新法算书 (四库全书本)/卷058

新法算书　卷五十八

　　钦定四库全书
　　新法算书卷五十八　　　明　徐光启等　撰恒星历指三
　　以恒星之黄道经纬度求其赤道经纬度第一　三章
　　前论恒星以本行依黄道渐移而东既有平行经度而纬度南北移就为数甚少非历岁久远不可得见以此互相推较其经度差无时不同纬度相距远近又无从可改必至数百年后测验差数乃得依法推变也若论赤道经纬度则否星行既依黄道其向赤道时时迁改欲从赤道求之无法可得故求赤道经纬必用黄道经纬盖星之去离赤道无恒而去离黄道有恒黄道赤道之相去离也又有恒以两有恒求一无恒无患不得矣其推步则有多法或用曲线三角形依乘除三率推算为第一此初法也或用曲线三角形加减推算为第二此约法也或用简平仪量度加减推算为第三此简法也或造立成表简阅得数并免临时推算之烦为第四此因法也第一法前第一卷已备论之今所论者每具二则为第二第三法如左方若立成表作者甚难用者甚佚但恐徇末忘本则繇而不知者多矣今附载之求恒星赤道纬度前法〈即第二法〉
　　前法用曲线三角形加减推算如图有星在甲甲辛为黄
　　道纬度其馀弧甲乙为甲乙丙三角形
　　之一边辛戊为黄道经度以加戊己象
　　限得甲乙丙角又乙丙为两极距度则
　　是甲乙丙角形有甲乙乙丙两边有乙
　　角可求甲丙边甲丙之馀弧甲丁则本星距赤道之纬度也其法以三角形内之小弧加于大弧之馀弧得总弧求其正〈求纬恒用正求经恒用切线〉为先得数其总弧或正得九十度或较多或较寡若正得九十度即半先得之为次得之又以大小两弧所包之见角求其倒〈为角之弧过象限故用倒倒者对本角过弧之正〉则后得之也今用三率法为全数与次得之若后得之倒与他既得他以减先得之所存为三角形内第三弧之馀即所求赤道纬之正也
　　假如参宿腰星之西有五等小星其黄道经度于崇祯元年推得七十四度二十二分其纬度距黄道南二十三度三十二分使黄道在南距赤道二十三度三十二分〈云使者假设之数不用实分秒〉则三角形内甲乙大弧得六十六度二十
　　八分乙丙小弧二十三度三十二分甲乙
　　丙角对辛戊经度弧及戊己象限弧共得
　　一百六十四度二十二分甲辛为甲乙大
　　弧之馀弧得二十三度三十二分依法加
　　于乙丙小弧二十三度三十二分得四十七度○四分其正七三二一五为先得之即半之〈适足一象限故〉得三六六○七为次得之次求甲乙丙角之倒〈即己辛弧之〉一九六三○一〈首一者己戊全也〉为后得之依三率法以乘次得之三六六○七得七一八五九为他以减先得之七三二一五馀一三五六为甲丙弧之馀即甲丁弧之正为本星距赤道圏纬度四十六分三十五秒若三角形内之总弧过一象限即次得之非折半可得法以大弧之馀弧减小弧所存求其以加于先得之总半之为次得之其后得者甲乙丙角之倒依前用三率法但所求得之他若小于先得之其法同前若等则所求三角形内第三弧之正为九十度之而星必在赤道上无距度若他大于先得之则以小减大〈不论何但以小减大〉馀为本星距赤道之
　　假如毕宿大星于崇祯元年距黄道
　　南五度三十一分在甲其黄道经度为
　　辛戊六十四度三十五分三十秒即甲
　　乙为大弧八十四度二十九分乙丙为
　　小弧二十三度三十一分三十秒〈两极之距度〉两弧所包甲乙丙角一百五十四度三十五分三十秒依法以大弧甲乙之馀弧甲戊五度三十一分加于小弧乙丙二十三度三十一分三十秒共得二十九度○二分三十秒求其四八五四四为先得之总又以馀弧甲戊减小弧乙丙存一十八度○分三十秒其三○九一五以加先得之总四八五四四得七九四五九然后半之得三九七二九为次得之其后得者甲乙丙角之倒一九○三二八依三率法以乘次得之三九七二九得他七五六一四因他大于先得之故于他内减先得之四八五四四存二七○七○查得十五度四十二分为甲庚弧是本星距赤道之度
　　若总弧不及一象限则如前求先得之总次以小弧减大弧之馀弧所存查其正又以减先得之所存半之为次得之其馀同前第一法
　　假如崇祯元年大角星距黄道北三十
　　一度○二分三十○秒其经度过秋分
　　一十九度○二分三十○秒其两弧间
　　之角甲乙丙得一百○九度○二分三
　　十秒而甲乙大弧五十八度五十七分三十秒乙丙小弧二十三度三十一分三十秒今大弧之馀弧甲己三十一度○二分三十秒以加乙丙二十三度三十一分三十秒得五十四度三十四分其八一四七九为先得数又甲己内减乙丙小弧存七度三十一分其一三○八一以减先得之存六八三九八半之得三四一九九为次得之次依三率法以乘甲乙丙角之倒一三二六一二得四五三五一为他以减先得之八一四七九存三六一二八为本星距赤道之查得甲己弧二十一度一十○分五十四秒
　　求赤道纬度后法〈即第三法〉
　　后法用简平仪或量度或加减推算〈简平仪者以圆平面当浑仪也圆平面者以极至交圈为界作过心平面也以面当球与平浑仪同意论球则半在面前可见今以直线当弧半在面后不可见其直线当弧与前半同理下文言某线为某弧或言前弧后弧等俱本此〉量度者用规器量度所有之见度分即于分度等圈上量取所求之隐度分也加减者亦于本仪取数其算法即前法也量度则省算然每星当作一图亦不能得细分秒加减则一图能算多星可省图可得细分秒特未免乘除之烦总之先得各星之黄道经纬度即从星作直线与赤道平行至外周从线尾起算至赤道为本星之赤道纬度弧可量亦可算也今并具二法用者择焉试先解仪上诸线如丙壬寅子大圈为极至交圏壬丑线为赤道大圏辛寅线为黄道大圏春秋二分俱在癸若星距黄道北则辛为夏至寅为冬至星距黄道南则寅为夏至辛为冬至今所测星为乙癸甲线为星之黄道纬度对丙
　　辛弧甲乙线为星之黄道经度对
　　辰卯弧丙乙子线为过星之距等
　　小圏与黄道平行丙卯辰子即过
　　星距等圏之半在仪上为立面与
　　仪面为直角在弧为丙卯辰子在仪面为丙乙甲子自人视之卯即乙辰即甲也卯辰为星之黄道经度弧夫卯即乙乙即星若有乙丁线与赤道平行截极至交圏于午即从午至赤道壬为所求本星之赤道纬度弧矣今用规器量度则先定黄道纬度之丙辛弧经度之辰卯弧从经纬线相交之乙星上出乙午线则壬午弧必所指赤道距度也以加减推算则用直线三角形先从丙出垂线至己半之得己戊从戊作线与丁乙平行必至甲〈丙甲为丙子之半故丙戊为丙己之半〉又从子出子己底线偕丙己垂线作丙己子直角即成三角形者三而求丙丁以减丙庚正存丁庚为星之赤道纬度假如乙为句陈大星其黄道经于崇祯元年为八十三
　　度二十五分二十七秒黄道纬六十
　　六度○二分当用第二图推本星距
　　赤道之纬度法以星距黄道之丙辛
　　〈六十六度○二分〉加于黄道距赤之壬辛〈二十〉
　　〈三度二十一分三十○秒〉得丙壬弧八十九度二十三分三十秒其正丙庚九九九九七今欲推己庚线〈己庚者子丑弧之正子丑者星距等圏近赤之弧〉法以黄道距赤之丑寅〈二十三度三十一分三十○秒〉减星距黄道之子寅〈六十六度○二分〉得丑子弧四十二度三十分三十秒其正己庚六七五六九以减丙庚馀丙己三二四二八半之得丙戊一六二一四又勾陈黄道经度甲乙八十三度二十五分二十七秒以减全数十万〈一率〉存乙丙六五八〈二率〉以乘丙戊〈三率〉得一○六为丙丁〈四率〉也次以一○六减丙庚正得丁庚九九八九一其弧八十七度一十九分为勾陈大星距赤道之度其比例甲丙与乙丙若戊丙与丙丁也更之甲丙与戊丙若乙丙与丙丁〈几何六卷四〉算恒星赤道纬度以右法为例若各星纒度不同即加
　　减法亦异今为六图略率论次如
　　左
　　凡星距黄道北其纬在二十三度
　　三十一分三十○秒以内其黄道
　　经度自春分起至秋分止用第一
　　图推算或星距黄道南亦在二十
　　三度三十一分三十秒以内而经
　　度过秋分至春分止者同
　　凡星距黄道北过二十三度三十
　　一分三十○秒而不过六十六度
　　二十八分三十○秒〈在本象限之内〉其黄
　　道经度自春分至秋分用第二图
　　推算若星距黄道南过二十三度
　　三十一分三十○秒又不过六十
　　六度二十八分三十○秒而过秋
　　分至春分者同
　　凡星在黄道北其纬过六十六度
　　二十八分三十秒经度自春分至
　　秋分用第三图推算若在黄道南
　　纬度同前而经度自秋分至春分
　　亦用三图为两至距赤度星距黄
　　度并之〈壬丙弧也〉过九十度而丙庚正
　　亦不在癸辛象限之内故
　　凡星距黄道南二十三度三十一分三十○秒以内而经度自春分至秋分用第四图若星距黄道北亦二十三度三十一分三十○秒以内而经度自秋分至春分者同
　　凡星距黄道南过二十三度三十一分三十○秒而不过六十六度二十八分三十○秒其经度自春分至秋分用第五图若星距黄道北纬度同上而经度反过秋分至春分亦用五图
　　凡星距黄道南过六十六度二十
　　八分三十○秒其经度自春分至
　　秋分用第六图若星距黄道北纬
　　度同前而经度自秋分至春分即
　　壬丙总弧过九十度亦用六图总之星距黄道之弧任在南在北其与黄赤距弧于图右推算即相加于图左推算即相减为恒法也
　　凡星黄距度大于黄赤距度则以其较弧之正减先得总弧之正若小则以较弧之加先得总弧之正如第三图子寅〈星黄距〉大于丑寅〈黄赤距〉则以其较弧〈子丑〉之正〈子未或己庚〉减丙壬总弧之正丙庚而得丙己若小如第一图子丑〈星赤距〉为寅丑〈黄赤距〉之较弧则以较弧之正庚己加丙壬总弧之正丙庚而得丙己凡星黄距黄赤距之总弧大于一象限用其通馀弧之正如第三图壬丙过九十度壬丙丑为通弧丙丑为通馀弧则用其正丙庚
　　凡星之经度弧少不及二至圏则取其正加减于全数以得其馀矢若大而过二至之圏则取其通馀弧之正求其馀矢求法在前三图用减在后三图用加如各图从甲辰分节起算至卯乙辰卯为经度弧其正甲乙〈俱在前半圏〉若过至节之界或子或丙至卯乙则卯辰为经度之加弧〈在后半圏〉又前三图内甲乙减甲丙得乙丙后三图内加之得乙丙皆为馀矢也〈以正减半径为馀矢大弧过九十度其限外弧为加弧并九十度为过弧〉
　　各图皆以丙丁减丙庚正惟星在两道间如第四图丙丁大于丙庚则以丙庚减丙丁而得丁庚〈赤道纬〉其馀法简各图自明
　　求恒星赤道经度前法〈第二法〉
　　前法求纬度用曲线三角形并两腰分盈缩适足三等加减得之此为黄经纬求赤经纬以二求二故也既得赤纬则以三求一故不拘大小皆归一法止用两纬度之馀弧及见角之馀角以推他角所对赤道经度之馀弧如图甲丙为星赤道纬之馀弧甲乙为黄道纬之馀弧
　　甲乙丙为对黄经度之见角丁乙庚其
　　馀角是甲乙丙三角形内有三边有乙
　　角今求甲丙乙他角以推戊己是为赤
　　道经度之馀弧
　　假如甲为大角星其赤道纬于崇祯元年得二十一度一十分五十一秒为甲戊其馀弧甲丙六十八度四十九分得正九三二四四为第一率黄道纬三十一度○二分三十秒为庚甲其馀弧甲乙五十八度五十七分三十秒得正八五六七九为第二率其黄道经度过秋分辛一十九度○二分三十秒为辛庚即甲乙丙角之馀弧庚丁必七十度五十七分三十秒得正九四五二八为第三率求得八六八五六为戊己弧之正查得戊己弧六十度一十七分三十○秒以减象限存二十九度四十二分三十○秒为大角星秋分后之赤道经度
　　求赤道经度后法〈第三法〉
　　用简平仪与前求纬法同今所求者为辰卯弧而先得者赤黄二纬度故三角形之底线与黄道平行星纬弧与两道距弧在图之左即相加在图之右即相减
　　如图乙为勾陈大星其黄道纬六
　　十六度○二分其先得之赤道纬
　　甲癸八十七度一十九分辛壬为
　　黄赤距弧〈二十三度三十一分三十秒〉以加赤
　　道纬度弧壬丙〈八十七度一十九分〉得辛丙〈一百一十度五十分三十秒〉总弧其通馀弧丙寅之正〈九三四五七〉为丙庚也又因星在图之右应以星纬弧两道距弧相减得〈六十三度四十七分三十秒〉为寅子弧其正〈八九七二○〉为子未或己庚以减丙庚正馀〈三七三七〉为丙己半之存〈一八六八〉为丙戊今本星黄道纬弧〈六十六度○二分〉为辛午其〈九一三七八〉为丁庚以减丙庚正得丙丁〈二○七九〉因以丙戊为第一率丙甲全数为第二丙丁为第三得丙乙〈一一一二九六〉去其首位〈丙甲全数〉存〈一一二九六〉为甲乙所对辰卯弧〈六度二十九分一十秒〉即本星之赤道经度并求恒星赤道经纬度〈第四法〉
　　依前法用立成表可并求经纬度且省算如图星在甲其黄道纬甲丁经丁庚而求赤道纬甲乙经乙庚即用此
　　两曲线三角形取之其法于甲乙丙三
　　角形内因三表可得甲乙弧为赤纬及
　　丙乙弧以得乙庚赤经先用赤道升度
　　表查取相当之黄道经度如图戊庚为
　　赤道弧辛庚为黄道弧今反之以辛庚为赤道即原黄道之丁庚升度今以当赤道之弧即可得相当之庚丙上度也次以黄赤距度表用其经弧查其纬弧既得经弧之度丙庚即知两道相距之纬度丙丁也更用过极圏截黄交角表因辛庚当赤道即星上过极之壬丙弧截见当黄道之戊庚弧于丙则得甲丙乙交角次以黄纬甲丁加两道距丁丙得甲丙为第一三角形之弧夫甲乙丙既为直角又有后得之甲丙乙角即先推甲乙
　　弧为星之赤道纬后得乙丙以减先得
　　之丙庚存乙庚为星距分节之经弧
　　假如娄宿东星于崇祯元年距黄道北
　　〈九度五十七分〉距春分节〈三十二度二十九分四十八秒〉为见
　　当赤道上之黄道升度丁庚也而在大梁宫查升度表于大梁宫得其度分其相当者为见当黄道上之度〈三十四度四十八分〉庚丙也又用两道距度表以庚丙弧四度四十八分于大梁宫查其相当之距纬得〈一十三度一十○分〉为黄赤距度丙丁又以庚丙弧之度分于交角表查大梁宫之四度四十八分得〈七十度二十○分二十四秒〉为甲丙乙角今以甲丁〈九度五十七分〉加于丁丙〈十三度一十分〉得〈二十三度○七分〉为三角形之弧甲丙其正〈三九二六○〉为第二率甲丙乙角之正〈九四一六七〉为第三率甲乙丙直角全数为第一率求得〈三六九九九〉为四率即甲乙弧之正查得〈二十一度四十二分五十三秒〉为本星距赤道之纬弧又以甲乙丙角全数为一率甲丙乙馀角〈一十九度三十九分三十六秒〉之〈三三六四四〉为二率甲丙弧之切线〈四二六八八〉为三率而求乙丙底弧之切线得〈一四三六四〉为四率查得〈八度一十分二十六秒〉以减庚丙弧〈三十四度四十八分〉存〈二十六度
　　三十七分三十四秒〉为本星赤道之经弧乙庚
　　若经少纬多星越赤道极之轴线戊丁
　　而近黄道极法当先用升度表次用黄
　　赤距表又次用交角表以三率求乙丙
　　则甲丙乙角之馀与甲丙弧之切线相乘得数为乙丙弧之切线内减先升度表所取之丙丁弧馀丁乙以减三百六十度所馀环周之大丁乙即赤道经也再以丙角甲丙正相乘得数即赤道纬甲乙
　　若黄纬过九十度之外诸法同前但去九十度而用零数法以零数之馀弧取其正乘丙角之正得甲乙纬又以零馀弧之切线乘两角之馀得丙乙之馀切线又以所去九十度加丙乙内减升度丙丁所存以减全周所存通弧为本星之赤道经度
　　假如紫微垣新増少弼外南星其黄经五十○度○九
　　分黄纬八十○度三十八分查升度表
　　得五十二度三十五分为丙丁查距度
　　表得一十八度二十九分为丙己查交
　　角表得七十五度一十二分为丙角今
　　以距度丙己加黄纬甲己得甲丙九十九度○七分为过象限则去九十度独用其零数九度○七分以其馀弧八十○度五十三分查八线表得九八七三七为正以乘丙角之正九六六八二得九五四五○一为赤纬甲乙之正查得七十二度三十九分又查零馀弧八十○度五十三分其切线六二三一六○以乘丙角之馀二五五四五得一五九一○六为丙乙之馀切线查得三十二度○九分以加前所去九十度得一百二十二度○九分内减升度丙丁五十二度三十五
　　分存六十九度三十四分以减全周三
　　百六十存二百九十○度二十六分为
　　本星之赤道经度
　　若星在黄赤道之间法以黄纬减黄赤
　　距度其馀同前用相乘之数减丙丁所得数为赤经数若星在两道南丙丁为赤经法当以乘出之乙丙数加乙丁为赤道经度是黄经短赤经长也
　　前所求在降娄大梁实沈三宫则可若
　　在鹑首鹑火鹑尾其法异是何也此星
　　方位出象限之外经度已转过至节故
　　前减者此宜加前加者此宜减又前黄
　　纬过九十度即越北极轴线故减于三百六十度内方得所求今从春分转至秋分虽过九十度而无轴线可越〈不得至黄南极故也〉故不必减于全周自秋分以往对待六宫如寿星至娵訾俱同前法但星在南左用北右法星在南右用北左法此为异耳
　　以度数图星象第二　三章
　　平浑仪义
　　古之作者造浑天仪以准天体以拟天行其来尚矣后世増修递进乃有平面作图为平浑仪者形体不甚合而理数甚合为其地平圏地平距等圏及过天顶横截之弧与天夫黄赤二道黄赤距等圏及过两极横截之弧皆确应天象故以此言天特为著明能毕显诸星之经纬度数也历家称为至公至便超绝众器今详其应用多端不后于浑仪其要约简易则胜浑仪且浑仪所用大环欲其纤毫不爽势不可得未若平面之直线当一环圆界当一环直者必直圆者必圆无可疑也然论其本原即又从浑仪出何者凡于平面图物体若依体之一面绘之定不合于全体必依视学以物影图物体或圆或方或长短各用其远近明暗斜直之比例则像在平面俨然物之元体矣但光体变迁出光之处无数则所作影亦无数而受影之半面有正有偏则影之变态又无数故视学家分为二品一为有法物像一为无法物像〈以可用为有法不则无法〉今论浑仪之影能生平仪仪本于此必求平面之上能为实用可显诸曜之度数以资推算者则为有法而于诸无法像中择其有法者特有三一设光于最远处照浑仪正对春分或秋分则极至交圏为平面之圏界以面受影即显赤道及其距等圏皆如直线而各过极经圏皆为曲线之弧此有法之第一仪也次设光切南极则赤道为平面之圏界诸赤道距等皆作平面上圆形而极至交圏又如直线此为有法之第二仪也又次设光切春分或秋分在极分圏与赤道之交则亦以极至交圏为平面之圆界以面受影即赤道与极分交圏为直线而其馀皆为曲线之弧此有法之第三仪也今绘星图惟用第二仪次则第三以其正对恒星之度其第一仪不用也为是平浑所须并论之总星图义
　　设浑仪以北极抵立平面其轴线为平面之垂线有光或目切南极正照之仪上设其影或像必径射于平面即北极居中设点之影去北极渐远者其在平面之两
　　距亦渐远乃至南极则为无穷影终不及
　　于平面矣又平面之上北极所居为过
　　两极轴线之影为浑仪众圏之心平面上
　　诸赤道距等圏离此愈远即其影愈宽大
　　至近南极者则平面无可容之地也假有
　　浑仪为甲丙乙丁甲为南极乙为北极以
　　乙极抵丑乙子平面有光或目在甲极先
　　照近北极之圏辰己即其影自己迄辰为
　　本圏之全径因以乙为心己辰为界即平
　　面作圏准浑仪之实环也又照夏至圏癸壬之圆界其影至卯寅即以卯寅为径次照赤道圈丙丁之圆界影至己戊以己戊为径各如前作圏各得准其本环次有冬至圏辛庚虽近甲南极小于赤道之丙丁圏而影在平面为丑子反大于赤道影己戊盖乙甲丑角大于乙甲己角故也若至午未南极圏其影在平面更远而终竟可至惟甲南极为左右直影与子丑平行终不至于平面也今作星图不用两至两极圏独用赤道之左右度分度分近乙北极即平面上影相距亦愈近远亦愈远经度既尔纬度亦然盖经度从心向外出线其左右各侣线愈远心相距亦愈广纬度从心向外作圏其内外各侣圏愈远心相距亦愈宽也问经度远心即愈广易见矣何以知星之纬度在平仪之上愈远心相距愈宽乎曰以几何徴之设有甲乙丙丁圏以全径甲丙抵戊己平面为垂线若平分圏界如一十二从甲出直线各过所分圏界至戊己庚辛平面上各得戊庚宽于庚辛面庚辛又宽于辛壬馀线尽然盖
　　从甲出各侣线至平面以各㡳线连之其各腰与各底为比例则甲庚与庚辛若甲壬与壬辛也今甲庚大于甲壬则庚辛必大于辛壬〈见几何第六卷第三题〉试以丙为心作壬辛庚三侣圏其在仪各所分圏界则为距等而壬辛之相距与辛庚之相距广狭大异矣依此作图则去心远者各所限经纬度渐展渐大与近心者不等而经纬度之比例恒等即所绘星之体势与天象恒等不然者经度渐展纬度平分依经纬即失体势依体势即失经纬乖违甚也斜圏图圆义
　　浑仪诸圏有正有斜正者如赤道圏赤道距等圏及诸过极经圏也斜者如黄道圏地平圏及其各距等圏也以视法作为平面图设照本〈或光或人目〉在南极则正受照之圏影至平面必成圏形或直线如前说矣若斜受照之圏其影在平面当作何形像乎此当用角体之理明之按量体法〈测量全义六卷〉中论角体有正角有斜角两者皆以平圆面为底皆以从顶至底心之直线为轴线其为正与斜则以垂线分之若自角下垂线至底与轴线为一如第一图甲乙垂线即甲丙丁戊角形之轴线则甲丙
　　丁戊为正角体若两线相离如第二
　　图甲己为轴线甲乙为垂线则甲丙
　　戊庚丁为斜角体也更以斜角体上
　　下反截之为甲辛壬小角体〈既斜截为上下
　　两体更若从轴线自上而下纵截之为两平分其截面三角形大小比例〉
　　〈相似则名反截之角体若不合比例则为无法〉依斜角体之本理则小体之底与大体之底相似不得不成圆形今欲推黄道等斜圏不能正受照本之光则于平仪面所显何像法依第二斜角图以甲当南极照本之壬辛为浑仪上斜圏丙
　　戊庚为平面上斜圏之影次用三图徴
　　为圆影焉
　　假如甲乙丙为极至交圏甲当南极为
　　照本之点斜受光之圏为乙丁从甲照
　　之过乙丁边直射至己戊平面为甲己
　　甲戊两线即得甲己戊及甲乙丁皆直
　　线三角形此为浑仪平面形影之体势
　　以角体法论之己戊为乙丁圆圏之影
　　即甲己戊为全角体而甲乙丁其反截之小角体矣又甲丙垂线非甲庚枢线即甲己戊为斜角体而己戊其底自与甲乙丁小角体其底乙丁各相似也
　　问反截之角体与平面所得三角形何云两相似乎凡相似两三角形必三角各等三边之比例各等此有诸乎曰有之甲为共角从乙作直线至辛与己戊为平行即甲丙之垂线而甲乙辛角与甲己戊角俱在平行线上必等又甲乙辛甲丁乙俱在界乘圏之角而所乘之甲乙甲辛两弧等
　　即两角必等而甲丁乙与甲己戊两角亦等其馀角甲乙丁及甲戊己亦等则乙丁小角体之底与其所照平面上之己戊必相似也凡斜圏之弧近于照本其影必长距远则短如从南极照黄道斜圏其半弧乙在赤道南近甲即甲己必长于甲戊然分较之虽南影长于北影合较之则平面上圆影不失黄道之圆影矣问以视法图黄道既为圆形从何知其心乎曰从照本之出直线为斜圏径之垂线引至平面则黄道之心也盖本图大小三角形既相似而甲丙与甲庚两线又相离即各分为两三角形各相似其甲丙戊与甲丙己一偶也甲辛乙与甲辛丁一偶也是以甲己庚角与己甲庚角等而甲庚线与庚己线亦等又甲戊庚角与戊甲庚角等何者因前图得己角与丁角等此
　　图得丁角与乙甲辛角等即己角与乙甲辛角亦等因得乙戊两角等又得乙角与庚甲戊角等即戊角与庚甲戊角亦等而戊庚与甲庚两线亦等因得戊庚与庚己两线等而庚为己戊径之心
　　绘总星图第三
　　古法绘星图以恒见圏为紫微垣以恒隐圏界为总图之界过此南偏之星不复有图矣西历因恒见圏南北随地不同又渐次不同故以两极为心以赤道为界平分为南北二图以全括浑天可见之星此两法所繇异也赤道平分南北二总星图
　　以规器作赤道圏即本图之外界也纵横作十字二径平分为四象限限各九十又三分之分各三十又五分之分各六又六分之分各一此为全周三百六十度矣次从心至界上依度数引直线为各经度其作纬度有二法一用几何则依界上经度于横径之左定尺于横径之右上下游移之每得一界限度〈界限度者或一度二度为一限或五度十度为一限以至九十〉即于直径上作识则直径上下所得度与界
　　限度各相应而疏密不等经纬相
　　称矣用数则依切线表求界限度
　　之相当数以规器取之〈用比例规甚便无规
　　先作半径百平分之用以取数〉若表中求一十度
　　即径上下得二十度表中求二十
　　径上下得四十所得比所求恒多一倍也
　　假如欲依界限度以分径如第一图甲乙丙丁为赤道所分径为甲丙于乙上定尺从右径末丁向上移尺至一十二十等限于甲丙径上作戊己等一十二十诸识各识愈离心其侣距愈远矣若以数分之依第二图如求四十度癸庚则表中查二十度之切线相当数为三十六用规器向庚辛直线取庚子三十六移至甲乙径上自中心乙至己
　　为三十六即得四十度矣盖以丁为心作乙丙象弧其半弧乙壬之切线为平面之半径甲乙即乙己为二十度弧乙戊之切线若引丁戊割线至庚则癸庚得四十度与前法合也
　　见界总星图
　　见界总星图者以北极为心以恒隐圏为界此巫咸甘石以来相传旧法也然两极出入地平随地各异而旧图恒见恒隐各三十六度三十六者嵩高之北极出地度耳自是而南江淮间可见之星本图无有也更南闽粤黔滇可见之星本图更无有也则此为嵩高之见界总图而非各省直之见界总图也又赤道为天之大圏其左右距等侣圏以渐加小至两极各一耳于平面作图而平分纬度自极至于赤道纬度恒平分而经度渐广广袤不合即与天象不合向所谓得之经纬失之形势得之形势失之经纬者也况过赤道以南其距等纬圏宜小而愈大其经度宜翕而愈张若复平分纬度即不称愈甚其相失亦愈甚矣今依此作图宜用滇南北极出地二十度为恒隐圏之半径以其圏为隐见之界则各省直所得见之星无不备载可名为总星图矣又依前法为不等纬距度向外渐宽则经纬度广袤相称而星形度数两不相失矣但前以赤道为界设照本在南极所求者止九十纬度则所用切线半之止四十五度至赤道止矣用为平图之半径经纬度犹未甚广足可相配若此图则否其半径过赤道而外尚七十度并得一百六十度半之为八十度从南极出直线必割圆八十度乃合于百六十度之切线也此其长比赤道内之半径不啻五倍经纬皆愈出愈宽以比近北极之度分大小殊绝矣如图甲为平图之心乙为南极甲丙
　　为半径亦即为
　　四十五度甲戊
　　弧之切线若从
　　乙出直线割八十度之弧甲丁然后与甲丙引长百六十度之线遇于己其长于甲丙几及六倍也如是而依本法作图若图幅少狭即北度难分若北度加宽即图广难用矣今改立一法设照本稍出南极之外去极二十度起一直线以代乙己其与甲丙之引线不交于己而稍近丙以敛所求之度定平图之半径则广狭大小皆适中矣但照本所居宜有定处去极远则切线太促不能分七十度之限太近则半径过长略同前说也今法如上图甲为平图之心欲其外界出丙己壬赤道之
　　外远至七十度先
　　求照本随所照光
　　图之作甲丙直线
　　去赤道径甲癸七
　　十度正次作乙丙
　　垂线为二十度之正次作丙丁线为二十度之切线令丁在南极之外为照本则甲丙与乙丙若丙丁与乙丁何者甲乙丙乙丙丁两三角形相似故也次引丁丙切线与甲癸之引长线遇于辛则辛定百六十度之限为平图之半径矣次以纬度分甲辛线恒令丁戊与戊己若丁甲与甲庚则赤道内庚分向北之纬度赤道外庚分向南之纬度也欲得各丁戊线以加减取之向南距度之正以减甲丁割线得小丁戊因得大甲庚向北距度之正以加甲丁割线得大丁戊因得小甲庚也盖正虽在癸己左右因甲戊其平行线即与正等故〈左边为北右边为南〉
　　问赤道纬度其内
　　外广狭既尔不齐
　　则欲作黄道圏用
　　何法乎曰此因照
　　本不切南极以照
　　黄道斜圏之边不能为直角即不能为轴边之心而有二心故其影不能为正圆而微成撱圆与前南北平分总图稍异法也当于甲辛径上从赤道向内数黄赤距二十三度三十一分三十○秒若所得为子午即作午壬直线平分之于未从未出垂线向甲辛径上得黄道向北半圏之心为下庚而其边依纬度之狭则小次于赤道外自癸至辛数得二道距度如前求得黄道向南半圏之心为上庚其边因纬度之宽则大也
　　极至交圏平分左右二总星图
　　前分有法物象三仪其第一照本在最远者星图所不用其用者第二第三也第二法照本在南极以赤道圏为平面界则前说赤道平分二图是己第三法照本在二分以极至交圏为平面界今解之设照本切春分即用所照平面之心以准秋分以极至交圏为界赤道圏极分交圏则为直线诸赤道距等圏诸过极经圏则为曲
　　线之弧以此定经纬度及半天恒
　　星之方位也又设照本切秋分则
　　以春分为心其馀圏影皆同上可
　　定馀半天恒星之方位矣图法先
　　作极至交圏为图界假设甲乙丙
　　丁圏为赤道〈本极至交圏假为赤道借用第一图〉平分三百六十度借丙为赤道与极分圏之交从丙向己庚等边界引直线过乙丁径作辛壬等识即各过极圏之经度限也次即用甲乙丙丁圏为极至交圏〈即第一图〉则甲辛丙甲壬丙等
　　过极经圏之弧可定恒星之赤道
　　经度矣次欲作赤道距等圈先假
　　设甲乙丙丁为极分交圏〈本极至交圈假
　　为极分借用第二图借乙〉为赤道与极分
　　圈之交从乙向己庚等边界引直
　　线过甲丙径上作辛壬等识即各赤道距等圏之纬度限也次即用甲乙丙丁为极至交圏〈即第二图〉则己辛庚壬等皆赤道距等之弧而丁戊乙为赤道可定恒星之赤道纬度也若欲以黄道为心作图则以乙丁线当黄道甲丙为黄道之两极而乙丁上下距等之弧皆可定恒星之黄道纬度平面界圏亦为过黄道极之经度圏如前所作赤道平分二图皆改赤道极为黄道极赤道面为黄道面皆可定恒星之黄道经纬度也
　　恒星有等无数第四　三章
　　恒星以芒色分气势以大小分等第所载者有数不能载者无数可尽也今略论其体等及其大数别定黄赤二道之经纬度作图作表如后卷
　　恒星分六等
　　古多禄某推太阳太阴本体之容积先测其视径及月食时之地影及地球之径容展转相较乃能得之〈详见三大论〉后巴徳倪借用其法以考五星及恒星离地之远又测诸大星之视径如图甲辛为太阳离地之远其视径甲乙为太阳居最高及最高冲折中之半径也今设丙为镇星其离地为辛丙即太阳之半径至此见如丙戊而
　　镇星居此所见大仅得
　　太阳视半径一十八分
　　之一为丙丁用三率法
　　辛丙与丙戊若辛甲与甲乙次以地径推得丙戊总线数即可得丙丁分线数古法推七政及恒星之体大略如此盖因其视径及距地之远可得浑体之容积也但恒星已知离地最远而无视差可考止依其视径以较五星即其体之大小十得七八矣第谷则以镇星较之因测镇星得其视径一分五十秒亦微有视差为一十五秒弱推其离地以地半径为度得一万○五百五十因得其全径大于地之全径二倍又一十一分之九是镇星之浑体容地之浑体二十有二矣此测为镇星居最高最高冲折中之数也若在最高测其距地为地半径一万二千九百〈后论五星更详此理〉而恒星更远居其上设加一千即约为一万四千因以所测之视径分其等差○先测明星如心宿中星大角参宿右肩等其视径二分即得大地四径有奇何也因设星离地一万四千依圏界与圏径之比例〈径七围二十二〉即星所居之圏界得八万八千三百六十分之每度得二百四十四○九分之四又六十分之每分得四视径二分得八有奇是恒星之全径二分当浑地之八半径也即四全径也又以立圆法推之即此星浑体之容大于浑地之容六十有八倍此为第一等星也此一等内尚有狼星织女等又见大一十五秒其体更加二十馀倍若见小一十五秒如角宿距星等即反之其体减二十馀倍
　　次测北斗上相北河等其视径一分三十秒设其距地与前等推其实径大于地径三倍有奇而其浑体大于地之浑体二十八倍有奇此为第二等
　　又次测娄箕尾三宿等星其视径一分○五秒依前距地之远其实径大于地径二倍又五分之一其体大于地体近一十一倍为第三等
　　又次测参旗柳宿玉井等星其视径四十五秒其实径与地径若三与二其体大于地体四倍有半为第四等又次测内平东咸从官等小星得视径三十秒其实径与地径若五十与四十九其体比于地体得一又一十八分之一为第五等
　　又次测最小星如昴宿左更等得视径二十秒其实径与地径若一十五与二十二即其体比于地体得三分之一为第六等
　　右恒星相比约分六等若各等之中更有微过或不及其差无尽则匪目能测匪数可算矣
　　问前言恒星居镇星之上离地皆等故依其视径以推其体之大小则不等若设其远近不等即其实径不随其视径从何推知其体乎曰假令诸恒星之体实等因其中更有远近不等故见有大小不等即以六等星比第一等所见小大乃尔必更远于前率十馀倍矣盖测此大小星比其视径如天田西星与大角星差一分五十五秒即其远近距当得一十四万一千大地之半径与镇星最高及大角之距地略等此中空界安所用之且小大彬彬杂以成文物之理也若何舍此而强言等体乎七政恒星远近大小皆从视径视差展转推测理数实然无庸不信然而宏阔已甚犹有未经测算难于遽信者焉况此远近等体之说非理非数则是虚想戏论而已又谁信之哉
　　恒星无数
　　自古掌天星者大都以可见可测之星求其形似联合而为象因象而命之名以为识别是有三垣二十八宿三百座一千四百六十一有名之星焉世所传巫咸石申甘徳之书是也西历依黄道分十二宫其南北又三十七像亦以能见能测之星联合成之共得一千七百二十五其第一等大星一十七次二等五十七次三等一百八十五次四等三百八十九次五等三百二十三次六等二百九十五盖有名者一千二百六十六馀皆无名矣然而可图者止此若依法仰观所见实无数也何谓依法今使未谙星历者漫视之漫数之樊然淆乱未足实证其无数也更使谙晓者按图索象则依法矣如是令图以内之星悉皆习熟若数一二然而各座之外各座之中所不能图不能测者尚多有之可见恒星实无数也更于晴明之夜比蒙昧之夜又多矣于晦朔之夜比望之夜又多矣以秋冬比春夏又多矣以利眼比钝眼又多矣至若用远镜以窥众星较多于平时不啻数十倍而且光耀粲然界限井然也即如昴宿传云
　　七星或云止见六星而实则三
　　十七星鬼宿四星其中积尸气
　　相传为白气如云耳今如图甲
　　为距星乙为本宿东北大星其
　　间小星三十六了然分明可数也他如
　　牛宿中南星尾宿东鱼星传说星觜宿
　　南星皆在六等之外所称微茫难见者
　　用镜则各见多星列次甚远假如觜宿南一星数得二十一星相距如图大小不等可徴周天诸星实无数也天汉
　　浑天众圏有大有小如黄赤二道过极经圏极至极分交圏地平圏等凡与地同心者皆大圏也如冬夏二至圏常见常隐圏各距等圏凡与地不同心者皆小圏也若天汉者论其界不可谓圏凡圏以圆线为界此以广面为界故也论其心实与黄赤二道相等不可谓非大圏盖其心必同地心且两交黄道两交赤道旁过二极皆一一相对正与黄道相反斜络天体平分为二故也欲测其广无定数大约两至之外广于两至之中从天津又分为二至尾宿复合为一过夏至圏以井宿距星为限正切鹑首初度过北极西距二十三度半前过冬至圏则星纪初度约居其中又转至南极东距亦二十三度半而复就夏至总为过两至与黄道相反之斜圏也古多禄某测其两涯所过星宿与近世不异在赤道北则从四凟始南三星当其中北一星不与焉次水府次井西四星切其左边天关一星五车口切其右更前积水在左大陵从北第二星在右王良所居在其中若洲渚然次天津横截之两端平出其左右河鼓中星在右其对边为天市垣齐星此赤道北两涯所经诸星也在赤道南者以天弁东星为界次斗第三星次箕南二星其对边则天市垣宋星尾宿第一星而入于常隐之界迨过南极以来复起于天稷过弧矢天狼以至赤道此为赤道南所经诸星也
　　问天汉何物也曰古人以天汉非星不置诸列宿天之上也意其光与映日之轻云相类谓在空中月天之下为恒清气而已今则不然远镜既出用以仰窥明见为无数小星盖因天体通明映彻受诸星之光并合为一直似清白之气与鬼宿同理不借此器其谁知之然后思天汉果为气类与星天异体者安能亘古恒存且所当星宿又安得古今寰宇觏若画一哉甚矣天载之玄而人智之浅也温故知新可为惕然矣



　　新法算书卷五十八
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>