數學討論(一)

數學討論(一)
作者:曾炯
1933年1月
刊於《國立山東大學科學叢刊》第一卷第一期,民國二十二年一月,青島國立山東大學編印。
數學討論(一)
I.在何點爲收歛何點爲發散?
曾 烱

  此問題爲初等解析之例題自不能用 Cantor定理*

此處

而項之趨向爲收歛必須條件無待贅言故吾人祗須證明 對於一切 下述解决方法乃 Diophantische Approximationen 應用之一例:

  (a)令   爲圓周率

爲有理數時卽

  ,    爲整數

  

如是之不知其幾千萬也故此時甚易.

  (b)茲假定爲無理數時則不若前此之簡單欲達證明之目的祗須證明對於任何旣定之,任何大之任何所與之必有一個存在使

   或 

之連續函數其週期爲由此性質而推知祗須證明對於如上旣定之可得兩種整數使


  

故. 本問題因是歸解下列不定不等方程式

 (甲)     而

解决手段卽所謂抽箱結論法是.何謂抽箱結論法卽置個物件於個抽箱內則其中最少有一個抽箱含有二個或二個以上者.語曰百性日用而逮Dirichlet其功用大著於數論中.

  言歸於正:吾人從實數性質中而知對於任何小之必有一個整數存在使(Archimedische Axiom)如爲在前最大之整數則令可也.因, 故方程式(甲)可書之爲

    其中爲未知數.

爲簡便起見先置之條件於不論.

  將單位線段——分爲等分作兩組個數

  

之意義如上.

.

剛爲後之第一整數故由抽箱結論法則知必有二個不同之在一個小線段中.故, 卽. 無論如何兩整數而. 令其各爲而得 . 茲選如彼其大使

  

卽所求之目的也.

  上述之方法可施之於下例問題卽

設有個實數爲旣定. 爲整數爲實數皆旣定.常可求一個個整數使

  

證明方法不難照上推演之. (待續)


* Cantor 定理曰:

祗須而必須 .

PD-icon.svg 1996年1月1日,这部作品在原著作國家或地區屬於公有領域,之前在美國從未出版,其作者1940年逝世,在美國以及版權期限是作者終身加80年以下的國家以及地区,屬於公有領域

这部作品也可能在本國本地版權期限更長,但對外國外地作品應用較短期限規則的國家以及地区,屬於公有領域