测圆海镜/卷09

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细草卷九上

○大斜四问

或问：甲丙俱在中心，丙望南门直行，不知步数而止。甲出东门直行，不知步数望见丙，斜行与丙相会。二人共行了六百八十步，仍云甲直行少于丙直行一百一十九步。问答同前。

法曰：二数相减，馀以为幂，内却减差幂为平实；二数相减又四之于上，又加入二之差步为益从；二步常法。得皇勾一百三十六。

草曰：别得共步即皇极三事和，少步即勾股差也。立天元一为皇极勾。加少步得■为股也，又以天元加股得■为和也。以和减共步得■为弦也，弦自之得■ 为一段弦幂（寄左）。然后置股以天元乘之，又倍之，得■为二直积，如入少步幂■共得■为同数，与左相消得■。平方而一，得一百三十六即勾也。勾加差为股，勾股相乘，倍之为实，勾股和减共步为法。得城径。

又法：和数与倍差相加、相减，二得数相乘为平实；云数并与云数差相并得数，以减于八之共步为益从；一步常法。得皇极黄方一百二。

草曰：立天元一为黄方（即虚弦也），副置之。上位加共步，得■为二和也；下位减共步，得■为二弦也。先以二和自乘，得■为四段和幂。又以二弦自乘，得■为四段弦幂。二数相减，馀得■元，又倍之得下式■元，为十六段直积于天元位（寄左）。然后副置二和，上位加二之少步，得■为四股。下位减二之少步，得 ■为四勾。勾股相乘，得■为同数，与左相消得■。平方而一，得一百二步，即皇极黄方也。馀各依法求之。合问。

或问：甲丙俱在西北偶起，丙向南行不知步数而立。甲向东行望见丙，就丙斜行六百八十步与丙相会。丙云：“我南行步多于甲东行二百八十步。”问答同前。

法曰：以云数差乘云数并为实，倍多步为从，二为平隅。得大勾三百二十。

草曰：立天元为大平。加差得■为股，倍天元乘之，得■为二积（寄左）。然后以斜步、多步并■与斜步、多步较■相乘，得■为同数，与左相消得■。开平方得三百二十步，即大勾也。合问。

或问：甲乙二人共立于艮隅，乙南行过城门而立，甲东行望乙与城参相直而止。丙丁二人共立于坤隅，丁向东行过城门而立，丙向南行望丁及甲乙悉与城俱相直。丙复就甲斜行六百八十步与甲相会。乙、丁又云：“吾二人直行共得三百四十二步。”问答同前。

法曰：二云数相乘，倍之为实；倍斜行于上，以二云数相减加上位为从；一步常法。开平方，得城径。

草曰：别得斜步即大弦也。其共步则一径一虚弦共也，其二数相并为一大和一虚弦共数也。立天元为径，减于共步得■为虚弦也。以虚弦复减于天元，得■ 为虚和，以斜步乘之，得■（寄左）。乃以天元加斜步，得■为大和，以虚弦乘之得■为同数，与左相消得■。开平方得二百四十步，即城径也。合问。

或问：甲从北门向东直行，庚从西门穿城东行，丙从西门向南直行，壬从北门穿城南行。四人遥相望，悉与城参相直。只云甲丙相望处六百八十步，庚壬穿城共行了六百三十一步。问答同前。

法曰：共步自之得数。以共步减斜，馀自乘以减上为实。二之斜步加入共步减斜，馀数为从。一步常法。得城径。

草曰：共行步为一径与皇和共也，又为大和皇弦差也。甲丙相望即大弦也。以共步减大弦，馀■为皇极弦上减一径也。立天元一为圆径，减于共步，得■为皇极和也，以自之得■于上。弦内减共步馀■，又以天元加之为皇弦，以自之得■，减上位，馀得■为两个皇直积（寄左）。乃以天元乘皇弦得下式■为同数，与左相消得■。平方而一，得二百四十步，即城径也。合问。

细草卷九下

○大和八问

或问：庚从西门穿城东行二百五十六步而立，壬从北门穿城南行三百七十五步而立。又有甲丙二人俱在干隅，甲向东行，丙向南行，各不知步数而立。四人遥相望，只云甲丙共行了九百二十步。问答同前。

法曰：庚东行幂、壬南行幂相并于上，并庚壬步而倍之，内减大和，馀复减于庚壬共，得数以自乘减上位为平实。并庚壬步为益从，半步为隅法。得城径。

草曰：立天元一为圆径，以半之副置二位。上以减于庚东行，得下■为平弦也；下以减于壬南行，得■为高弦也。二弦相并得■为皇弦、虚弦共也。倍此数得 ■为大弦、虚弦共也。以大弦、虚弦共减于大和，馀■为虚勾虚股共也。天元内减虚勾、虚股共，馀■即虚弦也。复置皇弦虚弦共内减虚弦，馀■即皇极弦也，以自之得■（寄左）。然后以平弦自之，得下式■为勾幂也，又以高弦自之，得■为股幂也。二幂相并得■为同数，与左相消得■。平方而一，得二百四十步，即城径也。合问。

或问：甲丙俱在西北隅，甲向东行不知步数而立，丙向南行望见甲，就甲斜行与甲相会。甲直行、丙直行共九百二十步（甲步少于丙步）。又：出东门南行有柳树一株，出南门东行有槐树一株。戊己二人同在巽隅，戊就柳树，己就槐树，亦与甲、乙遥相望。只云己行少于戊行数与两树相距数相并，得一百四十四步，其二数相减馀六十步。问答同前。

法曰：二云数相并而半之为虚弦，以乘大和九百二十步于上。以一百四十四减大和，以虚较乘之，减上位为平实。以一百四十四减大和，又二之于上，以二之虚较减上位为从。四虚隅。得太虚勾四十八。

草曰：别得甲丙直行共即大和也，戊就柳树步即虚股也，己就槐树步即虚勾也。其一百四十四步即二明勾，其六十步即二Ａ１股也。立天元一为虚勾，加明勾得■为半径也，倍之得■即城径也（又为虚弦上三事和）。二云数相并而半之，得■即小弦也。相减而半之，得■即小较也。以天元加较得■即小股也，小勾股共得 ■即小和也。以小三事减大和得■即大弦也。乃先置小和以大弦乘之，得下式■（寄左）。次以小弦乘大和，得■，与左相消得下式■。开平方得四十八步，即虚勾也。加明勾又倍之得二百四十步，即城径也。合问。

或问：甲从干隅东行，乙从艮隅南行，丙从干隅南行，丁从坤隅东行，四人遥相望见。既而甲还至艮隅就乙，丙还至坤隅就丁。甲丙直行共九百二十步，甲还就乙共二百三十步，丙还就丁共五百五十二步。问答同前。

法曰：并就数以减直行共，复以所并就数乘之为实；并就数减直行共，得数复加入直行共为法。得虚弦。

草曰：别得甲丙直行共为大和也，甲还就乙步为小差勾股共也，丙还就丁步为大差勾股共也。以大差勾股共减于大股，馀即虚勾也。以小差勾股共减于大勾，馀即虚股也。二数相并得■为大弦虚弦共也，二数相减，馀■为通差及太虚勾股差共也。又并二数而半之，得■为皇极弦虚弦共，又为皇极勾股共也。立天元一为虚弦。先以二共数减于大和，馀■为虚勾虚股和于上。次以虚弦减于二共数，馀■为大弦，以乘上位，得下■（寄左）。然后以天元乘大和，得■元为同数，与左相消得■。上法下实，得一百二步，即虚弦也。加入虚和得二百四十步，即城径也。合问。

又法：并云数减大和，复以云数相减乘之为实；并云数减大和，得数复加入大和为法。如法得虚差四十二。

草曰：立天元一为虚较。先以并云数减大和，馀■为虚和于上。次以天元减于■得■为通差，以乘之得■（寄左）。然后以天元乘大和为同数，与左相消得 ■。上法下实得四十二步，即虚差也。副置虚和为二位，上加虚差而半之，得九十即虚股也。下减虚差而半之，得四十八即虚勾也。勾幂■，股幂得■，相并得■。开平方得一百二步，即虚弦也。加入虚和得二百四十步，即城径也。合问。

或问：依前见大和，只云股圆差上勾弦差二百一十六，勾圆差上股弦差二十步。问答同前。

法曰：以云数二十步减通和，复以二十步乘之于上。以云数二百一十六减九百步而半之，乘上位为立实。三因二十步以减通和得八百六十，以二百一十六及二十共得二百三十六，减通和而半之，得三百四十二。二数相乘讫，内减二十之九百步。又以三百四十二及二百一十六共得五百五十八，又二十之以减之为从方。以二百三十六减通和，又以三之二十步减通和，相并于上。以二之五百五十八内却减二十步，馀以加上位为益廉。四步常法。得小差股一百五十。

草曰：别得小差上股弦差■加二股为大勾也，大差上勾弦差■加二勾为大股也。立天元一为小差股，加■得■为小差弦也，小差弦上又加天元得■为通勾，以减于和步得■为通股也。通股内减■得■，半之得下式■即大差之勾也。大差勾上又加■，得■为大差弦也。再置通股以小差弦乘之，得■，以天元除之，得■为一个大弦也（泛寄）。再置通勾以大差弦乘之，得■，合以大差勾除。不除寄为母，便以为大弦（寄左）。乃以大差勾乘泛寄，得■为同数，与左相消得■。益积开立方，得一百五十步，为小差股也。合问。

或问：依前见大和，只云高弦、平弦共得三百九十一步，高弦、平弦相较得一百一十九步。问答同前。

法曰：以较数幂减于共数幂，又半之为实，以共数减大和为益从，一常法。开平方，得圆径。

草曰：别得高弦减于通股为边股内减明股也，平弦减于通勾为边勾内减明勾也。其共数即大弦内减皇极弦，又为皇极勾股共也，其相较步即皇极差也。二云数相并得■，即黄广弦也。二云数相减，馀即黄长弦也。以共数减于大和，馀■为皇极弦、圆径共。立天元一为圆径，以减于■为皇极弦也。以共数自之得■于上。以相较数自之得■，减上位，馀■，又半之得■为两段皇极积（寄左）。乃以天元乘皇极弦，得■为同数，与左相消得下■。开平方得二百四十步，即城径也。合问。

或问：依前见大和，只云大差弦四百○八步，小差弦一百七十步。问答同前。

法曰：以并云数减大和，复以乘大和，又倍之为平实。三之通和于上，又以并云数减大和，加上位为从。二步虚法。得圆径。

草曰：大差弦减和步，馀■为大勾、大差勾共也。以小差弦减大和，馀■为大股、小差股共也。云数相并得即大弦内减虚弦也，云数相减得■为虚弦平弦共也。以相并数减于大和，馀■为大差勾、小差股共，又为圆径、虚弦共也。立■天元一为圆径，减于■得■为虚弦也。反以减于圆径得■为小和也。以天元减大和得 ■为大弦，以乘小和，得■（寄左）。乃再置虚弦以通和乘之，得■，与左相消得■。开平方得二百四十步，即城径也。合问。

或问：依前见大和，只云黄广弦五百一十步，黄长弦二百七十二步。问答同前。

法曰：云数相并减大和，复以相并数乘之为实。云数相并减大和，得数复以加大和为法。得虚弦一百二。

草曰：别得黄广弦又为大差弦、虚弦共，又为边股、Ａ１股共也。黄长弦又为小差弦、虚弦共，又为底勾、明勾共也。以黄广弦减于大股，馀■即虚股，以黄长弦减于大勾，馀■即虚勾。故并数以减于大和，馀■为虚和也。以虚和减径即虚弦也。二云数相并得■为大弦、虚弦共也，云数相减馀■为虚弦、平弦共。立天元一为虚弦，以减于七百八十二，得■为大弦也，以小和乘之得■（寄左）。乃以天元虚弦乘大和，得■为同数，与左相消得■。上法下实，得一百二步，即虚弦也。合问。

或问：依前见大和，只云边弦五百四十四步，底弦四百二十五步。问答同前。法曰：云数相减自之为实，以大和减并数为法。得皇极弦■。

草曰：别得以边弦减大股，馀■为半径内减平勾，又为平弦内减勾圆差也。以大勾减于底弦，馀■为高股内少半径，又为股圆差内少高弦也。二云数相并，得九百六十九为大弦、皇极弦共也。二云数相减，得■为皇极勾股差也。并数内减通和，馀■为皇极弦内减圆径也。立天元一为皇极弦，以自之于上。以一百一十九自之得■，减上位得■为二皇积（寄左）。复置天元内减四十九得下式■为黄方。复以天元乘之，得■，与左相消得■。上法下实，得二百八十九步，即皇极弦也。内减四十九，馀即城径也。合问。