數學討論（一）

數學討論（一）
作者：曾炯
1933年1月

刊於《國立山東大學科學叢刊》第一卷第一期，民國二十二年一月，青島國立山東大學編印。

姊妹計劃: 數據項

數學討論（一）

I.

\sum _{n=0}^{\infty }\cos nx

在何點爲收歛何點爲發散？

曾　烱

　　此問題爲初等解析之例題自不能用 Cantor定理*

此處 $a_{n}=1,b_{n}=0,a_{n}>0$

$\therefore a_{n}\cos nx\to 0.$

而項之趨向 $0$ 爲收歛必須條件無待贅言故吾人祗須證明 $\cos nx\to 0$ 對於一切 $x$ 下述解決方法乃 Diophantische Approximationen 應用之一例:

　　(a)令 $x=y\pi$ 　　 $\pi$ 爲圓周率

設 $y$ 爲有理數時卽

　　 $y={\frac {h}{g}}$ , 　　 $h,g$ 爲整數

　　 $m=ng,\cos mx=\pm 1\neq 0,$

如是之 $m$ 不知其幾千萬也故此時甚易.

　　(b)茲假定 $y$ 爲無理數時則不若前此之簡單欲達證明 $\cos mx\to 0$ 之目的祗須證明對於任何旣定之 $\epsilon >0$ ,任何大之 $m_{0}$ 任何所與之 $x$ 必有一個 $m$ 存在 $m\geqq m_{0}$ 使

　　 $|\cos mx-1|<\epsilon$ 　或　 $|\cos mx+1|<\epsilon$

$\cos x$ 爲 $x$ 之連續函數其週期爲 $2\pi$ 由此性質而推知祗須證明對於如上旣定之 $\epsilon ,m_{0},x$ 可得兩種整數 $m\geqq m_{0},n$ 使

　　 $|mx-n\pi |<\delta =\delta (\epsilon )$

蓋 $\cos n\pi =\pm 1$ 故. 本問題因是歸解下列不定不等方程式

　（甲）　　 $|my-n|<{\frac {\delta }{\pi }}=\delta _{1}$ 　　而 $m\geq m_{0}$

解決手段卽所謂抽箱結論法是.何謂抽箱結論法卽置 $n+1$ 個物件於 $n$ 個抽箱內則其中最少有一個抽箱含有二個或二個以上者.語曰百性日用而逮Dirichlet其功用大著於數論中.

　　言歸於正:吾人從實數性質中而知對於任何小之 $\delta >0$ 必有一個整數 $g$ 存在使 $g\delta >1$ （Archimedische Axiom）如 $A>0$ 令 $[A]$ 爲在 $A$ 前最大之整數則令 $g=\left[{\frac {1}{\delta }}\right]+1$ 可也.因 $\left[{\frac {1}{\delta }}\right]+1>{\frac {1}{\delta }}$ , 故方程式（甲）可書之爲

　　 $|my-n|<{\frac {1}{g}}<\delta _{1}$ 　　其中 $m,n$ 爲未知數.

爲簡便起見先置 $m\geq m_{0}$ 之條件於不論.

　　將單位線段 $0$ —— $1$ 分爲 $g$ 等分作兩組 $g+1$ 個數

　　 $\alpha _{\nu }=\nu y,\ \nu =0,1,\cdots ,g;\ \beta _{\nu }=1+[\nu y],\ \nu =0,1,\cdots ,g.$

$[\;]$ 之意義如上.

令 $\gamma _{\nu }=\beta _{\nu }-\alpha _{\nu }$ 則 $0<\gamma _{\nu }\leq 1.\ \nu =0,1,\cdots ,g$ .

因 $\beta _{\nu }$ 剛爲 $\alpha _{\nu }$ 後之第一整數故由抽箱結論法則知必有二個不同之 $\gamma _{\lambda },\gamma _{\mu },\lambda >\mu$ 在一個小線段中.故 $|\gamma _{\lambda }-\gamma _{\mu }|<{\frac {1}{g}}$ , 卽 $|[\lambda y]-[\mu y]-y(\lambda -\mu )|<{\frac {1}{g}}$ . 無論如何 $[\lambda y]-[\mu y]$ 及 $\lambda -\mu$ 兩整數而 $\lambda -\mu \neq 0$ . 令其各爲 $\xi ,\eta$ 而得 $|\xi y-\eta |<{\frac {1}{g}}$ . 茲選 $g$ 如彼其大使 ${\frac {1}{g}}<{\frac {\delta }{\pi m_{0}}}$ 得