測圓海鏡/卷08

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○明Ａ１後一十六問

或問：出南門向東有槐樹一株，出東門向南有柳樹一株。丙丁俱出南門，丙直行，丁往至槐樹下。甲乙俱出東門，甲直行，乙往至柳樹下。四人遙相望見，各不知所行步數隻雲丙丁共行了二百七步，甲乙共行了四十六步，又雲甲丙立處相距二百八十九步。問答同前。

法曰：以二共相減數又以減距數為實，二為法。得平勾■。

草曰：識別得丙丁共即明和也，甲乙共即Ａ１和也，相距步即極弦也。二共相並即極弦內少個虛黃也，又為極和內少個虛和也。二共相減餘為平勾高股差也，又為虛差極差共也，又為通差內減極差也。立天元為平勾，加入二共相減數，得■為高股，又加天元得■為極弦（寄左）。以相距步二百八十九與左相消，得 ■。上法下實，如法得六十四，即平勾也。以二共相減數加平勾得二百二十五為高股，複以平勾乘之，得一萬四千四百步。開平方得一百二十步，即城半徑也。合問。

又法：二共數並，以減相距數，餘者半之為泛率。以泛率加丙丁共為長，以泛率加甲乙共為闊。長闊相乘為平方實。得半徑。

草曰：置極弦內減二共並數，餘三十六步即虛黃也。半之，副置二位。上以加明和得二百二十五步為高股也，下以加Ａ１和得六十四步為平勾也。二位相乘得一萬四千四百步。開平方得一百二十步，即半徑也。合問。

或問：依前見丙丁共二百七步，甲乙共四十六步。又雲二樹相去一百二步。問答同前。

法曰：以甲乙共乘樹相去步，得數又以自之為平實；從空；並二共數為冪於上，內減甲乙共自之數、丙丁共自之數為益隅。得Ａ１弦■。

草曰：識別得兩樹相去步即虛弦也。餘數具前。立天元一為Ａ１弦。置明和以天元乘之，合Ａ１和除，不除，便以■元為明弦也（內帶Ａ１和分母）。乃置虛弦以分母Ａ１和乘之，得■太，加入明弦，得■為極股也，內帶Ａ１和分母。以自之得下式■為極股冪（內寄Ａ１和冪為分母）。又以天元加虛弦得下■為極勾，以自之得■。又以Ａ１和冪■乘之，得■為勾冪也。勾股冪相並得■為兩積一較冪也，內有Ａ１和冪分母（寄左）。然後置明弦■元於上，以Ａ１和乘天元加上位，得 ■元為二弦並也。又置虛弦以Ａ１和乘之得■太，並入上位，得下式■為極弦，以自之得■為同數，與左相消得■。開平方得三十四步，即Ａ１弦也。

又法：以樹相去步自之，又以甲乙共乘之為平實，從空，倍丙丁共為虛隅。得Ａ１弦■。

草曰：立天元一為Ａ１弦。依前術求得明弦■元，便以為皇極勾弦差也（內帶Ａ１和分母）。以天元Ａ１弦便為皇極股弦差，以乘之，又倍之，得■為虛弦冪（內有Ａ１和分母。寄左）。然後以虛弦自之，又以分母■乘之，得四十七萬八千五百八十四為同數，與左相消得■。開平方得三十四步，即Ａ１弦也。合問。

或問：皇極大小差共一百八十七步，明黃、Ａ１黃共六十六步。問答同前。法曰：後數自乘為實，前後數相減，餘為法。得虛黃方三十六。

草曰：別得一百八十七即明Ａ１二弦共也，其六十六即太虛大小差共也。又二數相並，得■即明、Ａ１二和共。若以相減，餘■即明、Ａ１四差共也。立天元一為太虛黃方麵，加二黃共，得■即虛弦也。倍虛弦又加天元，得■即城徑也。又以虛弦加皇極大小差，得■即極弦也，以極弦乘城徑得■，為兩段皇極勾股積（寄左）。再以極弦虛弦相並，得■，即皇極勾股共也，自之得■，內減皇極弦冪■，得■為同數，與寄左相消得■。上法下實，如法得三十六步，即太虛黃方麵也。合問。

或問：東門南有柳一株，南門東有槐一株。甲出東門直行，丙出南門直行。甲、丙、柳、槐悉與城參相直，既而甲就柳樹斜行三十四步至柳樹下，丙就槐樹斜行一百五十三步至槐樹下。問答同前。

法曰：雲數相乘，倍之便為平方實，開方得虛弦一百二步。以此弦加甲行步即極勾，以此弦加丙行步即極股。餘各依法求之。識別：甲斜行即Ａ１弦也，丙斜行即明弦也。無草。

或問：東門南有柳一株，南門東有槐一株。甲出東門直行，丙出南門直行，二人遙相望，槐柳與城邊悉相直。既而甲複斜行至柳樹下，丙複斜行至槐樹下，各不知步數。隻雲丙共行了二百八十八步，甲斜行與柳至東門步共得六十四步。問答同前。

法曰：二雲數相乘於上，以六十四步自之，又二之，減上位為平實。四之六十四於上，倍丙行內減上位為從。二十常法。得甲直行步一十六。

草曰：別得丙共步即明股、明弦和也，六十四即平勾也，內甲斜行即Ａ１弦也，柳至東門步即Ａ１股也。又二雲數相並即明差與極弦共也，二雲數相減即明差與平勾高股差共也。又平勾內減Ａ１勾即虛勾也。立天元一為Ａ１勾。置丙共步以天元乘之，複以六十四除之得■為明勾也。又以天元減於六十四，得■為虛勾也，並虛明二勾■為半徑也。以自之得■，倍之得■為半段圓城徑冪（寄左）。乃以天元加六十四，得■為勾圓差於上；又以明勾加丙共步，得■為股圓差於下。上下相乘得■為同數，與左相消得■。開平方得一十六步，即Ａ１勾也。此Ａ１勾乃甲出東門直行步也。餘皆依數求之。合問。

或問：東門南有柳樹一株，南門東有槐樹一株。甲出東門直行，丙出南門直行，二人遙相望，槐柳與城邊悉相直。既而甲複斜行至柳樹下，丙複斜行至槐樹下，各不知步數隻雲甲共行五十步，丙斜行與槐至南門步共得二百二十五步。問答同前。

法曰：以二百二十五步自之為冪，又以此冪自為冪於上。置甲共行以二百二十五步三度乘之，得數複折半，減上位為平實。置二百二十五步自之數，以二雲數相減數乘之，又倍之於上。倍五十步在地，以二百二十五步自之數乘之，複折半加上位為益從。雲數相減自乘於上，以雲數相乘，複折半，減上位為常法。得明股 ■。

草曰：識別得甲共步即Ａ１勾、Ａ１弦共也，二百二十五即高股也，內丙斜行即明弦，槐至南門步即明勾也。又二雲數相並即極弦內減一個Ａ１差也，雲數相減即Ａ１差與高股、平勾差共也。又高股內減明股即虛股也。立天元一為明股，即丙出南門直行步也。置五十步以天元乘之得■元，合高股除。不除，便以此■元為Ａ１股也，內帶高股■分母。再置高股內減天元得■為虛股，以分母高股乘之，得下式■，加入Ａ１股得■即半徑也。以自增乘得下■為半徑冪也。內帶高股冪為母（寄左）。然後置甲共步以分母高股乘之，得■太，加入Ａ１股得■為勾圓差於上（內帶高股分母）。又以天元加高股得■為股圓差於下。上、下相乘得■。又以分母高股乘之，得■，複折半得■為同數，與左相消得■。開平方得一百三十五步，即明股也。合問。

或問：通勾、通弦共一千步，Ａ１勾、Ａ１弦共五十步。問答同前。

法曰：置一千減二之五十步為泛率。以自乘，複半之於上。又置泛率複以五十乘之，加上位為平實。二十二之泛率於上。以四十二乘五十，得數內減泛率，加上位為益從。二百為常法。得Ａ１股■。

草曰：立天元一為Ａ１股。置一千以天元乘之，以五十除之，得■元為通股也。又以天元加五十步，得■即小差也，通股加小差得■即通弦也。以通弦減一千得■，即通勾也。以小差減通勾得■，即圓徑也。以圓徑減通股得■即大差也。置大差以小差乘之得■（寄左）。然後置圓徑以自之得■，折半得■，與左相消得 ■。開平方得三十步，即Ａ１股也。合問。

或問：通勾、通弦共一千步，明勾、明弦共二百二十五步。問答同前。

法曰：以後數再自乘，又以前數乘之為平實；以後數為冪，複以前數乘之為從；以前數冪為虛常法。得明股■。

草曰：別得二百二十五步即高股也。立天元一為明股。置一千以天元乘之，合以高股除不受除，便以此一○○○元為通股（內帶高股為母）。以天元加高股，得■即大差也。置大差以高股分母乘之，得■，即帶分大差也。以此減於通股，餘■即圓徑也。以自增乘，得■（寄左。內帶高股冪分母）。然後置一千以高股分母通之，得■太，內減帶分大差，得■為兩個通勾也。內減兩個圓徑得■，為兩個小差也。以帶分大差乘之，得下式■為同數，與左相消得■。開平方得一百三十五步，即明股也。合問。

或問：通股、通弦共一千二百八十步，Ａ１股、Ａ１弦共六十四步。問答同前。

法曰：雲數相乘為平實，前數為益從。置前數以後數除之，得二十為泛率。泛率減一以自乘於上，又倍泛率減一加上位為常法。倒積開得Ａ１勾一十六。

草曰：別得六十四步即平勾也。立天元一為Ａ１勾。置前數以天元乘之，以後數除之，得■元即通勾也。又置天元加後數，得■即小差也。以小差減通勾，餘 ■即圓徑也。以自之得■（寄左）。然後以小差減於前數，得■為二通股。內減兩個圓徑，得■為二大差也。以小差乘之得下■，與左相消得■。開平方得一十六步，即Ａ１勾也。合問。

或問：通股、通弦共一千二百八十步，明股、明弦共二百八十八步。問答同前。

法曰：二數相減，以後數乘之，內減後數冪，又半之為泛率。以自之為平實。置前數加二之後數而半之為次率，以乘泛率，倍之於上，以後數乘泛率減上位為益從。次率自乘於上，以前數加次率，複以後數乘之，減上位為隅法。得明勾■。

草曰：別得二數相減，餘■為通勾、通股及明勾共也。立天元一為明勾。置前數以天元乘之，合以後數除之。不除，便以此■元為通勾也（內寄後數分母）。又以二數相減，得數內又減天元得■為通和也。乃以分母二百八十八之，得下式■，內減通勾，餘■為通股也。又以天元加後數，又以分母（即後數也）通之，得■ 為大差也。以此大差減於通股，得下式■，為一個圓徑也。半之得■，以自之得■為半徑冪（寄左）。然後以半圓徑減通勾，得■為底勾，又以天元乘之，又以分母二百八十八之，得■為同數，與左相消得■。開平方得七十二步，即明勾也。合問。

或問：明股、明弦並二百八十八步，Ａ１勾、Ａ１弦並五十步。又雲明股、Ａ１勾並多於虛弦四十九步。問答同前。

法曰：前二數相並，內減二之多步，即圓徑。又隻以前二數相乘，便是半徑冪。

草曰：識別得前二數相減而半之，即極差也。其多步名傍差，又為圓徑不及極弦數。

或問：平差、高差共一百六十一步，明股、Ａ１勾並多於虛弦四十九步。問答同前。法曰：二數相減又半之，以自乘為實，後數為法。得平勾■。

草曰：立天元一為平勾。以加前數得■為高股也。又以天元加高股得■為極弦，內減後數得■，又半之，得■為半徑。以自之，得■（寄左）。然後以天元乘高股，得■為同數，與左相消得■。上法下實，得六十四步，即平勾也。合問。

或問：平勾、高股差一百六十一步，明差、Ａ１差並七十七步。又雲極弦多於城徑四十九步。問答同前。

法曰：並上二位而半之為平率。其四十九即旁率也。副置平率，上加旁率，下減旁率，以相乘為實。倍旁差為法。得勾圓差■。

法曰：並上二位而半之，為平率。其四十九即旁率也。副置旁率，上以減於平率，下以減於前數，以相乘為實。倍旁差為法。得勾圓差■。

又法：求半徑：副置平率，上加旁率，下減旁率，以相乘為實，倍旁差為法。得半徑。

草曰：立天元一為半徑，又為半之股圓差上弦較較，又為半之勾圓差上弦較和也。內減勾圓差上勾股較■，餘■為半之勾圓差上弦較較也。置股圓差上勾股較 ■，以半之勾圓差上弦較較乘之，得■（寄左）。然後以半之股圓差上弦較較乘勾圓差上勾股較，得■元為同數，與左相消得下式■。上法下實，得一百二十步，即半徑也。合問。

草曰：識別得平勾、高股差名角差。副置角差，上加七十七而半之，得■，即極差也。下減七十七而半之，得■，即虛差也。角差加極差得■，即通差也。又極弦多於城徑步名為旁差。副置角差，上加旁差得■，為兩個高段上勾股較，下減旁差得■為兩個平段上勾股較也。又副置極差，上加旁差得■為股圓差上勾股較，下減旁差■為勾圓差上勾股較也。立天元一為勾圓差。依法求得通差，加入天元得■即大差也。以天元乘之得■為半段圓徑冪（寄左）。乃置大差■內減股圓差上勾股較■，餘有■為股圓差之勾於上。再置天元內加勾圓差上勾股較■，得■為勾圓差之股。以乘上位得■為同數，與左相消得■。上法下實，得八十步，即勾圓差也。

又依前問：見角差一百六十一步，見明差Ａ１差並七十七步，又見太虛弦較較六十步。問答同前。

法曰：前二數相減而半之，得數加入半之太虛弦較較為泛率，以自乘為平實。置一百六十一內減二之泛率為從，一常法。得平勾■。

草曰：別得■即二Ａ１股也。立天元一為平勾。先以前二數相減而半之，得■為虛差。以虛差加Ａ１股得■，即明勾也。以明勾加天元得■，為平弦，以自之得■，內減天元冪，得■為半徑冪（寄左）。然後以天元加一百六十一為高股，以天元乘之，得■為同數，與左相消得■。開平方得六十四步，即平勾也。

又法曰：前數內加半之太虛弦較較，以自乘，內減前數自乘為實，前數內減太虛弦較較為從，一常法。開平方得平勾六十四。此更不用明差Ａ１差並也。

草曰：依前求平勾。前高股內加Ａ１股，得■為高弦也。以自之得■於上位，內減高股冪■，餘得■為半徑冪（寄左）。然後以天元乘高股，得■為同數，與左相消得下■。開平方得六十四步，即平勾也。合問。

或問：高差、平差並一百六十一步，明差、Ａ１差並七十七步。問答同前。

法曰：以前數自乘於上，二數相並而半之，以自乘減上位，得數複自增乘為平實。前數自之於上，又以四之前數乘之，寄位。以前數自之於上，並二數而半之，以自乘減上位，得數又以四之前數乘，又倍之，減於寄位為從。前數自之，又四之於上。又以四之前數為冪，加上位，權寄。以前數為冪於上，並二數而半之，以自乘減上位，得數複八之於上。又以四之前數為冪加入上位，並以減於權寄為常法。得平勾■。

草曰：識別得二位相並而半之，得■，即極差也。立天元一為平勾，加一百六十一得■為高股，高股內又加天元，得■為極弦。以自之得■於上，內減極差冪一萬四千一百六十一，餘■為兩段極積。合以極弦除，不除寄為母，便以此為城徑。以自增乘得■為圓徑冪（內有極弦冪分母。寄左）。然後以天元乘高股，又四之得■，又以分母極弦冪■通之，得■為同數，與左相消得■。開平方得六十四步，即平勾也。合問。

或問：見明和二百七步，Ａ１和四十六步。問答同前。

法曰：二和上下相減，數同則止，名為泛率。又以二和直相減，餘為泛實（此則角差也）。乃以泛率除泛實，所得為差率也。以差率加減泛率，若半訖，與勾股相應者，其泛率便為和率，其泛實便為較率乘和率也。若不相應，則直取差率以消息之，定為相管和率（其勾股數少，得見弦黃而相為率者。勾三股四，則其和七，而其較一也。勾五股十二，則其和一十七，而其較七也。勾八股十五，則其和二十三，而其較亦得七也。勾七股二十四，則其和三十一，而其較一十七也。勾九股四十，則其和四十九，而其較三十一也。此消息之大略也。餘皆仿此）。乃以和率約二和，其明和所得為明壘率，其Ａ１和所得為Ａ１壘率也。又副置和率，上加差率而半之，則為股率也；下位減差率而半之，則為勾率也。既見勾、股及差三率，各以壘率乘之，即各得勾、股及差之真數也。

又法：二雲數相並，以自乘於上。二雲數相乘，又四之以減上位為實。二雲數相並，以六步半乘之於上，又二數相並，以四步半乘之，又四之，以並入上位為從方。以七十步○四分三厘七毫五絲為常法。得Ａ１小差四步。

草曰：以二和相約分得Ａ１率一、明率四步半，其兩數大小差率並同。又別得明小差、Ａ１大差俱為半虛黃也。立天元一為Ａ１小差，以四步半乘之得■為Ａ１大差也，又為明小差，又為半虛黃。置此Ａ１大差又以四步半乘之得■為明大差也。其四差相並得■，減於二和並，得■即兩段太虛大小差並也。內加三段虛黃方■，得■，合成一個太虛三事和，即圓城徑也。以自增乘得■為徑冪（寄左）。乃置Ａ１和加半虛黃，得■為平勾。又置明和內加半虛黃，得■為高股，勾股相乘得下式■，又四之得■為同數，與左相消得下式■。開平方得四步，即Ａ１小差也。合問。

或問：明Ａ１二勾共八十八步，明Ａ１二股共一百六十五步。問答同前。

法曰：先識別得二大差共、二小差共及四差共。乃以二大差、二小差相乘為實，以四差共為法。如法得半之虛黃方一十八。

草曰：先置前後雲數以約法約之，得一十一即壘率也。複各置前後數如壘率而一，前得八即勾率也，後得一十五即股率也。再以勾、股率求得較率七，和率二十三，弦率一十七，黃方率六，大差率九，小差率二。既見諸率，各以壘率乘之，其二和共得■，二較共得■，二弦共得■，二黃共得■，二大差共■，二小差共 ■，四差共■。已上皆為明Ａ１所得之共數也。乃立天元一為半虛黃，便為明小差，又為Ａ１大差也。以減於大差共，得■即明大差也。又以減於小差共，得■即Ａ１小差也。以二數相增乘，得■（寄左）。以天元冪與寄左相消，得■。上法下實，得一十八步，即半之虛黃方也。以倍之得■，又加於二黃共六十六共得一百二，即明勾、Ａ１股共也，又為極黃方，又為虛弦也。又以三十六減於一百八十七，餘一百五十一，即明股Ａ１勾共也。此數內減虛弦，餘■為明Ａ１二差較也，此名旁差。以旁差減二弦共一百八十七，餘得■，即太虛和也。卻加入虛弦一百二，並得■，為太虛三事和，即圓城徑也。合問。

又法：以虛黃方加於二和共二百五十三，得■為極弦也。以旁差減極弦餘二百四十步。亦同。

草曰：前後副置勾、股、較、和、弦、黃六率在地，前以小差率二因之，則勾得■，股得■，較得■，和得■，弦得■，黃得■，即Ａ１段各數也。後以大差率九因之，則勾得■，股得■，較得■，和得■，弦得■，黃得■，即明段各數也。既得明、Ａ１各數，餘皆可知。