万五千二百八十三为乙大广亦丙小广求丙长置甲长五十七步二千四十五分步之八百五十六乙长四十九步四亿一千二百四十万六千三百九分步之二千二十七万六千三百一十九以甲乙分母互乘子甲乙分母相乘得甲正长五十七步八千四百三十三亿七千九十万一千九百五分步之三千五百三十亿一千九百八十万五百四亿乙正长四十九步八千四百三十三亿七千九十万一千九百五分步之四百一十四亿六千五百七万二千三百五十五并甲乙长及分共长一百六步三千九百四十四亿八千四百八十七万二千八百五十九分用减元长一百五十步先破一步通分母作八千四百三十三亿七千九十万一千九百五减去甲乙长长馀四十三步八千四百三十三亿七千九十万一千九百五分步之四千四百八十八亿八千六百二万九千四十六为丙正长
按此术以立天元一法明之法立天元一为甲正长南北广差折半得九以乘天元得九元以共正长除之得一百五十分天元之九为甲之半广差与小广相加得三十四步多一百五十分元之九再以天元乘之得三十四元多一百五十分平方之九即与每人分田二千一百五十步等两数各以分母一百五十乘之得三十二万二千五百步与九平方多五千一百元等步数为实元数为从方平方数为隅得甲正长求乙丙长广同此但多一带分故其数较繁
数学九章卷三下
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