新法算書 (四庫全書本)/卷058

新法算書　卷五十八

　　欽定四庫全書
　　新法算書卷五十八　　　明　徐光啟等　撰恆星厯指三
　　以恆星之黃道經緯度求其赤道經緯度第一　三章
　　前論恆星以本行依黃道漸移而東既有平行經度而緯度南北移就為數甚少非歴嵗久遠不可得見以此互相推較其經度差無時不同緯度相距遠近又無從可改必至數百年後測騐差數乃得依法推變也若論赤道經緯度則否星行既依黃道其向赤道時時遷改欲從赤道求之無法可得故求赤道經緯必用黃道經緯蓋星之去離赤道無恆而去離黃道有恆黃道赤道之相去離也又有恆以兩有恆求一無恆無患不得矣其推步則有多法或用曲線三角形依乘除三率推算為第一此初法也或用曲線三角形加減推算為第二此約法也或用簡平儀量度加減推算為第三此簡法也或造立成表簡閲得數並免臨時推算之煩為第四此因法也第一法前第一卷已備論之今所論者每具二則為第二第三法如左方若立成表作者甚難用者甚佚但恐狥末忘本則繇而不知者多矣今附載之求恆星赤道緯度前法〈即第二法〉
　　前法用曲線三角形加減推算如圖有星在甲甲辛為黃
　　道緯度其餘弧甲乙為甲乙丙三角形
　　之一邊辛戊為黃道經度以加戊己象
　　限得甲乙丙角又乙丙為兩極距度則
　　是甲乙丙角形有甲乙乙丙兩邊有乙
　　角可求甲丙邊甲丙之餘弧甲丁則本星距赤道之緯度也其法以三角形內之小弧加於大弧之餘弧得總弧求其正〈求緯恆用正求經恆用切線〉為先得數其總弧或正得九十度或較多或較寡若正得九十度即半先得之為次得之又以大小兩弧所包之見角求其倒〈為角之弧過象限故用倒倒者對本角過弧之正〉則後得之也今用三率法為全數與次得之若後得之倒與他既得他以減先得之所存為三角形內第三弧之餘即所求赤道緯之正也
　　假如參宿腰星之西有五等小星其黃道經度於崇禎元年推得七十四度二十二分其緯度距黃道南二十三度三十二分使黃道在南距赤道二十三度三十二分〈雲使者假設之數不用實分秒〉則三角形內甲乙大弧得六十六度二十
　　八分乙丙小弧二十三度三十二分甲乙
　　丙角對辛戊經度弧及戊己象限弧共得
　　一百六十四度二十二分甲辛為甲乙大
　　弧之餘弧得二十三度三十二分依法加
　　於乙丙小弧二十三度三十二分得四十七度○四分其正七三二一五為先得之即半之〈適足一象限故〉得三六六○七為次得之次求甲乙丙角之倒〈即己辛弧之〉一九六三○一〈首一者己戊全也〉為後得之依三率法以乘次得之三六六○七得七一八五九為他以減先得之七三二一五餘一三五六為甲丙弧之餘即甲丁弧之正為本星距赤道圏緯度四十六分三十五秒若三角形內之總弧過一象限即次得之非折半可得法以大弧之餘弧減小弧所存求其以加於先得之總半之為次得之其後得者甲乙丙角之倒依前用三率法但所求得之他若小於先得之其法同前若等則所求三角形內第三弧之正為九十度之而星必在赤道上無距度若他大於先得之則以小減大〈不論何但以小減大〉餘為本星距赤道之
　　假如畢宿大星於崇禎元年距黃道
　　南五度三十一分在甲其黃道經度為
　　辛戊六十四度三十五分三十秒即甲
　　乙為大弧八十四度二十九分乙丙為
　　小弧二十三度三十一分三十秒〈兩極之距度〉兩弧所包甲乙丙角一百五十四度三十五分三十秒依法以大弧甲乙之餘弧甲戊五度三十一分加於小弧乙丙二十三度三十一分三十秒共得二十九度○二分三十秒求其四八五四四為先得之總又以餘弧甲戊減小弧乙丙存一十八度○分三十秒其三○九一五以加先得之總四八五四四得七九四五九然後半之得三九七二九為次得之其後得者甲乙丙角之倒一九○三二八依三率法以乘次得之三九七二九得他七五六一四因他大於先得之故於他內減先得之四八五四四存二七○七○查得十五度四十二分為甲庚弧是本星距赤道之度
　　若總弧不及一象限則如前求先得之總次以小弧減大弧之餘弧所存查其正又以減先得之所存半之為次得之其餘同前第一法
　　假如崇禎元年大角星距黃道北三十
　　一度○二分三十○秒其經度過秋分
　　一十九度○二分三十○秒其兩弧間
　　之角甲乙丙得一百○九度○二分三
　　十秒而甲乙大弧五十八度五十七分三十秒乙丙小弧二十三度三十一分三十秒今大弧之餘弧甲己三十一度○二分三十秒以加乙丙二十三度三十一分三十秒得五十四度三十四分其八一四七九為先得數又甲己內減乙丙小弧存七度三十一分其一三○八一以減先得之存六八三九八半之得三四一九九為次得之次依三率法以乘甲乙丙角之倒一三二六一二得四五三五一為他以減先得之八一四七九存三六一二八為本星距赤道之查得甲己弧二十一度一十○分五十四秒
　　求赤道緯度後法〈即第三法〉
　　後法用簡平儀或量度或加減推算〈簡平儀者以圓平面當渾儀也圓平面者以極至交圈為界作過心平面也以面當球與平渾儀同意論球則半在面前可見今以直線當弧半在面後不可見其直線當弧與前半同理下文言某線為某弧或言前弧後弧等俱本此〉量度者用規器量度所有之見度分即於分度等圈上量取所求之隱度分也加減者亦於本儀取數其算法即前法也量度則省算然每星當作一圖亦不能得細分秒加減則一圖能算多星可省圖可得細分秒特未免乘除之煩總之先得各星之黃道經緯度即從星作直線與赤道平行至外周從線尾起算至赤道為本星之赤道緯度弧可量亦可算也今並具二法用者擇焉試先解儀上諸線如丙壬寅子大圈為極至交圏壬丑線為赤道大圏辛寅線為黃道大圏春秋二分俱在癸若星距黃道北則辛為夏至寅為冬至星距黃道南則寅為夏至辛為冬至今所測星為乙癸甲線為星之黃道緯度對丙
　　辛弧甲乙線為星之黃道經度對
　　辰卯弧丙乙子線為過星之距等
　　小圏與黃道平行丙卯辰子即過
　　星距等圏之半在儀上為立面與
　　儀面為直角在弧為丙卯辰子在儀面為丙乙甲子自人視之卯即乙辰即甲也卯辰為星之黃道經度弧夫卯即乙乙即星若有乙丁線與赤道平行截極至交圏於午即從午至赤道壬為所求本星之赤道緯度弧矣今用規器量度則先定黃道緯度之丙辛弧經度之辰卯弧從經緯線相交之乙星上出乙午線則壬午弧必所指赤道距度也以加減推算則用直線三角形先從丙出垂線至己半之得己戊從戊作線與丁乙平行必至甲〈丙甲為丙子之半故丙戊為丙己之半〉又從子出子己底線偕丙己垂線作丙己子直角即成三角形者三而求丙丁以減丙庚正存丁庚為星之赤道緯度假如乙為句陳大星其黃道經於崇禎元年為八十三
　　度二十五分二十七秒黃道緯六十
　　六度○二分當用第二圖推本星距
　　赤道之緯度法以星距黃道之丙辛
　　〈六十六度○二分〉加於黃道距赤之壬辛〈二十〉
　　〈三度二十一分三十○秒〉得丙壬弧八十九度二十三分三十秒其正丙庚九九九九七今欲推己庚線〈己庚者子丑弧之正子丑者星距等圏近赤之弧〉法以黃道距赤之丑寅〈二十三度三十一分三十○秒〉減星距黃道之子寅〈六十六度○二分〉得丑子弧四十二度三十分三十秒其正己庚六七五六九以減丙庚餘丙己三二四二八半之得丙戊一六二一四又勾陳黃道經度甲乙八十三度二十五分二十七秒以減全數十萬〈一率〉存乙丙六五八〈二率〉以乘丙戊〈三率〉得一○六為丙丁〈四率〉也次以一○六減丙庚正得丁庚九九八九一其弧八十七度一十九分為勾陳大星距赤道之度其比例甲丙與乙丙若戊丙與丙丁也更之甲丙與戊丙若乙丙與丙丁〈幾何六卷四〉算恆星赤道緯度以右法為例若各星纒度不同即加
　　減法亦異今為六圖畧率論次如
　　左
　　凡星距黃道北其緯在二十三度
　　三十一分三十○秒以內其黃道
　　經度自春分起至秋分止用第一
　　圖推算或星距黃道南亦在二十
　　三度三十一分三十秒以內而經
　　度過秋分至春分止者同
　　凡星距黃道北過二十三度三十
　　一分三十○秒而不過六十六度
　　二十八分三十○秒〈在本象限之內〉其黃
　　道經度自春分至秋分用第二圖
　　推算若星距黃道南過二十三度
　　三十一分三十○秒又不過六十
　　六度二十八分三十○秒而過秋
　　分至春分者同
　　凡星在黃道北其緯過六十六度
　　二十八分三十秒經度自春分至
　　秋分用第三圖推算若在黃道南
　　緯度同前而經度自秋分至春分
　　亦用三圖為兩至距赤度星距黃
　　度並之〈壬丙弧也〉過九十度而丙庚正
　　亦不在癸辛象限之內故
　　凡星距黃道南二十三度三十一分三十○秒以內而經度自春分至秋分用第四圖若星距黃道北亦二十三度三十一分三十○秒以內而經度自秋分至春分者同
　　凡星距黃道南過二十三度三十一分三十○秒而不過六十六度二十八分三十○秒其經度自春分至秋分用第五圖若星距黃道北緯度同上而經度反過秋分至春分亦用五圖
　　凡星距黃道南過六十六度二十
　　八分三十○秒其經度自春分至
　　秋分用第六圖若星距黃道北緯
　　度同前而經度自秋分至春分即
　　壬丙總弧過九十度亦用六圖總之星距黃道之弧任在南在北其與黃赤距弧於圖右推算即相加於圖左推算即相減為恆法也
　　凡星黃距度大於黃赤距度則以其較弧之正減先得總弧之正若小則以較弧之加先得總弧之正如第三圖子寅〈星黃距〉大於丑寅〈黃赤距〉則以其較弧〈子丑〉之正〈子未或己庚〉減丙壬總弧之正丙庚而得丙己若小如第一圖子丑〈星赤距〉為寅丑〈黃赤距〉之較弧則以較弧之正庚己加丙壬總弧之正丙庚而得丙己凡星黃距黃赤距之總弧大於一象限用其通餘弧之正如第三圖壬丙過九十度壬丙丑為通弧丙丑為通餘弧則用其正丙庚
　　凡星之經度弧少不及二至圏則取其正加減於全數以得其餘矢若大而過二至之圏則取其通餘弧之正求其餘矢求法在前三圖用減在後三圖用加如各圖從甲辰分節起算至卯乙辰卯為經度弧其正甲乙〈俱在前半圏〉若過至節之界或子或丙至卯乙則卯辰為經度之加弧〈在後半圏〉又前三圖內甲乙減甲丙得乙丙後三圖內加之得乙丙皆為餘矢也〈以正減半徑為餘矢大弧過九十度其限外弧為加弧並九十度為過弧〉
　　各圖皆以丙丁減丙庚正惟星在兩道間如第四圖丙丁大於丙庚則以丙庚減丙丁而得丁庚〈赤道緯〉其餘法簡各圖自明
　　求恆星赤道經度前法〈第二法〉
　　前法求緯度用曲線三角形並兩腰分盈縮適足三等加減得之此為黃經緯求赤經緯以二求二故也既得赤緯則以三求一故不拘大小皆歸一法止用兩緯度之餘弧及見角之餘角以推他角所對赤道經度之餘弧如圖甲丙為星赤道緯之餘弧甲乙為黃道緯之餘弧
　　甲乙丙為對黃經度之見角丁乙庚其
　　餘角是甲乙丙三角形內有三邊有乙
　　角今求甲丙乙他角以推戊己是為赤
　　道經度之餘弧
　　假如甲為大角星其赤道緯於崇禎元年得二十一度一十分五十一秒為甲戊其餘弧甲丙六十八度四十九分得正九三二四四為第一率黃道緯三十一度○二分三十秒為庚甲其餘弧甲乙五十八度五十七分三十秒得正八五六七九為第二率其黃道經度過秋分辛一十九度○二分三十秒為辛庚即甲乙丙角之餘弧庚丁必七十度五十七分三十秒得正九四五二八為第三率求得八六八五六為戊己弧之正查得戊己弧六十度一十七分三十○秒以減象限存二十九度四十二分三十○秒為大角星秋分後之赤道經度
　　求赤道經度後法〈第三法〉
　　用簡平儀與前求緯法同今所求者為辰卯弧而先得者赤黃二緯度故三角形之底線與黃道平行星緯弧與兩道距弧在圖之左即相加在圖之右即相減
　　如圖乙為勾陳大星其黃道緯六
　　十六度○二分其先得之赤道緯
　　甲癸八十七度一十九分辛壬為
　　黃赤距弧〈二十三度三十一分三十秒〉以加赤
　　道緯度弧壬丙〈八十七度一十九分〉得辛丙〈一百一十度五十分三十秒〉總弧其通餘弧丙寅之正〈九三四五七〉為丙庚也又因星在圖之右應以星緯弧兩道距弧相減得〈六十三度四十七分三十秒〉為寅子弧其正〈八九七二○〉為子未或己庚以減丙庚正餘〈三七三七〉為丙己半之存〈一八六八〉為丙戊今本星黃道緯弧〈六十六度○二分〉為辛午其〈九一三七八〉為丁庚以減丙庚正得丙丁〈二○七九〉因以丙戊為第一率丙甲全數為第二丙丁為第三得丙乙〈一一一二九六〉去其首位〈丙甲全數〉存〈一一二九六〉為甲乙所對辰卯弧〈六度二十九分一十秒〉即本星之赤道經度並求恆星赤道經緯度〈第四法〉
　　依前法用立成表可並求經緯度且省算如圖星在甲其黃道緯甲丁經丁庚而求赤道緯甲乙經乙庚即用此
　　兩曲線三角形取之其法於甲乙丙三
　　角形內因三表可得甲乙弧為赤緯及
　　丙乙弧以得乙庚赤經先用赤道升度
　　表查取相當之黃道經度如圖戊庚為
　　赤道弧辛庚為黃道弧今反之以辛庚為赤道即原黃道之丁庚升度今以當赤道之弧即可得相當之庚丙上度也次以黃赤距度表用其經弧查其緯弧既得經弧之度丙庚即知兩道相距之緯度丙丁也更用過極圏截黃交角表因辛庚當赤道即星上過極之壬丙弧截見當黃道之戊庚弧於丙則得甲丙乙交角次以黃緯甲丁加兩道距丁丙得甲丙為第一三角形之弧夫甲乙丙既為直角又有後得之甲丙乙角即先推甲乙
　　弧為星之赤道緯後得乙丙以減先得
　　之丙庚存乙庚為星距分節之經弧
　　假如婁宿東星於崇禎元年距黃道北
　　〈九度五十七分〉距春分節〈三十二度二十九分四十八秒〉為見
　　當赤道上之黃道升度丁庚也而在大梁宮查升度表於大梁宮得其度分其相當者為見當黃道上之度〈三十四度四十八分〉庚丙也又用兩道距度表以庚丙弧四度四十八分於大梁宮查其相當之距緯得〈一十三度一十○分〉為黃赤距度丙丁又以庚丙弧之度分於交角表查大梁宮之四度四十八分得〈七十度二十○分二十四秒〉為甲丙乙角今以甲丁〈九度五十七分〉加於丁丙〈十三度一十分〉得〈二十三度○七分〉為三角形之弧甲丙其正〈三九二六○〉為第二率甲丙乙角之正〈九四一六七〉為第三率甲乙丙直角全數為第一率求得〈三六九九九〉為四率即甲乙弧之正查得〈二十一度四十二分五十三秒〉為本星距赤道之緯弧又以甲乙丙角全數為一率甲丙乙餘角〈一十九度三十九分三十六秒〉之〈三三六四四〉為二率甲丙弧之切線〈四二六八八〉為三率而求乙丙底弧之切線得〈一四三六四〉為四率查得〈八度一十分二十六秒〉以減庚丙弧〈三十四度四十八分〉存〈二十六度
　　三十七分三十四秒〉為本星赤道之經弧乙庚
　　若經少緯多星越赤道極之軸線戊丁
　　而近黃道極法當先用升度表次用黃
　　赤距表又次用交角表以三率求乙丙
　　則甲丙乙角之餘與甲丙弧之切線相乘得數為乙丙弧之切線內減先升度表所取之丙丁弧餘丁乙以減三百六十度所餘環周之大丁乙即赤道經也再以丙角甲丙正相乘得數即赤道緯甲乙
　　若黃緯過九十度之外諸法同前但去九十度而用零數法以零數之餘弧取其正乘丙角之正得甲乙緯又以零餘弧之切線乘兩角之餘得丙乙之餘切線又以所去九十度加丙乙內減升度丙丁所存以減全周所存通弧為本星之赤道經度
　　假如紫微垣新増少弼外南星其黃經五十○度○九
　　分黃緯八十○度三十八分查升度表
　　得五十二度三十五分為丙丁查距度
　　表得一十八度二十九分為丙己查交
　　角表得七十五度一十二分為丙角今
　　以距度丙己加黃緯甲己得甲丙九十九度○七分為過象限則去九十度獨用其零數九度○七分以其餘弧八十○度五十三分查八線表得九八七三七為正以乘丙角之正九六六八二得九五四五○一為赤緯甲乙之正查得七十二度三十九分又查零餘弧八十○度五十三分其切線六二三一六○以乘丙角之餘二五五四五得一五九一○六為丙乙之餘切線查得三十二度○九分以加前所去九十度得一百二十二度○九分內減升度丙丁五十二度三十五
　　分存六十九度三十四分以減全周三
　　百六十存二百九十○度二十六分為
　　本星之赤道經度
　　若星在黃赤道之間法以黃緯減黃赤
　　距度其餘同前用相乘之數減丙丁所得數為赤經數若星在兩道南丙丁為赤經法當以乘出之乙丙數加乙丁為赤道經度是黃經短赤經長也
　　前所求在降婁大梁實沈三宮則可若
　　在鶉首鶉火鶉尾其法異是何也此星
　　方位出象限之外經度已轉過至節故
　　前減者此宜加前加者此宜減又前黃
　　緯過九十度即越北極軸線故減於三百六十度內方得所求今從春分轉至秋分雖過九十度而無軸線可越〈不得至黃南極故也〉故不必減於全周自秋分以往對待六宮如壽星至娵訾俱同前法但星在南左用北右法星在南右用北左法此為異耳
　　以度數圖星象第二　三章
　　平渾儀義
　　古之作者造渾天儀以準天體以擬天行其來尚矣後世増修遞進乃有平面作圖為平渾儀者形體不甚合而理數甚合為其地平圏地平距等圏及過天頂橫截之弧與天夫黃赤二道黃赤距等圏及過兩極橫截之弧皆確應天象故以此言天特為著明能畢顯諸星之經緯度數也厯家稱為至公至便超絶衆器今詳其應用多端不後於渾儀其要約簡易則勝渾儀且渾儀所用大環欲其纖毫不爽勢不可得未若平面之直線當一環圓界當一環直者必直圓者必圓無可疑也然論其本原即又從渾儀出何者凡於平面圖物體若依體之一面繪之定不合於全體必依視學以物影圖物體或圓或方或長短各用其遠近明暗斜直之比例則像在平面儼然物之元體矣但光體變遷出光之處無數則所作影亦無數而受影之半面有正有偏則影之變態又無數故視學家分為二品一為有法物像一為無法物像〈以可用為有法不則無法〉今論渾儀之影能生平儀儀本於此必求平面之上能為實用可顯諸曜之度數以資推算者則為有法而於諸無法像中擇其有法者特有三一設光於最遠處照渾儀正對春分或秋分則極至交圏為平面之圏界以面受影即顯赤道及其距等圏皆如直線而各過極經圏皆為曲線之弧此有法之第一儀也次設光切南極則赤道為平面之圏界諸赤道距等皆作平面上圓形而極至交圏又如直線此為有法之第二儀也又次設光切春分或秋分在極分圏與赤道之交則亦以極至交圏為平面之圓界以面受影即赤道與極分交圏為直線而其餘皆為曲線之弧此有法之第三儀也今繪星圖惟用第二儀次則第三以其正對恆星之度其第一儀不用也為是平渾所須並論之總星圖義
　　設渾儀以北極抵立平面其軸線為平面之垂線有光或目切南極正照之儀上設其影或像必徑射於平面即北極居中設㸃之影去北極漸遠者其在平面之兩
　　距亦漸遠乃至南極則為無窮影終不及
　　於平面矣又平面之上北極所居為過
　　兩極軸線之影為渾儀衆圏之心平面上
　　諸赤道距等圏離此愈遠即其影愈寛大
　　至近南極者則平面無可容之地也假有
　　渾儀為甲丙乙丁甲為南極乙為北極以
　　乙極抵丑乙子平面有光或目在甲極先
　　照近北極之圏辰己即其影自己迄辰為
　　本圏之全徑因以乙為心己辰為界即平
　　面作圏準渾儀之實環也又照夏至圏癸壬之圓界其影至卯寅即以卯寅為徑次照赤道圈丙丁之圓界影至己戊以己戊為徑各如前作圏各得準其本環次有冬至圏辛庚雖近甲南極小於赤道之丙丁圏而影在平面為丑子反大於赤道影己戊蓋乙甲丑角大於乙甲己角故也若至午未南極圏其影在平面更遠而終竟可至惟甲南極為左右直影與子丑平行終不至於平面也今作星圖不用兩至兩極圏獨用赤道之左右度分度分近乙北極即平面上影相距亦愈近遠亦愈遠經度既爾緯度亦然蓋經度從心向外出線其左右各侶線愈遠心相距亦愈廣緯度從心向外作圏其內外各侶圏愈遠心相距亦愈寛也問經度遠心即愈廣易見矣何以知星之緯度在平儀之上愈遠心相距愈寛乎曰以幾何徴之設有甲乙丙丁圏以全徑甲丙抵戊己平面為垂線若平分圏界如一十二從甲出直線各過所分圏界至戊己庚辛平面上各得戊庚寛於庚辛面庚辛又寛於辛壬餘線盡然蓋
　　從甲出各侶線至平面以各㡳線連之其各腰與各底為比例則甲庚與庚辛若甲壬與壬辛也今甲庚大於甲壬則庚辛必大於辛壬〈見幾何第六卷第三題〉試以丙為心作壬辛庚三侶圏其在儀各所分圏界則為距等而壬辛之相距與辛庚之相距廣狹大異矣依此作圖則去心遠者各所限經緯度漸展漸大與近心者不等而經緯度之比例恆等即所繪星之體勢與天象恆等不然者經度漸展緯度平分依經緯即失體勢依體勢即失經緯乖違甚也斜圏圖圓義
　　渾儀諸圏有正有斜正者如赤道圏赤道距等圏及諸過極經圏也斜者如黃道圏地平圏及其各距等圏也以視法作為平面圖設照本〈或光或人目〉在南極則正受照之圏影至平面必成圏形或直線如前說矣若斜受照之圏其影在平面當作何形像乎此當用角體之理明之按量體法〈測量全義六卷〉中論角體有正角有斜角兩者皆以平圓面為底皆以從頂至底心之直線為軸線其為正與斜則以垂線分之若自角下垂線至底與軸線為一如第一圖甲乙垂線即甲丙丁戊角形之軸線則甲丙
　　丁戊為正角體若兩線相離如第二
　　圖甲己為軸線甲乙為垂線則甲丙
　　戊庚丁為斜角體也更以斜角體上
　　下反截之為甲辛壬小角體〈既斜截為上下
　　兩體更若從軸線自上而下縱截之為兩平分其截面三角形大小比例〉
　　〈相似則名反截之角體若不合比例則為無法〉依斜角體之本理則小體之底與大體之底相似不得不成圓形今欲推黃道等斜圏不能正受照本之光則於平儀面所顯何像法依第二斜角圖以甲當南極照本之壬辛為渾儀上斜圏丙
　　戊庚為平面上斜圏之影次用三圖徴
　　為圓影焉
　　假如甲乙丙為極至交圏甲當南極為
　　照本之㸃斜受光之圏為乙丁從甲照
　　之過乙丁邊直射至己戊平面為甲己
　　甲戊兩線即得甲己戊及甲乙丁皆直
　　線三角形此為渾儀平面形影之體勢
　　以角體法論之己戊為乙丁圓圏之影
　　即甲己戊為全角體而甲乙丁其反截之小角體矣又甲丙垂線非甲庚樞線即甲己戊為斜角體而己戊其底自與甲乙丁小角體其底乙丁各相似也
　　問反截之角體與平面所得三角形何雲兩相似乎凡相似兩三角形必三角各等三邊之比例各等此有諸乎曰有之甲為共角從乙作直線至辛與己戊為平行即甲丙之垂線而甲乙辛角與甲己戊角俱在平行線上必等又甲乙辛甲丁乙俱在界乘圏之角而所乘之甲乙甲辛兩弧等
　　即兩角必等而甲丁乙與甲己戊兩角亦等其餘角甲乙丁及甲戊己亦等則乙丁小角體之底與其所照平面上之己戊必相似也凡斜圏之弧近於照本其影必長距遠則短如從南極照黃道斜圏其半弧乙在赤道南近甲即甲己必長於甲戊然分較之雖南影長於北影合較之則平面上圓影不失黃道之圓影矣問以視法圖黃道既為圓形從何知其心乎曰從照本之出直線為斜圏徑之垂線引至平面則黃道之心也蓋本圖大小三角形既相似而甲丙與甲庚兩線又相離即各分為兩三角形各相似其甲丙戊與甲丙己一偶也甲辛乙與甲辛丁一偶也是以甲己庚角與己甲庚角等而甲庚線與庚己線亦等又甲戊庚角與戊甲庚角等何者因前圖得己角與丁角等此
　　圖得丁角與乙甲辛角等即己角與乙甲辛角亦等因得乙戊兩角等又得乙角與庚甲戊角等即戊角與庚甲戊角亦等而戊庚與甲庚兩線亦等因得戊庚與庚己兩線等而庚為己戊徑之心
　　繪總星圖第三
　　古法繪星圖以恆見圏為紫微垣以恆隱圏界為總圖之界過此南偏之星不復有圖矣西歴因恆見圏南北隨地不同又漸次不同故以兩極為心以赤道為界平分為南北二圖以全括渾天可見之星此兩法所繇異也赤道平分南北二總星圖
　　以規器作赤道圏即本圖之外界也縱橫作十字二徑平分為四象限限各九十又三分之分各三十又五分之分各六又六分之分各一此為全周三百六十度矣次從心至界上依度數引直線為各經度其作緯度有二法一用幾何則依界上經度於橫徑之左定尺於橫徑之右上下游移之每得一界限度〈界限度者或一度二度為一限或五度十度為一限以至九十〉即於直徑上作識則直徑上下所得度與界
　　限度各相應而疎密不等經緯相
　　稱矣用數則依切線表求界限度
　　之相當數以規器取之〈用比例規甚便無規
　　先作半徑百平分之用以取數〉若表中求一十度
　　即徑上下得二十度表中求二十
　　徑上下得四十所得比所求恆多一倍也
　　假如欲依界限度以分徑如第一圖甲乙丙丁為赤道所分徑為甲丙於乙上定尺從右徑末丁向上移尺至一十二十等限於甲丙徑上作戊己等一十二十諸識各識愈離心其侶距愈遠矣若以數分之依第二圖如求四十度癸庚則表中查二十度之切線相當數為三十六用規器向庚辛直線取庚子三十六移至甲乙徑上自中心乙至己
　　為三十六即得四十度矣蓋以丁為心作乙丙象弧其半弧乙壬之切線為平面之半徑甲乙即乙己為二十度弧乙戊之切線若引丁戊割線至庚則癸庚得四十度與前法合也
　　見界總星圖
　　見界總星圖者以北極為心以恆隱圏為界此巫咸甘石以來相傳舊法也然兩極出入地平隨地各異而舊圖恆見恆隱各三十六度三十六者嵩高之北極出地度耳自是而南江淮間可見之星本圖無有也更南閩粵黔滇可見之星本圖更無有也則此為嵩高之見界總圖而非各省直之見界總圖也又赤道為天之大圏其左右距等侶圏以漸加小至兩極各一耳於平面作圖而平分緯度自極至於赤道緯度恆平分而經度漸廣廣袤不合即與天象不合向所謂得之經緯失之形勢得之形勢失之經緯者也況過赤道以南其距等緯圏宜小而愈大其經度宜翕而愈張若復平分緯度即不稱愈甚其相失亦愈甚矣今依此作圖宜用滇南北極出地二十度為恆隱圏之半徑以其圏為隱見之界則各省直所得見之星無不備載可名為總星圖矣又依前法為不等緯距度向外漸寛則經緯度廣袤相稱而星形度數兩不相失矣但前以赤道為界設照本在南極所求者止九十緯度則所用切線半之止四十五度至赤道止矣用為平圖之半徑經緯度猶未甚廣足可相配若此圖則否其半徑過赤道而外尚七十度並得一百六十度半之為八十度從南極出直線必割圓八十度乃合於百六十度之切線也此其長比赤道內之半徑不啻五倍經緯皆愈出愈寛以比近北極之度分大小殊絶矣如圖甲為平圖之心乙為南極甲丙
　　為半徑亦即為
　　四十五度甲戊
　　弧之切線若從
　　乙出直線割八十度之弧甲丁然後與甲丙引長百六十度之線遇於己其長於甲丙幾及六倍也如是而依本法作圖若圖幅少狹即北度難分若北度加寛即圖廣難用矣今改立一法設照本稍出南極之外去極二十度起一直線以代乙己其與甲丙之引線不交於己而稍近丙以歛所求之度定平圖之半徑則廣狹大小皆適中矣但照本所居宜有定處去極遠則切線太促不能分七十度之限太近則半徑過長畧同前說也今法如上圖甲為平圖之心欲其外界出丙己壬赤道之
　　外遠至七十度先
　　求照本隨所照光
　　圖之作甲丙直線
　　去赤道徑甲癸七
　　十度正次作乙丙
　　垂線為二十度之正次作丙丁線為二十度之切線令丁在南極之外為照本則甲丙與乙丙若丙丁與乙丁何者甲乙丙乙丙丁兩三角形相似故也次引丁丙切線與甲癸之引長線遇於辛則辛定百六十度之限為平圖之半徑矣次以緯度分甲辛線恆令丁戊與戊己若丁甲與甲庚則赤道內庚分向北之緯度赤道外庚分向南之緯度也欲得各丁戊線以加減取之向南距度之正以減甲丁割線得小丁戊因得大甲庚向北距度之正以加甲丁割線得大丁戊因得小甲庚也蓋正雖在癸己左右因甲戊其平行線即與正等故〈左邊為北右邊為南〉
　　問赤道緯度其內
　　外廣狹既爾不齊
　　則欲作黃道圏用
　　何法乎曰此因照
　　本不切南極以照
　　黃道斜圏之邊不能為直角即不能為軸邊之心而有二心故其影不能為正圓而微成撱圓與前南北平分總圖稍異法也當於甲辛徑上從赤道向內數黃赤距二十三度三十一分三十○秒若所得為子午即作午壬直線平分之於未從未出垂線向甲辛徑上得黃道向北半圏之心為下庚而其邊依緯度之狹則小次於赤道外自癸至辛數得二道距度如前求得黃道向南半圏之心為上庚其邊因緯度之寛則大也
　　極至交圏平分左右二總星圖
　　前分有法物象三儀其第一照本在最遠者星圖所不用其用者第二第三也第二法照本在南極以赤道圏為平面界則前説赤道平分二圖是己第三法照本在二分以極至交圏為平面界今解之設照本切春分即用所照平面之心以準秋分以極至交圏為界赤道圏極分交圏則為直線諸赤道距等圏諸過極經圏則為曲
　　線之弧以此定經緯度及半天恆
　　星之方位也又設照本切秋分則
　　以春分為心其餘圏影皆同上可
　　定餘半天恆星之方位矣圖法先
　　作極至交圏為圖界假設甲乙丙
　　丁圏為赤道〈本極至交圏假為赤道借用第一圖〉平分三百六十度借丙為赤道與極分圏之交從丙向己庚等邊界引直線過乙丁徑作辛壬等識即各過極圏之經度限也次即用甲乙丙丁圏為極至交圏〈即第一圖〉則甲辛丙甲壬丙等
　　過極經圏之弧可定恆星之赤道
　　經度矣次欲作赤道距等圈先假
　　設甲乙丙丁為極分交圏〈本極至交圈假
　　為極分借用第二圖借乙〉為赤道與極分
　　圈之交從乙向己庚等邊界引直
　　線過甲丙徑上作辛壬等識即各赤道距等圏之緯度限也次即用甲乙丙丁為極至交圏〈即第二圖〉則己辛庚壬等皆赤道距等之弧而丁戊乙為赤道可定恆星之赤道緯度也若欲以黃道為心作圖則以乙丁線當黃道甲丙為黃道之兩極而乙丁上下距等之弧皆可定恆星之黃道緯度平面界圏亦為過黃道極之經度圏如前所作赤道平分二圖皆改赤道極為黃道極赤道面為黃道面皆可定恆星之黃道經緯度也
　　恆星有等無數第四　三章
　　恆星以芒色分氣勢以大小分等第所載者有數不能載者無數可盡也今畧論其體等及其大數別定黃赤二道之經緯度作圖作表如後卷
　　恆星分六等
　　古多祿某推太陽太陰本體之容積先測其視徑及月食時之地影及地球之徑容展轉相較乃能得之〈詳見三大論〉後巴徳倪借用其法以考五星及恆星離地之遠又測諸大星之視徑如圖甲辛為太陽離地之遠其視徑甲乙為太陽居最高及最高衝折中之半徑也今設丙為鎮星其離地為辛丙即太陽之半徑至此見如丙戊而
　　鎮星居此所見大僅得
　　太陽視半徑一十八分
　　之一為丙丁用三率法
　　辛丙與丙戊若辛甲與甲乙次以地徑推得丙戊總線數即可得丙丁分線數古法推七政及恆星之體大畧如此蓋因其視徑及距地之遠可得渾體之容積也但恆星已知離地最遠而無視差可考止依其視徑以較五星即其體之大小十得七八矣第谷則以鎮星較之因測鎮星得其視徑一分五十秒亦微有視差為一十五秒弱推其離地以地半徑為度得一萬○五百五十因得其全徑大於地之全徑二倍又一十一分之九是鎮星之渾體容地之渾體二十有二矣此測為鎮星居最高最高衝折中之數也若在最高測其距地為地半徑一萬二千九百〈後論五星更詳此理〉而恆星更遠居其上設加一千即約為一萬四千因以所測之視徑分其等差○先測明星如心宿中星大角參宿右肩等其視徑二分即得大地四徑有奇何也因設星離地一萬四千依圏界與圏徑之比例〈徑七圍二十二〉即星所居之圏界得八萬八千三百六十分之每度得二百四十四○九分之四又六十分之每分得四視徑二分得八有奇是恆星之全徑二分當渾地之八半徑也即四全徑也又以立圓法推之即此星渾體之容大於渾地之容六十有八倍此為第一等星也此一等內尚有狼星織女等又見大一十五秒其體更加二十餘倍若見小一十五秒如角宿距星等即反之其體減二十餘倍
　　次測北斗上相北河等其視徑一分三十秒設其距地與前等推其實徑大於地徑三倍有奇而其渾體大於地之渾體二十八倍有奇此為第二等
　　又次測婁箕尾三宿等星其視徑一分○五秒依前距地之遠其實徑大於地徑二倍又五分之一其體大於地體近一十一倍為第三等
　　又次測參旗柳宿玉井等星其視徑四十五秒其實徑與地徑若三與二其體大於地體四倍有半為第四等又次測內平東咸從官等小星得視徑三十秒其實徑與地徑若五十與四十九其體比於地體得一又一十八分之一為第五等
　　又次測最小星如昴宿左更等得視徑二十秒其實徑與地徑若一十五與二十二即其體比於地體得三分之一為第六等
　　右恆星相比約分六等若各等之中更有微過或不及其差無盡則匪目能測匪數可算矣
　　問前言恆星居鎮星之上離地皆等故依其視徑以推其體之大小則不等若設其遠近不等即其實徑不隨其視徑從何推知其體乎曰假令諸恆星之體實等因其中更有遠近不等故見有大小不等即以六等星比第一等所見小大乃爾必更遠於前率十餘倍矣蓋測此大小星比其視徑如天田西星與大角星差一分五十五秒即其遠近距當得一十四萬一千大地之半徑與鎮星最高及大角之距地畧等此中空界安所用之且小大彬彬雜以成文物之理也若何舍此而強言等體乎七政恆星遠近大小皆從視徑視差展轉推測理數實然無庸不信然而宏濶已甚猶有未經測算難於遽信者焉況此遠近等體之說非理非數則是虛想戲論而已又誰信之哉
　　恆星無數
　　自古掌天星者大都以可見可測之星求其形似聯合而為象因象而命之名以為識別是有三垣二十八宿三百座一千四百六十一有名之星焉世所傳巫咸石申甘徳之書是也西厯依黃道分十二宮其南北又三十七像亦以能見能測之星聯合成之共得一千七百二十五其第一等大星一十七次二等五十七次三等一百八十五次四等三百八十九次五等三百二十三次六等二百九十五蓋有名者一千二百六十六餘皆無名矣然而可圖者止此若依法仰觀所見實無數也何謂依法今使未諳星厯者漫視之漫數之樊然淆亂未足實證其無數也更使諳曉者按圖索象則依法矣如是令圖以內之星悉皆習熟若數一二然而各座之外各座之中所不能圖不能測者尚多有之可見恆星實無數也更于晴明之夜比蒙昧之夜又多矣於晦朔之夜比朢之夜又多矣以秋冬比春夏又多矣以利眼比鈍眼又多矣至若用遠鏡以窺衆星較多於平時不啻數十倍而且光耀粲然界限井然也即如昴宿傳雲
　　七星或雲止見六星而實則三
　　十七星鬼宿四星其中積屍氣
　　相傳為白氣如雲耳今如圖甲
　　為距星乙為本宿東北大星其
　　間小星三十六瞭然分明可數也他如
　　牛宿中南星尾宿東魚星傳說星觜宿
　　南星皆在六等之外所稱微茫難見者
　　用鏡則各見多星列次甚遠假如觜宿南一星數得二十一星相距如圖大小不等可徴周天諸星實無數也天漢
　　渾天衆圏有大有小如黃赤二道過極經圏極至極分交圏地平圏等凡與地同心者皆大圏也如冬夏二至圏常見常隱圏各距等圏凡與地不同心者皆小圏也若天漢者論其界不可謂圏凡圏以圓線為界此以廣面為界故也論其心實與黃赤二道相等不可謂非大圏蓋其心必同地心且兩交黃道兩交赤道旁過二極皆一一相對正與黃道相反斜絡天體平分為二故也欲測其廣無定數大約兩至之外廣於兩至之中從天津又分為二至尾宿復合為一過夏至圏以井宿距星為限正切鶉首初度過北極西距二十三度半前過冬至圏則星紀初度約居其中又轉至南極東距亦二十三度半而復就夏至總為過兩至與黃道相反之斜圏也古多祿某測其兩涯所過星宿與近世不異在赤道北則從四凟始南三星當其中北一星不與焉次水府次井西四星切其左邊天關一星五車口切其右更前積水在左大陵從北第二星在右王良所居在其中若洲渚然次天津橫截之兩端平出其左右河鼓中星在右其對邊為天市垣齊星此赤道北兩涯所經諸星也在赤道南者以天弁東星為界次斗第三星次箕南二星其對邊則天市垣宋星尾宿第一星而入於常隱之界迨過南極以來復起於天稷過弧矢天狼以至赤道此為赤道南所經諸星也
　　問天漢何物也曰古人以天漢非星不置諸列宿天之上也意其光與映日之輕雲相類謂在空中月天之下為恆清氣而已今則不然遠鏡既出用以仰窺明見為無數小星蓋因天體通明映徹受諸星之光併合為一直似清白之氣與鬼宿同理不藉此器其誰知之然後思天漢果為氣類與星天異體者安能亙古恆存且所當星宿又安得古今寰宇覯若畫一哉甚矣天載之𤣥而人智之淺也溫故知新可為惕然矣



　　新法算書卷五十八
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書>