钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第104卷

钦定古今图书集成
历象汇编 第一百四卷

钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第一百四卷目录

　测量部汇考五

　新法历书二〈大测下〉

历法典第一百四卷

测量部汇考五

《新法历书二》

大测下

表法篇第四

既得前六宗率，更用《三要法》作表。

要法一

“前后两弦”，其能等于半径。〈图说系法俱见本篇总论第十二条〉

要法二

图

有各弧之前后两弦求倍本弧之正弦

如上甲戊弧三十五度其正弦为戊己得五七三五七六四其馀弦即乙己得八一九一五二○今以此二弦求倍甲戊而为甲丁弧之正弦其法以乙戊半径千万为第一率以戊己

正弦为第二率，以乙壬馀弦为第三率，即得壬庚第 四率与辛癸等，为四六九八四六二。倍之得丁癸，为 九三九六九二四。其弧甲丁七十度。

论曰：“乙戊己与乙壬甲两三角形比例等，则乙己与 乙壬等，而戊己与甲壬亦等，乙己与乙壬等，故乙壬 为馀弦也。而乙壬庚乙戊己两形之比例等，故第四 率为壬庚。壬庚与辛癸同为直角形之边，故等。又丁 壬戊戊壬甲同为直角，则甲戊戊丁两弧等。甲壬壬 丁两弦亦等，而丁辛与壬庚亦等，故倍辛癸得丁癸” 也。又丁辛壬壬庚甲两形之三边俱等，依句股法得 甲庚边。倍之为甲癸，以减半径得癸乙为馀弦。

要法三

各弧之全弦上方，与其正半弦上偕，其矢上两方，并 等句股术也。

如左甲丁弧之正弦为丁辛，其矢为甲辛。此两线上 方并与甲丁上方等。

系法有一弧之正弦及其馀弦，而求其半弧之正弦。 如左甲丁弧，其正弦为丁辛，馀弦为乙辛，而求甲戊。

图

弧之甲己半弦其法于甲乙半径减乙辛馀弦得甲辛矢其上方偕丁辛半弦上方并与甲丁通弦上方等开方得甲丁线半之得甲己为甲戊弧之正弦其数如上甲丁弧三十度其半弦丁辛为五○○○○○○乙辛馀弦为八六六

○二五四以减全半径，得甲辛矢一三三九七四六， 丁辛上方为二五○○○○○○○○○○○○，甲 辛上方为一七九四九。一九三四四五一六，并之得 二六七九四九，一九三四四五一六，开方得甲丁线 五一七六三八○，即甲丁弧三十度之弦也。半之为 甲己半弦，得二五八八一九○。其弧十五度。

用前三要法，即《大测表》，大略可作。又有《简法》二题，其 用甚便，但非恒有。

简法一

图

两正弦之较与六十度左右距等弧之正弦等〈见本卷第二篇〉

解曰甲乙丙象限内有丙己小弧丙己戊丁大弧丙戊弧为六十度而戊己戊丁两弧等其前两正弦一为己辛一为丁庚其较丁癸题言丁癸较与己壬壬

图

丁两正弦各等

论曰试作一己子线则丁己子成三边等角形何也此形中有子丁壬壬己子两三角形此两角形等又何也子壬同腰而丁壬壬己两腰等则丁壬己壬两直角亦等而丁子子己两底亦等子丁己子己丁两

图

角亦等又丙戊弧既六十度其馀戊乙弧必三十度而乙甲戊角为三十度角甲乙庚丁既平行甲戊线截二线于子即内外角等而丁子戊角亦三十度戊子己角亦三十度是丁子己为六十度角也丁与全己全子三角既等两直角

图

〈一之三十二〉则共为一百八十度。于中减全子角六十度，则丁己两全角百二十度。而此两角既等，即各得六十度，则此形之三角三边俱等。夫丁己己子两线等，则己癸垂线所分之丁癸子癸两直角亦等，而己癸同腰，则丁癸与癸子必等。

丁癸为丁子之半，丁壬为丁己之半，全线等，则所分 必等，是丁癸与丁壬等，与壬己亦等。

《系题》两弧，各有其正半弦，两半弦至弧之点，在六十 度之左右；而距度点等，则前两正半弦之较，即后两 半弦。

如图丙己戊弧六十度，丙己弧五十度，己戊弧十度， 丙己之正半弦，己辛先得七千六百六十。丙丁弧七 十度，丁戊弧亦十度，丙丁弧之正半弦为丁庚先得 九千三百九十六。今求丁戊弧之半弦，其法以己辛、 丁庚两半弦相减，得丁癸较一千七百三十六，即丁 戊弧十度之丁壬半弦。〈此数半径设一万〉

次系有六十度，左右相离弧之正弦一率，又有其原 正弦一率，而求其相对之彼正弦，其法有二：一以大 求小，一以小求大。以大求小者，用大弧之正弦与相 离弧之正弦相减，其较为小弧之正弦。

馀则称馀倒则称倒

以小求大者，用《相离弧》之半弦，加小弧之半弦，即大 弧之半弦。

图

如上丁壬离弧之正弦即九度与丁癸较等为一千七百三十六丁庚大弦为九千三百九十六相减得癸庚七千六百六十即己丙弧之己辛小弦反之丁癸较为一千七百三十六〈即丁壬离弦〉以加于癸庚。〈即辛己小弦〉七千六百六十，得《丁庚》

大弦，九千三百九十六。

用此法，于象限内，先得半弦六十率，用加减法，即得。 其馀三十率。

简法二

有两弧不等之各正弦，又有其各馀弦，而求两弦相 加相减弧之各正弦，其法有二，一相加，一相减。相加 者，以前弧之正弦乘后弧之馀弦，以后弧之正弦乘 前弧之馀弦，各得数并之，为实，以半径为法而一，得 两弧相加为总。弧之正弦。相减者，亦如前法互乘得。

图

各数相减馀为实以半径为法而一为两弧相减弧之正弦

如上甲乙前弧二十度乙丙后弧十五度总三十五度其差五度甲乙弧之半弦为三四二○二○一其馀弧甲丁之半弦为九三九六九二六乙丙弧之半

弦为二五八八一九○。其馀弧乙丁之半弦，为九六 五九二五八。以甲乙半弦与丙丁馀弦之半乘，得三 三○三六六○三八七○八五八；以乙丙半弦与甲 丁馀弦乘，得二四三三二一○二九九○五七四○； 以相加，得五七三三七六三。

以下满半收为一，不满去之。

三七七六五九八，以半径为法而一，得五七三五七 六三，即三十五度弧之半弦。若以相减，则馀八七一 五五七三九六五一一八，以半径为法而一，得八七 一五五七，即○五度弧之半弦。此题多罗某所用全 弦，故说中云“半弦，而图与数皆全弦。”然全与全，半与 半比例等，则亦未有异也。

有前六宗率为资，有后三要法为具。

“资为材料” ，具如器械。

即可作《大测》全表。

如用前法，求得十二度弧之正半弦率，而求其相通 之他率。

弧　　　　　　　　　度分　　　　　用法得半弦数正弧　　　　　　　　一二　　　　　　　　　　　　　　　　二○七九一一七。 〈半之〉　　　　　　○六　　　　　　　　　　　　　　　　一○四五二八五。 〈又半之〉　　　　　○三　　　　　　　　　　　　　　　　五二，三三六○。 〈又半之〉　　　　　○一三○　　　　　　　　　　　　　　二六，一七六九。 〈又半之〉　　　　　○○四五　　　　　　　　　　　　　　一三○八九六， 其馀弧　　　　　　　八四。　　　〈六度之馀第一〉　　　　　九九四五二一九。

八七　　　〈一度之馀〉　　　　　　　九九八六二，九五八八三○。〈一度半之馀〉　　　　　　九九九六五七三八九一五。〈○度四十五分之馀〉　　　九九九九一四三

弧　　　　　　　　　度分　　　　　　　　　　　　　　　　用法得正弦数。 〈半其馀八十四度〉　四二　　　　　　　　　　　　　　　　六六，九一三○六。 〈半之〉　　　　　　二一　　　　　　　　　　　　　　　　三五八三六七九。 〈又半之〉　　　　　十○三○　　　　　　　　　　　　　　一八二二三五五。 〈又半之〉　　　　　○五一五　　　　　　　　　　　　　　九，一五○一六。 〈半其馀八十七度〉　四三三○　　　　　　　　　　　　　　六八，八三五四六。 〈又半之〉　　　　　二一四五　　　　　　　　　　　　　　三，七○五五七四。 〈半其馀八八○三○〉四十四　　十五　　　　　　　　　　　六九七，七九○五， 又用前七率之馀弧而求其正弦。

四八　　　〈四十二之第馀　　　一〉　七四三一四四八六九。　　　〈二十一之馀〉　　　　　　九三三五八○四七九三○。　〈十度半之馀〉　　　　　　九八三二五，四九八四四五。　〈八度十五分之馀〉　　　　九九五八○四九四六三○。　〈四十三度半之馀〉　　　　七二五三七四四六八一五。　〈二十一四十五分馀〉　　　九二八八○九，六四五四五。　〈四十四十五分之馀〉　　　七一六三○一九

又半前七率而求其正弦，

二四　　　〈四十八之半〉　　　　　　四○六七三六六

弧　　　　　　　　　度分　　　　　　　　　　　　　　　　用法得正弦数。

三四三○　〈六十九之半〉　　　　　　五六六四○六，二一七一五。　〈三十四三十分之半〉　　　二九六五四一六三九四五。　〈七十九三十分之半〉　　　六三九四三，九○二三一五。　〈四十六三十分之半〉　　　“三九四七四三九”，

又用前五率之馀弧，而求其半弦，

六六　　　〈二十四之第馀一〉　　　　九一三五四，五五五五三○。　〈三十四三十分之馀〉　　　八二四，一二六，二七二四五。　〈十七度十五分之馀〉　　　九五五○一九九五○《一五》。　〈三十九四十五分馀〉　　　七六八，八四一，八六，六四五。　〈二十三度十五分馀〉　　　九一八七九一二

又半前五率，而求其正弦，

三三　　　〈六十六之半〉　　　　　　五四四六三九○一六三○。　〈三十三之半〉　　　　　　二八四○一五三○八一五。　〈一十六三十分之半〉　　　一四三四九二六二七四五。　〈五十五三十分之半〉　　　四六五六一四五，

又用前四率之馀弧而求其正弦。

五七　　　〈三十三之第馀一〉　　　　八三八六七○六

弧　　　　　　　　　度分　　　　　　　　　　　　　　　　用法得正弦数。

七三三○　〈十六度三第十分之馀一〉　九五八，八一九七八一四五。　〈八度十五分之馀〉　　　　九八九六五一，四六二一五。　〈二十七四十五分馀〉　　　八八四九八七六

又半前四率，而求其正弦，

二八三○　　〈五十七度之半〉　　　　　四七七一五八八一四一五。　〈二十八三十分之半〉　　　二四六一五三三三六四五。　〈七十三三十分之半〉　　　五九八三二四六，

又用前三率之馀而求其正弦；

六一三○　〈二十八度第三十分馀一〉　八七八八一一一七五四五。　〈十四度十五分之馀〉　　　九六九二三○，九五三一五。　〈三十六四十五分馀〉　　　八○一二五三八

又半前六十一度三十分，而求其正弦。

三○四五　　　　　　　　　　　　　　五一一二九三一

又用前三十○度四十五分之馀，而求其正弦，

五九一五　　　　　　　　　　〈第一〉八、五、九、四○、六四

以上，皆十二度所生之率。再用其馀弧七十八度推 之，亦如前法。又十二度之弧，为前六宗率之十五边 形也。其馀五形，如三边、四边、五边、六边、十边形，亦如 前法。作此既毕，即《大测表》之大段全具矣。何者？首得 者四十五分，其次为一度三十分，又次为二度一十 五分，如此常越四十五分而得一率，乃至九十度皆 然。所少者，其中之各第一以至四十四分也。今欲求 初度一分以至四十五分如何？其法以四十五分弧 之半弦一三○八九六，用第二、第三法半之，得二十 二分三十秒之弧，其半弦为六五四四九。又半前弧， 得一十一分一十五秒之弧，其半弦为三二七二四 半。夫二十二分三十秒之前弧，倍于一十一分十五 秒之后弧，而前半弦亦倍于后半弦，盖繇初度之弦 与弧切近，略似相合为一线故也。则用同比例法。〈即三 率法〉以二十二分三十秒之弧为第一率，以其半弦六 五四四九为第二率，设十分之弧为第三率，而得第 四率为二九○八八。再用此法，得一分之弧，为二九 ○九弱。既得一分，即用前法推之，可至一十五分。此 外更用前三要法推之，以至九十度。

其求切线，皆用三率法

图

以馀半弦为第一率以半弦为第二率以半径为第三率而得第四率切线如三十度之弧其馀半弦八六六○二五四为第一率其半弦五○○○○○○为第二率半径一○○○○○○○为第三率则得第四率五七七三五○

《二》。

其求割线，亦用三率法。

以馀半弦为第一率，半径为第二率，又为第三率，而 得割线第四率。

如前戊乙为三十度之弧，其馀半弦甲丙八六六○ 二五四为第一率，半径甲戊一○○○○○○○为 第二率，又以半径甲乙为第三率，而得甲丁一一五 四七○○五为三十度弧之割线。

其求割线之约法，不用三率，而用加减法。

图

如上乙己弧二十度其切线为乙戊馀弧为己丙七十度半之得己丁三十五度即截乙庚弧与己丁等次作乙辛切线得数以加乙戊切线即两切线并为戊乙辛切线与甲戊割线等

其求矢法以馀半弦减半

图

径得小矢

如丙丁弧五十度馀弧甲丁四十度其馀半弦丁戊即己乙为六四二七八七六以减乙丙千万得己丙矢

已上所述皆远西法也彼自度以下递析为六十今中历递用百析为便故须

《会通》前表为百分之表。其会通法，如西六十分即中 之百分，半之三十分即五十分，又半之十五分即二 十五分，以五为法，西三分即中五分，次用倍法，六分 即十分，九分即十五分，十二分即二十分，如是以至 六十。

〈三　六　九　十二　十五　十八　二十一　二十四　二十七　三十　五　十　十五　二十　二十五　三十　三十五　四十　四十五　五十 三三　三六　三九　四二　四五　四八　五一　五四　五七　六十　五五　六十　六五　七十　七五　八十　八五　九十　九五　百〉 《通表》法书各度之四种，割圆线中西法皆同，所不同 者，分也。其分数书五分，用其三分之率；书十分，用其 六分之率。如是逓至于百，所阙者每二率相距少其 间四率耳，则用加减法求之。

如二十四度○三分，即中五分也；其小弦数。〈小弦者十万为 半径也〉四○七五三，又二十四度○六分，即中十分也。 其小半弦四○八三三，其差八十五。分之得十六为 一差。以加于前小半弦，即得四○七六九，得《中历》二 十四度六分之半弦。再加一差，得四○七八五，为七 分之半。弦三加得四○八○一，为八分之半。弦四加 得四○八一七，为九分之半。弦五加得四○八三三， 为十分之半。弦合前率矣。如是递加之，得六十，与百 分相通之全表。

西法每二率各有差，其差大抵半度而一更也。若差 数有畸零不尽者，如西表二十四度二十七分之半， 弦为四一三九○；又二十四度三十分之半，弦为四 一四六九，其差得七十九。五分之得十五；又五分之 四为一差。通之则从中表二十四度四十五分首加 一差。

《二》。〈十四〉度四十五分　　　　　　　四一三九○。

〈差法〉一五　　　　　五之四

四十六分　。〈加一差。〉　四一四○五　　　　　五之四四十七分。　〈加二差〉　四一四二一　　　　　五之三四十八分。　〈加三差〉　四一四三七　　　　　五之二四十九分。　〈加四差〉　四一四五三　　　　　五之一五十○分。　〈加五差〉　四一四六九

如上有畸零者，满半收为一，不满去之。

“考表法　” 作“表” 未必无误，故立考之之法。

如表书“七十七度一十八分”，其切线为四四三七三 四九九，此率如属可疑，则以前后各二率考之。

图

表用篇第五

表用一　，有弧数，求其正弦。

如三十七度五十四分之弧，求其正弦，查本度本分表得六一四二八五三。

又如三十七度五十四分四十六秒求其半弦，查本 度本分之半弦为六一四二八五三。又取次率五十 五分之半弦为六一四五一四八，相减，得差二二九 五。〈若表上有差率即取本差〉此差以当六十秒，用三率法，以六十 秒为第一率，以二二九五差为第二率，以四十六秒 为第三率，而求第四率，得一七五九。以加所取之前 半弦六一四二八五三，共得六一四四六一二，即所 求。

系凡求切线、割线，同上法。

次系有正弧求馀弦，视本弧同位之馀度分，向正弧 表上取其正弦。

如求三十度之馀弦，视正弧表上与同位者，为馀弦 六十度，即向正弧六十度取。其弦八六六○二五四， 即三十度之馀弦。

表上逆列同位者为五十九度六十分，而此言“六十度” ，盖并其六十分为六十度。其逆列六十度者则是六十一度。何者？凡所书弧分，皆所书弧度之算外分故也。

又如求五十度○分之馀弦，本表逆列同位者，为三 十九度六十分。即于正弦表上简三十九度六十分 之弦，得六四二七八七六即所求。

《三系》测三角形，欲得见弧。

“见弧” 者，有已得之弧而求其弦也。“隐弧” 者，有已得之弦而求其弧也。凡已得者称“见” ，未得者称“隐。” 《诸线》《诸角》之属皆仿此。

之各线，查表之本度分直取之，则各线咸在也。如弧 三十度，求其割圆各线，即查表之三十度初分，又查 其同位之六十度。所得如左：

三十度初分正弦　　　　　五○○○○○。

切线　：五七七三五○三割线　：一一五四七○○五。

馀。〈五十九度六十分〉弦　“八六六○三五四。”

切线　一七三二○五○八割线　二○○○○○○○。

四系有钝角，求其各线，如钝角，一百四十二度六分。

图

其正弦则以一百四十二度六分减半周馀三十七度五十四分查表求其正弦得六一四三八五三如上丙丁正弦当丙乙小弧亦当丙戊大弧故当丙甲丁锐角亦当丙甲戊钝角何者甲上锐钝二角原当两直角而表上无钝角

之弧与其正弦，故减钝角。于百八十度得锐角三十 七度五十四分。其半弦丙丁以当丙戊大弧，即以当 大弧之钝角也。

表用二　，有正弦求其弧。

与前题相反，如有正弦八八八八八三九，欲求其弧， 查表上正弦格，得此数，即得本度为六十二，本分为 四十四也。

又如正弦五七六五八三四，求弧，查表无此数。即取 其近而略小者，得三十五度十二分之弦，为五七六 四三二三；与见弦相减，馀一五一一。又取其近而略 大者，得五七六六七○○；与前小弦相减，馀二三七 七。以此大差当六十秒。用三率法，以二三七七大差 为第一率，以六十秒为第二率，以一五一一小差为 第三率，而得第四率，为三十五度十二分三十秒，即 所求他各线。求弦俱仿此。

表用三　有弧，求其通弦。

如七十五度四十八分之弧求通弦，其法半之，得三 十七度五十四分，求其正弦，得六一四二八五二倍。

图

之得一二二八五七○四即所求

如甲乙弧七十五度四十八分半之为乙戊弧求得乙丁正弦倍之即乙丁甲通弦也因通弦无表故用半弧正弦倍之即是他准此

表用四　有弧求其

图

大小矢

如乙丁弧三十七度五十四分求两矢查表截矢数得乙丙小矢为二一○九一五九以减全径二○○○○○○○得大矢一七八九○八四一如表无小矢即求见弧之馀弦得七八九○八四一以减半径

得小矢。

测平篇第六

“测平”者，测平面上三角形也。凡此形皆有六率：曰“三 边”，曰“三角。”角无测法，必以割圆线测之，其比例甚多。 今用四法以为根本。依此四根法，可用《大测表》测一 切平面三角形，亦执简御繁之术也。凡测三角形，皆 用三率法。〈即同比例〉《三率》法又以相似两三角形。〈几何六卷四〉 “为宗”，下文详之。

根法一

图

各三角形之两边与其各对角两正弦比例等一云右边与左边若左角之弦与右角之弦

如上甲乙丙平面三角形其甲丙两为锐角即以甲为心甲乙为半径作乙戊弧次作乙己垂线即乙戊弧之正弦亦即甲角之正

弦也。又以甲乙为度，从丙截取丙庚，从丙心庚界，作 庚辛弧，又作垂线，庚丁即庚辛弧与丙角之正弦也。 《题》言乙角之甲乙右边与乙丙左边。若左角丙之庚 丁正弦与右角甲之乙己正弦

《论》曰：“乙丙己三角形，有乙己庚丁两平行线，即乙丙 与乙己，若庚丙与庚丁，而丙庚原与甲乙等，即乙丙 与乙己。若甲乙与庚丁，更之即甲乙与乙丙，若庚丁 与乙己。”

如左甲乙丙形，乙与直角有丙乙丁戊两平行线，即

图

甲丙与丙乙若甲丁与丁戊而乙丙与甲丁等即甲丙与丙乙若丙乙与丁戊反之则丙角之丙乙右边与丙甲左边若左角甲之丁戊弦与右角乙之丙乙弦

如右甲乙丙形乙为钝角其正弦丙壬而甲戊线与

图

乙丙等甲角之正弦为戊己题言丙角之甲丙右边与丙乙左边若左角乙之丙壬弦与右角甲之戊己弦何也试于形外引甲乙至丁作丙丁线与丙乙等即丁角与乙锐角等依首条甲丙与丙丁若丙壬与戊己即甲丙与丙乙亦若

图

丙壬与戊己

总论之各三角形各两边之比例与两对角之两正弦比例等者何也试于形外作切圈则三边为三弦而本形之各边皆为各对角之通弦即乙丙边与甲乙边若甲角之弦与丙角之弦也当己即是岂止同

比例而已乎？夫“全”与“全”、“半”与半比例等，则各“半弦”与 各《通弦》之比例亦等。

此题为用“《对角》根本。”

根法二

“各三角形”，以大角为心，小边为半径作圈，而截两边 各为圈内外两线，即底线与两腰并，若腰之外分与 底之外分。

如左甲乙丙形，其小边甲丙，其底乙丙。以甲为心，甲 丙为半径作圈，截底于戊，截大腰于庚，题言“乙丙底。”

图

与乙甲甲丙两腰并若腰外分乙庚与底外分乙戊论曰试作乙己引出线即甲己与甲丙等而乙己与两腰并等乙己乙庚矩内形与乙丙乙戊矩内形两容等〈几何三卷三五〉即两形边为互相视之边，而乙己与乙丙。若乙戊与乙庚，即得乙

戊底外分。以减全底，得戊丙。半之，得垂线所至为丁 丙。

此题为“用《垂线》根本。”

根法三

有“两角并”之数，又有其各正弦之比例。求两分角之 数。

如左乙甲丙角有其弧乙辛丙之数，其两分之大角 为乙甲壬，小角为壬甲丙。未得数。但知大角正弦乙 丁小角正弦丙戊之比例，亦未得数，而求两分角之

图

数其法以乙辛丙弧两平分于辛作甲辛线乙甲辛辛甲丙两角等而辛甲壬角为半弧与小弧之差又为大弧与小弧之半差次截辛庚弧与辛戊等作甲庚线即庚甲壬角为大小两弧之差夫乙丙者总角之弦乙丑平分弧之正弦

而己辛为乙辛半弧之切线，辛癸为辛丙半弧之切 线，此二线等，而辛壬辛庚各为半差弧之切线，亦等。 又乙丁、子子丙戊两形，为两正弦上三角形，此两形 之丁与戊皆直角，又同底即两正弦之对角，为子上 两交角，亦等。〈几何一卷十题〉而丁乙子子丙戊两角亦等。〈几何 一卷三二〉则两形为相似形。而乙丁正弦与丙戊正弦。若 乙子与子丙。〈几何六卷四〉先既有乙丁丙戊两正弦之比 例，即得乙子与子丙之比例，而又得乙子与子丙之 较为子寅。夫乙丙己癸两线，同为甲辛半径上之垂。

图

线即平行甲乙丙甲己癸两形之各角等即为相似之形〈六卷四〉而两形内所分之各两三角形，如甲庚癸、甲寅丙之类俱相似。即以两线之并数乙丙为第一率，以两线之差数子寅为第二率，以两半弧之两切线己癸为第三率，则得两

差弧之切线庚壬为第四率矣。而此比例稍繁，别有 简者则半之，曰丙丑与子丑，若癸辛与壬辛也。有更 简者则曰乙丙与子寅，若辛癸与辛壬也。今用第三 法，云：乙丙为两边之并数，子寅其较数，辛癸为两角 总数内半弧之切线，而辛壬为大小两角较弧之切 线。既得辛壬切线，即得辛甲壬角；以加乙甲辛半角， 即得乙甲壬大角；以减辛甲丙半角，即得壬甲丙小 角。

以数明之，乙甲丙角为四十度，所包大小两隐角为

图

乙甲壬壬甲丙其两正弦乙丁丙戊之比例为七与四即乙子子丙之比例亦七与四而乙丙之总数如十一平分之于丑即乙丑丑丙各得五有半而乙辛辛丙两弧各二十度又以大线七与半线相减馀一有半以半线五有半与小

线四相减，亦馀一有半。又甲辛为半径，即辛丙二十 度弧之切线。辛癸为三六三九七○二，即以丑丙五 有半为第一率，以辛癸切线三六三九七○二为第 二率，以子丑一有半为第三率，而得辛壬切线九九 二六四六为第四率。既得第四率，即得辛壬所当辛 甲壬角为五度四十○分八秒，以减辛丙二十度，馀 壬甲小角一十四度一十九分五十二秒。以加半弧 乙、辛，得乙、《甲》壬大角二十五度四十○分八秒。

此题为“用《切线》根本。”

图

根法四

凡直角三边形之各边皆能为半径

其一以弦线为半径作弧即馀两腰包直角者各为其对角之正弦

如上甲乙丙形其乙丙为对直角之弦线以为半径作丁丙弧即甲丙小腰为

图

对角乙之正弦甲乙大腰为对角丙之正弦

其二以大腰为半径即小腰为小角之切线而弦线为小角之割线

如上甲乙大腰为半径即甲丙小腰为乙小角之切线而乙丙为乙角之割线其三以小腰为半径即大

图

腰为大角之切线而弦线为大角之割线

如上甲丙小腰为半径即甲乙大腰为丙大角之切线而乙丙弦线为其割线

此题为用割圆各线根本〈以上原本卷二〉。