数学 (四库全书本)/卷5

数学　卷五

　　钦定四库全书
　　数学卷五
　　婺源江永撰
　　七政衍
　　〈勿庵先生论七政小轮之动由本天之动七政之动由小轮之动其说极当七政中月尤纷错按历象考成五星有三小轮而月更有次均轮不惟次均轮而已且更有负圏是月之小轮独有五也今以七政各轮之左右旋与其带动自动不动之异本先生之说一一衍之且为绘图诸轮了然在目而七政之高下行度亦可知其梗概矣〉
　　太阳诸轮
　　日有本天有本轮有均轮○本天以地为心随宗动天左旋而稍缓故渐右移〈本勿庵先生之说〉○本天右移带动本轮○本轮之心定于本天之上〈亦本勿庵先生说〉其枢左旋带动均轮〈本轮之顶为最高底为最卑轮枢左旋视本天之右移者稍缓因生最高最卑之行〉○均轮之心定于本轮之上其枢右旋带动日○日体定于均轮之上随均轮而右旋均轮旋而日体之上下不变〈别有说见后〉
　　太阴诸轮
　　月有本天有本轮有均轮有负圏有次轮有次均轮○本天以地为心随宗动天左旋而最缓故右移甚速○本天右移带动本轮○本轮之心定于本天之上其枢左旋带动均轮〈本轮之顶为月孛其底为入转轮枢左旋视本天之右移者稍缓因生月孛之行〉○均轮之心定于本轮之上其枢右旋带动负圏〈负圏所以负次轮其心在均轮上并均轮全径与次轮半径为负圏半径〉○负圏之心定于均轮之上其枢不动随均轮而右旋带动次轮〈若无负圏则次轮无为带动者矣〉○次轮之心定于负圏之上随负圏而出入于本轮〈有时在本轮内有时出本轮外〉其周恒与均轮相切〈与五星次轮心在均轮上者异〉其枢左旋〈与土木火三星次轮右旋者异〉带动次均轮〈月独有○次均轮〉次均轮之心定于次轮之上其枢不动随次轮而左旋带动月〈历法西传谓月在次轮上右旋非也○他轮一左旋一右旋则其枢转动惟负圏与均轮同为右旋次均轮与次轮同为左旋是其枢不转动〉○月体定于次均轮之上随次轮与次均轮而左旋〈月在次均轮其详见后〉轮旋而月体之上下不变〈亦说见后〉
　　土木火三星诸轮
　　土木火三星在日之上有本天有本轮有均轮有次轮有绕日圏○本天以地为心随宗动天左旋而差缓各以次第土最缓木次之火次之其右移皆迟〈土约二十九年半一周木约十二年一周火约二年一周〉○本天右移带动本轮○本轮之心定于本天之上其枢左旋带动均轮〈本轮之顶为最高轮枢左旋视本天之右移者稍缓因生最高之行〉○均轮之心定于本轮之上其枢右旋带动次轮〈土木次轮与太阳本天等大惟火星次轮时时不同本轮高而太阳又高者最大本轮卑而太阳又卑者最小二者皆在高卑之中则与太阳本天等大〉○次轮之心定于均轮之上其枢右旋带动星○星体各定在次轮之上随次轮而右旋○次轮亦名岁轮星在岁轮周左旋聨其行迹遂成绕日圆圏〈与各星本天等大火星圏时时不等〉其度左旋〈与次轮右旋之度相应〉
　　金水二星诸轮
　　金水二星在日之下〈论其本天则然因有岁轮与日天等大有时负星出于日上〉亦有本天有本轮有次轮又有伏见轮○本天皆小在日天之内〈本勿庵先生晩年之说旧说即以太阳之天为金水本天〉以地为心随宗动天左旋而稍缓遂右移其右移速于上三星〈金二百二十四日奇周天水八十八日周天亦本勿庵先生说旧说以周次轮为周天〉本天右移带动本轮○本轮之心定于本天之上其枢左旋带动均轮〈本轮均轮皆在日天之下历家以太阳天为本天伏见轮为次轮遂置本轮均轮于太阳天皆假设非本象○本轮之顶为最高轮枢左旋视本天之右移者稍缓因生最高之行〉○均轮之心定于本轮之上其枢右旋带动次轮〈次轮皆与日天等大〉○次轮之心定于均轮之上其枢左旋带动星○次轮亦曰岁轮〈犹上三星之岁轮历家以伏见轮为次轮或曰岁轮勿庵先生非之详见五星纪要愚为发明详见金水发微〉星体各定在岁轮上随之左旋〈上三星在岁轮上右旋金水在岁轮上左旋皆向日也〉○星在岁轮周左旋聨其行迹亦成绕日之轮为伏见轮〈与本天等大犹上三星之绕日圏〉其度右旋〈与岁轮左旋之度相应〉
　　七政诸轮起点行度
　　七政本天平行皆起冬至点
　　太阳本轮起最卑点为初宫初度顺布十二宫最高点为六宫初度〈因今时最卑点近冬至遂以此为始〉○太阳均轮起最近点〈谓最近于本轮心即均轮之顶在最高时为均轮之底〉即最卑最高时日体所在其度恒以两度当一度本轮左旋一度均轮右旋两度本轮左旋一象限均轮右旋半周日在最远之点〈谓最远于本轮心〉本轮左旋半周均轮右旋一周复于最近点太阴本轮起最高点为初宫初度即月孛所在〈中法以孛对冲为月入转是起最卑西法起月孛〉顺布十二宫最卑点为六宫初度〈即古法入转〉○太阴均轮起最近点〈谓最近于本轮心最高时为轮底最卑时为轮顶〉即最高最卑时次轮最近点所到其度亦以两度当一度本轮左旋半周均轮右旋一周○太阴次轮朔望起最近点〈此最近点谓最近于均轮心〉与均轮边相切〈他星次轮心在均轮周月次轮独与均轮相切而轮心在负圈上〉又为次均轮心所到其度亦以两度当一度本天右旋月离日一度则次轮左旋两度〈回历谓之倍离度○左旋者左旋于负圈之上〉次均轮心遂至其处两左旋半周次均轮心在最远〈谓最远于均轮心〉此轮惟顺布六宫朔至望一周望后复起初宫○太阴次均轮月体在其上从轮心出线距地心〈惟最高最卑两点无初均此线正其馀皆是斜线〉作十字线于轮面〈距线正则十字线皆正距线斜则十字线皆斜〉朔望时月体当线上常在其下两时月体当线上常在其上朔与望间〈初四初五十八十九〉月体常在十字横线之左〈东方〉望与朔间〈十一十二廿六廿七〉月体常在十字横线之右〈西方〉亦一月而两周○土木火三星本轮起最高点为初宫初度顺布十二宫最卑点为六宫初度○三星均轮起最近点〈谓最近于本轮心〉即最高最卑时次轮心所到其度亦以两度当一度次轮心在其上本轮左旋半周均轮右旋一周○三星次轮星体在其上与太阳合伏时起轮之顶为初宫初度逆布十二宫冲太阳时在轮之底为六宫初度○三星绕日圏合伏在顶冲日在底与次轮同但顺布十二宫历家不用
　　金水二星本轮起最高点顺布十二宫与上三星同○金星均轮起最近点为最高最卑时岁轮心所到其度亦以两度当一度岁轮心在其上与上三星同○水星均轮起最远点〈谓最远于本轮心即均轮之顶〉为最高时岁轮心所到〈最卑时岁轮心在最近点亦均轮之顶〉其度以三度当一度岁轮心在其上本轮左旋四宫均轮右旋一周本轮一周均轮三周〈七政均轮他皆起最近点倍引数惟水星均轮起最远点三倍引数〉○金星次轮本是岁轮星体在其上合伏时起轮之顶顺布十二宫历家不用○金水伏见轮本是岁轮上星行之迹所成历家用之合伏时起轮之顶为初宫初度逆布十二宫冲日在轮之底为六宫初度
　　日月体上下有定
　　日在均轮上月在次均轮上虽随轮转〈日右转月左转〉而日月之本体上下有定盖其底恒对地心也日之转动与否不可见而月则有黑影〈西人谓之月驳〉恒定不易则日体亦常定可知五星当亦然
　　甲为地心乙丙丁为本天界戊己庚辛为本轮壬癸为均轮子为日体在均轮上○庚为最卑〈亦曰高冲〉戊为最高此设均轮在最卑〈初宫〉则日体在子若到三宫〈辛点〉则日体当丑到最高〈六宫〉则日体在卯到九宫〈已点〉则日体当寅
<子部,天文算法类,推步之属,数学,卷五>甲为地心乙丙丁为本天界寅戌申酉为本轮壬子癸丑为均轮癸未辰午为次轮亥卯为次均轮戊庚己辛为负圈○寅为最高〈即月孛〉申为最卑此设均轮心在最高〈初宫〉则次轮与均轮相切于癸又设当朔望时癸即次均轮心所到而月体在卯若均轮到三宫〈戌点〉则次轮与均轮相切于心均轮在最卑〈六宫〉则次轮与均轮相切于角均轮到九宫〈酉点〉则次轮与均轮相切于房丙至氐初均减度之最大丙至亢初均加度之最大者也若均轮到三宫又当两时则月体在斗视度在牛均轮到九宫又当两时则月体在尾视度在箕亢至箕氐至牛二三均加减度之大者也〈月有诸轮行度最多变态后分十二宫图之〉○本天大于本轮半径约十七倍有奇
　　月本轮初宫图
　　次均轮行于次轮不能遍图每一图以四为率上次均轮朔望时○右次均轮朔望间下次均轮上下时○左次均轮望朔间








　　子斗丑为本天界丙寅辰卯为未轮轮心在斗设当轮最高〈丙点〉为初宫初度则均轮〈庚牛丁女〉心在丙而负圈〈辛癸甲壬〉之心在庚次轮〈丁牛未申〉丁点与均轮相切如其正当朔望也则次均轮〈戊乙〉心在次轮均轮相切之处〈丁〉而月体在乙〈次均轮之底〉此时无加减度从丙乙斗辰巳线直下至地心〈线长不能图只图其上截后仿此〉为次轮最近点距地心线减去次均轮半径〈丁乙〉为月距地心线○如其行至朔望之间〈初四初五十八十九〉则次均轮〈角酉〉心到午午奎亥为轮心距地心线奎斗其减度〈次均〉月体在酉酉壁戌为距线奎壁其加度〈三均〉壁斗则减定度也○如其行至上下则次均轮〈房心〉心到未月体在房与朔望距地心线合为一〈惟乙房为月体相距之差〉亦无加减度○如其行至望朔之间〈十一十二廿六廿七〉则次均轮〈亢氐〉心到申申危箕为轮心距地心线危斗其加度〈次均〉月体在氐氐室尾为距线危室其减度〈三均〉室斗则加定度也○凡诸直线皆下至地心









　　本轮心在本天甲房为最高设本轮行一宫则均轮心到未〈房未三十度〉负圈心在申〈从房至申六十度〉次轮与均轮相切于丁〈求丁点之法先作甲乙丙勾股形以正比例求得乙丙三因之即丁点所在丙丁弧六十度倍于庚未丙丁其通〉丁酉寅为次轮最近点距地心线酉甲其减度〈初均〉朔望次均轮心在丁月体在癸丁癸酉寅与初均距线合为一故朔望无次均加减〈后仿此〉朔望间次均轮心在己巳戌午为距线酉戌其减度〈次均〉月体在庚庚亥辰为距线亥戌其加度〈三均〉亥酉为二三均减度亥甲减定度也上下次均轮心在辛角辛巳为距线角酉其减度〈次均〉月体在壬壬辛巳距线与次均同故上下即以次均为三均〈后仿此〉角甲减定度也望朔间次均轮心在戊氐戊丑为距线氐酉其加度〈次均〉月体在子亢子卯为距线亢氐为减度〈三均〉亢酉为二三均减度亢甲减定度也










　　本轮心在本天甲亢为最高设本轮行二宫则均轮心到辛〈亢壬辛六十度〉负圈心在角〈从尾至角一百二十度〉次轮与均输相切于丁〈求丁点作甲乙丙勾股形以正比例求得乙丙三因之为乙丙丁弧一百二十度倍于亢辛丙丁其通〉丁亥卯为次轮最近点距地心线亥甲其减度〈初均〉朔望次均轮心在丁月体在癸无次均朔望间次均轮心在戊戊丑未为距线丑亥其减度〈次均〉月体在子子氐辰为距线氐丑其加度〈三均〉氐亥为二三均减度氐甲为减定度上下次均轮心在巳巳酉申为距线酉亥其减度〈次均〉月体在房同次均酉申减定度也望朔间次均轮心在庚戌庚心为距线戌亥其减度〈次均〉月体在寅午寅巳为距线午戌其减度〈三均〉午亥二三均减度午甲减定度












　　本轮心在本天甲未为最高设本轮行三宫均轮心到丙〈未氐丙九十度〉负圈心在乙〈从丁历氐至乙一百八十度〉次轮与均轮相切于丁〈甲乙丙丁为直线无勾股甲乙亦三倍于甲乙乙心丁弧一百八十度倍于未丙乙丁为均轮全径〉丁亢丑为距线亢甲其减度〈初均〉朔望次均轮心在丁月体在辛无次均朔望间次均轮心在戊戊酉卯为距线酉亢其减度〈次均〉月体在壬壬申寅为距线申酉其加度〈三均〉申亢为二三均减度申甲减定度也上下次均轮心在己巳戌午为距线戌亢其减度〈次均〉月体在癸同次均戌甲减定度也望朔间次均轮心在庚亥庚辰为距线亥亢其减度〈次均〉月体在子角子巳为距线角亥其减度〈三均〉角亢为二三均减度角甲减定度也













　　本轮心在本天甲癸为最高设本轮行四宫均轮心到子〈癸房子一百二十度〉负圈心在辛〈从壬历丁丙至辛二百四十度〉次轮与均轮相切于丁〈求丁点作甲乙丙勾股形以正比例求得乙丙三因之为乙丁丙辛壬丁弧二百四十度倍于癸房子丙丁其通〉丑丁寅为次轮最近点距地心线上至本天丑丑甲其减度〈初均〉朔望次均轮心在丁月体在心无次均朔望间次均轮心在戊戊卯辰为距线卯丑其减度〈次均〉月体在己巳午未为距线午卯其加度〈三均〉午丑为二三均加度午甲减定度也上下次均轮心在己巳申酉为距线申丑其减度〈次均〉月体在尾同次均申甲减定度也望朔间次均轮心在庚庚亥为距线戌丑其减度〈次均〉月体在角亢角氐为距线亢戌其减度〈三均〉亢丑二三均减度亢甲减定度也












　　本轮心在本天甲子为最高设本轮行五宫均轮心到壬〈子尾壬一百五十度〉负圈心在辛〈从癸历丁丙至辛三百度〉次轮与均轮相切于丁〈求丁点作甲乙丙勾股形求得乙丙三因之为乙丁丙辛癸丁弧三百度倍于子尾壬丙丁其通〉丁申为次轮最近点距地心线上至本天午午甲其减度〈初均〉朔望次均轮心在丁月体在未无次均朔望间次均轮心在戊戊丑寅为距线丑午其加度〈次均〉月体在卯卯辰巳为距线辰丑其加度〈三均〉午辰为二三均加度辰甲减定度也上下次均轮心到己巳酉戌为距线酉午其减度〈次均〉月体在亥同次均酉甲减定度也望朔次均轮心到庚角庚亢为距线角午其减度〈次均〉月体在氐房氐心为距线房角其减度〈三均〉房午二三均减度房甲减定度也












　　本轮心在本天甲乙为最高设本轮行六宫均轮心到丙〈乙亥丙一百八十度〉负圈心在辛〈从辛历角丁亢至辛一周〉次轮均轮相切于丁〈均轮心在最卑无勾股形从丁历亢辛角至丁一周倍于乙亥丙〉丁辛癸为次轮最近点距地心线上至本天甲为一直线无初均加减度朔望次均轮心在丁月体在壬同一直线亦无次均度朔望间次均轮心在戊子戊丑为距线子甲其加度〈次均〉月体在寅卯寅辰为距线卯子其加度〈三均〉卯甲二三均加度即加定度也上下次均轮在巳月体在午与朔望同一直线亦无次均望朔间次均轮心在庚未庚申为距线未甲其减度〈次均〉月体在酉子酉戌为距线子未其减度子甲二三均减度即减定度也













　　本轮心在本天甲辛为最高设本轮行七宫均轮心到子〈辛丑子二百一十度〉负圈心在壬〈从癸右旋一周复至壬六十度〉次轮与均轮相切于丁〈作甲乙丙勾股形求得乙丙三因之为乙丁从丙右旋一周复至丁六十度丙丁其通〉丁卯寅为次轮最近点距地心线上至本天午午甲其加度〈初均〉朔望次均轮心在丁月体在卯无次均朔望间次均轮心在戊辰戊巳为距线辰午其加度〈次均〉月体在未申未酉为距线申辰其加度〈三均〉申午二三均加度申甲加定度也上下次均轮心到巳巳亥角为距线亥午其加度〈次均〉月体在戌同次均亥甲加定度也望朔间次均轮心到庚庚亢氐为距线亢午其减度〈次均〉月体在房房心尾为距线心亢其减度〈三均〉心午二三均减度心甲加定度也












　　本轮心在本天甲辛为最高设本轮行八宫均轮心到癸〈辛壬癸　百四十度〉负圈心在子〈从丑右旋一周复至子一百二十度〉次轮与均轮相切于丁〈作甲乙丙勾股形求得乙丙三因之为乙丁从丙右旋一周复至丁一百二十度丙丁其通〉丁寅辰为次轮最近点距地心线上至本天卯卯甲其加度〈初均〉朔望次均轮心在丁月体在寅无次均朔望间次均轮心到戊午戊未为距线午卯其加度〈次均〉月体在申酉申戌为距线酉子其加度〈三均〉酉卯二三均加度酉甲加定度也上下次均轮心到巳巳亥亢为距线亥卯其加度〈次均〉月体在角同次均亥甲加定度也望朔间次均轮心到庚庚房心为距线房卯其加度〈次均〉月体在氐氐斗尾为距线斗房其减度〈三均〉斗卯二三均减度斗甲加定度也












　　本轮心在本天甲壬为最高设本轮行九宫均轮心到丙〈壬辛丙二百七十度〉负圈心在乙〈从丁右旋一周复至乙一百八十度〉次轮与均轮相切于丁〈甲乙丙丁为直线无勾股甲丁亦三倍于甲乙乙右旋一周复至丁一百八十度乙丁其通〉丁子丑为次轮最近点距地心线子甲其加度〈初度〉朔望次均轮心在丁月体在癸无次均朔望间次均轮心在戊亢戊辰为距线亢子其加度〈次均〉月体在寅午寅未为距线午亢其加度〈三均〉午子二三均加度午甲加定度也上下次均轮心到己巳申酉为距线申子其加度〈次均〉月体在房同次均申甲加定度也望朔间次均轮心到庚庚卯氐为距线卯子其加度〈次均〉月体在戌戌角亥为距线角卯其减度〈三均〉角子二三均加度角甲加定度也












　　本轮心在本天甲辛为最高设本轮行十宫均轮心到癸〈辛壬癸三百度〉负圈心在丑〈从子右旋一周复至丑二百四十度〉次轮与均轮相切于丁〈作甲乙丙勾股形求得乙丙三因之为乙丁从丙右旋一周复至丁二百四十度丙丁其通〉丁卯辰为次轮最近点距地心线卯甲其加度〈初均〉朔望次均轮心在丁月体在寅无次均朔望间次均轮心到戊午戊未为距线午卯其加度〈次均〉月体在申酉申戌为距线酉午其加度〈三均〉酉卯二三均加度酉甲加定度也上下次均轮心到巳角巳氐为距线角卯其加度〈次均〉月体在亢同次均角甲加定度也望朔间次均轮心到庚庚心房为距线心卯其加度〈次均〉月体在尾尾斗箕为距线斗心其减度〈三均〉斗卯二三均加度斗甲加定度也












　　本轮心在本天甲氐为最高设本轮行十一宫均轮心到尾〈氐房心尾三百三十度〉负圈心在斗〈从箕右旋一周复至斗三百度〉次轮与均轮相切于丁〈作甲乙丙勾股形求得乙丙三因之为乙丁从丙右旋一周复至丁三百度丙丁其通〉丁壬癸为次轮最近点距地心线壬甲其加度〈初均〉朔望次均轮心在丁月体在辛无次均朔望间次均轮心到戊申戊酉为距线申壬其减度〈次均〉月体在子戌子丑为距线戌申其加度〈三均〉戌壬二三均加度戌甲加定度也上下次均轮心到己卯己寅为距线卯壬其加度〈次均〉月体在辰同次均卯甲加定度也朔望间次均轮心到庚庚午未为距线午壬其加度〈次均〉月体在亥亥亢角为距线亢午其减度〈三均〉亢壬二三均加度亢甲加定度也












　　甲为地心乙丙丁为太阳本天诸星次轮半径与之等戊己庚为火星本天辛壬癸子为火星次轮辛合伏癸冲日轮之下割入太阳本天
　　丑寅卯为木星本天辰巳午未为本星次轮辰合伏午冲日
　　申酉戌为土星本天亥角亢氐为土星次轮亥合伏亢冲日
　　诸星皆有本轮均轮而次轮高下时时不同此设次轮心在平处图其大槩后分图以见之















　　甲为地心乙丙丁为太阳本天壬子癸为土星本天戊巳庚辛为本轮午未为均轮丑卯寅辰为次轮○戊为最高庚为最卑设均轮在最高〈初宫〉则次轮心在未如合伏星在丑冲日星在寅次轮三宫星在卯九宫星在辰○均轮心在最卑〈六宫〉则次轮冲日时星在申○均轮到三宫〈巳点〉而次轮又为九宫则星到酉本天上在戌黄道上视之在氐氐丙其减度○均轮到九宫〈辛点〉而次轮又为三宫则星到亥本天上在角黄道上视之在亢亢丙其加度















　　甲为地心乙丙丁为太阳本天壬癸子为木星本天戊巳庚辛为本轮亢氐为均轮丑卯寅辰为次轮○戊为最高庚为最卑设均轮在最高〈初宫〉则次轮心在氐如合伏星在丑冲日星在寅次轮三宫星在辛九宫星在巳○均轮心在最卑〈六宫〉则次轮冲日时星在酉○均轮到三宫〈巳点〉而次轮又为九宫则星到巳本天上在未黄道上视之在戌戌丙其减度○均轮到九宫〈辛点〉而次轮又为三宫则星到午本天上在申黄道上视之在亥亥丙其加度



















　　甲为地心乙丙丁为太阳本天戊己庚为火星本天壬子癸丑为本轮卯午为均轮寅辰申未为次轮○壬为最高癸为最卑设均轮在最高〈初宫〉则次轮心在午如合伏星在寅冲日星在申次轮三宫星在辰九宫星在未○均轮星在最卑〈六宫〉则次轮冲日时星在寅○次轮近太阳天留际加减度大均轮到三宫〈子点〉而次轮又为留顺之际星至酉本天在戌黄道上视之在亥亥丙其减度均轮到九宫〈丑点〉而次轮又为留退之际星至角本天上在亢黄道上视之在氐氐丙其加度○房心为次轮割入太阳天处○火星次轮半径时时不等此图其大小之中者○五星皆以太阳为心如磁石之引针但土木金水以太阳本轮之心为心而火星独以太阳实体为心次轮虽与日天等大而半径时时不同算法置本星于最卑兼太阳高卑算之得数加于最卑之数即次轮半径之数所以然者何也火与日同类故其精相摄也












<子部,天文算法类,推步之属,数学,卷五>
　　甲为地心乙戊己辛为太阳本天〈即黄道历家用伏见轮借为金星本天〉庚子癸壬为星本天寅酉卯未为岁轮亢为本轮角为均轮最高时岁轮心在均轮之底合伏星在寅退合星在申两留际星当黄道之亥戌○本轮均轮设于本天岁轮心在其上本象也星在岁轮周成绕日圆象为寅辰申午伏见轮亦设本轮〈丙〉均轮〈丁〉于其上最高时伏见轮心在均轮之底星行伏见轮与岁轮不殊〈详金水发微〉

















　　甲为地心乙卯丑寅为太阳本天〈历家借为水星本天〉戊癸庚辛为星本天午己子辰为岁轮己为本轮壬为均轮最高时岁轮心在均轮之顶合伏星在午退合星在未两留际星当黄道之戌亥○星在岁轮周成绕日圆象为〈午申酉未〉伏见轮亦设本轮〈丙〉均轮〈丁〉于其上最高时伏见轮心在均轮之顶星行伏见轮与岁轮不殊〈详见金水发微〉

　　数学卷五