诸家历象集/卷二

诸家历象集
卷二
作者：李纯之
1445年

历法

《后汉书》

昔者，圣人之作历也，观璇玑之运，三光之行，道之发敛，景之长短，斗纲之建，青龙所躔，参伍以变，错综其数，而制术焉。

天之动也，一昼一夜而运过周，星从天而西，日违天而东。日之所行与运周，在天成度，在历成日。居以列宿，终于四七，受以甲乙，终于六旬。

日月相推，日舒月速。当其同度，谓之合朔。舒先速后，近一远三，谓之弦。相与为衡，分天之中，谓之望。以速及舒，光尽体伏，谓之晦。晦朔合离，斗建移辰，谓之月。

日月之行，则有冬有夏，冬夏之间，则有春有秋。是故日行北陆谓之冬，西陆谓之春，南陆谓之夏，东陆谓之秋。日道发南，去极弥远，其景弥长，远长乃极，冬乃至焉。日道敛北，去极弥近，其景弥短，近短乃极，夏乃至焉。二至之中，道齐景正，春秋分焉。

日周于天，一寒一暑，四时备成，万物毕改，摄提迁次，青龙移辰，谓之岁。岁首，至也，月首，朔也。至朔同日谓之章，同在日首谓之蔀，蔀终六旬谓之纪，岁朔又复谓之元。是故日以实之，月以闰之，时以分之，岁以周之，章以明之，蔀以部之，纪以记之，元以原之。然后虽有变化万殊，赢朒无方，莫不结系于此而禀正焉。

极建于中，道营于外，璇衡追日，以察敛，光道生焉。孔壶为漏，浮箭为刻。下漏数刻，以考中星，昏明生焉。

日有光道，月有九行。九行出入，而交生焉。朔会望衡，邻于所交，亏薄生焉。月有晦朔，星有合见，月有弦望，星有留逆，其归一也，步术生焉。

金水承阳，先后日下。速则先日，迟而后留。留而后逆，逆与日违。违而后速，速与日竞，竞又先日。迟速顺逆，晨夕生焉。日月五纬，各有终原，而七元生焉。见伏有日，留行有度，而率数生焉。

参差齐之，多少均之，会终生焉。引而伸之，触而长之，探赜索隐，钩深致远，无幽辟潜伏，而不以其精者然。故阴阳有分，寒暑有节，天地贞观，日月贞明。

若夫祐术开业，淳燿天光，重黎其上也。〈-颛顼曰重黎。-〉承圣帝之命若昊天，典历象三辰，以授民事，立闰定时，以成岁功，羲和其隆也。〈-唐虞夏商曰羲和。-〉

取象金火，革命创制，治历明时，应天顺民，汤武其盛也。〈-月令章句曰：“帝舜叶时月正日，汤武革命，治历明时。”言承平者叶之，承乱者革之。-〉

及王德之衰也，无道之君乱之于上，顽愚之史失之于下。夏后之时，羲和淫湎，废时乱日，胤乃征之。纣作淫虐，丧其甲子，武王诛之。

夫能贞而明之者，其兴也勃焉，回而败之者，其亡也忽焉。巍巍乎若道天地之纲纪，帝王之壮事，是以圣人宝焉，君子勤之。

夫历有圣人之德六焉。以本气者尚其体，以综数者尚其文，以考类者尚其象，以作事者尚其时，以占往者尚其源，以知来者尚其流。

大业载之，吉凶生焉，是以君子将有兴焉，咨焉而以从事，受命而莫之违也。若夫用天因地，揆时施教，颁诸明堂，以为民极者，莫大乎月令。帝王之大司备矣，天下之能事毕矣。过此而往，群忌苟禁，君子未之或知也。

斗之二十一度，去极至远也。日在焉而冬至，群物于是乎生。故律首黄锺，历始冬至，月先建子，时平夜半。

当汉高皇帝受命四十有五岁，阳在上章，阴在执徐，冬十有一月甲子夜半朔旦冬至，日月闰积之数皆自此始，立元正朔，谓之汉历。又上两元，而月食五星之元，并发端焉。

历数之生也，乃立仪表，以校日景。景长则日远，天度之端也。日发其端，周而为岁，然其景不复。四周千四百六十一日，而景复初。是则日行之终。以周除日，得三百六十五四分度之一，为岁之日数。日日行一度，亦为天度。察日月俱发度端，〈-即是起舍合朔。-〉日行十九周，月行二百五十四周，复会于端，是则月行之终也。以日周除月周，得一岁周天之数。以日一周减之，余十二十九分之七，则月行过周及日行之数也，为一岁之月。以除一岁日，为一月之数。月之馀分积满其法，得一月，月成则其岁大。

月四时推移，故置十二中以定月位。有朔而无中者为闰月。中之始曰节，与中为二十四气。以除一岁日，为一气之日数也。其分积而成日为没，幷岁气之分，如法为一岁没。没分于终中，中终于冬至，冬至之分积如其法，得一日，四岁而终。

月分成闰，闰七而尽，其岁十九，名之曰章。章首分尽，四之俱终，名之曰蔀。以一岁日乘之，为蔀之日数也。以甲子命之，二十而复其初，是以二十蔀为纪。纪岁青龙未终，三终岁后复青龙为元。

《山堂考索》

历数之起尚矣。伏羲画八卦以象二十四气，炎帝分八节以起农功，黄帝迎日推策，乃使羲和占日常仪占月，车区占星气，大挠造甲子，隶首作算数。容成综斯六术，考定气象，建五行，察发敛，起消息，正闰馀，述而著焉，谓之调历。洎于少昊，以鸟名官，而凤鸟氏实为历正，元鸟氏司分，伯赵氏司至，青鸟氏司启，丹鸟氏司闭。颛帝则南正重司天，北正黎司地，建孟春以为元，是为历宗，其后三苗乱德，二官咸废，而闰馀乖次，孟陬殄灭，摄提失方。尧复育重黎之后，使纂其业。〈-西汉志-〉

书曰：“乃命羲和，钦若昊天，历象日月星辰，敬授人时。”“期，三百六旬有六日，以闰月定四时成岁。”

夏至太康，羲和废职，唐一行曰：“汤作商历，以十一月甲子合朔冬至为上元。”又曰：“商历得庚寅一分，周历得己丑二分。武王访箕子，言大法九章，而五纪明历法。故自商周咸正历纪，以应天道。周衰，天子不班朔，鲁历不正，以闰馀一之岁为蔀首。故春秋“襄二十七年十一月乙亥朔，日有蚀之。”于是辰在申，司历以为在戌。史书建亥。哀十二年，亦以建申流火之月为建亥，而怪蛰虫之不伏也。自文公闰月不告朔，至此百有馀年，莫能正历数。五伯之末史官所纪，惟有黄帝颛帝夏殷周及鲁历，秦兼天下，用颛帝历，推五胜而自以为获水德，乃以十月为正，色尚黑。〈-前汉志-〉

唐志曰：“唐终始二百九十馀年，而历八改。”

初曰戊寅元历，盖高祖时傅仁均所造也。用于武德之二年，阅明年而月蚀比不验。明年诏祖孝孙等考定，乃略去其尤踈阔者，其后崔善为李淳风，复更定其数十条。淳风又言：“仁均减除稍多，定朔遂差二刻。”

其二曰麟德甲子元历，高宗时，李淳风作也。戊寅历推步既踈，淳风乃增损刘焯皇极历，作是历。古历有章蔀，纪元有日分度分，参差不齐，淳风为摠法千三百四十以一之。损益中晷术以考日至，为木浑图以测黄道，当时以为密与太史令瞿昙罗所上经纬历，参行。

其三曰开元大衍历。僧一行所作也。开元九年，麟德历书日食比不效，诏一行作新历，推大衍数立术以应之，较经史所书气朔日名宿度可考者，皆合。本志曰：“自太初至麟德，历有二十三家，与天虽近而未密也。至一行，密矣，其倚数立法，固无以易也。后世虽有作者，皆依仿而已。”切考其详，本于天地之二中，始于冬至之中气，以晦朔定日月之会，以日度正周天之数，以卦气定七十二候，以中星定二十四气，其原皆出于易。自春秋以来，至开元十二年，冬夏凡三十一事，戊寅历得十六，麟德历得二十三，而开元得二十四。用此例，以校古今之薄蚀五星之变差，而开元历课皆第一，然开元十二年七月朔，十三年十二月朔，于历当蚀而皆不蚀。杜预有云：“日月动物，虽行度有大量，不能不小有盈缩，故有虽交会而不食者，或有频交而食者。”是也。若因开元二蚀，曲变交限而从，则差者益多矣。肃宗时，山人韩颖言：“大衍或误。”颖乃增损其术，更名曰至德历。

其四曰宝应五纪历。司天郭献之等所上也。代宗以至德历不与天合，诏献之等，复用麟德元纪，更立岁差，增损迟疾交会及五星差数，以写大衍旧术。上元七曜，起赤道虚四度。帝为制序，题曰五纪历。其与大衍小异者，九事而已。

其五曰建中正元历，司天徐承嗣所上也。德宗时，五纪历气朔加时稍后天，推测星度与大衍差率颇异。徐承嗣等杂麟德大衍之旨治新历。上元七曜，起赤道虚四度。建中四年历成，名曰正元。其气朔发敛日躔月离晷漏交会，悉如五纪法。

其六曰元和观象历，司天徐昻所上也。宪宗元和二年用之，然无章蔀之数，至于发敛启闭之候，循用旧法，测验不合。

其七曰长庆宣明历。穆宗即位，以为累世缵緖，必更历纪，乃诏日官改撰历术，名曰宣明。上元七曜，起赤道虚九度。其气朔发敛日躔月离，皆因大衍旧术，晷漏交会则稍增损之，更立新数，以步五星。

其八曰景福崇元历，边冈所造也。昭宗时，宣明历施行已久，数亦渐差，边冈算改治新历。冈用算巧能驰骋，反复于乘除间。虽筹策便易，而冥于本原。〈-用唐志。-〉

一行历议曰：“易：‘天数五，地数五，五位相得各有合。所以成变化而行鬼神也。’天数始于一，地数始于二，合二始以位刚柔。天数终于九，地数终于十，合二终以纪闰馀。天数中于五，地数中于六，合二中以通律历。天有五音，所以司日也。地有六律，所以司辰也。参伍相周，究于六十，圣人以此见天地之心也。自五以降，为五行生数，自六以往，为五材成数，五十为大衍之母。蓍数之变，九六各一，乾坤之象也，七八各三，六子之象也。故爻数通乎六十，星为天地之枢，如环之无端，盖律历之大纪也。”

欧阳公曰：“历起于数，数者，自然之用。其用无穷，而无所不通，以之于律于易，皆可合也。〈-太初以律起数，大衍以易起数。-〉然其要在于候天地气，以知四时寒暑，而仰察天日月星之行运，以相参合而已。然四时寒暑，无形而运于下，天日月星，有形而见于上，二者常动而不息。一有一无，出入升降，或迟或疾，不相为谋。其久而不能无差忒者，势使之然也。故为历者，其始未尝不精密，其后多踈而不合，亦理之然也。不合则屡变其法以求之。自尧舜三代以来，历未尝同也。”

吾尝因是，而观诸易矣。革之象曰：“泽中有火，革君子以治历明时。”天下之事可革者，多矣。而圣人必以历言者，盖事之在天下，最易差者莫如历，而不可不修者莫如历。

四朝志曰：“自古帝王必先考正历象，盖将以前民用授人时也。然以圣人之智，其于天地之理，阴阳五行之运，日月星辰之纪，考验推测无有不尽，其至立法倚数，固宜历万世而不忒，往往传之稍久，其应辄差，何哉？天地之数，其妙而不可测者，常在于秒忽毫厘之际，而其象与气，推移嬴缩，亦有时而不齐，故虽圣智不能尽穷，积以岁月，则历之不能无差，理固然也。圣人不能使历之无差，尝因其差而正之。而历家者流往往各持其说，以相矛盾，主其议者，又从而以私意轻重之。汉唐以来，历之所以数变而无一定之说，亦有由矣。大抵汉历五变而太初最密，唐历八改而大衍最密。宋朝初用钦天历，至太平兴国中始更定历，名曰乾元。至咸平复改曰仪天，天圣曰崇天，嘉祐曰明天，熙宁曰奉元，元祐曰观天，崇宁曰占天，后复改曰纪元。盖自乾元以至纪元，凡八变，虽法不同，至于前民用授人时，其归则一矣。”

自汉改历之初，洛下闳谓八百年后当差一度。然当时史官考诸中星，知太初历已差五度，而闳不知察。盖古之为历，未知有岁差之法。其论冬至日月躔之宿，一定不移，而不知今岁之日躔在冬至者，视去岁冬至之日躔，常有不及之分，至晋虞喜始觉其差，遂立岁差之法，以五十年日退一度，然失之太过。宋何承天倍增其数，以百年退一度，又反不及。至隋刘焯，取二家中数，以七十五年退一度，较之二家之历，虽为差近，亦未甚密。故唐一行复以大衍之法推之，乃得八十三年而差一度。自唐以来，历家皆宗其法，迄于今日，又不若统天历之为渐密也。大衍立法谓：“日躔于一岁之间，行周天度未编馀分，而日已至焉。每岁若有不及之分，故一度为三千四十分，其所差之分一岁三十有六太积，而至于八十三年，则差一度矣。”然犹未也。考古验，今其实七十九年而退一度，故是尧时之日月在虚一度，自是而降，渐退在女，又过在斗，自牵牛而退，在斗二十六，历斗二十五，迤𨓦而退，则在建星矣。知岁差之法，则知古今之中星不同，可坐而判，或者不知岁差之法，每以尧典校之，月令至于今日，不啻差一次矣。求其说而未得，遂谓节气有初中之殊，又谓古以午为中，今以未为中，是皆自欺之说，固不足信。

盖尝考诸经史，自尧以来，至于宋朝，冬至日躔，各自不同。然后知岁差之法固不可废。大衍历推帝尧演纪之端，日在虚一度，则鸟火虚昴皆以仲月昏中，合于尧典。考诸尧时日之所在，冬至在虚一度，夏至在柳十四度，春分在胃十二度，秋分在氐十度。至唐开元大衍历，冬至日在斗十度，夏至在井十六度，春分在奎七度，秋分在轸十四度。今之统元历，冬至在斗二度，夏至在井十八度，春分在奎初度，秋分在轸七度。自冬至之日，黄道至斗为极南，黄道极南之所，出辰入申，故日亦出辰入申，又渐退而北行。至于春分，正当黄赤道之交，出卯入酉，故日亦出卯入酉。进而至夏至，黄道至井而极北，黄道极北之所，出寅入戌，故日亦出寅入戌。自夏至后，日渐退，而至于秋分，复当黄赤道之交，出卯入酉，故日亦出卯入酉。又退而至于冬至，复如初极之于南矣。日之出入也，北而复南，南而复北者，黄道之势使然也。故太元经曰：“日，一北而万物生，一南而万物死。”正谓是矣。月之行天也，循黄道内外而东。黄道内曰阳历，外曰阴历，黄道与赤道相去最远者二十四度，月道与黄道相距最远者六度。日行黄道，月行九道。青道二出黄道东，朱道二出黄道南，白道二出黄道西，黑道二出黄道北，其交必由于黄道而出入，故兼言为九道也。然此特言其大槪尔。至五代，王朴乃以黄道一周，分为八节，一节之中，分为九道，尽七十二道，而斜正之势，无所隐遁，日月之行道，备于此矣。日之行也舒，月之行也速，当其同度，谓之合朔。舒先速后，近一远三，谓之弦。相与为衡分天之中，谓之望。以速及舒，光尽体伏，谓之晦。其循黄道左右而进也，春分弦于东井，亦犹日之夏至而极北也，秋分弦于南斗，亦犹日之冬至而极南也。然不可与日同测景者，以月有入阴阳历之差也。故周官有冬夏致日，春秋致月者，此也。至五星之行，其出入夫阴阳之历，大略与日月不异，然其伏见迟留进退前后，又各不同，当以五纬推步法，求之可也。〈-浑仪略说-〉

裴胄之问董生曰：“日常右转，星常左转，大凡不满三万年。日行周二十八舍，三百六十五度。然必有差，约八十年差一度。自汉文帝三年甲子冬至，日在斗二十二度，至唐兴元元年甲子冬至，日在斗九度，九百六十一年，差十三度矣。”〈-唐李肇国史补-〉

西汉之历，莫善于太初，东汉之历，莫善于四分，由魏至隋，莫善于皇极。在唐则大衍为善，在五代则钦天为善。然其立法各有不同。太初以八十一为日法，四分则用蔀月九百四十，皇极则用一千二百四十二，大衍则用二千四十，钦天则用七千二百，其多寡之异，何耶？太初以三百八十五为斗分，四分则用章法十九，皇极则用万二千一十有六，大衍又以七百七十九为虚分，钦天则一千八百八十四，其增损又如此之异，何耶？泰初诸历，则日为一法，度为一法，至大衍，又合日度为一法，太初诸历，则馀分置于斗分，至大衍则馀分置于虚分，此又何耶？太初之历，本于锺律，以八十一分为通母，其数起于黄锺之籥而终，汉之历号为最详。开元之历，求乎大衍，以四十九分为算而终，唐之世号为最密。是非所祖之多门，而为数则同也。

黄帝造历，元起辛卯，高阳氏起乙卯，虞舜用戊午，夏商周以三统改正朔，是非立元之多门，而为数则同也。汉灵帝时，刘洪作乾象历，以五百八十九为纪，四百四十五为斗分。魏文帝时，韩翊造黄初历，以四千八百八十三为纪法，千二百五为斗分。汉之历或八十一为法，鲁之历或以九百四十为算。是非倚数之多门，而为数则一也。若夫孝昭清台之候课诸历法，号为得宜，而张寿王书，乃以阴阳不调为更历之过。章帝元和之诏，用四分历，其法颇密，而冯光陈晃之论，乃以为不合于图谶，此皆不经之言也。

切求之，二十八宿循天而左行，一日一夜一周天，周天之外，更行一度，计一年三百六十五度四分度之一也。日一日行一度，则是一岁一周天也。月一日行十三度十九分度之七，凡二十七日而周天一匝，更行十九度半馀，遂于日与之会，以所次之辰。故传曰：“日月相会谓之辰。周天之度，各分为九百分，则岁之变，凡有三十三万一千七百分。一日九百分，一年而馀小。尽六日得五千四百分，又计五日四分日之一，凡有四千七百分，幷之而为一万一千七百分，以当十一日半弱。两岁则馀二万三千四百分，以当二十二日半小弱。〈-前剩一百分跨一日，故曰弱。此添剩四百分，故曰小弱。-〉三岁则馀三万四千六百分，以当三十四日小强。〈-凡四百五十分为半，此六百，故曰小强。-〉所以历家于三年，置一闰，用以归受，此三年之馀分也。然三年一闰，故用二十九日。约周天之馀度，二万六千一百分耳。尚更剩前二年中，八千五百分，通后第四年所馀一万一千七百分，而二万零二百分，以当一十三日半，小弱。〈-余四百分，故曰小弱。-〉及五年，则三万一千九百分，以当三十四日，半强。故五岁再闰也。此三十四日，犹有馀分，又积归后年置闰，若前年置闰之月，大馀则后闰大馀分也。”姚说同礼书曰：“周天三百六十五度四分度之一，而一岁凡十二月，除月之小者，而计其馀积，三十二月，而适得一月之数，故三年而一闰，五年而再闰，八年而三闰，十年而四闰，十三年而五闰，十六年而六闰，十九年而七闰。”

闰月斗指两辰间，古今之所常验。大槪以闰月无中气，亦非常月所可比，而斗之居中央，临四方，分阴阳，建四时，均五行，移节度，定诸纪。在迁固等史，必云皆系于斗者的，以斗之所指，未尝有差故也。是以月令取昏旦之中星，以王弼文必以月建之辰为取信者，不无谓也。

按：尧时，冬至日在虚昏中昴，月令冬至日在斗昏中壁而中星，古今不同者。盖天有三百六十五度四分度之一，岁有三百六十五日四分日之一，天度四分之一而有馀，岁日四分之一而不足。故天度常平运而舒，日道常内转而缩，天渐差而西，岁渐差而东，此即岁差之由。唐一行所谓岁差者，日与黄道俱差者，是也。古历简易，未立差法，但随时占候修改，以与天合。至东晋虞喜，始以天为天，以岁为岁，乃立差法，以追其变，约以五十年而退一度。何承天以为太过，乃倍其年，而又反不及。至隋刘焯，取二家中数，为七十五年，盖为近之。〈-书说-〉

历之名，始于黄帝，历之算，定于容城。夫上稽天象，下正人时，非历有所不可。故有起之以律者矣，累实于黄锺是已，有积之以数者矣，较分于丝毫是已，又有验之以象者矣，作仪于浑天是已。然由古迄今言天者凡几，而造历者尤非一家，终不能保其历之不变者，历法之不容不变也。是故黄帝起辛卯，颛帝用乙卯，夏用丙寅，殷用甲寅，周用丁巳，鲁用庚子，此则历元之可验者也。夏四百三十二年，日差五度，商六百二十八年，日差八度，周讫春秋，日差八度，战国及秦，日差三度，此则历差之可证者也。斗分未易考也。古历谓在建星。贾逵谓在牵牛中星，范晔谓在斗十一度，则言斗分者，为不同日度未易稽也。秦历以孟春在营室五度，三统以立春在危十六度，元嘉以正月中在室一度，则言日度者为不一。然历取更历之义，故世代更历，群言不厌其纷，诸家不惮其异，否则治历明时之语，圣人何以特取于革哉！尝因是而为之说，曰：“革之为言，更也。”圣人序卦，至四十九，而特以革卦居焉。是又发明大衍之数，足以治历也。

以大衍起数者，自伏羲始，以大衍名历者，自一行始。夫衍者，演天地之数也。后世之历多以古律起，而一行大衍历，独以易数起焉。勾稽微秒分积毫厘，盖有得于伏羲之遗画，君子安可以踈议一行哉。今以大衍历观之，一六为爻位之统，五十为大衍之母，合二始以位刚柔，所以明天一地二之数也。合二中以通律历，所以正天五地六之数也。合二终以纪闰馀，所以穷天九地十之数也。以生乘成，吾于六百，而得天中之积焉。以成乘生，吾又于六百，而得地中之积焉。自一六至五六，一七至五七，一八至五八，一九至五九，一十至五十，生成相乘，各有六百，吾又于是，而得千二百之算焉。一行固非拘于数者。盖积忝之法可行，而忝之小大则不可积，断竹之制可仿，而孔之厚薄则不可均，按尺之说可验，而尺之长短则不可证，又孰若以无形而御有形，以不物而制有物哉！吁此大衍历起于易，所以为后世之精密者欤！不然，唐自太初至麟德，凡二十三家，何以独称美于大衍乎。韩颖之至德，郭献之五纪，承嗣之正元，又何以祖其故智乎！然而大衍起算，亦不专于易也。盖岁差得于虞喜，月食冲得于姜岌，定朔得于傅仁均，九道得于张子信，而演纪之端，日在虚一度，又得于尧之甲子，此尤足以见其通而不溺于术数。

古历有六家，黄帝颛帝夏殷周鲁，是也。秦用颛帝历，汉初因之，或云用殷历，故通鉴编年朔日两存之也。自武帝更造太初历〈-前历与天不合。-〉，迄东汉之末，历凡四改，成帝三统历，章帝四分历〈-因太初三统踈阔。-〉，灵帝乾象历〈-晋书志言，四分计分太粗，而改作此历。此乃刘洪蔡邕共为之，八代多仍此法。-〉，自魏至隋，历凡十三改，魏文帝有黄初历〈-韩翊以乾象减斗分太过，而更造此，校议未定，而帝崩。-〉，明帝有景初历〈-杨伟造。-〉，晋武帝有正历〈-刘智造，即景初旧法也。以五星踈阔，故元帝渡江更以乾象法推五星。-〉，穆帝有通历〈-王朔之造。元是后秦姚兴时，姜岌所造三统历。-〉，秦姚兴时当晋武帝太元九年，姜岌造三纪甲子元历〈-专援刘歆三统。-〉，宋元嘉中，何承天造甲子元历〈-迄宋末，相仍用。-〉，梁武帝改行宋祖冲之甲子元历〈-其子祖暅奏请行之，以何承天历违差故也。陈氏因之。-〉，北齐文宣高氏用宋景业天保历〈-引元命包言‘齐受历之期’，董峻郑元伟非之，乃上甲寅元历。-〉，郑元伟董峻又上甲寅元历〈-时，又有刘孝孙张孟宾同知历事，孟宾受业于张子信，与宋景业争论，未定，属国亡。-〉，西魏入关，行李兴业正光历〈-于时，宇文周明帝使庾季才等造周历。-〉，宇文周武帝时，甄鸾造天和历〈-以甲寅为元。-〉，周大象初马士显又上丙寅元历〈-迄于隋开皇四年，始更用张宾历。-〉，隋开皇行张宾历〈-张宾盛称高祖非人臣相，自陈代谢之证，帝乃下诏，颁行宾历。历本之何承天，而刘孝孙刘焯议其失，宾方有宠，孝孙焯议竟不行。-〉，十七年又用张胄元历〈-胄元因言日景长之事，帝太悦，令与刘晖秀才等相驳难。会颜敏上书言太初历八岁之事，帝欲神其事，下诏，褒美颁行胄元历，胄元与袁充更相引重。先是刘焯张胄元进，乃更名。刘孝孙历法曰：“七曜历上之，胄元害之，遂罢。”焯又增修其书曰皇极历，驳正胄元之短，袁充左右胄元共排焯历，更不行焯皇极历。历法见隋志。-〉，唐历凡八改，高祖戊寅元历〈-傅仁均造。道士也。-〉，高宗麟德甲子元历〈-李淳风造。-〉，元宗开元大衍历〈-僧一行造。以前历日蚀不验。此下皆因其法。-〉，肃宗至德历〈-韩颖益大衍推。-〉，代宗宝应五纪历〈-以前历不与天合。郭献之造，写大衍旧法。-〉，德宗建中正元历〈-徐承嗣等造。因前历气朔稽后也。又杂麟德大衍术-〉，宪宗元和观象历，穆宗长庆宣明历〈-以前历测验不合也。皆因大衍旧术。-〉，昭宗景福崇元历〈-以前历数差。-〉五代初用唐历幷闰，国历凡有八家。晋高帝调元历〈-马重绩因曹士𫇭符天小历，不复推古上元起，唐天宝十四年乙未为上元，以正月雨水为气首。行之五年，辄差，复用崇元历。-〉，周有明元历〈-王处讷私撰。-〉，又有万分历。蜀有永昌历，正象历。南唐有齐政历。周世宗有钦天历〈-王朴造。-〉。宋朝一祖十宗历，凡十一改。太祖造应天历〈-后置闰差，乃王处讷所造。-〉，太宗乾元历〈-王素造，后以朔望有差。-〉，真宗仪天历〈-历家造，朱帛为之序。后以星曜有差。-〉，仁宗崇天历〈-历家造。晏殊序。并见会要。-〉，英宗改为明天历〈-以日蚀差。-〉，神宗改为奉元历〈-因日蚀有差。-〉，哲宗改为观天历〈-因冬至差。-〉，徽宗改为纪元历〈-以时气之差。-〉，高宗改为统元历〈-以定腊有差。-〉，孝宗造乾道历〈-以统元日食有差。-〉，又改淳熙历。〈-曾子固尝云：“王处讷见王朴造钦天历，谓之曰：‘此历可，且行久则差矣。’已而果然。”宋朝命王处讷正之，于是有应天历久之又差。苗守信等承诏论定，于是有乾元历。淳化至道间，王濬郑安之徒校其踈密，日官韩显符始定浑仪之器，杨文遂皆用甲子之数，皆施行焉。-〉

天之高也，日月星辰之远也。寒燠雨旸，气数之不齐，章蔀纪元，馀分之所积。以千百年计之，犹可运之掌上，及其久也，有非巧之所能计者。此历久则必差势之所必至也。治历明时之君子，因其差之未远，革而正之，无难也。其或尽更前人之法，而更复踈远。其或增损前人之旧，而更加诋毁，则非矣。自昔黄帝以来，历凡五十馀家，皆由气朔躔度，或先天，或后天，微有不应历象，则历法从而变也。夫黄帝始调历，颛帝为历宗。至汉则不能无踈密，汉人课之详矣。由汉以来，太初历法为第一，三统四分乾象，或因革焉，而复有踈密之间，盖三统则甚踈，而乾象则甚密也。乾象之历为推步之师表，韩翊杨伟咸遵其旧法，而不及深妙，翊又复据其术而背其言。唐自开元大衍之历，行算数备悉，其后虽屡有变更，皆不外于一行之数。改历者，又从而指其踈谬，不特此也。北齐文宣悦宋景业谶纬之佞，而改行天保历，隋高祖喜张宾陈代谢之证，而改行开皇历。上之人所以改历者，悦善谀，初不为敬天授民而设也。刘孝孙历法甚精，辄为刘晖所抑，刘焯推占至详，常不为张胄元所容。下之人所以造历者，冒宠嗜利，初不揆其法之是非也。操是心以往，其何以议历为哉。是以知天道远历法推测不能。每事中程。其曰，日食不效，更考日度，可也。其曰，斗分有差，更定密率可也。其曰，五星踈远，更验星躔，可也。其或一事不中程，乃尽更前人之法，大抵因其实而实其名，异其所入之门，而同其所归之极。如宋何承天历法，齐用之则为齐历，隋张宾用之则为隋历也。如刘孝孙历法，刘焯更名七曜历，其后又更为皇极历也。一法而异用，一历而数名，大抵然也。然则自古迄今五十馀历，其立法之异者，太初历本于律，大衍历本于易，是也。其馀皆袭旧法，而增损焉耳。

东汉志曰：“律首黄锺，历始冬至。月先建子，时平夜半。当汉高皇帝受命之四十九岁，阳在上章，阴在执徐，〈-文帝后元三年，庚辰年也。-〉冬十一月甲子夜半朔旦冬至，日月闰积皆自此始，立元正朔，谓之汉历。”此章帝四分历元，自文帝后元三年始也。

夫后元三年止太初元年，凡五十八岁，而十一月甲子夜半朔旦冬至，已至于再，岂一甲子周则复得此数耶？贾逵议曰：“七十二岁，复十一月合朔冬至。”或为八十岁则一甲子冬至。今考之范志曰：“至朔同在日首谓之蔀。”夫十九年得一章，四章为蔀，合七十六年也，有八十年之异也。日首者，甲子日为六甲之首也。冬至之日与朔日同是甲子则为蔀，所谓十一月甲子夜半朔旦冬至，是也。何为有五十八年，有七十二年，有七十六年，有八十年之异耶？

按班志曰：“乃以前历上元太初四千六百一十七岁，至元封七年，复得阏逢摄提格之岁，仲冬十一月甲子朔旦冬至，日月在建星。”孟康注曰：“古以建星为宿，今以牵牛为宿。”观此言，则中冬甲子朔旦冬至，乃上元太初甲寅年也，非武帝元封七年也。

刘炫依大明历，四十五年日差一度，则冬至日在虚危，而夏至火已过中，与日永星火之说不合矣。梁武帝据虞𠚳历，百八十馀年差一度，则唐虞之际，日在斗牛间，而冬至昴尚未中，与日短星昴之说不合矣。王孝通谓，岁差若自昴至壁〈-隔二宿也。-〉，则尧典七千馀年，冬至日不在斗建，而在东井，不应寒暑易其位也。〈-孝通谓日与黄道俱差，一行非之。-〉故李淳风谓古历冬至，皆起建星，今测建星，正在斗十三四度。〈-一行以淳风麟德历校之，太初永平百年间，气当后二日半，朔当后天半日，乌得谓之无差也？-〉吕不韦春秋〈-月令-〉，谓黄帝仲春乙卯，日在奎，至今三千馀年而春分亦在奎。〈-一行谓月令若可为正，则立春正在营室五度，淳风安得顿移在启蛰之节。-〉观诸家之言，并不取岁差之说，而一行皆非之，故其立论曰：“古历日有常度，天周为岁终，故系度于节气。其法似是而非，故久而益差。虞喜觉之，使天为天，岁为岁。乃立差以追其变，使五十年退一度。”何承天以为太过，乃倍其年而反不及。刘焯取二家中数为七十五年，盖近之矣。

观一行之言岁差之法，以刘焯皇极历为主，所以倂非诸家之说也。夫一行所谓天为天度者，赤道分天之中也。所谓岁为岁度者，黄道日之所行也。自汉而下，张平子作浑天仪象，所以立为黄赤道也。欲以日度追天度也。苟曰不然，则周天三百六十五度四分度之一，此乃赤道天度以正岁之日计之，则止行三百六十五度而已。天之度有常数，而不渝日之度，常积馀分而置闰，二者不同，安得谓之无岁差哉！此太初历谓冬至日在牵牛初。贾逵谓在斗十八度。晋武帝太始三年，冬至日在斗十六度。晋用魏景初历，宋用元嘉何承天历，其冬至皆在斗二十一度，所以不能无进退之差也。日度岁差，一于进则春夏秋冬易其位，一于退则其所差亦然。其进退疾徐，必于中节之气，正闰之月，或加或损，或进或郤，惟巧历者，于此见之尔。虽然古者推历候日，必验昏中之星，验之之时，有浅深迟速之异，或推而进之，或引而退之也。日度之度，何以为定论哉。一行之言，又曰：“汉世，课昏明中星，为法已浅。今候夜半中星，以求日冲，近于得密。以水有清浊，壶有增减，或积尘所拥，而漏有迟疾。臣等频夜候中星，而前后相差或至三度。大略冬至之日，远不过斗十四度，近不出十度。”

乃追诸家历论，日度所在，或是或非，而谓开元四年冬至日在斗十度。观一行之言，无所不用，其情矣。特其所谓昏明中星为术已浅，而夜半中星漏壶不常，又差三度。其开元所定，冬至斗分日度，又果无一毫之差乎。夫馀分之法有日之馀月之馀，岁之馀积馀分，而成闰月，自七闰而为一章，犹可计也，积七闰之馀而为蔀，则何以哉。推一蔀之闰而为纪可也，积三纪之馀分而为元，则何以哉。是以天度岁度不能无差，立差以追其变，亦止约其大要尔。一行取刘焯皇极立差之法，凡七十五年而退一度，其说是矣。至于度之所差，或进或却，复归于中，使其尽入一行亿万年积算之中，其历亦亿万年不可改也。何至屡更而屡变，一年之顷，斗转星回，二十八宿有同旋磨，凡曰日在斗几度云者，验之有顷刻之异，则所差有寻丈之间。一行亦安能积万年之算哉！一行之言曰：“干度虚盈，与时消息，谴告于经数之表，变常于潜遁之中，则圣人且犹不质，非筹算之所能及矣。”斯言其何訾！

太史公历书曰：“大馀，日也。小馀，月也。”考之历书与诸史历志，大馀，未有盈六十之数，则知其为甲子之日也，日不盈甲子之数，则为大馀也。故大馀，日也。书志凡曰小馀，少则七八，多则数百，或有至于千馀者，何也？太史公所谓小馀者月，岂以积年所馀之月而计之耶。岂以一年之中，月周天所馀之度，积分而计之耶？凡一年之中，必曰大馀五十，小馀六百。又曰大馀十三，小馀二十，凡此等类，所以重言之者，又何意也？岂未合朔未置闰，则所馀计若干多，已合朔已置闰，则所馀计若干少耶。

按东汉志，宗䜣议曰：“百七十岁，小馀六十三，自然之数也。”夫一章计十九年，九章计百七十年也。一章凡七闰，九章则六十三闰。百七十年之中，有六十三闰月。此正与太史公小馀者，月之说同。

又按班固志：张寿王言：“太初历亏四分月之三，去小馀一百五分，以故阴阳不调。”又按刘焯等术曰：“凡日不全为馀。一行大衍等法曰：‘凡分为小馀，则知小馀谓之馀分。’亦可也”。大抵诸历法大馀，皆以一甲子之日计之。其小馀或为月或为分，皆以一月之中小馀之日之分积算之耳。又元法纪法日纪所主之数不同，故小馀说，亦不同也。其太史公重言大馀小馀之数者，此乃太初历法，而他历皆不然，故不容旁引曲说也。

一行月议云：“日，君道也。无胐魄之变。月，臣道也。远日益明，近日益亏，人臣之象也。望而正于黄道，是谓臣干君明，则阳斯蚀矣。”又曰：“十月之交，日有食之，于历当蚀，君子犹以为变，诗人焯之。然则古之太平，日不食，星不孛，盖有之矣。”

又曰：“月或变行以避日，或五星潜在日下，御侮以救日，或涉交数浅，或阳盛阴微则不蚀，或德之休明，则天为之隐，虽交不蚀，此四者，皆德教之所由以生也。”

又曰：“刘歆贾逵近古大儒，岂不知轨度所交，朔望同术哉？〈-日行黄道，月有九道，其所行之道遇交，则有剥蚀之变也。至于合朔如合璧，则不蚀，其交不轨度，则食也。故验日食者，必以日躔月度之交验之耳。-〉以日食非常，故阙而不论。魏黄初以来，治历始课日食踈密。张子信刘焯贾曾元之徒，又谓日月可以密率求，以戊寅麟德历，推春秋之时，于历应食，而春秋不书者，尚多，则日食必交限，其入限者，必不尽食。开元十二年七月朔，于历当蚀半强，自交趾止于朔方，候之而不食。十三年十二月朔，于历当食太半，而亦不食，然后知德之动天不俟终日，若因开元二蚀不验，遽变交限而从之，则差者益多。”杜预以日月动物，虽行度有大量，不能不少有盈缩，故有交会而不食者，是也。一行因以员仪，度日月之径，令二径相掩，以验食分之限。

又曰：“日月相会，大小相若，而月在日下，自京师斜射而望之，假令中国食之，既而南方戴日之下，所亏才半，日外反观，则交而不食。〈-此则随地而验之也。-〉”

又曰：“使日食皆不可以常数求，则无以稽历数之踈密，若可以常数求，则无以知政教之休咎。”

一行之议，可谓详日食之变矣。其大要不过谓，食有常数，而亦不可以常数求，在乎人君修德以应之耳。独有三节，不可据晓，姑表而出之，以待能者。一行所谓月在日下，自京师斜而望之则食之，既自南方戴日之下望之，则所亏在半。又云，日外反观，则交而不食，果如一行所测，则日虽食而实未尝食矣。其日度月度交轨之际，日上月下，阳气微，阴气盛，日形为月形所蔽，自下望之，似食而非食耶。夫日食以阴盛，月食以星孛。今一行谓，月望而正于黄道，则犹臣干君明，故阳食之是月为日所食也，而非由星孛也。又按通鉴，开元二年日食不验，姚崇表请书之史册，其后太史奏麟德历，踈日食屡不效，遂令一行，改造新历。今一行乃云，“开元十二年七月十三年十二月，于历当食而不食。”乃曰：“德之动天，不俟终日。”孰谓一行谀言复蹈姚崇之武耶，何者？太史奏日食屡不效，实开元九年也。是年诏一行，作新历，十五年而草成，十七年而颁行。按一行所论，开元十二年日食，尚以麟德旧历验之，而新历犹未成也。然日月之蚀，系乎人君之德也。旧历日食屡不效矣。此乃历踈之故，而一行乃云，“德之动天，不俟终日。”恐未免蹈姚崇之武也。

月道〈-阳历，阴历-〉：班志曰：“阳历者，先朔而月生；阴历者，后朔而月生。”一行曰：“日道表曰阳历，其里曰阴历。夫朔而后月生，所谓三日哉，生明月之三日为胐，是也。”先朔之月为晦，今而曰月生，何也？按邓平等法，一月之日，止于二十九日半强，是一月犹馀半日弱也。其曰：“先朔月生后朔，月生此必半日之间。合朔有迟速，故月生有先后。籍之以历名之曰阳曰阴也。”又不然则太初历犹用平朔而未用正朔也。一行所谓，‘日道表为阳历，里为阴历者。’此以日道为主，而考验月道之交，有表有里，故历之名亦曰阳曰阴也。一行九道议曰：“阴阳历交，或在四立，或在分至，所交并同，而出入之行异。盖九道者，月道也。青道二，朱道二，白道二，黑道二，八行兼黄道而为九也。曰阴阳历交者，月道自里而交于日道之表，或自表而交于日度之里，故曰阴阳历交也。”

日所交则同而出入之行异者，以月道交日道，春分与秋分同，冬至与夏至同，其于四立也亦然，特其所以不同者，黄道居中，月道或出其东而入其西，或入其北而出其南也。所谓东交于角，西交于奎，是也。又有朔交望交者，朔交谓初交，望交为中交也，皆视阴阳历而正其行也。然则阴阳历之名，止为日月之会，朔望之交说耳。青赤为阳，白黑为阴，阴为里，阳为表，九岁而一终，谓之九道，百七十一年而小终，八十一章而九终。〈-九终之说，见三统历谱，又见晋志刘洪乾象历法。班固天文志曰：“月有九道，用之一决房中道。”盖房中道，即黄道也。五代王朴谓：“月道半在黄道内，半在外。”同此意耳。-〉

一行倚大衍之数，立推步之法，是一行求合于大衍者也，非大衍合一行之数也。大衍之数无穷倚此数，立此法庶乎其有所据依，亦犹太初以律起历之意也。一行历本议曰：“天数五，地数五，五位相得而各有合，所以成变化而行鬼神也。”此易系之文，一行举以为议历之本。盖其意所主，在乎五位相得，而各有合之一言，是以推而广之，无往而不合也。欧阳修志唐历曰：“历起于数，数者，自然之用也。其用无穷而无所不通，以之于律于易，皆可合也。”是亦一行之意欤！虽然一行亦岂能外诸历家之法，而独推大衍而为法欤？一行变诸家之法之名，而从大衍之数也。诸历虽不倚大衍以立法，而其中亦有与大衍暗合者矣。一行之言曰：“天数始于一，地数始于二。”此即易系天一地二之说，诸历之所同用也。所谓天数中于五，地数中于六，为二中，此即班固志五六者，天地之中合之说也。所谓天数终于九，地数终于十，为二终，此即班志十九年为章岁，合天地终数，得闰法之说也。所谓天有五音，所以司日，地有六律，所以司辰，此即杨子云声生于日，律生于辰之说也。此其与诸家之说同者，如是也。

自一而降为五行生数，自六以往为五行成数。一六而退极，五十而增极。〈-中极居五六之间，故六退极，五增极也。-〉一六为爻位之统，五十为大衍之母。〈-大衍之数五十。或者以为五为十者。一生而六成之，一与六合，所以为爻位之统，五生而十成之，五与十合，所以五与十为大衍之母也。又曰：五至十则六七八九在其中间矣。大衍之数五十而六为老阴，七为少阳，八为少阴，九为老阳，皆自五十之数之操也。故曰。五十为大衍之母也。自一至六则二三四五在其中间，即六爻之数也。故曰一六为爻位之统也。-〉成数乘生数，其算六百，为天中之积。〈-成数六七八九十，生数一二三四五，成数共成四十也，生数共为十五也。以四十乘十五，则是四十介十五，共得六百之数也。以十五乘四十数，得六百之数也。-〉生数乘成数，其算亦六百，为地中之积，合千有二百，以五十约之，则四象周六爻也。〈-千二百之数，五十介二十四也。四千二十四，四象周六爻也。-〉以二十四约之，则太极包四十九用也。〈-千二百之数，亦得二十四介五十也。虚一不用，太极包四十九用也。-〉综成数约中积皆十五。〈-成数四十也。四十介十五，则得中积六百之数，故曰成数约中积皆十五。-〉综生数约中积皆四十。〈-生数十五也。十五介四十，亦得中积六百之数，故曰生数约中积四十也。十五四十乘六百之数，可也。复约之而归于十五四十，亦可也。-〉兼而推天地之数，以五位取之，复得二中之合也。〈-四十与十五，即五十五。天数二十五。地数三十，天地之数五十有五，与此合也。天之中数五，地之中数六也。五五二十五，五六三十，共成五十有五，故曰以五位取之，复得二中之合也。-〉蓍数之变，九六各一，乾坤之象也。〈-干为九，九老阳，坤为六，六老阴，各居其一也。-〉七八各三，六子之象也。〈-七为少阳，震长男，坎中男，艮少男，凡三少阳也。八为少阴，巽长女，离中女，兑少女，凡三少阴也。-〉故爻象通乎六十，策数行乎二百四十。是以大衍为天地之枢，如环之无端。此一行取以为起历之法也。其候封则本乎月令，〈-七十二候之封也。-〉日卦则本乎孟氏章句，〈-十二卦主十二月，复遇之类也。-〉定朔则本乎刘孝孙傅仁均，岁差则本乎虞喜何承天，更积算曰演纪，变日法曰通法，改周天曰干实。此又一行变诸历法之名，以从大衍之类也。

唐志曰：“自太初至麟德历，有二十三家，与天虽近而未密也。至于一行，密矣，其倚数立法固无以易也。后世虽有改作，皆依仿而已。”唐志之言，诚是也。特其知大衍之历倚易数之法，而不知其变。诸历之术，以从大衍之数，是以表而出之。〈-一行历法，有步中朔术，发敛术，步日躔术，步月离术，步轨漏术，步交会术，步五星术。是时有九执历，自西域来。诏太史监瞿昙悉达译之，陈玄景将以惑当时，谓一行书写其术也，忘也。-〉

一行既有日度议，复有日躔议，度与躔，岂有异哉？盖日有度，月有道，言其大数也。日躔有盈缩缓急，月离有进退先后，言其所经所历处也。〈-离附丽也。或曰相离远之离。-〉合而言之，则皆于日月所行之所而见之也。一行曰：“刘焯立盈缩躔衰术，李淳风因之更名曰躔次，凡阴阳往来，驯积而变。日冬至，其行最急，急而渐迟，夏至其行最舒，舒而渐急。急极而寒，舒极而燠，得其中则雨旸之气也。〈-谓春分秋分。-〉”夫一行所谓日躔有舒急之异者，何也？周天三百六十五度，冬至之时，夜之所占度多，日之所占度少。度少则日短迫，故曰其行急也。夏至之时，夜之所占度少，日之所占度多，度多则日舒长，故云其行最舒也。春秋二分，日夜停适，故云其行及中也。所谓躔衰躔差者，或自急而渐舒，或自舒而渐急，或在乎舒急之中也。以气候之，以景测之，而求其盈缩之所加，则可知矣。一行曰：“以二十四气晷景，考日躔盈缩，而密于加时。”盖谓此也。观乎此则日度日躔，似同而异矣。〈-应劭注汉志曰：“日躔月离，躔经也离远也。”臣瓒曰：“离，历也。”-〉

太初历为张寿王所诋，清台课踈密，而是非乃定，徐禹治太初第一。寿王下吏大衍历，为瞿昙撰南宫说所非，灵台校簿，而当否始决。〈-大衍历颁行，说等伏罪，令侍御史李麟之等校之也。-〉

东汉历元为陈晃冯光所驳，熹平校议，得失遂分。〈-诏，从蔡邕议，邕等劾光晃之罪。-〉此历之方行，而迭相诋刺者，如是也。太初历是非既定，而朱浮以为后天，四分仪式既备，刘洪以为与天踈阔。班固谓三统最密，而杜预以为踈，一行独指杜预之谬，郑元谓乾象穷幽极妙，而韩翊指其失。此历行既久，而递相诋刺者，又如是也。其馀如祖暅之非何承天，刘孝孙刘焯之驳张宾王孝通，李淳风之讥傅仁均，递递相非，无穷已也。

要之，两汉之历，太初乾象其最也。隋唐之历，皇极大衍其冠也。虽更相是非，而是非自有定论矣。然则太初乾象皇极大衍之历，果能穷尽千万年之数，未及百年，咸悉更变，何哉？

杜预之言曰：“天行不息，日月星辰，各运其舍，皆动物也。物动则不一，虽行度大量，可得而限，累日为月，不得无毫毛之差。历差始于毫毛，积而失弦望晦朔，不得不改宪从之。书钦天象，易治历明时，言当顺天以求合，非为合以验天者也。”

唐志曰：“四时寒暑，无形而运于下，日月星辰，有象而见于上，二者常动而不息。一有一无，出入升降，或迟或速，不相为侔。其久而不能无差忒者，势使之然也。故为历者，其始未尝不精，而其后多踈而不合，亦理所当然，不合，则屡变其法以求之。”自尧迄于唐，此历所以未尝同也。杜预唐志言，异世而一事也。是知立推步之法者，求之千万年之上，以为上元，自谓无毫厘之差，行之未十百年而乖违已见。盖数往者，无所卞，而推来者，有所证也。一行是非诸历之得失，其论甚备，而唐志亦称其立法之密。一行之言乃曰：“干度盈虚，与时消息，告谴于经数之表，变常于潜遁之中，则圣人且犹不质，非筹策之所能及矣。”观乎此则凡所以钞记者，姑识其槪焉耳。

历法要当先论太虚，以见三百六十五度四分度之一，一一定位，然后论天行，以见天度，加损虚度之岁分，岁分既定，然后七政乃可齐耳。〈-黄道之差，始自春分秋分，赤道所交，月道之差，始自交初交中，黄道所交。日出入赤道二十四度，月出入黄道六度。黄道一周，退前所交六十分度之一，是谓岁差。月道一周，退前所交一度八万九千七百七十三分度之四万三千五百三秒半，积二万一千九百一十五年，而岁差周积二百二十一月及分一千七百五十三而交道周矣。又节齐曰：“赤道弦带天之中，日道月道斜交赤道之内外。其周围长短，与赤道无差，而日月每日行度，亦无盈缩进退。历家欲求日月交会，故以赤道为起算之法。以赤道度数而揆之黄道，则日行有盈缩焉，以赤道度数而揆之月道，则月行有进退焉。非日月之行真有盈缩进退也。”○文公。-〉

器久必弊，数久必差，固也。古人谓三百年计历改宪，是历之改必三百年之间，可也。历观前世，莫有及者，何？其改之数也。汉之历四变，而太初最密，不百馀年而差矣。人皆归咎于当去馀分而不去矣。四分减之而非，乾象增之而亦非，何也？抑有可言者，太初之造，马迁寔职之，今以其书大馀小馀计之，则古历也，非太初也，何自矛盾耶？唐历十三变，而大衍最密，不半太初之年而差矣。人皆归咎于日法之不分矣。而继大衍者，推拟图写分而不能易者，又何也？抑有可言者，大衍之法，后不能易，而王朴则斩然自立一家，虽失追急而不缓，亦难矣。其源流谁自，且历之起，起于斗度，而踈密多寡，悉皆不齐。冬至之日，历之所生也，或以为在斗，或以为在建，或以为在牵牛，或以为在女宿，何耶？历之差，差于日食，而晋唐之间，凡日之有食，若聚讼然，讫无中者，则晦朔之间，脁朒之微，孰从而正哉！宋朝之历，十馀变矣。迩者复以差，闻今历虽成，而主上以授时在玑衡为先务，犹惧有阙，令侍臣复验之，甚盛举也。盖闻，仁宗时，以其历而较之，麟德历大分馀者三十有奇，小分馀者七十有奇，今日之历，将缩之，将衍之耶？诸君其推之以易，证之以律，明之以春秋，而裁之以大元，为今日历之本。此非星翁历官事，毋泛毋略。〈-东莱文集-〉

圣人作历大要有三。一曰象，二曰气，三曰数。考之以日月星辰之象，验之以阴阳寒暑之气，积之以秒忽毫厘之数。盖四时寒暑，无形而运于下，日月星辰，有象而见于上，二者常动而不息，一有一无，出入升降，或迟或速，不相为谋，其久而不能无差者，势使之然也。故为历者，其始未尝不精察，而其后多踈不合，亦理之然也。不合则屡变其法以求之。自古以来，历未尝同也。

黄帝作调历，乃命羲和占日，常仪占月，车区占星，伶伦造律吕，大挠造甲子，隶首作算数，容成摠斯六术，考定气象，建五行，察发敛，起消息，正闰馀，历法之详，盖肇于此。颛帝之历，正以孟春，号为历宗。尧历象日月星辰，箕子言九畴，而五纪明历法。夏商周迭用三统，正朔不同，历亦以异。周室既衰，历官失纪，畴人子弟，散在诸国。于是国各有历，鲁历其一也。汉之历凡四变。自张苍用颛帝历，武帝用太初历，而刘歆有三统历，章帝则用元和四分历，其后刘洪则又有乾象历，此其历之四变也。

唐之历凡八变，高祖则用傅仁均戊寅元历，高宗则用李淳风麟德甲子历，开元则用一行大衍历，代宗则用宝应五纪历，德宗则用干中正元历，宪宗则用元和观象历，穆宗则用长庆宣明历，在景福则又有边冈崇元历，此其历之八变也。

自汉唐之外，在晋则有杜预春秋长历二元干度历，在宋元嘉则有何承天之新历，在元魏则有崔浩五寅元历，在隋则有皇极历，在周显德则有王朴钦天历。然汉之历莫善于太初。盖邓平唐都洛下闳之徒，以律起历。其衍起于黄锺，初九而乘之，得其数八十一，以为日法。以前历上元，太初而推之，复得阏逢摄提格之岁仲冬甲子朔旦，冬至日月在建星，故罢废。尤踈远者，十有七家，至淳于覆验，而太初历之晦朔弦望，皆为最密，日月如合璧，五星如联珠。此太初历之所以独显于汉也。其他如歆之三统而杜预，则以为比诸家最踈，六十馀岁，辄增一日。班固误以为志，而何承天亦云：“杨雄惑歆之说，采以为太元。”如四分历，则出于图谶之所著，而汉人冯光等，又病其历元之不正。至乾象历，虽郑元以为其法穷幽极微，而魏韩翊，则以为减斗分太过，其视太初则有间矣。

唐之历莫善于大衍。盖一行专用大衍之策。窃考其详，本于天地之二中，始于冬至之中气，以合朔正日月之会，以日度正周天之数，以卦气定七十二候，以中星正二十四气。天数始于一，地数始于二，合二始以位刚柔。天数终于九，地数终于十，合二终以纪闰馀。天数中于五，地数中于六，合二中以通律历。一策之分十九而章法生，一揲之分七十六而蔀法生。以卦当岁，以爻当月，以策当日，而其原皆本于易。故唐史臣谓：“自太初历至麟德历，有二十三家，与天虽相近而未密也。至一行，密矣，其倚数立法固无以易也。后世虽有作者，皆依仿而已。”此大衍之术，所以独显于唐也。

其他如戊寅元历，则以受命之岁而为名，而祖孝孙之徒，犹恨其踈阔。李淳风之甲子历，虽当时以为精密，而后复杂用以瞿昙之经纬历。若夫徐昻之观象历，则又无蔀章之数，至于察敛启闭之候，循用旧法，而测验不合，其视大衍，则又有间矣。自太初大衍之外，而杜预之长历，王朴之钦天历为可采也。预之言曰：“天行不息，日月星辰，各运其舍，皆动物也。以新故相涉，不得不有毫末之差，积而成多，以失弦望晦朔，则不得不改宪以从之。易所谓治历以明时，言当顺天以求合也。”李修卜显，依其论以为干度历，合日行四分数而微增。当时参校以为特胜，预奏行之。此其可取者然也。朴之言曰：“为国家者，履端立极，必体其元，布政考绩，必因其岁，礼动乐举，必正其朔，三农百工，必顺其时，五刑九伐，必顺其气，庶政有为，必从其日月。是以圣人，必治历数。包万象以为法，齐七政以立元，测圭箭以候气，明九道以步月，校迟速以推星，考黄道之斜正，辨天势之升降，而交蚀详焉。”于是而为钦天历。此其可取者然也。

至于本朝，历凡十变。在建隆则曰应天，在太平兴国则曰乾元，在咸平则曰仪天，在天圣曰崇天，在治平曰明天，在熙宁曰奉天，在元祐曰观天，在崇宁曰占天，未几又改曰纪元，在绍兴曰统元，在庆元曰会元，此其大略也。

然历之道大矣。有历元，有历谱。后汉虞恭宗䜣之议历有曰：“建历之本，必先立元，元定然后定日法，法定然后度周天以定分至。三者有程，则历可成也。”

故黄帝造历元，起于辛卯，颛帝用乙卯，虞用戊午，夏用丙寅，商用甲寅，周用丁巳，鲁用庚子，汉用乙卯，武帝用丁丑，范晔载于律历志者，为可考也。

刘向深明洪范，尝作五纪论，总六历而列是非。至歆复究其微妙，推易象春秋，作三统历及谱，取尹咸所校条而奏之，为十八家之书。曰黄帝五家历，曰颛帝历，曰夏商周鲁历，曰天历，曰大历，曰日月宿历，此其以历名者也。曰日月行帛图，曰五星行图，曰律历数法，曰五星宿纪，曰日晷，曰许商杜忠算术，此皆象数之书，而历之流也，故亦以历名之。

曰帝王诸侯世谱，曰古来帝王年谱，此以谱名者也。盖谱也者，历叙古帝王授受之次，以明三统之序，以纪灾祥休咎之证，而使作历者得以考验，故其书与历并传。今班固载于艺文志者，为可考也。

不特此也。唐一行之论，则又有十二议焉。曰历本，曰中气，曰合朔，曰没灭略例，曰卦候，曰卦议，曰度议，曰躔盈缩略例，曰九道议，曰晷漏中星略例，曰日蚀议，曰五星议。其外又有步中朔术，有步发敛术，有步日躔术，有步月离术，有步轨漏术，有步交会术，步五星术。今载于唐历志者，又可考也。

抑尝观唐艺文志，其于律书也，不特叙历代之历书，而首叙历代之算法。如刘向九章重差之算法，张丘建之算经，刘徽之海岛算经。其他如曰七曜历算，曰黄锺算法，曰五曹算经，纤悉备载而不遗。以见其明历者，又不可不先明乎此也。

欧阳作历志论：“边冈用算巧，能驰骋反复于乘除间。由是简捷超径等接之术兴，而经制远大衰序之法废。吁，历其可轻议哉？”

虽然，古之论期数者，在大传则曰：“凡三百六十，当期之日。”是一期之日数，止于三百有六十矣。在尧典则曰：“期三百六旬有六日”。是一期之数，又馀于大传所言者，六日矣。

至于杜预长历，又有周天之数，凡三百六十有五度四分度之一。为言则一期之度，其所行不足，又减于尧典之三分矣，则增损之数，其不同者，又何欤？

大传所言，盖自其正数而言之，尧典所言，盖本其置闰之成数言之，长历所言，盖自步占之法言之。此又论历者之不可不知也。

日蚀议曰：“使日蚀皆不可以常数求，则无以稽历数之踈密，若皆可以常数求，则无以知政教之休咎。”五星议曰：“五星留逆伏见之效，表里盈缩之行，皆系之于时，而象之于政。政有小失则小变，不然皇天何以阴骘下民，警悟人主哉！”

《玉海》

历志：唐高祖受禅，将治新历，东都道士傅仁均，善推步之学，武德元年五月，太史令庾俭丞傅奕等参议，合受命岁名为戊寅元历。乃列其大要，所可考验者有七，曰，唐以戊寅岁甲子日登极，历元戊寅，日起甲子，如汉太初，一也。冬至五十馀年辄差一度，日短星昴，合于尧典，二也。周幽王六年十月辛卯朔，日蚀，合于诗，三也。鲁僖公五年壬子冬至，合春秋命历序，四也。月有三大三小，则日食常在朔，月食常在望，五也。命辰起子半，命度起虚六，符阴阳之始，六也。立迟疾定朔，则月行晦不东见，朔不西朓，七也。〈-元年九月癸亥，奏历成。-〉高祖诏司历起二年用之。〈-旧纪元年十月癸巳行仁均所造戊寅历。-〉擢仁均为散骑侍郎。

三年正月望，二月八月朔，当食，比不效。六年，诏吏部郎中祖孝孙考其得失。孝孙使算历博士王孝通，以甲辰历法诘之曰：“‘日短星昴，以正仲冬，七星毕见。’举中宿言耳。举中宿，则馀星可知。仁均专守昴中，执文害意，不亦谬乎？又月令，‘仲冬昏东壁中。’若尧时，差至东壁，则尧前七千馀载，日应在东井。井极北，去人最近，故暑，斗极南，去人最远，故寒。寒暑易位，必不然也。又平朔定朔，旧有二家。三大三小，为定朔望，一大一小，为平朔望。日月行有迟速，相及谓之合会。晦朔无定，由时消息。若定大小皆在朔，合会虽定，而蔀元纪首三端并失。若上合履端之始，下得归馀于终，合会有时，则甲辰元历为通术矣。”

仁均对曰：“宋祖冲之立岁差，隋张胄元等因而修之。虽差数不同，各明其意。孝通未晓，乃执南斗为冬至常星。夫日躔宿度，如邮传之遇过，宿度既差，黄道随而变矣。书云：‘季秋月朔，辰不集于房。’孔氏云：‘集，合也。不合则日食可知。’又云：‘先时者杀无赦，不及时者杀无赦。’既有先后之差，是知定朔矣。诗云：‘十月之交，朔日辛卯。’又春秋传曰：‘不书朔，官失之也。’自后历差，莫能详正。故秦汉以来，多非朔蚀。宋御史中丞何承天，微欲见意，不能详究，乃为皮延宗所抑。孝通之语，乃延宗旧说。治历之本，必推上元，日月如合璧，五星如连珠。夜半甲子朔旦冬至。自此七曜散行，不复馀分普尽，摠会如初。惟朔分气分，有可尽之理，因其可尽，即有三端。此乃纪其日数之元尔。或以为即夜半甲子朔冬至者，非也。冬至自有常数，朔名由于月起，月行迟速匪常，三端安得即合。故必须日月相合，与至同日者，乃为合朔冬至耳。”孝孙然之，但略去尤踈阔者。

九年，〈-丙戌岁。旧志，九年五月二日。-〉复诏大理卿崔善，为与孝通等校定，善为所改凡数十条。〈-三十馀条。-〉

贞观初，〈-元年。-〉直太史李淳风，上疏论十有八事，复诏崔善为课二家得失，其七条改从淳风。十四年，太宗将亲祀南郊，以十一月癸亥朔甲子冬至。而淳风新术，以甲子合朔冬至。乃上言：“古历分日，起于子半，十日月当甲子合朔冬至。”故太史令傅仁均，以减馀稍多，子初为朔，遂差三刻，用乖天正，请考定。司历南宫子明，太史令薛颐言：“淳风之法，较春秋以来晷度薄蚀，事皆符合。”国子祭酒孔颖达与尚书八座议，请从淳风。〈-孔颖达传：以太子右庶子兼司业，与诸儒议历，及明堂事，多从其说。十八年，诏用仁均平朔，讫麟德元年。-〉仁均历法祖述张胄元，以刘孝孙旧议参之，其大最踈于淳风。然更相出入，其有所中，淳风亦不能逾之。志云：“今所记者，善为所较也。”

上元戊寅至武德九年丙戌，积十六万四千三百四十八算。〈-日度议曰：“戊寅历循孝孙之论，不知孝孙已变从皇极，故为淳风所驳。岁差术，不行。”-〉高宗时，〈-麟德元年甲子。-〉戊寅历推步既益踈，淳风作甲子元历以献。〈-增损刘焯皇极历。-〉诏太史起，麟德二年〈-旃蒙赤奋若之岁。-〉五月辛卯颁用。〈-会要载：“诏曰：‘朕仰稽七曜，旁摠五家。古所未通，今即备载。而改之初，考此历岁，推甲子，合于天正，合朔之夜，应以嘉祥，五纬若连珠，二曜如合璧。如此授农，升平可致。昔洛下闳汉历，云后八百岁，当有圣人受之。自火德曁我，年将八百，事合当仁，可名麟德历。’”-〉

古历有章蔀，有元纪，有日分度分，参差不齐，淳风为摠法千三百四十以一之。损益中晷术以考日至，为木浑图以测黄道，馀因刘焯皇极历法，增损所宜。当时以为密，与太史令瞿昙罗所上经纬历参行。〈-会要：经纬历法九卷。-〉载初改元，用周正。神功二年，改元圣历，命瞿昙罗作光宅历，三年，罢，复行夏时，终开元十六年。〈-武后有光宅历，后又有神农历，止因麟德历法。李峤为序。-〉

麟德历：麟德元年甲子，距上元积二十六万九千八百八十算。〈-大衍中气议曰：“传据周历，纬据殷历。戊寅历日气专合于纬，麟德专合于传。偏取之，故两失，及开元十二年，朔差五日，气差八日。”-〉中宗反正，太史丞南宫说，以麟德历上元，五星有入气加减，非合璧连珠之正，以神农元年岁次乙巳，故治乙巳元历，推而上之，积四十一万四千三百六十算，得十一月甲子朔夜半冬至，七曜起牵牛之初。其术有黄道而无赤道，推五星先步定合，加伏日以求定见。他与淳风术同。所异者，惟平合加减差。既成，而睿宗即位，罢之。

旧志：中宗时南宫说，造景龙历。艺文志：南宫说，光宅历草十卷。瞿昙谦，大唐甲子元辰历一卷。旧纪：麟德二年五月辛卯，秘阁郞中李淳风造历，成，名麟德历颁之。

历志：九执历者，出于西域。开元六年，诏太史监瞿昙悉达译之。以开元二年二月朔为历首，有朔虚分百二十六，周天三百六十度，无馀分，日去没分九百分度之十三。二月为时，六时为岁，三十度为相，十二相而周天。望前曰白博义，望后曰黑博义。其算皆以字书，不用筹策。其术烦碎，或幸而中，不可以为法。名数诡异，初莫之辨也。陈元景等持以惑当时，谓一行写其术未尽，妄矣。先是，每年大衍与麟德九执同进，以用术不同也。

显德三年八月戊辰，王朴上奏曰：“天道之动，当以数知之。圣人受命，必治历数。包万象以为法，齐七政以立元，测圭箭以候气，审朓朒以定朔，明九道以步月，校迟速以推星，考黄道之斜正，辨天势之升降。赤道者，天之纮带也。其势圜而平，纪宿度之常数焉。黄道者，日轨也。其半在赤道内，半在赤道外，去极二十四度。当与赤道近，则其势斜，当与赤道远，则其势直。当斜则日行宜迟，当直则日行宜速。故二分前后加其度，二至前后减其度。九道者，月轨也。其半在黄道内，半在黄道外，远极六度。出黄道，谓之正交，入黄道，谓之中交。若正交在秋分之宿，中交在春分之宿，则比黄道益斜。若正交在春分之宿，中交在秋分之宿，则比黄道反直。若正交中交在二至之宿，则其势差斜。故校去二至二分远近，以考斜正，乃得加减之数。谨以步日步月岁星步发敛为四篇，合为历经一卷，〈-旧史，亡其步发敛一篇，在者三篇，刘羲叟求得其本经，然后大备。-〉历十一卷，草三卷，〈-崇文目，十五卷。-〉显德三年七政细行历一卷，以为钦天历。〈-世宗亲制序。-〉”诏来岁行之。

按调元，起唐天宝十四载乙未为上元，用正月雨水为气首。盖仿曹士𫇭小历之旧失之矣。〈-唐建中时，曹士𫇭始变古法，以显庆五年为上元，雨水为岁首，世谓之小历。唐志：“曹士𫇭七曜符天历一卷。建中时人。”-〉钦天于朔分之下，立小分谓之秒。说者谓：“前代诸历，朔馀未有秒者。若可用秒，何待求日法，以齐朔分也。”刘羲叟谓：“朴能自为一家，朔望正，二曜协，交会密，晷漏实，五纬齐。然不能宏深简易，而径急是取。至其所长，圣人不能废也。”

朴传：“显德二年，诏朴校定大历。乃削去近世符天流俗不经之学，设通经统三法，以岁轨离交朔望周变率策之数，步日月五星，为钦天历。”

皇祐四年十一月三日甲辰，诏司天监天文院，以唐八历及皇朝应天乾元仪天崇天四历，算太阴蚀分及时辰分野以闻。仍命知制诰王洙修唐书官刘羲叟参定，以司天监言此月十五日太阴当食也。五年三月戊午，洙言：“据司天李用晦等称，推月蚀，惟大衍景福稍近。臣按一行历议曰：‘假令理历者，因开元二食曲变交限以就之，则所协甚少，所失甚多。’今亦不敢指定大衍景福为密。盖日月动物，岂不少有盈缩？亦变常不定。历家必无全密。古来治历名贤，如太史公刘歆张衡杜预刘焯淳风一行等，尚不能穷究，况浅学乎！”

羲叟言：“古圣人历象之意，止于敬授人时。虽考交会，不必吻合辰刻，故有修德救蚀之礼。设谓必可尽，则先儒不容自为踈阔。又大衍等七历所差不多，法数大同而小异，亦是乘除积累，渐失毫厘。且辰刻更筹，惟据刻漏，或微有迟疾，未必独是历差。按隋历志，日月蚀既有起讫，早晚亦或变常。又一行于开元中治历，以大衍及李淳风麟德刘绰皇极三历校日食三十七事，大衍课第一，所中才二十三，麟德得五，皇极得十。如一行，尚未能尽，如淳风辈，益以踈远。况崇天历颁用逾三十年，不可偶缘天变，轻议改移，诘其本原，亦出于大衍。其景福行于唐季，非治世法，不可循用。”诏仍用崇天历法。〈-李之才传云：“刘羲叟从之才，受历法。”周琮曰：“世知历者鲜，独孙思恭为妙。”而思恭又推刘羲叟为知历。李寿曰：“羲叟历学，本朝第一，臣修臣光，皆遵承之。”-〉

后秦姚兴时，当孝武太元九年，岁在甲申，天水姜岌，造三纪甲子元历，其略曰：“以七家之历，考古今交会，信无其验，皆由斗分踈所致。”考春秋，凡三十三蚀。岌以月蚀检日宿度所在，为历术者宗焉。又著浑天论，以步日于黄道，驳前儒之失。

元嘉二十一年〈-阏逢涒滩。-〉十二月，太子率更令何承天，上元嘉新历。以月蚀之冲知日所在。又以中星，知尧时冬至日在须女十度，今在斗十七度。又测景校二至，差三日有馀，知今南至日应在斗十三四度。于是更立新法，冬至徙上三日五时，日之所在，移旧四度。又月有迟疾，前历合朔，月食不在朔望，今皆以盈缩定小馀，正朔望之日。诏付外详之。太史令钱乐之等奏，皆如承天所上，唯月有频三大二小，比旧法殊异，谓宜仍旧。诏可。〈-宋志，二十年上表。-〉

二十二年〈-旃蒙作噩。-〉春正月辛卯朔，始行新历。〈-隋志，又有何承天历术一卷，梁有验日食法三卷，元嘉二十六年度日景数一卷，亡。记月令正义，案三统元嘉历。隋志，承天本意，欲立合朔之术，遭皮延宗餙非，致难事，不得行。-〉承天所制，比古十一家为密。

大明六年，祖冲之言：“元嘉历踈舛，更造新历，上元日度，自虚，岁在甲子。”交会迟疾，以上元岁首为始。孝武令，善历者难之，不能屈。不果施行。〈-齐高帝建元元年五月丙午，改元嘉历，为建元历。隋志：承天历讫齐末，相仍用之。-〉

梁初因齐用元嘉历。天监三年，诏定历。员外散骑侍郞祖暅〈-常。-〉奏曰：“臣先在晋已来，世居此职。仰寻黄帝至今十二代，历元不同，周天斗分，踈密亦异。宋大明中，臣先人考古法，以为正历，事皆符验。”八年，又上䟽论之，诏太史，候新旧二历气朔交会及七曜行度，起八年十一月，讫九年七月，新历密，旧历踈。至十年正月，用祖冲之所造甲子元历颁朔。大同十年，制诏更造新历，以甲子为元，六百一十九为章岁，一千五百三十六为日法，一百八十三年冬至差一度，月朔以迟疾定其小馀，有三大二小。未用而寝。陈氏因梁，亦用冲之历，无所创改。〈-张胄元学冲之，兼传其师法。唐中气议较前代史官注记，惟元嘉十三年十一月甲戌景长，盖日度变常耳。-〉

《梦溪笔谈》

唐书云：“洛下闳造历，自言后八百年当差一算，至唐一行出而正之。”此妄说也。洛下闳历法极踈。盖当时以为密耳，其间阙略甚多，且举二事言之。汉世尚未知黄道岁差，至北齐向子信，方候知岁差。今以今古历校之，凡八十馀年差一度，则闳之历八十年自已差一度，兼馀分踈阔，据其法推气朔五星，当时便不可用，不待八十年。乃曰八百年差一算，太欺诞也。

历法，天有黄赤二道，月有九道。此皆强名而已，非实有也。亦由天之有三百六十五度，天何尝有度？以日行三百六十五日而一期，强谓之度，以步日月五星行次而已。日之所由，谓之黄道，南北极之中，度最均处，谓之赤道。月行黄道之南，谓之朱道，行黄道之北，谓之黑道，黄道之东，谓之青道，黄道之西，谓之白道。黄道内外各四，幷黄道为九。日月之行，有迟有速，难可以一术御也。故因其合散，分为数段，每段以一色名之，欲以别算位而已。如算法用赤筹黑筹，以别正负之数。历家不知其意，遂以为实有九道，甚可嗤也。

《性理大全》

元城刘氏与马永卿论历法曰：“古今历法各不同，其闰法亦从而异。秦用颛帝之历，水德王天下，以十月为岁首。故遇闰年，即闰九月而谓之后九月，盖取左氏归馀于终之意。至于汉初，因而不改。”永卿曰：“书云：‘以闰月定四时成岁，谓之定四时。’则是四时之间，有闰也。”曰：“非也。盖谓无闰月，则以春为夏，以夏为秋矣。故曰定四时，非谓四时之间有闰月也。”

朱子曰：“今之造历者无定法，只是赶趁天之行度以求合。或过则损，不及则益，所以多差。因言，古之锺律细算，寸分毫厘丝忽，皆有定法，如合符契，皆自然而然，莫知所起。古之圣人，其思之如是之巧，然皆非私意撰为之也。意古之历书，亦必有一定之法，而今亡矣。三代而下，造历者纷纷莫有定议，愈精愈密而愈多差，由不得古人一定之法也。蔡季通尝言：‘天之运无常。日月星辰积气，皆动物也。其行度疾速，或过不及，自是不齐。使我之法能运乎天，而不为天之所运，则其踈密迟速，或过不及之间，不出乎我。此虚宽之大数纵有差忒，皆可推而不失矣。何者？以我法之有定而律彼之无定，自无差也。’季通言非是。天运无定，乃其行度如此，其行之差处，亦是常度。但后之造历者，其为数窄狭，而不足以包之耳。”

问：“历所以数差，古今岂无人考得精者？”曰：“便是无人考得棈细而不易，所以数差。若考得精密，有个定数，永不会差。伊川说：‘康节历不会差。’”或问：“康节何以不造历？”曰：“他安肯为此？古人历法踈阔而差少，今历愈密而愈差。”因以两手量卓边云：“且如这许多阔，分作四段，被他界限阔，便有差，不过只在一段界限之内。纵使极差，出第二三段，亦只在此四界之内，所以容易推测，便有差，容易见。今之历法于这四界内分作八界，又分作十六界，界限愈密，则差数愈远，何故？以界限密愈而逾越多也。其差则一，而古今历法踈密不同故尔。看来都只是不曾推得定，只是移来凑合天之运行，所以当年合得不差，明后年便差。元不曾推得天运定，只是旋将历去合那天之行，不及则添些，过则减些，以合之，所以一二年又差。如唐一行大衍历，当时最谓精密，只一二年后便差。只有季通说得好，‘当初造历，便合幷天运所蹉之度，都算在里。几年后蹉几分，几年后蹉几度。将这蹉数都算做正数，直推到尽头。如此庶几历可以正而不差。今人都不曾得个大统正，只管说天之运行有差，造历以求合乎天，而历愈差。元不知天如何会有差，自是天之运行合当如此。’此说极是。不知当初因甚不曾算在里。但尧舜以来历，至汉都丧失了，不可考缘。如今是这大总纪不正，所以都无是处。蔡季通算得康节历。康节历十二万九千六百分，大故密。今历家所用只是万分历，万分历已自是多了。他如何肯用十二万分？只是今之历家，又说季通底用不得，不知如何？”又曰：“一行大衍历比以前历，他只是做得个头势大，敷衍得阔，其实差数只一般。正如百贯钱修一料药，与十文修一料药，其不能治病一也。”

问：“历法何以推月之大小？”曰：“只是以每月二十九日半，九百四十分日之二十九计之，观其合朔为如何。如前月大，则后月初二日月生明：前月小，则后月初三日月生明。”

象山陆氏曰：“历家所谓朔虚气盈者，盖以三十日为准。朔虚者，自前合朔至后合朔，不满三十日，其不满之分曰朔虚。气盈者，一节一气共三十日，有馀分而为中分，中即气也。”

潜室陈氏曰：“左传正义曰：‘周天三百六十度四分度之一。日一日行一度，月一日行十三度十九分度之七，计二十七日有馀。月已行天一周，至二十九日过半。〈-即月法二十九日四百九十九分也。-〉又逐及日而与之会，是为一月十二月而成岁。一岁气周有三百六十五日四分日之一，今十二月惟三百五十四日，是少十一日四分日之一，未得气周。细而言之，一岁正少十一日少弱，所以然者，一月有馀分二十九，〈-日法九百四十分，四百七十分为半日。今有四百九十九分，是馀二十九分。-〉合十二月馀分三百四十八。是一岁既得三百五十四日，又馀分三百四十八。一日九百四十分，其二百三十五分为四分日之一。今于馀分三百四十八内取二百三十五，以当四分日之一，仍有一百一十三。其馀整日惟有十一日，又以馀分一百一十三减之。是一年正馀十日八百二十七分，不成十一日。〈-故谓十一日少弱。-〉一年少十日八百二十七分，积十九年少二百六日六百七十三分少弱，足以当之。

古历十九年为一章。章有七闰。入章，三年闰九月，六年闰六月，九年闰三月，十一年闰十一月，十四年闰八月，十七年闰四月，十九年闰十二月。此据元首初章，若于后渐积馀分，大率三十二月则置闰，不必同初章。日月运转于天，如人之行步，故推历谓之步历。步历之始谓之上元，必以日月全数为始，于前更无馀分，以此日为端首，〈-即十一月甲子夜半朔旦冬至也。-〉故言履端用始也。分一周之日为十二月，则每月当三十日，馀以日月会为一月，则每月惟二十九日，馀每月参差气渐不正，但观中气所在，以为此月之正，取中气以为正月。

闰前之月中气在晦，闰后之月中气在朔。无中气则谓之闰月，故言举正于中也。月朔之与月节，每月剩一日有馀，以所有馀日归之于终，积成一月，则置闰，故言归馀于终也。’”

问：“汉武帝命唐都洛下闳，推算星历，以为合于夏正，改用太初历。按，自黄帝以前，调历有上元太初等历。今以合夏正而用太初历，然则夏亦用太初历乎，否也？”曰：“历家推上元太初，谓四千六百十七岁。已尽都无丝发馀，重新起历，是时定十一月甲子朔旦夜半冬至，日月如合璧，五星如连珠。乃新历之第一日，故谓之历元。汉元封七年，适当其时，故改秦历，用汉历，改秦正，用夏正，非谓夏亦然也？”

《元朝名臣事略》

名臣事略郭守敬传：至元十三年，立局改治新历。先时，太保刘公以大明历自辽金承用二百馀年，浸以后天，议欲修正而薨。至是，江左既平，上思用其言，遂以公与赞善王公，率南北日官，分掌测验推步于下，而忠宣枢密二张公为之主领，裁奏于上，复共荐前中书左丞许公，能推明历理，俾参预之。

公首言：“历之本在于测验，而测验之器莫先仪表。今司天浑仪，宋皇祐中汴京所造，不与此处天度相符，比量南北二极，约差四度，表石年深，亦复欹侧。”公乃尽考其失，而移置之。既又别图爽垲，以木为重棚，创作简仪高表，用相比覆。又以为天枢附极而动。昔人尝展管望之，未得其的，作候极仪。极辰既位，天体斯正，作浑天象，象虽形似，莫适所用，作玲珑仪。以表之矩方，测天之正圆，莫若以圆求圆，作仰仪。古有经纬，结而不动。公则易之，作立运仪。日有中道，月有九行，公则一之，作证理仪。表高景虚，罔象非真，作景符。月虽有明，察景则难，作窥几。历法之验，在于交会，作日食月食仪。天有赤道，轮以当之。两极低昂，标以指之，作星晷定时仪。以上凡十三等。又作正方案丸表悬正仪座正仪，凡四等，为四方行测者所用。又作仰规覆矩图异方浑盖图日出入永短图，凡五等，与上诸仪互相参考。

十六年，改局为太史院，以赞善公为太史令，公为同知太史院事，给印章，立官府。是年，奏进仪表式样。公乃对御指陈理致，一一周悉，自朝至于日晏，上不为倦。公因奏：“唐一行开元间令南宫说天下测景，书中见者凡十三处。今疆宇比唐尤大，若不远方测验，日月交食分数时刻不同，昼夜长短不同，日月星辰去天高下不同，即目测验人少，可先南北立表，取直测景。”上可其奏，遂设监候官一十四员，分道相继而出。先测得。

南海，北极出地一十五度。夏至景在表南，长一尺一寸六分。昼五十四刻，夜四十六刻。

衡岳，北极出地二十五度。夏至日在表端无景。昼五十六刻，夜四十四刻。

岳台，北极出地三十五度。夏至晷景长一尺四寸八分。昼六十刻，夜四十刻。

和林，北极出地四十五度。夏至晷景长三尺二寸四分。昼六十四刻，夜三十六刻。

铁勒，北极出地五十五度。夏至晷景长五尺一分。昼七十刻，夜三十刻。

北海，北极出地六十五度。夏至晷景长六尺七寸八分。昼八十二刻，夜一十八刻。

大都，北极出地四十度太强。夏至晷景长一丈二尺三寸六分。昼六十二刻，夜三十八刻。

上都，北极出地四十三度少。

北京，北极出地四十二度强。

益都，北极出地三十七度少。

登州，北极出地三十八度少。

高丽，北极出地三十八度少。

西京，北极出地四十度少。

太原，北极出地三十八度少。

安西府，北极出地三十四度半强。

兴元，北极出地三十三度半强。

成都，北极出地三十一度半强。

西凉州，北极出地四十度强。

东平，北极出地三十五度太。

大名，北极出地三十六度。

南京，北极出地三十四度太强。

河南府阳城，北极出地三十四度太弱。

杨州，北极出地三十三度。

鄂州，北极出地三十一度半。

吉州，北极出地二十六度半。

雷州，北极出地二十度太。

琼州，北极出地十九度太。

十七年，新历告成，公与太史诸公同上奏曰：“臣等窃闻，帝王之事，莫重于历。自黄帝迎日推策，帝尧以闰月定四时成岁，舜在璇玑玉衡以齐七政。爰及三代，历无定法。周秦之间，闰馀乖次。西汉造三统历，百三十年而后是非始定。东汉造四分历，七十馀年而仪式方备。又百二十一年，刘洪造乾象历，始悟月行有迟疾。又百八十年，姜岌造三纪甲子历，始悟以月食冲检日宿度所在。又五十七年，何承天造元嘉历，始悟以朔望及弦皆定大小馀。又六十五年，祖冲之造大明历，始悟太阳有岁差之数，极星去不动处一度馀。又五十二年，张子信始悟日月交道有表里，五星有迟疾留逆。又三十三年，刘焯造皇极历，始悟日行有盈缩。又三十五年，傅仁均造戊寅元历，颇采旧仪，始用定朔。又四十六年，李淳风造麟德历，以古历章蔀元首分度不齐，始为摠法，用进朔，以避晦晨月见。又六十三年，僧一行造大衍历，始以朔有四大三小，定九服交食之异。又九十四年，徐昂造宣明历，始悟日食有气刻时三差。又二百三十六年，姚舜辅造纪元历，始悟食甚泛馀差数。以上计千一百八十二年，历经七十改，其创法者十有三家。

自是又百七十四年，钦惟圣朝统一六合，肇造区夏，专命臣等改治新历。臣等用创造简仪高表，凭其测到实数，所考正者凡七事。

一曰冬至。自丙子年立冬后，依每日测到晷景，逐日取对，冬至前后日差同者为准。得丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻半，又定丁丑夏至得在庚子日夜半后七十刻，又定戊寅冬至在癸卯日夜半后三十三刻，己卯冬至在戊申日夜半后五十七刻半，庚辰冬至在癸丑日夜半后八十一刻半，各减大明历十八刻，远近相符，前后应准。

二曰岁馀。自刘宋大明历以来，凡测景验气，得冬至时刻真数者有六，用以相距，各得其时，合用岁馀。今考验四年，相符不差。仍自宋大明壬寅年距至今日八百一十年，每岁合得三百六十五日二十四刻二十五分，其二十五分为今历岁馀合用之数。

三曰日躔。用至元丁丑四月癸酉望月食既，推求日躔，得冬至日躔赤道箕宿十度黄道箕九度有奇。仍凭每日测到太阳躔度，或凭星测月，或凭月测日，或径凭星度测日。立术推算，起自丁丑正月至己卯十二月，凡三年，共得一百三十四事，皆躔于箕，与月食相符。

四曰月离。自丁丑以来至今，凭每日测到逐时太阴行度推算，变从黄道求入转极迟极疾幷平行处，前后凡十三转，计五十一事。内除去不真的外，有三十事，得大明历入转后天。又因考验交食，加大明历三十刻，与天道合。

五曰入交。自丁丑五月以来，凭每日测到太阴去极度数，比拟黄道去极度，得月道交于黄道，共得八事。仍依日食法度推求，皆有食分，得入交时刻，与大明历所差不多。

六曰二十八宿距度。自汉太初历以来，距度不同，互有损益。大明历则于度下馀分，附以太半少，皆私意牵就，未尝实测其数。今新仪皆细刻周天度分，每度为三十六分，以距线代管窥。宿度馀分并依实测，不以私意牵就。

七曰日出入昼夜刻。大明历日出入昼夜刻，皆据汴京为准，其刻数与大都不同。今更以本方北极出地高下，黄道出入内外度，立术推求每日日出入昼夜刻，得夏至极长，日出寅正二刻，日入戌初二刻，昼六十二刻，夜三十八刻，冬至极短，日出辰初二刻，日入申正二刻，昼三十八刻，夜六十二刻，永为定式。

所创法者凡五事。一曰太阳盈缩。用四正定气立为升降限，依立招差求得每日行分初末极差积度，比古为密。二曰月行迟疾。古历皆用二十八限，今以万分日之八百二十分为一限，凡析为三百三十六限，依垛叠招差求得转分进退，其迟疾度数逐时不同，盖前所未有。三曰黄赤道差。旧法以一百一度相减相乘，今依算术勾股弧矢方圆斜直所容，求到度率积差，差率与天道实为吻合。四曰黄赤道内外度。据累年实测，内外极度二十三度九十分，以圆容方直矢接勾股为法，求每日去极，与所测相符。五曰白道交周。旧法黄道变推白道以斜求斜，今用立运比量，得月与赤道正交，距春秋二正黄赤道正交一十四度六十六分，拟以为法，推逐月每交二十八宿度分，于理为尽。”

十九年，太史王公卒。时历虽颁，然其推步之式，与夫立成之数，尚皆未有定稿。公于是比次篇类，整齐分秒，裁为推步七卷，立成二卷，历议拟稿三卷，转神选择二卷，上中下三历注式十二卷。

二十三年，继为太史令，遂上表奏进。又有时候笺注二卷，修改源流一卷。其测验书，有仪象法式二卷，二至晷景考二十卷，五星细行考五十卷，古今交食考一卷，新测二十八舍杂座诸星入宿去极一卷，新测无名诸星一卷，月离考一卷，并藏之官。