测圆海镜/卷07

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○明Ａ１前一十八问

或问：出南门东行七十二步有树，出东门南行三十步见之。问答同前。

法曰：倍南行以乘倍东行为平实，并二行又倍之为从，一虚隅。得城径。

草曰：识别得此问名为弦外容圆，又为内率求虚唬粒保其二行步相并为虚弦，若以相减即虚较也。又倍东行为弦较和，倍南行即弦较较，此二数相乘则两虚积也。若直以二行相乘，则半个虚积也。又倍东行减于城径，馀即二虚勾也。倍南行减于城径则二虚股也。虚积上三事和即城径也。乃立天元一为圆径，便以为三事和也。倍二行步减之，得■为黄方一，天元乘之得■为二虚积（寄左）。然后倍东行以乘倍南行，得八千六百四十为同数，与左相消得■。益积开平方得二百四十步，即城径也。合问。

又法：二行步相乘为实，二行步相并为从，一步虚法。得半径。

草曰：立天元一为半径，副置二位。上加东行步得■为大差勾，下加Ａ１股得■为小差股。此二数相乘得下式■为半段黄方幂（寄左）。然后立天元以自之，又二之，与左相消得■。益积开平方得一百二十步，即半城径也。

又法：二云数相乘倍之于上，加云数差幂，权寄。并二云数又自增乘，得数内减上位为平实，并云数而倍之为从，二步益隅。得半径。

草曰：立天元一为半径，副之。上减明勾得下■为虚勾，下减Ａ１股得■为虚股。勾股相乘得■，又倍之得■，又加二行差幂■，得■为弦幂（寄左）。然后并云数，以自之得■于太极位，为同数，与左相消得■。益积开平方得一百二十步，即半城径也。

又法：云数相乘又倍之为平实，云数相减为从，一常法。得虚勾。

草曰：立天元一为虚勾。以南行减东行馀四十二步为虚较也。以虚较加天元得■为虚股，以天元乘之得下■为直积（寄左）。然后倍南行乘东行得■，与左相消得■。开平方得四十八步，即虚勾也。以勾除积得九十步，即虚股也。并勾股得■为虚和也，内加入二行并■得■，即圆径也。

又法：并二行步以自乘于上，又倍南行乘倍东行，加上位为平实，一隅法。得小和。

草曰：立天元一为小和。并二行步加之得■为三事和也。倍二行步而并之得■，以减三事和，馀■为黄方，却以三事和乘之，得下■为二虚积也（寄左）。乃倍南行以乘倍东行，得■为同数，与左相消得■。开平方得一百三十八步，即虚和也。加入二行步得二百四十步，即城径也。合问。

或问：丙出南门直行一百三十五步而立，甲出东门直行一十六步见之。问答同前。

法曰：以丙行步一百三十五再自之，得二百四十六万○三百七十五于上。又以甲行一十六乘丙行幂一万八千二百二十五，得二十九万一千六百，以乘上位，得七千一百七十四亿四千五百三十五万为三乘方实；以二行步相乘又倍之得四千三百二十，以乘丙行步再自之数，得一百六亿二千八百八十二万为益从；第一廉空；以甲行乘丙行幂，得二十九万一千六百，又倍之得五十八万三千二百于上，四之甲行幂一千○二十四，以乘丙行步，得一十三万八千二百四十，减上位馀四十四万四千九百六十为第二廉；二行步相乘得二千一百六十为虚常法。得丙行步上勾弦差八十一。

草曰：识别二数相并，得一百五十一。以减于皇极弦，馀一百三十八，即虚勾虚股并也。若以二数相减，馀一百一十九为高弦内减平弦，又为皇极弦内少个小差弦，又为大差弦内减个皇极弦也。立天元一为丙行大差数。置丙行步一百三十五，自乘得■，用天元除之，得■为勾弦并也。上减天元得■为二丙勾也。复用丙南行乘之，得■为二积也。又以天元除之，得■为丙勾外容圆半（泛寄）。别置丙南行用二甲勾乘之，得■太，合用二丙勾除之。不受除，便以此为甲股（内寄二丙勾为分母）。复用二甲勾三十二乘之，得■太为二个甲直积也。又置丙南行内减天元，得■为黄方，以自乘得■为丙上勾弦差乘股弦差二段，以天元除之得■为两个丙小差也。乃用甲股乘之，得下式■。复用丙南行除之，得 ■，又折半得下式■为一个甲步股弦差也，内亦带前二丙勾分母。复置两个甲直积，内已寄此甲股弦差分母，便为甲步股外容圆半（寄左）。乃再置先求到泛寄，用甲股弦差分母乘之，得■为同数，与左相消得下式■。开三乘方得八十一步，即丙步上勾弦差也。《钤经》载此法，以勾弦差率幂减丙行幂，复以丙行乘之为实，以差率幂为法，如法得径。此法只是以勾外求圆半。合以大差除倍积，而今皆以大差幂为分母也。依法求之，勾弦差八十一自之得六千五百六十一，以减于丙行幂一万八千二百二十五，馀一万一千六百六十四，复以丙行一百三十五乘之，得一百五十七万四千六百四十为实，以大差幂六千五百六十一为法，如法得二百四十步，即城径也。

又法：二行相乘，得数又自之为三乘方实；并二行步以乘二行相乘数，又倍之为从；二行相并数以自乘于上，又二行相减数自乘减上位为第一廉；第二廉空，一益隅。益积开之，得半径（其第一廉只是四段二行相乘数）。

草曰：立天元一为半城径，副置之。上加南行步得■为股，下位加东行步得■为勾。勾股相乘得■为直积一段。以天元除之得■为弦，以自之，得■为弦幂（寄左）。乃以勾自之，得■，又以股自之，得■，二位相并得■为同数，与左相消，得■。益积开三乘方，得一百二十步，即半城径也。

又法：条段同前。

草曰：依前求得勾股率。置出南门步为小股，以勾率乘之得■，合以股率除，不除寄为母，便以此为半梯头于上。又置南行步加二天元，得■为大股，以勾率乘之，得■，合以股率除，不除寄为母，便以此为梯底。以乘上位，得■为半径自乘数，内带股率幂为母（寄左）。然后置天元以自之，又以股率幂乘之，得下■ 为同数，与左相消。所得一如前答。

又法：以二行差幂数自乘，又倍之为实；并二行步以乘二行差幂，又四之为益从；四段南行幂内减二段差幂于上，又二段差幂内减四段东行幂，馀以减上位为第一廉；四之二行共为第二廉，二步虚法。益积开之，得皇极弦二百八十九。

草曰：立天元一为皇极弦，以自之为弦幂于上。以二行步相减馀■，以自之，得■为较幂，以减上得■为二直积。复以天元除之，得■为一个城径也，副置之。上位加二之东行步，得■为二勾也。以自增乘得■为四段勾幂于上。下位加二之南行，得■为二股也。以自增乘得■为四段股幂也。并入上位得下式■为四段弦幂（寄左）。然后以天元为幂，就分四之为同数，与左相消得下■。益积开三乘方，得二百八十九步即皇极弦也。欲见城径者，别立天元半径，副之。加东行为勾，加南行为股，勾股各为幂，并之，与弦幂相消，开方得半城径也。

又法：以二行差一百一十九自乘，得一万四千一百六十一为差幂。以东行步乘之，得二十二万六千五百七十六为泛率，又自增乘得五百一十三亿三千六百六十八万三千七百七十六为五乘方实。倍东行步得三十二，以二行差一百一十九乘之得三千八百八为小泛。以乘泛率，又倍之得一十七亿二千五百六十○万二千八百一十六为从方。并两行而倍之，得三百二，以乘泛率，得六千八百四十二万五千九百五十二于上位，以小泛幂一千四百五十万○八百六十四加入上位，共得八千二百九十二万六千八百一十六为第一廉。并两行而倍之，得三百二，以乘小泛，得一百一十五万○○一十六为寄数。倍二行差以乘差幂得三百三十七万○三百一十八，内减寄数馀二百二十二万○三百○二为第二益廉。六段二行差幂八万四千九百六十六，内减二行并数幂二万二千八百一，馀六万二千一百六十五为第三益廉。六之二行差七百一十四为第四益廉，二步虚法。得Ａ１弦三十四步。

草曰：立天元一为皇极弦上股弦差（即东行步上斜也，亦谓Ａ１弦）。以天元加二行差，得■，即明弦也（此即皇极弦上勾弦差也）。以天元乘之，又倍之得 ■，即皇极内黄方幂也（泛寄）。置皇极弦上勾弦差以东行步乘之，得■，以天元除之，得■为明勾也。又置天元以南行乘之，得■，合用明弦除，不除寄为母，便以此为Ａ１股于上（寄明弦母）。乃再置明勾以明弦乘之，得■，亦为带分明勾，加入上位，得■，即是一个虚弦也。以自增乘得下式■为一段虚弦幂也，内带明弦幂分母（寄左）。然后置明弦以自之，得■为明弦幂，以乘泛寄，得■为同数，与左相消得下式■。开五乘方，得三十四步为东行步上斜步也（即Ａ１弦）。其东行步得■，即Ａ１勾也。勾弦各自为幂，以相减馀九百步，开方得三十步即Ａ１股也。既各得此数，乃以股外容圆半法求圆径，得二百四十步即城径也。合问。

或问：出东门一十六步有树，出南门东行七十二步见之。问答同前。

法曰：二行步相减得数，以自之于上。又以出东门步自之，减上位为平方实，二之出南门东行步为益从，一步常法。翻开得半径。

草曰：别得人到树即平弦也，半圆径即平股也。其东行七十二步则平勾平弦差也。乃立天元一为半圆径，加一十六减七十二，得■为勾也。以自之得■为勾幂。又加入天元股幂得■为弦幂（寄左）。再立天元一为半径，加出东门步，得■即弦也。以自之得■为同数，与左相消得■。翻法开之得一百二十步，即半城径也。合问。

或问：出南门一百三十五步有树，出东门南行三十步见之。问答同前。

法曰：树去城步内减南行步，馀以为幂于上，又以树去城步为幂内减上位为平实，倍树去城步为从，一虚隅。翻法得半城径。

草曰：别得人距树即高弦也，半圆径即高勾也，其南行三十步即高弦上小差也。乃立天元一为半径，加树去城步为弦，内减小差■，得■即股也。以自之得■ 为股幂，内加入天元幂，得■为弦幂（寄左）。再置弦■以自之，得■为同数，与左相消，得式■。翻开得一百二十步，即半城径也。合问。

或问：乙出东门不知远近而立，甲出南门东行七十二步望见乙，就乙斜行一百三十六步与乙相会。问答同前。

法曰：以斜行步自之于上，以二行相减馀自为幂，减上位为平实，从空，一步常法。如法得半径。

草曰：别得七十二步即大差也，斜行即弦，半径即股也。立天元一为半径，以自之为股幂，又以二行差六十四以自之得■为勾幂。并二幂得■为弦幂（寄左）。然后以斜行步自之，得■为同数，与左相消得■。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。

或问：甲出南门不知远近而立，乙出东门南行三十步望见甲，却就甲斜行二百五十五步与甲相会。问答同前。

法曰：二行差自之为幂，以减于斜行幂为平实，一虚隅。得半径。

草曰：别得南行步即股弦差也，斜步即弦也，半径即勾也。乃立天元一为半城径，以自之为幂。以二行相减馀二百二十五，以自之得■为股幂。二幂相并得■ 为弦幂（寄左）。然后以斜行步自之，得■为同数，与左相消得下■。开平方得一百二十步，即半径也。合问。

或问：甲出南门东行不知步数而立，乙出东门南行三十步望见甲，斜行一百二步相会。问答同前。

法曰：二行相减，馀以乘乙南行，四之于上，又加入斜行幂为平实。得虚和一百三十八。

草曰：别得斜步内减南行为甲东行步也。此问以弦外容圆入之，以二行相减数乘乙南行三十步，得■，又四之，得■为二直积也。又加入斜步幂■，共得■即和幂也。平方而一，得一百三十八步，即虚和也。又加斜步得二百四十步，即城径也。合问。

或问：乙出东门南行不知步数而立，甲出南门东行七十二步望见乙，斜行一百二步与乙相会。问答同前。

法曰：倍相减步以乘倍东行，得数复以减于斜步幂，馀为实。平方而一，得较也。又以二行相减数乘倍东行为平实，以较为从方，得勾。勾较共为长，又以斜步并入勾股共，即城径。

草曰：别得二行相减馀■为乙南行步也。以此数又减于甲东行，馀四十二步即较也。又以二行相减数■乘倍东行得■为平实，以较为从。平方开得四十八即勾也。勾内加较得九十步即股也。勾股共得一百三十八，又加入斜步，共得二百四十步，即城径也。合问。

或问：乙出南门东行，甲出东门南行，两相望见。既而乙云：“我东行不及城径一百六十八步。”甲云：“我南行不及城径二百一十步。”问答同前。

法曰：半甲不及步以自之为幂，半甲不及步内减差以自之为幂。二幂相并内却减差幂为平实，四之甲不及内减三之乙不及，馀为益从，三步半虚法。得甲南行。

草曰：别得乙不及为虚勾、半径共，又为径内减明勾也。甲不及为虚股、半径共，又为径内减Ａ１股也。又二云数相并为虚和、圆径共也，云数相减即虚较也。乃立天元一为甲南行，以减于甲不及步又半之，得■为虚股也。虚股内减虚较得■为虚勾。勾自之得■为勾幂也，又股自之得下式■为股幂也。二幂相并得■为弦幂（寄左）。然后以天元加虚较得■为乙东行。又加入天元甲南行得■为虚弦，以自之得■为同数，与左相消得■。开平方得三十步，即甲南行也。内加少步，即城径也。合问。

或问：丙出南门直行，甲出东门直行，两相望见。既而丙云：“我行少于城径一百五步。”甲云：“我行少于城径二百二十四步。”问答同前。

法曰：二少步相乘讫，又自乘为实；六之共步，乘云数相乘数为益从；十八之云数相乘于上，又三之共步，自乘加上位，内复减丙少步幂、甲少步幂为从廉；四十八之共步为益二廉，六十三步常法。翻法开三乘方，得一百二十步，即半径。

草曰：别得云数共减于倍城径为甲丙共行数。又云数相减即皇极差，亦为甲行不及丙行数。立天元一为半城径，以三之，副置二位。上位减丙少步，得■为皇极股也，下位减甲少步得■为皇极勾也。勾股相乘得■，以天元除之，得■为弦也。弦自之得■为弦幂（寄左）。然后以股自之得下■为股幂于上，又以勾自之得 ■为勾幂，并以加入上位，得■为同数，与左相消得■。翻法开三乘方得一百二十步，即半城径也。合问。

或问：甲出东门直行，乙出南门直行，各不知步数而立。乙望见甲，就甲斜行了二百八十九步与甲相会。其二直行共得一百五十一步。又云甲直行少于乙直行。问答同前。

法曰：斜幂内减共步幂为平实，倍共步内减斜步为从，一常法。得径。

草曰：别得共数、城径并即皇极和也。立天元一为圆径，加共步得■为皇极和，以自之，得■于上。以斜行幂■减上位馀■为二直积（寄左）。然后以天元乘斜步得■，与左相消得■。开平方得二百四十步，即城径也。合问。

或问：甲出东门直行，乙出东门南行，丙出南门直行，丁出南门东行，各不知步数而立。四人遥相望，悉与城参相直。只云甲、丙共行了一百五十一步，乙、丁立处相距一百二步。又云丙直行步多于甲直行步。问答同前。

法曰：共步、距步相减，得数自之于上，以共步为幂内减上为平实，二之距步内减共步、距步差为从，一步虚法。得城径。

草曰：别得共步得城径即皇极和也，相距步即虚弦也。皇极和内减虚弦即皇极弦也。又共步、距步差■即皇极弦内减城径也（此名旁差）。乃立天元一为城径，加共步得■为皇极和也，以自之得■于上，以共步、距步差■加天元得■为皇极弦也，以自之得下式■，减上位馀得■为二直积（寄左）。然后以天元径乘皇极弦，得■为同数，与左相消得■。开平方得二百四十步，即城径也。合问。

或问：甲出南门东行不知步数而立，乙出东门南行望见甲，复就甲斜行，与甲相会。乙通计行了一百三十二步，其乙南行步不及斜行七十二步，其甲东行却多于乙南行。问答同前。

法曰：倍不及步在地，以不及步减通步以乘之为实，以四之不及步为法。得乙南行三十步。

草曰：别得乙南行即Ａ１股也，以减通步即虚弦也，以减不及步即虚较也，其不及步即甲东行也。立天元一为乙南行，置不及步以天元乘之，又四之得■元为二直积（寄左）。然后倍不及步以为弦较和于上■。以不及步减通步得■为弦较较。以乘上位得■太为同数，与左相消得■。上法下实，得三十步为乙南行也。馀各以数求之。

又法：别得通行步为两个乙南行、一个甲东行共也。其不及步即东行步也。云步相并即两个虚弦，相减即两个乙南行也。

或问：甲出南门东行不知步数而立。乙出东门南行，望见甲，复斜行与甲相会。二人共行了二百四步，又云甲行不及共步一百三十二。问答同前。

法曰：别得二行共即两个虚弦也，其不及步即乙南行与一虚弦共也。置不及步内减一弦馀三十步，即乙南行也。以乙南行反以减虚弦，馀七十二步即甲东行也。以乙南行减甲东行馀即虚较也。

此问无草。

或问：乙出东门南行，甲出西门南行，甲望见乙，斜行五百一十步相会。乙云：“我南行少于城径二百一十步。”问答同前。

法曰：少步幂为平实，四斜步内减二少步为益从，五步常法。得乙南行。

草曰：别得少步为径内减Ａ１股。立天元一为乙南行，以二之减于倍斜行步，得■为梯底也。以二之天元乘之，得■为径幂（寄左）。再置天元加少步，得下式■为城径，以自之得■，与左相消得■。开平方得三十步，即乙南行也。加少步即城径也。合问。

或问：乙出南门东行，甲出北门东行，甲望见乙，斜行二百七十二步与乙相会。乙云：“我东行不及城径一百六十八步。”问答同前。

法曰：以不及步幂之为实，四斜内减二之不及步为虚从，五常法。平开得乙东行七十二步。

草曰：别得不及步为城径减明勾也。立天元一为乙东行，以倍之减于二之斜行步，得下■为梯底也。倍天元乘之，得■为径幂（寄左）。再置天元加不及步，得■为城径，以自之得■为同数，与左相消得■。开平方得七十二步，即乙东行也。加入少步即城径也。合问。

或问：乙出南门东行，丁出东门南行，却有甲丙二人共在西北隅，甲向东行，丙向南行，四人遥相望见，俱与城参相直。既而相会，甲云：“我多乙二百四十八步。”丙云：“我多于丁五百七十步。”问答同前。

法曰：二多步相乘为平实，并二多步而半之为从，七分半常法。得城径。

草曰：别得甲多步为大勾内减明勾也，丙多步为大股内少Ａ１股也。又乙东行得一虚勾为半径，丁南行得一虚股为半径。又二多数相并得■为大和内少虚弦也，又二少数相减馀■为两个角差。又甲多步内减半径即勾方差也，丙多步内减半径即股方差也。立天元一为城径，以半之减于甲多步得■为勾方差，又以半径减于丙多步得■为股方差。二差相乘得■为径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得下式■。开平方得二百四十步，即城径也。合问。

或问：甲丙二人俱在西北隅，甲向东行，丙向南行。又乙出南门东行，丁出东门南行，各不知步数而立。四人遥相望见，悉与城参相直。既而相会，甲云： “我与乙共行了三百九十二步。”丙云：“我与丁共行了六百三十步。”问答同前。

法曰：甲乙共自之为幂，丙丁共自之为幂，二幂又相乘为三乘方实。甲乙共自之为幂，以丙丁共乘之于上。又以丙丁共自之为幂，以甲乙共乘之加上位为益从。甲乙共自之为幂，丙丁共自之为幂，并，以七分半乘之于上。又以甲乙共乘丙丁共，得数减上位为第一益廉。并二共数，以七分半乘之为第二廉。以七分半自之，得五分六厘二毫五丝于上位。以一步内减上位，馀四分三厘七毫五丝为虚隅。得城径。

草曰：别得甲为大勾，乙为明勾，丙为大股，丁为Ａ１股也。甲乙共内减半径即是黄长弦也，丙丁共内减半径即黄广弦也。黄长弦、黄广弦二数相减，馀为两个皇极差也。乃立天元为城径，半之副置二位。上以减于甲乙共数，得■即黄长弦也，以自之得■为黄长弦幂也，内减天元一幂，馀得下式■为勾方差幂也。下位以减于丙丁共，得下式■即黄广弦也，以自之得■为黄广弦幂也，内减天元一幂，馀得■为股方差幂也。再以勾方差幂、股方差幂相乘，得■为径幂（寄左）。然后以天元为幂，又以幂自之，与左相消得下式■。开三乘方得二百四十步，即城径也。合问。