測圓海鏡/卷11
| 卷十 ◄ | 測圓海鏡 卷十一 |
► 卷十二 |
○雜糅一十八問
或問：城南有槐樹一株，城東有柳樹一株。甲出北門東行，丙出西門南行。甲、丙、槐、柳悉與城參相直，既而丙就柳行五百四十四步至柳樹下，甲就槐行四百二十五步至槐樹下。問答同前。
法曰：甲就步自之於上，以二行相減數自之減上位為實。二之二行相減數並入二之甲就步為從，一步常法。得平弦■。
草曰：別得丙就步為邊弦也，甲就步為底弦也。邊弦即皇弦、高弦共也，底弦即皇弦、平弦共也。二行相並即大弦、皇弦共也，二行相減即皇極勾股較也。倍皇弦以減於大弦，餘即虛弦也。倍皇弦內減邊弦，餘即Ａ１弦也。倍皇弦內減底弦，餘即明弦也。皇極弦加一差則大差弦也，內減一差則小差弦也。立天元一為平弦，加一皇極勾股差得■即高弦也。高弦自之得■，內加天元冪得■為皇弦冪（寄左）。然後以天元減底弦得下式■，自之得■為同數，與左相消，得■。開平方得一百三十六步，即平弦也。餘各依法求之，合問。
或問：出南門東行有槐樹一株。甲出北門東行，斜望槐樹與城相直，就槐樹行二百七十二步。出東門南行有柳樹一株。丙出西門南行，斜望柳樹與城相直，就柳樹行五百一十步。問答同前。
法曰：雲數相並而半之，以自乘於上。半丙斜行以為冪，半甲斜行以為冪，並二冪減上位為實。並雲數為益從。一步平隅。得虛弦■。
草曰：別得丙斜行為黃廣弦也，亦為兩個高弦也，此勾則城徑也。甲斜行即黃長弦也，亦為兩個平弦也，此股則城徑也。二數相並，得■即大弦、虛弦共也；二數相減，餘■即兩個皇極差也。二數相並而半之，得■即皇極和也。立天元一為虛弦。以減於皇極和，得■即皇極弦也。以自之，得■為皇弦冪（寄左）。然後以高弦自之得■，以平弦自之得■，二自乘數相並得■，與左相消，得■。開平方得一百二，即虛弦也。合問。
或問：甲從坤隅南行，不知步數而立。乙從艮隅南行一百五十步，望見甲，複斜行五百一十步，與甲相會。問答同前。
法曰：斜行自之於上。倍南行減斜，餘自之，以減上為實。倍南行減斜，又四之為從。八步常法。開平方，得半徑。
草曰：別得南行即小差股，斜行即黃廣弦也。小差股內減半徑，餘即半個黃廣積上股弦差也。全徑即其勾也。立天元一為半城徑。減於乙南行，倍之得■即一個黃廣積上股弦差也，以減於斜行步，餘■即股也。自之得■為股冪也。又倍天元，以自之為大勾冪，加入大股冪，得下■（寄左）。然後以斜行冪■與寄左相消，得下式■。開平方得一百二十步，即半徑也。合問。
或問：乙從艮隅東行，不知遠近而止。甲從坤隅東行一百九十二步，望見乙，複斜行二百七十二步，與乙相會。問答同前。
法曰：倍東行減斜行，得數自為冪，以減於斜行冪為平實。倍東行減斜行，又四之為從。八益隅。翻法開平方，得半徑。
草曰：別得甲東行即大差勾也，斜行則黃長弦也。大差勾內減半徑，餘即半個黃長積上勾弦差也，全徑即其股也。立天元一為半城徑，減甲東行，倍之得■即一個黃長積上勾弦差也，以減於斜行步，得■即黃長勾也，以自之得■為勾冪於上。倍天元以自之，加上位得下式■為弦冪（寄左）。然後以斜行冪■為同數，與左相消得■。平開得一百二十步，即半城徑也。合問。
或問：甲從坤東行一百九十二步，丙從艮南行一百五十步，望見之。問答同前。法曰：二行相乘，倍之為平實，如法得圓徑。
草曰：別得甲行即大差勾，丙行即小差股。此二數相乘恰與大小差相乘正同。如法相乘訖，倍之得■為圓徑冪（寄左）。然後立天元為圓徑，以自之，與左相消，得■。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。
又法：以二行相減數減於二行相並數，餘者半之於上。複以二行相減數加於上，即城徑。
草曰：別得甲東行減於徑為虛勾也，丙南行減於徑為虛股也。二行共為一徑一虛弦共也，二行相減即虛和也。以相並數、相減數又相減即兩個虛弦也。如法求得虛和■，虛弦■，相並得■即城徑也。合問。
或問：出西門南行二百二十五步有塔，出北門東行六十四步，望塔正當城徑之半。問答同前。法曰：二行相乘為平實，一步常法。得半徑。
草曰：別得二百二十五步為高股，此乃半徑為勾之股也。其六十四步為平勾，此乃半徑為股之勾也。二數相並即皇極弦也，二數相減即中差內去皇極差也。又別得二行相乘恰是半徑冪一段，此與半梯頭相乘其意正同。今且以弦上容圓取之。立天元一為半徑，副之。上加南行得■為股也，下加東行步得■為勾也。勾股相乘，得■為大直積。以天元半徑除之，得■為勾股和（寄左）。然後並勾股得■，與左相消，得■。開平方得一百二十步，即半徑也。合問。
或問：丙從乾隅南行，丁從艮隅亦南行，甲從乾隅東行，乙從坤隅亦東行。各不知步數，四人悉與城相直。隻雲丙行內減丁行，餘四百五十步；甲行內減乙行，餘一百二十八步。問答同前。
法曰：二行相乘為實，一步常法。得城徑。
草曰：別得丙行即大股，丁行即小差之股也。甲行即大勾，乙行即大差之勾也。其■即黃廣股，其■即黃長之勾也。立天元一為城徑。先置黃廣股■為股方差，以■為勾方差。以乘之得■為城徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得下式■。開平方得二百四十步。合問。
或問：出南門東行有槐樹一株，出東門南行有柳樹一株。丙丁二人同立於坤隅，甲乙二人同立於艮隅。丁直東行至槐而止，乙直南行至柳而止。丙直南行，甲直東行，四人遙相望見。隻雲丙行多於丁行一百六十八步，乙行多於甲行七十步。問答同前。
法曰：雲數相乘為實，二數相減又半之為法。得城徑。
草曰：別得■即大差勾股較也，其■即小差上勾股較也。二數相並為大差弦內減小差弦也，二數相較又半之，為皇極弦與城徑差也，二數相並而半之即皇極差也。立天元一為圓徑。二雲數相減又半之，加天元得■為極弦也。並二數而半之，得■為極差也。副置極弦，上位加極差得■為弦較和也，下位內減極差得■為弦較較也。上、下相乘，得■為二直積（寄左）。然後以天元一乘極弦，得下式■為同數，與左相消得■。上法下實，如法而一，得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：甲從坤東行，丙從艮南行，適相見，斜行一百二步，甲丙相會。丙雲：「我南行不及汝四十二步。」問答同前。
法曰：二數相並，以斜行乘於上。二數相並而半之，以乘相並數，減上位為平實。並二數又倍之於上，並二數又加斜行以減上位為從。一步常法。得虛勾。
草曰：別得一百二步即虛弦，四十二步即虛較也。又斜行得虛股為甲東行，此便為大差勾也。斜行步得虛勾為丙南行，此便是小差股也。立天元一為虛勾。加斜行步得■為小差股也，以不及步加於小差股得下式■為大差勾也。勾股相乘，得■為半段黃方冪（寄左）。然後再置虛勾加不及步，得■為虛股，又加入天元得 ■為虛和，又加入虛弦得■為圓徑，以自之得■，又半之與寄左相消，得■。平方開得四十八步，即虛勾也。合問。
或問：甲從城心東行，丙從城心南行，庚從巽隅西行，壬從巽隅北行。四人遙相望見，各不知步數。隻雲甲丙共行了三百九十一，庚壬共行了一百三十八。問答同前。
法曰：雲數相乘為實，相並為法。得虛弦■。
草曰：別得甲丙共為皇極和也，又為極弦、極黃共。庚壬共為太虛和也，又為虛弦、虛黃共。立天元一為皇極黃方麵（亦為虛弦也）。減於甲丙共，得■即極弦也。又以天元減於庚壬共，得■即太虛黃方麵也。以太虛黃方麵乘極弦得■（寄左）。然後以天元冪與左相消，得■。上法下實，如法得一百二即皇極黃方麵也。合問。
或問：甲從乾隅東行，不知步數而止。丙向南行亦不知步數，望見甲，就甲斜行七百八十步，與甲相會。甲雲：「我行地雖少於汝，以我東行步為法，除汝南行步，則汝止得二步四分。」問答同前。
法曰：斜步自之為平實，除步自之，又加一步為隅。得甲東行■。
草曰：此問所求城徑與諸問並同，其勾股則與前後諸率不同。今特為此草者，欲使後學有以考較諸率當否也。立天元一為甲東行（即大勾），以乘二步四分，得■為長，以自之得■為股冪。又並入天元冪得■為弦冪（寄左）。乃以斜行自之得■為同數，與左相消得■。開平方得三百步，即甲東行也。以二步四分乘之得七百二十步，即丙南行也。倍丙南行以甲東行乘之，得四十三萬二千為實，以三事和一千八百為法除之，得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：小差黃方麵少於大差黃方麵八十四步，太虛黃方麵少於皇極黃方麵六十六步。問答同前。
法曰：半八十四為中差。以中差減六十六為二小差，又中小差相並為大差。乃以小差乘大差為平實。半步常法。得虛黃三十六。
草曰：別得八十四為兩個虛積中差，其六十六為虛積大小差並。半八十四得■為虛中差也，以中差減六十六，餘二十四，半之得■即虛小差也。以小差反減六十六，餘■即虛大差也。又別得小差黃方為兩Ａ１股，大差黃方為兩明勾也。立天元一為虛黃方。置三位，上加小差得■為虛勾也，中加大差得下■為虛股也，下加大小差並得■為虛弦也。三位並之得■即城徑也。倍虛勾減城徑得■為大差黃方麵也，又倍虛股減城徑得■為小差黃方麵也。半小差黃方麵得■，以乘大差黃方麵，得■為一個虛直積（寄左）。乃以虛勾、虛股相乘，得下■為同數，與左相消得■。平方開得三十六步，即虛黃方也。其餘依法求之，合問。
據此問，既別得大、小差正數，自可以求得黃方麵也。諸如此類，實不須草。然今特為細草者，庶使後學知其來曆也。
或問：大差弦較較減皇極弦餘四十九步，小差弦較和減太虛弦餘一百三十八步，又皇極差一百一十九步。問答同前。
法曰：並前二數為冪，內減極差冪為平實。從空，二益隅。得虛弦■。
草曰：別得大差弦較較與小差弦較和皆同為圓徑也。又二數相並，得■為明弦Ａ１弦共，又為極和內少兩個虛弦也，其一百三十八即虛和也，■則旁差也。立天元一為虛弦，加入一百三十八，得■為圓徑也，又加入■得■為極弦，以自之得■，又倍之，得■，內卻減極差冪■，得下式■為和冪（寄左）。乃倍天元加並數，得■為極和，以自增乘，得■為同數，與左相消得■。開平方得一百二步，即虛弦也。加入一百三十八，得二百四十步為圓徑。合問（前二數相並加虛弦，便是極弦）。
或問：小差不及平弦五十六步，高弦不及大差一百五步。問答同前。法曰：以前數自之為實，二數相減為法。得平勾六十四。
草曰：別得雲數相並得■為平勾不及高股也，此數得極差則通差也，此數內減虛差則極差也。雲數相減，餘■即城徑不及極弦也。以前數減於半徑，餘即平勾也，以後數加於半徑即高股也。倍前數加小差則為股圓差之勾也，此與前數加平弦同。倍後數減於大差則為勾圓差之股也，此與後數減於高弦同。立天元一為平勾，加相並數得■即高股也，又加天元得■即極弦也。內減二雲數差，得■為城徑也，半之得■，以自之得■為半徑冪（寄左）。然後以天元乘高股得■為同數，與左相消得■。上法下實，得六十四步，即平勾也。合問。
又法：雲數相得為實，相減為法。得半徑■。
草曰：立天元為半徑，副之。上內減五十六得■為平勾，下加一百五得■為高股。上下相乘得■為半徑冪（寄左）。以天元冪與左相消，得下式■。上法下實，得一百二十步，即半徑也。合問。
或問：通勾、通弦共一千步，大差、小差共得四百四十步。問答同前。
法曰：以二差共減於一千，又半之，以自乘為平實。以二差共減於一千，又半之，加入二之後數為從。二步二分五厘益隅。得勾圓差■。
草曰：立天元一為小差數，加入後數得■。卻以減於前數得■，折半得■為一個圓徑也，以自之，得下式■（寄左）。然後以天元減後數，得■為大差，以天元乘之，又倍之得■，與左相消得■。開平方得八十步，即勾圓差也。
或問：皇極三事和六百八十步，太虛弦和較三十六步。問答同前。
法曰：二數相得為實，半之後數為益從，五分常法。平開得城徑■。
草曰：別得皇極三事和即大弦也。立天元一為圓徑，內減三個後數■而半之，得■為太虛大小差並也，卻加入兩個後數■得下■為虛和也。又以虛和減天元得下■為虛弦也。置通弦（即皇極三事和也），內加天元得下式■即通和也。乃置通和以虛弦乘之，得下式■（寄左）。再置虛和以通弦乘之，得下■為同數，與左相消得■。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：出南門行一百三十五步有樹，出北門行一十五步，折而東行二百八步，望見樹。問答同前。
法曰：以東行步乘南行步，得數又自乘為實。以東行步自乘乘南行步，又倍之為從。東行步自乘於上。並南北二行步，以減於東行步，餘數自之為冪，以減上，再寄位。又並南北二行步，以東行步乘而倍之，內減再寄為第一益廉。四之東行步於上，又並南北二行步減於東行步，又四之，減上位為第二益廉，四步虛隅。開三乘方，得半徑。
草曰：立天元一為半徑（即高勾也）。置南行加天元，得■為高弦也。置大勾■以高弦乘之，得■，複以高勾除之，得下式■為大弦也。令之自乘，得 ■（寄位）。又置二之天元，加南北行並，得■為大股。複用大勾二百八減之，得■為較也，以自乘，得■為較冪。以減寄位，得■為二直積（寄左）。再置大股■ 為直積，又倍之得■為同數，與左相消得■。翻法開三乘方，得一百二十步，即城徑之半也。合問。
或問：出北門一十五步折而東行二百八步有樹。出西門八步折而南行四百九十五步見之。問答同前。
法曰：先置南行步，內減一東二西並步，餘二百七十一為前泛率。次並一南二北，內減東行步，餘三百一十七為中泛率。次並東西步，以南行步乘之於上位。又以西行乘南北並，得數減上位，餘一十萬二千八百四十為後泛率。乃以後泛率自乘，得一百五億七千六百六萬五千六百為三乘方實。以前中二泛相減餘四十六，以乘後泛數為從。前中二泛相乘得八萬五千九百○七，加入二之後泛數，共得二十九萬一千五百八十七於上位。又倍東西並，以乘南北並，得二十二萬三百二十，加上位，通得五十一萬一千九百七為第一廉。二之南北並，加入二之東西並，得一千四百五十二於上位。又以前中二泛相減，餘四十六，減上位，餘一千四百六為第二廉。一步常法。得半徑。
草曰：立天元一為半城徑，加入東行西行並得■為大勾也。又置天元加入南行北行並，得■為大股也。置西行八步以大股乘之得下式■，合以大勾除之。不除，寄為母，便以此為股尖也。置南行四百九十五步減天元得■，用分母大勾乘之，乘訖得下式■，內減了股尖，餘■為小股也（內帶大勾分母）。置小股合以大勾乘了，複以大股除之為小勾。今為小股內已有大勾為母，更不須乘，隻以小股■便為小勾也（內帶大股為母）。小勾、小股相乘得數為一個小勾股相乘直積，內帶大勾股相乘直積為分母也。乃以半城徑（即天元也）除之，為一個弦較和也：■。此法本取勾外容圓，合以弦較和除二積，為勾外所容之圓。今用半天元圓徑除一個積，則卻得一個弦較和也，內依舊帶大積分母也（寄左）。然後再置小股■，合用大積乘之，緣內已帶大勾分母，今隻用大股■乘之，得■為大積所乘小股於上。再置小勾，合用大積乘之，緣內已帶大股分母，合隻用大勾■乘之，得■為大積所乘之小勾也。以此小勾減上小股得■，即帶分小較也。又二因小較得下式■為帶分二較也。又以大勾股直積■乘二之天元半圓徑，得■為一個帶分弦較較也（弦較較乘弦較和為二直積，既以圓徑除二直積為弦較和，則是圓徑為弦較較也。今又為半天元圓徑除一積為弦較和，故倍天元半徑作一個弦較較也）。遂將此弦較較加入前二較，得■亦為一個弦較和也。與寄左相消得下式■。開三乘方得一百二十步，即半城徑也。合問。
又法：此問係是洞淵測圓門第一十齲粒保前答亦依洞淵細草，用勾外容圓術，以如於弦較和。然其數煩碎，宛轉費力。今別草一法，其廉從與前不殊，而中間段絡徑捷明白。方之前術，極為省易，學者當自知也。立天元為半徑，副之。上並加東西行，得■為通勾率。下並加南北行，得■為通股率。乃置西行八步以通股乘之得下■，合通勾除，不除，寄為母，便以此為南小股也。又置南行四百九十五步，內減天元得■，用通勾乘之，得■。內減了南小股，餘下式■為股圓差也，內帶通勾分母。又置北行一十五步以通勾乘之，得■，合通股除，不除，寄為母，便以此為北小勾也。又置東行二百八步，內減天元得■，用通股乘之，得■。內減了北小勾，餘■為勾圓差也（內帶通股分母）。乃以二差相乘得下式■為半段圓徑冪也，內帶通積為母（寄左）。然後以通勾通股相乘得■，以天元冪乘之，得■，又倍之得下式■為同數，與左相消，所得廉、從一與前同。合問。