數學討論(一)
I.
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\cos nx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e4667a3009d311f844f6909f23a316b4ea1f52)
在何點爲收歛何點爲發散?
曾 烱
此問題爲初等解析之例題自不能用 Cantor定理*
此處
而項之趨向
爲收歛必須條件無待贅言故吾人祗須證明
對於一切
下述解决方法乃 Diophantische Approximationen 應用之一例:
(a)令
爲圓周率
設
爲有理數時卽
,
爲整數
如是之
不知其幾千萬也故此時甚易.
(b)茲假定
爲無理數時則不若前此之簡單欲達證明
之目的祗須證明對於任何旣定之
,任何大之
任何所與之
必有一個
存在
使
或
爲
之連續函數其週期爲
由此性質而推知祗須證明對於如上旣定之
可得兩種整數
使
蓋
故. 本問題因是歸解下列不定不等方程式
(甲)
而
解决手段卽所謂抽箱結論法是.何謂抽箱結論法卽置
個物件於
個抽箱內則其中最少有一個抽箱含有二個或二個以上者.語曰百性日用而逮Dirichlet其功用大著於數論中.
言歸於正:吾人從實數性質中而知對於任何小之
必有一個整數
存在使
(Archimedische Axiom)如
令
爲在
前最大之整數則令
可也.因
, 故方程式(甲)可書之爲
其中
爲未知數.
爲簡便起見先置
之條件於不論.
將單位線段
——
分爲
等分作兩組
個數
之意義如上.
令
則
.
因
剛爲
後之第一整數故由抽箱結論法則知必有二個不同之
在一個小線段中.故
, 卽
. 無論如何
及
兩整數而
. 令其各爲
而得
. 茲選
如彼其大使
得
令
卽所求之目的也.
上述之方法可施之於下例問題卽
設有
個實數
爲旣定.
爲整數
爲實數皆旣定.常可求一個
於
及
個整數
使
證明方法不難照上推演之. (待續)
* Cantor 定理曰:
祗須而必須
.
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