新法算书 (四库全书本)/全览3

新法算书　全览3



　　钦定四库全书
　　新法算书卷六十二　　　明　徐光启等　撰恒星出没表卷上
　　算近黄道四十五大星斜升斜入并在中各节气时刻原法
　　先查本地各节气太阳斜升斜入度及半昼弧并赤道经度〈各有本表〉次查各星经纬表中所载赤道经纬度分依三角形算各星所得各节气斜升斜入并在中度如图设辛癸壬圏线为子午圏己庚为赤道辛壬为地平各半
　　圏二赤极在癸今设一星在乙距赤
　　道北以甲乙弧当求甲丙为斜正差
　　度〈乙星于正球必与赤道甲点同出没今于斜球不然乃同丙点出没〉或星在戊距赤道南以丁戊弧应求
　　丁丙为斜正之差度〈因星正与丁今斜与丙同出故〉法依甲乙丙或依丁戊丙三角形推算盖形内有甲与丁皆直角其丙角为本地赤道高度左右必等甲乙与丁戊皆为本星赤道纬度乃求甲丙或丁丙为斜正差度法全数与甲乙丁戊〈星赤纬度〉之切线若丙角〈赤道高度如顺天府五十度○五分是〉之馀切线与甲丙丁丙〈斜正差度〉之正查八线表所得度纬北于本星赤经内减之得斜升〈不及减星经内加全周减之后仿此〉加于赤经得斜入纬南加得升减得入
　　假如角宿南星赤经为一百九十六度二十六分在纬南九度○九分求甲丙斜正之差法全数与甲乙之切线一六一○七若丙角之馀切线八三六六二与甲丙之正一三四七五查八线表得七度四十五分为甲丙因星纬在南以本星赤经一百九十六度二十六分加甲丙七度四十五分共得二百○四度一十一分为斜升度复于星经内减甲丙馀一百八十八度四十一分为斜入度以此斜升斜入度为各节气所用之公度任指太阳在某节气依法可求本星出入及在中时刻设太阳躔鹑首初度为夏至依京师北极出地度查太阳本表鹑首初度得太阳斜升六十八度三十四分斜入一百一十一度二十六分其半昼弧为一百一十一度二十六分赤经为九十度○分〈如无太阳斜升入等表即依前图推算法与前同但定半画弧其斜正差度应加或减于一象限后乃得于甲己或丁庚弧是若正升度即设己庚为赤道辛壬为黄道则全数与二道最相距之馀考若太阳躔点距二道交处之切线与正升度之切线或三角形内甲或丁直角与丙角之馀若丙乙与丙甲或丙戊与丙丁得丙甲丙丁皆正升度弧是也〉则以此公数求本星斜出时法以本星斜升度二百○四度一十一分内减太阳斜升度六十八度三十四分馀一百三十五度三十七分所馀度再减半昼弧一百一十一度二十六分实馀二十四度一十一分查赤道变时表应一时〈小时〉三十七分从午正起算得未正二刻○七分〈每十五分为一刻〉为角宿夏至出地之时刻若求本星在中时法以太阳赤经九十度内减本星赤经一百九十六度二十分因不及减于太阳赤经内加全周共得四百五十度内减星经度馀二百五十三度三十四分变时得一十六时五十四分从午正前逆数应戌初初刻○六分为角宿夏至在中之时刻若求本星斜入时法以本星斜入度一百八十八度四十一分内减太阳斜入一百一十一度二十六分馀七十七度一十五分再加半昼弧共得一百八十八度四十一分变时得一十二时三十五分从午正起算应子正二刻○五分为角宿夏至入地之时刻馀仿此
　　查表求二十四节气昏旦中星法
　　欲考各节气昏旦中星必先定太阳各节气昏旦时刻〈有本表〉次简恒星出没表内本节气各星之在中时刻有与太阳之昏旦时刻相合者即为本节气昏旦中星时刻推之任何时刻可知某星在子午之中反之若某星在中亦可定为某时某刻例如左
　　假如京师春分节昏刻为戌初二刻五分查本恒星出没表春分之在中者得戌初一刻八分为北河第三星即春分昏刻之中星旦刻为寅正一刻十分查表得寅正一刻八分为尾宿距星即春分旦刻之中星也馀仿此
　　北京各节气昏旦时刻表〈北极高四十度〉







<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十二>








　　春　分　　　　　　　清　明
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　　雨　　　　　　　立　夏
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十二>








　　　雨　　　　　　　立　夏
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　小　满　　　　　　芒　种
　　星　　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十二>








　　小　满　　　　　　　芒　种
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　夏　至　　　　　　小　暑
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十二>








　　夏　至　　　　　　　小　暑
　　星　　　出　　中　　入　　出　　中　　入














　　大　暑　　　　　　　立　秋
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十二>








　　大　暑　　　　　　　立　秋
　　星　　　出　　中　　入　　　出　　中　入






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十二>








　　处　暑　　　　　　白　露
　　星　　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十二>








　　秋　分　　　　　　　寒　露
　　星　　　出　　中　入　　出　中　入






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十二>








　　霜　降　　　　　　　立　冬
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十二>








　　霜　降　　　　　　立　冬
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　小　雪　　　　　　大　雪
　　星　　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十二>








　　小　雪　　　　　　大　雪
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　冬　至　　　　　　小　寒
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十二>








　　冬　至　　　　　　小　寒
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　大　寒　　　　　　　立　春
　　星　　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十二>








　　雨　水　　　　　　　惊　蛰
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十二>

















　　新法算书卷六十二
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>



　　钦定四库全书
　　新法算书卷六十三　　　　明　徐光启等　撰
　　恒星出没表卷下
　　列表不及他省者因逐处推求别有简法〈如星球等器可考〉而依原法算止就一二可槩其馀故首举京师次考南都彼此互证用法俱同
　　南京各节气昏旦时刻表〈北极高三十二度〉









<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十三 >








　　春　分　　　　　　清　明
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十三 >








　　春　分　　　　　　　清　明
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　糓　雨　　　　　　　立　夏
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十三 >








　　糓　雨　　　　　　　立　夏
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　小　满　　　　　　芒　种
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十三 >








　　小　满　　　　　　芒　种
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　夏　至　　　　　　小　暑
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十三 >








　　夏　至　　　　　　　小　暑
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　大　暑　　　　　　　立　秋
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十三 >








　　大　暑　　　　　　立　秋
　　星　　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　处　暑　　　　　　　白　露
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十三 >








　　处　暑　　　　　　白　露
　　星　　　出　　中　　入　　　出　中　　入














　　秋　分　　　　　　　寒　露
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十三 >








　　秋　分　　　　　　　寒　露
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　霜　降　　　　　　立　冬
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十三 >








　　霜　降　　　　　　立　冬
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　小雪　　　　　　　大　雪
　　星　　　出　　中　　入　　　出　中　　入






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十三 >








　　小　雪　　　　　大　雪
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　冬　至　　　　　　　小　寒
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十三 >








　　冬　至　　　　　　　小　寒
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　大　寒　　　　　　立　春
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十三 >








　　大　寒　　　　　　立　春
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　雨　水　　　　　　　惊　蛰
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入














　　雨　水　　　　　　　惊　蛰
　　星　　出　　中　　入　　　出　　中　　入






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷六十三 >

















　　新法算书卷六十三



　　钦定四库全书
　　新法算书卷六十四　　　明　徐光启等　撰交食历指卷一
　　或问日月薄蚀是灾变乎非灾变乎若言是者则躔度有常上下百千万年如视掌耳岂人世之吉凶亦可以筹算穷也若言否者则古圣贤戒惧修省又复何说曰灾与变不同灾与灾变与变又各不同如水旱虫蝗之属伤害民物者灾也日月薄蚀无患害可指然以理揆之日为万光之原是生暄燠月为夜光之首是生湿润大圜之中惟是二曜相资相济以生万有若能施之体受其蔽亏即所施之物成其阙陷矣况一朔一望两光盛长受损之势将愈甚焉是谓无形之灾不可谓非灾也夫晕珥彗孛之属非凡所有者异也交食虽躔度有常推步可致然光明下济忽焉掩抑如月食入景深者乃至倍于月体日食既者乃至昼晦星见嘻其甚矣是则常中之变不可谓非变也既属灾变即宜视为谴告侧身修省是以有修德正事之训有无敢驰驱之戒兢业日慎犹惧不塈矣曰既称灾变凡厥事应可豫占乎可豫备乎曰从古历家不言事应言事应者天文也天文之学牵合傅会傥过信其说非惟无益害乃滋大欲辨真伪总之能言其所以然者近是如日月薄蚀宜论其时论其地论时则正照者灾深论地则食少者灾减然月食天下皆同宜专计时日食九服各异宜并记地矣迨于五纬恒星其与二曜各有顺逆乖违之性亢害承制之理方隅冲合之势为其术者一一持之有故然以为必然不爽终不可得也惟豫备一法则所谓灾害者不过水旱虫蝗疾疠兵戎数事而已诚以钦若昭事之衷修勤恤顾畏之实过求夙戒时至而救之者裕如则所谓天不能使之灾又何必征休咎于梓禆问祲祥于京翼乎然则星历之家概求精密尤勤于交食者何也曰太阴去人最近饶有视差凡人目所见人器所测则视度而已其实行度分非人可见非器可测必以食甚时知为定望与日正相对从是知其实度从是知其本行自馀行度渐可推算也又因月食知地景为角体之形月体过之其距地同而入景之浅深不同可推日在其本天行与地为不同心也又因日食推月距地时时不等知其有本轮有次轮也又兼以日月食推日月体之小大及日月距地之远近也别有度地之学因月食可推地在天之最中其四周皆以天为上人则环居地面也又因月食知地景为圆体而居东者渐远渐后见食即非月食以地为先后特因各所见之时刻为先后也因以推地为圆体而水附于地合为一球也又以月食与子午线相距远近知诸方之地经度也若泯薄蚀于二曜即造历者虽神明默成无所措其意矣是则交食者密术之所繇生故作者述者咸于此尽心焉今撰历指有合论有分论月食术稍简以附合论之末日食颇繁釐为别卷诸立成表以类从之谨列条目如左界说　七章
　　凡物体能隔他物之象使不至目则为暗体若以体之一面受光而光复透射出于彼面则为彻体〈如玻瓈水精是也〉目所司存惟光惟色而色又随光发见故解彻体必以通光解暗体必以其能隔他象如月掩日而日全食昼为之晦恒星皆见尔时太阳在外体质明显又坚密无比光力甚厚乃为月体所隔不能映见微光可证月乃全非彻体而全为暗体　彻体有二通明之极全无隔碍者为甚彻虽则透光而微杂昏𫎇者为次彻
　　光在本体为原光其出而显他物之象为照光　日有原光地与月皆借之为光者照光也谓显他物之象者因他物之势随施随受有原先后无时先后也非如寒热燥湿之类渐及于物力尽而止
　　原光以直径发照为最光因而旁及者为次光　日光正照以直线至于物体则为最光有物隔之旁周映射则生次光如云之上日体所照最光也云之下不复见日而犹有光是次光也
　　满光者原光之全体所发少光者原光之半体所发　日未全出地平上所生光为少光全昇在上则生满光日食时未全食则存少光既以复圆即得满光
　　景之四周有最光绕之即景为次光　以景为明者误也以影为暗者亦误也称景为明暗之中庶几近之盖全无光乃为暗今至夜子初人在地景至深之中去最光极远而近目之物尚能别识即见景中犹存微光不失为次光也
　　最光所不及为初景次光所不及则为次景　　景与光并行光渐微景渐厚故次景与最光相反若初景即次光也
　　最光全不及之处则为满景若受正照之微光即为缺景满景与光正相反无景之极则为满光无光之极则为满景假如甲乙为施光之物丙为暗球从甲出正照之
　　光过丙球左右其切丙之界者得甲戊及
　　甲己从乙出光又得乙戊及乙丁其庚戊
　　辛为最光全不及之处则满景也若庚戊
　　辛戊以外则甲乙光体之多分渐照之至乙丁甲己乃全光之界即自戊至丁至己丙球之景渐薄以趋于尽矣太阳光照月及地第一
　　日月地三球体大小不等地为静体日月则有诸种行度则有高庳内外其去地去人远近不等法当以大小之比例及其相远相近之比例推其施光受光之体势乃得景之体势因而得交食之体势盖交食者生于景景生于光不寻其本而求其末无法可得其说五章
　　一曰有两球于此一为暗体一为明体而小大等即明者以半面施光暗者以半面受光　如图甲为明球乙为暗球小大等即其径丙丁及戊己各与甲乙线为直角
　　而丙丁与戊己等即甲丙甲丁
　　乙戊乙己与甲庚乙辛皆以半
　　径相等而丙庚丁半球与戊辛
　　己半球亦相等今于明球之旁从丙从丁出两切线至暗球之旁戊己戊己与丙丁为平行线即丙戊与丁己亦平行线也〈见几何一卷三十三题〉　又因丙戊乙及丁己乙俱为直角即戊丙甲及己丁甲亦俱直角〈见几何一卷二十九题〉即丙戊丁己线不能割两球而止切两周于丙于戊于丁于己其所抱为丙庚丁为戊辛己是甲乙两球之各半也若日月地三球相等而月与地皆以半面受太阳之光如上所说则定朔日食半地面宜皆见之安得复有南北不等食分望日太阴全食时才食既即生光安得复有食甚时刻及既内分今皆不然可见三球无相等之球
　　二曰明体大暗体小则施光以小半受光以大半　如图
　　甲为明球乙为暗球作两
　　切线为丙己为戊庚从四
　　切点作横线为丙戊为己
　　庚甲既大球即己丙戊为
　　锐角丙己庚角为钝角如
　　曰不然或皆为直角即庚
　　戊丙戊庚己亦皆直角两切线必平行而乙球与甲球等〈见几何一卷二十八题〉必不然也或己丙戊反为钝角而丙己庚反为锐角即两切线不能相交于癸又不然也今以两切线相交于癸明己丙戊为锐角丙己庚为钝角即于丙丁戊弧内作负圏角必钝角矣于己壬庚内作负圏角必锐角矣〈见几何三卷三十一三十二题〉故丙丁戊施光者不及半圏己壬庚受光者又不止半圏也因此推知太阳照地及太阴必各照其大半而暗体所隔之日光渐远又渐敛渐进以趋于一处即景居暗球之背不得不为角体之形矣又因此推求望日先后人目所见太阴受日之光不长不消者久之而后生魄此为何故盖亦因月体以大半受光以小半入于人目光不辄转而魄未遽见故未望时已见全光已望后犹未失全光矣
　　三曰明体小暗体大则施光以大半受光以小半　如前图反论之可明太阴何以照地而地何反隔日之光也
　　四曰大施小受愈相近则施者之小半愈小受者之大半
　　愈大　如图丙为小暗
　　球甲与乙皆大明球作
　　庚未直线过三球心以
　　交于左右切线其乙球之两切线交于午甲球之两切线交于未即庚未长于乙午而庚丁未与乙辛午两角庚丁与乙辛两线皆相等则庚未线与庚丁线之比例大于乙午与乙辛而丁庚未角大于辛乙午角也〈见几何五卷八题〉又庚未线过三球之心必截丁己辛癸两线为两平分而庚甲丁乙子辛两形内之甲与子皆为直角则其馀庚丁两角并乙辛两角并皆等一直角即两并率等〈几何一卷三十二题〉两并率之甲庚丁角大于子乙辛角各减之所存庚丁甲角必小于乙辛子角矣次以庚丁甲及乙辛子不等之两角各减庚丁未及乙辛午相等之两直角所存甲丁未角更大于子辛午角又丁戊己弧内作负圏角必等于甲丁未角辛壬癸弧内作负圏角必等于子辛午角辛壬癸弧之负圏角既小于丁戊己弧之负圏角则辛壬癸弧必大于丁戊己弧〈几何三卷三十一三十二题〉夫辰寅已与辛壬癸相似之弧也丑寅卯与丁戊已亦相似之弧也〈大小圈左右各有切线其切点过分圈之线其所分大小圈分各相似其大小两弧亦相似〉即辰寅已弧亦大于丑寅卯弧可见明球在近比在远者尤能照小暗球之多分也　因此推知日全食而视为大者日体去月体远故也日全食而视为小者日体去月体近故也何以分远近日与月俱有自行圈与地不同心其行于自行圈之上下为最高最庳则为距地之远近因生景之大小也日既全食矣又何以分大小月掩日至既有时昼晦恒星皆见虫飞鸟栖此为全食而大月在日内从中掩蔽虽至食既而其四周日光皆见历家谓之金环此为全食而小矣若然者日与月与地相去或远或近之所繇生也
　　五曰小施大受愈相远则施者之大半加小受者之小半渐大　如图甲乙皆为小明球丙为大暗球乙去丙远
　　于甲作各切线过三球心
　　之直线皆如前次从暗球
　　心丙至各切作丙丁丙
　　已丙庚丙辛各半径得丙丁为丁壬之垂线丙庚为庚癸之垂线而丁与庚皆为直角丙丁与丙庚两线又等
　　则丙癸线与丙庚半径之
　　比例大于丙壬与丙丁而
　　丙庚癸角又大于丙丁壬
　　角也〈几何五卷八题〉依显丙辛癸角亦大于丙巳壬角以并前率为庚丙辛合角亦大于丁丙巳合角而其弧庚戊辛必大于丁戊已可见小明球照大暗球愈远愈照其多分也今依本图设丙为地外切线〈癸辛也〉以内为地景〈日光过丙大球所出景〉甲乙两小球为月体其两小球之小大既等则同以外切线为外光之界或为内景之界惟因月体循本轮行时居上周如乙则去地远时居下周如甲则去地近以是月食之分数有多有寡月居影厚处如甲左右则食多月居影薄处如乙左右则食寡故曰月食有多寡者亦相距或远或近之所繇生也
　　景之处所第二
　　凡光以直线照物体其无光之处则有景之处也欲于交食时求影所在理不异此盖月与地能出景者不在其受光之面或其左右必于受光反对之面日光不照之地在日食则为月景之处在月食则为地景之处矣说二章
　　一曰景与光所居正相反　暗体得光于此面射影于彼面是景之中心与原光之心暗体之心参相对如一直线则暗体隔光于景使原光之心恒居一线之末界其正相反之彼界其景之心在焉如曰不然设原光在甲其照及乙乙为暗体隔光生景据云景不射丙〈丙者与甲正相
　　对之处〉为甲乙丙直线而斜射丁则乙
　　甲丁者角也有角则有几何凡几何
　　皆分之无穷能出直线至于无数而皆至乙丁边夫甲既为原光之体其所照必以直线出之〈试诸仪器足以为证〉即乙丁皆在受光之地何自能为乙暗体之景乎因此明景与光正在相反之两界论暗体者其受光之面必向光所出之原界其生景之面必向景所射之彼界亦正相反也论日与月独至两交之处而有食亦依此理
　　二曰明暗两体任一运动景随之移　试以暗体移动其所借之光随处不一即所生之景亦随处不一盖景与光既如一直线即暗体所居定为景之末界如直线之首首移而线尚不移则是曲线非直线也又试以明体移动设甲为明体乙为暗体乙丙为影则甲乙丙如一
　　直线如曰明体甲移至丁丁仍
　　照乙而乙尚射景至丙则丁乙
　　丙犹直线也有是理乎
　　问太阳照室仅通隙光光照墙壁奕奕颤动太阳既自顺行墙隙仍无迁变则此颤动为从何来或者光与景未必定为直线而能微作曲势乎曰西古博物者亚利斯多言空中尝有浮埃轻而不坠微而不显庄周氏谓之野马或亦称为白驹幽室之内原光既微次光反厚即显此物在于光中纷入沓出能乱光景之界使目视景𬘡缊浮动而寔非景动乃景之界线为浮埃所乱致使其然也更以气为证今观太阳出地地面以上多生𫎇气气在日体与人目之间即见日之光界亦如颤动非独日也日中晴朗切视地面光耀闪烁如波浪然炽炭在罏炭之四周火光𤍞𤍞亦如颤动凡若此者一皆繇气而生在日在地在炭固无颤动之理是以景必系于暗体如轮必系于枢轴光上景即下光东景即西必相对也无相就也故太阳照地其光绕地一周则景在其相冲之界亦绕天一周盖日光从其本天直射至于地面而景在地之彼面亦直射至于月天苐日体常依黄道中线则地景亦常依黄道中线而月行常出入黄道中线之内外是以月体与地景不得恒相遇合大都不合时多合时少故日月不食时多食时少以此景之形势第三
　　求食分之几何必先求景之几何景几何者以日月地之大得景之形势以日月地相距之远近分数得景之变易大小分数也此所论则景之形势后考其变易之势得景分以定食分焉凡二章
　　一曰二体相等其影平行而无穷明小暗大其景渐展而无穷　论相等者证以平行之切线也如图甲乙两球
　　等丙己丁戊为两球之切线与
　　两球之径丙丁己戊遇于切点
　　皆为直角则互为平行线又球
　　等即径之长短亦等以遇丙己
　　及丁戊无不为平行线也〈几何一卷三十三题〉若两球之周遭切线无数皆同此论则引之至庚辛以迨无穷终平行终不能相遇而其形为长圆柱之无穷体
　　论明球小于暗球则推以三角形相似之比例也如图乙丙为小明球丁戊为大暗球两球之切线丁乙及戊丙引长之过小球必相遇于甲成甲丁戊三角形又从丁戊底作己庚平行线在大球之外成庚甲己三角形
　　与甲丁戊相似则甲己庚角
　　与甲丁戊角相等其各边各
　　角皆相似而甲丁与丁戊若
　　甲己与己庚也反而更之己庚与丁戊若甲己与甲丁也甲己长与甲丁则己庚亦长与丁戊愈远愈长可见大球之影渐远渐拓矣〈几何六卷四题〉更论丁戊线之内外角则在内者为锐角在外者为钝角故引切线向内过小球必相遇引之向外愈远愈拓终不相遇而其形为无限长无限广之角体又因两球所居远近不同景之张翕随而变易故两球相近即乙丙底线为小其景愈狭而乙甲丙角形愈短两球相远即底线为大其景愈拓而角形愈长也
　　今验诸日食有食分同而所历时刻不同者月景之在地面广狭不同也月与日会月在日与地之间或月近地而日在远则目之见界过月周至日体其界广日过迟其见食时刻多或月远地而日反近则目之见界过月周至日体其界狭日过速其见食时刻少也姑以前图明之目在甲乙丙为月体丁戊为日体切线甲丁及甲戊为目所见之界若日在近为丁戊即从丁过戊道近行速其食时寡若在远为己庚从己过庚道远行迟其食时多皆太阳有不同心圏而太阴又有小轮所繇生也
　　二曰日月地三体大小不同　凡暗体出角景者施光之体必大于暗体否者其光不能照暗体之大半而使其景渐小以趋于尽也试观月食时月体近地则入大景远地则入小景愈远愈小必至于尽安得不信日体大于地体乎设谓日体与地体或等则景宜亦等或小则宜渐大又当皆为无穷之景遇望时月体必不能出大影之外不应有不食之望矣有不食者是地景之益远益锐也月食于地景之中又有全而且久者是月径更小于景而景小于地也地景之远而益锐者是日大于地也此以景理推论三体之小大略可明矣若又以日体之大推月地之景则更有法可考其大小之比例也昔人因太阳照地所生之景及其远近其视径时时不同又以较于他体得其实体之大说见月离历指中此独用视径定食时刻分之数其论实体为景与食之原略举一二如左
　　几何原本论三角形于一边之两界出两线复作一三角形在其内则内形两腰并之必小于相对两腰而后两线所作角必大于相对角如图甲乙为太阳之径丙为目从远视之丁亦为目从近视之此所谓内外两三角形也今先以线论因内形之甲丁乙丁两腰小于相
　　对之甲丙乙丙两腰则所
　　作丁角比相对之两角亦
　　近于共用之甲乙底近则见大故丁目视甲乙日径必见大于丙目所视之甲乙径也次以角论因内两线所作丁角大于相对丙角则此内角所对线亦似大于外角所对线而丁目所见之甲乙大于丙目所见之甲乙也此太阳视径不同之縁也
　　求太阳实体之大第谷设最高最庳之中处得其距地一千一百五十地半径全数十万其半径一十五分三十秒得正四百五十一以三率算法推其全径得地之全径五又七十五之一十四如三百八十九与七十五也又以其径与其周之比例得太阳体之立方五千八百八十六万三千八百六十九地球之立方四十二万一千八百七十五其终数得一百四十弱为太阳大于地之倍数也此其照月照地生角体锐景之原也景之作用第四
　　月与地若各以其景相酬报然如月望则地景隔日光令月不受照有时失满光有时全失光也至月朔则月体隔日光令地不受照有处射满影有处留少光而已说三章
　　一曰月食于地景　月食在望縁日月相对其理明矣独谓暗虚为地景者或致疑焉今解之月对日受光藉非日月之间有不通光之实体为其映蔽则何繇阻日光之直照若天体及空中之火空中之气皆通明透彻不能作障使月失光也即金水二星亦是实体有时居日月之间然其景俱不及地况能过地及月乎则知能掩月者惟有地体一面受光一面射景而月体为借光之物入此景中无能不食半进而半食矣全进而全食矣
　　二曰日食者月掩之　恒言月在内去人近日在外去人远故定朔时月体能掩日光是已苐金水二星亦皆时在日内又皆不通光之实体水星虽小金星则大于月也何独月能食日乎曰二星虽有时在日内则去人甚远远则视径见小不能掩日百分之一二而日光甚盛所亏百之一二非目力所及且二星比月去日更近所出锐角之景更短不能及地面也若月体之大虽不及太白而去地甚近去日甚远一指足蔽泰山又何疑乎由此言之求一实不通光之体全掩日体者惟月为能又自西而东不及三十日而周其行度较于诸天最为疾速故每望定朔皆同经度皆能有食其不食者繇距度不及交耳
　　三曰因景之径生多变易　月以距度广狭为食分多寡一因去交有远有近去黄道中线有正有偏一因入地景有浅有深故也今论其全食者而大小迟疾犹多变易曽非一定盖日在自行本天月在小轮相距远近往往不等日距月近较距远时更照月体之多分从月体出景更短其景至地更小则日虽全食月体见小历时亦速也日与地亦然以两体相距之远近为地景之大小使月食时入于地景在其近末之锐分则暗虚之体见小食分少历时速皆因三体之相距远近以生大小迟疾地景月景皆无一定之径致令随时变易如此若月景地景二径之小大又自不等故日食尽于食既而月则食既以后尚有既内馀分盖地景大于月景故两食皆全其亏复迟疾无能不异矣又月食天下皆同日食则否日食则此地速彼地迟此地见多彼地见少此地见偏南彼地见偏北无不异也月食则凡居地面者目所共见其食分大小同亏复迟疾同经历时刻同唯所居不同子午线者则见食之时刻先后不同耳盖月一入景失去借光更无处可见其光也又槩论天下日食应多于月食为二径折半其近交时加以南北视差易相逮及故论一方则日食应少于月食为月食共见日食因地故〈见后卷详之〉
　　月在景之光色第五
　　月既暗体当全食时一入地景遂应失其借光非复人目可见也盖可见之物悉无原光必借外光以显其象无外光即无从见有此物安从更显物色乎今月居厚影尚有微光可见更发色象或赤色或青黑色或杂色此何从生今略解之凡三章
　　一曰月不独食于地影　论通光者有二体一谓物象遇甚彻之体易于通射比于发象元处更加透明则形若开而散焉一谓物象遇次澈之体难于通射比于发象元处少杂昏暗则形若敛而聚焉其遇甚彻者如舟用篙橹半在水中发象上出出于水面所遇空明气之光甚澈之体也则其象散而斜射视之若曲焉其遇次澈者如太阳入地平下其光照地旁本宜直上乃所遇清𫎇之气次澈之体也则其象合聚而射于地面凡地平以上皆得其次光为朦胧焉〈即昧爽黄昏亦曰晨昏〉此两者皆以一物经繇两体其势曲折皆谓之折照〈若一物在一体之中以一直线入目谓之直照〉夫同是日光也在地面之上能折入于地景之根际则自地面而上何独不能折入于景之中际至月体经行之处乎如图甲为太阳乙为地球藉非清𫎇气能迎太阳之光而成折照则宜从子出光至丙从丑出光至丁切地面径过而复合于庚为地景锐角也今不其然因清𫎇气周绕地球日光至丙至丁遇其次澈之


　　体难于透射则曲而内聚止于戊己地面矣而大圜中大气无不受日之照光光在壬癸者遇于𫎇气即内敛至于卯辰此为初折从卯辰切地而过若遂以直线引之即复合于辛成卯辰辛杂线三角形为地之满影自此以外全景之中皆得太阳折照之光与朦胧次光相类而实为初景能食望月之满光也欲求满景之长姑先依初折之光引直线复出于𫎇气之外〈姑先云者不宜遽引直线也盖初折之光至于卯辰既抵地面又复内敛谓之次折则两线之交尚在辛点之内今云然者姑先明初折之理约定乙辛之数如太阴之言交泛言平朔言本轮也其次折之理次二章详言之求辛点以内之定距率矣〉而借第谷所测清𫎇差与多禄某所定地景角之大得辛辰庚角三十四分〈近地平之气差大率如此〉得卯庚辰全角二




　　十五分三十六秒半之为辛庚辰角一十二分四十八秒其相对之外角乙辛辰为四十六分四十八秒〈辛庚辰辛辰庚相对之两内角并〉次乙辛辰三角形其乙辛辰角既得四十六分四十八秒乙辰辛为切线与垂线所作角必直角此直角与乙辛边如乙辛辰角与乙辰地半径即得乙辛短线长于地半径七十三倍若论地之全景乙庚线尚长三四倍也夫月食于地景必依其景之体势显其食之貌象今全景之中既以地景兼𫎇气之景则并有初景有满景月入于中随其所至变易光色无足异矣或曰从古论食月者全属地景今云不止地景而更加之气景此为全景方之地景不亦愈长愈广乎则从上古以来以地径度月体过景之数以地径定日月之视径以地径较日月之两高以地径求日月之去地远近悉皆乖舛而当更定新率然乎抑否乎曰不然所论𫎇气之景谓太阳之光因于此气能令全景之中分别厚薄变易景中之色象非谓地之径因景而加大也譬如眼镜本无厚之体徒以变易物象显其用耳且气景之于地景亦何能加长加大乎计清𫎇出地之高不能过极高之山极高之山测其垂线不能过千四百步大地之径则三万里以高山之步数化为里数而较地径则五千分之一耳此气之厚何能加于地径而云设此论者有妨于地径测量之法乎
　　二曰月体当食而成赤色是气景所生　月全食时其光色往往更迭变易其初食既与未生光当此二际则成赤色夫月入地景果必失光宜为纯黒不应复显他色今赤色者得无是其本光乎曰次光之物惟无光之处能显其光一遇大光之体则次者之光泯矣今以地景言之月居其甚厚之际即甚远于大光果有自体之光于此尤宜显著乃今测之则在浅见盛在深见微可证食时所见非月体自有之光也故应论定月能食于气景如上所说矣然食时亦能变易诸色何以独言赤色试观太阳下照地面受之论其本然皓明无色日地之间或发昏𫎇之气即地面所见时转为黄时转为赤皆因所遇之气如玻瓈映目色青见青色绿见绿也今日照地旁照光所过清𫎇之气因于斜穿而成厚体月体所显光色尤深成为赤色矣试论其所以
　　视学家有公论凡象斜射次澈之体以垂线为主曲折通之初入则聚折而向于垂线既出则散折而离于垂线也何谓垂线盖于澈体之面过受形之点作线下垂
　　则是折照所向所离之线如图圆
　　体甲戊乙方体甲丁戊皆次澈也
　　当其面有斜照之光在丙至甲点
　　而入至乙点而出则甲丁与丁乙皆为垂线照光至甲点而入必聚而折向于甲丁垂线至乙点而出必又散而折离于乙丁或乙壬垂线若言光至乙点出或不照庚而更照己则是返照之光非折照之光也依此申言上章所推地球满影之长如图太阳之光遇于𫎇气从壬癸折入作壬卯癸辰线为初折又从卯辰折出作卯
　　午辰未线为次折以复合于己别
　　生午己未杂线角形乃因乙己未
　　角生己未辛及己辛未为外两角
　　并之得乙己未内角一度二十○分四十八秒今设从满景之角己出切线至地球辰得乙己辰直三角形则因乙己辰角一度二十○分〈乙己辰角比乙己未角差数甚微略得四十八秒故以算景之长不论为数〉如前比例得地满景之心长于地半径四十三倍比月最庳之入景处近地一十一地半径也〈月最庳入景五十四最高入景五十八〉今图月在景之形势地球为甲乙内圏其四周有气为丙乙圏气外切边之光复合于卯是为全景透气之光自丙至戊因戊以上所照必聚而止于地面无从透达也则光至丙为太阳之外边所照光


　　至戊乃其近中体所照以丙较戊更斜从庚而来入气处更曲从辛来之光己透气而复出更直故令丙丁线割戊己线于壬为丁己壬角形是为次光又为初景其角形周遭为环体抱满景而居全景之中也丁己壬角形既尽于壬而又展开至癸左右相交至丑寅愈远愈拓复出乎影矣则丁己壬以内壬丑寅以内皆初景之

　　所居也因此设月体为子入景正初景展拓之处月食既正在其中将复光亦如之是故两时皆显赤色食甚离于次景入于满景乃变青黒矣
　　三曰月体当食而成青黑色是借光所生　月居食甚之中时显杂色时但青黒皆须因光而见若并无光当纯黑色也前已言既入此界即无太阳入气折照之光则所繇见色者意或月体自有微光乎曰凡杂色之映见皆不繇于纯光纯光自当无色也杂色所从著见者必因湿气居其中间如虹霓是己若虹霓是湿云所映无从可证试以玻瓈瓶满贮清水别为密室止穿一隙以达日光瓶水承隙则光透墙壁亦成虹霓大气之体本是热湿因于地气时重时轻若太阳之光从地旁过而地景在湿气之中则月体所至生种种色亦此理矣若青黑色月在满景多见之则因去光最远所得希微之光不足显其本体故光色近于纯黑果绝无光又不能显此色矣苐所谓希微之光者实非本光如前言人在地景最厚处天光尚映照之近日之物略能别识若月食时则受光之天去月体最为切近而诸星环绕四周皆有借光可照月体较人在地面尚为景之薄处岂得无微光可借聊显色象乎何必假此疑为自有之本光问合朔以后月之下半未受日光而月体微光亦显青黑之色若无本光此光又何从而生曰生明以后魄显微光然能去离月体足知其非本光去离者未至上此光渐消渐不可见也若寔为本光则上下前后深夜视之比朔后之月尚近太阳者尤为窈黑其本光愈宜显著今为不然深夜即无初昏即有其为此时地面反照之光甚易明矣〈此论月为暗体绝无本光与月离历指四卷第二十六所论不同盖西土原有此二说不妨互存之〉
　　日月食有定时第六
　　日月交食皆有定时者在月则因地景在日则因月景景之推移既随日躔所至终古不爽又月行本道所距黄道度分亦有定法是以一在定朔一在定望当食必食多寡先后上下千百世可知也说二章
　　一曰日食恒在定朔月食恒在定望者何也地球在天心故也验诸日食必两曜同居一线而月在地与日之间正隔日光于地又验诸月食令日月不相望于一直线两界之末则终古无食也设地不居天中或偏近于黄道之上下左右则食不在半周而月食之冲非太阳所在矣〈古法以月食冲简知太阳所在〉　如图甲为地从甲心作乙丁丙戊圏为宗动天之地平则甲必为天之心也何者从乙出直线至丙丁至戊亦如之乙为东并为鹑首初度丙为西亦为星纪初度丁
　　为鹑火戊为玄皆初度也则有视学之公论三其一曰目所视物必从直线乃见之使目在甲能遍见乙丁丙戊即甲乙甲丁甲丙甲戊皆直线也其二曰若光从一窥表出能射黄道正相对之两点必为径线此乙丙及丁戊能过甲亦如光过窥表甲能至黄道鹑首星纪等宫正相对之初度则乙丙及丁戊必为本圏之径更试测日月定望时得并在地平此出彼没若距度同即日月略居其一径之两末则乙丙及丁戊为圏径无疑也其三曰凡圏中有多径线交而相分其两分线必等此两径乙丙及丁戊交而相分于甲即甲乙甲丙甲丁甲戊线皆相等又几何一卷第十七三卷第三界说皆言圏中一点所出多直线至其界皆相等即此点定为圏之心今甲点出甲乙甲丙等直线至乙丁丙戊各界诸线皆相等即甲必为本圏之心因此推之地球在天之心甚易明矣
　　二曰食之大小疏密因月距度昔人测日月食必在正中二交月体去交渐远则食分渐少以至无食何也月以本体掩日而日为之食又以本体入于地景而自为食故恒言日月地居一直线之上则食偏则否三球之所以偏者有二一则日体恒行黄道中线地景恒在其正冲度分一则月行常出入黄道中线是故有时不入地景则食与不食皆因月行本道与日与景之距度多寡而已若其距度较日月景之二径折半或大或等者必不食也小则必食也愈小则食愈大也但月与景之二径折半大不大过一度日与月之二径折半止三十馀分耳故两交左右之距度或在阳历或在阴历各有食限不入食限者虽遇朔望无縁相及故一岁之中不能多有食矣即入于食限而去两交有远有近则其距度有广有狭即食分有寡有多相因致然不能齐一也日月食合论第七
　　日食与月食不同势食日谓之障食食月谓之藏食何谓障食日为诸光之宗月与星皆从受光焉月之食日非真食日也定朔则地与月与日自下而上为一线相参直月本暗体今在日与地之间以暗体之上半受光于日以下半射景于地如屏蔽然特能下揜人目而不能上侵日体日之原光自若也是故人见为食而实非食也何谓藏食定望则日月相对日光正照之月体正受之人目正视之若于此际经度相及适及两交日与地与月亦为一线相参直而地在日与月之间地既暗体以其半体受光于日以其半体射景于月若月体全入于景中则纯为晦魄必待出于景际然后苏而生明如没而复出者然是则可谓真食也总之日月两曜若同行一道之上则每朔每望无不食矣日月地三体若并不居一直线则永无食矣惟各行于一道时及于两交故日与月皆隔五月而一食或六月而一食岁岁大率有之不食者半食于夜日食则此方所见他方所不见耳其食也日体恒居一直线之此界其彼界则月体地体叠居焉月居末界即月面之日光食于地景矣地居
　　末界即地面之日光食于月
　　景矣如上图甲为地己为日
　　卯辰圏为黄道乙丙为白道
　　其大距〈两距之最远〉五度弱〈二分〉丁
　　戊为两交〈即龙头龙尾亦名罗㬋计都〉论
　　月食日照地球其光自庚辛
　　至地切两旁过之而复合于
　　壬自甲至壬角体之形为地
　　景地景之心恒随太阳而行黄道中线若躔处去两交远二径折半小于两道之距度分月行本道从旁相过不能建及则不食矣若正遇于两交或交之左右二径折半大于二道之距度分则两相涉入月为之食其食分多寡在距度广狭距度广狭在去交远近也论日食则人目所见恒在地面推得实会仍须推其视会若仅据实会则是地心之见食非地面之见食凡有无多寡加时先后悉皆乖失矣如图丁为月或正居于两交或在交之左右日月二径之各半合之小于距度分则月能掩日日为之食不然则不食也所谓实会视会兼推则合者地面所见推食于地平以上至天顶之正中则独推实会便为视会自此以外地面所见先后大小迟疾渐次不同如图人在地面癸依丁月之径适满太阳之庚辛径则见为全食若人在地面子依丁月之径乃见两切线所至为己寅则月掩太阳止于己庚半径见为半食矣大凡日欲食时月不能离躔道一度强自此以上无縁相涉故定朔之日有食时少无食时多也









　　新法算书卷六十四

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>



　　钦定四库全书
　　新法算书卷六十五　　　明　徐光启等　撰交食历指二
　　日月本行图第一
　　日居本圏月居本轮行度参差因而有交食因而毎食不同此略图二曜本行以明交食之原月离图独言朔望者交食时必在其本轮内圏之周也
　　太阳本行图
　　甲为地球在天心其大小之比例难可计算略言之则地之与天若尺土之与大地也如图外大圈为黄道与地同心内圏为太阳本天其心在乙乙之离地心依第
　　谷算为全数十万分之三千五百
　　八十四约之为百分之三有半也
　　其最高今时在鹑首宫六度为丙
　　太阳右行从辛过丙一周天而复
　　于辛为三百六十五日二十三刻
　　三分四十八秒是谓岁实任躔某宫某度分皆以地心甲为主而地心所出直线至戊黄道指为太阳之实行其平行则又以本圜之乙心为主故人在地所测之实行时速时迟而太阳因最高在北任分本圏则北为大半故北六宫之日数多于南六宫几八日有竒也
　　依此见求太阳之躔度必用两法一者定其平行如随乙丁己直线窥之从乙心见黄道上之己点二者定其实行如随甲丁戊窥之乃从地心见黄道上之戊点先得其平行又以加减求实行而平实之差为戊己弧以甲丁乙三角形求之即得也其自丙过秋分至庚两行之差必减平行而得实行自庚过辛春分至丙则加于平行而得实行若用表则从丙最高起算或从庚最庳起算至日体之本度为引数以求加减之度
　　太阴朔望本行图
　　月离之术依歌白泥论有本圜有本轮有次轮本轮之心依本圏之边满一转即次轮之心依本轮之边得两转故朔望时月体皆在次轮之最近最近者近于本轮之心也因是不用次轮但以最近处为界得圆圏月离历指谓为本轮之内圏此可名朔望之小轮也
　　假如丙丁戊为太阴朔望时之本圏则与地同心〈因无差故设为同心〉本轮为乙丙丁其心在本圜之边甲右距日得每日十二度一十一分其最高在乙最庳在己月体则又居次之边
　　左行自乙至丙而己而丁谓之
　　引数最外有黄道为辛庚若从
　　地心出直线上至黄道而次轮
　　心正居此线之上则所指者为
　　太阴之平行度分也又从地心
　　出直线上至黄道而月体正居此线之上则所指者为太阴实行度分也凡月转或在高或在庳正当一宫初度〈乙也〉或七宫初度〈己也〉则平行即是实行过此必有两行之差则以差数加减于平行度分得其实行度分又月在乙丙己半转则以减得之若在己丁乙半转则以加得之以在朔望故平实行相距之极大差不过四度五十八分二十七秒〈甲丙甲丁是也〉过此为两之差则更少与交食无与月离历详之若用不同心圏论则并不用此本轮其加减平行度分而得实行度分理则一也因日月以平实分本行故平朔平望时两体未必正相合正相对凡实会之或先或后日月各以其平行直线相遇而合为一直线则是中会实会中会视会第二
　　测天约说言日月之行有隅照〈相距三之一〉有方照〈相距四之一〉有六合照〈相距六之一〉然悉无交食而独相会〈朔也亦名合会〉相对〈望也亦名照会〉则能有食故本篇所论者止于相会相对也抑会者总名也细言之有实会有中会有视会三者皆为推步之原故言交食之术必先言相会相对言相会相对之理必从实会中会始
　　实会中会以地心为主
　　实会者以地心所出直线上至黄道者为主而日月五星两居此线之上则实会也即南北相距非同一点而总在此线正对之过黄极圏亦为实会盖过黄极圏者过黄道之两极而交会于黄道分黄道为四直角者也则从旁视之虽地心各出一线南北异纬从黄极视之即见地心所出二线东西同经是南北正对如一线也是故谓之实会若月与五星各居其本轮之周地心所出线上至黄道而两本轮之心俱当此线之上则为月与五星之中会日无本轮本行圏与地为不同心两心所出则有两线此两线者若为平行线而月本轮之心正居地心线上则是日与月之中会也盖实会既以地心线射太阴之体为主则此地心线过小轮之心谓之中会矣若以不同心圏之平行线论之因日月各有本圏即本圏心皆与地心〈即黄道心〉有相距之度分即日月循各本圈之周右行所过黄道经度必时时有差〈与地不同心故也〉其从地心出直线过日月之体上至黄道此所指者为日月之实行度分也设从地心更出一平行直线与本圏心所出直线偕平行而上至黄道此所指者为日月之平行度分也盖太阳心线与地心一线平行太阴心线亦与地心一线平行恒时多不相遇至相遇时两地心线合为一线则是日月之中相会若太阳实行之直线与太阴实行之直线合为一线则是日月之实相会合会望会皆有中有实其理不异
　　先依小轮法作图甲为地心亦为黄道心亦为太阴本圏心〈太阴与地同心者为用本轮故盖本轮周即太阴圏心绕地心之周其理一也〉乙为太阳本圏心〈与地不同心〉太阳在丁太阴在戊甲戊丁线直至黄道圏得辛指日月实相会之度如太阳在丁太阴亦在甲辛直线上为庚而此线至黄道圏得丙即指日月实
　　相望之度若太阴在癸与太阳
　　不同一线之上乃过月本轮之
　　心己而至黄道壬此直线所指
　　则日月中相会之度也如月在
　　庚从地心出平行线甲子与甲
　　壬太阳平行为一线而至黄道
　　子亦指日月中相望之度矣
　　次依不同心圏法如后图黄道与太阳之本圏皆同前独太阴无本轮而易为本圏其心与地心不同在甲乃
　　在丙此亦以日月并居一直线
　　为实会如太阳在丁太阴在本
　　圏之边戊地心所出甲戊丁线
　　至辛则所指为实会而正对月
　　体至黄道寅则所指为实望若
　　中会中望则以平行线为主盖
　　甲壬为地心所出直线既偕太阳本圏心所出过日体之直线乙丁为平行线又偕太阴本圏心所出过月体之直线丙庚为平行线则是两偕行之直线合为一甲壬而至黄道故所指者为日月中相会之度也其至相对之黄道上为癸则所指者为日月中相望之度设过此交会之时太阴在丑则月圏心出者为丙丑线地心出者为甲己线两线自偕为平行而甲壬与乙丁自偕为平行甲壬甲己不得合为一线矣故地心所出之两偕行线能合为一甲壬者必指中交之度为日月相会之共界也
　　实会中会相距无定度
　　日月本圏各与地不同心故两圏心所出直线各与地心所出直线虽恒为平行线而又与地心所出直线其相距广狭恒无定数设日在本圏之最高月在本圏之最庳其实行所至即平行所至则中会即实会矣或太阳在最庳太阴在最高或两最高两最庳在黄道上同度则中会实会亦皆无距度也惟日月去本圏之最高及最庳右行渐远则地心所出平行直线渐相去至半圏周则甚相远而为实中两会之相距最大差
　　假如甲为太阳之最高乙为太阴之最庳若太阳在甲太阴在乙即两本圏心及地心所出直线上至黄道皆
　　合于甲乙线则实会无分于中
　　会也若太阳至丙太阴至丁去
　　最高各不甚远则地心所出辛
　　平行线距本圏心所出直线亦
　　左右稍远即中会亦稍远于实
　　会矣又使太阳在戊太阴在己
　　则三直线相距更远而实会中会相距亦更远此则以太阳之引数九宫二度得戊辛弧二度三分一十五秒应减以太阴之引数八宫二十八度得辛庚弧四度五十八分二十七秒应加依法合之得戊庚弧七度○一分四十二秒为太阳太阴实会相距数
　　实会中会互相随因有变易
　　实会与中会多不同时或中会在先实会在后或实会在先中会在后惟日月各居其本圏之最高或最庳或一居最高一居最庳则中会不分于实会〈因平行度乃正是寔行度〉即不用加减度分若彼此俱加于平行度或俱减于平行度而所加减之度分等则中会亦不分于实会也〈两均数相减若俱等无所减故〉又依黄道右行论之使中会之时太阳之实行在前太阴之实行在后则实会在前中会必随而在后〈月行速过中而得实会〉若中会时太阴在前太阳在后则实会必后于中会也〈实会之后月乃过中〉若太阳与太阴或皆在本轮中转之半周〈从最高至最庳〉则两曜所得加减度其一较狭者必在前也或皆在本轮正转之半周〈从过庳至最高〉则两加减度其一较广者必在前也若其不同在最高庳之间而各居一半周则过最高者在前过最庳者反在后矣如图太阳在本圏太阴在次轮外圏为黄道从地心出直线至黄道而过本轮心所指者为日月两平行度之中会盖地心所出日月两平行线合为一线也若地心线从中会线之左右过日月两体而至黄道所指者为
　　日月之实行度而两线
　　相距之广即日月相距
　　之度法应化为时刻分
　　以加以减于中会乃得
　　实会也又日月平行同
　　在甲或在乙加减度不
　　同类〈一寔在前一寔在后〉则两率
　　并之得日月相距之度若日月同在丙丁戊己加减度同类〈或都在前或都在后〉则两率相减之馀为日月相距之度也依本图论日月在甲则以太阳之加减度加于平行而得实行〈在前故也〉太阴则减之而得实行〈在后故〉其所差时刻则以加于中会得实会也〈月过中而逐及于日故〉日月在乙其加减度则太阳用减〈在后〉太阴用加〈在前〉其时刻则相减以得实会也〈既会之后月乃过中〉若在丙太阴之加减度大太阳小皆减之其时刻则加之以得实会〈月欲及日故〉若在丁太阳之加减度大太阴小亦皆减之其时刻亦减之而得实会〈月己过日故〉若在戊太阴之加减度大太阳小皆加之〈皆过中故〉其时刻则减之得实会〈月己过日故〉若在己太阴之加减度小太阳大皆加之其时亦加之得实会也〈月欲及日故〉总论之行度在中会前即当加〈甲日乙月戊己之日月〉在中会后即当减〈甲月乙日丙丁之日月〉时刻月实行在日后则当加〈甲丙己是〉月实行在日前则当减也〈乙丁戊是〉
　　推中会实会元法第三
　　日月同居黄道经度分秒不异是为正相会正相会者实朔也日月相距正得黄道半周分秒不异是为正相对正相对者实望也其推步之法因二曜之实行度不同其实行之变易又时时不同故先以平行求得其中相会中相对而后渐得其实相会实相对焉苐中会之法以纪首〈甲子为纪首〉以每年每日每时之平行度分推步易得耳实会法必用几何术中三角形弧切割诸线非是则无从可得故今交食历中所列诸表不过求中求实两法而求实甚难不得不繁曲不得不详密也
　　求中会
　　月行黄道视日行甚速其在后也能逐及于日其既及也又超于日前其在朔也有时隔日光于在下其在望也有时失光于地景求朔望法先定太阳之平行度分以求太阴距日之度分若同居黄道经无距度分秒则为朔若相距正得半周则为望外此则中会在先必减其己过之时刻而得中会若中会在后则加以不及之时刻而得中会
　　假如壬申年二月十六日癸丑日月相望求太阳平行其纪首为天启四年甲子天正冬至后第一日子正时太阳在九宫○度五十一分四十五秒至本日癸丑午正时得中积时为八年一百三十五日六时用太阳平行度每年一十一宫二十九度四十五分四十一秒每日五十九分八秒二十微每小时二分二十七秒五十一微并得中积度为三千○一十一度三十八分四十七秒加纪首前宫度得总数满平周〈三百六十度〉去之馀四十二度三十○分三十一秒为本日午正时太阳躔大梁宫之平行度分
　　次如前法求同时太阴中积度分一百二十九度三十七分二十二秒四十微每日一十二度一十一分二十六秒四十一微为太阴自太阳平行度分加纪首前十度一十七分三十六秒五十三微并得二千六百九十九度七分二十四秒满平周去之馀五宫二十九度七分二十四秒为本日午正时月距太阳之经度分以减半用为不及者五十二分三十六秒未得正望求其时用不及度三十分二十八秒三十七微为一小时其馀得时四十三分三十三秒为正中望算外得未初二刻一十三分三十三秒
　　求引数
　　凡日月在最高或最庳其实行与平行无异外此则不同行而两行相距又无定数故从最高右行指其平行所至黄道之弧为引数因之以求太阳太阴两处所差加减度若太阴则从其本轮之最高起算左行为引数之弧也苐须先定日月在中会时之平行度如前太阳正午在大梁十二度三十分三十一秒一小时又行二分二十七秒五十一微尚未至中会须行四分一十五秒〈并小时〉得中会时刻以加前得数其中会平行度在本宫一十二度三十四分四十六秒其正相对为太阴平行度分则在大火宫矣若太阳平行度正合于最高则无引数亦无加减过之即相减不及则于平行度外加一平周〈三百六十度也〉而减最高馀为引数假如最高每年行四十五秒从甲子至壬申年三月得六分一十七秒以加于纪首之最高得三宫○五度五十六分五十八秒并得三宫○六度○三分一十五秒为太阳最高行度因太阳平行度在二宫不及加平周减之得十宫○六度三十一分三十一秒为太阳中会时引数同时依太阴每年之本行二宫二十八度四十三分八秒每日行一十三度三分五十四秒其中积得二千四百八十度五十九分五十三秒加入纪首前六宫一十七度四十六分二十三秒满平周去之得五宫八度四十六分一十六秒为太阴壬申年三月中会时之引数也
　　求实会
　　法先求太阳加减度依前所得最高及平行作图外圏
　　为黄道从春分向左计
　　其平行度从地心出直
　　线指之次从心又出一
　　直线至最高度线上任
　　取一点为太阳本圈心
　　从太阳圏心又出直线
　　与平行度之指线为平
　　行线至黄道更从黄道心〈即地心〉出直线过太阳体之心至黄道指其实行度也
　　如图外圏为黄道其心甲出直线至丁即前所推太阳平行在大梁十二度又出直线至三宫六度为当会时之最高行度内圏为太阳本圏其心乙出直线过太阳至己更作甲丙直线引至戊指太阳之实行度即戊己弧为加减度应推丙角用甲乙丙三角形如法求之如图引数之馀弧为丁辛或己辛五十三度二十八分二十九秒〈止论角故异弧同度〉即丙乙辛外角也甲乙两心之差为全数十万分之三五八四今以线求加减度先依甲乙线作甲乙庚直角三边形用句股开方求线其
　　比例为甲丙线与甲庚
　　丙角之正若甲庚线
　　与甲丙庚角之正得
　　一度三十六分五十五
　　秒为太阳加减度若用
　　切线则更省以全数加
　　两心之差数得一○三
　　五八四恒为第一率又相减得九六四一六为第二率引数之角随时不一半之而求切线为第三率如法求得第四率为切线查其本度分以减半引数馀为加减度若本图则引数馀弧之角半之为二十六度四十四分一十四秒其切线五○三九○为三率如法得第四率四六九○三为二十五度九分四十一秒之切线以减半引数得一度三十六分三十三秒为太阳加减度也
　　次求太阴加减度按西历近世名家先有歌白泥后有第谷从前所论会法两家之说略同至论太阴则第谷之术更为精密今先言旧法次言密法
　　旧法曰如图黄道内作同
　　心圏从太阳平行度越半
　　周而定太阴平行度之一
　　从心出直线至此点必
　　为本圏之过心线而指本
　　轮之心次从本轮最高左
　　旋查其引数又从黄道心
　　作一直线过太阴体两线所至黄道间得一弧此弧为太阴之加减度也〈加减度即名均数〉
　　假如太阴平行度在大火宫正对太阳其引数自戊左行至丙未及半周月体在丙两直线并出甲甲乙戊指平行度甲丙己指实行度戊己弧为所求加减度其求之者甲乙丙三角形也若用句股法则自丙至丁下垂线开方求得甲丙则甲丙线与甲丁丙角若丙丁线与丁甲丙角也如用切线则甲乙全数十万本轮之半径乙丙八六○○相加得一○八六○○相减得九一四○○又半引数求其切线如恒法即得均度之切线矣以此推步交食未免微差第谷新法更为详密鲜不合者今诸列表悉用此术故应说其义指如下文
　　密求实会〈第谷法〉
　　月离历指论太阴
　　之本行故备晦朔
　　望此说交会故
　　图说止于朔望也
　　太阴交会仅用三
　　圏一为本天一为
　　本轮一为次轮本
　　天即本圏也与地同心负本轮之心其半径当十万则本轮之半径得五千八百从最高左旋负次轮之心如次轮心从最高丁行至己其自行度即表中所名引数用以求加减度加减度即均数也若本轮在子或寅则月体在庚自行在初宫初度或五宫末度则无引数可计亦无均度可求矣若本轮在丑则月体在丙自行得三宫初度为交会时之极大差欲得此数用甲乙丙三角形求之甲乙线为全数乙己与己丙相加得乙丙为八千七百甲乙丙角系自行之象限必为直角依前法
　　以切线求乙甲丙
　　均度角必得四度
　　五十八分有竒若
　　自轮在卯为十宫
　　月体在辛必用两
　　三角形乃得均度
　　其一为甲卯辛形
　　所求均度为卯甲辛角形中特有全数无从得角宜先推卯己辛三角形形有本轮之半径卯己有次轮之半径己辛有引数馀弧之倍角卯己辛如法推得卯辛线及己卯辛角以减于引数得其馀弧之数为甲卯辛角因此可求卯甲辛角为均度也更论次轮之周月体循而右旋其半径仅得本轮半径之半以较全数得十万之二千九百两半径并得八千七百为会时所用之数以推最大均度太阴在次轮从最近庚起算恒倍本〈轮行〉如丁己为本轮之一象限而太阴行小轮从庚至丙得半周是自行得半周太阴行全周故前言本轮在子在寅月体至庚悉无加减数也今依图求太阴均度如前设得其自行五宫八度四十六分一十六秒距太阳半
　　周其经度在大火宫一十二度则
　　本轮在乙从地心引直线为甲乙
　　全数从乙出直线至自行之限丙
　　必与中最高线甲戊为平行线而
　　定引数为庚丙倍引数从最近右
　　旋得太阴在次轮丁从乙至丁引乙丁直线则得乙丙丁三角形其乙丙丙丁两线为两小轮之半径乙丙丁角为倍引数〈辛壬丁是〉之馀角〈丁辛弧是〉即可求丙乙丁角与乙丁直线也又甲乙丁三角形欲求乙甲丁均度之角以切线算之宜先得己乙丁角以偕全数及乙丁线乃得其所包角矣法见下文
　　如图求丙乙丁角倍引数〈辛壬丁也〉得三百一十七度三十二分三十二秒馀〈丁辛〉四十二度二十七分二十八秒为乙丙丁角其馀角〈乙丁两角也〉总而半之得六十八度四十六分一十六秒其切线得二五七四三○为三率两轮之半径相加得八七○○为一率相减馀二九○○为二率算得第四率切线八五八一○其弧四十度三十八分以减前总馀角之半数得二十八度○八分一十六秒为丙乙丁角也次求乙丁线则丙乙丁角之正
　　〈四七一六○〉与丙丁〈二九○○〉若乙丙丁角之
　　正〈六七五○五〉与乙丁线算得四一二
　　九次以甲乙丁大三角形求均度先
　　得己乙丙角〈引数之馀未满半周〉以加丙乙丁
　　角得己乙丁角四十九度二十二分其馀角〈甲丁两角〉总而半之得六十五度一十九分查切线二一七五八二为三率以乙丁线加全数共一○四一二九为一率相减得九五八七一为二率算得第四率切线二○○三二○其弧六十三度二十八分一十七秒以减前六十五度一十九分馀一度五十分四十三秒为所求太阴均度与列表合
　　今以两所得均度求实会时查图视均度或以加于平行度或以减于平行度即见太阴距对处若干或过之或不及则以其相距之度分化为时刻依前法或加或减于中会时刻必近于实会时刻
　　如前推壬申三月月食其会时太阳之平行在实行后则以均度加于平行得实行太阴之平行在实行前则以均度减实行又以二实行相较见太阴视正相对不及者三度二十七分三十八秒化为二十七刻三分四十五秒以加前中会算外得实会在戌正二刻二分一十八秒
　　复求实会时
　　日月之两实行变动不居非一圆形能尽其理几何家欲径测径推无法可得故须先用平行以渐推其实行顾又非一推可遽合也盖初用之引数其所指者中会之引数非实会之引数则其加减度所推实时特近于实时非正实时也法宜更求中实会之间日月自行度分依加减时法或加或减于前之平自行乃得次引数求其均度复查二曜实相距度化为时刻或加或减于中会时刻乃得正实时刻若三推之终所得时刻分秒不异于次得即合天无疑矣
　　假如前得差二十七刻三分四十五秒其间太阳复平行一十六分四十七秒以加初平行得一宫一十二度五十一分三十三秒减其最高〈最高不动即用前数〉得自行一十宫六度四十八分一十七秒馀弧〈至满周〉五十三度一十一分四十二秒半之而求切线得五○○七○为三率以全数加不同心差为一率相减为二率算得四率四六六○五其弧一度三十六分三十四秒为太阳次均度也太阴中实会之距时间〈即前二十七刻有竒〉复平行三度二十七分二十八秒以加前经度总得经度七宫一十六度二分二十四秒为本轮居本圏之处而本轮此时间亦向右自行三度四十二分三十一秒以加前自行得次自行五宫一十二度二十八分四十七秒即次引数也为次轮心居本轮周之处倍之得太阴居次轮周之度也
　　借前图则乙丙丁角今为三十五度
　　二分二十六秒馀角〈乙丁两角〉总而半之
　　得七十二度二十八分四十七秒其
　　切线三一六七六八为三率一二率
　　如前算得一○五五八八其弧四十六度三十三分以减前半弧七十二度二十八分四十七秒得二十五度五十五分二十二秒为丙乙丁角次求乙丁线则此角之正四三七一六为一率丙丁半径为二率乙丙丁角之正五七四一六为三率算得三八○八为乙丁直线也　今求均度以自行馀之甲乙丙角并丙乙丁角为己乙丁角四十三度二十六分三十五秒馀者〈甲丁两角〉总而半之得六十八度一十六分四十二秒为三率第一及二为乙丁线一加一减于全数〈甲乙也〉算得二三二五九六求应减之度而得次均度一度三十二分三十三秒又以太阴次均度加于太阳次均度见太阴视正相对不及者三度○九分○七秒化为时刻得二十四刻一十二分一十七秒以加于中会算外得实会在戌初三刻一十分五十秒
　　推会时简法第四
　　前依几何法用日月行度推会时者论其所以然也若恒时推步别用诸表诸表虽从图出其用之甚易不烦故名简法然以此便初学耳明理之家正须从难处入不宜恃此为足也
　　列表法
　　交会表从前图出者止均度二表〈即加减度表〉一为太阳均度一为太阴均度论太阳如图甲丙乙丙两直线至黄道之相距弧为均度用三角形法求甲丙乙角则与求
　　丁戊弧不异盖丁戊能代丁己繇甲
　　丙乙角能代丁甲己角〈见几何一卷二十九题〉但丁甲己非三角形无从可得均度
　　故用甲乙丙则恒有乙丙全数有甲乙两心之相距〈三五八四〉又有自行之正或馀角如庚乙戊角即周圈之上任所至可以三角形推得均度也论太阴如上图独交会时
　　其本轮与地同心则有本轮之加减
　　度最大者为次轮之最远在最高最
　　庳之间因月体至此去本轮心最远
　　故其二轮之半径必合为乙丙直线而指月体其数八七○○又有甲乙全数有本轮上自行度丁戊成甲乙丙三角形依前法可推乙甲丙角之均度外此则月居次轮最近或最远之左右从地心出直线指实行即月体所居无两半径合并之数故所求均度非一三角形可得须用两形求之如图月居丙因在次轮之左必得
　　乙丙直线乃生乙丙丁及甲乙丙两
　　三角形矣求中会时历元后推首朔
　　至二百年每年可当历元法先定崇
　　祯元年戊辰天正冬至后第一日子正时为根而恒减通闰一十日六十○刻一十一分一十二秒遇闰年多减一日不满数加朔䇿二十九日一十二时四十四分三秒减之得次首朔若用加法则以太阴年〈十二朔䇿〉三百五十四日八时四十八分三十八秒加所得之数而减太阳年三百六十五日遇闰年则三百六十六日不满亦加朔䇿减之
　　历元前总甲子亦于每甲子年定首朔表自六十六甲子〈天启四年〉逆溯而上每加六十太阴年满朔䇿去之馀为三日七时一十三分○六秒依此递加共为若干甲子而得若干总数满朔䇿去之馀为本甲子年首朔也更有每年零用表与历元后二百恒年同法亦岁减通闰每四年加闰一日则先一年减之为一十一日一十五时一十一分一十二秒得次上首朔
　　又有太阳引数太阴引数二表有交行度表有太阳经度表太阳引数者是太阴年本行减最高行即一十一宫一十九度一十六分八秒〈亦即三百五十四日八时四十八分三十八秒〉加朔䇿得一十八度二十二分二十九秒太阳经度者从最庳起算太阴年所行得一十一宫一十九度一十六分五十二秒加朔䇿得一十八度二十三分一十六秒太阴引数者太阴之自行也从本轮最高起算太阴年所行除正周外得十宫九度四十八分○一秒加朔䇿得十一宫五度三十七分○一秒交行度者太阴年所行除全周外得八度○二分四十七秒加朔䇿得一宫八度四十三分一秒四表皆同一法恒加太阴年行度若首朔表加朔䇿诸表亦加朔䇿但首朔表论闰日后四表不论闰日耳其通闰在零年顺推则首朔用减下四表用加在甲子年逆推则首朔用加下四表用减
　　用表求中会
　　中会法若下推将来用历元后五种行度表第一格简得冬至后首朔次用朔实十三月表加之即得若上推既往用历元前总甲子表得甲子年首朔而所求交会即在本年则于十三月表查朔䇿或望䇿加之即得所求交会不在本年先查六十零年表加相距之年后加相距之朔䇿或加望䇿即得
　　假如壬申年九月庚戌夜望有食用本年下首朔○日一十六时二十五分二十一秒纪日三十七从冬至至本月望相距十月又半故朔实十三月表内对十月得二百九十五日七时二十○分三十一秒加望䇿一十四日一十八时二十二分二秒总得三百四十七日一十八时七分五十四秒满旬周〈六十日〉去之馀得中会在庚戌日时刻从子正起算得在酉初七分五十四秒又试用历元前总甲子表于六十六甲子下得○日○三时四十四分○八秒纪日五十五至壬申积八年查零年表八年下得○日一十二时四十一分一十三秒纪日四十二朔䇿望䇿皆如前总得四百有三日满旬周去之馀亦得庚戌日时分秒悉如前推会朔则不加望䇿馀法同若尽求一年之中会则于首朔或首望加朔䇿于总数以后累加之至十二次然后从首会加太阴年三百五十四日八时四十八秒得合于终会即所推十二会悉合矣
　　用表求实会
　　两中会之间朔䇿也定为二十九日十二时四十四分○三秒○九微实会则二曜之自行所至有时过朔䇿有时不及朔䇿过不及之大差多禄某定为一十四时三十○分第谷去减二十分法用引数依均度表加减求之故推中会并列太阳太阴两引数以求加减度又列太阳平行经度后来亦用太阳均度加减为实行度而以两均度所推得之近实时约略改为目见器测之视时如下文表中太阳自行从最庳起算其经度从冬至起算前图所说或从最高或从春分其理不异假如求崇祯五年壬申三月癸丑夜望时先定中时如图总数一百七十○日去二旬周馀五十○乃所用为


　　会　〈一　○一一时六　二八三〉阴　〈一一一○度二三二八〉相合次以太阳引数时　〈二　五二四分五　六二三〉引　〈三一五四分五六四六〉对四宫六度查均度秒〈二　一○三一　三二六〉数　〈三○三○秒八○○八〉得一度三十七分三
　　太　〈一宫一〉一〈○○○三○四〉太　〈○○○○宫○三○四〉十六秒差度一分一阳　〈二　二一○度五　六四六〉阳　〈○二一一度一六四二〉十六秒偕引数之小引　〈三　二三三分二　五三○〉经　〈三二三三分五五三四〉馀用三率法〈六十分为一率〉数　〈一　二一四秒五　三○八〉度　〈一三一○一分一十六秒为二秒三七二二率小馀三十分四十八秒为三率〉求得本差三十九秒又因向后之均度渐少故以本差三十九秒减本均度止一度三十六分五十七秒次从表首行查号为加即书加又以太阴引数对五宫八度得一度五十五分○七秒差度四分五十八秒向后均度亦渐少亦以差度偕引数小馀所求本差分秒减本均度止得一度五十一分二十○秒其号为减即书减依前法两均度一加一减宜相加即得日月实相望差度如上图次用四行时表查月距日时得其差时分秒或加或减于中会则不远于实会若均度皆号
　　为加而太阴所得小于太阳所得或
　　均度皆号为减而太阴所得反大于
　　太阳所得或太阴为减太阳为加则
　　所化时刻恒加于中会时刻否则恒
　　减于中会时刻以得实时刻今三度
　　二分五十二秒得六时又度馀二十五分二十五秒查得时馀五十分○二秒加于前一十三时四十三分三十六秒得实会在二十○时三十三分三十八秒为戌正也
　　密求实会
　　前以中会之引数求实会今云密者以前经加减故得次引数与实会相近复如前求得时刻复加或减于中会乃得正实会法依前所用四行时表以时刻反查度分因太阳自行一日不异其平行仍用其平行表以六时五十分得一十六分五十秒加于前引数得太阳总引数四宫六度四十七分三十七秒此距间于本表查得太阴行三度四十三分一十一秒以加于前引数总为五宫一十二度二十九分一十七秒又以此两引数求得均度如上图亦以一加一减故当相加而两均度〈太阳太阴月距均度均度日度〉　之差较前更少变为时亦少即依本
　　表三度二分五十二秒得六时又度
　　馀六分六秒得时馀十二分度馀二
　　十八秒得时馀五十五秒总加于中
　　会复得十九时五十六分三十秒为
　　正实会在戌初三刻一十一分三十○秒更欲密推则用次得之实时又求苐三引数以复求均度以较次得之太阳均度其二曜相距之弧亦变为时刻若同前即前得无疑若异者用后得为正实会也
　　依表算会时依图算会时






















　　新法算书卷六十五



　　钦定四库全书
　　新法算书卷六十六　　　明　徐光启等　撰交食历指三
　　求视会实会第一
　　前所得实会时刻虽则合天于人目所见仪器所测未尽合也所以然者太阳行度赤道交子午圏有升度差随时变易日日不均〈详见日躔历指〉而今依历元推步或用表查算无能不均须用加减时表以求本地可见可测之实时又推步者但依本地所定子午线其在地方不同子午线者难可通用故又用里差加减以求诸方所见所测之实时也
　　实时改视时
　　如前求太阳实度得中实两会相距时刻查太阳平行时表得分数依前加减时刻亦加亦减于前得太阳经度乃得实度　假如前推壬申三月望会太阳平经度为四宫〈冬至起算〉一十二度三十四分○一秒中实两会之差得六时一十二分五十五秒其距间又得太阳平行一十五分一十八秒以加于中会时之太阳平经度得其实会时平经度四宫一十二度四十九分一十九秒更加其次均度一度三十六分三十六秒则太阳实度四宫一十四度二十五分五十五秒今查加减时表得○九分五十五秒其号为加则以加于实会共得二十时○五分四十四秒算外得癸丑日戌正五分为顺天府所见所测之食甚时
　　见食随地异时
　　月食分数天下皆同第见食时刻随地各异何也人各就所居之地目力所及者则见月食而各所居地皆以子午正线为主若其地同居一子午线者〈南北地纬虽异东西地经则同〉则所见月食之分数迟速皆同也若地易子午线易则时刻并易矣所以然者时刻早晚因太阳行度随人所居各以见日出入为东西为卯酉即以日中为南为子午而平分时刻故月食时必本地之日未东升或己西沉乃得见之若在其昼时刻不可得见也天启三年九月十五夜望月食顺天府及南北同经之地则初亏在酉初一刻一十二分食甚在戌初初刻复圆在戌正二刻一十三分各算外高丽及其同经之地即初亏在酉末戌初而西洋意大里亚诸国日尚在天顶为午正则不见月食以里差推之西洋之初亏在己正三刻四分食甚在午正一刻○七分复圆在未初三刻一十分各算外虽月入景七分五十六秒所居宫度彼此远近皆同而以里差故彼地彼时太阳在午正二十二分太阴反在子正二十二分食甚正在日中何从见之今壬申年九月十五日夜望月食初亏在卯初三刻则陜西四川等处得见南京山东等近海东境不可得见也秦蜀之子午异于东方之子午故
　　今以顺天府推算本食因定各省直之食时宜先定各省直视顺天子午线之里差几何后以其所差度数化为所差时刻每一度应得时四分向东以加于顺天推定时刻向西则减乃可得各省直见食时刻也若日食则其食分多寡加时早晚皆系视差东西南北悉无同者必须随地考北极高下差其距度随地测子午正线差其经度乃可定其目见器测之视时定子午术见西测食略中法于当身所居目见器测考定一月食之时刻与先所定他方之月食时刻较算或两地两人同测一月食彼此较算乃以所差时刻得所差度分也前顺天府所推月食时刻并具各省直先后差数因未得诸方见食确数无从遽定地之经度但依广舆图计里画方之法略率开载耳既而咨报多相合者然非甄明之辈躬至其地测极高下见食早晚终未敢以耳闻臆断勒为成书也左方所记政所谓略率开载者欲求决定当俟异日故称约加约减焉
　　南京应天府及福建福州府约加四分〈凡一十五分为一刻〉山东济南府约加五分
　　山西太原府约减一刻○九分
　　湖广武昌府河南开封府约减一刻
　　陜西西安府广西桂林府约减二刻○四分
　　浙江杭州府约加十二分
　　江西南昌府约减一十分
　　广东广州府约减一刻○五分
　　四川成都府约减三刻○七分
　　贵州贵阳府约减二刻○八分
　　云南云南府约减四刻○八分
　　证子午差变易见时
　　万历元年癸酉十一月望依大统历推月食初亏丑正一刻食甚寅初三刻本夜第谷在西国测得食甚在戌正○三分于时太阳近冬至所测时即定望时无加减大统所推稍踈大略东西差时三十馀刻为顺天府所见后于西国也
　　万历五年丁丑三月十五日夜望依大统历月食甚寅正一刻第谷测戌正三刻○五分先后差七小时一刻一十分为一彼一此子午异线变易加时也
　　万历二十年壬辰十一月望大统历记食甚寅初二刻第谷测在戌初二刻○七分加时差二分总得差七小时三刻○二分则西国之夜望为顺天府之晓望西国半夜后所测在顺天为次昼不可得见也
　　万历四十年壬子四月十五日夜望历官报月食初亏寅正一刻既实测得寅正四刻当时西国把沕辣有测戌正三刻○八分者更西多勒都测得戌正○三方同测不必加减时得顺天府较极西差九小时正较中西差八小时○七分
　　〈阙〉



















　　天启四年甲子八月十四日夜望历官报月食一十三分六十五秒初亏丑正初刻既测得一十六分六十三秒初亏丑初二刻○六分小西洋北国测得子初三刻○八分泰西教主京都测得酉正三刻一十三分较得北印度视顺天府偏西差七刻一十三分视泰西差六小时二刻○八分
　　天启七年丁卯十二月望月食历官报初亏寅正三刻复圆辰初三刻既实测得初亏寅初初刻○一分复圆卯正三刻○六分与西法合于时太阳在玄枵宫一度顺天府出地平上为辰初一十一分依大统历推复圆在辰初三刻则在日出后二刻不可得见而同时陜西西安府则见复圆在天测得大角星高四十七度其北极出地三十四度一十九分得月食初亏丑正二刻○三分将复圆测角南星高四十一度五十分得卯正一刻○二分视京师偏西差二刻○四分为八度半也
　　崇祯四年辛未四月十五日戊午夜望依大统历月初亏丑初三刻依新历初亏丑初○六分三十八秒实测得丑初○五分大角星高四十九度四十分距午正三十九度加其距太阳一百五十七度二十七分得太阳过正午一十三小时○五分二十八秒去半日刻馀一时○五分为丑初○五分新历初报各省较顺天差数在四川成都府初亏子正一十四分三十八秒彼中实测正合是成都府视京师偏西差三刻○六分得一十二度四十五分为两子午线之度差较各处实测食之时如此凡有两处东西相距则所得时刻必差若相距愈远则所得食之时刻差必愈多盖因子午不同证见食时故不同
　　推步交食本论第二
　　步交食之术有二一曰加时早晚一曰食分浅深加时者日食于朔月食于望当豫定其食甚在某时刻分秒也食分者月所借之日光食于地景地所受之日光食于月景当豫定其失光几何分秒也加时早晚非在日月正相会相望之实时而在人目所见仪器所测之视时乃视时无均度可推故日月两食皆先求其实时既得实时然后从视处密求日食之定时〈详见后篇〉惟月食则实时即近视时也然日与月实相会之度分未定即欲求其实时无从可得故须先推中会时计其平行及自行而得均数然后以均数加减求得其实会因得其实时矣古法所谓躔离朓朒即自行均数之谓兹特深求原委以故倍加详密耳若食甚之前为初亏食甚之后为复圆此两限间亦应推定时刻分秒其法于前后数刻间推步日躔月离求其实行视行〈月有迟疾经时则生变易故宜近取〉以得起复之间时刻久近也食分多寡谓日食时月体掩日体若干月食时月体入地景若干也其法以日月两半径较太阴距黄道度分得其大小次求二曜距交远近与古法不异苐日月各有最高庳景径因之小大黄白距度有广狭食限为之多少至于日食三差尤多曲折此为异矣前论交食原及推交会时太阳太阴皆同一理次后论两食之征亦然更后即不复能为合论故先论太阴入景浅深与其食时久近次以三视差论太阳之食分加时难易迥殊详略亦异也
　　推月食有无
　　欲征月之有食一论交之左右一论交之前后论左右者视太阴距黄道之纬度以方于月半径地景半径并而纬度为小则食若大者过而不相涉若等者过而相切皆不得食也论前后则食之处必在正交中交之或前或后而不甚远甚远则距度广月与景亦过而不相渉也近则距度狭狭则必小于两半径并而无能不食矣是故征食有两法一略一详略法者未定月食之实时先求中会时亦聊可测其距度也试用表查平望之宫度并注其同格相当之交周度若正得六宫或○宫初度则太阴在正交中交之二点〈即罗计即龙首龙尾〉无距度必食若过交或不及交而度分相近不出食限之外亦食也假如考壬申年三月会望用历元后表查首朔相当之交周度得七宫一十八度四十二分一十一秒为当时正合经朔之平交度次用十三月交周度表查第四月又得四宫○二度四十○分五十六秒加望策六宫一十五度二十分○七秒得总数满平周去之馀六宫○六度四十三分一十四秒是太阴过中交六度有奇入食限内己六七度即月体必半入地景而定为有食也


　　〈一一一一○时○○四八七〉　　　周度并列之次查其零年亦如〈五一一二四分七二二二三〉　　　之次加朔策或望策亦如之总〈一二○○五秒四九九二四〉　　　之即得中望及其相当之交周〈一○○○○宫一八三六六〉　　　度万历五年丁丑三月壬寅夜〈二一○一○度四七二五○〉　　　望大统历纪月食一十二分五〈四五○二○分七七○○五〉　　　十秒本年在六十五甲子第十〈二二四○三秒三一二七三〉　　　三年列数如上得癸卯为本食


　　〈○一一一○时三五二八一〉　　　当时过交中止○五分三十三〈一二四二五分六七四二○〉　　　秒深入食限之内宜得全食不〈三三○○一秒五○三二○〉　　　止十二分五十秒也
　　〈一○○○○宫○○一六六〉　　　纲目纪唐肃宗乾元二年己亥〈一二○一○度八七○五一〉　　　春二月月食今上推其食分加〈四○四二四分一三○○五〉　　　时法查本表五十一甲子及零〈二二三○三秒六八二七三〉　　　年朔策等依前列数如上
　　依总数得太阴过中交止一度四十五分有奇宜全食食甚时在丁未日丑初三刻也
　　其详法则更推太阴实望时之距黄纬度以较二径折半若距纬度小者即月不能不入于地景因而有食如下文
　　求太阴实望时距度
　　中望时表中己得相当之交周度今更以加减之时更求交周度复加或复减于前所得即实望时之平交度也次又以均度或加或减乃得实望时之实交度矣假如壬申年三月中望时交周度过中交六度四十三分一十四秒时差〈实会与中会相距〉得六时一十二分五十五秒交周时表中查得三度二十五分三十四秒因时加度数亦加〈若减亦减〉总得一十度○八分四十八秒犹是平交度也更减前均度一度三十二分五十秒得实交度八度三十五分五十八秒今以交周度求距度用太阴距度表于六宫八度得四十一分二十九秒表中次度多五分○九秒故以交周度之馀三十六分得差三分五秒相加得太阴距黄道南四十四分三十四秒因交周度为太阴之右旋度相加于左旋之交行度〈即两交行一名罗计行度〉故所用均度不异于自行之均度其平行一年得四宫二十八度四十二分四十五秒一日得一十三度一十三分四十六秒一时得三十三分○五秒以此求距度用甲子年为纪首于时太阴去正交八十三
　　度二十九分二十四秒依法算得总平
　　行数六宫一十度○九分○五秒次减
　　前均度所得数六宫○八度三十六分
　　一十五秒为实交度也次依三角形之
　　比例则全数与〈黄白〉全距度之正若交周度之正与距度之正盖黄白道之全距算交食无过五度交周度之弧又从近交所始也如图甲丁为白道甲戊为黄道己丙乙为过黄极及交周度之弧各一象限丁戊为黄白之全距〈相去最远〉太阴在丙近于中交甲求其距度丙乙则甲丁与丁戊若甲丙与丙乙算得四十四分三十三秒今依距度四十四分三十三秒考壬申年三月会望有食与否简半径表中用太阴引数○五宫一十二度得月半径地半景并为一度四分三十五秒而距度止四十四分三十四秒距少径多太阴之行无能不入景即无能不食矣
　　推日食有无
　　欲考会朔有食与否须定会朔时太阴之视距度以较于日月两半径并若视距度大于二径折半或等者不食也小则食矣视距度者生于视差而本于高度故当先求高度法于会朔时以太阳本日距赤道度加于本方之赤道高度得本方之子午最高度又于赤道高度去减距赤道度得本方之子午最庳度次求两数之正并而半之为三率以太阳距午正弧之正矢为二率全数为一率依法算得第四率以减子午最高或最庳馀者为二曜高弧之大约太阳距赤道北则所得之数与子午最高相减若太阳距赤道南则与最庳相减假如崇祯七年甲戌二月朔日顺天府定朔在己正一十四分日月距午正线七刻○一分于赤道得二十六度半用其馀弧求正矢得一○五○七为二率因太阳在降娄宫八度三十分四十秒得其距度在赤道北三度二十二分以加赤道高得五十三度二十七分为子午最高相减馀四十六度四十三分为子午最庳次求其二正并而半之得七六五六五为三率算得四率为八○四四以减五十三度二十七分之正馀七二二九○查得四十六度一十八分太阳在地平上之正也今查日月高庳差表〈即地半径差在日食表中〉于转周度得太阴距地之远其下依高度取其相当之视差得四十三分去减太阳之视差二分〈于高度左方取之〉馀四十一分以减太阴之距北实度四十八分五十五秒馀○七分五十五秒为太阴视距度以较二径折半为甚小知月之掩日分数为多矣
　　凡人目所见太阴在天顶南则月之视所较其实所恒偏南偏庳故其距度多能变易太阳之食分又月在黄道南则当以视差加于距度人所居愈向北所得视差愈大其视月愈偏南而所见日食愈小若月在黄道北所得视差或小或等于距度当以减于距度则视处反近于黄道而北方所见日食大于南方矣苐视差之大若过于距度之大而去减距度即北方视月又偏居黄道之南比南方所见更远而得日食又小
　　试如崇祯二年己巳五月己酉朔日食四年辛未十月辛丑朔日食今以相较己巳年太阴实所距南八分四十九秒〈阳历〉顺天府本时之地平高得七十三度一十八分其二曜高庳差一十七分四十秒以加距度八分四十九秒总得视距度二十六分二十九秒以减于二径折半三十二分○四秒馀止五分三十五秒以推日食所见宜少矣若浙江杭州府高度八十三度一十四分推二曜高庳差得七分○九秒以加距度八分四十九秒得一十五分五十八秒视二径折半为一倍小即月掩日宜得大半也辛未岁不然太阴距度在黄道北一度一十五分二十二秒顺天府合朔时得日月高止三十五度四十一分二十○秒二曜高庳差四十八分以减距度馀二十七分二十二秒视二径折半不及者五分一十六秒即见日食若杭州府高度四十三度四十八分得高庳差四十四分以减距度尚馀三十一分二十二秒是其视距度略等于二径折半则月不能掩日也大约太阴实距度在黄道南〈论中国相等同纬之地〉其六十度以下之高庳差必大或等于二径折半即使无距度犹未得食也若距在北则太阴之视差能偏南一度强〈最大者六十三分减日视差二分得六十一分〉必距度之大倍视差之大乃不食否则有食详见后篇
　　累推历元前后交食
　　交食之法上推往古下验将来百千万年当如指掌若悉用古法推步穷年累月不能得竟矣此交食诸表所为作也用表则远溯唐虞下㳂万䙫开卷了然不费功力如读先秦古书见春秋前后一切日食皆不记月日今欲一一考定是何月日又如目前推得见食而欲累求向后若干年应得若干食是皆不用交食全法依交周〈世纪四纪四总五总一日十日月数月数〉度表便可得之法先求某年第
　　〈甲　二　　　　子　年　一　一〉　一中会〈即首朔也〉用表取相当之交〈二一一四一三四五日七○四○八○七七〉周度若入食限即第一食也求〈○　二　○○一一时二　一　二二五八〉次食加五月或六月亦必入食〈一　四　五五四三分○　七　六三○三〉限矣若初所求交周度未入食〈○　○　○○○○宫四　三　四○五五〉限则查交周度十三月表求某〈二　一　○一○二度六　八　二八三一〉数相加而入食限者用之〈四　四　四○二二分四　一　一五一六〉假如周考王六年乙巳史记年
　　表但云日月食不言某朔望今求其月日则是年八月一日食三月九月两月食也依表本年在三十一甲子首朔为二十七日○二时一十○分二十九秒其相当之交周在四宫二十六度四十四分一十八秒纪日一十零年乙巳在表为第四十二年首朔得一十四日二十一时四十七分二十四秒相当之交周度为三宫一十八度四十分三十八秒纪日四十并两交周度未入食限更加四月〈是春三月癸巳朔〉所得距正交不远然定朔在二时五十四分则是丑正三刻有奇非此方所见古未有记夜食者亦非也更加五月得其交平行列数如上以一十八时三十三分知中会在酉正三刻此时用太阳引数得均度一度四十一分太阴引数得均度三度五十四分并之得日月相距五度三十五分化为时得一十一以减平朔得定朔在辰初三刻是为周考王六年八月辛酉朔本地所见地平上之日食矣
　　求本年月食则于前总甲子及零年乙巳数外总加望䇿得第一平望其交周度在两交之间无食更加三月则丁丑夜望月过交中分数甚少必全食然定望在昼但见其初亏不见其食甚更加六月得交周度○宫○甲戌乙亥丙子丁丑戊寅己卯六度四十七分太〈一二○一二○一二○一一二宿四三四二一二二一二一九八〉阴入食限又时在
　　纪　〈二二一四四四三三三二五五日四一八六三○八五二九七四〉九月乙亥日用均时　〈一一二一一二○○一一○一时二七一三七二二七一五七一〉度得定望为戌初〈五二四二五一四○二五三五分九三七八二六一五九三四八〉三刻但见其复圆
　　交　〈○○○○一○○○○○一○宫○六○五一五○六○六一五〉不见其初亏也是周　〈○一一一二二○○○一一二度七一五八二六○四八三六○〉两皆带食故史官度　〈二二三五五五五五五○二二分九九○二三四六七九○一二〉纪焉又日一食月再食故统言之曰日月食也
　　甲戌乙亥丙子丁丑戊寅己卯欲下推累年之交〈二○一二○一二○一二○一宿七八八七八七五六五四六五〉食先如前求第一
　　纪　〈○○○○五五二二一一一○日九六四一八五三○七四二九〉食自此以后或越时　〈一二○○一一○一一二○○时八三三七二六八二七一一六〉五月而一食或越〈三○二五一三一四○三五二分七一五○四八九三七二六○〉六月而一食日月
　　交　〈○一○○○○○一○一○○宫五一六○六○五一五一六○〉皆然此其大凡也周　〈二二○○○一一一二二○○度二六○四八二五九三七一五〉法查交周度十三度　〈○一一一一一三三三四四四分九○一三九五七八九一二四〉月表用片楮别书五月六月之数向本表之各月下递并而试之但合于食限以内者即有食之月也如崇祯七年甲戌第一日食在三月朔算本年及向后各年有食之朔如前图每两平朔皆入食限惟乙亥之两朔间戊寅后己卯前之两朔间各越五月馀皆越六月其食也太阴有昼有夜太阳有昼夜又分南北故非一方所见惟用此考其可见者推之求平望法同此如后图图中独丙子后越五月馀皆越六月凡交食得某月入食限即次后一二三四月皆无食必至五至六或十一十二月则食欲更求本方所见则推实朔望以时刻定之
　　食分多寡之原第三
　　推日食分数则以太阴距黄道之视度日月两视径之半以及三视差此并有其本论后篇详之此求月食分数则用太阴之实距黄道度及其视半径地景半径即可得之今先论日月景之各半径次乃定食限及食分也视半径所繇变易
　　凡圆球之去人远则目视之为平面欲测其大小者不依其形依其径也目之视径虽以平行线受其像然相距有远近即所测得之大小随而变易近则见大远则见小矣暗球生景其理准此故受光之体小于施光之体即其景亦随相距远近而有变易距远者景钜而长距近者景细而短也



　　如上日月食合作一图甲为地球太阳在最高为丁在最庳为戊太阴日食时在其最高为己在其最庳为庚月食时在其最高为壬在其最庳为辛若从最远之太阳周癸丑引直线切地周乙丙必相遇于卯从最近之太阳周子寅切地周者必遇于辰子寅辰在癸卯丑限内在内者细且短在外者钜且长因太阳距地远近不同故也论太阴其在最高己目依甲未甲午两线视之若在最庳庚又依甲申甲酉两线视之故两所之小大不同若在壬在辛其理准此
　　上言日月地景三视径能为变易则日月最高最庳相

　　距之远近为其缘也自此而外更有二缘一为地所出之𫎇气随地不一一为人所禀之目力随人不一𫎇气居日月与目之间气厚能散日月之光使易其本象如玻瓈水晶等体厚光彻以照他物之象能改易之是以人所见日食时太阴掩日之视径实大于太阳之视径或相等一遇厚𫎇之气〈𫎇之厚薄或本地固然或因时増减〉即太阳之光体因而展拓比于依法推步之视径每多不合故全食时四周亦显有金环也若𫎇色微薄则月之视径能掩日之视径全食时昼晦星见矣其在月也遇𫎇气亦饶有馀光其初亏复圆光曜展拓亦能侵入地景使食时先后稍损于推步之加时也欲明其理姑以数事征之试用一平边尺切目窥月体则白月之光能侵入于尺尺之暗体当月之处似有阙焉此其一也生明之月其有光之半周大于无光之半周光之两端芒角犀锐似欲包其魄体至日食时𩲸体入日日之光体不收光以让月反舒光以拒月故其两端不作锐角而作钝角也此在晴明时𫎇气微薄犹不免尔况浓且厚乎此又其一也日轮西没将及地平适遇云气全轮若为停轨累测不移少迁则忽焉而入又其一也况日食时月之𩲸体月食时地景之角体全居𫎇气之中𫎇气所受日光尤盛四周皆能消景则日食时太阴居日目之间其视径岂能大于日之视径而全掩日体月食时地景之角体岂不能稍杀于推步之实景而损其初末之加时乎若论目力亦能变日月景之各视径者目力既衰大光损之每每易于见暗难于见明故月食时较少壮之目能先见月食侵周之景若日食时太阳光耀初亏不能遽见其阙也西史苐谷测月每夕用五六人皆利眼能手悉用大仪种种合法所测月径趋求画一乃经二十二测得其径为三十一分者二三十二分者六三十三分者七三十四分者六三十六分者一何故大光射目当之者利钝不齐径之小大随异也盖人目之难凭如此〈月无大光不能入于窥表通光之窍须人日测有此不齐若日光透表其有不齐繇器䟽密矣〉定视径分秒之数
　　古多禄某限日月地景三径之数定太阳为三十一分二十○秒不论最高最庳恒如是太阴最大者定为三十五分二十○秒最小者亦三十一分二十○秒地景小者四十○分四十○秒大者不过四十六分也然多禄某所当之时乃尔迨其后太阳本天之心与地之心渐次相就至于今最高之去地近于多禄某时其最庳乃去地稍远而太阳视径遂不得过三十一分太阳稍缩则地景稍赢亦不若曩时之细且短也以故第谷所立新法定太阳之视径在最高为三十○分在最庳为三十二分若太阴则虽距地同所限朔望二时之视径犹不同也盖合朔时月会太阳四周环受其光则此时全魄小于望日之全光几及四分之一是以月在最高即望时得径三十二分朔时止二十五分三十六秒在最庳望时得三十六分朔时二十八分四十八秒也又第谷测候之地其北极出地五十六度清𫎇之气甚厚故推步交食必依此径乃可得合何者月望时明光甚盛𫎇以厚气光乃加显径即似大月朔时遇日之大光自已失光而受光之𫎇气环围照映若或消减其魄径即似小也然此第谷所当之地乃尔用之他方未能必合何者此所限大小之径以步日食虽则食既犹显金环月不能全掩日体若他方食既则有昼晦星见虫飞鸟栖者故知一方所定未可槩诸㝢内以为公法也假如崇祯二年己巳五月朔日食依新历先推食甚二分有竒至日实测得二分若以第谷所限径用之此日即见食分数仅得一分一十○秒谬于实测远矣崇祯四年辛未十月朔日食新历先推食甚二分一十二秒至日实测不及二分若用小月径推算即所得更少不及一分也视径因乎𫎇气而为小大如此岂可强执一率以槩诸方乎故欲定本地之日食分必先定本地之𫎇气差以限本地之视径又宜累验本地之食分加时然后酌量消息𫎇差视径可得而定也今所考求酌定者太阳最高得径三十○分在最庳径三十一分太阴不分朔望〈𫎇气稍薄故也〉在最高视径三十○分三十○秒在最庳视径三十四分四十○秒地景最小者四十三分最大者四十七分日月行最高最庳处之间视径亦渐次不一故列表左右并纪太阳及太阴自行宫度以考日月地景各相当之分数是为视半径表
　　太阴视径差
　　视半径表计太阴从其最高至最庳渐次加大也若论𫎇气则南北二方亦有差别西国之北地滨大海其气更厚故月朔应减月望应加以改表中之半径如北极高三十度其加减于半径一十○秒高四十度其加减三十○秒过五十至七十极高度即所加减更多至六分以上也
　　中国北极出地虽止四十二度半亦近海故用加减数如前所列然亦须测验数食审其果否乃可执为恒法耳地景视差
　　地景半径之最小者为四十三分今本表中太阴自行○宫○度与相当者是也继此渐大至太阴自行六宫初度其相当四十七分则为最大其求之有二法一以测候一以推步苐两法所得却又不同则气能变景故也以推步者用太阳在其最高时下照地球所生景长以为定率若太阴过景之处则依其远近随时算之如第谷当太阳在最高时测其距地之远得一千一百八十二地半径此所推全景之长得二百五十二地半径又六十分之二十三恒如是若太阴在其最高距地之远得五十八地半径又八分欲求其所当地景者先于全景内减太阴距地之径数馀者为过太阴以外之景角
　　〈景角者景为角体也〉得一百九
　　十四地半径又一十
　　五分如上图甲乙地
　　半径定为六十万甲丙为全景亦通为一五一四三分〈临算末加五位〉丁丙为过月以外之景角一一六五五分〈临算末加五位〉而求月食相当之处丁戊几何广则甲丙与甲乙若丁丙与丁戊也算得四五五一九三九又甲丁戊直角三角形内求丁甲戊角为所限目窥丁戊之大则甲丁为太阴距地远通为分得三四八八分甲丁戊为直角丁戊依前算得四五五一九三九而甲丁与丁戊若全数与丁甲戊角之切线得一三○五查表得四十四分五十○秒为太阴在最高时所过地景之半径也若太阴在最庳求其食时过景之半径用全景长如前内减五十四地半径五十二分馀一百九十七地半径又三十一分为丁丙直线依前法算得四六四二八○四为丁戊线求角以太阴距地之分三二九二为一率丁戊线为二率直角为三率算切线为一四一○查得四十八分二十八秒为太阴在最庳时所过地景之半径也今表中列地景半径小者四十三大者四十七皆少于推得者为月过地景不论高庳皆受外光围迫侵销其景故也论其实则推步所得为真然不可得见耳若太阴在高庳之间求其过景者依此法随时求丁丙线推算也
　　以测候者用前后两月食择食之法欲太阴去其最高最庳距度同则其入于地景之小大亦同但月距黄道不必同又不必全食因以两距度及两食分求得其所过之景径也多禄某引周襄王三十一年庚子三月其地距顺天府西八十一度卯初时得见食于是太阴交周得九度二十○分距黄道北四十八分三十○秒食全径一十二分之三又引周景王二十二年戊寅六月里差同上顺天府寅初时得见食于时太阴交周得○七度四十二分距黄道南四十○分四十○秒食十二分之六如图己乙戊丙圏为地景两食为太阴所过乙甲丙线为黄道
　　如前图第一食太阴在丁次食在戊各依食分入景为
　　己辛为戊庚其太阴之距度为甲丁四
　　十八分三十○秒甲戊四十○分四十
　　○秒而甲戊与甲己必相等〈地景之两半径〉则
　　甲丁减甲戊馀己丁七分五十○秒〈两距度之较〉又己丁为月径四分之一而先得月径三十一分二十○秒四分之为己丁今去减己丁所馀为甲己半景四十○分四十○秒或以距度与食分相较则食差三分与距度之差七分五十○秒若全食一十二分与全月径三十一分二十○秒亦以距度之差推得其景也若后图两距
　　度一大于半景一小于半景亦用此比
　　例以求景假如初食三分得距度四十
　　七分五十四秒次食十分距度二十九
　　分三十七秒食分之差七分距度之差一十八分一十七秒则七分与一十八分一十七秒若全食一十二分与全月径三十一分二十○秒今既食三分即全月径四分之一为七分五十○秒以减距度馀四十○分○四秒为地半景又次食得一十分即月心至地景之周得四分亦全食三分之一也全以月全径三分之其一为一十分二十七秒以加距度二十九分三十七秒亦得半景四十○分○四秒
　　地景实差
　　表中记地景差不及半分恒减于地景盖前所论之景实无差或因𫎇气有差耳其有差者太阴以其自行高庳有距地之远近入于最中时时不同也又太阳居其最
　　高所生之
　　景最大过
　　此渐向最
　　庳去地渐近即从地出景渐小渐短也故月食时先以太阴自行定地景之半径又以太阳自行求此实景差而减之乃正得太阴过景之处矣推算之法设太阳先在最高推所生景又设在最庳推所生景得二景之最长最短又设太阳先后距地同而以先过景之径比于后过景之径其二径差即表中之地景差
　　假如丁己
　　为太阳半
　　径第谷所
　　测为甲庚地半径五又四十一分依戊庚平行线减丁戊地半径馀戊己得地半径四又四十一分设戊庚为太阳在最高距地之远一千一百八十二地半径则戊己与戊庚若甲庚与甲辛得甲辛地景于太阳在最高时其长二百五十二地半径又二十三分太阴在其最高最庳之间距地之远得五十六地半径又四十三分为甲乙以减甲辛馀乙辛一百九十五地半径四十○分以推月食之半景乙丙则乙辛与乙丙若甲辛与甲庚得乙丙四六五一六五四〈算法以原数通为分又于每率后加五位乘除之〉又求乙甲丙角所限目窥乙丙之大以太阴距地之远依前法算得切线一三六四查八线表得四十六分五十二秒又依此法以太阳在最庳距地之远一一四一地半径推算地景为二百四十三地半径又三十八分去减太阴在高庳之间距地之径馀一百八十六地半径又四十五分依前算得四五九九一二四为乙丙线次以太阴距地之远三四○三推得切线一三五一查得乙丙半景四十六分二十六秒比前所得差二十六秒为地景之最大实差其馀者以太阳自行距最高远〈法算书卷六十六〉
















　　近依法次第求之新



　　钦定四库全书
　　新法算书卷六十七　　　明　徐光启等　撰交食历指卷四
　　食限第一
　　食限者日月行两道各推其经度距交若干为有食之始也而日与月不同月食则太阴与地景相遇两周相切以其两视半径较白道距黄道度人以距度推交周度定食限若日食则太阳与太阴相遇虽两周相切其两视半径未可定两道之距度为有视差必以之相加而得距度故特论半径则日食之二径狭月食之二径广论日食之限反大于月食之限以视差也
　　太阴食限
　　表中地景半径最大者先定四十七分太阴半径最大者一十七分二十○秒并得一度○四分二十○秒日月两道之距在此数以内可有月食〈可食者可不食也〉以此距度推其相值之交常得一十二度二十八分为月食限推法最大距度〈四度五十八分半〉与象限九十度若距度与交常之弧也其最小者地半径定四十三分月半径一十五分一十五秒并得五十八分一十五秒若距度与之等者依前法推交常度得一十一度一十六分此限以内月过景必有食〈必食者无不食也〉也抑此两者皆论实望时之食限耳若论平望其限尤宽如图甲乙为黄道甲丙当
　　白道乙为地景心丙为太阴心月切
　　景在丁其最大两半径为乙丙得一
　　度○四分二十○秒则相值之甲丙
　　得一十二度二十八分为定望食限
　　设平望尚在前为戊则戊平望距丙定望最远者二度三十八分有奇为丙戊弧以加甲丙弧得甲戊一十五度○六分有奇为太阴切景之时以其心距两交之度西古史多禄某定实望之食限一十二度一十二分中望之食限一十五度一十二分其所定视半径最小之食限一十○度五十○分
　　何谓平望距定望最远得二度三十八分曰太阳均度最大者二度○三分一十五秒太阴均度最大者四度五十八分二十七秒并得七度○一分四十二秒为两交时日月以实度相距极远之弧也从此太阴逐及于日行讫七度○二分此时间太阳又自行三十二分二十八秒太阴又须逐及更行三十二分此时间太阳又行三分弱共为三十五分以加太阳均度得二度三十八分为日月之实会望距其中望也如图甲乙为地心所出
　　过本轮心直线至黄道乙指中会太阴
　　实行在丙太阳实行在丁总丙丁弧七
　　度○二分太阴行至丁太阳己过丁而
　　前又逐及之终合于己故丁己弧三十
　　五分加乙丁共得乙己中实两会相距二度三十八分太阳食限
　　表中太阳之最大半径一十五分三十○秒太阴之最大半径一十七分二十○秒并得三十二分五十○秒所谓二径折半也以此推相值之交常为六度四十○分是太阳不论视差不分南北正居实会之食限也苐日食不在天顶即有高庳视差太阴每偏而在下交会时以此差故或就近于太阳或移远随地随时各各不同安得以实度遽定日食之限乎测太阴交食时最大高庳差得一度○四分〈因距远五十四地半径故〉减太阳之最大高庳差三分馀一度○一分〈此为太阴偏南之极多者凡日食时必有一方能见其然是为大地公共之最大差〉以加二径折半得总视距度一度三十三分五十○秒外此即无日食在其内则可食依前法求食限得两交前后各一十八度五十○分为两大视径折半之限也若以小半径求食限与前差度并得一度三十一分有竒推相值之交周度一十七度四十八分为小视径折半之日食限若日月会入此限内者日必食但非总大地能见必有地能见耳若以中会论食限又须加入实会距中会之度其最大弧三度则中会有食之限二十馀度如图甲乙为黄道甲戊为白道太阴以实度在己
　　以视度在丙太阳乙与太阴丙视相切
　　于丁则己丙为高庳差己戊为东西差
　　而丙戊为南北差南北差之最大者一
　　度○一分以加乙丙为总距度乙戊若
　　乙丙为大折半〈二径折半省曰折半〉推得甲戊食限一十八度五十○分或以小折半乙丙加丙戊得甲戊一十七度四十八分设中会更在前为辛得食限甲辛更多于甲戊求北中界日食限
　　北中界者地居赤道之北南不至赤道北不至北极也今依南方极出地十八度北方极出地四十二度定日食之限则最广者太阴距南其交常度七度三十一分太阴距北其交常度一十七度三十五分为可食之限最狭者太阴距南交常七度距北交常一十六度五十三分为必食之限其所繇广狭者因二径折半有大有小即相会时所当距度不同故所限交周度亦异也太阴分南北而定最大日食之限有二义其一论地总本界中有一方焉距北之最大者以十七度为限又有一方焉距南之最大者以七度为限非谓一方所见距北可得十七距南又可得七也其一论黄道度谓本界中有地有时太阴或南或北距天顶最远则其视距度最大以加于太阴实距度得其最大限在北可至十七度在南可得七度亦非谓诸宫交会皆可得七度十七度之限也今试于本界中论地先论其极高四十度者又于本地论时先论其不甚远于天顶者如日月交会在夏至鹑首宫初度设当时不会于正午其高庳差变为南北差者必少而所增视距度亦少即所得者不为其最大限必设实会正午月距黄道北得其高弧七十三度二十八分以推高庳差一十八分○八秒全变为太阴南北差依法加于二径折半得五十○分五十八秒为黄白两道之视距度则所值交周度得一十○度为顺天府北极同高地黄道本度月距北日食之最大限可食也设月距南则二径折半共三十二分五十○秒反减太阴南北差一十八分○八秒得两道视距一十四分四十二秒所值交周止二度五十○分为本地本度月距南日食之大限可食也次论其甚远于天顶者设日月在冬至星纪宫初度会亦正午其高弧二十六度三十○分推得高庳差即南北差五十六分二十四秒加二径折半得黄北两道总距一度二十九分一十四秒为月实距南所推最大日可食之限一十七度二十四分所以然者人目所见日月以两心合会必在太阴所离视道交黄道之处距其两道实交尚一十一度又本南北差减二径折半得距度二十三分三十四秒相当者得四度三十二分为太阴尚不及实交未过黄道南而以视差故人目所见则已过交出日食限之外矣如图丙为太阴丁为太阳甲为黄白两道之实交论实距度则日月至甲宜相掩而食今冬至南北差甚大太阴之视行循丙乙视道尚在己距甲远即己切太阳周入日食之限后太阳丁行黄道至乙与太阴视道相遇是为视交即二曜以两心合会
　　能全食若更前至辛日月亦未及实交甲太阴实未过黄道南而视行则己过太阳之南即丙不能掩日亦不能切日不食矣可见太阴实距北在己为顺天府同纬地最大食限得一十七度有竒至辛遂出食限之外况过甲而后实距南其视度距太阳甚远安得尚有食乎再于本界中论地论其极高一十八度者先设日月在冬至星纪宫初度实会在正午得高弧四十八度三十○分高庳差全变为南北差四十一分五十八秒加二径折半总得两道相距一度一十四分四十八秒外此无日食在其内可食相值之食限一十四度三十二分其食甚亦未至实交也若行至实交则太阴以视度过交而南四十一分五十八秒矣以较二径折半则视距为大不已出两食限之外乎安得有食设日月会于夏至鹑首宫初度此在天顶北五度三十○分得高弧八十四度三十○分推南北差得六分○八秒以加二径折半得三十八分五十八秒为太阴入阳历两道相距度二曜至此即以周相切推得日食限七度三十一分若月距北则两半径减南北差馀二十六分五十二秒仅得五度一十○分为日食限也如图地居夏至之南目视丙月则偏北故太阴之实度在黄道南为
　　本道上之乙与太阳之实度丁甚相远却以南北视差移而就近及以甲乙为食限二曜相掩必未至甲也若其过实交甲至己在黄道北则因南北差见月更在北与太阳相距更远不复能相掩矣
　　太阳太阴越六月皆能再食
　　越六月者如寅月食申月得再食也如图甲丙乙丁为太
　　阴离道交黄道于甲于乙甲丙乙为
　　其距北半圏馀乙丁甲为距南半圈
　　己庚戊辛皆为食限依多禄某随迤
　　北诸方所定中会时甲己及乙戊入阴历为日食限二十○度四十一分〈地愈向北食限愈大故也〉甲庚及乙辛入阳历得一十一度二十二分则限外弧己丙戊得一百三十九度庚丁辛得一百五十七度一十六分越六月之中积交周一百八十四度有奇〈先去全周〉则大于己丙戊及庚丁辛两弧故初月在食限内与正交相近者六月后则近中交亦在食限内而日能再食若月食不论阴阳历其限皆一十五度一十二分则己丙戊弧庚丁辛弧皆一百四十九度三十六分皆小于中积交周度故初月交周度入己甲庚食限内后六月又在戊乙辛食限内而月能再食
　　太阴越五月能再食越七月不再食
　　以距月之中积交周度与初月食限外之弧相比若度赢者则此食限内能起彼食限内能止即两皆有食若度缩者则一起一止或在两食限之外不再食矣如五平月交周得一百五十三度二十一分〈去全周己〉月食于高庳中处其实限一十一度三十○分南北同得限外无食之弧一百五十七度亦南北同是皆大于交周弧则五平月中不可得两食矣亦有可两食者则大月也太阳躔赤道南在其最庳左右必速行同时太阴去全周在其最高迟行必得定朔策少月大交周弧亦大夫五月之平朔策去太阴全周得一百四十五度三十二分中分之左右并得太阳均度四度三十八分又太阴五月自行一百二十九度○五分中分之以最大加减得其并均度八度四十○分太阳均度应加〈实度距最庳左右比平度远故〉太阴均度应减〈设月逐日实未追及故〉得日月以实行相距总弧一十三度一十八分为月逐日未及之弧如图太阳从
　　秋向春行本天小半周以当黄道
　　正半周必速行以甲乙直线中分
　　其平行左右各得丙丁均度太阴
　　在本轮自戊过最高辛至己迟行
　　以甲辛平分其迟行弧左右得壬
　　辛及庚辛均度日月两均度不同类一加一减并之得一十三度一十八分为太阳以实行在前太阴以实行在后之弧而太阴逐太阳行一十三度此时间太阳更行一度○六分以并于太阳均度总得五度四十四分为五大月过五平月之度亦为实交周过平交周之度
　　以加平交周一百五十三度二十一
　　分得一百五十九度○五分较食限
　　外之弧羸二度○五分则月食于甲
　　乙限内为壬距乙甚近而限外交周度壬庚越五月复可食于庚然食之分数少矣
　　又证太阴越七月不能复食者则小月也月大或平即交周弧大于食限外之弧不可得食今太阳在其最高左右迟行太阴在其本轮最庳左右速行因而成小月
　　夫七月之平朔策得二百○三度
　　四十五分同时太阴自行一百八
　　十○度四十三分如图甲乙分日
　　月平行甲辛分太阴自行太阳左
　　右各得最大均度丙丁并为四度四十二分应减〈实度距最高左右此平度近故〉太阴均度壬辛及庚辛并为九度五十八分应加〈设月以实行过太阳故〉一加一减并两均度得一十四度四十○分为太阴过太阳之弧此时间太阳亦行一度一十分以加其均度得五度五十五分是为七小月间实
　　行不及其平行之度又为七月间交周
　　平行之弧所减以成七小月实行之度
　　今以平行二百一十四度四十二分去
　　减五度五十五分得二百○八度四十七分以加于食限外之弧〈此第论太阴在其高庳中处甲丙左右四食限〉为戊乙壬或己庚丁仅得二百○三度小于七小月之实交周二百○八度有奇则月初食在戊丁限内后七月不能于己壬限内再食也
　　太阳越五月或七月皆能再食
　　此越五月能再食者必大月也其间交周实行可得一百五十九度○五分设日月在高庳中处得二径折半三十二分二十○秒设太阴距度亦正得三十二分二十
　　○秒则以前法求得距交六度一十二
　　分当在乙或在丁而乙丙丁弧乃得一
　　百六十七度三十六分若太阴绝无视
　　差者即食限外之弧乙丙丁大于实交周弧八度三十一分日月合会先在甲乙弧内有食越五大月复会必不能及丁戊为再食矣然太阴既有南北视差则以交周度不及食限内之弧八度三十一分平分之两加于食限得甲己及戊辛各一十○度二十八分而太阴在己或在辛皆距黄道五十四分三十○秒减二径折半馀视差二十二分三十○秒倍之得己及辛两视差共四十五分则诸方能得南北差及此分者所见太阴必偏南下掩太阳得有食也今所论五大月太阳速行先于太阴一十三度一十八分又于太阴逐及时间行一度○六分总得一十四度二十四分太阴行尽此度乃及日须一日○九刻是为五大月过五平月时刻则五大月得一百四十八日一十八小时故先定朔在酉正后必在午正若先在午则后在卯又太阳五大月行一百五十一度以最庳平分左右得先定朔在寿星宫二十一度次定朔在娵訾宫二十一度诸方地面得极高
　　二十馀度见太阴离是二壤值是二时
　　南北视差并得四十五分则越五月得
　　再食此外极出地愈高南北差愈大食
　　限愈宽凡交周在黄道北入甲己食限越五大月必入辛戊食限人居赤道北者可见两食或交周在黄道南入戊壬食限越五大月必入庚甲食限入居赤道南者可见两食
　　谓太阳越七月而再食则小月也否则交周度大于正交及中交之总食限而先在内后必在外不食矣若七小月间交周行依前得二百○八度四十七分而设无南北
　　差者则以日月两半径为食限得甲乙及戊丁各六度一十二分而总乙己丁弧一百九十二度二十四分小于交周一十六度二十三分即太阳先食于丁戊限内越七月后必己出甲乙限外亦不食也既常有南北视差则以较馀交周弧一十六度二十三分平分之以加于甲乙及戊丁得甲壬及戊癸二限各一十四度二十三分而壬己癸与交周弧相等又甲壬及戊癸一十四度二十三分得相值之距度一度一十三分三十八秒减二径折半得四十一分一十八秒为各视差倍之得一度二十三分则诸方有此视差者得有食也今所论七小月太阳迟行后于太阴共一十四度四十○分为太阴一日五小时所行之弧是一日五小时者七小月不及七平月之时刻也总七小月得二百○五日一十二小时故越七月得再会先会在卯后会必在酉又太阳行七小月实得一百九十八度〈前已证〉从最高平分之得先会太阴在陬訾宫二十七度后会在寿星宫一十五度则凡离是二壤值是二时所见太阴南北视差并得一度二十三分者必越七月得再见日食也此为极出地三十四度以上盖距赤道愈远视差愈大所见食分愈多矣
　　食分第二
　　欲知此月内有无交食则以食限求之〈见上文〉欲知此食食分几何则以距度求之距度者在月食为太阴心实距地景之心两心愈相近月食分愈多在日食为日月两心以视度相距其近其远皆以目视为凖不依实推盖定朔为实交会天下所同而人见日食东西南北各异所以然者皆视度所为也日食详说见后篇此先解月食分则论定望实会人所见者东西九服各异南北天下不殊也如左
　　太阴食甚分数
　　太阴在食限内过地景其两心最相近时为食甚而食分必多欲知食甚之处用距度求之盖距度与地半景及月半径相减得月入景之分〈此言分者天周度数之分非平分月径之分也称分有二类见下二文〉如两半径得一度距度四十○分相减馀二十分为所求月入景之分也但距度与半景或等或不等若过不及之分小于月半径则月不全入景而止食其半或太半或少半而己若距度小于半景者为太阴之正半径则虽全食随复生光其食分即太阴之全径以月自行推之若绝无距度即太阴遇景正在两交则并其两半径可推月食之分也
　　假如甲乙为地景〈定望时月
　　入此则失光亦名暗虚〉之半径乙
　　丙为太阴半径总得甲
　　丙为月食限限者乙点为二周相切之处食从乙点起渐入渐大若两周相分于乙点则不食也食有三等一曰不全食二曰全食三曰正食不全食者如一图甲丁为黄道丁辛当白道月心在辛即入景者半是为半食
　　或月心在庚则如二图入景者大半是
　　为大半食或在戊则入景者少半为少
　　半食皆不全食也求食分法以距度减
　　二径折半如图甲己与甲丙等为二径折半甲戊为距度以甲戊减甲己馀戊己戊己与戊庚恒相等故于二半径减距度即得其入景辛庚为此食之分也全食者
　　如三图月心在戊距度
　　甲戊两道如前而距度
　　入于半景者为太阴之
　　半径戊己则己庚入景之分为全径但全入以后太阴或向交行欲至丁或离交行欲至辛其周旋出景外则无既内分矣
　　以上二者皆有距度则皆不食于交点皆偏食也若如
　　第四图太阴食甚时绝无距度则月心
　　与景心皆会于甲甲乙为半景径甲戊
　　为平月径两半径并为甲丙设甲乙丙
　　为黄道甲丁为白道太阴从丁行以戊边至甲己全入于丁甲半景之内矣又行至边及戊乃食甚故更得甲戊为既内分总得丁戊两半径并为此食之分此月食之最大食于交点者也正食也
　　食分二类
　　求食分之大几何有二类其一为天周度数之分如上文所论者皆是也月食之最大者可得一度○四分有奇其一为太阴本径之分则惟历家所命如命月体之全径为十二平分则最大食得二十二分五十四秒也如命为十平分则最大食得一十九分○五秒也又此二类者皆系太阴及地景之视径虽距度同分而大小多寡犹多变易设距度恒为二十五分因太阴自行在最高得月食度数之分为三十三分一十五秒太阴在最庳得食度数分为三十九分二十○秒其自行在一宫或在一十一宫〈俱近最高〉得三十三分三十八秒在二或十宫得三十四分三十六秒在三或九宫得三十六分在四或八宫得三十七分三十○秒在五或七宫〈俱近最庳〉得三十八分四十五秒如前法以太阴半径半景并每去减二十五分即得此食分之数他距度依此推之其所繇渐渐有差者则因太阴距其最高愈远则视径愈大故也又平分本径亦有多寡有大小盖太阴在最庳其全体之天度分为三十四分四十○秒得平径一十○分设食甚正在交点无距度则二径折半得天度一度○四分二十○秒推总食之平径分得一十八分三十四秒而一平径分当天度三分二十八秒又设太阴在高庳之中食甚距度如前其平径亦一十○分以两半径推总食得一十八分四十四秒而一平径分当天度三分一十五秒与前不同则以视径故更设太阴在最高其视径更小仅得天度三十○分三十○秒食甚在交皆如前亦得平径一十○分而所推总食分更多于前为一十九分○五秒则一平径分当天度三分○三秒可见距度同平分径同而食分不同者月自行有高庳其去地之远近异视径亦异故也
　　求月食径分
　　太阴入景以本径分明暗之限为人目所见之分若全食更加入景之馀分〈即既内分〉推得总食分则距度能翕张其二径为食分多寡之缘也今或依第三卷所定太阴及地景视径表用引数求之并而去减其距度则太阴视
　　径与十平分若其二半径减距度之馀
　　分与食分或依第二卷前所设求太阴
　　均度之图用甲乙丁三角形求之盖乙
　　甲丁太阴均度角之正与乙丁直线
　　若甲乙丁总自行馀弧角之正与甲丁直线既得甲丁为太阴距地远次求太阴视径则其距地远甲丙与
　　太阴实径之正丁乙若
　　全数与丁丙乙角之切线
　　次以太阴半径与地半景
　　大小之比例为一五○与四○三推地景视半径盖一五○与四○三若太阴视半径之正与景视半径之正也既得视半径用三率法如前推算食分欲用表则于引数查视半径而以月视径及两半径减距度之馀数查食分然表中列数从引数出其理一也求月食面积分
　　前论月食分皆目可见器可测之视径分也若求其不全食之面入景之分则有别法设甲为地景之心乙为太阴之心以距度得其两心相距为甲乙直线又先得甲
　　丙为地景视半径得乙丙为太阴
　　视半径则甲乙丙三角形内有其
　　三直线可求三角又甲乙丁三角
　　形与甲乙丙三角形等则以丙甲
　　丁总角得丙戊丁弧亦以丙乙丁总角得丙乙丁弧今欲以径与圏之比例推丙戊丁及丙己丁两弧与其本圏半径同类之分若干〈弧曲线与直线异类以周径法变曲线分为直线分故曰同类〉其法以甲丙及丙戊得景中丙甲丁两半径弧形〈两半径弧形者两半径为两腰弧为底求得其容积也说见测量全义第三卷〉亦以乙丁及丁己得月上丙乙丁两半径弧形又丙丁直线为等腰两三角形之公底线求其半得丙辛以乘甲辛得甲丙丁三角形之积以乘乙辛得乙丙丁三角形之积次以两三角形之积各减其两半径弧形之积所馀丙戊丁己长圆形为太阴入景之面可得其馀不入景之面也假如崇祯五年壬申九月十四日夜望月食四分四十二秒食甚太阴距度四十四分其视半径一十六分二
　　十五秒地半景四十三分二十
　　三秒设甲乙为距度乙丙为月
　　半径甲丙为景半径则最大线甲乙与馀两腰线甲丙丙乙若两腰线相减之馀线甲丁与大线之分也即算得大线之分甲戊以其馀平分之为戊辛辛乙
　　次从丙作丙辛必为甲乙
　　之垂线矣既得各线如图
　　皆通为秒以求甲角及乙
　　角则甲辛与全数十万若甲丙与丙甲辛角之割线算得甲角二十一度四十○分倍之得四十三度二十○分为丙戊丁地景之弧又辛乙与全数若乙丙与辛乙丙角之割线算得乙角七十七度○六分倍之得一百五十四度一十二分为丁己丙太阴周之弧次求其各与本圏半径同类之分则月径及地景径各与其本周若七分与二十二分也推得地景周一六三六一月周六一九一因此用丙戊丁及丙己丁两弧各求其本圏径同类之分则全周一六三六
　　一与所截丙戊丁弧之分若全
　　周三百六十度与本截弧四十
　　三度二十○分算得一九六九
　　为丙戊丁弧其半九八四为丙戊半弧也又太阴全周之分六一九一与丙己丁弧之分亦若三百六十度与本截弧一百五十四度一十二分算得二六五一为丁己丙弧半之得一三二五为丙己半弧也次以甲戊乘丙戊得丙甲丁地景两半径弧形之积二五六一三五二以乙己乘丙己得丙乙丁太阴两半
　　径弧形之积又丙甲辛角之切
　　线〈乙丙也〉与丙辛若全数〈甲丙也〉与
　　甲辛得丙辛九六○则彼此求
　　两等边直线三角形之积与求两半径弧形之积通为一法得甲丙丁三角形之积二三二二二四○乙丙丁三角形之积二一一二○○各减其两半径弧形之积得丙辛丁戊分圏形之积二三九一一二丙己丁辛一○九三九二五并之得总数一三三三○三七即丙己丁戊全形之积也又以太阴半径九八五乘其半周三○九得三○四八五七五与总数比得太阴入景之面与其未食之面若一十三分与三十○分也
　　食甚前后时刻第三
　　食甚前初亏也食甚后复圎也两限间之时刻多寡其缘有三一在太阴本时距度因距度或多或寡每食不同即太阴入景浅深不同浅则时刻必少深则时刻必多其二在月及景两视半径半径小太阴过之所须时刻少半径大太阴过之所须时刻多其三在太阴自行自行有时速有时迟虽则距度同视径同而自行迟疾不同即所须时刻不同矣推距度及视径皆依前所设法此专求太阴实行以定食时刻分
　　月食起复行度
　　太阴入景自初亏至食甚之弧与其出景自食甚至复圆之弧两者略相等故求其一倍之得在景之总弧如图
　　甲为景心躔甲乙黄道乙
　　丙为白道太阴心至丁为
　　初亏在丙为食甚复圎在
　　戊丁戊者周天之弧也而所截弧极小故作直线用之人甲乙丙三角形也而乙角极小乙丙与乙甲略等故作平行线用之因而甲丙可为垂线因而丁丙与丙戊亦可为等今自甲出两直线为甲丁为甲戊皆当太阴地景之两半径而甲丙为太阴距度故甲丁戊三角形以甲丁方减甲丙方得甲丁方其根为太阴初亏至食甚行过太阳之弧若不用开方则有别法以角求对边线如甲丁线与丙直角若甲丙线与甲丁丙角既得丁角馀为丁甲丙角则丙直角与甲丁线若甲角与月行景之半线丙丁也虽食分不同或半月入景或全体在景求初亏至食甚之弧恒仿此次求食既至食甚亦仿此倍之得太阴全入景至生光及复圎之总弧如图甲
　　乙为黄道乙丙为白道太
　　阴心行至丁则全入景既
　　至戊即生光得丙丁及丙
　　戊略相等故先得丙丁倍之即丁戊也此则以甲丙为距度甲丁为地半景减月半径之馀于甲丙丁三角形用此两线及甲丙丁直角推丙丁线与前同法若欲精求之不听甲乙乙丙为平行仍作两线斜交于乙太阴初亏在丁食甚在丙复圎在戊丙丁是太阴在景之半为距交一十二分之一即作丁庚线与甲乙平行取丙
　　庚亦丙甲距度一十二分
　　之一以减甲丙得甲庚是
　　太阴初亏之距度以加甲
　　丙得甲己是太阴复圎之距度次以甲丁甲庚两线及庚直角求得庚丁线以庚丁庚丙两线及庚直角求得丙丁线为初亏至食甚行度后以甲己甲戊两线及己直角求得戊己线以戊己己丙两线及己直角求得丙戊线为食甚至复圎行度也
　　食甚距度线与白道当为垂线
　　求食时刻设太阴食甚前行度与食甚后行度等即距度线必当为白道之垂线不然者必行度前后不等而时刻亦不等如图甲乙为白道甲丙为黄道太阴在丁自
　　庚黄极出线过丁月为庚丁弧至戊黄
　　道指太阴实度在戊因太阴在丁得交
　　常分甲丁而庚丁与庚乙若甲丁与甲
　　戊〈皆用正算〉若得甲丁四十五度与甲戊
　　最差之限得六分〈甲戊少于甲丁在图为己丁〉若甲丁在食限内其与甲戊差又不及三分矣因两道之最大距不过五度故也设甲丁弧得二十○度而以甲乙与乙丙之比例推甲丁与丁戊得丁戊距度一度四十二分今作戊己与甲乙为垂线又以甲丙与丙乙之比例推甲戊与戊己亦得戊己相距一度二十四分可见丁与己见有差戊己与戊丁有微差不足见也今不用戊丁开方而用戊己又以戊己平分太阴入景与出景之弧其不得有差甚眀矣
　　太阴食在景时刻
　　前第二卷论月食以食甚时为主于食甚前之初亏至食甚后之复圆总推定时刻分秒其法以太阴在景中行度变为时刻如先得食甚前行度求所当初亏至食甚时刻倍之得其馀行度亦变时刻皆依先所定行度用比例法推算也如崇祯五年壬申三月望太阴初亏至食甚行四十○分一十六秒欲变时用三率法太阴行三十三分一十一秒得一小时今四十○分一十六秒应得一时一十二分四十三秒但太阴自行恒异平行食时间恒不居本轮之一处故所用一小时之行分以定食间行之时不得用平行必须考将食之实行查太阴实行时表法恒以自行宫度得一小时之实行每度所值各各不同如太阴平行一时得三十○分二十九秒以本时自行求均度或加或减于平行得实行若加减度表对自行初宫三十二分四十○秒得均度二分四十六秒以减三十○分二十九秒得二十七分四十三秒为表中相当引数初宫初度之率也加减度表对自行一宫三十二分四十○秒得均度二分二十五秒以减一小时之平行馀二十八分○四秒为相当引数一宫及一十一宫之率也其馀皆仿此第自行在本轮最高左右必减均度得一时之实行在最庳左右必加均度得一时之实行耳
　　既以实行推定总时刻则以食既至食甚之时减先定食甚时刻分秒得食既时刻分秒以相加得生光时刻分秒又以减食甚前总时得初亏以相加得复圎又以初亏减复圎得总食之时刻分秒若初亏在子时前复圎在子时后则即以丑初为十三时〈午正起算用小时〉丑正为十四时如是接续减之
　　交食图义第四
　　求日月失光之面向何方位则有两缘其一从太阴距黄道度作大圏令过太阴太阳两心〈此日食也〉或太阴与地景两心〈此月食也〉下至地平周遭移指交食所向之方也其二黄道斜交于地平日月随之行遇食必有时向东南西北有时向东北西南也欲绘交食图必先察日月所向起复方位苐旧法祗以阴阳二历分别南北殊粗率今法必可得其度分颇为繁细耳
　　距度变日月食所向方位
　　太阴食起复之间以本行屡迁其度分即作过两心〈月心地景心也〉大圏至地平时刻各异所向方位亦时刻各异欲尽推之其多无数故当求其初亏食既食甚生光复圎五向而止如图甲为地景心甲乙为黄道戊丙为白道两道之大距不远故作平行线论初亏太阴在丙食既在丁食甚在戊即甲丙甲丁甲戊皆过月地景两心之弧因太阴渐近于地景心甲其距度远近渐次不同而乙甲
　　丙角乙甲丁角乙甲戊角之小大亦不同则太阴所向地平之方位度分亦不同故恒以本距度推本角如甲丙初亏之距为半景月半径并之甲丁食既之距为半景减半月径之甲戊食甚则为太阴之正距度也甲戊丁角可当直角不论其甲戊线与甲丙戊对角若甲丙线与丁戊甲直角得甲丙戊角与乙甲丙角相等〈乙甲丙为所求〉又甲丁戊三角形依此法推甲丁戊角与乙角丁角〈此为所求〉相等而食甚乙甲戊为直角故在甲诸角其线不等即所向方位不等论日食则甲丙为日月两半径甲戊为太阴距太阳食甚之视度以求甲丙戊角向下皆同前法今更作图甲为景心乙丙为黄道若太阴初亏
　　在乙其入景之面必正向东若复圎
　　在丙〈初亏在乙复圎必不在丙故曰若指他食也〉其出景
　　之面必正向西皆无距度故若其距
　　北在丁或在戊即入景之面向东南
　　或西南若其距南或在己或在庚即入景之面向东北或西北也论日食设甲为太阳心其理同此但出入之面所向与月食所向正相反此为异耳
　　黄道出没变日月食所向方位
　　黄赤两道之两交切地平若一在正卯一在正酉不偏南北即诸方俱无阔度矣外此或黄道距南或距北其距渐多其出没之阔度去离卯酉亦渐多又南北极愈高其相离更远如北极出地三十六度黄道度去离春秋分或南或北一宫其阔度左右各一十四度一十五分若去离二宫则更远其阔度各二十五度一十三分最远者得二十九度二十九分若北极出地四十度即一宫得阔度一十五度○四分二宫得二十六度四十五分最远则三十一度一十九分也太阴既随黄道行其食也亦必依其阔度则起复之所向方位太阴亦必依阔度之左右也今欲定其多寡如图南西北东为地平
　　圏丁甲戊为黄道食时得阔度戊距正
　　东若干太阴心在丙景心在甲过两心
　　之庚甲己大圈指己因戊黄道度距正
　　东远己随之距正东亦远而丙月之初
　　入景所向为己也今求东己弧先设辛为天顶出高庳弧过甲至壬为顶极圏又作一癸午弧与甲庚为直角次甲乙丙小三角形有乙丙距度有甲丙两半径有甲乙丙直角依比例推得甲角次以食时及甲景所躔黄道度得戊甲辛角即得其馀辛甲乙角又得辛甲乙所分之辛甲午角〈减乙甲丙小角〉次甲辛午三角形有甲角有午直角又以北极高及黄道距赤度得甲辛弧可推得辛午线以加辛癸象限得午癸总弧为午己癸角其馀角为甲己壬也而己甲壬为辛甲午之对角甲壬为辛甲之馀弧因可推壬己弧又戊甲壬三角形有原推之甲戊有甲壬戊直角有乙甲辛相对之壬甲戊角因可推壬戊弧去减先得之壬己馀己戊为所求太阴初入景所向东南维之地平经度以加初所得东戊弧则得东己总弧
　　月食图
　　西历恒推日月食所向方位以其所亏及复圎距度作图求距度食甚前与食甚后为一法以太阴自初亏至食甚之实行加入太阳同时所行分秒得太阴初亏至食甚在景之总分以加前所定食甚交常度得复圎交常度以减得初亏交常度次求初亏距度则全数与其交常度若黄白之大距度与其距度求复圎距度仿此假如崇祯五年壬申三月望太阴初亏至食甚景中行过太阳四十○分一十六秒为时四刻一十二分四十三秒同时太阳行二分五十七秒以加前行得四十三分一十三秒为太阴在景之总行其食甚交常度为过中交八度三十五分五十八秒以加太阴总行四十三分一十三秒得复圎交常度一十○度一十九分一十一秒其正一七九一四以减得初亏交常度七度五十二分四十五秒其正一三七一○算得太阴初亏距度四十一分复圆四十九分三十○秒若用表以时分查太阳本行以交常度查太阴距度更易得矣欲依本食作图其外大圈之半径为月半径地半景并得一度○四分三十二秒〈量用比例规或先平分一直线〉内取食时所
　　得地半景〈此为四十六分三十五秒〉作内圈以
　　当景次查距度此食在南初亏四
　　十一分复圆四十九分得太阴初
　　在乙后在丁食甚亦依其距度在
　　丙为食之定分图上下左右书四
　　方其起复所向方位必与天合也
　　新法算书卷六十七
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>



　　钦定四库全书
　　新法算书卷六十八　　　明　徐光启等　撰交食历指卷五
　　视差以人目为主第一　四章
　　前言实会中会视时食限等皆日月食之公法也是皆凖于地心今再论月食生于地景景生于日故天上之实食即人所见之视食无二食也日食不然有天上之实食有人所见之视食其食分之有无多寡加时之早晚先后各各不同推步日食难于太阴者以此其推算视食则依人目与地面为凖
　　视会
　　凡交会者必参相直不参直不相掩也日之有实食也地心与月与日参居一线之上也其有视食也人目与月与日参居一线之上也人目居地面之上与地心相距之差为大地之半径则所见日食与实食恒偏左偏右分为两直线各至于宗动天其所指不得同度分是生视差而人目所参对之线不得为实会而特为视会如图甲为地心乙为地面丙为天顶若丁为日戊为月即在甲丙一直线上则实会即为视会因地心与人目无分线故也若日在辛必月在壬方与地面乙作一线
　　为视会矣若月至己与地心甲作一线
　　则实会也今言交食惟以目见为凭故
　　日食全论视会若所居地面不同即食
　　分多寡加时早晏亦随之异也又视会
　　实会在日月本天皆无度分可指而全依宗动天之黄道圏度分则此实会线所指谓之实度视会线所指谓之视度如图甲辛线所指为黄道之庚则庚为太阳之实度若乙目视辛日至黄道癸视己月至黄道午则癸为太阳之视度午为太阴之视度也
　　日月目见之度非实度
　　譬之画图者作平圆形则一举手一运规即得矣若欲为螺旋线先须依法作识又依法作线乃成形焉测天之法亦犹是耳今欲知日月纒离东西南北亦转仪窥表一览可知若欲定其本行所在则非聊一寓目遽能得之必先后累测度分展转较勘乃可定也假令目居地之中心〈地之心即宗动天之心〉极目所见则有恒星以当彼界两界中间有日月五星是名七曜七曜相视有远有近无有同者即论一曜亦各时远时近无时同者是则目所能见也然因目所见得其视度于彼界因以视度测其与某恒星相距若干度分因以是度推其实与地相距若干远近则可谓即目所见遂得其实行能分别其去地远近则不可何者七政诸本天虽居恒星天之内乃不见火木土等内天之星以本体能掩最外之恒星则何从辩其内外远近乎又目所见者太阴太阳二体相若何从知其内外之相距绝远二体之小大绝不相等乎内天之两星参对于外天之两经星目见之能知外者之两相距甚远内者之两相距不甚远乎是三者皆目力难凭之效也或曰是则然矣测量之法皆凭目所见也则可废乎曰何可废也惟测内天之星得彼界所指之点以为即在恒星之天聊可得之矣何者凡用在界之弧以测其辏心之角无弗真者目测恒星之天其在地面与其在地心也无以异〈地居恒星天中止当一点〉若测内天诸曜目虽不在地心相距亦不甚远故测日月五星于彼界上得点即与实度相近〈曰聊可得之曰距不甚远曰近其实度皆因有地半径视差故〉但恒星有时不见或与内天诸曜不相值故历家以地平代恒星更用远视之噐以助目力得日月五星之视度分依法推步乃正得其实度分矣
　　人目差
　　两目赅存不惟相助以为明相代以备患亦能彼此互用以察物之远近盖各以其心〈目睛最中之一点为心〉受外物之象其过心之两直线至物体则相遇为两腰两睛心自相距为底成三角形因以其比例之大小别物距目之远近是谓目差縁此可推天上之视差以小喻大其理一也若物大远于人目则底线极小两腰极长是过睛心之两径线与平行无异正如地球比恒星天之高特以一点为底视差无所繇生矣
　　如图两目之心为甲为乙目所视之物为丙若甲乙线
　　可比于甲丙线〈可比者不甚远则有比例〉则两戊己径线渐相就如己
　　而相遇于丙若物更相近为
　　丁则两径速相就为辛庚〈甲乙丙及甲乙丁两三角形皆等边又同一底线则丁角大于丙角而丁甲乙角必小于丙甲乙角〉而两目之光线皆从己敛向于庚自觉所视之物变远为近矣若物与目相去甚远则无比例者因两径绝难相就绝难相遇故也今借此理明视差之公理如本图设丁物之前有横堵为壬癸令甲目独视丁物则所见若在壬令乙目独视丁则所见反在癸而丁前丁后两交角形必相似即丁物亦不远于壬不远于癸盖视之目分两线为交角即能分本物之远近也若不能分两线即不能分远近
　　地半径差
　　目视星欲辨六曜〈月五星也〉在恒星之内势不能也则当借地体之大补目力之不及法用地半径为底以推测量所指之界即可得七政远近上下各居本天之实处如图甲乙两目相距为底则二寸耳今以两地相距数千里或数里当之以为底如甲为顺天府乙为广州府丁为太阴两人同测之一在甲一在乙因此大底之远近比于各距太阴之两腰得大小之比例则甲丁及乙丁两
　　直线必觉彼此相就以趋于丁
　　矣再使壬癸为列宿天之两恒
　　星〈或壬癸为太阳之全体壬当其南周癸当其北周〉测
　　者一从甲见太阴丁若在壬以夲体合于一星之体〈或太阴之南周齐太阳之南周〉一从乙测太阴反在癸转就北以合于他星〈或太阳之北周〉若甲乙两测之距愈相远即所见丁月两指之极高亦愈相远〈一偏南一偏北东西亦同〉而人在甲能见太阴掩日为日食人在乙即不可得见矣以此壬癸当宗动天上之弧正所谓视差与前言目见之小视差其理一也第两人相距千里万里同时并测太阴其势甚难故立别法代之〈详见本书第六卷下文略言之〉假令人正居地心推其所得太阴距天顶应若干度分又同时居地面者实测太阴距天顶得若干度分两度之差即所谓视差也如图甲乙丙为地球丁为天顶甲戊丁直线所至也若太阴在
　　此线左右为己从甲地心测月见之
　　当在庚自地面乙测之乃在辛则先
　　推定丁甲庚角或所当之丁庚弧后
　　推丁乙辛角或所当之丁辛弧〈乙距甲与乙距丁无比例甲乙至小故〉以两角或两弧相减得视差之弧庚辛
　　问一星距天顶测其宗动天上所指度分在地心测之则距近在地面测之则距远若论角则地面之乙角大于地心之甲角何以证之其故何也曰因其一远一近如图太阴在本天其距顶之弧为己戊己戊之距地心甲与其距地面乙远近之差则目所能识也所能分也
　　〈因地之半径与月本天之半径有比例故〉则目之在甲与
　　在乙所受己戊弧之象实不能无大
　　小为己戊弧等而两角之大小不等
　　〈目受物象皆以角形见交食第一卷〉相近者必大远者必小也角既有大有小所相当之弧不得不有大小则辛之距天顶视庚之距天顶不得不远矣又论辛庚视差实为辛甲庚角所定何用辛己庚或甲己乙角乎曰甲乙线与甲庚线无比例〈小大绝远故〉而甲乙与甲己则有比例即甲己与甲庚亦无比例也既甲乙与甲己同为微末不以入算则
　　用辛己庚角代辛甲庚角无以异矣若
　　论角则丁乙辛角与丁辛弧相当〈因甲乙与
　　乙丁无大小之比例〉又丁乙己角与乙甲己及甲
　　己乙两角并等〈见几何第一卷十六题〉则两角并亦与丁辛弧相当矣今丁庚弧既与丁甲庚角相当则馀弧庚辛必与馀角甲己乙或辛己庚相当也
　　视差以天顶为限第二　六章
　　人目在地面或在地心仰视天所得日月道相参直者止有一不同者无数过两目之垂线止一至顶之线此外分离处处各异
　　三视差
　　视会与实会无异者惟有正当天顶之一点过此以地半径以日月距地之远测太阳及太阴实有三等视差其法以地半径为一边以太阳太阴各距地之远为一边以二曜高度为一边成三角形用以得高庳差一也又偏南而变纬度得南北差二也以黄道九十度限偏左偏右而变纬度得东西差三也因东西视差故太阳与太阴会有先后迟速之变二曜之会在黄平象限度东即未得实会而先得视会若在黄平象限西则先得实会而后得视会所谓中前宜减中后宜加者也因南北视差故太阴距度有广狭食分有大小之变如人在夏至之北测太阴得南北视差即以加于太阴实距南度以减于实距北度又东西南北两视差皆以黄平象限为主盖正当九十度限绝无东西差而反得最大南北差距九十度渐远南北差渐小东西差渐大至最远乃全与高庳差为一也〈三差恒合为句股形高庳其南北其股东西其句至极南则与股合至极东极西则与句合也〉
　　论日月视高差
　　太阳出地平上渐升至天顶得九十度在夏至则离赤道北二十三度半为丁辛如北极出地四十度即赤道离地平五十度加丁辛二十三度半得七十三度半此日在午正之高也今太阳未至子午圏别作一高弧从甲过
　　太阳垂至地平上为甲乙丙弧其乙丙既太阳未及午正之圏即其高不至七十三度也两曜去天顶有高庳与恒星有远近时时处处不同故其视差大小亦各不同惟曜在天顶则无差若下几度则少差愈庳愈差庳至于地平则得其极大差矣今先论太阴如图甲为地
　　心乙为地面丙为天顶丁己为太阴
　　本天丙戊为恒星天若人在地心甲
　　视太阴正在地平己直至戊在参宿
　　第三星下人在地面乙视太阴己直
　　至壬在参宿第一星下是壬戊不同度至一度○六分为太阴之极大视高差若太阴高至庚至辛视差渐减如在丁直视至丙人在甲与在乙悉无交角无差分矣太阴距地心最近者为乙地面至其本体得为地半径者五十六个〈后言一个者皆一地半径省文也〉若太阳甚远于地自地
　　面至日轮得一千馀个其差更小日
　　出地平之最大差止三分渐高渐小
　　矣凡推日食恒以太阳之视差减太
　　阴之视差得两曜之视差假如甲乙
　　为地球丙丁为日月本天皆如前于最上之天〈或指宗动或指恒星其理同也〉得戊庚为太阴视差得己庚为太阳视差相减得戊己为两曜之高庳视差
　　求太阳高庳差
　　凡地半径与星距地心之远此两直线若能为大小之比例者即人在地面所测与星所在之实度分不一是为视差若星距地甚远其距远之线极大地半径极小两线绝不能为比例即人所测与地心所出两直线所指之度不能分即不能为视差故求星之距地远近恒以视差为证以视差之多寡不等推其距地远近亦不等如测恒星无视差可证其距地最远测填星微有之仅得数秒而测太阴所得过一度因知七政之最远者为填星最近者为太阴而太阳得视差三分当在其中央矣太阳太阴之距地远近如前以月食求之其法更易今以其远近及地半径反推其视差定为高庳差表如图甲乙为地半径甲戊为太阳距地心之远任在本天最高或最庳或高庳之间皆有小异今设在高庳之间者如日初出在丙则甲乙丙三角形内乙甲丙为直角
　　甲角直线为甲乙者一千一百四十
　　二个〈此中数也〉推得甲丙乙角三分为太
　　阳之最大高庳差若太阳在丁其丙
　　丁高弧三十度则以馀弧之乙甲丁
　　角推得高庳差二分三十六秒为甲丁乙角若丙丁高弧六十度则甲丁乙为一分三十秒依高度推高差皆凖此至天顶戊即无差
　　求太阴高庳差
　　太阴之距地既近视差既大即其在本轮之最高最庳次轮之最远最近视差大小亦皆变易其在本轮最高次轮最远〈一限〉则距地依歌白泥算六十八个二十一分以六十度高弧推之得视差二十五分二十八秒若在本轮最高次轮最近〈二限〉距地六十五个三十○分以同前高度推视差二十六分三十八秒若在本轮最庳次轮最近〈三限〉其距地五十五个○八分以同高弧推得视差三十一分四十二秒若本轮最庳次轮最远〈四限〉距地五十二个一十七分以同高度推得三十三分二十八秒是为同六十度弧之最大视差若他高度其法同此所推视差各异矣又太阴在小轮高庳远近时时变易视差随之无能不变欲考其几何如图甲为太阴本轮之心从地心壬出直线过甲至辛指最高于乙最庳于丙
　　是为次轮心一在最高
　　一在最庳而己丁及庚
　　戊两弧皆设六十度引
　　乙丁及丙戊直线得甲乙丁及甲丙戊两三角形今先求次轮在本轮最高远近之间各度生何视差借太阴历指所定以地半径量诸轮之半径得甲己为五个一十一分甲壬为六十个一十八分而己辛止得二个五十一分则甲乙丁三角形内得乙丁为一个二十五分〈地半径为个个六十分〉甲乙为六个三十六分丁乙甲角六十度推得甲丁线六个○七分以并壬甲总得六十六个二十五分大于壬己线五十五径分有竒是名剰分今更设比例分论之如壬己为六十比分即己辛得二比分三十七秒而剰径分五十五当化为四十六比秒又己辛当六十比分依法推得一十八分正〈六十与一十八若二分三十七秒与四十六秒〉为次轮上六十度己丁所求高差应减于最近己高差也次论甲丙戊三角形其两线甲丙戊角及剰分同前但壬庚线得五十五个○八分亦以当六十比分即庚癸得三比分○七秒而剰径为五十五比秒又庚癸当六十比分亦推得一十八分〈六十与一十八若三分○七秒与五十五秒〉是为次轮上六十度庚戊所求高差应加于最近庚高差也盖依前所定四限丁六十度在一辛二己远近之间高于己得视差少于己故剰分推视差以减于己得太阴在己正高庳差戊六十度在三庚四癸远近之间庳于庚得视差多于庚故剰分所推视差以加于庚得太阴在戊正高庳差也其馀次轮之远近度求视差皆凖此
　　太阴在朔高庳视差
　　本书二卷论太阴交会时恒居次轮之最近所谓第二第三限在前图为己为庚也因太阴食日加时恒不在本轮之最高最庳而月行次轮周恒倍于本轮周故朔望时太阴恒在次轮之最近最近所行之周名本轮之内圏是大于次轮小于本轮以己庚相距之线为径今欲求内圏之上下左右各度得何高庳视差如图己丙庚内圏己为高最远庚为庳最近乙距地心甲为地半径
　　六十个一十八分〈设歌白泥之数以为
　　法〉己丙弧六十度乙丙得五
　　个一十一分与甲乙六十个
　　十八分同类之径分也以甲乙丙三角形推太阴在丙距二限已六十度得甲丙线六十三个○四分因得甲己六十五个三十○分剰得二个二十八分今设己庚为六十○比分即推得一十四比分〈六十与一十四若己庚十个二十二分与剰径二个二十八分〉为剰分以推太阴在丙之视差加于在己之视差得太阴之真视差
　　假如太阴距天顶四十二度在本轮七十二度在次轮六十○度总论其变视差以距顶倍之度查本表得太阴在远近之第二限有高庳差三十五分三十一秒以较第一限赢一分二十九秒今距第二限六十○度依前法推得一十八分而六十分与一分二十九秒若一十八分与二十七秒则于二限高庳差减二十七秒馀三十五分○四秒是一二限间次轮行六十度之高庳差也又第三限较第四限之视差不及者二分一十九秒而六十与二分一十九秒若一十八分与四十二秒
　　以四十二秒加于第三
　　限之四十二分一十九
　　秒为四十三分○一秒
　　是三四限间六十度之高庳视差今太阴行本轮七十二度又在二三限之间法以丁戊上两视差相减馀七分五十七秒于时太阴自行得二十比例分则六十与七分五十七秒若二十与二分三十九秒以二分三十九秒加于前推一二限间次轮六十度之视差三十五分○四秒得太阴居高庳远近之间本轮七十二度距天顶四十二度次轮六十○度之真视差三十七分四十三秒凡以距天顶馀度求四限间之视差法皆凖此其在二三限日食所用有立成视差表依诸高度及距地远近简之
　　测日月求高庳视差
　　借月食推太阳太阴距地心远近而求视差以三角形推算为常法欲从天行求之则测日月高度以比其实纬度两度之较为高庳差也隆庆六年壬申有客星见王良北西史第谷以视差求其距地之远立数法试之其一候其至子午圏同恒星在极高度测其相距远俟行半周在极庳度复测之得远近之差以推定其高庳差其一用北极出地度考之从极上极下测一恒星得其高庳差度半之以加于下测之度或减于上测之度若未得北极出地之高度即有视差其一南北相距两地同测一星以较于北极或于恒星彼此得度有差则有视差其一测星之高度依法以加以减不正得其赤道上之本纬度则视差所移易也今测日月其距极甚远又有出有入非如北极恒星常见不隐二曜亦不能同时并测即诸法不可尽用备述此者明测候之理且以需他用耳
　　假如万历十一年秋八月太阴黄经度从冬至起得一十五度四十○分黄道纬距北二度四十二分第谷测其子午高得上周一十三度三十八分其半径一十五分蒙气八分皆以减于高度馀实高度一十三度一十五分因太阴在赤道南以减本地赤道高度得太阴赤道纬度二十○度五十○分第以前黄道经纬推本方之实赤道纬仅一十九度五十七分则以相减得五十四分为太阴一十三度一十五分之高庳视差也又万历十五年六月太阴黄经度从冬至起得七度五十○分黄纬五度有竒推其赤道实纬度一十八度○五分测其上周高一十五度二十○分下周一十四度四十六分得径三十四分太阴心高一十五度○三分内减蒙气六分馀与赤道高相减得一十九度○八分为太阴赤道距度较实推赢一度○三分是为本方之高庳视差也从两视径观之可见径大者近于最庳小者近于最高故所测高度略同所推视差大相远矣又万历十四年九月测太阴高四十五度其视径三十四分于时离鹑火宫十一度一十○分而本度距地平正当黄道九十度限不必用赤道纬度以求视差祗以黄道实纬度四度四十五分减视纬度距南五度三十○分得四十五分为太阴高四十五度之高庳视差也










　　以四方分视差第三　五章
　　视高差无定方惟日躔月离所在从天顶下垂线过曜至地平为直角其过曜处分视实之高庳而已至黄道经纬度亦依视高而有变易则因日月视度从黄道偏南北或偏东西或正或斜随所在得其横直视差为南北东西差
　　三视差总图
　　前论视高差为过天顶大圏之弧止向地平随方取之今论南北差是过黄极大圏之弧为黄道两平行圏所限也其一过实度其一过视度东西差则黄道之弧为过黄极两大圏所限也亦一过实度一过视度三视差弧
　　独黄道正南北或正东西则合为
　　一弧外此必成三角形以法推每
　　边之度分也如图甲乙为地半径
　　丙为太阴丙丁为月本天戊己庚
　　为黄道壬己癸为过天顶象限从
　　地心出直线过太阴为甲丙至宗
　　动天指其实度为辛若从地面出乙丙线指其视度为午则辛午弧为太阴高庳视差午申弧与黄道平行过太阴视度于午未辛酉弧亦与黄道平行过太阴实度于辛则两平行弧间午未或辛亥为太阴南北视差又亥辛及午未为过黄道极大圏之弧则亥午在其中为太阴东西视差合三视差得午未辛或亥辛午三角形今依本图设日食在黄平象限西太阴以实行在子正对太阳在己人在乙尚未见食必太阴过东至丙乙丙己参相直则见食是为视会是实会在先视会在后也若食在黄平象限东即反是如次图更易见设乙甲丁
　　为地平戊为天顶甲辛己为黄道丙为
　　其极太阳或太阴在己为实度但人不
　　在地心在地面如庚视太阴在壬则己
　　壬为高差从丙至己至壬作丙己丙壬
　　两弧线即得甲己线交黄道于辛而辛
　　己为东西差辛壬为南北差
　　高弧正交黄道南北东西差
　　以高弧与黄道相交之角分南北东西差可得其㡬何盖两弧相交以直角则高弧正为距度弧不偏东西即绝无东西差而高庳差径为南北差若黄道自为高弧而太阴在交处无距度则高差径为东西差而绝无南北差若太阴有距度则黄道不同于高弧太阴不免有东
　　西差亦并有南北差如图甲戊为黄
　　道即为高弧与地平为直角甲为天
　　顶太阴在丁则其高差丁戊即为东
　　西差若太阴距南或北作大圏过黄道之两极为乙丙其距度为丁乙丁丙得甲乙甲丙弧与甲丁弧必不等又不交于乙丙弧之极故甲乙丁甲丙丁不能为直角而并得南北东西差且太阴愈近天顶乙丙两角愈锐南北差愈多太阴愈远于天顶两角渐大殆如直角而南北差渐少
　　高弧斜交黄道南北东西差
　　太阴有距度求视差甚难其理甚繁其在交无距度者稍易稍简故先之设黄道为甲乙丙其斜交之高弧为丁乙戊太阴无距度在乙其视高差为乙戊得南北差为丙戊东西差为乙丙成乙丙戊三角形其形有丙戊为过黄道两极之弧则乙丙戊为直角有丙乙戊角其相
　　当弧甲丁过高下圏及黄道极之弧也
　　有乙戊视高差法以曲线三角形之理
　　推乙丙丙戊两视差之弧但此三角形
　　小其三边皆为大圏之弧可用直线法推之再设太阴不正在交有距度或南或北如图丁乙为过地平两极之高弧甲乙丙为黄道太阴距南在戊距北在己其黄
　　经度在乙从天顶得丁戊为太阴距
　　南高弧丁己为太阴距北高弧因实
　　度在戊在己视度在庚在壬得戊庚
　　及己壬为太阴视高差又得庚癸壬辛弧其至癸至辛指太阴视经度与黄道为直角今以实经纬及北极出地度算南北东西差
　　假如以北极高得乙丁过顶弧又有乙戊为太阴距度弧有甲乙丁为高弧交黄道之角加甲乙戊直角得丁乙戊角可推丁戊弧及丁戊乙角若太阴距北有丁乙己为高弧交黄道角之馀角亦可推丁己弧及丁己乙角又查丁戊丁己视高差表得戊庚及己壬而太阴距南乙子戊三角形内有子乙戊直角有乙子戊高弧交黄道之角有戊乙距度弧可推子乙及子戊弧则子癸庚三角形内有子庚弧有庚子癸角有子癸庚为直角可推庚癸视距度去减乙戊实距度得南北差亦可推子癸黄道弧减子乙得乙癸东西差其太阴距北则乙
　　癸己三角形内有距度乙己有乙己
　　癸角有乙直角可推乙癸及己癸弧
　　及乙癸己角去减己壬视高差得壬
　　癸弧又壬辛癸为直角可推辛癸及壬辛于乙己距度去减壬辛视距度馀为南北差乙癸减辛癸馀乙辛为东西差
　　如上说细论视差于理为尽若恒时推步别有捷法力省大半盖丁乙己角可当丁戊乙角甲乙丁角可当乙癸己角丁乙弧亦可当丁戊及丁己弧故也若本地距黄道远依此算即不得有差惟黄道在天顶太阴之大距五度又在本天最庳则差至六分不得用此若太阳将食即太阴居食限之内距度不过一度半依省法算所差者不过一分四十五秒欲并无差仍用原法太阴无距度以视高差求南北东西差
　　依图乙壬戊为子午圏乙甲丙为地平壬为天顶丁甲戊为黄道壬己为高弧太阴在辛则辛己为视高差自黄
　　极癸出癸辛癸己两大圏弧限辛庚
　　为东西差庚己为南北差此三角形
　　有己庚辛为直角辛己为高差更得
　　高弧交黄道之角庚辛己则视高差
　　辛己之正与南北差庚己之正
　　若全数与庚辛己角之正
　　假如高弧交黄道之角庚辛己得六十四度三十五分
　　一十五秒其正九○三二四视高
　　差辛己得五十八分三十六秒正
　　一七○四算得正一五三九查
　　其弧得五十二分五十四秒为太阴
　　南北差庚己此用正法也或用加减算求南北差则以辛己高差减庚辛己角馀六十三度三十六分三十九秒得馀四四四四六又相加得六十五度三十三分五十一秒其馀四一三六八两馀相减馀三○七八半之得一五三九为南北差之正也或用线求东西差则全数与庚己南北差之割线若辛己高差之馀与庚辛东西差之馀或用角求东西差则庚辛己曲线三角形甚小可用直线三角形法其高差之正与东西差之正若全数与高弧交黄道角之馀假如用线推南北差五十二分五十四秒得割线一○○○一一八五视高差五十八分三十六秒其馀九九九八五四七推得九九九九七三一为馀得二十五分一十秒为庚辛东西差再以角求东西差则庚辛己角之馀四二九一三高差之正一七○四算得七三一为正弧亦查得二十五分○八秒为东西差或用加减算则高弧交黄道角之馀二十五度二十四分四十五秒减高差馀二十四度二十六分○九秒其馀九二○四二加高差得二十六度二十三分二十一秒其馀八九五八○两馀相减馀二四六二半之得正七三一查得二十五分○八秒为庚辛东西差太阴有距度以高差求南北东西差
　　前题算有距视差法简矣又有简于此者但依太阴时距南时距北分两图解之如图甲己丙为子午圏甲乙丙
　　为地平乙丁为黄道天顶在己太阴
　　在子则己癸为高弧子癸为高差又
　　辛当北极北极圏为戊庚负黄道极
　　戊自戊出大圏之弧戊壬过丑指太
　　阴实经度而丑子为实距度又出一
　　大圏弧戊癸至太阴视度癸从癸作垂线至壬得壬子癸三角形而子壬为南北差壬癸为东西差〈丑壬寅癸两弧小故壬癸可当丑寅〉欲求其几何先依第一法从天顶己连赤道极黄道极为己戊辛三角形形有两极相距之弧辛戊有
　　北极出地之馀弧己辛有极至交圏
　　交于子午圏之己辛戊角可推黄极
　　距天顶之线己戊次己戊子三角形
　　有黄极距天顶之弧己戊有太阴出
　　地高之馀弧己子又有戊子在第一
　　图为象限戊丑加太阴实距度丑子之总弧在第二图为太阴实距度丑子之馀弧可推己子戊角次子癸壬三角形有高差弧子癸有壬子癸角有子壬癸直角可推子壬弧是为太阴南北视差又本三角形以子癸高差子壬南此差推壬癸东西差
　　假如第谷测太阴在玄枵宫初度五十六分距南四度三十八分日在申正五十○分得太阴高弧九度二十○分得高差五十四分二十○秒其夲方北极出地五十五度五十四分三十○秒即升度为三百一十二度四十三分去减鹑首初之升度馀为极至圏交于子午圏之己辛戊角而己辛及辛戊两弧皆不及九十度则己辛戊为锐角法全数与第一弧之正若第二弧之正与他数〈名先得之数〉又全数与先得之数若两弧所包角之正矢与他数〈名后得之数〉而后得之数恒加于两弧较
　　差之正矢得第三弧之正矢如前图
　　依第谷测己辛戊三角形求己戊弧
　　则两道大距弧辛戊〈第一弧〉之正三
　　九九一五其夲方极高馀己辛弧〈第二
　　弧之正〉五六○五二求先得之数
　　为二二三七三又己辛戊角〈两弧所包角〉四十二度四十三分得正矢二六五二八求后得之数为五九三五以加两弧较差之正矢一六九六得七六三一为己戊弧〈第三弧〉之正矢查得二十二度三十一分四十一秒以求己子戊角则己戊子三角形内全数与第一旁线之馀割线若夲角旁次线之馀割线与他数〈名先得之数〉又两旁线较差之正矢与对夲角线之正矢相减馀为他数〈名后得之数〉而全数与先得之数若后得之数与本角之正矢如前图己子〈角旁次线〉为太阴距天顶弧八十○度四十○分馀割线一○一三四二戊子〈第一旁线〉为太阴距南加象限共九十四度三十八分馀割线一○○三二八算得一○一六七四为先得之数其较弧较差一十三度五十八分得正矢二九五六减己戊弧之正矢七六三一得四六七四为后得之数依法算得四七五四为己子戊角之正矢查得一十七度四十四分一十五秒以求子壬弧则全数与子癸高差弧之切线若壬子癸角之馀〈壬子癸与己子戊两交角等〉与子壬弧之切线而子癸弧之切线一五九四壬子癸角之馀九五二四八算得壬子弧之切线一五一八查得五十二分一十○秒为太阴南北差之子壬弧以求东西差则全数与子癸弧之馀九九九八七五一若子壬弧之正割线一○○○一一五一与壬癸弧之正割线算得九九九九九○二为壬癸弧之正切线查得一十五分一十○秒为太阴东西视差壬癸或寅丑
　　又次法甲乙地平甲丙黄道戊癸高弧丁黄道极皆同
　　前此图加戊辛为太阴实经度出地
　　平高之馀弧而戊辛己三角形内又
　　有太阴实高度之馀弧戊己有太阴
　　实距度己辛以此三边径推戊己辛
　　角为高弧交太阴纬弧之角其馀角
　　〈前图〉或交角〈后图〉为壬己庚角
　　假如依前算戊己八十○度四十○分得馀割线一○
　　一三四二太阴距南辛己四度三十八
　　分馀割线一二三七九四七算得一二
　　五四五六○为先得之数以本两弧之
　　较差七十六度○二分得正矢七五八
　　六四戊辛弧七十六度一十五分三十○秒得正矢七六二四五以相减得二八一为后得之数又算得四七六○为戊己辛角之正矢查得一十七度四十五分日食掩地面几何
　　太阳有全食或周边无光而昼晦星见者有全食而周显金环者又有食不全而此地见食之分多彼地见食之分寡者今欲求见全食之地几何广见金环几何远自见全食之地至尽不见食之地几何更求相距几何地即见食渐差一分此四者大概依视差推算种种具有法焉
　　全食不见光之地面
　　依第谷测定𫎇气之高距地面上约有九里欲求全食时得人所共见里数若干即以𫎇气高与太阴视径及太阳光气内曲之角定之盖交会时太阴当日目之中掩太阳光其视径必大于太阳视径而人目所周之地平自无光矣但日光从最通明处射地而来一遇次通明之蒙气即曲而斜照〈见本历指第一卷〉必依气之高低渐渐聚合广狭不等如气太高则光不至地面而聚合可无满景气太低则光一曲即至地月景反觉开展不止恒测之界今设气高九里以绝日光必月景近地占千馀里必太阴视径大于太阳视径四分有馀乃可论食在天顶也若食在下度则月径可小景或反大图中𫎇气高
　　为甲丁求甲乙丙以定甲丙不受光气
　　之拓界乙丁乙丙皆地半径约一万二
　　千里则乙丁与全数若甲乙与甲乙丙
　　角之割线算得一○○○六○查本表得一度五十九分为甲乙丙角又全数与本角之切线若丙乙线与甲丙线得里数为五百一十九即太阴在顶满景之半径也而全径则一千○三十八里盖食距地平高三十度即太阴视径大于太阳视径止一分必满景径得千馀里视径加大里数亦多然蒙气差表未译故止以地半径差别求之
　　法日月两半径相减以差数加太阳视差即于表中本高度前后查太阴高下视差与得数等即以高度差前后各得满景半径若视差与得数不等即以中比例法求相应之高弧加于高度差如太阳行最高得视半径一十五分太阴行最庳得视半径一十七分二十○秒差数为二分二十○秒试以食在天顶〈广东广西等处夏至时是〉下二度为八十八以本度查太阳视差表得六秒加两半径差数得二分二十六秒于太阴视差表中以八十八度查二分一十四秒所不及者为一十二秒依比例算得一十一分宜加于二度即更下去顶愈远也故天顶正下为满景之心前下二度一十一分景缺即初见光其界限约五百四十六里后下高弧等得里数亦等共得一千○九十二即同食甚时同见食掩地面之广也欲论先后时刻自初见满景至复见生光则日月并随宗动天行之度化为里数所得见满景必不止数千里矣若太阳行最高太阴在高庳之正中其差数加太阳视差共一分二十○秒算食甚时得满景二度二十八分为里数六百一十七又太阳及太阴皆在最庳得总差数一分五十三秒算食甚时得八百四十二里为满景至于两径相等或太阴不甚大于太阳即无满景因𫎇气曲光内射故也
　　试食甚在下度距地平七十○度太阴在最庳得视差二十一分四十六秒更下二度得视差二十三分四十九秒差二分○三秒至两半径差数馀一十七秒加太阳在最高从七十至下二度强所变视差度○七秒总得二十四秒即以比例算应高弧二十四分总得二度二十四分化为里得六百即地平上自中往后见满景之地也若往前设地平高七十二太阴视差一十九分四十○秒较于太阴高七十度之视差差二分○六秒至两半径差馀一十四秒加太阳变视差七秒〈上下加求太阴从太阳视差故〉总得二十一秒因以比例算得二十分加于七十二度化为里得五百八十三即往前之满景前后相加总得一千一百八十三里乃食甚同见满景之地也依本法推算食甚距天顶愈远得满景愈大而自其中心论前后两半径必随高下度不等如食甚距地平高四十○度在前得三度二十三分为八百四十六里〈景之前应高度多查表求后景之后应高度少查表求前〉在后得三度三十八分为九百○八里总七度○一分为一千七百五十四里若食高二十○度必前行一千四百八十三里即五度五十六分后行二千二百○八里即八度五十○分总三千六百九十一里为满景因视差近地平变少必度多即得变数与两径差数等径差少〈或太阳在最庳或太阴距最庳略远〉即高度进退亦少里数亦减矣
　　见金环之地面
　　太阳在最高其视径较太阴在最高之视径略小较在中或最庳愈小无比故全食之食甚不显馀光而周无金环明矣其在中距与太阴在最高之视径等虽因𫎇气可显金环然以大小之故不能毕露且𫎇气所生大小随时随处不一则亦无从可定耳自中距以下太阳视径渐大较太阴在最高至最庳即大三十○秒矣设食甚在天顶因周大一十五秒得四围去中心远四分度之一而可见金环者约有六十二里乃全径则一百二十五里为此时所同见至先后可见之地者又不止此若食甚距天顶愈远得金环愈大假如距四十度〈高弧五十度〉依前一十五秒应得二十分全径则四十馀分以三十度高弧应得全径一度二十度高弧应得一度半一十○度应得四度化为里约一千里何也因视差近地平变少得度多故也若论𫎇气愈加得金环愈大因此第谷居北方设月朔半径大于望半径亦此意也总见食之地面
　　求满景及金环俱以日月视径为主如太阴大于太阳则生满景太阳反大即为金环此一定之理也今欲得满与缺之景㡬何或从见满景地面〈食既是〉至渐不见景地面〈复圎是〉即以两曜最高最庳之行求之盖日月皆在最高见食地面少皆在最庳见食地面反多〈因正在高庳故倘相距渐远其食景大小亦渐变易〉一在高一在庳则见食多寡均矣论天顶全食法加日月两半径以总数查表所得数或等或小加此两数之差更加太阳视差复得总数复查表其旁所得高度即自景中心至不见食之界也〈总数不正合高度用中比例法求之〉假如日月皆在最高加其半径总得三十○分一十五秒查表太阴距地最远之方所对六十高度得三十○分○六秒较两半径总数差九秒太阳视差○一分二十七秒三数并加共得三十一分四十二秒在高度五十九及五十八间〈自顶往下故〉以中比例推得四十六分乃自天顶至周界得三十一度四十六分为总见食地面之半径而全径则六十三度三十二分化为里共得一万五千八百八十三使日月皆在最库两半径数并得三十二分五十○秒查表本方内得相对高度五十九依前法推得不止五十八度即见食之界距顶三十二度五十○分共六十五度四十分为里一万六千四百一十七若太阳在最高太阴在最庳总得六十四度一十八分即一万六千零七十五里使太阴在最高太阳在最庳算得六十四度五十二分为里一万六千二百一十七
　　若论全食在下度食愈低其景愈大但地面不全受景则人目在地面同见食之广不全依高低度何云食愈低其景愈大视日月两轮大小约等以中心与目正对皆居一直线上虽相距实远目视之若同为一轮同在一度今欲见其两心相离不正在一线则自此地至彼地势若横行然盖高度全食前后左右皆于日月为横行愈高愈横得景亦少若全食在下度或前或后〈以高弧及同见为主前后非东西南北可定必随日月所居方并过目圏为是〉多为对行而非横行愈下愈对必行之多始得其体之离惟多行故迟出景外所以食在下度愈低得景愈广矣何云不全受景见日食即因日月目并居一直线上〈此论以体相对虽心不正在一直线会合亦无妨〉今全食在高度或前或后行凡日月目直线可对者自正以心相对惟去离渐远至以边相对则以见食至复圆为止若全食在下度目少进即见食渐高至两曜以边居直线上亦能尽见其复圆使目退行少许见食渐低两曜先至地平不及以边居线上因而体虽尚对而所馀食分为目所不见矣纵使更退亦不得见复圆故地面所受之景乃地景〈日巳没故〉非日食之景耳推下度全食之景法日月两半径并与食甚高度太阴之视差顺表相减馀数加太阳视差总数复查表得数等其旁所遇高度即为前行见食之界若不等以中比例求相应之高度与表两半径并加太阴视差更加太阳自食甚高度至夲总数相应高度所变视差而末所得总数必应高度即后行见食之界如日月皆在最高两半径并得三十○分一十五秒设食甚高八十○度太阴视差在此为一十○分二十九秒两分数相减馀一十九分四十六秒约应高度七十一得太阳视差五十六秒以加总得二十○分四十二秒乃又应高弧六十九度五十五分即前行至日月过顶二十○度○五分而见食地面共为三十○度○五分若后行两分数宜加得四十○分四十四秒约应高弧四十七度太阳视差自八十至此变一分二十九秒以加总得四十二分一十三秒应四十五度一十六分即日月高相离之界共为三十四度四十四分乃后行见食地面之径也设食甚高为六十○度依本法算得前行见界距三十○度○九分过天顶较前径略长后行则景长无比必行六十度始见下地平其未见复圎者八十馀秒而前后地面见景为九十馀度设食甚高四十度必前行三十四度一十四分后行四十度乃下地平尚见食五分八十馀秒总见景者七十四度设高二十度往前得四十三度二十分往后行二十度止得见复光约一分总度六十三度有馀愈下愈见少即此可知同见食之广不全依高低度因地面不全受景故也
　　若日月皆在最庳得半径并最大数为三十二分五十○秒设高八十度必前行三十一度后行三十六度共六十七度所同见食较前略广设高六十○度即前行三十一度后行六十度未可见复圆盖所少为一分二十秒耳大概依馀日月半径及馀高度求同见食之地面皆仿此算而以度数更求里数论先后见食则以总食之时及时气两视差细求之可也
　　见食进退一分应地面几何
　　太阳任在本轮高庳距天顶远近及在四方偏正俱分一十平分而见食地面则依高弧取前后以定其径盖径之大小依高度前后不能为同即前所云较食在下度与食在高度自得更大乃论满景之公公论也今又设为全食如前行即太阳从下生光渐至上复圆若后行即从上生光至下复圆总进退间止在一十分内欲算法于度数之分所应任取之径分加太阳视差及日月各半径不等之分秒总数查表其旁所对高度即本径分之景界化为里得见本食之地面矣假如日月皆在最高食甚在天顶设生光为一径分〈食退是〉求所应之度即十径分与三十○分〈太阳全径度数之分〉若一径分与三度数之分以本三分入表查太阳视差九秒更有日月两半径不等之一十五秒总得三分二十四秒应三度一十三分即去顶生光之界共八百零四里若生光得太阳半径即五径分当一十五度数之分加太阳视差四十五秒及两半径不等之一十五秒共得一十六分应一十五度二十四分距顶之界试以复圆即三十○分查太阳视差一分二十七秒加半径不等之秒总得三十一分四十二秒应三十一度四十六分乃与前求总景之数正合若食若在下度如高六十○度求一径分相应之高弧即以三度数之分如本六十高度太阴视差得三十三分○六秒约对五十七高度因至此太阳变视差八秒宜加且更加两半径不等之秒总得三十三分二十九秒应五十六度一十○分即自食甚至一径分生光得三度五十分较前算自顶退一径分多得三十七分为一百五十馀里若求五径分应几何即于六十度太阴视差加一十五分得四十五分○六秒对四十一度查太阳变视差四十四秒加两半径不等之秒总得四十六分○五秒应四十○度四十五秒自食甚至半径生光得一十九度一十五分较前多三度五十一分若日月在本圏别度得视径大小较最高不同必先求径分所应度数之分几何然后依本法算而进食之分与生光之分亦同一理也
　　日食掩地面总图





　　甲为太阳乙为太阴丙为目三者于食甚时皆居一直线上以心相正对也设太阳视径小于太阴视径为丁戊即地面得满景为壬辛必自中心丙至壬至辛乃可见丁戊日轮之边耳设太阳视径大于太阴视径为庚癸而目在中心丙以丙巳丙子直线见太阳庚癸边必周得金环倘退至壬或进至辛即不见之矣论满景总为丑卯自中心丙进前至卯即以卯丁直线见日轮复圆退后至丑即以丑戊直线亦见复圆径之大小在高度低度其理一也


　　新法算书卷六十八



　　钦定四库全书
　　新法算书卷六十九　　　明　徐光启等　撰交食历指卷六
　　外三差
　　前论交食法有东西南北高庳三差皆生于地径盖以地为太圜之心为此界以宗动天为彼界日月在两界之间因地径之小于日大于月生彼界之视三差也今言外三差者于三差之外复有三差不生于日月地之三径而生于气气有轻重有厚薄各因地因时而三光之视度为之变易三者一曰清𫎇高差是近于地平为地面所出清𫎇之气变易高下也二曰清𫎇径差亦因地上清𫎇之气而人目所见太阳本径之大小为所变易也三曰本气径差本气者四行之一即内经素问所谓大气地面以上月天以下充塞太空者是也此比于地上清𫎇更为精微无形质而亦能变易太阳之光照使目所见之视度随地随时小大不一也外三差之义振古不闻西史第谷于万历年间殚精推测钩深索隐历家推重以为冠绝古今而此秘未睹至其暮年方行万里乃始洞彻原委尚未及著书其门人述遵遗指撰集论次然后交食之法于理为尽则近今十馀年事耳盖历学之难言如此
　　清𫎇高差
　　历家测验日月及经纬诸星积累所得其光入人目往往不依直线而至夫太阴太阳有地径视差无怪其然也恒星无地径差人测之在地面与在地心不异宜所见者必依直线若之何不然且两星相距近于地平与其相距近于天顶绝不同其各体之大小亦不同又太阳太阴固有地径差其视体偏下视高度宜少而所得者忽复多定望时二曜正居天地径之两端以理论见一不得见二或并见则半体而已今有时全见之何也古度数家见直物入水中折成曲象空水之交则有钝角以此钝角喻诸星射目之折线于理为允则近地面之气可比于水天体至清可比水晶光在有气无气之交必成折角而能令诸曜之象升卑为高也若星距顶愈远所射光之折线角愈减其钝而视高之去实高也愈多盖近地则湿气愈厚故受𫎇为甚而又实非云雾等有质之物且在地浊之上〈历言入浊言浊中近浊入则不见视此为异也〉谓之清𫎇也因此凡测候两星若距度线与地平平行者其气所升视之巳在赤道上迨太阳近午出𫎇气之外复测之始以实行交于赤道为真春分秋分反是先以近午之实行在赤道上为真秋分迨昏测之日巳入过赤道而北矣视度乃复在赤道上自朝至中不能有两春分自中至夕不能有两秋分则朝夕所见皆视度非实度也则皆清𫎇之高差也
　　问清𫎇之气能变易太阳太阴之实度是已其言随地随时又各不同者何谓也曰第谷测定清𫎇诸差太阳与太阴大约相等而与诸星则不等其五星所得之差又与恒星不等因此推知致差之因不在距地远近其差大小皆气之所为也气厚薄时之所为也距地远近地之所为也凡考七曜之𫎇差皆候其高弧至于无𫎇之处得其实度而以较于有𫎇之处得其视差几何如第谷所居北极高五十五度冬至日夏至夜皆甚短其测候太阳之𫎇差必于夏月太阳出𫎇气之上乃可得之测恒星之𫎇差又于冬月若夏测星冬测日则尽日尽夜皆在𫎇气中无法可得而气之厚薄冬与夏必有分矣故所定气差随之异也若论地则山阜之上𫎇气为在高之距与在庳之距必小有异若不与地平平行而两高弧各异者不论或正〈与地平为直角〉或斜〈与地平为斜角〉其在高之距与在庳之距亦小有异总之星愈近于地两距之实度愈少远则愈多矣第谷之本地北极高五十五度有竒测定太阳太阴之𫎇气差大约相等自地平以上至四十馀度高差渐少更高则无有而近地之最大差得三十四分故太阳极近地平以地径视差之偏庳三分𫎇气差之视高三十四分相减得太阳高弧之视差三十一分则目视太阳将入以下周至地平见谓在上而其实体已全入于地太阴以最大之地径视差六十三分𫎇气差之视高三十三分相减馀三十○分目视之见谓全没而其实体犹全在地平上也多禄某以浑天仪测太阳行春秋分积年所得皆以本日两交于赤道遂为千古不决之疑不知者意其差在仪器仪器果差安得百无一合又安得悉在地平之上竟无差而在下者乎至近世而后知为清𫎇之差也第谷用器甚多甚精诸器毕合不可谓有器差而其所得亦复如是所以然者太阳临春分论实度尚在赤道南晨测之为蒙少平地乃多泽国尤多海滨更多盖此气周生于大地之靣外规之界距地心悉等而地靣有高庳其距气界各各不等此为浅深厚薄之缘正如海底有坳突之势因有浅深若海水之靣恒平而已然论其恒势浅气所生之视差少深气为多论其变浅气或忽然増加少易而多深气乃鲜有变时也万历十八年庚寅夏六月西历记月食太阳以半体出地其太阴正相对尚高二度入景中已多分及太阴半没而太阳已高二度出地平之上若以恒理论之则太阳心方出地平景心宜同时而入太阴之西周实入于地又当在景心入地之前今太阳心出矣而景心尚高二度非蒙气所为安得此乎然此视高差可谓甚大则以本地近于大山之下大河之滨其𫎇气为厚遇夜清气上腾凌晨更甚故也若他地他时未必尽同此数故治历者当先定本地之诸曜蒙差参以时令乃能立表推步其法须累测交食之多寡早晏斟酌定之勿谓精于本法便可随地随时必无舛戾也若立差既定而临食时气候忽更此则难可豫料然所失无几矣此高差惟月食累遇之若日食则二曜之𫎇气差大略相等高弧既同鲜有变易径可勿论也
　　清𫎇径差
　　太阳全食昼晦星见恒事耳中史及西史皆数记之若太阴全在日与人目之间而不能尽掩日体四周皆有馀光历家谓之金环或有阙如钩或云依日月周径本法则不应有此何者凡此一视径或大或等于彼一视径则以此体寘之人目与彼体之间无不全受掩蔽者今止论太阳在其最庳全视径为大得三十一分太阴在其最高全视径为小得三十○分三十○秒其较三十○秒为全径六十分之一耳即定朔果在此时日月以两心正会何因四周能见太阳之边乎〈或有时可见详下文〉此说是也然而古今所记实见实测乃复多有之如隆庆元年丁卯三月朔日太阳近于最高得全径三十分太阴在高庳之正中得全径三十二分三十四秒则全掩太阳之外尚馀二分三十四秒乃西土实侯至食甚时二曜以心正会见有金环又万历二十六年戊戌二月朔日太阴在最庳掩太阳复如是论地则此测在西国之内地前测在海滨论北极则此测高五十度前测正高四十二度论临食时此测有云前测无云也〈云气虽不掩日月亦能变易光曜损益分秒〉而第谷专精候验多在北海之滨北极高五十六度累年密测终不见太阴尽掩太阳昼晦星见是则日光恒赢月魄恒缩又将疑掩之不尽为恒事矣迨万历二十八年庚子六月朔于内地北极高五十度测得日食五分有半依本地原推正应四分较多一分有半则又日光缩月魄赢也又万历二十九年辛丑十一月朔日全食第谷门人于本地北极高六十馀度测得食甚时见金环四周皆广一分有半〈太阳径十二分〉万历三十六年戊申七月朔日食西土内地北极高五十一度测食甚时得二分正同时向北更四度论高视差宜减一分犹宜见食一分而第谷门人密测乃不见食此两
　　测者皆日先居赢且赢甚也而皆无云综其大都极出地甚高近海或大泽食时多云气则日光赢测数少于推数极出地迤庳居地平高去水泽远食时无云气则月魄赢推数少于测数展转推求即清𫎇之气随地随时有无厚薄不等能浅深受光于日而变易其照耀之势使人目所见或增或减迄无定限也再验之海中有小岛其视体甚小于太阳之视径日初出时正当其中平分太阳之体则石之两旁皆显大光若不当其中而石居太阳之左右则不能映蔽日光如两相退让而露太阳之全体此为何故石之蔽日隐显之间虽以一线为界乃海中𫎇气极厚日之施光𫎇气受之故人目所见日光能侵轶于本界之外也喻月魄于石体其理正同故𫎇气盛者全食时如石当日之正中少食时如石当日之左右即高弧至于午正人目见日无横斜之线不能升卑为高乃地以上之𫎇气犹能承受日光使溢界外而展小为大月不蔽日职是故矣如图地心为甲
　　日心为丙太阴正当日目
　　之中为乙月景之最中人
　　目所在为己设太阳之边
　　实为丁为戊其光下照所限月景之界宜为丁甲戊甲两线此限外之气皆得最光也然因乙太阴隔太阳原光于已目目所能正见者非丁戊乃是庚辛而作己辛直线则目宜全不见日周之微光矣苐太阳正照之最光下及于月景四周之外而外气之近地者为次彻之体则太阳之光借此体以侵入于月景本界之内别作一界线曲而向内即人目所正见为癸而癸既切景较远景之处加有光焉〈光愈正照愈明切景之光甚似垂线若正照然故比距远之处加明焉〉故景之四周从癸至壬目所见皆成日光是为癸壬金环癸壬所在实于空中非太阳之光果外溢至辛也从下视之若在月之四周与太阳同天而太阳之原光若丁戊以外更馀辛庚一环矣但癸壬之广狭依气厚薄随地随时一一不同耳曽有人试以铜薄规为小圆形依直角线寘长竿之末退后一丈又寘一规正对前规与为平行后规之心开细孔以目切孔正觑前规之心其前规之全径较两规相距之远得一千分之十以掩天上之弧得三十四分二十○秒与本时太阴光满近最庳之全径等则目视两规与目视二曜大小远近之比例亦等次从后规视前规理宜全掩太阴之体乃所见者四周皆显大光更移后规向前二尺有竒以远近之比例论则前规可掩弧度四十一分然而尚有微光也可见日月近地平固因蒙气有视度之高庳差即去地平远犹有视径之大小差矣
　　本气径差
　　金环又有二种一为虚环人目所见其内规〈如上图之癸〉为最光向外渐微至外规〈如上图之壬〉则似次光此为地上清蒙之气所生上文所说是也一为实环若内若外悉是最光此所见者必为太阳原光矣所以然者太阴在最高太阳在最卑则太阴之视径略小于太阳之视径上文所云六十分之一者是也但实环既为原光在太阳之周非复向之虚环从蒙气中隐映而得者则人居月景之中何自得见之即在景之偏际亦宜见左失右何自得全见之曰此亦因太阳出光折照至于人目虽正在景中犹得见之折照之繇即非地上清蒙之气而在空中之本气前交食第一卷论月体当食显赤色是气景所生此论地靣当食而见光色是空中本气所射其理一也设甲为太阳其实边乙丙太阴在癸其实边丁戊人居地靣在己辛之间不能以直线见太阳所以得见者太阳全轮既受掩于月体为壬庚所馀庚乙实环皆为原光而以庚壬内规之光正照丁戊月边过丁戊则
　　折而内向以至于地面
　　己辛其所繇内折者欲
　　就于甲癸垂线也〈详本篇一〉
　　〈卷第五〉己辛以内皆为月景得界丁辛及戊己成三角形〈戊丁为底图未尽景末〉又太阳乙丙外规之光正照太阴近处为子丑过子丑又折入景中而相遇于寅〈此折甚于前折者愈远于垂线愈欲急就之也〉得寅己辛角形形以内为折入景中之重光人目在重光之中从卯辰两交得见光环意疑在丁丑旋绕月轮其实则太阳之原光庚己也
　　问本篇首卷言凡象射次澈之体则成折线故本章言日光过地靣则折入于景为蒙气故也空中本气则甚澈之体何能受光而折入于人目乎曰空中本气为甚澈之体此恒理也然亦有时而变如彗孛搀抢乃及客星等皆在列宿天中非理所宜有难究其所生之縁而实则恒有之今言日食有金环者大抵皆虚环也其实环甚为希有万一有之不得不究所从来故作此论盖虚环既𫎇气所为无可疑者则实环之缘不得不在𫎇气之上既在其上不得不归之空中本气舍是别无可推之理耳兹有𫎇气以上变易之征聊足解此万历三十三年乙己八月西国北极高四十度测太阴在最庳日全食亦全掩原光而其四方尚馀赤光如火广数度依此地论必言𫎇气所生不足疑亦无待辩矣从此向西北一国北极高五十馀度同时测日不全食未尽一分三十馀秒日周以外太阴馀分甚多而此地尚见是大光岂两地相远如此尚当言蒙气相同之故乎纵使相同而蒙气距地靣极高无过二百里此不全食之地其交景之顶尚在二百里以上全出𫎇气本界之外则安
　　得有本地靣
　　之蒙气受照
　　为光且四周
　　皆见乎彼所见满景四周之光既不为𫎇气所生必为空气所生矣假如甲为太阳乙为太阴丙为地丁戊为𫎇气界若全食则所生金环在丁戊之四周也今不全食之地在己其交景之顶为子亦见光〈此光非金环因在日周故其理不二〉而光中甚黒则非丁戊气所能生矣盖目从己视太阴之下周庚必以己子庚线视其上周必从己壬至太阳辛则太阳之辛癸原光正照己目及蒙气之界面丁壬丁壬之中绝无月景而丁壬等高之景全在己子庚直线之下安所得生光之原乎可见日四周之光必生于𫎇气以上必为空气所生或近于月轮在庚子两线之中或在月轮之下不远矣
　　日食昼晦星见
　　凡前史记日食昼晦必因全食若星则不全食而见者有之如晨昏分中日己出己入矣明昧之交正似太阳未全食之光也而大星已见也又或不全食而见者有之故历家下推将来虽得全食其见星与否未可豫定盖见星不见星之縁不尽在于食分多因𫎇气与阴晴耳若食时遇气甚清人目先见最光而习之忽尔失光虽日不全食亦似向晦星乃可见如从大光中暂焉入室见为甚暗也若食时遇气甚厚或多云雾则目先习是次光后见失光不以为异又𬪩厚之气受返照之光光亦不能甚失日虽全食未及甚晦正如浮云在天虽太阳已没曚昽宜尽而尚有馀明星不可见矣自此之外更有太阳正照斜照之缘如太阳当晨昏时斜照于地上气得其正照之光则能返照地面若此时以日食绝正照于气中则地无返照之光又本无正照之光安得不为甚晦乎故午前日食初亏至食甚时加晦生光至复圆时稍明午后食则反是盖太阳愈庳愈能正照气中而地得其返照之光太阳愈高愈正照于地靣而以有食绝其正光惟四外反有从旁斜入之次光耳又或太阴近最高其视径不甚大于日之视径则太阳四周光曜散溢虽则全食地面之次光乃大于少食者亦多有之又使日食切近地平太阴微高于日则地靣所见日下周之原光虽不尽如钩而上气乃与日月参相对绝其正照即地面绝无返照之光此时亦变为甚晦也推视会
　　交食第三卷求定望改实时为视时所以然者为有升度差也今日食以地心之实会改为地面之视会所以然者为有地半径差也以地半径差论实会视会不同上章已详之矣此求视会则依视差推算法先求日月高弧以得高差又求高弧与黄道之交角因以得南北东西差次求视会与实会之时差以加以减于实会之时刻而得日月正视会之时刻其加减则以黄道九十度为限〈即黄平象限〉
　　日月距地平高弧
　　视差有多有寡必依太阳出地平所得高度多寡〈日月会合若同高度或差一度以下其视差甚微故得太阳高度不必复求太阴高度必求细率则以太阳高度查太阴高差先加于太阳高弧得太阴高真度也〉欲求高度几何则用定会〈即定朔也〉之实时及本时之太阳躔度先以躔度推太阳距赤道之纬度次以定会实时推其距子午圏若干〈详见下文用法中〉得二角形形有北极出地之馀弧有太阳距赤道之馀弧有两弧间角为太阳距子午圏弧之相当角算得本形之第三弧为太阳出地高弧之馀弧也如图甲乙丙为子午圏甲丁丙为地平丁戊为黄道太阳在庚则乙庚己为高弧壬庚为太阳距赤道之馀弧因得乙壬〈本地极高之馀弧〉及壬庚〈太阳距赤〉
　　〈道之馀弧〉两弧及乙壬庚角〈太阳距子午之相当角〉以推第三乙庚弧得其馀弧庚己太阳出地平上之弧也次推高弧交黄道之角先以升度求庚丁弧次以庚己高弧以庚丁黄道弧以庚己丁直角推得庚丁己交角因以对角求南北东西差法如次图设庚癸为高差辛为黄道极则辛癸大圏之弧以直角交黄道于壬为庚壬癸三角形先己得壬庚癸角而庚癸壬为馀角则全数与高差若壬庚癸角与壬癸南北差又全数与高差若壬癸庚角与壬庚东西差或
　　用简平仪求高弧可免算第其图愈大所取太阳高度分愈真乃足推算视差如图己戊辛为子午圏甲乙为赤道北极在丙太阳距赤道北依丁戊线行与行壬戊弧其理一也至戊为正午至丁如复至壬午前与午后同所以然者戊丁直线不可得度分数必用戊壬弧量度
　　为凖〈戊壬与戊丁皆距等小圏两弧皆小圏之弧即等试想戊壬圏置戊丁线上与戊丙圏纵横为直角则得其理〉如彼面之丁为己时至戊为午行至此面之丁为未与壬为己至戊为午复转至壬为未其理一也次作丁庚直线与地平甲己线平行则得己庚弧为太阳在己时或在未时出地平上之高弧也别有表以日食之实时及太阳距赤道纬度查其出地平度而推两曜高差又有高弧交黄道角表以此三角形〈前图之己庚丁〉推算法用太阳高度于太阳距黄道九十度限表中查角〈即庚角〉详本表又有南北东西差表以太阴高差及高弧交黄道角依直线三角形推算〈因三差线小虽在天实为大圏之弧亦可以直线句股法求之与三角形圎线法所求不异〉
　　黄道九十度为东西差之中限
　　地半径三差恒垂向下但高庳差线以天顶为宗下至地平为直角南北差者变太阴距黄道之度以黄道极为宗下至黄道为直角东西差则黄道上弧也故论天顶则高庳差为正下南北差为斜下而东西差独中限之一线为正下一线以外或左或右皆斜下论黄道则南
　　北差恒为股东西差恒为句高庳差恒为至中限则股为一线无句矣所谓中限者黄道出地平东西各九十度之限也〈黄平象限省曰度限〉法以子午圏为中限新历以黄道出地之最高度为中限〈东西各九十度则是最高〉两法皆于中前减时差使视食先于实食皆于中后加时差使视食后于实食第所主中限不同则有宜多而少宜少而多或宜加反减宜减反加凡加时不得合天多縁于此此限在正球之地距午不远若北极渐高即有时去午渐远时在午东时在午西大都北极高二十三度三十一分以上者〈若高二十三度三十一分以下者则日月有时在天顶南有时在北三视差随之今未及论此〉独冬夏二至度限与子午圏相合为一从冬至迄夏至半周恒在东居午前从夏至迄冬至半周恒在西居午后
　　问日月诸星东出渐高至午为极高乃西下渐卑而没则午前午后之视差岂不分左分右渐次高庳以正午为中限乎曰南北差东西差皆以视度与实度相较得之而日月之实度皆依黄道视度因焉安得不并在黄道从黄道论其初末以求中限乎推太阴之食分以其实距黄道度为主推太阳之食分则以太阴之实距度先改为视距度所改者亦黄道之距度也论实望实会欲求其实时以黄道经度为主今求视会其所差度必不离黄道经度而因度差多寡求其相当之时差以得正视会理甚明矣若子午圏者赤道之中限也度限为东西差有无多寡之限犹冬夏至为昼夜永短之限午正时为日轨高庳之限也惟岁惟时自宗赤极不借黄道之度中为限东西视差自宗黄极何乃借赤道之午中为限耶昔之治历者未能悉究三差之所从生徒见午前食恒失于后天午后食恒失于先天故后者欲移而前前者欲移而后又见所移者渐向日中渐以加少遂疑极高至午中则无差不知黄道两象限之自有其高也亦自有其中也必如彼说以午正为东西差之中限设太阳实食午正遂以为无时差遂以为定朔为食甚倘此时之度限尚在西愈西则愈有西向之差法曰中以东则宜减安得不见食于午前乎傥此时之度限尚在东愈东则愈有东向之差法曰中以西则宜加安得不见食于午后乎如万历二十四年丙申八月朔日食依大綂法推得初亏己正三刻食甚与定朔无异皆在午正初刻至期测得初亏己正一刻后天二刻此所谓中东宜减见食于前者也今试依新法减时则推定朔在午正初刻内四分四十九秒于时日月躔度在鹑尾宫二十九度八分四十七秒黄道中限在本宫一十三度○一分距正午西一十八度五十九分距太阳躔度一十六度○八分太阳定朔之高尚有五十○度查得太阴高差三十八分先求高弧交黄道角为日距度限弧之切线与本角若全数与高弧之切线得视差小三角形内正对东西差边之角二十○度一十一分再推本角之正与东西差若全数与高庳差得一十三分○四秒为此时之东西差因此求时差得太阴行一十三分应为时二十四分二十六秒于法宜减故得食甚在午初二刻一十○分三十七秒在定朔之前也更求初亏约用前四刻依法复求视差其时黄道度限在鹑尾宫初度二十○分即午后一十四度四十○分距太阳二十八度四十六分太阳高四十八度得太阴高差四十○分东西差二十四分求其视行度得四刻行二十一分又以开方法得太阳自初亏至食甚行三十一分今视行二十一分得四刻则三十一分应得五刻一十三分五十四秒以减食甚时得初亏在己正一刻内一十一分四十三秒与实测时刻密合
　　凡九十度限去子午圏不远新两历所推之定朔不远则两所得之时差亦不远若相距远而度限在东则食在午前或在午后新历所得时刻皆多于历度限在西食在午前午后新历所得时刻皆少于历如万历三十八年庚戌十一月朔大綂历推食甚在申初一刻至期实测得申初四刻先天三刻于时度限距子午圏二十一度○四分在东距太阳五十九度四十七分日月并高一十六度得太阴高差五十四分一十五秒从是算得东西差二十八分三十一秒应时差四刻○一分三十五秒依法与实时相加而实时与大统历算小异在未正三刻○四分得视时乃大异是繇度限在东加数宜多而午正为限者加数则少安得不先天也又万历三十一年癸卯四月朔日食九分二十○秒大綂历推食甚在辰正初刻新历推得在辰正三刻内此时度限亦在东距午正一十五度四十二分较太阳距正午为更近所得东西差止一十九分二十四秒应时差四十七分四十六秒依法宜减则实时己初一刻○六分改视时为辰正二刻○三分此两食者皆所谓度限在东则食在午前午后新历所得时刻皆多于历者也又其甚者若日食在正午及度限之间则宜加者反减之宜减者反加之所失更多如崇祯四年辛未十月朔日食大綂推初亏未初一刻较新历迟三刻有竒食甚未正初刻新历推未初一刻内至期实测果在本刻内所以然者新历以黄道九十度限为中所得时差与实时相减则食甚后退故合大綂以午正为中所得时差反加而前进去之逾远矣盖本日食甚实时日月并已过午正一十七度二十九分○一秒未至黄平象限六度二十二分三十九秒则度限在午西二十三度五十一分○四秒算得东西差三分三十四秒应时差○五分为减而先推实会在未初八分四十○秒因时差退减为未初一刻内三分四十○秒如是止矣若以子午圏为中限则本时日月过午己十七度有竒在西东西差既宜少而多时差又反减为加即多得时刻若此者就用西法算两曜高三十五度四十八分及其距午正之度能生东西差一十一分一十三秒应得差二十二分定朔在未初二刻○五分相加亦不得不为未正可见中限异同实为加时离合之根也
　　算视会必求黄道九十度限
　　交食以黄道出地之最高度为中限固矣但限内所应加减者则有时差〈日食在九十度西时差宜加在东宜减〉此实食视食之所繇以先后〈详见上篇〉故算视会者必先求九十度限所向何方乃可然求之之方不一或依常法定其宫度分或依简法止推两曜当食之时居九十度东西何方而不必问其宫度先以常法论设甲乙丁斜三角形甲为天顶
　　乙为黄道交子午圏日月俱在丁以
　　升度得乙丁弧以太阳距度得甲乙
　　弧查本表得其两弧间之角以甲乙
　　丙三角形内因九十度限在丙必求甲丙为垂线指九十度距甲顶若干更求乙丙为九十度限与子午相距若干则丁丙乃日月距九十度○所自有者而以先得甲乙弧与乙丁弧及两弧间之角因求得时差此本九十度限表所繇起乃常法也第以此求之必先算日月高弧及高弧交黄道角等未免太烦乃简法则惟算黄道何度分当九十度即此斜角三角形内径求甲丁弧为日月高弧之馀弧又求甲丁乙角即高弧交黄道之角则视差小三角形内〈见前五卷三题〉以高弧得高差以本角得交角及馀角而推所对之弧为南北东西差固已捷若指掌矣再欲察日食在九十度限东若西亦得两法一以黄道在正午度推九十度距午左右何若则以定朔所得太阳躔度较先所得在正午黄道度即得太阳在九十度限东西何方如依甲乙丁斜三角形以升度求乙丁弧必得何度在乙〈子午圏交黄道之处〉使星纪宫初度或
　　鹑首初度在乙乃为正九十度此外
　　则以食时按极出地度求之盖北极
　　高过二十三度三十一分凡自星纪
　　初度至鹑首初度黄道度在午者必九十度偏东自鹑首至星纪黄道度在午者反为九十度偏西而距午最远者则在大火宫或玄枵宫随极高低不一亦随宫度各处不一也试以极高二十四度则九十度限距午最远特一十五度耳极高四十度则九十度限能距午二十四度馀宫度在九十度限亦距午渐近因而推日食在九十度之或东或西较较不爽也又一法以黄道交高弧角求之更凖盖本角向子午圏者在午前为锐角午后为钝角则食必在九十度之东若本角午前为钝角午后为锐角则食必在九十度之西如此可免再求矣
　　求视会复算视差之故第三
　　日食与九十度相近则太阴之偏东西不多所得时差于本食之实时不甚相远可免复求东西差倘所食远距九十度之限则太阴偏左偏右〈左右即东西〉者必多而能变其实行以为视行使不再三考求何从而知故必先算太阴之视差化之为时差次求其视行与太阳实相距若干则用以推东西差可得食甚至若初亏复圆总不外太阴之视行而得之此推步日食者所以复算视差求太阴视行
　　定太阴东西差须得其与太阳相会之实度应先〈如在九十度东〉应后〈在九十度西〉乃使太阴实行即从自行可得则或二十八分一小时或三十○分或三十三分有竒〈因最高最庳中距不等故〉以三率法推其度差则相应几何时刻因与定朔加减之其所得时亦可于真视会不远但先后会之度差必以太阴实行为主然因视差故每每移其本实行故以实行求时差多谬而以视行求之乃凖矣法曰日食在九十度东则较定朔前一小时食在九十度西则较定朔后一小时复求东西差以两差不等之分秒或加或减于太阴一小时因以实行得其视行若次得之东西差大于先得之东西差其两差不等之数为减若次得之差数小于先得数则两差不等之数为加乃得太阴一小时视行也或不用一小时先于定朔算东西差而以实行化为时差或加或减于本时得视会又以视会与定朔相去不拘若干惟于此时再求东西差两差不等之数依前法加减之必得太阴视行时差因以复算真时差
　　假如崇祯四年辛未十月定朔在辛丑日未初八分四十○秒此时顺天府得东西差三分五十○秒太阴一小时实行为三十三分二十○秒以此算得六分五十四秒为时差因食在九十度东故减得未初○一分四十六秒即相近视会时也次升度先在正午自春分起为二百二十六度二十五分四十○秒因时差宜减一度四十三分则以馀升度查本表得躔度在正午者为大火宫一十七度一十二分算得九十度在午西离二十三度三十五分比日月距午更远七度四十四分三十八秒又以太阳高三十六度一十四分算得高弧交黄道角八十四度一十七分则以馀角复得东西差四分五十○秒两差不等之数为○一分因后得之差大故先得差内减一分实得○二分五十○秒为太阴过太阳之视行也前时差○六分五十四秒今以三率法依本视行得前东西差○三分五十○秒应九分一十九秒为真时差因减故算得视会在午正三刻一十四分二十一秒〈一十五分为一刻〉
　　考真时差
　　真时差者为太阴视行反复推求再三加减吻与视会相合者也欲更考其实须算太阴实距太阳几何若所得分数与太阴所当视会之东西差等则所得视会亦凖若微有不等则以不等之分数化为时依两曜实相距之分数较之视差或大或小依法加减于前视会如距度大日食在九十度东则时差为加食在九十度西则时差为减如距度小则九十度东宜减九十度西宜加分秒内可得其凖也因此再求东西差而以本视会时复求九十度限与其距天顶及距太阳度因以本高弧及高弧交黄道角复算视差如前假如得真时差九分一十九秒何以知其然也因减时九十度略在前即夀星宫二十三度○六分距天顶五十三度四十○分距午二十三度三十一分较太阳复西去○八度二十一分算得高弧三十六度三十四分交角八十三度四十五分推东西差○五分一十三秒故以三率法用太阴实行三十三分二十○秒一小时以真时差得五分一十○秒为太阴实距太阳分数见其与才得之东西差相等则前时之时差亦凖若未等则求所差分数如前东西差三分五十○秒得九分一十九秒为时差此不等之三秒亦得七秒依前法视会内应减实得午正三刻一十四分一十四秒乃真视会也
　　求初亏复圆俱依视差算
　　凡算月食推初亏复圆先以开方求其自初亏至食甚所行之度分若干又自食甚至复圆所行之度分亦若干故所推食甚前后时刻大约相等算日食则不然虽太阴在食甚前后所行度数相等而所应之时刻鲜有不参差者盖视差能变实行为视行有前得之时较后得为多亦有后得之时较前得为多此中种种不一如图甲为太阳乙丙丁皆为太阴甲乙或甲丙为两曜视半
　　径甲丁为太阴食甚视距度则甲乙
　　线之方数减甲丁线之方数其馀数
　　开方得乙丁线为太阴自初亏至食
　　甚所行之度与丁丙至复圆数略相
　　等但太阴行过乙丙线时〈除食甚正在九十度〉
　　前后未尝相等故求之之法必于前时以东西差求其视行则得初亏距食甚之时又于后时复以东西差求其视行乃得复圆与食甚相距之时然初亏与食甚或皆在九十度东则因初时之东西差大于后时之东西差其两差不等之数减于太阴实行则得视行若初时之东西差反小于后时之东西差其两差不等之数则加于太阴实行而得其视行或初亏与食甚皆在九十度西而初时之东西差大后时之东西差小其两差不等之数用加如初时之东西差小后时之东西差大其两差不等之数用减与前法相反此较初亏与食甚若较食甚与复圆皆为一理第其两相比量俱以先东西差与次东西为主故求初亏则食甚为后时而求复圆则食甚又为前时也或前后两时不同在九十度之一边如初亏在东食甚在西则求东西差必不止食甚前后之两次因九十度而中分之则一视行求其时之多半又一视行求其时之馀乃合之为初时至后时太阴视会所行度分矣
　　假如视会在鹑首宫初度午后正二刻距九十度西得东西差○五分设得视行二十二分则太阴自九十度至本视会之度两刻间视东行一十一分如前图乙丁线为二十八分减一十一分所馀一十七分为太阴在九十度东自初亏至食甚时所行即因九十度前一小时以东西差得太阴视行二十一分故其行一十七分必须时三刻○四分乃自初食至正午〈此正午与九十度同故〉为太阴所行之时并午前后时总得五刻○四分为太阴自初亏至食甚过乙丁线所行时也
　　算日食复求太阴视距度之故第四
　　前以实会而不得其视会则所求者在东西差乃今视会真矣然何以知其所食大小之分数及以月掩日所向之方位乎曰此皆由于太阴视距度也故推步者必先于食甚求视距度则得日应食几何分又于初亏复圆求视距度则得月掩日之光在何方
　　日食分数
　　凡推月食以太阴实距度较其半径及地景半径即得月食之分今算日食法虽同然因视度为主则必以太阴视距度与日月两轮之半径相较乃得日食分矣依法于视径本表查日月半径并之减视距度为太阴掩日之分〈天度数之分〉次以三率法求食之分〈日径分十分之分〉因先于食甚求太阴实距度则太阴视会及实会间之本行或加或减于其交周度依时差加减得视会时太阴交周度用算或查表即得距度
　　假如时差为三十五分二十一秒宜加此间太阴过太阳行一十七分五十六秒太阳本行○一分二十七秒相加共得一十九分二十三秒为太阴本行今设交周实度为五宫二十九度因时差应加则交周多得一十九分二十三秒终得太阴食甚时实距北○一分四十一秒次以南北视差本实距度改为视距度故凡于三差小三角形内考时差并求南北差乃所得为正视会若太阴距黄道北人居夏至北则实距度恒减视差为视距度若太阳距黄道南则视差反加于实距度为视距度
　　假如万历二十四年丙申岁八月朔日食历官报应食九分八十六秒实测得八分强弱之间依新法算当食甚时太阳高五十○度○五分得太阴高差三十八分因九十度距太阳西一十六度○八分算得高弧交黄道角六十八度四十八分为南北差线其对角为南北差得三十五分因当时太阴近交中在黄道北二十八分五十○秒与南北差相减得○六分一十○秒乃太阴视距在黄道南矣又日月两轮半径并得三十二分○五秒减视距度得二十五分五十五秒以此求食分数得○八分二十九秒乃与所测适合也
　　日食图说
　　新法以图显本食所向之方故上下书南北左右书东西其绘图则以太阴距度为主但食时先后太阴距度常有变易或初亏距度多而复圆距度少或初亏距度少而复圆距度多此其故盖因食在交处前后之不一也若前后离交相等则虽距度同而所向南北未免有不同矣故日食前后求太阴视距度必以交周所应食甚视距度减其自初亏至食甚所行径度则得太阴初亏视距度又以加于自食甚至复圆所行径度则得其复圆视距度也复求交周所应太阴食甚视距度惟查距度表内上下左右则得交周度及其在交前后分数○
　　假如前万历二十四年食甚得视距度○六分一十○秒即交中后查本表右得○一度一十二分其本表上则得六宫乃所应视距度交周也又当时自初亏至食甚太阴所行径度三十一分○七秒与交周相减得六宫○度四十一分五十一秒相加得六宫○一度四十三分○五秒即初亏及复圆交周也依此交周复查表得初亏视距度○三分三十三秒而复圆得八分五十三秒因此画本食图如乙丁及丙戊两直线以直角在甲相交指南北东西方乙丁为黄道甲心为太阳居其中依前食论其太阳半径得一十五分一十五秒较太阴
　　半径略小甲戊线则并两轮半径为
　　三十二分○五秒因太阴食甚在辛
　　甲辛乃当时视距度○六分一十○
　　秒初亏在壬即乙壬与甲己相等只
　　三分三十三秒复圆在庚得丁庚与
　　甲癸相等共八分五十三秒而壬辛
　　庚皆视距南也










　　新法算书卷六十九
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>



　　钦定四库全书
　　新法算书卷七十　　　　明　徐光启等　撰交食历指卷七
　　测食分
　　算食而不测食将何以考其法非强天即自欺故必随测随算了了于目了了于手则视差视径时分俱凖而法乃得矣
　　测太阴食分
　　常法全赖目力因分太阳径为一十分太阴径亦如之食甚时则以所见不食之径约略不能见之馀分设并见失光之体庶㡬所食有半者依此以测犹可此外则多有谬焉何也太阴未食以前欲用器测全径食甚时又测光所存之馀径此际甚难〈其光微又无从定中线故〉且不正合于法今补此阙用太阴地景两径之比例及太阴见缺之边如图地景心在丙得乙戊辛弧为边太阴心在甲以
　　其乙丁辛边弧入景中为所缺自乙
　　至辛作直线更一直线联其两心及
　　两边交切之界于乙或辛为甲乙乙
　　丙及甲丙而甲丙及乙辛以直角相交于己使太阴入景之边乙丁辛为六十度因半之于丁得乙丁对乙甲己角为三十度必馀角甲乙己为六十度〈甲己乙直角故〉甲乙割线二万乙己止一万则以甲乙与乙丙之比例〈一与三是〉乙丙得六万为丙乙己角之割线查八十度二十四分本角之切线五九一二三六为丙己而甲己为甲乙己角之切线一七三二○五两切线为甲丁及丙戊所减〈甲丁与甲乙丙戊与丙乙自相等〉馀丁己二六七九五戊己八七六四并之得三五五五九为甲乙二万分比例之分因以推太阴之食分盖设太阴半径得一十六分与之相乘用二万除得食二分五十一秒〈度数之分〉即径分止有五十三秒以此测虽微有差所推径分终近矣
　　测太阳食分
　　密室中对太阳开小圆孔以受其光因孔小出光之体大则所正照之光必为角形其底在太阳其角在孔之中夫光一入内又复展开为角形以致底所对之墙转其原形以上为下以左为右使墙与光直角相遇则底为圆形不则为圆长形使孔不圆且小则光底在墙或仿佛孔形而所像太阳之形大都不真何也太阳孔墙三者皆有远近大小之比例盖孔距墙得其本径数与太阳所距本径数等则光底在墙必像太阳圆形及孔之多边形各等为杂形若两径数不等而太阳距墙得径数多则光底失去原形转随孔形得径数少则光底必因之愈少故测食者恒设孔小而圆乃可远近无差因以墙上所缺之形征太阳所食之分法以规器于纸上先画大小不等数圆圏各以径分之其径以十或更密平分之临测室中以圏受光不拘远近任用大小圏全以吻合于光为凖既合便转纸使其圏径横过馀光形中平分两角则光缺之界即所食分数方光与圏合时遂以笔于光景间微识三四小点求心因之作圏略得太阴掩太阳大小之比例如图甲乙丙丁为太阳食外
　　之馀光正与甲乙丙圏界相合其心在
　　戊其径与丁以直角交景而平分甲及
　　丙两光角则得太阳食七分有竒更取
　　三点为甲丁丙以己为心〈㡬何三卷二十四题〉以甲丁丙辛为太阴乃以己丁较戊乙亦得日月两径大小之比例日食射光之容
　　测日食以最微之孔对照之西土用绿色玻瓈仅见日周俱掩去馀耀反照则用水盘欲细则以平面镜所接之光反射墙上可略得分明苐对照水中反照皆非实测之法惟射光于墙略近然因尚容次光乱其景犹未足故前以密室测食之分为本法今再全觧之欲光从外入室内以其形正彷原形尽乎大小之比例倘孔非最小〈㡬何称无分点之小〉而圆则太阳食照必略变其馀光之角形为不彷原之一又太阴掩太阳其径略小即失天上视径之比例为不彷原之二因径小所食之分较天上之真分亦少为不彷原之三三者皆归一缘盖接光之孔稍广则从中心摄太阳之形全显于墙或纸亦并周孔边之每点全进焉乃每点所进射之形虽圆其出外与
　　孔之圆不平行而每点射形之公界
　　复与之平行且内抱中心所射之形
　　亦与之平行如图乙丙丁界内为光
　　即太阳总形也其内圏壬庚癸为孔
　　之广因圆故其受光至平面亦圆苐
　　太阳大不可比其光一入复宽为戊己辛形与内圏平行以其中心甲与太阳正对故以远近之比例可推本形甲戊半径与太阳视半径大小之比例然庚内圏之点射太阳形为丙己辛较于中圏更以戊丙径线出外〈戊丙与甲庚孔之半径等〉而壬癸及馀点皆射圆形则外得乙丙丁总圏其甲丙与太阳半径无大小之比例以远近可推也又因原形入室内必借孔形以两形合别为杂形今测太阳设圆孔原形无从可变〈除上为下左为右〉而食之时其自变形露角射于密室内又与孔之圆形不合因而损其角似圆矣如图太阳食之馀光实为甲乙丙丁乃从甲孔之心射入以丙丁乙弧不异于孔形而丁甲乙角
　　形则异矣故本界四周以孔半径展
　　开〈甲戊丙己乙辛丁壬皆半径〉外得戊辛己壬为
　　总界与前图所觧同则以辛己壬弧
　　元合于孔形而壬戊辛亦必彷之其
　　彷之之规必依孔半径故丁乙各为心得壬癸及辛庚弧皆变为圆角耳
　　室中测食日月两径有定差
　　依本食图丁甲乙弧为太阴掩太阳之边其心在癸从癸心出直线至丁至甲至乙又乙丙丁中原形使之过庚为圏而从其甲心引直线至壬至辛至己因甲乙丙丁为日食馀光之真形实合于原则癸甲与甲丙或癸乙与甲乙癸丁与甲丁〈甲丙甲乙甲丁皆太阳半径癸甲癸乙癸丁皆太阴半径〉得真大小之比例亦与原视半径全合今密室之中辛己壬戊光形实以甲戊孔之半径周展其界则太阳
　　亦展半径自甲致之于壬于辛于己而甲辛与甲癸太阳半径之比例必过甲乙与本甲癸之比例太阴半径亦然移癸甲为癸戊其癸丁癸乙皆曲而小故甲乙与癸戊之比例又大于甲乙与癸甲之比例而甲辛愈大〈因甲辛大于甲乙故〉可徴两径在光形密室之中比于两径实在食时必依孔之广狭变其大小未尝正合焉室内测食食之分有定差
　　依前图总光界辛己壬弧以加壬丁辛弧作全圏则甲乙
　　元为食分与丙乙太阳全径实得比例
　　今总光形之径己丁较之丙乙长两孔
　　之半径〈即己丙及乙丁〉故本径与食分变比例
　　因而甲乙比于己丁线不如比于丙乙
　　线得大小之理若丁戊〈光形食之分〉则既乙丁与甲戊等亦自与甲乙相等可徴其大小之比例在光形有失矣
　　或问测食与算食分数不合而每每所测分数恒不及必因食形假耳今欲改为真形从何法得曰以太阴半径加孔半径于太阳馀光之内反减之各依本心光形内作弧得甲庚丙癸原正形即从甲太阳形心及丁太阴形心推定也
　　定食分及两径比例必系真光形
　　推算食分以定多寡法以两曜视径较于距度求之今欲于所测对验亦以日月两径以其两心相距㡬何即可得矣但测时因太阳行速依前法于形中点号以求径并距孔时远时近就景于先所画圏亦不易故纸距孔须定度〈用窥管前开小孔后置白牌彼此以平行相照〉可免多圏多量之烦受景之底大小依远近如图外有己壬辛大圏为定周分
　　度数共作四象限〈用以取食方向见下文〉中有乙
　　戊丙丁小圈以甲为轴能转动此乃受
　　光形之圈故以丁戊指太阳全径以甲
　　心及孔之中心与太阳中心正对本圏
　　上安量尺即戊丁中空以两旁与圏径平行其尖锐直至大圏以能指度为用量尺上仍有方尺为乙丙中开一小陷道以合于下前后可任进退将用浑器对太阳时便转中圏令其径平分馀光之角随以方尺就之其交径之点必用号以识之有光无光之边交径点亦然
　　即以此定乙甲丙弧分食与不食之
　　形不须别点如二图设乙丙丁戊为
　　太阳食形得心在甲丙戊为径以方
　　尺〈乙己丁〉切光之钝角〈乙丁〉交径于己景
　　边交于戊今依孔半径得己庚作壬庚辛直线与方尺平行而更作辛癸壬子即日食之真形何也使壬丁辛乙各于方尺为垂线必自为平行线因而庚己亦于方尺为垂线〈因作法盖庚己为丙己径之分〉则庚己壬丁辛乙三线皆等既等而庚己为孔之半径则馀两线亦各半径可知壬辛两点当孔中心为真形之锐角则日月两边实于此点相交而壬癸辛为太阳壬子辛即太阴两弧中必食分外则为所存光之真形也
　　或问真原形既定何以依之推两径之比例及太阳食之分数曰孔与形相距之度与甲癸真形之半径若全数与原视半径之切线查表得太阳视半径试以全形为一百分孔径一十分相距万分一百减一十馀癸丑为
　　九十半之得甲癸四十五以算终得一
　　十五分二十八秒〈度数之分〉论太阴半径此
　　以庚辛中比例线求之盖先以庚癸太
　　阳径分求庚辛〈见㡬何三卷三十五题〉次以庚子
　　与庚辛若庚辛复与庚寅得全子寅论食分则癸丑与一十平分若子丑与食之分或若癸子与未食之分于十分相减馀则为所食之
　　测日食细法
　　用方尺量食之形或景淡而景符无处可用欲以所测推太阴视径未免微差今更用一器愈凖愈易前所云受
　　光形之表中有轴能令小
　　轮转动轮上定量尺随以
　　同转则因以载方尺而外
　　指度数矣此则两尺俱不
　　用本小轮改为方形如图甲为表中之轴亦为太阳景心〈先依太阳在本圏某宫度取视径作圏〉乙丙丁戊则大方形也转以甲轴以辛为表锐用锐以指外圏之度左右〈大方形〉开两小陷道能受小方形为己庚癸壬此中亦有小圏即掩太阳之太阴也周圏先去孔半径形〈得圏大小不等预以引数取定或备数面以待临期更换亦可〉其四围〈小方形〉开空止存六小条与方相连以支圏将测用大方置衡上〈长方尺为衡其图在下前所言窥管亦可〉与孔以定度相距小方贯入其前令中圏以边合于景食甚时见本圏上方馀光先至而左右尚未及必圏小宜换大若左右先与光齐而上方未及则圏大宜换小总以正合为凖万历二十九年辛丑冬至后两日苐谷门人在西土测日食用本器大方中圏设一百一十分小方圏七十五分两数总而半之得九十二分三十秒即初亏时太阴与太阳以中心相距之分〈任取无度数之分〉故至食甚时所见食之分〈略得八分〉此中必减去馀分乃两心相距之分苐先定太阴视径因小方圏正食于景而设径有七十五分二十八秒以加孔径一十六分三十○秒总得九十二分以此求度数之分得太阴在最高本径三十分三十秒若求食之分因当时形中得食八分〈径平一二分之十分〉以比例法算得七十四分〈任取分之分〉与两心初亏相距之分相减馀一十八分三十秒化为度数之分得六分○八秒〈光形一百一十分减孔全径一十六分三十秒馀分为法数太阳在最痹径三十一分为实数
　　算得六分○八秒〉如图甲丙太阴半径减甲
　　乙两心之距馀乙丙为九分○七秒
　　加乙丁太阳半径〈一十五分三十秒〉得丙丁
　　为二十四分三十七秒〈度数之分〉即月体
　　掩日之分故以三十一〈全径〉为法以十二平分为实算得九分三十二秒即太阳实食之分较于形中所见食多一分三十二秒矣
　　或问测食常法因难分食与未食之径不待言矣今室中测食虽能明分之而所见食分非真食分所测径非真径则古测又奚足用曰因分得日月两径大小之比例及明暗之界即推真食分及真径之根盖古之定日月两径多依此测不能无差今从而改之此外尚有测其径之多法〈见月离历指〉
　　以真视径比例推食之实分
　　测食者于室中任用器之长短孔之大小不必拘远近之比例而惟以先列视径表定食分为止法以所测之光形作圏以光景之界弧求心〈㡬何三卷二十五题〉即太阴心亦作圏必量两圏径〈用比例尺或预分定数百平分之线〉得各分数若干总而半之即于两曜视半径并分数等何为分数等也日食形内光与景各失其本然止以边论则犹是若两心相距则非矣盖两心相距与原形恒有比例因彼所张此反损各半径与原半径不合而两并与原并数则有合焉故以此总〈两半径量之分〉与彼总〈两半径度数之分〉之比例各本分〈或日或月〉推相应之半径〈形中非真半径〉与真半径比较得差数因以复推食分加于测食分即得所食之实分矣
　　假如万历十八年庚寅七月朔苐谷门人在西土测日食见食六分正〈依十二径分大统亦能见推食五分有竒依十径分〉光景各半径并得四十七分太阳近最高得半径一十五分○二秒太阴距最高四十馀度得半径一十五分二十五秒两半径并为三十○分二十七秒即与前四十七分等故一为法一为实求二十三分〈太阴或景任取之分〉相应度数之分若干算得一十四分五十四秒比太阴视半径差三十一秒而差数或加或减于太阳半径则以真半径为法〈当差数加也〉推得六分一十三秒〈孔小故受景正而测之分比推算之分略近〉为真食之分
　　又一法用远镜或于密室或在室外但在外者必以纸壳围窥筒以掩馀耀若绝无次光者然而形始显矣盖玻瓈原体厚能聚光使明分于周次光又以本形能易光以小为大可用以细测〈以小为大非前所云光形周散也因镜后玻瓈得缺形光以斜透其元形无不易之使大见远镜本论〉然距镜远近无论止以平面与镜面平行开阖长短俱取乎正〈光中现昏白若云气则长边有蓝色则短进管时须开阖得正〉馀法与前同崇祯四年辛未十月朔在于历局测日食用镜二具一在室中一在露台两处所测食分俱得一分半〈径分十分〉先依顺天府算以太阳引数三宫二十七度取视半径一十五分四十二秒以太阴引数五宫一十九度取半径一十七分五十八秒半径俱悮用大故并而减太阴当时视距度二十七分二十二秒馀六分一十八秒因算得食二分试依新列表改之则太阳得一十五分二十一秒太阴得一十七分一十七秒并而复减视距度馀五分一十六秒算得一分四十三秒为真食分必如镜所测也夫镜所测形为丁乙丙戊即太阳食边之下映者与实在天所食之形相反〈大光过小孔之
　　故〉依丁乙丙弧求己心即太阴
　　心设其半径己乙为五十分甲
　　戊四十八分两半径并得九十
　　八分〈皆比例之分〉为法数两半径又
　　并作三十二分三十八秒〈度数之分〉为实数则以太阴五十分推得一十六分三十九秒为己乙度数之分必较于己壬真视半径得差三十八秒为乙壬今论径分〈以十分分之〉以三十八秒算得一十二秒宜加所测之辛乙一分三十秒总得辛壬为一分四十二秒正合于所算食分矣
　　或问远镜前后有玻瓈在前者聚光渐小至一点乃在后者受其光而复散于外则后玻瓈可当一点之孔何所射之光形不真乎曰后玻瓈不正居聚光之点必略进焉以接未全聚之光乃复开展可耳〈见远镜本论〉故谓此当甚微之孔则可谓当无分点之孔则不可所以用镜测者纵或不真然较之不用镜者不但能使所测之形大而显亦庶㡬于真形不远矣
　　测食方位
　　古多禄某以交食占验欲定何州郡则以本食方位求法近世以本方位立法因推太阴距太阳视经纬而以所测定其视行也
　　测日食方位
　　太阳本食或正向南北东西则目力所及一见能决惟不尽出于正而偏有所距则因以分别所偏若干定分数多寡此必实见之测乃可得耳前论食分设两轮盘并在一平面上与太阳正对亦与外耳进光者平行其下大盘不动分以过圈径从径左右边分全度数用以测食方向上小盘则能运转载量尺与下轮边以对度数为主将测全器对太阳下盘之径线对高弧以光形之角较本线或正或偏因推所向方位设两轮底方以直角安表衡上为甲乙与外耳戊正对太阳毫不偏于左右则乙戊衡正居过天顶及太阳圈之平面〈前所云高弧也〉而甲乙直线自上至下亦当天上本圏径之分外
　　有木矩架为丙丁己〈全形见月离三卷〉以丁己柱正立取地平柱端作运轴使衡能上下转以入架腰定丙乙太阳出地平高度而全架则又周转如辘轳也用法日食时表衡对太阳以甲乙方之面正受其景则上下轮环转而方尺与馀光两角或积或平行其量尺所指轮边度分即太阳本食所偏向高弧度分也又本衡末于架腰自指太阳高度则得时分因得太阳及高弧距正东西以加或减于日食之角偏去高弧度分终得食景偏去正东西度分设衡下无架可分太阳高度则以别法求时刻而于衡之末以直角加横平方其甲乙直线及浑衡亦合于高弧圏之面若不用量方两尺依前第二法用两方形有圏者以上方进入下方之中圏直至形前掩景周围与光齐而左右小条当方尺与两馀光之角或相积或平行其外锐亦指本景所向之方与前同如太阳初亏测方向得偏高弧距三十度太阳出东地平高四十一度三十四分躔降娄宫初度因得己时高弧距正东四十八度○四分〈或查表或以三角形算〉减食方向距高弧度馀一十八度○四分即初亏向西北度若太阳复圆其方向高度时分皆如前则一十八度○四分为复圆向东南度又设方向距高弧过象限三十度〈角上左旋〉高度时刻俱同前则与高弧距正东相加得七十八度○四分即初亏向东南复圆向西北度〈初亏向东南复圆必不在西北此盖指前后两食论也〉
　　或问所测方向距高弧线之度何以知其宜加与减于本高弧距正东以得其自距正东之度曰日食时设有大圏径过日月两曜中心左右至地平此即太阳失光及未失光之面所向度分今本圏以直角交高弧则向位距正东或正西之度与高弧距子午圏之度等〈地平圏上算〉本圏合于高弧通为一圏则高弧至地平所指度亦为本食所向度若夲圏斜交高弧则以下轮盘外圏因知两距度宜加与否〈两距度者过心圏距高弧高弧距子午圏者〉盖午前过日月两心之线测得在右上象限或左下象限宜加馀象限冝减午后则反是〈不拘初亏复圆〉或见日食馀光之上角在高弧及子午圏线中则过心线之距加于高弧子午两线之距此在午前后共法设甲乙丙丁为下轮盘之外圏分四象限各象限分九十度甲为天顶甲丙线当高弧甲己甲戊皆子午线中小圏即太阴掩太阳者或食
　　甚或初亏复圆时在其东西南北及中
　　央皆一类〈天上向位在西图中反在东诸方皆如此〉设庚为
　　太阳过两心之线为庚乙因以直角交
　　甲丙线其至地平必两相距正九十度
　　故丙距己〈地平上算〉乙距正东之度皆等又设辛为太阳则过两心线与甲丙同为一线故甲丙所至地平度亦为太阳辛食所向之度也又设壬为太阳则以壬癸过两心线者得壬癸乙角加于丙甲己角减于丙甲戊角〈因太阳壬之上角在丙甲己内即午前在丙甲戊外即午后故〉得总或馀角以定日食向盖过两心之圏恒指向位又恒随高弧设高弧与子午圏全合为一必过心圏以直角交者所指向位在正东〈食复圆时〉或正西〈食初亏时〉若斜交则因角大小不等食形所向度距东西远近亦不等其高弧不正与子午圏合而相距在其左右则过两心圏虽以直角交犹随高弧距正东西左右若斜交则本圏更距东西不等盖以此两故求其距度直至与高弧合则惟高弧定距度也以长圆形求日食方位
　　前论密室测日食分法以平靣之方受景盖孔小而方又正对太阳其景必圆今以斜对之平面亦在密室中受景孔仍如前小则所得形必长圆〈凡地平距黄道内者对太阳宜斜〉其
　　长径线可当高弧法用白纸置地平
　　上〈任置何处宜与地平等〉令受日景必自为长
　　圆形次于本形两端各识数点又于
　　两光缺角亦各识一点以便用规器
　　取食偏距高弧度设乙丙为长圆形
　　之大径当高弧线求丁戊景缺偏距乙丙线若干则平分径于甲以甲为心丙为界作圏次与甲丙作垂线过丁戊两角至己至壬此己壬弧半之于辛作甲辛直线则得丙甲辛角即日食偏距甲丙高弧之角设丙辛乙半圏分一百八十度以规取丙辛弧定度分若干试依先测之横径〈若未测以太阳高度求之〉以甲为心作中小圏从两光缺角引直线与长径平行至本圏之边得庚癸弧其出中心至外大圏甲辛直线者交于小圏之弧为两平分则知先所取丙辛食方向距高弧之度无谬也
　　因长圆形之心不正居光角形之枢线而横径较光角形之正底亦微过焉故欲求其正设角形中线至子以太阳高度之馀推子乙子丙则于本高馀度加一十五分〈太阳半径依引数取〉又减一十五分得三不等度查各度切线以相较得乙丙长径之正度也如甲乙丙为光角形至地平乙戊因斜遇为长圆形其长径为乙丙太阳在甲当高三十七度馀五十三度角形枢线甲子则戊子为五十三度之切线减一十五分馀五十二度四十五分其切
　　线戊丙反加一十五分得五十三度一十五分切线为戊乙今戊乙减戊丙馀二四○九为丙乙即形中长径也求横小径则全数与太阳距天顶之割线若太阳半径之切线与横小径算得一四八六〈两径自较得一十与一十七之比例欲各较于全数设全数为十万〉因此依前图算设乙丙为大圏之径则以本比例得小圏作长圆形引丁己及戊壬垂线如法半之终得辛甲丙角为二十二度三十分宜加或减于高弧距子午圏以求其自距子午圏与前法同测月食方位
　　治铜为一匾圏约宽二三寸许周分三百六十度其圏内俱开空止留四线如十字交罗中心交罗处安量尺方尺其尺径较圏径略长皆能旋动与前测食分器同将测时从初度取上下正对太阴以垂线取凖地平转其方尺令对两馀光角则量尺抵边所指度分即本食向方距高弧度也盖密室月景不显必室外测乃可若用地平经纬仪上置前圏以象限载之转中线对高弧须凖与地平合可免算高弧距正午度
　　又简法以界尺对两角令其或取恒星或五星同居一直线上加太阴高差〈以高度于本表取〉得其向恒星若干免以高弧复求别距度何也因切两角之线其过景边交月边处必俱以直角交过月景两心之线故得角与星居一直线则从此相距九十度远者必为本食所向之方矣太阳初亏能向东复圆能向西否太阴初亏能向西复圆亦能向东否
　　从来论日食者俱以初亏向正西或西南或西北复圆即向正东或东南或东北月食初亏向东复圆即向西或偏东偏西此定法也今细考之殊多不然盖初亏复圆两向相反者此非一食可有之事必两食而日月体不全食或有之先以月食论如图以甲为心即地景之中心以其半径为界作圏从上至下引乙丙直线可当高弧横作丁戊当黄道斜入西地平下得乙甲丁为其两
　　圏之交角又作己辛直线与黄道线
　　以直角交于甲心设太阴本心在己
　　或在辛此为定望故甲己甲辛各为
　　月景各半径并与距度等又己为阴
　　历渐小必己庚〈白道〉距黄道渐近辛为
　　阳历渐大必辛壬〈白道〉距黄道渐远此太阴未及辛先与甲近彼太阴过己后渐与甲近两者未免微有食〈距度比甲己甲辛两半径并较少故〉其所食大则从甲心出直线至白道以直角所交之点下为癸上为子是也试以甲癸或甲子当五十八分较甲辛甲己略少〈两半径并共六十分〉则五度〈最大距度〉之割线与全数若五十八分与两心之距〈月心地景心〉得五十七分四十七秒馀二分一十三秒变为食分即四十四秒故依图一食之初亏在己他食之复圆在辛而复圆向东初亏向西者此耳可遂守为一定不易之成说哉
　　若东地平黄道斜升其上亦与前同设癸子为黄道乙甲子为黄道交高弧之角则丁戊线以直角交黄道者上有丁为阴历渐小而壬丁白道与黄道渐近下有戊为
　　阳历渐大而戊庚白道距黄道渐远必
　　辛一食之初亏向西丙他食之复圆向
　　东万历四十一年癸卯十月十六夜大
　　统历官报月食四分四十八秒初亏子
　　正三刻复圆丑正三刻西土第谷门人
　　测三分强总时得八刻弱与大统略合但先后两处不能不异盖此〈中土〉太阴初亏略过子午圈彼〈西土〉出东地平高未及二十度因行阳历而距正东去北其初亏向正西复圆偏西南
　　论日食其方向之变不但以黄道斜升故即视差亦有之盖降娄东出必黄道交地平角渐大至鹑首出则愈大故太阴在地平上不论何宫度其随宗动往北甚多以本行去南反少气差亦少而太阳夲食距赤道南午后其初亏可向东距赤道北午前复圆可向西又寿星出则至降娄为半周本角渐小太阴去南较其本行回北己多必气差更大而太阳距赤道北午前初亏可向东距赤道南复圆反可向西今试以黄道斜升之故设太阳在降娄一十五度出东地平高一十○度北极高四
　　十度当此有食则太阴在阳历距南二
　　十○分〈视距度分〉虽不全食约有三分之一
　　如图丁壬为地平丁庚为黄道两圏斜
　　交于丁则戊为正东壬为正午庚癸过
　　九十度限之弧高有三十度太阳在甲
　　高一十○度太阴在乙初亏距黄道二十分得甲乙丙直角三角形甲乙两心之距当三十一分〈日月各半径并〉求甲角以定甲乙过两心之线至地平何度即本食之向位盖甲乙线与乙丙线若全数与甲角之正得甲角为四十一度四十八分馀对角乙甲丁一百三十八度一十一分今甲戊丁三角形内戊为直角庚丁癸角三十度必馀丁甲戊角六十度而戊甲乙七十八度一十二分故甲戊己三角形内求戊己地平限定本食向何度则全数与甲戊高弧之正若甲角之切线与戊己弧之切线〈图中设为直线天上实为弧〉得戊己为三十九度四十四分因高弧于此至正东则戊壬为九十度减戊己弧馀五十度一十六分即所向偏东南过子午圏东之度若设阴历太阳复圆皆同度则太阴在辛而己辛弧又北过子午圏向西北亦距北之西五十馀度
　　若气差变向之故则如万历二十七年己亥七月朔苐谷测太阳东北出地平〈日躔鹑火初度故〉其本体之顶有缺则必西南为所食向方又太阴虽行中交因黄道交地平角甚大本行已近北必得气差少则复圆尚居太阳西而本食方位已不可转而东矣又万历十六年戊子正月朔太阳躔娵訾七度有食初亏在午后六刻第谷测其过日月两心之圏距高弧偏西七十二度有竒复圆在未正三刻半又测得本交角尚有一十二度〈两弧相距〉可征尚未向东而初亏食甚复圆皆以西为方向矣如图甲乙当高弧丙丁为黄道太阳在己太阴在戊过两心之
　　弧己戊求其距甲己若干以太阳食
　　时躔度及北极高度〈五十五度五十五分〉先定
　　甲己丙高弧交黄道角为五十四度
　　二十四分则馀对角一百二十五度
　　因太阳半径一十五分二十秒太阴半径一十五分五十八秒并得三十一分一十八秒为己戊线太阴距北一度○八分减气差四十三分○五秒馀二十四分五十五秒为丁戊线因而丁为直角故丁己戊三角形内求己角得五十二度四十五分与甲己丁角相减馀七十二度五十一分为初亏距高弧向西北度论复圆则
　　甲己丙交角有四十四度四十四分
　　太阴距度一度○五分减气差三十
　　八分四十四秒馀二十六分一十六
　　秒为丁戊线其己戊同前推得丁己
　　戊角五十七度○三分减甲己丁角馀一十二度一十九分为戊己距甲己高弧即复圆向西之度当时太阳初亏鹑火宫二度复圆本宫一十五度出东地平故黄道高太阳近北气差渐少令太阴距太阳不能复过东矣假使北极更低必得黄道愈高太阴往北减气差愈多因知复圆距东更远万历二十三年乙未八月朔第谷门人在东西两处测验或得食二分半或得食三分盖在西者测太阳初亏微过正午故高弧与子午圏略同而向位距本圏偏东尚有九度在东者测太阳后一刻有竒得其初亏正向天顶则地平北子午圏之东是其向位也从是知初亏向西即复圆向东非定论也且初亏不尽向西复圆不尽向东又已彰明较著有如是也成法悮人可胜浩叹
　　以方位算太阴视经纬
　　万历二十六年戊戌二月朔西土己正二十七分初亏后测食约有一分〈十五分一刻十二分一径〉太阳径线三十○分三十五秒太阴三十二分四十四秒各依本引数所定其本食所向过两心线交高弧者测得九十度正为直角如图甲乙丙为子午圏丁为赤极高依本地四十七度○二分丙为天顶太阳在己以丙己为高弧丁己定距度弧太阴在壬因日月各半径并得三十一分四十○秒减二分三十三秒〈即所食一分化为度数分〉馀二十九分○七秒为己
　　壬日月两心相距之分又丙己壬角测九十度因推壬辛即太阴距甲辛黄道视纬度辛己即太阴距太阳视经度先求九十度限距天顶即甲丙庚三角形内丙庚边也盖太阳躔娵訾一十六度四十三分得升度三百四十七度四十七分减测时距午所应升二十三度一十五分馀升度三百二十四度三十二分应黄道居天之中玄枵宫二十二度一十○分乃距赤道一十四度
　　一十一分为甲乙弧加乙丙赤道距天
　　顶与北极依本地出地平高等得甲丙
　　为六十一度一十三分此时出地平黄
　　道度为实沈宫二十二度三十一分则
　　娵訾宫二十二度三十一分当九十度限为庚而甲庚弧三十○度二十一分因而甲庚丙角恒为直角则本三角形内以甲庚及甲丙两边求庚丙第三边〈于甲丙弧割线加五空位以甲庚弧割线除之〉得五十六度○四分即九十度限距天顶之弧欲免算则以太阳躔度及测时刻依法查本表即得九十度距天顶也以己庚丙直角三角形因得庚丙边〈五十六度○四分〉庚己边〈太阳在己即娵訾宫一十六度四十三分九十度限在庚即本宫二十二度三十
　　一分相减馀五度四十八分为庚己也〉于庚丙弧切线加
　　五空位以庚己正除之馀庚己丙交
　　角为八十六度○七分对甲己丙角必
　　为九十三度五十三分〈此太阴初亏在太阳之西比子〉
　　〈午圏略近所居〉第测壬己丙角正为九十度馀壬己辛角止三度五十三分因求太阴视经纬度则于壬己辛小三角形内〈因小可当直线三角形〉以壬己边〈日月两心之距〉及先所得诸角〈辛为直角因算己角得三度五十三分壬即馀角〉算得壬辛视纬度距北一分五十七秒己辛视经度距太阳前二十九分○二秒即此可见测食方位之用有如此
　　测交食变形之时
　　交食形者乃日月食起复之间光为景所损而变迁其态以相示者也但受损之光初少渐多多而复少今欲逐时逐刻以密求之其形无数且可不必大都初亏食甚复圆为太阳太阴所共而食既生光则太阴所独此五限测法须先求时对食分及食所向方位与距恒星度分乃可一一得矣
　　测太阴食之时
　　常法测恒星高度若未见星先测太阴自高度乃以升度求时〈见高弧用法〉苐谷用自鸣钟或刻漏将浑天纪限等仪屡测太阴馀光边距恒星若干或太阴恒星至正午俱以刻漏识之若太阴正在黄道九十度限则从恒星之近者起算为易得其本心及地景心升度可知恒星距太阳度因以取凖时刻有用界尺测太阴两角或对地平圏平行或对恒星居一直线上或尺线过两角之中对月景两心皆以求太阴视处定其经纬以推时刻万历三十一年癸卯四月西土月食苐谷门人测之预备刻漏取其能细指时至分秒者试以数日令迟速吻与天合于太阴未食之前测大角星在正午考时得亥初三刻八分三十秒刻漏指亥初一十二分三十秒亥正一十○分〈即亥正三刻四分〉木星居正午高二十四度三十二分〈极高五十度〉亥正一十八分〈亥正三刻一十四分〉初亏向位在东南距高弧自径线下起算四十五度三十分亥正二十三分〈子初○四分〉向位距四十二度前此太阴未食约四刻时与心宿大星同高弧此已离去距西盖因视差故亥正二十九分半〈子初一十○分〉向位距三十九度三十分从土星对月景两心得一直线过亥正四十二分〈子初一刻九分〉周星〈天市垣者〉至正午向位三十三度三十分食四分一十○秒先所过土星今反距其下矣亥正五十一分〈子初二刻二分〉向位距二十八度稍迟得食五分子初二分半〈子初二刻○七分〉土星在正午高二十一度四十七分子初九分〈子初三刻○四分〉缺太阴圏之半周子初一十九分〈子正○一分〉太阴心至正午其馀光边高一十九度○七分子初二十四分〈子正○六分〉向位距一十五度子初四十三分〈子正一刻一十分〉馀光两角正垂下距地平等食六分三十秒子正二分〈子正二刻一十四分〉两角与木星皆居一直线其一角略高向西因知食甚已过子正二十三分〈丑初○五分〉向位偏西距高弧下一十八度三十分子正四十七分〈丑初二刻〉向位距三十度丑初三分〈丑初三刻〉距西三十二度丑初一十四分〈丑初三刻一十一分〉尚距三十二度将复圆其边有次景因用土星测向位然必定土星之经纬乃无遗漏当测时其本星距氐宿北星一十七度二十二分距天江北第六星一十三度二十○分因是知其过子午高得躔柝木宫初度四十五分三十秒距北二度一十○分三十秒
　　万历四十四年丙辰八月去顺天西一百○度四十五分〈西逻玛京都〉亲测月食以星高度及自鸣钟推得时刻初亏河鼓中星过西高二十一度得一十三时四十四分三十秒〈时为小时从午正起算即丑初三刻十五分作一刻后仿此〉左肩在东高一十一度得一十三时四十四分二十秒毕宿大星高三十一度得一十三时四十一分一十二秒当时钟有一时○九分〈从子正起算后同此〉盖钟所指时分每后太阳三十四分先后两日试验俱如一即一十三时四十三分食既织女大星距子午圏西高一十五度得时一十五时○三分一十二秒右肩二十六度推得一十五时○五分乃钟指二时三十七分即一十五时一十一分生光织女高一十一度得一十五时三十一分四十五秒右肩高三十一度推得一十五时三十三分四十五秒钟得三时三十五分复圆测天津第四星西高一十九度得一十七时○四分一十二秒乃钟有四时二十二分即一十六时五十六分又同都一人另居一地测有四十六次所得时刻初亏复圆与前测同惟食既少得五分生光少二分耳今以新法推算复圆全与此合其馀限虽微有参差然亦不远三四分矣
　　测太阳食之时
　　太阳出东地平左旋渐高至午正则最高过午复渐低至西则没此太阳自行一昼之时刻也故得其高度即可求时其初亏食甚复圆等限惟以此为常测法苐非密室中不可故又仍用前器架上之衡及矩架俱如前而方架之式之用见月离三卷各细分度数下方为地平从正东正西至子午圏诸弧之切线衡为太阳距天顶之割线矩架之股又为太阳距顶之切线此三度所以全本器之用也测时将方架置几上以中线对南北一手转矩架随太阳行并动其衡使之上下以受光一手对轮盘上之尺才一对景即于衡矩架下方架各识以号〈号宜同如一二等数是〉而以号所对各器之度加轮盘所测之景因推太阳食时及向位食分诸用万历庚子岁六月朔刻白尔距顺天府西九十九度一十五分用本器在密室中测本食共测一十五次作号一二等如左
　　号　　一二　三四五六　七八九〈一一一一　一一○一二三　四五〉


　　其下方架东西边所分各当二千分自后至中左右各当一千二百分先安置与子午圏对〈以太阳距正午左右相等之高度或先一日或测后考对得架偏必差度或加或减于推测之度得地平正弧〉然后测得地平弧以推时刻今依一十五号列所测分及相应之地平弧
　　号一二三四五六七八九十〈一一一一一一二三四五〉如左
　　测　〈一一一一一一　　　　　　　　七一八六三○○八八七六六五四四〉首一及二号所分〈五七三一七七○七二四七三二七三一一○三四五三四八五八七四四一〉对测分在方架度〈二三三三四四五五五五六六六六七○○三六一八○三五八○二六八○〉北自中起数至分〈三二一三○○○五二一三○二二一五一五九八九七六四○二二五七五〉东馀转东北角往南其度分则架上平分所推即目正午渐去西太阳所对地平弧也以测分推度分法二千与测分若全数与地平弧之切线假如甲乙丙丁为下方甲丁乙丙每边分二千戊丁戊丙各一千二百分戊壬正对子午圏
　　亦二千当测得戊己即七五一
　　平分求戊辛弧则壬戊与戊己
　　线若壬辛全数与戊辛弧之切
　　线算得三七五五○查表得二
　　十○度三十五分若景过丁角在甲丁边上遇庚则甲庚为戊庚弧之馀切线故壬甲与甲庚线若全数与戊庚弧之馀切线〈壬甲与戊丁等〉刻白尔转矩架时下架悮随之动使地平弧略有差故以矩架求高弧以高弧考正地号一二三四五六七八九十〈一一一一一一二三四五〉平弧因推时〈五五五五五五六六六六六六六六六六六七七八九○一一二三四六八九〉刻如左
　　〈○七○四一五一一六六六四九五六四九六○三七二六○六九四二○四〉矩架之立柱〈二二二二二三三三三三三四四四四四六六七八一二四五七八○三六七〉当句其数宜
　　股〈五一七五九七六六三二九一九三九○五七○六三五八七三三四三五七〉作五○四○句〈五五五五五五五五五五五五五五五○○○○○○○○○○○○○○○〉今则少异欲
　　依之算亦无
　　谬而矩架之
　　底为股上衡
　　为其长短
　　随太阳高低
　　时时不等故
　　数亦不等此
　　求太阳距天
　　顶或以股或以皆同法而句与与股若全数与太阳距天顶之切线次以高度〈日距天顶之馀〉求地平弧则全数与极出地高之割线若太阳高度之割线与先得之数〈为待用之数〉次北极太阳两高差度之馀与太阳距赤道度之正相减馀次得数则两数〈先得与次得〉为实全数又为法算得地平馀弧之矢依测本食之地极高四十七度○二分其割线一四六七一九太阳距天顶之馀六七四度○四分其割线二二八六六三算得三三五四九一为先得数两高度差一十七度○二分查馀九五六一三为减太阳当时距度〈二十二度一十六分〉之正三七八九二馀五七七二一即次得数算得一九三六四八为矢故减首位以所馀查八线表得六十九度二十八分即从正西起地平弧馀二十度三十二分即对太阳过正午地平之弧以此求时则乙丙丁斜角三角形内得乙丁为极高之馀得乙丙为太阳距赤道之馀得乙丁丙角为对地平〈此二十度一十八分〉至半周馀弧之角求丁乙丙即对赤道弧之角以定相应之时欲依直角三角形必丙丁引至
　　甲得甲直角则先求甲乙丁角〈可用十设算见测量全义七卷本角得七十四度五十一分一十八秒〉次求甲乙线甲乙丙三角形内因得甲乙乙丙两线以甲直角推甲乙丙角〈此八十四度一十九分一十八秒〉则乙总角减甲乙丁角馀丁乙丙角为所求〈此馀九度二十七分四十六秒化为时得三十七分五十○秒过正午〉测本食之复圆上衡微有阻碍不及受太阳全景故以高弧推时较地平所推差四分宜半之借此补彼则得二时五十七分三十○秒为正时

　　新法算书卷七十



　　钦定四库全书
　　新法算书卷七十一　　　明　徐光启等　撰古今交食考
　　日食
　　书经
　　𦙍征　惟仲康肇位四海乃季秋月朔辰弗集于房按唐大衍历作仲康五年癸巳岁九月庚戌朔日食在房二度元授时历亦称仲康五年癸巳九月庚戌朔交泛二十六日五千四百二十一分依此得太阴尚距交前约九度新法亦推得九度二十三分然皆中会时平行若视会时实行则交常度为五宫一十八度一十七分因得实距一度馀在阴历本食距加减时限〈即黄平象限东〉甚远必得时差多气差反少因气差止一十六分为实距分所减馀视距四十四分乃并日月两半径得三十一分三十三秒以较视距分尚不及则月不能掩日而癸巳年九月庚戌朔绝无食又以历年考之仲康五年无癸巳乃丙寅也癸巳去丙寅后二十七年就使九月朔日有食亦非书所载之食况本不食乎新法推得仲康时仅四年与五年正交与秋分近两曜已入食限其馀年交距秋远虽两曜会合入食限内应食者有之不在季秋月朔与书所载无与惟四年乙丑九月壬辰朔太阳躔寿星一十度三十分实交周一十一宫二十七度二十分得太阳实距黄道南一十七分二十秒即入食限与秋分近但加气差五十分三十馀秒较两半径并距度太大必不食况此乃定朔之距度而定朔在酉正一刻外〈依今加减表算〉日入巳二刻矣若视会必须加时即二曜绝无视距因得食甚尚在酉正后六刻馀并无带食试更西去四刻或少加时〈不依今加减表〉存定朔于地平上且依北极出地一十八度算〈云南交趾等处因与二曜益近故〉其定朔则在酉初一刻得视会与日入不甚远应见带食苐气差为三十八分以加实距总得四十六分与二曜半径并相较亦无食盖繇气差加以实距使太阴偏南不能掩日非独加减时故也若五年丙寅季秋月丙戌朔太阳平行躔寿星初度五十一分与书所载之房宿合寔交周为○宫五度二十四分查表得实距北二十八分而以气差一十三分相减馀一十五分为二曜半径并所减馀一十六分三十八秒推得见食五分三十馀秒但依古安邑及北极出地三十六度用今加减表算定朔应在次日丁亥太阳出之前时差应减因得食甚不可见试东去一二时必能见食何也盖太阴实距北得气差使之掩日九州内有处可见如以二十八分查太阴视差表中行得上横行高度应六十三度馀二十七度为二曜距天顶度因以太阳实躔查黄道九十度表所得侧对二十七度者乃北极出地二十五度即全见食地也〈因设二曜在正九十度上绝无时差而气差全变为高下差即所减去前二十八分故〉距此南北内外亦应见食惟分数多寡不一耳设东来一时依北极出地二十五度算得气差二分四十五秒为寔距所减馀二十五分四十秒即视距分与二曜半径并相较馀六分应推见食二分论定朔此时二曜高尚有一十七度在辰初二刻〈日出卯正前约二分〉虽时差复有所减能使视会在卯前不见食甚然可多见带食至复圆而曚气差亦略补地半径差使日月可早出总之论中土之西不能见食非太阴不甚掩太阳乃时差无从得算盖时差必先求定朔定朔即依加减所得而加减复归太阳本圜心去离地心故但二心相距古今不等〈见日躔历指〉即加减亦异新法为求均度止立二百恒年表者亦以见此后数未免略变至求所变几何止可及中古未能及上古乃书仅云仲康五年辰弗集于房此外不纪食于何时测于何方见食若干分傥因之退求二心之距依法立表自可得其食之必然况与年月宿度俱符者乎再帝尧时大槩春在昴秋在房仲康去尧未远俱依此为定故得日在季秋月朔遂谓辰弗集于房其寔房渐移东是日尚居氐宿末度非真至于房也或因不凖得时刻误以他年且晦朔不明及谓太阴距远不能掩日之光亦滋惑矣
　　诗
　　小雅　十月之交朔日辛卯日有食之亦孔之丑〈大夫刺幽王也〉案周正建子十月乃夏之八月是在周幽王六年乙丑岁十月辛卯朔授时推是日辰正四刻合朔交泛一十四日五十七刻入食限梁太史令虞邝唐僧一行亦步得是日日食今以法依本地去顺天府西约减二刻考之是日定朔己初三刻内一十分太阳寔躔鹑尾宫○四度三十九分算以时差得减一时三十六分乃得食甚在辰正初刻○四分授时得辰正四刻未推地经加减故于视会时得实交周○宫八度五十九分查表得实距四十六分三十六秒减气差一十五分一十六秒馀太阴视距在黄道北三十一分二十秒与两曜半径并相减馀三十一秒则得食分止三十秒耳授时推交泛一十四日等数欲以正交起算则与日月不合若从中交起算则得平交周与新法所得去正交北略远虽能入食限亦不过此食分矣
　　春秋
　　襄公　二十有四年秋七月甲子朔日有食之既案鲁春秋仍用周正七月乃夏正建寅之五月也今以法考之是月甲子日未正二刻定朔申初初刻○八分食甚实交周○宫○三度二十二分二十秒实距度一十七分三十二秒因在黄道北减气差一十六分一十二秒得视距一分二十秒应见全食且本月径大于日径掩太阳边周有竒经称日既政与法密合
　　襄公　二十有七年冬十有二月乙亥朔日有食之传曰十有一月乙亥朔日有食之
　　案周十二月即夏十月依法推步本月不入食限且无乙亥朔惟十一月则夏之九月也是月新法推得定朔在巳初一刻一十分食甚在辰初四刻内一十二分实交周度五宫二十八度二十三分在阴历实距分八分三十四秒与气差一十六分五十三秒相减馀视距八分一十九秒减两半径并数查表得食分七分六十三秒月朔则以传所载为是
　　汉景帝中三年甲午岁九月戊戌晦日食几尽
　　今以法考之是日定朔依本地算在午初一刻○分四十六秒日实引一十一宫○一度三十七分三十八秒月实引四宫一十四度四十九分四十八秒太阳寔躔大火宫一十四度二十四分二十一秒黄平限在寿星宫一十三度○七分初东西差二十二分四十二秒次东西差三十○分四十八秒应减一时○五分一十四秒为巳正初刻一十○分三十二秒食甚因得实交周○宫○九度○八分五十八秒太阴实距黄道北四十七分二十四秒改视距九分二十四秒应食七分四十馀秒则是十月戊戌日日食而汉历误推为晦何也
　　汉成帝河平元年癸巳岁四月己亥晦日食不尽如钩刘向云日蚤食时从西北亏起
　　今以法考之是日乃五月己亥朔非四月晦也日实引六宫○九度一十九分二十一秒月实引六宫二十二度一十七分三十八秒本地定朔在巳正二刻○九分四十四秒太阳实躔实沈宫二十四度一十八分四十七秒因得初东西差一十六分五十四秒次东西差二十二分四十三秒为巳初三刻○四分二十一秒食甚太阴实距黄道北一十六分四十七秒内减气差一十四分二十六秒为视距二分二十一秒应九分半有竒所云日食不尽如钩吻与法合及先一时查表得东西差三十五分二十一秒月行分三十二分一十六秒视行一十九分三十八秒应辰正初刻一十一分初亏正刘向所谓蚤食时也夫上下千百年而分数时刻一一不爽如此则此日之推步为何如哉
　　汉安帝延光四年乙丑岁三月戊午朔日食陇西酒泉朔方各以状上史官不觉
　　今以法考之是日定朔依本地算未正二刻○三分日实引四宫一十度三十六分月实引三宫○五度二十七分太阳实躔降娄宫二十九度○九分初东西差五十二分一十二秒次东西差五十六分四十一秒因得加时一时五十三分食甚在申正一刻一十分此时实交周○宫○六度二十三分即太阴实距北三十二分五十秒气差一十二分五十二秒因实距改为视距度一十九分五十八秒应得食分三分八十四秒夫时在申正已非夜食可比食及三分亦不得借口不救三方各以状上而史官不觉汉之历法可知矣毎读两汉前后史误朔为晦至差一二日当食失推郡县以闻者屡屡汉人又安得为知历哉
　　陈宣帝太建八年即周建徳五年齐后主武平七年丙申岁周书六月戊申朔日食齐载六月戊申朔太阳初亏刘孝孙言食于卯时张孟賔言食于申时郑元伟董峻言食于辰时宋景业言食于巳时至日食乃于卯申之间陈无
　　今以法考之是日日实引六宫二十九度一十二分三十三秒月实引五宫二十一度二十二分二十四秒太阳实躔鹑首宫二十一度○五分案陈都金陵〈今应天府〉定朔在辰初二刻○八分三十三秒次黄平象限在大梁宫三度○九分次东西差五十四分二十七秒应减一时三十六分○九秒为卯正初刻○二分二十四秒食甚实交周五宫二十三度五十三分一十八秒太阴实距三十一分四十四秒内减南北差二十一分一十二秒为视距分十分三十二秒应食七分一十六秒夫食及七分而不载食陈历之踈可知甚于卯正应亏于卯初之先齐人之言卯者为近而言辰者远言巳者则愈远矣
　　隋文帝开皇十四年甲寅岁七月朔日食
　　案刘晖驳张胄玄大业历曰是日依历时加巳上食食十五分之十二半强候至未后三刻日乃食亏起西北食半许入云不见食顷暂见犹未复生因即云障今以法依西安府考之是日癸巳朔申初二刻一十二分食甚未正三刻内一十三分初亏查实交周五宫二十四度四十五分实距分二十七分四十五秒与气差三十二分○六秒相减馀视距四分二十一秒得并径减距馀数二十八分应见食九分三十五秒与刘晖未后三刻日乃食少顷犹未复生之语最相符合
　　唐开元十三年乙丑岁天正南至东封礼毕〈是年封㤗山〉还次梁宋史官言十二月庚戌朔日当食帝乃彻膳素服以俟卒不食大衍推是月入交二度弱当食十五分之十三而阳光自若纎毫无变虽术乖谬当不至此今以法考之是日定朔申正初刻○三分太阳在星纪宫二十一度三十八分二十八秒密求食甚时刻距黄平限九十八度则太阳已西入地平下矣虽实交周度约在○宫○七度二十九分应得有食但求初亏度限又与升度相距八十六度地平已近且日光闪烁毎毎先食而后见谓之纎毫无变宜也惜当日历官见不及此徒留彻膳素服一案以来后世之指𢳣耳
　　宋太祖乾德三年乙丑岁二月壬寅朔日食验天不食议者俱指为当食不食日度失行
　　今以法考之是日定朔巳正三刻一十二分二十九秒本地真时差五分五十四秒视距分二十二分四十二秒并径减距得八分四十秒食止二分五十四秒想当日历官或推时太蚤至期不验遂谓不食一当食时又或片云掩蔽而所食无几倏忽已过误而不觉耳且食不及三分不救与不食同是未可知特一拈破
　　宋真宗大中祥符七年甲寅岁十二月癸丑朔日食验天不食纲目书司天监奏日食不应群臣表贺
　　是日壬子推得平望一十七时四十一分二十六秒月实距日三度三十九分四十九秒其时为加应加七时一十二分四十五秒因太阳躔星纪宫八度三十八分一十九秒复减三分○五秒共得二十四时五十一分○六秒进一日为癸丑定朔在子正三刻○六分○六秒则食在夜误推在昼司天氏之过也乃不罪推步者而辄纷纷称贺宋人之欺罔也甚矣
　　宋仁宗景佑三年丙子岁四月己酉朔日食殿中丞王立言是日日食二分半候之不食纲目无
　　依法推得是日定朔辰初一刻○三分三十八秒太阳实躔大梁宫一十四度○四分一十二秒密求九十度限在娵訾五度五十三分距天顶四十七度○三分交角馀度四十度五十一分得南北差四十二分一十二秒虽实交周在○宫一度五分三十八秒太阴实距五分四十二秒但气差数大改视距分为三十六分三十秒两半径并实无此数又安得有食分可见乎日食二分半之说误矣候之不食是
　　宋庆历四年甲申岁十一月戊申朔日当食不食纲目无依法推得是月戊午朔误推戊申朔其日定朔酉正一刻○三分三十七秒太阳实躔析木六度二十三分四十七秒九十度限在娵訾二十五度五十五分相距一百○九度三十一分其为夜食无疑矣纲目删之是也又安所得当食不食哉
　　宋神宗元丰元年戊午岁六月癸卯朔太史言日当食验之不食议者云是日卯时日食史云验之不食而纲目载食想当时原食也
　　今以法考之是日在辰初初刻一十一分四十一秒太阳实躔鹑首二十四度三十一分五十秒因密求视会黄平限在大梁二度二十六分相距八十二度○六分得气差二十二分○六秒虽食甚应卯初三刻一十二分二十五秒而实交周五宫一十六度四十九分二十七秒距分减去气差尚馀视距四十四分五十二秒其验之不食宜矣又安所谓当时原食哉
　　宋哲宗绍圣二年乙亥岁二月丁卯朔太史言日当食验之不食
　　今以法考之是日定朔寅正二刻一十二分○六秒太阳实躔娵訾二十四度○一分二十七秒查黄平限在大火宫二十三度一十六分与太阳相距甚远其为夜食无疑矣误推在昼司历过也
　　宋徽宗崇宁五年丙戌岁七月朔日当食不亏
　　今以法考之是日定朔在午正初刻○三分二十秒太阳实躔度在鹑火宫一十四度○四分四十六秒次度限在本宫七度五十一分距天顶一十六度一十五分交角馀度一十九度二十七分气差一十六分五十一秒实交周○宫○九度三十三分五十一秒距分四十九分三十一秒减气差一十六分五十一秒馀视距三十一分四十秒减两半径并数实馀二十八秒应不见食其不亏宜也有谓是日史不载而纲目有之想当时日官误推不食既而见其食则讳而削之未可知也亦独何哉至本年十二月戊午朔原不入食限应不食
　　南宋高宗绍兴三十一年即金正隆六年辛巳岁正月甲戌朔日食太史言日当食而不食帝不受朝金无以法考之是日定朔辰初一刻○一分五十秒太阳躔娵訾一十五度一十二分三十六秒黄平限在析木一十三度五十五分地平上无高弧已非在昼且实交周六宫一十九度不入食限不应食金人无之是也帝不受朝历官当受过矣
　　宋孝宗乾道三年即金大定七年丁亥岁金书四月戊辰朔日食宋无金主避正殿减膳伐鼓应天门内百官各于本司庭立明复乃止
　　依法推得是日定朔未初一刻○五分太阳实躔大梁○七度○四分四十一秒交角馀度三十九度三十分气差二十分三十秒求得时差四十四分三十八秒为未正初刻○四分三十九秒食甚实交周○宫○七度三十分五十七秒太阴实距三十八分五十八秒因在黄道北改为视距一十八分二十八秒得食分四分四十秒夫食在日中已非夜食不书者比见食四分四十秒又非三分以下不救之类而乃当食失推致令河北独专其美何哉富弼曰万一契丹行之岂不为朝廷羞其即此日之谓也
　　宋宁宗嘉泰二年即金太和二年壬戌岁五月甲辰朔日食太史言午正食甚草泽赵大猷言午初三刻日食三分验之午初一刻起未初刻复如大猷言
　　今以法考之是日定朔午初二刻○七分三十五秒太阳躔度在实沈宫八度○二分东西差四分一十五秒气差八分应午初二刻食甚实交周一十一宫二十六度四十九分共得视距二十四分四十八秒应见食二分三十秒与大猷所推较亲
　　明隆庆六年六月乙卯朔日食䑓官候得初亏卯正三刻复圆巳初三刻约食有八分大统推得见食八分二十一秒初亏卯初二刻食甚辰初初刻复圎辰正二刻今以法考之是日定朔巳初一刻一十四分太阳实躔鹑首二十七度○四分三十九秒黄平限在实沈九度二十一分距天顶一十八度一十九分太阳高差四十五分五十三秒交角馀度六十五度○八分得东西差三十九分二十一秒食在东应减时差一时二十七分为辰正初刻○一分五十八秒食甚实交周○宫○四度一十一秒太阴实距二十分四十七秒内减气差一十八分一十八秒馀视距度二分二十九秒减两半径并数得二十八分约食九分馀复求得太阳距黄平限六十三度一十二分日食月行分三十分四十一秒视行二十三分○八秒应减一时一十九分三十三秒为卯正三刻内初亏吻与测合再求九十度限在实沈一十七度三十八分视行二十三分二十○秒应加一时一十七分四十四秒为巳初二刻内复圎与所测较亲若大统则初亏先天五刻复圎亦先天五刻矣
　　万历三年乙亥岁四月初一日己巳朔日食䑓官候得初亏未初二刻复圎申初三刻约食有六分馀大统报初亏未初一刻食甚未正一刻复圎申初二刻见食六分六十秒
　　今以法考之是日太阳实引四宫二十一度四十九分一十八秒太阴实引五宫○四度五十四分三十二秒定朔未初一刻○四分四十三秒太阳实躔大梁二十八度二十二分一十四秒黄平限在实沈二十五度五十一分距天顶一十六度三十三分高下差三十一分五十三秒东西差二十六分四十八秒气差一十七分二十四秒应未正一刻○一分二十四秒食甚实交周○宫○一度二十七分一十一秒视距分九分五十秒应食七分二十八秒减一时得黄平限在实沈一十八度一十六分东西差一十九分一十八秒应未初一刻一十分一十九秒初亏实与测合惟复圎则在申初一刻○分二十五秒乃台官谓候得申初三刻恐食甚既在未正一刻而亏复间当不悬远至此
　　万历十一年癸未岁十一月初一日己卯朔日食䑓官候得初亏午初三刻食甚未初二刻复圎未正二刻约食九分馀大统推得初亏午初二刻食甚未初初刻复圆未正二刻食九分六十七秒
　　今以法考之是日太阳实引一十一宫一十六度四十四分二十七秒太阴实引○宫○七度三十八分一十七秒定朔午正二刻○九分四十秒太阳寔躔析木二十一度四十二分○七秒度限在星纪四度四十分距天顶六十三度二十八分高差五十三分五十五秒东西差六分○一秒气差五十三分三十四秒食在限西应加二十一分三十五秒为未初初刻○一分一十五秒食甚实交周○宫一十度○九分四十五秒得视距度一分应食九分三十一秒吻与测合其初亏则在午初二刻○七分○七秒与测较亲复圎为未正三刻○一分似与测远矣
　　万历二十二年甲午岁四月初一日己酉朔日食台官候得初亏巳初四刻食甚巳正四刻复圎午初四刻约食三分馀大统推得初亏巳初三刻食甚巳正三刻复圎午初三刻食三分九十一秒
　　今以法考之是日太阳实引四宫二十一度五十二分一十五秒太阴实引三宫一十四度二十八分○八秒定朔午初初刻○八分三十七秒太阳实躔大梁二十八度四十分二十四秒次度限在本宫二十一度○八分距天顶二十二度五十二分得高差二十三分四十七秒东西差七分气差二十二分三十四秒应巳正四刻内食甚与所测合实交周○宫○八度三十六分○一秒太阴视距度二十一分四十秒应食三分一十八秒与测密合再减一时度限在大梁八度一十二分高差三十三分二十四秒东西差一十九分三十秒应巳初三刻内初亏加一时度限在寔沈一度四十三分高差二十分一十九秒东西差二分四十二秒其复圎时刻似与所测较远
　　万历二十四年丙申岁閠八月初一日乙丑朔日食台官候得初亏巳正二刻食甚午初四刻复圆午正四刻约食八分馀大统推得初亏巳正三刻食甚午正初刻复圎未初一刻食九分八十六秒
　　今以法考之是日太阳实引八宫二十五度三十六分○四秒太阴实引四宫○八度四十一分五十四秒定朔午正初刻○四分三十三秒太阳实躔鹑尾二十九度○九分三十三秒次黄平限在本宫六度二十六分距天顶三十三度四十四分高差三十八分二十六秒交角馀度二十九度二十分东西差一十八分一十八秒气差三十三分一十二秒应午初二刻内食甚实交周五宫二十四度○八分○三秒改视距度二分四十四秒应食九分四十六秒与大统算合减一时得度限在鹑尾七度○分东西差一十六分三十九秒应午正三刻内初亏加之度限在寿星二度五十五分东西差二分四十九秒求得视行一十分四十七秒应午正四刻复圎与测密合
　　万历三十一年癸卯岁四月初一日丁亥朔日食台官候得见食八分馀初亏辰初二刻食甚辰正三刻复圎巳初三刻依大统算初亏食甚皆先天三刻复圎先天一刻馀
　　今以法考之是日太阳实引四宫一十二度三十七分太阴实引二宫二十五度二十四分定朔巳初一刻外○六分实日躔大梁宫九度四十七分以次时差得减时四十七分应辰正三刻内○四分食甚查表得日食月行分三十一分二十五秒以食甚前视行推得一时一刻○二分应辰初二刻内○二分初亏又以食甚后视行推得一时一十分应巳初三刻内一十四分复圎俱与测合再查实交周五宫二十二度五十五分实距分三十六分五十秒内减气差三十四分二十八秒馀二分二十二秒为两半径所减馀数查表得食八分八十秒大统推九分六十二秒似未合天
　　万历三十五年丁未岁二月初一日甲午朔日食历官推得初亏酉初三刻候至日入未见亏食
　　今以法考之是日太阳实躔娵訾宫七度三十二分顺天府昼长四十四刻日入酉初二刻末虽定朔应申正二刻○七分然时差近地平最大以加时得食甚酉正一刻○九分初亏酉初一刻一十分此时日虽未入相去无几而阳光闪烁微秒难窥谓之不见亏食宜也
　　万历三十八年庚戌岁十一月初一日壬寅朔日食大统推得初亏未正一刻食甚申初三刻复圎酉初初刻台官实测得初亏未正三刻食甚申正初刻至申正四刻日巳入未见复圎
　　今以法考之是日太阳实引一十一宫一十七度五十六分太阴实引一十一宫一十九度四十一分定朔在未正三刻○四分实日躔析木宫二十三度一十六分求时差得一时二十分应加在申正初刻○九分食甚因以太阴一时视行求得一时一十三分应未正三刻一十一分初亏俱与所测亲其复圎距分与初亏同应酉初一刻○九分查应天府是日日入申正四刻若顺天则在申正二刻○五分是复圎时日巳入三刻有竒不见复圎是也
　　万历四十五年七月初一日癸亥朔日食大统推酉正二刻日未入见食八十九秒候至其时日体全明不亏今以法考之是日太阳实引七宫○四度一十六分太阴实引一十宫○五度四十分定朔在戌初初刻○四分即日入后○一分矣实日躔鹑火宫○九度○分半昼为二十八刻○三分求时差得太阳距黄平限九十度三十分则最大时差二十九分四十一秒气差至满一度依时差得加一时○二分应戌正初刻○六分日入盖已久矣求初亏则先一时算得时差三十二分一十二秒以太阴视行三十一分二十三秒推得五十分与食甚相减应戌初一刻○一分则日入巳一十三分何能见食八十馀秒哉
　　天启元年辛酉岁四月初一日壬申朔日食大统推得见食四分初亏申正三刻食甚酉正初刻复圎戌初初刻日已入未见复八十秒台官实测得初亏酉初一刻复圆在天钦天监罚俸三月
　　今以法考之是日太阳实引四宫二十三度一十一分太阴实引二宫二十二度一十三分定朔在申正一刻一十四分实日躔实沈宫○度一十七分算得次加时一时二刻○九分应酉正初刻○八分食甚酉初初刻○八分有竒初亏俱密与天合复于食甚后一时求得太阳距黄平限八十九度一十八分近于地平推得时差一时○二分应戌初初刻一十分复圎查表得是日日入戌初初刻一十二分即复圎后已二分因无帯食分
　　月食
　　宋仁宗嘉祐八年癸卯岁十月癸未望月食候得卯七刻食甚授时推辰初刻食甚大明亦然
　　今以法考之是日太阳实引一十宫二十四度二十一分四十五秒太阴实引二宫二十五度三十四分四十九秒实交周六宫○一度一十九分四十五秒实望六时四十九分○五秒加视分九分四十三秒汴京距顺天西一千里应减一刻在卯正三刻食甚谓卯七刻者政与法密合若授时大明所推则又后天二刻矣至是日得食一十七分二十五秒寅正二刻一十二分初亏卯初三刻○二分四十一秒食既辰初二刻○九分五十五秒生光辰正三刻○分三十四秒复圎俱可不论
　　明天顺四年庚辰岁闰十一月戊午望月食卯正二刻见食四分强弱之间历官不报食
　　今依新法考之是日太阳实引○宫一十一度三十二分一十二秒太阴实引五宫二十四度一十九分○三秒实交周一十一宫二十六度二十二分五十五秒月食一十二分四十五秒实望七时四十九分四十八秒内减视分五分二十五秒应辰初二刻一十四分二十三秒食甚得初亏距分一时五十二分四十秒应卯初三刻○六分四十三秒初亏查高弧表得本日日出辰初一刻○七分则日未出月已入地平下其见食仅四分强弱之间是也若大统谓是日初亏辰初一刻日出卯正四刻误推在昼故不报历法踈密于此可见一斑矣
　　万历五年丁丑岁闰八月十六日庚子晓望月食历官推得卯初四刻初亏候至其时月体全明未见亏食今以法考之是日太阳实引九宫一十度○四分三十八秒太阴实引○宫一十一度二十七分一十一秒实交周○宫○三度五十四分五十六秒应食一十二分四十○秒实望八时○一分四十二秒加视分四分一十九秒应辰正初刻○六分○一秒食甚得初亏距分一时五十七分四十六秒应卯正初刻○八分一十五秒初亏查高弧表是日日出卯正一刻则初亏时政日将出时安有分秒可见哉其报见食一分三十三秒者误矣
　　万历十七年己丑岁十二月十五日戊子夜望月食历官报子初二刻食甚候至其时月体全明未见亏食今以法考之是日太阳实引○宫二十四度○七分四十三秒太阴实引一十一宫○五度三十分一十六秒实交周一十一宫一十六度四十八分三十三秒距黄道南一度○八分○三秒太阴地景两半径并五十八分○三秒其不及距分者尚有十分又安所得食分哉谓之月体全明政与法密合
　　万历二十六年戊戌岁七月戊戌夜望月食历官报食九分一十二秒至期台官实测得十分馀为食既今以法考之是日得实交周一十一宫二十五度二十一分查表实距南二十四分并两半径减之馀四十分三十二秒此时太阴自行过最庳一十一度其全径为三十四分四十秒入景最深应食一十一分五十秒大统以两半径恒如一不知其变大是以不推食既也
　　万历二十九年辛丑岁五月壬子夜望月食台官实测得见食四分馀食甚丑初一刻复圎丑正三刻而初亏止前食甚三刻
　　今以法考之是夜得平望亥初一刻○二分加时一十五刻○二分为实望太阳躔实沈宫二十四度更加升度时差四分应丑初一刻内○八分食甚吻与测合此时太阴与最高相近实交周一十一宫二十一度○六分实距南四十六分与两半径并相减馀一十三分查表得食四分○七秒凖与天合其初亏距分推得五刻○六分与食甚相减应子初四刻内○二分初亏加之应丑正三刻内○九分复圎总计食分食甚复圎新法俱与测合惟初亏不合者此乃漏刻科误报之罪何也盖月食太阴入景自初亏至食甚与出景自食甚至复圎两时俱相等未有后距六刻而前仅三刻之理考右明前后月食不下数百条而时刻自相矛盾者居多甚矣台官之溺职也
　　万历二十九年辛丑岁十一月己酉夜望月食历官报食七分八十一秒至期实测得八分馀
　　今以法考之是日太阴自行五宫二十一度○三分得其半径为一十七分一十八秒地景半径四十六分一十九秒并之减距度三十二分三十三秒馀数查表得食八分八十三秒与所测合其报七分馀者盖此日太阴近最庳入景深分数应多而大统依恒定之景径推算故分数少耳至测初亏为食甚前六刻复圎为食甚后九刻者讵台官政在醉梦中耶
　　万历三十年壬寅岁四月丙午夜望月食台官测得初亏子正一刻食既丑初一刻大统俱先天二刻测食甚丑正一刻大统先天三刻其馀俱测不精以前食甚者为八刻后食甚者为十二刻非也又识复圎为卯初一刻计总食共二十刻亦非也
　　今以法考之是日太阳实躔实沈宫一十三度四十分算得顺天府日出寅正三刻内○九分旧法依南京日出分故见复圎在日将出时遂误为卯初一刻而不知实后三刻也此时平望在卯正初刻○六分减时一十六刻○四分馀数复加升度之时差六分得食甚丑正一刻内○八分以太阴实引一十一宫实距分四分查表得初亏子正一刻内○二分食既丑初一刻内一十分皆与测数合因而生光复圎可知矣又何得若是悬绝哉
　　万历三十年壬寅岁十月甲辰夜望月食寔测得月已出见食十分馀生光酉初三刻复圎酉正二刻大统后天二刻识月出时为酉初二刻此乃应天府日入分非顺天府日入分也且依之算食既前宜见月
　　今以法考之是日太阳实躔析木宫六度五十八分顺天见入地平为申正二刻一十二分大统推食既申正三刻不合天也依法算得平望在本日巳正二刻加时六时一十四分更加升度时差八分应申正三刻○七分食甚日入后已十馀分矣以太阴实引四宫实距分一十分查表得加五十九分为生光应酉初三刻○六分总加一时五十五分得复圎应酉正三刻○二分皆亲于测数
　　万历三十四年丙午岁二月乙卯夜望月食台官实测得酉正一刻月已出见食一十馀分戌初一刻生光戌正一刻复圎
　　今以法考之是日太阳实躔降娄宫四度入酉正初刻○五分南北地略同谓酉正一刻日出是但大统推食甚后天二刻依法算得平望寅正二刻○七分加时一十三时○一刻一十三分更加升度时差二分应酉正一刻内○七分食甚以太阴实引三宫实距一十五分查表得食甚时加五十五分为生光应戌初一刻内○二分总加一时五十七分为复圎应戌正一刻内○四分俱与天密合
　　天启六年丙寅岁十二月十五日癸丑望月食历官报一更一点初亏测候初亏在昼
　　今以法考之是日太阳实引一宫○四度二十分四十秒太阴实引九宫○六度四十五分五十一秒实交周一十一宫二十四度○分四十一秒月食九分一十一秒实望一十八时三十九分五十秒内减视分九分四十八秒应酉正二刻○分○二秒食甚求得初亏距分一时四十三分○五秒应申正三刻○一分五十七分初亏查表得本日日入申正三刻一十三分是初亏在日未入之前已一十一分○三秒测得在昼是也一更一点之说误矣
　　天启七年丁卯岁十二月十四日丁未望月食历官报复圎辰初三刻不见复光八分四十六秒测候复圎在天今以法考之是日太阳实引○宫二十三度三十九分四十四秒太阴实引七宫一十七度一十二分五十二秒实交周○宫○一度四十七分二十○秒月食一十六分一十二秒实望得五时一十分二十五秒内减视分八分三十五秒应卯初初刻○一分五十秒食甚初亏寅初初刻○七分五十四秒食既寅正初刻○一分一十九秒生光卯正初刻○二分二十一秒其复圎应在卯正三刻一十分四十六秒查高弧表得本日日出辰初初刻一十四分则见复圎巳一刻有竒又安有所为不见复光八分四十六秒哉
　　凡十五分为一刻四刻为一小时二十四小时为一日











　　新法算书卷七十一
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>



　　钦定四库全书
　　新法算书卷七十二　　　　　徐光启等　撰交食表卷一
　　算交食诸表法
　　交食有本表有借用表大都算交会交食分数及视径视差食既复圆诸用者为本表盖原为会食设数列表则止以算食鲜及他用也若算日躔月离及浑天仪等项诸表亦可用以算交食此为借用之表也今所论列表独交食所用馀通用者各见本历指无不详明其法历元后二百恒年五行表〈算法〉
　　二百恒年五行表者太阳及太阴当此时或为自相较所行或与定处较所行宫度分也何谓自相较乃首朔为每年历元后第一平朔而馀行皆以随合之为准〈历元为冬至后第一子时昔朔即本时之后第一朔〉何谓与定处较乃日月引数彼为太阳当时从最庳自行此为太阴当时从最高亦自行及太阳经度乃其从冬至平行而交周度即太阴当时所过罗㬋宫度也欲算首朔则恒于原根或加太阴年或减通闰法〈见交食历指二卷新历平岁三百六十五日减十二朔实馀数为通闰因与大统略异〉
　　假如崇祯元年戊辰首朔为一十四日加太阴年即十二朔实得日数三百六十九于太阳平岁相减只馀四日若复加太阴年日数少太阳平岁无可减故与己巳之根四日等数加一十三朔实而总数乃能减之至壬申年为闰则总数三百六十六日皆全减去是以其根无日止得十六时等数也用减法则戊辰年通闰可减而次己巳年不可复减因根数少故必先加一朔实而后减也至壬申年因闰一日故前数宜减一十一日而无馀日也
　　算太阳太阴引数及交周与太阳经度表法皆相同或以加则用其十二朔实之行〈见交食历指二卷〉或以减则全周三百六十度减太阳十二朔实之自行馀数〈一十○度四十三分五十二秒〉为本年之根所减得次年之根但首朔有加朔实之处此必用全周减十三朔实自行之馀数〈为一十一宫一十一度三十七分三十一秒〉与前根相减乃得次年之根耳假如戊辰年有根为九度二十一分二十二秒因首朔加太阴年十二朔实此依加法亦加是年间太阳及太阴之自行交周及太阳之平行其太阳自行总数为一十一宫二十八度三十七分三十○秒即己巳次年之根也又本年首朔因加十三月此亦加十三月间太阳自行得一十六度五十九分五十九秒为庚午之根至壬申宜闰虽首朔多减一日此不须论也依减法戊辰年论太阳引数减一十○度等数而次年减一十一宫等数是因本己巳年首朔根借一朔实故馀皆仿此
　　用法
　　表首行书首朔者天正冬至后第一子正后之首平朔也以求日月平会次太阳太阴引数者平朔日所当日月之自行度也以求均度而推定朔次交周度者以求距度次太阳经度者以求视时此四行皆平行皆与首平朔日时相当列表每年最上书纪年向下五行所列时日宫度分秒皆从本年天正冬至后第一子正起算最下书宿书纪日皆用数为本年天正冬至后第一日所得宿及干支也推交食上得年中得首平朔及同时四种平行下得宿满二十八去之馀为所用又得日满六〈十去之馀为所用〉

















<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>
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<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>








　　历元前总甲子表〈算法〉
　　前表纪首朔即历元后第一经朔此则不然乃用以冬至相近者为首朔不拘在先与后也试以太阳经度对六十六甲子首朔得在冬至及历元之中盖太阳经行只○一分○五秒化为时得其过冬至止二十六分首朔减二十六分馀三时一十八分为冬至在本戊午日之时与首朔先后差二十六分矣算表先求六十年五行之总数盖首朔以通闰为第一年之根恒以加通闰得次年及后年之诸根满朔实减之每四年闰一日馀四行用太阴年间本行

　　为首根而复加之恒如此得诸年之根遇首朔减一朔实之处此加一朔实间之行而不论闰日六十年总行已有定法〈两甲子相随之数相减馀数即六十年之行数表中查之以此为恒法〉则上推首朔恒用加推馀行恒用减满一朔实彼此共去之〈俱交食历指二卷〉用法
　　总甲子者第一甲子为唐尧八十一年第六十六甲子则天启四年也凡欲上推往古则用此表先查所求年在第几甲子次查本年为本纪中第几零年馀法与历元后二百恒年表同









<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>
　　六十零年散用五行表　〈算法〉
　　朔实减通闰馀数〈一十八日二十一时三十二分四十一秒〉为太阴一太阳平岁所欠以满十三朔实者或十三朔实减太阳平岁所馀与上同故本数能定次年之首朔即表中起首之数也第太阳平岁必馀有数时渐满一日为闰日乃朔实内所先减去得一十七日等时为首数以后凡隔四年多减一日若馀数少于通闰无可减必借加一朔实然后可减矣太阳引数等行恒以加十二朔实之行为表其首数必应合与日数即十三朔实先除全周之行也日数凡加朔实而减者亦加当时之行以更加十二朔实之行满周恒除之故不用闰日也
　　用法与历元后二百恒年表同






<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>
　　十三月表用法
　　十三月表不论首朔以朔实为主每以一朔实加首朔即得次朔如是逓加可求本年诸平朔也凡五表第一上纪日时分秒右首行纪月数次各行为朔实每加一朔实则加一月如三月则朔实八十八日有奇也后四表上纪宫度分秒右首行皆纪月次各行皆本行之宫度分与所求各月相当之数下纪望策以加首朔则得首平望次依本月数先加朔实次加一望策得本年诸平望馀四表下皆列本望策加法同









<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>
　　加减度表　〈算法〉
　　加减度表有太阳均度从最庳起为初宫初度有太阴均度从其本轮最高而起最高或最庳左右之数虽皆同〈盈初与缩末盈末与缩初〉上下相对之数反异〈缩初与盈初缩末与盈末〉故表中以两曜本轮之初度对末度从初宫起顺数从六宫起逆数则表中于上下所应数无不合矣欲算表先求自行为引数则太阳以本圏半径及两心之差〈夫本圏心与地中心〉太阴以两轮〈小轮及次轮〉及本轮之半径皆依三角形可得第本表及次四行时表皆为借用之表必查本历指乃得其详法而算之
　　用法
　　加减度表以太阳太阴之引数查均度以均度或相加或相减于平行得二曜实经度其首行所书太阳太阴各加减者顺加逆则减顺减逆则加故各项下俱有加减而上则总以顺逆各贯下也次行是其各度分秒上下各一横行上为顺数下为逆数所记宫度者乃太阳太阴公用之引数湏照各宫顺逆字号顺逆查也各直行所当太阳太阴或加或减者均度也两引数相较有
　　〈分秒两均度相较则有较分以其较分〉
　　〈依中比例法可得〉
　　〈细引数之细均度〉















<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>








　　四行时表用法
　　平朔望或在定朔望之前或在其后若在前则以所差不及时刻加于平而得定若在后则以所差过时刻减于平而得定也四行表者皆所用以加减前后时刻也上书时自一至六十亦可当分亦可当秒其法先查时次查分查秒依表得数总计之为所求若无时止有分秒其法同也四行第一数为月距日度分秒第二为太阴引数第三为交周度第四数为太阳平行亦为其自行一日之间二行所差甚少故也表右行度数亦当分

　　亦当秒以时查得度以分得分以秒得秒惟太阳行迟数时间无过分秒故不列度数














<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>
　　加减时表　〈算法〉
　　算加减时表必较太阳所躔宫度与赤道升度〈可以用升度表〉两度惟在二分二至则相同此外渐有差数自二分右行黄道度多升度少自二至亦右行升度反多躔度为少其最差之数在分至折中略得二度二十九分法以两道升度之差化为时分所得最差远之处止九分假如降娄一十度对赤道升有九度一十一分○二秒差四十八分五十八秒化为时得三分一十六秒因在春分后夏至前躔度大过升度故用加若在夏至后躔度不及升度时分则用减如鹑首宫三十度对升度一百二十二度一十一分五十三秒所过躔度得二度等零数化时为八分四十七秒表中号为减以平时求定时必依表上下所书加减之号若以定时反求平时则易加为减易减为加如测太阳在降娄宫十度为正午时乃躔升两度差五时三分一十六秒应减得太阳在本宫度之平时
　　用法
　　求视时以太阳之实度本表查分秒得太阳所躔宫在上顺数用所求分秒依号加于实时得视时若太阳所躔宫在下逆数用所求分秒依号减于实时得视时左右书太阳所躔实度横入表至太阳所躔宫下相值者即所求数




　　加减时表上半







　　〈加减时表下半〉

















　　十二宫距宿钤
　　此出恒星历指定各宿距星躔度皆于崇祯元年应合故去数年相远求食在何宿何度以得其在分秒之内必先或加或减是中积年恒星之本行则可得也〈每年五十一秒以后推算宜加以前反减〉
　　用法
　　以太阴当食时所躔之度减前少宿度者馀度为日月食在本宿黄经度如太阴在大火宫二十四度三十三分二十四秒因氐宿距星躔本宫九度五十四分此乃前少数为太阴躔度所减馀一十四度三十九分二十四秒即氐宿太阴食时所躔之度再设太阴食时在大火宫正二度则前少数为寿星宫二十九度一十四分亢宿距星所居故大火宫二度借前一宫而减二十九度一十四分馀二度四十六分乃本亢宿太阴食时所躔之度也



　　十二宫距宿钤〈依黄道〉
　　宫次宿距星在其度　分　宫次宿距星在其度　分星纪斗　　　○五○三　鹑首井　　　○○○八牛　　　二八五四　鹑火鬼　　　○○三三
　　玄枵女　　　○六三五　　　柳　　　○五○九虚　　　一八一四　　　星　　　二二○九危　　　二八一三　鹑尾张　　　○○三二
　　娵訾室　　　一八二○　　　翼　　　一八三六降娄壁　　　○四○一　寿星轸　　　○五三六宫次宿距星在其度　分　宫次宿距星在其度　分降娄奎　　　一七一七　寿星角　　　一八三九娄　　　二八四六　　　亢　　　二九一四
　　大梁胃　　　一一四六　大火氐　　　○九五四昴　　　二四四七　　　房　　　二七四八
　　实沈毕　　　○三一六　析木心　　　○二三四参　　　一七一四　　　尾　　　一○○七觜　　　一八三五　　　箕　　　二五四三

　　十二宫距宿钤〈依赤道〉
　　宫次宿距星在其度　分　宫次宿距星在其度　分星纪斗　　　○五三九　鹑首井　　　○○○七玄枵牛　　　○○○三　鹑火鬼　　　○二五六女　　　○六五三　　　柳　　　○五一七虚　　　一八○○　　　星　　　一七二一危　　　二六四一　　　张　　　二三○九
　　娵訾室　　　一一三四　鹑尾翼　　　一○二八壁　　　二八三四　　　轸　　　二九○六
　　宫次宿距星在其度　分　宫次宿距星在其度　分降娄奎　　　○九二五　寿星角　　　一六二六娄　　　二三三二　　　亢　　　二八一○
　　大梁胃　　　○五三六　大火氐　　　○七二九昴　　　二一二一　　　房　　　二四一○
　　实沈毕　　　○一四五　　　心　　　二九三八参　　　一八一九　析木尾　　　○五四七觜　　　一八四三　　　箕　　　二五○五

　　升度表用法
　　日月皆依黄道行故止以当食所躔度径求相应宿黄经度依前表用法则可若欲以日月黄道度求相应宿赤经度必先定黄赤二道相望同升之度分令日月与星皆同归一道后依前表用法以日月赤经求宿赤经则可矣用表必日食时以太阳实度月食时以太阴实度查初行本宫下方内所对度分乃为日月当食时赤经度分即以之查前表距宿赤道度焉推算表法具在测量全义中









<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>

















　　新法算书卷七十二










　　按右系太阴距度表底本前阙一页





　　视半径表　〈算法〉
　　太阳及太阴距地最远或最近得何视径生何地景前已详之历指无庸赘兹特就远近中依各引数求所当视径以列表法本轮全径与其高庳差〈高庳谓远近〉若每度之矢与相当之差所得数半之加于小减于大乃所得即其视半径也假如太阳行最高距地远其视径为三十分行最庳距地近得视径有三十一分差止一分细算一分当化为六十秒欲求太阳距最高或最庳各六十度应作何视径因六十度之矢为五○○○○以乘六十秒得三○○○○○○除二万〈全径也〉馀一十五秒半之得七秒以加七秒于太阳最小视半径作一十五分○七秒查表中所列引数得二宫○度〈此距最高六十度〉以减于太阳最大视半径馀一十五分二十一秒查表得八宫○度〈此距最庳六十度〉馀算皆如是至若太阴距地不用表则惟推其均数时本三角形多设一三率法算第三边即太阴距地线也
　　用法
　　求交食分必以日月地景之各半径而太阳行最高最庳其距地远近不等故地景之大小亦不等表中先得地景向下查差数为地景所减月距地数则推步日食求视差所用也表上下书日月引数上顺数下逆数以日引数查太阳半径及地景差数以月引数查太阴地景各半径及月距地数











<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十三>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十三>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十三>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十三>
　　太阴实行表　〈算法〉
　　太阴一小时有自行有均度有距日行必以自行之均度或加或减于距日行乃始得太阴自最高起在某宫某度一小时实行也盖太阴自行一小时得三十二分四十○秒而均度则因所距高庳远近恒不一故以三十二分四十○秒随引数求而加减之何也自最高均度渐长至高庳折中又渐消必以自行分所得数于均度长处与距日行相减消处相加即得太阴某宫某度实行矣假如以○宫初度表得太阴均度○五分○四秒以比例算三十二分四十秒得○二分四十六秒于太阴距日一小时行度相减馀二十七分四十三秒即太阴在○宫初度实行自一宫初度得○二分二十五秒犹减馀二十八分○四秒至二宫只四秒亦减馀三十分二十五秒过此至四宫均度渐少故所得○一分二十四秒应加于太阴距日行得三十一分五十二秒馀宫度算法俱同此
　　用法
　　求太阴初食至食甚各时刻必以其本时行度变为时刻但太阴自行或疾或迟时时不同故表中查与食甚相近一小时之实行用三率法推总行时左右书宫上下书度皆太阴自行宫度以宫横行以度直行得相遇分数为当时一小时之实行




　　太阴实行表







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　　食分表　〈算法〉
　　查前表得太阴及地景各视半径并之总数减太阴距度馀为实数以一十相乘〈一十太阴全径平分也〉而太阴视径即法数也故依本表设最大视径为三十四分四十○秒最小者为三十○分自大至小〈表中每隔一十秒〉各为法数馀数自○一至六十四〈两半径并最大数也〉各为实数亦以一十乘以径数除乃列表苐日食则以日月两半径并减太阴视距度馀数为实而太阳本视径为法算亦与前同用法
　　表上横行自三十四分四十○秒渐减至三十○分者乃太阴全径最大最小之限直下入表第二右行者乃太阴地景两半径内减距度所馀数也横至两数相值即为所求之月食分秒若日食则上横行分秒者当太阳全径而右行则太阳太阴两半径内减距度所馀之数查表法同前











　　两半径并减距度馀数







<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十三>








　　两半径并减距度馀数







<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十三>








　　两半径并减距度馀数







<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十三>








　　两半径并减距度馀数







<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十三>








　　两半径并减距度馀数







<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十三>
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<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十三>
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<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十三>
　　月食时分表　〈算法〉
　　月食时分者自初亏至食甚又自食既至食甚总之以食甚为主各以倍得先后时分法于太阴距度每分之方数减太阴引数所应得月景各半径并之之方数开方得根为太阴自初亏至食甚行度依本引数用其实行求相当之时刻即初亏至食甚时也求食既之时分亦然盖月景各半径相减所馀数之方数减太阴距度毎分之方数求其根即太阴自甚既所行度而以本实行所化为时假如设太阴距度一十三分〈凡大数化为秒〉其方数六○八四○○依引数○宫初度其半径及景之半径并为五十八分一十五秒〈查径有本视径表〉得方数一二二一五○二五以两方数相减所馀数开方得其根三四○六即五十六分四十六秒乃太阴自初亏至食甚行度又以本引数初度查本表得其实行二十七分四十三秒因推得八刻○二分五十三秒乃其入景至食甚之时今求食既以后之时则仍以前引数用两半径相减馀二十七分四十五秒其方数为二七七二二二五减前十三距度分之方数以求根得一四七一为太阴所行度复以太阴亦于前实行推应得时数为五十三分○四秒此止以十三分距度推第一行对引数初宫食甚及食既时若馀宫尚有六行皆以十三分距度算须用每宫视半径及太阴一时实行因不能相同故所推食甚食既时亦有异至以馀距度分推算食时俱同此法第此特设太阳行最高引数所显地半景者若太阳去最高则地景略有变必先考定差数然后如前法算又太阳离最高其景之变不过数十秒弃之无甚大谬可不必逐宫度密求故本表止用太阳三处所生地景之异一为最高法具前一为最庳乃于每行对太阴引数所得景半径宜减二十八秒一为中距则地半景宜减一十七秒后亦如前法算所以分为上中下三表
　　或问算食既时须地半景求馀方数与距度之方数相减而算今至何距度分可无食既与否曰太阴视半径加距度分得总数大于地半景则无食既时分若小则太阴全体入景必应食既矣假如本表以上二十七分加于太阴半径一十五分一十五秒〈应第一行引数半径也〉总数四十二分一十五秒尚未及此处地半景四十三分则太阴全体仍入景中又试以二十八分得总数四十三分一十五秒则知月不全入景乃如第一行无食既若第三行太阴半径一十五分四十七秒地半景四十三分四十九秒月半径加距度分二十八分总数亦四十三分四十七秒则此数以上虽无食既以下微有之又未可执一论也
　　用法
　　查表必须太阳太阴各引数及太阴距黄道度〈此三行前表已取定〉以太阳引数知其距最高或最庳若干因而用上中下表若引数不正合于表首所书三限可取相近者用以太阴引数查表侧十二宫亦取相近者乃横进则知所用时分之在何行〈欲细算必依比例法求两引数中之时差〉复以太阴距度上下差表遇本食之横行即食甚食既时分





　　〈太阳最高限〉

















<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十三>
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　　〈太阳在中距〉

















<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十三>
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<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十三>
　　〈太阳最高限〉

















<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十三>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十三>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十三>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十三>

















　　新法算书卷七十三
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>



　　钦定四库全书
　　新法筭书卷七十四　　　明　徐光启等　撰交食表卷五
　　黄道九十度表〈筭法〉
　　总分表为五方其第一方从白羊宫起顺书十二宫二方书时分即以十二宫度之升度取时分盖距春分渐远时数渐多不必论北极出地度至第三方则为九十度限第四方为距子午圏第五方为距天顶各项因北极出地逐处不同欲以定度齐之必不可得故极之高度异其数亦异今算以黄赤距度及黄道与子午圏交角因三角形内得一角一边〈见本历指六卷〉则全数与交角之馀若黄道度距天顶之切线与九十度距正午之切线盖以黄经于本表查交角又于本表查其距度若经度在赤道内则以北极出地度减距度得黄经距天顶度若黄经在赤道外则其距度反加于北极出地度得其距天顶度始推得九十度限距正午即表中第四方所列数次于本九十度距子午度加第一方所对宫度得九十度限在某宫某度分即第三方所列数又全数与黄道度距天顶之正若交角正与九十度距天顶之正算得表中第五方所列数假如北极高三十四度求白羊宫五度得九十度在何方〈设五度当天之中在正午诸如此𩔗〉夫白羊五度距赤道北有二度与极高度相减馀三十二度其正五二九九二切线六二四八七以本五度查交角表得六十六度三十四分其正九一七五二馀三九七六八先求距子午度则依法算得切线二四八四八查八线表得十三度五十七分为第四方应白羊五度数以加本五度作十八度五十七分为第三方相应数又以正依法算得正四八五二○查表得二十九度○三分即五方所应得数也若简法则冬夏两至各左右九十度距子午圏距天顶皆等故表中数亦等如金牛初度与狮子末度春分与秋分赤道内外皆如此然论九十度限则以距至节前后等两数并得三十度如双兄二十七度对限二十七度一十三分在夏至前正三度夏至后亦三度〈巨三度〉得对限二度四十七分前后两数相加得三十度故于两至前之数减三十即得两至后之数可省算全周之半交
　　用法
　　以太阳实行查表第一方所列横对时分加于原得时分〈论日食此为定朔〉次查总时数其横对则有九十度限有距子午圏距天顶等度分皆应本时所得数如太阳在金牛宫一十○度其时为二时三十○分设原时为卯正即一十八时〈从正午起皆小时也〉因加前时总得二十小时三十○秒复查表即得卯正九十度诸度分



<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十四>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十四>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十四>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十四>
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<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十四>
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<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十四>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十四>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十四>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十四>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十四>
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　　新法算书卷七十四



　　钦定四库全书
　　新法算书卷七十五　　　　明　徐光启等　撰交食表卷四
　　算黄道九十度表所以然
　　设浑天仪为甲丙丁戊其戊庚丁已圏当地平以丙为极即天顶甲庚已圏为黄道交地平于庚于巳半圏在地平上半在下戊丙丁圏过黄极及天顶而交黄道于甲为九十度限则甲庚甲己各为象限也乙丙辛为子午圏交黄道于乙而黄道又交赤道于壬赤道亦交子午
　　圏于癸则依本仪论九十度限所
　　距何度皆于甲乙丙三角形内求
　　算本形为直角三角形以甲为直
　　角〈黄道过天顶圏此处交故〉而甲乙丙角因黄
　　道在此交子午圏于本表以黄经
　　宜查乙丙边因赤道距天顶依极高恒有定故查距度表得交子午圏之黄道度距赤道若干本距度以加或减于赤道距天顶度必得黄道交度距天顶之弧即三角形内乙丙边也〈依本仪黄道交度距赤道之弧为乙癸在　赤道内故丙癸赤道距天顶减乙癸馀乙丙〉宜求甲乙边即九十度限距正午弧〈表中第四方〉及甲丙边即本限距天顶〈表中第五方〉又设壬黄赤两道相交之节为春分则壬乙为降屡初度过子午圏之弧即表中第一方以加于甲乙得甲壬总弧即九十度限距春分弧故法云于九十度距子午度加第一方所对宫度作第三方即本九十度宫度分也　用法云原时加于太阳躔度所对时分然后以总时分查表得所求九十度限设太阳至子午圏为正午时依前图乙为太阳因在午无时可加而表中所对时即乙丁弧以升度求得者〈乙丁弧之升度
　　在赤道上算为癸丁三度四十分得一刻三十○度得一时〉馀
　　所对数径为甲点及甲乙甲丙弧
　　也设太阳过正午至丁为未时或
　　不及午止巳为巳时则或加〈过者加〉或减〈不及者减〉一时于表中升度先定
　　之时何也当躔度为金牛初度在乙得乙丁弧为三十度以癸丁升度得时为七刻○七分此更无时可加躔度在丁则丁壬为三十度其升度得时为八刻加躔度之时分总得一十五刻○七分若躔度在巳以戊乙得八刻减七刻七分馀八分至午则黄赤两道未及午相交而在正午者必为双鱼二十八度夫九十度限依此或进或退距午远近不一故距顶多寡皆不等也













<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
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<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
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<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
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<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>
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　　新法算书卷七十五
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>



　　钦定四库全书
　　新法算书卷七十六　　　明　徐光启等　撰交食表卷五
　　南北高弧表说
　　南北高弧表者太阳于某地入某宫度加某时刻各地平上之高弧度分也云某地者诸方之极出地高下不等即同日同时而太阳出地平上之高下不等故列表用表皆于本地先定极出地之高次依法推之云某宫度者太阳距赤道远近日日不等故求赤道南北纬度当先定其经度次查南北距度表得南北各纬度云时刻者太阳东昇渐高至午正而极高后乃渐降以至西入中间各时各刻分一一不等也有极高有纬度有时刻设此三率而得第四则太阳地平上之高弧度分今算表随地推之难可通用其可通用者相距一度以下日高差甚微故间度作表亦可　太阳南北纬度日行多寡不同其在春秋分时日行二十四分在冬夏二至时日行止一二分故表中不用黄道经度而用纬度〈距赤道之纬〉即每方首行所列赤道纬若干度是也纬度又分南北北在上南在下每方上列时刻上下各列度分则本方本时太阳出地平上之高弧也又午正前后其距午之刻等则地平上之高必等故一行中并列午前午后时刻
　　算法
　　推算高弧详见测量全义兹更立一便法以列表盖午正太阳在赤道上无距度则赤道高即太阳高而午前午后相距之时刻必等其全数与赤道高之正若太阳距午正之馀与其在本时高度之正设太阳去赤道内外有距度在午正距北度宜加距南度宜减此外则须另算法以太阳距赤道度于本地高度一加一减得总数及馀数两数之正并而半之将本半数于前总数或馀数之正相减馀为卯酉之正以查太阳距北至卯酉之高度也次以半数之正乘太阳距午正之馀〈时刻化为度〉总数以全数除所馀数加于卯酉之正得太阳距北某时高弧之正减于卯酉之正即得太阳距南某时高弧之正如卯酉正大于馀数则馀数不能减而太阳距南某时无高度必入地平矣若卯前酉后其正足以减除馀数得其正查所值时刻即为太阳之高弧使卯酉正较馀数小无可减则太阳卯前酉后之某刻亦未有高度也
　　假如赤道高五十二度〈北极高三十八度〉设距二十度以加于赤道高得七十二度减于赤道高得三十二度则两度正并而半之得七四○四九以减于前正得卯酉之正为二一○五七试以辰或申时距午度因本时正得六十以馀五○○○○乘七四○四九而以全数除之馀三七○二四加卯酉正二一○五七得五八○八一查三十五度三十○分为太阳本时距北二十度地平高弧减卯酉正二一○五七馀一五九六七查九度一十一分即太阳距南二十度地平高弧又试于辰初酉初因太阳距午七十五度馀二五八八二与七四○四九〈前两正并半数〉相乘以全数除馀一九一六四较卯酉为少因不能减且反为正所减馀一八九三查一度○五分是其所得高弧凡极高三十八度太阳距南二十度则日未出日巳入两时绝无高度如距北二十度不但辰酉初太阳在地平上即卯初戌初亦在地平上有一度○五分矣算时须先简本时刻求太阳距午度〈东与西等〉查其馀为表〈待用之表〉更依赤道高以黄道在其内外之距度先求正盖于每一距度求每刻之高弧又于每刻太阳距午之度求凡距赤道之高度一一得其正则巳了若指掌矣
　　用法
　　一以时求太阳出地平高因推地半径差及太阴之三视差法先于黄赤距表查太阳所躔宫度或南或北距赤道若干得本时太阳纬度于本地本纬度表中求本时刻〈若刻前后有若干分则用中比例法〉因纬度南北得其同行中或上或下度分即太阳地平上高弧度分假如考宋仁宗天圣二年甲子五月朔日食所得实食时为巳初二刻其地则汴京北极出地三十五度有竒其时则太阳距北纬度二十三度二十○分〈日躔实沈二十三度〉查表得高弧五十二度四十分
　　二以高求时〈测对食时必用此法日恒星皆同所得时皆为距子午圏时〉法于本方本纬度表依南北号或上或下求测高度分〈如无同数用中比例法求差以加于近小之率〉即中行中所得午前后时刻〈一大时三十度一刻三度四十五分〉假如崇祯四年十月辛丑朔日食初𧇾测日午正高三十八度比时日躔大火宫一度二十分得距南一十二度用本度表中〈北极出地四十度〉查三十八度于本行中得时为午正一刻是本食日初𧇾时刻　论月食如天启七年丁卯岁十二月丁未望夜西安府〈极高三十四度二十分〉月初𧇾测得大角星出东地平高四十七度其纬在北二十一度一十三分查表因无极出地数欲细算宜用中比例法则依极出地三十六度以本星高度查表得距午一十一刻一十三分依极高三十四度正得星距午十二刻○七分所差九分即两极高度之时差因极高多二十分〈依西安府算〉得一分三十秒为十二刻○七分所减则于本极出地三十四度二十分以大角高得其距午一十二刻○五分三十秒〈依此算太烦终得小差当取近数免比例或求两高度差可免复求两极高差总以数相近者为主〉今求实时〈实时即太阳本行度〉则太阳昇度三百○二度四十二分〈因在玄枵宫初度三十二分従春分起算〉减大角昇度二百○九度三十二分馀九十三度一十○分化为时得六小时一十二分四十秒加星距午三时○五分三十秒得太阳距午九时一十八分一十○秒即本夜丑正三刻初𧇾吻与时合
　　太阳距赤道表
　　黄赤二道相距南北度分是为距度即赤道之纬度也春秋二分则为二道之交太阳行此无距度冬夏二至乃二道相去最远者得二十三度三十一分三十秒日躔二分以后渐距多二至以后渐距少故表上六宫始于二分止于二至下六宫反是查表用上宫度必求于右下宫度则求于左而中方所对度分即本宫本度距赤道度分也










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　　新法算书卷七十六



　　钦定四库全书
　　新法算书卷七十七　　明　徐光启等　撰交食表卷六
　　算高弧所以然
　　算高弧有法法有原必出于天上所设圏非可意为揣度也如图以甲为心作乙丙丁为子午圏乙丁为地平甲壬为赤道从地平取北极高〈设为四十度〉得丁戊则馀戊丙〈为五十度〉与壬乙赤道高等今太阳在赤道行必从甲出地平上为卯正渐高距甲三十度为辰距六十度为已距
　　九十度至壬为午又渐低距壬三
　　十度六十度为未为申至九十度
　　复在甲为酉正此春秋两分昼夜
　　所以等也此时求太阳每时刻得
　　何高度法以甲壬为全数较于壬
　　庚即壬乙弧之正若较甲巳即
　　壬巳赤道弧之馀〈设壬巳戊圈竖立与壬已甲赤道同〉与巳辛即乙癸弧之正得太阳在已时高若干为乙癸弧所量也
　　如太阳不在春秋二分距赤道或内或外多寡恒不等则其高度较赤道高亦不等故距内离赤道渐远亦渐高若距外愈远愈不及其高以此时求高几何更有一法如次图赤道左右有平行线太阳距度在内者为乙丙在外者为戊巳内则交地平于丁得昼线丁乙大夜线丁丙小外则交地平于壬得壬戊为昼线小壬巳为夜线反大而丁乙与巳壬丙丁与戊壬即夏昼与冬夜冬昼与夏夜盖太阳南北距同度则皆等法于癸庚赤道高加庚乙太阳距内度得癸乙弧其正乙壬线又与癸庚赤道高减等太阳距外度为庚戊馀癸戊弧其正
　　戊子线与丙丑线等〈因冬昼夏夜同距度
　　故算恒设内外距度等圏中替戊子恒用相等之丙丑〉又法
　　云两正并而半之即丙丑加于
　　乙壬作乙寅半之于卯得乙卯或
　　卯寅各半正又云本半正于
　　总或馀数之正相减馀卯酉时
　　之正即乙壬减乙卯馀卯壬或卯寅减壬寅亦馀卯壬而卯壬与甲辰等甲辰即太阳在卯正或酉正出地平高故卯壬为本时高弧之正以查其度分
　　若太阳在午正则以其距南北度或加或减于夲赤道高得太阳午时正高若午前或后则如第三图以甲为心作乙辛丙半圏当竖立分十二时〈小时〉乙为午辛为卯为酉与在乙甲丙线等以此算高弧无论太阳在午前后及南北距俱不异法祗取时刻为准法以半数之乘太阳距午之馀以全数除得馀数为南北通用数也设太阳距午三十度〈已及未时〉则图中在赤道内得乙戊正弧馀弧戊辛而馀甲巳在赤道外得丙癸为正癸辛为馀而甲庚即馀与甲巳等又全数甲乙与甲丙亦等乙丁半数之与丙
　　丑线等所算得己壬与卯庚亦等
　　故在北一得巳壬在南不必算求
　　卯庚盖巳壬线者彼此通用何也
　　法以加卯酉之正得太阳距北
　　在本时高弧正反减之即得太
　　阳距南亦本时高弧正如图壬
　　子及卯寅各与甲辰等则巳壬加壬子得巳子即太阳在己〈巳即戊距午三十度〉距赤道北出地平高度也卯庚减卯寅馀寅庚即太阳在庚〈庚即癸距午亦三十度〉距赤道南出地平高度也
　　求食在昼否简本表日食必先以太阳经度查其距赤道表得在南或北若干次以本距度及食之时依本地查表遇空行则以无高度知太阳在地平下虽食本地不得见矣论月食亦以太阴经度查赤道距度表与前同苐其不正在两交则自未免有距度以之或加或减于赤道距终得正距盖太阴距内入两道间则以距赤道度减其距黄度若太阴距外出黄道更距赤道远则以加其距黄度得正距赤道度而查本表亦依极出地以距度以食时查与日食同









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　　钦定四库全书
　　新法算书卷七十八　　　　明　徐光启等　撰交食表卷七
　　天顶黄道两圏交角表〈算法〉
　　以太阳地平高及其距黄平象限度求交角法全数与太阳距天顶之馀切线〈即太阳交角点所居〉若太阳距黄平象限之切线与交角之馀查八线表得交角若干度〈见本历指五卷〉即以每高度与太阳距黄平象限度依法推算列全表〈中外共用谓之全表〉上横行书一至八十九为太阳距黄平象限度右直行书二十七至八十九为地平高度此表处处可用第中土九十度最低止二十六度而太阳之距限与地平高亦相近于二十六度故表中祗取相近之二十七度起算而此数以下不与焉今算表以地平高度为法则全数与太阳距黄平象限之正若地平高度之切线与本角之馀切线以太阳距限之度自一至八十九与地平高自二十七至八十九逐度如法推之即得黄道与高弧相交之各角点
　　假如地平高三十度查切线为五七七三五与太阳距黄平象限一度之正一七四五相乘以全数除之得一○○六为馀切线查八线表得八十九度二十五分为交角馀角为三十五分又设地平高四十度其切线八三九一○太阳距黄平象限一十○度得正一七三六五算得馀切线一四五七○查交角得八十一度四十二分馀角八度一十分而所得之正角为气差馀角即为时差今表中所载皆馀角也若求正角即以馀角之馀简本表之相当数即得正角馀俱仿此
　　用法
　　表右直行从二十七起至八十九止分三段为地平高度〈地平高度即距天顶之馀〉上横行从一至八十九为太阳距黄平象限之度算日食必以黄平象限表求太阳距本限若干又求本限距天顶若干度查本表横直两数所值之数即得所求交角馀度












　　天顶黄道两圏交角表








<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十八>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十八>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十八>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十八>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十八>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十八>
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　　新法算书卷七十八



　　钦定四库全书
　　新法算书卷七十九　　　明　徐光启等　撰交食表卷八
　　太阳太阴视差表〈算法〉
　　视差者乃太阳太阴高下视差皆以距天顶度及距地心地半径数所求得者盖太阳距地远近以最高最庳为限两限中远近之数依中比例法可算但差数甚微止用高庳折中于诸距顶度较定视差即自无谬而太阴则不然太阴有小轮有次轮其次轮之心在小轮之最高而月居次轮之边最远此为太阴距地心初限使居次轮边之近处即其次限又次轮心在小轮最庳月居其边与小轮心近即三限远即四限诸限俱以互相距之远近与其距地心之远近各有比例因各推视差所得自不同矣如太阴从次轮近处行或至远处必减次限之视差〈设心在小轮最高因距地渐远故〉或加三限之视差〈设心在小轮最庳因距地渐近故〉此求在中视差多寡比例之一縁又太阴次轮心不恒在小轮高庳两处而每环转于左右上下时时不一亦为视差多寡不同之一縁故以本心在高庳中比例复加远近度于前算定以太阴体旋次轮边之远近度得正距地度与距天顶度因推得太阴高下正视差以此列表对地平高度书两中限〈次限及三限〉之视差左右书两末限之差数〈初限及四限〉更纪月体远近次轮心上下比例差成太阴视差公表〈月食外亦可用故谓之公表见本历指五卷〉今因太阴朔望时无次轮且于次轮最近处旋绕亦别为小轮〈见本历指二卷〉而其体卒不能出两中限之外〈次限三限〉以距地故算表可免求比例之烦特就其在次限三限间距地远近〈约为五十四至五十八地半径〉每隔一地半经与其距顶每一度较算列本表
　　假如太阴在朔望小轮最高距地心五十八半径○八分总化为分数得三四八八则本数与一地半径〈六十分也〉若全数〈十万〉与太阴在地平之正得一七二三查表〈八线表〉得五十九分一十六秒为太阴距地五十八半径○八分极大之视差也设使高有数度〈多寡俱一法〉则地半径一加一减于其距地之远得总数及馀数各化为分数又太阴高度加一象限总而半之查切线则前总数与馀数若本切线与他切线得度于前半者宜减馀度即本太阴高度视差如地半径为一太阴距地五十八半径○八分总得五十九半径○八分减之馀五十七半径○八分高度加象限一一○半之五五查切线得一四二八一五算得一三七九五八查弧五十四度○四分于五十五相减馀五十六分即太阴高二十度距地远之视差若距地五十四半径依二十高度算得他切线一三七六二二查五十三度五十九分四十八秒于五十五相减馀一度○分一十二秒即本表所书数馀算法同此
　　用法
　　表上书高弧度即太阳太阴所共用度得太阳高度随查度下视差大者不过三分论太阴则以视径表中太阴引数查其距地远于本表旁数相对取近者横查本高度下数即为太阴视差分秒如表无本高度则以中比例法算












　　〈太阳太阴视〉
　　〈差表距地半〉















　　距地半径数







<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十九>








　　距地半径数







<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十九>








　　距地半径数







<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十九>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十九>
　　时气差表〈算法〉
　　时气差非高差及交角度无从可列〈见本历指本卷〉盖三差并以三小弧为直角三角形其中高差对直角交角对气差而馀角则对时差因弧小能当直线故全数与高差若交角正与气差或馀角正与时差交角大则馀角小而气差多者时差反少若两角等两差亦等彼所加必此所减所以右书顺左书逆亦此故也
　　用法
　　表上先查高差既对即以交角横查表左右〈因交角有在顺数者有在逆数者〉如交角四十五度以下得时差在右行气差在左行四十五度以上者反是故上有时差下必书气差或上气差下必书时差恒与交角互相随













　　时气差表








<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十九>
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　　日食月行表〈算法〉
　　日食月行者为日食自初亏至食甚而太阴此时所行度分也盖日食毎以视行求时分乃视行食甚先后不等未若月食能以倍数即得其复圆必须再以太阴视行推算其此时所行度分乃可法太阳及太阴各半径并化分为秒以所化数求其方数随以太阴视距度方数相减求其根即得太阴自日初亏至食甚所行度分第距度逐分求其方数而两半径则隔一宫以求之其列表如前月食时分将最高中距最庳三处分上中下用法亦与之同








　　〈日在最高〉

















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　　〈日在中距〉

















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　　〈日在最低〉

















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　　新法算书卷七十九



　　钦定四库全书
　　新法算书卷八十　　　　　明　徐光启等　撰交食表卷九
　　算时气差简法
　　治历一书交食为最乃交食中诸法所难者尤在视差西史从天仪图以三角形算此常法也间有用表者亦云简矣然就中所列非一表所求非一端终不得为简也刻白尔〈第谷友也〉反复三差之原总其理而撮其要依之作表力省功倍故名曰简法太阴距目等得极出地高黄道交地平限则气差周亦皆等
　　云太阴则太阳五星同一理云极出地高因极高低不等则天顶之距黄道人目之距日月五星本体远近不一视差无不因之有变云黄道交地平因黄道未定随天左旋时距顶远时距顶近而日月五星从之虽距地心同距目微有异亦得视差之变故以定黄道定极高求
　　七曜远近则视差可得而
　　论矣如图甲为地心以乙
　　丙丁为地靣以丙为人目
　　所居故甲丙线上至戊为
　　天顶设丁正居黄极下则
　　乙丁为黄轴与己壬作垂线而己壬乃黄道也今使太阴距天顶最近视度在己为丙目以丙己直线所望者则因戊己为高弧而庚己高下视差以丙己辛角或己丙庚角量之〈两角为平行线内相对角故等〉故凡从丙出直线居己戊癸过顶圏之平靣与丙己相等者至己壬黄道周边所作角周亦等何也丙辛既为己壬之垂线则己壬黄道
　　于过顶圈相交之公界两圈以直角交必丙辛线与诸黄道平靣上之线等为垂线其得丙辛己丙辛壬及诸
　　黄道靣上线凡为丙辛所至之角安得不等为直角夫使丙己周至黄道皆等〈因太阴距目等故〉则丙辛底同馀丙己辛角之所周必等〈几何一卷八题〉盖本角原以戊己当高弧能量高下视差今复以之当出黄极经圏于黄道上定气差则同一角也同一量也角周等得气差无不等太阴距地心等虽距目不等其气差周略等
　　人目正居黄道下则月随黄道圏行绝无气差可求惟目或居黄极下则以黄轴去地心太阴周距地心等必距目亦等而气差自等故目在黄圏黄极之中周视太阴之行虽时近时远而远近之最差在正中处其距黄圏黄极皆等彼此约有四十五度如图太阴距地心以甲己线一周等则距目以己乙线正前所谓居黄道下绝无气差者也然或以己丁线则目在黄极下矣得丁己
　　丁壬周距太阴线者皆等
　　而其不等之距必在丁乙
　　两限之间最不等者在丙
　　即丁乙限之正中气差之
　　有变易者此也今目在丙
　　欲求太阴将出地平与其至正午两处差异同若干设太阴距地心最近得地半径五十四在黄道己或壬则甲己较甲丁有五十四与一之比例〈细算甲己作五四○○○○○甲丁即一○○○○〉　故丙乙四十五度查正七○七一一为丙辛必与丙癸等因而甲辛亦等甲己减甲辛馀五三二九二八九为辛己甲壬加甲辛得五四七○七一一为辛壬先求丙己辛角〈气差角也〉则辛己与辛丙若全数与本角之切线算得四十五分三十八秒次求丙壬辛角则辛壬与辛丙若全数与本角之切线算得四十四分二十六秒两角差止一分一十二秒第前设己角在正午而壬实与之对则壬角必在子矣此不须论差惟以丙辛为底其上立辛戊与甲丙辛平靣为垂线自甲出甲戊与甲己等以定其短长自丙出丙戊与甲戊等得丙戊辛甲戊辛两角亦等〈甲辛与辛丙等甲辛戊及丙辛戊皆直角而辛戊又同故见几何一卷八题〉盖因己辛戊为直角设太阴在戊必去己正九十度出地平上而丙戊辛角则能量气差矣欲算之与前同丙戊与丙辛若全数与本角得四十五分○一秒较己角差三十七秒可见
　　太阴距地心等虽距目差地半径所得气差亦庶几等太阴距地心等虽距目不等而目视之若在视黄道下得气差实等
　　何云视黄道如图甲丙为地半径较真黄道天之远绝无比例故目在丙与在己壬线同而戊乙平行线亦可当
　　己壬线则己壬为真黄道而戊
　　乙其视黄道也今以丙目设太
　　阴居戊居乙其目必以丙戊丙
　　乙不等之线始能视之则因此在视黄道距地心以甲戊甲乙两直线皆等即本线至视黄道周所作角亦等何也甲乙戊三角形因得两腰等则戊乙底线两端之两角亦无不等〈几何一卷五题〉而周两腰所作角自等则本角因丙在黄极所出圏之平靣皆当气差可见气差周等时差变必以太阴距九十度限为主
　　如前图甲乙丁过天顶圏之平靣上立戊丙垂线得戊丙甲戊丙己皆为直角又本靣上于癸立戊癸直线则因戊在己戊壬圏而己戊壬圏与本平靣以直角相交〈当竖立之圏〉必甲癸戊角为直角与甲癸己甲等太阴居戊甲戊甲己相等而甲癸同则两三角形内馀相当之腰及
　　馀角皆等必全甲癸戊三
　　角形能当全甲癸己三角
　　形因以本形显气差为甲
　　癸线所对而甲癸丙亦直
　　角则丙戊癸三角形内亦
　　显气差为戊角所量丙癸线所对也〈甲癸以直角横黄道行丙癸顺黄道行故〉苐前设戊丙甲为直角则戊庚相距九十度〈此庚戊当高弧〉太阴居戊正在地平以丙戊癸形所显即其最大时差〈癸丙为黄极距顶之正使其距度不变则其弧不异而时差亦同又使黄极距天顶或远或近时差亦必依之为大为小而大小皆太阴在地平是其最大时差也〉今太阴或去地平远所得时差渐变又无高弧可测则不必以戊丙庚角而惟以戊丙己角量其多寡可也盖己癸壬视黄道圏以直角交丁乙出黄极经圏〈与庚己戊外圏同靣此当倒圏〉得九十度限在己故太阴在戊就己愈近得戊丙己角愈小因而戊丙癸三角形中馀丙角大则对角亦小虽丙癸线不异其时差为戊角所量无不异矣〈丙戊癸三角形以丙癸底线合己壬黄经上又以两腰在黄道圏同靣上〉至太阴正居限中则丙戊丙己及癸戊三线者皆归一直线绝无戊角亦绝无时差也
　　或问丙戊癸三角形全在视黄道平靣上代辛戊甲在实
　　黄道靣上三角形故甲戊线
　　较之癸戊线微长未免癸戊
　　丙角较之甲戊辛角略异即
　　时差何能真乎曰试以丙丁弧得半象为四十五度此即差之极远处〈若丙目在乙则两底线及两角形全合为一若丙目在丁则两腰归一全无时差可论〉欲求两差同异设太阴距地五十四地半径为甲己算〈法同前〉得甲己癸角为四十五分○一秒因而癸己线〈与癸戊线同〉五三九九五三二与丙癸底线〈四十五度之正〉合算得丙戊癸角为四十五分若甲戊合甲辛同算得甲戊辛角亦四十五分弱半秒又不待言矣
　　合论三差列表
　　因太阴距顶九十度在戊以戊丙甲为直角以甲戊丙得其最大高下视差为甲丙则太阴距地与地半径若全
　　数与本高视差又因甲癸
　　戊为直角而甲戊癸当气
　　差必癸戊丙为时差欲求
　　戊气差则太阴距地与九
　　十度限距顶之正若全数与本角之正欲求戊时差则先求癸戊腰线全数与甲角之正若太阴距地与本线乃癸戊线与丙馀角若丙癸底线与本戊角苐最大时差为太阴近地平所得者则以甲丙癸三角形求之全数与黄极距顶之正若最大高差与最大时差今列表其上横两行一地半径数即从诸曜至太阴止为七政距地数也一最大高下视差即诸曜近地平为本图甲戊丙角所推得也表右行书九十度即黄道九十度限距天顶以查气差者或本限距地平〈限距地平与黄极距天顶同〉以查时差者故算表任用何距度大端都归于一假如九十度限距天顶五十度或限高五十度所推分秒皆同试以太阴距地五十四地半径得高下视差六十三分则全数与六十三分若五十度之正与四十八分一十六秒此分秒时当气差时当时差因度限距顶为五十度或反距地平亦五十度故也
　　或问本表既别求九十度限定其高度及距天顶若干然后查求视差较诸法不甚大异今独别之曰简法此简之妙可得言乎曰常法或依三角形算或依表查若三角形除九十度限及高度外须更算距子午圏日月高弧黄道过高弧交角诸法乃敢求高气时三视差查表则须太阳距赤道表高弧表交角表又须各视差本表种种推求亦綦繁琐顾有一开卷而三差俱备如是尚不谓简乎虽然算交食者因其当然求其所以然必多方磨勘而其故始明其理始得尤不当以简为定法用法
　　未算视差先求定朔以两曜实经及本食实时查黄道九十度限表求本限距天顶若干馀度即为距地平高也次求气差则以限距天顶本度查右行以太阴距地心查上第一横行〈用视径表内太阴距地数〉其下得本距地太阴所应最大高视差减太阳最大高视差〈大阳行最高或近应一分行最庳应三分在高庳之中应二分俱因此改〉以馀数入表两数相遇即得气差次求时差必两次查表亦以限距顶之馀度从右以本高视差从上至中得最大为本太阴距地之时差〈近地平所生为最大〉又以太阴实经较限所躔宫度得其相距度则以最大时差从上以限曜两相距度从右查表至中格得所正应时差若成数有竒零先以度查表得分秒又以分查表得秒微或求气差或求时差俱如此
　　假如崇祯七年甲戌岁三月朔日食定朔在巳正○七分四十九秒日月实会在降娄宫八度三十分以本度查九十度限表得应时三十一分加巳正八分总得二十二时三十九分〈俱小时从午正起算〉以此时复查九十度限表得限距顶四十四度○四分馀四十五度五十六分即限距地平高度以太阴引数〈七宫一十四度〉查表得太阴距地五十五地半径又查本表得最大高视差六十二分减太阳在中距最大高差二分馀六十○分求气差上以六十○分右以四十四度入表中得四十一分四十一秒即食时所应得太阴气差也〈较以三角形所得止差一十七秒〉上行又以六十分右以四十五度查表得四十二分二十五秒因而限距地平高度外尚有五十六分故又上行以六十○分右以五十六分查表得四十九秒四十四微与前相加总最大时差四十三分一十五秒今太阴在降娄宫八度三十○分九十度限在降娄宫初度五十九分〈查本表得〉相距七度三十一分则复查表以四十三分〈最大时差〉从上以七度从右得五分一十五秒又以三十一分〈相距之零数〉从右本四十三分以下得二十二秒次一十五秒从上〈最大时差之零数〉七度从右得一秒五十○微总为时差五分三十九秒较三角形所算止差一十五秒他算俱凖此
　　列表之法上两横行一以地半径从多数逓至少数一以高下差从一逓至六十六每数各列五次旁以黄道九十度距天顶及距地平数从九十逆书至一分五段焉因上每一数通关旁之九十等数一二行不能尽书故分为五段旁数既分五段上方自不得不各列五次而
　　〈中方之时气差亦以五段列出用表时须会此意查之〉

















<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十>
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　　新法算书卷八十
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>



　　钦定四库全书
　　新法算书卷八十一　　　明　徐光启等　撰八线表卷上
　　割圆八线表用法
　　割圆八线表即大测表也其数之多其用之广于测量百法中皆为第一故名大测分言之则有正数切线数割线数矢数馀数馀切线数馀割线数馀矢数皆于割圆之一分以其相当之直线与其曲线相求而为测量推算之用故名割圆八线也其义与法略见大测二卷中今此刻与他本小异故先述其列表法次述用法一二如左
　　列表法二条
　　一既称八线刻中何以无矢矢者之互馀相减即得也〈法见后条〉今所列者以一弧之正切线割线彚为一方又以其相反相对弧〈如初度之相反相对则八十九〉之三线彚为一方两方平列并为同面一览可得故于初右方为弧初度顺列至四十四度皆在右方也于初左方为弧之八十九度逆列至四十五度皆在左方也初右方之上下各一横行上行顺书正弧某度下行逆书馀弧〈正弧反对〉某度其中直列第一格为本弧之分自上而下书初〈作○〉至三十第二格为本弧之正三十率各与其本分横相直也第二格书切线第三格书割线亦如之初左方之上下亦各一横行上行顺书馀弧某度〈度与右方之上行同〉下行逆书正弧某度〈度与右方之下行同〉其中直列之末一格为本弧之分自下而上书三○至六○其顺列三线与右方同也次右方中第一直行为本弧之分顺书三一至六○次左方中末行逆书○至三○馀同前合二面为正馀各一度其六十分之各三线咸在目矣次三左右方书次度俱如前法
　　二大表之全数或八位或九位十位今小表止全数六位以便推算
　　表中用线相求法九条
　　一设弧背上圆线之度分秒求其相当之各正线法先查取所设度于本度各直行查所设正分于本行中横查所求某号〈正切线之数是也〉其相对数即所求正数若度分外有设秒表中所无也而求各正线则用中比例法取设秒上下之两正分相减馀为差以差数乘设秒数为实以全秒六十为法而一得数以加于设分下所得数并为所设度分秒数
　　假设三五度四十分之弧求其正如法求本度分本号得五八三○七即是
　　又假设二十三度三十一分三十秒求其割线用中比例法则所设秒在三十一分三十二分之间也查本度分本号得三十一分之割线为一○九○五八三十二分之割线为一○九○七二相减馀一四以三十秒乘之得四二九为实以六十为法而一得七以加三十一分之割线为一○九○六五所为求数〈其比例则六十与一四若三十与七也〉
　　二设弧之度分秒求其相当之各馀线
　　假设二十三度三十一分之正弧求其馀查二十三度三十一分之他方同行本号下取数得九一六九四若设秒用中比列如前
　　三设正等直线数求其弧之度分秒
　　法于本号横取所设数相合者即其相当之本度分也不合则取表中一数与设数相近而较少者以相减得差以乘六十得数为实以表中较多一近数与初近数相减得差为法而一得数以加初近数之弧度分为设数之弧度分
　　假设八八六八八为正求其弧查得六十二度二十九分正为适足
　　又假设七六五四二为正求弧查近且少者遇四十九度五十六分之正七六五二九相减馀一三以六十乘之得七八○为实以多少两近数相减之较一八为法而一得四十三并得四十九度五十六分四十三秒二十微〈其比例则一八与六十若一三与四三三也〉
　　四设某直线数为某弧之馀某线求其弧于设数本方本号求得本线数查他方本横行得弧度分
　　五若圏半径为不全数〈满十为全数馀皆为不全数〉而求某弧之各直线法以设弧先求本表本线之数〈第二率〉乘不全之半径〈第三率〉以全数〈第一率〉而一得所求设弧之某直线〈第四率其比例则第一与二若第三与四也〉
　　如测天句股说谓用天径一百二十一度七十五分今设二十三度三十一分之弧求其正先于本表查本弧之正得三九九○一〈第二率〉以周天半径〈第三率〉乘之减末五位得二四二九○○○〈第四率不用而一者第一率为全数故乘讫即是也〉
　　六求矢法求设弧之馀以减全数得正矢如设二十三度三十一分求正矢查其馀得九一六九四以减全数得○八三○六为二十三度三十一分之正矢若求馀矢则以正减全数得馀矢
　　七有不全径之数设矢求其弧
　　法以全数〈第三率〉乘设矢以不全径〈第率〉一而一得数〈第四率〉以减全数为馀求其弧
　　如半径六十万〈古法〉为不全数设四四一为正矢求其弧法以全数乘设数得四四一○○○○○以不全径六十万而一得七三五查得七十四度三十九分为设矢之弧
　　八有弧求其通以设弧之半求其正倍之即设弧之通
　　九求通之弧以设之半为正查度倍之得通之弧
　　表外用法八条
　　一有天度〈三百六十五度四分之一〉弧求其各直线
　　先以天度通为平度〈三百六十度用通率表〉次依前法求之如旧法问半弧背二十四度黄道矢若干先以二十四度通为平度得二十三度二十九分一十秒求矢得八四○一〈第三率〉以不全半径六○八七五〈第三率〉乘之得数减后位得五度一十一分四十一秒
　　二造简平仪定时线节气线用正数倍省工力三造平浑仪等器定经纬度圏之心用切线数甚便甚凖
　　四造日晷用切线割线可减多圏多线倍省工力五测天量地俱以割圆八线为本〈见本说〉
　　六圆线与直线异类也亘古迄今未有相通之比例此割圆八种本是直线其原出于圆线其用之也可令异类之线相比相似所差极微故历家推算以为津梁无能舍置也
　　七球面上大小圏最难得其比例因此诸线可相比相凖不失分秒
　　八地平上用此诸线可定诸方相距之里差可定太阳出入时刻可定昼夜长短时刻可定日月交食真会视会相距时刻〈各有本论〉
　　右用法略举一二他用甚广各见本法中〈其造法见大测诸篇〉











<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十一>
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<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十一>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十一>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十一>

















　　新法算书卷八十一



　　钦定四库全书
　　新法算书卷八十二　　明　徐光启等　撰八线表卷下













<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
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<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十二>








　　增　凡所设之弧过象限而求其正等线者即以半周
　　内减之用其较查表即得所求如设一百
　　三十度之弧求其正即以一百八十度
　　减之馀五十度查五十度之正切割等
　　线图说见前
　　论乙丁为一百三十度之弧其正为丁
　　己其馀丁庚则丁己线为乙丙丁弧及丁
　　戊两弧之正他线类如此则查表用五十度之弧亦得一百三十度之等线数

　　八线表代句股开方法
　　一设股求句　用正馀代　〈直角傍两腰各能当句股两名互用之同理〉
　　法以〈外数〉为一率　全数〈十万〉为二率股〈外数〉为三率　如法求得第四率〈即正内数〉查八线表正相近而略少者取〈其馀以设〉
　　乘之得数右减五位即所求勾数
　　如为五十八股为二十五以全乘股得二五○○○○○以五十八除之得正四三一○三查表正弦与此数相近而略少之馀九○二三三以设五十八乘之得五二又三三五一四为所求句外数
　　一　五十八〈外数设数〉　　　一　十万〈内数　即全〉
　　二　十万〈全数〉　　　　　　　二　五十八〈外数〉三　二五○○○○○〈股外数〉　三　九○二三三〈勾内数即馀〉四　四三一○三〈正内数〉　　四　五二又三三五一四〈勾外数〉
　　二设勾求股〈亦用正馀代〉
　　法以外数为一率　全数十万为二率勾外数为三率　如法求得第四率〈即勾内数正〉查八线表正相近而略少者取其馀以
　　设乘之得数即所求股数
　　如为一万二千九百四十五勾为七千七百六十七以全乘勾得七七六七○○○○○以一万二千九百五十四除之得正六○○○○查表正与此数相近而略少之馀八○○○三〈去三作○〉以设一万二千九百四十五乘之得一○三五六为所求股外数
　　一　一二九四五〈外数〉　一　十万〈全数外数〉
　　二　十万〈全数〉　　　　二　一二九四五〈外数〉三　七七六七○○○○○　　三　八○○○○
　　四　六○○○○　　　　四　一○三五六
　　三设勾股求用割切线代
　　法以勾外数为一率全数为二率股外数为三率如法求得第四率〈即切线内数〉查八线表切线与此数相近者取其割线以句外数乘之
　　得数右减五位即所求数
　　如句设一百五十六股设四十七以全乘股得四七○○○○○以句一百五十六而一得三○一二八〈即切线内数〉查表切线与此数相近者之割线得一○四四四○以句一百五十六乘之得一六二九二六四〈即所求○〉一　一百五十六〈句外数〉　　　一　十万〈全数〉
　　二　十万〈全数〉　　　　　　　二　一百五十六〈设句〉
　　三　四七○○○○○　　　　三　一○四四四○〈割线内数〉
　　四　三○一二八　　　　　　四　一六二九二六四○










　　新法算书卷八十二
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>



　　钦定四库全书
　　新法算书卷八十三　　明　徐光启等　撰㡬何要法
　　㡬何总论
　　㡬何家者脱物体而空穷度数数其截者度其完者度有三曰线曰面曰体线以度长短面以度广狭体以度厚薄线自始引为线线展为面面运为体者无长线者无广面者无厚为线之界线为面之界面为体之界体不可为界线面体㡬何之论起焉
　　界说章第一〈十六则〉
　　界者一物之始终解篇中所用名目作界说
　　第一界
　　㡬何者度与数之府也
　　第二界
　　者无分无长短广狭厚薄故无分如上图甲真圆□一真平相遇处止一点毕世积点不能结线〈凡图十干为识干尽用十二支等字〉
　　第三界
　　线止有长无广厚如一平面光照之有光无光之间不容一物是线也如上甲乙图毕世积线不能结面
　　第四界
　　面者有长有广无厚一体所见为面凡体之影极似于面无厚之极也如上甲乙丙丁图毕世积面不能结体

　　第五界
　　体有长有广有厚如上甲乙丙丁戊己庚图

　　第六界
　　分者㡬何之㡬何也小能度大而尽之无赢不足者以小为大之分若小不能尽度大当称㡬分㡬何之㡬如上甲乙四与丙丁八戊己十二等数皆能尽分者则甲乙四为丙丁八戊己十二之分
　　若庚辛四与壬癸六一即赢二即不足不能尽度者不得正名为分则称之为三分六之二〈他数仿此〉
　　第七界
　　者非㡬何故不能为线及诸㡬何之分
　　第八界
　　线非广狭之㡬何故不能为面之分
　　第九界
　　面非厚薄之㡬何故不能为体之分
　　第十界
　　线有曲直线之一能遮两界是直线如上图甲乙不遮则不直如下图丙丁
　　第十一界
　　面之中间线能遮两界不碍不空是平面如上图甲乙
　　丙丁不遮则不平如下图戊己庚

　　第十二界
　　直线垂于横线之上为横线之垂线如上图丁乙为甲
　　丙之垂线

　　第十三界
　　两直线于同面行至无穷不相离亦不相远终不得相
　　遇者为平行线如上甲乙丙丁两线
　　第十四界
　　两㡬何以㡬何相比之理为比例两㡬何者或两数或两线或两面或两体各以同类大小相比谓之比例若线与面或数与线此异类不为比例若同类相比而不以㡬何亦不为比例也如白线与黑线或有穷之线与无穷之线虽则同类实无比例有穷之线毕世倍之不能及无穷之线故也
　　凡比例有三种有数之比例有量法之比例有乐律之比例本卷论量法之比例
　　第十五界
　　比例相续不断为连比例其中率与前后两率递相为比例而中率既为前率之后又为后率之前如上图甲二与乙四比乙四又与丙八比是也第十六界
　　中率一取不再用为断比例如上图甲四自与乙八比丙六自与丁十二比是也
　　备噐章第二
　　㡬何在历家则多用图画图必先备噐噐有三曰尺曰规曰矩尺以画线而贵直规以画圜而贵调矩以画方而贵凖噐凖矣不识用法则茫无措手今以用法著于篇
　　审尺章第三
　　画图首画线线贵直线界于尺故先求尺直
　　如甲乙为尺面丙丁为尺侧一棱先以丙丁画一戊己线丙合戊丁合己次转丙丁棱画一己
　　戊线丙合己丁合戊不出不入则尺直矣不直再当琢削画线章第四
　　尺既直矣线可无曲然画时又有法须以鐡或铜铸笔上长其柄令可把手下截阔出复渐窄而下其正面削
　　极平背令稍圆去末寸许作一小
　　窝窝下渐细至末用时以墨汁入
　　小窝以平面𦂳倚尺作线则墨汁自就下或恐墨污其地将尺削去丙丁侧一棱则墨线莹细如丝即作于规末亦得
　　审平面章第五
　　平面者诸方皆作直线
　　法曰如甲乙丙丁为面欲审其平即用直尺施于甲角绕面运转不碍不空全合直尺是平面也

　　引线章第六
　　有一短直线求平引长之
　　法曰如有甲乙线欲平引长之先以甲为心以乙为界画小半圜以乙为心任取一度于小半圜上下各作规界线为丙为丁次以丙丁为心任取一度向前作短界线相交为戊末引甲乙线至戊则得所求若欲
　　更引长仍依此法
　　平分直线章第七〈法有二〉
　　有有界之线求两平分之
　　第一法
　　如有甲乙线求两平分先以甲为心任用一度但须长于甲乙线之半愈长愈凖向上向下各作一短界线次用元度以乙为心亦如之两界线交处即丙丁末用尺作丙丁直线即甲乙有
　　界之线两平分于戊矣
　　第二法
　　若所分之线下面无地可作短界线即于甲乙线上先画两短界线于丙次或开或收规度仍前从甲从乙向上又作两短界线于丁规度愈相远画线愈凖末以丙丁二交用尺
　　如前画线则得所求
　　作垂线章第八〈法有四〉
　　有一直线任于一上求作垂线
　　第一法
　　甲乙直线任指一点于丙求丙上作垂线先于丙左右任用一度愈远愈凖各截一界为丁为戊次以丁为心任用一度但须长于
　　丙丁线向丙上方作短界线次用元度以戊为心亦如之两界线交处为己从己至丙以尺画线则得所求
　　第二法
　　于丙左右如上法截取丁与戊即任用一度以丁为心于丙上下方各作短界线次用元度以戊为心亦如之则上交为己下交为庚末作己庚直线视直线交于丙点即得所求若丙点在
　　甲乙端上则当暗引长甲乙线后如前作亦得
　　第三法
　　若直线甲端上求立垂线又甲点外无地可暗引线则先以甲乙原线上方任取一点为
　　丙以丙为心甲为界作大半圜圜界与甲乙线相遇为丁次自丁至丙依前法作直线引长之至戊为戊丁线戊丁与圜界相遇为己末自己至甲作直线即所求
　　第四法
　　若甲乙线所欲立垂线之点乃在线末甲界上甲外无馀线可截则于甲乙线上任取一点为丙如前一二法于丙上立丁丙垂线次
　　以甲丙丁角两平分之〈分法在后三卷第四章〉为己丙线次以甲丙为度于丁丙垂线上截戊丙线又用元度以戊为心向己作短界线为庚末自庚至甲作直线得所求立垂线章第九〈法有四〉
　　有无界直线线外有一求自彼作垂线至直线上
　　第一法
　　如有甲乙无界直线直线外有丙点求自丙点作垂线至甲乙线先以丙为心向直线两处各作小半圜或两短界线为甲为乙次仍用一度以甲为心向丙点相望处作短界线
　　又以乙为心亦如之两线相交处为丁末自丙至丁作直线截甲乙线于戊则丙戊为垂线
　　第二法
　　于甲乙线上近甲或乙任取一点为心以丙为界作一圜界于丙点及相望处各稍引长之次于甲乙线上视前心或相望如前图或进或退如后图任移一为心以丙为界作一圜界与前圜交处得丁末自丙至丁作直线得丙戊垂线

　　第三法
　　若丙点垂于甲乙线之界不能于丙左右画圜如前二图又或不能暗引长甲乙线则当以甲为心于丙及相望处各作短界线于丙于丁又进以乙为心以丙为界仍相望作两短界线末从丙丁二交处作直线则得
　　所求
　　第四法
　　若甲乙线在面之边且下无地可措规如前四图则当用前章第三法或以丙为心任指甲乙线上两为丁为戊次任取一度以丁为心向丙上作短界线次用元度以戊为心仍向丙上作短界线交于己末自己至丙作直线引长之至庚得所求又有便法在后平行线中
　　作平行线章第十〈法有三〉
　　一求作直线与原设直线平行
　　第一法
　　于甲求作直线与乙丙线平行先任作甲丁线与乙丙斜交次以丁为心任作戊己圜界次用元度以甲为心作庚辛圜界稍长于戊己次取戊己圜线为度于庚辛圜界截取庚辛末自甲至辛作直线即所求
　　第二法
　　先以甲为心于乙丙线近乙处任指一作短界线为丁次任用一度以丁为心向丙截取一分作短界线为戊又用丁戊元度以甲为心对甲平行作短界线为己次用甲丁
　　元度以戊为心对甲平行作短界线于己末自甲至己作直线即所求
　　注曰凡有不等度须一度用一规始元度不爽如一规而数易其度则元度永不复矣此丁先生秘法
　　注曰以上二法以甲点定远近若无甲点任指所欲远近为界可当甲点
　　第三法
　　此法比前法更简易即西本㡬何亦未载乃敝师伯先生所授如有甲乙线任远近求作平行线近甲取心向上以所求远近为度作小半圜次用元度近乙取心向上复作小半圜末以尺依半圜为界作直线即所求
　　注曰以上平行数法可推用作沿边直线之垂线如有甲乙线求乙线界上作一垂线先以乙为心向甲任取一点为丙又用元度以丙为心向甲指一点为丁又以乙为心任取一度向上方作一短界线愈远愈凖又以丁为心用元
　　度仍向上方作一短界线与前界线相交于戊次自戊至丙作垂线末以前作平行线法随用一法以丙乙为度作平行线正垂在乙点上即得所求
　　求分一直线任为若干平分章第十一〈法有四〉
　　凡造历象数欲分直线为不等分不谙其法大费手力抑且不凖宜熟后法以便用
　　第一法
　　如甲乙线求五平分先从甲任作甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作五平度为甲丁丁戊戊己己庚庚辛次作辛乙直线末用平行线法作丁壬戊癸己子庚丑四线皆与辛乙平行即壬癸子丑与甲乙为五平分

　　第二法
　　如甲乙线求五平分即从乙任作乙丙线为丙乙甲角次于乙丙任取一点为丁作丁戊线与甲乙平行次从丁向戊任作五平分为丁己己庚庚辛辛壬壬癸而丁癸线令小于
　　甲乙次从甲过癸作甲子线遇乙丙于子末从子作子壬子辛子庚子己四线各引长之而分甲乙于丑于寅于卯于辰为五平分
　　第三法
　　如甲乙线求五平分即从甲从乙作甲丁乙丙两平行线次从乙任作戊己庚辛四平分次用元度从甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸辛壬四线相聨即分甲乙于己于辰于卯于寅为五平分
　　第四法
　　此法极简极神可分百千不等之线与百千不等之分
　　先作一噐如丙丁戊己为平
　　行线任平分为若干格噐愈
　　大格愈密其用愈广格毎分
　　作平行线相聨今欲分甲乙
　　为五平分即规取甲乙之度以一规髀任抵戊丙线上一规髀抵第五庚辛线上如不在庚辛者即渐移之至线界而止既至壬即戊壬之分为甲乙之分
　　又如有甲乙线求十七平分先以规取甲乙之度以一
　　规髀抵戊丙
　　线一处以一
　　规髀抵此噐
　　庚辛第十七
　　格为壬次从
　　戊至壬画一直线次取所过两格相距之度以此为凖分甲乙直线则得十七分矣或图小而所分者大欲广其用则逓倍之如图一尺欲分一丈为十九分须取一丈十分之一为一尺用前法为十九分后以尺逓十倍之则一丈己分为一百九十分矣毎十分作识如所求馀以此推之
　　一直线求截所取之分章第十二〈法有二〉
　　第一法
　　如有甲乙直线求截取三分之一先从甲任作一甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作所命三分之平度如甲丁丁戊戊己为三分也次作乙己直线末作丁庚线与己乙平行即
　　甲庚为甲乙三分之一也
　　第二法
　　如甲乙直线求截取七分之三先以前章法分甲乙线为七分后取其三于庚则得所求如欲截取十分之七十四分之九等不均之数亦如之
　　有一直线求截各分如所设之分章第十三〈一法〉
　　法曰甲乙线求截各分如所设甲丙任分之丁戊者谓甲乙所分各分之比例若甲丁丁戊戊丙也先以甲乙甲丙两线相聨于甲任作丙甲乙角次作丙乙线相聨末从丁从戊作丁己戊庚两线皆与丙乙平行即分甲乙线于己于庚若甲丙分于丁戊焉
　　有直线求两分之而两分之比例若所设两线之比例章第十四〈一法〉
　　法曰如甲乙线求两分之而两分之比例若所设丙与丁先从甲任作甲庚线为庚甲乙角次截取甲己与丙等己庚与丁等次作庚
　　乙线聨之末作己辛线与庚乙平行即分甲乙于辛而甲辛与辛乙之比例若丙与丁
　　有两直线求别作一线相与为连比例章第十五〈法有二〉
　　第一法
　　有甲乙甲丙两线求别作一线相与为连比例者任合两甲乙甲丙为甲角而甲乙与甲丙之比例若甲丙与所求他线也先于甲乙引长之为乙丁与甲丙等次作乙丙线相聨次从丁作
　　丁戊线与丙乙平行末于甲丙引长之遇于戊即丙戊为所求线〈若以甲丙为前率仿此〉
　　第二法
　　以甲乙乙丙两线聨作甲乙丙直角次以甲丙线聨之而甲乙引长之末从丙作丙丁为甲丙之垂线遇引长线于丁即乙丁为所求
　　线
　　三直线求别作一线相与为断比例章第十六
　　法曰甲乙乙丙甲丁三直线求别作一线相与为断比例者谓甲丁与他线之比例若甲乙与乙丙也先以甲乙乙丙作直线为甲丙次以甲丁线合甲丙任作甲角次作丁乙线相聨次从丙作丙戊线与丁乙平行末自甲丁引长之遇丙戊于戊即丁戊为所求线
　　两直线求别作一线为连比例之中率章第十七法曰甲乙乙丙两直线求别作一线为中率者谓甲乙与他线之比例若他线与乙丙也先以两线作一直线为甲丙次以甲丙两平
　　分于戊次以戊为心甲丙为界作甲丁丙半圜末从乙至圜界作乙丁垂线即乙丁为甲乙乙丙之中率













　　新法筭书卷八十三



　　钦定四库全书
　　新法筭书卷八十四　　明　徐光启等　撰㡬何要法
　　总说
　　圜成于线线有二种为曲为直直线或单或众前卷已详之众线或三而成三角形或四而成方形或多而成诸不等形曲线或半或全半线有不等之用全线或成圜形或成卯形等角形及方形卯形详见后卷今先论圜形
　　界说章第一〈十二则〉
　　第一界
　　圆形于平地居一界之间为圜
　　第二界
　　外圆线为圜之界
　　第三界
　　圜之中处为圜心
　　第四界
　　自圜之界作一直线过中心至他界为圜径如上图甲
　　丁乙戊为圜界丙为心甲乙为径

　　第五界
　　凡直线切圜界过之而不与界交者为切线如上图甲乙丙线是也若先切圜界而引之入圜内则谓之交线如丁戊是也
　　第六界
　　凡两圜相切而不相交者为切圜相切而相入者为交圜加上图
　　第七界
　　凡直线形居他直线形内而此形之各角切他形之各边为形内切形如上图丁戊己为甲乙丙形内切形
　　第八界
　　凡直线形居他直线形外而此形之各边切他形之各角为形外切形如前图甲乙丙为丁戊己形外切形其馀各形仿此二例
　　第九界
　　直线形之各角切圜之界为圜内切形如上图甲乙丙形之三角各切圜界于甲于乙于丙是也圜之界切直线形之各角为形外切
　　圜同上图
　　第十界
　　直线形之各边切圜之界为圜外切形如上甲乙丙形之三边切圜于丁于己于戊是也

　　第十一界
　　一圜之界切直线形之各边为形内切圜如前图
　　第十二界
　　一直线之两界各抵圜界为合圜线如上图之甲乙线
　　造规章第二〈法有四〉
　　圜形以至圆为凖至圆必出于规规必欲极凖极顺其用甚活乃堪造历凡造规之法有四详列于后
　　第一法
　　先以铜或鐡范成二股上阔下窄至末而锐近头小半截作凹凸状令可相合次以钉钉其圆头贵宽𦂳得宜任意可开收规下半截为规髀一规髀作墨池如首卷第三章法以适用凡欲造历象必须备规其造式见后规图



　　第二法
　　凡规有三用一画虚线则须铅条当先以铜叶为管虚其中横开小路上套小铜圜可上下松𦂳以出入铅条末略奓出以留小圜如下甲图一画墨线则当作墨路如前章法如下乙图一画铜板线须以纯钢为末如下丙图右三髀俱另作不相连本规其本规如前法造但截去一髀临截处长半寸许作一小箱状虚其中亦令方可受规髀柄如下图丁处箱面作旋螺用时任入一规髀以铜消息如旋螺者贯定之如下戊图则任意可画线而一规可具三用矣此为第二法如下图




　　第三法
　　造历恒用规依比例法分线分圜或以大形移变小形或以小度移变大度其分法稍难今作一四髀规或铜或鐡略如剪形上下作四规髀上短下长令上凖下度或半或三之一或十之一及种种不等则作线圜时或欲以大变小先以下髀取度次以上髀移度或欲以小变大先以上髀取度次以下髀移度则得所求其或半或三之一或十之一俱从髀之长短而分下愈长则度愈大上愈短则度愈促



　　第四法
　　前三种规长不逾尺止堪小用如欲造玑衡大噐则当

　　更变其式如下图其规以铜范为极方条上下如一任作㡬尺于条左末作锥垂下二三寸以纯钢为之更造一锥与前锥等上方寸许仍凿方孔令透可受方条任远近可推移方孔旁更凿圆孔仍前法作旋螺贯定方条使两锥坚定不爽分毫可画大圜如下图


　　有圜求两平分之章第三〈一法〉
　　如有甲乙丙圜求两平分用尺任以圜一处为界正过心画一直线则圜体两平分矣

　　有圜之分求两平分之章第四〈一法〉
　　如有甲乙丙圜分求两平分之先于圜分两界作甲乙线次两平分之于丁从丁作丙丁为甲乙之垂线〈一卷第八章〉即丙丁分甲乙圜分
　　为两平分若有圜不露其心又求两平分之亦如此法有圜求四平分之章第五〈一法〉

　　凡立天象多用四分圜为周天四象限故造法不可不凖如有甲乙丙圜求四平分先以前法作甲乙线过戊心两平分之次依作垂线法于戊心上自丙至丁作垂线得所求
　　有圜求六平分之章第六〈一法〉
　　凡历家分周天度多用六数或十二或二十四今详其法如有一圜求作六分不用他法惟以画圜之元规周圜界六步则自然分为
　　甲乙丙丁戊己六平分矣
　　有圜求十二平分之章第七〈一法〉
　　先以本卷五章法四平分于甲乙丙丁次以画圜元规从甲从乙上下各指一点又从丙从丁左右各指一则得所求若欲二十四分毎分为两则得所求矣
　　有圜求三百六十平分之章第八〈一法〉
　　凡历家所用细分周天度以三百六十为率今详其法
　　如有甲乙丙圜先依前法四平分之为四象限次以规
　　元度依前法十二平分为十二宫
　　就以所分十二宫各三分之各包
　　十度次毎十两平分之各包五次
　　毎宫又五平分之各包六今用六
　　度之规至终不改从子宫初一度步
　　起完一周又次从初五度初十度
　　十五度二十度二十五度各步完一周则平分三百六十分矣
　　有圜之分任截㡬度章第九〈一法〉
　　如有甲乙圜之一分欲取三十五度如用常法必须先求圜分之心依后十一章法成圜后均分三百六十乃取三百六十之三十五分其法颇繁今有简妙法先备一铜板分一子丑寅象限为九十分合极凖设有甲乙圜之界自甲起欲取三十五度之分先从甲至圜心作甲丙半径线如与子丑寅象限半径合
　　则移彼度子卯至甲乙线上至庚即得所求如大小不合则以规取子丑寅半径以丙为心或甲乙内或外作一圜分若丁戊圜在外则当引长甲丙线至丁取子丑寅限三十五度以丁为始移于丁戊圜上至己从丙心过己作一直线截甲乙于庚则甲庚为甲乙圜上三百六十分之三十五也若所范铜板欲其用广当从寅心重重作圜与子丑平行又自子丑外圜逐度引直线至寅心后所欲取圜分之度若其半径与子寅不等或同于他子丑内圜之半径则可径移其度于所分圜上不尔仍用前法
　　有圜求㝷其心章第十〈一法〉
　　如有甲乙丙丁圜欲求其心先于圜之两界任作一戊己直线次以平分线法作丙丁垂线两平分之于庚则庚为圜心
　　有圜之分求成圜章第十一〈一法〉
　　如有甲乙丙圜分求成圜先于圜分任取三于甲于乙于丙从甲至丙丙至乙各作一直线各两平分于丁于戊次于丁戊上各作垂线相交处为己末以己为心以圜为界旋转即得所
　　求
　　任设三点不在一直线求作一过三之圜章第十二〈法有二〉
　　第一法
　　如有甲乙丙三点求作一圜贯之先以甲为心任取一度向乙上下各作小圜分又以乙为心向甲仍用元度上下各作小圜分相交处为丁为戊次又以甲为心向丙上下作小圜分如前
　　次以丙为心亦如之相交处为己为庚次从丁至戊从己至庚各作直线相交处为辛末以辛为心任取一点为界旋规成圜即得所求
　　第二法
　　先以三点作三直线相聨成甲乙丙三角形次平分两线于丁于戊次于丁戊上各作垂线合相遇于己末以己为心甲为界作圜即得所求

　　有圜求作合圜线与所设线等此设线不大于圜之径线章第十三〈一法〉
　　如有甲乙丙圜求作合线与所设丁线等其丁线不大于圜之径线径为圜内之最大线更大不可合先作甲乙圜径为乙丙若乙丙与丁等者即是合线若丁小于径者即于乙丙上截取
　　乙戊与丁等次以乙为心戊为界作甲戊圜交甲乙丙圜于甲末作甲乙合线即与丁等何者甲乙与乙戊等则与丁等
　　三角形求作形外切圜章第十四〈一法〉
　　甲乙丙角形求作形外切圜先平分两边于丁于戊次于丁戊上各作垂线为己丁己戊而相遇于己末以己为心甲为界作圜必切甲乙丙而为三角形之形外切圜
　　三角形求作形内切圜章第十五〈一法〉
　　甲乙丙角形求作形内切圜先以甲乙丙角甲丙乙角各两平分之作乙丁丙丁两直线相遇于丁次自丁至角形之三边各作垂线为丁己丁庚丁戊末以丁为心戊为界作圜即过庚己
　　为戊庚己圜而切角形之甲乙乙丙丙甲三边于戊于己于庚此为形内切圜
　　有圜求作圜内三角切形与所设三角形等角章第十六
　　甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先作庚辛线切圜于甲次作庚甲乙角与设形之己角等次作辛甲丙角与设形之戊角等末作乙丙线即圜内三角切形与所设丁戊己形等角

　　有圜求作圜外三角切形与所设三角形等角章第十七
　　甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先于戊己边各引长之为庚辛次于圜界抵心作甲壬线次作甲壬乙角与丁戊庚等次作乙壬丙角与丁己辛等末于甲乙丙上作癸子子丑丑癸三垂线此三线各切圜于甲于乙于丙而相遇于子于丑于癸〈若作甲丙线即癸甲丙癸丙甲两角小于两直角而子癸丑癸两线必相遇馀仿此〉此癸子
　　丑三角与所设丁戊己三角各等
　　有圜求作内切圜直角方形章第十八
　　有甲乙丙丁圜求作内切圜直角方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四线即甲乙丙丁为内切圜直角方形
　　有圜求作外切圜直角方形章第十九〈法有二〉第一法
　　甲乙丙丁圜其心戊求外切圜直角方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊次于甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四线为两径末界之垂线而相遇于己于辛于壬于庚即己庚壬
　　辛为外形
　　第二法
　　以戊甲为度依平行线法作己庚辛壬上下两线与乙丁平行次用元度作己辛庚壬左右两线与甲丙平行即得所求同前图
　　有直角方形求作形内切圜章第二十
　　甲乙丙丁直角方形求作形内切圜先以四边各两平分于戊于己于庚于辛而作辛己戊庚两线相交于壬末以壬为心戊为界作圜必过戊己庚辛而切甲丁丁丙丙乙乙甲四边是为
　　形内切圜
　　有直角方形求作形外切圜章第二十一
　　甲乙丙丁直角方形求作外切圜先作对角两线为甲丙乙丁而交于戊末以戊为心甲为界作圜必过乙丙丁甲而为形外切圜
　　有圜求作圜内五边切形其形等边等角章第二十二
　　如有甲乙丙丁戊圜求作五边内切圜形等边等角先作己庚辛两边等角形而庚辛两角各倍大于己角次于圜内作甲丙丁角形与己庚辛角形各等角次以甲丙丁甲丁丙两角各两平分作丙戊丁乙两线末作甲乙
　　乙丙丙丁丁戊戊甲五线相聨即甲乙丙丁戊为五边内切圜形而五边五角俱自相等
　　有一圜求作内切圜五边及十边形章二十三
　　如有甲乙丙圜心为丁先作甲丙过心线次作乙丁垂线次平分丁丙线于戊作乙戊线次取戊乙度移于径线为戊己次作乙己直线盖乙己为甲乙丙圜五分之一以此为度可作内切
　　圜五边形丁己度可作内切圜十边形
　　有圜求作圜外五边切形其形等边等角章第二十四
　　甲乙丙丁戊圜求作五边外切圜形等边等角先依前章法作圜内甲乙丙丁戊五边等边等角切形次乃从己心作己甲己乙己丙己丁己戊五线次从此五线作庚辛辛壬壬癸癸子子
　　庚五垂线相遇于庚于辛于壬于癸于子五垂线既切圜即成外切圜五边形而等边等角
　　五边等边等角形求作形内切圜章第二十五甲乙丙丁戊五边等边等角形求作内切圜先分乙甲戊甲乙丙两角各两平分其线为己甲己乙而相遇于己自己作己丙己丁己
　　戊三线次从己向各边作己庚己辛己壬己癸己子五垂线末作圜以己为心庚为界必过辛壬癸子庚而为甲乙丙丁戊五边形之内切圜
　　五边等边等角形求作形外切圜章第二十六
　　甲乙丙丁戊五边等边等角形求作外切圜先分乙甲戊甲乙丙两角各两平分其线为己甲己乙而相遇于己次从己作己丙己丁己戊三线与己甲己乙俱等末以己为心甲为界作圜
　　必过乙丙丁戊甲即得所求
　　求作圜内六边切形其形等边等角章二十七
　　如有甲乙丙丁戊己圜其心庚求作六边内切圜形等边等角先作甲丁径线次以丁为心庚为界作圜两圜相交于丙于戊次从庚心作丙庚戊庚两线各引长之为丙己戊乙末作甲乙
　　乙丙丙丁丁戊戊己己甲六线相联即得所求
　　求作圜内十五边切形其形等边等角章第二十八
　　如有甲乙丙圜求作十五边内切圜形等边等角先作甲乙丙内切圜平边三角形即各边当圜十五分之五次从甲作甲戊己庚辛内切圜五边形等角各边当圜十五分之三而戊乙得
　　十五分之二次以戊乙圜分取乙己度两平分于壬则壬乙得十五分之一次作壬乙线依壬乙共作十五合圜线即得所求〈以此为例推用逓分可作无量数形〉
　　圜内有同心圜求作一多边形切大圜不至小圜其多边为偶数而等章第二十九
　　如有甲乙丙丁戊两圜同以己为心求于甲乙丙大圜内作多边切形不至戊丁小圜其多边为偶数而等先从己心作甲丙径线截丁戊圜于戊也次从戊作庚辛为甲戊之垂线即庚辛线切丁戊圜于戊也次以甲丙两平分于乙
　　乙丙两平分于壬以壬丙两平分于癸则丙癸圜分必小于丙庚而作丙癸合圜线即丙癸为所求切圜形之一边也次以癸丙为度递分一圜各作合圜线得所求形
　　新法算书卷八十四



　　钦定四库全书
　　新法算书卷八十五　　明　徐光启等　撰几何要法
　　界说章第一〈凡十则〉
　　第一界
　　角者两线纵横相遇所作线有曲直两
　　直相遇为直线角两曲相遇为曲线角
　　一直一曲相遇为杂线角曲杂两线角
　　更有别论今先明直线角
　　第二界
　　凡直线正垂于横直线之上必成两直
　　角相等如上图甲乙为垂线丙丁为横
　　线而乙之左右两角相等为两直角若
　　反以甲乙为横线则丙丁为甲乙垂线也〈如今用短尺一纵一横互相为直线互相为垂线〉
　　第三界
　　垂线斜交于横直线之上必成两不等角两不等角一大

　　于直角一小于直角大为钝角小为锐角如上图戊己庚为钝角戊己辛为锐角故直角惟一而锐钝两角其大小不
　　等乃至无数
　　第四界
　　凡二直线不能为有界之形故直线之形有界者至少有三角有三直线为边名曰三边形亦曰三角形如上图三边
　　形止有三种
　　第五界
　　三边线相等为等边三角形亦为平边三角形如上甲乙丙图
　　第六界
　　两边线相等为一不等三角形如上丁戊己图
　　第七界
　　三边线俱不等为不等边三角形如上庚辛壬图
　　第八界
　　三边形有一直角为三边直角形有一钝角为三边钝角形有三锐角为三边各锐角形如上三图
　　第九界
　　凡三边形恒以在下者为底在上边为腰如上图甲乙甲丙为腰乙丙为底
　　第十界
　　凡言角者俱用三字为识其第二字即所指角也如甲乙
　　丙角其乙字指角

　　三髀规章第二
　　规以二髀为常法或倍之于两端为四髀前卷己详之矣兹有三髀规新式造法两髀如常如前二卷中所设是也旁一髀即附于二髀之枢稍引长之出头其头端上有眼衔旁一髀令其圆活可上下左右如下图用法见后




　　于有界直线上求立等边三角形章第三
　　如甲乙直线上求立等边三角形先以甲为心乙为界或上或下作一短界线次以乙为心甲为界亦如之两短界线
　　交处为丙末自甲至丙丙至乙各作直线即所求于有界直线上求立一不等三角形章第四
　　如甲乙直线以甲为心任取一度或长或短于甲乙线上用前法作一短界线次以乙为心用前度亦如之两短界线
　　交处为丙从丙至甲至乙各作直线即所求
　　于有界直线上求立三不等角形章第五
　　如甲乙直线以甲为心或长或短用一度如前作短界线次以乙为心甲度长今用短度甲度短今用长度于甲乙不
　　等作短界线交处为丙从丙至甲至乙作两直线即所求
　　有直线角求两平分之章第六
　　如乙甲丙角求两平分之先于甲乙线
　　任截一分为甲丁次于甲丙线截甲戊
　　与甲丁等次或用元度或任取一度以
　　丁为心向乙丙间作一短界线次以戊
　　为心亦如之两线交处为己从甲至己
　　作直线即所求若向乙丙无地可作短
　　界线则宜仍以丁以戊为心向甲上作短界线为己从己至甲作直线即所求〈如上图〉
　　有直角求三平分之章第七
　　如甲乙丙直角求三平分之先任于一
　　边立平边角形为甲乙丁次分对直角
　　一边为两平分丁戊从此边对角作垂
　　线至乙即所求
　　有角任分为若干分章第八
　　如乙甲丙角欲分为四为八为十六等分则先分两分又各两分之得四又各两分之得八又各两分之得十六愈分愈倍如任欲分为几分如三五七九之类则先以甲为心向乙作一圜分次以规分圜分任作几何分末从所分度
　　至甲作直线即所求如上图
　　有三直线求作三角形其三边如所设三直线等章第九
　　如甲乙丙三线毎两线并大于一线任以一线为底以底之甲为心第〈二三〉线为度向上作短界线两界线交处为丙次
　　向下作丙甲丙乙两腰即所求
　　设一三角形求别作一形与之等章第十
　　以所设三角形之三边当甲乙丙三线以前法作之即所求或又用前所备三髀规以规形所设三角形度移于别处
　　即所求
　　一直线任于一点上求作一角如所设角等章第十一
　　如甲乙线上有丙点求作一角如所设丁戊己角等先于戊丁线任取一点为庚于戊己线任取一点为辛
　　自庚至辛作直线次以前法于甲乙线
　　上作丙壬癸角形与戊庚辛角等即所
　　求
　　有三角形求两平分之章第十二
　　如有甲乙丙三角形求两平分之任于
　　一边两平分之于丁向角作直线即所
　　求
　　凡角形任于一边任作一点求从分两形为两平分章第十三
　　有甲乙丙角形从丁点求两平分之先自丁至相对甲角
　　作甲丁直线次平分乙丙线于戊作戊
　　己线与甲丁平行末作己丁直线即分
　　本形为两平分
　　有三边直角形以两边求第三边长短之数章第十四
　　如甲乙丙三角形甲边直角先得甲乙甲丙两边长短之数如甲乙六甲丙八求乙丙边长短之数其甲乙甲丙上
　　所作两直角方形并既与乙丙上所作
　　直角方形等〈原本卷四十七〉则甲乙之羃〈自乘之数
　　曰羃〉得三十六甲丙之羃得六十四并之
　　得百而乙丙之羃亦百百开方得十即
　　乙丙数十也又设先得甲乙乙丙如甲
　　乙六乙丙十而求甲丙之数其甲乙甲
　　丙上两直角方形并既与乙丙上直角方形等则甲乙之羃得三十六乙丙之羃得百百减三十六得甲丙之羃六十四六十四开方得八即甲丙八也求甲乙仿此








　　新法算书卷八十五



　　钦定四库全书
　　新法算书卷八十六　　明　徐光启等　撰几何要法
　　界说章第一〈凡八则〉
　　第一界
　　方形者四直线两纵两横相遇所成亦谓之四边形如上甲图
　　第二界
　　四边形之四线等而四直角者为直角方形如上甲图
　　第三界
　　四边两两相等而俱直角者为长直方形如上乙图
　　第四界
　　四边等但非直角者为斜方形如上丙图
　　第五界
　　四边两两相等但非直角者为长斜方形

　　如上丁图
　　第六界
　　已上方形四种谓之有法四边形四种之外他方形皆谓之无法四边形如上
　　戊图等本卷多以直方形为论为其多有用也
　　第七界
　　凡形毎两边有平行线为平行线方形如上已图
　　第八界
　　凡平行线方形若于两对角作一直线其直线为对角线又于两边纵横各作一平行线其两平行线与对角线交罗相遇即此形分为四平行线方形其两形有对角线者为角线方形其两形无对角线者为馀方形如甲乙丙丁方形于丙乙两角作一线为对角线又依乙丁平行作戊巳线依甲乙平行作庚辛线其对角线与戊巳庚辛两线交罗相遇于壬即作大小四平行线方形矣则庚壬巳丙及戊壬辛
　　乙谓之角线方形而甲庚壬戊及壬己丁辛谓之馀方形
　　审矩章第二
　　凡作方形必欲用矩故先论审矩法后论弃矩求方之法矩以两尺纵横而成然必成直角方准若稍出入必为锐钝两角而不成矩今欲审直角先审两尺之棱如首卷第
　　一法后于他坚体上作半圜中画径线次以矩角倚半圜之界视二尺棱正切径线与圜相交处则矩准而可用矣若有出入则当更改或于坚体上作一直线更作一垂线四边作直角以一矩准四直角不爽则至准矣
　　一直线上求立直角方形章第三
　　如甲乙线上求立直角方形先于甲乙两界各立垂线为丁甲为丙乙皆与甲乙线等次作丁丙线相联即得所求
　　有直线形求作直角方形与之等章第四
　　甲直线无法四边形求作直角方形与之等先作乙丁形与甲等〈本卷第五第六章〉而直角次任用一边引长之如丁丙引之至己而丙己与乙丙等次以丁己两平分于庚其庚点或在丙点或在丙点之外若在丙即乙丁是直角方形与甲等矣若庚在丙外即以庚为
　　心丁己为界作丁辛己半圜末从乙丙线引长之遇圜界于辛即丙辛上直角方形与甲等如上图丙辛壬癸
　　有三角形求作平行方形与之等而方形角又与所设角等章第五
　　设甲乙丙角形丁角求作平行方形与甲乙丙角形等而有丁角先分一边为两平分如乙丙边平分于戊次作丙戊己角与丁角等次自甲作直线与乙丙平行而与戊己线遇于己末自丙作直线与戊己平行为
　　丙庚而与甲己线遇于庚则得己戊丙庚平行方形与甲乙丙角形等而有丁角
　　有多边直线形求作一平行方形与之等而方形角又与所设角等章第六
　　设甲乙丙五边形丁角求作平行方形与五边形等而有丁角先分五边形为甲乙丙三〈三角〉形次依前章法作戊己庚辛平行方形与甲等而有丁角次于戊辛己庚两平行线引长之作庚辛壬癸平行方形与
　　乙等而有丁角末复引前线作壬癸子丑平行方形与丙等而有丁角即此三形并为一平行方形与甲乙丙并形等而有丁角自五边以上可至无竆俱仿此法
　　有多直角方形求并作一直角方形与之等章第七
　　如五直角方形以甲乙丙丁戊为边任等不等求作一直角方形与五形等先作己庚辛直角而己庚线与甲等庚辛线与乙等次作己辛线旋作己辛壬直角而辛壬与丙等次作己壬线旋作己壬癸直角而壬癸与丁等次作己癸线
　　旋作己癸子直角而癸子与戊等末作己子线而己子线上所作直角方形即所求
　　有平行方形求作三角形与之等而三角形角如所设角等章第八
　　如有甲乙丙丁平行方形戊角先作丁乙己角与戊等遇甲丙线于己次以乙丁线引长之为庚取丁庚度与乙丁等
　　末作己庚直线乙丙庚三角形与甲乙丙丁平行方形等而有戊角即所求
　　一直线上求作平行方形与所设三角形等而方形角又与所设角等章第九
　　设甲线乙角形丙角求于甲线上作平行方形与乙角形等而有丙角先依本卷第五章法作丁戊己庚
　　平行方形与乙角形等而戊己庚角与
　　丙角等次于庚己线引长之作己辛线
　　次作辛壬线与戊己平行次于丁戊引
　　长之与辛壬线遇于壬次自壬至己作
　　对角线引出之又自丁庚引长之与对
　　角线遇于癸次自癸作直线与庚辛平行又于壬辛引长之与癸线遇于子末于戊己引长之至癸子线得丑即己丑子辛平行方形如所求如欲即于甲线立形则先依本章法作己辛子丑方形次于甲线一界作寅角如辛己丑角等次取寅卯如己丑等末成平行方形即得所求
　　设不等两直角方形如一以甲为边一以乙为边求别作两直角方形自相等而并之又与元设两形并等章第十
　　先作丙戊线与甲等次作戊丙丁直角
　　而丙丁线与乙等次作戊丁线相联末
　　于丙丁戊角丙戊丁角各作一角皆半
　　于直角己戊己丁两腰相遇于己而等
　　即己戊己丁两线上所作两直角方形自相等而并之又与丙戊丙丁上所作两直角方形等
　　两直线形不等求相等之较几何章第十一
　　甲与乙两直线形甲大于乙以乙减甲求较几何先任作丁丙己戊平行方形与甲等次于丙丁线上依丁角作丁
　　丙辛庚平行方形与乙等即得辛庚戊
　　己为相减之较矣

　　有圜求作一直角方形与之等章第十二
　　方圆圆方之法自古名贤究折而未准
　　吾师丁先生几何六卷之末设此神法
　　其法之用甚广今撮其要以推作方圆
　　圆方之法先设甲乙丙丁直角方形次
　　以乙为心以甲为界作甲丁限象任分
　　为若干度今姑分为九十度又分甲乙丙丁两线如前数为九十次自乙心至象限逐度皆作虚线次从甲乙丙丁两线对望作平行线其与限象线交处俱作次从甲作曲线贯诸点贯诸点之线则甲戊线为方圆圆方之根线而乙甲为边乙丁为底次自甲至戊作一直线若乙戊直线与所设欲方之圜半径等则甲乙线为所设圜限象之界线若圜半径长则于乙丁线上截乙己与半径等引长甲乙线作己庚与戊甲线平行庚至乙即长径圜限象之界线若圜半径短则于乙丁线上截乙辛与半径等作辛壬线与戊甲平行则壬至乙即短径圜限象之界线今有
　　子丑圜或大或小其半径与乙辛等先
　　作一寅卯直线立一辰己垂线次从己
　　起取己午午未各与乙壬等次取己申
　　与乙辛等次两平分申未于酉以酉为
　　心以申或未为界作半圜切垂线于辰
　　末取己辰作直角方形之一边则此方
　　形与所设圜等以此可推不特一方与一圜即方之一边线与圜一限象等方之半边线与圜半限象等
　　有直角方形求作一圜与之等章第十三
　　如有甲线为方之边先取一圜依前法
　　求其作方之线如前度得申己次作辰
　　申直线次截戊己如所设甲线等次自
　　戊作戊卯线与辰申平行末以己卯为
　　半径之度作一圜即得所求
　　推用一法
　　依两章方圆圆方之法可推任有直线形可作一圜与之等又任设一圜可作直线形与之等须先依前章法求多边直线形作一方形与之等次依本章法作一圜形与直角方形等则得一圜与所设直线形等若又有圜求作一三角形先依本章法作一方与所设圜等次依前法作三角形如所设方形等则所作三角形如原设圜等











　　新法算书卷八十六



　　钦定四库全书
　　新法算书卷八十七　　明　徐光启等　撰测量全义叙目
　　测量全义十卷前九卷属法原后一卷属法器法原者法之所以然也凡事不明于所以然则其已然者茫茫不知所来其当然者昧昧不知所往即使沿其流齐其末穷智极虑求法之确然不易弗可得已况天之高星辰之远历数之𧷤且隐也而不究其原可乎旋观往代如二十一史所载汉以后诸家之历详矣大都专求法数罕言名理即才士间出亦各窥一二莫睹大全杂以易卦乐律益增迷瞀何怪乎千八百年而未有定法也夫历法之原有二其一则象纬之原也天事也其一则推测之原也人事也象纬之原如测天约说所论百中之一二耳其他散见于七政本论会而通之聊足著明矣此书所论则推测之原也古今言推测者又有二其可以形察可以度审者谓之叀术不可以形察不可以度审者谓之缀术此所论者又缀术也缀术之用又有二其一总物以为度论其几何大曰量法也其一截物以为数论其几何众曰算法也历象之家兼用二法如鸟之傅两翼也则无所不可之矣凡几何之属有四曰点曰线曰靣曰体引为线线展为靣靣积为体究此四者诸有形有质之物细若纎芥钜若大圜悉可极其数而尽其变所以能范围不过曲成不遗也不可为度线不可为形必三线交始成三角形焉凡度与数不用此形即巧历无从布算故三角者虽形体之始基实测量之纲要诸卷中当首论者此也凡言度数必通大小通近远者也三角形繇两视线一径线径线者所测物之广也径之两端出两直线入交于目睛之最中而成形如分寸咫尺为近小之形乃至大圜七政为远大之形形绝不等然其为三角等则比例必等因而用小推大用近推远亡不合者故曰通大小通远近也夫学难者必自近也学微者必自显也最难且微莫如天之三光最易且显莫如地之百物次卷所测测地与物以此故也然而测一物之高一山之高与测日月星辰去地之高也无以异则亦通大小通远近者也其次进而测靣靣者平方平圆之类其变不可胜穷也然而测物之靣与测地景之靣测日月星之靣其理一也又进而测体体者立方立圆之类其变不可胜穷也然而测物之容与测地之容日月星之容其理一也是皆远近大小通焉者也既曰通焉而不言远大先言近小者则所以习之也习之奈何习手与目以求其贯也习心与意以求其信也不习不贯未有能信者也习且贯未有不信者也故习小习近言远大者之所求也夫论度数至于测体深矣微矣然而皆平靣直线也天则圆体其靣圆靣其线曲线也测圆靣之难十倍平靣测曲线之难十倍直线盖圆与曲谓之弧而测弧无法于无法中求有法其势不得不难世有传弧矢算术测圆术者皆非术也其本术稍见于大测其为数则割圆八线表而此书第七至第九则言其理与法也盖以弧背求矢用测曲线三角形展转推求展转变易凡周天众规相交相距所以经纬七政运行四时推迁运会者上下百千万年可知也诸天诸曜种种运行悉无一定之法其为纷𧷤莫可胜原此弧诸法则何以能追求至尽乎盖所论者非诸曜自行之度数而宗动天之度数也宗动者不依七政而能为七政之凖则历家谓之天元道天元极天元分至终古无变易也因此推步是以有恒御无恒历家之立法最难在此其用法最易亦在此矣终之以法器何也曰器之用大矣智者非器不作明者非器不述差者非器不改合者非器不验教者非器无以措其辞学者非器莫能领其意巧者非器未繇见其长拙者非器有所匿其短是以唐虞钦若首在玑衡历代以还屡更其制据今所有则浑天仪简仪立运仪浑天象四器也而年逾数百久阙缮治地址倾垫枢轴锈蚀浑天一仪不复运动简仪立运犹似堪用复少黄道规环且测候多端止凭一器架柱森列多成映蔽均赋辰度尚未精密刻定宿度则又元时所测非今测也此卷中分列诸器择其最急略有五种曰测高仪曰距度仪曰地平经纬仪曰赤道经纬仪曰黄道经纬仪有此诸仪相袭并用彼碍则此通可以无求不得矣更求密测责以分秒无差则一式又湏三器三器俱列用相参较三测并合则制器精工安置如式测验得法灼然具见矣有不合者可以推究病源更求厘正厘正之后测复参差则择其同者用之若止据一器有得即真乌从知其然不然可不可乎且旧仪大环径止五尺二寸度止十分今拟新式用半径者六尺则三倍大也度得百分则十倍细也用全径亦六尺度可六十分亦六倍细也夫今之改宪欲求倍胜于古非倍胜之器谅无从得之矣或疑法器重大取数复多即用物必奢是又不然今之旧仪不能揣知轻重大都唐宋以来考诸史志约略相等宋史言东都浑仪四座每座约铜二万馀斤今拟诸式槩从轻省若得宋元一仪之费足以尽造诸器有馀矣且每式三器诚不可少若宛转相就则经纬仪可以得距地平仪可以得高一倍本数亦能通用或五大既全稍从狭小以为副贰兼用精铁以省铜材固无不可则所计一仪之费尚可损其半也惟是旧仪欲将修改则一器止堪一用其修改之费恐过于造作计不当为之耳惟浑天象止以测到度分量度经纬在于施用未为关切今体制完美无烦再造矣
　　界说二十三则
　　第一界
　　正弧全圏四分之一或大焉或小焉
　　如图甲乙丁为全圈之半乙丙丁为四分之一是名一象限九十度正弧之大无过于此若甲乙丙则大于象限丙丁则小于象限但
　　小者皆名正弧而大者则名过弧
　　第二界
　　馀弧正弧之剰分
　　如庚己正弧庚乙为馀弧是正小于己
　　乙也如庚丁过弧则大于丁乙而庚乙
　　为过弧之馀弧也
　　第三界
　　通者通弧之相当线分圏为两分〈相当线亦名对线〉
　　如庚丙线与庚乙丙弧相当又与庚己子丙弧相当第四界
　　圏内线极大过心者为圏径
　　如己戊丁是
　　第五界
　　正之半
　　如丙甲庚半之为丙甲正当丙乙弧又丙辛子半之为丙辛正当丙丁弧或曰正者从圏上一点作垂线至己丁径上则丙辛为丙丁弧相当之正第六界
　　馀馀弧之正
　　如丁丙正弧则丙乙其馀弧丙甲为丙乙之正丙丁之馀
　　第七界
　　倒者馀与半径之较亦名矢
　　如丙甲馀与辛戊线等以辛戊减丁
　　戊半径存辛丁为丙丁弧之倒亦为
　　丙丁弧之矢
　　第八界
　　全径之半象限弧之正
　　第九界
　　直线角在圏心或大或小皆居对弧两腰间〈相当弧亦曰对弧〉如丙戊丁角在戊心向丙丁正弧则角生于丙戊丁戊两腰间

　　第十界
　　馀角者馀弧之正角〈对角亦名正角亦名相当角〉
　　如丙戊乙角为丙丁正弧之馀角即丙乙馀弧之正角第十一界
　　切线者圏径界之垂线亦名切圈线在圏外〈如下界之丙甲线〉第十二界
　　割线者直角之对线亦名交线亦名截线在圏之内外如甲戊丙形甲直角〈凡言甲角当九十度弧之直角〉戊为心丙戊交圏于乙割线也此线限心上角
　　限甲乙弧则角与弧胥生于甲戊戊丙两腰间又曰正割线者正弧之割线如甲乙正弧则戊丙正割线也第十三界
　　馀切线者馀弧之切线
　　第十四界
　　馀割线者馀弧之割线
　　如戊丁馀弧乙己为割线是甲戊弧之馀割线
　　第十五界
　　全圏三百六十度半径之全数十万平分〈或用一万或用百万千万皆可〉第十六界
　　设弧者任取全圏之一分〈凡言设者先有定数也或称有或称得〉
　　如甲戊丙角形戊为心甲乙丁其象限弧也取甲乙一分四十度则甲乙为设弧也
　　第十七界
　　设角者设弧之角
　　如戊心甲戊戊乙两腰弧甲乙则因弧而称甲戊乙角言角之度分即对弧之度分
　　第十八界
　　设正
　　如丁戊半径十万分先言丙辛若干分则所设丙丁弧之正

　　第十九界
　　设切线
　　如甲乙全数先言甲丙若干数则所设切线
　　第二十界
　　设割线
　　如甲乙全数先言乙丙若干数则所设割线
　　第二十一界
　　设边线
　　如甲乙丙角形先言甲乙四丈或乙丙五丈或甲丙三丈俱所设边线
　　第二十二界
　　方数者方形边自乘之数
　　如正方边四自之得一十六方之各边俱等
　　方形根者开方所得方形一边之数
　　第二十三界
　　平形有方有矩〈方者直角方形矩者矩内直角形〉
　　矩形边两两自相等有一边有实用算得所求他边开方法有本论本书今别撮为图欲求根一简即得省布算焉简法见筹算
　　测量全义卷一
　　第一题
　　通与通弧正与正弧比例等〈比例等后省曰若〉
　　解曰有己庚乙丙丁圏其通径己戊丁戊上作乙戊垂线别作庚甲丙线与己丁平行则庚甲丙为庚乙丙通弧之对题言
　　庚甲丙通与庚乙丙通弧之比例若丙甲正与乙丙正弧
　　论曰戊心上垂线作直角平分庚乙丙弧则庚甲戊丙甲戊两角形等何者庚戊丙戊从心至界等甲两旁直角等甲戊同边则两形必等两角之对弧亦等〈几何三卷二十六〉故庚甲丙偕庚乙丙两全与丙甲偕丙乙两半比例等
　　第二题
　　圏内正弧等正亦等反之正等正弧亦等
　　解曰有全圏丁丙乙寅己丁寅为径设丁丙乙寅两正弧等从丙从乙作丙戊乙己两垂线截径于辛于壬作直角平分两
　　〈三卷第三〉亦平分丙丁戊乙寅己两弧〈三卷三十〉是丙丁丁戊偕乙寅寅己之各两半与丙丁戊偕乙寅己之两全比例等则其丙辛戊乙壬己之两全与丙辛辛戊偕乙壬壬己之各两半比例亦等题言丁丙乙寅两正弧既等则丙辛乙壬两正必等
　　论曰丙丁与乙寅两弧既等则作丙庚乙庚自心至界之两等线得丙庚丁角与乙庚寅角等〈三卷二十七〉丙辛庚与乙壬庚两直角亦等而丙辛庚乙壬庚两三角形必等故丙辛乙壬两正必等反之丙辛与乙壬丙庚与乙庚各等丙辛庚乙壬庚两直角等则丙庚辛乙庚壬两角亦等〈一卷第八〉而丙丁乙寅两对弧必等〈三卷第二十六〉
　　第三题
　　圏之内大弧大小弧小反之大大弧小小弧各相对
　　解曰甲乙丙丁圏甲己大弧丙庚小弧题言己卯大于庚寅
　　论曰试取甲辛弧与丙庚弧等从庚乙己辛各
　　作垂线过甲丙径至于丑于丁于癸于子其庚寅辛壬两半等〈本卷二〉即庚丑辛子两全亦等〈三卷第三〉己癸近心大于辛子〈三卷十五〉是全大于其全也〈五卷十五〉己卯视辛壬半不大于其半乎次论曰试截卯己于午与庚寅等午上作垂线至辛与丙甲径平行午卯庚寅既等自与辛壬等〈皆在两平行线内〉甲辛丙庚两弧亦等己甲全弧大于辛甲分弧己卯大必大于辛壬小是大对大弧小对小弧也第四题
　　圏径截亦截弧任分之两分与两弧之正各相似解曰有圏径乙辛截丙丁通于己截丙乙丁通弧于乙其丙乙乙丁两分弧之各正为丙甲戊丁题言丙己己丁两分
　　与甲丙戊丁两正比例等
　　论曰丙甲己丁戊己两角形相似何者两形有相等之己交角有相等之两直角即丁角与丙角必等〈一卷三十二〉是形与形边与边俱相似而丙己己丁两分之比例与丙甲丁戊两正自相似
　　第五题〈三支〉
　　三不等角形作垂线任分底为二其大分依大边大边上方大于小边上方其较为底全线偕分馀线矩内形先解曰丁乙丙角形三边不等丁乙小丁丙次之乙丙大为底〈凡边大者为底〉从丁角作垂线至底题言分底为二者谓垂线之甲在形内盖乙丙边大即对角之乙丁丙角
　　亦大乙丙两角必小如谓在形外即以乙丙边引长于己而令己作直角将丁己乙三角形内有丁乙己钝角〈甲乙丁为锐角故也〉又有己直角是两角大于两直角也可乎次解曰丁甲垂线任分乙丙底题言甲丙大分依丁丙大边
　　论曰丁丙边既大于丁乙边即其上方形亦大而丁丙上方与甲丁甲丙上两方幷等〈一卷四十七〉则甲丁甲丙两边幷亦大于甲丁甲乙两边幷试减同用之甲丁则所存
　　甲丙亦大于甲乙是甲丙大分依丁丙大边也三解曰丁丙方大于丁乙方其较乙丙偕戊丙矩内形论曰试截甲戊与甲乙等其乙戊线平分于甲有引增戊丙线则乙丙偕戊丙矩内形及甲戊上方形幷与甲丙上方形等〈二卷第六〉次各加一甲丁上方形则乙丙偕戊丙矩内形及乙甲〈即甲戊也〉甲丁上两方形或丁乙上方形〈乙甲甲丁两方幷与丁乙方等一卷四七〉与甲丙甲丁上两方幷或丁丙上方形俱等夫丁乙上方形内有甲乙甲丁上两方形独少乙丙偕戊丙矩内形则丁丙上方大于丁乙上方形之较为乙丙偕戊丙矩内形
　　第六题〈四支〉
　　三不等角形从角作垂线任分底为二知其边数即知各分数
　　解曰同前图乙甲甲戊等戊丙为任分之较法曰丁乙丁丙上两方之实相减馀者以底数而一得戊丙以减底数馀者半之得乙甲
　　小分如丁丙十五丁乙十乙丙底十八丁丙自之得二百二十五丁乙自之得一百相减存一百二十五以底十八为法而一得六又十八之十七戊丙也以减十八存十一又十八之一乙戊也半之得五又三十六之十九乙甲也次解曰依二卷十三题乙丙为两锐角则丁丙上方小于丁乙乙丙上两方其较为乙丙偕乙甲矩内形二法曰用前数乙丁一百乙丙三百二十四两方形幷为四百二十四减去丁丙方形之数二百二十五存一百九十九为实底数一十八为法而一得乙甲之数约之为五又三十六之十九者二
　　三解曰以丁大角为心丁乙小边为界作全圏截丁丙于己乙丙于戊丁丙引长于辛丁乙丁辛两半径等则辛丙偕己丙与乙丙偕戊丙两矩内形等〈三卷三十六〉乙甲甲戊又等〈三卷三〉丙乙大边有戊丙分在圏外
　　法曰用前数丁丙十五加丁乙十或丁辛得辛丙二十五丁己与丁乙等则辛己径为二十以己丙五乘辛丙得一百二十五为实乙丙十八为法而一得六又十八之
　　十七为戊丙有戊丙得乙戊平分乙戊得乙甲四解曰以丁大角为心丁丙大边为界作全圈乙丙底引长于戊丁乙边引长于庚于己即庚乙乙己矩内形与丙乙乙戊矩内形等〈三卷三十五〉丙甲甲戊既等庚丁丁丙亦等庚乙边二十五丁丙丁乙两边幷亦二十五丁己丁丙各十五减丁乙十存乙己五
　　与庚乙相乘得一百二十五为实乙丙十八为法而一得六有竒为戊乙以加乙丙十八得戊丙平分得丙甲第七题
　　断比例之四率以三推一名三率法
　　解曰四几何为两比例等先有三推得第四或同类或异类其前其后不得更易用反理亦用转理列第一第二第三率即可推第四率依七卷十九题中率相乘与首尾两率相乘得数等故二三相乘为实第一为法而一得四率也昔人因其用大算家必需称为全法焉〈同类异类反理转理俱见几何四卷〉
　　第八题
　　三边直角形锐角为心底为界作象限圏半径为全数在心角对边为其弧之正其旁为正弧之馀馀弧之正解曰如前图甲乙丙直角形乙锐角为心乙丙底为界作丁己象限圏引乙甲边于丁从心作乙己垂线题言甲直角乙丙为对边作全数〈本界说八〉丙甲边为在心角之对边即丁丙弧
　　之正〈本界说五〉而甲乙边为丁丙正弧之馀为丙己馀弧之正所以然者试从丙作丙戊与甲乙平行甲直角丙戊乙亦直角则丙戊甲乙两线等〈一卷三十四〉丙己弧为丁丙正弧之馀弧丙戊为丙己馀弧之正为丁丙正弧之馀〈甲乙同〉
　　又如后图用锐角丙为心乙为界则乙甲
　　为丙角之对边为乙丁正弧之正甲丙其馀〈乙戊同〉第九题
　　三角形边与边之比例若各对角之正
　　解曰题一言直角形依前论各边为对角之正在心角与正弧与正俱同理则弧与弧与角与角其比例俱等二言三边等即三角俱等〈一卷五〉角之正亦等则边与边皆若角与角三言己乙丙杂角
　　形三边形不等则以己乙小边引长于丁为乙丁与己丙等丙为心己为界作己庚弧又乙为心丁为界作丁戊弧末作丁辛甲己两垂线至乙丙底
　　论曰丁辛乙甲己乙两直角形之丁辛甲己平行同用乙角即各边俱相似〈六卷四〉则乙丁与乙辛若乙己与乙甲又先设乙丁己丙等是丙己边与丁辛若己乙边与甲己也夫丁辛为乙角之正甲己为丙角之正更之则丙己边与己乙边若乙角正之丁辛与丙角正之甲己也
　　第十题
　　有三角即有三边之比例
　　解曰直角形设一锐角自有其二〈一卷三十二〉三边等形设一边自有其三两边等形有腰间角以减两直角平分其较自得底上角杂角形有两角幷以减两直角其较为第三角〈杂角者总直钝锐也下文以直角为例〉如乙角四十二度查正得六六九一三丙角四十八度得七四三一四则丙甲边与乙甲边若六六九一三与七四三一四约之为三十三与三十
　　七有竒也其乙丙与丙甲若全数与乙角之正六六九一三也钝角同理
　　第十一题
　　三角形有设角之比例即有各角之几何
　　解曰乙丙丁角形丁角与乙角若三与四乙角与丙角若四与六题言可得各角之几何
　　论曰三几何分之有比例幷之亦有比例〈五卷十八〉乙丙丁三角幷得十三其与丙若十三与六与丁若十三与三与乙若十三与
　　四
　　如求每角几度则用三率法三角幷为第一两直角幷一百八十为第二每角之分数为第三推之得第四


　　或用四卷八题之法三与四四与六四数横列之以第一第三相乘所得为第一率以第二第三相乘所得为第二以第三第四相乘所得为第三〈再用前法〉又如乙与丙若三与四丙与丁若五与六列数如图



　　第十二题　论直角三边　〈四支〉
　　三角形有锐角及直角之对边求馀边
　　一法曰置〈三角形之直角之对边也〉如乙丙二丈五尺乙角三十六度五十二分丙角必五十三度○八分求丙甲边以乙角为心作
　　丁丙戊象限弧则乙丙全数也丙甲边乙角之正也一率甲直角之全数十万
　　二率丙乙边外数二十五尺〈言内者八线表数言外者今所求得数如丈尺等〉三率乙角〈三十六〉一度五十二分　　或用丙角五十三度
　　正内数五九九九五　　　　其正内数八○○○三
　　四率得一四九九约得一丈四尺　　四率得二丈
　　为甲丙边外数　　　　　为甲乙边外数
　　用加减法
　　凡全数为第一率如置十万即第二第三率之数进为万加○若过万则退位两率各当正向各表上取其弧两弧幷而相减求总存两弧之各馀若总数过九十者两馀相加其半为第四率总数不过九十者两馀相减所存半之为第四率
　　如全数与二十五若五九九九五与所求数法二十五作二万五千正表取其弧得十四度二十九分查第三率得三十六度五十二分两弧幷得五十度二十分其馀为六三八三三相减存二十二度二十四分其馀九二四五五两馀之较二八六二三半之得一四三一为第四率与三率乘除所得同
　　用切割两线
　　二法曰丙乙角为心甲为界作甲戊己
　　弧截乙丙于戊则乙甲边全数也甲丙
　　乙角之切线也乙丙乙角之割线也有
　　乙设角即有其切线与割线而求甲乙边则乙角之割线与乙丙〈外〉若乙甲全数与乙甲〈外〉又求甲丙边则乙角之割线与乙角之切线若乙丙〈外〉与丙甲〈外〉
　　一乙角三十六度五十二分之割线三四九九五二乙丙外边二十五　　或二乙角之切线七四九九一
　　三全数十万　　　　　○三乙丙外边二十五四得二十为外甲乙边　　四得十五为外甲丙边
　　三法曰设直角傍之一边如乙丙甲角
　　五十三度八分用正则乙丙为全数
　　其法为丙角之正与乙甲外数若甲
　　直角之全数与乙丙底外数
　　丙角五十三度八分之正八○○○三
　　乙甲边外数二十
　　乙丙全数十万　　　　乙角之正五九九九五得二十五强即乙丙底外数　　得一十五强乃甲丙边外数
　　用割切二线
　　四法曰设乙甲边与乙角则甲乙全〈内数〉与其外数若乙丙割线〈内数〉与其外数或
　　若甲丙切线〈内数〉与其外数底与边俱得
　　乙甲全数十万
　　乙甲边数二十
　　乙角割线内数一二四九九五　　乙角切线内数七四九九一得二十五强即乙丙外数　　得一十五强即甲丙外数
　　第十三题〈三支〉
　　有两边求馀边又求其角
　　一支两边在直角之傍
　　一法曰先求边用勾股法两边数自之幷
　　而开方得直角之对边〈一卷四十七〉次以边求其角因角与角之比例若边与边用正数为丙乙边之外数与甲角之全数若丙甲边外数与乙角之正亦若甲乙边外数与丙角之正
　　丙乙外数五
　　全十万
　　甲乙外数三　　　　甲丙边外数四

　　用剖切线
　　二法曰丙锐角为心丙甲为全数甲乙其切线丙乙割线也先求角则甲丙边
　　外数与全数若甲乙边外数与丙角之切线丙甲外数四
　　全十万
　　甲乙边外数三
　　得七五○○○为丙角之切线查得三十六度五十二分
　　有丙角自有乙角而求丙乙边则全数与甲丙外数若丙角之交线与丙乙外数
　　全十万
　　甲丙外数四
　　丙角交线一二五○二二
　　得五为丙乙边外数
　　二支一边为直角之对一边在直角之傍
　　三法曰先用勾股法两设边各自之相减馀开方得所求边有边求角则角与角之比例若边与边
　　四法曰不用开方用第一支求角法有二边即有对角之数次求边则丙乙全数与丙乙外数若乙角之正与丙甲外数
　　全数十万
　　乙丙外数五
　　乙角之正八○○○三
　　得四为甲丙边外数
　　用割切两线
　　五法曰求角用乙角之割线则乙甲外
　　数与全数若乙丙外数与乙丙内数内
　　乙丙者乙角之割线也
　　乙甲边外数三
　　全数十万
　　乙丙外数五
　　得一六六六六六为乙角之割线查得五十三度五十二分〈丙角三十六度○八分〉
　　六法曰求边用乙角之切线则乙甲内全数与乙甲外数若乙角之切线与甲丙外数
　　乙甲内全数十万　　或乙角之割线一六六六七九
　　甲乙外数三　　　　　乙角之切线一三三三四九乙角之切线一三三三四九　　　乙丙边外数五得四为甲丙边外数　　得四为甲丙边外数
　　又问有一边及两边之比例馀边几何
　　法曰设一边与第二边有比例或大或小则以大比例为前数为第一率设边数为二率
　　比例之后数为三率用三率法得四率为第三边之数次用勾股法求第三边如乙甲一丈乙甲与甲丙若二十与二十五得甲丙一丈二尺五寸次用开方求之又问设两边总之较问各边若干此测量不常用见勾股索隐
　　又增题　三边直角形设两腰以求角法曰设甲乙七十五甲丙百则以乙丙底平分于丁作丁戊垂线交丙甲腰于戊从戊至乙角作戊乙线是与戊丙等〈一卷十〉次以戊为心乙为界作丙乙己半圏丙甲腰引长至己即乙甲为丙甲甲己之中比例线〈六卷十三〉是乙甲上方形与丙甲甲己矩内形等次以乙甲边自之以丙甲边而一得甲己知丙己径之
　　数即知丙戊及戊乙半径之数用三率法外戊乙与全数若外乙甲与乙戊甲角之正夫乙戊甲在心角也丙在弧角也弧角半于心角则因乙〈戊甲〉角得丙角〈三卷二十题〉
　　甲乙七十五自之五千六百二十五甲丙百而一得五十六又四之一与丙甲幷得一百五十六又四之一即丙己半之得七十八又八之一即丙戊半径
　　戊丙七八又八之一
　　全十万
　　甲乙七五
　　乙己弧正九六○○○
　　查得七十三度二十二分半之得三十六度四十一分用切线甲丙全数也丙甲为丙乙甲角之切线则甲丙一率也全数二率也甲乙三率也所得丙角之切线也
　　第十四题〈论杂角三边形〉
　　有三角及一边求第二第三边
　　解曰依前论边与边若角与角如设乙角六十○度丁角三十六度丙角八十四度乙丙边一十○步
　　法曰所有边其对角之正为第一率边数
　　为二率所求边对角之正为三率得四率即所求边数
　　丁角之正五八七七九
　　乙丙边数一十
　　丙角之正九九四五二　　乙角之正八六六○○一得十七为丁乙边　　得十五为丙丁边
　　若三角形有钝角当借用其馀角之正
　　第十五题〈三支〉
　　有角及其旁两腰求馀边馀角
　　一支不论角之体势　如丁乙丙角形乙丁边一十二步丁丙一十五步丁角二十四度三十七分而求乙丙边乙角丙角先以丙丁边引长之丁为心乙为界作乙壬辛戊弧截引长边于戊次作戊乙通从丁作丁庚辛线与丙乙平行末平分戊乙作丁甲壬线
　　解曰乙丁丙角二十四度半强则乙丁戊角
　　必一百五十五度半弱庚丁戊角与丙角等〈在平行线内〉庚丁乙角亦与丁乙丙角等盖丁乙线交两平行线故其相对两内角等则乙丁边与丙角之正或庚丁戊角之正若丁丙与乙角之正或庚丁乙角之正依显戊庚与庚乙若庚丁戊角之正与乙丁庚角之正亦若乙丁〈一十二〉与丁丙〈一十五〉也〈本卷四题〉次以乙丁丁丙同比例之戊庚庚乙幷得戊乙二十七半之得甲戊一十三又半为外一率甲丁戊角之切线为内二率甲戊内减比例之小数戊庚存甲庚一有半为外三率求得甲丁庚角之切线为内四率查得本角之度知甲丁戊角则亦知甲戊切线知甲庚庚戊之比例则亦知甲丁庚角之切线甲庚也甲丁庚为乙丙两角之较以加减得各角之数
　　乙丁边十二丁丙边十五总二十七代以乙戊也半之得十三半甲戊也减比例小数即十二馀一半甲庚也丁角二十四度三十七分乙丙两角幷得一百五十五度二十三分即戊丁乙也其半七十七度四十一分甲丁戊也
　　法曰乙丁丁丙两边数幷半之为第一率乙丁戊角之数半之为甲丁戊其切线为二率甲戊内减去比例之小数十二所存甲庚为三率得甲丁庚角之切线查度以减甲丁戊外角所存为庚丁戊角之度即丙角之度既得角则用前法求边〈或两腰总数作第一率两腰较作第三率〉
　　甲戊十三有半
　　甲丁戊角之切线四五八○○一
　　甲庚有一半
　　得五○八一五为甲丁庚角之切线查得二十六度五十六分
　　甲丁乙角七十七度四十一分加甲丁庚角二十六度五十六分共一百○四度三十七分即丁乙丙角也又甲戊丁角七十七度四十一分减甲丁庚角二十六度五十六分馀五十度四十五分为丙角则乙丁边与丁丙边若丙角与乙角
　　二支所设为钝角解曰如丁乙丙角形丙钝角一百三十度丁丙边一十二步丙乙边一十五步用设边如乙丙引长之从丁作垂线至引长边得甲在形外何者甲乙丁角形有甲直角丁丙乙角形有丙钝
　　角则丙丁乙丙乙丁两角小于甲丁乙丁乙甲两角盖每角形之三角幷等两直角钝大于直则所馀两角幷必小于直角之两馀幷矣故丁甲线在丙丁之外丁丙乙角既一百三十度甲丙丁其馀角也必五十度丙丁甲角必四十度一法用正用开方丁角为心丁乙边为界作戊乙辛圏分又丁丙为界作午丙子象限圈即甲丁丙直角形有丁丙边十二步甲丙丁角五十度丙丁甲角必四十度而求甲丁甲丙两边其法全数与丁丙若甲丙丁角之正与甲丁甲丙亦如之既得两边开方求丁乙边〈甲丙丙乙幷之得勾丁甲为股故也〉
　　全数十万
　　丁丙边外数十二
　　甲丙丁五十度角之正七六六○四　甲丁丙四十度角之正六四二七九得九又一百之十九为甲丁边外数　得七又一百之七十一为甲丙边外数〈甲乙二十二又一百之七十一甲丁九又一百之十〉自之幷得一万之六○○二四三五开方得一百之二四四九即丁乙边约之得二十五不足有三边以求角则丁乙边与全数若丁丙边与乙角之正查得二十二度有竒
　　用割切两线丁为心作甲己象限圏即丙丁为丙丁甲角之割线甲丙其切线也乙丁为乙丁甲角之割线甲乙其切线也甲丙丁角有五十度其形内有丁丙两锐角有丁丙边十二步而求甲丁甲丙两腰得甲丁九步又一百之一十九甲丙七步又一百之七十一以丙乙丙甲幷为甲乙边二十二步有竒则甲丁乙三角形有甲丁甲乙两边开方求丁乙底得二十四步
　　半有竒
　　甲丁丙角割线一三○五四
　　丁丙边外数十二
　　全数十万　　　　　　甲丁边角切线八三九一○得九又一百之十九为甲丁边外数
　　有三边以求角则甲丁边外数与全数若甲乙边外数与乙丁甲角之切线
　　甲丁边数九步一十九分
　　全数十万
　　甲乙边之数二十二步七十一分
　　得二四七一一六为乙甲丁角之切线查得六十度五十分
　　三支所设为锐角解曰如丁乙丙角形乙锐角二十四度二十七分丁乙边三十六步乙丙边五十二步十五之十一一法用正数亦用开方从乙丙底之对角丁作垂线分元形为甲乙丁甲丙丁两形次以丁为心丙为界作寅丙壬弧又以乙为界作辛乙庚弧夫甲乙丁角形丁乙为全数设乙角则甲丁为正甲乙又丁角之正用法求甲丁为一十五步求甲乙为二十二步又一十五之一十一则以甲乙减丙乙存甲
　　丙线二十步依显丁甲丙角形有丁甲一十五步甲丙二十步用开方法求丁丙得五步末以三边求甲丙丁角得三十六度五十○分
　　全数十万
　　丁乙边外数三十六
　　乙角之正四六六七　乙角之馀九○九○六得十五为丁甲边外数　得二十三又十五之十一为乙甲边外数丁丙边二十五
　　甲丁边十五
　　全十万
　　得六○○○○为丙角之正查得三十六度五十五分
　　用割切两线丁为心丁甲垂线为界作己甲午半圏丁
　　甲乙角形丁甲为全数丁乙边为乙丁
　　甲角之割线甲乙其切线也又丁甲丙
　　角形丁甲为全数丁丙边为丙丁甲角
　　之割线甲丙其切线也丁乙甲角形有
　　丁乙边三十六步有丁角为乙之馀角
　　六十五度二十二分用法求丁甲甲乙两边于丙乙减甲乙存二十为甲丙边又丁甲丙角形有丁甲甲丙两边用法求丙角亦求丁丙边
　　乙丁甲角之割线二三九九九九
　　丁乙外边三十六
　　全数十万　　　　　乙丁甲角之切线二一八一七三得十五为所求外丁甲　得三十二又十五之十一为外甲乙求角甲丁边十五
　　全数十万
　　甲丙边二十
　　得一三三三三三为甲乙丙角之切线查得五十三度○七分求边全数十万
　　甲丁丙角之割线一六六六六五
　　丁丙边十五
　　得二十五弱为丁丙边
　　甲丙甲丁两边之正方实幷而开方得丁丙二十五弱第十六题〈四支〉
　　杂角形设两边及一边之对角求馀边馀角
　　一支不论角之体势依边与边若角与角比例之法
　　先求乙角则丁乙为外一率其对角〈即丙角〉之
　　正为二率丁丙为外三率所得为乙角之正以丁二十五步弱丁丙十二步丙角百三十度列数得之丁乙边二十五步弱
　　丙一百三十度用五十度角之正七六六○四〈为一当大小两弧〉
　　丁丙边十二
　　得三七五○○为乙角之正查得二十二度○二分
　　幷乙丙两角之度以减一百八十馀二十七度五十八分得丁角
　　次有角求丙乙边则乙角之正与外丁丙若丁角之正与外丙乙
　　乙角之正三七五○○
　　丁丙边十二
　　丁角之正四七○○○
　　得十五为丙乙边
　　二支所设为钝角〈数如前〉用所设两腰间之丁角为心以丙以乙为界各作弧用正数如十四题第一图丁丙乙钝角一百三十度则甲丙丁角必五十度丙丁甲角必四十度〈甲直角故〉求甲丁边用前法〈如一图〉又甲丁乙角形有甲丁边九步又百分之一十九分丁乙边二十四步求甲乙丁角〈如二图〉　又丁丙乙角形有乙角有丁丙乙
　　角依前法求丙乙边〈如三图〉
　　全数十万
　　丁丙边十二
　　甲丙丁五十度角之正七六六○四
　　得九又一百之十九为甲丁边数
　　丁乙边二十四步半　乙角之正三七五○
　　全十万　　　　　　丁丙边十二
　　甲丁边九步又一百之十九　丙甲乙角之正四六八九六得三七五一为甲乙丁角之正　得十五为乙丙边
　　用割切两线甲丁为全数丁丙为甲丁丙角之割线甲
　　丙其切线也丁乙为甲丁乙角之割线
　　甲乙其切线也今有丁丙乙角一百三
　　十度馀角甲丙丁必五十度则甲丁丙
　　直角形有两角有丁丙对直角之边而
　　求甲丁边
　　一图
　　甲丁丙四十度之割线一三○五四一
　　丁丙边十二
　　全数十万
　　得九又一百之十九为甲丁边外数
　　二图
　　或甲丁丙角之切线八三九一○为三率
　　得七又半不尽为甲丙边外数
　　三图
　　甲丁边九有竒
　　丁乙二四半
　　全数
　　得二六六五九四为甲丁乙割线查得六十七度二十三分〈乙角之度二十二度○十○分〉四图
　　全数
　　甲丁边九有竒
　　丙切线之较一六一三五
　　得十五为丙乙边
　　又甲乙为甲丁乙角之切线甲丙为甲丁丙角之切线丙乙为两切线之较则全数与甲丁边若切线之较与丙乙〈如四图〉
　　三支三角形有两边及锐角其二亦锐角如丁乙丙形有丁乙边三十六步丁丙边二十五步丁乙丙锐角二十四度三十七分丁丙为其对边法用所设两腰间之丁角作甲丁垂线至丙乙边用正数丁为心丙为界作
　　戊丙弧乙为界作己乙弧即甲丁乙角形有丁乙边有乙角可求甲〈丁甲乙两〉边〈如一二图〉甲丁丙角形有甲丁丁丙两边可求丙角〈如三图〉可求丙甲边〈如四图〉
　　一图
　　全数十万
　　丁乙边三十六
　　乙角之正四六六七
　　得十五为甲丁边外数
　　二图
　　或乙丁甲角之正九○九○六为三率
　　得三十二又十五之十一为甲乙边外数
　　三图
　　丁丙边二十五
　　全数十万
　　甲丁边十五
　　得六○○○○为甲丙丁角之正查得三十六度五十○分四图
　　全数十万
　　丁丙边二十五○○○○
　　甲丁丙角正八○○○○
　　得十五为甲丙边外数
　　用割切两线丁乙为乙丁甲角之割线甲乙其切线也即甲丁乙角形有丁乙六十三步乙角二十四度三十七分可求丁甲甲乙两边〈如一二图〉又甲丙丁角形有甲丁丁丙两边可求
　　甲丁丙角甲丙边〈如三四图〉
　　一图
　　乙丁甲角之割线二三九九九九
　　全数十万
　　丁乙边三十六
　　得十五为甲丁边外数
　　二图
　　或乙丁甲角之切线二一八二五一
　　得三十二又十五之十一为乙甲边外数
　　三图
　　甲丁边十五
　　全数十万
　　丙丁边二十五
　　得一六六六七九为甲丁丙角之割线查得五十三度八分四图
　　全数十万
　　甲丁丙角之切线一三三四九
　　甲丁边十五
　　得二十七又十五之四为甲丙边外数
　　四支所设为锐角有两边其旁为钝角
　　一法用正数如丁乙边二十四步半丁丙边一十二步乙锐角二十二度○二分丙为钝角用第二支图作丁甲垂线即甲丁乙直角形丁乙二十四步可求甲丁甲
　　乙两边〈如一二图〉甲丁丙直角形有甲丁丁丙两边可求甲丁丙角〈如三图〉甲丙边〈如四图〉
　　一图
　　全数十万
　　乙丁边二十四步半
　　乙角之正三七五一五
　　得九步又一百之十九为甲丁边
　　二图
　　或甲丁乙角之正九二六九七为三率
　　得二十二又一百之七十一为甲乙边
　　三图
　　丁丙边十二
　　全数
　　甲丁边九又一百之十九
　　得七六六○一为甲丁丙角之正查得五十度四图
　　全数
　　丙丁甲角之正六四三○一
　　丁丙边十二
　　得七又一百之七十五为甲丙边外数
　　用割切两线法与前同
　　第十七题
　　三角形有三边求三角
　　三边等则三角亦等各角皆六十度于一百八十度为三分之一或两边等如丁乙丁丙法从丁作丁甲垂线至乙丙底分本
　　形为甲丁乙甲丁丙两角形而等何者丁乙丁丙两腰等乙甲甲丙又等丁甲同腰则两形必等〈一卷八〉即甲乙丁角形有丁乙腰乙甲半底依角与角若边与边用三率法求之先置各腰五步乙丙六半之为乙甲三推得乙丁甲角倍之得乙丁丙角以减两直角馀为乙丙两角幷之数半之得两角数为两角等故
　　丁乙边五
　　全数
　　乙丙边三
　　得六○○○○为乙丁甲之正查得三十六度五十二分
　　甲丁乙三十六度五十二分即所倍乙丁丙为七十三度四十四分以减一百八十存一百○六度一十六分为乙丙两角之幷数半之得五十三度○八分为乙丙两角之各本数
　　或各边不等如丁乙丙角形丁乙一十步丁丙一十五步丙乙一十八步用丁角为心〈此角在两小腰间〉丁乙为界作戊乙己辛圈而以丙丁边引长至戊依五题求甲乙得五步半甲丙得一十二步半即甲丙丁直角形有丁丙甲
　　丙两边求得丙丁甲角〈如一图〉因得甲丙丁角又甲丁乙直角形有丁乙甲乙求得甲丁乙角〈如二图〉因得甲乙角又幷两角得丙丁乙角亦得丙乙两角为是丁上两角之馀故
　　一图
　　丁丙边十五
　　甲丙边十二半
　　全数
　　得八三三三三为丙丁甲角之正查得五十六度二十六分二图
　　丁乙边十
　　乙甲五半
　　全数
　　得五五○○○为甲丁乙角之正查得三十三度二十二分即丙角







　　新法算书卷八十七
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>



　　钦定四库全书
　　新法算书卷八十八　　　明　徐光启等　撰测量全义二
　　第一题
　　平靣测远〈三支〉
　　一支测两物之能到者　一法曰甲乙
　　为地平靣上江河之广或土田道里之
　　远欲从甲测去乙几何于甲角上平安
　　象限仪之心〈后言象限或言仪平安言安省文〉两边向
　　乙向丙作直角次从甲向丙行任取一十二步为丙点丙上再安象限边向甲窥衡望乙交象限之周线于丁定丙角为四十八度成甲乙丙直角形此形有甲丙边丙角而求甲乙边法为全数与甲丙边外数若丙角之切线与甲乙边外数也算得一十三步又三之一为甲与乙平靣相距之远〈象限仪法见本篇第三卷窥衡或作指尺义同〉二法曰丁乙为两所不能作直角或不欲或地非平靣〈山水林木屋舍所隔〉则丁安象限边向乙窥衡向丙定丁角为六十二度向丙行
　　任取一十二步丙上再加象限边向丁窥衡望乙定丙角为八十度成丁乙丙角形此形有丁丙边丁丙两角自有乙角而求乙丁边法乙角之正与丁丙边外数若丙角
　　之正与丁乙边外数算得一十九
　　步又五之一为乙与丁相距之远丁
　　为钝角亦如之　三法曰或从丁向
　　丙线持象限前却取得甲直角是乙
　　丁为直角之对边也法全数与外甲
　　丁若丁角之交线与外乙丁
　　四法曰若丁为钝角上安象限面移丁丙线外边向乙衡向任取之丙表定戊丁丙角为五十度以并戊丁乙直角得钝角一百四十度末定丙角二十四度成丁乙丙角形此形有丙丁边一丈二尺丙角二十四度法乙
　　角之正与外丁丙若丙角之正
　　与外乙丁得一丈七尺七寸
　　五法曰丁安象限边向乙衡向任取
　　之丙表得二丈从丁直视过丙至己
　　任定丙己为一丈以上安象限边向
　　戊衡向丙令己角与丁角等末前却令戊过丙至乙作直线则丙己与己戊若丙丁与丁乙
　　论曰丁乙丙丙己戊两角形相似何者
　　己丁两角等丙上两交角又等是形与
　　形相似〈六卷四题〉即相当边之比例必等用
　　三率法丙己一丈为一率己戊三丈为次
　　率丁丙二丈为三率算得六丈为乙丁
　　六法曰甲乙为两所从乙引长任取二
　　十步为丙又任作丙丁戊直线任取丙
　　丁二十五步丁安象限边向乙衡向丙定乙丁丙角次持象限前却取戊令戊角与丁角等量丁戊得六十一步法丙丁与丁戊若丙乙与乙甲〈六卷二〉算得十二步又
　　一十五之四
　　不用布算法
　　七法曰乙丁为两所乙安象限边向任取之丙衡向丁得丁乙丙外角七十度次从丙乙直线上求戊令戊角半于丁乙丙角则戊乙与乙丁等
　　论曰丁乙丙外角与相对之两内角等〈一卷三十二〉戊角半丁角亦半两角等两腰亦等
　　八法曰乙上安象限作六十度角次于乙丙直线上求丙亦作六十度角则乙丙与乙丁等
　　论曰乙丙两角各六十度则丁角
　　亦六十度而乙丁丙为三边等形
　　九法曰若乙丙短则向乙向丁求
　　甲直角得甲乙为乙丁之半
　　论曰丁乙甲直角形乙角既六十
　　度则丁角三十度因角与角之正若边与边是三十度之正全数之半也故乙甲为乙丁之半也十法曰任设乙角为四十度次以半周上馀度平分为七十度于乙丙线上前却令丙角亦七十度则乙丙与乙丁等论曰丙角为外角之半丁角亦半乙丙与乙丁两线必等
　　用矩度法　用矩度者以器上小形当所测大形也如所测为甲乙则矩度之边壬丙或己辛与甲乙平行其相当数为比例必等所设两在边为甲丙则矩度之边壬辛或丙己与甲丙平行其相当数为比例必等〈一卷
　　二十九三十二题〉置法同前甲恒为直角
　　十一法曰一解窥衡交线〈后省曰交或曰视交〉在对角则丙甲与甲乙等
　　论曰丙己辛丙甲乙两角形相似何
　　者两形有己甲各直角同用丙角则
　　两相似〈六卷四题〉而矩形丙己与己辛等
　　则丙甲与甲乙亦等二解视交在两
　　所平行边如戊则丙己与己戊若丙甲与甲乙论曰丙己戊丙甲乙两角形相似何者两形有己甲各直角同用丙角则两形相似〈六卷四题〉而矩形之丙己与己
　　戊若甲丙与甲乙
　　三率法丙己一百分为首率己戊七十
　　分为二率丙甲一十五步为三率算得
　　甲乙十一步半〈两所平行边后省曰平边〉
　　三解视交在两测平行边如丁则丁壬
　　与壬丙若丙甲与甲乙〈两测平行边后省曰立边〉
　　论曰丁壬丙丙甲乙两角形相似何者两形有直角有相等之壬丁丙乙丙甲两角在平行线内则相当线之比例必等　三率法丁壬六十分为一率壬丙百分为次率丙甲一十二步为三率算得二十步为甲乙
　　省算法　十二法曰交戊甲丙六十
　　步即于丙己边自己至未取六十分
　　与甲丙比例等自未至视线作未子
　　为丙己之垂线从子作子午为辛己
　　之垂线得子午戊形戊午之若干分
　　为甲乙之若干步
　　论曰子午戊丙甲乙两角形相似何者两形各有直角
　　有相等之戊角与乙角则各边之比
　　例等先作未己或子午与甲丙比例
　　等则戊午甲乙比例亦等　若交在
　　丁从壬至午取六十分作午子垂线
　　二支测两所之不能到者
　　一法曰乙丙为两所俱不能到独甲
　　可到即于甲上立表令甲乙丙为直
　　线安象限边向乙向丁行至丁得若干步安象限于丁边向甲衡以次向乙向丙成甲丁丙甲乙丁两直角形甲乙丁角形有甲丁边丁角可求甲乙边〈本书首卷十二题二解〉甲丁丙角形有甲丁边丁角可求甲丙边末以甲乙减甲丙所馀乙丙用切线可求乙丙边如甲丁二十四步乙丁甲角三十四度丙丁甲角四十八度则甲丁为全数而甲乙为甲丁乙角之切线甲丙为甲丁丙角之切线两切线之较为乙丙用三率法全数一甲丁二十四步二切线较三算得一十步一十五之七为乙丙
　　二法曰乙丙为两所直线上更
　　任取两所如丁如庚次作庚壬
　　线任取壬点安象限边向丙窥
　　庚定壬角之度次辛点上安象限向乙向庚游移令辛角与壬角等次戊安象限向丁〈乙丙直线上〉向庚游移令戊角与壬角亦等未量壬辛戊庚及庚丁各几何用三率法与戊庚与辛壬若庚丁与乙丙
　　三法曰乙丙直线上任至一处如庚庚上安象限边向乙丙窥丁定丁庚乙角之度又从庚丁直线上至戊戊
　　上安象限作庚戊己角与丁庚〈乙角〉等即
　　戊己线与丙庚平行次于巳上窥过丁
　　到丙戊己之间游移窥过丁到乙得辛
　　则戊丁与辛己若丁庚与乙丙
　　论曰丙乙丁辛己丁两角形相似戊辛
　　丁乙庚丁两角形亦相似则各边之比
　　例自等
　　省算　四法曰乙庚为两所直线上取甲安象限作乙甲丁直角行至丁安象限边向甲窥乙窥庚作甲丁乙甲
　　丁庚两角次甲乙直线上寻戊作
　　甲戊丁为乙丁甲之馀角寻巳作
　　甲己丁为甲丁庚之馀角则得戊
　　己与乙庚等
　　论曰甲乙丁甲戊丁两形等何者
　　戊为甲丁乙之馀角则与乙角等
　　同用甲丁边故两形等依显甲庚丁甲丁己两直角形亦等夫庚甲甲己既等减相等之甲乙甲戊所存戊己乙庚亦等
　　五法曰甲丁直线上取戊安象限窥乙
　　作戊角为四十五度丁上窥庚亦令丁
　　角为四十五则戊丁与乙庚等〈戊甲乙为直角〉论曰丁戊各半直角则庚与乙亦如之
　　甲丁甲庚必等又甲戊甲乙亦然减相等之甲乙甲戊
　　则所存亦等
　　六法曰若庚乙丁戊两线上所得角未
　　真则于乙庚线上取丙安象限作六十
　　度角丙丁线上寻戊寻丁望乙望庚作
　　戊丁二角各六十度则戊丁与乙庚等
　　论曰丁丙庚角形之三角同为六十度乙戊丙亦如之减相等之戊丙乙丙所存丁戊乙庚自等
　　七法曰置丙角六十度令戊丁为
　　两直角则戊丁为庚乙之半
　　论曰庚丙丁乙丙戊两直角形有
　　丙角六十度乙角必三十度因边与边若角与角之正则三十度之正戊丙为全数乙丙之半又庚丙为全数丁丙为庚角之正视全数亦半庚丁乙戊既平行则庚丙与丁丙若乙丙与戊丙分之乙丙与戊丙若庚乙与戊丁戊丙为乙丙之半则戊丁亦乙庚之半八法曰若丙为钝角则以丙角之馀度平分之次于丙丁线上寻戊寻丁各作丙角馀之半则戊丁与乙庚等
　　论曰乙丙戊庚丙丁两角形相似乙戊庚丁四角等则边亦等减相等之戊丙乙丙所存
　　之戊丁乙庚亦等
　　用矩度
　　九法曰庚向乙直线上行取甲
　　甲上安矩度作甲丁垂线行至
　　丁得若干步安矩度边向甲窥
　　乙与庚各交矩度边　一解交
　　乙庚平行边于己于戊则丁壬
　　与戊己若丁甲与乙庚〈戊己与乙庚平行故曰平行边〉
　　论曰己丁壬庚丁甲两直角形同用丁角则相似是丁壬与壬己若丁甲与甲庚又丁壬戊丁甲乙两直角形同用丁角亦相似是丁壬与壬戊若丁甲与甲乙更之丁壬与丁甲若壬戊与甲乙夫壬戊甲乙乃壬己庚甲两全内所取之分也〈五卷十一〉则所馀戊己与乙庚若壬己与甲庚亦若丁壬与丁甲矣
　　三率法丁壬一百分为首率戊己四十分为次率甲丁六步为三率算得二步又十分之四为乙庚
　　二解交立边于午于子
　　论曰午丁辛丁庚甲两直角
　　形相似以求甲庚边子辛丁
　　丁甲乙两直角形相似以求
　　甲乙边庚甲内减甲乙较为乙庚
　　省算于丁壬边取丁寅之分数如丁甲之步数〈每步取一分或二或三俱得〉寅上作垂线交两视线于酉于卯则卯酉之分数为乙庚之步数
　　论曰卯寅丁庚甲丁两形相似酉寅丁乙甲丁两形亦相似卯寅内减酉寅庚甲内减甲乙则丁寅与卯酉若丁甲与庚乙
　　三解互交两边于己于戊先求甲庚次求甲乙甲庚内减甲乙馀为乙庚边其求甲庚为丙己与丙丁若甲丁
　　与甲庚求甲乙为丁壬与壬戊
　　若甲丁与甲乙　省算丁壬边
　　上取丁寅之分数如甲丁之步
　　数寅上立垂线交两视线于午
　　于子则午子之分数如乙庚之步数
　　三支物莫能到复不能作线与参直
　　一法曰乙己两物不能到复不能向
　　乙己作直线则于甲上安象限边向
　　乙窥己成甲乙己角〈形向丁次〉行至丁得
　　若干步上安象限边向甲窥乙成甲
　　丁乙角形复窥己成丁乙己角形若
　　乙甲丁形有丁角为三十八度丁甲
　　十步而求甲乙边法为全数与外甲丁边若丁角之切线与外甲乙边算得七步又六十之四十九〈若甲非直角则定其角之度〉次己甲丁形有丁甲十步丁角七十七度甲角六十五度而求甲己边法为己角之正与外甲丁边若丁角之正与外甲己边算得一十五步又六十之四十九次甲乙己角形有甲角甲乙边七步又六十之四十九甲己边一十五又六十之四十九而求乙己边即从乙到戊作垂线分本形为两直角形其甲乙戊角形有甲角二十五度甲乙七步有竒而求甲戊边法为全数与外甲乙边若乙角之正与外甲戊边算得七步又六十之五次求乙戊边法为全数与外甲乙边若甲角之正与外乙戊边算得三步又六十之一十八末于甲己内减甲戊馀八步又六十之四十四为戊己其乙戊己角形有乙戊戊己两边以句股法求之得乙己九步有竒
　　二法曰任内丙表安象限边向乙窥巳
　　定己丙〈乙角〉之度丙乙直线上取丁安象
　　限边向己窥过丙到乙定己丁丙角为
　　己丙乙角之半又于己丙直线上取戊
　　安象限边向乙窥丙到己令乙戊丙之角为丙角之半则得丁戊与乙己等
　　论曰丙丁己角为乙丙己外角之半则己角亦半夫角等者腰亦等则己丙与丁丙等乙戊丙角为乙丙己外角之半则乙角亦半而乙丙与丙戊等夫乙丙己丁丙戊两形之两腰等两腰间角等则乙己与戊丁两底亦等
　　第二题
　　斜靣测远〈三支〉
　　一支不论根之能到与否
　　一法曰乙甲为山之高其坡乙丙欲测坡若于于丙或左或右置象限作直角一边向丁至丁上置象限边向丙窥乙令丁为四十五度角则得丙丁与乙丙等
　　论曰乙丁丙直角形丁角四十五度则乙角亦四十五度丁丙乙丙各等角之对边也必等
　　二支根之能到者　二法曰置丙
　　象限边向甲根窥乙定丙角之度
　　此形有甲丙边丙角而求乙丙边
　　法为全数与外甲丙若丙角之割
　　线与外乙丙　三法曰丙甲直线上求丁置象限令其角为乙丙甲角之半则丙丁与乙丙等
　　四法用矩度
　　一解曰表在丁窥交平边于辛为
　　辛庚与辛丁若甲丁与乙丁
　　二解曰表在丙窥交为对角线依
　　句股法丙甲自之倍之开方得
　　三解曰表在戊窥交立边于己为
　　戊寅与戊己若甲戊与戊乙
　　五法省算矩边从丁到午取分数
　　如丁甲之步数立午子垂线成午
　　丁子角形与甲丁乙形相似则丁子之分数为乙丁之步数从戊亦如之
　　三支根之不能到者　六法曰丙
　　丁直线上用象限两次于丙于丁
　　成乙丙丁形此形有丁丙边丁丙
　　两角用正法得乙丙边
　　七法曰以意置乙甲垂线用丁乙
　　甲丙乙甲两角之切线较为一率
　　外丁丙为次率丙乙甲之割线为
　　三率所得为外率乙丙〈或丁乙甲交线为三〉
　　〈率所得四率乙丁〉
　　用矩度〈八法〉一解交平边法曰在丙交辛于甲丙直线上退至丁得若干步而交己则己辛与辛丁〈即辛丙〉若丁丙与丙乙
　　论曰壬辛丙角形与甲丙乙角形相似丁己壬角形与乙丁甲角形相似于壬己减壬辛甲丁减甲丙则丁丙与己辛相似
　　二解交立边法曰在丙交辛退丁交己则于矩靣上作子午线与丁戊平行截辛丁线〈即辛丙〉于子遇己丁线于
　　午成子午丁角形与丁丙乙角形相
　　似则子午与子丁若丁丙与丙乙或
　　矩靣外作辛庚线与丁戊平行则庚
　　辛丁形与乙丁丙形相似是庚辛与
　　辛丁若丁丙与丙乙次求辛丁线法
　　以辛戊戊丁各自之并而开方得所
　　求次求辛庚线法己戊与戊丁若辛
　　己与辛庚为丁己戊辛己庚两直角
　　形有庚丁两角在平行线内即相似故
　　论曰丁午子丁丙乙两形相似盖子午丁午丁戊为平行线内相对之两角等辛子午辛丙壬两角等〈在平行线内〉则乙丙丁辛子卯两馀角自等辛子卯午子丁两交角
　　亦等既两形之各角俱等即各边自
　　相似　省算取子午之分数为丁丙
　　之步数
　　三解互交法曰在丙交辛在丁交己
　　以平边引长之遇于庚成庚辛丁角
　　形则庚辛与辛丁若丁丙与丙乙
　　论曰庚辛丁乙丙丁两角形相似盖辛庚丁丙丁乙相对之两内角等壬辛丁角与甲丙乙角等其馀角庚辛丁乙丙丁自等故庚辛与辛丁若丁丙与丙乙第三题
　　望高测远
　　一支平靣上有馀地　一法曰甲乙为
　　山或楼台而直线不能至甲欲借乙顶
　　测丙与甲相距之远则于丙上置象限
　　定角度却从丙到丁得若干步置象限
　　定角度乙丙丁角形有丁丙边丁丙两角可求乙丙边有乙丙边而求甲丙边法为全数与乙丙边若乙角之正与甲丙边
　　二法用切线乙为心甲为界作甲己戊弧而得甲乙丙甲乙丁两角切线之较则丙丁切线较与外丙丁步数
　　若甲丙切线与外甲丙步数
　　三法曰丙外不能作直线则或左或右
　　作丁丙乙直角行至丁置象限求作四
　　十五度角即丙丁得三十一步又三十
　　之二十三以乙丙为全数丙丁为丁乙丙角之切线丙甲为甲乙丙角之正是丁丙切线与外丁丙之步数
　　若丙甲正与外甲丙之步数
　　四法省算丙上置象限定乙丙甲角六十四度退至丁定其角三十二度为丙角之半却于地平靣之丙丁线上作丙丁戊角
　　与甲乙丙角等为二十六度丁戊线上求戊作直角则丙戊之步数即甲丙之步数
　　论曰丁戊丙甲丙乙两直角形有丁乙两角等乙丁丙为乙丙甲外角之半即丁乙丙角亦半而丁丙乙丙两
　　腰必等丙丁戊形与甲乙丙形有
　　等角有同边即丁戊与甲丙必等
　　用矩度　五交平边法曰丙上立
　　矩度成午壬丙形与甲乙丙形相
　　似丁上立矩度成午己丁形与丙
　　丁乙形相似则己午与壬午若丁
　　丙与甲丙
　　六交立边法曰在丙交午在丁交
　　己则午己与己壬若丁丙与丙甲
　　论曰试从己作己戊线与午丁平行即午壬丁形〈即午壬丙〉
　　与甲乙丙形相似而午壬丁己壬戊
　　两形亦相似己壬丁甲乙丁两形亦
　　相似夫戊己壬形之壬戊为小甲丙
　　己丁壬形之丁壬为小丁甲丁壬之
　　内减戊壬丁甲之内减甲丙则戊丁
　　小丁丙也午己与己壬既若丁戊与
　　戊壬必若丁丙与丙甲矣
　　七互交法曰在丙交戊在丁交午即以壬戊边引长之遇丁午线于子成子戊丁角形与乙丙丁相似则子戊与戊壬若丁丙与丙甲
　　论曰甲乙丁午己丁两形相似午己丁丁壬子两形亦相似则丁壬子甲丁乙两形亦相似夫壬戊丙形〈即壬戊丁〉与甲乙丙形原相似是壬子当甲丁壬戊当甲丙即戊子当丁丙矣戊子与戊壬不若丁丙与甲丙乎矩靣加庚午衡线同上论
　　二支平靣上无馀地　一法曰甲不可到丙外复无馀
　　地则立表柱于内权线取直上丁下丙
　　各置象限定丁丙两角成乙丙丁形此
　　形有丁丙边有角则乙角之正与外
　　丁丙若丁角之正与外乙丙〈如丁为钝角无〉
　　〈正则以馀角之正〉次甲乙丙形有乙丙边有角则全数与外
　　乙丙之步数若乙角之正与外甲丙
　　之步数
　　用矩度　二法一解交立边在丙交己
　　成己壬丙形与甲乙丙形相似在丁交
　　辛成己辛丁形与乙丙丁形相似则己辛与丁壬若丙丁与甲丙
　　论曰丁壬边引至庚得庚丁与甲丙平行夫己壬当乙甲辛壬当乙庚则辛己丁丙皆当甲庚
　　二解交平边在丙交
　　己在丁交辛则以丁
　　己戊庚两边各引长
　　之遇于寅截丁乙视
　　线于子而成寅子丁形与乙丁丙形等角又成寅庚己形与甲乙丙形等角则各相似而寅戊丁形亦与寅庚己形相似则寅子与戊丁若丁丙与丙甲
　　三解互交平边交己立边交未则以丁己戊庚两边各引之遇于寅因前论寅未与戊丁全边若丁丙与丙甲五法曰省算于矩面上两视线内加一直线与丁丙平行其分数等如申酉则丁酉之分数为丙甲之步数第四题
　　对坡测远
　　法曰有高为甲乙于对坡丙上见乙戊欲测甲丙相距
　　几何于丙置象限向戊向乙向
　　丁定戊丙乙乙丙丁两角之直
　　次步于丁置象限向乙向戊向
　　丙定乙丁戊戊丁丙两角之度
　　末引长丁丙线遇乙戊线于甲
　　而成角形四曰乙丙丁曰戊丙丁曰乙丙戊曰甲乙丙其乙丙丁形有丙丁边丁丙两角可求乙丙边戊丙丁形有丙丁边丁丙两角可求戊丙边乙丙戊形有乙丙戊丙两边有丙角可求丙乙戊角末甲乙丙形有乙丙边乙丙两角即得甲丙边
　　如在丙作甲丙乙角四十八度甲丙戊角三十六度在丁作甲丁乙角三十八度甲丁戊角二十八度丁丙为一十步即乙丙丁形有丁角三十八度丙角一百三十二度〈甲丙乙四十八度之馀角〉乙角一十度而求乙丙边则乙角之正与外丙丁之步数若丁角之正与外乙丙得三十五步又四五四○戊丙丁形有丁角二十八度丙角一百四十四度戊角○八度而求戊丙边则戊角之正与外丁丙之步数若丁角之正与外戊丙得三十三步又九千七百九十○戊丙乙形有乙丙戊丙两边丙角一十二度而求乙角则作戊辛垂线至乙丙边其全数与外戊丙三十三步又九七九○若戊丙乙角之正与戊辛〈七又○六三〉亦若戊丙乙角之馀与辛丙〈三三一四〉于乙丙三十五又四五四○内减辛丙三十二馀二又三一四○为乙辛夫乙戊辛直角形有乙辛戊辛两边而求乙角为乙辛与全数若戊辛与乙角之切线得二八六三九五查角之度为七十度四十五分末甲乙丙形有乙丙三十五又四五四○有乙角丙角则甲角必五十八度五十八分而求甲丙则甲角之正与乙
　　丙边若乙角之正与甲丙边得
　　四十一步又三七六一〈一万分为步〉值丙在坡下法与前同

　　第五题
　　登高测远
　　一支测根与他物之远
　　一法曰登乙山欲测甲根与丙相距之远乙置象限向
　　丙成甲乙丙直角形先得甲乙若干有
　　角可得甲丙边
　　二法曰用矩度交立边为壬辛与全边
　　若乙甲与甲丙交平边为全边与壬
　　辛若乙甲与甲丙
　　二支测两他物之远　三法曰乙山
　　上欲测丙与丁相距之远乙置象限
　　作甲乙丙甲乙丁两直角形用正
　　法求甲丙复求甲丁以甲丙减甲丁
　　所馀为丁丙边若用切线为全
　　数与外甲乙若丁乙甲丙乙甲
　　两切线之较与外丙丁
　　四法曰用矩度交平边则乙壬
　　与己辛若乙甲与丙丁〈一图〉交立边则壬辛与壬乙若乙甲与甲丁〈二三图〉又壬己与壬乙若乙甲与甲丙〈三图〉次以
　　甲丙减甲丁馀丁丙为两边之较若先
　　求甲丙则乙壬与壬己若乙甲与甲丙
　　〈三图〉又壬辛与壬乙若乙甲与甲丁〈三图〉
　　三支不知高欲测根与他物之远　五法曰不知甲乙高欲测根与丁相距之远于戊于乙两置象限各向丁成甲乙丁甲戊丁两形以乙丁甲戊丁甲两角切线之较为一率外乙戊为二率全数为三率所得四率为外
　　甲丁相距之远
　　六法曰两交平边于
　　己于辛〈一二图〉引长壬
　　庚边遇乙丙戊丙两
　　视线于寅于癸则乙壬当甲丙乙癸当丙戊乙寅当乙丙又壬癸当甲戊壬寅当甲乙则癸寅与乙壬若乙戊与甲丙
　　两交立边于辛于己〈三四图〉则己辛当戊乙己壬当戊甲馀如前　互交两边于己于辛〈二三图〉引长壬庚边遇乙丙视线于癸则辛癸当乙戊辛壬当戊甲馀如前
　　四支　七法曰乙戊上两置象限
　　各向丙向丁成乙丙戊乙丁戊丁
　　乙丙三形乙丙戊形有乙戊边乙
　　戊两角可求乙丙边乙丁戊形有
　　乙戊边乙戊两角可求乙丁边末丁乙丙形有丁乙乙丙两边乙角可求丁丙边
　　八法曰在高处其对山有二坡欲测
　　其相距之远法以丙丁变乙戊反用
　　之〈查四题一图〉义同前但甲角或钝或锐
　　异耳
　　第六题
　　测高之广
　　法曰有室欲量其檐广如丁乙先于丙求丙丁乙丙两
　　斜线次向丁向乙定丁丙乙角而成丙
　　丁乙形此形有丙角丙丁乙丙两边可
　　得丁乙边


　　第七题
　　测高三支
　　解曰凡测高以架承测器距地面若干所得高器以上之高也加距地度得全高或手持测器加目至地之度
　　一支其底之能到者　一法曰人立
　　丙欲测甲乙山之高其底能到目在
　　丁测立象限望乙成戊丁乙直角形
　　此形有丁戊步数有丁角为全数与外丁戊若丁角之切线与外乙戊加甲戊得甲乙全高用正法亦如之
　　二法曰于甲丙底线上从丙向甲
　　或前或却侧立象限令丙为四十
　　五度角得甲丙与甲乙等
　　三法曰任得丙角后于地面丙上
　　立象限作甲丙戊直角于戊平置象限令戊角与乙角等〈丙馀角即乙角〉则甲乙丙甲戊丙为两相等形而丙戊之远即甲乙之高〈侧置后省曰立〉
　　用矩度立矩度以测高立边当高平
　　边当远用三率法视交在立边则全
　　边与交边若远与高在平边则交边
　　与全边若远与高
　　四法曰在丙交平边于己己壬得五
　　十分甲丙五步则己壬五十与全边百若五与甲乙之十在丁交立边于戊戊庚得八十分则丁庚全边与戊庚之八十分若甲丁一十二步与甲乙之九步○六分依在丙法或前或却以定其分如五十半也二十五四分之一也五二十之一也欲测高而平边得五十则高倍远得四之一则高四倍于远反之则高一远四二支其底之不能到者
　　五法曰甲不可到丙外又无直线
　　丙上立象限定乙丙甲角次转器
　　向乙向丁命作丙左右两等角次
　　丙丁上进退求丁安象限向乙向丁命作丁直角则乙丙丁乙丙甲两形等丙丁当丙甲乙丁当甲乙
　　六法曰丙外无馀地上立象限作甲
　　丙乙角从丙至丁任若干步加象限
　　定甲丁乙角正切线任用之
　　用矩度以所测高为底法与测远同
　　七法曰截高如乙甲求若干以测远
　　法反用之底不能至亦如之
　　三支非平行非高之底
　　八法曰甲乙高人在丁更高测法立
　　象限作丙丁乙丙丁甲两角其甲丙
　　丁直角形有丁丙边丁角可求甲丁
　　边次丁乙甲角形有甲丁边丁甲两
　　角可得甲乙边或先得甲丙以丁为心作丁戊线与甲
　　丙平行戊为界作弧丁戊为全数以
　　乙丁戊甲丁戊两角之切线较求之
　　九法曰甲乙高人在戊次高求测之
　　先求甲丙因成戊乙甲形依地平作
　　戊丁线与甲丙等分乙戊甲为乙丁戊甲丁戊两直角形各有戊丁边有乙戊丁丁戊甲角以求乙丁甲丁并之得乙甲象限矩度任用
　　第八题
　　因远测高
　　一法曰知甲丙之远乙上立象限作甲
　　乙丙形测之
　　二法曰不知甲丁之远山上求树求屋
　　作乙丙垂线各向丁立象限成乙丙丁
　　形意置甲丁地平平行线引乙丙垂线至甲正切线任用测之〈亦重表法〉
　　三法曰在山上知丙丁之远测乙甲高
　　乙立象限成乙丙丁形意置乙甲垂线
　　及甲丙地平平行线正切线任用
　　测之
　　四法曰丁高之上欲测乙戊先求甲
　　丙次作丁戊乙形测之
　　五法曰次高戊上测最高乙甲于丁
　　戊上各立象限成戊甲丁丁甲乙两形测之
　　第九题
　　测井之深
　　深者立远也去人而近地心测深与测高通人在物底为量高在物顶为量深
　　一法曰测井从口一边垂线至底或
　　视口广狭从口边投之以石至底作
　　旋涡定其处如甲戊丙丁井甲戊口
　　丁丙底投石作旋涡得乙为视线之界戊立象限向乙
　　成甲戊乙直角形有甲戊边戊角得
　　甲乙之深
　　二法曰不知井口于口边立表表端
　　加象限作甲丁乙形测之
　　第十题
　　登山测谷之深
　　一法曰丁乙丙谷在于欲测甲乙之深于丙于丁各立象限成甲丙乙甲丁乙两形测之
　　二法曰丙可到丁于丁于丙立象限
　　成丁丙乙角形有丁丙两角有丁丙
　　边用切线较得之





　　新法算书卷八十八



　　钦定四库全书
　　新法算书卷八十九　　　明　徐光启等　撰测量全义卷三
　　取地平线法　増题一
　　凡测高深广远必用直角者以小句股求大句股也地平为句所测高为股股者垂线也垂线之末加权焉以定地平有本器本论今用象限与矩度则于器心施权线平直相切于象限之边其表边所向之处别立他表则他表与器之心为平行线如
　　一图甲乙为物高丙上加器表边在上旁以
　　权线凖之从丙直视至甲定甲为他表则
　　甲丙线为地靣上平行线何者垂线从天
　　顶向地心与地靣上平线为直角故也
　　若道里相距太远难定其高下之较何
　　者地靣为地球之一分分也远则目
　　与物为背所隔不相及矣法以相距
　　之远分为若干分每两分定其高下之
　　较末以各较加减之得总高下之较如
　　二图甲乙相距四里许乙上加器别
　　立丙表令乙与丙等高丙上加器别
　　立丁表令丙与丁等高丁上加器望
　　甲令甲与丁等高次量各表距地各
　　几何加减之得甲乙之较
　　值两地之间为山城所隔如三图量
　　乙距丙几何令乙与丙平丙之表端
　　为丁距戊几何令丁与戊平戊下取
　　己与丙平戊己距庚辛表几何定己
　　与庚平戊与辛平庚辛距壬癸表几何令辛庚与壬癸平从壬癸望甲令癸与甲平次以丁丙己戊并庚辛壬癸并两数相减馀为两地高下之较如近乙之丁丙与己戊并多于近甲之庚辛与壬癸并则乙下而甲高深浅反之
　　若山城中穷于用器则于山腰用之又别有简法曰山顶戊用器求甲与乙之深两数之较则高下之较〈四图〉
　　如在乙欲测甲高乙上用器令乙与丁平则量丁乙之远而求甲丁之深〈五图〉
　　矩尺测量法　増题二
　　法曰如一图欲于丁测甲乙之高丁上立表表端为山
　　口矩尺之直角加焉以己戊
　　尺向高际乙稍移就之令己
　　戊乙为直线次从戊己尺上
　　依直线向地平得丙成丁戊
　　丙甲乙丙相似两形则丙丁与丁戊若丙甲与乙甲以高求远则戊丁与丁丙若乙甲与甲丙
　　若据高求远如二图丁丙与戊丁若戊
　　丁与丁乙若因远求高则戊丁与丁丙
　　若乙丁与戊丁　论曰戊丁乙戊丁丙
　　两形有丁直角丁丙戊丙戊丁并为一
　　直角丙戊乙亦为直角两角内减丁戊
　　丙角馀戊丙丁丁戊乙两角等夫直角形有两角等即形相似则丙角之对边戊丁也乙戊丁角之对边丁乙也其比例必等
　　求井之深则于井口边甲上
　　立表向井底乙向地平之丁
　　成甲丁丙丙戊乙两形相似
　　是丙甲当广甲丁当深也
　　测极远别法　増题三
　　两郡邑相距太远以高求远表法为
　　穷则用四表遇地靣不平四表法又
　　穷别法每邑取一高若山巅若楼䑓
　　若林木俱可或并为诸物又地平为
　　他物所碍则又穷当于气清日朗风恬时烧狼烟直上作两处之表次于近山之顶取甲取乙甲山上加象限
　　向所测之丁与丙又向乙山定丙甲
　　丁乙甲丁两角乙山上加象限向甲
　　向丁向丙定丁乙丙甲乙丙两角夫
　　甲乙丙形有甲乙边乙甲两角可求
　　甲丙边甲乙丁形有甲乙边甲乙两
　　角可求甲丁边未甲丁丙形有甲丙
　　甲丁两边可求丁丙相距之远若一次不能测则分测之如以甲乙测丁丙以乙辛测丙戊以辛庚测戊己
　　量高远深　増题四
　　用方木表承以鼎足之跗垂权取直表端以下一尺或五寸用一十或一百平分之下作方孔长寸许广三分贯以横表游移无定亦以十或百平分之纵横作直角
　　解曰如一图欲测甲乙之高丙上立
　　表横表游移令丁戊乙为直线成丁
　　戊己丁乙庚两相似形即丁己若干
　　分与己戊一百分若丁庚与乙庚加甲庚得全高
　　以高求远则戊己一百分与丁己若
　　干分若乙庚与庚丁减丁己得甲丙
　　远物在下目在上如二图令戊丁丙
　　作直线则戊己与己丁若戊甲与甲
　　丙
　　若无高求远则用重表如三图以丑
　　壬两测之较当庚癸相距之远
　　高上测高用重表再测但须定表横
　　用游表直用在丙得己丙在丁得丁
　　戊其较庚己以当丙丁横表己辛
　　以当甲乙
　　在一高测两下在丁向乙向丙定
　　横表之两数则丁戊当丁甲戊辛
　　当甲丙己辛当乙丙己戊当甲乙
　　用五图以远求高其理亦同以远
　　求深或井口上立柱用四图以井
　　口之度求深用二图
　　造象限仪法〈篇中或省曰象限或曰仪〉
　　用铜或木板作圏四分之一去板边三分作甲乙直线平靣中任取丙为心甲为界作甲丁虚圏交甲乙线于戊从戊过丙作直线交甲丁圏于丁从甲至丁作直线
　　成丁甲乙直角〈几何用法〉次以甲为心去
　　版边一二分取乙为界作乙庚圏即
　　四分全圏之一象限也圏限外馀版
　　剡去之次离乙庚弧以内约二分作
　　相似弧两弧间平分各度分又同前作相似弧两弧间识其十度或五度从庚从乙皆可起算互用之庚后作小孔贯以权线至甲〈若作两指尺可不用权线〉
　　窥衡一名指尺铜为之首为小圜径
　　三四分从心出直线名指线以定度
　　分所至也广三分厚一分长与象限
　　之半径等上设二表一近心一近秒秒以钩钩象限边令游移而不脱表形方高广约四三分中作直线鑢通之下为小孔表之下端为半枘入尺中令两表之前后两缝两孔皆相对不爽毫发于指线为垂线象限边上亦设二表如上法盖测量法每用两指线以定两测所
　　在也或作两指尺同心同线可定可
　　移尤便
　　如图以木为架上为半圏两端开山
　　口深三四寸以受象限
　　用象限法
　　架口受象限之甲乙边以庚甲线取
　　平焉仪靣正对所测物从窥衡觑物
　　与指线相参直得指线如弧所当度
　　分则从乙至指线者地平上之高也从指线至庚距天
　　顶之高也
　　次法以架口受象限之弧
　　甲心上别用权线下垂过
　　弧甲庚边上立表游移觑
　　表与物参直审权线之度
　　定物之高从乙角起者地
　　平上之高也从庚角起者
　　距天顶之高也
　　三法若地或平或欹则别作圆转之架上端为球空大半作实球与空球等入空中鐡枘指外径二分长寸许
　　旋转回斡不出大球之口空球旁加螺
　　旋三具俟实球之体定而固之　仪后
　　靣中心作孔受实球之枘用时以枘入
　　孔转仪得其靣与所测物为直线以螺
　　旋固之
　　象限之用有二一定仪如首图其一边与地平为平行线以窥衡定地平上之度一游仪如二图用权线其理同也何者游表边与定衡同向一物作平行线定仪之立边与游仪之权线作平行线则窥衡与立边所作角表边与权线所作角等弧亦等
　　造矩度法
　　用铜木板作正方直角形如象限法任用一角为心两
　　旁作直角两线如甲乙甲丙次用元
　　度乙丙各为心各作小弧交于丁次
　　作丙丁乙丁两线成甲乙丙丁正方
　　形各边作一百分毎对边分以直线
　　相联成网目形器小每五分十分作
　　直线器大更细分之
　　角止作心加窥衡加权线任用架具于前
　　定仪于立边书高深平边书远游仪于表旁边书远对
　　边书高深以便别识
　　约法象限弧之内空作矩度其窥衡
　　指线上分即矩度边之分是指线当
　　权线也为用殊大若欲取最小之分
　　则加两窥衡两指线相合为一线用时分指焉安衡法管端之小圜心开圆孔象限心则方孔为螺柱当圆为圆当方为方末圆而加螺旋焉仍以螺旋固之分象限法先三分之用元度庚乙两角各为心取庚辛乙寅得庚寅寅辛辛乙为三分而等各又三分之为九分又各半之为十八大分取四大分又五分之用元度毎大分之界为心左右参差定点毎大分中各有五小分得九十平分度也或取六大分作五分亦同〈论见几何用法〉分矩度法先平分之又平分之又各五分之为二十大分取四大分五分之或取六大分五分之共得百平分
　　造小象限法
　　正方版一角为心作象限之弧弧外
　　两边二平分之又三平分之至四至
　　五六七八九十各平分用界尺从心
　　至各分为界弧上作踈密线线以内
　　书各分其弧外馀板去之加权线与矩度同用
　　用法　以表向物如前遇权线截弧表之旁则高多远少截表之对边则高少远多如截表旁为二分则远一高二截五分则远一高五反之则高一远二远一高五说见二卷矩度法中
　　又法以甲乙边当一百依前法分乙戊弧为一百不平分若权线至己则股一百句五十也至辛则股一百句一十也转用之权线至庚则甲丁股一百句五十也













<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十九>
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十九>
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　　法用平版如几案置仪其一端仪之心以当两测之初所定仪用㳺表左右迁移令二表与次所相参直即于两表间作一线名曰主线主线之左右视所绘之物令与两表相参直即如前作线虚记本物之名号次用指南针定其方向又各两线中间书其度分之数画讫至次所置仪于版之他端以仪心加主线之上主线与初所相参直令初测之仪心在两所之间也定仪如前用两表视所绘之物各作线审方注度即每物各有两线在图版之上必相遇相遇之点乃实注本物之名号末去各线成所求作图
　　若欲知此物之距测所远近多寡先定两测之所相距若干为主线之里数或步数或丈尺数依三角形法主线为底向一物之两线为两腰是有底及底上之两角求两腰为本物距两测处若干
　　又两物之两交作一线相联与一测处成三角形从测所至两点之线为两腰联线为底如前先得腰再用其角可得底为两物相距之数
　　如一图甲为两测之初所加仪向次所乙先作主线次向午己戊癸等物作各线后至乙亦如之即得各两线之交为午己戊癸各物之定所
　　若物在中不可得至欲绘其形即用仪几次周遭测之如二图











　　新法算书卷八十九



　　钦定四库全书
　　新法算书卷九十　　　　明　徐光启等　撰测量全义
　　界说
　　第一界
　　面者有长有广
　　第二界
　　平面者一面平
　　第三界
　　曲面者一面曲
　　无界者如球卵之面有界者如窑桥之面
　　第四界
　　一界之面
　　一曲线内之形如圆形在圏界之内凡有三一平圆从心
　　至界各线俱等一撱圆如
　　圆柱而斜剡之得两面焉
　　一无法曲线如桃棃之面
　　第五界
　　二界之面
　　如两弧或无法之曲线或一直
　　线一曲线而形之有法与否则
　　视曲线
　　第六界
　　三界之面
　　三边或直或曲以曲线为边者先定曲线之有法与否面因之量与二界同法以直线为本
　　如丙丁戊曲边形从丙角至丁作丙丁直线成丙乙丁两角杂形从丙至戊从戊至丁亦如之细分元形各依法量之用所得或加或减以得其容凡三边形或俱等或
　　俱不等或两边等或有直角或无直角皆有法之形也第七界
　　四界之面
　　方面有五边角俱等者正方也角等边不等者长方也边等角不等者斜方也各对角对边等者长斜方也边角俱不等者无法之方也首两种之外皆属无法盖有设边
　　无设角或大或小容积
　　因之异焉欲求其容须
　　定角之度或中长线也
　　第八界
　　五以上多界之面
　　边角俱等者有法之形也或边或
　　角不等者皆无法之形也

　　第九界
　　定度者求两物之比例
　　凡量度万形先定一有几何之度如三丈之物以一丈之度量之谓之某物与定度为三倍大则一丈之度名曰公度因其能量之势定各所量之物也凡量高长广远皆属线类则以线为公度盖比例之两率为同类也故量线者先具一定线或一丈或一尺以为公度量面者先具一定面或方步或方丈边等角直以为公度量线用直线以直线在万线中为最短故量面用平面用正方以平面在万面中为最短正方之理视万形之理为最凖故〈量体亦定一度如一石斗为六面体各面等各角及边等〉第十界
　　量算
　　丈尺寸分满十进位亩法步法则否二百四十方步为亩二十五方尺为步一百方寸复为尺也凡若干步之积步约为亩以二百四十方步而一若干尺之积约为步以二十五方尺而一若干寸之积约为尺以一百方寸而一约步约亩则逓以步法亩法除之
　　第十一界
　　中垂线
　　从形心至边作直角者为中垂线有法形之各中垂线必等无法形各边不等中垂线亦不等
　　第十二界
　　中长线
　　从形之一边或一角至对边作垂线是各边上极远之线以得本形中之直角三边形
　　第十三界
　　直线为有法形之径
　　直线形本无径聊借圆形之径名之然有法之形周内周外可作全圏在外者形之各边切圏周在内者各用切圏周故圏之径亦可谓容形之径
　　第一题
　　量四边形〈其法有三〉
　　形之类有二有直线有曲线兹先解直线形若曲线形
　　后方详之
　　公量为方有法之方形二有正方四边四
　　角俱等〈直角也〉以所设一边自之得面之容
　　如正方田一叚各边四步自之其容为十六方步有长方以所设两边相乘得面之容如长方田一叚纵五横六相乘其容为三十方步若斜方具边无角亦无法之类也有中长线之数则以底数乘之得斜方之容若无中长线之数而知一角之数则先以角求中长线如乙丁斜方形有长阔若干有丁角之数即从丙钝角作丙甲垂线〈即中长线〉则丙丁甲直角形有丙丁边丁角依法求甲得数以乘乙丙得元形之容若等边斜方形作两对角线分元形为四
　　句股形两对角线之交为直
　　法法以两对角线相乘二而
　　一

　　四边形有上下不等而在平行线内者名梯田旧法并两广半之以中长线乘之　论曰戊己丁丙形从上广之两界己戊作己甲戊乙两垂线〈即中长线〉中成长方形旁有两句股形次引戊己广至庚得庚己与乙丙等成己庚丁句股形与丙乙戊形等则庚乙方形与梯田形等丙乙甲丁为两广之较半之者损下广以益上广也兹旧法所自出也

　　凡斜田箕田诸法俱同前两腰之等与不等角之等与不等俱以平行线为本若不知中长线而知斜边或一角者如下文
　　知斜边如丁己先分形成甲丁己直角形有甲丁为两广之半较有己丁法以两
　　数自之相减开方得己甲中长线
　　知角者如己甲丁形有甲丁边有丁角或己角求己甲即全数与丁角之切线若丁甲边与己甲边
　　旧法曰一面长乘中阔得形之容驳曰中广必垂线乃
　　准垂线而外皆斜线必长于
　　中长线况斜边乎今设两形
　　之同边异积如上图其理易
　　见

　　二不等田东长三十六西长三十北广二十五无南广
　　问田旧法并两长折半乘北广
　　驳曰若北两皆直角者即梯田之类也否则从何定南广之度乎
　　旧法四不等田北四十二南五十六东六十四西五十八并东西两边半之并南北两边亦半之两半相乘得二九八九步为其容驳曰若甲为直角试作乙丁对直角线成甲乙丁句股形有句股以求为七十六
　　又一五三之九四其积为一三四四又以乙丙丁形之三边求其容得一五三七〈此法见后第三题〉并两形积得二八七一知法为未合也
　　论曰两广或两长在平行线内者并而折半损有馀补不足改为方形也以中长线乘之则得其容若四不等无法形也损此益彼一不能为方一不能为中长线何縁得合乎
　　第二题
　　量三边形
　　乙丙丁三边形有边数无角数求实其法并三边数半之为实以每边之数为法各减之三较连乘得数以半总数乘之为实
　　平方开之得实
　　如三边为七为十二为九并得二十八半之为一十四减七较七减十二较二减九较五三较连乘得七十以半总十四乘之得九百八十○开方得三十一又六十二之一十九不尽
　　又如三边为十三十八二十一并得五十二半之为二十六减十三较十三减十八较八减二十一较五三较连乘得五百二十○以半总数二十六乘之得一万三千六百二十○
　　开方得一百一十六又二三
　　二七之一六四不尽
　　解曰如图乙丙丁斜角形先
　　平分丙丁二角作丙戊丁戊
　　二线遇于戊从戊向各边作
　　垂线为戊壬戊己戊庚三线
　　皆等〈戊壬丙戊己丙两直角形同用戊丙边两丙角
　　亦等形必等则戊己戊壬亦等又壬戊丁丁戊庚两直角
　　形同用戊丁边两丁角亦等形必等则壬戊戊庚亦等〉次从乙作乙戊平分乙角乙
　　戊己乙戊庚两直角形有己
　　戊戊庚两边等同用乙戊边
　　形必等则两乙角亦等依三角形推壬丙与丙己己乙与乙庚庚丁与丁壬各等共六线三等次于三相等边各取一边如乙己己丙壬丁合之为元形三边并之半〈或丁庚庚乙壬丙或每相等两形边减一边得三较亦元形三边并之半〉次乙丙边引长之取丙辛与丁壬等乙丁边引长之取丁癸与己丙等则乙辛乙癸皆元形三边并之半亦三较之总数也次从辛从癸作两垂线遇于子乙戊引长之亦与辛子癸子遇于子〈乙癸子乙辛子两直角形之乙癸乙辛两边等两乙角亦等即乙子必等而辛子子癸亦等〉次截丙午与壬丁等作午子线又截辛丑与壬丙等作丑子线即丑子与丁子必等〈癸丁子辛丑子两直角形之丁癸与辛丑等癸子与辛子等则其丁子丑子必等〉又午丁子辛丑子两形亦等〈丁子与丑子等丁午与辛丑等则午子与辛子必等〉则午为直角〈相似之辛角先已为直角〉而丙辛子丙
　　午子两直角形亦等又此两
　　形并成一斜方形而丙辛子
　　午四角内减午辛两直角馀
　　子丙两角并为两直角〈凡四边形
　　之四角并为四直角〉又□　丙壬壬丙辛
　　两角并亦等两直角而减共
　　用之壬丙辛馀午子辛壬丙己两角等其各半角亦等〈即丙子辛己丙戊两角〉即己丙戊辛子丙两直角形相似〈己辛等为直角己丙戊辛子丙两角又等即其对边相似〉而戊己〈小句一率〉与己丙〈小股二率〉若丙辛〈大句三率〉与辛子〈大股四率〉次以线变为数〈乙丙三十五乙丁五十丁丙五十乙己十七强己丙十八弱丙壬十八弱壬丁三十二强辛子四十八各有竒今约用成数令直截易算也〉则戊己十二与己丙十八若丙辛三十二与辛子四十八也
　　又以第一率乘第四以
　　第二率乘第三得数必
　　等则戊己辛子之矩内
　　实己丙丙辛之矩内实
　　〈各五七六〉通用可也又戊己
　　〈小句一率〉与辛子〈大句二率〉若乙
　　己〈小股三率〉与乙辛〈大股四率〉而以第一自乘又以
　　乘第二其两方之比
　　例亦若第三与第四
　　〈见几何七卷十七题〉则戊己方
　　〈一四四〉与戊己〈十二〉辛子
　　〈四八〉矩〈五七六〉若戊己〈十二〉
　　与辛子〈四八其比例皆四之一〉亦若乙己〈十七〉与乙辛〈六八何者乙己戊乙辛子两直角形同用己乙戊角则相似则乙己与己戊若乙辛与辛子〉反之则乙己〈十七一率〉与乙辛〈六八二率〉若戊己方〈一四四三率〉与戊己辛子矩〈五七六四率〉或与己丙丙辛矩〈又四率亦五七六也一二与三四异类而为比例者根与根若积与积也四与四异形而为同比例者论积不论形也故先定戊己辛子矩己丙丙辛矩可通用也〉
　　又四率法既云一乘四二乘三
　　两矩积等今依法乘之即得乙
　　己根〈十七一率〉乘己丙丙辛矩〈五七六第
　　四率所得数〉〈九七九二〉与乙辛根〈六八二率〉乘戊己方〈一四四第三率〉所得数〈九七九二〉等次再以乙辛乘之即得乙辛
　　根〈第一率六十八二边总之半〉乘乙辛根
　　〈六八〉偕戊己〈元形中垂线〉方〈一四四〉之
　　矩实〈共九七九二为第二率〉所得数〈六六
　　五八五六与乙辛根〉〈第三率六十八三边总之
　　半乘乙己根〉〈十七〉偕己丙辛丙
　　矩〈五七六乙己己丙辛丙者三差之各数也〉之矩
　　实〈共九七九二为第四率〉所得数〈六六五八五六〉等依此用三较连相乘又以半总乘之得数为实开平方得元形之积此用前所得数本法也或用元形中垂线自乘以乘半总又以
　　半总乘之得数为实
　　开平方亦得元形之
　　积此用后所得数证
　　法也
　　何谓中垂线自乘以
　　乘半总又再乘而得
　　积以句股法解之如
　　戊己丙句股形若以戊己句乘己丙股得戊己丙形之倍积即己戊壬丙两形并之
　　积〈两形等故〉又乙戊己句股形以戊己句
　　乘乙己股得倍积即乙庚戊己两形
　　并之积又以戊壬句乘壬丁股〈或戊己乘
　　丙辛〉得倍积即庚戊壬丁两形并之积
　　故戊己乘乙辛得元形之积如此即
　　一乘可得何待他法然元法中无戊己也特以戊己自乘又再乘乙辛而得积与三较连乘以乘半总之元法所得大积等故以开方而得元形之积亦等则知元法之不谬故谓垂线三乘为证法也又论二法之相合者
　　算术中两方相乘开方得两根相乘之
　　数如图戊己〈一二〉自乘为戊子方〈一四四〉以
　　乘乙辛〈六八即戊寅〉为戊丑长方〈九七九二〉又以
　　乘乙辛为戊寅大方〈六六五八五六〉此前证法所得数也若以乙辛〈六八〉自之得〈四六二四〉以戊己方〈一四四〉乘之所谓两方相乘也〈得六六五八五六〉开方各得八一六即戊己根〈一二〉乙辛根〈六八〉相乘之数也若三较连乘又以乘乙辛虽不成方形而连乘所得亦九七九二以乘乙辛亦六六五八五六以开方亦得八一六故三较连乘之元法无证以垂线三乘法为证也
　　若直角三边形以句股数相乘得数半
　　之为形之容盖方形与三角形同底同
　　在平行线内则方形之容倍于三边形
　　之容或用半
　　若三边等形则有中长线者法与句股
　　同为本线分元形为两直角形也无中
　　长线者以法求之如乙丙丁三边等形
　　从丁角作垂线至乙丙边平分元形为
　　二〈一卷二十六〉用句股法以乙丁乙甲两方相减馀为甲丁方其根则甲丁中长线也如设乙丙线一即乙甲线为二之一各自之乙丙之方一乙甲之方四之一相减馀四之三甲丁上方也开方得四之三之方根〈何谓四之三之方根盖四之三为方之实可明而其根不可明算家谓之不发之根若方实百开其根为十则能发之根也既不能发即有别法以求之故摽之以号曰四之三之方根四之三方实也四之三之方根根号也法见下文〉次以四之三乘甲乙四之一〈甲乙四之一与乙丙一皆有能发之根为同类故可以相乘若能发之根与不发之根为异类不可相乘故别求同类者乘之同类者则两方数也算法根乘根得方开方得方之根方乘方得方方开方得根之方今于两率各减其根号独用两方相乘得数以分法𨳩之得异类两根相乘之容方积也详见句股索隐〉得方方根〈即根之方〉十六之三为元形之容次用分法开之得九十之三十九约之为三十之十三元形之容也然不能毕合以开方不尽故
　　系三十为元形乙丙边上方形十三
　　为乙丙丁三边形之容盖两形同底
　　则其比例为三十与十三求分之母
　　为全数全数者一也则一边之方数亦一其根亦一
　　法曰三角形边上方形与三边形之容若三十与十三则用一边之方数乘十三以三十除之得三边形之容如各边设十自之得一百以十三乘之得一三○○以三十除之得四十三又三之一元形之容也
　　又如各边为十其半五五自之得二十
　　五以减全边方之一百馀七十五开方
　　得八又一百之六十六以五乘之得四
　　十三又十之三较前少差以开不尽故
　　公法先求形之中垂线以形之半周乘
　　之得形之容凡有法之形通用此
　　解曰设三边等形从心向各边作垂线
　　又向各角作线必分元形为六直角形
　　而等夫甲皆直角甲乙边俱等则其为
　　句股形亦各相等半句〈即甲乙之半〉乘股〈即甲〉
　　〈丙中垂线〉得甲乙丙之容六倍之得元形之容凡用甲乙三次〈为半句者六也〉乘甲丙故法曰形周之半乘中垂线得形之容如设各边十则甲乙为五乙全角六十度则甲乙丙角必三十度今甲乙丙角形有角有一边用法求甲丙边则全数与甲乙五若乙角三十度之切线五七七二五与甲丙边之数二八八六八五有竒为中垂线也各边十共三十半之得十五以甲丙中垂线二八八六八五乘之得四三三○二七五若所设各边十为一尺约之得其面四十二方尺又三十方寸有竒如前法试用本题第一法边之总数为三十半之为十五减边之较各五五连自乘得一二五又以半总十五乘之得一八七五开方得四三同前法
　　一系若三边等形之边为全数如十百千等其中长线及其容积皆不发之数〈十四卷十二〉
　　二系二边等形先求中长线如三边等形之法如两
　　腰各五底六半之三自之得九以减腰
　　五上方二十五得十六开方得四中长
　　线也馀与前等
　　三系三边不等形有一明角而求中长线则从一隐
　　角向对边作垂线成句股形有角有
　　以求句如乙丙丁形乙丙二十四半丙
　　丁十二丁乙十五乙角二度二分从丁
　　作丁甲垂线成两句股形其甲丁乙形
　　有丁乙边乙角而求丁甲边为全数〈内〉
　　与丁乙边十五〈外〉若乙角之正三七五一五〈内〉与甲丁边五六二七二五〈外〉约得五尺有竒以所得与底之十二又四之一相乘得六八九三四约之得六十八方尺有竒元形之容也〈凡先设先得者为明所求为隐边角同下文仿此〉
　　若俱隐角则用本书一卷六题法从大
　　角至底作垂线求两任分底之各分若
　　干既分元形为两句股各有又求得
　　句以求股若干即元形之中长线
　　法曰丁乙丁丙两小边相并为总相减
　　得存存总相乘为实底数为法而一数
　　与底相减所馀半之得相小边之小半
　　底甲丙用句股法乙丁乙甲各自之相
　　减开方得丁甲如乙丙二十四丁丙十五丁乙十七两小边并得三十二总也相减得二存也相乘得六十四以底二十四除之得二又三之二以减底得二十一又三之一半之得十又三之二甲丙也自之得一○七又九之一乙丁边自之得二八九相减馀一八一又九之八开方得十三又三十七之十三不尽中长线丁甲也乘半㡳十二得一六二弱元形之积也试用本题一法三边并得五十六半之二十八各边之减较为四为十三为十一连乘得五七二以半总乘之得一六○一六开方得一二六有竒不尽若有角求一边或有二角求二边亦先求边〈本书一卷十五十六题〉
　　若形之边为断几何如圆果平积
　　之边其法以边数自之又加边数
　　半之为形之积假如各边有三自
　　之得九加边得十二半之得六形
　　积也又如设边五自之得二十五
　　加边三十半之得十五积也见算
　　章逓加法
　　第三题
　　量多边形
　　一解曰有法多边形求其容必先分元形皆为两边等三角形故不论㡬何边俱同法
　　法曰多边形从心至各作线悉分为两边等三角形各形有边数有角数求其中长线得各三角形之容并之得元形之容
　　如八边边设十步从心至角作线辏心成八角皆等凡
　　辏心必四直角分三百六十度八而
　　一每角得四十五度乙丙丁角形二
　　边等有丁丙底有丁乙丙角则丁丙
　　两角并得一百三十五度半之得六
　　十七度又二之一为乙丁丙角又甲乙丁角形有丁甲〈半元边为五〉求甲乙垂线即全数〈内〉与丁甲〈五外〉若丁角之切
　　线〈二四一四二一内〉与甲乙边〈一二○七一○五外〉约
　　之得十二步有竒以乘甲丁五步得
　　六二三五五二五约六十步有竒八
　　之得四八八四二四○○约得四百
　　八十八步有竒为元形之容
　　若有中长线如甲戊以其半乘半周所得与前等又如十二边有法形边设十步以十二除三百六十度得三十度为丙乙丁角即乙丁丙角必七十五度从心作乙甲线至丁丙边又甲乙丁角形有甲丁五步有丁角七十五度求甲乙线即全数〈内〉与甲乙〈五外〉若丁角之切线〈三七三二○五内〉与甲乙〈八一八六六○二五外〉约得十八步有竒甲乙中垂线也次如前
　　或用正数法曰各边为本弧之
　　即半边为半弧之正而中垂线为
　　半弧之馀以边数除三百六十得
　　设边之弧边数及弧度各半之次用
　　半弧度求其正及馀末用三率法以半弧之正为第一半边数为第二馀数为第三得第四为正垂线即乙甲
　　如五边等形边设十二以五除三百
　　六十得七十二半之得三十六其正
　　五八七七九为一率〈内〉其馀八
　　○九○二为三率〈内〉半边六为二率
　　〈外〉得九又九之一为四率〈外〉即一边上之垂线次以形周乘四率得数半之为形之积五边形之周为六十乘得五四六又九之四为五边形之并积
　　多边有法形之比例　多边有法形之具三曰边曰周曰积形大小不等其比例等故有一形某具之比例可得他形某具之比例
　　每形之边为一〈一虚数也丈尺寸分唯所设之〉
　　三边形之周三积为三十之十三
　　四边形之周四积为一
　　五边之周五积为一又一一七七五七○六之八四六九七一九约为十一之八不尽
　　六边形之周六积为二又五百万之二九九○三八一约为五之三不足
　　七边形之周七积为三又八六七七六七四之五五○七二二一约为八之一而盈
　　八边形之周八积为四又一九一三四一七之一五八五一二七约为十九之十六不足
　　九边形之周九积为六又六八四○四○二之一二四三七五五约为十七之三不尽
　　十边形之周十积为七又一二三六○六八之八五八○八九约为三之二不足
　　用法设他形之边求积以其边数自之以上所列同类形之积数乘之若设他形之积求边则上所列同类形之积数除之所得之根设形之边也
　　旧法三角形每面十四以六乘面得八十四以七而一得十二为实半面七为法乘之得八四积也试用前法
　　分元形作两句股形各形有有句以
　　求股而求积得八四又三十之二十八
　　几为八五非八四
　　论曰所以然者古法正六面七谓丙乙十四则丙甲十二故七六相乘得四十二为丙乙丁之实八十四矣不
　　知丙乙十四乙甲七各自之相减开方
　　乃十二有竒非十二也且七除又七乘
　　安用之
　　旧法六角形每面十五以面数自之得二二五以三乘之得六七五今用几何四卷十五之系六边等形内有
　　三角等边形六用古法得各形之积为
　　九十六又七之六六因之得五九一又
　　七之一非六七五
　　论曰所以然者十五自之为二二五彼以为此乙丙边乘得乙丙丁戊形之实也不知二二五者乙丙上正方形之实此乙丙丁戊则斜方斜方与正方同边而异积也斜方之积必少于正方之积故实少而误以为多古法八角田每面十四以面五乘得七十七而一得十倍之得二十求一面得三十四自之得一一五六为实面数自之得一九六为法减之馀九六○八角形积也
　　正法作图每两边引长之遇于甲成正
　　方形其内有元八边形又有甲乙丙四
　　句股形以丙乙元形边十四为求丙
　　甲而句股等法以十四自之得一九
　　六半之得九八开方为九又十九之十
　　七甲乙也甲乙甲丁等合之加于乙丁
　　元形之边得三十二又十九之十七为甲甲正方之边自之得一一四又三六一之二二五正方之积也次求句股四形之积得一九六弱以减正方积馀九四四有竒元八角形之积也古法曰九六○谬矣
　　论曰所以然者古法方五斜七不知方五则斜七有竒不发之根也彼以甲乙等各句各股俱为十则乙丙边与乙丙俱十四不知各率皆是而独乙丙非十四也故八角形之积实少而误以为多













　　新法算书卷九十
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>



　　钦定四库全书
　　新法筭书卷九十一　　　　明　徐光启等　撰测量全义卷五
　　圆靣求积
　　凡圆面积与其半经线偕半周线作矩内直角形之积等依此法则量圆形者以半径乘半周而已古高士亚竒默徳作圜书内三题洞烛圎形之理今表而出之为元本焉第一题
　　圆形之半径偕其周作句股形其容与圆形之积等解曰丙丁戊己圆形其心乙其半径乙丙即以为股形之周为句成午申酉句股形题言两形之容等
　　论曰设有言不等必云或大或小云圆形为大句股形小者索其较为亥形即于圏内作丙丁己戊正方形又作丙庚丁辛戊壬己癸八角直线形从心至八角形之各边作甲乙等中垂线试于圆形内减其大半所馀又减其大半末所馀以比较形亥必能为小矣〈十卷首题〉如先减丁丙己戊方形次减丙癸己等三角形八末馀丙庚丙癸等二角杂形八必小于亥形也次作午未戌三边形与丙庚丁八角
　　形等必小于午申酉三边形何者
　　未午乙甲也小于圏半径乙庚先
　　设午申酉三边形及亥较形始与
　　圏等今午未戌三边形及八两角
　　杂形适与圏等夫午申酉三角形
　　大于午未戌三角形亥形又大于
　　八两角杂形是合两大形〈即午申酉及亥
　　较形〉与圏等者复谓合两小形〈即午未戌
　　及八两角杂形〉与圏等有是理乎
　　次论曰若言圏形为小句股形大
　　者索其较为亥形即于圏外作子
　　寅丑己正方形又作卯辰八角形
　　夫寅己方形大于午申酉三角形
　　者方形之周线大于圎形之周线
　　也内减其大半〈即元圈〉又减其大半
　　〈即卯辰子等四三角形也〉末馀丙卯庚庚辰丁
　　等三角杂形八必小于较形亥又
　　作午申亢三角形与丙卯辰八角
　　形等兹形为圏之外切必大于元圏而午亢为外形之周必大于午酉内圏之周先设圏及亥形与午申酉三角形等今并圏及三角杂形八〈即丙卯庚等八杂形也〉反大于午申酉三角形是圜偕八杂小形而为大者又偕亥大形而为小可乎
　　第二题
　　凡圏周三倍圏径有竒〈二支〉
　　此有二法其一云三倍又七十之十则朒其二云三倍又七十一之十则盈先解其一曰甲乙戊丁圏戊为心甲戊乙戊为两径辏心作直角从甲作午子切线从乙从丁作乙己丁壬线与乙戊等乙戊己角六十度己戊甲角必三十度为六边形之半角也末从心过己过壬作戊午戊子线成戊午子等角形己戊壬既六十度则午子为等形之边设甲午股一百五十三〈任设此数以便推算〉午子或午戊必三百○六各自之股方得二万三千四百○九方得九万三千六百三十六相减馀七万○二百二十七为句方开得二百六十五有竒为戊甲句半径也则戊甲与甲午之比例为二六五有竒与一五
　　三次平分午戊甲角作戊庚
　　线任分午甲于庚则午戊与
　　戊甲若午庚与甲庚〈六卷三题〉合
　　之戊午偕戊甲而与戊甲若
　　午庚偕甲庚而与甲庚更之戊午并戊甲而与午甲〈即午庚偕甲庚〉若戊甲与甲庚先定戊午戊甲并得五七一有竒午甲为一五三则戊午并戊甲与甲午之比例若五七一与一五三若设甲庚一五三则戊甲与甲庚之比例为五七一与一五三矣即以两数自之并而开方得五
　　九一又八之一不尽为庚戊
　　线〈戊甲甲庚之〉则庚戊与甲庚之
　　比例若五九一又八之一不
　　尽与一五三次平分庚戊甲
　　角作戊辛线则戊庚并戊甲一一六二又八之一与庚甲一五三若戊甲与甲辛若设甲辛一五三则戊甲为一　一六二又八之一有竒两数各自之并而开方得二七二又八之一为辛戊线〈甲戊甲辛之〉则辛戊与辛甲之比例若二七二又八之一与一五三次平分辛戊甲角作戊寅线则辛戊并戊甲二三三四又四之一与辛甲一五三若戊甲与甲寅若设甲寅为一五三则戊甲为二三三四又四之一有竒两数各自之并而开方得二三三九又四之一有竒为寅戊线〈戊甲甲寅之〉则寅戊与寅甲之比例若二三三九又四之一有竒与一五三次平分寅戊甲角作未戊线则寅戊并戊甲四六七三半有竒与寅甲一五三若戊甲与甲未若设甲未为一五三则戊甲为四六七三半有竒
　　论曰午戊子元角为三等角形之一即一直角三之二
　　午戊甲其半则三之一庚戊
　　甲其半则六之一辛戊甲其
　　半则十二之一寅戊甲其半
　　则二十四之一未戊甲其半
　　则四十八之一复作甲戊申角与甲戊未角等成未戊申角形其戊角为直角二十四之一而未申为象限二十四之一于全周为九十六之一未甲申其切线也为九十六边形之一边此边与圈全径之比例若戊甲四六七三半与甲未一五三末置九十六边形之一边为一五三因周为一四六八八径为四六七三半有竒则九十六边圈外形之周与圏径之比例为一四六八八与四六七三半约之为三又七之一不足则径为一九十六边圏外周为三又七之一不足夫形在周之外尚不及三又七之一况圏周乎
　　二解三倍又七十一之十而盈者曰圏内作乙丙径从丙作六边形之一边丙甲与半径戊丙等〈四卷十五〉从乙作乙甲成乙甲丙形在半圏之内则甲为直角〈三卷三十一题〉设甲丙句七百八十○乙丙一千五百六十○两数自
　　之相减开方得一千三百五十
　　一不足为乙甲股则乙甲与甲
　　丙之比例为一三五一与七八
　　○次平分甲乙丙角作乙丁线
　　又作丁丙线成乙丁丙丙丁己
　　两直角形相似盖同用丁直角
　　在半圏内甲丁丁丙两所乘之
　　等则丁丙己丁乙丙两之
　　角必等〈三卷二十一〉夫两形有两角
　　等者各腰俱相似则乙丁〈大形之股〉与丁丙〈大形之句〉若丁丙〈小形之股〉与丁己〈小形之句〉又乙丙〈大形之〉与丁丙〈大形之句〉若己丙〈小形之〉与丁己〈小形之句〉更之乙丙与己丙〈两〉若丁丙与丁己〈两句〉是乙丁与丁丙〈两股〉丁丙与丁己〈两句〉乙丙与己丙〈两〉三比例皆等又乙丙与己丙〈两〉若乙丙并乙甲〈两腰〉与甲丙底之两分〈见前解〉则乙丁与丁丙亦若乙丙并乙甲与甲丙先定乙甲一三五一弱乙丙一五六○是乙甲乙丙并为二九一一弱甲丙先设七八○则乙丁与丁丙亦为二九一一弱与七八○各自之并而开方得三○一二又
　　四之一弱为乙丙〈乙丁丁丙之〉则乙
　　丙与丁丙之比例为三○一三
　　又四之一弱与七八○次平分
　　丁乙丙角作辛乙线因前比例
　　论得乙辛与辛丙比例之数盖
　　丁乙并乙丙与丙丁若乙辛与
　　辛丙先定乙丙三○一三又四
　　之一乙丁二九一一弱并为五
　　九二四又四之一弱今丙丁为
　　七八○则乙辛与辛丙为五九二四又四之一弱与七八○欲省数改设辛丙二四○依三率法辛丙七八○乙辛为五九二四有竒今辛丙二四○即乙辛为一八二三弱两数自之并而开方得一八三八又十一之九弱为乙丙线〈乙辛辛丙之〉则二四○与一八三八又十一之九为丙辛乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙壬壬丙两线辛乙乙丙两数并为三六六一又十一之九弱与辛丙二四○为乙壬与壬丙之比例又改设壬丙六六依三率法乙壬为一○○七弱两数自之并而开方得
　　一○○九弱则六六与一○○
　　九为壬丙与乙丙两线之比例
　　末平分壬乙丙角作乙庚庚丙
　　两线乙庚与庚丙若壬乙并乙
　　丙二○一六又六之一与丙壬
　　六六两数自之开方得二○一
　　七又四之一弱为乙丙〈乙庚庚丙之〉则庚丙与乙丙两线之比例为
　　六六与二○一七又四之一弱
　　论曰丙甲为全圏六之一丙丁十二之一丙辛二十四之一丙壬四十八之一丙庚九十六之一是丙庚为九十六边内切圏形之一边也以九六乘六六得六三三六为九六边内切形之周乙丙径为二○一七又四之一弱两数约之一得三又七一之十强形之周也一得一圏之径也夫圜周在多边形之外即大则谓三倍径又七十一之十不又盈乎
　　第三题
　　圜容积与径上方形之比例
　　解曰一为十一与十四而朒一为二
　　百二十三与二百八十四而盈先解
　　朒者乙戊辛圈甲丙戊方引长甲丙
　　边为甲丁其大于甲丙为三倍又七
　　之一则与周等为句甲乙边圈之半
　　径也为股成甲乙丁角形其积与圈
　　积略等〈不甚差故〉又乙甲丙直角形因丙
　　甲与甲丁若七与二十二则甲乙丙
　　与甲乙丁两形之积亦若七与二十
　　二〈六卷一题〉甲乙丁与圏等则甲乙丙形与圈积亦若七与二十二夫甲乙丙为方形四之一四之得二十八即两形积之比例为二十八与二十二约之为十四与十一也次解盈者甲丙设七十一甲丁二百二十三与圏周等则甲乙丙与甲乙丁两形之积为七一与二二三四倍七一得二八四全方之积与甲乙丙形之比例为二二三与二八四
　　一题之系　半径全周成三边形与圏积等依句股法半径偕半周矩内方形与圏积等若全径偕全周矩内方形则四倍圏积几何〈六卷二题〉曰相似形之比例为两相似边再加之比例故边倍则实四之二题之一系　设圏径求周求容　凡设径求周用盈法七为一率二十二为二率所设径为三率得四率为所求周　用朒法为七十一与二二三若径与周古士论圏大小大都准此二论反之以周求径亦然
　　二系　圈之径与径若周与周子之径与径亦若母之周与周假如一圏之径为七周为二十二他圏大于元圏四倍其径二十八则其周八十八亦四倍大于元圏之周
　　三系　周线上方形与圏之积若八九二与七十一则盈若八八与七则朒周与他周若径与他径　周线上方与他周上方若径上方与他径上方〈十二卷二题〉径方与他径方若圏与圏则周方与他周方亦若圏与圏更之周之方与本圏之积若他周之方与其圏之积如设周一用一系之法则八九二一率也七十一二率也所设一三率也所得之径为二二三之七十一其容积为八九二之七十一周之方一全数也通之为八九二圏之积零数也为七十一是谓周方与圏为八九二与七十一而盈或二十二与七其径二十二之七其积为八八之七周之方一全数也通之为八八圏积为零数则周方与圏为八八与七也三题之系　设径求圏积则比例之母十四为一率子十一为二率径之方数为三率所得为圏之积而盈或三八三为一率二二三为二率径之方数为三率所得为圏之积而朒假如设径十用盈法得七八又七之四圏之容也用朒法得七八又二八三之二五七圏之容也反之设圈容求径则十一与十四若圜容与某数其方根为径
　　又设周求圏之容因一系之法八九二与七十一若周之方数与圏之容而盈或一八八与七若周之方数与圏之容而朒反之设圏求周则七与八八若圏容与某数其方根为周
　　径与周之比例古士之法如此今士别立一法其差甚微然子母之数积至二十一字为万亿亿难可施用○径一○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○
　　〈大周〉三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四七
　　〈小周〉三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六
　　约之首取三字为一百之三百一十四则三倍又百之十四
　　再约得七之一又朒如前
　　论曰总之不论若干位但加一即赢减一即缩赢即外切线缩即内也皆非周也
　　古设周问积法曰周自之十二而一此犹是径一围三较之径七围二十二者尤疏也故不合
　　古设径问积法以径自乘三之四而一如设径一自之得一三之得三四而一则四之三为圏之积全数〈即母数〉为径上之方形则知径上之方与圏之积为四与三然前论为一四与一一而合今之四与三则所谓虚隅二五也如图甲乙设十自之为一百平分之为乙丙丁五十又平分之为丁戊乙丙三角杂形丁戊乙二角杂形各二十五二角杂形必小于三角杂形安得合乎
　　量撱圆法　撱圆形者斜截圆柱所成两面形也形有长短二径古士默徳本论曰两径之中比例线为径作圏
　　与撱圆等则两
　　径为第一第三
　　率相乘所得方
　　数为第二率又同线上之正方与圏容为一四与一一今两率相乘者即中率正方之数〈此比例法见几何六卷三十三题之第十增〉故以两径相乘得数以一一乘之以一四除之得撱圆之积也
　　量圈之一分
　　第一图〈名两半径形〉
　　设半径及用全与全若分与分之比例　法曰以半径乘得积半之为本形积盖全周与全圈积若周之分与圈积之分如半径六十二相乘得七十
　　二半之三十六为本形积
　　第二图〈名两内形〉
　　设两两丙戊为径从心作甲乙甲丁线成甲乙丙甲丁戊各两半径形依前法各求积又甲乙丁直线形两腰
　　等有丁乙求其积三形积并为乙丙戊丁设形之积第三图
　　即第二图之半同理

　　第四图〈名形〉
　　有本圈径设求其积法先求半圈积次求两形之积两数相减馀为设形之积如丙乙巳戊圈其径丙戊设乙丁求乙已丁之积置乙巳丁一一又七之六
　　圈径十二先求本全圈之周得三十七又七之五半之为十八又七之六内减设形之一一又七之六馀七为丁戊乙丙两之数半之为三半丁戊也作丁甲乙甲两线因前法求丁戊乙丙两形之积得二十八又九之八又求半圈之积得五七又七之四内减两形之积二十八又九之八得二十七又六十三之四十二为设形之积若不知因丁甲乙形有丁甲乙甲两边有丁甲乙
　　角得丁乙边为设形之
　　若形大于半圈者以两之积加于半圈之积
　　若不知本圈之径则先求径其法丁乙半之作巳辛垂线量其度得数为法之半数自之为实而一得本圏之径〈㡬何三卷五十五〉如量己辛得一又九之五法也丁辛为四自之十六实也除之得十又九之二加己辛得十二全径也若辛己不可得量是属无法之形
　　第五图
　　设小半形如甲乙丙则以甲丙句甲
　　乙股各自之并而开方得乙丙成乙
　　丙小形有乙丙依前法求积次求
　　甲乙丙句股形之积并之即得〈一图〉若止设一直线为径之一分〈甲丙也〉而知
　　本圏之径法先求丁戊丙象限积次求
　　丁乙甲戊两形之积相减馀为甲乙
　　丙形之积〈二图〉
　　若所设乙甲丙非直角而知本圏之径
　　法先求戊丁丙象限积次求甲乙辛句
　　股积盖形有甲辛两角甲乙边可得馀
　　边即得其积末用前法求乙辛丙半
　　形之积内减甲乙辛句股积馀为设形
　　之积〈三图〉
　　若乙甲丙为锐角乙辛股线在设形之内则以甲乙辛形之积加于半形积〈四图〉
　　或设本圏之径作戊乙线法以半径乘得数半之得戊乙丙形次求甲乙戊直线形之积则乙戊半径也乙甲设形之边也戊甲为丙甲与半径之较依法得积以减戊乙丙两半径形之积馀为设形积〈五图〉
　　或依三角形法作乙丙线成甲乙丙三角形有甲乙甲丙两边有甲角以求乙丙馀如前〈六图〉
　　若半形之边如甲乙甲丙大于半径即作乙戊线先求乙戊丙两半径形之积次求甲戊乙三边形之积并之如前若不知本圏之径则属无法形之法〈七图〉或依三角形法以甲乙甲丙两线及甲
　　角求乙丙边求积次求乙丙形之积如前法〈八图〉第六图〈名两之形〉
　　若知各之径者法与一形等
　　若设两亦设中长线则分元形为两
　　形　若不知本圏之径亦不知中长
　　线属无法之形
　　第七图
　　以分之成直线形者一成形
　　者三四以上各以前法量之
　　若为球体撱圆体圆角体之外面法见量体法中〈第六卷〉古法设长阔问积见长方又设长阔总数长阔较等问见句股义
　　量面用法
　　以木造矩锥平
　　者为盘直者为
　　干盘径五六寸
　　厚二寸面画两径辏心成直角刻成渠深五分广一分下作凿以受干也干径一寸以上长四五尺令平立者目切其盘之面干之末施鐡锸焉别具望竿数事略与干等器成先试之法于平地卓锥从一径之渠向左向右各距若干丈尺卓两竿与径为直线又从他径之渠向前向后各距若干丈尺卓两竿与径为直线次转器易径以望先立诸竿仍作直线则为如法之器第一题
　　直线内一点上求作垂线〈㡬何一卷十一〉
　　法曰设点上卓锥转器令一径合于设线次从他径卓数竿题言诸竿所作直线与元线为直角与盘上直角
　　等



　　第二题
　　直线外一点上求作垂线
　　法曰设点上卓一竿持器循设线上㳺移迁就令一径合于元线一径与望竿为直线次从点至锥下作线则元线之垂线也
　　凡设田形量其步亩前法足矣然未知直线形之是否直角曲线形之是否中且高下之数非目营可得欲求其度立公法如下文总之以句股为本凡图中断线所作线也聨线元形线也边上有○卓锥之处也
　　三边田法从大边用器㳺移迁就向对
　　角立垂线分元形为两句股形〈一图〉


　　四边田先用器试各角是否直角直者用正方量之不
　　直依图
　　分句股
　　形令分
　　馀者各
　　两对边为平行线用正方长方法量之〈二三四图〉
　　多边形田从大边如甲上作
　　甲乙垂线从大边两界如丙
　　如丁作丙戊丁己两垂线丁
　　己线上立乙辛垂线又立庚
　　寅己午两垂线丙戊线上立酉乙垂线是元形内有二方形七句股形量时依元设丈尺步数化大为小作图亦用元度作新立诸线各如数𥮅之并之得元形之积〈五图〉
　　若田形以曲线为边宜先
　　求直线形法取一线为径
　　径上密密卓锥作诸平行
　　线末各直角上加器成诸
　　长方形亦成诸三边形曲
　　线为边者大圏之也即依直线法量之所差甚微〈六七图〉
　　或田中为房舍林木等物所隔难作
　　中长线法于田外依一边作大方形
　　形边上向田之各角作线是元形之
　　外方形之内有若干句股形并诸句
　　股积以减方形积馀为元形之积〈八图〉
　　增题　多无法形量法从田心如癸加象限边向乙角窥丙角定乙癸丙角之度次向丁向戊向己向庚向
　　辛各定其癸角之度次以公量法量癸
　　乙癸丙等线元形内有三边形七每形
　　有一角两边因法求馀边求毎形之积
　　并而得元形之积
　　中空田法先求大形之积次求空形
　　之积如方田一叚各边十丈中为圆
　　池径七丈则方形之积一百丈池之
　　积三十八丈半减馀六十一丈半为
　　设形之积
　　求环田积用两圏之径或周以次求
　　大小圆积相减馀为环田之积如设
　　环之外周为四十四内周为二十二
　　则大圆积一百五十四小圆积三十
　　八半减馀一百一十五半环田之积也
　　变形法
　　其一设三角形求变为等底等积方形
　　凡设形求变者皆截元形之实补求形之虚也如上一图甲乙丙元形求变为丙丁戊方形其元形之大边为底法平分两腰作中线与底平行次以中线为底作对角垂线成甲乙两形从元底两端向中线各作垂线成戊丁两形则截甲实形移补交角之丁截乙实形移补交角之戊成
　　丁丙戊方形与元形等底等积
　　如二图小边为底亦平分两腰作平行中线次从上角从钝角各向中线作垂线成甲乙两句股形及丙斜角形次截甲实形移为交角之乙并丙乙实形移为交角之丁成丁戊方形如所求
　　如三图钝角上垂线截中线出元形之外甲戊丁己两线为等作己垂线成甲小形则截交角之乙实形移为甲并甲两实形移为交
　　角之丁并丁己成四边实形移为相似之戊〈形并戊庚如所求〉




　　如四图两腰甚长亦如前作中线于中线上截取庚丁壬己各形之边皆与底等而成各直角四边形又从两交截取癸形与卯等即甲与乙卯癸与卯各交角之两形各等先截取癸实形移补交角之虚卯次并卯乙作三边实形移补交角之虚甲次并甲丙作四边实形移补相似之虚壬次并壬丑作四边实形移补相似之虚丁次并丁戊作四边实形移补相似之虚己次并己寅作四边实形移补相似之虚庚次并庚辛即所求其二设一方形一线求变为他方形其边与设线等如上一图设丁戊方形求变他形其边与甲等法从乙丁边取乙丙与甲等从戊角作戊丙迤线〈丙非角故不名对角〉引长之与己丁之引长线遇于辛成丁辛丙三角虚形次于己戊边取
　　己庚与甲等次从庚作垂线成壬庚戊三角实形以此实形移补丁丙辛虚形又以戊丙迤线上形移置壬辛迤线上即成庚辛方形如所求如二图设形为斜角与上同法
　　若所设线甚小几倍之得为元形边则平分
　　元形为几形如前法变得各小形并之为一大形如所
　　求
　　如三图所设线大于元形边则引长己戊边为己庚与甲等作庚丁对角线成戊庚壬三
　　角虚形次取丁丙与壬庚等成丁辛丙实形移补壬戊庚虚形又乙壬丁实形之壬角移为庚角成庚辛角形即所求
　　其三设矩内形变为正方形
　　如图以设形之两边连为一直线求心作半圏次从两线之界点作垂线为两率之中比例线即用为设线依前法变设形为他形其边为设线

　　其四设多边形变为正方形
　　先以直线分元形为若干三边形
　　次依第一法变各三边形为矩内形
　　三任取一线为设线依上法变各矩形皆为等边形
　　四并各等边形成一大矩形
　　五依第三法求大矩形两边之中比例线成正方形
　　以上四法若反求之则亦反作之如一矩形求作三角形一正方形求作有比例之
　　矩内形是也
　　其五两正方形变为一正方〈㡬何原本一卷四十七题备论其理此则用法〉置两正方形以角相切令其边为直线角之外为直角即成甲句股虚形其聨两元形之各一角即以为底作正方形其积与两元形并积等其变法作丙戊庚己丁
　　矩形及乙寅线又截壬形与子形庚形
　　等次截取癸实形移补丙丁虚形次取
　　丙子实形移补甲虚形次取壬实形移
　　补庚虚形次取庚丑实形移补戊〈己庚〉虚
　　形次取戊实形移补辛虚形
　　成卯辰午未正方形
　　其六设矩形求变为他矩形
　　其边各有比例如设一形欲
　　作他形等积而两边之比例
　　若五与四法分大边为五小边为四作平行分线如甲乙形次依丙丁罄折线截讫移就成戊己形
　　第四题
　　截形法
　　借题云设多边形截为多三角形求作多线以当各形
　　之比例如图甲乙丙丁戊多边形从甲
　　角作甲戊甲丁甲丙各对角线分元形
　　为四三角形求其比例法曰从各角向
　　各对线为垂线如己向庚戊向辛丁向
　　壬又向子丙向癸乙向丑丁壬丙癸因对角线短故垂线在形之外盖三角形论底论高不论垂线内外因几何六卷第一题增同底之形其比例若其高之比例今甲戊己甲戊丁两形同用甲戊为底即己庚壬丁两垂
　　线为两形之比例又甲戊丁甲丁丙
　　两形同用甲丁为底即戊辛丙癸两
　　垂线为两形之比例甲丁丙甲乙丙
　　两形同用甲丙线为底即丁子乙丑
　　两垂线为两形之比例也今欲作四线之比例与此四形之比例等依几何原本六卷第十九题三直线为连比例则一线上形与二线上形若一线与三线今以一垂线当一形以第二第三率通为一比例而求末率〈即第三线〉则一形与二形若一线与三线也如上图壬丁之形与戊辛之形同底而壬丁为一率戊辛为二率己庚之形与某线之形同底而己庚为三率某线为四率则以戊辛之数通为己庚之数而求其线即壬丁与戊辛若己庚〈元数〉与某线而某线之数为己庚之次数又丁子与丙癸若乙丑〈元数〉与某线而某线之数为乙丑之次数今一设三角形从一角命截几分之几法于角之对边平分如命数从角作线截取一分为得数如甲乙丙形从甲命分四之三即四平分丙乙线为丁戊己次从甲作甲丁分元形为二其比例如丙丁与丁乙
　　又命分四之一而其截线求与命角之对边〈如丙乙〉平行法四平分甲乙腰四乘三〈命分数内减得分以其馀乘命分〉得十二开方得三又百之四十八即得甲向乙取四分之三有半至
　　丁作丁戊线与乙丙平行截元形为二其积如三与一而丁丙为四之一甲乙戊为四之三
　　二设多边形从一角命截几分之几法依前借题分本
　　形为若干三边形又如前次第求各形
　　之比例线〈因形求线〉合之成一直线如图为
　　乙丙丁戊己若命分为四之一即四平
　　分之若第一分在乙丙线内则分甲乙
　　丙形之乙丙边如乙丙比例线其一分
　　所至为乙壬作甲壬线截甲乙壬形为元形四之一若欲截分在甲己之旁则分甲己戊形之己戊边如戊己比例线其一分所至为己辛作甲辛线截甲己辛形为
　　元形四之一若命分之界不在元形之
　　角如甲乙边内取庚点为界法从庚向
　　各角作线求各形之比例线如前
　　上二法俱从甲或庚为截分之总界其他形若能为对角线在形之内者任用各边各角皆可为截分之界若作对角线而切本形边或出形之外则不能为截界如图
　　甲戊丁乙四角己庚三角其截分或出形外甲庚甲乙戊己戊丁诸线各切本边但可从丙截之
　　三设方形命截几分之几法任分一边
　　如命分数取得数作平行线或正方或
　　斜方或矩形皆同理若以角为截界则
　　与上文多边形同法
　　四设梯田命截几分之几如四分
　　之一法上下两〈边各四平分而取其一作直线聨之〉
　　或用角为截界则与前多边形同法
　　若命截线与底平行则用三率法依设形成三角形得其腰求两形之比例得全三角之积若干小三角形之积若干以小减大得梯形积若干因算梯形之㡬分得全形之几分随用前第
　　一设截三角形之法得所求
　　假如大底为十上边为六斜边得四上下边之较四半之得二为第一率大底半数五为二率斜边四为三率算得全形之腰为十此全形有两腰有底求其积得四十三又三之一其小形有两腰各六有底六求其积得十五又五之三以减全积得二十七又三之二弱为元梯形之积今欲截取四之一以四而一得六又五之四弱以除全积得六有五之二弱为元形四之一亦为全形六分五之二分用平行截三角形之法六有竒为母五有竒〈减一得子〉为子相乘开方得五○○即从全形上角分全腰为六分有五之二弱内取五又五之四强作平行线分元形如所求〈或取三十二而取二十九〉
　　若近小底命作截线其理同上但母子数不同上得元形四之一分为六又六十之四十六略约五之四今所求者四之三则三倍之得二十又三十之九以倍数与全数相乘得数开方得二十九半即从上角如法取作平行线分元形如所求〈或分全腰为四十三又三之一从上角取二十九半作线〉凡梯田在平行线内但底等即其积等
　　不论角大小
　　若两梯田截法先求各形之积次算此
　　形所截之分为彼形之㡬分其用法如
　　前

　　〈有本法本论于法算诸书中详之此不及备著〉
　　〈新法算书〉
　　〈卷九十一〉














　　此外别形尚多各



　　钦定四库全书
　　新法算书卷九十二　　　明　徐光启等　撰测量全义卷六
　　论体
　　历家所重全在测量所当测者略有三事一曰线测其长短二曰面测其长短广狭三曰体测其长短广狭厚薄所以测体者何也即如交食一法日与月各有不同心本天各有最高度最高冲度其去人远近也恒不等其自相去之远近恒不等人目所见二曜之体大小恒不等若此者必于地体推之故有日与月与地三大之比例〈别有本书〉不用此比例何繇知交食之岁月日时地影〈即暗虚〉比于月体小大之数几何乎不因地月之比例何从推日轮之视体几何大去人几何远乎则何繇知日食既之有无金环乎何繇知月食过分之暗虚几何大乎何繇定食限之几何时刻乎不知地球之大何繇定东西相去几何里即交食前后相去几何时刻南北相去几何里即日食应有应无有则几何分秒乎则安得不讲于量体之法乎然则测线测面者何也曰体者诸面之积也未能测面安能测体面者又诸线之积也未能测线安能测面又测候七政行度皆以句股弧诸法诸法则皆线也诸线之积为面不知面理则亦不能晰线之体势故三测为并重也虽然测天皆曲线曲面也直线与平面何为乎曰曲线法从直线出也曲面法从平面出也犹圆体法从方体出也故繇线而面而体繇直线而曲线平面而曲面方体而圆体譬之跬步前步未行后步不可得进也是测量之全义也
　　体者面之积或实如金木土石等或空如盘池陶穹等俱同理同法
　　其界为面面居体之周〈面截面生棱如线遇线生角也又棱为两面之共界〉一面之体如球如卵



　　二面之体如半球半卵圆角圆堆



　　三面之体如剖球卵之一分



　　四面之体如三面角体而四面等
　　即三面角体第因各面俱等故属四面


　　五面之体如四面角体〈因角体之面无定数故左方不列其名〉六面之体如立方正立方斜立方
　　八面之体八面俱等
　　十二面之体十二面俱等
　　二十面之体二十面俱等〈自四六八十二二十面之外不能为等面胥无法之体也〉公量如斗如升皆足为体之量总之以立方为本如用尺寸分为度而一尺之体其长其广其袤各一尺八俱直棱八俱直角乘法一千实寸为一实尺一千实分为一实寸则以立方之体再自之耳此为物数均齐推算简易者也
　　几何原本一十一卷详解其理今略引一二如左有法之体二其上者各面俱等盖设一边即知其面其容也其次则对面为平行面或同类之体有公法如角体者是也球亦有法之体盖其径其周其外面其容之比例恒相等第以比例无尽分之数亦属次焉
　　第一体名立面体如正立方斜立方多边立体正立圆体扁圆体〈因其上下为平行面亦属等面〉公法以高乘底之积得其容〈高深两名互用〉其高之度则垂线也
　　几何原本十二卷七增题曰两平行面内之体或同高两体其比例为体与体若底与底但取同类相求以正高为据不论体势直与不直





　　又本卷三十二题曰同类之体与体〈凡比体者皆以其容积相比〉为

　　其边与边三加之比例　解曰三加之比例者四几何为同理之连比例则一与二为一加与三为再加与四为三加也〈五卷十界〉此云三加者谓体之一与二若其边之一与四也如二　四　八　十六为四几何同理之连比例其首二尾十六为三加之比例则小体之边二大体之边四其小体之容与大体之容若小边之二与大边之十六也
　　系凡同类数体测定一体之容即其容与他体之容为其边与边三加之比例设有立方体其边八其容五一二又设次体其边十二即八与十二再加之得十八三加之得二七〈其超法为一身有半〉则初体与次体若八与二十七或用三率法八与二十七若五一二与一七二六或以四率连比例之第二率再自之得数同
　　第二体名角体底广上锐如堆垛锥亭峰之类其法同也几何十二卷七题之系曰同底同高之角体与平行面体〈即同高体〉之比例若一与三法曰如方锥之底边设九则底积八十一设高十八以乘底积得一四五八以三为法而一得四八六方锥之容也又如圆堆之底周设十二尺设高五尺则先求周之径得三又十一之九相乘得四五又十一之九以四为法而一得十一又十一之五底积也以高乘之得五七实尺又十一之三以三为法而一得十九又十一之一为圆堆之容〈系凡委粟及倚垣等角体皆求立体之容三除之为角体之容〉



　　若不知其正高但知其底及棱则先求其正高
　　法曰若棱为偶数如上图得四甲乙
　　丙丁为底之四边各八又半甲丙对
　　角线十二弱戊为角顶戊甲戊乙戊
　　丁戊丙为四棱各十而求次图之中
　　长线戊己〈次图何物如上图戊甲丁丙乙为全体若从戊顶向
　　甲丙对角线平分之为二即所截之两面各成戊甲丙三角形甲丙底十〉
　　〈二弱戊甲戊丙各十以此三边求中长线戊已即角体之高〉
　　法以半底甲已自之得三十六〈句方〉以减腰方一百〈方〉馀六十四〈股方〉开方得甲已八为角体之正高馀如前若棱为竒数如五底之各边为十二棱之度为二十则先求一面之中长线〈各体有底有面有棱底之边随体无定数面则恒各为三边形形之底线即底之一边两腰即棱也〉依句股法半底边得六〈为句〉自之得三十六〈句方〉棱度自之得四百〈方〉相减得三百六十四
　　〈股方〉开方得一十九又一十三之一〈即股即面形之中长线〉次求底形之中长线用正法以五〈底之边数〉为法三百六十〈全圈之周〉为实〈几何论凡有法之形形外可作圈切形之各角形内可作圈切形之各边〉而一得七十二度为一边之弧半弧之正〈即底之半边〉为五八七七九第一率也〈内〉半边之数六为二率〈外〉半弧之馀八○九○二为三率〈内〉算得八又四之一不尽〈外〉为五边底形从心所出之中垂线又正〈内〉与半边〈外〉若全数〈内〉与半径〈外〉得一十又五之一强〈形外圈之半径〉两数并得一十八又二十之九强为五边形之中长线次以面形之中长线底形之中长线及一棱之度三线相遇成一三角形〈平分全体所分之两面〉有三边之数求中长线得一十六又半不尽为所求元体之正高
　　底之周六十半之得三十以中垂线乘之得五七二又十三之四为底积以正高乘之得九四三八三而一为元体之容得三一四六也
　　若棱之度长短不等则用最长之棱及其对面之中长线求体之正高
　　论曰角体为立面体三之一者何也如正立方体自上而下对角平分之为两堑堵毎一堑堵得正立方二之一又于堑堵之两方面自上而下对角平分之成大小二分大者为阳马得堑堵三之二小者为鳖臑得堑堵三之一则一正立方分之为堑堵得二阳马则三鳖臑则六角体者阳马也故得立面体三之一也〈说见九章算〉


　　又外切圈之半径为句棱数为用句股法求股即元体之正高〈此法甚简易但须各棱俱等乃可非公法也〉
　　截圆角体法有五从其轴平分直截之所截两平面为三角形一也横截之与底平行截面为平圆形二也斜截之与边平行截面为圭窦形〈顶不锐近底之两腰稍平行〉三也直

　　截之与轴平行截面为陶邱形〈顶曲渐下渐直底两旁为锐角〉四也无平行任斜截之截面为撱圆形五也内第一第二第五
　　〈有本〉论第三第四其面皆为一直线一曲
　　线两界之面所截体之一分皆为两平
　　面一曲面三界之体亚竒默徳备论其
　　量法然非测量所必须又各截面皆有
　　底有轴〈即中长线〉有曲线若转轴环行即径
　　线为平底界曲线为曲面界生二界之
　　体其边名曰平曲之边平曲者从曲顶
　　而下渐趋平也若以此体为空体则皆造作燧鉴之法以其浅深为光心之远近亦非测天所用未及详焉
　　第三名斗体古名方窖圆窖等其上下两面不等而相似盖角体之截分也引长其棱即相遇而成全角之体〈凡置斗体大面居下本角体之截分角体欲自立底必在下也其置截分亦然〉
　　法曰若知本角体之高即先求本
　　角体之容后求所阙截分之容相
　　减馀为元体之容假如斗体之底
　　长方一边得八一边得九则其积
　　七十二以全高二十四乘之得一七二八以三为法而一得五七六全角体之容也次置斗体上面之一边四一边四又半其积十八〈即阙分之底〉以阙分之高十二乘之得二一六以三为法而一得七二阙分之容也以减全角体其较五○四斗体之容也
　　若不知全角体之高则截体分求之
　　法曰如甲乙丙丁斗体之大面也边
　　各二十四戊已庚辛小面也边各一
　　十八用垂线截斗体从戊已边向下
　　至午未底分元体为二从辛庚边向下至申酉底从庚已至戍亥从辛戊至子丑皆如之分元体为九一居中成立面体四边四体为堑堵〈正二面一立一斜侧二面为句股〉四隅四体为阳马〈即角体亦名方锥〉各以本法求其容并为斗体之容〈堑堵以高乘底积二而一阳马以高乘底积三而一〉
　　立面体上下两面等各边十八其积为三二四以高十五乘之得四八六○堑堵〈一名句股体〉其底长方辛子三〈两面之较六折半得〉
　　〈三〉辛庚为十八乘得五十四为底积以正高乘之得八
　　一二为法而一得四○五四倍之得一
　　六二○〈四边四体故〉阳马其底各三其积九
　　以正高乘之得一三五以三为法而一
　　得五四四倍之得一八○



　　若斗面为多边形而无法或其棱不等亦用次法从上
　　边向下截成众体如图甲皆为堑堵
　　乙皆为阳马其中间无法之形则以
　　形为底分之中作一立面体馀为四
　　三边形各形有棱有高可知其容又
　　公法〈上二法遇圆体而穷〉设上下面之边与正高与两面之积法曰上下两面积各开方两根相乘得数并入两面积以正高乘之得数三而一为斗体之容如斗体各率同前下面各边二四其积为五七六上面之各边一八其积为三二四两根相乘得四三二与前两积并以高一五

　　乘之得一九九八○以三除之得六六六○斗体之容也
　　又便法〈小差而不远〉并两面之边半之自乘得数以高乘之得斗之容如前数上面边一八下面边二四并得四二半之得二一自之得四四一以高一五乘之得六六一五比前少四五其差为一四七之一耳
　　凡有法之体五其面其棱皆等其大小相容相抱与球相似〈几何十一十二十二十四卷极论此理今稍引用为比例之法〉
　　一曰四面体各面为三边等形用坚楮依图裁而合之
　　成一全体有六棱四隅
　　设各边一百因前法求
　　其容为一一七四七二
　　半　此下五则皆名法体求容凡同类之体皆依此为例以显推隐故下文称例体例边
　　二曰六面体立方也各面各棱等有十二棱八隅其面
　　为正方形设各边一百
　　因前法求其容为十万

　　三曰八面等之体各面为三边等形有十二棱六隅各
　　边设一百因几何求其
　　容为四七一四二五有
　　竒
　　四曰十二面等之体各面为五边等形有三十棱二十
　　隅边设一百其容为七
　　六八六三八九

　　五曰二十面等之体各面为三边等形有三十棱十二
　　隅边设一百其
　　容为五二三八
　　○九
　　依几何之说得一体之容可推同类〈同类者同若干面数也〉万体之容盖同类两体之容之比例与两体边上立方之比例等
　　假如置四面两体大者边设一百小者边设五十两数各再自之得一百万与一二五○○○此两数为两体之容之比例而以大不等为一百万之一二五○○○约为八之一用三率法则命分数为一率得分数为三率前所立例体之容为二率得四率为所求他体之容
　　如前数欲知五十边上小体之容以例体大边上立方一百万为一率以所求小体边上立方为二率以大体之容为三率用法得一四六八四又四之一为小体之容〈第三率大体之容于前法体求容五例内简其同类者即用之〉
　　一率　一百万
　　二率　　一二五○○
　　三率　一七七四七二半为前例所立大体之容四率得一四六八四又四之一为所求小体之容
　　又欲知十二面体之容各边二五法以同类之例体边再自之得一百万所设体之边亦再自之得一五六二五如前推之
　　一率　　一百万
　　二率　　一五六二五
　　三率　　七六八六三八九为前例所立十二面体之容四率　　得一二○○九九为所求十二面体之容
　　又设一体之容欲知其边若干因此容与他容若此边上立方与他边上立方其法以例体之容为一率设体之容为二率例体边上之立方数为三率得设体边上之立方为四率开方得根即所求边也如有一四六八四又四之一为今设四面等之容求其边若干查前例其同类之体边一百其容一一七四七二又半依三率法得立方根为五十即所求设体边数
　　一率　一一七四七二半〈例容〉
　　二率　一四六八四又四之一〈设容〉
　　三率　一百万〈例边〉
　　四率得一二五○○○为所求边上立方开得五十为所求设体之边
　　量圆球之容
　　圆球之全体见亚竒默徳圆球圆柱书并见几何一十四卷兹借数题明之
　　第一题
　　球上大平圜之积为本球圜面积四之一〈此亚竒默徳之一卷三十一题也大平圜者从大圏过心剖球体为二所分两平面是也圜面积者全球大曲面之平积也〉系　凡周乘径生球圆面之积亦生大平圜积之四倍大圜周线上方形与球圆面之比例若大圜之周线与其径　解曰如图甲乙丙丁球上之大平圜也甲丙其径〈与球径等〉己辛与圜之周线等上成己壬方形形之庚辛与甲丙径等而己壬方形外复成庚戊方形题言己庚
　　矩形为大平圜之四倍壬戊矩形与
　　庚己矩形等盖壬辛己辛同为矩方
　　形之一边戊辛辛庚亦同为矩方形
　　之一边则两矩方形必等夫己壬周
　　线上之方形也壬戊为大平圜之四倍而与球之圆面等则其比例如己辛与辛戊矣〈五卷二周与径比例之数为二二三之七一或二十二之七〉又大圜径上方形与球之圆面若圜之径与其周盖己庚矩方形与球之圆面等庚戊为径上之方形则两形之比例必若己辛周与辛戊径矣
　　二系　球径上方形与球之圆面为一与三又七一之十或一与三又七之一
　　第二题
　　径三之二乘大平圜之积生球容之数〈亚竒默徳之一卷三十二题〉解曰设大平圜之周一〈凡大测当以全数为母则易推故设周为一自之再自之恒为一〉其大径为二二三之七一其半为四四六之七一以半周二之一乘之得八九二之七一此大平圜之盈积也又以六六九之一四二〈此大径三分之二〉乘之约之为二九八三七四之五○四一得球容之数
　　又大平圜之周再自之恒为一知大圜周上立方与球容之比例何者全数为母〈即一几何谓之命分数〉是周上之立方也子数〈几何之得分数〉为球容则球容与大圜周上立方之比例若五○四一与二九八三七四而盈用小径之数得四九与二九○四
　　又球径上立方与球容之比例若二十一与一十一而盈若四二六与二二三而朒法置球径一大平圜之大积为十四分径上方之十一以径三之二乘之得四十二之二十二约之得二十一之十一为球之容又球径上立方为一则其与球容之比例为二十一与十一而盈或用朒法则大平圜之小积得四二六与二二三亦径上立方与球容之比例也〈右径上立方与球容之比例〉因前论置球之径　一求球之圜面以二十二乘径数以七除之以所得之径乘之得圆面之积〈用二十二与七而盈用二二三与七十一则朒〉　一求球之容以二十二乘径以七除之得数以径三之二乘之得球之容〈右以径求圜面积及球之容〉又径上立方与球之容若二一与一一而盈若四二六与二二三则朒　置大圜之周大圜周上之立方与球容若二九八三七四与五○四一而盈若二九四与四九则朒　置径置球之圆面相乘六而一
　　置径〈四之一乘圆面三之二三之一乘圆面二之一〉　乘大圜之积三而二或径乘积三分之二　或径三分之二乘积俱得球之容
　　或半径乘大圜积三分之二所得为球容之半　或大圜半积乘径三分之二所得亦半
　　量球一分之曲面
　　凡截球面过心其一分为全球之若干量法与全球无
　　异〈或半球或四之一或五之一俱同法〉　若截球面不
　　过心为直面而曲面界为球上之圏
　　则借天球之界以明之
　　解曰甲丁己辛为子午圏甲比己南
　　丁辛为夏至之圏从夏至圏截之甲至丁作直线用此线为半径作甲丁别圏亚竒默徳之一卷四十题曰甲丁别圏之积与丁甲辛球分之曲面等又从巳至丁作直线为他圏之半径其圏之积亦与丁己辛球分之曲面等若曲面非全球之若干
　　分则为无法之形
　　量球一分之容
　　取球之一分截面过心其曲面之界为圏亚竒默德曰想圆角体其底之圏几何与所截凸面之一分等其高为球之半径此体之容与今所解之球分等
　　如甲丁己辛球丁甲辛庚为截分丁甲辛为凸面丁庚辛庚截面过心则先求丁甲半径倍之以二二乘之以七除之所得之
　　半以半径乘之为凸面之积次以甲庚半径乘之三而一为丁甲辛庚球分之容
　　若截为直面不过心如甲丁辛之一分而求其容则先求甲丁辛凸面之积以径乘之六而一为丁甲辛庚体之容次丁辛截面至心则想丁辛庚圆角体求其容以减丁甲辛庚体之容馀为丁甲辛球分之容
　　量撱圆体之容
　　撱圆亦有法之体也又次于圆球其为体则长圆形之长径为轴旋转所生如一点直行生线一线横行生面一面上行生体平圆面以径为轴转轴环行是生圆球长圆面则有二径一长一短以长径为轴转轴环行是生撱圆之体以短径为轴转轴环行是生扁圆之体撱圆之体或名为卵体非也凡乌卵一端大一端小是为无法之体撱圆体则两端等亚竒默徳之第一卷备解此体及分角体之理今略述之
　　凡截圆球生两圆面成两圏若平分之即过心过心之截分恒相等若撱圆体从小径横截之生两平圆面因小径过心故若从其长径直截之生两长圆面即元体之长圆也若横截与小径平行亦成平圆面若斜截之则其面皆不等皆成长圆形
　　凡圆角体其底之径为撱圆体之小径其高半长径则其体之容为撱圆体四之一
　　如甲乙为长径丙丁为小径
　　即丙戊丁甲半撱圆体倍大
　　于甲丙丁角体
　　解曰小径以二十二乘之七而一小径之周也得数以乘小径四而一小径之平圆面积也得数以乘半长径圆柱之容也三而一角体之容也得数四之撱圆半体
　　之容也
　　若截面与小径平行如庚己
　　壬求撱圆分体如庚甲壬之
　　容默徳法曰先求庚壬甲角体之容次用三率法己乙〈大分之轴线〉与戊乙〈半长径线〉甲己〈小分之轴线〉并若角体甲庚壬之容与撱圆小分庚己壬甲之容
　　若求大分之容先求角体庚
　　壬乙之容次用三率法甲己
　　〈小分之轴线〉与甲乙〈长径〉戊乙〈半长径〉
　　并若角体庚壬乙之容与撱圆大分庚己壬乙之容
　　量无法之体
　　解曰以锡为正方椟各边一尺或五寸若用木则以三
　　和灰涂其罅令不漏实之以水投所
　　量物其中则水溢取出物量水减几
　　何得物之容如减一寸而椟边设一
　　尺则得一百寸为物之容盖各边一
　　尺上面积为一百寸水减一寸则为
　　一百寸若水减不及寸或过焉则量若干分以面积乘之得物之容










　　新法算书卷九十二