数学讨论(一)
I.
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\cos nx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e4667a3009d311f844f6909f23a316b4ea1f52)
在何点为收敛何点为发散?
曾 烱
此问题为初等解析之例题自不能用 Cantor定理*
此处
而项之趋向
为收敛必须条件无待赘言故吾人祗须证明
对于一切
下述解决方法乃 Diophantische Approximationen 应用之一例:
(a)令
为圆周率
设
为有理数时即
,
为整数
如是之
不知其几千万也故此时甚易.
(b)兹假定
为无理数时则不若前此之简单欲达证明
之目的祗须证明对于任何既定之
,任何大之
任何所与之
必有一个
存在
使
或
为
之连续函数其周期为
由此性质而推知祗须证明对于如上既定之
可得两种整数
使
盖
故. 本问题因是归解下列不定不等方程式
(甲)
而
解决手段即所谓抽箱结论法是.何谓抽箱结论法即置
个物件于
个抽箱内则其中最少有一个抽箱含有二个或二个以上者.语曰百性日用而逮Dirichlet其功用大著于数论中.
言归于正:吾人从实数性质中而知对于任何小之
必有一个整数
存在使
(Archimedische Axiom)如
令
为在
前最大之整数则令
可也.因
, 故方程式(甲)可书之为
其中
为未知数.
为简便起见先置
之条件于不论.
将单位线段
——
分为
等分作两组
个数
之意义如上.
令
则
.
因
刚为
后之第一整数故由抽箱结论法则知必有二个不同之
在一个小线段中.故
, 即
. 无论如何
及
两整数而
. 令其各为
而得
. 兹选
如彼其大使
得
令
即所求之目的也.
上述之方法可施之于下例问题即
设有
个实数
为既定.
为整数
为实数皆既定.常可求一个
于
及
个整数
使
证明方法不难照上推演之. (待续)
* Cantor 定理曰:
祗须而必须
.
1996年1月1日,这部作品在原著作国家或地区属于公有领域,之前在美国从未出版,其作者1940年逝世,在美国以及版权期限是作者终身加80年以下的国家以及地区,属于公有领域。
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