钦定古今图书集成 历象汇编 第一百十二卷 |
钦定古今图书集成历象汇编历法典
第一百十二卷目录
算法部汇考四
汉徐岳数术记遗〈数术〉
宋谢察微算经〈大数 小数 度 量 衡 亩 九章名义 用字例义〉
梦溪笔谈〈筭法〉
历法典第一百十二卷
算法部汇考四
编辑汉徐岳数术记遗
编辑数术
编辑余以天门金虎,呼吸精泉。
按《星经》云:昴者,西方白虎之宿。太白者,金之精也。太白入昴,金虎相薄,法有兵乱。周宣王时,有人采薪于郊间,歌曰:“金虎入门,呼长精,吸元泉。” 时人莫能知其义。老君曰:“太白入昴,兵其乱。” 徐氏名岳,东莱人。盖以汉室版荡,又谲诡见于天,将访名山,自求多福也。
羽檄星驰,郊多走马。
按汉征天下兵,必露檄插羽也。《老君》曰:“天下有道,却走马以粪;天下无道,戎马生于郊也。”
遂负帙游山,跖迹志道。
跖迹者,两足共蹑一足迹也。汉文帝,河上公跖迹为士。
备历丘岳林壑,必过。乃于太山见刘会稽,博识多闻, 遍于数术。余因受业,颇稔所由。余时问曰:“数有穷乎?” 会稽曰:“吾曾游天目山中。”
会稽官号,汉中人也。按《历志》称“灵帝光和中,谷城守门候太山刘洪造《乾象历》,又制月行迟疾阴阳历,自洪始也。方于太初四分,转精密矣。洪后为会稽太守,刘洪付乾象于东莱徐岳,又授吴中书令阚泽,泽甚重焉,为注解。” 今案:《地记》,天目山在吴兴之界。
见有隐者,世莫知其名,号曰天目先生,余亦以此意 问之。先生曰:“世人言三,不能比两,乃云捐闷与四维。”
《艺经》云:《捐闷》者,周公作也。先本位以十二时相从,其文曰:“周有文章,虎不如龙。豕者何为?来入兔宫。王孙出卜,乃造黄钟。犬就马厩,非类相从。羊奔蛇穴,牛入鸡笼。”徐援称捐闷乃是奇两之术,发首即奇一后乃奇,两者即为疑。《更调》曰:“大猪东行遁虎坑,兔子欲宿入马厩,羊来入村狗所屯,大牛何知乘龙上,蛇往西”方、入猴乡、鸡鸣不止、夜。〈阙二字。〉其言三,不能比两者,孔子所造也。布十干于其方,戊己在西南维。其文曰:“火为木,生甲呼丁,夫妇义重,己随壬,贵遗则统领辛,参南丙,妻则须守乙,后火戊子,天癸就庚”四维,东莱子所造也。布十二时四维之一,其文曰:“天行星纪,石随龙渊,风吹羊圈,天门地连,兔居蛇穴,马到猴边,鸡飞猪乡,鼠入虎廛挚。”亦有四维之戏,与此异焉。
数不识三,妄谈知十。
三者,上中下也,“十数” ,昴一数也。于先之意,非止十等之名,将关《大衍》之旨,事一也;
“犹川人事迷其指归”,乃恨司方之手爽。
“司方”者,指南车也。《狐疑论》称黄帝将见大隗于具茨之山,至襄城之野,川谷之山率多斜曲。川人曰:积数之常,乃固以之,非《指南车》之为爽,乃指谓〈阙。〉“擢,司方所指者,乃为我等之西也。然则指南岂其谬也?”乃行数里,川人又曰:“司方所指,我等之东也。”众共论之为疑笑。于时容成子怪而问之,川人以其状白对。容成曰:“在此望之,具茨之山,于汝住所,复在何方?”川人又曰:“在我之东。”容成曰:“汝向言在西,今更在东,何言不常也?此非山川之移,川曲之斜,人心之惑耳。”川人乃请于斜曲之中,定东西南北之术。容成曰:“当竖一木为表,以索系之,表引索绕表画地为规。日初出影长,则出圆规之外,向中影渐短,入规之中,候西北隅影初入规之处则记之。乃过中影渐长,出规之外,候东北隅影初出规之处又记之。取二记之所,即正东西也;折半以指表,则正南北也。”川人志之,以为知方之术。
未识刹那之赊促,安知麻姑之桑田。
按《楞伽经》云。“称量长短者。积刹那数。以成日夜刹。”
那量者,壮夫一弹日指过顷,遥六十四刹那,二百四刹那名一恒刹那,三十恒刹那名一婆罗,三十婆罗名一摩睺罗多,三十摩睺罗多子为一日一夜,其一日一夜有六百四十八万刹那。《神仙传》称:麻姑谓王方平曰:“‘自接待以来,见东海为桑田,向到蓬莱,水乃浅于往者略半也,岂复将为陵陆乎’?方平乃曰:‘东海行复扬尘耳’。”
不辨《积微》之为量,钜晓百亿与大千
按《楞伽经》云:“积微成一阿耨,七阿耨为一铜上尘,七铜上尘为一水上尘,七水上尘为兔毫上尘,七兔毫上尘为一羊毛上尘,七羊毛上尘为一牛毛上尘,七牛毛上尘为一向中由尘,七向中由尘成一虮,七虮成一虱,七虱成一麦横,七麦横成一指节,二十四指节为一肘,四肘为一弓,去肘五百弓为阿兰惹。”据若摩竭国人,一拘卢舍为五里,八拘卢舍为一由旬,一由旬计之,为四十里也。及以算校之,正得一十七里。何者?计二尺为一肘,四肘为一弓,弓长八尺也,计五百弓有四千尺也。八拘卢舍则有三万二千尺,除之得五千三百三十三步。以里法三百步除之,得一十七里,馀二百三十三步。《华严经》云:“四天下共一日月为一世界,有千世界,有一小铁围山绕之,名曰小千世界;有一小千世界,有中铁围山绕之,名曰中千世界;有中千世界,有大铁围山绕之,名曰大千世界。”此三千大千世界之中有百亿须弥山,乃今校之,世有十亿日月、十亿须弥山。何者?置小千世界之中,有一千日月,以一千乘之,得一百万,即中千世界中日月数也。置中千世界日月之数,以一千乘之,得即大千世界日月之数也。又云:“四天下者,须弥山南曰阎浮提山,北曰郁丹越山,东曰”〈阙。〉“提山,西曰俱瞿耶尼山,其日月一日一夜,照四天下:山南日中,山北夜半,山东日中,山西夜半。及以成事验之,则有疑矣。”何者?按阎浮提人在须弥山南,及至二月、八月春秋分,昼夜停,以漏刻度之,则昼夜各五十刻也。然则日初出时,东向视日之当我之东即漏刻,及其日浸当我之西五十刻,其一日一夜之中,绕三天下而来,所以至晓亦得五十刻也。胡以十万为亿,有百倍。日月四天下等事,有所未详也。
黄帝为法,数有十等,及其用也,乃有三焉。十等者,“亿、 兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载。”三等者,谓上、中、下也。其下数 者,十十变之。若言“十万曰亿,十亿曰兆,十兆曰京”也。 中数者,万万变之。若言“万万曰亿,万万亿曰兆,万万 兆曰京”也。上数者,数穷则变。若言“万万曰亿,亿亿曰 兆,兆兆曰京”也。
按《诗》云:“胡取禾三百亿兮” ,毛注曰:“万万曰亿” ,此即中数也。郑注云:“十万曰亿” ,此即下数也。徐《援受记》云:“亿亿曰兆,兆兆曰京也” ,此即上数也。郑注以数为多,故合而言之。
从亿至载,终于《大衍》。
按《易经》“大衍之数五十,其用四十有九。” 又云:“天一地二,天三地四,天五地六、天七地八,天九地十。天数五,地数五。天数二十有五,地数三十。凡天地之数五十有五也。”
下数浅短,计事则不尽;上数宏廓,世不可用。故其传 业惟以中数耳。余时问曰:“先生之言上数者,数穷则 变。既云终于《大衍》,大衍有限,此何得穷?”先生笑曰:“盖 未之思耳。数之为用,言重则变,以小兼大,又加循环, 循环之理,岂有穷乎?”
小兼大者备加董氏三等术数加,更载为烦,故略焉。
余又问曰:“为算之体,皆以积为名,为复更有他法乎?” 先生曰:“《隶首注术》,乃有多种,及余遗忘记忆数事而 已。”
其一积等, 其一太乙, 其一两仪, 其一三才, 其一五行, 其一八卦, 其一九宫, 其一运算, 其一了知, 其一成数, 其一把头, 其一龟算, 其一珠算, 其一计算。
此等诸法,随须更位,惟有“九宫,守一不移,位依行色, 并应无穷。”
从积以来至珠算从一至于百千已上,位更不变改。位依行色者,位依五行之色,北方水色黑,数一;南方火色赤,数二;东方木色青,数三;西方金色白,数四;中央土色黄,数五。言位依行色各一位,第一用元珠十位,第二用赤珠百位,第三用青珠千位,第四用白珠万位,第五用黄珠千万位。以白𫄧系黄珠万万位曰亿。以黄𫄧系黄珠。自馀诸位唯兼之。故曰“并应无穷” 也。
余慕其术,虑恐遗忘,故与好事后生记之云耳。《积算》
今之常算者也,以竹为之,长四寸以效四时,方三分以象三才,言算法是包括天地,以烛人情,数始四时,终于大衍,犹如循环,故曰“今之常算” 是也。
《太一算》:“太一之行,去来九道。”
刻板横为九道,竖以为柱,柱上一珠,数从下始,故曰“去来九道” 也。
《两仪》算天气,下通地禀四时。
刻板横为五道,竖为位,一位两珠,色青,下珠色黄,上珠。其青珠自上而下,第一刻主五,第二刻主六,第三刻主七,第四刻主八,第五刻主九。其黄珠自下而上,第一刻主一,第二刻主二,第三刻主三。第
四刻主四而已,故曰:“天气下通,地禀四时也。”
《三才算》:天地和同,随物变通
刻板横为三道,上刻为天,中刻为地,下刻为人,竖为算位。有三珠,青珠属天,黄珠属地,白球属人。又其三珠,通行三道。若天珠在天为九,在地主六,在人主三。其地珠在天为八,在地主五,在人主二;人珠在天主七,在地主四,在人主一。故曰:“天地和同,随物变通”也。《况》〈阙。〉《三元》:上元甲子一七四,中元甲子二八五,下元甲子三六九,随物变通也。
五行算以生兼,生生变无穷。
五行之法:水元生数一,火赤生数二,木青生数三,金白生数四,土黄生数五。今为五行算,色别九枚,以五行色数相配,为算之位。假令九亿八千七百六十五万四千三百二十一者,则以白算配黄为九亿,以青算配黄为八千,以赤算配黄为七百,以元算配黄算为六十,以一黄算为五万,以一白算为四千,以一青算为三百,以一赤算为二十,以元算为一也。故曰:“以生兼生,生变无穷。”
八卦算针,刺八方位阙从天。
算为之法:位用一针锋所指,以定算位数一从离起,指正南离为一,西南坤为二,正西兑为三,西北干为四,正北坎为五,东北艮为六,正东震为七,东南巽为八。至九位阙即在中央,竖而指天,故曰:“位阙从天” 也。
九宫算五行,参数犹如循环。
九宫者,即二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央。“五行参数” 者,设位之法,依五行,已注于上是也。
《运筹算》,小往大来,运于指掌。
此法位别,须算筹一枚,各长五寸。至一筹上,各为五刻。“上头一刻,近一头刻之,其下四刻,迭相去一寸,令去下头亦一寸。” 入手取四指三间,间有三节:“初食指上节间为一位,第二节间为十位,第三节间为百位,至中指上节间为千位,中节间为万位,下节间为十万位。无名指上节间为百万位,中为千万位,下为亿” 也。它皆仿此。至算刻近头者,一刻主五;其远头者,一刻之别。从下而起,主一主二,主三主四。若一二三四,头则向下于掌中,中若具五,则回取上头向掌中,故曰“小往大来” 也。回游于手掌之间,故曰:“运于指掌” 也。
了知算首唯秉五,腹背两兼。
了算之法,一位为一了字。其了有三曲:其下股之末,内主一,外主九;下次第一曲,内主二,外主八;当第二曲,内主三,外主七;其第三曲,内主四,外主六;当了字之首,则主五。故曰:“首唯秉五,腹背两兼” 也。
成数算:春夏生养,秋收冬成。
算之法位,别须五色算一枚,其一算之象头,各以黄色为本,以生数也。馀色为首,其五行各配土,为成数也。水元生数一,成数六;火赤生数二,成数七;木青生数三,成数八;金白生数四,成数九。若以首向东及南为生数,向西及北为成数,假令有九亿八千七百六十五万四千三百二十一者,则以白算首向北,为九亿,以青算首向西为八千,以赤算首向北为七百,以元算首向西为六十,以黄算一枚竖为五万,以白算首向东为四千,以青算首向南为三百,以赤算首向东为二十,以元算首向南为一也。故首向东向南为生数,向西向北为成数。故云“春夏生养,秋收冬成” 也。
把头算,以身当五目视四方。
把头之法,别须算二枚,一漫一齿者,一面刻为一,其一面为二,一面为三,其一面为四也。漫者为把,为犹即当五算。生齿者为把头,一目当一算,故曰“以身当五目视四方” 也。
《龟算》“春夏秋成,遇冬则停。”
为算之法,位别一龟,龟之四面为十二时。以龟首指寅为一指,卯为二指,辰为三指,巳为四指,午为五指,未为六指,申为七指,酉为八指,戌为九指,亥为十龟。头指不以为数,故去,遇冬则停也。
《珠算》:“控带四时”,经纬三才。
刻板为三分,其上下二分以停游珠,中间一分以定算位。位各五珠,上一珠与下四珠色别。其上别色之珠当其下四珠,珠各当一,至下四珠所领,故云“控带四时。” 其珠游于三方之中,故云“经纬三才” 也。
《计数》既舍数,术宜从心计。
言《舍数术》者,谓不用算筹,宜以心计之。《或问》曰:“今有大水,不知广狭,欲不用算筹度而知之。假令于水北度之者,在水北置三表,令南北相直,各相去一丈。人在中表之北,平直相望。北水岸令三相直,即记南表相望、相直之处。其中表人目望处,亦记之。又从中相望处,直望水南岸,三相直看南表相。”
直之处亦记之。取南表二记之处高下,以等北表点记之。还从中表前望之所北望之,北表下设三相直,之北即河北岸也。又望上记三相直之处即河北岸,中间则水广狭也。或曰:“今有长竿一枚,不知高下,既不用筹算,云何计而知之?” 答曰:“取竿之影,任其长短,画地记之。假令手中有三尺之物,亦竖之。取杖下之” 影长短以量竿影得矣。或问曰:“今有深坑,在上看之,可知尺数几否?” 答曰:“以一丈极意长短,假令以一丈之杖掷著坑中,人在岸上手提之,一杖,舒手望坑中之杖遥量知其寸数,即令一人于平地捉一丈之杖,渐令却行,以前者遥望坑中,寸量之,与望坑中数等者即得。” 或问曰:“令甲乙各驱羊一群” ,人各问多少,而甲曰:“更得乙一口。” 即加五多于甲。问各几何?答曰:“甲九口,乙十一口。” 或问曰:“甲乙各驱羊,行人问其多少” ,甲曰:“我得乙一口,即与乙等。” 乙曰:“我得甲一口。则倍多于甲。” 问“各几何?” 答曰:“甲二乙四。” 或问曰:“今有鸡翁一只,直五文,鸡母一只直四文,鸡儿一文得四只,合有钱一百文,买鸡大” 小一百只。问各几何?答曰:“鸡翁十五只,鸡母一只,鸡儿八十四只,各大小一百只。计数多少,略举其例。” 或问曰:“今有鸡翁一只直四文,鸡母一只直三文,鸡儿三只直一文,合有钱一百文。还买鸡大小一百只。” 问各几何?答曰:“鸡翁八只,鸡母十四只,鸡儿七十八只,合一百只。”
或问鸾曰:“世人乃云算位者,算子则竖,信有之乎?”鸾 答之曰:“依如针算,则以针锋指八卦之位,一从《离》起, 左行周匝至巽,八位既合,及其至九,无位可指,是以 在中,竖而指天,故曰有位合。算子,竖之名也。”又问鸾 曰:“昔有吴人赵达,用一等之法,头乘尾除,其有此术 乎?”鸾答之曰:“此乃传之失实,犹公获夔一足,丁氏穿 井而获一人也。何者?按乘之法,重张其位以上呼一, 置得于中,置所除之数于下,又置得于上,亦三重张 位,然则乘之与除法用不同,欲以一算上下当六重 之身,增损为众位之实,若其神也,则藉一算之功,如 其凡也,理不可尔。”问者又曰:“若如来指为妄矣,此言 何从而至?”鸾答之曰:“此亦传之过实”也。何者?积一算 者,盖一位用一算也。“头乘尾除”者,欲使乘别位,乘时 以针锋指之,除时则用针尾㧑之,故有“头乘尾除”之 名也。
宋谢察微算经
编辑大数
编辑一、〈大数之始也〉 十。〈十个一为十〉 百。〈十个十为百〉 《千》。〈十个百为千〉 万。〈十千为万数之成也〉 十万、 百万、 千万 亿。〈万万曰亿〉 十亿, 百亿, 千亿, 万亿, 《十万》亿, 《百万》亿, 《千万亿 兆》〈万万亿〉 京。〈万万兆〉 《垓》。〈万万京〉 《秭》。〈万万垓〉
小数
编辑分。〈十釐为分〉 釐。〈十毫〉 毫。〈十丝〉 丝:〈十忽〉 忽。〈十微〉 微。〈十纤〉 纤。〈十沙〉 沙。〈十尘〉 尘。〈埃渺〉
度
编辑丈。〈十尺〉 尺:〈十寸〉 《寸》。〈十分〉 分。〈十釐〉 釐 毫 丝 忽。〈已上同前〉 《疋》。〈四丈今无定制〉 《端》:〈五丈今亦不一〉
量
编辑石:〈十斗〉 斗。〈十升〉 升。〈十合〉 合。〈十勺〉 勺。〈十抄〉 抄。〈十撮〉 撮。〈十圭〉 圭。〈六粟〉 粟。〈即一粒之粟也〉 斛。〈古一石今五斗或二斗五升〉 釜。〈六斗四升〉 庾。〈十六斗〉 《秉》。〈十六斛〉
衡
编辑斤。〈十六两〉 两。〈二十四铢〉 铢。〈十絫〉 《絫》。〈十黍〉 黍:〈禾方得而有准〉 秤。〈原十五斤今二十斤或三十斤〉 《钧》。〈二秤〉 石:〈四钧〉 引。〈二百斤〉
今两之下,惟用钱分厘毫丝忽也。
亩
编辑亩。〈横一步直二百四十步即阔一丈长六十丈也〉
若以自方五尺计之,积六千尺也。
步。〈方五尺也〉 分。〈五寸〉 釐。〈半寸〉 毫 丝 忽 里。〈三百六十步〉
计一百八十丈,约人行一千步。
顷。〈今以百亩为顷〉
“顷亩” 者,乃积税之总也。二十四步为一分,十分为亩,亩之以下曰“厘毫丝忽。”
角。〈一亩分为四角每角六十步也〉
九章名义
编辑一曰《方田》。〈以御田畴界域〉二曰《粟布》。〈以御交质变易〉 三曰“衰分。”〈以御贵贱廪税〉四曰少广。〈以御积幂方圆〉 五曰《商功》。〈以御功程积实〉六曰《均输》。〈以御远近劳费〉 七曰《盈朒》。〈以御隐杂互见〉八曰《方程》。〈以御杂揉正负〉 九曰“句股”,〈以御高深广远〉
用字例义
编辑法。〈样数也〉 实。〈本数也〉 因。〈法之单位者又由也〉 《归》。〈入己之数也〉加。〈增添也〉 减。〈除少也〉 乘。〈法之多位也〉 《归》。〈先归后除合名也〉 除:〈减少也〉 《积》。〈乘成之数也〉 乘。〈法实合变数也〉 如:〈九数用此下一位也〉 身。〈本位也〉 《则》。〈法也〉 左:〈上边大位也〉 右。〈下边小位也〉 纵。〈直长也〉 横。〈广阔也〉 《广》。〈横阔也〉 阔。〈横广也〉 直。〈长也〉 面。〈方面也〉 高。〈立起也〉 深。〈陷下也〉 倍。〈加上本数也〉 并。〈二数相合也〉 截:〈割断也〉 分。〈拨开也〉 原。〈初数也〉 差。〈多少不同数也〉 通。〈会同其数〉 变。〈改换其数〉 约。〈量度也〉 中。〈筭盘之中〉 进。〈移上前一位〉 《逢》。〈遇有数而言逢〉 上。〈脊梁之上又位之左〉 下。〈脊梁之下又位之右〉 挨。〈随身变数也〉 退。〈移下后一位〉 《句》。〈短也〉 股。〈长也〉 弦。〈句股斜去日弦弧矢亦有弦也〉 斜。〈两隅相去又不正也〉 隅。〈曲角也〉 长。〈直也〉 《周》。〈外围也〉 较。〈相减馀也〉 廉。〈方直也〉 方。〈四面同数〉 径。〈周中之弦〉 脊。〈盘中横梁隔木〉 列位:〈各置位次〉 《折半》。〈减去一半〉 还原。〈复旧数也〉 《商除》:〈心与意商量而除之也〉 相乘。〈长阔或银货等〉 自乘:〈法实数自相乘〉 再乘。〈自乘之而又乘〉 遍乘。〈先以一法遍乘诸数〉 商总:〈合用商开之法 于盘中〉 开方。〈即自乘还原也〉 开立。〈即自乘再乘之还原也〉 中实。〈即商总也〉 并率。〈如一二三四五并得十五数也〉 《得令》。〈斤两贯个石等 类也〉 《得术》:〈乃法首位每下该得之名〉 互乘。〈如四处数目上 下斜角相乘〉 相较。〈如二数以少减多馀曰较〉 合得。〈筭数定夺〉 维乘。〈四处顾创相乘〉 若干,〈一为数始十为数终未筭难定〉 几何?〈与若干相同〉
《梦溪笔谈》
编辑
算法
编辑审方面势覆量高深远近,算家谓之专术。专之文象 形,如绳木所用墨㪷也。求星辰之行步气朔消长,谓 之缀术,谓不可以形察,但以算数缀之而已。北齐祖 暅有《缀术》二卷, 算术求积尺之法,如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、 圆锥、阳马之类,物形备矣,独未有隙积一术。古法凡 算方积之物有立方,谓六幂皆方者,其法再自乘,则 得之。“有堑堵”,谓如土墙者,两边杀,两头齐。其法:并上、 下广,折半以为之广,以直高乘之。又以直高为句,以 上广减下广,馀者为股。句股乘弦,以为斜高。“有刍童”, 谓如覆㪷者,四面皆杀。其法:倍上长,加入下长,以上 广乘之;倍下长,加入上长,以下广乘之。并二位法,以 高乘之。“六而二隙积”者,谓积之有隙者,如累棋层坛 及酒家积罂之类,虽似覆㪷,四面皆杀,缘有刻缺及 虚隙之处,用《刍童法》求之,常失于数少。予思而得之, 用《刍童法》为上行,下行别列下广,以上广减之,馀者 以高乘之,六而一,并入上行。
假令积罂最上行纵横各二罂,最下行各十二罂,行行相次先止,以上行相次率至十二,当十一行也。以《刍童法》求之,以上行二倍之得四,并入下长十二,得十六。以上广二乘之,得三十二。又倍下长,得二十四。以上广二并入,共得二十六。以下广十二乘之,得三百一十二。以十六与二相乘,所得之三十二并之,共得三百四十四,以高十一乘之,得三千七百八十四,为实。重列下广十二,以上广二减之,馀十,以高十一乘之,得一百一十,并入实内,共三千八百九十四。以六归之,得六百四十九,此为罂数也。刍童求见实方之积,隙积求见合角不尽,盖出羡积也。
履亩之法,方圆曲直尽矣,未有会圆之术。凡圆田既 能折之,须使会之复圆。古法惟以中破圆法折之,其 失有及三倍者。予别为折会之术:置圆田径,半之以 为弦,又以半径减去所割数,馀者为股,各自乘,以股 除弦馀者,开方除,为句,倍之,为割田之直径。以所割 之数自乘,退一位,倍之,又以圆径除,所得加入直径, 为割田之弧。再割亦如之。减去已割之数,则《再割》之 数也。
假令有圆田径十步,欲割二步,以半径为弦,五步自乘,得二十五。又以半径减去所割二步,馀三步为股,自乘,得九,用减弦外,有十六,开平方除,得四步为句,倍之,为所割直径。以所割之数二步自乘,为四,倍之,得为八,退上一倍,为四尺,以圆径除。今圆径十,已是盈数,无可除,只用四尺加入直径,为所割之弧。凡得圆径八步四尺也。再割亦依此法。如圆径二十步求弧数,则当折半,乃所谓“以圆径除之” 也。
此二类皆造微之术,古书所不到者,漫志于此。
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