卷十 测圆海镜
卷十一
卷十二 

○杂糅一十八问

或问:城南有槐树一株,城东有柳树一株。甲出北门东行,丙出西门南行。甲、丙、槐、柳悉与城参相直,既而丙就柳行五百四十四步至柳树下,甲就槐行四百二十五步至槐树下。问答同前。

法曰:甲就步自之于上,以二行相减数自之减上位为实。二之二行相减数并入二之甲就步为从,一步常法。得平弦■。

草曰:别得丙就步为边弦也,甲就步为底弦也。边弦即皇弦、高弦共也,底弦即皇弦、平弦共也。二行相并即大弦、皇弦共也,二行相减即皇极勾股较也。倍皇弦以减于大弦,馀即虚弦也。倍皇弦内减边弦,馀即A1弦也。倍皇弦内减底弦,馀即明弦也。皇极弦加一差则大差弦也,内减一差则小差弦也。立天元一为平弦,加一皇极勾股差得■即高弦也。高弦自之得■,内加天元幂得■为皇弦幂(寄左)。然后以天元减底弦得下式■,自之得■为同数,与左相消,得■。开平方得一百三十六步,即平弦也。馀各依法求之,合问。

或问:出南门东行有槐树一株。甲出北门东行,斜望槐树与城相直,就槐树行二百七十二步。出东门南行有柳树一株。丙出西门南行,斜望柳树与城相直,就柳树行五百一十步。问答同前。

法曰:云数相并而半之,以自乘于上。半丙斜行以为幂,半甲斜行以为幂,并二幂减上位为实。并云数为益从。一步平隅。得虚弦■。

草曰:别得丙斜行为黄广弦也,亦为两个高弦也,此勾则城径也。甲斜行即黄长弦也,亦为两个平弦也,此股则城径也。二数相并,得■即大弦、虚弦共也;二数相减,馀■即两个皇极差也。二数相并而半之,得■即皇极和也。立天元一为虚弦。以减于皇极和,得■即皇极弦也。以自之,得■为皇弦幂(寄左)。然后以高弦自之得■,以平弦自之得■,二自乘数相并得■,与左相消,得■。开平方得一百二,即虚弦也。合问。

或问:甲从坤隅南行,不知步数而立。乙从艮隅南行一百五十步,望见甲,复斜行五百一十步,与甲相会。问答同前。

法曰:斜行自之于上。倍南行减斜,馀自之,以减上为实。倍南行减斜,又四之为从。八步常法。开平方,得半径。

草曰:别得南行即小差股,斜行即黄广弦也。小差股内减半径,馀即半个黄广积上股弦差也。全径即其勾也。立天元一为半城径。减于乙南行,倍之得■即一个黄广积上股弦差也,以减于斜行步,馀■即股也。自之得■为股幂也。又倍天元,以自之为大勾幂,加入大股幂,得下■(寄左)。然后以斜行幂■与寄左相消,得下式■。开平方得一百二十步,即半径也。合问。

或问:乙从艮隅东行,不知远近而止。甲从坤隅东行一百九十二步,望见乙,复斜行二百七十二步,与乙相会。问答同前。

法曰:倍东行减斜行,得数自为幂,以减于斜行幂为平实。倍东行减斜行,又四之为从。八益隅。翻法开平方,得半径。

草曰:别得甲东行即大差勾也,斜行则黄长弦也。大差勾内减半径,馀即半个黄长积上勾弦差也,全径即其股也。立天元一为半城径,减甲东行,倍之得■即一个黄长积上勾弦差也,以减于斜行步,得■即黄长勾也,以自之得■为勾幂于上。倍天元以自之,加上位得下式■为弦幂(寄左)。然后以斜行幂■为同数,与左相消得■。平开得一百二十步,即半城径也。合问。

或问:甲从坤东行一百九十二步,丙从艮南行一百五十步,望见之。问答同前。法曰:二行相乘,倍之为平实,如法得圆径。

草曰:别得甲行即大差勾,丙行即小差股。此二数相乘恰与大小差相乘正同。如法相乘讫,倍之得■为圆径幂(寄左)。然后立天元为圆径,以自之,与左相消,得■。开平方得二百四十步,即城径也。合问。

又法:以二行相减数减于二行相并数,馀者半之于上。复以二行相减数加于上,即城径。

草曰:别得甲东行减于径为虚勾也,丙南行减于径为虚股也。二行共为一径一虚弦共也,二行相减即虚和也。以相并数、相减数又相减即两个虚弦也。如法求得虚和■,虚弦■,相并得■即城径也。合问。

或问:出西门南行二百二十五步有塔,出北门东行六十四步,望塔正当城径之半。问答同前。法曰:二行相乘为平实,一步常法。得半径。

草曰:别得二百二十五步为高股,此乃半径为勾之股也。其六十四步为平勾,此乃半径为股之勾也。二数相并即皇极弦也,二数相减即中差内去皇极差也。又别得二行相乘恰是半径幂一段,此与半梯头相乘其意正同。今且以弦上容圆取之。立天元一为半径,副之。上加南行得■为股也,下加东行步得■为勾也。勾股相乘,得■为大直积。以天元半径除之,得■为勾股和(寄左)。然后并勾股得■,与左相消,得■。开平方得一百二十步,即半径也。合问。

或问:丙从干隅南行,丁从艮隅亦南行,甲从干隅东行,乙从坤隅亦东行。各不知步数,四人悉与城相直。只云丙行内减丁行,馀四百五十步;甲行内减乙行,馀一百二十八步。问答同前。

法曰:二行相乘为实,一步常法。得城径。

草曰:别得丙行即大股,丁行即小差之股也。甲行即大勾,乙行即大差之勾也。其■即黄广股,其■即黄长之勾也。立天元一为城径。先置黄广股■为股方差,以■为勾方差。以乘之得■为城径幂(寄左)。然后以天元幂与左相消,得下式■。开平方得二百四十步。合问。

或问:出南门东行有槐树一株,出东门南行有柳树一株。丙丁二人同立于坤隅,甲乙二人同立于艮隅。丁直东行至槐而止,乙直南行至柳而止。丙直南行,甲直东行,四人遥相望见。只云丙行多于丁行一百六十八步,乙行多于甲行七十步。问答同前。

法曰:云数相乘为实,二数相减又半之为法。得城径。

草曰:别得■即大差勾股较也,其■即小差上勾股较也。二数相并为大差弦内减小差弦也,二数相较又半之,为皇极弦与城径差也,二数相并而半之即皇极差也。立天元一为圆径。二云数相减又半之,加天元得■为极弦也。并二数而半之,得■为极差也。副置极弦,上位加极差得■为弦较和也,下位内减极差得■为弦较较也。上、下相乘,得■为二直积(寄左)。然后以天元一乘极弦,得下式■为同数,与左相消得■。上法下实,如法而一,得二百四十步,即城径也。合问。

或问:甲从坤东行,丙从艮南行,适相见,斜行一百二步,甲丙相会。丙云:“我南行不及汝四十二步。”问答同前。

法曰:二数相并,以斜行乘于上。二数相并而半之,以乘相并数,减上位为平实。并二数又倍之于上,并二数又加斜行以减上位为从。一步常法。得虚勾。

草曰:别得一百二步即虚弦,四十二步即虚较也。又斜行得虚股为甲东行,此便为大差勾也。斜行步得虚勾为丙南行,此便是小差股也。立天元一为虚勾。加斜行步得■为小差股也,以不及步加于小差股得下式■为大差勾也。勾股相乘,得■为半段黄方幂(寄左)。然后再置虚勾加不及步,得■为虚股,又加入天元得 ■为虚和,又加入虚弦得■为圆径,以自之得■,又半之与寄左相消,得■。平方开得四十八步,即虚勾也。合问。

或问:甲从城心东行,丙从城心南行,庚从巽隅西行,壬从巽隅北行。四人遥相望见,各不知步数。只云甲丙共行了三百九十一,庚壬共行了一百三十八。问答同前。

法曰:云数相乘为实,相并为法。得虚弦■。

草曰:别得甲丙共为皇极和也,又为极弦、极黄共。庚壬共为太虚和也,又为虚弦、虚黄共。立天元一为皇极黄方面(亦为虚弦也)。减于甲丙共,得■即极弦也。又以天元减于庚壬共,得■即太虚黄方面也。以太虚黄方面乘极弦得■(寄左)。然后以天元幂与左相消,得■。上法下实,如法得一百二即皇极黄方面也。合问。

或问:甲从干隅东行,不知步数而止。丙向南行亦不知步数,望见甲,就甲斜行七百八十步,与甲相会。甲云:“我行地虽少于汝,以我东行步为法,除汝南行步,则汝止得二步四分。”问答同前。

法曰:斜步自之为平实,除步自之,又加一步为隅。得甲东行■。

草曰:此问所求城径与诸问并同,其勾股则与前后诸率不同。今特为此草者,欲使后学有以考较诸率当否也。立天元一为甲东行(即大勾),以乘二步四分,得■为长,以自之得■为股幂。又并入天元幂得■为弦幂(寄左)。乃以斜行自之得■为同数,与左相消得■。开平方得三百步,即甲东行也。以二步四分乘之得七百二十步,即丙南行也。倍丙南行以甲东行乘之,得四十三万二千为实,以三事和一千八百为法除之,得二百四十步,即城径也。合问。

或问:小差黄方面少于大差黄方面八十四步,太虚黄方面少于皇极黄方面六十六步。问答同前。

法曰:半八十四为中差。以中差减六十六为二小差,又中小差相并为大差。乃以小差乘大差为平实。半步常法。得虚黄三十六。

草曰:别得八十四为两个虚积中差,其六十六为虚积大小差并。半八十四得■为虚中差也,以中差减六十六,馀二十四,半之得■即虚小差也。以小差反减六十六,馀■即虚大差也。又别得小差黄方为两A1股,大差黄方为两明勾也。立天元一为虚黄方。置三位,上加小差得■为虚勾也,中加大差得下■为虚股也,下加大小差并得■为虚弦也。三位并之得■即城径也。倍虚勾减城径得■为大差黄方面也,又倍虚股减城径得■为小差黄方面也。半小差黄方面得■,以乘大差黄方面,得■为一个虚直积(寄左)。乃以虚勾、虚股相乘,得下■为同数,与左相消得■。平方开得三十六步,即虚黄方也。其馀依法求之,合问。

据此问,既别得大、小差正数,自可以求得黄方面也。诸如此类,实不须草。然今特为细草者,庶使后学知其来历也。

或问:大差弦较较减皇极弦馀四十九步,小差弦较和减太虚弦馀一百三十八步,又皇极差一百一十九步。问答同前。

法曰:并前二数为幂,内减极差幂为平实。从空,二益隅。得虚弦■。

草曰:别得大差弦较较与小差弦较和皆同为圆径也。又二数相并,得■为明弦A1弦共,又为极和内少两个虚弦也,其一百三十八即虚和也,■则旁差也。立天元一为虚弦,加入一百三十八,得■为圆径也,又加入■得■为极弦,以自之得■,又倍之,得■,内却减极差幂■,得下式■为和幂(寄左)。乃倍天元加并数,得■为极和,以自增乘,得■为同数,与左相消得■。开平方得一百二步,即虚弦也。加入一百三十八,得二百四十步为圆径。合问(前二数相并加虚弦,便是极弦)。

或问:小差不及平弦五十六步,高弦不及大差一百五步。问答同前。法曰:以前数自之为实,二数相减为法。得平勾六十四。

草曰:别得云数相并得■为平勾不及高股也,此数得极差则通差也,此数内减虚差则极差也。云数相减,馀■即城径不及极弦也。以前数减于半径,馀即平勾也,以后数加于半径即高股也。倍前数加小差则为股圆差之勾也,此与前数加平弦同。倍后数减于大差则为勾圆差之股也,此与后数减于高弦同。立天元一为平勾,加相并数得■即高股也,又加天元得■即极弦也。内减二云数差,得■为城径也,半之得■,以自之得■为半径幂(寄左)。然后以天元乘高股得■为同数,与左相消得■。上法下实,得六十四步,即平勾也。合问。

又法:云数相得为实,相减为法。得半径■。

草曰:立天元为半径,副之。上内减五十六得■为平勾,下加一百五得■为高股。上下相乘得■为半径幂(寄左)。以天元幂与左相消,得下式■。上法下实,得一百二十步,即半径也。合问。

或问:通勾、通弦共一千步,大差、小差共得四百四十步。问答同前。

法曰:以二差共减于一千,又半之,以自乘为平实。以二差共减于一千,又半之,加入二之后数为从。二步二分五厘益隅。得勾圆差■。

草曰:立天元一为小差数,加入后数得■。却以减于前数得■,折半得■为一个圆径也,以自之,得下式■(寄左)。然后以天元减后数,得■为大差,以天元乘之,又倍之得■,与左相消得■。开平方得八十步,即勾圆差也。

或问:皇极三事和六百八十步,太虚弦和较三十六步。问答同前。

法曰:二数相得为实,半之后数为益从,五分常法。平开得城径■。

草曰:别得皇极三事和即大弦也。立天元一为圆径,内减三个后数■而半之,得■为太虚大小差并也,却加入两个后数■得下■为虚和也。又以虚和减天元得下■为虚弦也。置通弦(即皇极三事和也),内加天元得下式■即通和也。乃置通和以虚弦乘之,得下式■(寄左)。再置虚和以通弦乘之,得下■为同数,与左相消得■。开平方得二百四十步,即城径也。合问。

或问:出南门行一百三十五步有树,出北门行一十五步,折而东行二百八步,望见树。问答同前。

法曰:以东行步乘南行步,得数又自乘为实。以东行步自乘乘南行步,又倍之为从。东行步自乘于上。并南北二行步,以减于东行步,馀数自之为幂,以减上,再寄位。又并南北二行步,以东行步乘而倍之,内减再寄为第一益廉。四之东行步于上,又并南北二行步减于东行步,又四之,减上位为第二益廉,四步虚隅。开三乘方,得半径。

草曰:立天元一为半径(即高勾也)。置南行加天元,得■为高弦也。置大勾■以高弦乘之,得■,复以高勾除之,得下式■为大弦也。令之自乘,得 ■(寄位)。又置二之天元,加南北行并,得■为大股。复用大勾二百八减之,得■为较也,以自乘,得■为较幂。以减寄位,得■为二直积(寄左)。再置大股■ 为直积,又倍之得■为同数,与左相消得■。翻法开三乘方,得一百二十步,即城径之半也。合问。

或问:出北门一十五步折而东行二百八步有树。出西门八步折而南行四百九十五步见之。问答同前。

法曰:先置南行步,内减一东二西并步,馀二百七十一为前泛率。次并一南二北,内减东行步,馀三百一十七为中泛率。次并东西步,以南行步乘之于上位。又以西行乘南北并,得数减上位,馀一十万二千八百四十为后泛率。乃以后泛率自乘,得一百五亿七千六百六万五千六百为三乘方实。以前中二泛相减馀四十六,以乘后泛数为从。前中二泛相乘得八万五千九百○七,加入二之后泛数,共得二十九万一千五百八十七于上位。又倍东西并,以乘南北并,得二十二万三百二十,加上位,通得五十一万一千九百七为第一廉。二之南北并,加入二之东西并,得一千四百五十二于上位。又以前中二泛相减,馀四十六,减上位,馀一千四百六为第二廉。一步常法。得半径。

草曰:立天元一为半城径,加入东行西行并得■为大勾也。又置天元加入南行北行并,得■为大股也。置西行八步以大股乘之得下式■,合以大勾除之。不除,寄为母,便以此为股尖也。置南行四百九十五步减天元得■,用分母大勾乘之,乘讫得下式■,内减了股尖,馀■为小股也(内带大勾分母)。置小股合以大勾乘了,复以大股除之为小勾。今为小股内已有大勾为母,更不须乘,只以小股■便为小勾也(内带大股为母)。小勾、小股相乘得数为一个小勾股相乘直积,内带大勾股相乘直积为分母也。乃以半城径(即天元也)除之,为一个弦较和也:■。此法本取勾外容圆,合以弦较和除二积,为勾外所容之圆。今用半天元圆径除一个积,则却得一个弦较和也,内依旧带大积分母也(寄左)。然后再置小股■,合用大积乘之,缘内已带大勾分母,今只用大股■乘之,得■为大积所乘小股于上。再置小勾,合用大积乘之,缘内已带大股分母,合只用大勾■乘之,得■为大积所乘之小勾也。以此小勾减上小股得■,即带分小较也。又二因小较得下式■为带分二较也。又以大勾股直积■乘二之天元半圆径,得■为一个带分弦较较也(弦较较乘弦较和为二直积,既以圆径除二直积为弦较和,则是圆径为弦较较也。今又为半天元圆径除一积为弦较和,故倍天元半径作一个弦较较也)。遂将此弦较较加入前二较,得■亦为一个弦较和也。与寄左相消得下式■。开三乘方得一百二十步,即半城径也。合问。

又法:此问系是洞渊测圆门第一十龋粒保前答亦依洞渊细草,用勾外容圆术,以如于弦较和。然其数烦碎,宛转费力。今别草一法,其廉从与前不殊,而中间段络径捷明白。方之前术,极为省易,学者当自知也。立天元为半径,副之。上并加东西行,得■为通勾率。下并加南北行,得■为通股率。乃置西行八步以通股乘之得下■,合通勾除,不除,寄为母,便以此为南小股也。又置南行四百九十五步,内减天元得■,用通勾乘之,得■。内减了南小股,馀下式■为股圆差也,内带通勾分母。又置北行一十五步以通勾乘之,得■,合通股除,不除,寄为母,便以此为北小勾也。又置东行二百八步,内减天元得■,用通股乘之,得■。内减了北小勾,馀■为勾圆差也(内带通股分母)。乃以二差相乘得下式■为半段圆径幂也,内带通积为母(寄左)。然后以通勾通股相乘得■,以天元幂乘之,得■,又倍之得下式■为同数,与左相消,所得廉、从一与前同。合问。

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