欽定古今圖書集成/曆象彙編/曆法典/第112卷

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欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

 第一百十二卷目錄

 算法部彙考四

  漢徐岳數術記遺數術

  宋謝察微算經大數 小數 度 量 衡 畝 九章名義 用字例義

  夢溪筆談筭法

曆法典第一百十二卷

算法部彙考四编辑

漢徐岳數術記遺编辑

數術编辑

余以天門金虎,呼吸精泉。

按《星經》云:昴者,西方白虎之宿。太白者,金之精也。太白入昴,金虎相薄,法有兵亂。周宣王時,有人採薪於郊間,歌曰:「金虎入門,呼長精,吸元泉。」 時人莫能知其義。老君曰:「太白入昴,兵其亂。」 徐氏名岳,東萊人。蓋以漢室版蕩,又譎詭見於天,將訪名山,自求多福也。

羽檄星馳,郊多走馬。

按漢徵天下兵,必露檄插羽也。《老君》曰:「天下有道,卻走馬以糞;天下無道,戎馬生於郊也。」

遂負帙游山,蹠跡志道。

蹠跡者,兩足共躡一足跡也。漢文帝,河上公蹠跡為士。

備歷丘嶽林壑,必過。乃於太山見劉會稽,博識多聞, 遍於數術。余因受業,頗稔所由。余時問曰:「數有窮乎?」 會稽曰:「吾曾游天目山中。」

會稽官號,漢中人也。按《曆志》稱「靈帝光和中,穀城守門候太山劉洪造《乾象曆》,又制月行遲疾陰陽曆,自洪始也。方於太初四分,轉精密矣。洪後為會稽太守,劉洪付乾象於東萊徐岳,又授吳中書令闞澤,澤甚重焉,為注解。」 今案:《地記》,天目山在吳興之界。

見有隱者,世莫知其名,號曰天目先生,余亦以此意 問之。先生曰:「世人言三,不能比兩,乃云捐悶與四維。」

《藝經》云:《捐悶》者,周公作也。先本位以十二時相從,其文曰:「周有文章,虎不如龍。豕者何為?來入兔宮。王孫出卜,乃造黃鐘。犬就馬廐,非類相從。羊奔蛇穴,牛入雞籠。」徐援稱捐悶乃是奇兩之術,發首即奇一後乃奇,兩者即為疑。《更調》曰:「大豬東行遁虎坑,兔子欲宿入馬廐,羊來入村狗所屯,大牛何知乘龍上,蛇往西」方、入猴鄉、雞鳴不止、夜。闕二字。其言三,不能比兩者,孔子所造也。布十干於其方,戊己在西南維。其文曰:「火為木,生甲呼丁,夫婦義重,己隨壬,貴遺則統領辛,參南丙,妻則須守乙,後火戊子,天癸就庚」四維,東萊子所造也。布十二時四維之一,其文曰:「天行星紀,石隨龍淵,風吹羊圈,天門地連,兔居蛇穴,馬到猴邊,雞飛豬鄉,鼠入虎廛摯。」亦有四維之戲,與此異焉。

數不識三,妄談知十。

三者,上中下也,「十數」 ,昴一數也。於先之意,非止十等之名,將關《大衍》之旨,事一也;

「猶川人事迷其指歸」,乃恨司方之手爽。

「司方」者,指南車也。《狐疑論》稱黃帝將見大隗於具茨之山,至襄城之野,川谷之山率多斜曲。川人曰:積數之常,乃固以之,非《指南車》之為爽,乃指謂闕。「擢,司方所指者,乃為我等之西也。然則指南豈其謬也?」乃行數里,川人又曰:「司方所指,我等之東也。」眾共論之為疑笑。於時容成子怪而問之,川人以其狀白對。容成曰:「在此望之,具茨之山,於汝住所,復在何方?」川人又曰:「在我之東。」容成曰:「汝向言在西,今更在東,何言不常也?此非山川之移,川曲之斜,人心之惑耳。」川人乃請於斜曲之中,定東西南北之術。容成曰:「當豎一木為表,以索繫之,表引索繞表畫地為規。日初出影長,則出圓規之外,向中影漸短,入規之中,候西北隅影初入規之處則記之。乃過中影漸長,出規之外,候東北隅影初出規之處又記之。取二記之所,即正東西也;折半以指表,則正南北也。」川人志之,以為知方之術。

未識剎那之賒促,安知麻姑之桑田。

按《楞伽經》云。「稱量長短者。積剎那數。以成日夜剎。」

那量者,壯夫一彈日指過頃,遙六十四剎那,二百四剎那名一恆剎那,三十恆剎那名一婆羅,三十婆羅名一摩睺羅多,三十摩睺羅多子為一日一夜,其一日一夜有六百四十八萬剎那。《神仙傳》稱:麻姑謂王方平曰:「『自接待以來,見東海為桑田,向到蓬萊,水乃淺於往者略半也,豈復將為陵陸乎』?方平乃曰:『東海行復揚塵耳』。」

不辨《積微》之為量,鉅曉百億與大千

按《楞伽經》云:「積微成一阿耨,七阿耨為一銅上塵,七銅上塵為一水上塵,七水上塵為兔毫上塵,七兔毫上塵為一羊毛上塵,七羊毛上塵為一牛毛上塵,七牛毛上塵為一嚮中由塵,七嚮中由塵成一蟣,七蟣成一蝨,七蝨成一麥橫,七麥橫成一指節,二十四指節為一肘,四肘為一弓,去肘五百弓為阿蘭惹。」據若摩竭國人,一拘盧舍為五里,八拘盧舍為一由旬,一由旬計之,為四十里也。及以算校之,正得一十七里。何者?計二尺為一肘,四肘為一弓,弓長八尺也,計五百弓有四千尺也。八拘盧舍則有三萬二千尺,除之得五千三百三十三步。以里法三百步除之,得一十七里,餘二百三十三步。《華嚴經》云:「四天下共一日月為一世界,有千世界,有一小鐵圍山遶之,名曰小千世界;有一小千世界,有中鐵圍山遶之,名曰中千世界;有中千世界,有大鐵圍山遶之,名曰大千世界。」此三千大千世界之中有百億須彌山,乃今校之,世有十億日月、十億須彌山。何者?置小千世界之中,有一千日月,以一千乘之,得一百萬,即中千世界中日月數也。置中千世界日月之數,以一千乘之,得即大千世界日月之數也。又云:「四天下者,須彌山南曰閻浮提山,北曰鬱丹越山,東曰」闕。「提山,西曰俱瞿耶尼山,其日月一日一夜,照四天下:山南日中,山北夜半,山東日中,山西夜半。及以成事驗之,則有疑矣。」何者?按閻浮提人在須彌山南,及至二月、八月春秋分,晝夜停,以漏刻度之,則晝夜各五十刻也。然則日初出時,東向視日之當我之東即漏刻,及其日浸當我之西五十刻,其一日一夜之中,遶三天下而來,所以至曉亦得五十刻也。胡以十萬為億,有百倍。日月四天下等事,有所未詳也。

黃帝為法,數有十等,及其用也,乃有三焉。十等者,「億、 兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載。」三等者,謂上、中、下也。其下數 者,十十變之。若言「十萬曰億,十億曰兆,十兆曰京」也。 中數者,萬萬變之。若言「萬萬曰億,萬萬億曰兆,萬萬 兆曰京」也。上數者,數窮則變。若言「萬萬曰億,億億曰 兆,兆兆曰京」也。

按《詩》云:「胡取禾三百億兮」 ,毛注曰:「萬萬曰億」 ,此即中數也。鄭注云:「十萬曰億」 ,此即下數也。徐《援受記》云:「億億曰兆,兆兆曰京也」 ,此即上數也。鄭注以數為多,故合而言之。

從億至載,終於《大衍》。

按《易經》「大衍之數五十,其用四十有九。」 又云:「天一地二,天三地四,天五地六、天七地八,天九地十。天數五,地數五。天數二十有五,地數三十。凡天地之數五十有五也。」

下數淺短,計事則不盡;上數宏廓,世不可用。故其傳 業惟以中數耳。余時問曰:「先生之言上數者,數窮則 變。既云終於《大衍》,大衍有限,此何得窮?」先生笑曰:「蓋 未之思耳。數之為用,言重則變,以小兼大,又加循環, 循環之理,豈有窮乎?」

小兼大者備加董氏三等術數加,更載為煩,故略焉。

余又問曰:「為算之體,皆以積為名,為復更有他法乎?」 先生曰:「《隸首注術》,乃有多種,及余遺忘記憶數事而 已。」

其一積等, 其一太乙, 其一兩儀, 其一三才, 其一五行, 其一八卦, 其一九宮, 其一運算, 其一了知, 其一成數, 其一把頭, 其一龜算, 其一珠算, 其一計算。

此等諸法,隨須更位,惟有「九宮,守一不移,位依行色, 並應無窮。」

從積以來至珠算從一至於百千已上,位更不變改。位依行色者,位依五行之色,北方水色黑,數一;南方火色赤,數二;東方木色青,數三;西方金色白,數四;中央土色黃,數五。言位依行色各一位,第一用元珠十位,第二用赤珠百位,第三用青珠千位,第四用白珠萬位,第五用黃珠千萬位。以白綖繫黃珠萬萬位曰億。以黃綖繫黃珠。自餘諸位唯兼之。故曰「並應無窮」 也。

余慕其術,慮恐遺忘,故與好事後生記之云耳。《積算》

今之常算者也,以竹為之,長四寸以效四時,方三分以象三才,言算法是包括天地,以燭人情,數始四時,終於大衍,猶如循環,故曰「今之常算」 是也。

《太一算》:「太一之行,去來九道。」

刻板橫為九道,豎以為柱,柱上一珠,數從下始,故曰「去來九道」 也。

《兩儀》算天氣,下通地稟四時。

刻板橫為五道,豎為位,一位兩珠,色青,下珠色黃,上珠。其青珠自上而下,第一刻主五,第二刻主六,第三刻主七,第四刻主八,第五刻主九。其黃珠自下而上,第一刻主一,第二刻主二,第三刻主三。第

四刻主四而已,故曰:「天氣下通,地稟四時也。」

《三才算》:天地和同,隨物變通

刻板橫為三道,上刻為天,中刻為地,下刻為人,豎為算位。有三珠,青珠屬天,黃珠屬地,白球屬人。又其三珠,通行三道。若天珠在天為九,在地主六,在人主三。其地珠在天為八,在地主五,在人主二;人珠在天主七,在地主四,在人主一。故曰:「天地和同,隨物變通」也。《况》闕。《三元》:上元甲子一七四,中元甲子二八五,下元甲子三六九,隨物變通也。

五行算以生兼,生生變無窮。

五行之法:水元生數一,火赤生數二,木青生數三,金白生數四,土黃生數五。今為五行算,色別九枚,以五行色數相配,為算之位。假令九億八千七百六十五萬四千三百二十一者,則以白算配黃為九億,以青算配黃為八千,以赤算配黃為七百,以元算配黃算為六十,以一黃算為五萬,以一白算為四千,以一青算為三百,以一赤算為二十,以元算為一也。故曰:「以生兼生,生變無窮。」

八卦算針,刺八方位闕從天。

算為之法:位用一針鋒所指,以定算位數一從離起,指正南離為一,西南坤為二,正西兌為三,西北乾為四,正北坎為五,東北艮為六,正東震為七,東南巽為八。至九位闕即在中央,豎而指天,故曰:「位闕從天」 也。

九宮算五行,參數猶如循環。

九宮者,即二四為肩,六八為足,左三右七,戴九履一,五居中央。「五行參數」 者,設位之法,依五行,已注於上是也。

《運籌算》,小往大來,運於指掌。

此法位別,須算籌一枚,各長五寸。至一籌上,各為五刻。「上頭一刻,近一頭刻之,其下四刻,迭相去一寸,令去下頭亦一寸。」 入手取四指三間,間有三節:「初食指上節間為一位,第二節間為十位,第三節間為百位,至中指上節間為千位,中節間為萬位,下節間為十萬位。無名指上節間為百萬位,中為千萬位,下為億」 也。它皆倣此。至算刻近頭者,一刻主五;其遠頭者,一刻之別。從下而起,主一主二,主三主四。若一二三四,頭則向下於掌中,中若具五,則迴取上頭向掌中,故曰「小往大來」 也。迴游於手掌之間,故曰:「運於指掌」 也。

了知算首唯秉五,腹背兩兼。

了算之法,一位為一了字。其了有三曲:其下股之末,內主一,外主九;下次第一曲,內主二,外主八;當第二曲,內主三,外主七;其第三曲,內主四,外主六;當了字之首,則主五。故曰:「首唯秉五,腹背兩兼」 也。

成數算:春夏生養,秋收冬成。

算之法位,別須五色算一枚,其一算之象頭,各以黃色為本,以生數也。餘色為首,其五行各配土,為成數也。水元生數一,成數六;火赤生數二,成數七;木青生數三,成數八;金白生數四,成數九。若以首向東及南為生數,向西及北為成數,假令有九億八千七百六十五萬四千三百二十一者,則以白算首向北,為九億,以青算首向西為八千,以赤算首向北為七百,以元算首向西為六十,以黃算一枚豎為五萬,以白算首向東為四千,以青算首向南為三百,以赤算首向東為二十,以元算首向南為一也。故首向東向南為生數,向西向北為成數。故云「春夏生養,秋收冬成」 也。

把頭算,以身當五目視四方。

把頭之法,別須算二枚,一漫一齒者,一面刻為一,其一面為二,一面為三,其一面為四也。漫者為把,為猶即當五算。生齒者為把頭,一目當一算,故曰「以身當五目視四方」 也。

《龜算》「春夏秋成,遇冬則停。」

為算之法,位別一龜,龜之四面為十二時。以龜首指寅為一指,卯為二指,辰為三指,巳為四指,午為五指,未為六指,申為七指,酉為八指,戌為九指,亥為十龜。頭指不以為數,故去,遇冬則停也。

《珠算》:「控帶四時」,經緯三才。

刻板為三分,其上下二分以停游珠,中間一分以定算位。位各五珠,上一珠與下四珠色別。其上別色之珠當其下四珠,珠各當一,至下四珠所領,故云「控帶四時。」 其珠游於三方之中,故云「經緯三才」 也。

《計數》既捨數,術宜從心計。

言《捨數術》者,謂不用算籌,宜以心計之。《或問》曰:「今有大水,不知廣狹,欲不用算籌度而知之。假令於水北度之者,在水北置三表,令南北相直,各相去一丈。人在中表之北,平直相望。北水岸令三相直,即記南表相望、相直之處。其中表人目望處,亦記之。又從中相望處,直望水南岸,三相直看南表相。」

直之處亦記之。取南表二記之處高下,以等北表點記之。還從中表前望之所北望之,北表下設三相直,之北即河北岸也。又望上記三相直之處即河北岸,中間則水廣狹也。或曰:「今有長竿一枚,不知高下,既不用籌算,云何計而知之?」 答曰:「取竿之影,任其長短,畫地記之。假令手中有三尺之物,亦豎之。取杖下之」 影長短以量竿影得矣。或問曰:「今有深坑,在上看之,可知尺數幾否?」 答曰:「以一丈極意長短,假令以一丈之杖擲著坑中,人在岸上手提之,一杖,舒手望坑中之杖遙量知其寸數,即令一人於平地捉一丈之杖,漸令卻行,以前者遙望坑中,寸量之,與望坑中數等者即得。」 或問曰:「令甲乙各驅羊一群」 ,人各問多少,而甲曰:「更得乙一口。」 即加五多於甲。問各幾何?答曰:「甲九口,乙十一口。」 或問曰:「甲乙各驅羊,行人問其多少」 ,甲曰:「我得乙一口,即與乙等。」 乙曰:「我得甲一口。則倍多於甲。」 問「各幾何?」 答曰:「甲二乙四。」 或問曰:「今有雞翁一隻,直五文,雞母一隻直四文,雞兒一文得四隻,合有錢一百文,買雞大」 小一百隻。問各幾何?答曰:「雞翁十五隻,雞母一隻,雞兒八十四隻,各大小一百隻。計數多少,略舉其例。」 或問曰:「今有雞翁一隻直四文,雞母一隻直三文,雞兒三隻直一文,合有錢一百文。還買雞大小一百隻。」 問各幾何?答曰:「雞翁八隻,雞母十四隻,雞兒七十八隻,合一百隻。」

或問鸞曰:「世人乃云算位者,算子則豎,信有之乎?」鸞 答之曰:「依如針算,則以針鋒指八卦之位,一從《離》起, 左行周帀至巽,八位既合,及其至九,無位可指,是以 在中,豎而指天,故曰有位合。算子,豎之名也。」又問鸞 曰:「昔有吳人趙達,用一等之法,頭乘尾除,其有此術 乎?」鸞答之曰:「此乃傳之失實,猶公獲夔一足,丁氏穿 井而獲一人也。何者?按乘之法,重張其位以上呼一, 置得於中,置所除之數於下,又置得於上,亦三重張 位,然則乘之與除法用不同,欲以一算上下當六重 之身,增損為眾位之實,若其神也,則藉一算之功,如 其凡也,理不可爾。」問者又曰:「若如來指為妄矣,此言 何從而至?」鸞答之曰:「此亦傳之過實」也。何者?積一算 者,葢一位用一算也。「頭乘尾除」者,欲使乘別位,乘時 以針鋒指之,除時則用針尾撝之,故有「頭乘尾除」之 名也。

宋謝察微算經编辑

大數编辑

一、大數之始也    十。十箇一為十        百。十箇十為百 《千》。十箇百為千 萬。十千為萬數之成也 十萬、              百萬、       千萬 億。萬萬曰億     十億,              百億,       千億, 萬億,          《十萬》億,             《百萬》億,      《千萬億 兆》萬萬億      京。萬萬兆          《垓》。萬萬京   《秭》。萬萬垓

小數编辑

分。十釐為分     釐。十毫           毫。十絲    絲:十忽    忽。十微 微。十纖       纖。十沙           沙。十塵    塵。埃渺

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丈。十尺       尺:十寸           《寸》。十分    分。十釐 釐           毫               絲        忽。已上同前 《疋》。四丈今無定制   《端》:五丈今亦不一

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石:十斗       斗。十升           升。十合    合。十勺 勺。十抄       抄。十撮           撮。十圭    圭。六粟 粟。即一粒之粟也   斛。古一石今五斗或二斗五升  釜。六斗四升 庾。十六斗      《秉》。十六斛

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斤。十六兩      兩。二十四銖         銖。十絫    《絫》。十黍 黍:禾方得而有準   秤。原十五斤今二十斤或三十斤 《鈞》。二秤 石:四鈞       引。二百斤

今兩之下,惟用錢分釐毫絲忽也。

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畝。橫一步直二百四十步即闊一丈長六十丈也

若以自方五尺計之,積六千尺也。

步。方五尺也     分。五寸           釐。半寸    毫 絲           忽               里。三百六十步

計一百八十丈,約人行一千步。

頃。今以百畝為頃

「頃畝」 者,乃積稅之總也。二十四步為一分,十分為畝,畝之以下曰「釐毫絲忽。」

角。一畝分為四角每角六十步也

九章名義编辑

一曰《方田》。以御田疇界域二曰《粟布》。以御交質變易 三曰「衰分。」以御貴賤廩稅四曰少廣。以御積幂方圓 五曰《商功》。以御功程積實六曰《均輸》。以御遠近勞費 七曰《盈朒》。以御隱雜互見八曰《方程》。以御雜揉正負 九曰「句股」,以御高深廣遠

用字例義编辑

法。樣數也        實。本數也           因。法之單位者又由也     《歸》。入己之數也加。增添也        減。除少也           乘。法之多位也        《歸》。先歸後除合名也 除:減少也        《積》。乘成之數也         乘。法實合變數也       如:九數用此下一位也 身。本位也        《則》。法也            左:上邊大位也        右。下邊小位也 縱。直長也        橫。廣闊也           《廣》。橫闊也          闊。橫廣也 直。長也         面。方面也           高。立起也          深。陷下也 倍。加上本數也      併。二數相合也         截:割斷也          分。撥開也 原。初數也        差。多少不同數也        通。會同其數         變。改換其數 約。量度也        中。筭盤之中          進。移上前一位        《逢》。遇有數而言逢 上。脊梁之上又位之左   下。脊梁之下又位之右      挨。隨身變數也        退。移下後一位 《句》。短也         股。長也            弦。句股斜去日弦弧矢亦有弦也 斜。兩隅相去又不正也   隅。曲角也           長。直也           《周》。外圍也 較。相減餘也       廉。方直也           方。四面同數         徑。周中之弦 脊。盤中橫梁隔木     列位:各置位次         《折半》。減去一半        還原。復舊數也 《商除》:心與意商量而除之也 相乘。長闊或銀貨等       自乘:法實數自相乘 再乘。自乘之而又乘    遍乘。先以一法遍乘諸數     商總:合用商開之法 於盤中          開方。即自乘還原也       開立。即自乘再乘之還原也 中實。即商總也      併率。如一二三四五併得十五數也 《得令》。斤兩貫箇石等 類也           《得術》:乃法首位每下該得之名   互乘。如四處數目上 下斜角相乘        相較。如二數以少減多餘曰較   合得。筭數定奪 維乘。四處顧創相乘    若干,一為數始十為數終未筭難定 幾何?與若干相同

《夢溪筆談》
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算法编辑

審方面勢覆量高深遠近,算家謂之專術。專之文象 形,如繩木所用墨㪷也。求星辰之行步氣朔消長,謂 之綴術,謂不可以形察,但以算數綴之而已。北齊祖 暅有《綴術》二卷, 算術求積尺之法,如芻萌、芻童、方池、冥谷、塹堵、鱉臑、 圓錐、陽馬之類,物形備矣,獨未有隙積一術。古法凡 算方積之物有立方,謂六冪皆方者,其法再自乘,則 得之。「有塹堵」,謂如土牆者,兩邊殺,兩頭齊。其法:併上、 下廣,折半以為之廣,以直高乘之。又以直高為句,以 上廣減下廣,餘者為股。句股乘弦,以為斜高。「有芻童」, 謂如覆㪷者,四面皆殺。其法:倍上長,加入下長,以上 廣乘之;倍下長,加入上長,以下廣乘之。併二位法,以 高乘之。「六而二隙積」者,謂積之有隙者,如累棋層壇 及酒家積罌之類,雖似覆㪷,四面皆殺,緣有刻缺及 虛隙之處,用《芻童法》求之,常失於數少。予思而得之, 用《芻童法》為上行,下行別列下廣,以上廣減之,餘者 以高乘之,六而一,併入上行。

假令積罌最上行縱橫各二罌,最下行各十二罌,行行相次先止,以上行相次率至十二,當十一行也。以《芻童法》求之,以上行二倍之得四,併入下長十二,得十六。以上廣二乘之,得三十二。又倍下長,得二十四。以上廣二併入,共得二十六。以下廣十二乘之,得三百一十二。以十六與二相乘,所得之三十二併之,共得三百四十四,以高十一乘之,得三千七百八十四,為實。重列下廣十二,以上廣二減之,餘十,以高十一乘之,得一百一十,併入實內,共三千八百九十四。以六歸之,得六百四十九,此為罌數也。芻童求見實方之積,隙積求見合角不盡,蓋出羨積也。

履畝之法,方圓曲直盡矣,未有會圓之術。凡圓田既 能折之,須使會之復圓。古法惟以中破圓法折之,其 失有及三倍者。予別為折會之術:置圓田徑,半之以 為弦,又以半徑減去所割數,餘者為股,各自乘,以股 除弦餘者,開方除,為句,倍之,為割田之直徑。以所割 之數自乘,退一位,倍之,又以圓徑除,所得加入直徑, 為割田之弧。再割亦如之。減去已割之數,則《再割》之 數也。

假令有圓田徑十步,欲割二步,以半徑為弦,五步自乘,得二十五。又以半徑減去所割二步,餘三步為股,自乘,得九,用減弦外,有十六,開平方除,得四步為句,倍之,為所割直徑。以所割之數二步自乘,為四,倍之,得為八,退上一倍,為四尺,以圓徑除。今圓徑十,已是盈數,無可除,只用四尺加入直徑,為所割之弧。凡得圓徑八步四尺也。再割亦依此法。如圓徑二十步求弧數,則當折半,乃所謂「以圓徑除之」 也。

此二類皆造微之術,古書所不到者,漫志於此。


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