数学 (四库全书本)/卷1

数学　卷一

　　钦定四库全书
　　数学卷一
　　婺源江永撰
　　历学补论
　　〈勿庵先生历学疑问三卷五十二章又补二卷二十四章已为历法疏通源流指示窔奥永熟味其书别有触悟随笔识之或赘说于本书之外或衍绎于本书之中泰山河海无俟一卷一勺聊自道其管蠡窥测云尔〉
　　论天地开辟
　　问天地固当有始如陈星川壤天地人三元之说一元有二千四百一十九万二千年今当人元四百五十六万六千馀年者固为荒唐矣邵子皇极经世书谓一元有十二万九千六百年分十二会一会一万八百年天开于子地辟于丑人生于寅禹即位后八年而入未会则自天开至今七万馀年生人至今亦五万馀年世以邵子精于数学也而信之自西士之书出则自开辟以来只五六千年何若是其不侔耶果孰非而孰是耶曰以理断之疑西说近是也中国有载籍始于唐虞尧至今四千馀年尧以前略有传闻而难徴信度有人物之初距唐虞之世其年当不甚远岂有遥遥五六万年晦冥如夜竟无纪载可稽耶又大西洋载其国古老所记亦似不过四千年夫中国相去数万里而年数符同若斯则四千年以前遍天地有人物者不过一二千年如今日之视秦汉已耳当不以万计也顾天地之开辟虽有最初之年而其醖酿于未开辟之先者必需积渐之久如人兽之胎虫鸟之卵草木之果实根荄皆含生于未生之前此则不知㡬何年耳曰西士之言固可信矣其纪年亦自不同天地仪书谓自开辟至崇祯庚辰五千六百三十馀年圣经直解则云六千八百三十六年依稽古定仪推之则五千七百三十年月离历指则谓崇祯戊辰为总期之六千三百四十一年诸说孰为是耶曰予尝推之矣其言五千馀年是开辟之始太阳最高在春分也此则稽古定仪之年为近〈元至元辛巳高冲在冬至最高在夏至开辟以来行一象限九十度以今历一年行一分一秒一十微推之九十度有五千三百馀年稽古定仪开辟至至元辛巳五千三百七十年〉其言六千馀年是开辟之始冬至日躔壁宿为亥末戌初也此则圣经直解之年为近〈崇祯庚辰冬至日在箕四度溯前六千八百三十馀年约退九十八度日在壁〉二者皆有理不知果孰为确耳曰然则古历家谓上元必是甲子岁前十一月甲子朔旦夜半冬至日月如合璧五星如连珠其说信然乎曰未必然也天地开辟如人之初生已属后天其始尚有胚胎之岁月则甲子日月五星不必皆从始处始也以为始于甲子岁安知其不始于他年乎〈西书诸说皆非甲子〉以为始于十一月朔安知其不始于十一月望乎〈冬至为中气望为月半〉以为始于冬至安知其不始于春分乎〈天文实用云开辟初时适当春分又云中西皆以角为宿首因开辟首日昏时角为中星也〉以为始于甲子夜半则时刻随方有里差西方见早东方见晩西以为子东以为丑东以为子西以为亥遍大地当以何处为正位而定其为夜半冬至乎日月果合璧则开辟之始必日食乎五星仅连珠不犹有未齐同者乎且日月五星各有性情以为始于聚安知其不始于散乎〈如人身胚胎之始则聚及其成形脏腑官骸各有部位〉达理者默而观之毋泥前人之说可也以今岁周计之一岁小馀一百二十八分日之三十一积一百二十八年四万六千七百五十一日无馀分以六十乘一百二十八凡七千六百八十年积二百八十零万五千零六十日天正冬至得甲子年甲子日无馀分使开辟之年果在甲子其冬至当自平者始以今日平冬至逆推终不能得甲子朔旦冬至在中国之夜半也而况五星又皆齐同乎以是知历元不可推也开辟之年约略可知而不可定也
　　论地圆
　　问地为圆形周围九万里南北则以二极之低昻而知之〈南北行二百五十里极高下差一度〉东西则以月食之蚤晩而知之〈地赤道经东西相距七千五百里则月食先后差一时〉此惟知历者能信又必如西人浮海数万里见南极出地数十度而后可验若拘儒之见不出户牖囿于方隅终疑人不可侧立水不可倒悬告以地圆谓其言犹河汉也柰何曰地之绵亘甚广其圆也以渐人虽绕地行一周恒以足履地首戴天必无倒立之时水之附地而流亦犹是也今试泛舟于江湖登舟之高处望之水之来不见其端水之去不见其尾但觉微有湾环之形惟舟所到即是高处此何也人目能望数十里此数十里即以渐而圆故也而地圆之最可见者如月食于地景月之亏必作湾形由地景圆故也使地不圆何以有此圆景乎曰地上山高而海深形有凹凸安得圆曰地之厚二万八千馀里山海虽极高深如胡桃核之皱略有起伏终不碍为圆也或又设一难曰地诚圆矣地之下诚有人居之矣设使地有孔穴上下穿通人投石于穴中此地见石坠而下彼地之人不见石腾而上直至于天乎石惟能下岂能上乎曰此说不足以难地圆也万一有穿通之穴投石其中此石必至地心而止心者四面之极处气之所辏必不令此石得过也以地球之大尚为大气举之处于天心而况石乎
　　梅先生谓周髀中即有地圆之理又谓周髀所传之说必在唐虞以前此皆笃论自古籍散亡中土历家既失其说而又杂以臆度之见无理之谭如云地有八柱又云地是水载又云地有四㳺种种谬论涂人耳目即如王蕃言北极出地三十六度此不过就中土地中洛阳北一带所见极高言之非可以此㮣大地也唐一行尝四方测景未悟地圆郭若思测景尤广南至南海北尽北海凡二十七所各纪其方北极出地昼夜永短似已悟地圆之理而亦未能明白著论意其犹在疑信之间今地圆之说大显是数千年来失者复得历家据以为测算之根而儒家亦藉为穷理之要可不谓厚幸乎〈战国时邹衍谈天谓九州之外有大瀛海环之亦似本之于周髀〉
　　梅先生引大戴礼曾子答单离居之问以证地圆之论古已有之极确愚谓易大传曰坤至静而徳方中庸曰振河海而不泄皆地圆之证也方言其徳则形体非方可知矣水附于地而流地振之而不泄则地面四方有水非是水载可知矣
　　梅先生又谓地实圆体而有背面中土笃生神圣继天建极垂世立教如人有面为一身精神所聚此真至之理非徒为尊中国之言昔有问于愚者谓列宿分野大地所共中国之地有限何得据之以为占愚思之梅先生此说亦可参悟盖五脏之精开窍于五官则天光下临其精气与中华相属者必尤切是以普天星宿皆有相关之理也
　　论天大地小
　　问地球周九万里不为小矣而西儒谓天极大地在天中只一点其言果可信与仰而望之日月星辰皆在目天岂若是其寥廓与曰此不可以臆揣也唯精于三角八线割圆之术因七政之行度比次其高下而各种之天去地之数可得即恒星以上无法可算者亦可想而知矣姑以太阳与土里两重天言之西史第谷后出最精历算者测太阳行度得其高卑之中处距地一千一百五十地半径〈此数仍未确今算一千一百四十二地半径弱〉夫地半径一万四千一百三十馀里〈以周径密率算〉以一一四二乘之则日去地有一千六百馀万里有奇又地周九万里亦以一一四二乘之则日天之周一万零二百七十八万馀里可谓大矣而犹未也火木土三星之天皆在日天之上而各星所行之岁轮〈迟疾轮〉皆与日天等大因其行岁轮一象限九十度视黄道上得㡬何度因以测其本轮均轮次轮之半径而知此星之天去地视日天得若干倍火星不及约半倍木星不及约五倍土星行岁轮九十度其视度五度半有奇其切线一万零四百有奇夫轮之半径十万而五度半有奇之切线一万零四百有奇则不止十之一其视日天之高十倍有奇矣又设土星行最高而当合伏其距地心一十二万六千一百一十七有奇以太阳本天比例为十一倍又一三七三二四地半径有一万二千八百零八弱则土星最高而合伏距地盖一万八千零九十七万馀里矣此以星行度实算得之非荒唐之比也土星之高已如此矣而恒星之天又在土星之上虽无岁轮可测算而以右旋之迟速约略计之日一岁而一周火星二年弱一周高于日天半倍弱木星十二年一周高于日天不及五倍土星二十九年半一周高于日天不啻十倍恒星右旋二万五千馀年一周则高于日天甚远可知矣况宗动天又在恒星之上常静天又在宗动之上其高不可思议其视地不犹一微尘乎或曰地小于天如此则日入地下其光当从四旁射上地上可不夜矣而深夜黑暗何也曰地为实体日光不照则成黑影人处地面正当黒影最深最阔之处〈地径二万八千馀里则影径亦如之渐高乃渐减〉安得不夜且气无质不能受日光能受日光者唯月与星有月则能透日光返照而夜明有星则微明月星皆隐则地上之气全黒而夜甚暗矣故地虽小而自能成昼夜也
　　问各星岁轮与日天等大土木火三星本天固可以日天半径略计倍数矣若日天半径倍于地半径者一千一百四十二何从得之曰太阳本轮均轮之半径既可以盈缩极差推而知则最高时在均轮之底最卑时在均轮之顶亦可得其相距之数矣而最高最卑太阳则有视径差又射地景至月天则有景径差又太阳近地平则有地面地心高下差合兹数差参互推算而日天距地可得而知矣岂若旧说言天去地若干万里荒唐无稽者哉
　　论日月地三体大小
　　问人视日月其大似无㡬而西人言日大于地月小于地日之大于地与月者其相去悬绝得毋无徴不信乎何以知其然也曰此亦以三角八线割圆之术测其本天去地之高下因以视径而知其实径与实体也日月之行因其盈缩迟疾而知小轮之径因小轮而知大轮之径故日去地一千一百四十二地半径月去地约五十八地半径凡去地半径一倍者其度亦阔一倍地一度二百五十里以一千一百四十二乘之则日天之度计二十八万五千馀里日之视径半度有奇〈约六十分度之三十一〉约得一十五万里地之全径二万八千馀里故西人言日径得地径者五又七十五之十四此日之实径也以五十八乘二百五十里则月天之度一万四千五百里月之视径比日视径稍大约六十分度之三十二分奇其径约八千里地径大于月径三倍半有奇此月之实径也若以日视月则日径大于月径约一十九倍凡此皆以实测实算得之非虚言也曰此有实据可考验乎曰有月之食也食于地景景径约一度半〈日月行度有高卑则景径有大小此以其中者言之〉则日月地三者之大小可参考而知凡光体等于实体则其景等大而无穷光体小于实体则其景渐远渐大而无穷唯光体大于实体则其景渐远渐小而有尽地景能食月不能食星月天卑星天高故也〈张衡灵宪谓暗虚星值之则星亡者非是〉观月所处之天地景一度有半约二万二千馀里则日之大于地㡬何月之小于地㡬何皆可用法推算矣曰日径大于地径五倍有奇而西人又言日大于地球一百六十五倍奇日大于月径约十九倍而西人又言大于月六千五百三十八倍奇地径大于月三倍半有奇而西人又言大于月三十八倍奇何若是之不伦耶曰前以径相较者平圆也此以实体相较者浑圆也算浑圆实体之法以径自乘又以径乘之而得实体之圆分积两圆相较可得其差〈借立方算浑圆详见算賸〉今用法推算则日之实体大于地者一百四十九倍奇大于月者六千五百九十倍奇地之实体大于月者四十倍奇与西人之算或多或少盖利西泰测算里数小有不同耳〈利氏说见天学初函〉梅先生似以日大于地一百六十五倍者为径也故谓两数相悬不啻霄壤若以实体较论则了然矣〈方密之通雅不信日大扵地百馀倍谓日光甚烈人在地上必死亦考之未详耳〉
　　论日月星皆有质
　　问日月星皆气为之乎抑实有其质乎曰实有其质也其质非金非玉非石盖自有其质非人世所有者也若但有气无质岂能终古不改变乎西士以远镜窥日月亦不正圆而月中之黒处古人妄谓蟾蜍顾兔宋人误以为山河大地之影者西人则名之为月驳谓由月体自生如地有岩洞日光照不到处则现黒影此非实有质而何日月如此星可知矣曰三光唯有气也故能浮空若实有质何以不坠曰日月星各有其本天其本天皆以地为心地即其所著之根而日月星又各著于小轮之上其根甚固安得坠如地球极重终古亦不坠素问所谓大气举之是也曰地球正当天心四面皆气辏之故能空悬于天中若日月星之重体在天上何以不坠曰物各有其性情三光之性情丽天者也天犹水也水不能浮沙石而能载大木木之性情自不沈也又何疑焉曰星有陨为石者岂非有质即不能浮空与曰陨石之星非天星也由地上火土之气上冲火际偶然融结而陨也岂有恒星天之星而或陨者哉〈微茫之恒星亦大于地〉
　　论青𫎇气
　　问西人谓近地平有青𫎇气其高约九里泽国弥厚弥高日月在𫎇气内小可为大卑可为高其说信然与曰信也凡彻体之物如气如水如玻璃水晶皆能变物之形远可使近小可使大直可使曲深可使浅卑可使高远镜其显者也插篙于水置钱于盂无不可验是以日月出地与将入地视径加大𫎇气映之故也不唯加大而已更能升之使高实未出地而已出地也虽已入地而犹未入也故西人论日食于高卑南北东西三差之外更有青𫎇气差青𫎇径差此为带食言之也有此二差则旦暮日食以东西差加减之而当食者𫎇气或升之而不食矣其不当食者或升之而见食矣视径加大则能变食限与加时早晩食分多少矣此非台官所能预定必随方测候而后可知前史有书当食不食不当食而食者其故或由此与梅先生未尝言及青𫎇气谓汤罗诸公已言之耳学者固不可不知○列子载两小儿辨日一谓日初出时如车盖日中如盘盂为近大而远小此未知𫎇气之故耳日何尝有远近若论远近之微者则日近地平时与近天顶时差一地半径初出较远日中较近正与此小儿之说反又非近者热远者凉之谓也
　　论左旋右旋
　　问天左旋日月五星右转历家之说也谓日月五星亦左旋其说始于横渠张子与曰非也张子云天左旋处其中者顺之少迟则反右矣张子之意谓地亦是动物处于天中随天而左旋但少迟故觉地右而天左观其前两章云日月五星逆天而行并包乎地者也地在气中虽顺天左旋其所繋辰象随之稍迟则反移徙而右又云古今谓天左旋此直至粗之论尔恒星所行为昼夜者直以地气乘机左旋于中云云则张子之意可知矣朱子谓横渠说天左旋日月亦左旋其说极是是以处其中者为日月恐非张子之本意曰然则朱子谓天行过一度又谓历家截其退数便于算又有大轮在外小轮载日月在内之喻若何曰愚向亦疑之谓日月果因行少迟而觉其右转则当循赤道而退无南北斜行之势何为日自行黄道斜交于赤道月五星各有道又斜交于黄道乎何为恒星亦循黄道而右行乎后见勿庵先生说乃始豁然先生以钧盘飞轮为喻谓如有小盘小轮附于大盘大轮之上而别为之枢则必相差而成动移以生逆度又必与本枢相应而成斜转之象焉夫其退逆而右也因其两轮相叠其退转而斜行也因于各有本枢而其所以能退逆而斜转者则以其随大轮之行而生此动移也此说极当朱子两轮之喻未及不同枢必得此论始为精密尽善耳
　　左旋右旋之说愚前后有三见始也信朱子取正𫎇之说后因细读正𫎇觉张子之意不如是又见西人有随动自动之说谓七政自有性情力虽随天动却能自动而右旋深信之乃别为之说谓凡物之理有顺必有逆在天有气者皆左旋有形者皆右转一顺一逆所以能成造化若使皆顺而无逆则如水之无湾山之无转不能锺地脉而居人物矣古人有蚁行磨之喻然蚁虽随磨左旋而蚁之头足自向东而右行若使蚁亦向西则蚁之行不反速于磨乎后读梅先生书乃仍从左旋之说与始者所见却又不同此可验愚学识之进退消长而所得益于先生之书此尤其大者矣
　　然则后之所见与顺逆之说不相妨乎曰无妨也造化之理即以顺而成逆如五行皆顺生而自有逆克也如山水皆顺行而自有逆转也天以层数生迟速以迟速成顺逆正造化之妙也然则磨蚁之说若相妨奈何曰日月在天非若蚁之行磨也轮载日月轮动而日月随之日月未尝动也此如别有轮附于磨与磨同转而不同枢因生退度蚁则定于轮上未尝行也
　　大气之运如水逝风行恒星七政如有数舟同汎于江河得风多者行速得风少者行迟彼此相较迟者若退而上矣舟各斜迆不与岸平行〈舟之斜迆犹行黄道岸犹赤道〉斜迆又不同势则各舟捩柁定向不同也〈如各曜自有道〉
　　右粗譬之如此细论之舟犹非七曜也本天载本轮本轮载均轮均轮载日而月五星更有次轮星体在次轮上月体在次均轮上然则水犹本天舟犹本轮均轮次轮等犹舟上复有转轮而日与六曜犹有球附于舟之轮上也
　　论天极
　　问自古只言北极西士始言有黄极而月与五星之道皆斜出入于黄道则月道又自有极五星道又各有极然则七政七极并北极而八并南方相对之极而十六何若是其纷错与曰七政各行一道即各有所宗之极北极为心黄极环绕而成一圈月与五星之极皆以黄极为心各环之而成小圈水星圈最大月次之金次之土次之火次之木次之皆载于黄极圏之上各有条理未尝纷错也〈小圏自内而外由近而远木火土金水似顺五行相生之序月亦水类在金水之间〉曰天之有北极也如磨之脐如轮之毂太阳曷不宗之乃自为极以成斜出之道与赤道度龃龉不相当何也曰太阳若宗北极则恒行赤道无寒暑进退何以能生万物有北极赤道又有黄极黄道所以能成变化也盖北极体也黄极用也北极为心黄极绕之而成圏则又未尝不宗北极也曰月与五星之道何为斜络黄道曰日君也月与五星臣也不敢正行黄道而又不敢与之远离君臣之义也
　　问古人以恒星之天为天西士则谓恒星亦随黄道而东行夫恒星在七曜之上宗北极循赤道可矣何为亦宗黄极循黄道曰北极唯宗动天宗之恒星自为一重天则不得宗北极矣曰月五星各有道有极恒星天既自为一重宜亦自有其道与极何为皆宗黄极而循黄道〈恒星距黄极有定距〉曰六曜专而恒星散也六曜不惟自有道而已道之上且有数小轮以载曜体焉恒星不能逐星生小轮故普天星宿同宗黄极而循黄道也
　　论七政小轮
　　梅先生论小轮数章綦详因其言而推测之太阳小轮有二一为本轮一为均轮本轮之心在本天均轮之心在本轮而太阳之体实在均轮之上其大小则本轮半径三均轮半径一其行度则本轮之心右旋于本天而均轮之心左旋于本轮均轮虽左旋于本轮而太阳在均轮周实右旋均轮心左旋一度则均轮周左旋两度故最高最卑两点虽常在本轮之顶与底而太阳之在最高也不在均轮之顶而在均轮之底其在最卑也不在均轮之底而在均轮之顶盖不同心圏上所切之小轮非本轮也乃合本轮均轮两半径而为小轮之半径也又均轮实为太阳之体所居欲算太阳距地心得其径差景差必须以均轮行度算之盖本天载本轮本轮载均轮均轮载太阳此天上实象若并本轮均轮两半径以为不同心差规一大圏为不同心圏此则假借虚象耳〈聨两半径边上虚迹而成圏〉虽算加减均度与用本轮均轮立算者不殊〈均轮上太阳所到与两半径并之小轮边上所切高下不同而从地心出线穿太阳其角则同故所得之均度必无不同〉而不可以此算视径之大小〈太阳实体不在不同心圏上故也〉观历书太阳视半径表本以本轮均轮算得之若以不同心立算则其数不如此矣梅先生谓不同心之法生于小轮而小轮为本法此诚不易之论也太阴小轮递相负乘与太阳五星特异本天载本轮本轮载均轮犹之太阳而月之体不在均轮之上又五星次轮在均轮上者其心也若月次轮则以轮边与均轮相切而别有负圏合均轮全径次轮半径以为半径则负圏心在均轮上而次轮心在负圏上与五星异矣五星之体即在次轮之上而月则又有次均轮在次轮上月之实体则在次均轮上与五星又异矣细读历象考成始知其故
　　回回历七政皆有中心行度似本轮行于本天而梅先生云小轮心非能自动小轮之动本天之动也七政亦非自动七政之动小轮之动也又云小轮心者小轮之枢也枢连于本天不动故轮能动而七政者又相连于小轮之周者也小轮动则七政动矣此皆发前人所未发若小轮之动有左旋有右旋有不动其起点有在轮底有在轮顶其行度有平有倍有再倍又七政虽连于小轮之周而七政之体上下却有定位不随轮而颠倒愚于七政衍详言之七政各有本天本天上各有小轮小轮又互有同异视之若无测之实有纷纶交错条贯秩然虽有大巧莫能摹肖是大圜中之至巧
　　论日差
　　问历书日躔有日差表月离又有日差表交食有加减时表月离之日差表与加减时同但加减倒用〈加减用时为平时〉若日躔日差其数绝异何也曰梅先生尝疑日躔表说支离𫎇混此事当究其源而论之凡云时者有二一为十二时之数太阳一日东升西没遍历太虚常静之天均剖之为十二段所以纪出没永短节气朔望之节度者也一为十二时之位人所居之方必有正南正北之子午圏视太阳正当午位为午正其对冲为子正从此分十二宫者所以为测候七政之用者也此二者皆以赤道为宗平剖赤道一宫得三十度一时应之数与位其根本同所以有日差者一由太阳有平行视行而有均度之差一由赤道黄道正升斜升而又有升度之差是以历家所算之时刻与太阳所到之方位略有不同所算者实时平时所到者视时用时也日躔日差表说亦明言日差之故有二一由太阳平视两行差一由两道正球升度差及其解说作表之法却不分明而所定各节气加减分数亦绝不可解〈后详言之〉宜勿庵先生讥之然月离交食二表只说黄赤升度差立算而不论太阳之加减差疑其法之未确先生始疑日差有二根当立二表后又自谓不确而别为之说谓西历之传各有师授不同日躔表之兼用二根或是初说其平时定时乃测验之实用必是后来之说宜只用月离交食二表为是愚向者亦未敢断其是非后考之历象考成所以求用时者兼用均度升度二差而日躔日差表弃而不用则二根兼用者为是先生始谓当立二表者亦是而日躔之日差表立算未真解说支离洵不可承用也太阳平视两行差当从最卑最高起算至春分则积二度有奇减时当八分有奇而表以春分起算谓春分平视两行略等此时无加减分夫春分既无加减则秋分宜亦无加减表于秋分则加十六分时差十六分当天之四度此四度之差从何得之其不可解一也高卑加减之极在三宫九宫升度加减之极在四立节四立节之加减最大者不过九分五十六秒谓升度差最大者二度半稍弱也以此为限再以平视两行差加减之相去不甚远表于立春减八分立夏加十一分立秋加三分立冬加二十四分何若是不均其不可解二也二根加减其数常均合之当亦必均表于初宫十九度后始有减分减至春分而极春分后则恒用加计一岁加减之数减者一而加者四其不可解三也合二根加减不过十八分有奇两大之限不同时又不能及此数而表之加分大者二十四分当天六度此数又从何得之其不可解四也升度差有定时而太阳高卑有行度其两行之差不恒系于节气表乃合之为一若可恒用者然其不可解五也此表监中承用数十年近始遵用历象考成岂久之始觉其未确乎
　　历象考成求用时之法云以本日太阳均数变时得均数时差〈本注云均数为加者时差为减均数减者时差为加〉又以本日太阳黄赤经度相减馀数变时得升度时差〈注云二分后为加二至后为减〉乃以两时差相加减为时差总〈注云两时差同为加者则相并为总其号仍为加同为减者亦相并为总其号为减两时差一加一减者则相减为总加数大为加号减数大为减号〉若算太阴平行则以时差总化秒与一小时太阴平行相乘为实以一小时化秒为法除之得数为秒以分收之得时差行以加减太阴平行〈时差总为加者则减为减者则加〉为用时太阴平行若算交食求实朔实望用时则以时差总加减实朔实望为实朔实望用时按此求时差之法甚分明观此可知日躔表之误而月离交食二表仅得其半于理亦未尽矣究之亦不必立两表惟以交食加减时表为主而以均度变时差加减之盖变时之法甚易一度变时之四分十五分变时之一分一分变时之四秒可约而知不必须表也〈加减时表当正其名曰黄赤升度时差表〉
　　黄赤升度之时差易见太阳均度之时差难知均度所以有时差者何也太阳在天终古平行历家步算一切以平行为本一年之根起于冬至次日子正时此平时之平度也而有高卑之轮太阳行其上则黄道上有视行加减之度而平行之度在本轮之心与人目所见太阳异处则时差生于此矣夫常静天之析为十二宫均剖者也一日之分为十二宫亦均剖者也以均剖者算行度则时刻之能应天者太阳本轮心所到之平度耳若本轮上有加减之度逐日所算太阳加时必与太阳所加之时位有微差〈一度为时之四分〉何也轮心与轮边所当不同也设平春分在丙寅日午正而定春分在甲子日午正相差约两度则甲子日欲测太阳正交赤道必于所算午正时减八分为午初三刻七分于正南之位偏东二度测之此时正当交点则所算甲子日午正初刻春分者真矣何也甲子日本为平行二宫二十八度之日距三宫初度有二度当未至午正二度之时而入交则本轮心岂不正当午位乎若再加时八分太阳正当午位则本轮心又移过午正西二度矣此均度所以有时差之理也论太阳右旋一昼夜行一度弱论太阳左旋一昼夜行三百六十度太阳既有加减差则右旋者差在日其极差二日有奇左旋者差在时其极差八分有奇本轮上九宫至三宫太阳行下半周右旋盈则左旋缩十二时行三百六十度而不足不足则时差当减矣三宫至九宫太阳行上半周右旋缩则左旋盈十二时行三百六十度而有馀有馀则时差当加矣然加时之始不于三宫而于六宫减时之始不于九宫而于初宫盖三九宫为缩与盈之极三宫至六宫盈其所缩九宫至初宫缩其所盈也总之轮心所到为平时太阳所到为视时故以本日均数变时而反其加减于理为尽〈梅先生有日差原理一卷未刻愚以意推测如此〉
　　唯四正日但有均度时差过此则兼有升度时差故当合两时差相并相减以为时差总其法至今日始定
　　论太阳倍离
　　天以太阳为尊能摄月与五星西史第谷谓如磁石之引鍼确喻也月五星离日有远近而生次轮之行五星次轮一度即为一度独太阴离日一度次轮上即有两度五星合伏至合伏次轮一周太阴朔至望望至朔次轮再周回历谓之倍离其故何与此由月次轮与五星不同故也五星次轮心在均轮上而月次轮心在负圏上次轮与均轮以边相切其相切之点即初均割线所到谓之次轮最近点最近者最近于均轮之心也定朔定望起于此点由此左旋至上而最远至望复于起点又至下而最远至朔再复于起点点在轮周则度亦起于轮周凡割圆之理从轮心出线论度者一度为一度从轮周出线论度者两度为一度此月所以倍离也试从次轮最近点出一直线分次轮为两半又从点出一横线与直线十字相交夹次轮半周于中间夫十字相交者直角也直角所夹之度必九十度而次轮则已半周岂不两度当一度乎
　　论太阴迟疾
　　问授时分太阴为一百六十八限算其迟疾似密于古以今法较之授时犹未能与天密合也按月离加减表三宫九宫初度减均加均积度四度五十八分二十秒变为日度五度○四四五有奇耳而迟疾立成八十四限所益所损之积度五度四二九有奇则其数大于加减均度矣朔望后行次轮更有二三均加减大者二度四十八分并初均加减七度有奇而授时无此损益分则其积差有至二度有奇者矣安能与天密合曰授时之分限算迟疾盖由积候而得岂积差至一度有奇犹不之觉者乎曰月行最难测算者也三均之数甚纠纷地面地心视差又最大人所见在天之度往往非真度当时虽屡测亦只得其大㮣既不知有次轮之行又未得视差之真率是以不得不以近似者立法然则西法算太阴有二三均加减实胜中法之一大端也
　　凡月近入转则疾近月孛则迟此本轮均轮上之迟疾也近朔望则疾近两则迟此次轮次均轮上之迟疾也朔望又近入转两又近月孛则疾者愈疾一日不啻十五度迟者愈迟一日行十一度有奇
　　然则授时之迟疾法算定朔定望交食何以不甚差曰朔望无次均加减故也
　　授时分太阴一转三百三十六限之表今载之明史其实为无用之法也
　　论交食
　　梅先生交食𫎇求交会管见二书备论算交食之理无馀蕴其以黄道交角变白道交角为定交角以定交角算日月光体之上下左右指其初亏复圆而不以东西南北为方位尤发前人所未发
　　交食𫎇求注云若用弧三角法求白道限度所在及其距地之高并可得交角细数然所差不多盖算交食必在朔望又必在交前交后故也按用弧三角求白道限即交会管见新立算白道九十度限高法是也窃疑交前交后白道斜穿黄道而过不能与黄道平行则变黄道交角为白道交角似有微差然甚微可不论故今法径借黄道交角以朔望黄白交角加减之而白道交角不必立表旧法定日食限阴历初宫十七度四十分以内五宫十二度二十分以外阳历六宫八度二十分以内十一宫二十一度四十分以外实交周入此限者并有食今法定食限阴历稍宽阳历稍狭实交周自五宫十一度四十五分至六宫六度十四分又自十一宫二十三度四十六分至初宫十八度十五分为的食不入限者不必算亦有入限而不食者则因三差故〈西法罗㬋为正交交道自外而入内计都为中交交道自内而出外中历反之名易而实不易〉
　　康熙四十三年五月十七日乙卯望月食监颁图梅先生谓图中所注食既至食甚时刻多食甚至生光时刻少相差十分谓其不应改法愚疑此颁图时字有脱误也〈盖生光丑正二刻十一分脱十字误作一分〉否则诚难解
　　论中西法异者多端
　　问梅先生谓中西二法本同新历但兼用其长以补旧法之未备惟五星有交点有纬行是中历缺陷之大端然则西法之异于中法止此一事与曰先生举其大者耳其他若中历太阳盈缩常定于冬夏二至西法则最高最卑有行度中历太阴迟疾但知有转终而不知更有二三均加减中历交食时差但知以午正为加减之限而不知有黄平象限中历太阳太阴之径暗虚之径恒为一定而不知有高下大小之差法之异者固多端若三角立算中法只知有直角句股而不知有钝角锐角与弧三角弧矢割圆中法未尽其用而西法则有八线表预定无数句股以为一切测算之凖䋲此皆有补于中历者也
　　补论十二宫
　　问梅先生论周天十二宫有直有衡有斜有百游不甚纷纭错杂欤曰是皆各有所宗各有所取用非杂也愚谓在天犹有不变之十二宫盖列宿之天分为四维析为十二次星纪鹑首等名西国则有磨羯巨蟹等名皆以星象定之古今不变者也此与黄道之十二宫同归而殊涂恒星天亦宗黄极是同归也列宿自布十二宫恒以虚六度为元枵之半斗四度为磨羯之初岁岁推移不与中气节气相直是殊涂也梅先生历学疑问补中极论此理但未言其不变之十二宫耳
　　又按七政小轮无论大小皆分十二宫此自历家虚立之以便算故梅先生不数
　　论西法六十分为度
　　问回回历虽以三百六十度为周天而一度用百分或万分与授时同〈见袁氏历法新书〉欧逻巴独以六十分为度秒微以下皆用六十递析八线表亦分一度为六十何也曰其源盖由于时刻也中法一日百刻不便于分布西法以九十六刻齐之一时均得八刻又分一时为二时谓之小时分一刻为十五分凡加时与日出入皆有分数可纪〈中法万分日虽甚细而发敛加时及日出入皆纪刻不纪分犹为粗疏西法则纪刻分分下之秒未过半弃之已过半收之〉今四刻六十分为一小时此六十分所由来也而秒微以下皆用六十则作表甚便〈第一格为时第二格为分第三格为秒第四格为微所列之数皆同〉又如以度变时以时变度则以四分当一度一小时当半宫亦甚便日法如此度法亦因之八线表亦因之则各率通为一法此欧逻巴立法斟酌尽善者也彼百刻不便分布刻下不能纪分似不可谓无弊薛仪甫著天学会通改六十分为百分则当先改八线表而馀诸表皆不可用亦觉更张多事谨案
　　圣祖仁皇帝御制历象考成度法用六十日法一千四百四十别以一万为日周通法其布算也以万分计馀分而仍以日法通之如法收为时刻兼用授时而不用百刻之法此则万世可遵行者也
　　论授时历周天岁周
　　自大衍历分天自为天岁自为岁以著岁差之理历代遵用至郭氏别出新意以万分为度即以万分为日周天三百六十五万二千五百七十五分岁周三百六十五万二千四百二十五分自当时观之立法若尽善矣由今日论之二者皆非至极之理也夫黄道与列宿天同为大圜虽高下悬殊度之广狭迥异而度数则同非周天之度分多于周岁之度分也岁已周则黄道周矣而不能踵其星之故处非岁有不满之度分也星自移而东耳譬之太阴二十七日有奇即周天其不能逐及于日者日自行二十馀度耳乃以三百六十五度二千五百七十五分为周天是并其移动之一百五十分亦算在周天之内则二十八宿之度不溢出一百五十分乎又岁实有平有汎论平岁实只有三百六十五万二千四百二十一分八十七秒五十微而当时以汎岁实定为岁周则又多出三分一十二秒五十微矣论正法当即以岁周为周天以三百六十五度二千四百二十一分八十七秒五十微分隶之于二十八宿别以今率恒星每岁东行五十一秒变为日度之分秒微以为岁差始尽善无弊当时最卑行与恒星行两窍未启是以立法甚难此不可不原其情亦不可不知其有未当处也
　　论历法随时修改
　　历取象于革久之不能不改非久亦不能改各平行率有积之数十年微觉其差而即改者〈如最卑行〉有通前后数百年或千馀年测准之度分用以相距定为平行其尾数或有未真必甚久而后可改者〈如七政平行〉有前人立法未精改之而加密者〈如日食加时东西差昔以午正为限后改用黄平象限近又以白道算定交角〉有前人用法稍烦改之而径捷者〈如六曜求初均昔用平三角今直角算〉若夫黄赤相距之纬古阔而今渐狭太阳本轮均轮之半径古大而今渐小此二差出于常理之外前不知若何而始后不知若何而极非法之所能驭惟随时密测改表以合天行耳
　　黄赤相距西史第谷测得二十三度三十一分半今测得二十三度二十九分三十秒〈康熙五十三年台官密测立表今又当稍减矣〉太阳本轮均轮两半径并昔用十万分之三千五百八十四或以一千万为本天半径则为三十五万八千四百一十六日躔加减差表三宫九宫初度其均度二度三分一十秒平春分与定春分相距二日一小时有奇而今平春分与定春分相距一日二十二小时弱则最大之均度一度五十五分〈比旧约少八分〉本轮均轮两半径合得三十三万五千四百有奇耳
　　黄道为诸道之宗太阳为众曜之君有此二差则六曜之出入于黄道离合于太阳者亦因之而小有改变
　　两半径虽改算太阳均度旧表亦可借用〈以三五八四为一率旧表均数化秒为二率今改三三五四有奇为三率求得四率为秒以度分收之为今时加减均数〉
　　数学卷一