钦定古今图书集成 历象汇编 第一百十九卷 |
钦定古今图书集成历象汇编历法典
第一百十九卷目录
算法部汇考十一
算法统宗七〈少广章第四中〉
历法典第一百十九卷
算法部汇考十一
编辑《算法统宗七》
编辑
少广章第四中
编辑立圆法歌
《立圆》问径法何如?十六乘积,九归除,除此数常为实 积,立方开见更何如?《立圆》:若问周围数,四十八乘积 数,躯乘为实,积用开立,即见周围数不虚。
法曰:外周者,置积若干,以四十八乘之,得若干为实, 以开立方法除之,得周。若要还原,以周自乘;再乘,以 四十八除之,见积问径。置积若干,以十六乘之,得 若干,又用九归之,得若干为实,以开立方法除之,得 径。若要还原,以径自乘;再乘,以九因十六除之,见 积周径下原有不尽者,或周径自乘、再乘,并入不 尽数周,以四十八除之,见积。径以九因十六除之,见 积若问周问径遇有馀积不尽者,依开立方下命 法命之。
“今有积六万二千二百零八尺,欲为《立圆》。”问“径若干?” 答曰:“径四十八尺。”
法曰:置积尺数,以十六乘之,又用九归之,得一十一 万零五百九十二尺,为实。以开立方法除之,初商四 十,自乘,得一千六百,再乘得六万四千,除实。馀实四 万六千五百九十二尺。另将初商四十以三因,得一 百二十为方法,列位次商八尺于初商之次,得四十 八尺,就以八乘之,得三百八十四尺,为廉法。以方乘 廉,得四万六千零八十尺,除实。馀实五百一十二。另 以次商八尺自乘,再乘,得五百六十二尺,为隅法。除 实恰尽,得立圆径。合问。
此问周径如圆球
“今有积六万二千二百零八尺,欲为立圆。”问“周若干?” 答曰:“周一百四十四尺。”
法曰:置积尺,以四十八乘之,得二百九十八万五千 九百八十四尺,为实。以开立方法除之,初商一百尺, 自乘,得一万,再乘,得一百万,除实,馀实一百九十八 万五千九百八十四尺。另以初商一百,以三因,得三 百为方法。次商四十于初商之下,共一百四十,就以 四十乘之,得五千六百,为廉法。以方乘廉,得一百六 十八万,除实馀实三十万零五千九百八十四。另以 次商四十自乘,再乘,得六万四千,为隅法。除实,馀实 二十四万一千九百八十四。再以初次商一百四十, 以三因,得四百二十,为方法。再商四尺于初次商之 下,共得一百四十四尺。就以四尺因之,得五百七十 六,为廉法。以方乘廉,得二十四万一千九百二十,除 实,馀实六十四。又以再商四尺自乘,再乘得六十四, 除实讫,合问。
凡立圆问周径,遇数单者,则有不尽。
今有立方积一万五千六百二十五步,问“立方一面 若干?”
答曰:“二十五步。”
归除《开立方法》曰:“置积一万五千六百二十五尺为 实,以万积商二十置于积前,就置二十于右下,自乘, 得四百步,与上商二十”相呼,二四除实八千,馀实七 千六百二十五步,却以右下四百步,以三十乘之,得 一千二百为法,归除之呼逢五进五,又呼二五,除一 千。另置初商二十步,以次商五步乘之,得一百步,以 三因之,得三百步。以加入自乘次商五步,得二十五 步,共三百二十五步。于右与次商五步相呼,除之,呼 三五除一千五百步,又二五除一百步,又五五除二 十五步,积尽。以左上二十五步为立方一面之数。《合 问》。
今有《立方》积一亿零二百五十万零三千二百三十 二尺,问“立方一面若干?”
答曰:“四百六十八尺。”
《归除开立方法》曰:“置积为实。”以七千万该商四百尺 于左上,又置四百尺于右下,自乘,得一十六万,相呼, 一四除,四千万尺,又四六除二千四百万,馀实三千 八百五十万零三千二百三十二尺,却以右下一十 六万尺,以三乘之,得四十八万为法。归除之,呼四三 七十二少除。〈因下位数不足除〉呼,四归起一,下还四呼,六八 除四十八。另置初商四百尺,以次商六十尺乘之,得 二万四千尺,以三因之,得七万二千尺,为廉法。加入 次商六十尺,自乘,得三千六百尺,共七万五千六百尺。却以次商六十尺相呼除之,六七除四十二,又五 六除三十,又六六除三十六。馀实五百一十六万七 千二百三十二尺。以方法四十八万,并入两个廉法 七万二千,再并入隅法三个三千六百尺,共得方法 六十三万四千八百尺为法。归除之。呼六五,八十二, 呼三八,除二十四,又呼四八,除三十二,又八八,除六 十四。右下之法不用。再置所商共四百六十尺,以次 商八尺乘之,得三千六百八十尺,以三因之,得一万 一千零四十尺,并入,再商八尺,自乘,得六十四尺,共 一万一千一百零四尺。又以次商八尺相呼除之,一 八除八万,又一八除八千,又一八除八百,又四八除 三十二尺。除实恰尽。以左上所商四百六十八尺,为 立方一面之数。《合问》:
开立方带纵法
今有方仓贮米五百一十八石四斗,方比高多三尺, 问方高各若干?
答曰:“方一丈二尺,高九尺。”
法曰:置米五百一十八石四斗,以《斛法》二尺五寸乘 之,得积一千二百九十六尺为实。以开立方带纵除 之,以方多三尺自乘,得九尺,为纵方。再置三尺倍之, 得六尺,为纵廉。约积一千商十尺。今有纵方,只商九 尺,置于实前,另以九尺自乘,得八十一尺,加入纵方 九尺,共九十尺,为方法。另以纵廉六尺,以九尺乘之, 得五十四尺,为廉法。二法并共一百四十四尺。于右 下以所商九尺相呼,一九除九,又呼四九除三十六, 又四九除三十六,除实恰尽。以商九尺为高,加入方 多三尺,得方仓一十二尺。《合问》
今有立方一所,积一千七百八十七万五千尺,只云 高阔相等,长多阔三十六尺。问立方高阔及长若干? 答曰:“长二百八十六尺,阔二百五十尺,高二百 五十尺。”
法曰:置积一千七百八十七万五千尺为实。以开立 方带纵法除之,初商约得二百尺,自乘,得四万尺,再 乘得八百万尺。又约二百五十尺自乘,得六万二千 五百尺,再以二百五十尺乘之,得一千五百六十二 万五千尺,减去积馀,积二百二十五万尺为实。另置 长多三十六尺,以所商二百五十尺乘之,得九十尺, 再以二百五十尺乘之,得二百二十五万尺,除实恰 尽,得阔二百五十尺,加入长多三十六尺,共二百八 十六尺,为长数。《合问》。
今有立方积二万九千八百零八尺,高比方不及一 丈三尺,问高方各若干?
答曰:“高二丈三尺,方仓三丈六尺。”
法曰:置积二万九千八百零八尺为实。以开立方带 纵法除之,约实二万。商三十尺自乘,得九百尺。再以 三十尺乘之,得二万七千尺。又约商三十六尺自乘, 得一千二百九十六尺。另置三十六尺,减不及一十 三尺,馀二十三尺乘之,得二万九千八百零八尺。除 实尽,得方仓三十六尺,高二丈三尺。合问。
今有三乘方积二千零一十五万一千一百二十一 尺,问:“一面若干?”
答曰:“六十七尺。”
法曰:置积为实。下法常超三位,初商六十于左,下法 亦置六十自乘,得三千六百,再乘得二十一万六千, 为隅法。与上商六十相呼,除实一千二百九十六万, 馀实七百一十九万一千一百二十一尺。乃以四乘 隅法二十一万六千,得八十六万四千,为方法。另置 上商六十自乘,得三千六百,又以六因之,得二万一 千六百尺,为上廉。又置上商六十,以四乘,得二百四 十尺,为下廉。次商七尺于左,六十之。次下法亦置七 尺,自乘,得四十九尺,再以七因,得三百四十三尺,为 隅法。又以次商七尺乘上廉二万一千六百,得一十 五万一千二百。又以下廉二百四十,用两次七因初 次因,得一千六百八十尺,二次因得一万一千七百 六十尺。以方法八十六万四千,上廉一十五万一千 二百,下廉一万一千七百六十,隅法三百四十三,并 四法共一百零二万七千三百零三尺,皆与次商七 尺相呼,除实恰尽得一面六十七尺。合问:〈此三乘方捷径〉 一法:用二次开平方法除之,亦得。初一次置积数为 实,以开平方法除之,商得四千四百八十九尺。第二 次就以此初商数为实,亦以开平方法除之,即得一 面六十七尺。《合问》:〈此又捷径〉
若还原,置一面六十七尺,自乘,得四千四百八十九 尺,再乘,得三十万○○七百六十三尺,又乘之,即见 原积数也。
自乘,再乘又乘,故曰“三乘。”其四乘乃四次乘也。其五 乘,乃五次乘也。
今有田积三千三百七十五尺。问“立方面若干?” 答曰:“面方一十五尺。”
法曰:置积三千三百七十五尺为实,以开立方法除 之。古法用三为廉率,约实定位,从实。末位尺十尺定尺,百尺,千尺定十尺。初商一十于左。下法,亦置初商 一十自乘,得一百,再乘得一千,除实讫,馀实二千三 百七十五尺。却以下法,初商一十自乘,得一百,用三 因为方法。又以初商一十,以三因,得三十,为廉。次商 五尺于左。初商之次,下法亦置。次商五尺自乘,得二 十五尺,为隅法。又以次商五尺乘廉三十,得一百五 十,为廉法。并方法三百,廉法一百五十,隅法二十五, 共四百七十五尺,皆与次商五尺相呼。四五除二,五 七除三十五,五五除二十五,得方面一十五尺。《合问》。
<h3 id="开立方�" style="text-align: center">开立方�![开立方�](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6e/Imperial_Encyclopaedia_-_Astronomy_and_Mathematical_Science_-_pic1049.png)
大段。解曰:“立方积,形如骰子,有上下、左右、前后六面, 方如一段。大方积,是初商方高十尺。”自乘,再乘,得一 千尺。三段平廉,每段方十尺,高五尺,即初商十尺。自 乘,又以次商五尺乘,积五百尺,用三因,即三段积一 千五百尺。三段长廉,每段长十尺,阔五尺,高五尺,即 初商十尺。以次商五尺乘,又以次商五尺乘,得每段 积二百五十尺。用三因,即三段积七百五十尺。一段 小方隅,即次商五尺。自乘,再乘,积一百二十五尺也。
《求米仓窖盛贮歌》:〈每石斛法二尺五寸。〉
“米求仓窖要知源,斛法先除米数全。若见圆仓乘十 二方窖三,因米数然。三十六乘圆窖米,各为实积定 无偏,却用立方开”见约方求长、阔约为先,圆数求周 为约数,各将约数自乘焉。乘来为法除实积,便见深 高法更元。
今有米二千四百一十九石二斗,欲为方仓盛之,问 长、阔、高各若干?
答曰:“长二十八尺,阔一十八尺,高一十二尺。”
法曰:置米数,以斛法二尺五寸乘之,得六千零四十 八尺为实。以开立方法约之,得阔一十八尺,便约长 二十八尺。却以长阔相乘,得五百零四尺为法。除实, 得高合问。
今有米七百零五石六斗,欲作圆仓盛之问周围及 高各若干?
答曰:“周四十二尺,高一十二尺。”
法曰:置米数,以斛法二尺五寸乘之,得一千七百六 十四尺,再以圆法十二乘之,得二万一千一百六十 八尺,为实。以开立方法约之,得周四十二尺,自乘,得 一千七百六十四尺为法。除实,得高一十二尺。合问 今有米五百七十七石二斗,欲作方窖盛之,问上下 方及深各若干?
答曰:“上方九尺,下方一十二尺,深一十三尺。”
法曰:置米数,以斛法二尺五寸乘之,得一千四百四 十三尺。又以三因之,得四千三百二十九尺,为实。以 开立方法约之,得上方九尺,便约下方一十二尺。却 以上方自乘,得八十一尺。另以下方自乘,得一百四 十四尺。又以上方九尺乘下方一十二尺,得一百零 八尺。并三位,共三百三十三尺为法。除实,得深一十 三尺,合问:
今有米七十七石二斗,欲作圆窖盛之问上下周及 深各若干。
答曰:“上周一十四尺,下周一十八尺,深九尺。”
法曰:置米数,以斛法二尺五寸乘之,得一百九十三 尺。再以圆率三十六乘之,得六千九百四十八尺为 实。以开立方法约之,得上周一十四尺,便约下周一 十八尺。另以上周一十四尺自乘,得一百九十六尺。 又以下周一十八尺自乘,得三百二十四尺。又以上 周一十四乘下周一十八,得二百五十二尺。并三位 共七百七十二尺为法,除实得深九尺。《合问》:
今有米二千四百一十九石二斗,欲造长仓盛之,只 云“阔一十八尺,高一十二尺,问长若干。”
答曰:“长二十八尺。”
法曰:置米数,以斛法二尺五寸乘,得六千零四十八 尺为实。另以高乘阔,得二百一十六尺为法。除实,得 长合问。
或只云“长二十八尺,高一十二尺。”问:“阔若干?”
答曰:“阔一十八尺。”
法曰:仍以前实,却以长高相乘,得三百三十六尺为 法。除实,得阔一十八尺。合问。
今有米七百零五石六斗,欲作圆仓盛之,只云“高一 十二尺,问周若干。”
答曰:“周四十二尺。”
法曰:置米数,以斛法二尺五寸乘之,得一千七百六 十四尺。又以圆率十二乘之,再以高一十二尺除之如故为实。以开平方法除之,得周四十二尺。合问 今有米五百七十七石二斗,欲作方窖盛之,只云“上 方九尺,深一十三尺。问下方若干?”
答曰:“下方一十二尺。”
法曰:置米数,以斛法二尺五寸乘之,得一千四百四 十三尺;以三因之,得四千三百二十九尺。以深一十 三尺除之,得三百三十三尺。内减上方,自乘,得八十 一尺,馀二百五十二尺为实;以上方九尺为纵方。开 平方法除之,得下方一十二尺。合问。
或云:“下方一十二尺,深一十三尺。”问:“上方若干?” 答曰:“上方九尺。”
法曰:仍以前实四千三百二十九尺,以深除之,得三 百三十三尺。内减下方自乘一百四十四尺,馀一百 八十九尺,为实。以下方一十二为纵方。以开平方法 除之,得上方九尺。《合问》。
今有米七十七石二斗,欲造圆窖盛之,只云“上周一 十四尺,深九尺,问下周若干。”
答曰:“下周一十八尺。”
法曰:置米数,以斛法二尺五寸乘之,得一百九十三 尺。又以圆率三十六尺乘之,得六千九百四十八尺。 以深九尺除之,得七百七十二尺。内减上周,自乘一 百九十六尺,馀五百七十六为实。以上周一十四为 纵方。以开平方法除之,得下周一十八尺。《合问》: 或云:“下周一十八尺深九尺,问上周若干?”
答曰:“上周一十四步。”
法曰:仍以前实六千九百四十八尺,以深九尺除之, 得七百七十二尺。内减下周自乘,得三百二十四尺。 馀四百四十八尺为实。以下周一十八尺为纵方。以 开平方法除之,得上周一十四尺。《合问》。
今有米五百一十八石四斗,欲造方仓,盛之问“方、高 各若干?”
答曰:“方一十二尺,高九尺。”
法曰:置米数,以斛法二尺五寸乘之,得一千二百九 十六尺为实。以开立方法约之,得方一十二尺。却以 方一十二尺自乘,得一百四十四尺为法。除实,得高 九尺。合问。
或云“高九尺,问方若干。”
答曰:“方一十二尺。”
法曰:仍以前实以高九尺除之,得一百四十四尺。以 《开平方法》除之,得方一十二尺。合问。
分田截积法上
直田截积歌
《直田》截积法尤奇,截长积步阔除之,截阔用长除且 易,得其步数不须疑。
法曰:“若依原长截积,则以原阔除之。若依原阔截积, 则以原长除之。”
直田截积原载《方田章》,因与圭梯等截积间隔,不便观览,今移此以统于一。
今有直田,长四十八步,阔四十步。今依原长截积七。
直田截阔图
![直田截阔图](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ed/Imperial_Encyclopaedia_-_Astronomy_and_Mathematical_Science_-_pic1050_-_%E7%9B%B4%E7%94%B0%E6%88%AA%E9%97%8A%E5%9C%96.png)
百二十步,问:“截阔若干?”
答曰:“阔一十五步。”
法曰:置截积七百二十步为实,以原长数为法除之,即得截阔数。《合问》:
今有直田,长四十八步,阔四十步。今依原阔截积七 百二十步,问截长若干?
直田截长图
![直田截长图](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/86/Imperial_Encyclopaedia_-_Astronomy_and_Mathematical_Science_-_pic1051_-_%E7%9B%B4%E7%94%B0%E6%88%AA%E9%95%B7%E5%9C%96.png)
答曰:“长一十八尺。”
法曰:置截积七百二十步为实,以原阔四十步为法,除之,得截长一十八步。合问。
今有方田一坵,要“从东南角截一直形积三十二步, 南边阔四步,问截东边长若干?”
答曰:“截东长八步。”
《法》曰:置截积三十二步为实,以南阔四步为法除之。
方田截直图
![方田截直图](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/32/Imperial_Encyclopaedia_-_Astronomy_and_Mathematical_Science_-_pic1052_-_%E6%96%B9%E7%94%B0%E6%88%AA%E7%9B%B4%E5%9C%96.png)
得截积东长八步。《合问》:若东长定数,问截南阔,就以长数为法而除截积。
今有直田,长一十五步六分,阔一十二步。今从东边。
直田截斜图
![直田截斜图](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c6/Imperial_Encyclopaedia_-_Astronomy_and_Mathematical_Science_-_pic1053_-_%E7%9B%B4%E7%94%B0%E6%88%AA%E6%96%9C%E5%9C%96.png)
截积五十四步六分。北头要阔四步,问截南头阔若干?
答曰:“截南头阔三步。”
法曰:置截积五十四步六分为实。以
原长一十五步六分为法,除之,得截阔三步五分,此 是二广均匀之数。加倍得七步,减去北广四步,馀得 截南广三步是也。
又法,倍截积,得一百零九步二分为实。以原长一十 五步六分为法,除之,得共截阔七步减北广四步,馀 得截南广三步亦得。
今有直田,长一十五步,阔一十二步。今从西北《角截》。
直截句股图
![直截句股图](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fd/Imperial_Encyclopaedia_-_Astronomy_and_Mathematical_Science_-_pic1054_-_%E7%9B%B4%E6%88%AA%E5%8F%A5%E8%82%A1%E5%9C%96.png)
句股形一段,积三十一步五分,原坐落西边,股长九步,问截北边句阔若干。
答曰:“截北句,阔七步。”法曰:置截积三十一步五分,倍之,得六十三步,以西 股长九步为法,除之,得截北句阔七步。合问。
今有直田,积一千九百二十步,只云“长六十步,问阔 若干?”
答曰:“阔三十二步。”
法曰:置积一千九百二十步为实,以长六十步为法 除之,得阔。若是只云阔三十二步,问长若干,就以 阔为法除之,即得长。
今有圭田,积二百二十五步,只云“长三十步,问阔若 干?”
答曰:“阔一十五步。”
法曰:置积倍之,得四百五十步为实,以长为法除之, 得阔。若云中长步数,倍积为实,以阔为法除之,即 得。
以上二款,名曰“忘长失短” ,与“直田截积” 意同。
今有句股田,长三十步,阔一十五步。今从尖截长一 十二步,问中广若干。
勾股截积图
![勾股截积图](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Imperial_Encyclopaedia_-_Astronomy_and_Mathematical_Science_-_pic1055_-_%E5%8B%BE%E8%82%A1%E6%88%AA%E7%A9%8D%E5%9C%96.png)
答曰:“截中广六步。”
法曰:置截长一十二步,以句阔乘之,得一百八十步为实,以股长为法除之。
又法:置句为实,以股为法除之,每股长一步,得阔五 分。以乘截长亦得。
今有斜田,南广四步,北广十二步,长三十二步。今“从 中截腰广六步,问截南长若干?”
答曰:“截南头长八步。”
斜田截积图
![斜田截积图](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d8/Imperial_Encyclopaedia_-_Astronomy_and_Mathematical_Science_-_pic1056_-_%E6%96%9C%E7%94%B0%E6%88%AA%E7%A9%8D%E5%9C%96.png)
法曰:置截中广六步,减上广四步,馀二步,以乘长三十二步,得六十四步为实。却将南北二广相减,馀八步为法,除之,即得。若截下长。
置下广,减中广,馀六步。以乘原长,得一百九十二步 为实。以上下二广相减,馀八步为法,除之,得截下长 二十四步。《合问》。
今以前图截下长二十四步,问截中广若干?
答曰:“六步。”
法曰:将下广减去上广四步,馀八步为实。以原长三 十二步为法除之,每长一步,得阔差二分五釐。就以 此为法,以乘下长二十四步,得阔差六步。以减下阔 一十二步,馀六步,即是中广合问。
今有梯田,积一千五百步,北广四十步,中长五十步, 问南广若干?
答曰:“南广二十步。”
法曰:置积一千五百步,倍之,得三千步为实。以长五 十步为法,除之,得六十步,于内减北广四十步,馀得 南广二十步。《合问》:
原有斜田,南广四步,北广十步,长一十二步。今欲增 作句股样式,问股长出若干?
斜增为勾股图
![斜增为勾股图](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/59/Imperial_Encyclopaedia_-_Astronomy_and_Mathematical_Science_-_pic1057_-_%E6%96%9C%E5%A2%9E%E7%82%BA%E5%8B%BE%E8%82%A1%E5%9C%96.png)
答曰:“股长出八步。”
法曰:以南广四步乘长一十二步为实,另以二广相减,馀六步为法,除之,得尖出股长八步。合问。
《圭求广纵歌》。〈除《圭尖》即是梯形。〉
梯求上广出尖长,上阔乘纵法最良,却将上下广相 减,馀法除之免思量。
今有上圭下梯田,上广一尺六寸,下广一十二尺八
圭求广纵图
![圭求广纵图](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bc/Imperial_Encyclopaedia_-_Astronomy_and_Mathematical_Science_-_pic1058_-_%E5%9C%AD%E6%B1%82%E5%BB%A3%E7%B8%B1%E5%9C%96.png)
寸圭下正纵一十尺零五寸,问圭尖长若干。
答曰:“尖高长一尺五寸。”
《法》曰:“置正纵一十尺零五寸以上。”
广一尺六寸乘之,得一十六尺八寸为实。另以下广 一十二尺八寸减上广一尺六寸,馀一十一尺二寸 为法,除之,得圭尖长一尺五寸。《合问》。
圭求下广歌
圭田若问《梯》下广,圭梯并长,不必想上广乘长为实, 则尖长法除,即下广。
法曰:置圭长并梯长共一十二尺以上,广一尺六寸 乘之,得一十九尺二寸为实。以尖长一尺五寸为法, 除之,得下广一十二尺八寸合问。
圭求外梯长歌
圭田:欲问外梯长,下广减去,上广,良除,以圭长乘为 实。上广法除,是梯长。
法曰:以下广一十二尺八寸,减去上广一尺六寸,馀 一十一尺二寸。以圭长一尺五寸乘之,得一十六尺 八寸为实。以上广一尺六寸除之,得梯正纵长一十 尺零五寸合问。
圭求中广歌
《圭》求中广要思量,却用下《广》乘,尖长正纵,加入尖长 数为法,除之中广良。
法曰:置下广一十二尺八寸,以尖长一尺五寸乘之, 得一十九尺二寸为实。另以正纵一十尺零五寸加入尖长一尺五寸,共一十二尺为法,除之,得中广一 尺六寸。合问。
假如三角田一坵,三面各一十四步,今作三叚,俱要 四角,问长阔各若干?
三角截四角圆
![三角截四角圆](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2c/Imperial_Encyclopaedia_-_Astronomy_and_Mathematical_Science_-_pic1059_-_%E4%B8%89%E8%A7%92%E6%88%AA%E5%9B%9B%E8%A7%92%E5%9C%93.png)
答曰:共积八十四步,三角各得二十八步,每角计长八步,阔七步。法曰:置每面一十四步,六因七归,得中径一十二步。另以每面一十四步与径一十二步相乘,得一百六十八。
步折半,得积八十四步,为实。以三段归之,各得二十 八步。却以每面折半,得阔七步,以归二十八步,得四 步,倍之,得中长八步。《合问》:
今有直田,长一十五步,阔一十二步。今依《阔截圭积》。
直田截圭图
![直田截圭图](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a4/Imperial_Encyclopaedia_-_Astronomy_and_Mathematical_Science_-_pic1060_-_%E7%9B%B4%E7%94%B0%E6%88%AA%E5%9C%AD%E5%9C%96.png)
四十五步问截圭长若干?答曰:“圭长七步五分。”
法曰:置截积,倍之,得九十步为实,以阔一十二步为法,除之,即得其馀。
圭梯等截法。俱用开方列法于左:
“圭田截积”歌:〈若作三段分者,先截尖段下二段,以作《梯形截法》。〉
《圭田》截积小头知倍积原长以乘之,原阔归除为实 积开方便见截长。宜仍以截长乘原阔,原长为法以 除之,除来便见截阔数,法明简易不须疑。
今有圭田,长七十五步,北阔三十步。今自《尖头截积》
圭截小头圆
![圭截小头圆](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/Imperial_Encyclopaedia_-_Astronomy_and_Mathematical_Science_-_pic1061_-_%E5%9C%AD%E6%88%AA%E5%B0%8F%E9%A0%AD%E5%9C%93.png)
四百零五步。问截长阔各若干?答曰:“长四十五步,阔一十八步。” 法曰:置截积四百零五步,倍之,得八百一十步。以原长七十五步乘
之,得六万零七百五十步,以阔三十步除之,得二千 零二十五步为实,以《开平》方法除之,得截长四十五 步。就以原阔三十步乘之,得一千三百五十步为实, 以原长七十五步为法,除之,得截阔一十八步。《合问》: 今有句股田,股长四十步,句阔二十步。今从大头截。
勾股截积图
![勾股截积图](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ec/Imperial_Encyclopaedia_-_Astronomy_and_Mathematical_Science_-_pic1062_-_%E5%8B%BE%E8%82%A1%E6%88%AA%E7%A9%8D%E5%9C%96.png)
积一百七十五步,问“所截长、阔各若干?”
答曰:“截下长一十步,截上广一十五步。”
法曰:先将句股相乘,得八百,折半得积四百步。减截 积一百七十五步,馀积二百二十五步,以作圭田截 积小头,知而筭之,置小头积二百二十五步,倍作四 百五十步,以原长四十步乘之,得一万八千步,以原 阔二十步除之,得九百步,为实。以《开平方法》除之,得 上尖长三十步。就以此为法,以除倍积四百五十步, 得截阔一十五步。另将原长减去截长三十步,馀得 下长一十步。《合问》。
今又有圭田,长七十五步,北阔三十步。今自“北《阔截》。”
圭截大头图
![圭截大头图](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b4/Imperial_Encyclopaedia_-_Astronomy_and_Mathematical_Science_-_pic1063_-_%E5%9C%AD%E6%88%AA%E5%A4%A7%E9%A0%AD%E5%9C%96.png)
积七百二十步。问截长阔各若干?答曰:“截下长三十步,阔一十八步。”
法曰:置截积七百二十步倍之,得。
一千四百四十步。以原阔三十步乘之,得四万三千 二百步为实,以原长七十五步为法,除之,得五百七 十六步。再以北阔三十步自乘,得九百步,以减五百 七十六步,馀三百二十四步为实,以开平方法除之, 得截阔一十八步,并北广三十步,共四十八步,折半 得二十四步为法。除截积七百二十步,得截长三十 步,合问。
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