數學九章 (四庫全書本)/卷3下

數學九章　卷三下

　　欽定四庫全書
　　數學九章卷三下　　　　宋　秦九韶　撰田域
　　環田三積
　　問環田大小圓田共三段環田外周三十步虗徑八步大圓田徑一十步小圓田周三十步欲知三田積及環田周通實徑大圓周小圓徑各㡬何
　　答曰環田積二十步二百三十六萬二千二百五十六分步之一百二十九萬八千二十五通徑九步一十九分步之九　實徑一步一十九分步之九　內周二十五步一十七分步之五
　　大圓田積七十九步五十三分步之三　周三十一步二十一分步之十三
　　小圓田積七十一步二百八十六分步之四十三　徑九步一十九分步之九
　　術曰以方田及少廣率變求之各置圓環徑自乗為冪進位為實以一為隅開平方得周各置環圓周自乗為冪退位為實以一為隅開平方得徑以周冪或徑冪乗各實以一十六約之為實以一為隅開平方得圓積置環周冪乘徑實十六約之為大率置虛徑冪乗內周實十六約之為小率以二率相減之餘以自乗為實併二率倍之為從上亷一為益隅開三乗方得環積置環周自乗退位為實一為隅開平方得通徑以虛徑減通徑餘為實徑其有開不盡者約而命之




　　草曰置大圓徑一十步自乗得一百為徑冪進位得一千為實以一為隅開平方得三十一步不盡三十九為分子乃以隅生方又益隅共得六十三為分母以分子與母求等得三俱以三約之母子得二十一分步之一十三為大圓周三十一步二十一分步之一十三次以徑冪一百乗前實一千得一十萬以十六約之得六千二百五十為實以一為隅開平方得七十九步不盡九為分子乃以隅生方又增隅得一百五十九為分母以分子母求等得三俱以三約母子得五十三分步之三為大圓積七十九步五十三分步之三次置小圓田周三十步自乗得九百為周冪退位得九十為徑實以一為隅開平方得九步不盡九以隅生方又益隅得一十九步之九為小圓徑九步一十九分步之九次以周冪九百乗前實九十得八萬一千以十六約之得五千六十二步五分為實以一為隅開平方得七十一步有不盡數二十一步五分為子以隅生方又益隅得一百四十三為分母以分子母求等得五分俱約之得二百八十六分步之四十三為積次置環田周三十步自乗得九百為周冪退位得九十為實以一為隅開平方得九步不盡九為分子以隅生方併隅得一十九為分母直命之為環田通徑九步一十九分步之九次以環周冪九百乗環實九十得八萬一千以十六約之得五千六十二步五分為大率次置環田虗徑八步自乗得六十四為虗冪進位得六百四十為實以一為隅開平方得二十五步不盡一十五為分子以隅生方又併隅得五十一為分母與子求等得三俱約之得一十七分步之五為環田內周二十五步一十七分步之五次以虗冪六十四乗周實六百四十得四萬九百六十以十六約之得二千五百六十為小率以小率減大率餘二千五百二步五分自乗得六百二十六萬二千五百六步二分五釐為實以大小二率併之得七千六百二十二步五分倍之得一萬五千二百四十五為從上亷以一為益隅開玲瓏三乗方得二十步不盡三十二萬四千五百六步二分五釐為分子續啇無數乃以益隅一益下亷八十併之得八十一為減母次以從上亷一萬二千八百四十五併從方五十七萬七千八百得五十九萬六百四十五以母八十一減之餘五十九萬五百六十四為分母以分子求等得二分五釐俱約之得二百三十六萬二千二百五十六分步之一百二十九萬八千二十五為環田積二十步二百三十六萬二千二百五十六分步之一百二十九萬八千二十五次置環田通徑九步一十九分步之九以虛徑八步減之餘一步一十九分步之九為環田實徑合問
　　按周徑相求以進位退位為實者蓋以徑一周三有竒徑一自之仍得一周自之略與十等故徑冪升一位為周冪周冪降一位為徑冪以省算亦法之巧者其徑求周較宻率約大一百五十七分之一周求徑約小一百五十九分之一然較古率則已宻矣其周冪徑冪相乗十六約之開平方得圓積者蓋周徑相乗四歸得圓積徑自乗為方積故四歸亦展為自乗十六之數約之得四分徑之冪乗周冪之數故開方得圓積至求環積與前求尖田積同但彼立天元一為兩積之和此立天元一為兩積之較耳其式如左
　　法立天元一為環田積即內外兩圓積之較自之得一平方為較自乗以大小率〈即二圓積各自乗〉併而倍之得一萬五千二百四十五步內減較自乗得一萬五千二百四十五步少一平方為和自乗與較自乗再相乗得一萬五千二百四十五平方少一三乗方寄之次以大小率相減餘二千五百零二步五分為和較相乗再自之得六百二十六萬二千五百零六步二分五釐與寄數等即為實寄數內平方數即從上亷三乗方數即益隅


　　此圗照問列位以後照草運算
　　乃先置次大徑以上副自乗得中以中進位為次實以一為下隅













　　凡九變至此得大圓徑次求大圓積


　　上副自乗得中以次約之得下為實












　　凡十一變至此得大圓積次求小圓徑



















　　一十一變得小圓積次求環田通徑當求環田通徑蓋環田之外周三十步與小圓田外周同則不遇與前七變諸圗一理茲不復繁乃求實徑












　　凡九變得環田內周次求環積









<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷三下>
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷三下>
<子部,天文算法類,算書之屬,數學九章,卷三下>
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　　開三乗方凡二十變至此得環田積數
　　求實徑但以虛徑減通徑餘一步一十九分步之九為環田實徑
　　均分梯田
　　問戶業田一段若梯之狀南廣小三十四步北廣大五十二步正長一百五十步合係兄弟三人均分其田邉道各欲出入其地形難分經官乞分南甲乙北內欲知其田共積各人合得田數及各段正長大小廣㡬何
　　答曰田共積二十六畆二百一十步
　　甲得八畆三角五十步　小廣三十四步係元南廣　大廣四十步五萬八千七百九分步之五萬二千二百八十四大約百分步之八十九　正長五十七步二千四十五分步之　百五十三大約一百分步之四十一分乙得八畆三角五十步　小廣同甲大廣大廣四十六步八萬四千八百二十六億
　　八千九百五十七萬二千六百五十一分步之六萬五千八百七十四億五千四百八十二萬五千二百八十三計大率約百分步之七十七分半強　正長四十九步四億一千二百四十萬六千二百九分步之二千二十七萬六千三百一十九大約百分步之四分九釐
　　丙得八畆三角五十步　小廣同乙大廣大廣五十二步係元北廣　正長四十三步八千四百三十三億七千九十萬一千九百五分步之四千四百八十八億八千六百二萬九千四十六大約百分步之五十三分強
　　術曰以少廣及從法求之併兩廣乗長得數以分田人數約之為通率半之為各積以長乗各積為共實以長乗南廣為甲從方二廣差半之為共隅開連枝平方得甲截長以甲長除通率得數減小廣餘為甲廣即為乙小廣以元長乗乙小廣為乙從方置共隅共實開連枝平方得乙截長以乙長除通率得數減乙小廣餘為乙大廣即為丙小廣倂甲乙長減元長餘為丙長以元大廣為丙大廣各有分者通之





　　草曰置小廣三十四併大廣五十二得八十六乗長一百五十得一萬二千九百為實以兄弟三人約之得四千三百為通率半之得二十一百五十為各積以　法二百四十步約之得八畆不盡二百三十步以角法六十步約之得三角五十步是三人各得八畆三角五十步以元長一百五十步乗各積二千一百五十得三十二萬二千五百為共實以長一百五乗小廣三十四得五千一百為甲從方以小廣大廣餘一十八乃半之得九為共隅開連枝平方〈開方革更不繁具〉得五十七步不盡三約為二千四十五分步之八百五十三為甲截長乃以分母二千四十五通全步內子共得一十一萬七千四百一十八為法又以分母乗通率四千三百得八百七十九萬三千五百為實以法除之得七十四步不盡一十萬四千五百六十八與法求等得二俱約之為五萬八千七百九分步之五萬二千二百八十四乃以小廣三十四步於所得全步七十四步內減之餘四十步五萬八千七百九分步之五萬二千二百八十四為甲大廣即為乙小廣今次求乙長乃以分母五萬八千七百九通乙小廣四十步得二百三十四萬八千三百六十內子五萬二千二百八十四得二百四十萬六百四十四又元長一百五十乗之得三億六千九萬六千六百為乙從方又以分母五萬八千七百九通共實三十二萬二千五百得一百八十九億三千三百六十五萬二千五百為乙實又以分母通共隅九得五十二萬八千三百八十一為乙從隅開連枝平方〈更不立草〉得四十九步不盡二千二十七萬六千三百十九隅併方共得四億一千二百四十萬六千三百九為母與不盡求等單一不可約乃定為四十九步四億一千二百四十萬六千三百九分步之二千二十七萬六千三百一十九為乙截長以乙長母通全步內子得二百二億二千八百一十八萬五千四百六十為法以乙長七千七百三十三億四千七百一十二萬八千七百為實以法除之得八十七步不盡一百三十四億九千四百九十九萬三千六百八十與法求等得一百四十俱約之為八十七步一億四千四百四十八萬七千三十九分步之九千六百三十九萬二千八百一十二為得數乃以乙小廣母五萬八千七百九乗得數子九千六百三十九萬二千八百一十二得五萬六千五百九十一億二千五百五十九萬九千七百八為泛卻以得數母一億四千四百四十八萬七千三十九分乗乙小廣子五萬二千二百八十四得七萬五千五百四十三億六千三十四萬七千七十六為寄數於上乃以小廣母五萬八千七百九乗得數母一億四千四百四十八萬七千三十九得八萬四千八百二十六億八千九百五十七萬二千六百五十一以寄減泛今不及減乃破全步一為分併泛得八十六步十四萬一千四百一十八億一千五百一十七萬二千三百五十九減去小廣四十步及分餘四十六步八萬四千八百二十六億八千九百五十七萬二千六百五十一分步之六萬五千八百七十四億五千四百八十二萬五千二百八十三為乙大廣亦丙小廣求丙長置甲長五十七步二千四十五分步之八百五十六乙長四十九步四億一千二百四十萬六千三百九分步之二千二十七萬六千三百一十九以甲乙分母互乗子甲乙分母相乗得甲正長五十七步八千四百三十三億七千九十萬一千九百五分步之三千五百三十億一千九百八十萬五百四億乙正長四十九步八千四百三十三億七千九十萬一千九百五分步之四百一十四億六千五百七萬二千三百五十五併甲乙長及分共長一百六步三千九百四十四億八千四百八十七萬二千八百五十九分用減元長一百五十步先破一步通分母作八千四百三十三億七千九十萬一千九百五減去甲乙長長餘四十三步八千四百三十三億七千九十萬一千九百五分步之四千四百八十八億八千六百二萬九千四十六為丙正長
　　按此術以立天元一法明之法立天元一為甲正長南北廣差折半得九以乗天元得九元以共正長除之得一百五十分天元之九為甲之半廣差與小廣相加得三十四步多一百五十分元之九再以天元乗之得三十四元多一百五十分平方之九即與每人分田二千一百五十步等兩數各以分母一百五十乗之得三十二萬二千五百步與九平方多五千一百元等步數為實元數為從方平方數為隅得甲正長求乙丙長廣同此但多一帶分故其數較繁















　　數學九章卷三下