數度衍 (四庫全書本)/卷09

數度衍　卷九

　　欽定四庫全書
　　數度衍卷九
　　桐城　方中通　撰
　　方圓〈少〉廣〈之一〉
　　諸率
　　通曰求積者用徑一圍三度天者用徑七周二十二然徑一則圍三有餘徑七則周二十二不足今測以徑十七周五十二其率較細大約四形之率惟方率
　　無差他皆無凖方斜七而強角面七而弱圓率從難推求惟舉成數而已
　　通曰方形剖周為四面面與中徑等四面即四徑也圓以三為率徑求周以徑乘率周求徑以率除周方以四為率徑求周以徑乘率周求徑以率除周通曰此勾股也勾股皆五各自乘並之為五十開方則七有零七自之惟四十九較五十之開方則少一數矣今
　　方斜以五七為率方求斜以斜七乘方面以方五除之斜求方以方五乘內斜以斜七除之
　　通曰此亦勾股也中徑為股半
　　面為勾各自乘並為四十八二五
　　開方則七不足矣今三角以六七
　　為率面求徑以徑六乘面以面七
　　除之徑求面以面七乘徑以徑六
　　除之
　　方內容圓圓內容方率説



　　通曰數始於一圓徑一則周三方徑一則周四兩周相乘得十二故方圓相容之率皆十二也丁乙矢七己丁矢必五卯丑隅七午卯隅必五子丑方周七寅卯方周必五甲乙圓周七丙丁圓周必五甲乙方圓徑七丙丁方圓徑必五七五並為十二故曰皆十二也推而求之萬

　　重皆然此方圓之分率也徑同則圓周圓積皆不及方周同則方徑方積皆不及圓積同則圓周不及方周方徑不及圓徑何也徑同以一言之圓徑一周三方徑一周四圓周不及方周四分之一矣又以三言之圓徑三積七方徑三積九圓積不及方積九分之二矣周同以十二言之方周十二積九圓周十二積十二方積不及圓積十二分之三矣又方周十二徑三圓周十二徑四方徑不及圓徑四分之一矣積同以一百六十九言之圓積一百六十九則周四十五方積一百六十九則周五十二圓周不及方周五十二分之七矣又方積一百六十九則徑十三圓積一百六十九則徑十五方徑不及圓徑十五分之二矣此方圓之合率也至其容之大小悉較容茲不具論
　　通曰石齋先生之天方圖九方九圓外方積一萬六千三百八十四如率推之庇羃盡得余別録焉
　　方內容圓法
　　方面求圓積庇積式方面十四問圓積庇積各幾何曰圓積一百四十七庇積四十九術以方面十四自乘得方積一百九十六以七五乘之得一萬四千七百降二位為圓積一百四十七以二五乘方積得四千九百降二位為庇積四
　　十九〈法有二位故降二位〉又術以方面折半為七又折半為三五自乘得十二二五為一庇積以四乘之得四十九以減方積得圓積〈七五乘二五乘説見後〉
　　圓內容方法
　　圓徑求方積羃積式圓徑十四問方積羃積各幾何曰方積一百羃積四十七術以圓徑十四乘方斜面率五得七十以方斜率七除之得一十為內方面自乘得方積一百用圓徑求圓積〈詳後〉得一百四十七以減方積餘四十七為羃積
　　立方內容立圓法
　　立方面求立圓積立庇積式立方面十六問立圓積立庇積各幾何曰立圓積二千三百○四立庇積一千七百九十二術通曰以立方面十六
　　自乘得二百五十六再乘十六得四千○九十六為立方積以十六除之得二百五十六以九乘之得二千三百○四為立圓積二積相減餘一千七百九十二為立庇積〈九乘十六除説見後〉
　　立圓內容立方法
　　立圓徑求立方積立羃積式立圓徑十七問立方積立
　　羃積各幾何曰立方積一千七百
　　七十一五六一立羃積九百九十
　　一九九九術通曰以立圓徑十七
　　用徑求積法〈詳後〉得二千七百六十三五六零為立圓積以圓徑為立方斜乘方斜面率五得八十五以方斜率七除之得一十二一零自乘得一百四十六四一再乘一十二一得一千七百七十一五六一為立方積二積相減餘九百九十一九九九為立羃積
　　通曰凡方內容圓圓內容方必彼此相切方可立算
　　平方求積法〈即開平方之還原也〉
　　徑求積式徑三十二為積幾何曰積一千○二十四術以徑三十二自乘得一千○二十四為積
　　周求積式周一百二十八為積幾何曰積一千○二十四術以周一百二十八用四除之得三十二為徑自乘得積
　　平圓求積法〈即開平圓之還原也〉
　　徑求積式徑六為積幾何曰積二十七術徑六自乘得三十六以三乘之得一百○八以四除之得二十七為積又術徑六自乘得三十六以七五乘之得二千七百降二位得二十七亦合〈三乘四除説見後〉
　　周求積式周十八為積幾何曰積二十七術周十八自乘得三百二十四以十二除之得二十七為積〈十二除説見後〉周徑求積式徑六周十八為積幾何曰積二十七術徑六與周十八相乘得一百○八以四除之得二十七為積
　　通曰此與三乘四除同徑一周三故也
　　半周求積式半周九為積幾何曰積二十七術九自乘得八十一以三除之得二十七〈三除説見後〉
　　半徑求積式半徑三為積幾何曰積二十七術三自乘得九以三乘之得二十七〈三乘説見後〉
　　半周半徑求積式半周九半徑三為積幾何曰積二十七術九與三相乘得二十七
　　通曰方徑自乘得方形以此方形積均分作四股圓形內得三股四庇共得一股故用七五乘
　　者四分十之三也用二五乘者四分十之一也
　　通曰徑用三乘得長方形即周徑相乘也此內容圓形者三而三圓形之庇積
　　又成一圓形之積以此一圓並三圓而為四故三乘者用四除也
　　通曰周自乘得大方形此內有方形九而容圓形者亦九三圓形之庇積成一圓形之積則九圓形之庇積必成三圓形之積矣以此三圓並九圓而為十二故用十二除也
　　通曰半周自乘得全周自乘四分之一故用三除蓋三除者十二除四分之一
　　也半徑自乘與庇積等三其庇積而成圓積故用三乘也
　　立方求積法〈即開立方之還原也〉
　　徑求積式徑三十二為積幾何曰積三萬二千七百六十八術徑三十二自乘得一千○二十四又乘三十二得三萬二千七百六十八為積
　　立圓求積法〈即開立圓之還原也〉
　　徑求積式徑四十八為積幾何曰積六萬二千二百○八術徑四十八自乘得二千三百○四再乘四十八得十一萬○五百九十二以九乘之得九十九萬五千三百二十八以十六除之得六萬二千二百○八為積周求積式周一百四十四為積幾何曰積六萬二千二百○八術周一百四十四自乘得二萬○七百三十六再乘一百四十四得二百九十八萬五千九百八十四以四十八除之得六萬二千二百○八為積
　　通曰立圓徑自乘再乘乃立圓外之立方積也九回立方積即十六回立圓積故以九乘十六除也立圓周自乘再乘乃二十七回立方積也即四十八回立圓積故以四十八除也葢二十七者三回九也四十八者三回十六也而周求積之不用二十七乘者周巳大於徑三回故不用三回九之二十七乘也
　　方環求積法
　　外方內方求環積式外方甲乙二十內方丙丁一十為環積幾何曰積三百術以甲乙二十自乘得四百為庚辛乙甲全積以丙丁一十自乘得
　　一百為壬癸丁丙內積二積相減餘三百為庚壬丙甲環積又術以甲乙二十並丙丁一十為三十倍之得六十為通環之長以丙丁減甲乙餘一十折半得五即丁至巳為環濶以濶乘長得三百為環積
　　通曰並外方四面得八十並內方四面得四十又相併為一百二十折半得六十亦合環長
　　圓環求積法
　　外周內周求環積式外周甲戊乙巳四十八內周丙庚丁辛二十四為環積幾何曰積一百四十四術以甲戊乙巳四十八自乘得三千三百○四以十二除之得一百九十二為甲
　　乙戊己全積以丙庚丁辛二十四自乘得五百七十六以十二除之得四十八為丙庚丁辛內積二積相減餘一百四十四為甲丙戊庚環積又術以外周三折得全徑十六以內周三折得內徑八兩徑相減餘八折半得四即甲至丙為環濶以三乘濶得十二減外周餘三十六為通環之長以濶乘長得一百四十四為環積內周外周求環徑式〈即環濶也〉術以外周四十八減內周二十四餘二十四以六除之得四為環徑即甲至丙內周環徑求外周式術以六乘環徑四得二十四並內周二十四得四十八為外周
　　外周環徑求內周式術以六乘環徑四得二十四減外周四十八餘二十四為內周
　　通曰圓以六包一故用六乘六除也〈詳外包〉
　　四破合環法
　　四破之一求去內外角成環式欲於丑寅大直角方形
　　內成圓環外周切方邊內周
　　六問於甲丙小直角方形內
　　去內角外角各幾何曰內角
　　去乙巳一外角去庚丁二術
　　通曰先於甲丙形用方斜率
　　法求得乙至丁為七乙至丙
　　為五乃以三除內周六得二為內徑半之得一為半徑即甲丙形之內角乙巳一也去之乙丙五內減等乙巳之乙戊一尚存戊丙四為環濶又於乙丁斜七減內角乙己一又減等戊丙之己庚四尚餘庚丁二是為外角應去者也甲丙形為一破加丑乙子乙寅乙三破而環成矣故曰四破合環
　　二破至九破率説
　　通曰以前式四破之一為率二破得率二分之四益率
　　二分之二而成二破之一也三
　　破得率三分之四益率三分之
　　一而成三破之一也五破得率
　　五分之四損率五分
　　之一而成五破之一
　　也六破得率六分之
　　四損率六分之二而
　　成六破之一也七破
　　得率七分之四損率
　　七分之三而成七破
　　之一也八破得率八
　　分之四損率八分之
　　四而成八破之一也九破得率九分之四損率九分之五而成九破之一也萬億皆然葢四破得方圓四分之一故以四破為率二破者倍之八破者半之破愈多而分愈細也至彼此互變皆以率通或五變六或八變七以所變之六七為法分其應變之五八一破多益少損無不適合
　　合破成立圓法
　　式欲成子丑立圓形為破幾何術通曰以圓周剖之周大則剖多周小則剖少以剖後之一破腰無圓形而止
　　也如以子丑圓周剖為三十二破一
　　破如丙丁甲乙形甲乙平而不圓矣
　　又以丙丁甲乙剖為二如丙甲乙甲
　　乙丁兩形而兩形必等則三十二其
　　丙丁甲乙形而成立圓六十四其丙甲乙形亦成立圓也葢丙至丁半周也十六其甲乙亦半周也
　　方內容弧矢六角八角法
　　直方內容弧矢形式方長十四方闊七問弧內積二角餘積各幾何曰弧內積七十三五二角餘積二十四五術方長十四即方闊七即矢相併得二十一折半得十○五以矢七乘之得
　　七十三五為弧內積方長十四方闊七相乘得九十八為全積以減弧內積餘二十四五為二角積折半得十二二五為一角積
　　通曰以十四折半得七又折半得三五乘矢七得二十四五亦合二角積
　　直方內容六角形式方長二十方闊十八六角面十問六角內積四角餘積各幾何曰六角內積二百七十四角餘積九十術以方長二十減六角半面五餘十五以方闊十八乘之得二百
　　七十為六角內積以角外餘長五折半得二五乘角外餘闊九得二十二五為一角積以四乘之得九十為四角積
　　通曰以餘長五餘闊九相乘得四十五倍之得九十亦合四角積
　　方內容八角形式八角面七問八角內積四角餘積各幾何曰八角內積二百三十九四角餘積五十術以五乘八角面七得三十五以七除之得五為角外餘方倍之得十為上下兩餘方加八角面七得十七為大方面自乘得二百八
　　十九為全積以角外餘方五自乘得二十五倍之得五十為四角積以減全積餘二百三十九為八角內積通曰以餘方五自乘得二十五折半得十二五為一角積此式乃斜求方也四隅角面即方斜餘方即方斜面故用五乘七除
　　方內容小圓法
　　式餘積二千四百圓邊離方邊十問方面圓徑各幾何曰方面六十圓徑四十術以離邊十自乘得一百以三乘得三百加餘積二千四百得二千七百為實以六乘離邊十
　　得六十為從方用帶從開平方法除之得三十〈詳十二卷〉倍之得六十為方面以方面減兩離邊二十餘四十為圓徑
　　圓內容小方法
　　式餘積七十二離邊三問圓徑方面各幾何曰圓徑十二方面六術以離邊三自乘得九以四乘之得三十六倍餘積得一百四十四相併得一百八十為實以離邊三乘八
　　得二十四為縱方用帶縱開平方法除之得六〈詳十二卷〉為半徑倍之得十二為圓徑以圓徑自乘得一百四十四以三乘得四百三十二以四除得一百○八以減餘積七十二餘三十六平方開之得六為方面
　　又式圓徑九歩七分五釐離邊三歩問內方積上下大弧積左右兩直方積左右兩小弧積各幾何曰內方積十四歩○六釐二毫五絲大弧積各十八歩直方積各九歩八分四釐三毫七絲五忽小弧積各七分七釐三毫四絲
　　三忽七微五纎術以圓徑折半得四歩八分七釐五毫自乘得二十三歩七分六釐五毫以半徑減離邊餘一歩八分七釐五毫自乘得三歩五分一釐五毫兩自乘相減餘二十歩○二分五釐平方開之得四歩五分倍之得九歩為大弧用弧矢法〈詳後〉得弧積十八歩以圓徑減兩離邊餘內方面三歩七分五釐自乘得十四歩○六釐二毫五絲為內方積以大弧九歩減內方面三歩七分五釐餘五歩二分五釐折半得二歩六分二釐五毫為直方濶與內方面〈即直長方〉相乘將九歩八分四釐三毫七絲五忽為直方積內方面即小弧以圓徑減大弧九歩餘七分五釐折半得三分七釐五毫為小弧矢用弧矢法得小弧積七分七釐三毫四絲三忽七微五纎以大弧積倍之得三十六歩以直方積倍之得十九歩六分八釐七毫五絲以小弧積倍之得一歩五分四釐六毫八絲七忽五微以諸倍數與內方積十四歩○六釐二毫五絲相併得七十一歩二分九釐六毫八絲七忽五微為全圓之積
　　圓內容錠形法
　　式圓徑十四問錠內積兩欖餘積各幾何曰錠內積一
　　百兩欖餘積四十八術以五乘圓
　　徑十四得七十以七除之得十卽
　　圓內容方邊自乘得一百即容方
　　積即錠內積也以圓徑十四減容
　　方邊十餘四即欖腰濶折半得二
　　加容方邊十得十二乘腰濶四得四十八即兩欖積又術以錠長十四〈即圓徑〉自乘得一百九十六折半得九十八加二得一百為錠積
　　通曰圓內容錠與圓內容方等者何也葢截方兩腰之半補上下而成錠截錠上下之等半腰者補兩腰而成方也故圓徑即錠長錠斜即圓徑戊己丙丁甲乙皆等也丙丁甲乙皆方斜也丙乙甲丁皆容方邊也故用五乘七除此斜求方耳以圓徑求積得一百四十七今兩積合為一百四十八而多一者葢欖長即容方邊自乘百內多一也錠長自乘而加二者葢百內少二斜求積之差也
　　大平方內容小平圓求積圓法
　　式大方面四十二小圓徑十四問積圓積空成圓共積圓各幾何曰積圓九積空成圓三共積圓十二術通曰以小圓徑十四除大方面四十二得三自乘得九即為積圓九也用前方內容圓法毎一小圓得內積一百四十七為圓實得庇積四十九為庇實以積圓九乘庇實得四百四十一
　　為隅空以圓實除隅空得三即為積空成圓三也加積圓九得十二即為共積圓十二也
　　大立方內容小立圓求積圓法
　　式大方面四十二小圓徑十四問積圓積空成圓共積圓各幾何曰積圓二十七積空成圓二十一共積圓四十八術通曰以小圓徑十四除大方面四十二得三自乘得九再乘三
　　得二十七即為積圓二十七也用前立圓求積法毎一小立圓得內積一千五百四十三五為圓實以大方面自乘得一千七百六十四再乘得七萬四千○八十八為全方實以積圓二十七乘圓實得四萬一千六百七十四五為全圓實以全圓實減全方實餘三萬二千四百一十三五為隅空以圓實除隅空得二十一即為積空成圓二十一也加積圓二十七得四十八即為共積圓四十八也
　　通曰前式三分益一也圓居方四分之三庇居方四分之一則庇必居圓三分之一矣遇三加一九故加三也此式九分益七也立圓居立方十六分之九立庇居立方十六分之七則立庇必居立圓九分之七矣遇九加七二十七故加二十一也
　　大平圓內容小平圓求積法
　　式大圓徑十二容積圓七小圓徑四問積空成圓共積圓各幾何曰積空成圓二共積圓九術通曰以大圓徑十二用前平圓求積法得全積一百○八為全圓實以小圓徑四亦如
　　法得內積十二以乘積圓七得八十四為小圓實二實相減餘二十四為隅空以內積十二除隅空得二即為積空成圓二也加積圓七得九即為共積圓九也
　　大立圓內容小立圓求積圓法
　　式大立圓徑十二容積立圓十五小立圓徑四問積空成立圓共積立圓各幾何曰積空成立圓十二共積立圓二十七術通曰以大立圓徑十二用前立圓求積法得全積九百七
　　十二為全立圓實以小立圓徑四亦如法得內積三十六以乘積圓十五得五百四十為小立圓實二實相減餘四百三十二為隅空以內積三十六除隅空得十二即為積空成立圓十二加積立圓十五得二十七即為共積立圓二十七也〈按大立圓徑十二小立圓徑四必不能容十五設題未合〉通曰此二式不可為率隅空不等故耳近邊則空多近中則空寡若不論小形而論大小形之積實則凡大形內容小形者先求大形之全積為實次求小形之內積為法以法除實皆得其積若干小形之數也
　　弧矢〈少廣之二〉
　　弧矢解
　　弧矢狀類勾股勾股得直方之半故倍其積以股除之即得勾弧背曲倍積則長一與一矢以矢乘積倍之適得一一矢之數因未知矢故以積自乘為實約一度乘積以為上廉兩度乘徑以為下廉並之為法而後可以得矢也用三乘者何也積本平方以倍積自乘是兩度平方矣故用三乘方法開之上廉下廉俱用四乘者何也倍積則乘出之數為積者四故也如不倍積廉不用四乘以一二五為隅法亦通減徑者何也徑乃圓之全徑矢乃截處之勾矢本減徑而得故亦減徑以求矢也或不減徑作添積三乘方法亦通五為負隅者何也凡平圓之積得平方四分之三在內者七五在外者二五不拘圓之大小毎方一尺虛隅二寸五分其矢得四其虛隅得一合而為五亦升實就法之意也
　　圓徑截積求矢法
　　式圓徑十三截積三十二問矢各幾何曰矢四十二術倍截積三十二得六十四自乘得四千零九十六為實以四乘截積三十二得一百二十八為上廉以四乘圓徑十三得
　　五十二為下廉以五為負隅用開三乘方法除之〈詳十四卷〉得四為矢倍截積得六十四以矢除之得十六減矢餘十二為
　　弧積離徑求矢弧背圓徑半徑法
　　式弧積一百二十八離徑五問矢背圓徑半徑各幾何曰矢八二十四弧背二十九零圓徑二十六半徑十三術以弧積一百二十八為實倍弧積得二百五十六平方開之得十六為法以法除實得八為矢以矢加法十六得二十四為以矢自
　　乘得六十四以二十四除之得二六零為半與背之差倍之得五零加二十四得二十九零為弧背以折半得十二自乘得一百四十四為實以矢八為法除得十八加矢得二十六為圓徑折半得十三為半徑即離徑五與矢八相併也
　　矢求弧積式術矢相併得三十二折半得十六以矢乘之得一百二十八為弧積又術矢相乘得一百九十二矢自乘得六十四相併得二百五十六半之為弧積
　　矢弧積求式術倍弧積得二百五十六以矢八除之得三十二減矢餘二十四為
　　弧積求矢式術倍弧積得二百五十六以二十四為縱方用帶縱開平方法除之〈詳十二卷〉得八為矢圓徑求離徑矢式　術以圓徑折半得十三自乘得一百六十九以折半得十二自乘得一百四十四兩自乘相減餘二十五平方開之得五為離徑以半徑十三減離徑五餘八為矢
　　矢圓徑求式　術以圓徑二十六減矢八餘十八以矢乘之得一百四十四平方開之得十二倍之得二十四為
　　離徑求圓徑式　術以折半得十二自乘得一百四十四以離徑五自乘得二十五相併得一百六十九平方開之得十三倍之得二十六為圓徑
　　圓徑離徑求式術以圓徑折半得十三自乘得一百六十九以離徑五自乘得二十五相減餘一百四十四平方開之得十二倍之得二十四為
　　弧矢內股求勾法
　　式圓徑十矢一為勾幾何弧幾何曰勾三弧六以圓徑十折半為五自乘得二十五為羃以半徑五減矢一餘四為股自乘得十六為股羃二羃相減餘九平方開之得三為勾倍勾得六為弧又術以
　　圓徑自乘得一百為大羃以圓徑減倍矢二餘八自乘得六十四為大股羃二羃相減餘三十六為大勾羃平方開之得六為弧半之得三為勾
　　通曰弧矢與勾股相通不惟此也如勾與股較求股是矣半徑也股離徑也勾半弧也
　　弧矢內勾求股法
　　式圓徑十弧六為股幾何弧矢幾何曰股四弧矢一術以圓徑十折半得五為以弧六折半得三為勾自乘得二十五勾自乘得九相減餘十六平方開之得四為股以股減半徑五餘一為矢
　　圓徑直方濶求兩弧矢積法
　　式圓徑七十四直方濶二十四為兩弧積各幾何直方積幾何曰弧積各一千一百八十七五直方積一千七百三十二術以圓徑七十四自乘得五千四百七十六以三乘
　　之以四除之得四千一百○七為全積以圓徑減方濶二十四餘五十折半得二十五為矢用前徑矢求弧法得七十又用矢求弧積法得弧積一千一百八十七五倍之得二千三百七十五為兩弧積以減全積餘一千七百三十二為直方積
　　通曰矢得徑十之一者必六倍於矢矢得徑十之二者必四倍於矢矢得徑十之三者必三倍於矢矢得徑十之四者必倍於矢而又八分矢之三也矢得徑十之五者必倍於矢也弧矢者半圓所生也














　　數度衍巻九