數度衍 (四庫全書本)/卷11

數度衍　卷十一

　　欽定四庫全書
　　數度衍卷十一
　　桐城　方中通　　撰
　　遞加〈少廣之四〉
　　循次順加
　　一　二　三　四　五　六　七　八　九　十　十一
　　超二位加
　　一　三　五　七　九　十一　十三　此竒數超加也
　　二　四　六　八　十　十二　十四　此偶數超加也
　　超三位四位五位加
　　一　四　七　十　十三　十六　十九　此超三位加也
　　一　五　九　十三　十七　二十一　此超四位加也
　　一　六　十一　十六　二十一　二十六　此超五位加也
　　凡超位加各審其母如超二超三四五以至多位者各以所超之數為母其間少者易知多者難定大率以退位減之餘數即母也
　　截三位較
　　不論超與不超凡截位較之其前後二位數必倍於中
　　位數如截一二三並
　　一三為四即倍二也
　　截一三五並一五為
　　六即倍三也截二四六並二六為八即倍四也截二五八並二八為十即倍五也截四八十二並四與十二為十六即倍八也不拘前後隨意截較無不合
　　截四位較
　　凡截四位較之則前後二位數與中二位數等如截一
　　二三四並一
　　四為五並二
　　三亦五也截
　　一三五七並
　　一七為八並三五亦八也截二四六八並二八為十並四六亦十也截二五八十一併二與十一為十三並五八亦十三也截四八十二十六並四與十六為二十並八與十二亦二十也
　　通曰截竒位者前後並必倍中位數截偶位者前後並必與中二位等葢所截之位自中向外一損一益中一位者無可並而倍矣中二位者無可倍而並矣
　　截四位逓加逓減較
　　通曰凡截四位數以中二位相加減後一位數餘與前一位數等如截一二三四以二三相併得五減後之一餘必前之四也截一三五七以三五相併得八減後之一餘必前之七也截二四六八以四六相併得十減後之二餘必前之八也截二五八十一以五八相併得十三減後之二餘必前之十一也截四八十二十六以八與十二相併得二十減後之四餘必前之十六也若減前數餘必後數可以互較
　　超加求積法
　　凡加數不論超二超三但係逓加者用此
　　式自一起至十三位得三十七問總積幾何曰二百四
　　十七術除首位一不用以次位
　　四與末位三十七並得四十一
　　自四至三十七係十二位即以
　　十二乘四十一得四百九十二半之得二百四十六即十二位總積再加首位一得二百四十七為十三位總積也
　　順加求積法
　　式下行濶十五問總積幾何曰一百二十術取最下二位十四十五相乘得二百一十半之得一百○五即十
　　四以至首位一之積也再並
　　末位十五得一百二十為總
　　積又術以末位十五與下位
　　十六相乘得二百四十半之得一百二十亦合
　　通曰相乘得其倍數者
　　變三角為四角也半之
　　則仍還三角矣如末位
　　係七以六七相乘則末
　　位七在外成甲乙丙方形折半止得六位之積以末位七與下位八相乘則末位七在內成丁戊己方形折半故得七位之積也
　　順加異首求積法
　　首位不係一數或二或三四為首者用此
　　式首行四下行十四問總積幾何曰九十九術以首位
　　四並末位十四得十八為
　　實以首位四減末位十四
　　餘一十加一得十一此即位數也以位數十一乘實十八得一百九十八半之得九十九為總積
　　四面順加求積法
　　式四面順加毎面底濶皆十二問總積幾何曰六百五十術置底濶十二另以十二加一為十三乘之得一百五十六又以十二加半為十二五乘之得一千九百五十為實以三除之得六百五十為總積
　　長濶順加求積法
　　式長濶順加底濶八長十三問總積幾何曰三百八十四術以底長十三減底濶八餘五折半得二五又加半得三並長十三為十六以濶八乘之得一百二十八另以濶八加一為九乘之得一千一百五十二為實以三除之得三百八十四為總積
　　通曰四面順加自一面視之則為順加以四面合視之則非順加也其加有二一曰竒數之加一曰自乘之加如頂一加三得四為第二層之積四加五得九為第三層之積九加七得十六為第四層之積總以竒數逐漸加於毎層積上故至十一層應加二十三得一百四十四為第十二層之積此竒數之加也又如一至十二層毎層以自乘數推之首層一自乘仍是一二層二自乘得四三層三自乘得九四層四自乘得十六至十二層十二自乘得一百四十四亦合各層之積此自乘之加也長濶順加自濶面視之則為順加自長面視之則為順加異首而四面合視之其加亦有二一曰逓四加周一曰竒偶加積如異首之首層為五此層加法稍不同先倍五為十又加二得十二為第二層之周此後毎層加四以十二加四得十六為第三層之周十六加四得二十為第四層之周二十加四得二十四為第五層之周如法加至第八層濶八長十二得周三十六此逓四加周也又如首層五加七得十二為第二層之積十二加九得二十一為第三層之積二十一加十一得三十二為第四層之積總以竒數漸加於毎層積上加至第八層得積九十六此竒數加積也若前式濶八長十三首層係六者則偶數加積矣
　　竒偶超加求積法
　　竒數超加求積式末位十九問總積幾何曰一百術取末位十九外加一得二十半之得十即一至十九之位
　　數也以位數十自乘得一百
　　為總積
　　偶數超加求積式末位二十四問總積幾何曰一百五
　　十六術取末位二十四
　　減半得十二即位數也
　　以位數加一為十三以乘位數十二得一百五十六為總積
　　通曰用前超加求積法亦可
　　超加求首尾數法
　　若多中起數超位逓加但知位數及所超母數或知首而不知尾或知尾而不知首者用此
　　超加求尾數式超八逓加至十二位首位三問尾位數
　　幾何曰尾位數九十一
　　術於位數十二內減一
　　存十一與超母八相乘得八十八加首位三得九十一即尾位數
　　超加求首數式超八逓加至十二位尾位九十一問首位數幾何曰首位數三術於位數十二內減一存十一與超母八相乘得八十八以減尾位九十一餘三即首位數
　　積和求位數及首尾二位數法
　　若但舉總數及超數及首尾和數而不知係幾位不知首尾二位數者用此
　　式超六逓加總積三百二十首尾和一百六十問位數
　　及首尾各幾何曰四位首位七十
　　一尾位八十九術以總積三百二
　　十為實以首尾和一百六十減半得八十除實得四為位數又以位數減一餘三乘超母六得十八為位母率以位母率並首尾和一百六十得一百七十八半之得八十九為尾位數以位母率減首尾和餘一百四十二半之得七十一為首位數
　　積較求首尾二位數法
　　若但舉總數及位數及首尾較數而不知首尾二位數者用此
　　式超六逓加計六位總積四百九十八首尾之較三十問首尾各幾何曰首位六十八尾位九十八術倍總積得九百九十六為實以位數六除之得一百六十六以較三十減之餘一百三
　　十六折半得六十八為首位數以首位數加較三十得九十八為尾位數
　　超加求逐位細數法
　　若但知位數總數及超母數而不知毎位細數者用此式超三逓加計六位總積八十七問逐位細數幾何曰首位七二位十三位十三四位十六五位十九末位二十一術取位數六除去第六數自一二三四至五並得十五以乘超母三得四十五以減總積八十七餘四十二為實以位數六除之
　　得七為首位數加超母三得十為二位數逓加超母得逐位數
　　通曰以位數減一位如六位者止用五位以超母三逓加之一位應三二位應六三位應九四位應十二五位應十五乃並此五位應得之數為四十五以減總積餘為實亦可
　　又式兄弟九人逓差三嵗共二百○七嵗問毎人嵗幾何曰最小一人十一嵗逐位加三得毎人嵗數術將九人除去一位止作八人自一至八並得三十六乘逓差三得一百○八以減共二百○七餘九十九為實以九人除之得一十一為最小一人之嵗數又術通曰以共二百○七嵗為實以九人除之得二十三為居中第五人之嵗數凡竒數如九人者可以用此若係偶數如前式六位者則以總積八十七為實以六位除之得十四五為居中二位率又以超母三折半得一五為母率以母率減中率餘十三為第三位之數以母率並中率得十六為第四位之數也
　　又式銀九百九十六兩給八人毎人逓差十七兩問毎人幾何曰最少一人六十五兩術將八人除去一人止作七人自一至七並得二十八乘逓差十七得四百七十六以減銀九百九十六餘五百二十為實以八人除之得六十五為最少一人之銀數
　　通曰九人八人皆位數也差三差十七皆超母也二百○七嵗九百九十六兩皆總積也
　　超加求超母及逐位細數法
　　若超位逓加但知係幾位及前幾位共數後幾位共數而不知超母及逐位細數者用此
　　式甲乙丙丁戊己庚辛八位超加甲乙二位共數七十
　　七己庚辛三位共數六
　　十六問超母幾何逐位
　　細數幾何曰超母三甲位四十辛位十九術以甲乙二位二乘己庚辛共數六十六得一百三十二以己庚辛三位三乘甲乙共數七十七得二百三十一相減餘九十九為實又並甲乙位二己庚辛位三為五減半得二五以減總位八餘五五以甲乙位二己庚辛位三相乘得六乘之得三十三為法以法除實得三為超母併入甲乙共數七十七得八十減半得四十為甲位數若求己庚辛則三分其己庚辛共數六十六得二十二為居中庚位數減超母三餘十九為辛位數自甲向乙推之則逓減超母自辛向庚推之則逓加超母八位細數盡得也　如戊己庚辛四位共數九十四以二分之得四十七即己庚共數併入超母三得五十減半得二十五為己位數也
　　外包〈少廣之五〉
　　通曰方者以八包一每層加八即超八逓加也圓者以六包一毎層加六即超六逓加也三角以九包一毎層加九即超九逓加也然其形不同而法又異故専衍之
　　包方法
　　外周求積式外周三十二問總積幾何曰八十一術除中心一在外以二層八與外周三十二相併得四十又以四十與外周三十二相乘得一千二百八十為實以三層十六為法除之得八十加中心一得八十一為總
　　積
　　通曰方徑一周四今八包一徑三
　　周八者何也葢四隅之甲乙丙丁
　　各以兩面為一數也若以兩面俱作二數則仍是徑三周十二矣
　　積求外周式總積八十一問外周幾何曰三十二術去中心一在外餘八十以三層十六乘之得一千二百八十為實以二層八〈即超母〉為縱用帶縱開平方除之〈詳十二卷〉得三十二為外周
　　外周求層式外周三十二問層幾何曰除心四層連心五層術以超母八除外周三十二得四即除心之層數也加心一層共五層
　　外周及層數求積式外周三十二除心四層問總積幾何曰八十一術除中心一在外以二層八並外周三十二得四十以四層乘之得一百六十減半得八十加中心一得八十一為總積
　　包圓法
　　外周求積式外周三十六問總積幾何曰一百二十七術除中心一在外以二層六與外周三十六相併得四十二又以四十二與外周三十六相乘得一千五百一十二為實以三
　　層十二為法除之得一百二十六加中心一得一百二十七為總積
　　通曰圓徑一周三今六包一徑三周六者何也葢其數隱而不見須從徑三之外作一大圜切各小圜之邊而於大圜之上作
　　甲乙丙丁戊己六段毎段截大圜周與小圜徑等是己得周六矣又測子丑寅卯辰午六空處每一空處得小圜半徑應折為三段合甲乙丙丁戊己六段而為九則仍是徑三周九也但六包一六角而非圓以此為率亦得其成數也
　　積求外周式總積一百二十七問外周幾何曰三十六術去中心一在外餘一百二十六以三層十二乘之得一千五百一十三為實以超母六〈即二層〉為縱用帶縱開平方法除之得三十六為外周
　　外周求層式外周三十六問層幾何曰除心六層連心七層術以超母六除外周三十六得六即除心之層數也加心一層共七層
　　外周及層數求積式外周三十六除心六層問總積幾何曰一百二十七術除中心一在外以二層六並外周三十六得四十二以六層乘之得二百五十二減半得一百二十六加中心一得一百二十七為總積
　　包三角法
　　外周求積式外周三十六問總積幾何曰九十一術除中心一在外以二層九與外周三十六相併得四十五又以四十五與外周三十六相乘得一千六百二十為實以三層十八為法除之得九十加中心一得九十一為總積
　　積求外周式總積九十一問外周幾何曰三十六術除中心一在外餘九十以三層十八乘之得一千六百二十為實以超母九為縱用帶縱開平方法除之得三十六為外周
　　外周求層式外周三十六問層幾何曰除心四層連心五層術以超母九除外周三十六得四即除心之層數也加心一層共五層
　　外周及層數求積式外周三十六除心四層問總積幾何曰九十一術除中心一在外以二層九並外周三十六得四十五以四層乘之得一百八十減半得九十加中心一得九十一為總積
　　通曰方圓三角皆一法也但超母不同耳用前超加求積法亦可
　　包立方立圓立三角法
　　通曰立方圓三角之外包非逓加也立方以二十六包一三層則九十八四層則二百一十八立圓以十四包一三層則五十四層則一百一十立三角以三十四包一三層則一百三十四層則三百八十一數不相等故不可以超加論也
　　立方面求層式立方面九問層幾何曰除心四層連心五層術通曰以面九去中心一存八折半得四即除心之層數也加心一為五層毎層一面加二故二數為一層也
　　立方層求面式立方除心四層問面幾何曰九術通曰以四層倍之為八如中心一得九即方面
　　立方面求外包式立方面九問外包幾何曰三百八十
　　六術通曰用六方算之先推前後以
　　面九自乘得八十一倍之得一百六
　　十二為前後包數次推左右以面九
　　減二〈近前之邊去一近後之邊去一〉餘七與面九相
　　乘得六十三倍之得一百二十六為左右包數再推上下以面九減二餘七自乘得四十九〈左右止去前後之邊一故七九相乘上下則左右前後之邊各去一故七自乘〉倍之得九十八為上下包數並三包數得三百八十六為外包數又術通曰以面九自乘得八十一再乘得七百二十九為全積以面九減二餘七自乘得四十九再乘得三百四十三以減全積餘三百八十六為外包又術通曰以面九減一餘八與面九相乘得七十二四倍之得二百八十八又以面九減二餘七自乘得四十九倍之得九十八相併得三百八十六亦合
　　立圓徑層相求式通曰與立方同術毎層一面亦加二故也中心亦作一層
<子部,天文算法類,算書之屬,數度衍,卷十一>
　　三餘六為第三重之周包數減三餘三為第二重之周包數頂重止一數並諸包數得三百六十一為總腰包數再並底包數得五百一十四為外包數若用前超加求積法以第十六重之四十五為末位求得積三百六十一即總腰包數也又術通曰立三角凡四面一面為底其三面皆腰今分為左腰右腰後腰以推之如前術既得底包數一百五十三之後即以底十七減一餘十六用順加求積法得積一百三十六為左腰包數又以底十七減二餘十五用順加求積法得積一百二十為右腰包數又以底十七減三餘十四用順加求積法得積一百○五為後腰包數並三腰包數得三百六十一合總腰包數再並底包數得五百一十四亦合外包數也
　　倍加〈少廣之六〉
　　二因加
　　一　二　四　八　十六　三十二　六十四　一百二十八
　　三因加
　　一　三　九　二十七　八十一　二百四十三
　　求倍
　　倍即母也欲求其母者則取挨身小數於本數中減之以二減盡者倍一也以三減盡者倍二也如三十二挨身小數為十六以十六於三十二中減之兩回十六減盡矣知是加一倍數又如八十一挨身小數為二十七以二十七於八十一中減之三回二十七減盡矣知是加二倍數
　　截三位較
　　凡截取三位以首尾二位相乘其所得數與中一位之
　　自乘數等如截二四八以二與
　　八相乘得十六四自乘亦十六
　　也如截三九二十七以三與二十七相乘得八十一九自乘亦八十一也
　　截四位較
　　以首尾二位相乘其所得數與中二位相乘之數等如截二四八十六以二與十六相乘得三十二四與八相乘亦三十二也如截三九二十七八十一以三與八十
　　一相乘得二百四十三九
　　與二十七相乘亦二百四
　　十三也
　　位數多者凡偶位歩歩首尾相乘與挨身之中二位相乘等凡竒位歩歩首尾相乘與中一位自乘等
　　一倍加求積法〈一倍者二因也〉
　　式自一起加一倍至末位得六十四問總積幾何曰一
　　百二十七術取尾
　　六十四倍之得一
　　百二十八於內減首一餘一百二十七即七位總積也用後式之術亦可
　　二倍加求積法〈二倍者三因〉也
　　式自一起加二倍至末位得八十一問總積幾何曰一
　　百二十一術取尾八十一於
　　內減首一餘八十以倍母二
　　〈二倍以二為倍母三倍以三為倍母〉除之得四十再併尾八十一得一百二十一為總積
　　通曰倍母必減其因一數故三因以二為倍母也三倍四倍以至多倍皆同此法惟各用其倍母耳
　　半倍加求積法
　　加一倍又二之一者即半倍加即四六衰分也如首位四次位加首位四之半為六也
　　式自四起半倍加至末位得四十五零十六之九問總積幾何曰一百二十八又十六分之十一術取尾四十
　　五又十六之九內
　　減首四餘四十一
　　又十六之九以倍
　　母半數除之〈用竒零除法詳筆算〉得八十三又八之三再並尾數得一百二十八又十六之十一〈用竒零加法〉為總積
　　倍加隔位合數法
　　抽中一位前與後合式凡倍加數不論共有幾位但就
　　中抽取
　　一位之
　　數自乘視所抽之位至首幾位則自乘之數必與此後幾位相同也如抽第五位以十六自乘得二百五十六自首至十六得五位除第五本位則前有四位也其後四位之數必二百五十六矣
　　通曰以前得四位倍之得八加所抽一位得九則所抽之位數自乘與第九位數同矣
　　抽中二位前與後合式於多位之中前抽一位後抽一
　　位相乘則視前抽之位去首
　　幾位後抽之位再去幾位其
　　數必與此相乘之數合也如前抽第二位其數二後抽第四位其數八相乘得十六前抽之位去首一位則後抽之位再去一位其數亦必十六也
　　倍抽減一前合後式不必算其前後之位但視所抽為
　　第幾位倍其位數減一得後
　　應合之位則所抽位數自乘
　　必與後位數合也如抽第三位倍為六減一得五則第三位之四自乗得十六必與第五位之數合也
　　減位倍抽前合後式先排倍數於右次排位數於左須
　　除首位不算自次位作一
　　位排之抽第幾位倍之不
　　必減一即得應合之位則所抽位之自乘必與後位數合也如抽第二位倍為四則第二位之四自乘得十六必與第四位之數合也
　　減位並抽前合後式抽兩位之互乘則並所抽之兩位
　　共為幾位即知互乘之數
　　必與其位數合也如抽第
　　一位第三位二與八互乘得十六以一位與三位並為四位則第四位之數必十六也〈互乘即相乘〉以上皆首位起一者
　　異首減位倍抽及並抽式若首位不自一起或二或三四起者則抽一位抽二位其自乘互乘之數皆先取首位之數除之而後倍位並位以求合數之位也如抽第
　　二位其數二十自乘得四
　　百為實以首數五為法除
　　之得八十再倍第二位為四則第四位之數必八十也
　　又如抽第一位第三位其
　　數十與四十互乘得四百
　　為實以首數五為法除之得八十再並第一位第三位為四則第四位之數必八十也
　　截位合前積式凡倍一加者〈即二因〉就中隨意截取一位
　　以其所截位之數
　　減一即合所截位
　　以前各位之總積凡自一起者用之如截第七位其數六十四減一得六十三即首位至六位之總積也截位合前後積式如右式六十三為首至六位之總積


　　若以此六位為主加一得六十四自乘得四千○九十六減一得四千○九十五即首至十二位之總積矣葢以六位為主以前管六位以後亦管六位也即以六加一倍亦得十二位
　　通曰凡倍一加者隨抽一位於其數內減一餘必為以前諸位之總積也如抽第三位四減一餘三必為以前一位二位之積三也又如抽第四位八減一餘七必為以前一位二位三位之積七也故抽第十三位四千○九十六減一餘四千○九十五必為以前首至十二位之總積也
　　又式借銀一兩毎日加息一倍至第六十四日問共銀幾何曰一千八百四十四兆六千七百四十四萬○七百三十七億○九百五十五萬一千六百一十五兩術試截四位曰一曰二曰四曰八共積十五加一為十六自乘得二百五十六內減一餘二百五十五即係第八位之積再加一自乘得六萬五千五百三十六內減一餘六萬五千五百三十五即係第十六位之積再加一自乘得四十二億九千四百九十六萬七千二百九十六減一餘四十二億九千四百九十六萬七千二百九十五即係第三十二位之積再加一自乘得一千八百四十四兆六千七百四十四萬○七百三十七億○九百五十五萬一千六百一十六減一即係第六十四位之積也六十四位即六十四日也
　　通曰不必加減以第五日之數自乘得第九日之數又自乘得第十七日之數又自乘得第三十三日之數又自乘得第六十五日之數減半為第六十四日之積也葢五日加四而為九日倍四為八故九日加八日而為十七日倍八為十六故十七日加十六日而為三十三日倍十六為三十二故三十三日加三十二日而為六十五日也倣此推之可至無窮均輸章有三術更覺簡易













　　數度衍卷十一
<子部,天文算法類,算書之屬,數度衍>