欽定古今圖書集成/曆象彙編/曆法典/第111卷

欽定古今圖書集成
曆象彙編 第一百十一卷

欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第一百十一卷目錄

　算法部彙考三

　　周髀算經〈卷下〉

曆法典第一百十一卷

算法部彙考三

《周髀算經》

卷下

凡日月運行四極之道。

謂外衡也。日月周行四方，至外衡而還，故曰「四極。」

極下者，其地高，人所居六萬里，滂沲四隤而下。

從《外衡主》極下，乃高六萬里，四隤而下如覆槃。

《天之中央》亦高，四旁六萬里；

《四旁》猶「四極」 也。隨地穹窿而高如蓋笠。

故日光外所照，徑八十一萬里，周二百四十三萬里。

日至外衡而還出，其光十六萬七千里，故曰「照。」

故日運行處，極北：北方日中，南方夜半；日在極東，東 方日中，西方夜半；日在極南，南方日中，北方夜半，日 在極西，西方日中，東方夜半。凡此四方者，天地四極 四和。

子午卯酉得東西南北之中，天地所合，四時所交，故曰「四和。」

晝夜易處。

南方為晝北方為夜

加四時相及。

南方日中北方夜半

然其陰陽所終，冬至所極，皆若一也。

「陰陽之數齊，冬夏之節同，寒暑之氣均，長短之晷等」 ，周迴無差，運變不二。

天象蓋笠，地法覆槃。

見乃謂之象，形乃謂之法，在上故準蓋，在下故擬槃。象法義同，「蓋」 、「槃」 、形等，互文異器，以別尊卑，仰象俯法，名號殊矣。

天離地，八萬里。

然其隆高相從，其相去八萬里。

冬至之日，雖在外衡，常出極下地上二萬里。

「天地隆高」 ，高列外衡六萬里。冬至之日，雖在外衡，其相望為平地，直常出地北極下地上二萬里。言日月不相障蔽，故能揚光於晝，納明於夜。

故「日兆月。」

日者，陽之精，譬猶火光，月者，陰之精，譬猶水光。月含影，故月光生於日之所照，魄生於日之所蔽，當日即光盈，就日即明盡，月稟日光而成形兆，故云「日兆月」 也。

月光乃出，故成「明月。」

待日然後能舒其光，以成其明。

星辰，乃得行列。

《靈憲》曰：「眾星被曜，因水火轉光，故能成其行列。」

是故「秋分以往到冬至，三光之精微以成其道還。」

「日從中衡往至外衡」 ，其徑日遠，以其相遠，故光微。不言從冬至到春分者，俱在中衡之外，其同可知。

此「天地陰陽之性」自然也。

自然如此，故曰「性也。」

欲知北極樞，璿周四極。

極中不動，璿璣也。言北極璿璣，周旋四至。極，至也。

常以夏至夜半時，北極，南遊所極。

《游在樞》，南之所至。

冬至夜半時，北游所極。

《游在樞》，北之所至。

《冬至》日加酉之時，西遊所極。

《游在樞》，西之所至。

日加卯之時，東游所極。

《游在樞》，東之所至。

此北極《璿璣》四游。

《北極游》常近冬至，而言夏至夜半者，極見冬至夜半，極不見也。

《正北極》，璿璣之中。正北，天之中，正極之所游。

極處璿璣之中，天心之正，故曰「璿璣」 也。

冬至日加酉之時，立八尺表，以繩繫表顛，希望北極 中大星，引繩致地而識之。

《顛首》，希仰。致，至也。「識之」 者，所望大星，表首及繩至地，參相直而識之也。

又到旦明日加卯之時，復引繩希望之首，及繩致地 而識其端，相去二尺三寸。

日加卯酉之時，望至地之，相去子也。

故東西極二萬三千里

「影寸千里」 ，故為東西所致之里數也。

其兩端，相去正東西，

「以繩至地」 ，所謂「兩端相直」 ，為東西之正也。

中，折之以指，表正南北。

所識兩端之中與表為南北之正。

加此時者，皆以《漏揆》度之，此東西南北之時。

冬至日加卯酉者，北極之正，東西日不見矣。以漏度之者，一日一夜百刻，從半夜至日中，從日中至夜半，無冬夏，常各五十刻。中分之得二十五刻，加極卯酉之時，揆亦度也。

其繩致地所識，去表丈三寸，故天之中，去周十萬三 千里。

《北極》東西之時，與天中齊，故以所望表勾為天之去周之里數；

何以知其南北極之時？以冬至夜半，北游所極也，北 過天中萬一千五百里；以夏至南遊所極，不及天中 萬一千五百里。此皆以繩繫表顛而希望之。北極至 地所識丈一尺四寸半，故去周十二萬四千五百里； 過天中萬一千五百里，其南極至地所識九尺一寸 半，故去周九萬一千五百里，其南不及天中萬一千 五百里。此璿璣四極南北過不及之法，東西南北之 正勾。

以表為股，以影為勾。繩至地所，亦加矩中。徑二萬六千六百三十二里有奇。法列八十一萬里，以周東西七十八萬三千三百六十七里有奇減之，餘二萬六千六百三十三里。取一里破為一百五十六萬六千七百三十五，分減一十四萬三千三百一十一，餘一百四十二萬三千四百二十四，即徑東西二萬六千六百三十二里、一百五十六萬六千七百三十五分里之一百四十二萬三千四百二十四。

周去極十萬三千里，日去人十六萬七千里。《夏至》去 周一萬六千里。夏至日道徑二十三萬八千里，周七 十一萬四千里。春秋分日道徑三十五萬七千里，周 一百七萬一千里。冬至日道徑四十七萬六千里，周 一百四十二萬八千里。日光四極八十一萬里，周二 百四十三萬里，從周南三十萬二千里。

「影」 言正勾者，四方之影皆正而定也。

璿璣徑二萬三千里，周六萬九千里。此陽絕陰彰，故 不生萬物。

《春秋分》，謂之「陰陽之中」 ，而日光所照，適至璿璣之徑，為陽絕陰彰，故萬物不復生也。

其術曰：「立正勾定之。」

正四方之法也

「以日始出立表而識其晷，日入復識其晷。」晷之兩端 相直者，正東西也；中折之指表者，正南北也。極下不 生萬物，何以知之？

以何法知之也

冬至之日，去夏至十一萬九千里，萬物盡死。夏至之 日去北極十一萬九千里，是以「知極下不生萬物，北 極左右，夏有不釋之冰。」

「冰凍不解。」 是以推之。夏至之日。外衡之下為冬矣。萬物當死。此日遠近為冬夏。非陰陽之氣。爽或疑焉。

「春分、秋分，日在中衡」；「春分以往，日益北五萬九千五 百里而夏至；秋分以往，日益南五萬九千五百里而 冬至。」

並冬至、夏至，相去十一萬九千里；以往，日益北，近中衡；以往，日益南，遠中衡。

中衡去周七萬五千五百里。

影七尺五寸五分

中衡左右，冬有不死之草，夏長之類。

此欲以內衡之外，外衡之內，常為夏也。然其修《廣爽》，未之前聞。

此陽彰陰微。故「萬物不死。五穀一歲再熟。」

近日陽多農再熟

凡北極之左右，物有朝生暮獲。

獲，疑作「穫」 ，謂葶藶薺麥冬生之類。北極之下，從春分至秋分為晝，從秋分至春分為夜。物有朝生暮獲者，亦有春芻而秋熟，然其所育，皆是周地冬生之類，薺麥之屬。言「左右」 者，不在璿璣二萬三千里之內也。此陽微陰彰，故無夏長之類。

立「二十八宿以周天曆度」之法：

以，用也。列二十八宿之度，用周天。

《術》曰：「倍正南方。」

倍，猶背也。《正南方》者，二極之正南北也。

以正勾定之。

正勾之法：「日出入，識其晷。晷兩端相直者，正東西，中折之，以指表，正南北。」

即平地徑二十一步，周六十三步，令其平矩以水正。

如定水之平，故曰「平矩。」 以水正也。

《則位》徑一百二十一尺七寸五分，因而三之，為三百

六十五尺四分尺之一。

徑一百二十一尺七寸五分，周三百六十五尺二寸五分者，四分之一，而或言「一百二十尺」 ，舉其全數。

以應周天三百六十五度四分度之一，審定分之無， 令有纖微。

所分平地周一尺為一度，二寸五分為四分度之一。其令審定，不欲使有細小之差也。纖微，細分也。臣鸞曰：「求一百二十一尺七寸五分，因而三之，為三百六十五度四分度之一。」 法列徑一百二十一尺七寸五分，以三乘，得三百六十五尺二寸五分。二寸五分者，即四分之一，此即周天三百六十五度四分度之一。

分度以定，則「正督經緯」，而四分之一，合各九十一度 十六分度之五。

「南北為經，東西為緯」 ，督亦通尺，周天四分之一，又以四乘分母，以法除之。

臣鸞曰：求分度以定四分之一，合各九十一度十六分度之五。法列周天三百六十五度，以四分度之一而通分內之五法千四百六十一為實，更以四乘分母，得十六為法，除之得九十一，不盡五，即是各九十一度十六分度之五也。

於是圓定而正。

分所圓為天度，又四分之，皆定而正。

則立表正南北之中央，以繩繫顛，希望牽牛中央星 之中。

「引繩至經緯之交」 以望之，星與表繩參相直也。

「則復望須女之星」先至者。

復候須女中，則當以繩望之。

如復以表繩，希望須女，先至定中。

《須女》之先至者，又復如上引繩，至經緯之交以望之。

即以一游儀，希望牽牛中央星，出中正表西幾何度？

游儀，亦表也。游儀移望星為正，知星出中正之表西幾何度，故曰「游儀。」

各如游儀所至之尺為度數。

所游分圓周一尺，應天一度，故以游儀所至尺數為度。

游在於八尺之上，故知「牽牛八度。」

須女中而望牽牛，游在八尺之上，故牽牛為八度。

其次星放此，以盡「二十八宿度」則之矣。

皆如此上法定

立周度者。

周天之度

各以其所先至《游儀度》上。

二十八宿，不以一星為體，皆以先至之星為正之度。

「《東輻》引繩」，就中央之正以為轂，則正矣。

以經緯之交為轂，以圓度為輻。知一宿得幾何度，則引繩如輻湊。轂為正望星定度，皆以方為正南，知二十八宿為幾何度，然後環而布之也。

日所以入，亦以周定之。

亦同望星之周

欲知日之出入，

《出入二十八宿》，東西南北面之宿，列置各應其方，立表望之，知日出入何宿，從出入徑幾何度。

即以三百六十五度四分度之一，而各置二十八宿。

以二十八宿列置地所圓周之度，使四面之宿各應其方。

以「東井夜半中，牽牛之初，臨子之中。」

「東井、牽牛」 ，相對之宿也。東井臨午，則牽牛臨於子也。

東井出中正表西三十度十六分度之七，而臨未之 中，牽牛初亦當臨丑之中。

分周天之度為十二位，而十二辰各當其一，所應十二月從午至未三十度十六分度之七，未與丑相對，而東井牽牛之所居分之法巳陳於上矣。臣鸞曰：「求東井出中正表西三十度十六分度之七，法先通周天，得一千四百六十一為實。以位法十二乘周天分母，以得四十八為法。除實得三十度，不盡二十一，更」 副置法實等數，平於三約不盡二十一得七，約法四十八，得十六，即位三十度一十六分度之七。

於是「天與地協。」

協，合也。置東井、牽牛，使居丑未相對，則天之列宿與地所為，圓周相應合，得之矣。

乃以置周二十八宿。

「從東井牽牛所居」 ，以置十二位焉。

置以定，乃復置周度之中央立正表。

置周度之中央者，經緯之交也。

以冬至、夏至之日以望，日始出也。立一游儀於度上，

以望中央表之晷。

從日所出度上立一游儀，皆望中表之晷。所以然者，當曜不復當日得以覘之也。

「晷參正」，則日所出之宿度。

游儀與中央表及晷參相直，游儀之下，即所出合宿度。

日入放此。

此日出法求之

牽牛去北極百一十五度千六百九十五里二十一 步、千四百六十一分步之八百一十九。

牽牛，冬至日所在之宿，於外衡者，與極相去之度數。

術曰：「置外衡，去北極樞二十三萬八千里，除《璿璣》萬 一千五百里。」

「北極常近牽牛為樞，過極萬一千五百里。」 此求去極，故以除之。

其不除者二十二萬六千五百里以為實。

以三百乘里為步，以周天分一千四百六十一乘步分，內衡之度，以周天分為法。法有分，故以周天乘實齊同之，得九百九十二億七千四百九十五萬。

以內衡一度數千九百五十四里二百四十七步、千 四百六十一分步之九百三十三，以為法。

如上乘內步，步為通分，內子，得八億五千六百八十萬。

實如法得一度。

以八億五千六百八十萬為一《度法》。

不滿法「求里步。」

上求度故以此次求里，次求步。

約之合三百，得一以為實。

上以三百乘里為步而求里，故以三百約餘分為里之實。

以千四百六十一分為法，得一里。

里步皆以周天之分為母，求度當齊，同法。實等，故乘以散之度，以定當次求，故還為法。

不滿法者，三之，如法得百步。

上以三百約之，為里之實，此當以三乘之，為步之實。而言之者，不欲轉法更以一位為百實，故從一位命為「百」 也。

不滿法者，又上十之，如法得一步。

又復上之者便以一位為一實。故從一實為一。

不滿法者，以法命之。

位盡於一步故。以其法命餘為殘分。

次放此。

次婁與角及東井皆如此也。

臣鸞曰：「求牽牛星去極法：先列衡去極樞二十三萬八千里，減極去樞心一萬一千五百里，餘二十二萬六千五百里。」 以三百乘里，得六千七百九十五萬步，又以周天分一千四百六十一乘之，得九百九十二億七千四百九十五萬步為實。更副置內衡一度數一千九百五十四里二百四十七步、一千四百六十一分步之九百三十三。亦以三百乘一千九百五十四里為步。內二百四十七步，得五十八萬六千四百四十七步。又以《周天》分母千四百六十一乘步內子九百三十三，得八億五千六百八十萬為法。以除實得一百一十五度不盡，七億四千二百九十五萬去下法不用。更以三百約餘分，七億四千二百九十五萬，得二百四十七萬六千五百為實。更以《周天》分千四百六十一除之，得一千六百九十五里。不盡一百五，以三百乘之，得三萬一千五百。復以前法除之，得二十一步，不盡八百一十九，即牽牛去北極一百二十五度千六百九十五里二十一步千四百六十一分步之八百一十九。

婁與角，去北極九十一度，六百一十里二百六十四 步、千四百六十一分步之千二百九十六。

婁，春分日所在之宿也。角，秋分日所在之宿也，為中衡也。

《術》曰：「置中衡，去北極樞十七萬八千五百里，以為實。」

不言加除者，婁與角準北極，在樞兩旁，正與樞齊，以婁角無差，故便以去樞之數為實，如上乘，里為步，步為分，得七百八十二億三千六百五十五萬。

以內衡一度數為法，實如法得一度，不滿法者求里 步，不滿法者以法命之。

臣鸞曰：求婁與角去極法：列中衡，去極樞十七萬八千五百里，以三百乘之，得五千三百五十五萬步，又以周天分千四百六十一分乘之，得七百八十二億三千六百五十五萬為實。以內衡一度數千九百五十四里二百四十七步千四百六十一分步之九百三十三，亦以三百乘里內步二百四。

十七，得五十八萬六千四百四十七步。又以分母千四百六十一分乘之，內子得八億五千六百八十萬為法。以除實得九十一度。不盡二億六千七百七十五萬，以三百約之，得八十九萬二千五百。下法不用。以《周天》分千四百六十一除之，得六百一十里。不盡千二百九十，以三百乘之，得三十八萬七千。如前法除之，得二百六十四步，不盡一千二百九十六，即是婁與角去極九十一度六百一十里二百六十四步千四百六十一分步之千二百九十六。

東井去北極六十六度千四百八十一里一百五十 五步、千四百六十一分步之千二百四十五。

東井，夏至日所在之宿，為內衡。

術曰：「置內衡，去北極樞十一萬九千里，加璿璣萬一 千五百里。」

《北極》游常近東井，為樞，不及極萬一千五百里。此求去極，故加之。

得十三萬五百里以為實。

如上乘里為步，步為分，得五百七十一億九千八百一十五萬分。

以內衡一度數為法，實如法得一度，不滿法者求里 步，不滿者以法命之。

臣鸞曰：求《東井去極》法：列《內衡》去極樞十一萬九千里，加《璿璣》萬一千五百里，得十三萬五百里。以三百乘里為步，復以分母千四百六十一乘之，得五百七十一億九千八百一十五萬為實。通分內衡一度數為步，步為分，得八億五千六百八十萬為法，以除實得六十六度，不盡六億四千九百三十五萬，以三百約之，得二百一十六萬四千五百。下法不用，更以《周天》千四百六十一為法，除之，得千四百八十一里，不盡七百五十九。以三百乘之，得二十二萬七千七百。復以《周天》分除之，得一百五十五步，不盡一千二百四十五，即是「東井。去北極六十六度千四百八十一里一百五十五步千四百六十一分」 步之一千二百四十五。

凡八節二十四氣，氣損益九寸九分六分分之一。冬 至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺六寸。問次節 損益、寸數、長短各幾何？

冬至晷長一丈三尺五寸。

《小寒》，丈二尺五寸。〈小分五〉

《大寒》丈一尺五寸一分。〈小分四〉

《立春》丈五寸二分。〈小分三〉

「雨水」、九尺五寸二分。〈小分二〉

《啟蟄》八尺五寸四分。〈小分一〉

《春分》，七尺五寸五分。

《清明》、六尺五寸五分。〈小分五〉

《穀雨》《五尺五寸六分》。〈小分四〉

《立夏》四尺五寸七分。〈小分三〉

《小滿》，三尺五寸八分。〈小分二〉

《芒種》二尺五寸九分。〈小分一〉

《夏至》，一尺六寸。

《小暑》二尺五寸九分。〈小分一〉

《大暑》二尺五寸八分。〈小分二〉

《立秋》四尺五寸七分。〈小分三〉

《處暑》五尺五寸六分。〈小分四〉

《白露》六尺五寸五分。〈小分五〉

《秋分》七尺五寸五分。

《寒露》八尺五寸四分。〈小分一〉

《霜降》，九尺五寸三分。〈小分二〉

《立冬》丈五寸二分。〈小分三〉

《小雪》丈一尺五寸一分。〈小分四〉

《大雪》，丈二尺五寸。〈小分五〉

凡為八節，二十四氣。

二至者，寒暑之極。二分者，陰陽之和。四立者，生長收藏之始。是為「八節。」 節三氣三而八之，故為「二十四。」

《氣》損益九寸九分、六分分之一。

「損」 者，減也。破一分為六分，然後減之。益者，加也，以小分滿六得一從分。

冬至、夏至為損益之始。

「冬至晷長，極當反短，故為《損》之始；夏至晷短，極當反長，故為《益》之始。」 此爽之新術。

術曰：置冬至晷，以夏至晷減之，餘為實，以十二為法。

「十二」 者，半歲十二氣也。「為法」 者，一節益之法。

實如法得一寸，不滿法者，十之，以法除之得一分。

求分故十之也

不滿法者，以法命之。

法與餘分，皆半之也。舊晷之術，於理未當。謂春秋分者，陰陽晷等各七尺五寸五分，故中衡去周七萬五千五百里。按春分之影，七尺五寸七百二十三分，秋分之影，七尺四寸二百六十二分差一寸。

「四百六十一分。以此推之，是為不等。冬至至小寒，多半日之影；夏至至小暑，少半日之影；芒種至夏至，多二日之影；大雪至冬至，多三日之影。又半歲一百八十二日八分日之五，而此用四分日之二率，故一日得七百三十分寸之四百七十六。」 非也。節候不正，十五日有二十二分日之七。以一日之率，十五日為一節，至令差錯不通尤甚。《易》曰「舊井無禽，時舍也。」 言法三十日，實當改而舍之。於是爽更為新術，以一氣率之，使言約法，《易》，上下相通，周而復始，以除紕繆。

臣鸞曰：「求二十四氣損益之法：先置冬至影長丈三尺五寸，以夏至影一尺六寸減之，餘一丈一尺九寸上，十之為實，以半歲十二為法除之，得九寸。不盡，十一，復上十之，如法而一，得九分不盡，二與法十二，皆半之，得六分之一，即是氣損益法。先置冬至影長丈三尺五寸，以氣損益九寸九分六分分之一，其破一」 分以為六分，減其餘，即是小寒。影長丈二尺五寸，小分五，餘悉依此法。《求益法》：置夏至影一尺六寸，以九寸九分六分分之一增之，小分滿六從大分一，即是小暑二尺五寸九分小分一。次氣倣此。

臣淳風等謹按此術本及趙君卿注，求二十四氣影例，損益九寸九分六分分之一，以為定率。檢勘術注，有所未通。又按《宋書曆志》所載何承天《元嘉曆》影，冬至一丈三尺，小寒一丈二尺四寸八分，大寒一丈一尺三寸四分，立春九尺九寸一分，雨水八尺二寸八分，啟蟄六尺七寸二分，春分五尺三寸九分，清明四尺二寸五分，《穀雨》三尺二寸五分，《立夏》二尺五寸，《小滿》一尺九寸七分，《芒種》一尺九寸九分，夏至一尺五寸，小暑一尺六寸九分，大暑一尺九寸七分，《立秋》二尺五寸，《處暑》三尺三寸五分，《白露》四尺二寸五分，秋分五尺三寸九分，《寒露》六尺七寸二分，《霜降》八尺二寸八分，《立冬》九尺九寸一分，小雪一「丈一尺三寸四分，大雪一丈二尺四寸八分。」 司馬《續漢志》所載四分曆影，亦與此相近。至如祖沖之曆、宋《大明曆》，影與何承天雖有小差，皆是量天實數。讎校三曆，足驗君卿所立，率虛誕。且周髀本文外衡下於天中六萬里，而二十四氣率乃足平遷。所以知者，按望影之法，日近影短，日遠影長。又以高下言之，日高影短，日卑影長。夏至之日最近，北又最高，其影尺有五寸。自此以後，日行漸遠向南，天體又漸向下，以及冬至。冬至之日最近，南居於外衡日最近下，故日影一丈三尺。此當每歲差降有別，不可均為一概。設其升降之理，今此又自冬至畢於芒種，自夏至畢於大雪，均差每氣損九寸「有奇，是為天體正平，無高卑之異。而日但南北均行，又無升降之殊，即無內衡高於外衡，六萬里自相矛楯。」 又按《尚書考靈曜》所陳格上、格下里數，及鄭注升降遠近，雖有成規，亦未臻理實。欲求至當，皆依天體高下、遠近、修短以定差數。自霜降畢於立春，升降差多，南北差少；自雨水畢於寒露，南北「差多，升降差少」 ，依此推步，乃得其實。然事涉《渾儀》，與蓋天相返。

月後天十三度十九分度之七。

「月後天」 者，月東行也。此見日月與天俱西南遊，一日一夜天一周，而月在昨宿之東，故曰「後天」 ，又曰「章歲。」 除章月加日周。一日作率，以一日所行為一度，周天之日為天度。

術曰：「置章月二百三十五，以章歲十九除之，加日行 一度，得十三度十九分度之七，此月一日行之數，即 後天之度及分。」

臣鸞曰：「月後天十三度十九分度之七，法列章月二百三十五」 ，以章歲十九除之，得十二度，加日行一度得十三度，餘十九分度之七，即月後天之度分。

小歲月不及，故舍三百五十四度萬七千八百六十 分度之六千六百一十二。

小歲者，十二月為一歲。一歲之月，十二月則有餘，十三月復不足。而言大小歲，通閏月為不及，故「舍」 亦猶後天也。假令十一月朔旦冬至，日月俱起牽牛之初，而月十二與日會，此數月發牽牛所行之度也。

《術》曰：置小歲，三百五十四日、九百四十分日之三百 四十八。

小歲者，除經歲十九分月之七，以七乘周天分千四百六十一，得萬二百二十七，以減經歲之積分，餘三十三萬三千一百八，則小歲之積分也。以九百四十分除之，即得小歲之積日及分。

以月後天十三度十九分度之七乘之，為實。

通分內子，為二百五十四。乘之者，乘小歲積分也。

又以度分母乘日分母為法。實如法得積後天四千七百三十七度萬七千八百六十分度之六千六百 一十三。

以月後天分乘小歲積分，得八千四百六十萬九千四百三十二，則積後天分也。以《度分》母十九乘日分母九百四十，得萬七千八百六十，除之，即得。

以周天「三百六十五度萬七千八百六十分度之四 千四百六十五」除之。

此猶四分之一也，約之即得，當於《齊同》，故細言之。通分內子為六百五十二萬三千三百六十五，除積後天分，得十二，周天即去之。

其不足除者：

不足除者，不及故舍之，六百三十二萬九千五十二是也。〈寅曰：「三百五十四度萬七千八百六十分度之六千六百一十二。以萬七千八百六十除不及，故舍之分得此分矣。」 〉

「此月不及故舍之」，分度數他皆放此。

次至經月皆如此

臣鸞曰：求小歲月不及，故舍法列經歲三百六十五日九百四十分日之二百三十五，通分內子得三十四萬三千三百三十五，是為經歲之積分。以十九分月之七，以七乘周天分一千四百六十一，得萬二百二十七，以減經歲積分，不盡三十三萬三千一百八，小歲積分也。以九百四十除之，得三百五十四日，不盡三百四十八，還通分內子。復得本積分三十三萬三千一百八。更置月後天十三度十九分度之七，通分內子，得二百五十四。以乘本積分，得積後天分八千四百六十萬九千四百三十二為實。更列月後天分母十九，以乘日分母九百四十，得萬七千八百六十為法。除之，得積後天四千七百三「十七度，不盡六千六百一十二」 ，即是得四千七百三十七度萬七千八百六十分度之六千六百一十二。還通分內子得本分八千四百六十萬九千四百三十二為實。更列周天三百六十五度萬七千八百六十分度之四千四百六十五，即通分內子，得六百五十二萬三千三百六十五。以除實得十二，下法不用餘分，即不及，故舍之，分六百三十二萬九千五十二。更以日月分母相乘，得萬七千八百六十為法。除分不及，故舍之，分六百三十二萬九千五十二，得三百五十四度。不盡六千六百一十二，即不及，故舍三百五十四度萬七千八百六十分度之六千六百一十二。

大歲月不及，故舍十八度萬七千八百六十分度之 萬一千六百二十八。

「大歲」 者，十三月為一歲也。

術曰：置大歲，三百八十三日、九百四十分日之八百 四十七。

大歲者，加經歲十九分月之十二，以十二乘周天分千四百六十一，得萬七千五百三十二。以加經歲積分，得三十六萬八百六十七，則大歲之積分也。以七百四十除之，即得。

以月後天十三度十九分度之七乘之，為實。又以度 分母乘日分母為法。實如法得積後天五千一百三 十二度萬七千八百六十分度之二千六百九十八。

以月後天分乘大歲積分，得九千一百六十六萬二百一十八，則積後天分也。

以《周天》除之。

除積後天分，得十四，周天即去之。

其不足除者：

不足除者，三十三萬三千一百八是也。

此月不及故，舍之分度數。

臣鸞曰：求大歲月不及，故舍法列《經》歲三百六十五日九百四十分日之二百三十五，通分內子，得經積分三十四萬三千三百三十五。更以十九分月之十二乘周天分千四百六十一，得一萬七千五百三十二，以《經歲》積分加大歲積分得三十六萬八百六十七為實。以九百四十除之，得大歲三百八十三日九「百四十分日之八百四十七」 ，還通分內子本分三十六萬八百六十七，更列月後天十三度十九分度之七，通分內子，得二百五十四。以乘本分，得積後天分九千一百六十六萬二百一十八為實，以萬七千八百六十為法。除之，得積後天度五千一百三十二。不盡二千六百九十八，即命分還通內子，得本積後天分九千一百六十六萬二百一十八為實。以周天分六百五十二萬三千三百六十五為法，除實得十四周天之數，餘以日月分母萬七千八百六十除之，得大歲。不及，故舍十八度，不盡萬一千六百二十八，即以命分也。

《經》：「歲月不及，故舍百三十四度萬七千八百六十分 度之萬一百里。」

經，常也。即十二月十九分月之七也。

《術》曰：「置經歲三百六十五日、九百四十分日之二百三十五。」

經歲者，通十二月十九分月之七為二百三十五。乘周天千四百六十一，得三十四萬三千三百三十五，則經歲之積分。又以周天分母四乘二百三十五，得九百四十為法，除之即得。

以月後天十三度十九分度之七乘之，為實。又以度 分母乘日分母為法。實如法得積後天四千八百八 十二度萬七千八百六十分度之萬四千五百七十。

以月後天分乘《經歲》積分，得八千七百二十萬七千九十，則積後天之分。

以《周天》除之。

除積後天分，得十三，周天即去之。

其不足除者：

「不足除者，二百四十萬三千三百四十五」 是也。

此月不及故，舍之分度數。

臣鸞曰：求經歲月不及，故舍法列十二月十九分月之七，通分內子，得二百三十五，以乘周天分千四百六十一，得三十四萬三千三百三十五，即經歲分也。以日分母四乘二百三十五，得九百四十，為法，以除得經歲三百六十五日，不盡二百三十五，即命分還通分內子，即復本歲分三十四萬三千三百三十五，更列通月後天度分二百五十四。以乘經歲分，得積後大分八千七百二十萬七千九十為實。更列萬七千八百六十除實，得積後天度四千八百八十二，不盡萬四千五百七十，即命分還通分內子復本積後天分為實。以周天分六百五十二萬三千三百六十五，除實，得十三周天，即去之，餘分三百四十萬三千三百四十五。以萬七千八百六十除之，得不及，故舍百三十四度，不盡萬一百五，即以命分也。

小月不及，故舍二十二度萬七千八百六十分度之 七千七百三十五。

「小月者，二十九日為一月。」 一月之二十九日則有餘，三十日復不足。而言大小者，通其餘分。

《術》曰：「置小月，二十九日。」

「小月」 者，減《經》月之積分四百九十九，餘二萬七千二百六十，則小月之積也。以九百四十除之，即得。

以月後天十三度十九分度之七乘之，為實。又以度 分母乘日分母為法。實如法，得積後天三百八十七 度萬七千八百六十分度之萬二千二百二十。

以「月後天」 乘小月積分，得六百九十二萬四千四十，則積後天之分也。

以《周天》分除之。

除積後天分，得一周天而去之。

其不足除者：

不足除者四十萬六百七十五。

此月不及故，舍之分度數。

臣鸞曰：求小月不及，故舍法置二十九日，以九百四十乘之，得二萬七千二百六十，則小月之分也。更列月後天十三度十九分度之七，通分內子得二百五十四，以乘小月分得六百九十二萬四千四十為實，以萬七千八百六十為法，除實得三百八十七度，不盡萬二千二百二十，以命分還通分內子，得本實。更列周天分六百五十二萬三千三百六十五，除本實，得一周天，不盡四十萬六百七十五，即不及，故舍之分。又以萬九千八百六十除不及，故舍之分，得二十二度，不盡七千七百三十五，即以命分。

「大月不及」，故「舍三十五度萬七千八百六十分度之 萬四千三百三十五。」

「大月」 者，三十日為一月也。

《術》曰：「置大月，三十日。」

大月加《經》積分四百四十一，得二萬八千二百，則大月之積分也。以九百四十除之，即得。

以月後天十三度十九分度之七乘之，為實。又以度 分母乘日分母為法。實如法，得積後天四百一度萬 七千八百六十分度之九百四十。

以月後天分乘大月積分七百一十六萬二千八百，則積後天之分也。

以《周天》除之。

除積後天分，得一周天，即去之。

其不足除者：

「不足除者，六十三萬九千四百三十五」 是也。

此月不及故，舍之分度數。

臣鸞曰：「求大月不及，故舍法」 置三十日，以九百四十乘之，得二萬八千二百。以後天分二百五十四乘之，得七百一十六萬二千八百為實。以萬七千八百六十為法，以除實得四百一度，不盡九百四十，即以命分還通分內，子復本實。更以周天六百五十二萬三千三百六十五為法，除本實得一周，餘不足除。積六十三萬九千四百三十五分以萬。

七千八百六十為法。以除實得大月，不及，故舍三十五度。不盡萬四千三百三十五，即命分也。

《經》。「月不及故舍二十九度萬七千八百六十分度之 九千四百八十一。」

經，常也。常月者，一月月與日合數。

《術》曰：「置經月二十九日、九百四十分日之四百九十 九。」

《經月》者，以十九乘《周天》分一千四百六十一，得二萬七千七百五十九，則《經月》之積。以九百四十除之，即得。

以月後天十三度十九分度之七乘之，為實。又以度 分母乘日分母為法。實如法，得積後天三百九十四 度萬七千八百六十分度之萬三千九百四十六。

以月後天分乘《經》月積分，得七百五萬七百八十六，則積後天之分。

以《周天》除之。

除積後天分，得一周天，即去之。

其不足除者：

「不足除者，五十二萬七千四百二十一」 是也。

此月不及故，舍之分度數。

臣鸞曰：「求經月不及，故舍法。」 以十九乘周天分千四百六十一，得二萬七千七百五十九，即經月積分。以九百四十除積分，得經月二十九日九百四十分日之四百九十九，還通分內子，得本經月積分。以後天分乘本積分得七百五萬七百八十六，即後天之積分。更以萬七千八百六十除之，得積後天三百九十四度，不盡萬三千九百四十六，即以命分。還通分內子，得本後天積分為實。以周天六百五十二萬三千三百六十五除之，得一周。餘分五十二萬七千四百二十一，即不及，故舍之分以一萬七千八百六十除之，得經月。不及，故舍。二十九度，不盡九千四百八十一，即以命分。

《冬至》，晝極短，日出辰而入申。

如上日之分入何宿法，分十二辰於地所圓之周舍，相去三十度十六分度之七，子午居南北，卯酉居東西。日出入時，立一游儀，以望中央表之晷。游儀之下，即日出入。

陽照三，不覆九。

陽，日也。覆，猶遍也。「照三」 者，南三辰，巳，午未。

東西相當正南方。

日出入相當，不覆三辰，為正南方。

夏至晝極長，日出寅而入戌，陽照九，不覆三。

不覆三者，北方三辰，亥子丑，冬至日出入之三辰屬晝，晝夜互見，是出入三辰，分為晝夜各半明矣。《考靈曜》曰：「分周天為三十六頭，頭有十度九十六分度之十四。長日分於寅，行二十四頭，入於戌，行十二頭。短日分於辰，行十二頭，入於申，行二十四頭。此之謂也。」

東西相當正北方，

出入相當，不覆三辰為「北方。」

日出左而入右，南北行。

聖人南面而治天下，故以東為左西為右。日冬至從南而北，夏至從北而南，故曰「南北行。」

故冬至從《坎》，陽在子，日出《巽》而入坤，見日光少，故曰 「寒。」

冬至十一月，斗建子，位在北方，故曰「從《坎》」 ，《坎》亦北也，陽氣所始，故曰「在子。」 巽東南，《坤》西南，日見少晷，陽照三，不覆九也。

夏至從離陰在午，日出《艮》而入乾，見日光多，故曰「暑。」

夏至五月，斗建午，位在南方，故曰「在午。」 艮東北，乾西北，日見多晷，陽照九不覆三也。

日月失度而寒暑相姦。

《考靈曜》曰：「在璿璣玉衡以齊七政，璿璣未中而星中，是急；急則日過其度，不及其宿。璿璣玉衡中而星未中，是舒；舒則日不及其度，夜月過其宿，璿璣中而星中，是周；周則風雨時，風雨時則草木蕃盛而百穀熟。故《書》曰：『急常寒若，舒常燠若』。急舒不調，是失度，寒暑不時即相姦。」

「往者詘」，來者信也，故「屈信相感。」

從夏至南往，日益短，故曰詘。從冬至北來，日益長，故曰「信。」 言來往相推，詘信相感，更衰代盛，此天之常道。《易》曰：「日往則月來，月往則日來，日月相推而明生焉。寒往則暑來，暑往則寒來，寒暑相推而歲成焉。」 往者詘也，來者信也，詘信相感而利生焉，此之謂也。

故「冬至之後日右行，夏至之後日左行，左者往，右者 來。」

冬至日出從辰來北，故曰「右行。」 夏至日出從寅往南，故曰「左行。」

故月與日合為一月。

從「合」 至合，則為「一月。」

「《日復》日」，為一日。

從旦至旦則為一日

「日復星」，為一歲。

「冬至日出在牽牛」 ，從「牽牛」 ，周牽牛，則為一歲也。

《外衡》：「冬至。」

日在牽牛

《內衡》「夏至」

日在東井

《六氣復返》，皆謂「中氣。」

中氣，月中也。言日月往來中氣各六。《傳》曰：「先王之正時，履端於始，舉正於中，歸餘於終。」 謂中氣也。

陰陽之數，日月之法。

謂「陰陽之度數，日月之法。」

「十九歲」為一章。

章，條也。言閏餘盡為法章條也。《乾象》曰：「辰為歲中，以御朔之月而納焉。」 朔為章中，除朔為章月，月差為閏。

臣鸞曰：「歲中除章中為章歲。」 求餘法：置中氣相去三十日十六分日之七，通分內子得四百八十七。又置從朔至朔一月之日二十九、九百四十分日之四百九十九，通之得二萬七千七百五十九。二者法異，當同之者，以中氣分母十六乘朔分，得四十四萬四千一百四十四，變為中氣積分也。以朔分母九百四十乘中氣分，得四十五萬七千七百八十，為朔日積分。以少減多，求等數平之，得一千九百四十八為法。除中氣積，得二百二十八，即章中也。更以一千九百四十八除朔積分，得二百三十五，即章月也。章月與章中差七，即一章之閏。更置二百二十八，以歲中十二除之，得十九，為章歲也。更置章月二百三十五，以章歲十九除之，得十二月十九分月之七，即一年之月也。

四章為「一蔀」，七十六歲。

蔀之言齊，同日月之分為一蔀也。一歲之月，十二月，十九分月之七，通分內子得二百三十五。一歲之日，三百六十五日四分日之一，通之得一千四百六十一。分母不同，則子不齊，當互乘之。以齊同之者，以日分母四乘月分，得九百四十，即一蔀之月。以月分母十九，乘日分，得二萬七千七百五十九，即一蔀之日。以日月分母相乘，得七十六，得一蔀之歲。以一歲之月除蔀月，得七十六歲。又以一歲之日除蔀日，亦得七十六矣。歲月餘既終，日分又盡，眾殘齊合，群數畢滿，故謂之「蔀。」

臣鸞曰：求蔀法，列章歲十九，以四乘之，得一蔀七十六歲。求一蔀之月法十二月十九分月之七，通分內子得二百三十五，即月分也。更列一歲三百六十五日四分日之一，通分內子得一千四百六十一，以日分母四乘月分得九百四十，即一蔀之月。以月分母十九乘日分得二萬七千七百五十九，即一蔀之日。以日分母四乘月分母十九，得七十六，即一蔀之歲。更以月分母十九乘蔀月九百四十，得萬七千八百六十為實。以十二月十九分月之七，通分內子得二百三十五為法。以除實得七十六，亦一蔀之歲也。更列一蔀之日二萬七千七百五十九，以分母四乘之，得十一萬一千三十六為實。以周天分千四百六十一除之，得一蔀之歲，七十六也。

二十蔀為「一遂」，遂千五百二十歲。

「遂者，竟也。言五行之德，一終竟極，日月辰終也。」 《乾鑿度》曰：「至德之數，先立金木水火土五，凡各三百四歲。五德運行，日月開闢，甲子為蔀首，七十六歲。次得癸卯蔀，七十六歲；次壬午蔀，七十六歲；次辛酉蔀，七十六歲。凡三百四歲，木德也，主春生。次庚子蔀，七十六歲；次己卯蔀，七十六歲；次戊午蔀，七十六歲；次丁酉」 蔀七十六歲，凡三百四歲，金德也，主秋成。次丙子蔀七十六歲，次乙卯蔀七十六歲，次甲午蔀七十六歲，次癸酉蔀七十六歲，凡三百四歲，火德也，主夏長。次壬子蔀七十六歲，次辛卯蔀七十六歲，次庚午蔀七十六歲，次己酉蔀七十六歲，凡三百四歲，水德也，主冬藏。次戊子蔀七十六歲，次丁卯蔀七十六歲，次丙午蔀七十六歲，次乙酉蔀七十六歲，凡三百四歲，土德也，主致養其德四正子午卯酉，而朝四時焉。凡一千五百二十歲，終一紀，復甲子，故謂之「遂」 也。求五德日名之法：置一蔀者七十六歲，德四蔀，因而四之，為三百四歲，以一歲三百六十五日四分日之一乘之，為十一萬一千三十六，以六十去之，餘三十六，命甲子算外，得庚子，金德也。求次德，加三十六去之，命如前，則次德日也。求算蔀名，置一章歲數，以周天分乘之，得二萬七千七百五十九，以六十去之，餘三十九，命以甲子算外，得癸卯蔀。求蔀，加三十九，滿六十去之，命如前，得次蔀。

臣鸞曰：「求遂法列一蔀七十六歲，以二十乘之，得千五百二十歲，即以遂之歲。求五德，金、木、水、火、土。」 法列一蔀七十六歲，以周天分千四百六十一乘之，得十一萬一千三十六，即以六十除之，餘三十六，命從甲子算外得庚子，凡三百四歲，主秋成金德也。加三十六得七十二，以六十除之，餘十二，命從甲子算外得丙子，凡三百四歲。火德主夏。長次放此。求蔀名列一章，十九歲。以周天分一千四百六十一歲乘之，得二萬七千七百五十九，以六十去之，餘三十九。命從甲子算外，得癸卯蔀，七十六歲。復加三十九，亦六十去之，餘十八，命亦起甲子算外。次得壬午，蔀次放此，至甲子即止之。

《三遂》為一首，首四千五百六十歲。

首，始也。言日月五星，終而復始也。《考靈曜》曰：「日月首甲子冬至，日月五星，俱起牽牛初，日月若合璧，五星如聯珠，青龍甲寅攝提格，並四千五百六十歲積及初妝」 ，謂首也。

臣鸞曰：求一首法列，遂一千五百二十歲，三之得一首四千五百六十歲也。

「《七》首為一極」，極三萬一千九百二十歲，生數皆終，萬 物復始。

極，終也。言日月星辰，弦朢晦朔，寒暑推移，萬物生育皆復始，故謂之「極。」

臣鸞曰：求《極》先列一首，四千五百六十，以七乘之，得《一極》，三萬一千九百二十歲也。

《天以更元》作《紀曆》。

「元始作為七紀」 ，法天數，更始復為法述之。

「何以知天三百六十五度四分度之一，而日行一度」， 而月後天十三度十九分度之七，二十九日九百四 十分日之四百九十九為一月，十二月十九分月之 七為一歲。

非《周髀》本文。蓋人問師之辭。其欲知度之所分。法術之所生耳。

《周天》除之。

除積後天分，得一周，即棄之。

其不足除者，如：《合朔》。古者包犧、神農製作為曆度，元 之始見三光，未如其則。

「三光」 ，日月星，則法也。

「日月列星」，《未有分度》。

「列星之初列」 ，謂二十八宿也。

「日主晝，月主夜」，晝夜為一日，日月俱起建星。

「建，六星，在斗上也。日月起建星」 ，謂十一月朔旦冬至日也。為曆術者，度起牽牛前五度，則建星其近也。

月度疾，日度遲。

度日月所行之度也

「日月相逐」於二十九日、三十日間。

言「日月二十九日則未合，三十日復相過。」

而日行天二十九度餘。

如九百四十分日之四百九十九。

未有定分。

未知餘分定幾何也

於是三百六十五日，南極影長，明日反短，以歲終日 影反長，故知之。「三百六十五日者三，三百六十六日 者一。」

影四歲而後知差一日，是為四歲。共一日，故歲得四分日之一。

「故知一歲三百六十五日四分日之一歲終也。」月積 後天十三周，又與百三十四度餘。

經「數月，後天之周，故度求之。餘者，未知也。」 言欲求之也。

無慮後天十三度十九分度之七，未有定。

《無慮》者，粗計也。此已得月後天數，而言未有者，求之意未有見故也。

於是日行天七十六周，月行天千一十六周，及合於 建星。

月行一月，則行過一周而與日合，七十六歲九百四十周天，所過復九百四十日七十六周。並之，得一千一十六，為「一月後天率。」 分盡度終，復還及初也。

臣鸞曰：「求於是日行天七十六周，日行天千一十六周，及合於建星。法，以九百四十周並七十六周得一千一十六周，則日月氣朔合於建星。」

置月行後天之數，以日《後天》之數除之，得一十三度 十九分度之七，則月一日行天之度。

以日度行率除月行率，一日得月度幾何？置月行率一千一十六為實，日行率七十六為法。實如法而一，法及餘分皆四約之，與《乾象》同歸而殊途，義等而法異也。

復置七十六歲之積月。

置《章歲》之月，二百三十五，以四乘之，得九百四十。

則蔀之積月也

以「七十六歲」除之，得十二月十九分月之七，則一歲 之月。

「亦以四約法」 除分，蔀歲除月，與章歲除章月同。

置周天度數，以十二月十九分月之七除之，得二十 九日九百四十分日之四百九十九，則一月日之數。

通《周天》四分日之一，為千四百六十一。通十二月十九分月之七，為二百三十五。分母不同，則子不齊，當互乘以同齊之。以十九乘千四百六十一，為二萬七千七百五十九。以四乘二百三十五，為九百四十。及以除之，則月與日合之數。

臣鸞曰：「求日行一度」 法：還置前一千一十六，以七十六歲除之，得十三度，不盡二十八，以求等平於四，以四約餘得七，約分得十九，是十三度十九分度之七，更列一章歲。積月二百三十五，以周天分母四乘之，即一蔀月九百四十。亦以七十六歲除之，得一歲之十二月、十九分月之七。餘分及法，並以四約更通周天，得千四百六十一。復通十二月十九分月之七，得二百三十五。分母不同，互乘之。以月分母十九乘日分，得二萬七千七百五十九。以日分母四乘月分，得九百四十，除之二萬七千七百五十九，得二十九日九百四十分日之四百九十九，而月與日合，此其數也。。