欽定古今圖書集成/曆象彙編/曆法典/第112卷

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欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

 第一百十二卷目錄

 算法部彙考四

  漢徐岳數術記遺數術

  宋謝察微算經大數 小數 度 量 衡 畝 九章名義 用字例義

  夢溪筆談筭法

曆法典第一百十二卷

算法部彙考四编辑

漢徐岳《數術記遺》编辑

數術编辑

余以天門金虎,呼吸精泉。

按《星經》云:昴者,西方白虎之宿。太白者,金之精也。太白入昴,金虎相薄,法有兵亂。周宣王時,有人採薪於郊間,歌曰:金虎入門,呼長精,吸元泉。時人莫能知其義。老君曰:太白入昴,兵其亂。徐氏,名岳東萊人,蓋以漢室版蕩,又譎詭見於天,將訪名山,自求多福也。

羽檄星馳,郊多走馬。

按:漢徵天下兵,必露檄插羽也。老君曰:天下有道,卻走馬以糞,天下無道,戎馬生於郊也。

遂負帙游山,蹠跡志道。

蹠跡者,兩足共躡一足跡也。漢文帝河上公蹠跡為士。

備歷丘嶽,林壑必過。乃於太山見劉會稽,博識多聞, 遍於數術。余因受業,頗稔所由。余時問曰:數有窮乎。 會稽曰:吾曾游天目山中。

會稽官號,漢中人也。按《曆志》:稱靈帝光和中,穀城守門候太山劉洪造乾象曆,又制月行遲疾陰陽曆,自洪始也,方於太初四分轉精密矣。洪後為會稽太守,劉洪付乾象於東萊,徐岳又授吳中書令闞澤,澤甚重焉,為注解。今案《地記》:天目山在吳興之界。

見有隱者,世莫知其名,號曰天目先生。余亦以此意 問之。先生曰:世人言三不能比兩。乃云:捐悶與四維。

《藝經》云:捐悶者,周公作也。先本位以十二時相從,其文曰:周有文章,虎不如龍,豕者何為,來入兔宮。王孫出卜乃,造黃鐘犬,就馬GJfont,非類相從,羊奔蛇穴,牛入雞籠。徐援稱捐悶乃是奇兩之術,發首即奇,一後乃奇兩者,即為疑,更調曰大豬東行,遁虎坑兔。子欲宿入馬GJfont,羊來入村,狗所屯。大牛何知。乘龍上蛇,往西方入猴鄉,雞鳴不止夜闕二字。其言三不能比兩者,孔子所造也,布十干於其方,戊己在西南維,其文曰:火為木生,甲呼丁。夫婦義重,己隨壬。貴遺則統領。辛參南丙,妻則須守乙後。火戊子,天癸就庚四維,東萊子所造也,布十二時,四維之一,其文曰:天行星紀,石隨龍淵,風吹羊圈,天門地連,兔居蛇穴,馬到猴邊,雞飛豬鄉,鼠入虎廛,摯亦有四維之戲,與此異焉。

數不識三,妄談知十。

三者,上中下也。十數,昴一數也。於先之意非止十等之名。將關大衍之旨事一也。

猶川人事迷其指歸,乃恨司方之手爽。

司方者,指南車也。《狐疑論》稱黃帝將見大隗於具茨之山。至襄城之野,川谷之山,率多斜曲。川人曰:積數之常,乃固以之,非指南車之為爽。乃指謂。擢司方所指者,乃為我等之西也。然則指南豈其謬也。乃行數里,川人又曰:司方所指,我等之東也。眾共論之為疑,笑於時。容成子怪而問之。川人以其狀白對。容成曰:在此望之具茨之山,於汝住所,復在何方。川人又曰:在我之東。容成曰:汝向言在西,今更在東,何言不常也。此非山川之移,川曲之斜,人心之惑耳。川人乃請於斜曲之中,定東西南北之術。容成曰:當豎一木為表,以索繫之,表引索繞表畫地為規,日初出影長則出圓規之,外向中影漸短,入規之中,候西北隅影初入規之處。則記之,乃過中影漸長,出規之外,候東北隅影初出規之處,又記之。取二記之所,即正東西也。折半以指表,則正南北也。川人志之,以為知方之術。

未識剎那之賒促,安知麻姑之桑田。

按《楞伽經》云:稱量長短者,積剎那數,以成日夜。剎

那量者,壯夫一彈,日指過頃遙六十四。剎那二百四。剎那名一恆,剎那三十恆,剎那名一婆羅,三十婆羅名一摩GJfont羅,多三十摩GJfont羅多子為一日一夜。其一日一夜有六百四十八萬剎那,《神仙傳》稱麻姑謂王方平:曰自接待以來見東海為桑田向到蓬萊水乃淺於往者略半也,豈復將為陵陸乎。方平乃曰:東海行,復揚塵耳。

不辨積微之為量,鉅曉百億與大千。

按《楞伽經》云:積微成一阿耨,七阿耨為一銅上塵,七銅上塵為一水上塵,七水上塵為兔毫上塵,七兔毫上塵為一羊毛上塵,七羊毛上塵為一牛毛上塵,七牛毛上塵為一嚮中由塵,七嚮中由塵成一蟣,七蟣成一蝨,七蝨成一麥,橫七麥橫成一指節,二十四指節為一肘,四肘為一弓,去肘五百弓為阿蘭惹據若,摩竭國人一拘盧舍為五里八拘。盧舍為一由旬,一由旬計之為四十里也,及以算校之正得一十七里。何者,計二尺為一肘,四肘為一弓,弓長八尺也。計五百弓有四千尺也。八拘盧舍則有三萬二千尺,除之得五千三百三十三步。以里法三百步除之,得一十七里餘二百三十三步。《華嚴經》云:四天下共一日月為一世界,有千世界,有一小鐵圍山,遶之名曰:小千世界。有一小千世界,有中鐵圍山,遶之名曰中千世界。有中千世界。有大鐵圍,山遶之名曰大千世界,此三千大千世界。之中有百億須彌山,乃今校之世有十億日月十億須彌山,何者。置小千世界之中,有一千日月以一千乘之得一百萬,即中千世界中日月數也。置中千世界日月之數,以一千乘之,得即大千世界日月之數也。又云四天下者,須彌山南曰:閻浮提山,北曰鬱丹越山,東曰提山,西曰俱瞿耶尼山,其日月一日一夜照四天下,山南日中,山北夜半,山東日中,山西夜半。及以成事驗之,則有疑矣,何者。按閻浮提人,在須彌山南,及至二月八月春秋分晝夜停,以漏刻度之,則晝夜各五十刻也。然則日初出時。東向視日之當我之東,即漏刻及其日,浸當我之西五十刻。其一日一夜之中遶三天下而來,所以至曉亦得五十刻也。胡以十萬為億,有百倍日月四天下等事,有所未詳也。

黃帝為法數有十等,及其用也,乃有三焉。十等者,億 兆京垓秭壤溝澗正載。三等者,謂上中下也,其下數 者十十變之,若言十萬,曰億。十億,曰兆。十兆,曰京也。 中數者,萬萬變之,若言萬萬曰億;萬萬億曰兆;萬萬 兆曰京也。上數者數窮則變,若言萬萬曰億;億億曰 兆;兆兆曰京也。

按《詩》云:胡取禾三百億兮。毛注曰:萬萬曰億,此即中數也。鄭注云:十萬曰億,此即下數也。徐援受記云:億億曰兆;兆兆曰京也;此即上數也;鄭注以數為多故合而言之。

從億至載,終於大衍。

按《易經》:大衍之數五十,其用四十有九。又云天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十。天數五地數五,天數二十有五,地數三十。凡天地之數五十有五也。

下數淺短計事則不盡,上數宏廓世不可用,故其傳 業,惟以中數耳。余時問曰:先生之言,上數者數窮則 變,既云終於大衍,大衍有限,此何得窮。先生笑曰:蓋 未之思耳,數之為用,言重則變,以小兼大,又加循環, 循環之理豈有窮乎。

小兼大者,備加董氏三等術數,加更載為煩,故略焉。

余又問曰:為算之體,皆以積為名為復,更有他法乎。 先生曰:隸首注術,乃有多種。及余遺忘,記憶數事而 已。

其一積等 其一太乙 其一兩儀 其一三才 其一五行 其一八卦 其一九宮 其一運算 其一了知 其一成數 其一把頭 其一龜算 其一珠算 其一計算

此等諸法,隨須更位,惟有九宮守一不移位,依行色 並應無窮。

從積以來至珠算,從一至於百千已上位更不變。改位依行色者,位依五行之色,北方水,色黑,數一。南方火,色赤,數二。東方木,色青,數三。西方金,色白,數四。中央土,色黃,數五。言位依行色各一位,第一用元珠,十位。第二用赤珠,百位。第三用青珠,千位。第四用白珠,萬位。第五用黃珠,千萬位。以白綖繫黃珠,萬萬位,曰億。以黃綖繫黃珠,自餘諸位,唯兼之故,曰並應無窮也。

余慕其術,慮恐遺忘,故與好事後生記之云耳。積算,

今之常算者也,以竹為之,長四寸以效四時,方三分以象三才,言算法是包括天地以燭人情,數始四時,終於大衍,猶如循環,故曰今之常算是也。

太一算,太一之行,去來九道。

刻板橫為九道,豎以為柱,柱上一珠,數從下始故曰去來九道也。

兩儀算天氣下通,地稟四時。

刻板橫為五道,豎為位一位,兩珠色青,下珠色黃,上珠其青珠,自上而下第一刻,主五。第二刻,主六。第三刻,主七。第四刻,主八。第五刻,主九。其黃珠自下而上第一刻,主一。第二刻,主二。第三刻,主三。第

四刻,主四而已。故曰天氣下通地稟四時也。

三才算天地和同,隨物變通。

刻板橫為三道,上刻為天,中刻為地,下刻為人。豎為算位有三珠,青珠屬天,黃珠屬地,白球屬人,又其三珠通行三道,若天珠在天,為九,在地,主六。在人主三,其地珠在天為八,在地主五,在人主二。人珠在天主七,在地主四,在人主一。故曰天地和同,隨物變通也。GJfont三元上元甲子一七四,中元甲子二八五,下元甲子三六九。隨物變通也。

五行算以生兼生,生變無窮。

五行之法,水元生數一,火赤生數二,木青生數三,金白生數四,土黃生數五,今為五行,算色別九枚。以五行色數相配為算之位,假令九億八千七百六十五萬四千三百二十一者,則以白算配黃為九億,以青算配黃為八千,以赤算配黃為七百,以元算配黃算為六十,以一黃算為五萬,以一白算為四千,以一青算為三百,以一赤算為二十,以元算為一也,故曰以生兼生,生變無窮。

八卦算針刺八方,位闕從天。

算為之法位,用一針鋒所指以定算位數,一從離起,指正南離為一,西南坤為二,正西兌為三,西北乾為四,正北坎為五,東北艮為六,正東震為七,東南巽為八,至九位闕即在中央豎而指天,故曰位闕從天也。

九宮算五行參數,猶如循環。

九宮者,即二四為肩,六八為足,左三右七,戴九履一,五居中央。五行參數者,設位之法,依五行已注於上是也。

運籌算小往大來,運於指掌。

此法位別須算籌一枚,各長五寸至一籌,上各為五刻,上頭一刻近一頭刻之,其下四刻迭相去一寸,令去下頭亦一寸,入手取四指三間,間有三節。初食指上節間為一位,第二節間為十位,第三節間為百位,至中指上節間為千位,中節間為萬位,下節間為十萬位,無名指上節間為百萬位,中為千萬位,下為億也。它皆倣此。至算刻近頭者一刻主五,其遠頭者一刻之別,從下而起主一、主二、主三、主四,若一二三四頭,則向下於掌中,中若具五,則迴取上頭,向掌中,故曰:小往大來也,迴游於手掌之間,故曰運於指掌也。

了知算首唯秉五,腹背兩兼。

了算之法一位為一。了字其了有三曲,其下股之末,內主一外主九,下次第一曲內主二外主八,當第二曲內主三外主七,其第三曲內主四外主六。當了字之首則主五,故曰首唯秉五,腹背兩兼也。

成數算春夏生養,秋收冬成。

算之法位,別須五色算一枚,其一算之象頭,各以黃色為本,以生數也。餘色為首,其五行各配土為成數也,水元生數一,成數六。火赤生數二,成數七。木青生數三,成數八。金白生數四,成數九。若以首向東及南為生數,向西及北為成數,假令有九億八千七百六十五萬四千三百二十一者,則以白算首向北為九億,以青算首向西為八千,以赤算首向北為七百,以元算首向西為六十,以黃算一枚豎為五萬,以白算首向東為四千,以青算首向南為三百,以赤算首向東為二十,以元算首向南為一也。故首向東向南為生數,向西向北為成數。故云春夏生養,秋收冬成也。

把頭算以身當五,目視四方。

把頭之法,別須算二枚,一漫一齒者一面刻為一,其一面為二,一面為三,其一面為四也,漫者為把為猶,即當五算生齒者。為把頭一目當一算故曰以身當五目視四方也。

龜算春夏秋成,遇冬則停。

為算之法,位別一龜,龜之四面為十二時以龜首指寅為一,指卯為二,指辰為三,指巳為四,指午為五,指未為六,指申為七,指酉為八,指戌為九,指亥為十,龜頭指不以為數,故去遇冬則停也。

珠算控帶四時,經緯三才。

刻板為三,分其上下二分,以停游珠中間一分,以定算位,位各五珠,上一珠與下四珠色別,其上別色之珠當其下四珠,珠各當一至下四珠所領故云控帶四時,其珠游於三方之中,故云經緯三才也。

計數既捨,數術宜從心計。

言捨數術者,謂不用算籌宜以心計之,或問曰:今有大水不知廣狹,欲不用算籌度而知之,假令於水北度之者,在水北置三表令南北相直,各相去一丈,人在中表之,北平直相望,北水岸令三相直即記,南表相望相直之處其中表人目望處亦記之,又從中相望處直望水南岸三相直,看南表相

直之處亦記之,取南表二記之處高下以等,北表點記之還從中表前望之所,北望之北表下設三相直之北,即河北岸也,又望上記三相直之處,即河北岸中間則水廣狹也,或曰:今有長竿一枚,不知高下既不用籌算云,何計而知之。答曰:取竿之影,任其長短。畫地記之,假令手中有三尺之物,亦豎之取杖下之影長短以量竿影得矣。或問曰:今有深坑,在上看之,可知尺數幾否。答曰:以一丈極意長短,假令以一丈之杖擲著,坑中人在岸上手提之,一杖舒手,望坑中之杖遙量,知其寸數,即令一人於平地捉一丈之杖,漸令卻行,以前者遙望坑中寸量之,與望坑中數等者,即得。或問曰:令甲乙,各驅羊一群,人各問多少。而甲曰:更得乙一口即加五多於甲。問各幾何。答曰:甲九口,乙十一口。或問曰:甲乙各驅羊行,人問其多少。甲曰:我得乙一口即與乙等,乙曰我得甲一口則倍多於甲,問各幾何。答曰:甲二,乙四。或問曰:今有雞翁一隻,直五文,雞母一隻直四文,雞兒一文。得四隻,合有錢一百文,買雞大小一百隻,問各幾何。答曰:雞翁十五隻,雞母一隻,雞兒八十四隻。各大小一百隻。計數多少。略舉其例。或問曰:今有雞翁一隻直四文,雞母一隻直三文,雞兒三隻直一文,合有錢一百文。還買雞大小一百隻,問各幾何。答曰:雞翁八隻,雞母十四隻,雞兒七十八隻,合一百隻。

或問鸞曰:世人乃云算位者,算子則豎,信有之乎。鸞 答之曰:依如針算,則以針鋒,指八卦之位,一從離起 左行周GJfont至巽,八位既合,及其至九無位可指,是以 在中豎而指天,故曰有位合算子,豎之名也。又問鸞 曰:昔有吳人趙達,用一等之法頭乘尾除。其有此術 乎。鸞答之曰:此乃傳之失實,猶公獲夔一足,丁氏穿 井而獲一人也。何者,按乘之法,重張其位,以上呼一 置得於中,置所除之數於下,又置得於上亦三重張 位,然則乘之與除法用不同,欲以一算上下當六重 之身,增損為眾位之實,若其神也。則藉一算之功如 其凡也,理不可爾。問者又曰:若如來指為妄矣,此言 何從而至。鸞答之曰:此亦傳之過實也,何者積一算 者GJfont一位用一算也。頭乘尾除者欲使乘別位乘時 以針鋒指之,除時則用針尾撝之,故有頭乘尾除之 名也。

宋謝《察微算經》编辑

大數编辑

大數之始也    十十箇一為十        百十箇十為百 千十箇百為千十千為萬數之成也 十萬              百萬       千萬 億萬萬曰億     十億              百億       千億 萬億          十萬億             百萬億      千萬億 兆萬萬億      京萬萬兆          垓萬萬京   秭萬萬垓

小數编辑

十釐為分     釐十毫           毫十絲    絲十忽    忽十微十纖       纖十沙           沙十塵    塵埃渺

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十尺       尺十寸           寸十分    分十釐 釐           毫               絲        忽已上同前四丈今無定制   端五丈今亦不一

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十斗       斗十升           升十合    合十勺十抄       抄十撮           撮十圭    圭六粟即一粒之粟也   斛古一石今五斗或二斗五升  釜六斗四升十六斗      秉十六斛

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十六兩      兩二十四銖         銖十絫    絫十黍禾方得而有準   秤原十五斤今二十斤或三十斤 鈞二秤四鈞       引二百斤

今兩之下惟用錢分,釐毫絲忽也。

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橫一步直二百四十步即闊一丈長六十丈也

若以自方五尺計之,積六千尺也。

方五尺也     分五寸           釐半寸    毫 絲           忽               里三百六十步

計一百八十丈約人行一千步。

今以百畝為頃

頃畝者,乃積稅之總也,二十四步為一分,十分為畝,畝之以下曰釐、毫、絲、忽。

一畝分為四角每角六十步也

九章名義编辑

一曰方田以御田疇界域二曰粟布以御交質變易 三曰衰分以御貴賤廩稅四曰少廣以御積GJfont方圓 五曰商功以御功程積實六曰均輸以御遠近勞費 七曰盈朒以御隱雜互見八曰方程以御雜揉正負 九曰句股以御高深廣遠

用字例義编辑

樣數也        實本數也           因法之單位者又由也     歸入己之數也增添也        減除少也           乘法之多位也        歸先歸後除合名也減少也        積乘成之數也         乘法實合變數也       如九數用此下一位也本位也        則法也            左上邊大位也        右下邊小位也直長也        橫廣闊也           廣橫闊也          闊橫廣也長也         面方面也           高立起也          深陷下也加上本數也      併二數相合也         截割斷也          分撥開也初數也        差多少不同數也        通會同其數         變改換其數量度也        中筭盤之中          進移上前一位        逢遇有數而言逢脊梁之上又位之左   下脊梁之下又位之右      挨隨身變數也        退移下後一位短也         股長也            弦句股斜去日弦弧矢亦有弦也兩隅相去又不正也   隅曲角也           長直也           周外圍也相減餘也       廉方直也           方四面同數         徑周中之弦盤中橫梁隔木     列位各置位次         折半減去一半        還原復舊數也 商除心與意商量而除之也 相乘長闊或銀貨等       自乘法實數自相乘 再乘自乘之而又乘    遍乘先以一法遍乘諸數     商總合用商開之法 於盤中          開方即自乘還原也       開立即自乘再乘之還原也 中實即商總也      併率如一二三四五併得十五數也 得令斤兩貫箇石等 類也           得術乃法首位每下該得之名   互乘如四處數目上 下斜角相乘        相較如二數以少減多餘曰較   合得筭數定奪 維乘四處顧創相乘    若干一為數始十為數終未筭難定 幾何與若干相同

《夢溪筆談》
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算法编辑

審方面勢覆量,高深遠近算家謂之GJfont術,GJfont之文象 形如繩木所用墨GJfont也,求星辰之行步,氣朔消長謂 之綴術謂不可以,形察但以算數綴之,而已北齊祖 GJfont有綴術二卷。 算術求積尺之法,如芻萌芻童;方池冥谷塹堵鱉臑 圓錐陽馬之類,物形備矣,獨未有隙積一術古法凡 算方積之,物有立方,謂六冪,皆方者,其法再自乘則 得之,有塹堵,謂如土牆,者兩邊殺,兩頭齊其法併上 下廣,折半以為之。廣以直高乘之,又以直高為句以 上廣減下廣餘者為股,句股,乘弦,以為斜,高有芻童, 謂如覆GJfont者。四面皆殺,其法倍上長加入,下長以上 廣乘之倍下,長加入上長以下廣乘之併,二位法以 高乘之六,而二隙積者謂積之有隙者,如累棋層壇 及酒家積罌之類,雖似覆GJfont四面皆殺,緣有刻缺及 虛隙之處。用芻童法求之,常失於數少予思,而得之 用芻童,法為上行下行別列下廣,以上廣減之,餘者 以高乘之六,而一併入上行。

假令積罌最上行,縱橫各二罌,最下行各十二罌行,行相次先止以上行,相次率至十二,當十一行也以芻童法求之,以上行二倍之得四,併入下長十二得十六,以上廣二乘之,得三十二又倍下長得二十四,以上廣二併,入共得二十六,以下廣十二乘之,得三百一十二,以十六與二相乘所得之。三十二併之,共得三百四十四,以高十一乘之得三千七百八十四為實,重列下廣十二以上廣二減之,餘十以高十一乘之,得一百一十併入實,內共三千八百九十四以六歸之,得六百四十九此為罌數也。芻童求見實方之積隙,積求見合角不盡蓋出羨積也。

履畝之法方圓曲直盡矣,未有會圓之術,凡圓田既 能折之,須使會之復圓古法惟以中破圓法,折之其 失有及三倍者,予別為折會之術置圓田。徑半之以 為弦,又以半徑減去所割數,餘者為股,各自乘以股, 除弦餘者,開方除為句倍之為割田之直徑。以所割 之數自乘,退一位倍之。又以圓徑除所得加入直徑 為割田之弧,再割亦如之,減去已割之,數則再割之 數也。

假令有圓田徑十步,欲割二步以半徑為弦五步。自乘得二十五又以半徑減去所割二步餘三步為股。自乘得九,用減弦外有十六開平方除得四步,為句,倍之為所割直徑,以所割之數二步自乘為四倍之得為八,退上一倍為四尺,以圓徑除今圓徑十,已是盈數無可除,只用四尺加入直徑為所割之弧,凡得圓徑八步四尺也。再割亦依此法如圓徑二十步求弧數,則當折半,乃所謂以圓徑除之也。

此二類皆造微之術。古書所不到者。漫志於此。


PD-icon.svg 本作品在全世界都属于公有领域,因为作者逝世已经超过100年,并且于1923年1月1日之前出版。